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Identidades de Grupo, Identidades Polinomiais e aConjectura de Hartley

Lucinea do AmaralDepartamento de Matematica - ICEx - UFMG

Orientadora: Ana Cristina Vieira

Sumario

Abstract v

Resumo vii

Agradecimentos ix

Introducao 1

1 Grupos, Algebras de Grupos e Identidades 3

1.1 Grupos e Aneis de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Identidades Polinomiais e Identidades de Grupo . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Identidade Padrao e o Processo de Linearizacao . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Identidade Polinomial Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Conjectura de Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 O Radical Nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Resultados Classicos sobre Aneis 19

2.1 Anel Artiniano e Localmente Artiniano . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Aneis Semisimples e a Decomposicao de Wedderburn . . . . . . . . . 21

iii

iv SUMARIO

3 Algebras de Grupo Satisfazendo uma GPI 23

3.1 Identidades de Grupos de Formas Especiais . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Unidades em uma Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 GPI e PI-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Demonstracao da Conjectura de Hartley 35

4.1 Algebra de Grupo Semiprima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Consideracoes Finais 43

Abstract

Let KG be the group algebra of a group G over a field K, and let U(KG) be itsgroup of units. A conjecture by Brian Hartley asserts that if G is a torsion groupand U(KG) satisfies a group identity, then KG satisfies a polynomial identity.

This result was verified by A. Giambruno, S. Sehgal and A. Valenti in case K isan infinite field. In 1999, Chia-Hsin Liu proved the conjecture whether K is infiniteor finite.

In this work, based on the article entitled Group Algebras with Units Satisfyinga Group Identity, we introduce the proof of the conjecture in the general case.

v

vi SUMARIO

Resumo

Seja KG uma algebra de grupo de um grupo G sobre um corpo K e U(KG) ogrupo das unidades de KG. Uma conjectura de Brian Hartley afirma que se G e umgrupo de torcao e U(KG) satisfaz uma identidade de grupo entao KG satisfaz umaidentidade de polinomial.

Este resultado foi verificado em 1997 por A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valentino caso quando o corpo K e infinito. Em 1999, Chia-Hsin Liu demonstrou talconjectura sem fazer restricoes sobre o tamanho do corpo.

Neste trabalho, baseado no artigo de Liu, intitulado Group Algebras with UnitsSatisfying a Group Identity apresentaremos a demonstracao de tal conjectura nocaso geral.

vii

viii SUMARIO

Agradecimentos

A Deus, por me dar forca e coragem para vencer mais esta grande etapa da minhavida.

Aos meus pais e irmaos que me apoiaram e incentivaram durante todo esse tempo.

Agradeco de forma especial, a minha orientadora, Ana Cristina Vieira, quedurante todo este trabalho, nao mediu esforcos para me auxiliar, contribuindo assim,com ensinamentos valiosıssimos, que permitiram tanto o meu crescimento quanto aconcretizacao deste trabalho.

Aos professores Antonio Giambruno e Carmen Rosa Giraldo Vergara, pelassugestoes e consideracoes feitas ao trabalho.

Aos colegas do Mestrado e Doutorado pelo convıvio, alegria compartilhada du-rante todo o curso e pelas discussoes que muito contribuıram para enriquecer meuconhecimento.

Aos professores e funcionarios do Departamento de Metematica.

A Fapemig, pelo apoio financeiro.

ix

x SUMARIO

Introducao

Na Teoria de Aneis de Grupo e interessante relacionar a estrutura multiplicativacom a estrutura aditiva do anel, ou seja, dado um anel de grupo KG tal que o grupodas unidades de KG satisfaz uma identidade de grupo, podemos nos perguntar se oanel de grupo KG satisfaz uma identidade polinomial.

Nesta direcao, nos anos 70, Brian Hartley propos a seguinte conjectura:

Seja G grupo de torcao e K um corpo. Se U(KG) satisfaz umaidentidade de grupo entao KG satisfaz uma identidade polinomial.

Em 1997, A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti [3] demonstraram tal conjecturaassumindo que a cardinalidade do corpo e infinita.

Logo depois, em 1999, Chia Hsin Liu estendeu os resultados de Giambruno,Sehgal e Valenti e confirmou que tal conjectura vale sem fazer restricoes sobre acardinalidade do corpo.

Neste trabalho, centraremos nossos estudos para compreendermos ademonstracao feita por Liu, onde nos basearemos principalmente no artigo [6], inti-tulado “Group Algebras with units satisfying a group identity”, entre outros artigoscitados.

Inicialmente vamos enunciar alguns resultados conhecidos e definiremos algunsconceitos basicos que nos serao uteis na compreensao desta dissertacao. Veremosporque e necessaria a hipotese de G ser de torcao e mostraremos que a recıproca daconjectura de Hartley e falsa.

1

2 SUMARIO

No Capıtulo 2, veremos alguns resultados classicos sobre aneis que serao muitoutilizados no decorrer de nosso estudo. Apresentaremos demonstracoes de algunsdeles e para outros, indicaremos as referencias.

No Capıtulo 3, centraremos nossas atencoes em formas possıveis para identidadesde grupo e identidades polinomiais. Veremos como Liu estendeu os resultados deGiambruno, Sehgal e Valenti para garantir a conjectura de Hartley na situacao maisgeral.

No Capıtulo 4, ja com a teoria necessaria construıda, apresentaremos a demon-stracao da conjectura de Hartley. Tal prova se encontra dividida em dois casos:Algebra de Grupo Semiprima e caso geral, onde foi explorado o conceito de RadicalNilpotente de uma algebra. Tudo estara bem detalhado para entendermos comoLiu conseguiu demonstrar a conjectura de Hartley sem colocar hipoteses sobre acardinalidade do corpo.

Por fim, concluıremos nosso trabalho com algumas observacoes sobre a classi-ficacao de algebras de grupo cujas unidades satisfazem uma identidade de grupo.

Capıtulo 1

Grupos, Algebras de Grupos eIdentidades

1.1 Grupos e Aneis de Grupos

Nesta secao enunciaremos alguns resultados sobre teoria de grupos, muitos dos quaisconsagrados pelo constante uso. Omitiremos tais demonstracoes que poderao serencontrados em [10]. Depois disto, introduziremos a nocao de Aneis de Grupos ealgumas de suas propriedades.

Definicao 1.1 Um grupo nao comutativo tal que todos os seus subgrupos sao nor-mais e chamado de grupo hamiltoniano.

Os grupos hamiltonianos serao parte constante do nosso trabalho, por isso eimportante saber um pouco mais sobre sua estrutura, o que pode ser visto com osproximos resultados.

Teorema 1.2 Um grupo G e hamiltoniano se, e somente se, ele e da forma

G = Q8 × E × A,

onde Q8 e o grupo dos quaternios, E e um 2-grupo abeliano elementar e A e umgrupo abeliano de torcao, no qual todo elemento tem ordem ımpar.

3

4 CAPITULO 1. GRUPOS, ALGEBRAS DE GRUPOS E IDENTIDADES

Teorema 1.3 (Dedekind-Baer) Seja G um grupo. Sao equivalentes:

1. Todo subgrupo de G e normal em G;

2. Todo subgrupo cıclico de G e normal em G;

3. G e ou abeliano ou hamiltoniano.

Definicao 1.4 Um grupo G e chamado de FC-grupo se qualquer elemento g ∈ Gpossui um numero finito de conjugados em G.

Mais geralmente, um elemento g em um grupo G e chamado um FC-elementose g possui um numero finito de conjugados em G.

Lema 1.5 Seja G um grupo. Entao o conjunto

∆(G) := {g ∈ G / g e FC-elemento }

e um subgrupo caracterıstico de G, denominado FC-subgrupo de G.

Definicao 1.6 Dizemos que um grupo G e localmente finito se todo subgrupofinitamente gerado de G e finito.

Teorema 1.7 Seja G um grupo e H um subgrupo normal de G. Se H eG

Hsao

localmente finitos, entao G e localmente finito.

Denotaremos por G′o subgrupo comutador (ou derivado) de G, isto e,

G′:=

⟨[g, h] / g, h ∈ G

⟩, onde [g, h] = g−1h−1gh.

Nem sempre e verdade que um subgrupo H de um grupo finitamente gerado Ge finitamente gerado. Por exemplo, se tomarmos G o grupo livre de posto 2 e H oseu comutador, teremos que G e finitamente gerado mas H nao. Porem em casosparticulares podemos concluir que H e finitamente gerado.

Proposicao 1.8 Seja G um grupo finitamente gerado e H um subgrupo de ındicefinito. Entao H e finitamente gerado.

1.1. GRUPOS E ANEIS DE GRUPOS 5

Particularmente, para grupos nilpotentes temos:

Proposicao 1.9 Seja G um grupo nilpotente finitamente gerado e H um subgrupode G. Entao H e finitamente gerado.

Alem disso, e bastante simples verificar que se G e um grupo abeliano finitamentegerado e de torcao entao G e finito. Uma generalizacao desse fato e o seguinte:

Proposicao 1.10 Se G e um grupo nilpotente de torcao finitamente gerado entaoG e finito.

Definicao 1.11 Um grupo G e dito p−abeliano se seu subgrupo derivado G′e um

p−grupo finito.

Observacao: Na definicao acima, temos p primo ou p = 0.Se p = 0 entao temos G

′= 1, ou seja, um grupo 0-abeliano e um grupo abeliano.

A seguir, consideramos R um anel com unidade e G um grupo qualquer.

Definicao 1.12 Seja RG o conjunto de todas somas formais finitas∑g∈G

αgg, com

αg ∈ R e g ∈ G, ou seja, somas com apenas um numero finito de αg 6= 0. Definimos:

1.∑g∈G

αgg +∑g∈G

βgg =∑g∈G

(αg + βg)g;

2.∑g∈G

αgg.∑h∈G

βhh =∑

g,h∈G

(αg.βh)(gh);

3. λ∑g∈G

αgg =∑g∈G

(λαg)g, λ ∈ R.

