Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Teoria da Decisão

Num concurso para uma empreitada pública foi deliberado que a decisão de adjudicação seria baseada

em três critérios: preço, prazo e qualidade técnica da proposta.

Apresentaram-se 5 concorrentes, indicando-se no quadro abaixo as avaliações das propostas segundo os

critérios referidos (no referente à qualidade técnica das propostas, estas foram pontuadas numa escala de

0 a 100, em que 0 é a pior).

Exercício 14 – Enunciado Metodologia multicritério

PROPOSTASCusto

(106 euros)

Prazo

(meses)

Qualidade

Técnica

A 13 35 10

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

Na Comissão da Avaliação geraram-se os seguintes consensos:

-admitir que as funções de valor dos critérios “Custo” e “Prazo” são lineares,

-considerando apenas os critérios “Custo" e “Prazo", as propostas D e E são equivalentes,

-considerando apenas os critérios “Custo" e “Qualidade Técnica", as propostas A e B são

equivalentes.

A 13 35 10

B 15 32 85

C 17 38 100

D 16 30 90

E 15 32 0

(Continua)

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Teoria da Decisão

a) Faça uma análise de dominância.

b) Determine um sistema de pesos dos critérios que, para um método de soma ponderada, seja

compatível com aquelas avaliações.

c) Tendo em consideração as posições referidas na alínea anterior, utilizando um método compensatório,

faça uma proposta fundamentada da adjudicação.

d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos

Exercício 14 – Enunciado (Continuação) Metodologia multicritério

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos

dos outros dois critérios se mantém.

2

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 14 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

a) Faça uma análise de dominância.

PROPOSTASCusto

(106 euros)

Prazo

(meses)

Qualidade

Técnica (QT)

A 13 35 10

B 15 32 85

C 17 38 100

Matriz de impactos/níveis de desempenho

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

3

D 16 30 90

E 15 32 0

max/min 17/13 38/30 100/0

( ) max

max min

Função de valor linear para o critério : iPrazo PrazoPrazo V Prazo

Prazo Prazo

−=

−

( )Função de valor para o critério qualidade técnica ( ) : /100QT V QT QT=

( ) max

max min

Função de valor linear para o critério ( ) : ,

iCusto CustoCusto V Custo preferência crescente com custo

Custo Custo

−=

−

decrescente

Avaliação parcial: Associação de pontuações (valores cardinais numa escala predefefinida) aos níveis de

desempenho de cada critério por via da construção e aplicação de funções de valor.

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 14 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

PROPOSTASV(Custo)

[0, 1] *

V(Prazo)

[0, 1] *

V(QT)

[0, 1] *

A 1.00 0.375 0.10

B 0.50 0.75 0.85

C 0.00 0.00 1.00

D 0.25 1.00 0.90

a) Faça uma análise de dominância.Matriz de pontuações/valores

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

4

D 0.25 1.00 0.90

E 0.50 0.75 0.00

Resposta:

•Nenhuma proposta é a melhor segundo os três critérios considerados. A proposta A é a melhor no

critério Custo, a proposta D no critério de Prazo e a proposta C no critério de Qualidade Técnica.

•Nenhuma proposta é a pior segundo os três critérios considerados.

• A proposta E é dominada pela proposta B, porque a proposta E é pior que a proposta B no critério da

Qualidade Técnica e não é melhor nos restantes critérios. A proposta E pode ser eliminada em

posteriores considerações.

*Escala de intervalo alternativa: [0,100]

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 14 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

b) Determine um sistema de pesos dos critérios que, para um método de soma ponderada, seja compatível com aquelas avaliações.

As propostas D ( =4) e E ( =5) são equivalentes considerando os critérios 'Custo' ( =1) e 'Prazo' ( =2) :

Valores, , das propostas D ( 4) e E (( =5) segundo os critérios =1 e i

i i j j

V i i j j

•

=

Razões de compensação

( ) ( )4 1 4,1 2 4,2 5 1 5,1 2 5,2

4 5 1 4,1 2 4,2 1 5,1 2 5,2 1 4,1 5,1 2 4,2 5,2

=2 :

e

Equivalência 0

V V V V V V

V V V V V V V V V V

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

= + = +

⇒ = ⇔ + = + ⇔ − + − =

( )( )

( )( )

4,2 5,211.00 0.75 0.25

1 ( )0.25 0.50 0.25

V Vrazão de compensação

V V

λ

λ

− −⇒ = − = − = − =

− −−

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

5

( ) ( )2 4,1 5,1

1 ( )0.25 0.50 0.25

As propostas A ( =1) e B ( =2) são equivalentes considerando os critérios 'Custo' ( =1) e 'Qualidade Téc

razão de compensaçãoV V

i i j

λ⇒ = − = − = − =

− −−

•

( ) ( )

( )( )

( )( )

1 2 1 1,1 2 1,3 1 2,1 2 2,2 1 1,1 2,1 3 1,3 2,3

1,3 2,31

3 1,1 2,1

nica' ( =3)

