NOTA DE AULA_OPERAÇÕES DE DESCONTOS

PROFESSORA GECIARA CARVALHO.

BIBLIOGRAFIA PARA CONSULTA:

1. SAMANEZ,C.P. Matamática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos.3ª ed. São paulo:Makron.

2. ASSAF, A.N. Matemática financeira e suas aplicações. 8ª ed. São Paulo: Atlas, 2003.

Atividade Proposta: Lista de exercícios II

OPERAÇÕES DE DESCONTOS

Em matemática financeira, descontar é retirar juros ou descontos de valor

futuro para obter valor presente. Assim, descontar é trazer o valor presente. (ou

seja, o valor presente atual).

As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou

pagamento) de valores futuros, representados por títulos e, podem realizadas

tanto sob o regime de capitalização simples como nos juros compostos.

Desconto (D) corresponde a diferença entre o Valor Nominal de um título e o

seu valor atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento. Representa

os juros associados a operação.

Valor Nominal (= Valor Futuro VF) refere-se ao valor de resgate definido para

um título em sua data de vencimento, ou seja, o montante da operação.

Valor Descontado (= Valor Presente, valor líquido ou VP) é o valor atual na

data do desconto.

As operações de descontos podem ser de dois tipos : Racional (ou “por

dentro”) ou Comercial ( ou “por fora”, bancário).

D= VF - VP

DESCONTO RACIONAL NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

O desconto racional simples incorpora os conceitos e relações básicas dos

juros simples.

No regime de capitalização simples, os juros incidem sobre o Valor Presente.

As operações de desconto racional, ou por dentro, representam a aplicação da

fórmula abaixo para encontrar o valor presente:

Então o Desconto pode ser apresentado como:

ni

niVF

ni

VFniVF

ni

VFVFVPVFD

.1

..

.1

.1

.1

A partir desta fórmula é possível calcular o valor do desconto racional obtido de

um determinado valor nominal, a uma taxa simples de juros e a determinado

prazo de antecipação.

Exemplo: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano,

que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a,a

a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor

descontado desta operação.

42% a.a = 3,5% a.m

ni

VFVP

.1

ni

VFVFVPVFD

.1

VF 4000,00

0 9 12

Desconto

10,380

3.035,01

40004000

.1

ni

VFVFD =

Valor descontado

D = VF – VP

380,10 = VP – 4000

VP = 4000 – 380,10 = VP = 3619,90

Do ponto de vista do devedor, R$ 380,10 representa o valor que está deixando

de pagar por saldar a dívida antecipadamente (3 meses antes do vencimento).

O valor líquido do pagamento é R$ 3619,90.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 5.000,00, 3 meses antes

de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40%

a.a, qual o desconto e quanto vai obter?

Solução: VF = 5.000,00

n = 3 meses

i = 40% a.a = 0,4/12

Desconto = 500,00

3 0,4/12 1

3 0,4/12 5.000

.1

..

ni

niVFD

Valor descontado = VF – D = 5.500 – 500 = R$ 5.000,00

2. Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado

60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a

R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.

Solução: n = 2 meses = 60 dias

VF= 26.000,00

C = 24.436,10

Sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor

atual do título, ou seja, sobre o capital liberado, então:

D = C.i.n

032,020,872.48

90,1563

2.10,436.24

10,436.24000.26

..

nVP

VPVF

nVP

Di

ou 3,2%a.m.

3. Qual é o desconto racional que um capital de R$ 10.000,00 sofre ao

ser descontado 4 meses antes do seu vencimento à taxa de 5% a.m.?

Solução:

67,666.1$

166667,0000.1020,01

20,0000.10

405,01

4.05,0000.10

.1

..

RD

D

ni

niVFD

4. Qual é o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um

título de R$ 30.000,00, vencível em 3 meses e 15 dias, descontado à

taxa de 45% a.a?

