Aula pb 8_resumo

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da

De

cis

ão

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da

De

cis

ão

Uma empresa de construção utiliza semanalmente 100 unidades de um produto que adquire no mercado

internacional e do qual constitui stocks. A cada encomenda deste produto está associado um custo fixo

(independente da quantidade adquirida) de 100 €, enquanto que à manutenção em stock de uma unidade

deste produto a empresa associa um custo anual de 26€.

A empresa pretende adoptar a política da revisão cíclica, com um perído de revisão (intervalo de tempo

entre encomendas) de 4 semanas. O tempo de entrega das encomendas deste produto é aleatório, com

uma distribuição normal de média 4 semanas e desvio padrão 1 semana.

Exercício 16 - Enunciado

Gestão de Stocks

Política da revisão cíclica

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a) Se for definido um nível de enchimento de 900 unidades, qual a probabilidade de rotura?

b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de enchimento recomendaria?

c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade

em falta, determine em que condições o nível de enchimento de 900 unidades é preferível em relação ao

determinado na alínea b).

d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de

enchimento que recomendaria?

e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a

política do nível de encomenda), compare os resultados obtidos e comente. 1

I(t)

MCiclo i Ciclo (i+1) Ciclo (i+2)

Qi =M - I(ti) Qi+1

Qi

...

T+τi+1

T+τi+2


τi

τi+1

0

t

T T T

τi+2

M – Nível de enchimento

τi – Tempo de reposição ou entrega no ciclo i

T – Período ou comprimento do ciclo i

Qi – Quantidade encomendada --- e recebida –––

...

...

Si

Si+1

Si+2

Nota

O nível M (stock em mão mais o encomendado

no instante, ti, em que é feita a revisão cíclica)

tem que cobrir as necessidades até ao instante

em que a encomenda, colocada no ciclo (i+1)

seguinte, chega.

ti

S=M-µX

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Exercício 16 - Resolução

Gestão de Stocks


2

(Unidade de tempo: 1semana; 1 ano = 52 semanas)

Custo fixo de encomenda, 100 €/encomenda;

Custos de posse, 26 €/unid./ano 0.50 €/unid./semana;

Período de revisão (in

A

C

=

= =

Dados do problema

( )

tervalo de tempo entre encomendas), = 4 semanas

Procura por unidade de tempo (determinística): 100 unid./semana, 0;

Tempo de reposição/entrega (aleatória): , , com 4 sema

r

T

r

τ

σ

τ τ σ τ

= =

=∼N nas e 1 semana;τσ =

Ge

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3

( )Tempo de reposição/entrega (aleatória): , , com 4 semaττ τ σ τ =∼N nas e 1 semana;τσ =

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2 2

2 2 2

2 2

, ,

100 4 4 800 unid.

4 4 0 100 1 100 unid.

a

X X

X

T

X r

X T

X

com

r T

vidé

T r

ττ

τ

τ

µ σ

µ τ

σ σ

σ τ σ σ

+

+

= × + = × + =

=

= + × + ×

= + × + × =

Modelação da procura, , durante o tempo total

Nota

∼N

{ }

( ) ( ){ } ( )( ){ }( ){ }

'

'

2 22 ' '

2 2

,

,

T

T

E T T

E E T T

E

τ

τ

τ τ

τ τ τ

σ τ τ τ τ

τ τ σ

+

= +

= + = +

= − = + − +

= − =

Nota

Ge

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cis

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cis

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Gestão de Stocks


a) Se for definido um nível de enchimento M, de 900 unidades, qual a probabilidade de rotura, α?

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Dado nível de enchimento 900 unid., calcular probabilidade de rotura,

900 900 800= 900 , com e 1

100

1 1 1

1 1

1 0.8413 0.1587

X X

X X

M

XP X M P X P Z z Z z

P Z P Z

α

µ µα

σ σ

=

− − −> = > = > = = = =

> = − ≤

= − Φ

= − =

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4

b) Caso se pretenda um risco de rotura, α, da ordem dos 5%, que nível de enchimento M recomendaria?

