1

fluxo. A configuração dessas linhas — forma, continui-dade, linearidade, separação e paralelismo — permiteaos engenheiros uma avaliação imediata da intensidadeda resistência do ar para cada velocidade.

A aerodinâmica e o túnel de vento talvez sejam aface mais moderna do estudo da Hidrodinâmica (veja oboxe Gramática da Física: Hidrodinâmica ou Fluido-dinâmica), mas a sua origem vem desde a pré-história(veja o boxe História da Hidrodinâmica).

GRAMÁTICA DA FÍSICA: HIDRODINÂMICA OU

FLUIDODINÂMICA

Assim como para hidrostática, palavra de ori-gem grega que significa água em equilíbrio, mas oseu estudo se aplica a outros fluidos em equilíbrio,hidrodinâmica significa água em movimento e oseu estudo também se destina a todos os fluidosem movimento. No entanto, ao contrário dahidrostática, em que essa é a denominação predo-minante, na hidrodinâmica é cada vez mais nítida apreferência pelo termo fluidodinâmica.

É bem provável que a razão para essa prefe-rência venha da aerodinâmica, um dos seus obje-tos de estudo cuja importância tecnológica é cadavez maior — embora a aerodinâmica possa seraplicada também ao movimento de veículos naágua, o estudo dos veículos que se movem no ar émuito mais relevante.

A resistência do ar ou da água é o principal limita-dor da velocidade de qualquer veículo que atravesseesses fluidos.

Em princípio, se não houvesse a resistência do ar,qualquer carro, mesmo com motor de baixa potência,poderia atingir qualquer velocidade — bastaria manter asua aceleração constante durante tempo suficiente. Masisso não ocorre porque a intensidade da resistência do araumenta com a velocidade do carro. Assim, seja qual fora potência do motor de um carro, ele sempre vai atingiruma velocidade-limite quando a força exercida pelomotor se igualar à intensidade da resistência do ar — éessencial, portanto, reduzir ao máximo essa resistência. Avantagem dessa redução não está apenas em aumentar avelocidade máxima do carro, mas também em reduzir aforça necessária para manter as velocidades habituais e,assim, diminuir o consumo de combustível.

Essa é a finalidade do túnel de vento, extraordináriodispositivo tecnológico que permite ver direta ou indire-tamente as linhas de fluxo resultantes do movimentorelativo de um carro através do ar. A intensidade daresistência do ar é calculada multiplicando a velocidadedo ar ao quadrado por uma constante, que depende daforma do carro: quanto menor a constante, menor aresistência e melhor a aerodinâmica do carro. Como sãomuitos os fatores que intervêm no valor dessa constante,é quase impossível calculá-la, mesmo com os maismodernos computadores. Além disso, qualquer mudan-ça no design do carro, até da posição ou da forma de umespelho retrovisor externo, pode alterar essa constante, oque obrigaria os engenheiros a refazer o cálculo exausti-vamente; daí a vantagem da visualização das linhas de

O túnel de vento cria linhas do fluxo de ar, que contornam o carro, e as torna visíveis por meio de sofisticadosrecursos ópticos.

PAG

AN

I

Prof. Luciano Soares Pedroso - 2014

Engenharia Civil - Prof. Dr. Luciano Soares Pedroso

2

HISTÓRIA DA HIDRODINÂMICA

Poços de grande profundidade, canais de irri-gação, aquedutos e sistemas de distribuição deágua existem há milênios e mostram quanto é an-tiga a preocupação do ser humano em dominar atecnologia da obtenção e distribuição de água.

A formulação de uma ciência da mecânica daágua iniciou-se com os filósofos gregos —Arquimedes (287-212 a.C.) formulou seu primeiroconceito básico: o empuxo —, mas só muitos sécu-los depois ela começou a ser de fato construída. Nofim do século XV, o gênio italiano Leonardo daVinci (1452-1519) realizou um extraordinário estu-do sobre hidráulica e a ele se atribui a primeira for-mulação do Princípio da Continuidade. Mas seutrabalho, difícil de ler (Leonardo escrevia comcaracteres invertidos, para serem lidos vistos peloespelho), não chegou a ser conhecido na época e épouco conhecido até hoje.

Quase um século depois, em 1586, o enge-nheiro hidráulico alemão Simon Stevin (1548-1620)mostrou que o peso exercido por um líquido nofundo de um vaso depende apenas da sua profun-didade. No século XVII, Evangelista Torricelli (1608--1647), discípulo de Galileu Galilei (1564-1642) ecélebre pela medida da pressão atmosférica comum tubo de mercúrio, obteve a expressão da velo-cidade de escoamento de um líquido de um vasoem função da profundidade do furo de saída, tendocomo fundamentação teórica o estudo dos projé-teis elaborado por seu mestre. Ainda naquele sécu-lo o sábio francês Blaise Pascal (1623-1662) apro-fundou os estudos de Torricelli e completou a teo-ria da Hidrostática.

No século XVIII dois amigos e extraordináriosmatemáticos, o holandês Daniel Bernoulli (1700--1782) e o suíço Leonhard Euler (1707-1783), cons-truíram praticamente toda a fundamentação teóri-ca da Hidrodinâmica, apresentada no tratadoHydrodynamica, publicado em 1738 por Bernoulli.A autoria da obra fez com que fosse atribuída aBernoulli a equação mais importante da Hidrodi-nâmica, deduzida, na verdade, por Euler.

Desde então a Hidrodinâmica foi se aprimo-rando, graças principalmente ao trabalho de cien-tistas franceses, como os físicos barão AugustinLouis de Cauchy (1789-1857) e Simeon DenisPoisson (1781-1840) e o médico Jean Louis Poi-seuille (1799-1869), interessado na dinâmica da cir-

culação sanguínea. Merecem destaque ainda o ita-liano Giovanni Battista Venturi (1746-1822), o ale-mão Gotthilf Ludwig Hagen (1797-1884) e o inglêsGeorge Gabriel Stokes (1819-1903).

As bases da moderna mecânica dos fluidosforam estabelecidas pelo engenheiro mecânicoalemão Ludwig Prandtl (1875-1953), que, comalguns dos seus muitos alunos, formulou os princí-pios básicos dos aerofólios e da propulsão a jato.

A foto mostra as linhas de fluxo do ar atravessando o perfil da asa de um avião— a fumaça injetada em um compartimento fechado, semelhante a um túnel devento, torna-as visíveis.

Iniciamos este assunto com a apresentação das basespara a compreensão da primeira e mais importante pro-priedade dos fluidos: as suas formas de escoamento.

1. Escoamento de um fluidoA complexidade do estudo dos fluidos em movi-

mento e os recursos matemáticos de que dispomos nonível do ensino médio exigem algumas limitações ini-ciais: não levar em conta variações de temperatura econsiderar os fluidos incompressíveis, de densidadeconstante, são as duas primeiras. Mas a limitação essen-cial está relacionada às duas formas principais de escoa-mento de um fluido: laminar ou lamelar e turbulenta.Veja a imagem a seguir.

Observe que a maior parte das partículas do ardescreve trajetórias praticamente invariáveis — as linhasde fluxo mantêm-se contínuas e separadas; esse é oescoamento laminar. Na parte traseira da asa essa regu-laridade deixa de existir — as partículas do fluido des-crevem trajetórias irregulares e imprevisíveis; esse é oescoamento turbulento.

Com frequência, um fluido passa de um tipo deescoamento para outro e muitas vezes assume uma con-figuração que não se caracteriza nem como laminarnem como turbulenta. Veja as fotos a seguir.

ww

w.u

sfam

ily.n

et

fluxo laminar

fluxo turbulento

3

Rua de vórtices (do inglês, vortex street), nome dado a essa configuração criadaexperimentalmente pelo movimento relativo de um fluido através do obstáculocilíndrico girante (à esquerda).

O escoamento turbulento não é passível de estudo,tal a sua irregularidade e imprevisibilidade. O escoa-mento em vórtices já dispõe de uma teoria bem estabe-lecida com aplicações à meteorologia e simulações ex-perimentais controladas, como a rua de vórtices, mos-trada na foto a seguir, cuja beleza só é superada pelacomplexidade do seu tratamento matemático.

Duas seções normais ao tubo de corrente de áreas S1 e S2.

S1S2

S1S2

v=1v=2

De início, a fumaça tem um escoamentolaminar, que se estreita e, depois, setorna turbulento. Enquanto o escoamen-to é laminar, as partículas da fumaçamantêm-se em trajetória ascendente.Quando passa a turbulento, a fumaçaespalha-se, e suas partículas passam adescrever trajetórias caóticas — muitasdescem, em vez de continuarem a subir.

Uma pequena rotação na fonte que gerao fluido (a fumaça) ou no obstáculo peloqual ele passa pode originar uma série devórtices.

Por essas razões, o estudo da Hidrodinâmica nonível médio só é possível para fluidos incompressíveisem escoamento laminar (veja o boxe Fluidos ideais).

FLUIDOS IDEAISFluidos incompressíveis têm também densi-

dade constante — acrescida a condição de viscosi-dade nula (o estudo da viscosidade está no tópico4), eles são chamados de ideais.

Os gases têm baixa viscosidade, mas alta com-pressibilidade e, por isso, densidade variável.

Nos líquidos a viscosidade é um pouco maior,mas a sua compressibilidade é baixíssima (veja afigura a seguir). Por isso a sua densidade é pratica-mente constante. Assim, ao considerar um líquidofluido ideal, estamos mais próximos da realidade, oque não acontece com os gases.

100 kg

O efeito da carga de 100 kg (1 000 N) no abaixamento do êmbolo no cilindroé quase imperceptível: ela comprime a água em apenas 0,75 mm!

2. Equação de ContinuidadeA trajetória de uma partícula de um fluido em es-

coamento laminar constitui uma linha de corrente. Essaslinhas nunca se cruzam, por isso um feixe delas formaum tubo de corrente. Seções normais às linhas do tubo decorrente são figuras planas. Veja a figura a seguir.

Vamos supor que todas as partículas do fluido atra-vessem a seção de área S1 com velocidade de módulo v1

e a seção de área S2 com velocidade de módulo v2. Veja afigura abaixo.

PET

ER

WIE

NE

RR

OIT

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serv

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et.c

o.uk

4

2 Com base na Equação de Continuidade, um cole-ga seu pensa em fazer a experiência descrita nafigura a seguir. Ele argumenta que basta apertar aboca da mangueira o suficiente para que issoocorra. Você acha que vai dar certo? Justifique.

Observação: Por enquanto você pode argumen-tar apenas se baseando no Princípio da Conser-vação da Energia. Mais adiante terá condições paradar uma resposta mais detalhada (nesse momen-to esta questão será reapresentada).

Nessas condições, podemos demonstrar que é váli-da a igualdade:

v1S1 = v2S2 (veja a primeira dedução na página 20)

Essa expressão é conhecida como Equação deContinuidade.

Se em um tubo de corrente considerarmos seçõesnormais S1, S2, S3, ..., Sn, atravessadas por velocidades demódulos v1, v2, v3, ..., vn, respectivamente, podemosescrever:

v1S1 = v2S2 = v3S3 = ... = vnSn = constante

Por definição, essa constante é a vazão (�) dessefluido, que pode ser expressa na forma:

� = vS

O produto da unidade de velocidade (m/s) pela deárea (m2) dá a unidade da vazão no SI — m3/s — e tornaclaro o seu significado físico e a forma mais frequentede defini-la:

Vazão (�) de um fluido em um tubo de cor-rente é a razão entre o volume (V) desse fluido queatravessa uma seção normal do tubo e o corres-pondente intervalo de tempo (�t):

� =

A Equação de Continuidade implica vazão cons-tante. Assim, em um tubo de corrente, onde a área daseção normal é maior, a velocidade é menor, e vice-ver-sa. Por isso apertar a extremidade de uma mangueira,diminuindo a área de saída da água, faz a velocidade doesguicho aumentar.

V�t

garrafa PETboca da mangueirinhaespremida

mangueirinha

esguicho de água

A água que sai da garrafa sobe e cai novamente dentro da garrafa — o sis-tema vai funcionar continua e eternamente...

Para você pensar1 Enquanto o escoamento da água de uma tor-

neira é laminar, observa-se que o filete de águaafina ao cair (veja a foto a seguir). Por quê?

Exercício resolvido1 Uma mangueira tem uma extremidade fixada à boca deuma torneira de 2,0 cm de diâmetro e a outra fixada a umaponta de esguicho de 0,40 cm de diâmetro. Sabe-se que essatorneira enche um balde de 10 L em 40 s com vazão constan-te. Nessas condições, determine:a) a vazão da torneira;b) a velocidade da água na boca da torneira;c) a velocidade da água na boca do esguicho da mangueira.

