Aula pb 2_resumo

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Gestão de Projectos

Exercício 2 – Resolução

c) Qual a duração total do empreendimento se:

c1) a duração da actividade C aumentasse para 8 semanas ?

4C - 5

2 i jRótulo – di,j

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj15 20 25 25

(FTi,j)(5)

Resposta baseada na interpretação da folga total (FT) de uma actividade.

Fernando DurãoFernando Durão

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

A folga total, FTi,j, da actividade (i,j) pode ser interpretada como o período de tempo ao longo do qual é

possível dilatar/expandir a duração, di,j, da actividade sem afectar a duração total, DT, do projecto. A

dilatação de 3 semanas na duração da actividade C (aumento de 5 para 8 semanas), não excede a folga

total de 5 semanas, pelo que a duração do projecto não é afectada.

6

5D - 15

1

3

E -

5

Fic

tíci

a -

0

0 0

10 10 25 25

35 35

(FTi,j)

(5)

(0)

(5)

(0)

1

Ge

stã

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Legenda

TMC TMT TMC TMT15 20 25 25

c1) a duração da actividade C aumentasse para 8 semanas ?

' '

4 4,6 5 5,6

' '

4 2 2,4 5 5,4 4

'

1. max{ , }

2. max{ , } max{ 15 8, 25 0} 25

35

T

T T

D TMC d TMC d

TMC TMC d TMC d TMC

D D

= + +

= + + = + + = =

∴ = =25 25

Resposta baseada no cálculo (actualização dos TMC e TMT dos eventos).


Ge

stã

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

6

5D - 15

4C - 8

1

2

3

E -

5

Fic

tíci

a -

0

i jRótulo – di,j

TMCi TMTi TMCj TMTj

0 0

15 20

10 10

25 25

25 25

35 35

Conclusão: A duração total do projecto não é afectada com o aumento da duração da actividade C de 5

para 8 semanas porque o TMC4 do evento sucessor nº 4 não é alterado.

(FTi,j)

(5)

(0)

(2)

(0)

2

Ge

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ori

a d

a D

eci

são

Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




c2) a duração da actividade G aumentasse para 11 semanas ?

4C - 5


Legenda


(FTi,j)(5)

Resposta baseada na interpretação da folga total (FT) de uma actividade.


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

A dilatação de 6 semanas na duração da actividade G (aumento de 5 para 11 semanas), excede, em 1

semana, a folga total de 5 semanas, pelo que a duração do projecto é aumentada de 1 semana e a

actividade G passará a actividade crítica com folga total igual a 0.

6

5D - 15

1

3

E -

5

Fic

tíci

a -

0

0 0

10 10 25 25

35 35

(FTi,j)

(5)

(0)

(5)

(0)

3

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são



C - 5


Rótulo – d

Legenda


( )

' '

6 5 5,6 4 4,6 6

' '

6

max{ , } max{ 25 11, 25 10} 36

36T

TMC TMC d TMC d TMC

D TMC

= + + = + + = >

∴ = =

c2) a duração da actividade G aumentasse para 11 semanas ?

Resposta baseada no cálculo (actualização dos TMC e TMT dos eventos e caminho crítico).


Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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Te

ori

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a D

eci

são

6

5D - 15

4C - 5

1

2

3

E -

5

Fic

tíci

a -

0

i jRótulo – di,j

0 0

10 10 25 25

35 35

Conclusão: A duração total do projecto é aumentada de uma (1) semana com o aumento da duração da

actividade G de 5 para 11 semanas. Refazendo cálculos dos TMT dos eventos e folgas totais das

actividades, a actividade G passa a crítica, substituindo a actividade F.

(FTi,j)

(5)

(0)

(5)

(0)

36 36

4

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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a D

eci

são


Exercício 2 – Resoluçãod) Determine as folgas livre á direita, livre á esquerda e a independente da actividade E

6

4C - 5

1

25

Fic

tíci

a -

0

i jRótulo – di,j

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj

0 0

15 20 25 25

35 35

(FTi,j))

(5)

Ge

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Te

ori

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a D

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são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Por definição, a folga livre à direita (FLDi,j), a folga livre à esquerda (FLEi,j) e a folga independente

(FIi,j) da actividade (i,j) são calculadas como se segue:

FLDi,j = TMCj-(TMCi+di,j) ⇒FLDE ≡ FLD3,2 =15-(10+5)=0

FLEi,j = TMTj-(TMTi+di,j) ⇒FLEE ≡ FLE3,2 = 20-(10+5)=5

FIi,j = TMCj-(TMTi+di,j) ⇒FIE ≡ FI3,2 = 15-(10+5)=0

6

5D - 15

1

3

E -

Fic

tíci

a

10 10 25 25

(5)

