Aula pb 12_resumo

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da Decisão da Decisão Teoria da Decisão Uma empresa de construção civil tem a possibilidade de concorrer a duas grandes obras A e B. Dadas as limitações do departamento de obras, a empresa poderá apenas executar uma das obras. O director de projecto estima que para concorrer à obra A gastará 15 000 em estudos e projecto enquanto que para concorrer a B o custo será de 25 000 . Os lucros líquidos (já com o custo do projecto) estimados para as obras A e B são de 150 000 e 250 000 , respectivamente. Uma vez ganha uma obra a empresa pode ainda desistir mediante o pagamento de uma multa de 30 000 . A empresa desconhece as probabilidades associadas a ganhar as obras tendo resolvido, neste caso, atribuir 25% à probabilidade de ganhar . Exercício 7 – Enunciado Utilidade e Árvores de Decisão Gestão e Teoria d Gestão e Teoria d probabilidade de ganhar . a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão. b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada um dos concursos. A informação custou 2 500 e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram 70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso para a empresa comprar a informação adicional. 1 c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da maximização do valor esperado da utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o resultado obtido na alínea a). (Continua)

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Teoria da Decisão

Uma empresa de construção civil tem a possibilidade de concorrer a duas grandes obras A e B. Dadas as

limitações do departamento de obras, a empresa poderá apenas executar uma das obras.

O director de projecto estima que para concorrer à obra A gastará 15 000 € em estudos e projecto

enquanto que para concorrer a B o custo será de 25 000 €. Os lucros líquidos (já com o custo do

projecto) estimados para as obras A e B são de 150 000 e 250 000 €, respectivamente. Uma vez ganha

uma obra a empresa pode ainda desistir mediante o pagamento de uma multa de 30 000 €. A empresa

desconhece as probabilidades associadas a ganhar as obras tendo resolvido, neste caso, atribuir 25% à

probabilidade de ganhar.

Exercício 7 – Enunciado Utilidade e Árvores de Decisão

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probabilidade de ganhar.

a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.

b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada

um dos concursos. A informação custou 2 500 € e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram

70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso para a empresa comprar a informação

adicional.

1

c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da

maximização do valor esperado da utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a

representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o resultado obtido na alínea a).

(Continua)

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Teoria da Decisão

Exercício 7 – Enunciado (Continuação) Utilidade e Árvores de Decisão

Curva de Utilidade

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U(LL) = 1 + 0.16×10-3 LL se LL < -25000 euros

U(LL) = -2 + 0.04×10-3 LL se LL ≥ -25000 euros

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Teoria da Decisão

Utilidade e Árvores de DecisãoExercício 7 – Resolução

Resumo dos passos

Decisões sequenciais: Árvores de Decisão

Representação de problemas de decisão sequenciais, descrevendo a sequência de

momentos de decisão ( ) e de acaso ( ), que permitem identificar cadeias de decisões

optimizadas (ao longo do tempo)

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3

1. Representam-se em árvore as possíveis sequências de escolhas do decisor e do acaso

(trajectórias de alternativas)

2. Calculam-se os resultados relativos às “pontas” da árvore (nós terminais)

3. “Probabilizam-se” os ramos dos nós de acaso a fim de poder associar-se a cada nó um

valor de síntese (em geral, o valor esperado)

4. Escolhem-se nos nós de decisão os ramos com melhor resultado, iniciando essas

escolhas nos nós de decisão mais profundos da árvores e recuando progressivamente até

atingir o nó de decisão inicial (correspondente ao instante actual)

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Teoria da Decisão

a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.

Utilidade e Árvores de Decisão

Dados do problema

Exercício 7 – Resolução

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Teoria da Decisão

a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.

Exercício 7 – Resolução Utilidade e Árvores de Decisão

Árvore de decisão: Passo 1

Legenda

- Nó de decisão

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- Nó de decisão

- Nó de acaso

- Nó terminal

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Teoria da Decisão

a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.

Exercício 7 – Resolução Utilidade e Árvores de Decisão

95000

205000

125000

Árvore de decisão: Passos 2 e 3

0.0625

0.1875

(150000-25000-30000)

(250000-15000-30000)

(150000-25000)

Resultados

Probabilidades

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6

250000

-15000

150000

-40000

235000

0

-25000

0.5625

0.1875

0.25

0.75

0.25

0.75

(250000-15000)

(-15000-25000)

(150000)

(-15000)

(250000)

(-25000)

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Teoria da Decisão

a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.

