Curso: Ciência da Computação

Disciplina: Matemática Discreta

3. CONJUNTOS

Prof.: Marcelo Maraschin de Souza

3. Conjuntos

Definição: Um conjunto é uma coleção desordenada

de zero ou mais objetos, denominados

elementos do conjunto. Dizemos que um

conjunto contém seus elementos.

• Em geral, trata-se de uma estrutura discreta,

usada para construir outras estruturas;

• O propósito fundamental é o de agrupar

elementos.

3. Conjuntos

3.1 Notação: Indicamos um conjunto, em geral, com

uma letra maiúscula e um elemento com letra

minúscula.

Se A é um conjunto e x pertence a A, esse fato é

denotado por: 𝑥 ∈ 𝐴.

Se, por outro lado, tivermos que x não pertence

ao conjunto A, escrevemos: 𝑥 ∉ 𝐴.

3. Conjuntos

Exemplos:

1. Se A={violeta, verde, marrom}

Então, verde ∈ 𝐴 e amarelo ∉ 𝐴

2. Seja A = {conjunto das vogais}={a,e,i,o,u}

a ∈ 𝐴

g ∉ 𝐴

3. Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos

elementos. Ou seja,

𝐴 = 𝐵 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 (∀𝑥)[ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ^(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)]

Conjunto finito: seja um conjunto com n elementos,

n ∈ ℤ+ , para representa-lo basta listar todos os

elementos.

Conjunto infinito: embora seja impossível representar

todos elementos de um conjunto infinito, para alguns

conjuntos podemos indicar a forma geral, indicando os

primeiros termos.

3. Conjuntos

Conjunto infinito: exemplos:

• A={2,4,6,...}

• B={0,1,2,3,4,...}

• C={2,4,8,16,..}

Ou podemos representar por uma relação de

recorrência.

• 2 ∈ 𝐴• se 𝑛 ∈ 𝐴, então 𝑛 + 2 ∈ 𝐴

Temos, A={2,4,6,...}

3. Conjuntos

Conjunto infinito: exemplos:

• 0 ∈ 𝐵• se 𝑛 ∈ 𝐵, então 𝑛 + 1 ∈ 𝐵

Temos, B={0,1,2,...}

• 2 ∈ 𝐶• se 𝑛 ∈ 𝐶, então 2𝑛 ∈ 𝐶

Temos, C={2,4,8,16...}

3. Conjuntos

A descrição um conjunto, pode ser feita de

várias maneiras, conforme segue.

a) Enumerando seus elementos, entre chaves:

Exemplos:

1) V = { a, e, i, o, u}

2) I = {1, 3, 5, 7, 9, …}

3) D = {0, 1, 2, 3, …, 9}

4) Q = {0, 1, 4, 9, 25, 36, …}

5) P = {2, 3, 5, 7, 11, ...}

3. Conjuntos

b) Quando conhecemos uma certa propriedade

característica de seus elementos:

Escrevemos A = {x|P(x)}, x tem um predicado P. Ou

seja,A = {x|P(x)} significa (∀𝑥)[(x ∈ S → P(x))^(P(x) → x ∈ S)]

Exemplo:

A={x|x é um inteiro positivo par}

“O conjunto de todos os x tais que x é um inteiro

positivo par”

3. Conjuntos

Exemplos

1) L = {x|x é aluno do 1º semestre do Curso de CC}

2) D = {x|x é inteiro positivo menor que 10}

3) N = {x|x é número natural e 4 < x < 3500}

4) M = {x|x é múltiplo de 5}

5) P = {x|x é um número real}

3. Conjuntos

c) Por uma relação de recorrência:

Exemplos:

1) Sequência de Fibonacci

F(1) = 1

F(2) = 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2), para n > 2

2) 1 ∈ 𝑆Se 𝑥 ∈ 𝑆, então 𝑥 + 2 ∈ 𝑆

3. Conjuntos

Exercício 1: Julgue se os conjuntos são finitos ou

infinitos:

a) Conjunto das letras do alfabeto;

b) P = {y | y = 2x e x ∈ N}

c) M = {x ∈ N | x > 0 e x < 6}

d) O conjunto do números naturais.

3. Conjuntos

Exercício 2: Descreva cada um dos conjuntos a seguir

listando seus elementos:

a) A={x|x é um inteiro e 3 < x < 8}

b) B={x|x é um mês com exatamente 30 dias}

c) C={x|x é a capital do Brasil}

d) D={x|(∃𝑦)(𝑦 ∈ 0,1,2 𝑒 𝑥 = 𝑦³)}e) E={𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑒 (∃𝑦)(𝑦 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 ≤ 𝑦)}f) F={𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑒 (∀𝑦)(𝑦 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 ≤ 𝑦)}

3. Conjuntos

Exercício 3: Descreva cada um dos conjuntos a seguir

através de uma relação de recorrência.

a) A={2,4,16,256,...}

b) B={1,3,9,27,...}

c) C={2,3,5,7,11,...}

3. Conjuntos

d) Diagrama de Euler-Venn:

3. Conjuntos

Conjuntos importantes:

1) Conjunto Unitário: é um conjunto que possui um

único elemento.