Equivalência 0

0.10 0.85 0.75 3 1.5 ou (

1.00 0.50 0.50 2

j

V V V V V V V V V V

V Vrazã

V V

λ λ λ λ λ λ

λ

λ

⇒ = ⇔ + = + ⇔ − + − =

− − − ⇒ = − = − = − =

−−

1 2 3 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

)

, 1,2,3 (Resolver sistema de 3 equações lineares a 3 incógnitas)

21 1 8 3 8 3

3

2 2 2

3 3 3

j

o de compensação

jλ

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

=

+ + = + + = = =

= ⇔ = ⇔ = ⇔

= = =

Cálculo dos pesos

1

2 1 2

3 1 3

3

8

3

8

2 2 3 2

3 3 8 8

λ

λ λ λ

λ λ λ

=

= ⇔ =

= = × =

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 14 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

c) Tendo em consideração as posições referidas na alínea anterior, utilizando um método compensatório, faça uma proposta fundamentada

da adjudicação.

PROPOSTAS V(Custo) V(Prazo) V(QT)

A 1.00 0.375 0.10 0.54

3

,

1

i j i j

j

V Vλ=

=∑

Avaliação global por agregação aditiva simples (média ponderada) das pontuações parciais (método ou

estratégia compensatória).

Matriz de pontuações/valores

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

6

A 1.00 0.375 0.10 0.54

B 0.50 0.75 0.85 0.68

C 0.00 0.00 1.00 0.25

D 0.25 1.00 0.90 0.69

E 0.50 0.75 0.00 0.47

Pesos (λj) λ1=3/8 λ2=3/8 λ3=2/8 0.69 (D)

Resposta: A proposta a adjudicar é a proposta D, com um valor agregado de 0.69. A segunda melhor

proposta é a B, com um valor agregado de 0.68.

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 14 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos dos outros dois critérios se

mantém.

2

1 3 2

1 2 3 1 2 11 2 3

1 3 3 1 3 1

, 1,2,3 em função de (Resolver sistema indeterminado de 2 equações a 3 incógnitas)

(Exprimir e em função de )

21 11

3

3 2 2

2 3 3

j jλ λ

λ λ λ

λ λ λ λ λ λλ λ λ

λ λ λ λ λ λ

=

= − − = − −+ + =

⇔ ⇔ = = =

Pesos

( )

( )

1 2 1 2

3 1 3 2

5 31 1

3 5

2 21

3 5

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= − = −

⇔ ⇔ = = −

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

7

PROPOSTAS V(Custo) V(Prazo) V(QT)

A 1.00 0.375 0.10 V1 = 1×0.6× (1-λ2)+0.375×λ2 +0.1×0.4× (1-λ2) = 0.64 – 0.265λ2

B 0.50 0.75 0.85V2 = 0.50×0.6× (1-λ2) +0.75×λ2 +0.85×0.4× (1-λ2)

= 0.64 + 0.11λ2

C 0.00 0.00 1.00 V3 = 0×0.6× (1-λ2)+0×λ2 +1.0×0.4× (1-λ2)= 0.40 - 0.40λ2

D 0.25 1.00 0.90 V4=0.25×0.6× (1-λ2)+1.0×λ2 +0.9×0.4× (1-λ2) = 0.51 + 0.49λ2

E 0.50 0.75 0.00 V5 = 0.5×0.6× (1-λ2) +0.75×λ2 +0.0×0.4× (1-λ2)=0.30 + 0.45λ2

Pesos (λj) λ1=0.6(1-λ2) λ2 λ3=0.4(1-λ2)

2 3 3 3 5

3

,

1

i j i j

j

V Vλ=

=∑

Matriz de pontuações/valores

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 14 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos dos outros dois critérios se

mantém.

Análise de sensibilidade ao peso λ2 (Critério “Prazo”)

= A

, B

, C

, D

, E

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

8

λ2 ≅ 0.34

Proposta B

Proposta D

Va

lor

da

pro

po

sta

Vi, i

= A

, B

, C

, D

, E

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Teoria da Decisão

No programa de concurso de uma obra de engenharia civil são indicados os três seguintes critérios de

avaliação das propostas concorrentes, por ordem decrescente de importância : preço (C1), qualidade

técnica (C2) e situação económico-financeira do concorrente (C3).

Apresentaram-se a concurso 5 empresas (A1 a A5) e na matriz multicritério seguinte indicam-se as

performances dos concorrentes para os três critérios. As performances segundo C1 vêm expressas em

milhares de euros e as performances segundo C2 e C3 são pontuações atribuídas pelo júri numa escala

crescente de 0 a 100, após análise das propostas. O júri decidiu ainda que a função de valor em termos

de preço (x) é do tipo

Exercício 20 – Enunciado

( )

1

2max 100 ix x

V x −

= ×

Metodologia multicritério

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

de preço (x) é do tipo

9

(Continua)

C1 C2 C3

A1 1560 75 60

A2 1500 80 40

A3 1410 65 80

A4 1380 50 50

A5 1350 55 55

( )max min

100V xx x

= × −

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Teoria da Decisão

a) Faça uma análise de dominância do problema.

b) Que decisão recomendaria caso se adoptassem pesos 0.45, 0.30 e 0.25 para C1, C2 e C3,

respectivamente.

c) Faça uma análise de sensibilidade ao peso atribuído a C1, admitindo que se mantém a proporção entre

os pesos de C2 e C3.

