Aula pb 7_resumo
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o e
Te
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da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Uma empresa de construção civil mantém um stock de um dado material de construção a partir do qual
satisfaz as necessidades de diversas obras em curso. Estas necessidades semanais são aleatórias e
podem ser descritas estatisticamente pela seguinte distribuição de probabilidades, sendo a média de 30
toneladas:
Exercício 10 - Enunciado
Gestão de Stocks
Necessidade semanal (ton.) 10 20 30 40 50 60
Probabilidade 0.10 0.17 0.50 0.13 0.06 0.04
Política do nível de encomenda
Ge
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o e
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Te
oria
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De
cis
ão
A empresa decidiu adoptar a política do nível de encomenda para regular o funcionamento deste stock,
com um intervalo médio entre reaprovisionamentos de 2 semanas. O tempo de entrega das encomendas
deste material pode considerar-se fixo e igual a uma semana.
O custo anual de manter em stock uma tonelada deste material foi estimado em 130 €, enquanto o custo
de rotura é de 200 € por tonelada em falta, independentemente do tempo em falta.
a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de
posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura.
b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria?
Quantifique a redução de custos anual que resultaria da sua recomendação.1
I(t)
M
Ciclo i Ciclo (i+1) Ciclo (i+2)
Q Q
Q
...
...Q+M
Política do nível de encomenda
τi
τi+1
0t
Ti =ti+1 -ti Ti+1 =ti+2 –ti+1 Ti+2
τi+2
M
M – Ponto ou nível de encomenda
τi – Tempo de reposição ou entrega no ciclo i
Ti – Período ou comprimento do ciclo i
Q – Quantidade encomendada --- e recebida –––Si – Nível do stock antes da recepção de Q
...
...
Si S
i+2
Si+1
S=M-µX
Nota
O nível/ponto de encomenda, M, que ocorre no
instante, ti, da revisão contínua, tem que cobrir
as necessidades até ao instante em que a
encomenda, colocada no início do ciclo i,
chega.
ti ti+1 ti+2
Ge
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De
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Ge
stã
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De
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Exercício 10 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
Dados do problema (Unidade de tempo: 1 semana)
( )
2
(Taxa média de procura por unidade de tempo) 30 ton./semana
(Tempo médio de entrega ou de reposição) 1 semana
Intervalo de tempo médio entre reaprovisionamentos 2 semanas
(Custo de posse) 130
r
T
C
τ
=
=
=
='
3
€/ton./ano=2.5 €/ton./semana
(Custo de rotura) 200 €/ton.C =
Ge
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Ge
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3
i 1 2 3 4 5 6
Necessidade semanal (ton.): (xi) 10 20 30 40 50 60
Probabilidade: hX(xi)= P(X = xi) 0.10 0.17 0.50 0.13 0.06 0.04
HX(xi)=P(X ≤ xi) 0.10 0.27 0.77 0.90 0.96 1.00
Funções massa de probabilidade hX(xi) = P(X=xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi)=P(X ≤ xi)
Modelo de probabilidade da procura, X, no tempo (médio) de reposição de 1 semana
A procura/necessidades, X, no tempo de reposição é variável aleatória discreta com função (massa de)
probabilidade hX(xi) = P(X = xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi) = P(X ≤ xi), dadas por
Ge
stã
o e
Te
oria
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Ge
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De
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ão
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição
Exercício 10 - Resolução
Ge
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ão
Ge
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P(X=30)=0.5
P(X=20)=0.17
( )
( )( )( )( )( )( )
( )
0.00, 10
0.10, 10 20
0.27, 20 30
0.77, 30 40
0.90, 40 50
0.96, 50 60
1.00, 60
X
x
x
x
H x x
x
x
x
<
≤ < ≤ <
= ≤ < ≤ <
≤ < ≥
Ge
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Ge
stã
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De
cis
ão
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição
6
1
6
1
Procura média no tempo de reposição :
( )
( )
10 0.1 20 0.17 30 0.5 40 0.13 50 0.06 60 0.04
X
X i X i
i
i i
i
x h x
x P X x
µ
µ=
=
=
= =
= × + × + × + × + × + ×
∑
∑
Exercício 10 - Resolução
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
30 ton.
Nota:
30 1 30 ton.