α∴ = 0.1587 (15.9%)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )1

Dado 0.05, calcular nível de enchimento

Determinar valor de , , tal que

, com e

1 1 1 0.95

0.95 1.65

XX

X X

M

M M P X M

MXP X M P Z z Z z

P Z z P Z z z z z

z z

Mz

α α

αα α α

α α α α α

α α

α

α

α

µµ

σ σ

α α−

≅

> =

−−> = > = =

> = − ≤ ⇒ − Φ = ⇒ Φ = − ⇒ Φ =

⇒ = Φ ⇒ ≅

= 800 100 1.65XX X

X

M zαα α

µµ σ

σ

−⇒ = + = + × = 965 unid.

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Gestão de Stocks


c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que

condições o nível de enchimento, M, de 900 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).

( ) ( )

( ) ( )

'

3

'

3

2

Que torna 900 unid. preferível a 965

( )

52 52( ) ( ),

2

com quantidade média em falta ( ) ,

X

XX

MX

C M M

A r C rQK M C M M

Q Q

MM x M h x dx

µ η

µη σ ξ

σ

∞

= =

× × ≅ + × + − + ×

−= − =

∫

Custos totais por unidade de tempo ano

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5

( ) é fun

MX

u

σ

ξ

∫

( )

ção de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)

4 100 400 unidades

para = unidades

900 800(900) 100 100 1.0 100 0.0829 8.29

100

1(900)

Q Q T r

M

K

η ξ ξ

= ≅ × = × =

− = = = × =

=

Custos totais por unidade de tempo 900

( ) ( )

( ) ( )

'

3

'

3 '

3

00 100 52 100 5240026 900 800 (900)

400 2 400

100 100 52 100 52400 26 900 800 8.29 9100 107.8

400 2 400

C

CC

η× × ×

+ × + − + ×

× × × = + × + − + × = +

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Gestão de Stocks




( )

( ) ( )

( )

'

3

para = unidades

965 800(965) 100 100 1.65 100 0.0213 2.13

100

100 100 52 100 52400(965) 26 965 800 (965)

400 2 400

100 100 52 400

M

CK

η ξ ξ

η

− = = = × =

× × × = + × + − + ×

× ×

Custos totais por unidade de tempo 965

( )' 100 52C ×

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6

( )100 100 52 400 26

400 2

× ×= + × +

( )

( )

'

3

'

3

' '

3 3

100 52165 2.13

400

10790 27.7

900 preferível (900) (965)

(900) (965) (900) (965) 0

9100 107.8 10790 27.7 0

C

C

M K K

K K K K

C C

× + ×

= +

= ⇒ <

< ⇒ − <

⇒ + − + <

Condição de preferência

' '

3 3

1689 1689 80.1 0 21.09 €/unid.

80.1C C⇒ − + < ⇒ < =

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Gestão de Stocks




( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

1 2 1 2

' '

3 3

2 1 1 2 2 2

' '

3 3

2 1 1 2 2 2

( ) ( )

52 52 52 52( ) ( )

2 2

52 52( ) ( )

X X

X X

M M K M K M

A r C r A r C rQ QC M M C M M

Q Q Q Q

C r C rC M M C M M

Q Q

µ η µ η

µ η µ η

⇔ <

× × × × ⇒ + × + − + × < + × + − + ×

× ×⇒ × − + × < × − + ×

Condição de pr

Gener

eferência de sobre

aliza ão

ç

( )

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De

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7

2C⇒ × ( )( )

( )

( )( )( )

'

3

1 2 1 2

' 2 1 2

3

1 2

52( ) ( ) 0

52 ( ) ( )

C rM M M M

Q

C M M QC

r M M

η η

η η

×− + × − <

× − ×⇒ <

× −

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Gestão de Stocks


d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de enchimento que recomendaria?

( ) ( )

*

'

3

2

*

Calcular valor a recomendar para , , dado 400 unidades.