Exercício 20 – Enunciado (Continuação) Metodologia multicritério

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

10

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 20 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

a) Faça uma análise de dominância do problema.

V(C1)

[0, 100]

V(C2)=C2

[0, 100]

V(C3)=C3

[0, 100]

A1 0.00 75 60

A2 53.45 80 40

A3 84.52 65 80Função de valor para o (descritor do)

Matriz de pontuações/valoresAvaliação parcial: Associação de

pontuações (valores cardinais

numa escala predefefinida) aos

níveis de desempenho de cada

critério por via da construção e

aplicação de funções de valor.

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

11

A4 92.58 50 50

A5 100.00 55 55

MIN 0.00 50 40

MAX 100.00 80 80

( )

1

1

21max 1

1

1max 1min

Função de valor para o (descritor do)

critério C

100 iC CV C

C C

−= ×

−

Resposta:

•Nenhuma empresa é a melhor segundo os três critérios considerados. A empresa A5 é a melhor no critério Custo (C1),

a empresa A2 no critério da Qualidade Técnica (C2) e a empresa A3 no critério da situação económico-financeira (C3).

•Nenhuma proposta é a pior segundo os três critérios considerados. A empresa A1 é a pior no critério Custo (C1), a

empresa A4 no critério da Qualidade Técnica (C2) e a empresa A2 no critério da situação económico-financeira (C3).

•A proposta da empresa A4 é dominada pela proposta da empresa A5 pois, comparativamente, apresenta piores

valores para todos os critérios considerados. A proposta da empresa A4 pode ser eliminada/removida.

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 20 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

b) Que decisão recomendaria caso se adoptassem pesos 0.45, 0.30 e 0.25 para C1, C2 e C3, respectivamente.

V(C1) V(C2)=C2 V(C3)=C3

A1 0.00 75 60 36.75

3

,

1

i j i j

j

V Vλ=

=∑

Matriz de pontuações/valores

Avaliação global por agregação aditiva simples (média ponderada) das pontuações parciais (método ou

estratégia compensatória).

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

12

A2 53.45 80 40 58.05

A3 84.52 65 80 77.53

A4 92.58 50 50 69.16

A5 100.00 55 55 75.25

Pesos (λj) 0.45 0.30 0.25 77.53 (A3)

Resposta: A empresa com a melhor proposta é A3, com uma pontuação/valor agregado de 77.53.

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 20 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

c) Faça uma análise de sensibilidade ao peso atribuído a C1, admitindo que se mantém a proporção entre os pesos de C2 e C3.

1

2 3 1

1 2 3 3 1 2 3 1 3

2 3 2 3 2 3

, 1,2,3 em função de (Resolver sistema indeterminado de 2 equações a 3 incógnitas)

(Exprimir e em função de )

61 1 1

5

6 6 6

5 5 5

j jλ λ

λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

=

+ + = = − − = − −

⇔ ⇔ = = =

Pesos

( )

( )

3 1 3 1

2 3 2 1

11 51 1

5 11

6 61

5 11

λ λ λ λ

λ λ λ λ

= − = −

⇔ ⇔ = = −

3

∑

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

13

V(C1) V(C2)=C2 V(C3)=C3

A1 0.00 75 600.00×λ1+75×6/11×(1-λ1) + 60×5/11×(1-λ1)

=68.18 – 68.18*λ1

A2 53.45 80 4053.45×λ1+80×6/11×(1-λ1) + 40×5/11×(1-λ1)

=61.81 – 8.37*λ1

A3 84.52 65 8084.52×λ1+65×6/11×(1-λ1) + 80×5/11×(1-λ1)

=71.82 + 12.70*λ1

A4 92.58 50 5092.58×λ1+50×6/11×(1-λ1) + 50×5/11×(1-λ1)

=50 + 42.58*λ1

A5 100.00 55 55100.00×λ1+55×6/11×(1-λ1) + 55×5/11×(1-λ1)

=55 + 45*λ1

Pesos (λj) λ1 λ2 =6/11×(1-λ1) λ3 =5/11×(1-λ1)

3

,

1

i j i j

j

V Vλ=

=∑

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Exercício 20 - Resolução

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

c) Faça uma análise de sensibilidade ao peso atribuído a C1, admitindo que se mantém a proporção entre os pesos de C2 e C3.

Análise de sensibilidade ao peso λ1 (Critério Custo)

, A

3,

A4,

A5

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

14

λ1≅0.52

Proposta empresa A3

Proposta empresa A5Va

lor

da

pro

po

sta

Vi, i

= A

1,

A2,

A