Com as operacoes 1 e 2 acima, RG e um anel, denominado anel de grupo sobreR. A operacao 3 torna RG um R−modulo.

Dado um elemento α =∑g∈G

αgg ∈ RG, chama-se suporte de α o conjunto de ele-

mentos de G que aparecem efetivamente na expressao de α, ou seja,supp(α) = {g ∈ G / αg 6= 0}.


Observemos que, se identificamos g ∈ G com 1.g ∈ RG, podemos considerar Gcontido em RG, e assim os elementos de G formam uma base de RG sobre R. Comesta identificacao, 1 ∈ G e a unidade de RG.

Facilmente se comprova que quando R e comutativo e G e abeliano entao RG ecomutativo.

Neste trabalho centraremos nossas atencoes para o caso especıfico em que o anelR e um corpo. Usaremos a letra K para denotar tal corpo. Na verdade estaremostrabalhando com algebras de grupo.

Uma algebra sobre um anel comutativo R e um anel A que tambem e ummodulo sobre R (ou R−modulo), onde a multiplicacao do anel e a do modulo estaorelacionados da seguinte maneira:

x(ab) = (xa)b = a(xb),

para todo x ∈ R, a, b ∈ A. Assim dizemos que A e uma R−algebra.

Quando R e um corpo, dizemos que uma base para A como espaco vetorial euma base para A como uma R−algebra. Alem disso, dizemos que A e de dimensaofinita se A tem dimensao finita como espaco vetorial sobre R (isto e, se A tem umabase finita sobre R). Notemos que a dimensao da algebra RG e |G|.

Dado um anel A, denotamos por U(A) o grupo multiplicativo das unidades deA. Isto e,

U(A) := {x ∈ A / (∃ y ∈ A) xy = yx = 1}.

Em particular, dado um grupo G e um anel R, U(RG) denota o grupo dasunidades do anel de grupo RG.

Um elemento da forma rg, onde r ∈ U(R) e g ∈ G, possui um inversor−1g−1. Os elementos desta forma sao chamados unidades triviais de RG. Se Ke um corpo, entao as unidades triviais de KG sao elementos da forma kg, ondek ∈ K, k 6= 0, g ∈ G.

1.2. IDENTIDADES POLINOMIAIS E IDENTIDADES DE GRUPO 7

O grupo das unidades de um anel de grupo tem sido objeto de atencao de diversospesquisadores na area de Teoria de Aneis. Muitos sao os resultados que determinam,em casos particulares, a estrutura deste grupo.

Em 1940, G. Higman mostrou que se G e um grupo abeliano finito entao, o grupodas unidades de torcao de ZG e ±G.

Outros resultados nesta direcao ja foram provados como o seguinte, que sera utilem uma das proximas secoes.

Proposicao 1.13 Sejam G grupo nilpotente livre de torcao e K um corpo. Entaoas unidades de KG sao as triviais.

1.2 Identidades Polinomiais e Identidades de Grupo

Nesta secao veremos quando uma algebra satisfaz uma identidade polinomial equando um grupo satisfaz uma identidade de grupo e assim poderemos compreendercomo Hartley tentou relacionar a estrutura multiplicativa e a estrutura aditiva emalgebras de grupo.

Seja K um corpo e X = {x1, x2, . . . , xn, . . .} um conjunto de variaveis nao comu-tativas. Entao, K[X] e o K-espaco vetorial com uma base formada pelo conjuntode monomios {xi0xi1 · · ·xir ; r = 0, 1, 2, . . .}. Os elementos de K[X] sao chamadospolinomios.

Definicao 1.14 Uma algebra A sobre K satisfaz uma identidade polinomial, oue uma PI algebra, se existe um polinomio nao nulo f(x1, . . . , xn) ∈ K[X] tal quef(a1, . . . , an) = 0 para todo a1, . . . , an ∈ A. Este polinomio f(x1, . . . , xn) que satisfazesta propriedade e dito uma identidade polinomial em A. Escrevemos A ∈ PI.

• Grau de um polinomioO grau de um polinomio nao nulo f(x1, · · · , xn) ∈ K[X] e o maior grau dentre osgraus de todos os monomios, com coeficientes nao nulos, de f.


• PI algebra de grau nDizemos que uma algebra A e uma PI algebra de grau n quando satisfaz umpolinomio de grau n, ou seja, quando A satisfaz uma identidade polinomial de graun.

EXEMPLOS:

i) Uma algebra comutativa satisfaz f(x1, x2) = x1x2 − x2x1.

ii) Uma algebra nilpotente de grau m satisfaz f(x1, . . . , xm) = x1 · · ·xm.

• Monomio multilinearUm monomio e dito multilinear se cada uma de suas variaveis ocorre uma unica vez.

EXEMPLOS:

i) x1x3x4x2 e multilinear.

ii) x1x3x22 nao e multilinear.

• Polinomio multilinearUm polinomio e multilinear se suas parcelas sao monomios multilineares que en-volvem as mesmas variaveis.

EXEMPLOS:

i) f(x1, x2, x3) = x1x2x3 + 4x3x2x1 − 2x2x1x3 e um polinomio multilinear.

ii) f(x1, x2, x3) = x3x2 + 5x2x1x3 nao e um polinomio multilinear.

iii) f(x1, x2) = x1x23 − 3x1x2

2 nao e um polinomio multilinear.

O proximo resultado nos garante que uma algebra de dimensao finita sobre umcorpo sempre satisfaz uma identidade polinomial.

Proposicao 1.15 Se A e uma algebra de dimensao finita sobre um corpo K, entaoA ∈ PI.

Demonstracao: Veja lema 1.6, pag. 173 em [9].

1.3. IDENTIDADE PADRAO E O PROCESSO DE LINEARIZACAO 9

A partir desta proposicao podemos observar que se G e um grupo finito entao aalgebra de grupo KG satisfaz uma identidade polinomial, ja que dimKKG = |G|.

Proposicao 1.16 Seja E = Mm(A) o anel das matrizes m × m sobre umaK− algebra comutativa A. Entao E nao satisfaz uma identidade polinomial de graumenor que 2m.


Definicao 1.17 Dizemos que um grupo G satisfaz uma identidade de grupo seexiste uma palavra nao trivial ω(x1, . . . , xm) no grupo livre gerado por x1, · · · , xm

tal que ω(g1, . . . , gm) = 1 para qualquer gi ∈ G. Escrevemos G ∈ GI.

EXEMPLOS:

i) Se G e abeliano, entao G satisfaz a identidade ω(x1, x2) = x1−1x2

−1x1x2.

ii) Se G e um grupo nilpotente, entao G satisfaz a identidadeω(x1, . . . , xl) = [x1, . . . , xl] para algum l ≥ 2, onde [x1, . . . , xl] denota o co-mutador de peso l no grupo G.

1.3 Identidade Padrao e o Processo de Linearizacao

Um tipo especial de identidade polinomial e conhecida como identidade padrao,a seguir falaremos desta identidade e do fato de sempre poder linearizar identidadespolinomiais atraves do processo de linearizacao.

Em K[X], a identidade padrao de grau n e:

sn(x1, · · · , xn) =∑σ∈Sn

(−1)σxσ(1) . . . xσ(n)

σ varia em Sn (grupo das permutacoes de n elementos) e (−1)σ = ±1 dependendose σ e uma permutacao par ou ımpar.


EXEMPLOS:

i) s2(x1, x2) = x1x2 − x2x1 e a identidade padrao de grau dois.

ii) s3(x1, x2, x3) = x1x2x3+x2x3x1−x3x2x1+x3x1x2−x1x3x2−x2x1x3 e a identidadepadrao de grau tres.

Proposicao 1.18 A identidade padrao sn possui as seguintes propriedades:

i sn e linear em cada variavel;

ii sn(. . . , xi, . . . , xj, . . .) = −sn(. . . , xj, . . . , xi, . . .);

iii sn(. . . , xi, . . . , xi, . . .) = 0;

iv sn+1(x1, x2, . . . , xn+1) =∑±xisn(x1, . . . , xi, . . . , xn+1). Desta forma se uma algebra

satisfaz sn entao esta satisfaz sn+1, onde xi significa que xi foi deletada.


A proposicao 1.16 afirma que o anel das matrizes m × m sobre umaK− algebra comutativa A nao satisfaz uma identidade polinomial de grau menorque 2m, mas o proximo resultado nos garante que o anel das matrizes m × m so-bre um corpo satisfaz a identidade polinomial padrao s2m, ou seja, uma identidadepolinomial padrao de grau 2m.

Teorema 1.19 (Amitsur-Levitzki) Se K e um corpo entao Mm(K) satisfaz aidentidade polinomial padrao s2m.

Demonstracao: Veja teorema 1.9, pag. 175 em [9].

O proximo resultado e conhecido como processo de linearizacao sobre identidadespolinomiais, ou seja, se uma algebra satisfaz uma identidade polinomial de graun, entao esta satisfaz um identidade polinomial multilinear de grau n. Atravesdeste processo conseguimos obter, a partir do polinomio satisfeito pela algebra, umpolinomio multilinear de mesmo grau tambem satisfeito pela algebra.

1.3. IDENTIDADE PADRAO E O PROCESSO DE LINEARIZACAO 11

Proposicao 1.20 Seja A uma algebra sobre um corpo K. Se A satisfaz uma iden-tidade polinomial de grau n, entao A satisfaz uma identidade polinomial

f =∑σ∈Sn

aσxσ1xσ2 . . . xσn

onde aσ ∈ K, e estes coeficientes nao sao todos nulos.

Demonstracao: Seja g(x1, x2, . . .) a identidade polinomial de grau n satisfeita por A.Em primeiro lugar, suponhamos que alguma variavel xi ocorra em algum dos monomiosde g mas nao em todos. Assim podemos escrever:

g = g′+ g

′′

onde xi ocorre em todos os monomios de g′

e nao ocorre nos monomios de g′′.