O valor a recomendar é a solução do

52 52 min. ( ) ( ),

2

cuja solução é o pon

XM

M M Q Q

A r C rQK M C M M

Q Q

M

µ η

= =

× × + × + − + ×

Problema de optimização

≜

to estacionário da função ( ), que satisfaz a equação seguinte:K M

Ge

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da

De

cis

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da

De

cis

ão

8

*cuja solução é o ponM

( ) ( )

( )

*

*

*

2 2

' '

3 3

*

to estacionário da função ( ), que satisfaz a equação seguinte:

( ) , ou a equação ( ) 1 .52 52

Por definição ( )

Introduzindo a mudança de variável

M

M

M

X

X

K M

C Q C Qh x dx h x dx

C r C r

h x dx P X M

XZ

µ

σ

∞

−∞

−∞

= = −× ×

= ≤

−=

∫ ∫

∫

( ) ( )

( )( )

( )

*

** * *

*2 2

' '

3 3

, vem , com ,

pelo que

( ) 1 152 52

X

X

M

MP X M P Z z z

C Q C Qh x dx P Z z

C r C r

µ

σ

−∞

−≤ = ≤ =

= − ⇔ ≤ = −× ×∫

Ge

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De

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Gestão de Stocks



( ) ( ) ( )( )

( )( )

*

* * 2

'

3

** *2

'

3

Se , , (Valores Tabela) e ( ) 1 é equivalente a52

1 , com 52

Resolvendo

M

X X

X

X

C QX P Z z z h x dx

C r

C Q Mz z

C r

C Q

µ σ

µ

σ

−∞≤ = Φ = −

×

−Φ = − =

×

∫∼N

Ge

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da

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Te

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De

cis

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9

( )

( )

* 1 2

'

3

* * 1 2

'

3

*

152

1 e 52

X X X X

X X

C Qz

C r

C QM z

C r

S M

µ σ µ σ

µ σ

−

−

= Φ −

×

= + = + Φ −

×

= − = Φ( )

1 2

'

3

152

C Q

C r

−

− ×

Ge

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De

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Gestão de Stocks



( )( ) ( )

( ) ( )

* 2

'

3

* * 1

*

26 400 21. 1 1 1 1 0.08 0.92

52 25 100 52 25

0.92 0.92 1.405

C Qz

C r

z z

M µµ σ

−

×Φ = − = − = − = − =

× × ×

Φ = ⇒ = Φ ≅

−= ⇒ = + × = + × =

Cálculos

Ge

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da

De

cis

ão

Ge

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da

De

cis

ão

10

** * *

*

2. 800 100 1.405 940.5 unidades

unidades

XX X

X

Mz M z

M

µµ σ

σ

−= ⇒ = + × = + × =

∴ = 940

Ge

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Te

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da

De

cis

ão

Ge

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o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks


e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a política do nível de encomenda),

compare os resultados obtidos e comente.

Política do nível de encomenda

(Exercício 11)


(Exercício 16)

α = 5%

Procura no tempo τ = 4 semanas

Nível de encomenda M = 565

Stock de segurança S = 565-400=165

Procura no tempo (T+τ) = 8 semanas

Nível de enchimento M = 965


Quadro resumo dos resultados

Ge

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Te

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da

De

cis

ão

Ge

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o e

Te

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da

De

cis

ão

11

α = 5% Stock de segurança S = 565-400=165

Quantidade encomendada Q = 400

Stock médio = 365



Stock médio =365

Procura no tempo τ = 4 semanas

Nível de encomenda M = 540

Stock de segurança S=540-400 = 140


Stock médio = 340

Procura no tempo (T+τ) = 8 semanas

Nível de enchimento M = 940



Stock médio = 340

'

3 25 €/unid.C =

2

QStock médio S= +

Conclusão: Não há diferenças nos stocks de segurança nem nos stocks médios, o que é de esperar pois

não há diferença na variabilidade da procura, ou seja, em ambos os exercícios (políticas) o desvio

padrão da procura nos tempos τ = 4 semanas e (T+τ) = 8 semanas são iguais e ( )1 1X

S σ α−= Φ −

Política do nível de encomenda (PNE) Política de revisão cíclica (PRC)

Procura X no tempo τ(tempo de reposição)

Procura no tempo (T+τ )

(Período de revisão + tempo de reposição)

Ge

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o e

Te

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da

De

cis

ão

Ge

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o e

Te

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da

De

cis

ão


Gestão de Stocks


e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a política do nível de encomenda),

compare os resultados obtidos e comente.