Exercício 7 – Resolução Utilidade e Árvores de Decisão

95000

205000

125000

Árvore de decisão: Passo 4

0.0625

0.1875

205000

57812.5

X

max(95000,205000)

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.0625*205000+

+0.1875*125000+

Resultados

Probabilidades

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7

250000

-15000

150000

-40000

235000

0

-25000

0.5625

0.1875

0.25

0.75

0.25

0.75

26250

43750

57812.5

X

X

X

Resposta: Concorrer a A

e B e, no caso de ganhar

A e B, escolher B.

max(57812.5, 26250, 43750, 0)

+0.1875*125000+

+0.1875*235000+

+0.5625*(-40000))

V.E.=( 0.25*150000+0.75*(-15000))

V.E.=( 0.25*250000+0.75*(-25000))

XDecisão alternativa

não optimal

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Teoria da Decisão

Utilidade e Árvores de Decisão

Dados do problema

b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada um dos concursos. A informação

custou 2 500 € e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram 70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso

para a empresa comprar a informação adicional.

Exercício 7 – Resolução

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Custo da informação adicional: 2500€

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Teoria da Decisão

b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada um dos concursos. A informação

custou 2 500 € e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram 70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso

para a empresa comprar a informação adicional.

Exercício 7 – Resolução Utilidade e Árvores de Decisão

95000

205000

125000

Árvore de decisão: Passos 3 e 40.35

0.35

205000

144750

X

Resultados

Probabilidades

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9

250000

-15000

150000

-40000

235000

0

-25000

0.15

0.15

0.70

0.30

0.50

0.50

100500

112500

144750

X

X

X

Resposta: Mantém-se a

decisão óptima de

Concorrer a A e B, pelo que

o valor da informação

adicional é 0, não

justificando, assim, o custo

de 2500€.

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Teoria da Decisão

c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da maximização do valor esperado da

utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o

resultado obtido na alínea a).

Utilidade e Árvores de Decisão

Dados do problema

Exercício 7 – Resolução

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Função de UtilidadeU(LL) = 1 + 0.16×10-3 LL se LL < -25000 euros

U(LL) = -2 + 0.04×10-3 LL se LL ≥ -25000 euros

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1,8

6.2

3

0.0625

0.1875

6.2

-0.7

X

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Teoria da Decisão

c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da maximização do valor esperado da

utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o

resultado obtido na alínea a).

Utilidade e Árvores de Decisão

Árvore de decisão: Passos 2,3 e 4

Exercício 7 – Resolução

(U(95000))

(U(205000))

(U(125000))

max(1.8, 6.2)

Valor Esperado (V.E.)=

Resultados

Probabilidades

11

8

-2.6

4

-5.4

7.4

-2

-3

0.5625

0.1875

0.25

0.75

0.25

0.75

-0.95

-0.25

-0.25

X

X

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Resposta: Concorrer só a B.

(Prejuízos superiores a

25000€ mais penalizados

pela função de utilidade).

(U(235000))

(U(-40000))

(U(150000))

(U(-15000))

(U(250000))

(U(-25000))

(U(0))

max(-0.7, -0.95,-0.25,-2)

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.0625*6.2+0.1875*3+

+0.1875*7.4+0.5625*(-5.4))

V.E.=( 0.25*4+0.75*(-2.6))

V.E.=( 0.25*8+0.75*(-3))

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Teoria da Decisão

Marcelino França acaba de receber em herança de um avô excêntrico: uma casa (no valor de 100 000 €)

e 100 000 € em dinheiro com a condição de, ao fim de 2 anos, doar essa quantia à Fundação Avelar

Esteves. Se, ao fim dos 2 anos, o Marcelino possuir menos de 100 000 € em dinheiro será obrigado a

vender a casa para cumprir o testamento.

O Marcelino está a pensar investir os 100 000 € que recebeu em dinheiro, estando, no entanto, indeciso

entre os dois investimentos seguintes.