Logo g′′ 6= 0, grau g

′′ ≤ n e

g′′(x1, x2, . . . , xi, . . .) = g(x1, x2, . . . , 0, . . .)

Claramente A tambem satisfaz g′′. Desta maneira substituindo g por g

′′, temos uma

identidade polinomial para A de grau menor ou igual a n, com menos variaveis.Repetimos esta processo ate obtermos uma identidade h de grau menor ou igual an satisfeita por A, onde cada xi aparece pelo menos uma vez em cada monomio.Como grau h ≤ n, vemos que h e uma funcao com no maximo n variaveis.Reescrevendo, se necessario, podemos supor h ∈ K[x1, x2, . . . , xn].Seja H o conjunto de todos h ∈ K[x1, x2, . . . , xn], h 6= 0 os quais sao identidadespolinomiais para A de grau menor ou igual a n e que todas as variaveis envolvidasem h apareca em cada monomio de h.Por construcao H e nao vazio.Tomemos f ∈ H como sendo a funcao que possui um numero maximo de variaveis,digamos t.Agora, mostraremos que realmente f e a identidade polinomial procurada.Sem perda de generalidade, suponhamos que algum monomio de h nao e linear emx1. Como grau f ≤ n e f ∈ H, logo f nao pode conter todos xi, 1 ≤ i ≤ n,portanto algum xi nao aparece em f. Suponhamos entao que xn nao apareca em f.Seja

f′= f(x1 + xn, x2, . . .)− f(x1, x2, . . .)− f(xn, x2, . . .).

Considerando os monomios envolvidos que nao sao lineares em x1, segue facilmenteque f

′ 6= 0 e f′ ∈ H. Porem, f

′e uma funcao de t + 1 variaveis, uma contradicao.

Consequentemente todos os monomios em f sao lineares em cada variavel xi e destaforma todos possuem o mesmo grau t ≤ n.Suponhamos t < n e digamos, xn nao aparece em f . Fazendo f

′′= xnf obtemos

uma contradicao.Desta forma t = n e f possui a forma desejada.


O proximo resultado e uma caracterizacao muito importante, pois este nos dacondicoes necessarias e suficientes para uma algebra de grupo satisfazer uma iden-tidade polinomial.

Teorema 1.21 (Isaacs/Passman, 1997) Se carK = p ≥ 0, entao KG ∈ PI se,e somente se, G contem um subgrupo p-abeliano de ındice finito.

Demonstracao: Veja corolario 3.10, pag. 197 em [9]

1.4. IDENTIDADE POLINOMIAL GENERALIZADA 13

1.4 Identidade Polinomial Generalizada

Seja A uma algebra sobre K. Um polinomio generalizado sobre A, e grosseira-mente falando, um polinomio em indeterminadas nao comutativas x1, x2, . . . , xn noqual os elementos de A sao permitidos aparecer tanto como coeficientes como en-tradas entre as indeterminadas.

Dizemos que A satisfaz uma identidade polinomial generalizada se existe umpolinomio generalizado nao nulo f(x1, . . . , xn) tal que f(a1, . . . , an) = 0 ∀ ai ∈ A.

O problema aqui e como garantir um polinomio desta maneira que nao seja nulo.Por exemplo, considerando a ∈ A elemento central tal que a /∈ K, entao A satisfaza identidade f(x1) = ax1 − x1a, mas certamente esta deve ser considerada trivial.

Um outro exemplo ocorre quando A e anel nao primo, pois podemos escolhera, b ∈ A tal que A satisfaz a identidade f(x1) = ax1b, mas esta novamente deve serconsiderada trivial.

Por causa destas dificuldades, vamos nos restringir a uma forma permitida paraos polinomios.

Definicao 1.22 Dizemos que g e um polinomio multilinear generalizado de grau nse tem a forma:

g(x1, x2, . . . , xn) =∑σ∈Sn

gσ(x1, x2, . . . , xn)

e

gσ(x1, x2, . . . , xn) =aσ∑j=1

α0,σ,jxσ(1)α1,σ,jxσ(2) . . . αn−1,σ,jxσ(n)αn,σ,j

onde αi,σ,j ∈ A e aσ e algum numero positivo.

Definicao 1.23 Dizemos que g e nao degenerado se para algum σ ∈ Sn, gσ nao eidentidade polinomial generalizada de A.


Desta forma, dizemos que A satisfaz uma GPI se A satisfaz uma identidadepolinomial multilinear generalizada nao degenerada.

Lema 1.24 Seja A uma algebra sobre K e seja I um ideal a direita de A. Se Isatisfaz uma identidade polinomial de grau n e In 6= 0, entao A satisfaz uma GPI.

Demonstracao: Pelo processo de linearizacao, I satisfaz uma identidade polinomialmultilinear de grau n

g(x1, x2, . . . , xn) =∑σ∈Sn

ασxσ1xσ2 . . . xσn

onde ασ ∈ K, e podemos supor α1 6= 0.Por hipotese In 6= 0, logo podemos escolher a1, a2, · · · , an ∈ I, tais quea1a2 · · · an 6= 0. Portanto α1a1a2 · · · an 6= 0, consequentemente

f =∑σ∈Sn

ασaσ1xσ1aσ2xσ2 . . . aσnxσn

e uma identidade polinomial multilinear generalizada nao degenerada para A, poisquando σ = 1

gσ(x1, x2, . . . , xn) = g1(x1, x2, . . . , xn) = α1a1x1a2x2 . . . anxn

e claramente g1(x1, x2, . . . , xn) nao e identidade polinomial generalizada, ja que

g1(1, 1, . . . , 1) = α1a1a2 . . . an 6= 0.

No proximo teorema, (a demonstracao pode ser encontrada em [9] pag. 202)obtemos uma caracterizacao para uma algebra de grupo KG que satisfaz uma GPIatraves seu FC−subgrupo.

Teorema 1.25 KG satisfaz uma GPI se, e somente se, [G : ∆(G)] < ∞ e|∆(G)

′| < ∞.

Agora enunciaremos um teorema muito importante e que sera bastante utilizadoem nosso trabalho. Este resultado relaciona a presenca de identidades de grupo nogrupo das unidades de KG com as identidades polinomiais de KG. Neste momento,veremos apenas o enunciado. A demonstracao de tal teorema sera objeto de nossoestudo no capıtulo 3.

Teorema 1.26 Seja G um grupo de torcao. Se U(KG) ∈ GI e KG satisfaz umaGPI, entao KG ∈ PI.

1.5. CONJECTURA DE HARTLEY 15

Neste trabalho estaremos interessados em obter resultados suficientes para acompreensao da demonstracao da Conjectura de Hartley. Dedicaremos a proximasecao a tal conjectura para podermos compreende-la de uma maneira mais geral.

1.5 Conjectura de Hartley

Nos anos 70, na intencao de relacionar a estrutura multiplicativa e a estruturaaditiva em algebras de grupo KG, B. Hartley fez a seguinte conjectura:

Teorema 1.27 (Conjectura de Hartley) Sejam G um grupo de torcao e K umcorpo. Entao,

U(KG) ∈ GI ⇒ KG ∈ PI.

O primeiro fato que podemos questionar ao ver o enunciado da Conjectura de Hartleye o seguinte: A conjectura e verdadeira se G for livre de torcao?

Para responder essa pergunta, consideremos K um corpo tal que car K = p > 0e G grupo nilpotente livre de torcao.Atraves da proposicao 1.13 concluımos que as unidades de KG sao as triviais. Segueclaramente que U(KG) ∈ GI, ja que G e nilpotente.Pergunta: KG satisfaz uma identidade polinomial?Se KG ∈ PI de acordo com o teorema 1.25 G teria um subgrupo H p−abeliano deındice finito, ou seja, H

′seria um p−grupo finito tal que [G : H] < ∞, mas isto nao

e necessariamente verdadeiro para todo grupo nilpotente G.

Podemos tambem levantar a seguinte pergunta.Se G e de torcao, KG ∈ PI ⇒ U(KG) ∈ GI? (ou seja, queremos saber se arecıproca da conjectura e verdadeira.)Para responder a essa pergunta, vamos usar o seguinte resultado:

Teorema 1.28 (Jairo Goncalves,[4]) Seja G grupo finito e K corpo tal quecarK = 0. Entao U(KG) nao contem subgrupo livre de posto 2 se, e somente se, Ge abeliano.


Considerando G nao abeliano finito temos que KG e uma algebra de dimensao finitasobre K (dimKKG = |G|), consequentemente pela proposicao 1.15 KG ∈ PI.Agora usando o fato de que G e nao abeliano e considerando carK = 0, concluımospelo Teorema 1.28 que U(KG) contem um subgrupo livre de posto 2 e portantoU(KG) /∈ GI.

Desta forma vemos que a recıproca da Conjectura de Hartley e falsa e que ahipotese de G ser de torcao e necessaria para formula-la.

Em 1997, A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti demonstraram tal conjectura nocaso em que K e um corpo infinito, ou seja, eles demonstraram o seguinte teorema:

Teorema 1.29 Suponha que K e um corpo infinito e G e um grupo de torcao. SeU(KG) ∈ GI entao KG ∈ PI.

A demonstracao do teorema acima pode ser encontrado em [3]. Eles usaram forte-mente o “Argumento do determinante de Vandermonde”e tal argumento e validosomente quando K e infinito ou suficientemente grande.

Um exemplo e a Proposicao 1 de [1] que basicamente diz que se a, b sao elementosde uma algebra sobre um corpo infinito cujas unidades satisfazem uma identidade degrupo e a2 = b2 = 0 entao (ab)m = 0, para algum inteiro m determinado pela iden-tidade. Um resultado analogo para algebras sobre corpos finitos se torna necessario,mas tal resultado e certamente falso neste caso. De fato:

Considere M2(K), K corpo finito.

Sejam a = e12 =( 0 1

0 0

), b = e21 =

( 0 01 0

).