Exemplos:

i) Conjunto das soluções da equação 5x + 4 = 19.

ii) Conjunto de todos os números que são pares e

primos simultaneamente.

Exercício:

Dê um exemplo de conjunto unitário.

3. Conjuntos

2) Conjunto vazio: é um conjunto que não possui

elemento algum. Notação: A = { } = ∅

Exemplos:

i) Conjunto dos brasileiros com mais de 400 anos.

ii) {x|x é ímpar e múltiplo de 2}

Exercício:

Dê um exemplo de conjunto vazio.

3. Conjuntos

3) Conjuntos Numéricos:

a) Naturais: ℕ = {0,1,2,3,… }

b) Inteiros:

c) Racionais:

d) Irracionais: {x|x não pode ser escrito na forma de

fração, com p e q inteiros}

e) Reais(ℝ): é a reunião dos racionais com irracionais.

f) Complexos (ℂ): tem a forma a + bi, com 𝑖²=-1

3.2 Subconjuntos

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e

somente se, todo elemento de A também é

elemento de B.

Dizemos neste caso que A está contido em B, ou

ainda, que B contém A.

Se existe

𝑏 ∈ 𝐵 𝑒 𝑏 ∉ 𝐴, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 ⊂ 𝐵

Neste caso A é um subconjunto próprio de B.

OBS.: 𝐴 ⊆ 𝐴 𝑒 ∅ ⊆ 𝐴

A ⊆ B ↔ (∀x)(x ∈ A → x ∈ B)

3.2 Subconjuntos

OBS.: Um conjunto pode possuir outro conjunto

como um elemento.

3.2 Subconjuntos

Exercício 1: Sabendo que

𝐴 = 𝑥 𝑥 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 ≥ 5𝐵 = {10, 12, 16, 20}

𝐶 é dado pela relação de recorrência:

1 ∈ 𝐶 𝑒 𝑠𝑒 𝑛 ∈ 𝐶, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 2𝑛 ∈ 𝐶

Quais proposições são verdadeiras?

a) 𝐵 ⊂ 𝐶b) 𝐵 ⊄ Ac) 𝐶 ⊂ 𝐴d) ∅ ⊄ Ae) 𝐵 ⊆ 𝐵f) 𝐴 ⊆ 𝐵g) 𝐵 ⊆ 𝐴h) 5 ⊂ 𝐴i) {10} ⊂ 𝐶

3.2 Subconjuntos

Exercício 2: Sejam

𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0}e

𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 4}

Prove que 𝐴 ⊂ 𝐵.

3.2 Subconjuntos

Conjuntos iguais: dois conjuntos são iguais se todo

elemento de A pertence a B e vice-versa, ou

seja eles possuem os mesmos elementos.

Formalmente,

Exemplos

A = B ↔ ∀ x (x ∈A ↔ x ∈B)

3.2 Subconjuntos

Exercício: Sejam

𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑒 𝑥2 < 15}e

𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑒 2𝑥 < 7}

Prove que 𝐴 = 𝐵.

3.2 Subconjuntos

Conjuntos de conjuntos: para um conjunto S,

podemos formar um novo conjunto cujos

elementos são os subconjunto de S. Esse

conjunto é chamado conjunto das partes de S,

denotamos por ℘ 𝑆 .

Exemplo: S={0,1}, então o conjunto das partes é dado

por:

℘ 𝑆 = {∅, 0 , 1 , {0,1}}

Exercício: Para A={1,2,3}, qual é o ℘ 𝐴 ?

Exercício: Se S tem n elementos, então ℘ 𝑆 tem

quantos elementos?

3.2 Subconjuntos

Definição(Cardinalidade): Seja A um conjunto. Se

existem exatamente n elementos distintos em A,

com n ≥ 0, então dizemos que A é um conjunto

finito e que n é a cardinalidade de A.

OBS.: A cardinalidade de A é denotada por |𝐴|.

Exemplos:

1) A = {x | x é inteiro ímpar e x < 10}. Logo, |A| = 5.

2) B = {x | x é uma letra do alfabeto}. Logo, |B|= 26.

3) P = {x | x é primo e x < 30}. Logo, |P| = 10.

