SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA.
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Ficha para identificaccedilatildeo da Produccedilatildeo Didaacutetico-pedagoacutegica ndash Turma 2016
Tiacutetulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos
Alunos
Autor Joseacute Romildo Dziadzio
DisciplinaAacuterea Matemaacutetica
Escola de Implementaccedilatildeo do Projeto e sua localizaccedilatildeo
Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho Localizado na Rua Tenente Coronel Carlos Souza Nordm 20
Municiacutepio da escola Satildeo Joatildeo do Triunfo
Nuacutecleo Regional de Educaccedilatildeo Ponta Grossa
Professor Orientador Profordf Drordf Marli Terezinha Van Kan
Instituiccedilatildeo de Ensino Superior Universidade Estadual de Ponta Grossa
Resumo
Esta produccedilatildeo didaacutetico pedagoacutegica procuraraacute
trabalhar a geometria plana juntamente com a
espacial onde seraacute abordado conceitos e
definiccedilotildees de figuras e soacutelidos geomeacutetricos
Seratildeo construiacutedos poliacutegonos por meio de placa
perfurada e geoplano Faremos uma inserccedilatildeo
tecnoloacutegica onde apresentaremos o software
Geogebra para a construccedilatildeo de poliacutegonos
assim como construccedilatildeo de soacutelidos
geomeacutetricos no geoplano espacial Apoacutes a
fixaccedilatildeo desses conteuacutedos trabalharemos com
objetos reais aonde o aluno poderaacute resolver
problemas comuns do dia a dia de modo a
compreender que a matemaacutetica se faz
presente em todo lugar sendo necessaacuterio o
seu conhecimento para o levantamento de
hipoacuteteses e elaboraccedilatildeo de estrateacutegias de
resoluccedilatildeo chegando a uma conclusatildeo
aceitaacutevel
Palavras-chave Matemaacutetica geometria soacutelidos geomeacutetricos resoluccedilatildeo de problemas
Formato do Material Didaacutetico Unidade Didaacutetica
Puacuteblico
Este material didaacutetico pedagoacutegico destina-se aos alunos do Ensino Meacutedio
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCACcedilAtildeO DO PARANAacute ndash
SEED
SUPERINTENDEcircNCIA DA EDUCACcedilAtildeO ndash SUED
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA ndash UEPG
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL ndash PDE
PROJETO DE INTERVENCcedilAtildeO PEDAGOacuteGICA NA ESCOLA
AacuteREA MATEMAacuteTICA
JOSEacute ROMILDO DZIADZIO
PERCEPCcedilOtildeES E RELACcedilOtildeES DA GEOMETRIA ESPACIAL
COM O COTIDIANO DOS ALUNOS
PONTA GROSSA
2016
JOSEacute ROMILDO DZIADZIO
PERCEPCcedilOtildeES E RELACcedilOtildeES DA GEOMETRIA ESPACIAL
COM O COTIDIANO DOS ALUNOS
Produccedilatildeo Didaacutetico Pedagoacutegica elaborada para o
Programa de Desenvolvimento Educacional-
PDE ndash SEED sob a orientaccedilatildeo da Professora
Dra Marli Terezinha Van Kan da Universidade
Estadual de Ponta Grossa ndash UEPG
PONTA GROSSA
2016
APRESENTACcedilAtildeO
A matemaacutetica se faz presente todo o tempo e em todo o lugar Basta um olhar
mais apurado e um conhecimento preacutevio dos conceitos matemaacuteticos que satildeo
aproximaccedilotildees adequadas a realidade eacute que permitem que os alunos possam aplicar
a matemaacutetica as necessidades do cotidiano
O principal problema no conteuacutedo selecionado o da Geometria Espacial eacute a
pouca compreensatildeo deste e suas associaccedilotildees com a realidade por parte dos alunos
do Ensino Meacutedio Isto foi observado no Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho onde
se criou por iniciativa dos proacuteprios alunos do Ensino Meacutedio um grupo de estudos
voltados para a preparaccedilatildeo do ENEM pois devido agraves paralisaccedilotildees dos professores
que ocorreram no ano de 2015 a transmissatildeo dos conteuacutedos programados natildeo foi
contemplada devido agraves alteraccedilotildees de cronograma que de certa forma acabou
prejudicando os alunos
O grupo de estudos contou com a participaccedilatildeo de professores de outras aacutereas
de forma voluntaacuteria em horaacuterios em que o professor natildeo leciona Estando a 4 anos
fora da sala de aula na direccedilatildeo do Coleacutegio fui convidado pelos alunos a dar aulas de
matemaacutetica disciplina de concurso que diante da empolgaccedilatildeo dos alunos uma
contribuiccedilatildeo a esses jovens seria uma tarefa importante a ser realizada
Os alunos participantes do grupo em questatildeo e objeto deste projeto satildeo alunos
do 2ordm e 3ordm anos do ensino meacutedio A escolha do tema Geometria Espacial se deu pela
variedade de aplicaccedilotildees e pela dificuldade que os alunos apresentam em relacionar a
teoria com o cotidiano
Diante desse fato a escolha da linha de estudo Tendecircncias Metodoloacutegicas em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica onde se pretende utilizar a resoluccedilatildeo de problemas no ensino
meacutedio tendo como conteuacutedo estruturante GEOMETRIA e conteuacutedo especiacutefico
GEOMETRIA ESPACIAL ndash PERCEPCcedilOtildeES E RELACcedilOtildeES DA GEOMETRIA
ESPACIAL COM O COTIDIANO DOS ALUNOS
A geometria e a parte do conhecimento desenvolvido pelo indiviacuteduo na tentativa de compreender certos aspectos do mundo em que vive pois este Universo eacute repleto de objetos coisas entes de vaacuterias formas e tamanhos que ocupam as mais variadas posiccedilotildees Medir examinar formas comparar e analisar posiccedilotildees de objetos satildeo algumas das preocupaccedilotildees cotidianas do ser humano (SMOLE e DINIZ 2005 p197)
Conforme as autoras definem pode-se considerar que muitos objetos do
mundo em que vivemos possuem formas dimensotildees e ocupam um lugar no espaccedilo
Desta forma cabe a noacutes professores buscar alternativas metodoloacutegicas que
promovam nos alunos o desenvolvimento de competecircncias relacionadas a estas
percepccedilotildees e a associem com a geometria espacial para favorecer nas mais diversas
situaccedilotildees cotidianas auxiliando-os nas resoluccedilotildees de problemas que necessitem de
um conhecimento geomeacutetrico matemaacutetico
O principal objetivo deste trabalho eacute a apropriaccedilatildeo do conteuacutedo referente agrave
Geometria Espacial utilizando soacutelidos geomeacutetricos associando agrave realidade que cerca
o aluno Outros objetivos para o desenvolvimento deste trabalho satildeo Definir de
Geometria plana e espacial Associar figuras planas aos soacutelidos geomeacutetricos Definir
e compreender aacuterea e volume com observaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos Construir de
figuras espaciais (esqueletos de soacutelidos geomeacutetricos) Utilizar do software Geogebra
(geometria plana) Associar e aplicar a Geometria espacial ao cotidiano do aluno
Aplicar a matemaacutetica agraves situaccedilotildees reais e despertar o interesse pelo estudo da
matemaacutetica atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas
Esta produccedilatildeo didaacutetica pedagoacutegica no formato de Unidade Didaacutetica eacute voltada
para os alunos do Ensino Meacutedio do Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho ndash EFM_N
do Municiacutepio de Satildeo Joatildeo do Triunfo Seratildeo abordados conceitos de geometria plana
e espacial associados agrave construccedilatildeo de figuras e soacutelidos possibilitando a utilizaccedilatildeo
desses conceitos em questotildees praacuteticas relacionadas ao cotidiano do aluno
GEOMETRIA
Para Smole e Diniz (2005) ldquoa Geometria eacute uma das mais belas partes da
Matemaacutetica O prefixo geo significa terra e a Geometria estaacute presente em todo o
Universo desde o microcosmo ateacute o macrocosmordquo Ela surgiu da necessidade dos
seres humanos de medir terras e demarcar propriedades mas atualmente estaacute
voltada para o estudo de figuras de suas propriedades e relaccedilotildees
A Geometria faz parte da vida das pessoas desde seus primeiros anos de
existecircncia Observa-se que quando a crianccedila comeccedila a engatinhar e a andar
descobre o mundo em sua volta e comeccedila a fazer seus primeiros contatos com esse
universo manipula objetos de vaacuterias formas (cubos esferas triacircngulos retacircngulos
cilindros entre outros) e cores procura encaixar um objeto em outro mesmo sem
saber estaacute tentando resolver um problema Embora ainda natildeo tenha contato com o
conhecimento matemaacutetico estaacute construindo uma linha de raciociacutenio que iraacute
permanecer em seu aprendizado
No Estado do Paranaacute temos as DCE (2008) que contemplam o conteuacutedo
estruturante de Geometria o qual estaacute subdividido em plana e espacial onde o aluno
deve compreender
Geometria Plana ponto reta e plano paralelismo e perpendicularismo
estrutura e dimensatildeo de figuras geomeacutetricas planas e seus elementos fundamentais
caacutelculos geomeacutetricos periacutemetro e aacuterea diferentes unidades de medidas e suas
conversotildees representaccedilatildeo cartesiana e confecccedilatildeo de graacuteficos
Geometria Espacial nomenclatura estrutura e dimensatildeo dos soacutelidos
geomeacutetricos e caacutelculos de medidas de arestas aacuterea das faces aacuterea total e volume de
prismas retangulares (paralelepiacutepedo e cubo) e prismas triangulares (base triacircngulo)
incluindo conversotildees
A geometria estuda as propriedades espaciais do mundo material Dizem-se ldquoespaciaisrdquo as propriedades determinadas pela forma grandeza e posiccedilatildeo relativa dos objetos Eacute obvio que a necessidade de conhecer essas propriedades decorre de exigecircncias praacuteticas para fabricar maacutequinas construir edifiacutecios abrir estradas ou canais por exemplo eacute preciso medir comprimentos aacutereas e volumes Como eacute natural os primeiros conhecimentos geomeacutetricos foram adquiridos pelo meacutetodo indutivo a partir de um nuacutemero grande de observaccedilotildees e experiecircncias Poreacutem agrave medida que se foram acumulando verdades geomeacutetricas descobriu-se que muitas delas podem ser obtidas de outras mediante raciociacutenios ou seja por deduccedilatildeo sem necessidade de recorrer a nenhuma experiecircncia particular (FETISSOV 1994 p20)
Ainda segundo as DCE (2008) no Ensino Meacutedio deve-se garantir ao aluno o
aprofundamento dos conceitos de Geometria plana e espacial em um niacutevel de
abstraccedilatildeo mais complexo Nesse niacutevel de ensino os alunos realizam anaacutelises dos
elementos que estruturam a Geometria Euclidiana atraveacutes da representaccedilatildeo
algeacutebrica ou seja a geometria analiacutetica plana Neste caso eacute imprescindiacutevel o estudo
da distacircncia entre pontos retas e circunferecircncias equaccedilatildeo da reta do plano e da
circunferecircncia caacutelculos de aacutereas de figuras no plano e estudo de posiccedilotildees Assim eacute
necessaacuterio conhecer as demonstraccedilotildees das foacutermulas e teoremas aplicar as regras e
convenccedilotildees matemaacuteticas tanto no estudo da geometria de posiccedilatildeo como no caacutelculo
de aacuterea de figuras geomeacutetricas planas e espaciais e de volume de soacutelidos
geomeacutetricos em especial de prisma piracircmide (tetraedro) cilindro cone e esfera
No iniacutecio do estudo da Geometria Espacial eacute dado ecircnfase a visualizaccedilatildeo de
situaccedilotildees geomeacutetricas e a sua representaccedilatildeo no plano pois sem tais habilidades fica
difiacutecil desenvolver um trabalho em Geometria A Geometria eacute considerada como uma
ferramenta que pode ser usada para descrever e interagir com o espaccedilo em que se
vive e talvez a parte da Matemaacutetica mais intuitiva concreta e associada a realidade
Ateacute agora mencionamos vaacuterios elementos e nomes usados na matemaacutetica que
para o aluno muitas vezes natildeo passa de uma simples fala do professor Entatildeo a partir
deste momento passaremos a conceituar esses elementos figuras e objetos os quais
