PARANÁ GOVERNO DO
ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
ELZA CELERI DA SILVA
UNIDADE DIDÁTICA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ESTUDO DAS
EXPRESSÕES E DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO
ALGÉBRICO
LONDRINA
2011
ELZA CELERI DA SILVA
UNIDADE DIDÁTICA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ESTUDO DAS EXPRESSÕES E
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO
Unidade Didática, elaborada e implementada como um dos requisitos necessários na participação do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), idealizado e mantido pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED/PR), em convênio com as Instituições Públicas de Ensino Superior (IES) sob orientação do Prof. Dr.Túlio Oliveira de Carvalho.
LONDRINA
2011
Sumário1. APRESENTAÇÃO ........................................................................................... 3 2. PROCEDIMENTOS ........................................................................................ 4 3. PROBLEMAS PROPOSTOS .......................................................................... 5 4. AVALIAÇÃO .................................................................................................. 14 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................... 16 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 17
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1. APRESENTAÇÃO
Tema de Estudo
Aprendizagem e Ensino de Matemática por meio da Metodologia Resolução
de Problemas.
Título
Resolução de Problemas no Estudo das Expressões e Desenvolvimento do
Pensamento Algébrico.
Justificativa
O presente material didático-pedagógico tem como objetivo investigar
contribuições que as atividades de Resoluções de Problemas podem trazer ao
processo de aprendizagem de expressões algébricas e apresentar atividades de
aplicações.
A álgebra tem sido um dos maiores obstáculos ao aprendizado do aluno.
Para ser trabalhada, é necessário alguma profundidade, que pode ser atingida por
meio da introdução nas aulas de situações-problema interessantes, desafiadoras,
mas factíveis.
A álgebra é um ramo da matemática que se caracteriza por sua abstração e
generalidade, oferecendo ferramentas conceituais e procedimentos para aplicações
em diferentes campos do conhecimento como geometria, análise e teoria dos
números. O seu modo de ensinar, portanto, é basicamente feito através de
resolução de problemas que em alguns países não estão presentes no Ensino
Fundamental pela sua complexidade.
Pretende-se que os alunos sejam capacitados a identificar os processos de
raciocínio e as dificuldades quando trabalhadas com situações que requerem o
pensamento algébrico. As tarefas são oportunidades para discussões em grupo,
exemplificando o estudo da álgebra com situações-problema contextualizadas.
Público-alvo
Alunos da 7ª série do Colégio Estadual Comendador Geremias Lunardelli-
Ensino Fundamental e Médio.
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Objetivo Geral
Investigar contribuições que as atividades de Resoluções de Problemas
podem trazer ao processo de aprendizagem e expressões algébricas e apresentar
atividades de aplicações.
Objetivos Específicos
• Identificar os processos de raciocínio e as dificuldades dos alunos da 7ª série
quando trabalham com situações que requerem o pensamento algébrico.
• Oportunizar aos alunos a busca de relações do estudo da álgebra com
situações-problema por meio de aulas com trabalhos em grupos e
discussões.
• Utilizar a metodologia de Resoluções de Problemas para valorização do
contexto sócio-cultural do aluno.
• Aprofundar os estudos em matemática sobre expressões algébricas.
2. PROCEDIMENTOS
Na proposta de ensino matemática através da Resolução de Problemas,
uma das questões mais importantes é como apresentar um problema de modo que
os alunos:
• Queiram resolver o problema;
• Compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução;
De acordo com Polya (2006), são quatro etapas principais sobre Resolução
de Problemas:
1ª compreensão do problema
2ª estabelecimento de um plano
3ª execução do plano
4ª retrospecto
Primeiro: Compreender o problema, fazendo algumas perguntas antes de
resolver.
Qual é a incógnita? Quais são os dados?
Segundo: Elaborar um plano, encontrar a conexão entre os dados e a
incógnita.
Você já o viu antes? Você já viu o mesmo problema apresentado sob forma
diferente?
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Terceiro: Executar seu plano de resolução, ao executar verifique cada
passo. É possível verificar o resultado? É possível chegar ao resultado por outro
caminho?