X
X
rµ τ
µ
=
= ×
= × =
Ge
stã
o e
Te
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De
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Ge
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ão
Exercício 10 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
1. Probabilidade de rotura por ciclo, α = P(X > M), com M (ponto/nível de encomenda) = S+µX
M = S+µX = 10 + 30 = 40 ton.
a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os
respectivos custos de rotura.
( ) ( ) ( ) ( ): 40
( 40) 50 60 0.06 0.04 0.10i
i
i x
P X M P X P X x P X P Xα>
= > = > = = = = + = = + =∑
Dado ( de segurança) 10 ton., calcular , .S Stock α= probabilidade de rotura por ciclo
Ge
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o e
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da
De
cis
ão
Ge
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Te
oria
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De
cis
ão
6
( )
( ) ( ) ( )
( )
: 40
:
( )
(50 40) 0.06 (60 40) 0.04 1.4 ton.
=1 1
i
i
i x
i i
i x M
Outras quantidades relevantes
M
M x M P X x
NS
MNS
Q
η
η
η
>
>
= − = = − × + − × =
− =
∑
Quantidade média em falta
Nível de serviço
( ) 1.4
1 0.9772 30
, (1 ) 1 0.10 0.90
M
T r
η
α
− = − =× ×
− = − =Nível de protecção
Ge
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De
cis
ão
Ge
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Te
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De
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ão
Exercício 10 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os
respectivos custos de rotura.
52 semanas/ano 522.3. 26 ciclos/anoNCiclos NCiclos
≅ = =
2. Custos anuais de posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura.
( )
( ) ( ) ( )
2 2
' '
3 3
: 40
2.1. ( )= € / ciclo,
2.2. ( ) = € / cicloi
P X
R i i
i x
C Custos de por ciclo C S T C M T
C Custos de rotura por ciclo C M C x M P X x
µ
η>
× × = × −
× = × − =∑
posse do stock de segurança
Ge
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Ge
stã
o e
Te
oria
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De
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ão
7
( ) ( )2
52 semanas/ano 522.3. 26 ciclos/ano
semanas/ciclo 2
2.4. ( ) =
52 = 52 2.5 40 30 130 10 1300 €/ano
P P
P X
NCiclos NCiclosT
K Custos anuais de posse do stock de segurança NCiclos C
K = C M µ
≅ = =
×
× × − × × − = × =
( ) ( ) ( )' '
3 3
: 40
2.5. ( ) =
52 52 52 200 1.4 7280 €/ano
2
2.6. ( ) 8580 € / ano
i
R R
R i i
i x
P R
K Custos de rotura anuais NCiclos C
K = C M C x M P X xT T
K Custos totais anuais K K
η>
×
× × = × × − = = × × =
= + =
∑
Ge
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De
cis
ão
Ge
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da
De
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ão
Exercício 10 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que
resultaria da sua recomendação.
( )
( ) ( )
2 2
'
3
:
Substituindo
, função de , ( ) :
( ) ( ) ( ), com
( ) = 52 52 € / ano
52( ) = € / ano
X
P R
P P X
R R i i
i x M
S M
M K M
K M K M K M
K M NCiclos C = C S C M
K M NCiclos C = C x M P X xT
µ
µ
>
= −
= +
× × × = × × −
× × × − =∑
Custos totais anuais
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
8
( )
:
2
52( ) 52
ii x M
X
T
K M C MT
µ
>
= × × − + × ( ) ( )
( ) ( ) ( )
'
3
:
'
2 3
: :
€ / ano
52 52
i
i i
i i
i x M
X i i i
i x M i x M
C x M P X x
C M C x P X x M P X xT
µ
>
> >
× − =
= × × − + × × = − =
∑
∑ ∑
( )
( ) ( )**
*
'
2 3
:
Nível de encomenda optimal dado (valor a recomendar) é o ponto estacionário de ( ), . .,
o valor de em que se anula a função 1ª derivada de ( )
( ) 520 52 0
i
i i
i x MM M
Q M K M i e
M K M
dK MC C P X x P X x
dM T >=
= ⇒ × − × × = = ⇔ =∑*
2 2
'': 33
52
52
ii x M
C C T
CC
T
Vidé
>
× ×= =
×∑
Nota 1
( )*
:
No caso da procura, , no tempo de reposição, ser uma variável aleatória discreta, a condição de