iremos trabalhar mais adiante O aluno precisa encontrar significado para aquilo que
o professor descreve que apoacutes a associaccedilatildeo do significado ao objeto de estudo eacute que
o aluno teraacute condiccedilatildeo de entender o que estaacute sendo proposto e apresentar a resoluccedilatildeo
para o problema
FIGURAS PLANAS
POLIacuteGONOS Poliacutegono eacute uma figura plana formada por vaacuterios acircngulos Em
grego poli que dizer lsquovaacuteriosrsquo e gonos quer dizer lsquoacircngulorsquo (Machado 1994 p18)
Um poliacutegono tem acircngulos e lados em mesmo nuacutemero O poliacutegono que tem
todos os lados de igual tamanho e todos os acircngulos internos de mesma medida eacute
denominado poliacutegono regular
Dentre os poliacutegonos regulares estatildeo associados aos soacutelidos geomeacutetricos as
seguintes figuras
Triacircngulo
Quadrado
Retacircngulo
Pentaacutegono
Hexaacutegono
Para representar estas figuras usaremos uma chapa perfurada de Eucatex
(figura 2) o geoplano circular (figura 3) e tambeacutem parafusos e elaacutesticos coloridos
Figura 01 ndash Nome dos poliacutegonos em relaccedilatildeo aos lados e veacutertices
Nome do Poliacutegono Nordm de lados Nordm de Veacutertices
Triacircngulo 3 3
Quadrilaacutetero 4 4
Pentaacutegono 5 5
Hexaacutegono 6 6
Decaacutegono 10 10
Undecaacutegono 11 11
Icosaacutegono 20 20
Figura 2 ndash Chapa perfurada
Fonte Arquivo pessoal
Figura 3 ndash Geoplano circular
Fonte Arquivo pessoal
AacuteREAS DA FIGURAS PLANAS
A seguir seraacute demonstrado as aacutereas das figuras planas
Figura 4 ndash aacutereas de figuras planas
Fonte httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesgaleriafotosphpevento=3 Acesso em 08122016
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCACcedilAtildeO DO PARANAacute ndash
SEED
SUPERINTENDEcircNCIA DA EDUCACcedilAtildeO ndash SUED
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA ndash UEPG
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL ndash PDE
PROJETO DE INTERVENCcedilAtildeO PEDAGOacuteGICA NA ESCOLA
AacuteREA MATEMAacuteTICA
JOSEacute ROMILDO DZIADZIO
PERCEPCcedilOtildeES E RELACcedilOtildeES DA GEOMETRIA ESPACIAL
COM O COTIDIANO DOS ALUNOS
PONTA GROSSA
2016
JOSEacute ROMILDO DZIADZIO
PERCEPCcedilOtildeES E RELACcedilOtildeES DA GEOMETRIA ESPACIAL
COM O COTIDIANO DOS ALUNOS
Produccedilatildeo Didaacutetico Pedagoacutegica elaborada para o
Programa de Desenvolvimento Educacional-
PDE ndash SEED sob a orientaccedilatildeo da Professora
Dra Marli Terezinha Van Kan da Universidade
Estadual de Ponta Grossa ndash UEPG
PONTA GROSSA
2016
APRESENTACcedilAtildeO
A matemaacutetica se faz presente todo o tempo e em todo o lugar Basta um olhar
mais apurado e um conhecimento preacutevio dos conceitos matemaacuteticos que satildeo
aproximaccedilotildees adequadas a realidade eacute que permitem que os alunos possam aplicar
a matemaacutetica as necessidades do cotidiano
O principal problema no conteuacutedo selecionado o da Geometria Espacial eacute a
pouca compreensatildeo deste e suas associaccedilotildees com a realidade por parte dos alunos
do Ensino Meacutedio Isto foi observado no Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho onde
se criou por iniciativa dos proacuteprios alunos do Ensino Meacutedio um grupo de estudos
voltados para a preparaccedilatildeo do ENEM pois devido agraves paralisaccedilotildees dos professores
que ocorreram no ano de 2015 a transmissatildeo dos conteuacutedos programados natildeo foi
contemplada devido agraves alteraccedilotildees de cronograma que de certa forma acabou
prejudicando os alunos
O grupo de estudos contou com a participaccedilatildeo de professores de outras aacutereas
de forma voluntaacuteria em horaacuterios em que o professor natildeo leciona Estando a 4 anos
fora da sala de aula na direccedilatildeo do Coleacutegio fui convidado pelos alunos a dar aulas de
matemaacutetica disciplina de concurso que diante da empolgaccedilatildeo dos alunos uma
contribuiccedilatildeo a esses jovens seria uma tarefa importante a ser realizada
Os alunos participantes do grupo em questatildeo e objeto deste projeto satildeo alunos
do 2ordm e 3ordm anos do ensino meacutedio A escolha do tema Geometria Espacial se deu pela
variedade de aplicaccedilotildees e pela dificuldade que os alunos apresentam em relacionar a
teoria com o cotidiano
Diante desse fato a escolha da linha de estudo Tendecircncias Metodoloacutegicas em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica onde se pretende utilizar a resoluccedilatildeo de problemas no ensino
meacutedio tendo como conteuacutedo estruturante GEOMETRIA e conteuacutedo especiacutefico
GEOMETRIA ESPACIAL ndash PERCEPCcedilOtildeES E RELACcedilOtildeES DA GEOMETRIA
ESPACIAL COM O COTIDIANO DOS ALUNOS
A geometria e a parte do conhecimento desenvolvido pelo indiviacuteduo na tentativa de compreender certos aspectos do mundo em que vive pois este Universo eacute repleto de objetos coisas entes de vaacuterias formas e tamanhos que ocupam as mais variadas posiccedilotildees Medir examinar formas comparar e analisar posiccedilotildees de objetos satildeo algumas das preocupaccedilotildees cotidianas do ser humano (SMOLE e DINIZ 2005 p197)
Conforme as autoras definem pode-se considerar que muitos objetos do
mundo em que vivemos possuem formas dimensotildees e ocupam um lugar no espaccedilo
Desta forma cabe a noacutes professores buscar alternativas metodoloacutegicas que
promovam nos alunos o desenvolvimento de competecircncias relacionadas a estas
percepccedilotildees e a associem com a geometria espacial para favorecer nas mais diversas
situaccedilotildees cotidianas auxiliando-os nas resoluccedilotildees de problemas que necessitem de
um conhecimento geomeacutetrico matemaacutetico
O principal objetivo deste trabalho eacute a apropriaccedilatildeo do conteuacutedo referente agrave
Geometria Espacial utilizando soacutelidos geomeacutetricos associando agrave realidade que cerca
o aluno Outros objetivos para o desenvolvimento deste trabalho satildeo Definir de
Geometria plana e espacial Associar figuras planas aos soacutelidos geomeacutetricos Definir
e compreender aacuterea e volume com observaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos Construir de
figuras espaciais (esqueletos de soacutelidos geomeacutetricos) Utilizar do software Geogebra
(geometria plana) Associar e aplicar a Geometria espacial ao cotidiano do aluno
Aplicar a matemaacutetica agraves situaccedilotildees reais e despertar o interesse pelo estudo da
matemaacutetica atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas
Esta produccedilatildeo didaacutetica pedagoacutegica no formato de Unidade Didaacutetica eacute voltada
para os alunos do Ensino Meacutedio do Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho ndash EFM_N
do Municiacutepio de Satildeo Joatildeo do Triunfo Seratildeo abordados conceitos de geometria plana
e espacial associados agrave construccedilatildeo de figuras e soacutelidos possibilitando a utilizaccedilatildeo
desses conceitos em questotildees praacuteticas relacionadas ao cotidiano do aluno
GEOMETRIA
Para Smole e Diniz (2005) ldquoa Geometria eacute uma das mais belas partes da
Matemaacutetica O prefixo geo significa terra e a Geometria estaacute presente em todo o
Universo desde o microcosmo ateacute o macrocosmordquo Ela surgiu da necessidade dos
seres humanos de medir terras e demarcar propriedades mas atualmente estaacute
voltada para o estudo de figuras de suas propriedades e relaccedilotildees
A Geometria faz parte da vida das pessoas desde seus primeiros anos de
existecircncia Observa-se que quando a crianccedila comeccedila a engatinhar e a andar
descobre o mundo em sua volta e comeccedila a fazer seus primeiros contatos com esse
universo manipula objetos de vaacuterias formas (cubos esferas triacircngulos retacircngulos
cilindros entre outros) e cores procura encaixar um objeto em outro mesmo sem
saber estaacute tentando resolver um problema Embora ainda natildeo tenha contato com o
conhecimento matemaacutetico estaacute construindo uma linha de raciociacutenio que iraacute
permanecer em seu aprendizado
No Estado do Paranaacute temos as DCE (2008) que contemplam o conteuacutedo
estruturante de Geometria o qual estaacute subdividido em plana e espacial onde o aluno
deve compreender
Geometria Plana ponto reta e plano paralelismo e perpendicularismo
estrutura e dimensatildeo de figuras geomeacutetricas planas e seus elementos fundamentais
caacutelculos geomeacutetricos periacutemetro e aacuterea diferentes unidades de medidas e suas
conversotildees representaccedilatildeo cartesiana e confecccedilatildeo de graacuteficos
Geometria Espacial nomenclatura estrutura e dimensatildeo dos soacutelidos
geomeacutetricos e caacutelculos de medidas de arestas aacuterea das faces aacuterea total e volume de
prismas retangulares (paralelepiacutepedo e cubo) e prismas triangulares (base triacircngulo)
incluindo conversotildees
A geometria estuda as propriedades espaciais do mundo material Dizem-se ldquoespaciaisrdquo as propriedades determinadas pela forma grandeza e posiccedilatildeo relativa dos objetos Eacute obvio que a necessidade de conhecer essas propriedades decorre de exigecircncias praacuteticas para fabricar maacutequinas construir edifiacutecios abrir estradas ou canais por exemplo eacute preciso medir comprimentos aacutereas e volumes Como eacute natural os primeiros conhecimentos geomeacutetricos foram adquiridos pelo meacutetodo indutivo a partir de um nuacutemero grande de observaccedilotildees e experiecircncias Poreacutem agrave medida que se foram acumulando verdades geomeacutetricas descobriu-se que muitas delas podem ser obtidas de outras mediante raciociacutenios ou seja por deduccedilatildeo sem necessidade de recorrer a nenhuma experiecircncia particular (FETISSOV 1994 p20)
Ainda segundo as DCE (2008) no Ensino Meacutedio deve-se garantir ao aluno o
aprofundamento dos conceitos de Geometria plana e espacial em um niacutevel de
abstraccedilatildeo mais complexo Nesse niacutevel de ensino os alunos realizam anaacutelises dos
elementos que estruturam a Geometria Euclidiana atraveacutes da representaccedilatildeo
algeacutebrica ou seja a geometria analiacutetica plana Neste caso eacute imprescindiacutevel o estudo
da distacircncia entre pontos retas e circunferecircncias equaccedilatildeo da reta do plano e da
circunferecircncia caacutelculos de aacutereas de figuras no plano e estudo de posiccedilotildees Assim eacute
necessaacuterio conhecer as demonstraccedilotildees das foacutermulas e teoremas aplicar as regras e
convenccedilotildees matemaacuteticas tanto no estudo da geometria de posiccedilatildeo como no caacutelculo
de aacuterea de figuras geomeacutetricas planas e espaciais e de volume de soacutelidos
geomeacutetricos em especial de prisma piracircmide (tetraedro) cilindro cone e esfera
No iniacutecio do estudo da Geometria Espacial eacute dado ecircnfase a visualizaccedilatildeo de
situaccedilotildees geomeacutetricas e a sua representaccedilatildeo no plano pois sem tais habilidades fica
difiacutecil desenvolver um trabalho em Geometria A Geometria eacute considerada como uma
ferramenta que pode ser usada para descrever e interagir com o espaccedilo em que se
vive e talvez a parte da Matemaacutetica mais intuitiva concreta e associada a realidade
Ateacute agora mencionamos vaacuterios elementos e nomes usados na matemaacutetica que
para o aluno muitas vezes natildeo passa de uma simples fala do professor Entatildeo a partir
deste momento passaremos a conceituar esses elementos figuras e objetos os quais
iremos trabalhar mais adiante O aluno precisa encontrar significado para aquilo que
o professor descreve que apoacutes a associaccedilatildeo do significado ao objeto de estudo eacute que