4) C = ∅ . Como o conjunto vazio não possui elementos,

Então |∅ | = 0.

Questão POSCOMP 1

a) Somente as afirmativas I e II são corretas;

b) Somente as afirmativas I e IV são corretas;

c) Somente as afirmativas III e IV são corretas;

d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas;

e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas;

Exercícios

Questões 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 22, 26 de Gersting

3.3 Operações em conjuntos

União: Dados os conjuntos A e B chama-se união ou

reunião de A e B, denotada por A ∪ B, ao conjunto

formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

Formalmente:

Exemplos:

1) Sejam A = {1, 2, 4} e B = {1, 3, 5}.

A ∪ B = {1, 2, 4} ∪ {1, 3, 5}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

2)

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }

3.3 Operações em conjuntos

Interseção: Dados os conjuntos A e B a interseção de A e

B, denotada por A ∩ B, é o conjunto formado pelos

elementos que pertencem a A e a B.

Formalmente:

Exemplos:

1) Sejam A = {1, 2, 4} e B = {1, 3, 5}.

A ∩ B = {1, 2, 4} ∩ {1, 3, 5}

A ∩ B = {1}

2)

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }

3.3 Operações em conjuntos

Conjuntos Disjuntos: Dois conjuntos A e B são disjuntos

se A ∩ B = ∅ .

Exemplos:

1) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8}.

A ∩ B = elementos em comum entre A e B

A ∩ B = ∅Logo, A e B são disjuntos.

2)

1 3 7

9 613 2

4

AB

3.3 Operações em conjuntos

Diferença: Dados os conjuntos A e B. A diferença A − B

ou A \ B contém os elementos que estão em A mas não

estão em B.

Formalmente:

Exemplos:

1) Sejam A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f, g}.

A \ B = {a, b}

2)

3.3 Operações em conjuntos

Complementar: Dados os conjuntos A e U(universo). O

complementar de A em relação a U é o conjunto

formado pela diferença U − A.

Formalmente:

Exemplos:

1) Seja A = {a, e, i, o, u}, onde o conjunto U são as

letras do alfabeto.

2)

Exercícios

Sejam

𝐴 = 𝑥 𝑥 é 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑛ã𝑜 − 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑟𝐵 = 𝑥 ∃𝑦 𝑦 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 = 2𝑦 + 1𝐶 = {𝑥|(∃𝑦)(𝑦 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 = 4𝑦)}

Julgue a veracidade de cada alternativa:

a) 𝐴 ∪ 𝐵b) 𝐴 = 𝐵c) 𝐶 ⊂ 𝐴d) 𝐴 ∪ 𝐶e) 𝐴 − C = {x|(∃𝑦)(y ∈ ℕ 𝑒 x = 4y + 2)}

Exercícios

Sejam

𝐴 = {1,2,3,5,10}𝐵 = {2,4,7,8,9}𝐶 = {5,8,10}

Se S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, encontre:

a) 𝐴 + 𝐶b) 𝐴 ∪ 𝐵c) 𝐴 − 𝐶d) 𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)e) 𝐶

Questão POSCOMP 2

a)

3.3 Operações em conjuntos

Resumindo:

3.3 Operações em conjuntos

3.3 Operações em conjuntos

3.3 Exemplos

Podemos utilizar as identidades básicas envolvendo

conjuntos para provar que

𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅

1. { 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 } ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (associat.)

2. { 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ 𝐴 } ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (comutat.)

3. [ 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ 𝐴 ∩ 𝐴 ] ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (distributividade)

4. [ 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ ∅] ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (complemento)

5. 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (elemento neutro)

6. ∅ (complemento)

3.3 Exercício

Podemos utilizar as identidades básicas envolvendo

conjuntos para provar que

𝐶 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ [ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶] = 𝐴 ∪ 𝐵

3.3 Exercício

Podemos utilizar as identidades básicas envolvendo

conjuntos para provar que

𝐶 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ [ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶] = 𝐴 ∪ 𝐵

1. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ [ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶] (comut.)

2. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ (𝐶 ∪ 𝐶) (distrib.)

3. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝑆 (complemento)

4. 𝐴 ∪ 𝐵 (elemento neutro)

3.3 Operações em conjuntos

Produto cartesiano: Sejam A e B subconjuntos de S. O

produto cartesiano de A e B, denotado por 𝐴 × 𝐵, édefinido por

𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 ^ 𝑦 ∈ 𝐵}

Exemplo: sejam A={1,2} e B={3,4}

a) Encontre A x B

b) Encontre B x A

c) Encontre A²

3.3 Operações em conjuntos

Produto cartesiano de n conjuntos: Sejam A

subconjunto de S. O produto cartesiano de A, ..., A,

é o conjunto das n-uplas ordenadas

𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 , onde 𝑎𝑖 ∈ 𝐴,

𝐴 × 𝐴 ×⋯× 𝐴 = {(𝑎1, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ 𝐴 }

Exemplo:

Sejam A = {0, 1}, B = {1, 2} e C = {0, 1, 2}. Apresente:

𝐴 × 𝐵 × 𝐶 𝐴2 × 𝐵 A³

3.4 Conjuntos enumeráveis e não-

enumeráveis

Um conjunto é dito contável, quando podemos contar,

ou enumerar, todos os seus elementos. Ser contável não

significa que podemos dizer qual o número total de

elementos do conjunto; significa que podemos dizer

“aqui está o primeiro elemento”, “aqui está o segundo

elemento”, e assim por diante.

Todo conjunto finito é contável pois podemos ordenar

seus elementos em uma lista como a seguinte, onde

cada elemento da lista representa um elemento do

conjunto:

s1, s2, s3, ..., sn

3.4 Conjuntos enumeráveis e não-

enumeráveis

Um conjunto infinito também pode ser contável, desde

que tenhamos uma relação biunívoca com o números

naturais. Ou seja, podemos relacionar cada elemento

desse conjunto infinito com um elemento dos números

naturais.

Um conjunto é dito enumerável, quando for infinito e

contável.

3.4 Conjuntos enumeráveis e não-

enumeráveis

Para verificar se um conjunto é enumerável precisamos

organizar uma lista de seus elementos.

Exemplos:

Verifique que os conjuntos a seguir são enumeráveis:

1) Conjunto dos números ímpares positivos.

2) Conjunto dos múltiplos de 5.

3) Conjunto dos números naturais.

4) Conjuntos dos números inteiros.

3.4 Conjuntos enumeráveis e não-

enumeráveis

Os conjuntos infinitos que não podem ser enumerados

são não-enumeráveis.

Exemplos:

1) O conjunto de todos os reais entre 0 e 1.

2) Um intervalo de números reais.

3) O conjunto dos números reais.

Exercícios

Questões 37, 39, 40, 49, 50, 61, 62 de Gersting

3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão

Sejam A e B subconjuntos de um conjunto

universo S, então A-B, B-A e A∩B são disjuntos

dois a dois. Observe que

𝐴 ∪ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)

Assim, da cardinalidade de conjuntos disjuntos

temos,

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 − 𝐵 ∪ 𝐵 − 𝐴 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 − 𝐵 | + 𝐵 − 𝐴 + | 𝐴 ∩ 𝐵

3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão

Mas,

𝐴 − 𝐵 = 𝐴 − 𝐴 ∩ 𝐵e

𝐵 − 𝐴 = 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐵

Assim,

𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 − 𝑨 ∩ 𝑩

Este é o princípio da inclusão e exclusão para

dois conjuntos

3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão

Exemplo: Um pesquisador de opinião pública

entrevistou 35 eleitores, todos apoiando o

referendo 1, o referendo 2 ou ambos, e

descobriu que 14 eleitores apoiam o referendo 1

e 26 apoiam o referendo 2. Quantos eleitores

apoiam ambos?

3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão

O princípio da inclusão e exclusão para três

conjuntos finitos é dado por

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝐵 ∩ 𝐶+ |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|

Demonstre.

3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão

Exemplo: Um grupo de estudantes está

planejando encomendar pizzas. Se 13 comem

calabresa, 10 comem portuguesa, 12 comem 4

queijos, 4 comem calabresa e portuguesa, 5

comem 4 queijos e portuguesa, 7 comem

calabresa e 4 queijos e 3 comem de tudo.

Quantos estudantes há no grupo?

3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão

Exemplo: Um feirante vende apenas brócolis,

cenoura e quiabo. Em um dia, o feirante atendeu

207 pessoas. Se 114 pessoas compraram

brócolis, 152 compraram cenoura, 25

compraram quiabo, 64 compraram brócolis e

cenoura, 12 compraram cenoura e quiabo e 9

compraram os três produtos. Quantas pessoas

compraram brócolis e quiabo?

3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão

O princípio da inclusão e exclusão para

conjuntos finitos 𝐴1, … , 𝐴𝑛, 𝑛 ≥ 2, temos

𝐴1 ∪⋯∪ 𝐴𝑛

=

1≤𝑖≤𝑛

|𝐴𝑖| −

1≤𝑖<𝑗≤𝑛

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗

+

1≤𝑖<𝑗<𝑘≤𝑛

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 ∩ 𝐴𝑘 −⋯

+ −1 𝑛+1 |𝐴1 ∩⋯∩ 𝐴𝑛|