Quarto: Fazer um retrospecto ou verificação, examinando a solução obtida.
É possível verificar o resultado? É possível chegar ao resultado por outro caminho?
Para compor esta proposta, apresentam-se tarefas contendo problemas da
OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática da Escola Pública) e banco de
questões 2010.
3. PROBLEMAS PROPOSTOS
3.1 Exemplo de problema com resolução e respostas esperadas
Esta é uma atividade que tem o objetivo de desenvolver no aluno conceitos
relacionados com soluções de equações.
Tempo estimado: duas aulas
Recurso: folha de sulfite, já impresso o material, quadro e giz.
Método: É uma atividade para ser realizada em grupo de quatro alunos.
Desenvolvimento da atividade:
A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em
cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais entre si e os saquinhos também.
O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?
1ª etapa
Podemos fazer algumas perguntas antes de começarmos a resolver o
problema.
Pergunta: Quais são os dados do problema?
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Resposta Esperada (RE): A balança está em equilíbrio, no primeiro prato
temos cinco saquinhos de areia e quatro bolas, no segundo prato, dois saquinhos de
areia e dez bolas.
Pergunta: Qual é a incógnita, ou seja, o que o problema pede para calcular?
RE: Há duas incógnitas, mas o que importa é a razão entre os pesos.
Pergunta: Quais letras serão usadas para as incógnitas?
RE: x- peso do saquinho de areia e y-peso da bola.
2ª etapa Teremos que encontrar uma conexão entre os dados e a incógnita.
Pergunta: Já resolveram algum problema semelhante?
RE: Não.
3ª etapa
Executamos o plano, fazemos os cálculos com paciência e verificando cada
passo.
Pergunta: Para calcular o peso da bola e do saquinho como procederemos?
O equilíbrio da balança fornece a equação 5x + 4y = 2x + 10y, da decorre
que:
5x + 4y = 2x + 10y
5x – 2x = 10y – 4y
3x = 6y
x = 6y/3
x = 2y
4ª etapa
É o retrospecto ou verificação.
Pergunta: Chegaram a uma resposta, examine, analise, ela satisfaz as
condições do problema?
RE: Sim, o peso de um saquinho de areia é igual ao peso de duas bolas.
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Avaliação – A avaliação será através de observação, pois cada etapa o
aluno estará desenvolvendo seu pensamento algébrico.
3.2. Perspectiva Metodológica
Butts (1997) classifica os “problemas em cinco categorias”:
1- Exercício de reconhecimento: são exercícios que o aluno reconhece
ou relembre um fato, uma definição ou enunciado de um Teorema.
Exemplo: Quais das seguintes expressões são monômios?
a) 4x² + 3x
b) 3x² + 5x + 2
c) 2x
2- Exercício algorítmico: São exercícios que podem ser resolvidos com
um procedimento passo-a-passo, freqüentemente um algoritmo numérico.
Exemplos:
Calcule 45 + 3.(-2) – (6:2).
Resolva 3x + 6 = 12. 3- Problema de aplicação: são os problemas que precisam da mudança
da linguagem escrita com palavras para uma linguagem matemática adequada de
modo que se possam utilizar os algoritmos diversos;
Exemplo: Ao comprar um skate, Pedro teve um desconto de R$ 6,00. Qual
era o preço do skate se a taxa de desconto foi de 5%.
4- Problemas de pesquisa aberta: são os problemas que não contêm no
seu enunciado nenhuma pista para sua resolução.
Exemplo: Qual é o maior número de dígitos iguais, diferentes de zero, com
que pode terminar um número quadrado perfeito?
5- Situação – problema: são aquelas nas quais a primeira coisa a fazer é
identificar o problema inerente, cuja solução vai ajudar a “manejar” as próprias
situações.
Exemplo: O tratamento da “doença que não é doença”.
G. L. Musser cita algumas estratégias de resolução de problemas que
podem ser ensinadas em sala de aula.
1. Tentativa e erro: talvez o mais direto para resolução de problemas.
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2. Padrões: considera casos particulares do problema e chega-se a
solução a partir da generalização desses casos.
