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PARANÁ
GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
CADERNO PEDAGÓGICO
Professora PDE - Maria José Cação Ribeiro
Orientador - Prof. Dr. Fabiano Manoel de Andrade
PONTA GROSSA – PR
2011
2
MARIA JOSÉ CAÇÃO RIBEIRO
“VIAGENS AO MUNDO DA GEOMETRIA ATRAVÉS DO PAPEL” Produção Didático - Pedagógica (Caderno
Pedagógico), como requisito para a
Implementação Pedagógica na Escola,
apresentado à Coordenação do Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE, da
Secretaria de Estado da Educação do
Paraná, sob a responsabilidade da
Universidade Estadual de Ponta Grossa –
UEPG, tendo como orientador Prof. Dr.
Fabiano Manoel de Andrade.
PONTA GROSSA 2011
3
“Uma imagem vale por mil palavras,
porque via de regra é muito mais
fácil mostrar do que falar”.
(Provérbio chinês)
4
SUMÁRIO
1. DADOS DE IDENTIFICAÇÃO................................................................................06
1.1. TEMA............................................................................................................. 06
1.2. TÍTULO............................................................................................................06
2. APRESENTAÇÃO..................................................................................................06
3. JUSTIFICATIVA DO TEMA DE ESTUDO..............................................................07
4. PROBLEMA/PROBLEMATIZAÇÃO.......................................................................10
5. OBJETIVOS...........................................................................................................11
5.1. OBJETIVO GERAL..........................................................................................11
5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS...........................................................................11
6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..............................................................................11
7. ESTRATÉGIA DE AÇÕES.....................................................................................15
7.1. RECORTE HISTÓRICO..................................................................................16
7.1.1. TANGRAM................................................................................................17
7.1.1.1. LENDAS DO TANGRAM.....................................................................17
7.1.2. TSURU......................................................................................................19
7.1.2.1. LENDA DO TSURU.............................................................................19
7.2. DICAS IMPORTANTES PARA UM BOM TRABALHO....................................21
7.3. SIMBOLOGIA DOS DIAGRAMAS...................................................................22
8. ATIVIDADES DE ENSINO ATRAVÉS DE DOBRADURAS...................................24
1ª Atividade: A partir de uma página de revista retangular como obter um
quadrado...........................................................................................24
2ª Atividade: Dividir o quadrado em duas partes iguais.........................................27
3ª Atividade: Dividir um papel quadrado em quatro partes iguais .........................29
DESAFIO 1.............................................................................................................31
4ª Atividade: Dividir uma folha de papel quadrangular em partes iguais,
aonde n (número natural) é potência de dois...................................31
5
5ª Atividade: Dividir uma folha de papel na forma retangular em três partes
iguais................................................................................................35
6ª Atividade: Como dividir uma folha de papel retangular em várias partes
iguais a partir da divisão de três.......................................................39
7ª Atividade: Como obter um triângulo equilátero com um quadrado..................42
8ª Atividade: Construção de um hexágono regular a partir de uma folha de papel
na forma retangular..........................................................................47
9ª Atividade: Como obter a figura de um pentágono regular a partir de uma folha
retangular de papel..........................................................................51
10ª Atividade: Como construir um octógono usando quadrados de papeis..........54
11ª Atividade: Como obter as sete peças do tangram a partir de um quadrado de
papel................................................................................................57
DESAFIOS 2 E 3 ...................................................................................................63
12ª Atividade: Construir um coração a partir de um quadrado de papel...............63
13ª Atividade: Como obter a figura de um barquinho a partir de uma folha
retangular de papel........................................................................68
14ª Atividade: Como montar um hexaedro através de módulos............................73
15ª Atividade: Construir a figura de um tsuru (pássaro símbolo de sorte, saúde e
felicidade no Japão)........................................................................80
9. RESOLUÇÃO DOS DESAFIOS.............................................................................88
10. CRONOGRAMA DAS AÇÕES.............................................................................90
11. REFERÊNCIAS....................................................................................................92
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1. DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Área PDE: Matemática
Professora PDE: Maria José Cação Ribeiro
NRE: Ponta Grossa - PR
Professor Orientador IES: Prof. Dr. Fabiano Manoel de Andrade
IES vinculada: Universidade Estadual de Ponta Grossa
Escola de Implementação: Colégio Estadual Professor Colares
Público objeto da intervenção: Educandos (as) da 6ª série /7º ano do Ensino
Fundamental
Projeto: PDE 2010
1.1. TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE
Utilização de dobraduras no estudo da geometria.
1.2. TÍTULO
“Viagens ao mundo da geometria através do papel”
2. APRESENTAÇÃO
A Produção Didático-Pedagógica (Caderno Pedagógico) incorpora proventos
ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, enquanto política de
formação continuada de professores da Rede Pública Estadual de Ensino do Estado
do Paraná com o aval da Universidade Estadual de Ponta Grossa, cuja parceria é
importante para o êxito do Programa. A organização do caderno pedagógico
fundamenta-se no ensino da Geometria o qual propõem um meio alternativo que
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viabiliza o processo ensino/aprendizagem através do uso de dobraduras, este como
instrumento permite ao educando (a) assimilar conhecimentos geométricos
relevantes, minimizando as dificuldades e propicia a formação dos conceitos
matemáticos e geométricos, o que instiga uma melhor aprendizagem.
Esta produção didático-pedagógica favorecerá uma reflexão da teoria sobre a
prática no estudo da geometria. O origami representa, para o processo de
ensino/aprendizagem, um recurso metodológico importante, pois, proporciona a
exploração de conceitos geométricos como, por exemplo: formas geométricas,
figuras planas e espaciais, frações, igualdades, equivalências, semelhanças,
simetria e outros. Além de propiciar a realização pessoal pelo fato de criar figuras
com apenas um pedaço de papel.
A implementação deste material será no Colégio Estadual Professor Colares,
em Ponta Grossa, para educandos (as) da 6ª série/7º ano do Ensino Fundamental,
em contra turno, no 2º semestre de 2011.
3. JUSTIFICATIVA DO TEMA DE ESTUDO
No século XV da nossa era, os orientais já aplicavam o papel em seu
artesanato doméstico o que originou à delicada habilidade que somada a
perspicácia na arte de criar figuras da origem ao origami, que significa „papel
dobrado‟ (verbo ori – dobrar e kami – papel, juntando-se as duas palavras flexiona-
se o verbo e sonoriza-se o k, ficando origami), é desconhecida.
Acredita-se que as primeiras técnicas do origami tenham surgido como uma
decorrência natural da invenção e divulgação do papel, ainda que esta esteja
relacionada a costumes ou crenças religiosas de épocas passadas. Sabe-se que o
papel foi desenvolvido na China e acredita-se que a técnica de transformar um
simples pedaço de papel em figura foi levada ao Japão pelos monges chineses.
Naquela época o papel era artigo de luxo, usado apenas pela nobreza e pelos
monges budistas para a confecção de quimonos. É possível que as primeiras dobras
de papel, tenham surgido entre pessoas da própria nobreza japonesa, e, sobretudo
pelas mulheres. As primeiras instruções escritas da técnica surgiram no Japão por
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volta do século XVIII. Já a partir do século XIX nas escolas japonesas a técnica de
transformar papéis em figuras inimagináveis passou a ser disciplina.
“A popularização do origami se deu no período Tokugawa (1603-
1867). Aí surgiu a dobradura original do tsuru (cegonha), sem dúvida
a mais popular no Japão. Dois livros são os que fornecem as
primeiras instruções dos diagramas utilizados no origami: Como
dobrar mil pássaros de Sembazuru Orikata (1797) e Janela aberta e
a estação de Invernos de Kan no Mado (1845), neste último aparece
pela primeira vez à base da rã, uma dobradura muito utilizada”
(OLIVEIRA, p.3)
No Japão, o origami é encarado como uma arte e um divertimento. Na
Europa, o origami é visto como um desafio às criações de modelos. A regra de ouro
européia é:...desde que não se corte, nem se cole... à imaginação é o único limite!
No Brasil, o origami, também conhecido como „dobradura‟, é considerado uma
poderosa ferramenta pedagógica para o ensino da geometria, proporcionando aos
educandos conceitos, conteúdos e procedimentos.
Este projeto surgiu a partir da observação da falta de concentração e
integração entre os educandos (as) nas aulas de matemática em especial no
conteúdo de geometria. Nesse contexto a prática da dobradura pode favorecer a
concentração, a destreza manual e a paciência, além da satisfação pessoal de
poder criar figuras apenas com um pedaço de papel. A dobradura também
representa para o processo de ensino/aprendizagem da geometria um importante
recurso metodológico, pois permite aos educandos (as) ampliarem seus
conhecimentos geométricos por meio da observação de objetos e formas que os
cercam. Além disso, favorece a exploração e construção de uma grande variedade
de conceitos geométricos, relacionando-os a outros campos de conhecimento. O
desafio de criar figuras, partindo de uma simples folha de papel quadrangular, onde
suas quatro pontas unem e se desunem. Neste processo os vincos que marcam o
papel dão origem a construção que afeta a lógica cognitiva de raciocínio, lógica e
visão artística.
