PARANÁ GOVERNO DO

ESTADO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

ELZA CELERI DA SILVA

UNIDADE DIDÁTICA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ESTUDO DAS

EXPRESSÕES E DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO

ALGÉBRICO

LONDRINA

2011

ELZA CELERI DA SILVA

UNIDADE DIDÁTICA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ESTUDO DAS EXPRESSÕES E

DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO

Unidade Didática, elaborada e implementada como um dos requisitos necessários na participação do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), idealizado e mantido pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED/PR), em convênio com as Instituições Públicas de Ensino Superior (IES) sob orientação do Prof. Dr.Túlio Oliveira de Carvalho.

LONDRINA

2011

Sumário1. APRESENTAÇÃO ........................................................................................... 3 2. PROCEDIMENTOS ........................................................................................ 4 3. PROBLEMAS PROPOSTOS .......................................................................... 5 4. AVALIAÇÃO .................................................................................................. 14 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................... 16 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 17

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1. APRESENTAÇÃO

Tema de Estudo

Aprendizagem e Ensino de Matemática por meio da Metodologia Resolução

de Problemas.

Título

Resolução de Problemas no Estudo das Expressões e Desenvolvimento do

Pensamento Algébrico.

Justificativa

O presente material didático-pedagógico tem como objetivo investigar

contribuições que as atividades de Resoluções de Problemas podem trazer ao

processo de aprendizagem de expressões algébricas e apresentar atividades de

aplicações.

A álgebra tem sido um dos maiores obstáculos ao aprendizado do aluno.

Para ser trabalhada, é necessário alguma profundidade, que pode ser atingida por

meio da introdução nas aulas de situações-problema interessantes, desafiadoras,

mas factíveis.

A álgebra é um ramo da matemática que se caracteriza por sua abstração e

generalidade, oferecendo ferramentas conceituais e procedimentos para aplicações

em diferentes campos do conhecimento como geometria, análise e teoria dos

números. O seu modo de ensinar, portanto, é basicamente feito através de

resolução de problemas que em alguns países não estão presentes no Ensino

Fundamental pela sua complexidade.

Pretende-se que os alunos sejam capacitados a identificar os processos de

raciocínio e as dificuldades quando trabalhadas com situações que requerem o

pensamento algébrico. As tarefas são oportunidades para discussões em grupo,

exemplificando o estudo da álgebra com situações-problema contextualizadas.

Público-alvo

Alunos da 7ª série do Colégio Estadual Comendador Geremias Lunardelli-

Ensino Fundamental e Médio.

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Objetivo Geral

Investigar contribuições que as atividades de Resoluções de Problemas

podem trazer ao processo de aprendizagem e expressões algébricas e apresentar

atividades de aplicações.

Objetivos Específicos

• Identificar os processos de raciocínio e as dificuldades dos alunos da 7ª série

quando trabalham com situações que requerem o pensamento algébrico.

• Oportunizar aos alunos a busca de relações do estudo da álgebra com

situações-problema por meio de aulas com trabalhos em grupos e

discussões.

• Utilizar a metodologia de Resoluções de Problemas para valorização do

contexto sócio-cultural do aluno.

• Aprofundar os estudos em matemática sobre expressões algébricas.

2. PROCEDIMENTOS

Na proposta de ensino matemática através da Resolução de Problemas,

uma das questões mais importantes é como apresentar um problema de modo que

os alunos:

• Queiram resolver o problema;

• Compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução;

De acordo com Polya (2006), são quatro etapas principais sobre Resolução

de Problemas:

1ª compreensão do problema

2ª estabelecimento de um plano

3ª execução do plano

4ª retrospecto

Primeiro: Compreender o problema, fazendo algumas perguntas antes de

resolver.

Qual é a incógnita? Quais são os dados?

Segundo: Elaborar um plano, encontrar a conexão entre os dados e a

incógnita.

Você já o viu antes? Você já viu o mesmo problema apresentado sob forma

diferente?

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Terceiro: Executar seu plano de resolução, ao executar verifique cada

passo. É possível verificar o resultado? É possível chegar ao resultado por outro

caminho?