3 meses e 15 dias = 105 dias, (considerar um ano= 360 dias)

26.519,34

131250,1

000.30

131250,01

000.30

1

VP

ni

VFVP

=

D = VF – C = 30.000,00 – 26.519,34 = 3.480,66

Ou de outra forma temos:

3.480,66

360

105.45,01

360

105.45,0.000.30

.1

..

ni

niVFD =

D = VF – C = 3.480,66 = 30.000 – C

C= 26.519,34

5. Num título de R$ 50.000,00 vencível em 30/11 e descontado em 22/08

à taxa de 3,6% a.m., determinar o valor do desconto racional e

respectivo valor atual.

VF = 50.000,00

n = 100 dias ( 9 + 30 + 31 + 30) = 100/30 meses

5.357,14

30

100.036,01

30

100.036,0.000.50

.1

..

ni

niVFD

C = VF – D = 50.000 – 5.357,14 = 44.642,86

DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO OU “POR FORA” NO REGIME

DE CAPITALIZALÇÃO SIMPLES

Os juros incidem sobre o Valor Futuro da operação, proporcionando maior

volume de encargos financeiros efetivos nas operações. È amplamente

utilizada no mercado em operações de crédito bancário e comercial a curto

prazo.

No regime de juros simples, o desconto comercial é determinado pelo produto

do Valor Nominal ou Futuro, da taxa de desconto por fora ou comercial (id) e

do prazo da antecipação (n).

O valor líquido ou valor presente poderá ser expresso como:

niVFniVFVFDVFVPdd.1..

Para melhor avaliar as diferenças entre os tipos de descontos será

desenvolvido o mesmo exemplo utilizado no desconto “por dentro”.

Exemplo: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano,

que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a,a

a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor

descontado desta operação.

42% a.a = 3,5% a.m

VF 4000,00

0 9 12

Valor do desconto

00,420

3035,04000

..

D

D

niVFDd

Valor descontado

niVFDd..

00,3580

3.035,014000

.1

VP

VP

niVFVPd

Torna-se evidente que o devedor do título, descontado pelo desconto “por fora”

assume encargos maiores que se fosse descontado pelo desconto “por dentro”.

Exemplo:

Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto por fora igual a 4% a.m,

calcule o valor do desconto e o valor líquido de uma operação com as

seguintes características: prazo = 38 dias, valor nominal = R$ 3.400,00.

n em meses = 38/30

27,127

30

3804,03400

..

D

D

niVFDd

00,73,3227

30

3804,013400

.1

VP

VP

niVFVPd

DESCONTO BANCÁRIO

O desconto bancário pode ser considerado uma extensão do desconto

comercial, basta acrescentar a taxa de serviço bancário”t” que comumente

inclui o IOF (Imposto sobre Operações financeiras) que incide sobre o valor

nominal. Logo as expressões para o valor do desconto e para o valor liberado

passam a ser:

nitVFDd e nitVFVP

d.1

Exemplos:

1. Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um

cheque pré-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito

está programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa

pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de

desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor

nominal, calcule o desconto sofrido pelo título.

4.215,00 0,007)- 5 x 0,03 (1 5000.1 nitVFVPd

=

D = VF –C= 5.000 – 4.215,00 = 785,00

2. Um banco cobra, em seus financiamentos, a taxa administrativas de

2% e sua taxa de juros corrente é de 29% a.a. Que financiamento por

3 meses deverá um cliente pedir a este banco se esta pessoa

necessitar de R$ 10.000,00?

Solução: se o cliente precisar de R$ 10.000,00, então este é o valor

líquido que quer receber, sendo portanto, no caso do desconto bancário,

o valor descontado bancário. O valor do financiamento que o cliente irá

pedir é o valor nominal.

nitVFDd

28,019.11$9075,0

000.10

0925,01000.10

12

3.29,002,01000.10

.1

RVF

VF

VF

nitVFVPd

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Uma empresa concede um desconto de 4% ao mês aos clientes que

antecipam o pagamento de suas duplicatas. Um dos clientes deseja

antecipar o pagamento de um título de valor nominal R$ 20.000,00,

com vencimento previsto para 48 dias. Determine o valor do desconto

a ser concedido e o valor líquido a ser recebido pela empresa nessa

operação.