optimalidade do nível de encomenda, , dado , com , traduzida na igualdade
X
M Q Q T r= ×
Nota 1
( )
( )
*
*
2
'
: 3
2
'
: 3
,
deve ser substituída pela desigualdade ,
i
i
i x M
i
i x M
c TP X x
c
c TP X x
c
>
>
×= =
×= ≤
∑
∑
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Gestão de Stocks
Política do nível de encomendaExercício 10 - Resolução
*: 3
porque 1) o conjunto dos valores da procura é finito e discreto e
ii x M
i
c
x
>
( )
( )
( )
( ) ( )
*
*
*
* *
:
2
'
: 3
2
'
: 3
2
'
: :3
2) porque
é a probabilidade de rotura que deve ser limitada superiormente. A condição ,
é equivalente a 1 , pois
i
i
i
i i
i
i x M
i
i x M
i
i x M
i i
i x M i x M
P X x
c TP X x
c
c TP X x
c
c TP X x P X x
c
>
>
≤
> >
=
×= ≤
×= ≥ −
×= ≤ ⇔ − =
∑
∑
∑
∑ ( )
( )
*
*
2 2
' '
:3 3
2
'
: 3
1 1
1
i
i
i
i x M
i
i x M
c T c TP X x
c c
c TP X x
c
>
≤
× ×≥ − ⇔ − = ≥ −
×⇔ = ≥ −
∑ ∑
∑
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 10 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que
resultaria da sua recomendação.
( )
( )
( )
*
*
*
:
6
dado :
2.5 21 1 0.025 0.975 60 ton.
200
60 é o menor dos cuja probabilidade de não ser excedido é maior ou igual a 0.975
i
i
i x M
i
Q M
P X x M
x x
Vidé
≤
×= ≥ − = − = ⇒ =
=
∑
Nível de encomenda optimal
Nota 2
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
10
de segurançStock
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
* *
*
* * ' *
2 3
:
*
: 60
60 30 30 ton.
5252
52 52 52 2.5 60 30 200 3900 200 0
2 2
3900 €/a
i
i
*
X
X i i
i x M
i i
i x
S
S M
K M
K M C M C x M P X xT
x M P X x
µ
µ>
>
= − = − =
= × × − + × × − =
= × × − + × × − = = + × ×
=
∑
∑
a
Custo total anual do stock de segurança
*
no
( ) ( ) 3900 8580 4680 €/anoK K M K M∆ = − = − = −
Redução de custos anual
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
Nota 2
M* é o menor valor da procura discreta, xi , tal que a probabilidade de não ser excedido, HX(xi), é maior
ou igual a
×
2 2
' '
3 3
1 1c T c Q
c c r
× ×− = −
×
isto é, que satisfaz a condição
Exercício 10 - Resolução
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
( )*
2
'
: 3
1
i
i
i x M
c TP X x
c≤
×= ≥ −∑
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Uma empresa de construção utiliza semanalmente 100 unidades de um produto que adquire no mercado
internacional e do qual constitui stocks. A cada encomenda deste produto está associado um custo fixo
(independente da quantidade adquirida) de 100 €, enquanto que à manutenção em stock de uma unidade
deste produto a empresa associa um custo anual de 26€.
A empresa pretende adoptar a política do nível de encomenda e tem vindo a colocar encomendas de
400 unidades. O tempo de entrega das encomendas deste produto é aleatório, com uma distribuição
normal de média 4 semanas e desvio padrão 1 semana.
Exercício 11 - Enunciado
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura?
b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria?
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade
em falta, determine em que condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao
determinado na alínea b).
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de
encomenda que recomendaria?
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a
encomendar e ao nível de encomenda? 12
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
2
(unidade de tempo: 1 semana; 1 ano = 52 semanas)
Custo fixo de encomenda, 100 €/encomenda;
Custos de posse, 26 €/unid./ano ( 0.50 €/unid./semana);
Quantidade en
A
C
=
= =
Dados do problema
( )
comendada, 400 unid./encomenda;
Procura por unidade de tempo (determinística): 100 unid./semana, 0;
Tempo de reposição/entrega (aleatória): , , com 4 semanas e 1 semana;
r
Q
r
τ τ
σ
τ τ σ τ σ
=
= =
= =∼N
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
13
( )Tempo de reposição/entrega (aleatória): , , com 4 semanas e 1 semana;τ ττ τ σ τ σ= =∼N
( )
2 2 2 2 2
, ,
100 4 400 unid.