3. Resolver um problema mais simples: estratégia que pode envolver a
resolução de um caso particular de um problema, ou um recuo temporário de um
problema complicado para uma versão resumida.
4. Trabalhar em sentido contrário: estratégia parte do objetivo, ou do
que deve ser provado, e não dos dados.
5. Simulação: a solução de um problema compreende preparar e realizar
um experimento, coletar dados e tomar uma decisão baseada numa análise de
dados.
Para Buriasco (1995, p.1), “uma aula de estratégia tradicional defere de uma
aula de estratégia metodológica da Resolução de Problemas, apresenta os
esquemas nessas duas perspectivas”.
Esquema de aula na Tendência Tradicional
Esquema de aula na Tendência de Resolução de Problemas
1. O professor explica a matéria (teoria).
1. O professor apresenta um problema escolhido por ele ou pelo (s) aluno (s).
2. O professor mostra exemplos. 2. Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm.
3. O professor propõe “exercícios” semelhantes aos exemplos dados para que os alunos resolvam.
3. Quando os alunos encontram algum obstáculo (falta de algum conteúdo necessário para a resolução do problema) o professor apresenta, de alguma forma esse conteúdo.
4. O professor (ou um aluno) resolve no quadro de giz os exercícios.
4. Resolvido o problema os alunos discutem sua solução, se necessário, com a ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema, inclusive os conteúdos necessários.
5. O professor propõe aos alunos outros “exercícios” já não tão semelhantes aos exemplos que ele resolveu.
5. O professor apresenta outro problema-escolhido por ele ou pelo(s) aluno (s).
6. O professor (ou um aluno) resolve os exercícios no quadro de giz.
7. O professor propõe, se for o caso, ou mais de “exercícios”.
8. Correção dos “problemas” e/ ou dos “exercícios”.
9. O professor começa outro assunto.
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A seguir apresentamos alguns problemas da OBMEP e do banco de
questões 2010, citando os conteúdos e os objetivos, que podem favorecer o
desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno.
Fonte: Banco de Questões, Obmep, 2010.
3.3 Problemas Propostos
Tempo estimado: duas aulas para cada problema.
Recurso: folha sulfite, já impresso o material, quadro, giz e dicionário.
Método: são problemas para serem realizados em grupo de quatro alunos.
Avaliação: a avaliação será através de observação, sendo analisadas as
hipóteses e as estratégias utilizadas por cada grupo, as dúvidas e as dificuldades
que irão surgindo, o professor deverá ser o mediador, facilitador entre os alunos e o
conhecimento, intervindo quando for necessário ou quando o grupo solicitar.
3.2.1 Problema 1
A figura mostra um quadrado de lado 12 cm, dividido em três retângulos de
mesmo perímetro. Qual é a área do retângulo sombreado?
Conteúdos:
• Figuras planas
• Área
• Perímetro
• Equação do 1º grau
Objetivos:
• Representar, por meio de uma equação o enunciado do problema.
• Desenvolver no aluno conceitos relacionados a perímetro e área.
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Desenvolvimento da atividade:
Uma das formas que o aluno poderá resolver é utilizando equação do 1º
grau. Ao conceituar perímetro e área espera-se que compreenda a diferença entre
uma e outra, e observe a congruência entre os dois retângulos apresentada.
3.2.2 Problema 2
A figura mostra três polígonos desenhados em uma folha quadriculada.
Para cada um desses polígonos foi assinalado, no plano cartesiano à direita, o ponto
cujas coordenadas horizontal e verticais são, respectivamente, seu perímetro e sua
área.
Conteúdos:
• Área
• Perímetro
• Medidas de comprimento
Objetivos:
• Representar, por meio de uma expressão algébrica o perímetro e a
área de um polígono.
• Fazer comparações entre áreas e perímetros.
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Desenvolvimento da atividade:
Neste problema espera que o aluno utilize o lado L de um dos quadradinhos
como unidade de comprimento, a contagem direta na figura permite ao aluno
calcular as áreas e os perímetros dos polígonos.
3.2.3 Problema 3
Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$8,00
faltarão R$2,50 para pagar a pizza, e se cada um der R$9,00 sobrarão R$3,50. Qual
o preço da pizza?