Dados: VF = 20.000,00

i = 4% = 0,04

n = 48 dias

D= ?

C = ?

1.280,00 30

48 0,0420.000.. niVFD

d

C = 20.000 – 1.280,00 = r$ 18.720,00

2. Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro é descontada por

R$ 2.000,00 em 1º de setembro do mesmo ano a uma taxa simples de

6% a.m. Na modalidade de desconto comercial simples, calcular o

valor de resgate (valor nominal) do título.

Dados: i = 6% a.m. = 0,06

C= 2.000,00

n= número de dias da data posterior (15/12) – número de dias da

data anterior (1º/19) = 349 – 244 = 105

D= ?

2.531,65 VF

)30

105 0,06 - (1 VF2.000

.1

niVFVPd

3. Uma empresa deseja descontar uma duplicata de valor nominal R$

10.000,00 com vencimento previsto para 38 dias. Sabendo-se que o banco

realiza tais operações cobrando uma taxa de desconto de 5% ao mês, IOF à

alíquota de 0,0041% ao dia e tarifa de cobrança de R$ 6,00, calcule:

a. O valor dos juros cobrados antecipadamente (desconto);

b. O valor do Imposto sobre Operações Financeiras (IOF);

c. O valor líquido creditado para a conta corrente da empresa.

d. A taxa efetiva mensal paga pela empresa nesta operação.

Dados VF = 10.000,00

n = 38 dias

i = 5% a.m. = 0,05

IOF = 0,0041% a.d.

Tarifa – R$ 6,00

C = 10.000 – juros – IOF- tarifas

1. O valor dos juros

633,33 30

38 0,0510.000.. niVFD

d

2. Valor do IOF

14,59 R$IOF

38 0,000041 633,33) - (10.000 380,0041% D) - (VF IOF

3. Valor líquido creditado para a empresa

C = VF – D – IOF – tarifas

C = 10.000 – 633,33 – 14,59 – 6,00

C = R$ 9.346,07

4. Valor da taxa efetiva mensal no conceito de juros compostos

O custo efetivo dessa operação será calculado por meio da fórmula

de montante de juros compostos, considerando-se como principal

da operação o valor líquido creditado ao tomador e como valor

futuro o valo nominal do título no vencimento.

1001

1

xVP

VFi

n

i = 100107,346.9

000.1030

38

1

x

= 5,4842% ao mês.

4. Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no banco X, que cobra 2%

como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado

3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto

comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário? Quanto recebeu o

proprietário do título?

nitVFDd e

660,00 R$ D

0,12 5.500 0,02) (0,10 5.500

02,0312

04,0500.5

D

D

nitVFDd

4.440,00 0,885.500VP

3 12

0,4- 0,02 -[1 5.500 VP

.1

nitVFVPd

Nos casos de desconto comercial e bancário é preciso calcular a taxa que

realmente está sendo cobrada na operação.

Neste caso a taxa efetiva = 660,00/ 4.840,00 = 0,1364 a.t 5456,0 a. a.

DESCONTO RACIONAL A JUROS COMPOSTOS

O desconto racional também é conhecido como desconto financeiro. È dado

pela diferença entre o valor futuro (valor nominal ou de resgate) e o valor atual

(valor líquido liberado) calculado a juros compostos. O valor do desconto é

calculado mutiplicando-se o VN pela taxa de juros composta acumulada.

VPVFD e ni

VFVP

1

Então,

n

n

ni

iVFD

i

VFVFD

1

11

1

Por exemplo: Suponha que uma pessoa deseja descontar uma nota

promissória 3 meses antes do seu vencimento. O valor nominal deste título é

de R% 50.000,00. Sendo de 4,5% ao mês a taxa de desconto racional, o valor

líquido recebido (valor descontado) pela pessoa na operação atinge:

reais 83,814.43

045,01

000.50

13

ni

VFVP

O valor descontado racional, por seu lado, soma a:

reais 17,185.683,814.43000.50 r

D

Por se tratar de desconto racional (“por dentro”), a taxa efetiva de juros é a

própria taxa de desconto considerada, isto é:

ma

i

i

i

i

i

.%5,41

1045,1

141166,11

183,814.43

000.50

183,814.43

000.50

183,814.43000.50

3

3 33

3

3

EXERCÍCOS RESOLVIDOS

1. Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a R$ 600,00,

descontado cinco meses antes do vencimento a uma taxa de desconto

racional composto igual a 4% a.m.