Soluçãoa) Podemos calcular a vazão da torneira (ΦT) pelo tempo

gasto para encher o balde. Sendo V = 10 L e Δt = 40 s:

ΦT = ⇒ ΦT = ⇒ ΦT = 0,25 L/s ⇒

ΦT = 2,5 � 10–4 m3/s

b) Sendo rT = 1,0 cm = 1,0 � 10–2 m o raio da boca da tornei-ra, a sua área é:

ST = πrT2 ⇒ ST = 3,1(1,0 � 10–2)2 ⇒ ST = 3,1 � 10–4 m2

Da definição de vazão, obtemos o módulo da velocidade v =Tna saída da água da boca da torneira:

ΦT = vTST ⇒ 2,5 � 10–4 = vT � 3,1 � 10–4 ⇒ vT = 0,81 m/s

1040

V�t

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

5

c) Sendo rE = 0,20 cm = 2,0 � 10–3 m o raio da abertura daponta do esguicho, a sua área (SE) é:

SE = πrE2 ⇒ SE = 3,1(2,0 � 10–3)2 ⇒ SE = 1,2 � 10–5 m2

Da Equação de Continuidade obtemos o módulo da velo-cidade v =E na saída da água da boca do esguicho:

v1S1 = v2S2 ⇒ vTST = vESE ⇒0,81 � 3,1 � 10–4 = vE � 1,2 � 10–5 ⇒ vE = 21 m/s

Observações:I. Utilizamos para π o valor 3,1 porque trabalhamos com

dois algarismos significativos.II. A resposta ao item c pode ser obtida diretamente por con-

siderações de proporcionalidade. Assim, da Equação deContinuidade conclui-se que a velocidade da água é inver-samente proporcional à área da seção de vazão. Como aárea de um círculo é diretamente proporcional ao quadra-do do raio, a velocidade da água será inversamente propor-cional ao quadrado do raio. Logo, se o raio da boca doesguicho é 5 vezes menor que o raio da boca da torneira, avelocidade da água que o atravessa será 25 (52) vezes maior.Então, podemos escrever:

vE = 52vT ⇒ vE = 25 � 0,81 ⇒ vE = 20 m/sA diferença entre os valores obtidos deve-se às aproxima-ções decorrentes do uso de dois algarismos significativos.

Para você resolver

1 O bico do esguicho de uma mangueira de jar-dim tem 1,0 cm de diâmetro, e com ela é possí-vel encher um regador de 12 L em 1,0 min.Supondo que o fluxo seja ideal e a vazão cons-tante, determine:a) a vazão da água;b) a velocidade da água na boca do esguicho da

mangueira;c) a velocidade da água na saída da torneira, on-

de se engata a mangueira, sabendo que o diâ-metro dessa torneira é de 2,5 cm.

e Δx2 com velocidade v =2 ao nível h2, no mesmo interva-lo de tempo Δt. Podemos demonstrar que é válida aequação:

p1 – p2 = � d(v22 – v1

2) + dg(h2 – h1)

(veja a segunda dedução na página 20)

Pela análise dessa expressão podemos explicitar oseu significado físico:• Lembrando a expressão da energia cinética —

Ec = � mv2 —, podemos dizer que o termo

� d(v22 – v1

2) é uma espécie de variação da energia

cinética do fluido em que a sua densidade (d) substi-tui a massa (m);

• Se o fluido estiver em repouso, v1 = v2 = 0, essaexpressão assume a forma:

p1 – p2 = dg(h2 – h1) ⇒ Δp = dgΔh

que é a Lei de Stevin, da Hidrostática. Se, nessaexpressão, substituirmos a densidade (d) do fluidopela massa (m), obtemos a expressão da variação daenergia potencial gravitacional entre esses dois níveis.Assim, podemos dizer que a diferença de pressõesentre dois níveis de um fluido em movimento é res-ponsável pela variação da sua energia cinética, repre-sentada pelo termo � d(v2

2 – v12), e da sua energia

potencial gravitacional, representada pelo termodg(h2 – h1).Os termos da equação acima podem ser rearranjadosassim:

p1 + � dv12 + dgh1 = p2 + � dv2

2 + dgh2 (I)

ou, como os níveis 1 e 2 podem ser quaisquer, na forma:

p + � dv2 + dgh = constante (II)

As equações I e II são as duas formas em que secostuma apresentar a Equação de Bernoulli (quandonos referimos a essa equação, estamos nos referindo aqualquer uma delas).

Para você pensar

3 Suponha que um fluido atravesse os tubos dafigura abaixo em condições ideais:

12

12

12

12

12

12

12

S1

p1

p2

v =1

v=2

h1

�x1

S2 �x2

h2

3. Equação de BernoulliSuponha que, em um lugar onde o módulo da ace-

leração da gravidade é g, um fluido ideal de densidaded se desloca por uma tubulação com vazão constante Φ,como mostra a figura a seguir.

h1h1

I II

h1 = h2 h2

h2

Em decorrência da diferença entre as pressões p1 ep2, o fluido desloca-se Δx1 com velocidade v =1 ao nível h1

6

Em I, o fluido sofre um estreitamento, mas não éelevado. Em II, ele é elevado, mas não sofre es-treitamento.a) Como se expressa a Equação de Bernoulli em

cada caso?b) Interprete fisicamente cada termo dessa equa-

ção em cada situação.

4 Muitos físicos fazem questão de lembrar que aEquação de Bernoulli não traz nada de novo àfísica, que se trata apenas de uma aplicação doPrincípio da Conservação da Energia. Como vocêjustifica essa afirmação?

Exercício resolvido2 Suponha que a tubulação representada na figura a seguir éatravessada por água com vazão constante. No nível 2, à altu-ra h2 = 1,8 m, a área da seção normal é S2 = 1,2 � 10–3 m2 e omódulo da velocidade da água é v2 = 8,0 m/s. Em 1 (h1 = 0), aárea da seção normal é S1 = 6,0 � 10–3 m2.

to da água através do estrangulamento do tubo — se nãohouvesse o estrangulamento, as velocidades v =1 e v =2 seriamiguais, e essa parcela seria nula; b) a parcela 1,8 � 104 Papossibilita a elevação do fluido — se não houvesse essedesnível, essa parcela seria nula.

II. Podemos supor que a saída S2 está aberta à pressão atmos-férica (p0). Nesse caso, p2 = p0. Sendo p0 = 1,0 � 105 Pa(pressão atmosférica normal), a pressão em 1 é:p1 = p0 + Δp ⇒ p1 = 1,0 � 105 + 4,9 � 104 ⇒ p1 = 1,5 � 105 Pa

Não considerando o fato de o fluido não ser ideal e que oescoamento nem sempre é laminar, a figura a seguir mos-tra como esse caso pode ocorrer em uma situação real (otrecho dentro do retângulo tracejado corresponde ao casoproposto no exercício).

S1

p1

p2

v =1

v=2

1

S2 2

h2

h1 = 0

Supondo o escoamento ideal, determine:a) a vazão da água nesse tubo;b) o módulo (v1) da velocidade da água em 1;c) a diferença de pressões (Δp = p1 – p2) necessária para man-

ter esse escoamento constante.Dados: densidade da água: d = 1,0 � 103 kg/m3; g = 10 m/s2.

Soluçãoa) Sendo v2 = 8,0 m/s, da definição de vazão:

Φ = vS ⇒ Φ = v2S2 ⇒ Φ = 8,0 � 1,2 � 10–3 ⇒Φ = 9,6 � 10–3 m3/s

b) Se o escoamento é ideal, a vazão é constante. Então:Φ = v1S1 ⇒ 9,6 � 10–3 = v1 � 6,0 � 10–3 ⇒ v1 = 1,6 m/s

c) Da Equação de Bernoulli:

p1 – p2 = � d(v22 – v1

2) + dg(h2 – h1) ⇒

Δp = � 1,0 � 103(8,02 – 1,62) + 1,0 � 103 � 10(1,8 – 0) ⇒

Δp = 3,1 � 104 + 1,8 � 104 ⇒ Δp = 4,9 � 104 Pa

Observações:I. As duas parcelas antes da soma final mostram as duas in-

terpretações físicas das consequências da diferença depressão Δp: a) a parcela 3,1 � 104 Pa possibilita o movimen-

12

12

h2 = 1,8 m

h = 3,2 m

h1 = 0

Para você resolver

2 A tubulação mostrada na figura a seguir é atra-vessada por água à vazão constante Φ = 5,0 L/s.Em 1 (h1 = 0), a área da seção normal do tubo éS1 = 1,2 � 10–2 m2; em 2, na altura h2 = 3,0 m, aboca do tubo, aberta à atmosfera, tem área S2 = 2,0 � 10–3 m2.

S1

p1

p2

v =1

v=2

1

S2 2

h2

h1 = 0

Dadas a pressão atmosférica local, p0 = 1,0 � 105 Pa,e a densidade da água, d = 1,0 � 103 kg/m3, e ado-tando g = 10 m/s2, determine:a) o módulo das velocidades v=1 e v=2 da água em 1

e 2;b) a pressão p1 da água ao nível do chão.

Aplicações da Equação de Bernoulli

Equação de TorricelliSuponha que um líquido escoe pe-

lo orifício de um tanque a uma profun-didade h, como mostra a figura ao lado.

h

v=

v0 = 0

7

Se a área S do orifício é muito menor que a área S0

da superfície do tanque, a velocidade da água na saídado orifício inferior é dada pela expressão:

v = √��2gh (veja a terceira dedução na página 20)

Essa expressão é conhecida como Equação de Tor-ricelli. Note que nela não se considera a forma, a aber-tura, nem a posição do orifício. Assim, se dois orifíciosestiverem voltados para cima, podemos concluir da Ci-nemática que, em condições ideais, o repuxo vai atingira altura h igual à profundidade do orifício. Veja a figu-ra a seguir.

Determine:a) os módulos vA, vB e vC da velocidade de saída da água em cada

orifício;b) a que distância do recipiente o jato de água atinge o nível

da sua base de apoio.Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2.

Soluçãoa) Nas condições dadas, é válida a Equação de Torricelli

(v = √�2�gh), em que h é a profundidade de cada furo:• para o furo A, à profundidade hA = 0,050 m:

vA = √��2g�hA ⇒ vA = √������ 2 � 10 � 0,050 ⇒ vA = 1,0 m/s• para o furo B, à profundidade hB = 0,10 m:

vB = √�2g�hB ⇒ vB = √������ 2 � 10 � 0,10 ⇒ vB = 1,4 m/s• para o furo C, à profundidade hC = 0,15 m:

vC = √�2g�hC ⇒ vC = √������ 2 � 10 � 0,15 ⇒ vC = 1,7 m/s

b) Um jato de água é um agregado de gotas que, neste caso, secomportam como pequeninos projéteis lançados horizon-talmente das alturas yA = 0,15 m, yB = 0,10 m e yC = 0,050 m.Para um referencial em que a origem das alturas está fixa-da no nível da base de apoio do recipiente (figura a seguir),temos:Como essas condições não existem — sempre há

resistência viscosa no líquido dentro do recipiente e nasaída do orifício, além da resistência do ar fora do reci-piente —, na prática os esguichos nunca vão atingir omesmo nível da superfície.

Para você pensar

5 Agora você pode aprofundar a sua resposta aoPara você pensar 2 e convencer o seu colega deque a ideia dele é inviável. O que mais vocêpode dizer para reforçar a sua argumentaçãoanterior?

Exercício resolvido3 A figura a seguir representa um recipiente com água vazan-do por três furos: A, B e C. Os furos são suficientementepequenos para que a velocidade de abaixamento do nível dasuperfície possa ser considerada desprezível.

5,0 cm

5,0 cm

A

B

C

5,0 cm

5,0 cm

0,20

y (m)

x (m)

0 0,050 0,10 0,15 0,20

0,15

0,10

0,050

A

B

C

O tempo de queda das gotas que saem de A, obtido da fun-ção da posição y (altura) em relação ao tempo t da quedalivre, é:

y = y0 + v0yt + � gt2 ⇒ 0 = yA + 0 � tA + (–g)tA2 ⇒

0 = 0,15 – 5,0tA2 ⇒ tA = 0,17 s

Para as gotas que saem de B:

y = y0 + v0yt + � gt2 ⇒ 0 = yB + 0 � tB + (–g)tB2 ⇒

0 = 0,10 – 5,0tB2 ⇒ tB = 0,14 s

E para as gotas que saem de C:

y = y0 + v0yt + � gt2 ⇒ 0 = yC + 0 � tC + (–g)tC2 ⇒

0 = 0,050 – 5,0tC2 ⇒ tC = 0,10 s

Sendo desprezível a resistência do ar, o movimento de cadagota na direção do eixo x é retilíneo uniforme. Assim, paraas gotas saídas de A:

x = x0 + vt ⇒ xA = x0 + vAtA ⇒ xA = 0 + 1,0 � 0,17 ⇒ xA = 0,17 mPara as gotas saídas de B:

x = x0 + vt ⇒ xB = x0 + vBtB ⇒ xB = 0 + 1,4 � 0,14 ⇒ xB = 0,20 mE para as gotas saídas de C:

x = x0 + vt ⇒ xC = x0 + vCtC ⇒ xC = 0 + 1,7 � 0,10 ⇒ xC = 0,17 m

12

12

12

12

12

12

8

Observações:I. Ao contrário do que se costuma afirmar, embora saia com

velocidade maior, o jato do orifício mais baixo nem sempretem o maior alcance, pois o seu tempo de queda é sempremenor que o dos jatos dos orifícios superiores. Para quetenha alcance maior, é preciso que ele caia abaixo da basedo recipiente. Veja a figura a seguir.

