Nota de Aula - Descontos

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NOTA DE AULA_OPERAÇÕES DE DESCONTOS PROFESSORA GECIARA CARVALHO. BIBLIOGRAFIA PARA CONSULTA: 1. SAMANEZ,C.P. Matamática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos.3ª ed. São paulo:Makron. 2. ASSAF, A.N. Matemática financeira e suas aplicações. 8ª ed. São Paulo: Atlas, 2003. Atividade Proposta: Lista de exercícios II OPERAÇÕES DE DESCONTOS Em matemática financeira, descontar é retirar juros ou descontos de valor futuro para obter valor presente. Assim, descontar é trazer o valor presente. (ou seja, o valor presente atual). As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos e, podem realizadas tanto sob o regime de capitalização simples como nos juros compostos. Desconto (D) corresponde a diferença entre o Valor Nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento. Representa os juros associados a operação. Valor Nominal (= Valor Futuro VF) refere-se ao valor de resgate definido para um título em sua data de vencimento, ou seja, o montante da operação. Valor Descontado (= Valor Presente, valor líquido ou VP) é o valor atual na data do desconto. As operações de descontos podem ser de dois tipos : Racional (ou “por dentro”) ou Comercial ( ou “por fora”, bancário). D= VF - VP
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Apostila sobre desconto. Matemática Financeira

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NOTA DE AULA_OPERAES DE DESCONTOS PROFESSORA GECIARA CARVALHO. BIBLIOGRAFIA PARA CONSULTA:1.SAMANEZ,C.P. Matamtica Financeira: Aplicaes Anlise de Investimentos.3 ed. So paulo:Makron. 2.ASSAF, A.N. Matemtica financeira e suas aplicaes. 8 ed. So Paulo: Atlas, 2003. Atividade Proposta: Lista de exerccios II OPERAES DE DESCONTOS Emmatemticafinanceira,descontarretirarjurosoudescontosdevalor futuro para obter valor presente. Assim, descontar trazer o valor presente. (ou seja, o valor presente atual). Asoperaesdedescontorepresentamaantecipaodorecebimento(ou pagamento)devaloresfuturos,representadosporttulose,podemrealizadas tanto sob o regime de capitalizao simples como nos juros compostos.Desconto(D)correspondeadiferenaentreoValorNominaldeumttuloeo seu valor atualizado apurado n perodos antes do seu vencimento. Representa os juros associados a operao. ValorNominal(=ValorFuturoVF)refere-seaovalorderesgatedefinidopara um ttulo em sua data de vencimento, ou seja, o montante da operao. ValorDescontado(=ValorPresente,valorlquidoouVP)ovaloratualna data do desconto. Asoperaesdedescontospodemserdedoistipos:Racional(oupor dentro) ou Comercial ( ou por fora, bancrio). D= VF - VP DESCONTO RACIONAL NO REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES Odescontoracionalsimplesincorporaosconceitoserelaesbsicasdos juros simples. Noregimedecapitalizaosimples,osjurosincidemsobreoValorPresente. As operaes de desconto racional, ou por dentro, representam a aplicao da frmula abaixo para encontrar o valor presente: Ento o Desconto pode ser apresentado como: ( )( )n in i VFn iVF n i VFn iVFVF VP VF D. 1. .. 1. 1. 1 +=+ +=+ = = A partir desta frmula possvel calcular o valor do desconto racional obtido de umdeterminadovalornominal,aumataxasimplesdejuroseadeterminado prazo de antecipao. Exemplo: Seja um ttulo de valor nominal de R$ 4.000,00 vencvel em um ano, que est sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a,a ataxanominaldejuroscorrente,pede-secalcularodescontoeovalor descontado desta operao. 42% a.a= 3,5% a.m ( ) n iVFVP. 1+=( ) n iVFVF VP VF D. 1+ = = VF4000,00 0912 Desconto ( ) ( )10 , 3803 . 035 , 0 140004000. 1=+ =+ =n iVFVF D = Valor descontado D =VF VP 380,10 =VP 4000 VP = 4000 380,10 = VP = 3619,90 Do ponto de vista do devedor, R$ 380,10 representa o valor que est deixando de pagar por saldar a dvida antecipadamente (3 meses antes do vencimento). O valor lquido do pagamento R$ 3619,90. EXERCCIOS RESOLVIDOS 1.Uma pessoa pretende saldar um ttulo de R$ 5.000,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de 40% a.a, qual o desconto e quanto vai obter? Soluo: VF = 5.000,00 n = 3 meses i = 40% a.a = 0,4/12 Desconto =500,003 0,4/12 13 0,4/12 5.000. 1. .=+ =+=n in i VFD Valor descontado =VF D = 5.500 500 = R$ 5.000,00 2.Determinar a taxa mensal de desconto racional de um ttulo negociado 60diasantesdeseuvencimento,sendoseuvalorderesgateiguala R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10. Soluo: n = 2 meses = 60 dias VF= 26.000,00 C = 24.436,10 Sabe-se que no desconto racional o desconto aplicado sobre o valor atual do ttulo, ou seja, sobre o capital liberado, ento: D = C.i.n 032 , 020 , 872 . 4890 , 15632 . 10 , 436 . 2410 , 436 . 24 000 . 26. .= === =n VPVP VFn VPDi ou 3,2%a.m. 3.QualodescontoracionalqueumcapitaldeR$10.000,00sofreao ser descontado 4 meses antes do seu vencimento taxa de 5% a.m.? Soluo: 67 , 666 . 1 $166667 , 0 000 . 1020 , 0 120 , 0000 . 104 05 , 0 14 . 05 , 0000 . 10. 1. .R DDn in i VFD= =+ == + =+= 4.Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um ttulodeR$30.000,00,vencvelem3mesese15dias,descontado taxa de 45% a.a? 3 meses e 15 dias = 105 dias, (considerar um ano= 360 dias) ( ) ( )26.519,34131250 , 1000 . 30131250 , 0 1000 . 301== =+= +=VPn iVFVP =