I - Investir os 100 000 € em acções que só podem ser vendidas ao fim de dois anos. O valor final das

acções é função da sua taxa de valorização anual, pensando-se que o valor dessa taxa no 2º ano é

Exercício 10 – Enunciado Decisões sequenciaisUtilidade e Árvores de Decisão

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acções é função da sua taxa de valorização anual, pensando-se que o valor dessa taxa no 2º ano é

independente do valor da taxa no 1º ano e que esta pode tomar em qualquer dos anos, os valores:

12

Taxa de valorização anual

(%)Probabilidade

30 0.3

20 0.6

-10 0.1

II - Investir os 100 000 € num depósito bancário com prazo de dois anos, com um juro fixo de 10%.

Ao fim de um ano, os juros podem ser investidos num depósito bancário de um ano com um juro

também de 10% ou investidos, por um ano, em acções cujas taxas de valorização se pensa serem as

indicadas acima. (Continua)

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Teoria da Decisão

a) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu

capital ao fim de dois anos.

b) Admita agora que o Marcelino França atribuiu um grande valor sentimental à casa que o avô lhe

deixou e que portanto considera catastróficos os resultados de investimentos que obriguem à venda da

casa. Por outro lado, o Marcelino associa a resultados de investimentos que não acarretem a venda da

casa um valor proporcional ao seu excesso em relação a 100 000 €.

b1) Trace o andamento aproximado de uma curva de utilidade que corresponda à atitude do Marcelino

Exercício 10 – Enunciado (Continuação) Utilidade e Árvores de Decisão

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b1) Trace o andamento aproximado de uma curva de utilidade que corresponda à atitude do Marcelino

França.

b2) Nestas circunstâncias, qual a estratégia de investimento que recomenda ao Marcelino França?

Qual o critério de decisão que utilizou para fazer a sua recomendação ?

b3) Qual a vantagem do critério de decisão utilizado em b2) em relação ao utilizado na alínea a) ?

13

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Teoria da Decisão

Exercício 10 – Resolução Utilidade e Árvores de Decisão

Dados do problema

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Exercício 10 - Resolução

Teoria da Decisão

Utilidade e Árvores de Decisãoa) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu capital ao fim de dois anos.

Árvore de decisão: Passo 1

Legenda

- Nó de decisão

Ano 1 Ano 2

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15

- Nó de decisão

- Nó de acaso

- Nó terminal

TAB=10%

TAB=10%

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Exercício 10 - Resolução

Teoria da Decisão

Utilidade e Árvores de Decisãoa) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu capital ao fim de dois anos.

144000

156000

117000

156000

1690000.3

0.6

0.1

0.3

0.6

156000

144000

0.3

0.6144000

Árvore de decisão: Passos 2 e 3

Resultados

Probabilidades

(100000×(1+0.3) ×(1+0.3))

(100000×(1+0.3) ×(1+0.2))

(100000×(1+0.3) ×(1-01))

(100000×(1+0.2) ×(1+0.3))

(100000×(1+0.2) ×(1+0.2))

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108000

81000

108000

117000

119000

122000

123000

121000

0.1

0.3

0.6

0.1

0.3

0.1

0.6

144000

0.1

108000

122000

144000

144000

122000

(100000×(1+0.2) ×(1-0.1))

(100000×(1-0.1) ×(1+0.3))

(100000×(1-0.1) ×(1+0.2))

(100000×(1-0.1) ×(1-0.1))

(100000×(1+0.1) +10000×(1+0.3))

(100000×(1+0.1) ×(1+0.1))Depósito bancário

(100000×(1+0.1) +10000×(1+0.2))

(100000×(1+0.1) +10000×(1-0.1))

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Exercício 10 - Resolução

Teoria da Decisão

Utilidade e Árvores de Decisãoa) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu capital ao fim de dois anos.