Se em uma canalização houver um estrangulamen-to, nele a área da seção normal é menor. Da Equação deContinuidade (v1S1 = v2S2), obtemos:

S2 � S1 ⇒ v2 � v1 (II)

De I e II concluímos que:

S2 � S1 ⇒ p2 � p1

Portanto, para um fluido ideal em escoamentolaminar, a pressão é menor onde a área da seção normaltambém é menor, e maior onde a área da seção normalé maior — é o Efeito Venturi, assim chamado emdecorrência dos trabalhos realizados em 1791 pelo físi-co italiano Giovanni Battista Venturi. Tubos com um oumais estrangulamentos, como os das figuras a seguir,são conhecidos como tubos de Venturi.

8,0 cm

8,0 cmA

B

C8,0 cm

8,0 cm

II. Agora pode ser entendida a razão do desnível de 3,2 m edas dimensões tão grandes da caixa-d’água da figura dadano fim do exercício resolvido 2 (página 6). A largura dacaixa-d’água é necessária para que a velocidade de abaixa-mento de sua superfície seja desprezível, e, nessas condi-ções, esse desnível corresponde à velocidade v2 = 8,0 m/s.

Para você resolver

3 Na figura acima, determine o alcance dos jatosde água que saem dos orifícios A, B e C sabendoque o banquinho tem 0,72 m de altura e que aprofundidade correspondente a cada furo emrelação à superfície é: hA = 0,080 m; hB = 0,16 m;hC = 0,24 m. Despreze a resistência do ar e adoteg = 10 m/s2.

Tubo de VenturiUma consequência imediata da Equação de Ber-

noulli é a relação inversa entre velocidade e pressão nointerior de um fluido em escoamento laminar. Se h nãovaria, a Equação de Bernoulli assume a forma:

p1 + � dv12 = p2 + � dv2

2

e podemos concluir que a velocidade é maior onde apressão é menor:

v2 � v1 ⇒ p2 � p1 (I)

12

12

Dispositivo de demonstraçãodo Efeito Venturi: pela man-gueirinha amarela injeta-seum fluxo de ar no tubo hori-zontal com seção normal va-riável. Observa-se que o nívelda água (coluna líquido lilás)sobe mais no tubo verticalligado à região do tubo hori-zontal em que a área de seçãonormal é menor, mostrandoque a pressão do ar nessaregião também é menor.

v =2

p2p1

v =1

�h

Esquema de um tubo de Venturi utilizado para medir a vazão (Φ) de um fluidopor meio da diferença de pressões em uma tubulação.

Assim, conhecendo as áreas das seções normais S1

e S2 do tubo onde se medem as pressões p1 e p2, pode-mos demonstrar que:

Φ = S1S2������

(veja a quarta dedução na página 21)

Com essa expressão é possível calcular a vazão emum tubo de Venturi pela diferença de pressões em duas

2(p1 – p2)d(S2

1 – S22)

ww

w.p

hys.

vt.e

du

9

regiões das quais se conhece as áreas das seções nor-mais. O uso do tubo em U para fazer a medida dessa di-ferença, da forma como está representado na figura an-terior, só é possível em tubos com gás. Com líquidos,utilizam-se manômetros, instrumentos de medida dire-ta da pressão que não são afetados pela passagem dolíquido. Podem-se usar manômetros localizados em di-ferentes setores da tubulação (figura a seguir) ou manô-metros para medir a diferença de pressão entre dois pon-tos nos quais as áreas das seções normais são conhecidas(foto abaixo).

b) Para S1 = 2,0 � 10–2 m2:Φ = vS ⇒ Φ = v1S1 ⇒ 2,8 � 10–2 = v1 � 2,0 � 10–2 ⇒ v1 = 1,4 m/s

Para S2 = 5,00 � 10–3 m2:Φ = vS ⇒ Φ = v2S2 ⇒ 2,8 � 10–2 = v2 � 5,0 � 10–3 ⇒ v2 = 5,6 m/s

Observação: O tubo de Ven-turi é muito usado como va-porizador. Veja a figura ao la-do: a velocidade do ar sopra-do no tubo horizontal torna apressão na extremidade supe-rior do tubo vertical menordo que a pressão atmosférica,por isso o líquido contido norecipiente sobe e, atingido pelo fluxo de ar, fragmenta-se emgotículas.Daí esse dispositivo ser chamado também de atomizador.Muitos frascos de perfume, como o mostrado na foto a seguir,funcionam dessa maneira.

x

y

Exercício resolvido4 Suponha que o manômetro do tubo de Venturi mostrado nafoto anterior, instalado em uma canalização de água, meça adiferença de pressão Δp = 1,5 � 104 Pa. As áreas das seções nor-mais desse tubo, correspondentes às pressões p1 (ramoesquerdo do manômetro) e p2 (ramo direito do manômetro),são, respectivamente, S1 = 2,0 � 10–2 m2 e S2 = 5,0 � 10–3 m2.Sendo dágua = 1,0 � 103 kg/m3 e adotando g = 10 m/s2, determine:a) a vazão (Φ) da água;b) os módulos v1 e v2 da velocidade do fluido ao passar por

S1 e S2.

Soluçãoa) Sendo Δp = p1 – p2 = 1,5 � 104 Pa, da expressão do tubo de

Venturi:

Φ = S1S2�����

⇒

Φ = 1,0 � 10–4 � 2,8 � 102 ⇒ Φ = 2,8 � 10–2 m3/s ⇒ Φ = 28 L/s

Φ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ( ⋅ ) − ⋅

− −− −2,0 5,0 1,5

1,0 2,0 5,010 10 2 10

10 10 102 3

4

3 2 2 3[ ( )22]⇒

2(p1 – p2)d(S2

1 – S22)

B

A

Um atomizador bá-sico se compõe ape-nas de dois tubos emângulo reto e assimpode ser encontradoem lojas de produtospara artistas. Veja asimagens.

Atomizador básico.

A artista imerge o tubo maior do atomizador na tinta e sopra no bocaldo tubo horizontal para aspergi-la na tela. Podemos controlar a quan-tidade de tinta variando a vazão e a velocidade do ar soprado.

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

ww

w.f

renc

h-ho

me.

com

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

10

Para você resolver

4 Suponha que um tubo de Venturi, semelhanteao da foto mostrada na página anterior, está ins-talado em uma canalização de água cuja vazão éde 20 L/s em fluxo laminar. As áreas correspon-dentes às pressões p1 e p2 são S1 = 2,5 � 10–2 m2

e S2 = 1,0 � 10–2 m2, respectivamente. Determinea diferença de pressão medida pelo manômetro.(Dados: densidade da água dágua = 1,0 � 103 kg/m3;g = 10 m/s2.)

Observação: De início, convém isolar a diferençade pressões (p1 – p2) da expressão do tubo deVenturi e trabalhar com a expressão assim obtida.

Essas características são explicadas pela existênciade forças de adesão de origem eletromagnética (veja oboxe Aprofundamento: A natureza elétrica da matéria).Nos exemplos desta página, essas forças aparecem entreas moléculas do líquido — óleo e mel — e entre elas euma superfície rígida — o mel e o vidro (veja o boxeGramática da física: Rígido ou sólido?).

Nesta etapa do curso não há como aprofundar essaexplicação. Podemos dizer que essas forças são as mes-mas que originam a tensão superficial e a capilaridade,já apresentadas no estudo da Hidrostática.

APROFUNDAMENTO: A NATUREZA ELÉTRICA

DA MATÉRIA

Embora as moléculas dos líquidos e dos gasessejam eletricamente neutras por causa da somadas cargas de suas partículas, elas podem apresen-tar uma espécie de “ação elétrica” decorrente daassimetria na distribuição dessas partículas elétri-cas nessas moléculas, o que implicauma assimetria na distribuição dascargas elétricas. O exemplo maisnotável dessa assimetria é a molé-cula de água. Veja a figura ao lado.

Embora eletricamente neutra, a molécula deágua tem regiões positivas e negativas separadas,o que a torna eletricamente ativa — os físicosdizem que essa distribuição torna essa moléculaeletricamente polarizada: ela é um dipolo elétrico.

A polarização elétrica faz as gotas de águagrudarem nos vidros das janelas e dos parabrisasdos carros. Embora a estrutura molecular do melseja muito mais complexa, ele também adere àsplacas de vidro por causa dessa atração elétrica.

A Equação de Continuidade e a Equação de Ber-noulli costumam ser a fundamentação teórica para aexplicação de outros fenômenos, como a sustentação daasa de um avião ou a flutuação de uma bola em um jatode ar. No entanto, ultimamente, essa fundamentaçãotem sido contestada e substituída por outra relativa-mente mais recente, que tem se mostrado mais adequa-da e correta. Para apresentá-la e torná-la fisicamentecompreensível, o estudo da viscosidade é pré-requisito.

4. ViscosidadeAs fotos e as ilustrações a seguir mostram algumas

características dos líquidos:

O mel escorresem formar gotas.

Óleos diferentes fragmentam-se em gotas de tamanhos diferentes.

O mel adere à superfície do vidro e a si próprio.

O

H+

+

–

–H

RU

BE

NS

CH

AV

ES

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

11

Suponha que o fluido representado na figura este-ja entre duas placas paralelas separadas pela distância y.Quando a placa superior de área S é puxada para adireita com a força F=, ela (e a película fluida a ela aderi-da) adquire a velocidade v = constante (veja o boxe Apro-fundamento: A velocidade de um fluido em um tubo).Nessas condições, define-se o coeficiente de viscosida-de � (letra grega “eta”) desse fluido pela expressão:

� =

A unidade do coeficiente de viscosidade no SI éPa � s (veja o boxe Unidade de viscosidade). A tabela aseguir apresenta os valores do coeficiente de viscosida-de para alguns fluidos.

FySv

GRAMÁTICA DA FÍSICA: RÍGIDO OU SÓLIDO?

Preferimos falar em superfície rígida em vezde sólida porque o vidro, a rigor, não é sólido: al-guns o consideram um líquido cujo coeficiente deviscosidade tende ao infinito; outros, um sólidoamorfo por não ter a estrutura cristalina caracterís-tica dos sólidos.

O fenômeno resultante da adesão elétrica entre aspartículas interiores de um fluido (líquido ou gás) eentre elas e uma superfície rígida origina a viscosidade.Como as imagens da abertura deste item ilustram, po-demos dizer que essa propriedade torna os fluidos resis-tentes à fragmentação e ao movimento. A resistência aomovimento se dá apenas entre partículas do própriofluido, embora, em geral, tenha como causa a interaçãoentre ele e a superfície rígida.

A viscosidade é uma propriedade exclusiva dosfluidos. Um fluido não pode “raspar” em uma superfí-cie rígida, mas ambos — superfície e fluido — se inter-penetram e formam uma película solidária, uma espé-cie de revestimento temporário (pode ser também delongo prazo; nesse caso, o fluido torna-se uma tinta).Por isso não faz sentido considerar o atrito entre umasuperfície rígida e um líquido ou gás. É impossível obtercoeficientes de atrito entre o vidro e a água ou entre ovidro e o ar, por exemplo. Mas é possível definir um coe-ficiente de viscosidade relacionado exclusivamente aofluido (veja o boxe Gramática da física: Viscosidade oucoeficiente de viscosidade).

GRAMÁTICA DA FÍSICA: VISCOSIDADE OU COEFICIENTE DE

VISCOSIDADE

É muito raro encontrar tabelas com o título“Coeficientes de viscosidade de fluidos”. Em geral,elas se intitulam apenas “Viscosidade de fluidos”, oque, a rigor, não é adequado.

Viscosidade é característica física, não umagrandeza ou constante que possa ser medida etabelada. Por isso, assim como no estudo do atritodistinguimos o fenômeno (atrito) dos seus coefi-cientes, aqui também vamos nos referir sempre acoeficiente de viscosidade, em vez de viscosidade.

Veja a figura a seguir.

y

S

v =

F=

LíquidosCoeficiente de

viscosidade(Pa � s)*

GasesCoeficiente de

viscosidade(Pa � s)*

acetona 0,00032 ar 0,000018

água 0,0010 argônio 0,000021

álcool etílico 0,0012dióxido de

carbono0,00015

gasolina 0,00060 hidrogênio 0,0000089

glicerina anidra 1,4 hélio 0,000019

mercúrio 0,0016 metano 0,000020

óleo fino 0,11monóxido

de carbono0,00017

óleo grosso 0,66 nitrogênio 0,000018

plasma sanguíneo 0,0015 oxigênio 0,000020

sangue 0,0040vapor de

água0,000013

* Os coeficientes foram medidos a 20 °C, exceto o do sangue e o do plasma san-guíneo, medidos a 37 °C, e o do vapor de água, medido a 100 °C.