Entao U(M2(K)) ∈ GI desde que e um grupo finito e a2 = b2 = 0, mas

ab = e11 =( 1 0

0 0

)nao e nilpotente.

No capıtulo 2, veremos um resultado analogo a Proposicao 1 de [1] que independedo fato de K ser infinito e no capıtulo 4, veremos a demonstracao da Conjectura deHartley na sua formulacao mais geral.

1.6. O RADICAL NILPOTENTE 17

1.6 O Radical Nilpotente

Nesta secao veremos alguns resultados classicos, que serao bastante utilizados nodecorrer de nossos estudos. Nao apresentaremos demonstracoes, pois caso contrarioestenderemos demais nosso estudo (tais demonstracoes envolvem muita teoria quenao sera detalhada neste trabalho, mas podem ser encontradas em [9]). Estare-mos interessados em obter apenas resultados que darao base para demonstrarmos aConjectura de Hartley.

Denotaremos a caracterıstica do corpo K por p, ou seja, carK = p (onde p ≥ 0).Lembremos que um grupo e p

′−grupo se nao possui elemento de ordem p. Quandop = 0, convecionamos que qualquer grupo e um 0

′−grupo e o unico 0−grupo e {1}.

Notaremos por ∆p(G), o subgrupo de G, gerado pela intersecao dos conjuntos∆(G) e P := {g ∈ G / o(g) = pk para algum k ∈ N}, isto e,

∆p(G) =⟨P ∩∆(G)

⟩Seja N = N(KG) o radical nilpotente de KG, ou seja, a soma de todos os

ideais nilpotentes de KG.

Se KG nao tem ideais nilpotentes entao N(KG) = 0.

Lembremos que um anel R e semiprimo se R nao tem ideais nilpotentes naotriviais.

Proposicao 1.30 Se carK = 0 entao KG e semiprimo.

Proposicao 1.31 Suponha carK = p > 0. Entao as seguintes afirmacoes saoequivalentes:

1. KG e semiprimo;

2. G nao tem subgrupo normal finito com ordem divisıvel por p;

3. ∆(G) nao tem elemento de ordem p;


4. N(KG) = 0.

Lema 1.32 Suponha carK = p > 0. Entao N(KG) e nilpotente se, e somente se,∆p(G) e finito.

Lema 1.33 Seja K um corpo de caracterıstica p > 0 e seja G um grupo. Se N(KG)e nilpotente, entao G possui subgrupos P e H tais que P e um p−grupo, [G : H] < ∞,e P = ∆p(H).

Capıtulo 2

Resultados Classicos sobre Aneis

Neste capıtulo recordaremos alguns fatos basicos da teoria de aneis.

2.1 Anel Artiniano e Localmente Artiniano

Definicao 2.1 Seja R um anel. Dizemos que R e artiniano a esquerda setoda cadeia descendente de ideais a esquerda de R e estacionaria. Ou seja, seI1, I2, I3, · · · , sao ideais de R, com

I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ Ii ⊃ · · ·

entao existe um k ∈ N tal que ∀ i ∈ N

Ik = Ik+i.

Proposicao 2.2 Seja I e um ideal de R. Entao R e artiniano se, e somente se, I

eR

Isao artiniano.

Demonstracao: Veja lema 2.4.9, pag. 87 em [10].

Proposicao 2.3 O anel de KG e artiniano se, e somente se, G e finito.

Demonstracao: Veja teorema 6.6.1, pag. 214 em [10].

19

20 CAPITULO 2. RESULTADOS CLASSICOS SOBRE ANEIS

Consideremos R anel com identidade. Dizemos que R e um anel localmente ar-tiniano se qualquer subconjunto finito X de R esta contido em um subanel artinianode R.

Proposicao 2.4 Se G e um grupo localmente finito entao KG e um anel localmenteartiniano.

Demonstracao: Se G e localmente finito entao todo subconjunto finito de G geraum subgrupo finito. Seja X ⊂ KG, X finito.

Considere S =⋃

xi∈X

supp(xi).

Temos S finito e S ⊂ G, entao H =< S > e finito. Consequentemente, pelaproposicao 2.3 KH e anel artiniano. E assim X ⊂ KH, ou seja, KG e localmenteartiniano.

2.2 Radical de Jacobson

Sabe-se que a interseccao dos ideais maximais a esquerda de um anel R coincidecom a interseccao dos ideias maximais a direita. Usando tal fato definimos:

Definicao 2.5 Seja R um anel com unidade. O radical de Jacobson de R,denotado por J (R) e a interseccao de todos ideais maximais a esquerda de R.

O seguinte lema foi demonstrado por Karpilovsky em [5].

Lema 2.6 Seja R um anel e suponhaR

J (R)e artiniano. Se I e qualquer ideal de

R, entao a aplicacao natural U(R) → U(R

I) e sobrejetiva.

Podemos observar que se R e um anel tal que U(R) satisfaz uma identidade degrupo e S e qualquer subanel de R, entao U(S) tambem satisfaz uma identidade degrupo ja que U(S) = U(R)∩S ⊆ U(R). Mas quando tal anel e localmente artiniano,obtemos um resultado mais forte que pode ser visto no seguinte lema:

2.3. ANEIS SEMISIMPLES E A DECOMPOSICAO DE WEDDERBURN 21

Lema 2.7 Seja R um anel localmente artiniano tal que U(R) ∈ GI. Se R equalquer imagem homomorfica de R, entao U(R) ∈ GI.

Demonstracao: Para R, e suficiente mostrar que o homomorfismo U(R) → U(R) esobrejetivo.

Como R e qualquer imagem homomorfica de R, logo R =R

I, onde I e o nucleo do

homomorfimo φ : R → R.Tomemos a ∈ R tal que a = a + I e a sua imagem em U(R). Como R e localmenteartiniano, logo {a} ⊂ E, onde E e um subanel artiniano de R.

Usando a proposicao 2.2 temos queE

J (E)e artiniano.

Seja J = E ∩ I.Claramente J e um ideal de E, logo pelo lema 2.6 a aplicacao U(E) → U(E) e

sobrejetiva, onde E =E

J.

Mas a ∈ U(E), portanto podemos encontrar c ∈ U(E) ⊆ U(R) que e levado em a.Desta forma obtemos que o homomorfismo U(R) → U(R) e sobrejetivo.

Definicao 2.8 Dizemos que um anel R e semiprimitivo se J (R) e o ideal nulo.

2.3 Aneis Semisimples e a Decomposicao de Wed-

derburn

Nesta secao recordaremos importantes resultados a respeito da estrutura de aneise as suas consequencias quando considerados no contexto de Aneis de Grupos.

Sempre podemos encarar R como sendo um modulo sobre si mesmo. Assimpodemos definir anel semisimples:

Definicao 2.9 Seja R um anel. Dizemos que R e semisimples a esquerda,se todo submodulo a esquerda I de R e somando direto de R. Isto e, para todosubmodulo a esquerda de I, existe um submodulo a esquerda J , tal que I ∩ J = 0 eI + J = R. Denotamos a soma direta de I e J por,

I ⊕ J.

22 CAPITULO 2. RESULTADOS CLASSICOS SOBRE ANEIS

Usaremos somente o termo semisimples, pois um anel com unidade e semisim-ples a esquerda se, e somente se, e semisimples a direita.

Teorema 2.10 (Wedderburn-Artin) Um anel R e semisimples se, e somente se,

R 'r⊕

i=1

Mni(Di),

onde cada Mni(Di) e uma algebra de matrizes sobre Di, Di e um anel de divisao, r

e unico e os pares (Di, ni) sao unicos a menos de permutacao.

Demonstracao: Veja teorema 2.6.18 e 2.6.19, pag.104, 105 em [10].

Teorema 2.11 (Teorema de Maschke) Seja G um grupo. Entao o anel de grupoRG e semisimples se e somente se as seguintes condicoes valem:

1. R e um anel semisimples;

2. G e finito;

3. |G| e invertıvel em R.

Demonstracao: Veja teorema 3.4.7, pag. 140 em [10].

No caso particular em que R = K e um corpo temos que K e sempre semisimplese |G| e invertıvel em K se e somente se, car(K) - |G|. Uma consequencia direta doTeorema de Maschke pode ser vista no seguinte corolario:

Corolario 2.12 Seja G um grupo finito e seja K um corpo. Entao KG e semisim-ples se, e somente se, car(K) - |G|.

Capıtulo 3

Algebras de Grupo Satisfazendouma GPI

O objetivo deste capıtulo e provar o teorema 1.26, que garante que para umgrupo de torcao G tal que U(KG) satisfaz uma identidade de grupo e KG satisfazuma GPI temos que KG satisfaz uma identidade polinomial. Este teorema serafundamental para a demonstracao da Conjectura de Hartley.

3.1 Identidades de Grupos de Formas Especiais

Dado um grupo G que satisfaz uma identidade de grupo, mostraremos que pode-mos escolher uma identidade com uma forma especial satisfeita por G.

Lema 3.1 Seja G um grupo. Se G ∈ GI, entao G satisfaz uma identidade degrupo da seguinte forma:

w0 = xα1yβ1 · · ·xαsyβs =1

onde αi, βj sao inteiros nao nulos determinados pela identidade de grupo satisfeitapor G e α1 < 0, βs > 0.

Demonstracao: Seja w = w(x1, · · · , xr) a identidade de grupo satisfeita por G.Temos que w(g1, · · · , gr) = 1,∀ gi ∈ G.Consideramos g, h ∈ G e substituamos gi por g−ihgi, consequentemente encon-tramos uma expressao da seguinte forma:

gα1hβ1 · · · gαshβsgαs+1 = 1, onde αi, βj sao inteiros nao nulos.