4 0 100 1 100 unid.
a
X X
X
X r
X
X
com
r
r τ
µ σ
µ τ
σ τ σ σ
= × = × =
= × + × = × + × =
Modelação probabilística da procura, , durante o tempo de reposição
∼N
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura?
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Dado 500 unid., calcular probabilidade de rotura, , por ciclo
500 500 400= 500 , com e 1
100
1 1 1
1 1
1 0.8413 0.1587
X X
X X
M
XP X M P X P Z z Z z
P Z P Z
α
µ µα
σ σ
=
− − −> = > = > = = = =
> = − ≤
= − Φ
= − =
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
14
1 0.8413 0.1587
α
= − =
∴ = 0.15870.15870.15870.1587b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria?
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dado 0.05, calcular nível de encomenda
Determinar , , tal que
, com e
1 1 1 0.95
1.65
400 100 1
XX
X X
XX X
X
M
M M P X M
MXP X M P Z z Z z
P Z z P Z z z z z
z
Mz M z
α α
αα α
α α α α α
α
αα α α
α
α
µµ
σ σ
α α
µµ σ
σ
≅
> =
−−> = > = =
> = − ≤ ⇒ − Φ = ⇒ Φ = − ⇒ Φ =
≅
−= ⇒ = + = + × .65 .= 565 unid565 unid565 unid565 unid
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).
( ) ( )
( ) ( )
'
3
'
3
2
Que torna 500 unid. preferível a 565
( )
52 52( ) ( ),
2
com ( ) ,
X
XX
M
C M M
A r C rQK M C M M
Q Q
MM x M h x dx
µ η
µη σ ξ
σ
∞
= =
× × = + × + − + ×
−= − =
∫
Custos totais por unidade de tempo ano
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
15
( ) ( )
( )
com ( ) ,
é função de perdas normal estan
XM
X
M x M h x dx
u
η σ ξσ
ξ
= − =
∫
( )
( )
dardizada (Tabela 2 de Livro de IO ou Tabela no Anexo 2)
para = unidades
500 400(500) 100 100 1.0 100 0.0829 8.29
100
100 100 52 400(500) 26 500 400
400 2
M
K
η ξ ξ−
= = = × =
× × = + × + −
Custos totais por unidade de tempo 500
( )
( ) ( )
'
3
'
3
'
3
100 52(500)
400
100 100 52 100 52400 26 500 400 8.29
400 2 400
9100 107.8
C
C
C
η×
+ ×
× × × = + × + − + ×
= +
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).
( )
( ) ( )
( )
'
3
para =565 unidades
565 400(565) 100 100 1.65 100 0.0213 2.13
100
100 100 52 100 52400(565) 26 565 400 (565)
400 2 400
100 100 52 400
M
CK
η ξ ξ
η
− = = = × =
× × × = + × + − + ×
× ×
Custos totais por unidade de tempo
( )' 100 52C ×
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
16
( )100 100 52 400 26
400 2
× ×= + ×
( )
( )
'
3
'
3
' '
3 3
100 52165 2.13
400
10790 27.7
500 preferível (500) (565)
(500) (565) (500) (565) 0
9100 107.8 10790 27.7 0
C
C
M K K
K K K K
C C
× + + ×
= +
= ⇒ <
< ⇒ − <
⇒ + − + <
Condição de preferência
' '
3 3
1689 1689 80.1 0 21.09 €/unid.
80.1C C⇒ − + < ⇒ < =
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria?
( ) ( ) ( )
( ) ( )
'
3
2
'
3
2
52 52( ) ( ), com
2
52 52 ( ),
2
X
X
A r Q S S C rK M C M S M
Q Q
A r C rQC M M
Q Q
η µ
µ η
× + + × = + × + × = −
× × = + × + − + ×
Custo total por unidade de tempo
Problema de optimização
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
17
( ) ( )'
3
2
52 52min. ( )
2X
M
A r C rQK M C M
Q Qµ
× × = + × + − + ×
Problema de optimização
( ) ( )
( )
( )*
*
*
2
'
3
( ),
onde ( ) ,
é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)
A , , dado , é a solução da equação seguinte:
( )52
XX
MX
M
M
MM x M h x dx
u
M Q
C Qh x dx
C r
η
µη σ ξ
σ
ξ
∞
∞
−= − =
=×
∫
∫
solução optimal
( )( )
* * * ** *2 2
' '
3 3
, ou ( ) 1 1 , com 52
MX
X
C Q C Q Mh x dx z z
C r C r
µ
σ−∞
−= − ⇒ Φ = − =
×∫
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria?