(0)

(0)

5Fernando DurãoFernando Durão

Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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o e

Te

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a d

a D

eci

são


Resumos

Passo 1: Cálculo dos Tempos Mais Cedo (TMC) dos acontecimentos e duração total do projecto (DT)

i1

Evento i11 ,i jd

1 1i iTMC TMT

1 1i iTMC TMTj jTMC TMT

{ }1 1 2 2, , ,

max , , , m mj i i j i i j i i j

TMC TMC d TMC d TMC d= + + +…

Ge

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Ge

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a D

eci

são

i2j

Evento i2 Evento j

im

Evento im

2 ,i jd

,mi jd1 1i iTMC TMT

⋮

{ }

1

,: ( , )

0;

2 :

max

eventos

j k k jk k j

TMC Tempo Mais Cedo do evento

j n

TMC TMC d∀ ∈

=

=

= +

início do projecto

para

fim

A

A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades

Fernando DurãoFernando Durão6

Ge

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Ge

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a d

a D

eci

são


Resumos

j1

Evento j1

1,i jd

1 1j jTMC TM

2 2j jTMC TMTi iTMC TMT { }1 1 2 2, , ,

min , , ,m mi j i j j i j j i j

TMT TMT d TMT d TMT d= − − −…

Passo 2: Cálculo dos Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos/acontecimentos

Ge

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a D

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são

Ge

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j2i

Evento j2Evento i

jm

Evento jm

2,i jd

, mi jd

m mj jTMC TMT

⋮

{ },: ( , )

;

: 1:1

min

n n

eventos

i k i kk i k

TMT TMC Tempo Mais Tarde do evento

i n

TMT TMT d∀ ∈

=

= −

= −

conclusão do projecto

para

fim

A


A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades

7

iTMC

iTMT jTMC jTMT

,i jLFT,i jLST

,i jd

,i jEST ,i jEFT

,i jd

Ge

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Te

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são

Ge

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a d

a D

eci

são


Resumos

Passo 3: Definição da folga total (FT), folga livre à direita (FLD), folga livre à esquerda (FLE) e

folga independente (FI) da actividade (i,j)

i jRótulo – di,j

Actividade (i,j)

,i jd

,i jd

,i jd

,i jFT

,i jFLD

,i jFI

,i jd

,i jFLE

,i j

Ge

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são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

FLDi,j + FLEi,j = FTi,j + FIi,j

Tempo de que o início efectivo de uma actividade pode ser retardado sem que isso

condicione em nada o início das actividades sucessoras.

Tempo de que a conclusão da actividade pode ser antecipado em relação à data

mais tardia sem condicionar em nada as datas de conclusão das actividades

antecessoras.


Ge

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a d

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são

Ge

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Te

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a d

a D

eci

são


Exercício 4 - Enunciado

Considere o projecto com as actividades cujas durações (em dias) e precedências directas se indicam a seguir:

ActividadesPrecedência

directa

Duração

(dias)A - 30B - 67C - 30D A 30E B, G 20F B, C, G 40G A 40

∆c∆t∆c'∆t'

Ge

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a d

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são

Ge

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Te

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a d

a D

eci

são

a) Trace a rede de actividades representativa do projecto e determine o caminho crítico e a sua duração total.

b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida (utilizando recursos adicionais e/ou processos alternativos)

de modo a que a duração total do projecto seja reduzida de 5 dias com o mínimo custo. Sabe-se que os custos

adicionais de tais alternativas (∆c e ∆c’) e respectivas reduções de duração (∆t e ∆t’) são os indicados no quadro

abaixo, em que os valores correspondentes ao 2º limiar apenas se aplicam para reduções de duração para além dos

indicados para o 1º limiar.

1º limiar 2º limiar

Actividades ∆c ∆t ∆c’ ∆t’

A 2 2 3 2B 3 2 8 3C 4 2 8 2D 5 6 7 2E 3 2 5 3F 8 3 20 4G 15 3 20 2


Ge

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a d

a D

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são

Ge

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a D

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Exercício 4 - Resolução

∆c∆t∆c'∆t'

Nota: A resolução deste exercício pode ser encontrada nas páginas 131 a 132 da primeira referência

bibliográfica principal “Investigação Operacional”, L. Valadares Tavares et al

i jRótulo – di,j

Actividade (i,j)

a) Trace a rede de actividades representativa do projecto e determine o caminho crítico e a sua duração total

LegendaEvento i Evento j

2

Ge

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Te

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a d

a D

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são

Ge

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Te

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a d

a D

eci

são

Rede de actividades representativa do empreendimento/projecto (Unidade de tempo: dia)

1 3

4

B - 675

G -

40

E - 20F

ict.