ni

VFVFD

1 =

504,01

600600

= 106,84

2. Uma empresa antecipou em 120 dias o desconto de uma nota

promissória de R$16.000,00, tendo um desconto financeiro de R$

640,00. determinar a taxa de juros efetiva (anual) usada na operação e

a taxa de desconto efetiva.

Dados: VF= 16.000,00

D = 640,00

n = 120

i= ?

de = ?

n

n

i

iVFD

1

11 = 640= 16.000

360

12

360

12

1

11

i

i =

0416667,11 3

1

i

i = 13,03% a.a

No desconto financeiro a taxa de desconto efetiva é a própria taxa de

juros efetiva embutida na operação i= de.

3. Uma duplicata com valor de resgate de R$ 2.300,00 foi descontada

160 dias antes de seu vencimento pelas regras do desconto financeiro

composto. Calcular o valor do desconto financeiro, a taxa mensal de

desconto, o valor liberado e a taxa de desconto efetiva nas seguintes

hipóteses sobre o tipo de taxa de juros aplicada na operação: a) juros

de 24% a.a.;

Dados: VF = 2.300,00, n = 160, i= 24%, j= 24% a.a., D= ?; de = ? C= ?

Valor do desconto =

n

n

i

iVFD

1

11 = 2.300

360

160

360

160

24,1

124,1 = 209,71

Taxa mensal de desconto = df =

360

160

360

160

24,1

124,1 x ma.%71,1

160

30

Valor liberado = C= VF-D = 2.300 – 209,71 = 2.090,29

Taxa de desconto efetiva = 1

n

h

eVP

VFd = ..%24

29,090.2

000.2 160

360

aa

h = período referencial da taxa i

4. Uma instituição financeira aplica uma taxa mensal de desconto de 7%

a.am em operações de desconto comercial com prazo de 90 dias. Qual

taxa deve aplicar em operações de desconto financeiro composto?

dc = 7% a,m., n= 90, df?

nid h

n

c

30.11

0,07 =

90

30.11 h

n

i = 21,11 h

n

i

..%7851,521,1

07,0

1ma

i

dd

h

n

c

f

5. Um banco emprestou R$ 1.000,00 a juros compostos efetivos de 24%

a.a. A que taxa mensal de desconto o banco deve efetuar o desconto

comercial de um título com valor nominal de R$ 10.000,00 e com prazo

de 60 dias ao vencimento de modo que obtenha o mesmo rendimento

efetivo do empréstimo?

Dados: i = 24% a.a. = 0,24, h = 360, n= 60, VF= 1.000,00, id = ?

Se o banco emprestar R$ 1.000,00 pelo prazo de 60 dias a juros

efetivos de 24%a.a, o rendimento será:

Juros = VF – C = 1000(1 +0,24) 360

60

- 1.000 = 36,50

Calculo da taxa mensal de desconto que proporciona o mesmo

rendimento efetivo:

24,1000.10

160

360

60

360

VPde

VP

VF

C = R$ 9.647,83

de = 60

30

000.10

83,647.9000.10

= 1,760842% a.a

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

O desconto composto comercial é raramente empregado no Brasil, não

apresentando uso prático.O desconto comercial composto implica a incidência

de sucessivos descontos sobre o valor nominal, o qual é deduzido, em cada

período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.

O valor líquido ou valor presente nas operações de desconto comercial

composto pode ser definido por meio da seguinte expressão:

C = VF (1 – i)n então como desconto é a diferença entre os valores futuro e

presente:

D = VF – C = VF – [VF (1 – i)n ] ou Dc =

11 h

n

iVF

Exemplo:

Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma

operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes do seu movimento. A

taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o valor

descontado, o desconto e a taxa de juros efetiva da operação.