A priore o origami trabalha com medidas exatas de quadrados regulares e já
chegou a ganhar status científico, uma vez que pesquisadores (as) consideram o
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estudo das formas das dobraduras como axiomas, dentro da terminologia
matemática, ganhando teses e estudos mais aprofundados e técnicos.
Hodiernamente, existem aplicabilidades da técnica do origami em vários
setores. O origami pode ser encontrado em propagandas comerciais, móveis,
roupas, livros e na ciência. A técnica do origami tem associado a ela, um forte
componente da matemática que é a geometria. Existe uma grande variedade de
móveis de origami, incluindo mesas e cadeiras. Alguns móveis são feitos de
papelão, enquanto outros são feitos com metal e dobrados em estilo origami. Há
muitos edifícios e espaços que são inspirados no origami. Algumas roupas são feitas
de papel, enquanto outras são feitas de tecido, mas têm dobras do origami em si. A
surpresa maior é saber que as idéias de dobramento em papel são usadas em
projetos científicos tecnicamente avançados, mesmo quando a sua utilização seja
mínima.
No final do século XX, o astrofísico japonês Koryo Miura, da Tokyo
University's lnstitute of Space and Aeronautical Science, criou um origami rígido
(miura ori) no qual a aplicabilidade esta para painéis solares para satélites espaciais,
reduzindo o número de motores necessários para desdobrá-lo, diminuindo o peso
total e aumentando a qualidade de funcionamento. Os painéis solares da Estação
Espacial Internacional foram levados para o espaço totalmente dobrados.
Zhong You – BSc PhD - University Lecturer (Structures) e Weina Wu -
Research Student, da Universitye of Oxford, usaram a técnica de dobradura em
papéis e a aplicaram para construir uma sacola metálica útil para carregar produtos
do supermercado, totalmente dobrável quando não está em uso. Espera-se que a
sacola revolucione o sistema industrial de empacotamento.
Han Dongran, Pal Suchetan, Nangreave Jeanette, Deng Zhengtao, Liu Yan e
Yan Hao, Cientistas da Universidade do Arizona, nos Estados Unidos,
desenvolveram uma estratégia para projetar, construir e reproduzir os complexos
formatos da natureza como o DNA, pela auto-montagem de nanoestruturas que
definem intrincada superfícies curvas em espaço tridimensional, utilizando a técnica
do origami de DNA de dobradura.
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As aplicações da famosa arte oriental da dobradura em papéis já são tantas
que os pesquisadores (as) já falam em "engenheiros de origami." Os exemplos
acima mostram a aplicabilidade dos princípios da geometria, nos dias atuais dentro
da ciência.
Adicionalmente, é possível identificar a geometria em todo lugar e
cotidianamente estamos em contato com ela, sendo “talvez a parte da matemática
mais intuitiva, concreta e ligada com a realidade” (FAINGUENLERT, 1999). Razão
pela qual não podemos desconsiderá-la, mas aproveitá-la para deixar o ensino mais
dinâmico.
4. PROBLEMA/PROBLEMATIZAÇÃO
A dobradura parte da transformação de um simples pedaço de papel
quadrado em diversas figuras, cujas faces do papel podem ser de cores diferentes.
A cada dia, são descobertas novas técnicas e as mais complexas maneiras de se
dobrar papel, entretanto, o resultado é sempre obtido a partir das simples dobras no
papel, sem cola, cortes, grampos, ou qualquer outro tipo de ajuda. Mas isso requer
um conhecimento básico de geometria, paciência e atenção. Além das ações de:
observação, composição, decomposição, transformação, representação e
comunicação, que facilitará o desenvolvimento das atividades geométricas.
As preocupações dos educadores (as) em relação à falta de interesse e de
concentração, bem como com a diversidade social, existente na maioria de nossos
educandos (as), nos leva a repensar as práticas didáticas trabalhadas nas salas de
aula do Ensino Fundamental. Desta forma necessitamos de um instrumento que
proporcione explorações de formas geométricas, movimentos de transformação e
múltiplas linhas de simetria dentro de uma figura. Então, podemos fazer as seguintes
perguntas: o pensamento geométrico pode ser desenvolvido a partir do uso do
origami? Como o origami pode auxiliar na aprendizagem de geometria?
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5. OBJETIVOS
5.1. OBJETIVO GERAL
Construir e reconstruir conceitos geométricos de maneira diferenciada,
atraente e participativa, desenvolvendo coordenação motora fina, perspectiva
de ideias e dinâmicas para interpretação de formas planas e espaciais
através da utilização da técnica da dobradura de papel com educandos (as)
de 6ªsérie/7ºano do Ensino Fundamental no Colégio Estadual Professor
Colares.
5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Desenvolver o trabalho em grupo;
Promover a habilidade de concentração e memorização;
Proporcionar momentos de criatividade na arte de dobrar o papel, visando
uma aula diferente e prazerosa;
Incentivar o educando (a) para a arte de dobrar papel, pois além de recreação
e útil na terapia educacional;
Ensinar o educando (a) a obter figuras simples e complexas com a utilização
de apenas uma folha de papel sem cortes e sem cola;
Utilizar a geometria das dobras no plano e no espaço;
Introduzir elementos geométricos e a respectiva nomenclatura;
Desenvolver uma compreensão das figuras geométricas planas e
tridimensionais e suas propriedades;
Estabelecer relações geométricas;
Desenvolver um sentido de espaço.
6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA / REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O origami ou dobradura representa para o processo de aprendizagem no
ensino da geometria um importante recurso metodológico, o que contribui ao
educando (a) aprender o sentido da precisão e ter uma percepção melhor de como
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uma folha de papel bidimensional transforma-se em um objeto tridimensional que
gera maior criatividade e motivação no desempenho das atividades propostas em
sala de aula.
Por várias décadas, o ensino da disciplina de matemática sofre alterações nos
conteúdos a serem trabalhados, e em determinado momento cogitou-se a exclusão
deste do currículo escolar. Ainda, observa-se a o menosprezo da geometria em
alguns livros didáticos que atribuem à prática de colocar os conteúdos nos capítulos
finais.
A LDB (Lei das Diretrizes e Bases da Educação Nacional), Lei nº 9394, de 20
de Dezembro de 1996, estabelece a adequação do ensino brasileiro com as
transformações do Mundo para o trabalho apresentando novas interpretações no
ensino da matemática.
Em 1998, o MEC (Ministério da Educação e Cultura), distribuiu os PCN
(Parâmetros Curriculares Nacionais), com objetivo de propiciar ao educador (a)
subsídios para que suas aulas sejam adequadas à realidade dos seus educandos
(as). O contexto envolvendo questões educacionais é amplo, mas para a geometria
são significativos, não consta um espaço definitivo que envolva diretamente quanto
ao trabalho em sala de aula.
A Secretaria de Estado da Educação do Paraná, desde 2003 proporcionou
discussões conjuntas com professores da rede básica de ensino, nas diferentes
modalidades e níveis, com educadores (as) dos NRE (Núcleo Regional de
Educação) e equipes pedagógicas da SEED (Secretaria de Estado da Educação do
Paraná), resultando em 2006, as Diretrizes Curriculares da Educação Básica,
resgatando considerações teórico-metodológicas importantes do conteúdo
matemático e da disciplina de matemática. Destacando os conteúdos estruturantes:
Números e Álgebra; Grandezas e Medidas; Funções; Geometrias e Tratamento da
Informação. A partir do conteúdo estruturantes de Geometrias surgem os conteúdos
básicos que são: Geometria Plana; Geometria Espacial; Geometria Analítica e
Geometria não-euclidianas.
As DCE (Diretrizes Curriculares da Educação Básica) objetivam a formação
de um educando (a) crítico, ético, capaz de agir, tomar decisões e conhecer a
realidade do mundo em que vive. Neste contexto, a utilização do origami como
recurso metodológico facilitará ao educando (a) visualizar a relação das técnicas do
origami com a geometria.
13
“A dobradura de papel é uma das possibilidades de se fazer
experiências exploratórias. Além de permitir a manipulação das
formas, o indivíduo ao executar as dobras vai participando
ativamente da formação do modelo, podendo constatar através de
movimentos das dobras elementos e propriedades destas que são de
grande utilidade para o uso as geometria.”(ALMEIDA, LOPES,
SILVA. 2000.p.2).
O uso de dobraduras de papel no ensino para despertar o interesse dos
alunos e auxiliar na aprendizagem da geometria, foi ideia do educador alemão
Friedrich Wilhelm August Froebel (1782 –1852) a partir do ano de 1876.
No Japão, ele criou “Kindergarten” (Jardim da infância) onde trabalhava com a
técnica de dobraduras em três abordagens: dobras de verdade, dobras da vida e
dobras da beleza. No Brasil, o uso do origami no Ensino Fundamental é atribuído a
Yachiyo Koda que através da Aliança Cultural Brasil e Japão, ofereceu oficinas a
educadores.