-0

10

Ge

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a d

a D

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são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'



Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj

(FTi,j)

30 30

40

Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1 3

4

5

Rede de actividades com Tempos Mais Cedo (TMC), Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos e folgas

totais das actividades calculados (unidade de tempo: dia)

0 0

70 70

110 110

70 70

B - 67G

-4

0E - 20

Fic

t. -

0(3)

(0)

(0)

(20)

DT =TMC5= 110 dias

11

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'



Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj

(FTi,j)

30 30

40

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1 3

4

5

Rede de actividades com identificação do caminho crítico (único): 1, A, 2, G, 3, Fict., 4, F, 5

0 0

70 70

110 110

70 70

B - 67G

-4

0E - 20

Fic

t. -

0(3)

(0)

(0)

(20)

DT =TMC5= 110 dias

12

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'

b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida ...


Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj

(FTi,j)

30 30

40

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1 3

4

5

0 0

70 70

110 110

70 70

B - 67G

-4

0E - 20

Fic

t. -

0(3)

(0)

(0)

(20)

Caminho crítico (único): 1, A, 2, G, 3, Fict., 4, F, 5

Rede de actividades com durações normais das actividades13

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'

b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida ...(Contunuação)

,

1. Duração total do projecto é a soma das durações da actividade críticas do único caminho crítico

30 40 40

2. Custo total do projecto, , é a soma dos custos de realização, , de todas

T A G F

T i j

D d d d

C C

= + + = + +

( )

,

as actividades ( , )

da rede de actividades, funções das durações das actividades

,

i j

i j

d

C C d= ∑

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

( )( )

, ,

,

,

,

,

3. Custo total do projecto, , para as durações normais das actividades, ,

T

T i j i j

i j

N N

T i j

N

i

C C d

C d

C C

∀ ∈

=

=

∑A

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

,

,

'

,

' ' '

, , , , , , ,

, , ,

,

, é o conjunto das actividades (arcos) do projecto (rede)

4. Custo adicional ou marginal,

0

T

N

j i j

i j

T i j

N N

T i j i j i j i j i j i j i j

i j i j i j

N

T i j

d

C d

C d C d C C d C d

C d

∀ ∈

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

∆

∆ = − = −

∆ =

∑

∑ ∑ ∑

A

A A A

A

14

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'

b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida ...(Contunuação)

A relação custo-duração, Ci,j(di,j), de uma actividade e a sua aproximação por segmentos de

reta (troços lineares)

C1

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

C2

CN

d1 d2 dN

∆c’

∆t’

∆c

∆t


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'

2 Rótulo – d

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj

29 29

b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida .. . (Continuação)

1 1 1 1

A G F A

2 15 8min , , min , , 1

2 3 3

30 1 , 0 1 1A T

c c c c

t t t t

d C

∆ ∆ ∆ ∆ = = =

∆ ∆ ∆ ∆

= − = ∆ = + =29

1ª Redução de 1 dia em DT :

através da redução de um dia

na duração de uma actividade

crítica

Caminho crítico (C.C. ) único

C.C. : A, G, F

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

2

3

4

5

i jRótulo – di,j

(FTi,j)

0 0

69 69

109 109

69 69

B - 67

G -

40

E - 20

Fic

t. -

0

(2)

(0)

(0)

(20)

Caminho crítico: 1, A, 2, G, 3, Fict., 4, F, 516


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'

2 Rótulo – d

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj

28 28

b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida ... (Continuação)

1 1 1 1

A G F A

2 15 8min , , min , , 1

2 3 3

29 1 , 1 1 2A T

c c c c

t t t t

d C

∆ ∆ ∆ ∆ = = =

∆ ∆ ∆ ∆

= − = ∆ = + =28




crítica


C.C.: A, G, F

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

2

3

4

5

i jRótulo – di,j

(FTi,j)

0 0

68 68

108 108

68 68

B - 67

G -

40

E - 20

Fic

t. -

0

(1)

(0)

(0)

(20)



Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'