APROFUNDAMENTO: A VELOCIDADE DE UM FLUIDO EM UM TUBO

Se os fluidos aderem às superfícies rígidas,junto às suas paredes todos os fluidos têm veloci-dade nula. Assim, conclui-se que a velocidade dos

12

fluidos tem de variar no interior dos tubos, o que,em escoamentos laminares, ocorre como a figuraabaixo mostra.

Uma antiga reivindicação francesa pretendedar ao Pa � s o nome poiseuille, com o símbolo Pl,para homenagear Jean Poiseuille. No entanto, atéhoje ela não foi acolhida.

velocidadenula

velocidademáxima

Variação da velocidade no interior de um fluido laminar em umtubo: a curva em azul é o lugar geométrico da extremidade dosvetores velocidade.

Por isso, quando nos referimos à velocidadev = de um fluido no interior de um tubo, estamosconsiderando como tal o vetor cujo módulo é amédia dos módulos das velocidades no interiordo fluido.

O módulo v da velocidade em um ponto P deum fluido em escoamento laminar pode ser obtidoaproximadamente pela expressão a seguir, em quer é o raio do tubo, d a distância do ponto ao eixodesse tubo e C uma constante que depende dotubo:

v = C(r2 – d2)

Essa expressão é conhecida como Lei dePoiseuille, pois foi estabelecida por Jean Poiseuille.

UNIDADE DE VISCOSIDADE

A unidade de viscosidade do SI pode ser obti-da da sua definição. Se o módulo da força (F) émedido em newtons (N), a distância (y) em metros(m), a área (S) em metros quadrados (m2), a veloci-dade (v) em metros por segundo (m/s) e a pressão

em pascal [Pa = ], temos:

η = ⇒ η = ⇒

η = 5 6 ⇒ η = [Pa � s]

Há uma antiga unidade prática ainda em uso,denominada poise, cujos símbolos podem ser P, Psou Po. A relação entre ela e Pa � s é:

1 poise = 0,1 Pa � s

N � sm2

[N � m]

5m2�

m6

s

FySv

Nm2

Atrito e viscosidade são fenômenos análogos e demesma origem, mas com características diferentes, quepodem ser delimitadas com clareza pela análise de ca-racterísticas que diferenciam seus coeficientes.

O coeficiente de atrito é um número puro (adi-mensional), depende do par de materiais em contato,não caracteriza nenhuma substância e varia pouco coma temperatura. O coeficiente de viscosidade tem unida-de, caracteriza determinado fluido e varia drasticamen-te com a temperatura. Veja o gráfico a seguir.

0 20

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,0

40 60 80 100

� (� 10–3Pa � s)

t (°C)

Se um fluido é arrastado por uma lâmina rígida,como na figura a seguir, podemos concluir que a lâmi-na e a película fluida nela aderida exercem sobre o res-tante do fluido uma força resultante F =. Pelo Princípioda Ação e Reação aparece na placa uma força de resis-tência viscosa –F = aplicada pelo restante do fluido à placaem movimento.

Gráfico coeficiente de viscosidade da água versus temperatura.

v =

F=–F =

Da definição do coeficiente de viscosidade pode-mos expressar o módulo de F = assim:

F = � v�Sy

13

Sendo o fator constante, essa expressão pode

ser generalizada na forma:F = cv

em que c é uma constante que depende do fluido e dageometria do corpo que arrasta ou atravessa esse fluido.Essa expressão só é válida se o fluido não sofrer turbulên-cia, o que implica velocidades de valores pequenos,determinados experimentalmente: para esferas em movi-mento, esse valor é de até 2 m/s no ar e 0,03 m/s na água.

Se uma esfera de raio r atravessa um fluido de vis-cosidade �, a constante c vale 6π�r e a expressão daforça viscosa fica assim:

F = 6π�rvEssa expressão é conhecida como Lei de Stokes,

em homenagem a George Stokes, que a formulou pelaprimeira vez.

Embora todas as gotas em movimento retilíneo uni-forme tenham forma praticamente esférica (veja o boxeDiscussão: A forma de uma gota), só as gotas de dimen-sões microscópicas têm velocidades pequenas, e o estudodo seu movimento pode ser feito com a Lei de Stokes. Emlíquidos de alta viscosidade, como a glicerina ou óleosautomotivos, ela pode ser aplicada a esferas de dimensõesum pouco maiores (veja o exercício resolvido 7).

DISCUSSÃO: A FORMADE UMA GOTA

A forma como uma gota de águacostuma ser desenhada, sobretudoinformalmente (figura ao lado), só é cor-reta quando ela está prestes a despren-der-se do restante do líquido — o alon-gamento vertical e o bico superior,característicos nessas figuras, desapare-cem logo em seguida.

Assim que adquire velocidade constante, oque ocorre muito rapidamente, a gota torna-sepraticamente esférica, pois a resultante das forçasque atuam sobre ela é nula (sequência de fotosabaixo). E, como comentamos no estudo da Hi-drostática, se a resultante das forças externas sobreum líquido é nula, ele assume a forma esférica.

�Sy Para você pensar

6 No estudo do atrito definimos dois coeficientes:um para o atrito estático; outro para o atritodinâmico. Por que isso não foi feito para o coefi-ciente de viscosidade? (Observação: Note que aexpressão do coeficiente de viscosidade depen-de da velocidade da placa em relação ao fluido.)

Exercícios resolvidos5 A figura a seguir representa uma placa metálica plana deárea 0,020 m2, que desliza sobre um plano horizontal rígido,apoiada em uma película de óleo de espessura contínua e uni-forme de 0,25 mm, com velocidade constante de 0,010 m/s. Obloco B, de massa mB = 40 g, traciona a placa por meio de umfio inextensível. O atrito na roldana e a massa do fio e a da rol-dana são desprezíveis. Determine a viscosidade do óleo. Adoteg = 10 m/s2.

Representaçãousual de umagota.

Foto múltipla da formação de uma gota da mistura água e glicerina. Logodepois de desprender-se, a gota torna-se praticamente esférica.

B

SoluçãoComo a velocidade é constante, a aceleração é nula, e o módu-lo da tração T= exercida pelo fio sobre a placa é igual ao módu-lo PB do peso do bloco B, pendurado. Então, sendo mB = 0,040 kg:

T = PB ⇒ T = mBg ⇒ T = 0,040 � 10 ⇒ T = 0,40 NEsse é também o módulo F da força viscosa que atua sobre aplaca. Veja a figura a seguir.

F = T=

PB=

A espessura da película de óleo equivale à distância y entre as pla-cas (reveja a figura da página 11): y = 0,25 mm = 2,5 � 10–4 m. Dadefinição de viscosidade:

η = ⇒ η = ⇒ η = 0,50 Pa � s

Observações:I. Em uma situação real, no início a placa acelera até atingir a

velocidade em que a força viscosa e a tração no fio se equi-libram. Nesse início, a massa da placa deve ser considerada,o que não foi necessário aqui, pois já consideramos o con-

0,40 � 2,5 � 10–4

0,020 � 0,010FySv

DEU

TSCH

E PH

YSIK

ALIS

CHE

GES

ELLS

CHAF

T/IN

STIT

UTE

OF

PHYS

ICS

14

junto em movimento retilíneo uniforme. Não levamos emconta o trecho inicial porque nele a aceleração é variável eno nível deste estudo não temos recursos de cálculo paraexaminar essa situação. Além disso, a definição de viscosi-dade e a expressão da força viscosa só podem ser aplicadasem movimentos retilíneos com velocidade constante.

II. Note que não nos referimos ao atrito entre a placa e o líqui-do, pois não existe atrito entre uma superfície rígida e umfluido. A tração é exercida na placa rígida, mas a força dereação viscosa do fluido é exercida na placa por intermé-dio da película de fluido que a reveste e com ela se movesolidariamente.

III. Essa é uma situação experimental muito difícil de realizar,principalmente pela impossibilidade de manter uniformea espessura da película de óleo. Por isso, apesar de seu for-mato, este é um exercício teórico. Uma situação experi-mental de fácil realização é apresentada no exercícioresolvido a seguir.

6 Uma esfera maciça de aço de 1,0 mm de raio cai verticalmen-te com velocidade constante dentro de um tubo largo com óleo.Verifica-se que ela desce 30 cm em 10 s. Dadas a densidade doaço, daço = 7 800 kg/m3, e a do óleo, dóleo = 800 kg/m3, determi-ne o coeficiente de viscosidade do óleo. Admita g = 10 m/s2.

SoluçãoNa figura a seguir estão representadas as forças que atuamsobre a esfera: o peso P=, o empuxo E= exercido pelo óleo sobrea esfera e a força F= de resistência viscosa do óleo:

Sendo Vesfera = � πr3, r = 1,0 mm = 1,0 � 10–3 m, uti-

lizando π = 3,1, temos:Vesfera = � 3,1(1,0 � 10–3)3 ⇒ Vesfera = 4,1 � 10–9 m3

Substituindo o valor de Vesfera em IV, obtemos o módulo Fda força de resistência viscosa:F = (7 800 – 800)4,1 � 10–9 � 10 ⇒ F = 2,9 � 10–4 N (V)Para determinar o coeficiente de viscosidade do óleo apli-cando a Lei de Stokes, precisamos saber qual é a velocida-de de queda da esfera. Como ela é constante, Δx = 30 cm= 0,30 m e Δt = 10 s:

v = ⇒ v = ⇒ v = 0,030 m/s

Então:F = 6πηrv ⇒ 2,9 � 10–4 = 6 � 3,1η � 1,0 � 10–3 � 0,030 ⇒

η = 0,52 Pa � sObservações:I. Este exercício descreve uma atividade experimental relati-

vamente simples para determinar a viscosidade de umlíquido. A validade dessa determinação pode ser verifica-da comparando o resultado obtido com valores tabelados(veja a tabela da página 11). Para analisar corretamente osresultados, três fatores devem ser considerados: a) os es-treitos limites de validade da Lei de Stokes; por isso devemser utilizados líquidos de alto coeficiente de viscosidadepara que a queda da esfera ocorra a baixa velocidade (nãoencontramos esses dados em relação à velocidade-limiteno óleo; estamos admitindo que o valor obtido aqui é viá-vel por analogia ao da água); b) a largura do tubo deve serbem maior que o diâmetro da esfera; se o tubo for estrei-to, as suas paredes vão interferir na resistência viscosa dolíquido, o que pode causar turbilhonamento e invalidar osresultados; c) a temperatura do líquido deve ser anotada,pois, como mostra o gráfico da página 12, o coeficiente deviscosidade de um líquido varia significativamente com atemperatura.

II. Quando a velocidade é nula, a força de resistência viscosatambém é nula; por isso o movimento de queda é acelera-do no início e, à medida que a velocidade aumenta, a forçade resistência viscosa também aumenta, até que a resultan-te das forças sobre a esfera se anule e o movimento passe aser retilíneo uniforme — essa é a velocidade-limite. Por essarazão, as medidas das distâncias e dos tempos correspon-dentes para a obtenção da velocidade da esfera só devemser feitas depois que ela já caiu por alguns segundos.

III. Assim como se pode determinar a viscosidade de um flui-do conhecendo a velocidade-limite do corpo que o atraves-sa, é possível determinar a velocidade-limite de um corpomovendo-se através de um fluido conhecendo o coeficien-te de viscosidade desse fluido. Foi a partir daí que o físicoexperimental norte-americano Robert Millikan (1868--1953) pôde, em 1909, determinar a carga elétrica elemen-tar e ganhar o prêmio Nobel de Física de 1923. O exercícioresolvido a seguir mostra uma etapa dessa experiência.

0,3010

ΔxΔt

43

43

F =

P=

E=

Como a velocidade é constante, da Segunda Lei de Newtonem módulo, podemos escrever:

F + E = P ⇒ F = P – E (I)

Da definição de densidade [d = ], m = dV. Sendo P = mg,

o peso da esfera de aço pode ser expresso por:P = daçoVesferag (II)

Da expressão do empuxo (E = dfluidoVfluido deslocadog), daHidrostática, podemos escrever:

E = dóleoVesferag (III)Substituindo III e II em I:

F = daçoVesferag – dóleoVesferag ⇒ F = (daço – dóleo)Vesferag (IV)

mV

15

7 Uma gota microscópica de óleo, de raio rgota = 4,0 μm, é aban-donada no interior de uma câmara onde o ar está em repouso.Sabendo que esse óleo tem densidade dóleo = 800 kg/m3 e que ocoeficiente de viscosidade do ar é ηar = 1,8 � 10–5 Pa � s, deter-mine a velocidade-limite atingida por essa gota. Despreze oempuxo do ar e admita g = 10 m/s2.