( )( ) ( )
( )
* 2
'
3
* 1
** * *
26 400 41. 1 1 1 0.92
52 25 52 100 50
0.92 1.405
2. 400 100 1.405 540.5 540X
C Qz
C r
z
Mz M z
µµ σ
−
×Φ = − = − = − =
× × ×
= Φ ≅
−= ⇒ = + = + × = ≅
Cálculos
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
18
* * *
*
2. 400 100 1.405 540.5 540
unidades
XX X
X
Mz M z
M
µµ σ
σ
−= ⇒ = + = + × = ≅
∴ = 540
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
( )
( ) ( )
( ) ( )
* *
'
3
2,
Calcular e
52 52min . ( , ) ( ),
2
onde ( ) ,
XM Q
XX
MX
M Q
A r C rQK M Q C M M
Q Q
MM x M h x dx
µ η
µη σ ξ
σ
∞
× × = + × + − + ×
−= − =
∫
Problema de optimização
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
19
( ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)
X
u
σ
ξ
S
( )( )
( ) ( )
*
*
' *
3*
2
* * * *
2 2 2
' ' '
3 3 3
( )
2 52 ( )=
( ) ou ( ) 1 152 52
MX
MX
r A C MQ
C
C Q C Q M C Qh x dx h x dx
C r C r C r
η
µ
σ
∞
−∞
× + ×
−= = − ⇒ Φ = −
× × ∫ ∫
olução optimal solução do problema de optimização
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
( ) ( )
*
*
2
Estimativa inicial de :
2 52 2 100 52 100= 100 2 2 200 unidades
26
Q
r AQ
C
× × ×= = × =
Cálculos (Método iterativo)
Iteração 1
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
20
( )( ) ( )
* *
** * * 12
'
3
1. Calcular ,dado :
26 2001.1 Calcular tal que 1 1 0.96 =
52 25 100 52
M Q
C Qz z z
C r
−×Φ = − = − = ⇒ Φ
× × ×
Iteração 1
( )
( )
* * *
* *
** *
*
0.96 1.75
1.2 Calcular : 400 100 1.75 575 unidades
2. Calcular dado
2.1 Calcular ( ) ( )
575 400 (575) 100 100 100 1.75 100 0.0
100
X X
XX
X
X
X
M M z
Q M
MM M
M
µ σ
µη η σ ξ
σ
µη ξ ξ ξ
σ
≅
= + = + × =
−=
− − = = = ≅ ×
168 1.68=
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
( )( ) ( )( )
*
' *
3*
2
* *
( )
2.2 Calcular
2 52 ( ) 2 100 52 100 25 1.68 = 238.3275 unidades
26
Teste de convergência: 38.3275 (p.ex. 1)previo tolerância tolerância
Q
r A C MQ
C
Q Q
η
ε ε
× + × × + ×= =
− = =
Iteração 1 continuação
Iteração 2
≫
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
21
1. Calcul
Iteração 2
( )( ) ( )
( )
* *
** * * 12
'
3
* * *
* *
*
ar ,dado :
26 238.32751.1 Calcular tal que 1 1 0.9523 = 0.9523 1.67
52 25 100 52
1.2 Calcular : 400 100 1.67 567 unidades
2. Calcular dado
2.1 Calcular ( ) (
X X
M Q
C Qz z z
C r
M M z
Q M
M M
µ σ
η η
−×Φ = − = − = ⇒ Φ ≅
× × ×
= + = + × =
( )
**
*
)
567 400 (567) 100 100 100 1.67 100 0.0203 2.03
100
XX
X
X
X
M
M
µσ ξ
σ
µη ξ ξ ξ
σ
−=
− − = = = ≅ × =
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
( )( ) ( )( )
*
' *
3*
2
* *
( )
2.2 Calcular
2 52 ( ) 2 100 52 100 25 2.03 = 245.5606 unidades
26
Teste de convergência: 7.23previo tolerância
Q
r A C MQ
C
Q Q
η
ε
× + × × + ×= =
− = >
Iteração 2 continuação
Iteração 3
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
22
* *1. Calcular ,dado :
1.1 Calcular
M Q
Iteração 3
( )( ) ( )
( )*
* * * 12
'
3
* * *
* *
** *
26 245.5606 tal que 1 1 0.9509 = 0.9509 1.655
52 25 100 52
1.2 Calcular : 400 100 1.655 565.5 unidades
2. Calcular dado
2.1 Calcular ( ) ( )
X X
XX
X
C Qz z z
C r