o aluno teraacute condiccedilatildeo de entender o que estaacute sendo proposto e apresentar a resoluccedilatildeo
para o problema
FIGURAS PLANAS
POLIacuteGONOS Poliacutegono eacute uma figura plana formada por vaacuterios acircngulos Em
grego poli que dizer lsquovaacuteriosrsquo e gonos quer dizer lsquoacircngulorsquo (Machado 1994 p18)
Um poliacutegono tem acircngulos e lados em mesmo nuacutemero O poliacutegono que tem
todos os lados de igual tamanho e todos os acircngulos internos de mesma medida eacute
denominado poliacutegono regular
Dentre os poliacutegonos regulares estatildeo associados aos soacutelidos geomeacutetricos as
seguintes figuras
Triacircngulo
Quadrado
Retacircngulo
Pentaacutegono
Hexaacutegono
Para representar estas figuras usaremos uma chapa perfurada de Eucatex
(figura 2) o geoplano circular (figura 3) e tambeacutem parafusos e elaacutesticos coloridos
Figura 01 ndash Nome dos poliacutegonos em relaccedilatildeo aos lados e veacutertices
Nome do Poliacutegono Nordm de lados Nordm de Veacutertices
Triacircngulo 3 3
Quadrilaacutetero 4 4
Pentaacutegono 5 5
Hexaacutegono 6 6
Decaacutegono 10 10
Undecaacutegono 11 11
Icosaacutegono 20 20
Figura 2 ndash Chapa perfurada
Fonte Arquivo pessoal
Figura 3 ndash Geoplano circular
Fonte Arquivo pessoal
AacuteREAS DA FIGURAS PLANAS
A seguir seraacute demonstrado as aacutereas das figuras planas
Figura 4 ndash aacutereas de figuras planas
Fonte httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesgaleriafotosphpevento=3 Acesso em 08122016
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
JOSEacute ROMILDO DZIADZIO
PERCEPCcedilOtildeES E RELACcedilOtildeES DA GEOMETRIA ESPACIAL
COM O COTIDIANO DOS ALUNOS
Produccedilatildeo Didaacutetico Pedagoacutegica elaborada para o
Programa de Desenvolvimento Educacional-
PDE ndash SEED sob a orientaccedilatildeo da Professora
Dra Marli Terezinha Van Kan da Universidade
Estadual de Ponta Grossa ndash UEPG
PONTA GROSSA
2016
APRESENTACcedilAtildeO
A matemaacutetica se faz presente todo o tempo e em todo o lugar Basta um olhar
mais apurado e um conhecimento preacutevio dos conceitos matemaacuteticos que satildeo
aproximaccedilotildees adequadas a realidade eacute que permitem que os alunos possam aplicar
a matemaacutetica as necessidades do cotidiano
O principal problema no conteuacutedo selecionado o da Geometria Espacial eacute a
pouca compreensatildeo deste e suas associaccedilotildees com a realidade por parte dos alunos
do Ensino Meacutedio Isto foi observado no Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho onde
se criou por iniciativa dos proacuteprios alunos do Ensino Meacutedio um grupo de estudos
voltados para a preparaccedilatildeo do ENEM pois devido agraves paralisaccedilotildees dos professores
que ocorreram no ano de 2015 a transmissatildeo dos conteuacutedos programados natildeo foi
contemplada devido agraves alteraccedilotildees de cronograma que de certa forma acabou
prejudicando os alunos
O grupo de estudos contou com a participaccedilatildeo de professores de outras aacutereas
de forma voluntaacuteria em horaacuterios em que o professor natildeo leciona Estando a 4 anos
fora da sala de aula na direccedilatildeo do Coleacutegio fui convidado pelos alunos a dar aulas de
matemaacutetica disciplina de concurso que diante da empolgaccedilatildeo dos alunos uma
contribuiccedilatildeo a esses jovens seria uma tarefa importante a ser realizada
Os alunos participantes do grupo em questatildeo e objeto deste projeto satildeo alunos
do 2ordm e 3ordm anos do ensino meacutedio A escolha do tema Geometria Espacial se deu pela
variedade de aplicaccedilotildees e pela dificuldade que os alunos apresentam em relacionar a
teoria com o cotidiano
Diante desse fato a escolha da linha de estudo Tendecircncias Metodoloacutegicas em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica onde se pretende utilizar a resoluccedilatildeo de problemas no ensino
meacutedio tendo como conteuacutedo estruturante GEOMETRIA e conteuacutedo especiacutefico
GEOMETRIA ESPACIAL ndash PERCEPCcedilOtildeES E RELACcedilOtildeES DA GEOMETRIA
ESPACIAL COM O COTIDIANO DOS ALUNOS
A geometria e a parte do conhecimento desenvolvido pelo indiviacuteduo na tentativa de compreender certos aspectos do mundo em que vive pois este Universo eacute repleto de objetos coisas entes de vaacuterias formas e tamanhos que ocupam as mais variadas posiccedilotildees Medir examinar formas comparar e analisar posiccedilotildees de objetos satildeo algumas das preocupaccedilotildees cotidianas do ser humano (SMOLE e DINIZ 2005 p197)
Conforme as autoras definem pode-se considerar que muitos objetos do
mundo em que vivemos possuem formas dimensotildees e ocupam um lugar no espaccedilo
Desta forma cabe a noacutes professores buscar alternativas metodoloacutegicas que
promovam nos alunos o desenvolvimento de competecircncias relacionadas a estas
percepccedilotildees e a associem com a geometria espacial para favorecer nas mais diversas
situaccedilotildees cotidianas auxiliando-os nas resoluccedilotildees de problemas que necessitem de
um conhecimento geomeacutetrico matemaacutetico
O principal objetivo deste trabalho eacute a apropriaccedilatildeo do conteuacutedo referente agrave
Geometria Espacial utilizando soacutelidos geomeacutetricos associando agrave realidade que cerca
o aluno Outros objetivos para o desenvolvimento deste trabalho satildeo Definir de
Geometria plana e espacial Associar figuras planas aos soacutelidos geomeacutetricos Definir
e compreender aacuterea e volume com observaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos Construir de
figuras espaciais (esqueletos de soacutelidos geomeacutetricos) Utilizar do software Geogebra
(geometria plana) Associar e aplicar a Geometria espacial ao cotidiano do aluno
Aplicar a matemaacutetica agraves situaccedilotildees reais e despertar o interesse pelo estudo da
matemaacutetica atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas
Esta produccedilatildeo didaacutetica pedagoacutegica no formato de Unidade Didaacutetica eacute voltada
para os alunos do Ensino Meacutedio do Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho ndash EFM_N
do Municiacutepio de Satildeo Joatildeo do Triunfo Seratildeo abordados conceitos de geometria plana
e espacial associados agrave construccedilatildeo de figuras e soacutelidos possibilitando a utilizaccedilatildeo
desses conceitos em questotildees praacuteticas relacionadas ao cotidiano do aluno
GEOMETRIA
Para Smole e Diniz (2005) ldquoa Geometria eacute uma das mais belas partes da
Matemaacutetica O prefixo geo significa terra e a Geometria estaacute presente em todo o
Universo desde o microcosmo ateacute o macrocosmordquo Ela surgiu da necessidade dos
seres humanos de medir terras e demarcar propriedades mas atualmente estaacute
voltada para o estudo de figuras de suas propriedades e relaccedilotildees
A Geometria faz parte da vida das pessoas desde seus primeiros anos de
existecircncia Observa-se que quando a crianccedila comeccedila a engatinhar e a andar
descobre o mundo em sua volta e comeccedila a fazer seus primeiros contatos com esse
universo manipula objetos de vaacuterias formas (cubos esferas triacircngulos retacircngulos
cilindros entre outros) e cores procura encaixar um objeto em outro mesmo sem
saber estaacute tentando resolver um problema Embora ainda natildeo tenha contato com o
conhecimento matemaacutetico estaacute construindo uma linha de raciociacutenio que iraacute
permanecer em seu aprendizado
No Estado do Paranaacute temos as DCE (2008) que contemplam o conteuacutedo
estruturante de Geometria o qual estaacute subdividido em plana e espacial onde o aluno
deve compreender
Geometria Plana ponto reta e plano paralelismo e perpendicularismo
estrutura e dimensatildeo de figuras geomeacutetricas planas e seus elementos fundamentais
caacutelculos geomeacutetricos periacutemetro e aacuterea diferentes unidades de medidas e suas
conversotildees representaccedilatildeo cartesiana e confecccedilatildeo de graacuteficos
Geometria Espacial nomenclatura estrutura e dimensatildeo dos soacutelidos
geomeacutetricos e caacutelculos de medidas de arestas aacuterea das faces aacuterea total e volume de
prismas retangulares (paralelepiacutepedo e cubo) e prismas triangulares (base triacircngulo)
incluindo conversotildees
A geometria estuda as propriedades espaciais do mundo material Dizem-se ldquoespaciaisrdquo as propriedades determinadas pela forma grandeza e posiccedilatildeo relativa dos objetos Eacute obvio que a necessidade de conhecer essas propriedades decorre de exigecircncias praacuteticas para fabricar maacutequinas construir edifiacutecios abrir estradas ou canais por exemplo eacute preciso medir comprimentos aacutereas e volumes Como eacute natural os primeiros conhecimentos geomeacutetricos foram adquiridos pelo meacutetodo indutivo a partir de um nuacutemero grande de observaccedilotildees e experiecircncias Poreacutem agrave medida que se foram acumulando verdades geomeacutetricas descobriu-se que muitas delas podem ser obtidas de outras mediante raciociacutenios ou seja por deduccedilatildeo sem necessidade de recorrer a nenhuma experiecircncia particular (FETISSOV 1994 p20)
Ainda segundo as DCE (2008) no Ensino Meacutedio deve-se garantir ao aluno o
aprofundamento dos conceitos de Geometria plana e espacial em um niacutevel de
abstraccedilatildeo mais complexo Nesse niacutevel de ensino os alunos realizam anaacutelises dos
elementos que estruturam a Geometria Euclidiana atraveacutes da representaccedilatildeo
algeacutebrica ou seja a geometria analiacutetica plana Neste caso eacute imprescindiacutevel o estudo
da distacircncia entre pontos retas e circunferecircncias equaccedilatildeo da reta do plano e da
circunferecircncia caacutelculos de aacutereas de figuras no plano e estudo de posiccedilotildees Assim eacute
necessaacuterio conhecer as demonstraccedilotildees das foacutermulas e teoremas aplicar as regras e
convenccedilotildees matemaacuteticas tanto no estudo da geometria de posiccedilatildeo como no caacutelculo
de aacuterea de figuras geomeacutetricas planas e espaciais e de volume de soacutelidos
geomeacutetricos em especial de prisma piracircmide (tetraedro) cilindro cone e esfera
No iniacutecio do estudo da Geometria Espacial eacute dado ecircnfase a visualizaccedilatildeo de
situaccedilotildees geomeacutetricas e a sua representaccedilatildeo no plano pois sem tais habilidades fica
difiacutecil desenvolver um trabalho em Geometria A Geometria eacute considerada como uma
ferramenta que pode ser usada para descrever e interagir com o espaccedilo em que se
vive e talvez a parte da Matemaacutetica mais intuitiva concreta e associada a realidade
Ateacute agora mencionamos vaacuterios elementos e nomes usados na matemaacutetica que
para o aluno muitas vezes natildeo passa de uma simples fala do professor Entatildeo a partir
deste momento passaremos a conceituar esses elementos figuras e objetos os quais
iremos trabalhar mais adiante O aluno precisa encontrar significado para aquilo que
o professor descreve que apoacutes a associaccedilatildeo do significado ao objeto de estudo eacute que
o aluno teraacute condiccedilatildeo de entender o que estaacute sendo proposto e apresentar a resoluccedilatildeo
para o problema
FIGURAS PLANAS
POLIacuteGONOS Poliacutegono eacute uma figura plana formada por vaacuterios acircngulos Em
grego poli que dizer lsquovaacuteriosrsquo e gonos quer dizer lsquoacircngulorsquo (Machado 1994 p18)
Um poliacutegono tem acircngulos e lados em mesmo nuacutemero O poliacutegono que tem
todos os lados de igual tamanho e todos os acircngulos internos de mesma medida eacute
denominado poliacutegono regular
Dentre os poliacutegonos regulares estatildeo associados aos soacutelidos geomeacutetricos as
seguintes figuras
Triacircngulo
Quadrado
Retacircngulo
Pentaacutegono
Hexaacutegono