Análise comparativa das duas políticas

( )X PNErµ τ= × ( ) ( ) ( )X XPRC PNE

r T r T r T rµ τ τ µ= × + = × + × = ×+

( )'

2 3Dados : , , , , , ou , , , r

r T Q A C Cτσ τ σ α

Ge

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da

De

cis

ão

Ge

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da

De

cis

ão

12

Q T r= × Q T r= ×

( )X PNErµ τ= × ( ) ( ) ( )X XPRC PNE

r T r T r T rµ τ τ µ= × + = × + × = ×+

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

22 2

X X X XPRC PNE

X r XPRC PN

P

E

C PNE

r

R

TT r τσ τ σ σ σ

σ σ σ

σ

σ ≥ ⇔

= + × + × = + ×

≥( )2 2 2 2

X rPNEr τσ τ σ σ= × + ×

( ) ( ) ( )11PNE X XPNE PNE

S M µ σ α−= − = Φ −( ) ( ) ( )1 1PRC X XPRC PR

PRC PN

C

E

S M

S S

µ σ α−= − = Φ −

≥

( )1 1PNE X X X XM zαµ σ µ σ α−= + = + Φ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1PRC X X X XPRC PRC PRC PRC

M zαµ σ µ σ α−= + = + Φ −

2PNE

QS+

2PRC

QS+

Ge

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da

De

cis

ão

Ge

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o e

Te

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da

De

cis

ão

Uma empresa de construção aprovisiona uma artigo que utiliza a uma taxa de 300 unidades por mês. A

cada encomenda está associado um custo (fixo) de 150 €, sendo o tempo de entrega aleatório, com uma

distribuição normal de média 1 mês e desvio padrão 0.25 meses. O custo de aquisição é de 70

€/unidade, enquanto que o custo anual de posse (proporcional ao stock médio) foi estimado em 5% do

custo de aquisição do artigo. Sempre que se verifica rotura, existe um custo de 30 €/unidade em falta.

A empresa adoptou a política da revisão cíclica, com um nível de enchimento de 700 unidades e um

período de revisão de 1 mês.

Exercício 17 - Enunciado

Gestão de Stocks


Ge

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o e

Te

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da

De

cis

ão

Ge

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o e

Te

oria

da

De

cis

ão

a) Avalie a probabilidade de rotura por ciclo e o número médio destas ocorrências por ano.

b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com

a periodicidade mensal das encomendas).

13

Ge

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o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

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o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks


1

2

'

3

Custo fixo de encomenda, 150 €/encomenda;

Custo de aquisição, 70 €/unid.

Custo de posse, 0.05 70 3.50 €/unid./ano;

Custo de rotura, 30

A

C

C

C

=

=

= × =

=

Dados do problema

€/unid.

Período de revisão (intervalo de tempo entre encomendas), = 1 mês

Procura por unidade de tempo (determinística): 300 unid./mês, 0 unid./mês; r

T

r σ= =

Ge

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De

cis

ão

Ge

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Te

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da

De

cis

ão

14

Procura por unidade de tempo (determinística): 300 unid./mês, 0 unid./mês;

Tempo de reposição/entrega (aleatória):

rr σ= =

( ) , , com 1 mês e 0.25 mês;τ ττ τ σ τ σ= =∼N

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

, ,

com

300 1 1 600 unid.

0 300 0.25

a

X X

X

T

X r rT

X T

X

r T

T r T r

T r r

ττ

ττ

τ τ

τ

µ σ

µ τ

σ σ

σ τ σ σ τ σ σ

τ σ σ

+

+

+

= × + = × + =

=

= + × + × = + × + ×

= + × + × = × = × =

Modelação da procura, , durante o tempo de reposição

∼N

75 unid.

Ge

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o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

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o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks


a) Avalie a probabilidade de rotura por ciclo e o número médio destas ocorrências por ano.

( )

( ) ( ) ( )

Dado nível de enchimento 700 unid., calcular probabilidade de rotura, , e quantidade média em

falta, .

,

= 700 ,

700 700 600 100 4com e 1.X X

M

M

P X M P X P Z z

XZ z

α

η

α

α

µ µ

=

> = > = >

− − −= = = = = =

Probabilidade de rotura

3333

Ge

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o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

15

700 700 600 100 4com e 1.