D =VF C = 30.000,00 26.519,34 = 3.480,66 Ou de outra forma temos: 3.480,66360105. 45 , 0 1360105. 45 , 0 . 000 . 30. 1. .=+=+=n in i VFD = D =VF C = 3.480,66 = 30.000 C C= 26.519,34 5.Num ttulo de R$ 50.000,00 vencvel em 30/11 e descontado em 22/08 taxade3,6%a.m.,determinarovalordodescontoracionale respectivo valor atual. VF = 50.000,00 n =100 dias ( 9 + 30 + 31 + 30) = 100/30 meses 5.357,1430100. 036 , 0 130100. 036 , 0 . 000 . 50. 1. .=+=+=n in i VFD C = VF D = 50.000 5.357,14 = 44.642,86 DESCONTOCOMERCIALOUBANCRIOOUPORFORANOREGIME DE CAPITALIZALO SIMPLES OsjurosincidemsobreoValorFuturodaoperao,proporcionandomaior volumedeencargosfinanceirosefetivosnasoperaes.amplamente utilizadanomercadoemoperaesdecrditobancrioecomercialacurto prazo.No regimede juros simples,o desconto comercial determinadopelo produto doValorNominalouFuturo,dataxadedescontoporforaoucomercial(id)e do prazo da antecipao (n). O valor lquido ou valor presente poder ser expresso como: ( ) n i VF n i VF VF D VF VPd d. 1 . . = = = Paramelhoravaliarasdiferenasentreostiposdedescontosser desenvolvido o mesmo exemplo utilizado no desconto por dentro. Exemplo: Seja um ttulo de valor nominal de R$ 4.000,00 vencvel em um ano, que est sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a,a ataxanominaldejuroscorrente,pede-secalcularodescontoeovalor descontado desta operao. 42% a.a= 3,5% a.m VF4000,00 0912 Valor do desconto 00 , 4203 035 , 0 4000. .= ==DDn i VF Dd Valor descontado n i VF Dd. . =( )( )00 , 35803 . 035 , 0 1 4000. 1= = =VPVPn i VF VPd Torna-se evidente que o devedor do ttulo, descontado pelo desconto por fora assume encargos maiores que se fosse descontado pelo desconto por dentro. Exemplo: Sabendoqueobancocobraumataxadedescontoporforaiguala4%a.m, calculeovalordodescontoeovalorlquidodeumaoperaocomas seguintes caractersticas: prazo = 38 dias, valor nominal = R$ 3.400,00. n em meses = 38/30 27 , 127303804 , 0 3400. .=|.|