23

24 CAPITULO 3. ALGEBRAS DE GRUPO SATISFAZENDO UMA GPI

Entao G satisfaz a seguinte palavra:

w(x, y) = xα1yβ1 · · ·xαsyβsxαs+1 ,

ou seja, encontramos uma identidade de grupo nao trivial em duas variaveis x e ysatisfeitas por G. Portanto

xα1yβ1 · · ·xαsyβsxαs+1 = 1

logo,xα1yβ1 · · ·xαsyβsxαs+1x−αs+1 = x−αs+1

xαs+1xα1yβ1 · · ·xαsyβs = 1

xαs+1+α1yβ1 · · ·xαsyβs = 1.

Agora temos dois casos a analisar:

1◦ caso: Suponha αs+1 + α1 6= 0Se βs < 0 trocamos y por y−1 logo −βs > 0.Se αs+1 + α1 > 0 trocamos x por x−1 logo −(αs+1 + α1) < 0.Portanto obtemos a forma procurada.

2◦ caso: Suponha αs+1 + α1 = 0. Entao encontramos

yβ1xα2 · · · yβs−1xαsyβs = 1

logo,y−β1yβ1xα2 · · · yβs−1xαsyβs = y−β1

xα2 · · · yβs−1xαsyβsyβ1 = 1

xα2 · · · yβs−1xαsyβs+β1 = 1

Se α2 > 0 trocamos x por x−1 logo −α2 < 0.Se βs + β1 < 0 trocamos y por y−1 logo −(βs + β1) > 0.Portanto obtemos a forma procurada.

Agora se G satisfaz uma identidade da forma xα = 1 para algum α 6= 0, tomemosg, h ∈ G, logo g−1h ∈ G. Portanto

(g−1h)|α| = g−1h · · · g−1h︸︷︷︸|α|vezes

= 1.

Logo podemos reescrever w da seguinte maneira:

w(x, y) = x−1y · · ·x−1y︸︷︷︸|α|vezes

ou seja, a forma procurada.

3.2. UNIDADES EM UMA ALGEBRA 25

Obs: Na verdade, a palavra w satisfeita por G pode ser escrita de uma maneiramais refinada, ou seja, G satisfaz

w1(x1, x2) = xγ1

1 xδ12 · · ·x

γk1 xδk

2

onde γi, δj ∈ {±1,±2} e γ1 = δk = 1.De fato, pelo lema anterior G satisfaz

w0(x, y) = xα1yβ1 · · ·xαsyβs

onde αi, βj sao inteiros nao nulos determinados pela identidade de grupo satisfeitapor G, α1 < 0 e βs > 0.Agora sejam g1, g2 ∈ G, temos g2g1

−1, g1−1g2 ∈ G, portanto

w0(g2g1−1, g1

−1g2) = 1

ou seja,

(g2g1−1)α1(g1

−1g2)β1 · · · (g2g1

−1)αs(g1−1g2)

βs = 1 (3.1)

como α1 < 0 ⇒ −α1 > 0, podemos reescrever (3.1) como

(g1g2−1) · · · (g1g2

−1)︸︷︷︸|α1| vezes

(g1−1g2)

β1 · · · (g2g1−1)αs (g1

−1g2) · · · (g1−1g2)︸︷︷︸

βs vezes

= 1.

Portanto obtemos a seguinte palavra:

w1(x1, x2) = xγ1

1 xδ12 · · ·x

γk1 xδk

2

onde γi, δj ∈ {±1,±2} e γ1 = δk = 1.

3.2 Unidades em uma Algebra

Os resultados de A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti (ver em [3]) tiveram comoconsequencia a demonstracao do teorema 1.27 no caso em que o corpo K e infinito,ou seja, eles demonstraram a conjectura de Hartley assumindo que a algebra KG esobre um corpo infinito, conforme enunciado no capıtulo 1.

Precisamos de um resultado que nos permita estender os demais resultados deA. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti para uma situacao mais geral, como e o casodo proximo lema.


De agora em diante denotaremos K0 como sendo os inteiros do corpo K, assim:Se carK = 0 entao Q ⊂ K logo K0 = Z, e se carK = p, (p primo) entao K0 = Zp eneste caso sempre podemos fazer reducoes modulo p.

Lema 3.2 Seja A uma algebra sobre um corpo K e suponha que U(A) ∈ GI. Entaoexiste um polinomio f(x) sobre K0 de grau d (o qual e determinado pela identidadede grupo satisfeita por U(A)) tal que se a, b ∈ R e a2 = b2 = 0 entao f(ab) = 0.

Demonstracao: Pela observacao anterior podemos assumir que U(A) satisfaz

w1(x1, x2) = xγ1

1 xδ12 · · ·x

γk1 xδk

2

onde γi, δj ∈ {±1,±2} e γ1 = δk = 1.Temos dois casos para analisar:

1o caso: Se car K 6= 2, consideremos o polinomio h em duas variaveis dado por:

h(x1, x2) = (1 + γ1x1)(1 + δ1x2) · · · (1 + γkx1)(1 + δkx2)

= h0(x1, x2) + g11(x1, x2) + g12(x1, x2) + g21(x1, x2) + g22(x1, x2) (3.2)

onde h0 consiste de todos os monomios que contem x21 ou x2

2 e gij contem todos osmononios os quais comecam com xi e terminam com xj. Note que cada monomioem g12(x1, x2) tem a forma x1x2 · · ·x1x2 = (x1x2)

n para algum n, ou seja,

g12(x1, x2) =n∑

i=1

αi(x1x2)βi .

O termo lıder de h(x1, x2) esta em g12(x1, x2) e tem coeficiente γ1δ1 · · · γkδk 6= 0 poiscarK 6= 2. Como γi, δj ∈ {±1,±2} temos

k∏i=1

γiδi = ±1

ouk∏

i=1

γiδi = ±2m, m ∈ Z.

Consequentemente podemos escrever

x2g12(x1, x2)x1 = f(x2x1)

para algum polinomio nao nulo f(x) sobre K0 de grau d = 2k +2. Certamente f(x)e determinado por h(x1, x2) e por sua vez por w.Por hipotese a2 = b2 = 0, logo

(1 + a)(1− a) = 1− a2 = 1 e (1 + b)(1− b) = 1− b2 = 1


ou seja, (1 + a) e (1 + b) sao unidades de A.Temos tambem que (1 + a)n = 1 + na, ∀ n ∈ Z.Sabemos que

w1(1 + b, 1 + a) = 1

ou seja,

w1(1 + b, 1 + a)− 1 = 0.

Assim:

0 = a[w1(1 + b, 1 + a)− 1]b

= a[(1 + b)γ1(1 + a)δ1 · · · (1 + b)γk(1 + a)δk ]b

= a[(1 + γ1b)(1 + δ1a) · · · (1 + γkb)(1 + δka)]b

= a[h(b, a)]b

= a[h0(b, a) + g11(b, a) + g12(b, a) + g21(b, a) + g22(b, a)]b.

Notemos que ah0(b, a)b = 0 pois cada termo de h0 tem a2 ou b2 como fator. Alemdisso

a[g11(b, a) + g21(b, a) + g22(b, a)]b,

pois cada termo de g21 ou g22 comeca com a e cada termo de g11 termina com b.Portanto temos que:

a[g12(b, a)]b = 0.

Mas

f(ab) = ag12(b, a)b = 0.

2o caso: Se carK = 2, temos que U(A) satisfaz:

w1(x1, x2) = xγ1

1 xδ12 · · ·x

γk1 xδk

2

onde γi, δj ∈ {±1,±2} e γ1 = δk = 1.Tomemos g1, g2, g3 ∈ U(A) logo g1g2, g1g3 ∈ U(A) e portanto

w1(g1g2, g1g3) = (g1g2)γ1(g1g3)

δ1 · · · (g1g2)γk(g1g3)

δk = 1.

Obtemos entao a seguinte palavra:

w2(x1, x2, x3) = (x1x2)γ1(x1x3)

δ1 · · · (x1x2)γk(x1x3)

δk .

Podemos reescrever w2(x1, x2, x3) da seguinte forma:

w3(x1, x2, x3) = zη1

1 zη2

2 · · · zηrr


onde zi ∈ {x1, x2, x3}, zi 6= zi+1 e ηi ∈ {±1}. Mais ainda z1 = x1, zr = x3 eη1 = ηr = 1.Definimos o polinomio h em duas variaveis por:

h(x1, x2) = (1 + t1)(1 + t2) · · · (1 + tr)− 1

onde

ti =

x1x2x1 zi = x1;x2x1x2x1x2 zi = x2;(x1 + x2x1)x2(x1 + x1x2) zi = x3.

Em particular, t1 = x1x2x1 e tr = (x1 + x2x1)x2(x1 + x1x2). Agora escrevemos h talcomo em (3.2), ou seja,

h(x1, x2) = h0(x1, x2) + g11(x1, x2) + g12(x1, x2) + g21(x1, x2) + g22(x1, x2)

Olhando para o polinomio t1t2 · · · tr em h, vemos que g12 6= 0, e consequentementex2g12(x1, x2)x1 = f(x2x1) para algum polinomio nao nulo f(x) ∈ K0[x]. E claro quef(x) e determinada por h(x1, x2) e consequentemente por w.Temos que

(bab)2 = (ababa)2 = ((b + ab)a(b + ba))2 = 0,

ou seja,

1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba) sao unidades.

Portanto

w3(1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba)) = 1

assim,

w3(1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba))− 1 = 0.

Como car K = 2, quando c ∈ A e tal que c2 = 0, temos (1 + c)−1 = 1− c = 1 + c.Entao,

0 = a[w3(1 + bab, 1 + ababa, 1 + (b + ab)a(b + ba))− 1]b = ah(b, a)b

= a[h0(b, a) + g11(b, a) + g12(b, a) + g21(b, a) + g22(b, a)]b.

Usando os mesmos argumentos como no caso anterior, concluımos que

a[g12(b, a)]b = 0

portanto

f(ab) = ag12(ba)b = 0.


Vamos usar daqui em diante, as notacoes f(x) e d como no lema anterior.