Para representar estas figuras usaremos uma chapa perfurada de Eucatex
(figura 2) o geoplano circular (figura 3) e tambeacutem parafusos e elaacutesticos coloridos
Figura 01 ndash Nome dos poliacutegonos em relaccedilatildeo aos lados e veacutertices
Nome do Poliacutegono Nordm de lados Nordm de Veacutertices
Triacircngulo 3 3
Quadrilaacutetero 4 4
Pentaacutegono 5 5
Hexaacutegono 6 6
Decaacutegono 10 10
Undecaacutegono 11 11
Icosaacutegono 20 20
Figura 2 ndash Chapa perfurada
Fonte Arquivo pessoal
Figura 3 ndash Geoplano circular
Fonte Arquivo pessoal
AacuteREAS DA FIGURAS PLANAS
A seguir seraacute demonstrado as aacutereas das figuras planas
Figura 4 ndash aacutereas de figuras planas
Fonte httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesgaleriafotosphpevento=3 Acesso em 08122016
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
APRESENTACcedilAtildeO
A matemaacutetica se faz presente todo o tempo e em todo o lugar Basta um olhar
mais apurado e um conhecimento preacutevio dos conceitos matemaacuteticos que satildeo
aproximaccedilotildees adequadas a realidade eacute que permitem que os alunos possam aplicar
a matemaacutetica as necessidades do cotidiano
O principal problema no conteuacutedo selecionado o da Geometria Espacial eacute a
pouca compreensatildeo deste e suas associaccedilotildees com a realidade por parte dos alunos
do Ensino Meacutedio Isto foi observado no Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho onde
se criou por iniciativa dos proacuteprios alunos do Ensino Meacutedio um grupo de estudos
voltados para a preparaccedilatildeo do ENEM pois devido agraves paralisaccedilotildees dos professores
que ocorreram no ano de 2015 a transmissatildeo dos conteuacutedos programados natildeo foi
contemplada devido agraves alteraccedilotildees de cronograma que de certa forma acabou
prejudicando os alunos
O grupo de estudos contou com a participaccedilatildeo de professores de outras aacutereas
de forma voluntaacuteria em horaacuterios em que o professor natildeo leciona Estando a 4 anos
fora da sala de aula na direccedilatildeo do Coleacutegio fui convidado pelos alunos a dar aulas de
matemaacutetica disciplina de concurso que diante da empolgaccedilatildeo dos alunos uma
contribuiccedilatildeo a esses jovens seria uma tarefa importante a ser realizada
Os alunos participantes do grupo em questatildeo e objeto deste projeto satildeo alunos
do 2ordm e 3ordm anos do ensino meacutedio A escolha do tema Geometria Espacial se deu pela
variedade de aplicaccedilotildees e pela dificuldade que os alunos apresentam em relacionar a
teoria com o cotidiano
Diante desse fato a escolha da linha de estudo Tendecircncias Metodoloacutegicas em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica onde se pretende utilizar a resoluccedilatildeo de problemas no ensino
meacutedio tendo como conteuacutedo estruturante GEOMETRIA e conteuacutedo especiacutefico
GEOMETRIA ESPACIAL ndash PERCEPCcedilOtildeES E RELACcedilOtildeES DA GEOMETRIA
ESPACIAL COM O COTIDIANO DOS ALUNOS
A geometria e a parte do conhecimento desenvolvido pelo indiviacuteduo na tentativa de compreender certos aspectos do mundo em que vive pois este Universo eacute repleto de objetos coisas entes de vaacuterias formas e tamanhos que ocupam as mais variadas posiccedilotildees Medir examinar formas comparar e analisar posiccedilotildees de objetos satildeo algumas das preocupaccedilotildees cotidianas do ser humano (SMOLE e DINIZ 2005 p197)
Conforme as autoras definem pode-se considerar que muitos objetos do
mundo em que vivemos possuem formas dimensotildees e ocupam um lugar no espaccedilo
Desta forma cabe a noacutes professores buscar alternativas metodoloacutegicas que
promovam nos alunos o desenvolvimento de competecircncias relacionadas a estas
percepccedilotildees e a associem com a geometria espacial para favorecer nas mais diversas
situaccedilotildees cotidianas auxiliando-os nas resoluccedilotildees de problemas que necessitem de
um conhecimento geomeacutetrico matemaacutetico
O principal objetivo deste trabalho eacute a apropriaccedilatildeo do conteuacutedo referente agrave
Geometria Espacial utilizando soacutelidos geomeacutetricos associando agrave realidade que cerca
o aluno Outros objetivos para o desenvolvimento deste trabalho satildeo Definir de
Geometria plana e espacial Associar figuras planas aos soacutelidos geomeacutetricos Definir
e compreender aacuterea e volume com observaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos Construir de
figuras espaciais (esqueletos de soacutelidos geomeacutetricos) Utilizar do software Geogebra
(geometria plana) Associar e aplicar a Geometria espacial ao cotidiano do aluno
Aplicar a matemaacutetica agraves situaccedilotildees reais e despertar o interesse pelo estudo da
matemaacutetica atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas
Esta produccedilatildeo didaacutetica pedagoacutegica no formato de Unidade Didaacutetica eacute voltada
para os alunos do Ensino Meacutedio do Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho ndash EFM_N
do Municiacutepio de Satildeo Joatildeo do Triunfo Seratildeo abordados conceitos de geometria plana
e espacial associados agrave construccedilatildeo de figuras e soacutelidos possibilitando a utilizaccedilatildeo
desses conceitos em questotildees praacuteticas relacionadas ao cotidiano do aluno
GEOMETRIA
Para Smole e Diniz (2005) ldquoa Geometria eacute uma das mais belas partes da
Matemaacutetica O prefixo geo significa terra e a Geometria estaacute presente em todo o
Universo desde o microcosmo ateacute o macrocosmordquo Ela surgiu da necessidade dos
seres humanos de medir terras e demarcar propriedades mas atualmente estaacute
voltada para o estudo de figuras de suas propriedades e relaccedilotildees
A Geometria faz parte da vida das pessoas desde seus primeiros anos de
existecircncia Observa-se que quando a crianccedila comeccedila a engatinhar e a andar
descobre o mundo em sua volta e comeccedila a fazer seus primeiros contatos com esse
universo manipula objetos de vaacuterias formas (cubos esferas triacircngulos retacircngulos
cilindros entre outros) e cores procura encaixar um objeto em outro mesmo sem
saber estaacute tentando resolver um problema Embora ainda natildeo tenha contato com o
conhecimento matemaacutetico estaacute construindo uma linha de raciociacutenio que iraacute
permanecer em seu aprendizado
No Estado do Paranaacute temos as DCE (2008) que contemplam o conteuacutedo
estruturante de Geometria o qual estaacute subdividido em plana e espacial onde o aluno
deve compreender
Geometria Plana ponto reta e plano paralelismo e perpendicularismo
estrutura e dimensatildeo de figuras geomeacutetricas planas e seus elementos fundamentais
caacutelculos geomeacutetricos periacutemetro e aacuterea diferentes unidades de medidas e suas
conversotildees representaccedilatildeo cartesiana e confecccedilatildeo de graacuteficos
Geometria Espacial nomenclatura estrutura e dimensatildeo dos soacutelidos
geomeacutetricos e caacutelculos de medidas de arestas aacuterea das faces aacuterea total e volume de
prismas retangulares (paralelepiacutepedo e cubo) e prismas triangulares (base triacircngulo)
incluindo conversotildees
A geometria estuda as propriedades espaciais do mundo material Dizem-se ldquoespaciaisrdquo as propriedades determinadas pela forma grandeza e posiccedilatildeo relativa dos objetos Eacute obvio que a necessidade de conhecer essas propriedades decorre de exigecircncias praacuteticas para fabricar maacutequinas construir edifiacutecios abrir estradas ou canais por exemplo eacute preciso medir comprimentos aacutereas e volumes Como eacute natural os primeiros conhecimentos geomeacutetricos foram adquiridos pelo meacutetodo indutivo a partir de um nuacutemero grande de observaccedilotildees e experiecircncias Poreacutem agrave medida que se foram acumulando verdades geomeacutetricas descobriu-se que muitas delas podem ser obtidas de outras mediante raciociacutenios ou seja por deduccedilatildeo sem necessidade de recorrer a nenhuma experiecircncia particular (FETISSOV 1994 p20)
Ainda segundo as DCE (2008) no Ensino Meacutedio deve-se garantir ao aluno o
aprofundamento dos conceitos de Geometria plana e espacial em um niacutevel de
abstraccedilatildeo mais complexo Nesse niacutevel de ensino os alunos realizam anaacutelises dos
elementos que estruturam a Geometria Euclidiana atraveacutes da representaccedilatildeo
algeacutebrica ou seja a geometria analiacutetica plana Neste caso eacute imprescindiacutevel o estudo
da distacircncia entre pontos retas e circunferecircncias equaccedilatildeo da reta do plano e da
circunferecircncia caacutelculos de aacutereas de figuras no plano e estudo de posiccedilotildees Assim eacute
necessaacuterio conhecer as demonstraccedilotildees das foacutermulas e teoremas aplicar as regras e
convenccedilotildees matemaacuteticas tanto no estudo da geometria de posiccedilatildeo como no caacutelculo
de aacuterea de figuras geomeacutetricas planas e espaciais e de volume de soacutelidos
geomeacutetricos em especial de prisma piracircmide (tetraedro) cilindro cone e esfera
No iniacutecio do estudo da Geometria Espacial eacute dado ecircnfase a visualizaccedilatildeo de
situaccedilotildees geomeacutetricas e a sua representaccedilatildeo no plano pois sem tais habilidades fica
difiacutecil desenvolver um trabalho em Geometria A Geometria eacute considerada como uma
ferramenta que pode ser usada para descrever e interagir com o espaccedilo em que se
vive e talvez a parte da Matemaacutetica mais intuitiva concreta e associada a realidade
Ateacute agora mencionamos vaacuterios elementos e nomes usados na matemaacutetica que
para o aluno muitas vezes natildeo passa de uma simples fala do professor Entatildeo a partir
deste momento passaremos a conceituar esses elementos figuras e objetos os quais
iremos trabalhar mais adiante O aluno precisa encontrar significado para aquilo que
o professor descreve que apoacutes a associaccedilatildeo do significado ao objeto de estudo eacute que
o aluno teraacute condiccedilatildeo de entender o que estaacute sendo proposto e apresentar a resoluccedilatildeo
para o problema
FIGURAS PLANAS
POLIacuteGONOS Poliacutegono eacute uma figura plana formada por vaacuterios acircngulos Em
grego poli que dizer lsquovaacuteriosrsquo e gonos quer dizer lsquoacircngulorsquo (Machado 1994 p18)
Um poliacutegono tem acircngulos e lados em mesmo nuacutemero O poliacutegono que tem
todos os lados de igual tamanho e todos os acircngulos internos de mesma medida eacute
denominado poliacutegono regular
Dentre os poliacutegonos regulares estatildeo associados aos soacutelidos geomeacutetricos as
seguintes figuras
Triacircngulo
Quadrado
Retacircngulo
Pentaacutegono
Hexaacutegono
Para representar estas figuras usaremos uma chapa perfurada de Eucatex
(figura 2) o geoplano circular (figura 3) e tambeacutem parafusos e elaacutesticos coloridos
Figura 01 ndash Nome dos poliacutegonos em relaccedilatildeo aos lados e veacutertices
Nome do Poliacutegono Nordm de lados Nordm de Veacutertices
Triacircngulo 3 3
Quadrilaacutetero 4 4
Pentaacutegono 5 5
Hexaacutegono 6 6
Decaacutegono 10 10
Undecaacutegono 11 11
Icosaacutegono 20 20
Figura 2 ndash Chapa perfurada
Fonte Arquivo pessoal
Figura 3 ndash Geoplano circular
Fonte Arquivo pessoal
AacuteREAS DA FIGURAS PLANAS
A seguir seraacute demonstrado as aacutereas das figuras planas
Figura 4 ndash aacutereas de figuras planas
Fonte httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesgaleriafotosphpevento=3 Acesso em 08122016
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Conforme as autoras definem pode-se considerar que muitos objetos do
mundo em que vivemos possuem formas dimensotildees e ocupam um lugar no espaccedilo
Desta forma cabe a noacutes professores buscar alternativas metodoloacutegicas que