No origami há uma linguagem universal denominada “diagrama”, instituída em
1956 pelo origamista Akira Yoshizawa. Os diagramas permitem visualizar todo passo
a passo das dobras no papel até seu produto final, por meio de inúmeros símbolos
característicos da técnica do Origami, além de favorecer a identificação de
elementos da geometria como pontos, retas, ângulos, planos, e outros, que são
desenhados partindo de uma folha de papel, geralmente na forma de quadrado.
Esses elementos desenhados correspondem aos vincos, ou seja, às marcas
deixadas no papel pelas dobras.
Conhecer a leitura simbólica dos diagramas facilita a relação desta técnica
com o estudo em geometria. À sua aplicação, gerou duas correntes no mundo.
Segundo Peter Engel:
(...) nos anos 80 formam-se no origami duas correntes: a japonesa e
a ocidental. Na escola japonesa, o origami é praticado por artistas
como filosofia e arte, e não como ciência. A filosofia consiste em
expressar, sugerir, captar a essência do que se quer representar com
o mínimo de dobras, a figura resultante não precisa ser
anatomicamente perfeita. Do outro lado, na escola ocidental, o
origami tem sido praticado por matemáticos, engenheiros, físicos e
arquitetos.
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No Brasil é pouco aplicada a técnica do Origami nas escolas, evidentemente
pela falta de conhecimento dos benefícios que pode proporcionar principalmente no
ensino de matemática, em especial no estudo da geometria. Matos afirma que:
Embora a conexão entre geometria e origami, seja bastante óbvia,
esta não tem sido bem aproveitada como um lúdico atrativo para o
ensino em escolas. Sua estreita ligação com artes e desenho pode
trazer inúmeras vantagens para o ensino de matemática (MATOS-
2001, p.17).
A utilização das técnicas e diagramas é uma alternativa muito rica para o
ensino, tanto na construção de conceitos como na demonstração e aplicação de
resultados. O uso de ideias geométricas leva o educando (a) perceber as formas
geométricas existentes na natureza, que influencia na sua vida.
O origami é um instrumento metodológico para o ensino de Geometria, e
como qualquer outra ferramenta educacional deve ser bem planejada o seu uso em
sala de aula, para que os educandos (as) não percam o interesse. Constituindo uma
linguagem simbólica completa e diferenciada de outras linguagens usadas para a
comunicação de ideias, a linguagem do origami é universal.
Nas atividades com dobraduras os elementos presentes são fundamentais
para a aprendizagem significativa da geometria como igualdade, semelhança,
simetria, equivalência, discriminação de forma, posição e tamanho; leitura e
interpretação de diagramas; construção de figuras planas e espaciais; uso dos
termos geométricos em um contexto; desenvolvimento de percepção e
discriminação de relações planas e espaciais; exploração de padrões geométricos;
desenvolvimento do raciocínio do tipo passo a passo; desenvolvimento do senso de
localização espacial. A cada momento o educando (a) tem uma idéia real do objeto
em estudo, no qual se apóia e serve como elemento de motivação.
É, portanto, a partir da exploração de elementos ligados à realidade do
educando (a) que as primeiras noções relativas aos elementos geométricos podem
ser trabalhadas, incorporando-se sua experiência pessoal com os elementos do
espaço e sua familiarização com as formas bi e tridimensionais e interligando-as aos
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conhecimentos numéricos, métricos e algébricos que serão construídos. Segundo
Lorenzato:
“A geometria é a mais eficiente conexão didático-pedagógico
que a Matemática possui: ela se interliga com a aritmética e com a
álgebra porque os objetos e relações dela correspondem aos das
outras; assim sendo, conceitos, propriedades e questões aritméticas
ou algébricas podem ser clarificados pela geometria, que realiza uma
verdadeira tradução para o aprendiz”. (LORENZATO – 1995, p7).
7. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
No estudo da geometria exige-se do educando (a) uma maneira específica de
raciocinar, levando às explorações e descobertas. Dessa forma propomos uma
dimensão maior do estudo da geometria que estamos acostumados em sala de aula
através do origami. O uso da técnica do origami tem se revelado de grande
importância nos vários campos da ciência.
A implementação do projeto pretende levar os educandos (as) a
empenharem-se à aprendizagem através do entretenimento nas técnicas do origami.
Antes de se iniciar as dobras no papel, faz-se um recorte histórico sobre a origem do
origami, dicas para a realização de um bom trabalho, elementos do origami,
simbologia dos diagramas, entre outras curiosidades.
Para que se faça com perfeição uma atividade com origami é imprescindível
saber o tipo de papel a ser utilizado, o que não significa que este deva ser de alto
custo. Hoje, comercialmente existem vários tipos de papéis para origami, é
importante verificamos a sua gramatura (espessura). A gramatura do papel
deve ser aquela que permita a realização de vincos bem determinados, sem rasgar.
Os papéis mais finos rasgam facilmente e os papéis mais pesados quebram
ao vincar. O papel muito poroso, como o de jornal, não é recomendável. Para a
realização de ótimos trabalhos é indicado o papel de revista ou de presente, mas o
ideal seria trabalhar com papel espelho, próprio para dobraduras, que possui uma
face colorida e outra branca.
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Para análise de texturas, é interessante trabalhar uma mesma dobradura
com papéis de diferentes tipos como: seda, ofício, ofício amassado, camurça, papel
reciclado, papel laminado, papel manteiga e outros, e observar as variações nos
resultados finais em cada caso. Já em relação a cores dos papeis depende da
disponibilidade do material e da criatividade.
Inicialmente, sugerimos trabalhar com quadrados de papel de lados maiores
ou iguais a 15 cm, sobre uma superfície plana, firme, com calma e precisão, pois as
dobras e vincos devem ser corretos para que não fiquem desalinhadas e não
prejudique o resultado final da dobradura.
Na técnica do origami usamos apenas um pequeno número de dobras
diferentes, em certa ordem, dando origem a desenhos complexos sobre o papel.
Estes desenhos são obtidos pela combinação dessas dobraduras básicas. Devemos
nortear os passos para a realização do origami, oralmente ou visualmente ou
acompanhando um diagrama através de Xerox ou páginas da internet ou pranchas
de cartolina com passo a passo, feito com a simbologia específica do origami ou, no
caso das dobraduras mais simples, desdobrando-se um modelo e copiando-se os
passos observados.
Nas atividades propostas, é importante explorarmos os conceitos geométricos
adotando a linguagem formal adequada para proporcionar meios de transmissão
mais atraentes com a intenção de surgir a cada momento novos desafios. Devemos
organizar as atividades de forma que proporcione aos educandos (as) a
possibilidade da interação em grupo, de até quatro educandos (as). Procedimentos
estes que devem ser adotados para avaliar, qualitativa e quantitativamente, os
resultados através da apresentação de trabalhos priorizando desempenho,
criatividade, organização e relacionamento em grupo.
7.1. RECORTE HISTÓRICO
Quanto a veracidade das lendas sobre o tangram e o tsuru referenciadas
abaixo, para este contexto seria de pouco peso, posto que, o que importa é o
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encantamento que as estas proporcionam ao serem contadas para a execução de
determinado objeto.
7.1.1. TANGRAM
O tangram é um antigo quebra-cabeça de origem chinesa. Não se sabe ao
certo como surgiu, sua idade e seu criador, apesar de ter várias lendas sobre sua
origem. Formado por sete peças com formas geométricas bem conhecidas
permitindo segundo a enciclopédia do Tangram formar mais de 1700 figuras tais
como animais, plantas, pessoas e objetos. No estudo da geometria, o tangram ou
jogo das sete peças, é um auxiliador na compreensão das formas geométricas,
permitindo ao educando caminhos para desenvolver sua criatividade e raciocínio
lógico na composição das diversas figuras fundamentais para a aprendizagem.
7.1.1.1. LENDAS DO TANGRAM
Existem várias lendas referentes ao tangram, abaixo transcreveremos três:
1ª - Conta a lenda que um jovem chinês despedia-se de seu mestre, pois
iniciaria uma grande viagem pelo mundo.
Nessa ocasião, o mestre entregou-lhe um espelho de forma quadrada e disse:
- Com esse espelho você registrará tudo que ver durante a viagem, para
mostrar-me na volta.
O discípulo, surpreso, indagou:
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- Mas mestre, como que com um simples espelho poderei eu lhe mostrar tudo
o que encontrar durante a viagem?
No momento em que fazia esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos,
quebrando-se em sete peças.
Então o mestre disse:
- Agora você poderá, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o
que verá durante a viagem.
2ª - Conta uma lenda que um imperador chinês chamou um de seus
melhores artistas e ordenou que saísse pelos seus domínios e retratasse as
coisas mais belas que pudesse encontrar, levando apenas uma prancha
quadrada.
Apesar da dificuldade proposta, lá foi o artista, China afora, para tentar
cumpri-la. No caminho, ao atravessar um riacho, caiu, e a prancha quebrou
em sete pedaços. Precisava reuni-las, e após muitas tentativas percebeu que,
a cada uma delas, ao arrumar as peças, conseguia formar uma figura
diferente.