Lema 3.3 Seja A uma algebra sobre um corpo K e suponha U(A) ∈ GI. Sejama, b ∈ A tais que a2 = b2 = 0, entao:

1. Se |K| > d; entao (ab)d = 0.

2. Se ab e nilpotente, entao (ab)d = 0.

Demonstracao:

1. Primeiramente suponhamos |K| > d. Para qualquer λ ∈ K temos que que(λa)2 = 0 e b2 = 0. Logo pelo Lema 3.2 existe f(x) ∈ K[x] de grau d tal quef(λab) = 0.

Seja f(x) =d∑

i=0

aixi onde ad 6= 0. Entao ad(ab)λd + · · ·+ a1abλ + a0 = 0 para

qualquer λ ∈ KSe |K| > d, o argumento do determinante de Vandermonde mostra quead(ab)d = 0. Consequentemente (ab)d = 0.

2. Agora suponhamos que ab e nilpotente. Usando novamente o Lema 3.2 temosque existe f(x) ∈ K[x] de grau d tal que f(ab) = 0. Seja g(x) o polinomiominımo de ab sobre K. Entao g(x) = xk para algum k, pois ab e nilpo-tente. Tambem g(x) | f(x) logo k ≤ d. Consequentemente (ab)d = 0 pois0 = g(ab) = (ab)k.

Seja Mn(K) a algebra das matrizes n × n sobre um corpo K. Se U(Mn(K))satisfaz uma identidade polinomial e n ≥ 2, entao nos temos controle sobre o tipode corpo K e o grau n. De fato, temos:

Lema 3.4 Seja K um corpo. Se U(Mn(K)) satisfaz w = 1 e n ≥ 2, entao

1. |K| ≤ d e consequentemente K e um corpo finito.

2. n < 2 log|K| d + 2 ≤ 2 log2 d + 2.

Demonstracao:


1. Consideremos as matrizes elementeres a = e12 e b = e21, entao a2 = b2 = 0.Mas e11 = ab nao e nilpotente, portanto pelo Lema 3.3 que |K| ≤ d. Destaforma provamos 1.

2. Seja s o menor inteiro positivo tal que |K|s > d, entao|K|s−1 ≤ d < |K|s.Seja F um corpo finito tal que [F : K] = s, ou seja, DimKF = s. Portanto|F | = |K|s > d.Agora se α ∈ F, consideremos fα um K-homomorfismo tal que:

fα : F → F

β 7→ βα

ou seja, F age sobre F por multiplicacao a direita.Podemos considerar o homomorfismo injetor:

f ∗ : F → EndK(F )

α 7→ fα

Portanto F ↪→ EndK(F ) ∼= Ms(K) e consequentementeM2s(K) = M2(Ms(K)) ⊇ M2(F ).Se n ≥ 2s, entao U(M2s(K)) ↪→ U(Mn(K)) e por hipotese U(Mn(K)) ∈ GIe desta forma U(M2(F )) ∈ GI. Entao temos que M2(F ) e uma algebra sobreF com |F | > d, mas isto contradiz a parte 1. Portanto concluımos que n < 2s.

Afirmacao 1: s− 1 ≤ log|K| d.De fato: Temos que |K|s−1 ≤ d logo

logK |K|s−1 ≤ log|K| d ⇔ (s− 1)log|K| |K| ≤ log|K| d ⇔ (s− 1) ≤ log|K| d.

Desta forma n < 2 s ≤ 2 log|K|d + 2.

Afirmacao 2: |K| ≥ 2 ⇒ log|K| d ≤ log2 d.De fato: Temos que

log|K| d = x ⇔ |K|x = d

log2 d = y ⇔ 2y = d

Mas |K| ≥ 2 ⇒ |K|x ≥ 2x ⇒ d ≥ 2x,e como

2x ≤ d = 2y ⇒ log|K| d ≤ log2 d.

Portanton < 2 s ≤ 2 log|K|d + 2 ≤ 2 log2 d + 2

e assim demonstramos a parte 2.

3.3. GPI E PI-ALGEBRAS 31

3.3 GPI e PI-algebras

O proximo resultado de J. Goncalves da condicoes que garantem quando um anelde divisao nao comutativo contem um subgrupo livre de posto dois. Este resultadopode ser visto mais detalhadamente em [4], lema 2.0.

Lema 3.5 Seja D um anel de divisao nao comutativo de dimensao finita sobre seucentro. Entao U(D) contem um subgrupo livre de posto dois.

Podemos agora estabelecer um resultado sobre algebras de p′-grupos localmente

finitos.

Lema 3.6 Seja K um corpo de caracterıstica p ≥ 0 e seja G um p′−grupo local-mente finito. Se U(KG) ∈ GI entao KG satisfaz uma identidade polinomial padraos2m para algum m determinado pela identidade de grupo satisfeita por U(KG).

Demonstracao: Seja m ∈ Z tal que m > 2 log2 d + 2.Sejam α1, . . . , α2m quaisquer 2m elementos em KG e seja H o subgrupo de G geradopelos suportes dos elementos αi.Por hipotese G e localmente finito e como H e finitamente gerado, temos H finito,digamos |H| = n.Consequentemente KH e artiniano pela proposicao 2.3.Como H ≤ G e G e p

′−grupo, segue imediatamente que H e p′−grupo, ou seja, H

nao possui p−elementos e portanto p - n.Desta forma, KH e semisimples e pelo teorema de Wedderburn-Artin

KH ∼=r∑

i=1

Mni(Di), onde ni ∈ Z+ e Di sao K−algebras de divisao com dimensao

finita sobre K.Certamente cada U(Di) ∈ GI e [Di : Zi] ≤ [Di : K] < ∞ onde Zi e o centro de Di.Pelo Lema 3.5, Di deve ser comutativo, ou seja, Di e um corpo.Agora cada U(Mni

) ∈ GI, entao pelo Lema 3.4 temos que ni < 2 log2 d + 2 < m,ou seja, ni < m.Consequentemente concluımos que KH satisfaz s2m = 0 pelo teorema de Amitsur-Levitzki e pela proposicao 1.18 (iv).Mas α1, . . . , α2m ∈ KH, logo s2m(α1, . . . , α2m) = 0 e portanto, KG satisfaz s2m.

Agora ja estamos em condicoes de demonstrar o teorema 1.26 enunciado nasecao 4 do capıtulo 1, ou seja, vamos assumir que G e um grupo de torcao, comU(KG) ∈ GI e KG satisfazendo uma GPI e vamos mostrar que KG ∈ PI.


Demonstracao: Seja ∆(G) = ∆ o FC-subgrupo, ou seja,

∆ := {g ∈ G / |cl(g)| < ∞}.

Pelo Teorema 1.25, [G : ∆] < ∞ e |∆′| < ∞.

Afirmacao 1: G de torcao, |∆′| < ∞ e [G : ∆] < ∞ ⇒ G localmente finito.De fato: Seja H 6 G tal que H e finitamente gerado.Pergunta: H e finito?Por hipotese [G : ∆] < ∞, logo [∆H : ∆] < ∞.

Como∆H

∆∼=

H

∆ ∩H, concluımos que [H : ∆ ∩H] < ∞.

Pela proposicao 1.8, ∆ ∩H e finitamente gerado.Tambem temos que |∆′| < ∞ e como ∆

′ ∩H ≤ ∆′, logo |∆′ ∩H| < ∞.

Temos que∆ ∩H

∆′ ∩H∼=

∆ ∩∆′H

∆′ ≤ ∆

∆′ , onde∆

∆′ e abeliano.

Desta forma∆ ∩H

∆′ ∩He finitamente gerado, abeliano e de torcao, logo pela proposicao

1.10, temos∣∣∣ ∆ ∩H

∆′ ∩H

∣∣∣ < ∞.

Portanto |H| < ∞ ja que |H| = [H : ∆ ∩H][∆ ∩H : ∆′ ∩H]|∆′ ∩H|.

Seja C o centralizador de ∆′em ∆, ou seja, C = C∆(∆

′).

Temos que [∆ : C] < ∞ pois |∆′| < ∞.

Afirmacao 2: C′ ⊂ Z(C).

De fato: Como C ≤ ∆, logo C′ ≤ ∆

′.

Tomemos [x, y] ∈ C′e b ∈ C.

Portanto [x, y]b = b−1[x, y]b = [x, y]b−1b = [x, y]

Desde que C′ ⊂ Z(C), temos C nilpotente.

Seja P o conjunto de todos os p−elementos em C, ou seja,P := {x ∈ C / o(x) = pn para algum n ∈ Z+}.

Afirmacao 3: P � C.De fato: Sejam x, y ∈ P, logo o(x) = pk, o(y) = pl.Consideremos H =< x, y >. Temos que H nilpotente finitamente gerado e de torcao,portanto pela proposicao 1.10, H e finito.Temos que x, y ∈ Pi, onde Pi e um subgrupo de Sylow de C. Portanto xy ∈ Pi.Consequentemente, P ≤ C.Claramente P � C.

3.3. GPI E PI-ALGEBRAS 33

Tambem C e localmente finito portanto KC e anel localmente artiniano pela proposicao

2.3. Pelo lema 2.7 concluımos que U(K

(C

P

))satisfaz uma identidade de grupo.

Vemos queC

Pe um p

′−grupo localmente finito, consequentemente pelo lema 3.6

K(C

P

)satisfaz uma identidade polinomial. Usando o teorema 1.21, obtemos que

C

Pcontem um subgrupo p−abeliano

A

Pde ındice finito (ou seja,

∣∣∣(A

P

)′∣∣∣ < ∞ e[C

P:

A

P

]< ∞).

Claramente(A

P

)′

︸︷︷︸p−grupo

≤ C

P︸︷︷︸p′−grupo

, portanto(A

P

)′

= {1} e desta formaA

Pe abeliano e

entao A′ ≤ P.

Agora [G : A] = [G : ∆][∆ : C][C : A] < ∞ e A′ ≤ P ∩ ∆

′e um p−grupo finito.