promovam nos alunos o desenvolvimento de competecircncias relacionadas a estas
percepccedilotildees e a associem com a geometria espacial para favorecer nas mais diversas
situaccedilotildees cotidianas auxiliando-os nas resoluccedilotildees de problemas que necessitem de
um conhecimento geomeacutetrico matemaacutetico
O principal objetivo deste trabalho eacute a apropriaccedilatildeo do conteuacutedo referente agrave
Geometria Espacial utilizando soacutelidos geomeacutetricos associando agrave realidade que cerca
o aluno Outros objetivos para o desenvolvimento deste trabalho satildeo Definir de
Geometria plana e espacial Associar figuras planas aos soacutelidos geomeacutetricos Definir
e compreender aacuterea e volume com observaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos Construir de
figuras espaciais (esqueletos de soacutelidos geomeacutetricos) Utilizar do software Geogebra
(geometria plana) Associar e aplicar a Geometria espacial ao cotidiano do aluno
Aplicar a matemaacutetica agraves situaccedilotildees reais e despertar o interesse pelo estudo da
matemaacutetica atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas
Esta produccedilatildeo didaacutetica pedagoacutegica no formato de Unidade Didaacutetica eacute voltada
para os alunos do Ensino Meacutedio do Coleacutegio Estadual Francisco Neves Filho ndash EFM_N
do Municiacutepio de Satildeo Joatildeo do Triunfo Seratildeo abordados conceitos de geometria plana
e espacial associados agrave construccedilatildeo de figuras e soacutelidos possibilitando a utilizaccedilatildeo
desses conceitos em questotildees praacuteticas relacionadas ao cotidiano do aluno
GEOMETRIA
Para Smole e Diniz (2005) ldquoa Geometria eacute uma das mais belas partes da
Matemaacutetica O prefixo geo significa terra e a Geometria estaacute presente em todo o
Universo desde o microcosmo ateacute o macrocosmordquo Ela surgiu da necessidade dos
seres humanos de medir terras e demarcar propriedades mas atualmente estaacute
voltada para o estudo de figuras de suas propriedades e relaccedilotildees
A Geometria faz parte da vida das pessoas desde seus primeiros anos de
existecircncia Observa-se que quando a crianccedila comeccedila a engatinhar e a andar
descobre o mundo em sua volta e comeccedila a fazer seus primeiros contatos com esse
universo manipula objetos de vaacuterias formas (cubos esferas triacircngulos retacircngulos
cilindros entre outros) e cores procura encaixar um objeto em outro mesmo sem
saber estaacute tentando resolver um problema Embora ainda natildeo tenha contato com o
conhecimento matemaacutetico estaacute construindo uma linha de raciociacutenio que iraacute
permanecer em seu aprendizado
No Estado do Paranaacute temos as DCE (2008) que contemplam o conteuacutedo
estruturante de Geometria o qual estaacute subdividido em plana e espacial onde o aluno
deve compreender
Geometria Plana ponto reta e plano paralelismo e perpendicularismo
estrutura e dimensatildeo de figuras geomeacutetricas planas e seus elementos fundamentais
caacutelculos geomeacutetricos periacutemetro e aacuterea diferentes unidades de medidas e suas
conversotildees representaccedilatildeo cartesiana e confecccedilatildeo de graacuteficos
Geometria Espacial nomenclatura estrutura e dimensatildeo dos soacutelidos
geomeacutetricos e caacutelculos de medidas de arestas aacuterea das faces aacuterea total e volume de
prismas retangulares (paralelepiacutepedo e cubo) e prismas triangulares (base triacircngulo)
incluindo conversotildees
A geometria estuda as propriedades espaciais do mundo material Dizem-se ldquoespaciaisrdquo as propriedades determinadas pela forma grandeza e posiccedilatildeo relativa dos objetos Eacute obvio que a necessidade de conhecer essas propriedades decorre de exigecircncias praacuteticas para fabricar maacutequinas construir edifiacutecios abrir estradas ou canais por exemplo eacute preciso medir comprimentos aacutereas e volumes Como eacute natural os primeiros conhecimentos geomeacutetricos foram adquiridos pelo meacutetodo indutivo a partir de um nuacutemero grande de observaccedilotildees e experiecircncias Poreacutem agrave medida que se foram acumulando verdades geomeacutetricas descobriu-se que muitas delas podem ser obtidas de outras mediante raciociacutenios ou seja por deduccedilatildeo sem necessidade de recorrer a nenhuma experiecircncia particular (FETISSOV 1994 p20)
Ainda segundo as DCE (2008) no Ensino Meacutedio deve-se garantir ao aluno o
aprofundamento dos conceitos de Geometria plana e espacial em um niacutevel de
abstraccedilatildeo mais complexo Nesse niacutevel de ensino os alunos realizam anaacutelises dos
elementos que estruturam a Geometria Euclidiana atraveacutes da representaccedilatildeo
algeacutebrica ou seja a geometria analiacutetica plana Neste caso eacute imprescindiacutevel o estudo
da distacircncia entre pontos retas e circunferecircncias equaccedilatildeo da reta do plano e da
circunferecircncia caacutelculos de aacutereas de figuras no plano e estudo de posiccedilotildees Assim eacute
necessaacuterio conhecer as demonstraccedilotildees das foacutermulas e teoremas aplicar as regras e
convenccedilotildees matemaacuteticas tanto no estudo da geometria de posiccedilatildeo como no caacutelculo
de aacuterea de figuras geomeacutetricas planas e espaciais e de volume de soacutelidos
geomeacutetricos em especial de prisma piracircmide (tetraedro) cilindro cone e esfera
No iniacutecio do estudo da Geometria Espacial eacute dado ecircnfase a visualizaccedilatildeo de
situaccedilotildees geomeacutetricas e a sua representaccedilatildeo no plano pois sem tais habilidades fica
difiacutecil desenvolver um trabalho em Geometria A Geometria eacute considerada como uma
ferramenta que pode ser usada para descrever e interagir com o espaccedilo em que se
vive e talvez a parte da Matemaacutetica mais intuitiva concreta e associada a realidade
Ateacute agora mencionamos vaacuterios elementos e nomes usados na matemaacutetica que
para o aluno muitas vezes natildeo passa de uma simples fala do professor Entatildeo a partir
deste momento passaremos a conceituar esses elementos figuras e objetos os quais
iremos trabalhar mais adiante O aluno precisa encontrar significado para aquilo que
o professor descreve que apoacutes a associaccedilatildeo do significado ao objeto de estudo eacute que
o aluno teraacute condiccedilatildeo de entender o que estaacute sendo proposto e apresentar a resoluccedilatildeo
para o problema
FIGURAS PLANAS
POLIacuteGONOS Poliacutegono eacute uma figura plana formada por vaacuterios acircngulos Em
grego poli que dizer lsquovaacuteriosrsquo e gonos quer dizer lsquoacircngulorsquo (Machado 1994 p18)
Um poliacutegono tem acircngulos e lados em mesmo nuacutemero O poliacutegono que tem
todos os lados de igual tamanho e todos os acircngulos internos de mesma medida eacute
denominado poliacutegono regular
Dentre os poliacutegonos regulares estatildeo associados aos soacutelidos geomeacutetricos as
seguintes figuras
Triacircngulo
Quadrado
Retacircngulo
Pentaacutegono
Hexaacutegono
Para representar estas figuras usaremos uma chapa perfurada de Eucatex
(figura 2) o geoplano circular (figura 3) e tambeacutem parafusos e elaacutesticos coloridos
Figura 01 ndash Nome dos poliacutegonos em relaccedilatildeo aos lados e veacutertices
Nome do Poliacutegono Nordm de lados Nordm de Veacutertices
Triacircngulo 3 3
Quadrilaacutetero 4 4
Pentaacutegono 5 5
Hexaacutegono 6 6
Decaacutegono 10 10
Undecaacutegono 11 11
Icosaacutegono 20 20
Figura 2 ndash Chapa perfurada
Fonte Arquivo pessoal
Figura 3 ndash Geoplano circular
Fonte Arquivo pessoal
AacuteREAS DA FIGURAS PLANAS
A seguir seraacute demonstrado as aacutereas das figuras planas
Figura 4 ndash aacutereas de figuras planas
Fonte httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesgaleriafotosphpevento=3 Acesso em 08122016
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
universo manipula objetos de vaacuterias formas (cubos esferas triacircngulos retacircngulos
cilindros entre outros) e cores procura encaixar um objeto em outro mesmo sem
saber estaacute tentando resolver um problema Embora ainda natildeo tenha contato com o
conhecimento matemaacutetico estaacute construindo uma linha de raciociacutenio que iraacute
permanecer em seu aprendizado
No Estado do Paranaacute temos as DCE (2008) que contemplam o conteuacutedo
estruturante de Geometria o qual estaacute subdividido em plana e espacial onde o aluno
deve compreender
Geometria Plana ponto reta e plano paralelismo e perpendicularismo
estrutura e dimensatildeo de figuras geomeacutetricas planas e seus elementos fundamentais
caacutelculos geomeacutetricos periacutemetro e aacuterea diferentes unidades de medidas e suas
conversotildees representaccedilatildeo cartesiana e confecccedilatildeo de graacuteficos
Geometria Espacial nomenclatura estrutura e dimensatildeo dos soacutelidos
geomeacutetricos e caacutelculos de medidas de arestas aacuterea das faces aacuterea total e volume de
prismas retangulares (paralelepiacutepedo e cubo) e prismas triangulares (base triacircngulo)
incluindo conversotildees
A geometria estuda as propriedades espaciais do mundo material Dizem-se ldquoespaciaisrdquo as propriedades determinadas pela forma grandeza e posiccedilatildeo relativa dos objetos Eacute obvio que a necessidade de conhecer essas propriedades decorre de exigecircncias praacuteticas para fabricar maacutequinas construir edifiacutecios abrir estradas ou canais por exemplo eacute preciso medir comprimentos aacutereas e volumes Como eacute natural os primeiros conhecimentos geomeacutetricos foram adquiridos pelo meacutetodo indutivo a partir de um nuacutemero grande de observaccedilotildees e experiecircncias Poreacutem agrave medida que se foram acumulando verdades geomeacutetricas descobriu-se que muitas delas podem ser obtidas de outras mediante raciociacutenios ou seja por deduccedilatildeo sem necessidade de recorrer a nenhuma experiecircncia particular (FETISSOV 1994 p20)
Ainda segundo as DCE (2008) no Ensino Meacutedio deve-se garantir ao aluno o
aprofundamento dos conceitos de Geometria plana e espacial em um niacutevel de
abstraccedilatildeo mais complexo Nesse niacutevel de ensino os alunos realizam anaacutelises dos
elementos que estruturam a Geometria Euclidiana atraveacutes da representaccedilatildeo
algeacutebrica ou seja a geometria analiacutetica plana Neste caso eacute imprescindiacutevel o estudo
da distacircncia entre pontos retas e circunferecircncias equaccedilatildeo da reta do plano e da
circunferecircncia caacutelculos de aacutereas de figuras no plano e estudo de posiccedilotildees Assim eacute
necessaacuterio conhecer as demonstraccedilotildees das foacutermulas e teoremas aplicar as regras e
convenccedilotildees matemaacuteticas tanto no estudo da geometria de posiccedilatildeo como no caacutelculo
de aacuterea de figuras geomeacutetricas planas e espaciais e de volume de soacutelidos
geomeacutetricos em especial de prisma piracircmide (tetraedro) cilindro cone e esfera
No iniacutecio do estudo da Geometria Espacial eacute dado ecircnfase a visualizaccedilatildeo de
situaccedilotildees geomeacutetricas e a sua representaccedilatildeo no plano pois sem tais habilidades fica
difiacutecil desenvolver um trabalho em Geometria A Geometria eacute considerada como uma
ferramenta que pode ser usada para descrever e interagir com o espaccedilo em que se
vive e talvez a parte da Matemaacutetica mais intuitiva concreta e associada a realidade
Ateacute agora mencionamos vaacuterios elementos e nomes usados na matemaacutetica que
para o aluno muitas vezes natildeo passa de uma simples fala do professor Entatildeo a partir
deste momento passaremos a conceituar esses elementos figuras e objetos os quais
iremos trabalhar mais adiante O aluno precisa encontrar significado para aquilo que