\| ==DDn i VF Dd ( )00 , 73 , 3227303804 , 0 1 3400. 1=|.|

\| = =VPVPn i VF VPd DESCONTO BANCRIO Odescontobancriopodeserconsideradoumaextensododesconto comercial,bastaacrescentarataxadeserviobancriotquecomumente incluioIOF(ImpostosobreOperaesfinanceiras)queincidesobreovalor nominal. Logo asexpresses para ovalor do desconto eparao valor liberado passam a ser: ( ) n i t VF Dd =e( ) n i t VF VPd. 1 = Exemplos: 1.Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um chequepr-datadonovalordeR$5.000,00ecujadatadedepsito estprogramadaparadaquiacincomeses.Sabendoqueaempresa pensa em descontaresse ttulo em umbancoque cobrauma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo ttulo. ( ) 4.215,00 0,007) - 5 x0,03 (1 5000 . 1 = = = n i t VF VPd= D = VF C= 5.000 4.215,00 = 785,00 2.Umbancocobra,emseusfinanciamentos,ataxaadministrativasde 2% e sua taxa de juros corrente de 29% a.a. Que financiamento por 3mesesdeverumclientepediraestebancoseestapessoa necessitar de R$ 10.000,00? Soluo:seoclienteprecisardeR$10.000,00,entoesteovalor lquido que quer receber, sendo portanto, no caso do desconto bancrio, ovalordescontadobancrio.O valordofinanciamentoqueoclienteir pedir o valor nominal. ( ) n i t VF Dd = ( )| |28 , 019 . 11 $9075 , 0000 . 100925 , 0 1 000 . 10123. 29 , 0 02 , 0 1 000 . 10. 1R VFVFVFn i t VF VPd= == ==|.|

\| = = EXERCCIOS RESOLVIDOS 1.Umaempresaconcedeumdescontode4%aomsaosclientesque antecipamopagamentodesuasduplicatas.Umdosclientesdeseja anteciparopagamentodeumttulodevalornominalR$20.000,00, com vencimento previsto para 48 dias. Determine o valor do desconto aserconcedidoeovalorlquidoaserrecebidopelaempresanessa operao. Dados: VF = 20.000,00 i = 4% = 0,04 n = 48 dias D= ? C = ? 1.280,0030480,04 20.000 . . = = = n i VF Dd C = 20.000 1.280,00 = r$ 18.720,00 2.Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro descontada por R$ 2.000,00 em 1 de setembro do mesmo ano a uma taxa simples de 6%a.m.Namodalidadededescontocomercialsimples,calcularo valor de resgate (valor nominal) do ttulo. Dados: i = 6% a.m. = 0,06 C= 2.000,00 n= nmero de dias da data posterior (15/12) nmero de dias da data anterior (1/19) = 349 244 = 105 D= ? ( )2.531,65 VF)301050,06 - (1 VF 2.000. 1= == = n i VF VPd 3.UmaempresadesejadescontarumaduplicatadevalornominalR$ 10.000,00comvencimentoprevistopara38dias.Sabendo-sequeobanco realiza tais operaes cobrando uma taxa de desconto de 5% ao ms, IOF alquota de 0,0041% ao dia e tarifa de cobrana de R$ 6,00, calcule: a.O valor dos juros cobrados antecipadamente (desconto); b.O valor do Imposto sobre Operaes Financeiras (IOF); c.O valor lquido creditado para a conta corrente da empresa. d.A taxa efetiva mensal paga pela empresa nesta operao. Dados VF = 10.000,00 n = 38 dias i = 5% a.m. = 0,05 IOF = 0,0041% a.d. Tarifa R$ 6,00 C = 10.000 juros IOF- tarifas 1.O valor dos juros 633,3330380,05 10.000 . . = = = n i VF Dd 2. Valor do IOF 14,59 R$ IOF38 0,000041 633,33) - (10.000 38 0,0041% D) - (VF IOF= = = 3.Valor lquido creditado para a empresa C = VF D IOF tarifas C = 10.000 633,33 14,59 6,00 C = R$ 9.346,07 4.Valor da taxa efetiva mensal no conceito de juros compostos O custo efetivo dessa operao ser calculado por meio da frmula demontantedejuroscompostos,considerando-secomoprincipal daoperaoovalorlquidocreditadoaotomadorecomovalor futuro o valo nominal do ttulo no vencimento. 100 11xVPVFin

