Aula pb 4_resumo

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stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Gestão de Projectos

7 - Considere um empreendimento definido pelas actividades A a E para as quais as precedências directas, durações

médias (em dias), e variâncias (em dias2) são indicadas no quadro seguinte:

Exercício 7 - Enunciado

Actividade Precedência Duração média Variância

A - 10 4

B - 20 23

C A 16 4

D B 30 36

E C 25 8

Fernando DurãoFernando Durão

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são

Ge

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ori

a d

a D

eci

são

a) Trace a rede de actividades, determine o caminho crítico e respectiva duração média

b) Utilizando o método do PERT, calcule a probabilidade de o empreendimento durar:

b1) menos de 50 dias

b2) mais de 52 dias

b3) entre 50 e 52 dias

c) Calcule de forma exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses

simplificativas admitidas pelo PERT.

d) Qual a probabilidade do caminho crítico ser outro diferente do determinado na alínea a) ?

1

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a d

a D

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a d

a D

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são


Exercício 7 - Resolução


2 4C-16

i j(FTi,j)

Rótulo–,i jd

µ


Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

1

3D-30

5

E-2

5

(1)

Rede de actividades

2

Ge

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a d

a D

eci

são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são




2 4C-16

i j

TMCi TMTi TMCj TMTj

(FTi,j)

0 0

10 10 26 26

(0)

,i jdµRótulo–

Caminho crítico (C.C.): 1, A, 2, C, 4, E, 5

(A – C – E)


Ge

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a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

3D-30

5

E-2

520 21 51 51

(1)

(0)

Duração total, , do projecto (variável aleatória)

1) Média da distribuição da duração total do projecto, :

; 10 16 25 51 dias

2) Variância da distribuição da dur

T

T A C E T

T

T A C E

D

D d d d D

D

D d d d

µ

µ µ µ µ µ

= + +

= + + = + + =

( ) ( )

2

2 2 2 2 2 2

ação total do projecto, :

; 4 4 8 16 dias

3) Distribuição da duração total do projecto ( . . .):

, ; 51, 4

T

T A C E T

T T

D

D d d d D

a a

T D D T

T L C

D D

σ

σ σ σ σ σ

µ σ

= + + = + + =

∼ ∼N N

(A – C – E)

3

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ori

a d

a D

eci

são

Ge

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Te

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a d

a D

eci

são



b) Utilizando o método do PERT, calcule a probabilidade de o empreendimento durar:

b1) menos de 50 dias

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

50 51, com 50 dias, e 0.25

4

0.25 0.25 1 0.25 1 0.5987

T T

T T

T D D

T

D D

D xP D x P Z z x Z z

P Z z z

P Z

µ µ

σ σ

− − −< = < = = = = = −

< = Φ

< − = Φ − = − Φ = − = 0.40130.40130.40130.4013b2) mais de 52 dias

( ) ( )52 51

, com 52 dias, e 0.25T D DD x

P D x P Z z x Z zµ µ− − −

> = > = = = = =


Ge

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Te

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a d

a D

eci

são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

52 51, com 52 dias, e 0.25

4

1 1

0.25 1 0.25 1 0.25 1 0.5987

T T

T T

T D D

T

D D

D xP D x P Z z x Z z

P Z z P Z z z

P Z P Z

µ µ

σ σ

− − −> = > = = = = =

> = − ≤ = − Φ

> = − ≤ = − Φ = − = 0.40130.40130.40130.4013b3) entre 50 e 52 dias

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2 2 1 2 1

, com 50 dias, 52 dias

50 51 52 51, 0.25, 0.25

4 4

0.25 0.25 0.25 1 0.25 2 0.25 1

T T T

T T T

T

T D D D

D D D

P x D x P z Z z x x

D x xZ z z

P z Z z P Z z P Z z z z

P Z

µ µ µ

σ σ σ

< < = < < = =

− − −− −= = = = − = = =

< < = < − < = Φ − Φ

− < < = Φ − − Φ = × Φ −

2 0.5987 1= × − = 0.19740.19740.19740.19744

Ge

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a d

a D

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são

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a d

a D

eci

são



c) Calcule de forma mais exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses


