GOVERNO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA … · realizarão no comércio local, em situações...
Transcript of GOVERNO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA … · realizarão no comércio local, em situações...
GOVERNO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
FRANCISCO AMÉRICO DE OLIVEIRA SILVA
Produção Didático-Pedagógica
PORCENTAGENS, JUROS E DESCONTOS POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL
ORIENTADORA: Prof.ª Dr.ª MÁRCIA CRISTINA DE COSTA
TRINDADE CYRINO
ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
LONDRINA - 2011
FRANCISCO AMÉRICO DE OLIVEIRA SILVA
Produção Didático-Pedagógica
PORCENTAGENS, JUROS E DESCONTOS POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Prdução didático-Pedagógica apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional. Orientadora: Prof.ª Dr.ª MÁRCIA CRISTINA DE COSTA TRINDADE CYRINO
UEL - LONDRINA - 2011
FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
TÍTULO: PORCENTAGENS, JUROS E DESCONTOS POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Autor Francisco Américo de Oliveira Silva
Escola de Atuação Colégio Estadual Antônio Iglesias – Ensino Fundamental, Médio, Profissional e Normal
Município da escola Ibiporã
Núcleo Regional de Educação Londrina
Orientador Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino
Instituição de Ensino Superior UEL – Universidade Estadual de Londrina
Disciplina/Área Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
Não há
Público Alvo
Alunos da 8ª série do Ensino Fundamental
Localização
Colégio Estadual Antônio Iglesias – Ensino Fundamental, Médio, Profissional e Normal.
Rua Timburi, 54 Jardim Pinheiro – CEP: 86200-000
Ibiporã/PR
Apresentação:
Nesta Unidade Didática o objetivo principal é proporcionar pela metodologia da Resolução de Problemas, o estudo da Porcentagem, Juros e Descontos.
Mediante a experiência adquirida em sala de aula, percebo que alguns alunos têm apresentado desinteresse no estudo da matemática. Na maioria das vezes, por não entenderem o conteúdo que está sendo ensinado ou também por tal conteúdo não ter uma relação com o cotidiano deles.
Trabalhar com problemas que apresentem um contexto mais próximo do cotidiano do aluno pode contribuir para que ele tenha mais interesse em aprender
os conceitos neles envolvidos. Dessa forma pretende-se propor problemas,
objetivando desencadear, a partir das resoluções dos alunos, a discussão dos conceitos matemáticos. Propomos ainda que, após a formalização dos conteúdos abordados nestes problemas, os alunos formulem outros problemas, sobre o mesmo conteúdo, utilizando para isso, dados de um levantamento de informações que realizarão no comércio local, em situações envolvendo porcentagem, juros e descontos. Pretendemos, por meio das resoluções dos problemas formulados pelos alunos, que o professor busque identificar se houve compreensão, por parte dos alunos, acerca dos conceitos já formalizados.
Palavras-chave Resolução de Problemas; Matemática Financeira; Cotidiano
1 INTRODUÇÃO
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de
Matemática do Estado do Paraná, os “conteúdos propostos devem ser
abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática
que fundamentam a prática docente” (PARANÁ, 2008, p. 63). Dentre elas,
pode-se destacar a Resolução de Problemas.
Diante disso, estudamos a Resolução de Problemas enquanto estratégia
metodológica para o ensino e a aprendizagem da Matemática e produzimos um
caderno pedagógico composto por unidades didáticas elaboradas
individualmente por nove professores PDE, correlacionadas com esse tema.
Essa produção didático-pedagógica, além de se constituir para os
professores PDE em uma estratégia para a implementação do Projeto de
Intervenção Pedagógica na Escola, apresenta possibilidades de abordagem de
diferentes conteúdos matemáticos por meio da Resolução de Problemas, tem
também como objetivo oportunizar a outros professores que venham a ter
acesso a essa produção, o desenvolvimento de um trabalho com essa
estratégia metodológica mediante a implementação desse material.
Utilizar a Resolução de Problemas como uma estratégia metodológica
para o ensino e a aprendizagem de Matemática, trata-se, segundo Allevato e
Onuchic (2009, p.7), “de um trabalho onde um problema é ponto de partida e
orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á
através de sua resolução.”
Ainda de acordo com essas autoras, não há “formas rígidas para colocar
em prática essa metodologia” (ibidem). Apresentaremos a seguir uma proposta
sugerida pelas autoras de organização das tarefas em etapas a serem
desenvolvidas pelo professor e pelos alunos.
1) Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula. 2) Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura.
3) Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos.
Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo o problema.
Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.
4) Resolução do problema - De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática nova” que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula. 5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de idéias entre eles.
O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho.