Portanto A′e um p−grupo finito. Logo A e um subgrupo p−abeliano e [G : A] < ∞.

Desta forma pelo teorema 1.21 concluımos que KG satisfaz uma identidade polino-mial.

Capıtulo 4

Demonstracao da Conjectura deHartley

Neste capıtulo, veremos quais foram os argumentos utilizados por Liu no artigo[6] para demonstrar a Conjectura de Hartley. Veremos que ele considerou doiscasos: Primeiramente considerou o caso em que a algebra de grupo e semiprimae consequentemente atacou o problema quando a caracterıstica do corpo e zero.Depois, ele se preocupou no caso em que a caracterıstica do corpo e prima, levandoem consideracao o radical nilpotente de KG e o teorema principal do capıtulo 3.Poderemos notar que os argumentos de Liu sao basicamente os mesmos usados porA. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti em [3], na demonstrcao da conjectura deHartley, no caso em que o corpo K e infinito.

4.1 Algebra de Grupo Semiprima

Antes de apresentarmos a demonstracao da Conjectura de Hartley veremos algunslemas que serao essenciais para a demonstracao de tal Conjectura, quando estivermosno caso em que KG e uma algebra de grupo semiprima.

O proximo resultado foi demonstrado por A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valentiem [3].

Lema 4.1 Seja R um anel semiprimo e seja S := {a ∈ R / ∀ b, c ∈ R, bc = 0 ⇒bac = 0}. Se S contem todos elementos de R de quadrado zero, entao S contemtodos elementos nilpotentes de R.

35

36 CAPITULO 4. DEMONSTRACAO DA CONJECTURA DE HARTLEY

Lema 4.2 Seja R uma algebra sobre um corpo K. Suponha que para todoa, b, c ∈ R com a2 = bc = 0, temos bac = 0. Entao qualquer idempotente de Re central.

Demonstracao: Veja lema 2 em [3].

O proximo resultado e uma imediata e simples consequencia do Lema 3.2.

Recordemos que K0 denota o conjunto dos inteiros em K e que o lema 3.2 nosgarante que para uma algebra A sobre um corpo K tal que U(A) satisfaz umaidentidade de grupo, obtemos um polinomio f(x) sobre K0 de grau d (o qual edeterminado pela identidade de grupo satisfeita por U(A)) tal que se a, b ∈ R ea2 = b2 = 0 temos f(ab) = 0.

Lema 4.3 Seja R uma algebra sobre um corpo K e suponha que U(R) ∈ GI. Sea, b, c ∈ R tal que a2 = bc = 0, entao todos os elementos de bacR satisfaz algumpolinomio g(x) ∈ K0[x] de grau d + 1.

Demonstracao: Pelo lema 3.2 existe um polinomio f(x) ∈ K0[x] de grau d tal quef(acrb) = 0.Seja f(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ adxd e consideremos g(x) = xf(x).

Entao:

g(bacr) = bacrf(bacr)

= bacr[a0 + a1(bacr) + a2(bacr)2 + · · ·+ ad(bacr)d]

= b[a0 + a1(acrb) + a2(acrb)2 + · · · ad(acrb)d]acr

= bf(acrb)acr

= 0

A partir destes lemas, temos agora condicoes de ver a demonstracao da Conjecturade Hartley quando KG e uma algebra de grupo semiprima. Para uma comparacaocom os argumentos de Giambruno, Sehgal e Valenti ver [3].

Teorema 4.4 Seja K um corpo tal que carK = p ≥ 0 e seja G um grupo de torcao.Suponha que KG e uma algebra de grupo semiprima. Se U(KG) ∈ GI entaoKG ∈ PI.

4.1. ALGEBRA DE GRUPO SEMIPRIMA 37

Demonstracao: Seja k = d + 1. Consideraremos dois casos:

1o caso: Existem elementos a, b, c ∈ KG tais que a2 = bc = 0 e (bacKG)k 6= 0.Pelo lema 4.3, bacKG satisfaz uma identidade polinomial de grau k. Pelo lema 1.24KG satisfaz uma GPI pois (bacKG)k 6= 0. Agora usando o teorema 1.26 obtemosque KG satisfaz uma identidade polinomial.

2o caso: Para todos elementos a, b, c ∈ KG tais que a2 = bc = 0, temos(bacKG)k = 0.Por hipotese KG e semiprimo, portanto bac = 0. Pelo lema 4.2 todos idempotentesde KG sao centrais. Pelo lema 4.1, se a, b, c ∈ KG sao tais que a e nilpotente ebc = 0, entao bac = 0.Consideremos P e Q os conjuntos:

P := {g ∈ G / o(g) = pk para algum k};

Q := {g ∈ G / p - o(g)}.

Se p = 0 entao P = {1}.Suponhamos carK = p > 0.Tomemos h ∈ P. Logo o(h) = pr para algum r.

Seja h = 1 + h + h2 + · · ·+ hpr−1. Temos que (h− 1)h = 0.Desde que para qualquer g ∈ P, temos g − 1 nilpotente e pelo que observamosanteriormente, (h− 1)(g − 1)h = 0.Mas

(h− 1)(g − 1)h = (h− 1)gh− (h− 1)h

= (h− 1)gh

ou seja,

(h− 1)gh = 0.

Consequentemente

g = hghi para algum i.

Portanto g−1hg = h−i.Isto mostra que P e um grupo e < h > �P.Para qualquer h ∈ P, g ∈ Q, h − 1 e nilpotente e (g − 1)g = 0. Novamente(g − 1)(h− 1)g = 0.Fazendo os mesmos calculos como acima, obtemos

ghgj = h para algum j.


Portanto h−1gh = g−j.Notemos que

g−1h−1g︸︷︷︸∈ P

h

︸︷︷︸∈ P

= g−1g−j = g−j−1︸︷︷︸∈ Q

∈ P ∩Q = 1,

ja que P e um subgrupo normal.Obtemos entao que gh = hg para qualquer h ∈ P, g ∈ Q.Assim para qualquer h ∈ P, < h > comuta com Q e e normalizado por P, logo< h > � G.Mas, | < h > | = pr, pelo lema 1.31 concluımos que h = 1 pois KG e uma algebrasemiprima. Desta forma para carK = p > 0, tambem obtemos que P = {1}.Agora temos que P = {1} quando carK = p ≥ 0, portanto Q = G, ou seja, G e ump′−grupo.

Tomemos x ∈ G tal que o(x) = m. Claramente m 6= 0 em K.

O elemento e =x

me idempotente de KG; onde x = 1 + x + x2 + · · ·+ xm−1.

Como todos os idempotentes sao centrais, eg = ge, ∀ g ∈ G.Consequentemente xg = gxi para algum i, ou seja,

< x > � G, ∀ x ∈ G.

Entao G e p′−grupo para o qual todo todo subgrupo de G e normal. Desta forma

G e abeliano ou hamiltoniano.Suponhamos que G e hamiltoniano, logo Q8 ⊂ G.Agora se p = 2 significa que G e um 2

′−grupo, ou seja, nao possui elemento deordem 2 (o que seria um absurdo, pois Q8 ⊂ G).Logo p 6= 2 e deste modo KQ8 e semisimples pelo teorema de Maschke.Assim KQ8 u ⊕Mni

(Di), onde Di e anel de divisao para todo i com dimensao finitasobre seu centro.Mas KQ8 ⊂ KG e como os idempotentes de KG sao centrais entao todos os idem-potentes de KQ8 sao centrais ( Mni

(Di) e comutativo para todo i). Deste modocada ni = 1.Por hipotese U(KG) ∈ GI, entao tambem U(KQ8) ∈ GI. Logo U(Di) ∈ GI eportanto nao pode conter um subgrupo livre. Usando o lema 3.5 obtemos que Di ecomutativo, ou seja, KQ8 e comutativo. Absurdo.Logo G e abeliano.Consequentemente KG satisfaz a identidade polinomial w1(x, y) = xy − yx.Assim concluımos o caso semiprimo.

4.2. CASO GERAL 39

4.2 Caso Geral

O radical nilpotente de uma algebra de grupo KG foi definido no capıtulo 1 comoa soma de todos os ideais nilpotentes de KG. Veremos agora alguns resultados sobrea nilpotencia de N(KG). A demonstracao do primeiro deles pode ser encontrado em[9]. Desde que na secao anterior, trabalhamos com algebras de grupos semiprimas, jafoi tratado o caso carK = 0. Portanto nos proximos resultados nos preocuparemossomente com o caso carK = p > 0.

Lema 4.5 Seja K um corpo de caracterıstica p > 0 e seja G um grupo. Se N(KG)e nilpotente entao G possui subgrupos P e H tais que P e um p−grupo finito,[G : H] < ∞ e P = ∆p(H).

Teorema 4.6 Seja K um corpo de caracterıstica p > 0 e seja G um grupo de torcao.Se N(KG) e nilpotente e U(KG) ∈ GI entao KG ∈ PI .

Demonstracao: Como N(KG) e nilpotente, podemos escolher subgrupos P e H deG como no lema 4.5.

Mas G e de torcao e ∆p(H) = P e um p−grupo finito, portanto ∆(H

P

)=

∆(H)

Pe

um p′−grupo, consequentemente pela proposicao 1.31 K

(H

P

)e semiprimo.

Como P � H, a aplicacao ϕ : KH → K(H

P

)e um homomorfismo sobrejetor onde

kerϕ e o ideal ∆(H, P ) com base {x− 1 / x ∈ P, x 6= 1} sobre K. Alem disso, seP e um p−grupo finito e car K = p entao ∆(H, P ) e nilpotente [fazer referencia].

Isto garante que o homomorfismo ϕ : U(KH) → U(K

(H

P

))e sobrejetor.