o professor descreve que apoacutes a associaccedilatildeo do significado ao objeto de estudo eacute que
o aluno teraacute condiccedilatildeo de entender o que estaacute sendo proposto e apresentar a resoluccedilatildeo
para o problema
FIGURAS PLANAS
POLIacuteGONOS Poliacutegono eacute uma figura plana formada por vaacuterios acircngulos Em
grego poli que dizer lsquovaacuteriosrsquo e gonos quer dizer lsquoacircngulorsquo (Machado 1994 p18)
Um poliacutegono tem acircngulos e lados em mesmo nuacutemero O poliacutegono que tem
todos os lados de igual tamanho e todos os acircngulos internos de mesma medida eacute
denominado poliacutegono regular
Dentre os poliacutegonos regulares estatildeo associados aos soacutelidos geomeacutetricos as
seguintes figuras
Triacircngulo
Quadrado
Retacircngulo
Pentaacutegono
Hexaacutegono
Para representar estas figuras usaremos uma chapa perfurada de Eucatex
(figura 2) o geoplano circular (figura 3) e tambeacutem parafusos e elaacutesticos coloridos
Figura 01 ndash Nome dos poliacutegonos em relaccedilatildeo aos lados e veacutertices
Nome do Poliacutegono Nordm de lados Nordm de Veacutertices
Triacircngulo 3 3
Quadrilaacutetero 4 4
Pentaacutegono 5 5
Hexaacutegono 6 6
Decaacutegono 10 10
Undecaacutegono 11 11
Icosaacutegono 20 20
Figura 2 ndash Chapa perfurada
Fonte Arquivo pessoal
Figura 3 ndash Geoplano circular
Fonte Arquivo pessoal
AacuteREAS DA FIGURAS PLANAS
A seguir seraacute demonstrado as aacutereas das figuras planas
Figura 4 ndash aacutereas de figuras planas
Fonte httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesgaleriafotosphpevento=3 Acesso em 08122016
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
convenccedilotildees matemaacuteticas tanto no estudo da geometria de posiccedilatildeo como no caacutelculo
de aacuterea de figuras geomeacutetricas planas e espaciais e de volume de soacutelidos
geomeacutetricos em especial de prisma piracircmide (tetraedro) cilindro cone e esfera
No iniacutecio do estudo da Geometria Espacial eacute dado ecircnfase a visualizaccedilatildeo de
situaccedilotildees geomeacutetricas e a sua representaccedilatildeo no plano pois sem tais habilidades fica
difiacutecil desenvolver um trabalho em Geometria A Geometria eacute considerada como uma
ferramenta que pode ser usada para descrever e interagir com o espaccedilo em que se
vive e talvez a parte da Matemaacutetica mais intuitiva concreta e associada a realidade
Ateacute agora mencionamos vaacuterios elementos e nomes usados na matemaacutetica que
para o aluno muitas vezes natildeo passa de uma simples fala do professor Entatildeo a partir
deste momento passaremos a conceituar esses elementos figuras e objetos os quais
iremos trabalhar mais adiante O aluno precisa encontrar significado para aquilo que
o professor descreve que apoacutes a associaccedilatildeo do significado ao objeto de estudo eacute que
o aluno teraacute condiccedilatildeo de entender o que estaacute sendo proposto e apresentar a resoluccedilatildeo
para o problema
FIGURAS PLANAS
POLIacuteGONOS Poliacutegono eacute uma figura plana formada por vaacuterios acircngulos Em
grego poli que dizer lsquovaacuteriosrsquo e gonos quer dizer lsquoacircngulorsquo (Machado 1994 p18)
Um poliacutegono tem acircngulos e lados em mesmo nuacutemero O poliacutegono que tem
todos os lados de igual tamanho e todos os acircngulos internos de mesma medida eacute
denominado poliacutegono regular
Dentre os poliacutegonos regulares estatildeo associados aos soacutelidos geomeacutetricos as
seguintes figuras
Triacircngulo
Quadrado
Retacircngulo
Pentaacutegono
Hexaacutegono
Para representar estas figuras usaremos uma chapa perfurada de Eucatex
(figura 2) o geoplano circular (figura 3) e tambeacutem parafusos e elaacutesticos coloridos
Figura 01 ndash Nome dos poliacutegonos em relaccedilatildeo aos lados e veacutertices
Nome do Poliacutegono Nordm de lados Nordm de Veacutertices
Triacircngulo 3 3
Quadrilaacutetero 4 4
Pentaacutegono 5 5
Hexaacutegono 6 6
Decaacutegono 10 10
Undecaacutegono 11 11
Icosaacutegono 20 20
Figura 2 ndash Chapa perfurada
Fonte Arquivo pessoal
Figura 3 ndash Geoplano circular
Fonte Arquivo pessoal
AacuteREAS DA FIGURAS PLANAS
A seguir seraacute demonstrado as aacutereas das figuras planas
Figura 4 ndash aacutereas de figuras planas
Fonte httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesgaleriafotosphpevento=3 Acesso em 08122016
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Para representar estas figuras usaremos uma chapa perfurada de Eucatex
(figura 2) o geoplano circular (figura 3) e tambeacutem parafusos e elaacutesticos coloridos
Figura 01 ndash Nome dos poliacutegonos em relaccedilatildeo aos lados e veacutertices
Nome do Poliacutegono Nordm de lados Nordm de Veacutertices
Triacircngulo 3 3
Quadrilaacutetero 4 4
Pentaacutegono 5 5
Hexaacutegono 6 6
Decaacutegono 10 10
Undecaacutegono 11 11
Icosaacutegono 20 20
Figura 2 ndash Chapa perfurada
Fonte Arquivo pessoal
Figura 3 ndash Geoplano circular
Fonte Arquivo pessoal
AacuteREAS DA FIGURAS PLANAS
A seguir seraacute demonstrado as aacutereas das figuras planas
Figura 4 ndash aacutereas de figuras planas
Fonte httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesgaleriafotosphpevento=3 Acesso em 08122016
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
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Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Figura 3 ndash Geoplano circular
Fonte Arquivo pessoal
AacuteREAS DA FIGURAS PLANAS
A seguir seraacute demonstrado as aacutereas das figuras planas
Figura 4 ndash aacutereas de figuras planas
Fonte httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesgaleriafotosphpevento=3 Acesso em 08122016
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Figura 5 ndash aacuterea do hexaacutegono
Fonte httpwwwcolegiowebcombrareas-das-figuras-planas-poligonos-
regulareshexagono-regularhtml (acesso em 07112016)
GEOMETRIA ESPACIAL
Conforme visto anteriormente a Geometria tem seu significado associado agrave
medida da terra Portanto a Geometria que seraacute abordada estaacute relacionada agraves formas
e medidas de comprimento de aacuterea e de volume a qual chamamos de Geometria
Espacial
De acordo com Longen (2004 p33) ao iniciar a Geometria Espacial eacute
importante considerar que o estudo da Geometria Plana eacute o nosso ponto de partida
Uma dificuldade que eacute constatada em Geometria Espacial eacute que como vivemos em
um mundo tridimensional a representaccedilatildeo de um objeto de trecircs dimensotildees em uma
superfiacutecie plana fica mais complicada Ao passo que temos certa facilidade de lidar
com objetos de duas dimensotildees quando representados em uma folha de papel A
Geometria Espacial comeccedila a ser estudada com os Poliedros
Sabe-se que os alunos do Ensino Meacutedio jaacute estudaram alguns soacutelidos
geomeacutetricos como por exemplo cubo paralelepiacutepedo e a piracircmide que assim como
outros fazem parte de um grupo chamado Poliedros
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Segundo Machado (1994 p 21) trata-se de um objeto com muitas faces A
terminaccedilatildeo edro proveacutem da palavra hedra que em grego quer dizer ldquofacerdquo Um
poliedro tem ldquobicosrdquo que satildeo acircngulos polieacutedricos e faces planas que satildeo poliacutegonos
As embalagens de produtos encontrados nos supermercados tem a forma de
poliedros assim como vaacuterias edificaccedilotildees nas grandes cidades assumem formas
polieacutedricas
Figura 6 ndash Poliedros de Platatildeo
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=poliedros+regularesampespv=2ampbiw=1366ampbih=662amptbm=ischamptbo=uampsource
=univampsa=Xampved=0ahUKEwiOwPq5-ZbQAhXIGZAKHarjC80QsAQINAampdpr=1imgrc=YJcY9UTuwsv_RM3A
(Acesso em 07112016)
Figura 7 ndash Museu do Louvre ndash Paris ndash Franccedila
Fonte httpwwwdicaspariscombr201504museu-do-louvre-em-parishtml (acesso em
07112016)
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Observa-se que em um poliedro qualquer existem trecircs elementos
Faces (F) satildeo os poliacutegonos que limitam o poliedro
Arestas (A) satildeo os encontros de lados dos poliacutegonos
Veacutertices(V) satildeo os pontos correspondentes aos encontros de duas ou mais
arestas LONGEM (2004 p 77)
Atraveacutes da Relaccedilatildeo de Euler (V - A + F = 2) segundo Longem (2004 p78) a
igualdade eacute verdadeira ou seja de posse do nuacutemero de dois elementos do poliedro
consegue-se encontrar o nuacutemero de elementos faltantes
Exemplo Determinar o nuacutemero de veacutertices de um poliedro convexo de 12 faces
e 30 arestas
Aplicando a Relaccedilatildeo de Euler V ndash A + F = 2 temos V ndash 30 + 12 = 2
V =20
R Este poliedro conteacutem 20 veacutertices
Os poliedros recebem a denominaccedilatildeo de acordo com o nuacutemero de faces que
possuem
Figura 8 ndash Nomes dos poliedros
Nuacutemero de Faces Nome do Poliedro
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
20 Icosaedro
Assim como existem os poliedros existem tambeacutem soacutelidos natildeo poliedros ou
seja soacutelidos que tecircm pelo menos uma face que natildeo eacute plana Citamos como exemplos
de Natildeo Poliedros o cone a esfera e o cilindro
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
SOacuteLIDOS GEOMEacuteTRICOS
Um soacutelido geomeacutetrico eacute uma regiatildeo do espaccedilo limitada por uma superfiacutecie
fechada Existem dois grupos os Poliedros e os Natildeo Poliedros
A seguir definiremos alguns soacutelidos com informaccedilotildees que permitam ao aluno
encontrar a medida da aacuterea e do volume sendo estes associados a alguma figura
real
Figura 9 ndash Soacutelidos Geomeacutetricos
Fonte
httpswwwgooglecombrsearchq=SOLIDOS+geometricosampbiw=1366ampbih=662ampespv=2amptbm=ischamptbo=uampso
urce=univampsa=Xampved=0ahUKEwjP5-
vkjJfQAhXJjZAKHZWTCGEQsAQIGgampdpr=1imgrc=hnwF_XV9J67QUM3A (acesso em 07112016)
PRISMA
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico com duas bases paralelas e iguais em forma
de poliacutegonos que podem ser triangulares ou quadrangulares ou pentagonais e faces
laterais retangulares e podem ser retos ou obliacutequos (Zold e Correa 1996 p138)
Figura 10 ndash Prisma
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=prismas+embalagemampimgrc=a8mIZlmygGU7eM3ordf Acesso em 08112016
PIRAcircMIDE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por uma base em forma de poliacutegono que
pode ser ou triangular ou quadrangular ou hexagonal e faces laterais triangulares
ligadas a um uacutenico ponto chamado veacutertice (Zold e Correa 1996 p142)
TRONCO DE PIRAcircMIDE
Denominamos tronco de piracircmide de bases paralelas a parte da piracircmide
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer dessa piracircmide ( Xavier e
Barreto 2005 p356)
Figura 11 - Piracircmide
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=prismasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampsqi=2ampved=0ahUKEwj5rcHSlZnQAhXGIJAKHbDnDmgQ_AUIBigBtbm=ischampq=piramides+ampimgrc=1hrBgQTFWWZLOM3A Acesso em 08112016
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
CILINDRO
Eacute um soacutelido geomeacutetrico formado por por dois ciacuterculos paralelos de mesmo
raio que satildeo as bases e uma superficie arrendondada que eacute a superficie lateral do
cilindro A reta que une o centro dos dois ciacuterculos chama-se eixo do cilindro (Zold e
Correa 1996 p133)
Figura 12 - Cilindro
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=embalagens+cilindricasampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjgj8espZnQAhUEjpAKHWGsAKQQ_AUIBigBimgrc=YamKNcMyDt8ncM3A Acesso em 08112016
CONE
Eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma base circular e uma superfiacutecie
afunilada que eacute a sua superfiacutecie lateral (Zold e Correa 1996 p135)
TRONCO DO CONE
Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto
limitada pela base e por uma secccedilatildeo transversal qualquer desse cone (Xavier e
Barreto 2005 p374)
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Figura 13 - Cone
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=modelos+de+conesampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwi53ICrvpnQAhVEf5AKHUxGCNMQ_AUIBigBimgrc=QgMl6ABCMXxX1M3A Acesso em 08112016
ESFERA
Definimos Esfera como o conjunto de todos os pontos no espaccedilo cuja
distacircncia ateacute o ponto fixo O eacute menor ou igual a R (Longen 2004 p183)
A superfiacutecie que envolve a esfera chama-se Superfiacutecie Esfeacuterica
Figura 14 ndash Esfera
Fonte httpswwwgooglecombrsearchq=esferaampbiw=1366ampbih=662ampsource=lnmsamptbm=ischampsa=Xampved=0ahUKEwjL8taJxpnQAhUMj5AKHUwiBtoQ_AUIBigBimgrc=lOQAX_onXdYySM3A Acesso em 08112016
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
ORIENTACcedilOtildeES METODOLOacuteGICAS
Este estudo aconteceraacute no primeiro semestre do ano de 2017 no contraturno
com alunos do Ensino Meacutedio com carga horaacuteria de 32 horas Foi programado para ser
executado em 8 encontros de 4 horas cada
1ordm ENCONTRO
No primeiro encontro aconteceraacute a apresentaccedilatildeo do projeto que tem como
Titulo Percepccedilotildees e Relaccedilotildees da Geometria Espacial com o Cotidiano dos Alunos
Para esta apresentaccedilatildeo o recurso Power Point seraacute utilizado por um projetor de miacutedia
e notebook e a ilustraccedilatildeo seraacute feita em Banner
Figura 15 ndash Banner de apresentaccedilatildeo
Banner de Ilustraccedilatildeo do Projeto Fonte Arquivo pessoal
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Figura 16 - Power Point de apresentaccedilatildeo do Projeto
Fonte Arquivo pessoal
Feita a exposiccedilatildeo oral do projeto seraacute proposto para os alunos um pequeno
questionaacuterio o qual deveratildeo responder individualmente e tendo por objetivo
diagnosticar seus conhecimentos preacutevios de geometria plana e espacial
1 ndash Qual eacute o significado da Geometria para vocecirc
2 ndash Quais figuras planas vocecirc conhece Procure desenhaacute-las
3 ndash Quais soacutelidos geomeacutetricos vocecirc conhece Procure desenhaacute-los
4 ndash O que vocecirc entende por periacutemetro aacuterea e volume e quais satildeo suas
unidades Exemplifique
Apoacutes a devoluccedilatildeo deste questionaacuterio faremos uma mesa redonda onde todos
teratildeo a oportunidade de expressar-se oralmente sobre o nosso projeto Os alunos
seratildeo indagados sobre as construccedilotildees de figuras sobre a associaccedilatildeo dessas figuras
aos objetos reais possibilitando aos mesmos enxergar essa relaccedilatildeo da geometria
com o meio
Ainda neste encontro seratildeo formadas equipes com 3 a 4 alunos os quais seratildeo
convidados a circular dentro do Coleacutegio e em seu entorno para observar e anotar a
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
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Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
presenccedila de figuras planas e formas geomeacutetricas No retorno eles faratildeo uma
exposiccedilatildeo oral das suas descobertas e associaccedilotildees entre figuras formas e realidade
OBJETIVO
O objetivo deste primeiro encontro eacute a socializaccedilatildeo do projeto de intervenccedilatildeo
com o alunos assim como conhececirc-los e fazer um breve diagnoacutestico de seus
conhecimentos em geometria
2ordm ENCONTRO
Iniciaremos a atividade retomando o assunto de figuras planas onde
passaremos o viacutedeo Poliacutegonos O viacutedeo apresenta uma sequecircncia de slides com
conceitos e definiccedilotildees sobre poliacutegonos convexos e natildeo convexos bem como sobre
os elementos de um poliacutegono (disponiacutevel em)
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7180
Acesso em 16112016
Na sequecircncia ao viacutedeo iremos debater com os alunos sobre o que eacute um
poliacutegono qual eacute a diferenccedila entre um poliacutegono convexo e natildeo convexo seus
elementos acircngulos e nomenclatura
Apoacutes esse debate seraacute apresentado aos alunos a chapa perfurada de eucatex
e um modelo de geoplano instrumentos que auxiliaratildeo na representaccedilatildeo de
poliacutegonos
Figura 17 ndash chapa perfurada e geoplano
Chapa perfurada
Geoplano
Fonte Arquivo pessoal
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
CHAPA PERFURADA
Cada dupla de aluno teraacute uma chapa perfura medindo 30 x 30 cm com furos a
cada 15 cm (doada pelo professor) elaacutesticos coloridos e parafusos
GEOPLANO
Eacute uma ferramenta muito uacutetil para o ensino da Geometria Plana Foi criado pelo
matemaacutetico Calleb Gattegno Com o Geoplano o aluno tem a possibilidade de
desenvolver habilidades para apreender conceitos matemaacuteticos como caacutelculo de
aacutereas e periacutemetros de poliacutegonos
Recomenda-se o uso do Geoplano para caacutelculo de periacutemetro aacuterea figuras
simeacutetricas arestas veacutertices construccedilatildeo de poliacutegonos entre outras situaccedilotildees
envolvendo geometria plana O Geoplano tem por objetivo principal levar os alunos a
explorar figuras poligonais atraveacutes da construccedilatildeo e visualizaccedilatildeo facilitando o
desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espacial garantindo ao aluno de
forma satisfatoacuteria a assimilaccedilatildeo de conteuacutedos geomeacutetricos atraveacutes da manipulaccedilatildeo
construccedilatildeo exploraccedilatildeo e representaccedilatildeo das formas geomeacutetricas
Alguns tipos de Geoplano
Geoplano Triangular Os pregos satildeo fixados na intersecccedilatildeo das linhas
formando uma malha triangular
Geoplano Quadrado possui a malha quadriculada (pode ser 2 x 2 cm a
distacircncia entre cada prego)
Geoplano Circular Os pregos satildeo colocados de forma circular
Geoplano Espacial Confeccionado com duas chapas perfuradas (30x30cm)
que formam dois planos paralelos e quatro ripas de madeira (3 x 3 x 30 cm)
Com esse material consegue-se representar o esqueleto de soacutelidos
geomeacutetricos
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Figura 18 ndash Geoplano Espacial
Fonte Arquivo pessoal
ATIVIDADE
Construccedilatildeo de Geoplanos (em duplas) Seratildeo construiacutedos geoplanos
triangulares quadrados e circulares
Primeiramente marcamos os pontos onde seratildeo inseridos os pregos em uma
folha de papel sulfite a qual serviraacute de gabarito para fixarmos os pregos na placa de
madeira
Sugestatildeo de viacutedeo para auxiliar na construccedilatildeo do geoplano disponiacutevel em
httpswwwyoutubecomwatchv=VMNITXlQbl4 acesso em 16112016
Material necessaacuterio
Uma chapa quadrada de madeira ou MDF de aproximadamente 20 x 20 cm
Martelo e pregos 12 x 12
Reacutegua laacutepis transferidor papel sulfite e compasso
Esmalte colorido (para pintar a cabeccedila dos pregos)
OBJETIVO
Despertar no aluno o interesse pela manipulaccedilatildeo de instrumentos e de
ferramentas utilizando conceitos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de material
de apoio para as aulas sobre poliacutegonos
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
3ordm ENCONTRO
Construccedilatildeo de Poliacutegonos
De posse dos geoplanos (construiacutedos pelos alunos) e de chapas perfuradas
os alunos iratildeo montar poliacutegonos regulares e irregulares com o auxiacutelio de elaacutesticos
coloridos Os alunos teratildeo a liberdade para manipular seus poliacutegonos Na sequecircncia
esses poliacutegonos deveratildeo ser classificados e nomeados de acordo com as suas
caracteriacutesticas e associados a algum objeto real conforme tabela
Nome do Poliacutegono Nuacutemero de lados Objeto real
Triacircngulo 3 Esquadro em madeira
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Aleacutem da montagem dos poliacutegonos podemos trabalhar periacutemetros e aacutereas
dessas figuras
OBJETIVOS
Conhecer o nome dos poliacutegonos
Identificar em um poliacutegono os veacutertices e os lados
Reconhecer uma figura geomeacutetrica como um conjunto de pontos
Reconhecer que as figuras geomeacutetricas constituem abstraccedilotildees de formas e
objetos concretos
Reconhecer acircngulo como a reuniatildeo de duas semirretas distintas e de mesma
origem
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
4ordm ENCONTRO
Nos dias atuais as tecnologias vecircm fazendo parte da vida das pessoas Existem
muitos tipos de aplicativos programas e softwares principalmente jogos disponiacuteveis
no mundo virtual de forma gratuita que podem ser utilizados pelas pessoas Sabe-se
que muitas famiacutelias natildeo tem a estrutura necessaacuteria para dar esse suporte em relaccedilatildeo
agrave utilizaccedilatildeo de softwares A escola pode se inserir neste contexto associando as
tecnologias ao sistema de ensino e de aprendizagem Utilizar as tecnologias para fins
educacionais pode ser uma das possibilidades para abrir novos caminhos e assim
favorecer para a construccedilatildeo de uma sociedade moderna em que o lsquocrescer
tecnologicamentersquo se faz necessaacuterio para poder estar caminhando paralelamente aos
avanccedilos tecnoloacutegicos
Neste encontro os alunos seratildeo encaminhados ao laboratoacuterio de informaacutetica do
Coleacutegio o Proinfo Ateacute este momento construiacuteram o geoplano manipularam
poliacutegonos fizeram as classificaccedilotildees e associaccedilotildees aos objetos reais
No laboratoacuterio utilizaratildeo o GEOGEBRA que segundo Dante (2014 p317)
criado por Markus Hohenwarter eacute um software de matemaacutetica dinacircmica gratuito e
desenvolvido para o ensino-aprendizagem da matemaacutetica nos vaacuterios niacuteveis de ensino
Ele reuacutene Geometria Aacutelgebra tabelas graacuteficos Probabilidade Estatiacutestica e caacutelculos
simboacutelicos em um uacutenico ambiente
ATIVIDADE
Primeiramente seraacute sugerido aos alunos a leitura de um tutorial sobre os
primeiros passos com o software livre ndash Geogebra (em pdf) de autoria do Prof Ilydio
Pereira de Saacute (2010) ndash Centro Universitaacuterio da Serra dos Oacutergatildeos (disponiacutevel em)
httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf
acesso em 17112016
Neste tutorial os alunos teratildeo acesso aos principais comandos do Geogebra A
leitura ateacute a paacutegina 8 permite a construccedilatildeo de um poliacutegono e seraacute calculada a sua
aacuterea
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Na sequecircncia seraacute visto o viacutedeo que enfoca a construccedilatildeo de poliacutegono qualquer
poliacutegono regular poliacutegono riacutegido e poliacutegono semideformaacutevel (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=nOaHSFd1Gwk acesso em 17112016
Apoacutes esse lsquotreinamentorsquo os alunos construiratildeo poliacutegonos de 3 4 5 6 7 8 9
10 15 e 20 lados onde seraacute calculado o periacutemetro e a aacuterea de cada uma das figuras
construiacutedas
A partir deste momento espera-se que os alunos estejam familiarizados com o
Geogebra Entatildeo partiremos para uma atividade praacutetica a qual consiste em medir
fachadas muros e edificaccedilotildees do coleacutegio com a utilizaccedilatildeo de uma trena de 30 metros
Os valores seratildeo anotados e uma espeacutecie de croqui seraacute obtida como resultado
Retornaremos para o laboratoacuterio e no Geogebra atraveacutes da ferramenta lsquopoliacutegonorsquo seraacute
construiacutedo um poliacutegono que representa a planta baixa da edificaccedilatildeo em questatildeo e
com a opccedilatildeo lsquoaacuterearsquo calcula-se a aacuterea das edificaccedilotildees
Observamos que no Geogebra a unidade de medida para aacuterea eacute dada em cmsup2
enquanto que na realidade a unidade de medida para a aacuterea eacute em msup2
OBJETIVOS
Promover a inserccedilatildeo tecnoloacutegica