6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. 7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. 8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto.
9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 7-8, grifo nosso).
A intenção é que a implementação desta produção didático-pedagógica,
seja realizada de acordo com as etapas apresentadas anteriormente, e, por
isso, sugerimos para cada problema presente nessa produção,
encaminhamentos que podem ser utilizados pelos professores em algumas
dessas etapas, bem como possíveis formalizações para os conteúdos
matemáticos abordados.
2 APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade Didática o objetivo principal é proporcionar pela
metodologia da Resolução de Problemas, o estudo da Porcentagem, Juros e
Descontos. Esta Produção Didático-pedagógica será utilizada no trabalho que
será desenvolvido com alunos da 8ª série do Ensino Fundamental atendendo
aos propósitos do nosso projeto de Intervenção Pedagógica na escola,
elaborado no segundo período deste Programa de Desenvolvimento
Educacional, no qual optamos por estudar o tema Tendências em Educação
Matemática, donde destacamos a metodologia da Resolução de Problemas na
perspectiva proposta pelas autoras Onuchic e Allevato (2009).
Mediante a experiência adquirida em sala de aula, percebo que alguns
alunos têm apresentado desinteresse no estudo da matemática. Na maioria
das vezes, por não entenderem o conteúdo que está sendo ensinado ou
também por tal conteúdo não ter uma relação com o cotidiano deles.
Trabalhar com problemas que apresentem um contexto mais próximo do
cotidiano pode contribuir para que o aluno tenha mais interesse em aprender
os conceitos neles envolvidos.
Dessa forma pretende-se propor problemas, objetivando desencadear,
a partir das resoluções dos alunos, a discussão dos conceitos matemáticos.
Propomos ainda que, após a formalização dos conteúdos abordados nestes
problemas, os alunos formulem outros problemas, sobre o mesmo conteúdo,
utilizando para isso os dados de um levantamento de informações que
realizarão no comércio local, em situações envolvendo porcentagem, juros e
descontos. Pretendemos, por meio das resoluções dos problemas formulados
pelos alunos, que o professor busque identificar se houve compreensão, por
parte dos alunos, acerca dos conceitos já formalizados.
3 PROCEDIMENTOS
Ao sugerir o trabalho com a metodologia da Resolução de Problemas na
perspectiva das autoras Allevato e Onuchic (2009), apresentamos os
problemas elaborados que serão trabalhados com alunos da oitava série “A” do
Colégio Estadual Antônio Iglesias de Ibiporã. O desenvolvimento de cada
problema contém: a resolução esperada, os objetivos a ser atingidos, o
encaminhamento que poderá ser feito e a sugestão de formalização do
conteúdo abordado.
DESENVOLVIMENTO
Será proposto aos alunos que resolvam os problemas apresentados na
sequência deste texto. Os problemas serão abordados na perspectiva da
metodologia Resolução de Problemas e após a formalização dos conteúdos em
cada um deles, será proposto que os alunos formulem outros problemas, sobre
o mesmo conteúdo, utilizando os dados do levantamento de informações, por
eles obtidas, no comércio local. Pretende-se que o professor busque identificar
se houve compreensão, por parte dos alunos, acerca dos conceitos já
formalizados, por meio de suas resoluções aos problemas que formularam.
PROBLEMA 01
É comum ouvirmos as pessoas dizerem que os impostos encarecem o
preço dos produtos. Para se ter ideia, em determinado período do ano, em
cada 100 reais gastos com feijão,18 reais eram pagos em impostos; no
refrigerante, 47 em cada 100 reais gastos eram pagos em impostos; na
gasolina, para cada 100 reais gastos, 53 reais eram pagos em impostos. Com
base nessas informações responda:
a)O que você sabe sobre impostos?
b)Represente por meio de uma fração, a relação entre o total pago em imposto
e cada cem reais, na compra de cada um dos produtos anteriores.
c)Com relação ao refrigerante quanto pagaríamos em impostos para um gasto
de 400 reais?
d E se gastássemos 80 reais comprando refrigerante, quanto seria pago em
imposto?
RESOLUÇÃO
a) É uma porcentagem que pagamos para o governo sobre cada produto
adquirido.
b) ; ;
c) Se em 100 reais paga-se 47 de imposto, em 400 reais, ou seja, em 4 vezes
o 100, paga-se 4x 47= 188
Resposta: Pagaríamos de imposto 188 reais.
d)
Valor em reais Imposto pago em reais
100 47
80 x
=
100x = 80.47
100x = 3760
x= 3760 : 100
x= 37,6
Resposta: Pagaríamos em impostos 37,6 reais.
OBJETIVOS
Perceber o uso da porcentagem em atividades cotidianas.