2 4C-16

i j

TMCi TMTi TMCj TMTj

(FTi,j)10 10 26 26

(0)

,i jdµRótulo–


Ge

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a d

a D

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são

Ge

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Te

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a d

a D

eci

são

1

3D-30

5

E-2

5

0 0

20 21 51 51

(1)(0

)

Caminhos (sequências de arcos) de nó 1 para nó 5

I) A, C, E (Caminho crítico)

II) B, D (Caminho subcrítico)

Caminhos sem actividades comuns5

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são

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a d

a D

eci

são





) Médias das distribuições das durações dos caminhos e , e :

10 16 25 51 dias

20 30 50 dias

I II

I A C E

II B D

D D

D d d d

D d d

a I II

b

µ µ

µ µ µ µ

µ µ µ

= + + = + + =

= + = + =

( )

( )

2 2

2 2 2 2 2

) Variâncias das distribuições das durações dos caminhos e , e :

4 4 8 16 dias 16 4 dias

I II

I A C E I

D D

D d d d D

I II σ σ

σ σ σ σ σ= + + = + + = = =


Ge

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a d

a D

eci

são

Ge

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Te

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a d

a D

eci

são

( )2 2 2 2 23 36 59 dias 59 7.68 dias

) Distribuiçõe

II B D IID d d D

c

σ σ σ σ= + = + = = ≅

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )2 2

s das durações dos caminhos e :

, , 51, 4 ; , , 50, 7.68

: ,

) e são variáveis aleatórias independentes porque são somas di

I I II II

I II I II

a a a a

I D D I II D D II

I II D D D D

I II

I II

D D D D

D D

d D D

µ σ µ σ

µ µ σ σ± ± +Note bem

∼ ∼ ∼ ∼

∼

N N N N

N

( ) ( ) ( )

stintas de variáveis aleatórias

independentes (por hipótese ou aproximação), pelo que é válida a fórmula:

, , e das variáveis e

: Seja

I I II II I I II II I II I IIP D A D A P D A P D A A A regiões / intervalos D D

D

∈ ∈ = ∈ ∈

Note bem ,a duração total do projecto, então

1) ;

2) ( )

T

T I II

T I II

D x sse D x D x

D x sse D x D x inclusivo

≤ ≤ ≤

≥ ≥ ≥

e

ou ou6

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a d

a D

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a d

a D

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c1) menos de 50 dias

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ,

50 51 50 50com 50 dias, , , 0.25, 0.0

4 7.68

I II I II

I II I II

T I II I II I I II II

I D II D D D

I II I II

D D D D

P D x P D x D x P D x P D x P Z z P Z z

D D x xx Z Z z z

P Z z z

µ µ µ µ

σ σ σ σ

< = < < = < < = < <

− − − −− −= = = = = = − = = =

< = Φ

< < = Φ Φ = Φ − Φ


Ge

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a d

a D

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são

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Te

ori

a d

a D

eci

são

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.25 0.00

I I II II I IIP Z z P Z z z z< < = Φ Φ = Φ − Φ

( )( ) ( ) ( ) 1 0.25 0.00 1 0.5987 0.5

: Comparando esta probabilidade com a obtida na alínea b1), pode - se concluir que :

A probabilidade da duração do projecto ser à

= − Φ Φ = − × ≅

Note bem

inferior

0.20070.20070.20070.2007

duração do caminho crítico do método PERT,

determinado pelas durações médias das actividades, é relativamente à probabilidade

mais exacta, calculada tendo em conta caminhos alternativos c

sobreestimada

om probabilidade significativa de se

tornarem críticos.