M M z
Q M
MM M
µ σ
µη η σ ξ
σ
−×Φ = − = − = ⇒ Φ ≅
× × ×
= + = + × ≅
−=
( )* 565.5 400
(565.5) 100 100 100 1.655 100 0.0210 2.10 100
X
X
M µη ξ ξ ξ
σ
− − = = = ≅ × =
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
( )( ) ( )( )
*
' *
3*
2
* *
( )
2.2 Calcular
2 52 ( ) 2 100 52 100 25 2.10 = 246.9818 unidades
26
Teste de convergência: 1.4212previo tolerância
Q
r A C MQ
C
Q Q
η
ε
× + × × + ×= =
− = >
Iteração 3 continuação
Iteração 4
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
23
* *1. Calcular ,dado :
1.1 Calcul
M Q
Iteração 4
( )( ) ( )
( )*
* * * 12
'
3
* * *
* *
** *
26 246.9818ar tal que 1 1 0.9506 = 0.9506 1.65
52 25 100 52
1.2 Calcular : 400 100 1.655 565 unidades
2. Calcular dado
2.1 Calcular ( ) ( )
X X
XX
X
C Qz z z
C r
M M z
Q M
MM M
µ σ
µη η σ ξ
σ
−×Φ = − = − = ⇒ Φ ≅
× × ×
= + = + × ≅
−=
( )* 565 400
(565) 100 100 100 1.65 100 0.0213 2.13 100
X
X
M µη ξ ξ ξ
σ
− − = = = ≅ × =
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
( )( ) ( )( )
*
' *
3*
2
* *
( )
2.2 Calcular
2 52 ( ) 2 100 52 100 25 2.13 = 247.5884 unidades
26
Teste de convergência: 0.6066 ( ) previo tolerância
Q
r A C MQ
C
Q Q
η
ε
× + × × + ×= =
− = <
Iteração 4 continuação
Terminar
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
24
* 248 unidadeQ =
Solução optimal
*s e 565 unidadesM =
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Exercício 11 - Resolução
Gestão de Stocks
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
Resumo das iterações------------------------------------------------------------------------------------------------------
iteração Q α zα M ξ(zα) η(M) K(Q,M) Qnew Erro
------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 200.00 0.9600 1.7507 575.0686 0.0161 1.6146 10801.30 236.95 36.95
2 236.95 0.9526 1.6707 567.0700 0.0196 1.9635 10695.95 244.20 7.25
3 244.20 0.9512 1.6562 565.6203 0.0203 2.0332 10692.51 245.63 1.42
4 245.63 0.9509 1.6534 565.3396 0.0205 2.0470 10692.38 245.91 0.28
+-----------------------------------------------------------------+
| Solução optimal |
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
25
| Solução optimal |
+-----------------------------------------------------------------+
Numero total de iterações (iter) = 4
Quantidade a encomendar óptima (Q*) = 246 unidades
Nível de encomenda óptimo (M*) = 565 unidades
Custos totais anuais (valor optimal) (K(Q*,M*) = 10692.38 €/ano
Custos fixos de encomenda anuais (K_A(Q*,M*) = 2117.04 €/ano
Custos de posse anuais (K_P(Q*,M*) = 7491.97 €/ano
Custos de rotura anuais (K_R(Q*,M*) = 1083.37 €/ano
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
21
, 12
xz z
z P Z z x dx e dx z zφπ
−
−∞ −∞Φ = ≤ = = Φ − = − Φ∫ ∫
( )zΦ
Anexo 1: Distribuição Normal
Função de distribuição de probabilidade - Φ(z)G
estã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.39894 0.39396 0.38902 0.38412 0.37926 0.37444 0.36966 0.36492 0.36022 0.35556
0.1 0.35094 0.34635 0.34181 0.33731 0.33285 0.32842 0.32404 0.31969 0.31539 0.31112