Quarto: Fazer um retrospecto ou verificação, examinando a solução obtida.

É possível verificar o resultado? É possível chegar ao resultado por outro caminho?

Para compor esta proposta, apresentam-se tarefas contendo problemas da

OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática da Escola Pública) e banco de

questões 2010.

3. PROBLEMAS PROPOSTOS

3.1 Exemplo de problema com resolução e respostas esperadas

Esta é uma atividade que tem o objetivo de desenvolver no aluno conceitos

relacionados com soluções de equações.

Tempo estimado: duas aulas

Recurso: folha de sulfite, já impresso o material, quadro e giz.

Método: É uma atividade para ser realizada em grupo de quatro alunos.

Desenvolvimento da atividade:

A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em

cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais entre si e os saquinhos também.

O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?

1ª etapa

Podemos fazer algumas perguntas antes de começarmos a resolver o

problema.

Pergunta: Quais são os dados do problema?

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Resposta Esperada (RE): A balança está em equilíbrio, no primeiro prato

temos cinco saquinhos de areia e quatro bolas, no segundo prato, dois saquinhos de

areia e dez bolas.

Pergunta: Qual é a incógnita, ou seja, o que o problema pede para calcular?

RE: Há duas incógnitas, mas o que importa é a razão entre os pesos.

Pergunta: Quais letras serão usadas para as incógnitas?

RE: x- peso do saquinho de areia e y-peso da bola.

2ª etapa Teremos que encontrar uma conexão entre os dados e a incógnita.

Pergunta: Já resolveram algum problema semelhante?

RE: Não.

3ª etapa

Executamos o plano, fazemos os cálculos com paciência e verificando cada

passo.

Pergunta: Para calcular o peso da bola e do saquinho como procederemos?

O equilíbrio da balança fornece a equação 5x + 4y = 2x + 10y, da decorre

que:

5x + 4y = 2x + 10y

5x – 2x = 10y – 4y

3x = 6y

x = 6y/3

x = 2y

4ª etapa

É o retrospecto ou verificação.

Pergunta: Chegaram a uma resposta, examine, analise, ela satisfaz as

condições do problema?

RE: Sim, o peso de um saquinho de areia é igual ao peso de duas bolas.

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Avaliação – A avaliação será através de observação, pois cada etapa o

aluno estará desenvolvendo seu pensamento algébrico.

3.2. Perspectiva Metodológica

Butts (1997) classifica os “problemas em cinco categorias”:

1- Exercício de reconhecimento: são exercícios que o aluno reconhece

ou relembre um fato, uma definição ou enunciado de um Teorema.

Exemplo: Quais das seguintes expressões são monômios?

a) 4x² + 3x

b) 3x² + 5x + 2

c) 2x

2- Exercício algorítmico: São exercícios que podem ser resolvidos com

um procedimento passo-a-passo, freqüentemente um algoritmo numérico.

Exemplos:

Calcule 45 + 3.(-2) – (6:2).

Resolva 3x + 6 = 12. 3- Problema de aplicação: são os problemas que precisam da mudança

da linguagem escrita com palavras para uma linguagem matemática adequada de

modo que se possam utilizar os algoritmos diversos;

Exemplo: Ao comprar um skate, Pedro teve um desconto de R$ 6,00. Qual

era o preço do skate se a taxa de desconto foi de 5%.

4- Problemas de pesquisa aberta: são os problemas que não contêm no

seu enunciado nenhuma pista para sua resolução.

Exemplo: Qual é o maior número de dígitos iguais, diferentes de zero, com

que pode terminar um número quadrado perfeito?

5- Situação – problema: são aquelas nas quais a primeira coisa a fazer é

identificar o problema inerente, cuja solução vai ajudar a “manejar” as próprias

situações.

Exemplo: O tratamento da “doença que não é doença”.

G. L. Musser cita algumas estratégias de resolução de problemas que

podem ser ensinadas em sala de aula.

1. Tentativa e erro: talvez o mais direto para resolução de problemas.

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2. Padrões: considera casos particulares do problema e chega-se a

solução a partir da generalização desses casos.