Construir figuras geomeacutetricas planas com o Geogebra
Calcular o periacutemetro e a aacuterea de figuras planas
Medir acircngulos internos e externos de poliacutegonos
5ordm ENCONTRO
A partir deste encontro iniciaremos propriamente dito a Geometria espacial
Aproveitaremos os conhecimentos preacutevios dos alunos acerca do conteuacutedo que seraacute
trabalhado ou seja poliedros e corpos redondos fazendo com que o aluno observe
suas formas planas e tridimensionais representadas em desenhos planificaccedilotildees
modelos de soacutelidos e objetos concretos do cotidiano dos alunos eou do mundo em
sua volta
Iniciaremos nossas atividades assistindo a um viacutedeo produzido pelo
MECFNDEcom o tiacutetulo Soacutelidos de Platatildeo (matildeo na forma) que trata dos poliedros e
formas geomeacutetricas espaciais (disponiacutevel em)
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
httpswwwyoutubecomwatchv=oSEwrglbqnI acesso em 18112016
A partir deste viacutedeo espera-se que os alunos conheccedilam os poliedros e suas
caracteriacutesticas Na sequecircncia o professor apresenta vaacuterios objetos (embalagens em
geral) que possuem formatos semelhantes aos poliedros para observaccedilatildeo por parte
dos alunos os quais devem anotar as semelhanccedilas e as diferenccedilas e tambeacutem as
caracteriacutesticas dos poliedros
Apoacutes essa atividade seraacute apresentado aos alunos os soacutelidos geomeacutetricos em
acriacutelico disponiacuteveis na escola
Figura 19 ndash Soacutelidos geomeacutetricos em acriacutelico
Fonte Arquivo Coleacutegio Francisco Neves
A partir da observaccedilatildeo dos soacutelidos de acriacutelico os alunos teratildeo a oportunidade
de construir esqueletos (formas simples) de alguns poliedros e para isso utilizaremos
palitos e jujubas e tambeacutem o geoplano espacial o qual se utiliza elaacutesticos coloridos
para representar as arestas dos poliedros
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Figura 20- Esqueletos de soacutelidos com palitos e jujuba
Fonte Arquivo pessoal
Figura 21 ndash Esqueleto de prisma e piracircmide hexagonal no geoplano espacial
Fonte Arquivo pessoal
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
OBJETIVOS
Identificar os Poliedros de Platatildeo
Identificar e analisar os soacutelidos geomeacutetricos e suas propriedades
Diferenciar poliedros de corpos redondos
Construir soacutelidos geomeacutetricos
Associar os soacutelidos geomeacutetricos as formas geomeacutetricas reais
Ao encerramento deste encontro solicitar aos alunos que providenciem para o
8ordm encontro o maacuteximo de objetos em forma de soacutelidos geomeacutetricos Pedir tambeacutem
que se dirijam ateacute um supermercado eou alguma loja de utilidades e observem as
embalagens em forma de soacutelidos geomeacutetricos para realizar as mediccedilotildees de suas
dimensotildees compararem tamanhos peso volume e preccedilos A coleta de dados
resultante da experimentaccedilatildeo eacute fundamental para o estudo em nosso 8ordm encontro
6ordm ENCONTRO
Neste encontro seratildeo trabalhados diversos exerciacutecios de livros didaacuteticos disponiacuteveis no Coleacutegio
Seratildeo atividades selecionadas onde os alunos trabalharam com poliedros e
corpos redondos envolvendo situaccedilotildees problemas de ordem praacutetica situaccedilotildees reais
com caacutelculos de aacutereas e de volumes
Para isso utilizaremos livros didaacuteticos disponiacuteveis no coleacutegio e tambeacutem provas
de anos anteriores do ENEM (disponiacutevel em)
httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos
Acesso em 18112016
E provas de anos anteriores do PSS ndash Processo Seletivo Seriado da UEPG
(disponiacutevel em)
httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos
Acesso em18112016
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
OBJETIVOS
Resolver problemas sem o uso direto de algoritmo
Associar figuras planas aos soacutelidos espaciais
Calcular a aacuterea da superfiacutecie de soacutelidos geomeacutetricos
Resolver situaccedilotildees problemas relacionadas ao volume de figuras
tridimensionais
7ordm ENCONTRO
Em outros encontros os alunos jaacute tiveram a oportunidade de conhecer e
construir poliacutegonos e soacutelidos geomeacutetricos A partir deste encontro seratildeo apresentadas
vaacuterias situaccedilotildees problemas que deveratildeo resolver pois segundo as Diretrizes
Curriculares de Matemaacutetica ndash DEC um dos grandes desafios do ensino da
Matemaacutetica eacute a abordagem de conteuacutedos para a resoluccedilatildeo de problemas Trata-se de
uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemaacuteticos adquiridos em novas situaccedilotildees de modo a resolver a questatildeo proposta
(DANTE 2003)
Iniciaremos o encontro assistindo ao viacutedeo Geometria no Cotidiano Este viacutedeo
retrata a importacircncia da Geometria no cotidiano mostra que as formas geomeacutetricas
estatildeo presentes em vaacuterios contextos do dia a dia inclusive na natureza (disponiacutevel
em) httpswwwyoutubecomwatchv=_7yXoZnSTBMampt=272s
Acesso 21112016
O objetivo deste viacutedeo eacute fazer com que o aluno motive-se a enxergar a
geometria fora da sala de aula respondendo agravequelas tradicionais perguntas como
ldquoPara que serve isso professor Aonde vou utilizar issordquo
Para a trabalhar as atividades propostas os alunos deveratildeo seguir algumas
etapas da resoluccedilatildeo de problemas destacadas nas DCE Compreender o problema
destacar informaccedilotildees dados importantes do problema para a sua resoluccedilatildeo elaborar
um plano de resoluccedilatildeo executar o plano conferir resultados estabelecer nova
estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma resoluccedilatildeo aceitaacutevel (POLYA 2006)
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Atividade 1
Seraacute apresentado as dimensotildees de duas embalagens de leite longa vida em
formato de prisma mas com bases diferentes Solicitar aos alunos que calculem a
aacutereas totais e os volumes dessas embalagens e fazer as devidas comparaccedilotildees de
gastos para a confecccedilatildeo dessas embalagens (Natildeo satildeo medidas oficiais foram
obtidas com uma reacutegua simples pois o objetivo aqui eacute fazer o aluno comparar as
quantidades de papel utilizadas para a fabricaccedilatildeo destas embalagens e obter os
volumes as capacidades)
Figura 22 ndash Embalagens de leite longa vida
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 39 cm L 21 cm H 17cm
Caixa de 1 litro Dimensotildees C 95 cm L 62 cm H 165cm
Caixa com 12 litros Dimensotildees C 30 cm L 22 cm H 215
Caixa de 1 litro Dimensotildees C7 cm L 7 cm H 20 cm
Fonte Arquivo pessoal
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Atividade 2
Nesta atividade seraacute apresentada a planta baixa de uma edificaccedilatildeo em
alvenaria onde seraacute solicitado para resolverem algumas situaccedilotildees problemas em
relaccedilatildeo a materiais utilizados nesta construccedilatildeo
Figura 23 ndash Planta baixa de uma edificaccedilatildeo em alvenaria
Fonte Arquivo pessoal
Figura 24 ndash Corte transversal da edificaccedilatildeo
Fonte Arquivo pessoal
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Figura 25 ndash Objetos em forma de soacutelidos
Tijolo em bloco ceracircmico no formato de um prisma
Telha ceracircmica com rendimento de 1274 peccedilasmsup2
Barrica de grafiato em forma de cilindro Dimensotildees da embalagem Raio 13 cm Altura 33 cm Rendimento 9 msup2 barrica
Fonte Arquivo pessoal
Diante das informaccedilotildees apresentadas solicitar aos alunos o caacutelculo da
quantidade de tijolos necessaacuterios para construir o projeto descrito com aacuterea
total e volume que esses tijolos representam
Caacutelculo da aacuterea do telhado e a quantidade de telhas necessaacuterias para fazer a
cobertura
Caacutelculo do volume de grafiato utilizado para fazer o revestimento externo
Considere como altura do peacute direito (h = 270 m)
Altura do telhado para cima da viga cinta conforme modelo abaixo (h = 220m)
H 220 m
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
Atividade 3
Figura 25 ndash Paineacuteis de vidro
Fonte Arquivo pessoal
Porta estilo cortina de vidro composta de 9 paineacuteis de vidro temperado com as
seguintes dimensotildees
Altura 202 m largura 58 cm espessura 10 mm(trecircs unidades diferentes de
medidas)
Diante das informaccedilotildees dadas os alunos jaacute devem ter associado que cada
painel tem o formato de um prisma Solicitar o caacutelculo da aacuterea total desta porta e do
volume de vidro utilizado para a sua confecccedilatildeo
OBJETIVO
Consolidar os conhecimentos de geometria adquiridos na educaccedilatildeo baacutesica de
forma praacutetica
Aprimorar seu conhecimento de modo a ser capaz de enfrentar novas situaccedilotildees
problemas e resolvecirc-las
Desenvolver caacutelculos algeacutebricos e geomeacutetricos na resoluccedilatildeo de problemas
Compreender as deduccedilotildees apresentadas
Resolver situaccedilotildees-problemas envolvendo medidas de aacutereas de superfiacutecie e
de volume
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
8ordm ENCONTRO
Neste nosso uacuteltimo encontro faremos uma socializaccedilatildeo dos objetos solicitados
no 6ordm encontro O aluno iraacute fazer uma apresentaccedilatildeo podendo ser com os proacuteprios
objetos ou por meio de miacutedias
Seraacute feito tambeacutem uma avaliccedilatildeo do projeto e da implementaccedilatildeo desse projeto
visto que os alunos se dispuseram a participar voluntariamente das atividades
propostas no contraturno
Entatildeo essa avaliccedilatildeo se daraacute por meio de um debate entre os participantes
onde todos teratildeo a oportunidade de fazer seus comentaacuterios em relaccedilatildeo ao projeto
expondo quais eram as suas expectativas em relaccedilatildeo ao iniacutecio e se essas
expectativas foram contempladas ou natildeo
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
REFEREcircNCIAS
DANTE LUIZ R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de MatemaacuteticaSatildeo Paulo Editora Aacutetica 2003 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 2 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2011 DANTE LUIZ R Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilatildeo Volume 1 Satildeo Paulo Editora Aacutetica 2014 FETISSOV A I A Demonstraccedilatildeo em Geometria Satildeo Paulo Atual Editora Coleccedilatildeo Matemaacutetica Aprendendo e Ensinando 1994
INEP ndash Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aniacutesio Teixeira Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpportalinepgovbrwebenemedicoes-anterioresprovas-e-gabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
LONGEN ADILSON MatemaacuteticaEnsino Meacutedio 2ordf Seacuterie Curitiba Editora Positivo 2004
MACHADO NILSON JOSEacute Os Poliedros de Platatildeo e os dedos da matildeo Satildeo Paulo Editora Scipione 1994
PARANAacute SEED Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo Baacutesica - Matemaacutetica Curitiba 2008 PARANAacute SEED Matemaacutetica Ensino Meacutedio Curitiba SEED-PR 2006 POLYA G A arte de resolver problemas Rio de Janeiro Interciecircncia 2006
SAacute ILYDIO PEREIRA DE Apostilas e Tutoriais disponiacutevel em httpwwwmagiadamatematicacomdiversosapostilasGEOGEBRApdf Acesso em 01 de dezembro de 2016
SMOLE KS amp DINIZ MI Matemaacutetica Ensino Meacutedio vol 2 Satildeo Paulo Saraiva 2005
UEPG ndash Universidade Estadual de Ponta Grossa Provas e Gabaritos disponiacutevel em httpcpsuepgbrinicioindexphp2013-06-11-19-54-55provasegabaritos Acesso em 01 de dezembro de 2016
XAVIER DA SILVA CLAacuteUDIO e BARRETO FILHO BENIGNO Matemaacutetica Aula por Aula 2ordf Seacuterie Satildeo Paulo FTD 2005
ZOLD HAROLD H e CORREA SEacuteRGIO Novo Manual Matemaacutetica Satildeo Paulo Nova Cultural 1996