SoluçãoSe o ar está em repouso e o empuxo por ele exerci-do sobre a gota é desprezível, podemos afirmar quesobre ela atuam duas forças: o seu peso P= e a forçade resistência viscosa F= exercida pelo ar.Quando a velocidade-limite é atingida, essas duasforças se equilibram, e a gota passa a cair com mo-vimento retilíneo uniforme. Então, da Segunda Leide Newton em módulo, podemos escrever:

P – F = 0 ⇒ F = P (I)Se a gota é esférica e não há turbulência, podemos aplicar a Leide Stokes:

F = 6πηarrgotav (II)De I e II:

P = 6πηarrgotav ⇒ mgotag = 6πηarrgotav (III)

Da definição de densidade [d = ] e da expressão do

volume da esfera [V = � πr3], a massa da gota pode ser ex-

pressa na forma:mgota = dóleoVgota ⇒ mgota = dóleo � � πr3

gota (IV)

Substituindo IV em III:

dóleo � � πr3gotag = 6πηarrgotav ⇒ dóleo � � r2

gotag = 6ηarv

Sendo rgota = 4,0 μm = 4,0 � 10–6 m e substituindo os demaisdados na expressão acima:

800 � (4,0 � 10–6)210 = 6 � 1,8 � 10–5v ⇒ v = 1,5 � 10–2 m/s

Observações:I. O valor obtido está dentro do limite para o movimento de

uma esfera sem turbulência no ar: v = 2 m/s. Se o resultadoultrapassa esse valor, há turbulência e não podemos aplicara Lei de Stokes. Seria o caso de uma gota de óleo de 1,0 mmde raio; obteríamos v = 100 m/s, valor que extrapola emmuito o limite de validade da Lei de Stokes para o ar.

II. Na experiência de Millikan borrifa-se óleo com um vapo-rizador em uma câmara limitada por duas placas eletriza-das e onde o ar está em repouso. Veja a figura a seguir.

43

43

43

43

43

mV

Um orifício de entrada para a câmara seleciona as gotas deraio compatível com os limites da Lei de Stokes. Eletri-zadas por uma fonte externa ou na travessia do orifício, asgotas são observadas por meio da ocular de um microscó-pio. Escolhe-se uma gota de cada vez para análise. Porrecursos teóricos relativamente simples, mas ainda nãocompletamente estudados, determina-se a carga adquiri-da por essa gota. A experiência é repetida dezenas ou cen-tenas de vezes para outras tantas gotas. Obtêm-se, então,dezenas ou centenas de valores da carga elétrica, mastodos os valores obtidos são múltiplos de um mesmo va-lor. Millikan concluiu que esse é o valor da carga elétricaelementar — a carga do elétron —, menor carga elétricaexistente na natureza.

Para você resolver

5 A placa metálica plana representada na figura aseguir tem área de 0,040 m2 e desliza sobre umplano horizontal rígido apoiada em uma pelícu-la de óleo de viscosidade η = 0,75 Pa � s. Supõe--se que essa película seja contínua e uniforme etenha espessura y = 0,30 mm. O fio, inextensívele de massa desprezível, é tracionado pelo blocoB, de massa 60 g, e o atrito na roldana e a suamassa são desprezíveis. Observa-se que o siste-ma, ao ser posto em movimento, atinge rapida-mente uma velocidade-limite. Qual é essa velo-cidade? (Observação: Ao atingir a velocidade--limite, o sistema passa a se mover com veloci-dade constante.) Adote g = 10 m/s2.

P=

F =

(–)

ocular

placaseletrizadas

orifícioraios X paraproduzir cargana gota de óleo

borrifo de pequenasgotas de óleo

gota de óleocarregada

sob análise

(+)

B

6 Uma esfera maciça de alumínio, de 2,0 mm deraio, cai verticalmente em um tubo com gliceri-na. Depois de atingir velocidade constante, veri-fica-se que ela desce 18 cm em 20 s. Dadas adensidade do alumínio, dAl = 2 700 kg/m3, e a daglicerina, dglicerina = 1 300 kg/m3, e admitindo g = 10 m/s2, determine:a) a força de resistência viscosa exercida pela

glicerina;b) o coeficiente de viscosidade da glicerina.

7 Sabendo que a velocidade-limite para a aplicaçãoda Lei de Stokes no ar é 2,0 m/s, qual deve ser ovalor limite do raio de uma gota de óleo para queela possa cair sem turbulência no ar em repouso?(Dados: dóleo = 800 kg/m3; ηar = 1,8 � 10–5 Pa � s;g = 10 m/s2; considere o empuxo do ar desprezível.)

16

A natureza do escoamento determina a velocida-de-limite de um corpo atravessando um fluido. Se o es-coamento é laminar, a velocidade-limite do corpo émaior, condição do estudo feito até aqui. Quando o es-coamento é turbulento, essa velocidade se reduz, e ateoria aqui apresentada deixa de ter validade. Veja afigura a seguir:

toda sua parede lateral —, a sua importância só foi expli-citada em 1932 pelo engenheiro aeronáutico romenoHenri-Marie Coanda (1885-1972). Desde então, essefenômeno passou a denominar-se Efeito Coanda e na úl-tima década do século XX adquiriu maior importânciaquando passou a “substituir” a Equação de Bernoulli namaior parte das explicações de fenômenos de sustentaçãode corpos em movimento através de fluidos, provocandouma pequena revolução no estudo da aerodinâmica.

5. Efeito CoandaVeja as fotos a seguir:

O mesmo corpo na mesma travessia pode provocarum escoamento laminar e turbulento (veja a foto a seguir).

Como ocorre a adesão do fluido à superfície rígi-da de um corpo quando eles (fluido e corpo) se atraves-sam é muito complexo e pode ter consequências ex-traordinárias.

Embora a adesão dos fluidos aos corpos rígidos es-teja muito presente em nossa vida cotidiana — a águaque transborda de um copo não cai sem antes percorrer

v =1

v =2

–F=

(reação da colhersobre a água)

F= (ação daágua sobre

a colher)

Na região frontal do submarino, o escoamento é laminar. Logoatrás, torna-se turbulento.

Para o mesmo chute (impulso inicial), a velocidade v ==1 da bola de cima será sem-pre maior que a velocidade v ==2 da segunda bola, pois o escoamento é laminar naprimeira e turbulento na segunda.

Ao encostar a face convexa da colher no filete deágua, observa-se que ele adere à colher e tem o seucurso desviado, e a colher é puxada para ele.

Esse fenômeno simples descreve o Efeito Coanda,cuja causa é a mesma da viscosidade: a interação eletro-magnética entre as moléculas do fluido (a água) e osátomos ou as moléculas da superfície rígida (o materialde que é feita a colher). Assim, podemos dizer que a su-perfície da colher atrai a água do filete e faz com que eleacompanhe a sua curvatura, e, pelo Princípio da Ação eReação, a água atrai a colher, que avança para o interiordo filete. Veja a figura a seguir.

escoamentoturbulento

escoamentolaminar

ww

w.s

fond

idel

desk

top.

com

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

17

Um corpo só pode realizar uma trajetória curvase estiver sob a ação de uma força resultante centrípe-ta, o que nos permite aprofundar um pouco mais estaexplicação.

Considere um pequeno cubo imaginário de águado filete movendo-se em trajetória curva junto da su-perfície convexa da colher. Veja a figura abaixo.

Para compreender o que ocorre é preciso perceberque, em ambos os casos, o papel só se eleva quando ofluxo de ar atinge a sua superfície, ou seja, o papel é ele-vado pela ação direta e viscosa do ar sobre a sua superfí-cie. Essa força resultante para cima atua também noperfil curvo da asa do avião, da mesma forma que aágua atua sobre a superfície da colher na descrição ante-rior. Veja as figuras a seguir.

F=cp

–F=cp

filetede água

superfícieda colher

O

fluxode ar

tira depapel

fluxode ar

tira depapel

O cubo descreve essa trajetória curva porque sobreele atua a força resultante centrípeta, F =cp, de origem ele-tromagnética. Em consequência, aparece na colher aforça de reação –F=cp, que empurra a colher para o filetede água.

Uma situação análoga é ilustrada na foto a seguir:enquanto gira a esfera, a arremessadora exerce sobre elaa força de tração centrípeta T= através da corrente. Damesma forma, a esfera exerce sobre a atleta a força –T=— a atleta só não se desloca se os seus pés estiverembem presos ao chão, por atrito.

O Efeito Coanda vale para qualquer fluido e, nocaso do ar, permite entender a origem de uma das for-ças responsáveis pela sustentação da asa do avião. Vejaas fotos a seguir.

A moça faz a tira de papel subir soprando aci-ma dela, horizontalmente.

Uma tira de papel é dobrada e modeladacomo o perfil da asa de um avião. O sopro porcima faz com que a asa suba.

Como o fluxo de ar não atinge a tira de papel, nada acontece.

Ao atingir o ponto mais alto da curvatura do papel, o fluxo dear arrasta a tira para cima, como prevê o Efeito Coanda.

KA

ZUH

IRO

NO

GI/A

FP/G

ETTY

IMA

GE

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DU

AR

DO

SA

NTA

LIE

STR

A

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

ED

UA

RD

O S

AN

TALI

EST

RA

18

Mas há ainda um efeito adicional. Suponha que ofluxo de ar acompanhe a tira de papel, que, em seguida,é forçada a curvar-se e a adquirir o formato aproxima-do da asa de um avião. Veja as figuras a seguir.

DISCUSSÃO: A NOVA EXPLICAÇÃO DO EFEITO

DA ASA DE UM AVIÃO

A história da ciência apresenta momentos mar-cantes em que a interpretação de alguns fenôme-nos se modifica em razão da mudança de uma fun-damentação teórica — as hipóteses para explicar anatureza da luz são um exemplo dessa mudança.

Mas o que se observa agora é diferente. Nãose trata de revisão teórica; tampouco as equaçõesde Continuidade e de Bernoulli perderam a valida-de. Elas continuam aceitas e corretas. O quemudou foi a percepção de que elas não podem seraplicadas à explicação da sustentação da asa doavião nem à de alguns experimentos criados atéexplicitamente para ilustrá-las.

É difícil saber por que um equívoco como esseaparece e sobrevive durante tanto tempo. Umaexplicação óbvia é a dificuldade inerente à inter-pretação física dos fenômenos da natureza oumesmo das próprias criações humanas — nada,nenhuma explicação, é trivial.

Uma das ideias hoje comprovadamente errada,mas ainda apresentada como certa em muitas en-ciclopédias, sites e textos didáticos, é que, comoconsequência da Equação de Continuidade, as par-tículas do ar levam o mesmo tempo para percorrera parte inferior e a superior da asa de um avião. Porisso, se o perfil curvo superior da asa é maior que oinferior, o ar passa em cima da asa com velocidademaior do que embaixo. Veja a figura a seguir.

Na primeira figura, a região sombreada representa o espaço que essa curvaturaabre para o fluxo de ar. Se esse espaço não fosse ocupado pelo fluxo de ar, essaregião ficaria vazia; haveria vácuo nela. Mas isso não ocorre. A adesão viscosa doar à superfície do papel faz com que as partículas de ar sejam puxadas para essaregião (segunda figura) — elas são aceleradas no sentido da superfície encurva-da por ação da força viscosa que aparece no ar nessa região.

Assim, ao atravessar uma superfície curva, o fluxode ar tende a acompanhá-la e sofre uma diminuição depressão; com isso, sua velocidade aumenta (reveja a fotoda página 2: ela mostra como o fluxo de ar para essa re-gião de baixa pressão pode até tornar-se turbulento).Mas não é o aumento da velocidade do fluxo que pro-voca a redução da pressão; é esta que provoca aquele.

Por essa razão, dependendo do perfil inferior da asade um avião, a velocidade do ar em cima pode ser maiorque embaixo. Nesse caso, essa diferença origina uma forçaadicional resultante da diferença de pressões e de veloci-dades, que pode ser calculada pela Equação de Bernoulli.Veja a figura a seguir: sobre a asa atuam as forças F =C, devi-da à ação viscosa do ar (Efeito Coanda), e F =B, devida àdiferença de pressões entre o ar em movimento na partesuperior da tira e o ar praticamente em repouso na parteinferior (Equação de Bernoulli). É difícil saber qual a con-tribuição de cada uma dessas forças, mas não há dúvidade que a origem primeira de ambas é o Efeito Coanda.

fluxode ar

tira depapel

tira depapel

forças viscosasatuando sobrepartículas de ar

F =C

F =B

Essa é uma explicação relativamente nova desse fe-nômeno e vem sendo mais bem aceita do que a antigabaseada nas equações de Continuidade e de Bernoulli(veja o boxe Discussão: A nova explicação do efeito daasa de um avião).

Por causa dessa diferença de velocidades, deacordo com a Equação de Bernoulli, aparece umadiferença de pressões, que resulta na força de sus-tentação do avião.

Essa explicação é contestada por várias ra-zões. As principais são:a) Nem todas as asas têm esse perfil. Muitas são

planas ou têm um perfil perfeitamente simétri-co, o que invalida a hipótese da “necessidade”de o ar ter velocidade maior em cima.

b) Os aviões de acrobacia voam de cabeça parabaixo, o que seria impossível se essa explicaçãofosse verdadeira.

maior velocidade menor pressão

menor velocidade maior pressão

força resultante

Prof. Luciano Soares Pedroso

19

c) Quanto maior o percurso do ar em cima da asaem relação ao percurso de baixo, mais eficienteela seria, o que é comprovadamente falso.

d) As partículas de ar que passam por cima da asanão têm nenhum vínculo com as partículas debaixo, ou seja, elas não têm como “saber”se estãoou não acompanhando as de baixo.

e) Simulações feitas em computador ou em túneisde vento mostram que as partículas de cima têmvelocidade maior que a das suas hipotéticas par-ceiras de baixo (veja a figura a seguir).