75 75 3

X X

X X

XZ z

µ µ

σ σ

− − −= = = = = =

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

3333

1.3333 1 1.3333

1 1.3333

1 0.9087 0.0913

0.0913

,

75 1.3333 75 0.043 3.225 unid. em falta/ciclo

X

P Z P Z

M

M z

α

η

η σ ξ

ξ

> = − ≤

= − Φ

= − =

∴ =

=

= × ≅ × =

(9.13%)

Quantidade média em falta

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks


b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com a periodicidade mensal das

encomendas).

*Fixando (mantendo) periodicidade mensal , recomendar nível de enchimento ,

1. Fixar é equivalente a fixar a quantidade a encomendar em ,ou seja

1 300 300 unid./encomenda(ciclo).

2. O

T M M

T Q Q T r

Q Q T r

= = ×

= = × = × =

nível de enchimento a recomendar é a solução do Problema de optimização

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

16

2. O

( ) ( )'

3

2

*

nível de enchimento a recomendar é a solução do

52 52 min. ( ) ( ),

2

cuja solução é o ponto estacionário da função ( ), que satisfaz a eq

XM

A r C rQK M C M M

Q Q

M K M

µ η× ×

+ × + − + ×

Problema de optimização

≜

( )( )

*

*

2

'

3

** *2 2

' '

3 3

uação seguinte:

( ) 1 .

3. ( ) 1 1 , com 52

M

MX

X

C Qh x dx

C r

C Q C Q Mh x dx z z

C r C r

µ

σ

−∞

−∞

= −

−= − ⇒ Φ = − =

×

∫

∫

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks


b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com a periodicidade mensal das

encomendas).

( )( ) ( )

( ) ( )

* 2

'

3

* * 1

3.5 3001. 1 1 1 0.0097 0.9903

12 30 300 12

0.9903 0.9903 2.34

C Qz

C r

z z −

×Φ = − = − = − =

× × ×

Φ = ⇒ = Φ ≅

Cálculos

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

17

** * *

*

2. 600 75 2.34 775.5 unidades

unidades

XX X

X

Mz M z

M

µµ σ

σ

−= ⇒ = + × = + × =

∴ = 776

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Gestão de Stocks

Notas extras

( )

( )

( )

, ,

com procura no tempo de reposição e nível de encomenda ou de enchimento

0, se ,

( ), se

Procura variável aleatória:

x M

x M

x Mx M

x M x M

X X

η

η

µ

≤=

− >

Quantidade em falta

Quantidade média em falta ∼N ( )( )

( ) ( ) ( )

,

( ) , com

X X

XX

M

MM x M f x dx z z

σ

µη σ ξ

σ

∞ −= − = =∫

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

18

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 2

2 2

estandardizada :

1. ( ) 1 , 2.

1 1( ) , ( ) , '( ) ( )

2 2

XM

X

u

u uu

u

u x u x dx u u u u u u

u e u x dx u ue u u

σ

ξ

ξ φ φ ξ ξ

φ φ φ φπ π

∞

− −

−∞

= − = − − Φ − = +

= Φ = = − = −

∫

∫

∫

Função perdas normal

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1. ( ) ( ) ( ) '( ) 1 ( )

( ) 1 ( ) lim ( ) ( ( )) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 . . .

2. 1 1 1 1

u

u u u u

u x

u x u x dx x x dx u x dx x dx u x dx

x u u x u u u u u u u u u c q d

u u u u u u u u u u u u

ξ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

ξ φ φ φ ξ

∞ ∞ ∞ ∞

−∞

∞

→∞

= − = − = − − −

= − − − Φ = − − − − Φ = + − − Φ = − − Φ

− = − + − Φ − = + − − Φ = + + − Φ = +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

. . .c q d

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

21

, 12

xz z

z P Z z x dx e dx z zφπ

−

−∞ −∞Φ = ≤ = = Φ − = − Φ∫ ∫

( )zΦ

Anexo 1: Distribuição Normal

Função de distribuição de probabilidade - Φ(z)G

estã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.39894 0.39396 0.38902 0.38412 0.37926 0.37444 0.36966 0.36492 0.36022 0.35556

0.1 0.35094 0.34635 0.34181 0.33731 0.33285 0.32842 0.32404 0.31969 0.31539 0.31112

0.2 0.30689 0.30271 0.29856 0.29445 0.29038 0.28634 0.28235 0.27840 0.27448 0.27060

0.3 0.26676 0.26296 0.25920 0.25547 0.25178 0.24813 0.24452 0.24094 0.23740 0.23390