Conteúdo:
• Equação de primeiro grau.
Objetivos:
• Traduzir uma sentença expressa em linguagem corrente em
uma sentença matemática.
• Representar, por meio de uma equação, o enunciado do
problema.
Desenvolvimento da atividade:
Com essa situação, pretende-se que os alunos discutem e utilizem sentenças
matemática nas quais por meio da álgebra atribuirá valores que o problema
apresenta, chegando ao resultado esperado, no qual pode ser verificado se está ou
não correto fazendo a substituição dos valores encontrados na sentença
matemática.
3.2.4 Problema 4
Um lote retangular foi dividido em quatro terrenos, todos retangulares. As
áreas de três deles estão dadas na figura, em km². Qual é a área do lote?
27
18
72
12
Conteúdos:
• Área.
• Medidas de comprimento.
Objetivos:
• Interpretar e resolver problemas.
• Aplicar medidas de comprimento e o cálculo de área.
Desenvolvimento da atividade:
Ler a questão, antes de apontar a solução, descrever a forma correta como
deve proceder para atingir o resultado esperado. A forma mais direta da solução
envolve a introdução de quatro incógnitas para representar as medidas dos
comprimentos das subdivisões do lote, que é retangular. Pode-se imaginar uma
solução alternativa que envolveria tentativas de fatoração comum, que levaria à
determinação destas medidas pelo método de tentativa e erro.
3.2.5 Problema 5
Na expressão a + c = 29 as letras a, b, c, e d representam números inteiros
de 1 a 9. b d 30
Qual é o valor de a + b + c + d?
Conteúdos:
• Expressões algébricas
• Números inteiros e racionais
• Frações
• Múltiplos
Objetivos:
• Representar, por meio de uma fração o enunciado do problema.
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Desenvolvimento da atividade:
Na resolução desse problema espera-se que o aluno antes de apontar a
solução, observe a fração irredutível apresentada na expressão algébrica e que o
produto b.d é múltiplo de 30.
3.2.6 Problema 6
Na figura dada, teremos dois quadrados. O lado do maior mede a + b e do
menor a. Qual é a área da região cinza destacada?
Conteúdos:
• Área
• Expressão algébrica
• Perímetro
• Produtos notáveis
Objetivo:
• Representar, por meio de uma expressão algébrica o perímetro e a
área de um polígono.
Desenvolvimento da atividade:
Para resolver esse problema o aluno deverá identificar que a área do retângulo de
lado L é a área da região cinza é a diferença entre as áreas do quadrado maior e
menor, portanto um dos cálculos deste problema o aluno utilizará a multiplicação de
polinômio.
3.2.2 Problema7
a a+b
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Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores, as áreas
de três deles estão indicadas na figura dada. Qual é a área do retângulo ABCD?
A D
16
12 27
B C
Conteúdos:
• Área do retângulo
• Equação do 1° grau.
Objetivo:
• Interpretar e resolver problemas envolvendo equação do 1° grau.
Desenvolvimento da atividade:
O problema 4 é semelhante a esse. O professor observará se o aluno
utilizará a mesma estratégia para resolver.
4. AVALIAÇÃO
A avaliação é parte integrante do processo de ensino e aprendizagem e nos
permite observar o desenvolvimento do aluno. Seguiremos DANTE (1999, p. 4) na
escolha do processo avaliativo.
Maior ênfase
• Avaliar o que os alunos sabem, como sabem e como pensam
matematicamente.
• Verificar se o aluno compreendeu os conceitos, os procedimentos e se
desenvolveu atitudes positivas em relação à Matemática.
• Observar o processo e o nível de criatividade perante as soluções
apresentadas pelo aluno.
• Encarar a avaliação como parte integrante do processo de ensino.
• Focalizar uma variedade de tarefas matemáticas e adotar uma visão
globalizada da Matemática.
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• Propor situações-problema que envolva aplicações de conjunto de ideias
matemáticas.
• Oportunizar situações abertas que apresentem mais que uma solução.
• Utilizar várias formas de avaliação, incluindo as escritas (provas, testes,
trabalhos, auto-avaliação), as orais (exposições, entrevistas, conversas informais) e
as de demonstração (materiais pedagógicos).