Veja as imagens abaixo.

Esta última observação valida o uso da Equa-ção de Bernoulli como origem de uma força desustentação, mas não é causa dela, como se expli-ca nas duas primeiras figuras da página anterior.Além disso, a força resultante para cima, decorren-te dessa diferença de pressões, não é suficientepara a sustentação da asa e muito menos do avião.

Para aqueles que (como este autor) por muitotempo acreditaram e difundiram essa explicação,talvez sirva de consolo saber que Einstein, durantea Primeira Guerra Mundial, sugeriu que se cons-truísse uma asa com perfil orientado pelas equa-ções de Continuidade e de Bernoulli e, como hojeseria de esperar, sua sugestão foi um retumbantefracasso. Veja na figura abaixo o perfil da asa pro-posto por Einstein.

Enquanto o ar não atravessa a asa, os blocos de linhas de fluxo Ae B têm a mesmavelocidade, mas, por causa do Efeito Coanda, a passagem pela asa faz com que osblocos C e D se adiantem. As partículas de ar de cima não acompanham as partí-culas de ar de baixo, como a antiga explicação da sustentação da asa afirmava.

A

CB

D

Por fim, é importante destacar que o EfeitoCoanda isoladamente não explica o voo ou a susten-tação do avião. Apenas é causa parcial da força desustentação exercida pela asa. Veja a figura a seguir.

A B CD

F =C

F’=C

Um avião em voo está sob a ação de quatro forças: A: força resultante de sus-tentação exercida pela asa (uma pequena parcela deve-se ao Efeito Coanda);B: força de tração exercida pela hélice ou turbina; C: peso, exercido pela Terra;D: força viscosa exercida pelo ar.

Na primeira, um sopro dirigido frontalmente para agarrafa apaga a vela colocada logo atrás. Essa experiênciasimples mostra que o ar também adere à superfície curvada garrafa e a acompanha, como a água, ou seja, ela com-prova que o Efeito Coanda também ocorre com o ar.

A foto mostra uma experiência muito conhecida.Uma bolinha de isopor flutua presa a um jato de ar. Aterceira imagem ilustra a nova explicação para essa ex-periência baseada no Efeito Coanda: a adesão do ar àcurvatura da bolinha faz com que ela se mantenha presaao jato de ar, como a colher se prende ao filete de água.Note que há duas forças resultantes decorrentes desseefeito — F =C e F =C’ —, mas a de maior intensidade atua nosentido do fluxo de ar mais curvo e mais intenso; por issoa bolinha sempre é puxada para o meio do fluxo de ar. Asustentação da bolinha continua sendo explicada comoantes: ela se deve à ação direta do ar sobre a bolinha.

Para você pensar

7 Muitos recipientes têm um bico para que se pos-sa verter o líquido neles contido sem que escorrapelas paredes. Justifique esse recurso com baseno Efeito Coanda.

8 No boxe Discussão: A forma de uma gota (página13) afirmamos que, ao adquirir velocidade cons-tante, a gota se torna praticamente esférica. Porque não perfeitamente esférica? O que pode im-pedir a gota de adquirir uma esfericidade perfei-ta? (Observação: Pense no que aconteceria coma bolinha flutuante da última figura acima se elafosse deformável como uma esfera de água.)

ALA

N R

OD

RIG

O M

AR

RET

TO

20

Deduções

1a) Equação de ContinuidadeReveja a última figura da página 3. Os trechos ha-

churados correspondem ao deslocamento de um fluidoideal no mesmo intervalo de tempo �t. Se o fluxo (Φ) éconstante e esse intervalo é suficientemente pequeno,esses trechos podem ser considerados cilindros de áreasS1 e S2. Nessas condições, vamos aplicar a esses doiscilindros as definições de fluxo (Φ = vS) e de

velocidade média [v = ], nesse caso também cons-

tante, pois Φ e S são constantes. Para o cilindro de base S1:

Φ1 = � S1

Como �x1S1 = V1 (volume do cilindro de altura �x1):Φ1 = (I)

Por raciocínio análogo, para o cilindro de base S2:

Φ2 = (II)

Como Φ é constante e �t é o mesmo, podemosconcluir de I e II que V1 = V2. Então, aplicando de novoa expressão do volume do cilindro e lembrando que �x = v�t:

V1 = V2 ⇒ S1�x1 = S2�x2 ⇒ S1v1�t = S2v2�t ⇒S1v1 = S2v2 ou v1S1 = v2S2

2-a) Equação de BernoulliPara esta dedução é preciso recordar as seguintes

expressões:• densidade: d = e m = dV

• pressão: p = e F = pS (I)

• trabalho: τ = FΔx � cos α (II)

• energia cinética: Ec = � mv2

• energia potencial gravitacional: Epg = mg(h – h0)

Pela dedução anterior, sabemos que os dois cilin-dros em cinza da primeira figura da página 5 têm o mes-mo volume: V1 = V2. Como, tratando-se de um fluidoideal, a densidade é constante, ambos têm a mesma mas-sa m de fluido.

Ao deslocar-se pelo tubo do nível h1, com veloci-dade de módulo v1, para o nível h2, com velocidade demódulo v2, podemos afirmar que a massa de fluido con-tida nesses cilindros sofre:a) um acréscimo ΔEc de energia cinética:

ΔEc = � m(v22 – v1

2) ⇒ ΔEc = � dV(v22 – v1

2)12

12

12

FS

mV

V2�t

V1�t

�x1�t

�x�t

Como V = V1 = Δx1S1 = v1ΔtS1 (ou V = V2 = v2ΔtS2):

ΔEc = � dv1ΔtS1(v22 – v1

2) (III)

b) um acréscimo ΔEp de energia potencial gravitacional:

ΔEp = mg(h2 – h1) ⇒ ΔEp = dv1ΔtS1g(h2 – h1) (IV)

Esses acréscimos de energia se devem ao trabalhorealizado por duas forças, uma decorrente da pressãop1, de módulo F1 = p1S1, atuando em S1 no sentido domovimento do fluido, e outra decorrente da pressão p2,de módulo F2 = p2S2, atuando em S2 no sentido oposto.Então, podemos escrever:

τF=1 + τF=2 = ΔEc + ΔEp (V)

Da expressão da força em função da pressão e dasuperfície (I), da definição de trabalho (II), lembrando queem cada caso Δx = vΔt, e das expressões III e IV substituí-das em V, temos:

p1S1v1Δt � cos 0° + p2S2v2Δt � cos 180° =

� dv1ΔtS1(v22 – v1

2) + dv1ΔtS1g(h2 – h1) ⇒

(p1 – p2)S1v1Δt = � dv1ΔtS1(v22 – v1

2) +

dv1ΔtS1g(h2 – h1) ⇒ p1 – p2 =

= � d(v22 – v1

2) + dg(h2 – h1)

3a) Equação de TorricelliReveja a primeira figura da página 7. Vamos supor

que a área S do orifício seja muito menor que a área S0 dasuperfície do tanque. Nesse caso, da Equação de Conti-nuidade, podemos escrever:

v0S0 = vS ⇒ v0 = v �

E concluir que v =0 também é muito menor que v =, ouseja, que, em relação ao módulo de v =, podemos supor v0 = 0.

Vamos admitir ainda que a pressão atmosférica, p0,é a mesma na superfície do líquido e no orifício de saídae que por ele o escoamento seja laminar. Nessas condi-ções, aplicando a Equação de Bernoulli à superfície(nível 1) e ao orifício (nível 2) e colocando o referencialpara as alturas no nível do orifício, temos:

p1 + � dv12 + dgh1 = p2 + � dv2

2 + dgh2 ⇒

p0 + � dv02 + dgh0 = p0 + � dv2 + dgh ⇒

p0 + � d(0)2 + dgh = p0 + � dv2 + dg(0) ⇒

dgh = � dv2 ⇒ v = ���2gh12

12

12

12

12

12

12

SS0

12

12

12

12

21

4a) Tubo de VenturiReveja o esquema de um tubo de Venturi na página

8. Seja S1 a área da seção normal onde a pressão é p1 e avelocidade do fluido é v1 e S2 a área da seção normal ondea pressão é p2 e a velocidade do fluido é v2. Da Equaçãode Continuidade e da definição de fluxo (Φ = vS):

Φ = v1S1 = v2S2 ⇒ v1 = (I) e v2 = (II)

Da Equação de Bernoulli, sendo h2 = h1, podemosescrever:

p1 – p2 = � d(v22 – v1

2) (III)

Substituindo I e II em III:

Φ = S1S2�������

Atividades experimentaisA Fluidodinâmica é riquíssima em atividades

experimentais.Uma atividade simples e muito rica em conteúdo,

sobretudo pela revisão que permite da Cinemática, édescrita na primeira figura do exercício resolvido 3*(página 7).

As atividades mostradas nas duas últimas figurasda página 17 e na quarta figura e foto da página 19 tam-bém são muito fáceis e sugerimos ao professor que asfaça. Na experiência da vela atrás da garrafa, o professordeve colocar água na garrafa pelo menos até a metade,para que ela não caia sobre a vela. A experiência da boli-nha flutuante é mais fácil de ser feita adaptando a umsecador de cabelos uma boca fina e circular e usandouma bolinha de isopor de 2 cm a 3 cm de diâmetro, nomáximo. Bolinhas de pingue-pongue são muito pesadase exigem jatos de ar muito fortes, que nem todos ossecadores de cabelo produzem.

Com o advento das novas explicações, é importan-te que o professor também faça atividades que mostrem

2(p1 – p2)d(S1

2 – S22)

12

ΦS2

ΦS1

as falhas da antiga explicação, baseada na Equação deBernoulli, e justifiquem a utilização do Efeito Coanda.Sugerimos as duas atividades ilustradas nas fotos a seguir.

Improvise o encaixe de um disco rígido — um CD,por exemplo — na boca de um secador de cabelos, porexemplo, para que o jato de ar passe pelo furo central.Coloque outro disco de cartolina, de mesmo raio, sem ofuro central, no chão; aproxime o disco rígido do discono chão. Ele será puxado e vai prender-se ao disco rígi-do (três ou quatro apoios laterais, também de cartolina,colados na extremidade do disco inferior garantem queele não escape lateralmente). Note que, como o discoestá no chão, não há ar sob ele que justifique a explica-ção baseada na diferença de pressões.

Faça um perfil de asa em isopor ou cartolina (operfil mostrado nas fotos abaixo é de madeira balsa e foimontado com material adquirido em casa de aeromo-delismo). Faça dois furos no perfil e duas hastes verti-cais paralelas fixadas em uma base plana, pelas quais operfil da asa possa se mover também verticalmente.Deixe o perfil apoiado na base, com uma película de arde espessura desprezível sob ele, e faça incidir sobre eleo ar de um pequeno ventilador (na montagem das fotosutilizamos uma pequena turbina — para esse perfil ojato de ar precisa ser bem forte — e fizemos uma leveelevação na base para garantir que o ar não passasseabaixo do perfil). Você verá que o perfil da asa é puxa-do para cima, embora só haja fluxo de ar passando porcima dele, o que nos impede de explicar o fenômenopela Equação de Bernoulli.

* Essa atividade está descrita em detalhes nas páginas 82-84 do livro Experiências de ciências para o ensino fundamental, deste mesmo autor (São Paulo: Ática, 2005).

ALA

N R

OD

RIG

O M

AR

RET

TO

ALA

N R

OD

RIG

O M

AR

RET

TO

ALA

N R

OD

RIG

O M

AR

RET

TOA

LAN

RO

DR

IGO

MA

RR

ETTO

22

Preparação para o ingresso no ensino superiorTestes

1 (Unifra-RS) Num salto de paraquedas, verificamosque a velocidade do paraquedista pode ser conside-rada constante, ao menos depois de algum tempoque o paraquedas tenha sido aberto. Dessa forma,podemos considerá-lo como um movimento unifor-me. Dentre os itens abaixo, qual apresenta uma expli-cação plausível para esse fato?a) Com o movimento apropriado de pernas e bra-

ços, o paraquedista consegue anular o efeito dagravidade.

b) Na baixa atmosfera, o ar menos denso impede quea velocidade dos objetos continue aumentando.

c) O ar menos aquecido vindo da região próxima àterra impulsiona o paraquedas para cima.

d) A força de resistência do ar, em magnitude, éaproximadamente igual à força gravitacional daTerra, fazendo com que o paraquedista atinja umavelocidade terminal constante.

e) No vácuo gerado pelo paraquedas em movimento,ele passa a se mover com velocidade constante.

2 (Unifra-RS) Para fazer chegar água a uma popula-ção cada vez maior das cidades grandes, é preciso,além de outras coisas, aumentar a vazão de água nastubulações. Sendo v a velocidade da água na tubula-ção e A a área de seção reta do tubo, é possível con-cluir que:a) A vazão é diretamente proporcional a v e inversa-

mente proporcional a A.b) A vazão é inversamente proporcional a v e direta-

mente proporcional a A.c) A vazão é inversamente proporcional a v e inver-

samente proporcional a A.d) A vazão é diretamente proporcional a v e direta-

mente proporcional a A.e) A vazão não depende de A ou v.