3. Resolver um problema mais simples: estratégia que pode envolver a

resolução de um caso particular de um problema, ou um recuo temporário de um

problema complicado para uma versão resumida.

4. Trabalhar em sentido contrário: estratégia parte do objetivo, ou do

que deve ser provado, e não dos dados.

5. Simulação: a solução de um problema compreende preparar e realizar

um experimento, coletar dados e tomar uma decisão baseada numa análise de

dados.

Para Buriasco (1995, p.1), “uma aula de estratégia tradicional defere de uma

aula de estratégia metodológica da Resolução de Problemas, apresenta os

esquemas nessas duas perspectivas”.

Esquema de aula na Tendência Tradicional

Esquema de aula na Tendência de Resolução de Problemas

1. O professor explica a matéria (teoria).

1. O professor apresenta um problema escolhido por ele ou pelo (s) aluno (s).

2. O professor mostra exemplos. 2. Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm.

3. O professor propõe “exercícios” semelhantes aos exemplos dados para que os alunos resolvam.

3. Quando os alunos encontram algum obstáculo (falta de algum conteúdo necessário para a resolução do problema) o professor apresenta, de alguma forma esse conteúdo.

4. O professor (ou um aluno) resolve no quadro de giz os exercícios.

4. Resolvido o problema os alunos discutem sua solução, se necessário, com a ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema, inclusive os conteúdos necessários.

5. O professor propõe aos alunos outros “exercícios” já não tão semelhantes aos exemplos que ele resolveu.

5. O professor apresenta outro problema-escolhido por ele ou pelo(s) aluno (s).

6. O professor (ou um aluno) resolve os exercícios no quadro de giz.

7. O professor propõe, se for o caso, ou mais de “exercícios”.

8. Correção dos “problemas” e/ ou dos “exercícios”.

9. O professor começa outro assunto.

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A seguir apresentamos alguns problemas da OBMEP e do banco de

questões 2010, citando os conteúdos e os objetivos, que podem favorecer o

desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno.

Fonte: Banco de Questões, Obmep, 2010.

3.3 Problemas Propostos

Tempo estimado: duas aulas para cada problema.

Recurso: folha sulfite, já impresso o material, quadro, giz e dicionário.

Método: são problemas para serem realizados em grupo de quatro alunos.

Avaliação: a avaliação será através de observação, sendo analisadas as

hipóteses e as estratégias utilizadas por cada grupo, as dúvidas e as dificuldades

que irão surgindo, o professor deverá ser o mediador, facilitador entre os alunos e o

conhecimento, intervindo quando for necessário ou quando o grupo solicitar.

3.2.1 Problema 1

A figura mostra um quadrado de lado 12 cm, dividido em três retângulos de

mesmo perímetro. Qual é a área do retângulo sombreado?

Conteúdos:

• Figuras planas

• Área

• Perímetro

• Equação do 1º grau

Objetivos:

• Representar, por meio de uma equação o enunciado do problema.

• Desenvolver no aluno conceitos relacionados a perímetro e área.

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Desenvolvimento da atividade:

Uma das formas que o aluno poderá resolver é utilizando equação do 1º

grau. Ao conceituar perímetro e área espera-se que compreenda a diferença entre

uma e outra, e observe a congruência entre os dois retângulos apresentada.

3.2.2 Problema 2

A figura mostra três polígonos desenhados em uma folha quadriculada.

Para cada um desses polígonos foi assinalado, no plano cartesiano à direita, o ponto

cujas coordenadas horizontal e verticais são, respectivamente, seu perímetro e sua

área.

Conteúdos:

• Área

• Perímetro

• Medidas de comprimento

Objetivos:

• Representar, por meio de uma expressão algébrica o perímetro e a

área de um polígono.

• Fazer comparações entre áreas e perímetros.

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Desenvolvimento da atividade:

Neste problema espera que o aluno utilize o lado L de um dos quadradinhos

como unidade de comprimento, a contagem direta na figura permite ao aluno

calcular as áreas e os perímetros dos polígonos.

3.2.3 Problema 3

Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$8,00

faltarão R$2,50 para pagar a pizza, e se cada um der R$9,00 sobrarão R$3,50. Qual

o preço da pizza?