Voltou rapidamente para mostrar aquela maravilha ao imperador, que
ficou muito satisfeito com a possibilidade de retratar todas as coisas, usando
apenas aquelas sete peças.
3ª - Conta-se que um dia, à mais de 4000 anos, um mensageiro partiu o
espelho quadrado do Imperador Tan, quando o deixou cair ao chão. O espelho
partiu-se em sete pedaços. Preocupado, o mensageiro foi juntando as sete peças, a
fim de remontar o quadrado. Enquanto tentava resolver o problema, o mensageiro
criou centenas de formas de pessoas, animais, plantas, até conseguir refazer o
quadrado
19
.7.1.2. TSURU
Tsuru (palavra japonesa que significa cegonha ou grou) é uma ave pernalta
que frequenta as lagoas ao norte da ilha de Hokkaido, no Japão. Considerado o
pássaro mais velho da Terra, conta uma lenda que o pássaro vive durante mil anos.
Os tsurus acompanhavam os monges eremitas que faziam meditações nas
montanhas, passando com isso a ser considerado a figura mais representativa,
sendo a técnica de suas dobras a mais conhecida no Japão e tornando a figura
símbolo da felicidade relacionada à longevidade. A dobradura do tsuru é bastante
usada em casamentos e nas festas, pois simboliza a felicidade, a boa sorte, a saúde
e a fortuna. Segundo o autor de um dos livros mais antigo intitulado Sembazuru
Origata, para a realização de um desejo são necessários dobrar e amarrar mil tsurus
e oferecê-los aos deuses.
Todos os anos, no dia 6 de agosto, no Parque da Paz em Hiroshima são
depositados em frente ao Monumento das Crianças à Paz, milhares de tsurus feitos
de papéis coloridos por pessoas de toda parte do Japão e do Mundo enviados em
gestos de preocupações, devoções e amor. Na base do monumento está gravada a
seguinte frase: “Este é nosso grito, esta é nossa oração: PAZ NO MUNDO”.
O monumento foi construído em 1958 em homenagem as vítimas da bomba
atômica, em especial à memória de Sadako Sasaki que morreu antes que pudesse
terminar as dobras dos mil pássaros, mas demonstrou a paciência, a esperança, a
coragem e o comportamento frente à morte.
7.1.2.1. LENDA DO TSURU
Há muito tempo, em uma terra distante, vivia um jovem. Um dia, enquanto
trabalhava em sua fazenda, uma ave branca caiu no chão aos seus pés, com uma
20
flecha fincada no meio de sua asa. Pegando-a com cuidado, o jovem tirou a flecha e
limpou o machucado. Agradecida, a ave estava apta a voar novamente. Então o
jovem mandou-a de volta para o céu, dizendo: "Tome cuidado com os caçadores!". A
ave circulou três vezes sobre sua cabeça, deixou uma lágrima como se estivesse
agradecendo e foi embora. Assim que o dia começou a escurecer, o jovem voltou
para casa. Quando chegou, ficou surpreso ao encontrar uma linda mulher na porta,
que nunca tinha visto antes. "Bem vindo à sua casa, eu sou a sua esposa", disse a
mulher. O rapaz ficou surpreso e disse: "Eu sou muito pobre e não posso sustentá-
la." A mulher respondeu apontando um pequeno saco. "Não se preocupe, eu tenho
muito arroz, estava até fazendo o seu jantar." O jovem ficou confuso, mas os dois
começaram uma vida muito feliz. O saco de arroz, misteriosamente, sempre
permanecia cheio. Um dia a esposa pediu ao rapaz para lhe construir um quarto de
costura. Quando ficou pronto, ela disse: "Você deve prometer que nunca vai entrar."
Assim ela foi para o quarto de costura. O rapaz esperou pacientemente até ela sair.
Finalmente, após 7 dias, o som da máquina parou e sua esposa, que ficou muito
magra, apareceu segurando a peça de roupa mais linda que ele já tinha visto.
"Pegue essa peça de roupa, e vai vendê-la no mercado por um alto preço", disse
ela. No dia seguinte, o jovem levou a roupa para a cidade e a vendeu por várias e
várias moedas. Voltou para a casa exultante de alegria! Um dia a esposa pediu ao
rapaz para lhe construir um quarto de costura. Quando ficou pronto, ela disse: "Você
deve prometer que nunca vai entrar." Assim ela foi para o quarto de costura. O rapaz
esperou pacientemente até ela sair. Finalmente, após 7 dias, o som da máquina
parou e sua esposa, que ficou muito magra, apareceu segurando a peça de roupa
mais linda que ele já tinha visto. "Pegue essa peça de roupa, e vai vendê-la no
mercado por um alto preço", disse ela. No dia seguinte, o jovem levou a roupa para
a cidade e a vendeu por várias e várias moedas. Voltou para a casa exultante de
alegria! A esposa então retornou ao quarto para costurar. Curioso em saber como
ela costurava roupas tão maravilhosas sem ter comprado uma só linha, o rapaz
resolveu dar uma espiada no quarto, e se surpreendeu. Em pé, perto da porta,
descobriu o segredo da esposa. Foi um grande choque! No seu lugar estava a ave
que ele havia salvado, sentada à maquina, costurando roupas com suas próprias
penas, em vez de linhas. A ave, como notou a presença do rapaz, disse: "Eu sou a
ave que você salvou. Queria recompensá-lo me tornando sua esposa, mas agora
você descobriu a minha verdadeira forma e não posso ficar mais aqui." Assim, com
21
mais uma roupa pronta em suas mãos, ela disse: "Eu deixo isto para você lembrar
de mim." A ave então, deixou cair mais uma lágrima e voou em direção ao céu
desaparecendo para sempre.
7.2. DICAS IMPORTANTES PARA UM BOM TRABALHO.
Antes de iniciarmos as dobras no papel se faz necessário conhecer algumas
dicas:
Trabalhe sobre uma superfície plana, lisa, firme e com boa claridade;
Procure utilizar papel de gramatura em torno de 75g/m2 se o modelo
desejado tiver muitas dobras;
Se estiver iniciando na arte do origami faça uso de papel sulfite colorido,
pois é mais em conta e pode-se dobrar muitas vezes, sem perigo de rasgar
facilmente;
As mãos devem estar sempre limpas para não sujar o trabalho;
Antes de iniciar as dobras, verifique se conhece os símbolos básicos do
diagrama que utilizará, caso não conheça pesquise antes;
Sempre siga as medidas especificadas no origami, para obter bons
resultados;
Marque bem os vincos, para uma boa visualização;
Siga corretamente o passo a passo para o êxito do trabalho;
Para executar com perfeição não tenha pressa, a calma e a paciência são
fundamentais para a conclusão de um bom trabalho;
Caso atrapalhar-se na seqüência do diagrama, não se desespere, compare
o que já fez no diagrama, se for preciso, inicie novamente a sequência.
Para obter perfeição é necessário praticar varias vezes alguns modelos;
Para exercitar os modelos, reaproveite os papéis de propagandas que
recebe nas ruas;
Se tiver dificuldade em seguir o passo a passo, dê uma pausa para
descansar e ter uma melhor concentração.
22
Se não tiver papéis coloridos para realizar o origami, faça uso de folha
sulfite branca e antes de dobrar pinte com giz de cera deitado, além de
colorir, impermeabiliza e conserva o trabalho por mais tempo.
A arte do origami é para ser: instrutiva, prazerosa e divertida!
Os origamis produzidos pelos educandos (as) nas aulas serão utilizados: na
decoração de cartões personalizados para datas comemorativas; criação de painéis
para a sala de aula ligados a datas comemorativas, campanhas publicitárias ou de
conscientização; criação de móbiles; decoração de caixas de presente e de
marcadores de livros; ilustração de textos, cartazes e livros produzidos pelos alunos;
apresentação de trabalhos em Feiras Culturais.
7.3. SIMBOLOGIA DOS DIAGRAMAS:
23
24
8. ATIVIDADES DE ENSINO ATRAVÉS DE DOBRADURAS.
Utilizaremos nessas atividades propostas materiais de desenho geométrico
(lápis, régua e transferidor), papel espelho (um lado colorido), papel sulfite branco ou
de cor, papéis de revistas e de presentes, nas formas quadrangulares ou
retangulares conforme a atividade. Em algumas atividades, faremos o uso de
tesoura.
1ª Atividade: A partir de uma página de revista retangular como obter um
quadrado.
Metas: Trabalhar diferenças e semelhanças entre os quadriláteros.
Estratégia de ensino/aprendizagem: Entregar a cada aluno da classe três páginas
de revista de mesmo tamanho. Solicitar que dobrem uma das páginas formando um
quadrado.
OBS: Antes de apresentar soluções, verificar o desempenho dos alunos.
Primeira solução
1° Passo: Pegamos uma página de revista retangular, nominamos os vértices de
ABCD, em seguida coincidiremos o lado AB com o lado AD e vincamos.
2º Passo: Após vincar, observamos a figura de um triângulo.
25
3º Passo: Com o auxilio de uma tesoura sem ponta, cortamos o lado BE,
descartando a figura do retângulo BECD, como mostrado abaixo.