7

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Te

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a d

a D

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são

Ge

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a d

a D

eci

são





c2) mais de 52 dias

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

,

52 51com 52 dias, , ,

4

I II I

T I II I II I II

I II I II

I I II II I I II II

I D II D D

I II I

P D x P D x D x P D x P D x P D x D x

P D x P D x P D x P D x

P Z z P Z z P Z z P Z z

D D xx Z Z z

µ µ µ

σ σ σ

> = > ∨ > = > + > − > >

= > + > − > >

= > + > − > >

− − − −= = = = =

52 500.25, 0.26

7.68

IID

II

xz

µ

σ

− −= = = ≅


Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

com 52 dias, , , 4

I II I

I II I

D D D

x Z Z zσ σ σ

= = = = =

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

0.25, 0.267.68

1 1 1 1

1 1 1 1 1 0.25 1 0.26 1 0.25 1 0.26

1 0.5987 1 0.6026 1 0.5987 1 0.6026

II

II

D

I I II II I I II II

I I II II I I II II

I II I II

z



z z z z

σ= = = ≅

> + > − > >

= − ≤ + − ≤ − − ≤ − ≤

= − Φ + − Φ − − Φ − Φ = − Φ + − Φ − − Φ − Φ

= − + − − − − = 0.630.630.630.63

: Comparando esta probabilidade com a obtida na alínea b2), pode - se concluir que :

A probabilidade da duração do projecto ser à duração do caminho crítico do método PERT,

determinado p

Note bem

superior

92929292

elas durações médias das actividades, é relativamente à probabilidade

mais exacta, calculada tendo em conta caminhos alternativos com probabilidade significativa de se

tornarem críticos.

subestimada

8

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a d

a D

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são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são





( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1 2 2 1

2

1

52 50

52 1 52 , com 52 0.6392 ( )

52 1 52 1 0.6392 0.3608

50 0.2007 ( )

50 52 52 50 0.3608 0.2007

T T T T T

T T T

T T

T

P x D x P D x P D x P D P D

P D P D P D sub alínea c

P D P D

P D sub alínea c

P D P D P D

< < = < − < = < − <

< = − > > = −

< = − > = − =

< = −

< < = < − < = − ≅ 0.16010.16010.16010.1601

c3) entre 50 e 52 dias


Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

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Te

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a d

a D

eci

são

( ) ( ) ( )50 52 52 50 0.3608 0.2007T T TP D P D P D< < = < − < = − ≅ 0.16010.16010.16010.1601

9

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Te

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a d

a D

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são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são



d) Qual a probabilidade do caminho crítico ser outro diferente do determinado na alínea a) ?

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 1

1

0 ,

0 0 50 51 1com e 0.1155

8.6659 16

1 1 1 0.1155 1 0.5458

II I II II

II I II I

II I II I

II I D D D D

D D D D

P

z z

D D P D D P Z z

z zz

D DZ z

P Z P Z z

z

z z

µ µ µ µ

σ σ σ σ

> = − > = >

− − − − − − −= = = = ≅

++ +

> = − ≤ = − Φ =

Φ − ΦΦ ≅ Φ +

−

− Φ ≅ − = 0.4540

( )1 Interpolação linearz z−


Ge

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Te

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a d

a D

eci

são

Ge

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Te

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a d

a D

eci

são

( ) ( )1

2 1

z zz z−

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

1 Interpolação linear

0.12 0.11 0.5478 0.54380.1155 0.11 0.1155 0.11 0.5438 0.0055 0.5460

0.12 0.11 0.01

z z

Φ − Φ −Φ ≅ Φ + − = + =

−

10

Ge

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Te

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a d

a D

eci

são

Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são


Exercício 8 - Enunciado

Foi nomeado coordenador de determinado estudo que é constituído, de acordo com a metodologia adoptada, por 11

actividades cujas durações médias (em dias) e variâncias (em dias2) se apresentam a seguir:

Duração

Actividade Precedência Média Variância

A C, E e H 21 8

B G 27 9

C I 14 6D - 15 0E D 25 8F B, C, E e H 14 5


Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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Te

ori

a d

a D

eci

são

F B, C, E e H 14 5G - 20 7H G, D 22 7I D 19 2J K 21 7K I 13 4

a) Em termos médios, qual a duração mínima para a execução deste estudo e indique quais as actividades críticas ?