Definir porcentagem a partir de problemas e discussões entre os alunos.
ENCAMINHAMENTO E FORMALIZAÇÃO
Esse problema, juntamente com as informações obtidas no comércio
local, possibilitará que os alunos percebam o uso da porcentagem no seu dia a
dia.
No item b, utilizando frações para expressar ideia de razão, deseja-se
definir Porcentagem como uma razão entre dois números, em que o
denominador da fração corresponde ao número 100. Por exemplo, a razão
expressa que a cada 100 reais pagos na compra de um produto, 18 são pagos
em impostos. Serão exploradas outras formas de escrever uma porcentagem,
durante a plenária ou na formalização os alunos serão incentivados a perceber
que as razões centesimais que eles escreveram também podem ser escritas
na forma de números decimais.
Quanto ao símbolo %, antes de apresentá-lo na formalização, o professor
pode pedir que os alunos, utilizando os folhetos comerciais e as informações
que recolheram no comércio local, respondam às questões a seguir,
registrando suas hipóteses, para depois colocá-las em plenária.
a) Qual o significado dos números acompanhados do símbolo %?
b) O que o símbolo % significa?
PROBLEMA 02
Maria foi ao shopping para comprar um par de tênis que custava R$
249,00. Maria pagou à vista e o tênis, em perfeitas condições, foi comprado por
R$199,20. Pergunta-se:
a) O que o valor diminuído no preço do tênis representa?
b) Qual o percentual equivalente ao valor reduzido no preço do tênis? Como
você faria esse cálculo?
c) Maria percebeu que o vendedor, multiplicou o valor do calçado por 0,8 na
calculadora e informou o valor a ser pago. Por que ele multiplicou o valor por
0,8 para obter o resultado?
RESOLUÇÃO
a) Representa um desconto.
b) Preço do par de tênis: R$ 249,00
Total pago menos por Maria: R$ 199,20
Valor do desconto: R$ 49,80
Cálculo do percentual de desconto.
Valor em reais Percentual
249,00 100
49,80 x
249 x = 4980
x=
x= 20
Resposta: O percentual de desconto será de 20%.
c)Ele usou o 0,8 porque representa o percentual correspondente ao valor a ser
pago pelo tênis após o desconto.
OBJETIVOS
Definir desconto.
Calcular porcentagem.
ENCAMINHAMENTO E FORMALIZAÇÃO
Pretende-se formalizar o conceito de desconto a partir da resolução do
item a, Desconto é o ato de diminuir ou abater, o valor de uma compra como
no caso do problema acima, o preço do tênis era de 249 reais e Maria pagou a
vista 199,20, à diferença de 49,80 chamamos de desconto. Possibilitar que o
aluno faça e entenda o cálculo do percentual do desconto, no item b, utilizando
a regra de três simples.
No item c, discutir com os alunos sobre diferentes representações de
porcentagem, incentivando-os a perceber que 0,8 equivale a 80/100 ou 80%.
O preço do tênis sem desconto equivale ao 100% ou 100/100= 1. O
percentual de desconto foi de 20% o que equivale a 20/100 ou ainda 0,2.
Dessa forma, pode-se mostrar que 1- 0,2= 0,8 representa o percentual
correspondente ao valor a ser pago pelo tênis após o desconto, justificando
porque o vendedor usou o valor 0,8, que é considerado um fator de
multiplicação. O professor poderá formalizar que o fator de multiplicação, nos
cálculos de valor a pagar com desconto, é igual a 1 menos a taxa percentual de
desconto escrita na forma decimal. Nesse momento pode-se questionar, qual
seria o fator usado pelo vendedor se o desconto fosse de 10%, ou 30%, etc.
PROBLEMA 03
Uma grande loja de eletrodomésticos está vendendo um aparelho de TV
nas seguintes condições: R$ 549,00 a vista ou em 18 parcelas de R$44,40.
Responda:
a) Qual a diferença entre o preço total pago a prazo e o preço a vista? O que
esse valor representa?
b) Que percentual, em relação ao preço a vista, representa o valor que você
obteve no item a?
c) Qual o percentual de acréscimo, cobrado mensalmente?
d) Se o cliente pudesse quitar a dívida antecipadamente, e o percentual de
acréscimo mensal obtido no item anterior do problema fosse mantido,
poderíamos descobrir que valor seria pago a loja? Faça simulações de cálculos
e apresente-os.