|.|

\|=i =100 107 , 346 . 9000 . 1030381x

|.|

\| = 5,4842% aoms. 4.UmttulodeR$5.500,00foidescontadonobancoX,quecobra2% comodespesaadministrativa.Sabendo-sequeottulofoidescontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial de 40% a.a., qual o desconto bancrio? Quanto recebeu o proprietrio do ttulo? ( ) n i t VF Dd =e ( )660,00 R$ D0,12 5.500 0,02) (0,10 5.50002 , 0 31204 , 0500 . 5= = ==|.|

\| = =DDn i t VF Dd

( )4.440,00 0,88 5.500 VP3120,4- 0,02 - [1 5.500 VP. 1= == = = n i t VF VPd Noscasosdedescontocomercialebancrioprecisocalcularataxaque realmente est sendo cobrada na operao. Neste caso a taxa efetiva = 660,00/ 4.840,00 = 0,1364 a.t5456 , 0 ~a. a. DESCONTO RACIONAL A JUROS COMPOSTOS Odescontoracionaltambmconhecidocomodescontofinanceiro.dado pela diferena entre o valor futuro (valor nominal ou de resgate) e o valor atual (valorlquidoliberado)calculadoajuroscompostos.Ovalordodesconto calculado mutiplicando-se o VN pela taxa de juros composta acumulada. VP VF D = e ( )niVFVP+=1 Ento, ( )( )( )

+ += =+ =nnniiVF DiVFVF D11 11

Porexemplo:Suponhaqueumapessoadesejadescontarumanota promissria3mesesantesdoseuvencimento.Ovalornominaldestettulo de R% 50.000,00. Sendo de 4,5% ao ms a taxa de desconto racional, o valor lquido recebido (valor descontado) pela pessoa na operao atinge: ( ) ( )reais 83 , 814 . 43045 , 0 1000 . 5013 =+=+=niVFVP O valor descontado racional, por seu lado, soma a: reais 17 , 185 . 6 83 , 814 . 43 000 . 50 = =rD Porsetratardedescontoracional(pordentro),ataxaefetivadejurosa prpria taxa de desconto considerada, isto : ( )( )( )m aiiiii. % 5 , 4 11 045 , 1141166 , 1 1183 , 814 . 43000 . 50183 , 814 . 43000 . 501 83 , 814 . 43 000 . 50333333= = = ++ =+ == + = EXERCCOS RESOLVIDOS 1.CalculeodescontodeumttulodevalornominaligualaR$600,00, descontado cinco meses antes do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4% a.m. ( )niVFVF D+ =1 = ( )504 , 0 1600600+ = 106,84 2.Umaempresaantecipouem120diasodescontodeumanota promissriadeR$16.000,00,tendoumdescontofinanceirodeR$ 640,00. determinar a taxa de juros efetiva (anual) usada na operao ea taxa de desconto efetiva. Dados: VF= 16.000,00 D = 640,00 n = 120 i= ? de = ? ( )( )

+ +=nniiVF D11 1=640=16.000 ( )( )