b) Sabe-se que a actividade G tem uma duração que varia aleatoriamente entre um mínimo de 16 dias e um máximo de

28 dias. Considerando para as restantes actividades as durações médias indicadas no quadro acima, analise as eventuais

alterações do caminho crítico conforme a duração da actividade G percorre o seu domínio de variação.

c) Qual a probabilidade de a actividade J se tornar crítica ?

d) Dada a importância deste estudo, se ele só estiver concluído para além de 3 dias depois do valor determinado na a),

haverá uma multa de 100 000 €.

d1) Quanto estaria disposto a pagar por uma metodologia alternativa que garantisse a conclusão do estudo sem multa.

d2) Se o custo desta metodologia alternativa fosse de 30 000 €, aceitaria ? 11

Actividade Precedência Média VariânciaD - 15 0G - 20 7B G 27 9E D 25 8H G, D 22 7

Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



Duração

Tabela com actividades reordenadas


H G, D 22 7I D 19 2C I 14 6K I 13 4J K 21 7A C, E e H 21 8F B, C, E e H 14 5

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

12

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




2 7

i j(FTi,j)

,i jdµRótulo–

I-198

K-13


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

3B-27

4

9A-21

C-1

4

56H-22

J-21

Rede de actividades13

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




2 7

i j

TMCi TMTi TMCj TMTj

(FTi,j),i jdµRótulo–

I-198

K-13

15 15 34 34 47 48

(0) (1)


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

3B-27

4

9A-21

C-1

4

56H-22

J-21

0 0

20 26

20 26

48 48

69 69

48 55

Rede de actividades com Tempos Mais Cedo (TMC), Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos e folgas totais das

actividades calculados

(0)

(0)(6)

(8)

(1)

(11

)

(6) (7

)

14

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




2 7

i j

TMCi TMTi TMCj TMTj

(FTi,j),i jdµRótulo–

I-198

K-13

15 15 34 34 47 48

(0) (1)


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

3B-27

4

9A-21

C-1

4

56H-22

J-21

0 0

20 26

20 26

48 48

69 69

48 55

(0)

(0)(6)

(8)

(1)

(11

)

(6) (7

)

Rede de actividades com identificação do caminho crítico: 1, D , 2, I, 7, C, 5, A, 9

Média da dsitribuição da duração

total do projecto, :

15 19 14 21 69 dias

T

T D I C A

T

D

D d d d d

D

µ

µ µ µ µ µ

µ

= + + +

= + + + =

15

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



b) Sabe-se que a actividade G tem uma duração que varia aleatoriamente entre um mínimo de 16 dias e um máximo de

28 dias. Considerando para as restantes actividades as durações médias indicadas no quadro acima, analise as eventuais

alterações do caminho crítico conforme a duração da actividade G percorre o seu domínio de variação.

16 28, 6, 20

) 16 26, caminmho crítico único : , , ,

) 26, dois caminhos críticos : , , , e

, ,

G G G

G

G

d FT d

a d D I C A

b d D I C A

G H A

≤ ≤ = =

≤ <

=


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

, ,

) 26 G

G H A

c d< 28, caminho crítico único: , ,G H A≤

16

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




A actividade J pode tornar-se crítica se e só se o único caminho de nó 1 (evento início do projecto) para

o nó 9 (evento conclusão do projecto) que inclui a actividade J, consistindo da sequência das

actividades D-I-K-J, se tornar crítico.

Com excepção do caminho crítico D-I-C-A (tomando como durações das actividades as suas durações

médias) e do caminho subcrítico que inclui a actividade J (caminho D-I-K-J), todos os demais

caminhos de nó 1 para nó 9, consistem de sequências de actividades caracterizadas por folgas totais que

se podem considerar elevadas/significativas quando comparadas com os desvios padrão associados às


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

se podem considerar elevadas/significativas quando comparadas com os desvios padrão associados às

distribuições das durações.