RESOLUÇÃO
a) 799,20 – 549,00= 250,20. Representa os juros cobrados.
b) Valor em reais Percentual
549,00 100
250,20 x
549,00x= 25020,00
x =
x= 45,57
c)45,57 : 18 = 2,5
Logo, 2,5% ou 0,025
d)
Quantidade de meses
decorridos após a
realização do
empréstimo
Juros já pagos após
essa quantidade de
meses
Valor total que seria
pago, se a dívida fosse
quitada após essa
quantidade de meses
1 549. 0,025 = 13,73 549 + 13,73=562,73
2 549.0,025. 2 = 27,45 549 + 27,45=576,45
3 549.0,025. 3 = 41,18 549 + 41,18=590,18
4 549.0,025. 4 = 54,90 549+ 54,90=603,90
5 549.0,025. 5 = 68,63 549 + 68,63=617,63
6 549.0,025. 6 = 82,35 549 + 82,35=631,35
7 549.0,025. 7 = 96,08 549 + 96,08=645,08
8 549.0,025. 8 = 109,80 549 + 109,80=658,80
9 549.0,025. 9 = 123,53 549 + 123,53=672,53
10 549..0,025. 10 = 137,25 549 + 137,25=686,25
11 549.0,025. 11 = 150,98 549 + 150,98=699,98
12 549.0,025. 12 = 164,70 549 + 164,70 =713,70
13 549.0,025. 13 = 178,43 549 + 178,43=727,43
14 549.0,025. 14 = 192,15 549 + 192,15=741,15
15 549.0,025. 15 = 205,88 549 + 205,88=754,88
16 549.0,025. 16 = 219,60 549 + 219,60 =768,60
17 549.0,025. 17 = 233,33 549 + 233,33=782,33
OBJETIVOS
Introduzir o conceito de juros, capital, montante e taxa.
Definir juros simples.
ENCAMINHAMENTO E FORMALIZAÇÃO
Com a resolução do item “a” pretende-se formalizar que Juros são uma
compensação em dinheiro que se paga ou recebe-se pelo empréstimo de uma
determinada quantia durante certo período, que se paga pelo atraso no
pagamento de uma prestação ou que se recebe pelo rendimento de uma
aplicação no mercado financeiro, entre outros. No caso do problema, e também
dos anúncios nos folhetos das lojas, trata-se da compensação financeira que a
loja receberá pelo valor emprestado durante certo tempo.
Com a resolução do item b pretende-se formalizar que o percentual que
corresponde a 45,57 representa a taxa de juros, ou seja, a taxa percentual
que se aplica sobre o valor emprestado e paga ou recebida na forma de
juros. No caso do nosso problema, 45,57 reais em cada 100 reais foram pagos
de juros para a loja que vendeu o eletrodoméstico a prazo.Com a resolução,
pretende-se formalizar o que é juros simples.
O juro calculado é denominado juros simples quando a taxa de juros
incidir apenas sobre o valor do capital, não sobre o valor dos juros
gerados em cada período de tempo.
A partir da resolução do item d, podemos formalizar montante (M), que
corresponde à soma do capital (C) com juros (J).
PROPOSTA DE AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados durante a realização das atividades previstas,
como: levantamento de informações, feito por eles, no comércio local;
resolução dos problemas, formulados pelo professor, em grupos em sala de
aula; elaboração de problemas com os dados obtidos no levantamento de
informações; e resolução dos problemas por eles formulados. O professor
observará nos alunos, aspectos como: o envolvimento e cooperação durante
os trabalhos em grupo, a participação na elaboração das estratégias para
resolução dos problemas e a participação durante as plenárias, registrando
diariamente os apontamentos em um caderno de observação.
4 CONTEÚDOS DE ESTUDO
Serão apresentados problemas abordando os conteúdos Porcentagens,
Juros Simples e Descontos.
5 ORIENTAÇÕES/RECOMENDAÇÕES DE USO
Sugerimos aos professores que todos os problemas apresentados sejam
desenvolvidos sob a perspectiva da Resolução de Problemas apresentada na
introdução desse material.
6 PROPOSTA DE AVALIAÇÃO
O professor anotará em um diário de classe: se os objetivos propostos
para cada um dos problemas foram cumpridos, se os encaminhamentos
sugeridos para cada um dos problemas foram adequados, quais os
aprimoramentos necessários para a presente Produção Didático-pedagógica e
se os alunos se apropriaram dos conceitos sobre Porcentagem, Juros Simples
e Descontos abordados com a resolução dos problemas. Para tanto pedirá que
os alunos, individualmente, elaborem um relatório onde poderão expressar o
que compreenderam a respeito dos conteúdos trabalhados, o que não
compreenderam a respeito dos conteúdos trabalhados e quais as dificuldades
encontradas para a compreensão dos mesmos.
7 INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS
ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n.55, 2009.
ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. cap.12, p. 199-220.
PARANA. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006.