144000

156000

117000

156000

1690000.3

0.6

0.1

0.3

0.6

156000

144000

0.3

0.6144000

Árvore de decisão: Passo 4

Resultados

Probabilidades

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*169000+0.6*156000+0.1*117000)

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*156000+0.6*144000+0.1*108000)

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108000

81000

108000

117000

119000

122000

123000

121000

0.1

0.3

0.6

0.1

0.3

0.1

0.6

144000

0.1

108000

122000

144000

144000

122000

X

Depósito bancário

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*156000+0.6*144000+0.1*108000)

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*117000+0.6*108000+0.1*81000)

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*123000+0.6*122000+0.1*119000)

XDecisão alternativa

não optimal

max(122000, 121000)

max(144000, 122000)

( 0.3*156000+0.6*144000+0.1*108000)

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eci

são

Exercício 10 - Resolução

Teoria da Decisão

Utilidade e Árvores de Decisãoa) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu capital ao fim de dois anos.

Resposta: A Estratégia recomendada é investir em accções no 1º e 2º anos com um

rendimento esperado de 144000 €.

Ge

stão

e T

eo

ria

da

De

cisã

oG

est

ão e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Page 19: Aula pb 12_resumo

Ge

stão

e T

eo

ria

da

De

cisã

oG

est

ão e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 10 - Resolução

Teoria da Decisão

Utilidade e Árvores de Decisãob1) Trace o andamento aproximado de uma curva de utilidade que corresponda à atitude do Marcelino França.

Ge

stão

e T

eo

ria

da

De

cisã

oG

est

ão e

Te

ori

a d

a D

eci

são

19

-∞

Page 20: Aula pb 12_resumo

Ge

stão

e T

eo

ria

da

De

cisã

oG

est

ão e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 10 - Resolução

Teoria da Decisão

Utilidade e Árvores de Decisãob2) Nestas circunstâncias, qual a estratégia de investimento que recomenda ao Marcelino França? Qual o critério de decisão que utilizou

para fazer a sua recomendação ?

44000

56000

17000

56000

690000.3

0.6

0.1

0.3

0.6

56000

44000

0.3

0.6-∞∞∞∞

(U(169000)=169 000-100 000)

(U(156000)=156 000-100 000)

(U(117000)=117 000-100 000)

(U(156000)=156 000-100 000)

(U(144000)=144 000-100 000)

Árvore de decisão: Passo 2 e 4Resultados

Probabilidades

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*69000+0.6*56000+0.1*17000)

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*56000+0.6*44000+0.1*(-∞)

Ge

stão

e T

eo

ria

da

De

cisã

oG

est

ão e

Te

ori

a d

a D

eci

são

20

8000

-∞

8000

17000

19000

22000

23000

21000

0.1

0.3

0.6

0.1

0.3

0.1

0.6

44000

0.1

-∞∞∞∞

22000

22000

22000

X

X

(U(108 000)=108 000-100 000)

(U(117 000)=117 000-100 000)

(U(108 000)=108 000-100 000)

(U(81 000)=-∞)

(U(123 000)=123 000-100 000)

(U(122 000)=122 000-100 000)

(U(119 000)=119 000-100 000)

(U(121 000)=121 000-100 000)

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*56000+0.6*44000+0.1*8000)

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*17000+0.6*8000+0.1*(-∞))

Valor Esperado (V.E.)=

( 0.3*23000+0.6*22000+0.1*19000)

Max(22000, 21000)

max(-∞, 22000)

( 0.3*56000+0.6*44000+0.1*(-∞)

Page 21: Aula pb 12_resumo

Ge

stão

e T

eo

ria

da

De

cisã

oG

est

ão e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 10 - Resolução

Teoria da Decisão

Utilidade e Árvores de Decisão

b3) Qual a vantagem do critério de decisão utilizado em b2) em relação ao utilizado na alínea a) ?

Resposta: A função utilidade definida em b1), e utilizada em b2), molda-se, na medida do

Resposta: Depósito bancário no 1º e 2º anos com investimento dos juros bancários do 1º

ano em accções no 2º ano, com um rendimento líquido esperado de 22000 €.

b2) Nestas circunstâncias, qual a estratégia de investimento que recomenda ao Marcelino França? Qual o critério de decisão que utilizou

para fazer a sua recomendação ?

Ge

stão

e T

eo

ria

da

De

cisã

oG

est

ão e

Te

ori

a d

a D

eci

são

21

Resposta: A função utilidade definida em b1), e utilizada em b2), molda-se, na medida do

possível, ao perfil do decisor (Marcelino), para o qual a perda da casa é completamente

inaceitável (ou totalmente avesso ao risco de perder a casa).