4º Passo: Ao cortar o lado BE, teremos a figura de um triângulo ABE formado, que
poderemos classificar quanto ao ângulo e quanto ao lado, em seguida abrimos a
figura do triângulo.
5º Passo: Ao abrirmos a figura do triângulo, observamos a figura de um quadrado.
Segunda solução:
1º Passo: Fazendo uso de duas páginas de revista retangular de mesmo tamanho,
nominando seus vértices.
26
2º Passo: Sobrepomos uma página sobre a outra, em sentido contrário, onde o lado
AB coincide com o lado EH e o lado BC coincide com o lado EF.
3º Passo: Com auxilio de uma tesoura, cortamos a sobra da página de baixo ao
longo de uma linha traçada.
4º Passo: Assim, obtemos a figura de um quadrado.
Exercícios:
a) Qual era a forma do papel antes de iniciarmos a atividade?
b) Qual a figura que obtivemos após a atividade?
27
c) Existe diferença entre as figuras? Como identificar?
d) Qual a relação existente entre as figuras do retângulo e do quadrado?
e) Quais objetos que conhecemos com a forma semelhante à de um retângulo?
f) Quais objetos que conhecemos com a forma semelhante à de um quadrado?
2ª Atividade: Dividir o quadrado em duas partes iguais.
Metas: Decompor figura plana, simetria, relação entre área.
Estratégia de ensino/aprendizagem:
1º Passo: Pegamos uma folha de papel quadrada.
1º Modo: Dobramos ao meio no sentido horizontal.
2º modo: Dobramos ao meio no sentido vertical.
28
3º Modo: Dobramos unindo o vértice superior direito ao vértice inferior esquerdo.
4º Modo: Dobramos unindo o vértice inferior direito ao vértice superior esquerdo.
OBS: Podemos verificar que é possível dividirmos o quadrado em dois com um
único segmento de reta de duas formas diferentes. Quando fazemos a justaposição
de pontas após vincamos observamos a figura de dois triângulos ou se fizermos a
justaposição de lados após vincarmos teremos a figura de dois retângulos.
Exercícios:
a) Quais as características das figuras resultantes em cada modo?
b) Com auxilio de uma régua, calcule a área do quadrado inicial?
c) Calcule a área das figuras obtidas após os vincos de cada modo?
d) Qual a relação entre as áreas do quadrado inicial e das figuras obtidas no
final após os vincos?
e) De quantas maneiras diferentes podemos dividir um quadrado de papel em
duas partes iguais com um único vinco passando pelo centro do mesmo?
f) Verifique se qualquer vinco reto passando pelo ponto central do quadrado
divide em duas partes iguais.
29
3ª Atividade: Dividir um papel quadrado em quatro partes iguais.
Metas: Identificação de retas paralelas, retas concorrentes e retas perpendiculares,
semelhança e congruência de polígonos, perímetro e área.
Estratégia de ensino/aprendizagem:
1º Modo: Pegamos uma folha de papel quadrada, dobramos e desdobramos a
justaposição dos vértices AC e dos vértices BD, após observaremos as diagonais na
figura do quadrado e os quatros triângulos retângulos formados.
2º Modo: Pegamos uma folha de papel quadrada, unimos o lado AB com o lado CD,
vincamos e abrimos. Notamos que o vinco EF são os pontos médios dos segmentos
AD e BC respectivamente. Fazemos em seguida um vinco unindo o lado AD com o
lado BC e abrimos. 0bservaremos a representação de quatro quadrados.
30
3º Modo: Pegamos uma folha de papel quadrada, justapomos o lado AB com o lado
CD, obtendo o vinco EF, em seguida justapomos o lado AB com o vinco EF e
também o lado CD com o vinco EF. Ao abrirmos os vincos, visualizaremos a figura
de quatro retângulos.
Exercícios:
a) De quantas maneiras distintas podemos dividir um quadrado de papel em
quatro partes iguais?
b) Com auxilio de uma régua, calcule o perímetro das figuras obtidas após os
vincos em cada modo?
c) Qual a relação entre o perímetro das figuras resultantes em cada modo?
d) Com auxilio de uma régua, calcule a área do quadrado inicial e das figuras
obtidas após os vincos em cada modo?
e) Quais as relações entre a área do quadrado inicial e das figuras obtidas no
final?
31
Usando uma folha de papel
na forma retangular, dividimos em dois
quadrados iguais. Em seguida, devemos unir
os dois quadrados de modo a formar
um único quadrado que representará
o dobro da área.
D E S A F I O 1
4ª Atividade: Dividir uma folha de papel quadrangular em partes iguais, aonde n
(número natural) é potência de dois.
Metas: semelhança e congruência de polígonos, perímetro e área, sequência
numérica.
Estratégia de ensino/aprendizagem:
1º Passo: Pegamos uma folha de papel de forma quadrangular e fazemos uma
justaposição do lado AB com o lado DC.
p = 1
32
2º Passo: Após a justaposição, abrimos e observamos que a folha ficou dividida em
duas partes iguais.
p = 2
3º Passo: A esse vinco nominaremos de EF
4º Passo: Justapomos o lado AB com o vinco EF e abrimos. Também, justapomos
o lado DC com o vinco EF.
33
5º Passo: Após o procedimento anterior, observamos que a folha ficou dividida
em quatro partes iguais.
p = 4
6º Passo: Fazemos uma justaposição do lado AD com o lado BC.
7º Passo: Após a justaposição, abrimos e observamos que a folha ficou dividida em
oito partes iguais.
p = 8
8º Passo: A esse vinco nominaremos de GH.
34
9º Passo: Justapomos o lado AD com o vinco GH, também justapomos o lado BC
com o vinco GH.
10º Passo: Após o procedimento, abrimos e observamos que a folha ficou dividida
em dezesseis partes iguais.
p = 16
OBS: Continuando com esse procedimento, é possível dividir o quadrado em partes
iguais, a onde n é potência de dois (2n= p). Todos os processos fazem-se necessário
o uso da simetria.
35
Exercícios:
a) Qual a sequência numérica obtida ao dividir um quadrado de papel em partes
iguais?
b) Qual a relação entre as sequências numéricas?
c) Como expressar à representação da divisão em partes iguais
correspondentes a potência do número dois?
d) Quais as frações correspondentes em todas as partes iguais após a dobra
simétrica do papel?
5ª Atividade: Dividir uma folha de papel na forma retangular em três partes iguais.
Metas: semelhança e congruência de polígonos, perímetro e área.
Estratégia de ensino/aprendizagem:
1º Passo: Pegamos duas folhas iguais de papel na forma retangular em cores
diferentes e nominamos os vértices ABCD em uma folha e vértices EFGH em outra
folha.
2º Passo: A folha nominada em ABCD deverá ser vincada em quatro partes iguais
como nos procedimentos da 4ª atividade do 1º passo até o 5º passo.
36
3º Passo: Sobre a folha ABCD já vincada, sobrepomos a folha EFGH de modo que
o vértice A coincida com o vértice E e o vértice H seja deslocado na diagonal até
encontrar a extremidade inferior do terceiro vínculo da folha ABCD, como mostrado
na figura abaixo.
4º Passo: Com auxilio de um lápis marcamos os pontos I e J onde a folha coincide
com o primeiro e com o segundo vinco da folha ABCD.
5º Passo: Após marcamos os pontos I e J, faremos uma rotação de 180°da folha
EFGH, e procedemos da mesma maneira com o lado GF, onde o vértice G coincidirá
37
com o vértice A e o vértice F seja deslocado na diagonal até encontrar a
extremidade inferior do terceiro vinco da folha ABCD. Vejamos a figura abaixo.
6º Passo: Com auxilio de um lápis marcamos os pontos L e M onde a folha coincide
com o primeiro e com o segundo vinco da folha ABCD.
7º Passo: Em seguida vincaremos os pontos IM e JL.
38
8º Passo: Justapomos o lado EF até coincidir na marcação dos pontos JL,
vincamos e desvincamos.
9º Passo: Em seguida, justapomos o lado HG até coincidir com a marcação dos
pontos IM, vincando e desvincando.
10º Passo: Finalizamos a divisão de uma folha de papel retangular em três partes
iguais.
OBS: Para dividirmos uma folha de papel na forma quadrada em três partes iguais,
segue a atividade acima até o 3º passo com exceção no deslocamento na diagonal
da folha a ser vincada que será até encostar ao terceiro vinco, como mostrada na
figura abaixo.
39
Exercícios:
a) Determine a área da figura inicial e a da figura formada após vincar.
b) Qual a semelhança existente no figura antes e depois da divisão?
c) Que fração corresponde cada parte da divisão?
d) Qual a estratégia para dividir um quadrado de papel em três partes iguais?
6ª Atividade: Como dividir uma folha de papel retangular em várias partes iguais
a partir da divisão de três.
Metas: semelhança e congruência de polígonos, representação geométrica de
frações, perímetro e área, sequência numérica.
Estratégia de ensino/aprendizagem:
1º Passo: Dividimos uma folha de papel na forma retangular em três partes iguais,
como procedemos na 4ª atividade.