Para responder às questões de números 3 e 4 utilizeas informações abaixo.De acordo com a Lei de Poiseuille, a velocidade v dosangue, em centímetros por segundo, num ponto P àdistância d do eixo central de um vaso sanguíneo deraio r é dada, aproximadamente, pela expressão v = C(r2 – d2), em que C é uma constante que depen-de do vaso.

3 (PUCC-SP) A unidade da constante C no SistemaInternacional é:

a) m–1 � s–1. d) m3 � s.b) m � s–1. e) m3 � s–1.c) m2 � s.

4 (PUCC-SP) Num dado instante, se a velocidade dofluxo sanguíneo num ponto do eixo central da aorta éde 28 cm/s e o raio desse vaso é 1 cm, a velocidadeem um ponto que dista 0,5 cm desse eixo é, em cen-tímetros por segundo, igual a:a) 19. d) 25.b) 21. e) 27.c) 23.

5 (PUC-RS) Quando um fluido é incompressível (mas-sa específica constante), sua vazão em qualquer se-ção reta de uma tubulação de diâmetro variável ésempre a mesma e vale Av, em que A é a área daseção reta e v é o valor médio da velocidade do flui-do na seção. Considerando uma parte da tubulaçãoonde a área da seção reta é A1 e a velocidade médiado fluido é v1, e outra região onde a área da seçãoreta é A2 = 3A1 e a velocidade média é v2 = xv1, o valorde x é:a) 9. d) .

b) 3. e) .

c) 1.

6 (PUC-RS) Quando a água passa numa tubulaçãohorizontal de uma seção de 4,0 cm de diâmetro paraoutra seção de 2,0 cm de diâmetro:a) sua velocidade diminui.b) sua velocidade não se altera.c) a pressão diminui.d) a pressão aumenta.e) a pressão não se altera.

7 (PUC-RS) Uma pequena esfera de vidro cai com ve-locidade constante num líquido em repouso contidonum recipiente. Com relação aos módulos das forçasque atuam sobre a esfera, peso P, empuxo E e forçade atrito viscoso Fa, é correto afirmar que:a) P = E. d) P = E – Fa.b) P = Fa. e) P = Fa – E.c) P = E + Fa.

8 (PUC-RS) A figura abaixo representa um segmentode cano horizontal, com diâmetro variável, por ondeflui água. Considerando as seções retas A e B, é corre-to afirmar que:a) a pressão da água é me-

nor em A do que em B.

19

13

A B

23

b) a velocidade da água é maior em A do que em B.c) através das duas seções retas, A e B, a vazão de

água é a mesma.d) a pressão da água é a mesma em A e em B.e) a velocidade de escoamento é a mesma em A e

em B.

9 (PUC-RS) A força de atrito viscoso sobre um deter-minado barco é diretamente proporcional à sua ve-locidade em relação à água. Sob outro aspecto, a po-tência desenvolvida pela força motriz para deslocar obarco numa dada velocidade e em movimento retilí-neo pode ser calculada pelo produto entre os mó-dulos da força e da velocidade. Verifica-se que, paradeslocar o barco com velocidade constante de mó-dulo 12 km/h, é necessária potência motriz de 6,0 kwatts (kW). Para deslocar o mesmo barco comvelocidade constante de módulo 24 km/h, será ne-cessária potência motriz de:a) 24 kW. d) 14 kW.b) 18 kW. e) 10 kW.c) 16 kW.

10 (PUC-RS) Numa experiência de laboratório de Fí-sica, abandona-se uma esfera metálica no topo de umtubo de vidro cheio de água, na vertical. A esfera caiinicialmente em movimento acelerado, mas, apósalguns centímetros, atinge velocidade constante, porisso chamada velocidade terminal ou velocidade-li-mite. Considerando a esfera com massa específicaduas vezes a da água e sabendo que os módulos dasúnicas forças que agem sobre ela são o seu peso P, oempuxo E e a força de atrito viscoso A (também cha-mada força de arrasto), pode-se concluir que, quandoatingida a velocidade-limite:a) P = E. d) P = 2A.b) E = 2A. e) P = A.c) A = 2E.

11 (UFPA) Não era novidade para ninguém que a ve-locidade de escoamento do rio mudava ao longo deseu curso. Para projetar uma ponte sobre determina-

do trecho do rio Tuandeua, uma equipe de técnicosfez algumas medidas e João ficou sabendo que a áreatransversal ao rio, naquele trecho, media 500 m2 e avelocidade média da água na vazante era de 1 m/s.Como já sabia que em frente a sua casa a velocidademédia na vazante era 2 m/s, fazendo aproximaçõespara uma situação ideal, conclui-se que a área trans-versal do rio, em frente à casa de João, é igual a:a) 250 m2. d) 750 m2.b) 300 m2. e) 1 000 m2.c) 500 m2.

Questão discursiva

12 (UFBA) Um fenômeno bastante curioso associadoao voo dos pássaros e do avião pode ser visualizadoatravés de um experimento simples, no qual se utilizaum carretel de linha para empinar pipa, um prego eum pedaço circular de cartolina.

2 cm

O prego é colocado no centro da cartolina e inseridono buraco do carretel, conforme a figura. Soprandopelo buraco superior do carretel, verifica-se que oconjunto cartolina-prego não cai. Considere a massado conjunto cartolina-prego igual a 10 g, o raio dodisco igual a 2 cm e a aceleração da gravidade local10 m/s2. A partir dessas informações, apresente a leifísica associada a esse fenômeno e calcule a diferençade pressão média mínima entre as faces da cartolinanecessária para impedir que o conjunto caia.

Orientações para o Professor

e resolução dos exercícios

Comentários e sugestõesEste assunto apresenta uma rara novidade: a revisão da

explicação clássica que a maioria dos físicos e engenheirosainda dá em relação à sustentação da asa de um avião.

É importante, em primeiro lugar, que o professor seconvença de que ela está de fato errada e deve ser revista.Para isso, sugerimos a leitura de alguns textos. O primeiro é oartigo pioneiro, em português, que alerta para esse equívocoe apresenta o Efeito Coanda: A dinâmica dos fluidos comple-mentada e a sustentação da asa, de Klaus Weltner, AntonioSergio Esperidião e Paulo Miranda, professores do Institutode Física da Universidade Federal da Bahia, e Martin Ingel-man-Sundberg, da Suécia. Foi publicado na Revista Brasileirade Ensino de Física, volume 23, número 4, de dezembro de2001, e pode ser acessado diretamente pela Internet na pági-na www.sbfisica.org.br/rbef/Vol23/Num4/.

Há muitos outros, todos em inglês. Indicamos dois:Model airplanes, the Bernoulli Equation, and the CoandaEffect, de Jef Raskin, que pode ser acessado em http://jef.raskincenter.org/main/published/coanda_effect.html. Oautor foi professor da Universidade da Califórnia, em SanDiego, e se tornou muito conhecido por ter criado o com-putador Macintosh. O outro é uma página do excelente ma-terial educativo produzido pela Nasa para explicar o voo doavião — é um texto curto, claro e objetivo, que pode serencontrado em www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/wrong1.html. Se o professor se interessar, há na Internet fartomaterial de boa qualidade a respeito, mas quase todo eminglês.

Essas leituras e a realização das experiências descritasnas atividades propostas certamente vão convencer o pro-fessor da necessidade dessa revisão. Quanto ao aluno, équase certo que a maioria não conhece a explicação ante-rior, mas nos parece importante que saibam dessa revisão,por dois motivos pelo menos. O primeiro, para mostrar ocaráter humano da física e que as verdades nela, como emqualquer ciência, não são definitivas e podem ser revistas— essa é, aliás, uma das recomendações dos PCNs. O segun-do, para mostrar ao aluno que a física não é mesmo fácil,não só na sua construção conceitual, mas também na formacomo ela é empregada para explicar os fenômenos tecno-lógicos ou do dia-a-dia. Alguns professores gostam de dizerque física é fácil, que tudo se resume a aplicar as fórmulascertas, uma falácia que só angustia e desestimula os alunos.É muito melhor para o aluno saber que não está sozinhonas dificuldades de compreensão e nos erros que comete,pois, como vimos, até Einstein os cometeu.

Competências

Representação e comunicação• Símbolos, códigos e nomenclaturas de ciência e tecno-

logia

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• Reconhecer e saber utilizar corretamente símbolos, có-digos e nomenclaturas de grandezas da física.

• Ler e interpretar corretamente tabelas, gráficos, esque-mas e diagramas apresentados em textos.

• Construir sentenças ou esquemas para a resolução deproblemas.

• Elaboração de comunicações• Descrever relatos de fenômenos ou acontecimentos que

envolvam conhecimentos físicos, apresentando comclareza e objetividade suas considerações e fazendo usoapropriado da linguagem da física.

• Elaborar relatórios analíticos, apresentando e discutin-do dados e resultados, seja de experimentos ou de ava-liações críticas de situações, fazendo uso, sempre quenecessário, da linguagem física apropriada.

Investigação e compreensão• Estratégias para enfrentamento de situações-problema

• Frente a uma situação ou problema concreto, reco-nhecer a natureza dos fenômenos envolvidos, situan-do-os no conjunto de fenômenos da física, e identi-ficar as grandezas relevantes em cada caso.

• Interações, relações e funções; invariantes e transforma-ções• Reconhecer a relação entre diferentes grandezas ou

relações de causa-efeito para ser capaz de estabelecerprevisões.

• Identificar regularidades, associando fenômenos queocorrem em situações semelhantes para utilizar as leisque expressam essas regularidades na análise e nasprevisões de situações do dia-a-dia.

• Reconhecer a existência de invariantes que impõemcondições sobre o que pode e o que não pode aconte-cer em processos naturais para fazer uso desses inva-riantes na análise de situações cotidianas.

• Relações entre conhecimentos disciplinares, interdis-ciplinares e interáreas• Construir uma visão sistematizada dos diversos tipos

de interação e das diferentes naturezas de fenômenosda física para poder fazer uso desse conhecimento deforma integrada e articulada.

• Identificar e compreender os diversos níveis de expli-cação física, microscópicos ou macroscópicos, utilizan-do-os apropriadamente na compreensão de fenôme-nos.

Contextualização sociocultural• Ciência e tecnologia na história

• Compreender o desenvolvimento histórico dos mode-los físicos para dimensionar corretamente os modelosatuais, sem dogmatismo ou certezas definitivas.

• Compreender o desenvolvimento histórico da tecno-logia nos mais diversos campos e suas consequênciaspara o cotidiano e as relações sociais de cada época,

26

identificando como seus avanços foram modificandoas condições de vida e criando novas necessidades.

• Perceber o papel desempenhado pelo conhecimentofísico no desenvolvimento da tecnologia e a complexarelação entre ciência e tecnologia ao longo da história.

Atividades interdisciplinares e de contextualização

O assunto abordado aqui complementa os deHidrostática, que tratam dos líquidos em equilíbrio (osgases em equilíbrio são objeto da Teoria Cinética dos Gases,apresentada com o estudo da Termodinâmica).

Ter como temas principais a água, como líquido, e o ar,como gás, possibilita a realização de inúmeras atividadesinterdisciplinares e de contextualização. Esta pode ser tra-balhada a partir da sua mais importante tecnologia — aAerodinâmica —, destacada na foto de abertura deste arti-go. Além da sustentação de aviões e helicópteros, aAerodinâmica estuda a aderência dos veículos terrestres aosolo e a redução da resistência do ar sobre eles. São assun-tos que motivam extraordinariamente os adolescentes,principalmente aqueles que gostam de corridas de auto-móvel, área em que essa tecnologia é altamente desenvol-vida — se o professor sugerir pesquisas nessa área, certa-mente encontrará adesões entusiásticas.

O voo das aves e o movimento dos peixes, a formacomo esses animais se sustentam ou vencem a viscosidadedo ar ou da água e a função das penas nas aves e das esca-mas nos peixes são também temas interessantíssimos quepodem proporcionar atividades interdisciplinares muitomotivadoras com a biologia.

Para você pensar

1. Por causa da aceleração da gravidade, a velocidade dofilete de água aumenta ao cair. Como a velocidade é in-versamente proporcional à área da seção normal do tu-bo de corrente, à medida que a velocidade aumentaessa área diminui e o filete afina.

2. Em condições ideais, pelo Princípio da Conservação daEnergia, a água só pode atingir o mesmo nível da super-fície. Portanto, mesmo nessas condições, a experiênciaseria impossível. Na prática, como há perdas de energiapor causa da viscosidade da água e do ar, o esguicho ficabem abaixo do nível da superfície.

3. a) Em I, sendo h1 = h2:

p1 + � dv12 = p2 + � dv2

2 ⇒

p1 – p2 = � dv22 – � dv1

2 ⇒ p1 – p2 = � d(v22 – v1

2)

Em II, como não há variação da seção normal (S1 = S2 ⇒ v1 = v2):

12

12

12

12

12

p1 + dgh1 = p2 + dgh2 ⇒ p1 – p2 = dgh2 – dgh1 ⇒ p2 – p1 = dg(h2 – h1)

b) A diferença de pressões (p1 – p2) é responsável, em I,só pela variação da energia cinética do líquido e, emII, apenas pela variação da energia potencial gravita-cional.