12,008.30

88,499135000

V

ou

12,008.30

05,0135000

1V descontado

88,4991

05,01135000

11

:

?

?

?

.%5

3

000.35

c

3

c

3

c

c

c

c

n

c

c

n

c

c

c

V

V

PN

V

V

dNValor

D

D

dND

Desconto

i

D

V

mad

mesesn

N

Taxa efetiva de juros:

V=30.008,12 N=35.000,00

0 3

mai

i

i

i

i

i

.%26,5

10526,1

166351,11

112,008.30

35000

112,008.30

35000

112,008.3035000

3

1

3

13

3

11

3

3

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Uma duplicata no valor de R$8.000,00 foi descontada para quatro

meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial

composto igual a 3% a.m. Calcule o valor líquido da operação e o

desconto sofrido pelo título.

C= 8000 ( 1 – 0,03)4 = 7.082,34

D= 8000 – 7.082,31 = 917,66

2. Uma nota promissória, no valor de R$10.000,00 em seu vencimento foi

descontada 2 meses de seu prazo de regate. Sabendo-se que a taxa

de desconto comercial era de 28%a.a.qual foi o desconto? Qual foi o

valor atual comercial?

Dados : VF= 10.000; i= 28% a.a; n= 2 meses = 2/12

D = VF.i.n

D = 10.000 (0,28).2/12 = 466,67

C = VF (1 – i)n = 10.000 (1 – 0,28)2/12 = 9.533,33

3. Se o valor descontado comercial for de R$ 14.195,00 e o prazo de

antecipação for de 270 dias, qual será o valor do título no vencimento,

considerando-se uma taxa de 22% a.a?

Dados: C= 14.195,00; i = 22%a.a e n= 270 dias

C = VF (1 – i)n

14.195,00 = VF (1 – 0,22)270/360

14.195 = VF (0,78)270/360

VF = R$17.000,00

4. Uma empresa recebeu uma nota promissória de R$ 20.000,00 com

vencimento em 120 dias. Contudo, necessitando do dinheiro, procura

descontá-la em um banco que, aplicando desconto comercial, propõe

liberar R4 16.000,00. Calcular a taxa de juros efetiva mensal

exponencial usada pelo banco no cálculo do desconto, a taxa mensal

de desconto e a taxa de desconto efetiva exponencial.

Dados: VF = 20.000,00; C = 16.0000. n= 120 dias, i = ?; dc = ? de= ?

Cálculo da taxa de juros mensal embutida na operação:

Dc =

11 h

n

iVF

4000= 20.000 [(1 +i)120/30 – 1]

4

1

20000

40001

i - 1 = 4,6635% a.m.

Taxa mensal de desconto comercial:

nVF

Ddc

30. %5

120

30.

000.20

000.4

a.m.

ou

nid h

n

c

30.11

Taxa de desconto efetiva exponencial:

1

n

h

eVP

VFd =

1

000.16

000.20 120

360

5,7371% a.m.

5. Um título com valor nominal de R$ 2.000,00 foi descontado

comercialmente utilizando-se uma taxa de juros de 28% a.a.

Considerando que o valor do desconto comercial foi de R$ 55,62,

determinar o prazo da operação, a taxa mensal de desconto efetiva

exponencial.

Dados: VF= 2.000, D = 55,62, i= 28% a.a, n= ?, dc=? E de= ?

Cálculo do prazo:

Dc =

11 h

n

iVF

02781,128,1

1000.2

62,5528,1128,1200062,55

360

360360

n

nn

Aplicando logaritmos:

40360.28,1log

02781,1log02781,1log28,1log.

360

n

ndias

Taxa mensal de desconto comercial:

nVF

Ddc

30. 0208564,0

40

30.

000.2

62,55

ou 2,086% a.m

Taxa de desconto efetiva exponencial:

1

n

h

eVP

VFd =

1

38,1944

000.2 40

360

28,8943% a.a.

Taxa efetiva mensal: (1 + 0,288943)1/12 - 1 = 2,1377% a.m