Como aproximação, a resposta à questão fica assim reduzida ao cálculo da probabilidade da duração

total, DII, do caminho subcrítico D-I-K-J, igualar ou exceder a duração total, DI, do caminho crítico

D-I-C-A. Note, contudo, que as duas durações totais, DII e DI, não são somas distintas de variáveis

aleatórias independentes (as durações das actividades). Mas a diferença das duas durações totais é

uma soma algébrica de variáveis aleatórias independentes, permitindo invocar um dos Teoremas de

Limite Central (Lindeberg-Feller).

( ) ( )

( 0)

( 0)

II I D I K J D I C A

D I K J D I C A

K J C A

P D D P d d d d d d d d

P d d d d d d d d

P d d d d

≥ = + + + ≥ + + +

= + + + − − − − ≥

= + − − ≥17

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Segundo o Teorema de Limite Central (TLC de Lindeberg-Feller), a soma algébrica de n variáveis

aleatórias independentes com médias e variâncias finitas é uma variável aleatória que tende

assintoticamente para a distribuição Normal com média igual à soma algébrica das médias das variáveis

aleatórias independentes e variância igual à soma das variâncias das variáveis aleatórias independentes.

( )

( )2 2 2 2 2

Pelo , a soma tem como distribuição de probabilidade aproximada a

distribuição , ,

com média = 1 e variância 25.

K J C A

S S

TLC S d d d d

µ σ

µ µ µ µ µ σ σ σ σ σ

= + − −

= + − − − = + + + =

N


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

( )

com média = 1 e variância 25.

Em resumo ~ 1, 5 .

K J C A K J C AS d d d d S d d d d

a

S

µ µ µ µ µ σ σ σ σ σ= + − − − = + + + =

−N

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Assim ( ) ( 0)

0 1 1 ,

0 0 ( 1)com e 0.20

5

Concluindo (com cálculos)

( ) 0.20 1 0.20

1 0.20

II I K J C A

S S

S S

II I

P D D P d d d d

P S P Z z P Z z z

SZ z

P D D P Z P Z

µ µ

σ σ

≥ = + − − ≥

= ≥ = ≥ = − ≤ = − Φ

− − − −= = = =

≥ = ≥ = − ≤

= − Φ

1 0.5793 0.4207= − = 18

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são






Introduzir uma nova variável aleatória (discreta), que podemos designar por M (de Multa), e definida

como se segue:

0, ( 0) ( 3)

100000, ( 100000) 1 ( 0) ( 3)

69 dias

T T

T T

P M P D DM

P M P M P D D

D µ

= = ≤ +=

= = − = = > +

= =


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

( )

( )( ){ } ( )( )

{0,100000}

2

2 22

{

69 dias

Média (ou valor esperado) de , , dada por

= ( )

Variância de , , dada por

= ( )

TT D

M

M

x

M

M

x

D

M

M xP M x

M

M M x M P M x

µ

µ

µ

σ

σ

=

=

= =

= =

− = − =

∑E

E E E

0,100000}

∑

No âmbito da Estatística clássica, assente no paradigma da repetibilidade de uma experiência aleatória,

para um número suficientemente elevado de experiências, teremos pago, em média, uma multa igual ao

valor esperado da variável M, pelo que vale a pena pagar um custo adicional de até E(M) para garantir

a conclusão do projecto até 72 dias.19

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são






Fazendo contas, tem-se;

( )

1) Cálculo de ( 3) ( 72)

( 3) ( 72) ( )= ,

72 69com e 0.75

4

T

T T T

T T T

T D

P D D P D

P D D P D P Z z z

DZ z

µ

σ

≤ + = ≤

≤ + = ≤ = ≤ Φ

− −= = =


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

( )

4

( 72) 0.75 =0.7734

2) Cálculo de ( 0) e ( 100000)

( 0) ( 72) 0.7734

(

TD

T

T

P D

P M P M

P M P D

P M

σ

≤ = Φ

= =

= = ≤ =

=

( )

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 22

100000) 1 ( 72) 0.2266

3) Cálculo de

=0 ( 0) 100000 ( 100000) 0 0.7734 100000 0

4) Cálculo da variância de ,

= 0 22

.2266

660 ( 0) 100000 22660 ( ) 0 22660 0.7734 100000 226

M

T

M

P D

M

P M P M x

M

M P M P M

σ

σ

= − ≤ =

× = + × = = × + × =

− = + − = = − × + −

22660€22660€22660€22660€E

E

( )2

2

2

60 0.2266

1733383678€

41634€M Mσ σ

×

=

= =20

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são





d2) Se o custo desta metodologia alternativa fosse de 30 000 €, aceitaria ?