Conteúdo:

• Equação de primeiro grau.

Objetivos:

• Traduzir uma sentença expressa em linguagem corrente em

uma sentença matemática.

• Representar, por meio de uma equação, o enunciado do

problema.

Desenvolvimento da atividade:

Com essa situação, pretende-se que os alunos discutem e utilizem sentenças

matemática nas quais por meio da álgebra atribuirá valores que o problema

apresenta, chegando ao resultado esperado, no qual pode ser verificado se está ou

não correto fazendo a substituição dos valores encontrados na sentença

matemática.

3.2.4 Problema 4

Um lote retangular foi dividido em quatro terrenos, todos retangulares. As

áreas de três deles estão dadas na figura, em km². Qual é a área do lote?

27

18

72

12

Conteúdos:

• Área.

• Medidas de comprimento.

Objetivos:

• Interpretar e resolver problemas.

• Aplicar medidas de comprimento e o cálculo de área.

Desenvolvimento da atividade:

Ler a questão, antes de apontar a solução, descrever a forma correta como

deve proceder para atingir o resultado esperado. A forma mais direta da solução

envolve a introdução de quatro incógnitas para representar as medidas dos

comprimentos das subdivisões do lote, que é retangular. Pode-se imaginar uma

solução alternativa que envolveria tentativas de fatoração comum, que levaria à

determinação destas medidas pelo método de tentativa e erro.

3.2.5 Problema 5

Na expressão a + c = 29 as letras a, b, c, e d representam números inteiros

de 1 a 9. b d 30

Qual é o valor de a + b + c + d?

Conteúdos:

• Expressões algébricas

• Números inteiros e racionais

• Frações

• Múltiplos

Objetivos:

• Representar, por meio de uma fração o enunciado do problema.

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Desenvolvimento da atividade:

Na resolução desse problema espera-se que o aluno antes de apontar a

solução, observe a fração irredutível apresentada na expressão algébrica e que o

produto b.d é múltiplo de 30.

3.2.6 Problema 6

Na figura dada, teremos dois quadrados. O lado do maior mede a + b e do

menor a. Qual é a área da região cinza destacada?

Conteúdos:

• Área

• Expressão algébrica

• Perímetro

• Produtos notáveis

Objetivo:

• Representar, por meio de uma expressão algébrica o perímetro e a

área de um polígono.

Desenvolvimento da atividade:

Para resolver esse problema o aluno deverá identificar que a área do retângulo de

lado L é a área da região cinza é a diferença entre as áreas do quadrado maior e

menor, portanto um dos cálculos deste problema o aluno utilizará a multiplicação de

polinômio.

3.2.2 Problema7

a a+b

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Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores, as áreas

de três deles estão indicadas na figura dada. Qual é a área do retângulo ABCD?

A D

16

12 27

B C

Conteúdos:

• Área do retângulo

• Equação do 1° grau.

Objetivo:

• Interpretar e resolver problemas envolvendo equação do 1° grau.

Desenvolvimento da atividade:

O problema 4 é semelhante a esse. O professor observará se o aluno

utilizará a mesma estratégia para resolver.

4. AVALIAÇÃO

A avaliação é parte integrante do processo de ensino e aprendizagem e nos

permite observar o desenvolvimento do aluno. Seguiremos DANTE (1999, p. 4) na

escolha do processo avaliativo.

Maior ênfase

• Avaliar o que os alunos sabem, como sabem e como pensam

matematicamente.

• Verificar se o aluno compreendeu os conceitos, os procedimentos e se

desenvolveu atitudes positivas em relação à Matemática.

• Observar o processo e o nível de criatividade perante as soluções

apresentadas pelo aluno.

• Encarar a avaliação como parte integrante do processo de ensino.

• Focalizar uma variedade de tarefas matemáticas e adotar uma visão

globalizada da Matemática.

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• Propor situações-problema que envolva aplicações de conjunto de ideias

matemáticas.

• Oportunizar situações abertas que apresentem mais que uma solução.

• Utilizar várias formas de avaliação, incluindo as escritas (provas, testes,

trabalhos, auto-avaliação), as orais (exposições, entrevistas, conversas informais) e

as de demonstração (materiais pedagógicos).