4. A afirmação é correta. Basta observar que a dedução daexpressão dessa lei (página 20) tem como ponto de par-tida a identidade entre o trabalho realizado pelas forçasdevidas às variações de pressão e as respectivas varia-ções de energia cinética e potencial da água, conse-quência do Princípio da Conservação da Energia Mecâ-nica.

5. Como mostra a equação de Torricelli, a velocidade de saí-da da água não depende da abertura do orifício, ou seja,nesse caso apertar a saída da mangueirinha não aumentaa velocidade de saída da água, o que invalida a ideia ini-cial do aluno. Esse resultado não contraria a Equação deContinuidade (v1S1 = v2S2), pois ela não se aplica a essasituação porque a velocidade de abaixamento da super-fície do recipiente foi considerada nula (desprezível).Assim, cinematicamente, a altura máxima da água serásempre igual à profundidade h do recipiente.

6. Não faz sentido falar em coeficiente de viscosidade está-tico porque a viscosidade depende da existência do mo-vimento relativo entre as diferentes camadas de um flui-do. Não havendo esse movimento (v = 0), não existe vis-

cosidade e a expressão do coeficiente [η = ] perde o

seu significado.

7. A adesão viscosa do líquido ao bico do recipiente dirigeo líquido e o afina, tornando-o um filete laminar, o quefacilita o seu derramamento.

8. Ao cair através do ar, a curvatura da gota faz o fluxo dear curvar-se para contorná-la. Pelo Princípio da Ação eReação, a gota é puxada lateralmente para o fluxo e, porisso, é ligeiramente achatada.

Para você resolver

1. a) Φ = ⇒ ΦE = ⇒ ΦE = 0,20 L/s ⇒

ΦE = 2,0 � 10–4 m3/s

b) rE = 0,50 cm = 5,0 � 10–3 m ⇒ SE = πrE2 ⇒

SE = 3,1(5,0 � 10–3)2 ⇒ SE = 7,8 � 10–5 m2

ΦE = vESE ⇒ 2,0 � 10–4 = vE � 7,8 � 10–5 ⇒vE = 2,6 m/s

c) rT = ⇒ rT = 1,3 cm = 1,3 � 10–2 m ⇒

ST = πrT2 ⇒ ST = 3,1(1,3 � 10–2)2 ⇒ ST = 5,2 � 10–4 m2

2,52

1260

VΔt

FySv

27

5. Ao atingir a velocidade-limite, o sistema passa a se mo-ver com velocidade constante. Logo, sendo mB = 0,060 kg(reveja as figuras da bola na página 16):T = PB ⇒ T = mBg ⇒ T = 0,060 � 10 ⇒ T = 0,60 NEsse é o módulo da força viscosa. Então, sendoy = 0,30 mm = 3,0 � 10–4 m, da expressão dessa força:

F = � v ⇒ 0,60 = � v ⇒

v = 6,0 � 10–3 m/s

6. a) Reveja a figura da página 14. Como a velocidade é cons-tante, da Segunda Lei de Newton em módulo, podemosescrever:

F + E = P ⇒ F = P – E ⇒F = dAlVesferag – dglicerinaVesferag ⇒ F = (dAl – dglicerina)Vesferag

Vesfera = � 3,1(2,0 � 10–3)3 ⇒

Vesfera = 3,3 � 10–8 m3

F = (2 700 – 1 300)3,3 � 10–8 � 10 ⇒ F = 4,6 � 10–4 N

b) Sendo Δx = 18 cm = 0,18 m, Δt = 20 s e a velocidadeconstante:

v = ⇒ v = ⇒ v = 9,0 � 10–3 m/s

Então, da Lei de Stokes:F = 6πηrv ⇒ 4,6 � 10–4 =6 � 3,1η � 2,0 � 10–3 � 9,0 � 10–3 ⇒ η = 1,4 Pa � s

7. Reveja a primeira figura da página 15. Como a velocidadeé constante e o empuxo é desprezível, da Segunda Lei deNewton em módulo podemos escrever:P – F = 0 ⇒ F = P = mgotag (I)Como a velocidade-limite é constante e a gota é esférica,supondo não haver turbulência, podemos aplicar a Leide Stokes:F = 6πηarrgotav (II)De I e II:mgotag = 6πηarrgotav (III)

Sendo d = e Vesfera = � πr3:

mgota = dóleoVgota ⇒ mgota = dóleo � � πr3gota (IV)

Substituindo IV em III, sendo v = 2,0 m/s a velocidade-

-limite para o ar:

dóleo � � πr3gotag = 6πηarrgotav ⇒

dóleo � � r2gotag = 6ηarv ⇒

800 � � r2gota � 10 = 6 � 1,8 � 10–5 � 2,0 ⇒

rgota = 1,4 � 10–4 m

43

43

43

43

43

mV

0,1820

ΔxΔt

43

0,75 � 0,0403,0 � 10–4

ηSy

v1S1 = v2S2 ⇒ vESE = vTST ⇒2,6 � 7,8 � 10–5 = vT � 5,2 � 10–4 ⇒ vE = 0,39 m/s

2. a) Φ = 5,0 L/s = 5,0 � 10–3 m3/sS1 = 1,2 � 10–2 m2 ⇒ Φ = v1S1 ⇒5,0 � 10–3 = v1 � 1,2 � 10–2 ⇒ v1 = 0,42 m/sS2 = 2,0 � 10–3 m2 ⇒ Φ = v2S2 ⇒5,0 � 10–3 = v2 � 2,0 � 10–3 ⇒ v2 = 2,5 m/s

b) Fazendo p2 = p0 = 1,0 � 105 Pa, da Equação deBernoulli:p1 – p0 = � d(v2

2 – v12) + dg(h2 – h1) ⇒

p1 – 1,0 � 105 = � 1,0 � 103(2,52 – 0,422) +

1,0 � 103 � 10(3,0 – 0) ⇒ p1 – 1,0 � 105 =3,1 � 103 + 3,0 � 104 ⇒ p1 = 1,3 � 105 Pa

3. Da equação de Torricelli (v = ):

• para a profundidade hA = 0,080 m: vA = ⇒vA = ⇒ vA = 1,3 m/s

• para hB = 0,16 m: vB = ⇒ vB = 1,8 m/s

• para hC = 0,24 m: vC = ⇒ vC = 2,2 m/s

Para um referencial em que a origem das alturas está fi-xada no nível do solo, de acordo com a figura do item b,exercício 3 da página 7:• para as gotas que saem de A:

yA = 0,24 + 0,72 = 0,96 mtempo de queda: y = y0 + v0yt + � gt2 ⇒

0 = yA + 0 � tA + (–g)tA2 ⇒ 0 = 0,96 – 5,0tA

2 ⇒

tA = 0,44 s

• para as gotas que saem de B:yB = 0,16 + 0,72 = 0,88 m

0 = yB + 0 � tB + (–g)tB2 ⇒ 0 = 0,88 – 5,0tB

2 ⇒

tB = 0,42 s

• para as gotas que saem de C:yC = 0,080 + 0,72 = 0,90 m

0 = yC + 0 � tC + (–g)tC2 ⇒ 0 = 0,80 – 5,0tC

2 ⇒

tC = 0,40 s

Portanto, os alcances serão:• para as gotas que saem de A: x = x0 + vt ⇒

xA = x0 + vAtA ⇒ xA = 0 + 1,3 � 0,44 ⇒ xA = 0,57 m• para as gotas que saem de B: xB = x0 + vBtB ⇒

xB = 0 + 1,8 � 0,42 ⇒ xB = 0,76 m• para as gotas que saem de C: xC = x0 + vCtC ⇒

xC = 0 + 2,2 � 0,40 ⇒ xC = 0,88 m

4. Da expressão do tubo de Venturi:

Φ = S1S2�� ����⇒ p1 – p2 = ⇒

Δp = ⇒

Δp = 1,7 � 103 Pa

(2,0 � 10–2)2 � 1,0 � 103[(2,5 � 10–2)2 – (1,0 � 10–2)2]2(2,5 � 10–2 � 1,0 � 10–2)2

Φ2d(S12 – S2

2)2(S1S2)2

2(p1 – p2)d(S1

2 – S22)

12

12

12

12

2 10⋅ ⋅0,24

2 10⋅ ⋅0,16

2 10⋅ ⋅0,080

2ghA

2gh

12

12

proporcional ao quadrado da sua velocidade – se eladobra (passa de 12 km/h a 24 km/h), a potência devetornar-se 4 (22) vezes maior e passar de 6,0 kW para24 kW (4 � 6,0).Resposta: alternativa a.

10. Como a massa específica da esfera é o dobro da massaespecífica da água, podemos escrever

dágua = � desfera. Então, pela expressão do empuxo

(E = dfluidoVfluido deslocadog), podemos determinar o empu-xo dessa esfera inteiramente imersa na água:

Eesfera = dáguaVesferag ⇒ Eesfera = � desferaVesferag ⇒

Eesfera = � P

Como a velocidade é constante, a resultante sobre aesfera é nula (reveja a figura da página 14). Da SegundaLei de Newton em módulo, sendo A a força viscosa:

A + Eesfera = P ⇒ A + � P = P ⇒ P = 2A

Resposta: alternativa d.

11. Da Equação de Continuidade, sendo v1 = 1 m/s, ondeS1 = 500 m2, obtemos S2, onde v2 = 2 m/s:S1v1 = S2v2 ⇒ 500 � 1 = S2 � 2 ⇒ S2 = 250 m2

Resposta: alternativa a.

12. Até há pouco tempo esse fenômeno era associado àEquação de Bernoulli (podemos afirmar que essa era aresposta esperada pela banca). No entanto, a respostacorreta é o Efeito Coanda (curiosamente, essa mudançade explicação foi divulgada pela primeira vez por físicosda UFBA).Supondo que o conjunto cartolina-prego seja sustenta-do apenas pela diferença de pressão, o que não é maisaceito como verdadeiro, a diferença de pressão médiamínima entre as faces da cartolina necessária para im-pedir que o conjunto caia deve ser aquela que resulteem uma força ascendente F= igual ao módulo P do pesodesse conjunto. Sendo m = 10 g = 1,0 � 10–2 kg a massado conjunto cartolina-prego e g = 10 m/s2, o módulo daforça ascendente é:

F = P ⇒ F = mg ⇒ F = 1,0 � 10–2 � 10 ⇒ F = 0,10 N

Da definição de pressão, podemos escrever Δp = .

A área do disco de raio r = 2,0 cm = 2,0 � 10–2 m é:S = πr2 ⇒ S = 3,1(2,0 � 10–2)2 = 1,2 � 10–3 m2

Então:

Δp = ⇒ Δp = 83 Pa0,10 1,2 � 10–3

FS

12

12

12

12

Preparação para o ingresso no ensino superior1. Resposta: alternativa d.

2. Num escoamento laminar, a vazão é dada por Φ = vS.Então, ela é diretamente proporcional à velocidade e àárea.Resposta: alternativa d.

3. Da expressão dada podemos obter a dimensão de

C pela razão 5 6

. Portanto, a dimensão de C é 5 6 ou

m3 � s–1.Resposta: alternativa e.

4. Ainda dessa expressão, podemos determinar C usan-do a expressão da velocidade do sangue (v = 0,28 m/s)para um ponto P localizado no eixo central (d = 0) emum vaso de raio r = 1,0 cm = 1,0 � 10–2 m:v = C(r2 – d2) ⇒ 0,28 = C[(1,0 � 10–2)2 – 02] ⇒C = 2,8 � 103 m3 � s–1

Pela mesma expressão determinamos o valor de v parad = 0,50 cm = 5,0 � 10–3 m:v = C(r2 – d2) ⇒ v = 2,8 � 103[(1,0 � 10–2)2 –(5,0 � 10–3)2] ⇒ v = 0,21 m/sResposta: alternativa b.

5. Da Equação de Continuidade, chamando de A a área daseção reta e sendo A2 = 3A1, podemos escrever:

A1v1 = A2v2 ⇒ A1v1 = 3A1v2 ⇒ v2 = [ ]v1

Logo, x = .

Resposta: alternativa d.

6. Da Equação de Continuidade, podemos concluir que, aopassar de uma região de maior raio para outra de menorraio, a velocidade da água aumenta. E, pela Equação deBernoulli, se a velocidade aumenta, a pressão diminui.Resposta: alternativa c.

7. Chamando F de Fa, Fa + E = P (reveja o exercício resolvi-do 6).Resposta: alternativa c.

8. Resposta: alternativa c.

9. Da expressão da força viscosa (F = cv), lembrando a re-lação entre a potência (P) e velocidade (v) de um mó-vel em MRU (P = Fv), concluímos que P = cv2. Logo, nascondições dadas, a potência do barco é diretamente

13

13

m3

s

ms

[m2]

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