Vimos da resolução das alíneas b e c do exercício no. 7 que a P(DT > x), calculada com base no

caminho crítico determinado pelas durações médias das actividades, é subestimada face à

probabilidade P’(DT > x) que tem também em consideração caminhos subcríticos com probabilidade

significativa de se tornarem caminhos críticos.

Para além do caminho crítico D-I-C-A (caminho I), o caminho subcrítico D-I-K-J (caminho II) tem


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Para além do caminho crítico D-I-C-A (caminho I), o caminho subcrítico D-I-K-J (caminho II) tem

probabilidade significativa (igual a 0.4207) de se tornar caminho crítico (vidé resolução da alínea c),

pelo que se impõe a tentativa de cálculo mais exacto da probabilidade do acontecimento DT > 72 dias

(ou do acontecimento complementar DT ≤ 72 dias). O procedimento é similar ao desenvolvido nas sub-

alíneas c1 e c2 do exercício no. 7, com a importante diferença de as durações dos dois caminhos, DI e

DII, não serem agora variáveis aleatórias independentes, porque as durações de duas actividades (D e I)

serem comuns às somas de definição de DI e DII,

21

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são






( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

72 1 72 1 72, 72

Contudo 72, 72 72 72 , devendo usar-se probabilidades condicionais

72, 72 72 | 72 72 72 | 72 72

Substituindo

72, 72

T T I II

I II I II

I II I II II II I I

P D P D P D D

P D D P D P D

P D D P D D P D P D D P D

P D D P D

> = − ≤ = − ≤ ≤

≤ ≤ ≠ ≤ × ≤

≤ ≤ = ≤ ≤ ≤ = ≤ ≤ ≤

≤ ≤ = ( ) ( ) ( ) ( )72 | 72 72 72 , pois 0 < 72 | 72 1D P D P D P D D≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤ <


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

( )72, 72 I IIP D D P D≤ ≤ = ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

72 | 72 72 72 , pois 0 < 72 | 72 1

(Ter presente que a correlação entre os e é claramente positiva)

72, 72 72 | 72 72 72 ,pois 0 < 72 | 72 1

72,

II I I I II I

I II

I II I II II II I II

I

D P D P D P D D

D D

P D D P D D P D P D P D D

P D

≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤ <

≤ ≤ = ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤ <

∴ ≤( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

72 min 72 , 72 e

72 1 72, 72 1 min 72 , 72

69 72 6972 0.75 0.75 0.7734

4 4

68 72 6872 1.094 1.094 0.8445

13 13

72 1 72,

II I II

T I II I II

II

IIII

T I

D P D P D

P D P D D P D P D

DP D P P Z

DP D P P Z

P D P D D

≤ < ≤ ≤

> = − ≤ ≤ > − ≤ ≤

− − ≤ = ≤ = ≤ = Φ =

− − ≤ = ≤ = ≤ = Φ ≅

> = − ≤

Cálculos

( ) ( )72 1 min 0.7734,0.8445II ≤ − = 0.2266>>>> 22

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são






Probabilidades estimadas por simulação de Monte Carlo1

(Resultados de simulação com 5000 replicações/corridas)

( )

( )

( )

( ) ( )

0. 4126 (valor teórico: )

72 0.2240 (valor teórico: )

72 0.1258 (valor teórico: )

72 valor teórico:

0.4207

0.2266

0.1555

maior que 0.2260 6.3132

II I

I

II

P D D

P D

P D

P D

≥ ≅

> ≅

> ≅

> ≅


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

( ) ( )

( )

( )