40
2º Passo: Prosseguindo na divisão em partes iguais, justapomos o lado AD com o
lado BC e vincamos.
3º Passo: Ao abrir observamos que a folha ficou dividida em seis partes iguais.
p = 6
4º Passo: A esse vinco nominaremos de EF.
5º Passo: Justapomos o lado AD ao vinco EF e também justapomos o lado BC com
o vinco EF.
41
6º Passo: Após o procedimento observamos que a folha ficou dividida em doze
partes iguais.
7º Passo: Para continuarmos a representar o maior número possível de partes
iguais, vincamos cada uma das partes ao meio simetricamente.
42
Exercícios:
a) Descrever o procedimento adotado em cada passo da atividade e escrever
em seu caderno.
b) Verifique o conjunto de frações equivalentes envolvendo a divisão de um
quadrado de papel no maior número possível de partes iguais.
c) Existente semelhança nas figuras antes e depois da divisão?Quais?
d) Que fração corresponde cada parte da divisão?
7ª Atividade: Obter um triângulo equilátero com um quadrado.
Metas: Trabalhar polígonos regulares
Estratégia de ensino/aprendizagem:
1º Passo: Justapomos o lado AB com o lado CD
43
2º Passo: Obtemos o vinco EF.
3º Passo: Deslocamos o lado BC até que o vértice C coincida no vinco EF.
4º Passo: Observe a disposição, em seguida desdobramos, e teremos o vinco BG.
5º Passo: Após o procedimento anterior, justapomos o lado AB com BG.
44
6º Passo: Observamos a figura abaixo.
7º Passo: Depois de desdobrado, teremos o vinco BH.
8º Passo: Em seguida, deslocamos o lado BC até que o vértice B coincida no vinco
EF.
9º Passo: Observamos a disposição, e em seguida desdobramos.
45
10º Passo: Observamos o vincando IC.
11º Passo: justapomos o lado CD com o vinco IC.
12º Passo: Observemos o procedimento e em seguida desdobramos.
13º Passo: Obtemos o vinco CJ, também na figura abaixo, observamos o ponto O
que originou do cruzamento do vinco EF, BH e CJ.
46
14º Passo: Em seguida, vincamos uma reta passando pelo ponto O, paralela ao
lado AD e ao lado BC.
15º Passo: Na figura abaixo, a parte achurada viramos para trás.
16º Passo: Observamos como ficou na figura abaixo.
17º Passo: Em seguida, viramos para trás a parte achurada que é o vinco BO.
47
18º Passo: E por último, viramos também para trás o vinco OC achurado.
19º Passo: Assim, teremos a figura do triângulo equilátero através da dobradura.
Exercícios:
a) Com auxílio de uma régua e um transferidor verifique se após a dobradura o
triângulo é realmente equilátero.
b) Calcule a medida do lado do triângulo equilátero.
c) Ache o perímetro do triângulo equilátero.
d) Calcule a área do triângulo equilátero.
e) Qual a medida dos ângulos formados no triângulo equilátero?
f) Verifique qual é a soma dos ângulos internos do triângulo equilátero.
8ª Atividade: Construção de um hexágono regular a partir de uma folha na forma
retangular.
Metas: Trabalhar quadriláteros e triângulos, semelhança e congruência, composição
e decomposição de figuras planas
Estratégia de ensino/aprendizagem
48
1º Passo – Pegamos uma folha de papel retangular e nominamos os vértices.
2º Passo – Justapomos o lado AD com o lado BC e vincar.
3º Passo – Abrimos a folha e a partir do vértice A fazemos um vinco de modo que o
vértice B encoste à linha vincada. Como esta indicada na figura abaixo.
4º Passo – Dobramos novamente a folha fazendo o vértice C coincidir com o lado
AE, como mostrado na figura abaixo.
49
5º Passo – Em seguida dobramos a folha de tal forma a coincidir o vértice D com o
lado EF.
6º Passo – Assim, obtemos o triângulo equilátero usando uma folha de papel na
forma retangular.
7º Passo – Viramos o triângulo equilátero e nominamos novamente os vértices para
a continuidade na obtenção da figura do hexágono regular.
8º Passo – Em seguida, vincamos as bissetrizes dos ângulos A, B e C.
50
Obs.: Notamos que na intersecção dos três vincos, encontramos a representação de
um ponto “O” denominado incentro. No caso do triângulo equilátero o incentro
(encontro das bissetrizes) coincide com o baricentro (encontro das medianas), o
ortocentro (encontro das alturas) e o circuncentro (encontro das mediatrizes).
9º Passo – Após dobramos e desdobrarmos os vincos das bissetrizes, unimos os
vértices A, B e C ao ponto “O” encontrado.
51
10º Passo – Assim, construímos a figura do hexágono regular.
Exercícios:
a) Determine a medida do lado do hexágono.
b) Ache o seu perímetro.
c) Qual a relação existente entre o hexágono regular e o triângulo equilátero?
d) Existe eixo de simetria na figura do hexágono?
e) Calcule a área do hexágono?
9ª Atividade: Como obter a figura de um pentágono regular a partir de uma folha
retangular de papel.
Metas: Trabalhar quadriláteros e triângulos, semelhança e congruência,estudo de
ângulos, composição e decomposição de figuras planas
Estratégia de ensino/aprendizagem
1º Passo: Na folha retangular marcamos os vértices A, B, C e D.
52
2º Passo: Justapomos o vértice B sobre o vértice D e vincamos.
3º Passo: Marcamos em ambos os lados da folha vincada os pontos EF formados.
4º Passo: Justapomos o ponto E sobre o ponto F, vincando.
53
5º Passo: Abrimos a folha no último vinco e justapomos o lado FC sobre o vinco BG
formado.
6º Passo: Em seguida, unimos o lado AE com o lado FC que esta sobre o vinco BG.
7º Passo: Finalizando a representação da figura do pentágono regular.
Exercícios:
a) A figura do pentágono é formada por lados paralelos, lados perpendiculares
ou lados concorrentes.
b) Quanto mede cada ângulo interno do pentágono?
54
c) Qual a soma dos ângulos internos do pentágono?
d) Ao traçarmos o prolongamento do lado do pentágono, visualizaremos o
ângulo externo. Qual é sua medida?
e) O que notamos em relação ao ângulo interno e o ângulo externo.
f) Qual a soma destes ângulos? Como ele é chamado?
g) Em seu caderno faça contornos da figura do pentágono e decomponha-o em
três triângulos; em um triângulo e um quadrilátero; e em dois quadriláteros.
h) Fazer em seu caderno o contorno do pentágono e ligar cada vértice aos seus
vértices opostos e verificar quais as figuras formadas.
10ª Atividade: Como construir o octógono usando quadrados de papeis.
Metas: Trabalhar quadriláteros e triângulos, semelhança e congruência, composição
e decomposição de figuras planas, estudo de ângulos.
Estratégia de ensino/aprendizagem
1º Passo - Pegamos um quadrado de papel e marcar os vértices A, B, C e D.
2º Passo- Faremos todo o processo do 2º modo, da 3ª Atividade.
55
3º Passo – Após vincarmos a folha de papel quadrada giramos 90°.
4º Passo – Justapomos o vértice B sobre o vértice D e vincamos.
5º Passo – Na sequência justapomos o lado BC sobre o lado AC vincando e
abrindo.
6º Passo: Nominamos de E o ponto no lado AB formado pelo vinco, e em seguida
justapomos o vértice C sobre o ponto E.
56
7º Passo: Após dobrar, chamaremos de F o ponto do vinco, paralela a reta da base
mostrado na figura abaixo.
8º Passo: Viramos a dobradura e observamos os vincos.
9º Passo: Unimos o vértice A ao ponto F, mostrado na figura abaixo.
10º Passo: As pontas superiores soltas devem ser vincadas para dentro.
11º Passo: Feito todo esse processo, teremos o módulo que repetiremos mais sete
vezes e iremos encaixar até representar a figura do octógono regular. Como
mostrado abaixo.
57
Obs.: O módulo da atividade acima, nada mais é do que a dobradura de um copo,
que em tamanho adequado serve para o uso em uma emergência.
Exercícios:
a) Quantos lados têm o octógono obtido?
b) Qual a medida de cada lado?
c) Quanto mede cada ângulo interno do octógono?
d) Qual a soma dos ângulos internos do octógono?
e) Ao traçarmos o prolongamento do lado do octógono, visualizaremos o ângulo
externo. Qual é sua medida?
f) O que notamos em relação ao ângulo interno e o ângulo externo?
g) Como classificamos estes ângulos?
h) Represente em seu caderno a figura do octógono, ache o centro da figura.
Identifique seus eixos simetria e as suas diagonais?
11ª Atividade: Como obter as sete peças do tangram a partir de um quadrado de
papel.
Metas: Trabalhar quadriláteros e triângulos, semelhança e congruência, composição
e decomposição de figuras planas.
Estratégia de ensino/aprendizagem
58
1º Passo - Pegamos um quadrado de papel ABCD e dobramos ao longo de sua
diagonal AD e em seguida cortamos, obtendo assim dois triângulos retângulos ACD
e ABD.