Agora, fazendo uso do teorema 4.4 concluımos que K(H

P

)satisfaz uma identi-

dade polinomial. PortantoH

Ppossui um subgrupo p−abeliano

A

Pde ındice finito

(teorema 1.21), ou seja,(A

P

)′

e um p−grupo finito e[H

P:

A

P

]< ∞, daı segue que

[H : A] < ∞.Consequentemente A

′e um p−grupo finito e como [G : H] < ∞ concluımos que A e

um subgrupo p−abeliano de G e [G : A] < ∞. Pelo teorema 1.21 KG satisfaz umaidentidade polinomial.

Antes de enunciar o proximo resultado que tem como conclusao o teorema anteriorpara N(KG) nao nilpotente, introduziremos alguns conceitos referentes a algebraslivres.


Seja A = K{X} a algebra livre em um conjunto enumeravel X = {x1, x2, . . .}e K um corpo de caracterıstica p > 0. Denotaremos por A[[t]] o anel das seriesde potencias sobre A, onde t e uma indeterminada. Para qualquer n, os elementos1+x1, 1+x2, . . . , 1+xn sao unidades em A[[t]] com inverso 1+

∑∞k=1(−1)kxk

i tk para

cada i.

Tais unidades geram um subgrupo livre pelo seguinte argumento de Magnus:Suponhamos que

(1 + xi1t)α1(1 + xi2t)

α2 · · · (1 + xiet)αe , = 1. (4.1)

Escrevemos αi = psiβi, p - βi. Entao a equacao. (4.1) fica

(1 + xi1ps1β1tp

s1β1)(1 + xi2ps2β2tp

s2β2) · · · (1 + xiepseβetp

seβe) = 1. (4.2)

Agora seja yik = xikpsk , portanto a equacao (4.2) fica:

(1 + yi1tps1 )β1(1 + yi2t

ps2 )β2 · · · (1 + yietpse

)βe = 1.

Observamos que o coeficiente de yi1yi2 · · · yiet∑

psjno lado esquerdo e β1β2 · · · βs, o

qual nao e zero e portanto obtemos uma contradicao. Consequentemente o grupodas unidades de A[[t]] nao satisfaz nenhuma palavra.

Em particular se w = w(y1, y2, . . . , yk) e uma identidade de grupo satisfeita porU(KG) entao w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) 6= 1.

Visto isto, agora podemos enunciar o seguinte teorema:

Teorema 4.7 Seja K um corpo de caracterıtica p > 0 e seja G um grupo de torcao.Se N(KG) nao e nilpotente e U(KG) ∈ GI, entao KG ∈ PI.

Demonstracao: Consideramos A[[t]] o anel das series de potencias sobre A. Comovimos anteriormente, se w e uma palavra em k variaveis satisfeita por U(KG) entaow(1 + x1t, . . . , 1 + xkt) 6= 1.Portanto podemos encontrar uma expressao da forma

w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt)− 1 =∑i≥1

fi(x1, . . . , xk)ti 6= 0,

4.2. CASO GERAL 41

onde fi(x1, . . . , xk) ∈ K{X} e um polinomio homogeneo de grau i.Consequentemente existe um menor inteiro s ≥ 1 tal que fs(x1, . . . , xk) 6= 0 epodemos escrever

w(1 + x1t, . . . , 1 + xkt)− 1 =∑i≥s

fi(x1, . . . , xk)ti 6= 0,

Afirmacao: Para qualquer inteiro n, existe um ideal nilpotente I de KG tal queIn 6= 0.De fato: Suponhamos por absurdo que In = 0 para qualquer ideal nilpotente I deKG.Sejam a1, . . . , an ∈ N(KG).Existe um numero finito de ideais nilpotentes I1, . . . , Ij tal que{a1, . . . , an} ⊆ J =

∑ji=1 Ii. Claramente J e nilpotente, portanto Jn = 0.

Logo a1a2 · · · an = 0 e (N(KG))n = 0, absurdo.Consequentemente podemos encontrar um ideal nilpotente I de KG tais que Ir 6= 0e Ir+1 = 0 para algum inteiro r > s.Para quaisquer a1, . . . , ak, ak+1 ∈ I, 1+a1, . . . , 1+ak sao unidades de KG. Portanto:

0 = w(1 + a1, . . . , 1 + ak)− 1 =r∑

i=s

fi(a1, . . . , ak)

pois Ir+1 = 0 e f e um polinomio homogeneo de grau i. Entao

0 = (w(1 + a1, . . . , 1 + ak)− 1)ar−sk+1 =

r∑i=s

fi(a1, . . . , ak)ar−sk+1

Para i ≥ s + 1,fi(a1, . . . , ak)a

r−sk+1 = 0

pois fi(x1, . . . , xk)xr−sk+1 e homogeneo de grau i + r − s ≥ r + 1 e Ir+1 = 0.

Consequentemente fs(a1, . . . , ak)ar−sk+1 = 0.

Desta forma fs(x1, . . . , xk)ar−sk+1 e uma identidade polinomial de grau r para I. Como

Ir 6= 0, logo pelo lema 1.24 KG satisfaz uma GPI e consequentemente uma identi-dade polinomial pelo teorema 1.26.

Desta forma, combinando o teorema 1.30 e o teorema 4.4 demonstramos a con-jectura no caso quando a caracterıstica do corpo e zero. Os teoremas 4.6 e 4.7demonstram a Conjectura de Hartley no caso quando a caracterıstica do corpo eprima.

Consideracoes Finais

Apos termos visto a demonstracao da Conjectura de Hartley, podemos nos per-guntar quais as condicoes sobre um corpo K e um grupo de torcao G que nosgarantem que U(KG) satisfaz uma identidade de grupo pois, sob estas condicoes,automaticamente teremos que KG satisfaz uma identidade polinomial.

Logo apos a publicacao do artigo de A. Giambruno, S. Sehgal e A. Valenti [3]em 1997, D. Passman respondeu esta questao para algebras de grupos sobre corposinfinitos. De fato, o seguinte foi demonstrado:

Teorema 4.8 (Passman, [8]) Se K e um corpo infinito de caracterıstica p > 0 eG e um grupo de torcao, entao o grupo das unidades de KG satisfaz uma identidadede grupo se, e somente se, KG satisfaz uma identidade polinomial e G

′e de expoente

limitado.

Por outro lado, o lema 2.3 de [3] afirma que para qualquer grupo finito naoabeliano G e qualquer corpo infinito K de caracterıstica p > 0, se o grupo dasunidades de KG satisfaz uma identidade de grupo entao o subgrupo comutador G

′

deve ser p-grupo.

De uma certa maneira, estes resultados podem ser estendidos para corpos finitos,ou seja, podem ser provados de uma maneira mais geral, quando K e um corpo decaracterıstica p > 0 e G um grupo de torcao.

O seguinte resultado foi provado em 1999 por Liu e Passman [7]:

43


Teorema 4.9 (Liu/Passman) Seja G um grupo de torcao e K um corpo tal quecarK = p > 0. Se G

′e um p−grupo, entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. U(KG) satisfaz uma identidade de grupo.

2. G possui um subgrupo normal p−abeliano de ındice finito e G′tem expoente

limitado.

3. U(KG) satisfaz [x, y]pk

= 1 para algum inteiro k ≥ 0.

Alem disso, se G′nao e um p−grupo, entao nao somente o expoente de G

′pode

ser limitado, como afirma o proximo resultado:

Teorema 4.10 (Liu/Passman [7]) Seja G grupo de torcao e K um corpo tal quecarK = p > 0. Se G

′nao e um p−grupo, entao as seguintes afirmacoes sao equiva-

lentes:

1. U(KG) satisfaz uma identidade de grupo.

2. G possui um subgrupo normal p−abeliano de ındice finito e G tem expoentelimitado e K e finito.

3. U(KG) satisfaz xn = 1 para algum inteiro n.

Agora, suponhamos que G seja um grupo arbitrario, nao necessariamente detorcao. Se U(KG) satisfaz uma identidade de grupo, ja vimos que a conclusao daconjectura de Hartley nao e necessariamente verdadeira.

O maior problema em caracterizar algebras de grupo KG cujas unidades satisfazuma identidade de grupo e a dificuldade de manipular a parte livre de torcao dogrupo G.

Parece necessario assumir algumas hipoteses sobre G, principalmente no que sediz respeito ao seu subconjunto de torcao.

Em 2000, no artigo [2], Giambruno, Sehgal e Valenti dao uma completa classi-ficacao de grupos G tais que U(KG) satisfaz uma identidade de grupo sob a hipoteseque G tem um elemento de ordem infinita ou que G

Te nilpotente, onde T e o con-

junto dos elementos de torcao de G e K e um corpo infinito (observando que nestasituacao, temos T � G).

4.2. CASO GERAL 45

De fato, considerando K um corpo tal que carK = p ≥ 0, G um grupo e P oconjunto dos p−elementos em G, o seguinte resultado foi provado em [2]:

Teorema 4.11 Suponha que K e infinito ou G possui um elemento de ordem in-finita. Temos que:

a) Se U(KG) satisfaz uma identidade de grupo entao P e um subgrupo.

b) Se P e de expoente ilimitado e U(KG) satisfaz uma identidade de grupo entao:

(i) G contem um subgrupo p−abeliano de ındice finito.

(ii) G′e de expoente limitado potencia de p.

Reciprocamente, se P e um subgrupo e G satisfaz (i) e (ii) entao U(KG) satisfazuma identidade de grupo.

c) Se P e de expoente limitado e U(KG) satisfaz uma identidade de grupo entao:

(1) P e finito ou G possui um subgrupo p−abeliano de ındice finito.

(2) T(G

P

)e um p

′−subgrupo abeliano e T e um grupo.

(3) Qualquer idempotente de K(G

P

)e central.

Reciprocamente, se P e um subgrupo, G satisfaz (1), (2), (3) eG

Te nilpotente entao

U(KG) satisfaz uma identidade de grupo.

Referencias Bibliograficas

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[10] Polcino C. and Sehgal S. K. An introduction to groups rings. ManuscriptaMath., 111 (2002) .

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