Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes

MatemáticaFinanceira

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5ª Edição

Capítulo 2

DESCONTOS

MathiasGomes

Descontos

• Recebe um compromisso da aplicação;

• Que é uma nota promissória;

• Ou uma letra de câmbio.

Quando se faz uma aplicação com vencimentopré-determinado, o aplicador:

=> Obter parte do principal e dos juros, em troca do título, é uma operação de “desconto”.

MathiasGomes

Descontos

• Recebe do comprador uma duplicata.

Uma empresa faz uma venda a prazo, com venci-mento pré-determinado:

=> A empresa pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata em troca de dinheiro.

Esta á uma operação de “descontar uma duplica-ta”.

MathiasGomes

Desconto Racional

Ou Desconto “por dentro”.

• É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento.

inNinDr+

=1

Dr = valor do descontoN = valor nominal (montante)n = número de períodos antes do vencimentoi = taxa de desconto

EXEMPLO

MathiasGomes

Exemplo

Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros cor-rente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter ?

Resolução:

3 Meses

N

{Dr

Vr

MathiasGomes

ExemploTemos:

N = 5.500,00n = 3 meses

Calculando a taxa proporcional a 1 mês:

Podemos calcular:

a) O desconto:

1240,0

12 =i

31240,01

31240,0500.5

1

x

xxD

inNinD

r

r

+=

+=

MathiasGomes

Exemplo

00,500$10,1

00,55010,01

10,000,500.5

==

+=

r

r

D

xD

b) O valor descontado:

Vr = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00

$ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nospróximos 3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00 iria render:

J = CinJ = 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00

MathiasGomes

Desconto Comercial

Ou Desconto “por fora”.

• É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento.

Dc = N.i.n

Dc = desconto comercialN = valor nominal (montante)n =número de períodos antes do vencimentoi = taxa de desconto

EXEMPLO

MathiasGomes

Exemplo

Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de$ 5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antesdo vencimento, qual é o desconto e quanto vai obter ?

Resolução: procedendo de modo análogo, temos:

3 Meses

N

{Dc

Vc

MathiasGomes

Exemploa) O desconto:

Dc = NinDc = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00

b) O valor descontado comercial:

00,4950$9,000,500.5

)31240,01(00,500.5

)1(

==

−=

−=

VcxVc

xxVc

inNVc

Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto co-mercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o des-conto fosse racional.

MathiasGomes

ExemploÉ evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comer-

cial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juroscapaz de reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ga-nha $ 550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxade juros de operação é:

ou

Note-se então que, no desconto comercial, é preciso dis-tingüir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxaimplícita que é cobrada de fato.

44,0'

1111,000,950.4

00,550'

≅

==

i

i ao trimestre

ao ano

MathiasGomes

Desconto Bancário

Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nomi-nal.

Db = N.(in+h)

Db = desconto bancárioN = valor nominal (montante)n = número de períodos antes do vencimentoi = taxa de descontoh = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas ban-cárias)

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploUm título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foidescontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa cor-rente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título ?

Resolução: Lembrando que: h = 0,02e procedendo de modo análogo ao exemplo an-

terior:

a) Desconto bancário:Db = N (in + h)Db = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02)Db = 5.500,00 (0,10 + 0,02)Db = $ 660,00

MathiasGomes

Exemplob) Valor descontado bancário:

Vb = N [1 - (in + h)]Vb = 5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02]Vb = 5.500,00 x 0,88Vb = $ 4.840,00

Compara-se este valor que o proprietário recebeu ao descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via des-conto comercial ($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a ta-xa de desconto não corresponde à taxa implícita na operação:

5456,0"

1364,000,840.4

00,660"

≅

≅=

i

i ao trimestre

ao ano

MathiasGomes

Exemplo

É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada naoperação.

MathiasGomes

Taxa de Juros Efetiva

É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado (comercial ou bancário), gera no período, um montante igual ao valor nominal.

onde:if = taxa efetivaN = valor nominalV = valor atual (comercial ou bancário)n = número de períodos antes do vencimento

nVN

if

1−=

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploSendo o valor de desconto comercial de $ 4.950,00, o título de $ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual éa taxa de juros efetiva para desconto comercial utilizada ?

Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:

..44,0..03703,03

11111,1;3

100,495000,500.5

1

aamai

ii

nVN

i

f

ff

cf

==

−=

−=

−=

Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anterior-mente, por cálculo direto.

MathiasGomes

ExemploAnalogamente, com um título de $ 5.500,00 descontado 3 me-ses antes do vencimento e com um valor de desconto bancáriode $ 4.850,00, qual a taxa efetiva para desconto bancário ?

Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:

..54,0..045,03

11364,1;3

100,484000,500.5

1

aamai

ii

nVN

i

f

ff

bf

==

−=

−=

−=

Verifica-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obti-do anteriormente por raciocínio direto.

MathiasGomes

Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto Racional

Dc = Dr (1+in)

Dc = Desconto ComercialDr = Desconto Racionaln = número de períodos antes do vencimentoi = taxa de desconto

=> o Desconto Comercial pode ser entendido co-mo sendo o montante do Desconto Racional cal-culado para o mesmo período e à mesma taxa.

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploO desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qualé o desconto racional ?

Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:

00,500$10,1

00,550)10,01(00,550

)31240,01(00,550

)1(

==

+=

+=

+=

r

r

r

rc

D

D

xD

inDD

MathiasGomes