72 valor teórico: maior que 0.226

7

0

2 | 72 0.290

6.313

9

72 | 72 0.163

2T

I II

II I

P D

P D D

P D D

> ≅

> > ≅

> > ≅ 4

1 Assumindo, adicionalmente, que as distribuições das durações das actividades são aproximadas por distribuições

normais com médias e variâncias dadas. Vidé slide seguinte com o código MATLAB

( )

( )

Com os valores estimados, por simulação, das probabilidades da variável

( 100000) ( 72) 0.3132

( 0) 1 ( 72) 0.6868,

o valor estimado de é

0 ( 0) 100000 ( 100000) 0 0.6868 10000

T

T

M

P M P D

P M P D

M

M P M P M

= = > =

= = − > =

≅ × = + × = = × +

E

E 0 0.3132 ,

pelo que aceitaria o custo de metodologia alternativa de 30 000 €.

× = 31320 €31320 €31320 €31320 €

23

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



ANEXO

Código MATLAB

% Médias, mu, e variâncias, s2, das distribuições das

durações das actividades A, C, D, I, K, J

mu_A = 21; s2_A = 8;

mu_C = 14; s2_C = 6;

mu_D = 15; s2_D = 0;

mu_I = 19; s2_I = 2;

mu_J = 21; s2_J = 7;

mu_K = 13; s2_K = 4;

% Número de replicações

N_Replicacoes = 5000;

% CONTINUAÇÃO

% Calcular vector das durações do projecto

D_T = max([D_I D_II]')';

% Calcular/estimar probabilidades marginais e

conjuntas

Prob_D_II_ge_D_I = …

length(find(D_II >= D_I))/N_Replicacoes *100

Prob_D_I_gt_72 =…

length(find(D_I > 72))/N_Replicacoes*100


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

N_Replicacoes = 5000;

% Inicializar vectores das durações dos caminhos I e II

D_I = zeros(N_Replicacoes,1);

D_II = zeros(N_Replicacoes,1);

% Gerar replicações por amostragem das distribuições

% normais que aproximam, por hipótese de trabalho, as

% distribuições das durações das actividades.

for i = 1:N_Replicacoes

d_D = mu_D+sqrt(s2_D)*randn(1,1);

d_I = mu_I+sqrt(s2_I)*randn(1,1);

d_C = mu_C+sqrt(s2_C)*randn(1,1);

d_A = mu_A+sqrt(s2_A)*randn(1,1);

d_K = mu_K+sqrt(s2_K)*randn(1,1);

d_J = mu_J+sqrt(s2_J)*randn(1,1);

% Calcular durações dos caminhos I e II

D_I(i) = d_D+d_I+d_C+d_A;

D_II(i) = d_D+d_I+d_K+d_J;

end

length(find(D_I > 72))/N_Replicacoes*100

Prob_D_II_gt_72 =…

length(find(D_II > 72))/N_Replicacoes*100

Prob_D_T_gt_72 =…

length(find(D_T > 72))/N_Replicacoes*100

Prob_D_I_gt_72_or_Prob_D_II_gt_72 = …

length(find(D_I > 72 | …

D_II > 72))/N_Replicacoes*100

Prob_D_I_gt_72_and_Prob_D_II_gt_72 = …

length(find(D_I > 72 & …

D_II > 72))/N_Replicacoes*100

% Calcular/estimar probabilidades condicionais

II = find(D_II > 72);

Prob_D_I_gt_72_Given_D_II_gt_72 =…

length(find(D_I(II) > 72))/length(II)*100

I = find(D_I > 72);

Prob_D_II_gt_72_Given_D_I_gt_72 =…

length(find(D_II(I) > 72))/length(I)*100

24

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

21

, 12

xz z

z P Z z x dx e dx z zφπ

−

−∞ −∞Φ = ≤ = = Φ − = − Φ∫ ∫

( )zΦ

Anexo : Distribuição Normal

Função de distribuição de probabilidade - Φ(z)G

est

ão

e T

eo

ria

da

De

cisã

oG

est

ão

e T

eo

ria

da

De

cisã

o

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

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