+ +360123601211 1ii= ( ) 0416667 , 1 1 31= +ii= 13,03% a.a Nodescontofinanceiroataxadedescontoefetivaaprpriataxade juros efetiva embutida na operao i= de. 3.UmaduplicatacomvalorderesgatedeR$2.300,00foidescontada 160 dias antes de seu vencimento pelas regras do desconto financeiro composto.Calcularovalordodescontofinanceiro,ataxamensalde desconto,ovalorliberadoeataxadedescontoefetivanasseguintes hipteses sobre o tipo de taxa de juros aplicada na operao: a) juros de 24% a.a.; Dados: VF = 2.300,00, n = 160, i= 24%, j= 24% a.a., D= ?; de = ? C= ? Valor do desconto= ( )( )

+ +=nniiVF D11 1 = 2.300 ( )( )

36016036016024 , 11 24 , 1 = 209,71 Taxa mensal de desconto = df = ( )( )

36016036016024 , 11 24 , 1 xm a. % 71 , 116030= |.|

\| Valor liberado = C=VF-D = 2.300 209,71 = 2.090,29 Taxa de desconto efetiva =1 |.|

\|=nheVPVFd=. . % 2429 , 090 . 2000 . 2160360a a = |.|

\| h = perodo referencial da taxa i 4.Uma instituio financeira aplica uma taxa mensal de desconto de 7% a.am em operaes de desconto comercial com prazo de 90 dias. Qual taxa deve aplicar em operaes de desconto financeiro composto? dc = 7% a,m., n= 90, df? ( ) |.|

\|

+ =ni d hnc30. 1 10,07 =( ) |.|

\|

+9030. 1 1 hni=( ) 21 , 1 1 = + hni( ). . % 7851 , 5 21 , 107 , 01m aiddhncf==+= 5.Um banco emprestou R$ 1.000,00 a juros compostos efetivos de 24% a.a. A que taxamensaldedescontoo banco deve efetuar o desconto comercial de um ttulo com valor nominal de R$ 10.000,00 e com prazo de 60 dias ao vencimento de modo que obtenha o mesmo rendimento efetivo do emprstimo? Dados:i = 24% a.a. = 0,24, h = 360, n= 60, VF= 1.000,00, id = ? SeobancoemprestarR$1.000,00 peloprazode60diasajuros efetivos de 24%a.a, o rendimento ser: Juros = VF C = 1000(1 +0,24)36060 - 1.000 = 36,50 Calculodataxamensaldedescontoqueproporcionaomesmo rendimento efetivo: 24 , 1000 . 1016036060360=|.|

\|= + =|.|

\|VPdeVPVF C = R$ 9.647,83 de = 6030000 . 1083 , 647 . 9 000 . 10|.|

\| = 1,760842% a.a

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO OdescontocompostocomercialraramenteempregadonoBrasil,no apresentandouso prtico.O desconto comercial compostoimplicaa incidncia desucessivosdescontossobreovalornominal,oqualdeduzido,emcada perodo, dos descontos obtidos em perodos anteriores. Ovalorlquidoouvalorpresentenasoperaesdedescontocomercial composto pode ser definido por meio da seguinte expresso: C=VF(1i)nentocomodescontoadiferenaentreosvaloresfuturoe presente: D = VF C =VF [VF (1 i)n ] ou Dc =( )

+ 1 1 hni VFExemplo: UmttulodevalornominaldeR$35.000,00negociadomedianteuma operao de desconto composto por fora 3 meses antes do seu movimento. A taxadedescontoadotadaatinge5%aoms.Pede-sedeterminarovalor descontado, o desconto e a taxa de juros efetiva da operao. ( ) | |( ) | |( )( )12 , 008 . 3088 , 4991 35000Vou12 , 008 . 3005 , 0 1 350001 V descontado88 , 499105 , 0 1 1 350001 1:???. % 53000 . 35c3c3= = == = = == = == =====ccccnccncccVVP NVVd N ValorDDd N DDescontoiDVm a dmeses nN Taxa efetiva de juros: V=30.008,12 N=35.000,00 0 3 ( )( )( )m a iiiiii. % 26 , 51 0526 , 1166351 , 1 1112 , 008 . 3035000112 , 008 . 30350001 12 , 008 . 30 350003131331133= = = ++ = |.|