2º Passo - Deixamos de lado o triângulo ABD, e com o triângulo ACD, justapomos o
lado AC com CD, formando a figura de dois triângulos congruentes e em seguida
cortamos o vinco CE. Os quais serão as primeiras peças do Tangram ( 1 e 2).
59
3º Passo – Pegamos o triângulo ABD, que ficou separado, justapomos o lado AB
com o lado BD, formando a bissetriz do ângulo reto, e em seguida unimos o vértice
B ao ponto médio do lado AD que nominamos de F, como esta indicado na figura
abaixo. Cortamos o vinco GH.
60
4º Passo – Após o procedimento anterior, ficamos com um triângulo que é mais uma
das peças do tangram (3) e um trapézio equilátero.
5º Passo - Em seguida, cortamos o vinco FI do trapézio equilátero, ficando com dois
trapézios retângulos.
6º Passo – Com o trapézio retângulo AFIG, vincamos a justaposição do vértice G
com o vértice F, como esta indicada na figura abaixo e cortamos o vinco IL formado,
obtendo um triângulo retângulo e um paralelogramo peças do tangram (4 e 5).
61
7º Passo – Com o outro trapézio retângulo IFDH, vincamos a justaposição do
vértice F com o vértice D, como esta indicada na figura abaixo e cortamos o vinco HJ
formado, obtendo um triângulo retângulo congruente e um quadrado, últimas peças
que compõem o tangram (6 e 7).
Após, dobramos, desdobramos e cortarmos obtemos as sete peças do
tangram que é formado por dois triângulos retângulos grandes, um triângulo
retângulo médio, dois triângulos retângulos pequenos, um paralelogramo e um
quadrado.
Obtendo as peças do tangram, o educando, usando sua habilidade e
criatividade representará figuras de diversas formas para ilustração de atividades
escolares nas diferentes áreas da aprendizagem como, por exemplo, as figuras
abaixo.
62
Exercícios:
a) Quais são as formas geométricas das peças do tangram?
b) Com dois triângulos construa um triângulo e um paralelogramo.
c) Com três peças construa um triângulo e um paralelogramo.
d) Quantos triângulos grandes do tangram são necessários para formar um
quadrado e que fração representa uma parte do todo?
e) Quantos triângulos médios do tangram são necessários para formar um
quadrado e que fração representa uma parte do todo?
f) Quantos triângulos pequenos do tangram são necessários para formar um
quadrado e que fração representa uma parte do todo?
g) Quantos quadrados cabem dentro do triângulo grande do tangram?
h) Que fração equivale o triângulo pequeno em relação ao quadrado no
tangram?
i) Que fração equivale o triângulo médio em relação ao quadrado no tangram?
j) Que fração equivale o triângulo grande em relação ao quadrado no tangram?
k) Considerando o maior triângulo como unidade, que fração da unidade cada
uma das demais peças do tangram representa.
l) Existem no tangram peças que representam frações maiores que a unidade
estabelecida?
m) Usando ainda o maior triângulo como unidade, que fração falta em cada uma
das demais peças do tangram para completar a unidade estabelecida.
n) Com as sete peças do tangram monte alguma figura diferente das
exemplificadas.
63
Formar com as peças do tangram
um quadrado utilizando:
a) só 3 peças;
b) só 4 peças;
c) só 5 peças.
D E S A F I O 2
Com o Tangram construir as figuras planas abaixo,
utilizando todas as peças não as sobrepondo:
a) Um triângulo;
b) Um paralelogramo;
c) Um hexágono não regular;
d) Um trapezóide.
D E S A F I O 3
12ª Atividade: Como obter a figura de um coração a partir de um quadrado de
papel.
Metas: Trabalhar a percepção espacial, discriminação de posições e formas;
criatividade.
Estratégia de ensino/aprendizagem
64
1º Passo - Pegamos uma folha de papel quadrada com uma das faces de cor
diferente.
2º Passo: Marcamos os vértices A, B, C e D, na face branca do papel.
3º Passo- Justapomos o lado AB sobre o lado DC vincando, abrimos em seguida.
4º Passo – Justapomos o lado AD sobre o lado BC e vincamos, abrindo em seguida.
65
5º Passo: Dobramos o lado AD até o vinco central da horizontal.
6º Passo: Conservamos a dobra sem abri-la e em seguida vincamos o lado BC
também até o vinco central da horizontal permanecendo dobrado.
7º Passo: Após esse processo viramos o papel no lado oposto.
8º Passo: Nominamos novamente os vértices.
9º Passo: Justapomos o vértice F sobre a extremidade superior do vinco IJ.
66
10º Passo: O vinco permanece dobrado e em seguida justapomos o vértice G
também até a extremidade superior do vinco IJ, permanecendo dobrado.
11º Passo: Após vincarmos a dobra ficará assim.
12º Passo: Viramos a dobradura para fazermos a continuação da figura.
13º Passo: Dobramos mais ou menos 1/3 da representação retangular para frente.
14º Passo: Ficando na parte superior uma dobra como mostrada abaixo.
67
15º Passo: Dobramos a ponta do lado esquerdo do retângulo para frente.
16º Passo: Ficando uma ponta triangular.
17º Passo: Em seguida, dobraremos a ponta do lado superior direito também para
frente.
18º Passo: Ficando a dobra igual ao outro lado.
19º Passo: Viramos a figura do outro lado para darmos continuidade.
68
20º Passo: Vincamos para trás a ponta superior do lado esquerdo como mostrado
abaixo.
21º Passo: Agora, vincamos a ponta superior do lado direito para trás.
22º Passo: Finalizamos assim a figura do coração. O coração pode ser usada na
confecções de cartões, painéis, lembrancinhas e outras atividades.
Exercício:
a) Pegue uma folha de papel quadrada na cor vermelha e divida em quatro
partes iguais. Agora use a sua criatividade e faça um cartão colorido usando
quatro dobraduras de coração unidas.
13ª Atividade: Como obter a figura de um barquinho a partir de uma folha
retangular de papel.
Metas: Trabalhar a percepção espacial, discriminação de posições e formas; retas
paralelas, retas concorrentes e retas perpendiculares, criatividade em mosaico.
Estratégia de ensino/aprendizagem
69
1º Passo: Pegamos uma folha de papel na forma retangular e dobramos ao meio,
como mostrado na figura abaixo.
2º Passo: A parte aberta fica para baixo.
3º Passo: Fazemos um vinco dobrando e abrindo o papel para marcar o centro.
4º Passo: Pegamos cada ponta de cima e dobramos até o vinco do centro do papel.
5º Passo: Pegamos a aba na parte de baixo e dobramos uma parte para cada lado.
70
6º Passo: Puxamos a lateral do retângulo para baixo e juntando as duas pontas
conforme mostrado na figura abaixo e em seguida giramos para chegar ao formato
da figura desejada.
7º Passo: Agora, teremos um chapéu…
8º Passo: Dobramos as duas abas para cima (uma para cada lado).
9º Passo: Assim fica um chapéu menor…
10º Passo: Puxamos as pontas da figura do triângulo e juntando as duas pontas
conforme mostrado na figura abaixo e em seguida gire para chegar ao formato da
figura desejada.
71
11º Passo: Abrimos esse minúsculo chapéu puxando as pontas que estão no centro
e no alto para as laterais (as duas ao mesmo tempo).
12º Passo: Com estes procedimentos construímos finalmente um barquinho.
13º Passo: Em seguida com calma, faremos o processo de desdobrar. Após
desdobrarmos, marcamos com um lápis todos os vincos feitos no papel retangular.
14º Passo: Após marcarmos todos os vincos, destacaremos os eixos do plano
cartesiano, as coordenadas (x, y).
72
14º Passo: Agora, trabalharemos colorindo as figuras dos triângulos formados
usando simetrias.
Obs.: Ainda como exemplo, usamos a simetria em relação aos eixos com apenas
duas cores.
73
Exercícios:
a) No desenho abaixo destaque na cor: em vermelho os eixos do plano
cartesiano (x,y); em azul as retas paralelas em relação ao eixo x; em verde as
retas perpendiculares em relação ao eixo x e em preto as retas concorrentes
em relação ao eixo x.
b) No desenho abaixo destaque na cor: em vermelho os eixos do plano
cartesiano (x,y); em azul as retas paralelas em relação ao eixo y; em verde as
retas perpendiculares em relação ao eixo y e em preto as retas concorrentes
em relação ao eixo y.
c) Escreva o que podemos observar em relação à diferença das cores nos
desenhos.
14ª Atividade: Como montar um hexaedro através de módulos.
Metas: Estudar os elementos do poliedro; identificação de planos de simetria;
Teorema de Euler; cálculo de área e volume do sólido geométrico
Estratégia de ensino/aprendizagem
74
1º Passo: Pegamos uma folha de papel na forma quadrada, com uma das faces de
cor diferente.
2º Passo: Vincamos o lado AD com o lado BC e também vincamos o lado AB com o
lado DC.
3º Passo: Nominamos o vinco da horizontal obtido no passo anterior de EF.