0.4 0.23044 0.22701 0.22362 0.22027 0.21695 0.21367 0.21042 0.20721 0.20404 0.20090

0.5 0.19780 0.19473 0.19170 0.18870 0.18573 0.18281 0.17991 0.17705 0.17422 0.17143

0.6 0.16867 0.16595 0.16325 0.16059 0.15797 0.15537 0.15281 0.15028 0.14778 0.14531

0.7 0.14288 0.14048 0.13810 0.13576 0.13345 0.13117 0.12892 0.12669 0.12450 0.12234

0.8 0.12021 0.11810 0.11603 0.11398 0.11196 0.10997 0.10801 0.10607 0.10417 0.10229

0.9 0.10043 0.09860 0.09680 0.09503 0.09328 0.09156 0.08986 0.08819 0.08654 0.08491

1.0 0.08332 0.08174 0.08019 0.07866 0.07716 0.07568 0.07422 0.07279 0.07138 0.06999

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

21

2

x

u uu x u x dx x u e dx

u u u

ξ φπ

ξ ξ

+∞ +∞ −

= − = −

− = +

∫ ∫

Anexo 2: Função de Perdas Normal ξ(u) estandardizadaG

estã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

1.0 0.08332 0.08174 0.08019 0.07866 0.07716 0.07568 0.07422 0.07279 0.07138 0.06999

1.1 0.06862 0.06727 0.06595 0.06465 0.06336 0.06210 0.06086 0.05964 0.05844 0.05726

1.2 0.05610 0.05496 0.05384 0.05274 0.05165 0.05059 0.04954 0.04851 0.04750 0.04650

1.3 0.04553 0.04457 0.04363 0.04270 0.04179 0.04090 0.04002 0.03916 0.03831 0.03748

1.4 0.03667 0.03587 0.03508 0.03431 0.03356 0.03281 0.03208 0.03137 0.03067 0.02998

1.5 0.02931 0.02865 0.02800 0.02736 0.02674 0.02612 0.02552 0.02494 0.02436 0.02380

1.6 0.02324 0.02270 0.02217 0.02165 0.02114 0.02064 0.02015 0.01967 0.01920 0.01874

1.7 0.01829 0.01785 0.01742 0.01699 0.01658 0.01617 0.01578 0.01539 0.01501 0.01464

1.8 0.01428 0.01392 0.01357 0.01323 0.01290 0.01257 0.01226 0.01195 0.01164 0.01134

1.9 0.01105 0.01077 0.01049 0.01022 0.00996 0.00970 0.00945 0.00920 0.00896 0.00872

2.0 0.00849 0.00827 0.00805 0.00783 0.00762 0.00742 0.00722 0.00702 0.00683 0.00665

2.1 0.00647 0.00629 0.00612 0.00595 0.00579 0.00563 0.00547 0.00532 0.00517 0.00503

2.2 0.00489 0.00475 0.00462 0.00449 0.00436 0.00423 0.00411 0.00400 0.00388 0.00377

2.3 0.00366 0.00356 0.00345 0.00335 0.00325 0.00316 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280

2.4 0.00272 0.00264 0.00256 0.00248 0.00241 0.00234 0.00227 0.00220 0.00213 0.00207

2.5 0.00200 0.00194 0.00188 0.00183 0.00177 0.00171 0.00166 0.00161 0.00156 0.00151

2.6 0.00146 0.00142 0.00137 0.00133 0.00129 0.00125 0.00121 0.00117 0.00113 0.00110

2.7 0.00106 0.00103 0.00099 0.00096 0.00093 0.00090 0.00087 0.00084 0.00081 0.00079

2.8 0.00076 0.00074 0.00071 0.00069 0.00066 0.00064 0.00062 0.00060 0.00058 0.00056

2.9 0.00054 0.00052 0.00051 0.00049 0.00047 0.00046 0.00044 0.00042 0.00041 0.00040

3.0 0.00038 0.00037 0.00036 0.00034 0.00033 0.00032 0.00031 0.00030 0.00029 0.00028

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

NOTA: Os valores desta Tabela foram calculados pela fórmula ξ(u) = φ(u)-u(1-Φ(u)), e não coincidem com os da Tabela 2 do livro de IO

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