\|+ =+ = EXERCCIOS RESOLVIDOS 1.UmaduplicatanovalordeR$8.000,00foidescontadaparaquatro mesesantesdovencimento,aumataxadedescontocomercial compostoiguala3%a.m.Calculeovalorlquidodaoperaoeo desconto sofrido pelo ttulo. C= 8000 ( 1 0,03)4 = 7.082,34 D= 8000 7.082,31 = 917,66 2.Uma nota promissria, no valor de R$10.000,00 em seu vencimento foi descontada2mesesdeseuprazoderegate.Sabendo-sequeataxa dedescontocomercialerade28%a.a.qualfoiodesconto?Qualfoio valor atual comercial? Dados : VF= 10.000; i= 28% a.a; n= 2 meses = 2/12 D = VF.i.n D = 10.000 (0,28).2/12 = 466,67 C = VF (1 i)n = 10.000 (1 0,28)2/12 = 9.533,33

3.SeovalordescontadocomercialfordeR$14.195,00eoprazode antecipao for de 270 dias, qual ser o valor do ttulo no vencimento, considerando-se uma taxa de 22% a.a? Dados: C= 14.195,00; i = 22%a.a e n= 270 dias C = VF (1 i)n 14.195,00 = VF (1 0,22)270/360

14.195 = VF (0,78)270/360 VF = R$17.000,00 4.UmaempresarecebeuumanotapromissriadeR$20.000,00com vencimentoem120dias.Contudo,necessitandododinheiro,procura descont-laemumbancoque,aplicandodescontocomercial,prope liberarR416.000,00.Calcularataxadejurosefetivamensal exponencialusadapelobanconoclculododesconto,ataxamensal de desconto e a taxa de desconto efetiva exponencial. Dados:VF = 20.000,00; C = 16.0000. n= 120 dias, i = ?; dc = ? de= ? Clculo da taxa de juros mensal embutida na operao: Dc =( )

+ 1 1 hni VF4000= 20.000 [(1 +i)120/30 1] 412000040001

|.|

\|+ = i - 1 = 4,6635% a.m. Taxa mensal de desconto comercial: =|.|

\||.|

\|=n VFDdc30. % 512030.000 . 20000 . 4=|.|

\||.|

\| a.m. ou ( ) |.|

\|

+ =ni d hnc30. 1 1 Taxa de desconto efetiva exponencial: 1 |.|

\|=nheVPVFd== |.|

\|1000 . 16000 . 201203605,7371% a.m. 5.UmttulocomvalornominaldeR$2.000,00foidescontado comercialmenteutilizando-seumataxadejurosde28%a.a. ConsiderandoqueovalordodescontocomercialfoideR$55,62, determinaroprazodaoperao,ataxamensaldedescontoefetiva exponencial. Dados: VF= 2.000, D = 55,62, i= 28% a.a, n= ?, dc=? E de= ? Clculo do prazo: Dc =( )

+ 1 1 hni VF ( ) ( )( ) 02781 , 1 28 , 11000 . 262 , 5528 , 1 1 28 , 1 2000 62 , 55360360 360==|.|

\|+ = =

=nn n Aplicando logaritmos: 40 360 .28 , 1 log02781 , 1 log02781 , 1 log 28 , 1 log .360=||.|

\|= = =|.|

\|nndias Taxa mensal de desconto comercial: =|.|

\||.|

\|=n VFDdc30. 0208564 , 04030.000 . 262 , 55=|.|

\||.|

\| ou 2,086% a.m Taxa de desconto efetiva exponencial: 1 |.|

\|=nheVPVFd== |.|

\|138 , 1944000 . 24036028,8943% a.a. Taxa efetiva mensal: (1 + 0,288943)1/12- 1 = 2,1377% a.m