Menor ênfase
• Avaliar por que os alunos não obtiveram êxito na aprendizagem.
• Observar a memorização de definições, regras e esquemas.
• Levar em considerações apenas o produto, contando o número de
respostas certas nos testes e provas.
• Contar o número de respostas certas nas provas, com o único objetivo de
classificar.
• Focalizar um grande número de capacidades específicas e isoladas.
• Apresentar exercícios e problemas que requeiram apenas uma
capacidade.
• Enfocar problemas rotineiros que apresentam uma única solução.
• Propor que o aluno resolva uma série de problemas já formulados.
• Utilizar apenas provas e testes escritos.
• Excluir materiais manipuláveis, calculadoras e computadores na avaliação.
Com estas diretrizes no processo avaliativo, espera-se que os alunos
desenvolvam a capacidade de ligar elementos de acordo com suas qualidades,
manipular, classificar ou seriar, com base definida nas características dos objetos.
Assim, o aluno reflete sobre o que aprendeu, conseguirá desenvolver atividades
futuras com mais facilidade. Vale ressaltar a importância na aplicação de uma
avaliação final, para saber então, qual foi o nível de aprendizado que o aluno atingiu.
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5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
É evidente que a resolução de problemas no estudo das expressões e
desenvolvimento do pensamento algébrico tem se apoiado em vários programas de
aprendizagem que são desenvolvidos com o passar do tempo, com o intuito de
facilitar o desenvolvimento e a construção do conhecimento matemático por parte
dos alunos.
O desenvolvimento de novas perspectivas de aprendizagem tem
influenciado a estrutura e organização de propostas curriculares. No entanto, avaliar
e contrastar o impacto desses programas não é uma tarefa fácil, há muitas formas
de resolver uma situação-problema, alguns alunos aprendem por determinadas
metodologias enquanto outros não. Por isso, há necessidade do professor investigar
o conhecimento prévio do aluno, para saber qual a melhor forma de intervir, visando
maior participação e interesse de todos.
A metodologia tradicional conduz o aluno a repetir por várias vezes as
atividades, apresentando-se assim de forma ineficaz, uma vez que causa
desinteresse por parte dos alunos. A Resolução de Problemas pode possibilitar o
desenvolvimento do interesse do aluno a chegar ao resultado desejado.
A busca de atividades que trabalham a resolução de problemas no estudo
das expressões e desenvolvimento do pensamento algébrico deve ser parte da
interação e discussão aberta entre grupos de pesquisa sobre os aspectos comuns
ou fundamentos além dos princípios que distinguem formas diferentes para ensinar.
No entanto, a pesquisa e a prática de ensino devem estar de acordo com a
importância da disciplina e conceituar termos, dilemas ou perguntas para que os
estudantes possam compreender as expressões e desenvolver o pensamento
algébrico.
Neste processo de ensino, professores devem incentivar os alunos a
questionar e refletir sobre as diversas maneiras de representar e explorar ideias
matemáticas. Sob esta ótica, os alunos constroem, desenvolvem, aperfeiçoam ou
transformam suas formas de entender e resolver problemas como resultados de
formular questões relevantes e respondê-las utilizando diferentes formas e materiais.
Neste contexto, as abordagens para a solução de problemas podem ser
inconsistentes ou limitadas, assim, o professor pode redefinir e aprimorar
aprendizagem, dando importância aos alunos que apresentam e discutem
abertamente as ideias, pois isso promove autoestima e incentiva a aprendizagem.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BURIASCO, R. L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (I). NOSSO FAZER, Londrina, 1, n.5. Londrina, p. 1, 1995.
BUTTS, T. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
DANTE, L. R. Avaliação em Matemática. In: Matemática: Contexto e Aplicações (Manual do Professor). São Paulo: Ática, 1999.
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
MUSSER, Gary L; SHAUGHNESSY, Michael J. Estratégias de resolução de problemas na matemática escolar. In: KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
OBMEP 2007. Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2007.pdf. Acessado em: 03 jul. 2011.
OBMEP 2010. Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf. Acessado em: 03 jul. 2011.
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