0.2 0.30689 0.30271 0.29856 0.29445 0.29038 0.28634 0.28235 0.27840 0.27448 0.27060
0.3 0.26676 0.26296 0.25920 0.25547 0.25178 0.24813 0.24452 0.24094 0.23740 0.23390
0.4 0.23044 0.22701 0.22362 0.22027 0.21695 0.21367 0.21042 0.20721 0.20404 0.20090
0.5 0.19780 0.19473 0.19170 0.18870 0.18573 0.18281 0.17991 0.17705 0.17422 0.17143
0.6 0.16867 0.16595 0.16325 0.16059 0.15797 0.15537 0.15281 0.15028 0.14778 0.14531
0.7 0.14288 0.14048 0.13810 0.13576 0.13345 0.13117 0.12892 0.12669 0.12450 0.12234
0.8 0.12021 0.11810 0.11603 0.11398 0.11196 0.10997 0.10801 0.10607 0.10417 0.10229
0.9 0.10043 0.09860 0.09680 0.09503 0.09328 0.09156 0.08986 0.08819 0.08654 0.08491
1.0 0.08332 0.08174 0.08019 0.07866 0.07716 0.07568 0.07422 0.07279 0.07138 0.06999
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
21
2
x
u uu x u x dx x u e dx
u u u
ξ φπ
ξ ξ
+∞ +∞ −
= − = −
− = +
∫ ∫
Anexo 2: Função de Perdas Normal ξ(u)G
estã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
1.0 0.08332 0.08174 0.08019 0.07866 0.07716 0.07568 0.07422 0.07279 0.07138 0.06999
1.1 0.06862 0.06727 0.06595 0.06465 0.06336 0.06210 0.06086 0.05964 0.05844 0.05726
1.2 0.05610 0.05496 0.05384 0.05274 0.05165 0.05059 0.04954 0.04851 0.04750 0.04650
1.3 0.04553 0.04457 0.04363 0.04270 0.04179 0.04090 0.04002 0.03916 0.03831 0.03748
1.4 0.03667 0.03587 0.03508 0.03431 0.03356 0.03281 0.03208 0.03137 0.03067 0.02998
1.5 0.02931 0.02865 0.02800 0.02736 0.02674 0.02612 0.02552 0.02494 0.02436 0.02380
1.6 0.02324 0.02270 0.02217 0.02165 0.02114 0.02064 0.02015 0.01967 0.01920 0.01874
1.7 0.01829 0.01785 0.01742 0.01699 0.01658 0.01617 0.01578 0.01539 0.01501 0.01464
1.8 0.01428 0.01392 0.01357 0.01323 0.01290 0.01257 0.01226 0.01195 0.01164 0.01134
1.9 0.01105 0.01077 0.01049 0.01022 0.00996 0.00970 0.00945 0.00920 0.00896 0.00872
2.0 0.00849 0.00827 0.00805 0.00783 0.00762 0.00742 0.00722 0.00702 0.00683 0.00665
2.1 0.00647 0.00629 0.00612 0.00595 0.00579 0.00563 0.00547 0.00532 0.00517 0.00503
2.2 0.00489 0.00475 0.00462 0.00449 0.00436 0.00423 0.00411 0.00400 0.00388 0.00377
2.3 0.00366 0.00356 0.00345 0.00335 0.00325 0.00316 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280
2.4 0.00272 0.00264 0.00256 0.00248 0.00241 0.00234 0.00227 0.00220 0.00213 0.00207
2.5 0.00200 0.00194 0.00188 0.00183 0.00177 0.00171 0.00166 0.00161 0.00156 0.00151
2.6 0.00146 0.00142 0.00137 0.00133 0.00129 0.00125 0.00121 0.00117 0.00113 0.00110
2.7 0.00106 0.00103 0.00099 0.00096 0.00093 0.00090 0.00087 0.00084 0.00081 0.00079
2.8 0.00076 0.00074 0.00071 0.00069 0.00066 0.00064 0.00062 0.00060 0.00058 0.00056
2.9 0.00054 0.00052 0.00051 0.00049 0.00047 0.00046 0.00044 0.00042 0.00041 0.00040
3.0 0.00038 0.00037 0.00036 0.00034 0.00033 0.00032 0.00031 0.00030 0.00029 0.00028
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
Ge
stã
o e
Te
oria
da
De
cis
ão
NOTA: Os valores desta Tabela foram calculados pela fórmula ξ(u) = φ(u)-u(1-Φ(u)), e não coincidem com os da Tabela 2 do livro de IO