Vincamos o lado AD com o vinco EF e o lado BC também com o vinco EF
75
4º Passo: Em seguida nominamos os vincos de GH e de IJ. Dobramos o vértice A
até o vinco GH e também dobramos o vértice C até o vinco IJ.
5º Passo: Após as dobras do vértice A e do vértice C, só vamos dobrando não
desdobramos mais.
6º Passo: Seguimos as dobras como indicadas na figura abaixo.
76
7º Passo: Devemos ter o cuidado de dobrarmos sempre nos vincos já marcados.
8º Passo: Dobramos o vértice superior direito até o vinco da vertical como mostrado
na figura.
9º Passo: Após dobrarmos observamos a figura abaixo.
10º Passo: Dobramos o lado inferior até o vinco central.
77
11º Passo: Obtemos a figura mostrada abaixo.
12º Passo: Dobramos na direção da seta o vértice por baixo da parte indicada da
figura.
13º Passo: Com esta dobra de encaixe, o módulo esta praticamente pronto.
14º Passo: Finalizamos com os vincos para o encaixe.
78
15º Passo: Fazemos seis módulos de mesmo tamanho, em várias cores ou na
mesma cor, tomamos o cuidado de dobrar todos os módulos iguais para que os
encaixes sejam possíveis.
16º Passo: Encaixamos cinco módulos, como mostrado abaixo.
79
17° Passo: Em seguida, encaixamos as pontas soltas. Elas se encaixam nas faces
de módulos vizinhos dando forma ao hexaedro.
18º Passo: Finalmente, encaixamos o sexto módulo observando que nenhuma
ponta fique solta.
19º Passo: Ao montarmos o hexaedro, percebemos que iniciamos com a geometria
plana (módulo) e obtivemos a geometria espacial ou tridimensional (cubo).
Obs.: Propomos ainda com este mesmo módulo, a montagem de outros sólidos
geométricos regulares como o tetraedro (3 módulos); prisma quadrangular (10
80
módulos); octaedro estrelado (12 módulos); icosaedro estrelado (30 módulos) e
outros. Antes de montarmos um sólido geométrico devemos observar se todos os
módulos estão no mesmo sentido, não em simetria. Mas, para que os módulos se
encaixem adequadamente há necessidade de acrescentarmos mais uma dobra ao
módulo.
Exercícios:
a) Quantas faces têm o hexaedro?
b) Qual é o número de vértices?
c) Quantas arestas têm o hexaedro?
d) O hexaedro possui quantas diagonais?
e) Verificar a aplicabilidade da relação de Euler no hexaedro.
f) Calcule a área da face do hexaedro.
g) Ache a área total do hexaedro.
h) Determine o volume do hexaedro.
15ª Atividade: Construir a figura de um tsuru (pássaro símbolo de sorte, saúde e
felicidade no Japão).
Metas: Identificação de planos de simetria; trabalhar a percepção espacial,
discriminação de formas e posição; criatividade
Estratégia de ensino/aprendizagem
81
1º Passo: Partindo de uma folha de papel na forma quadrada, com faces de cor
diferente.
2º Passo: Justapomos o lado AB com o lado DC e vincamos.
3º Passo: Abrimos e dobramos o lado AD com o lado BC.
82
4º Passo: Nominamos os vértices da figura.
5º Passo: Dobramos o lado EG sobre o lado GH.
5º Passo: Após dobrarmos, viramos a figura.
6º Passo: Dobramos o lado FH sobre o lado HG. Obtemos a figura de um triângulo.
83
7º Passo: Abrimos o triângulo no meio da parte de baixo, juntamos a ponta inferior
esquerda com a ponta inferior direita para formar um quadrado.
8º Passo: Certificamos que a parte aberta do quadrado está para baixo. Dobramos a
lateral direita e a lateral esquerda até o vinco central. Viramos o quadrado para
vincar do outro lado.
9º Passo: Novamente dobramos a lateral direita e a lateral esquerda até o vinco
central.
84
10º Passo: Dobramos o triângulo retângulo para frente.
11º Passo: Em seguida, desdobramos toda a figura até voltarmos no quadrado com
a parte aberta para baixo.
12º Passo: Com cuidado, puxamos a ponta inferior do quadrado para cima até o
vinco da horizontal, como mostrado abaixo.
13º Passo: Viramos a figura e repetimos o 12º Passo.
85
14º Passo: Certificamos de que a parte aberta continue para baixo. Dobramos a
lateral direita e a lateral esquerda para o centro como mostrado abaixo.
15º Passo: Viramos a figura e procedemos como o 14º passo.
16º Passo: Juntamos a lateral direita sobre a lateral esquerda acompanhando o eixo
vertical central, como mostrado abaixo. Viramos e teremos a figura abaixo com a
parte aberta para cima.
86
17º Passo: Dobramos a ponta inferior para cima até o vinco da horizontal.
18º Passo: Para formar a cabeça do pássaro dobramos a ponta da mesma aba que
acabamos de vincar para frente e teremos a figura abaixo.
19º Passo: Agora, dobraremos a outra ponta inferior da figura para trás formando a
cauda do pássaro.
20º Passo: Juntamos a lateral esquerda com a lateral direita, vincando bem a parte
de baixo.
87
21º Passo: Em seguida, seguramos ambas as asas próximas ao corpo do pássaro
com os dedos polegares e puxamos firmemente para baixo. Arrumamos a cabeça e
a cauda do pássaro na diagonal para concluirmos a nossa dobradura.
Exercícios:
a) Quando olhamos para um tsuru, o que observamos em simetria?
b) Dizem que a felicidade e a sorte são certas se fizermos mil desta dobradura.
Que tal começarmos? Vamos montar um móbile com palitos de churrasco e
fio, como mostrado abaixo.
88
RESOLUÇÃO DOS DESAFIOS
1º DESAFIO
1ª solução
2ª solução
89
2º DESAFIO
3º DESAFIO
90
10. CRONOGRAMA DE AÇÕES
ATIVIDADES
2010 1º Período
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Admissão no
PDE
X
Teleconferência
X
I Seminário de Integração
X
Formação Tecnológica Presencial
X X X
Curso1:
Fundamentos da Educação
X
Curso 2: Metodologia de
Pesquisa
X
Encontro de Área X
Elaboração do Projeto de
Intervenção na Escola
X X X
X X
Encontro de Orientação IES
X X X
Inserção Acadêmica
X X X
ATIVIDADES 2011
2º Período
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Curso3:
Específico
X X
Curso4:
Específico
X
Encontro de Área X
91
II Seminário de Integração
X
Encontro de Orientação IES
X X X X
Grupo de Trabalho em Rede – GTR
X
Elaboração da Produção Didático-
Pedagógica
X X X X X
ATIVIDADES 2011
3º Período
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Encontro de Orientação IES
X X X X
III Seminário de
Integração X
Grupo de Trabalho em Rede - GTR
X X X
Implementação do Projeto de Intervenção
Pedagógica na Escola
X X X X
ATIVIDADES 2012
4º Período
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Encontro de Orientação IES
X X X X
Seminário de Encerramento do
PDE
X
Elaboração do Artigo Científico
X X X X X
92
11. REFERÊNCIAS
ALMEIDA, Iolanda Andrade Campos; LOPES, Rozana Façanha P.; SILVA, Elison Barbosa
da. O Origami como material exploratório para o ensino e a aprendizagem da
geometria. Disponível em: www.angelfire.com/on2/modelagem/co2.html Acesso em
04/07/2011.
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Paulo. Editora Contexto. 2002.
BIGODE, Antonio J.L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.
CÂNDIDO, Patrícia. Conhecendo o Tangram. Disponível em:
http://www.mathema.com.br/default.asp?url=http://www.mathema.com.br/e_fund_a/
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COSTA, Eliane Moreira da. Matemática e Origami – Trabalhando frações. Rio de Janeiro.
Editora Ciência Moderna Ltda. 2007.
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Geometria. ARTMED. Porto Alegre, 1999.
GÊNOVA, Antonio Carlos. Brincando com Tangram e Origami. Ed. Global.1999.
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IMENES, LUIZ MÁRCIO. Geometria das Dobraduras (coleção Vivendo a Matemática) São
Paulo: Scipione, 1996.
IMENES, Luiz Márcio Pereira; LELLIS, Marcelo. Matemática. 6ª série. São Paulo. Editora
Scipione. 1998.
KANEGAE, MARI. A Arte dos mestres de Origami / organizado por Mari Kanegae. ISBN
85-86822-01-9 São Paulo: Aliança Cultural Brasil- Japão, 1997
KANEGAE, MARI. Origami: arte e técnica da dobradura de papel. ISBN 85-89361-02-0
São Paulo: Aliança Cultural Brasil-Japão, 2002
LORENZATO, S. Por que não ensinar geometria? Revista SBEM. São Paulo, n. 4., p. 3-
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_____.Ministério da Educação , Secretaria de Educação Básica. Explorando o Ensino da
Matemática – atividades. Vol. 1 e 2. Brasília, 2004.
93
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http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=26876. Acesso em
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WORLDLINGO. Miura-doble. Disponível em:
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