Menor ênfase

• Avaliar por que os alunos não obtiveram êxito na aprendizagem.

• Observar a memorização de definições, regras e esquemas.

• Levar em considerações apenas o produto, contando o número de

respostas certas nos testes e provas.

• Contar o número de respostas certas nas provas, com o único objetivo de

classificar.

• Focalizar um grande número de capacidades específicas e isoladas.

• Apresentar exercícios e problemas que requeiram apenas uma

capacidade.

• Enfocar problemas rotineiros que apresentam uma única solução.

• Propor que o aluno resolva uma série de problemas já formulados.

• Utilizar apenas provas e testes escritos.

• Excluir materiais manipuláveis, calculadoras e computadores na avaliação.

Com estas diretrizes no processo avaliativo, espera-se que os alunos

desenvolvam a capacidade de ligar elementos de acordo com suas qualidades,

manipular, classificar ou seriar, com base definida nas características dos objetos.

Assim, o aluno reflete sobre o que aprendeu, conseguirá desenvolver atividades

futuras com mais facilidade. Vale ressaltar a importância na aplicação de uma

avaliação final, para saber então, qual foi o nível de aprendizado que o aluno atingiu.

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5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

É evidente que a resolução de problemas no estudo das expressões e

desenvolvimento do pensamento algébrico tem se apoiado em vários programas de

aprendizagem que são desenvolvidos com o passar do tempo, com o intuito de

facilitar o desenvolvimento e a construção do conhecimento matemático por parte

dos alunos.

O desenvolvimento de novas perspectivas de aprendizagem tem

influenciado a estrutura e organização de propostas curriculares. No entanto, avaliar

e contrastar o impacto desses programas não é uma tarefa fácil, há muitas formas

de resolver uma situação-problema, alguns alunos aprendem por determinadas

metodologias enquanto outros não. Por isso, há necessidade do professor investigar

o conhecimento prévio do aluno, para saber qual a melhor forma de intervir, visando

maior participação e interesse de todos.

A metodologia tradicional conduz o aluno a repetir por várias vezes as

atividades, apresentando-se assim de forma ineficaz, uma vez que causa

desinteresse por parte dos alunos. A Resolução de Problemas pode possibilitar o

desenvolvimento do interesse do aluno a chegar ao resultado desejado.

A busca de atividades que trabalham a resolução de problemas no estudo

das expressões e desenvolvimento do pensamento algébrico deve ser parte da

interação e discussão aberta entre grupos de pesquisa sobre os aspectos comuns

ou fundamentos além dos princípios que distinguem formas diferentes para ensinar.

No entanto, a pesquisa e a prática de ensino devem estar de acordo com a

importância da disciplina e conceituar termos, dilemas ou perguntas para que os

estudantes possam compreender as expressões e desenvolver o pensamento

algébrico.

Neste processo de ensino, professores devem incentivar os alunos a

questionar e refletir sobre as diversas maneiras de representar e explorar ideias

matemáticas. Sob esta ótica, os alunos constroem, desenvolvem, aperfeiçoam ou

transformam suas formas de entender e resolver problemas como resultados de

formular questões relevantes e respondê-las utilizando diferentes formas e materiais.

Neste contexto, as abordagens para a solução de problemas podem ser

inconsistentes ou limitadas, assim, o professor pode redefinir e aprimorar

aprendizagem, dando importância aos alunos que apresentam e discutem

abertamente as ideias, pois isso promove autoestima e incentiva a aprendizagem.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BURIASCO, R. L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (I). NOSSO FAZER, Londrina, 1, n.5. Londrina, p. 1, 1995.

BUTTS, T. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.

DANTE, L. R. Avaliação em Matemática. In: Matemática: Contexto e Aplicações (Manual do Professor). São Paulo: Ática, 1999.

POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

MUSSER, Gary L; SHAUGHNESSY, Michael J. Estratégias de resolução de problemas na matemática escolar. In: KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.

OBMEP 2007. Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2007.pdf. Acessado em: 03 jul. 2011.

OBMEP 2010. Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf. Acessado em: 03 jul. 2011.