2 Rótulo – d

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj

27 27


2 1 1 2

A G F A

3 15 8min , , min , , 1.5

2 3 3

28 1 , 2 1.5 3.5A T

c c c c

t t t t

d C

∆ ∆ ∆ ∆ = = =

∆ ∆ ∆ ∆

= − = ∆ = + =27




crítica


C.C.: A, G, F

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

2

3

4

5

i jRótulo – di,j

(FTi,j)

0 0

67 67

107 107

67 67

B - 67

G -

40

E - 20

Fic

t. -

0

(0)

(0)

(0)

(20)

Caminho crítico 1: 1, A, 2, G, 3, Fict., 4, F, 5

Caminho crítico 2: 1, B, 3, Fict., 4, F, 518


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'


2 1 1

A G B

. . 1

Seleção da(s) actividade(s) crítica(s), cuja(s) duração(ões) será(ão)

reduzida(s) de uma unidade de tempo

min min ,

Actividade dActividades do C C

c c c

t t t

∆ ∆ ∆ +

∆ ∆ ∆ ��

1

. . 2 . . 1 2

,F

o C C Actividade comumaos C C e

c

t

∆

∆

��




crítica

2 caminhos críticos C.C. :

C.C. 1: A, G, F

C.C. 2: B, F

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

. . 1Actividades do C C . . 1 2

1

F

3 15 3 8 min min , ,

2 3 2 3

3 3 8 6 8 8 min , min ,

2 2 3 2 3 3

840 1 , 3.5 6.16

3

aos C C e

F T

c

t

d C

= +

∆ = + = = =

∆

= − = ∆ = + ≅39

C.C. 2: B, F


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'

2

i jRótulo – di,j

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj

(FTi,j)27 27


4ª Redução de 1 dia em DT (Continuação)

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

2

3

4

5

0 0

67 67

106 106

67 67

B - 67

G -

40

E - 20

Fic

t. -

0

(0)

(0)

(0)

(19)

Caminho crítico 1: 1, A, 2, G, 3, Fict., 4, F, 5

Caminho crítico 2: 1, B, 3, Fict., 4, F, 520


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'


2 1 1

A G B

. . 1

Seleção da(s) actividade(s) crítica(s), cuja(s) duração(ões) será(ão)

reduzida(s) de uma unidade de tempo

min min ,

Actividade dActividades do C C

c c c

t t t

∆ ∆ ∆ +

∆ ∆ ∆ ��

1

. . 2 . . 1 2

,F

o C C Actividade comumaos C C e

c

t

∆

∆

��




crítica

2 caminhos críticos C.C. :

C.C. 1: A, G, F

C.C. 2: B, F

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

. . 1Actividades do C C . . 1 2

1

F

3 15 3 8 min min , ,

2 3 2 3

3 3 8 6 8 8 min , min ,

2 2 3 2 3 3

839 1 , 6.16 8.82

3

aos C C e

F T

c

t

d C

= +

∆ = + = = =

∆

= − = ∆ = + ≅38

C.C. 2: B, F


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'

2

i jRótulo – di,j

Legenda

TMCi TMTi TMCj TMTj

(FTi,j)27 27


5ª Redução de 1 dia em DT (Continuação)

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

2

3

4

5

0 0

67 67

105 105

67 67

B - 67

G -

40

E - 20

Fic

t. -

0

(0)

(0)

(0)

(18)


Caminho crítico: 1, B, 3, Fict., 4, F, 522


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



∆c∆t∆c'∆t'


Resumo das reduções

Caminho(s) crítico(s) Seleção da actividade com redução unitária da duração

Actividades

críticas

Duração total

DT (dias) Actividades

Durações

(dias)

Custo marginal (∆c/∆t ou ∆c’/∆t’ )

Actividade

selecionada

Custo

adicional ∆CT

Durações

NormaisA, G, F 110

A

G

F

30

40

40

2/2

15/3

8/3

A

0

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1ª redução A, G, F 109

A

G

F

29

40

40

2/2

15/3

8/3

A

0+1=1

2ª redução A, G, F 108

A

G

F

28

40

40

3/2

15/3

8/3

A

1+1=2

3ª redução

A, G, F

107

A e B

G e B

F

27, 67

40, 67

40

3/2+3/2

15/3+3/2

8/3 F

2+1.5=3.5B, F

4ª redução

A, G, F

106

A e B

G e B

F

27, 67

40, 67

39

3/2+3/2

15/3+3/2

8/3 F

3.5+8/3≈6.16B, F

5ª redução

A, G, F

105

A e B

G e B

F

27, 67

40, 67

38

- - 6.16+8/3≈8.82B, F


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