Teorica N3

© 2004 Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem 1

Aula Teórica Nº 3

A negação (~ ou ¬) Tabela de Verdade da Negação

Semântica da Negação

– O João não está em casa;

– Não é verdade que o João esteja em casa.

– Têm a mesma tradução em LPO: ¬Casa(joão)

– Esta frase é apenas verdadeira se Casa(joão) não for verdadeira, ou seja apenas no caso do João não estar em casa.

Em lógica o símbolo negação em frente de uma frase nega sempre essa frase:

– ¬¬Casa(joão) nega a frase:

– ¬Casa(joão)

Iremos denominar por literal uma frase atómica (literal positivo), ou a negação (literal negativo) de uma frase atómica.

A negação de p é a frase ¬p, que se lê “não p”. O seu valor de verdade é definido pela seguinte tabela de verdade.

p ~pT FF T


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Conjunção ()

Tabela de Verdade da conjunção

Semântica

– O João e a Maria estão em casa.

– O João está em casa e a Maria está em casa.

Têm a mesma tradução em LPO:

– Casa(joão) Casa(maria)

– Esta frase é verdadeira apenas se o João e a Maria estiverem em casa.

A conjunção de p e q é a frase pq, que se lê “p e q”. O seu valor de verdade é definido pela seguinte tabela de verdade.

p q pqT T TT F FF T FF F F


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Conjunção ()

Existem determinadas utilizações da linguagem natural que não têm equivalência na LPO. Por exemplo, suponhamos que estávamos a falar de uma noite em que o Mário e o Carlos estiveram juntos. Se quisermos dizer:

– O Mário foi para casa e o Carlos foi dormir

A nossa declaração tem implícita uma implicação temporal: que o Mário foi para casa antes do Carlos se ir deitar.

De forma semelhante, se invertêssemos a ordem e declarássemos:

– O Carlos foi dormir e o Mário foi para casa.

Estávamos a referir-nos a uma situação completamente diferente.

Em LPO não existem este tipo de implicações (implícitas ou explícitas). A frase:

– FoiCasa(mário) FoiDormir(carlos)

Tem o mesmo valor de verdade que a frase:

– FoiDormir(carlos) FoiCasa(mário)


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Disjunção () Tabela de Verdade da Disjunção

Semântica da Disjunção

– O João ou a Maria estão em casa.

– O João está em casa ou a Maria está em casa.

– Têm a mesma tradução em LPO: Casa(joão) Casa(maria)

O é usado no sentido inclusivo e não exclusivo. A frase atrás é verdadeira se pelo menos uma das frases atómicas que a constituem é verdadeira. Se pretendêssemos expressar o sentido exclusivo do OR na frases anterior, podíamos fazê-lo através da frase:

– [Casa(joão) Casa(maria)] ~[Casa(joão) Casa(maria)]

A disjunção de p e q é a frase pvq, que se lê “p ou q”. O seu valor de verdade é definido pela seguinte tabela de verdade.

p q pvq T T T T F T F T T F F F


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Equivalência Lógica

Diz-se que duas frases P e Q, de uma mesma linguagem, são logicamente equivalentes se são verdadeiras exactamente nas mesmas circunstâncias (e falsas, também, nas mesmas circunstâncias). Quando duas frases são logicamente equivalentes dizemos que elas têm as mesmas condições de verdade.

A equivalência lógica expressa-se da seguinte forma:

PQ

Se as frases P e Q são frases da linguagem do Tarski’s World, e são logicamente equivalentes, então os mundos que tornam P verdadeira são os mesmos que tornam Q verdadeira. Se existe pelo menos um mundo que torna uma delas falsa e a outra verdadeira, então as frases não são logicamente equivalentes.


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Equivalências Lógicas Mais Usuais

Exemplo 1: Lei da dupla negação.

– As frases P e P são logicamente equivalentes. Este facto é conhecido por lei da dupla negação.

Exemplo 2: As leis da Associação.

– P (Q R) (P Q) R (P Q) R P Q R

– P (Q R) (P Q) R (P Q) R P Q R

Exemplo 3: As leis de DeMorgan.

– As leis de DeMorgan são exemplos mais significativos da equivalência lógica. Uma delas diz-nos que a negação da conjunção,(P Q), é logicamente equivalente à disjunção da negação das frases originais: P Q.

(P Q) P Q

– A segunda lei diz-nos que a negação da disjunção, (P Q), é logicamente equivalente à conjunção da negação das frases originais: P Q.

(P Q) P Q


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Exemplo 4: Idempotência da conjunção .

– Se uma conjunção tem uma frase repetida, então essa conjunção é logicamente equivalente à frase que resulta da eliminação de todas as ocorrências, menos uma, dessa frase. Por exemplo:

» P Q P P Q

Exemplo 5: Idempotência da disjunção .

– Se um disjunção tem uma frase repetida, então essa disjunção é logicamente equivalente à frase que resulta da eliminação de todas as ocorrências, menos uma, dessa frase. Por exemplo:

» P Q P P Q

Exemplo 6: Comutatividade da conjunção .

– Qualquer rearranjo das frases que compõem uma conjunção é logicamente equivalente à frase original. Por exemplo:

» P Q R Q P R

Exemplo 7: Comutatividade da disjunção

– Qualquer rearranjo das frases que compõem uma disjunção é logicamente equivalente à frase original. Por exemplo:

» P Q R Q P R


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Exemplo 8: Considerando A, B e C frases atómicas:

(A B) C (( B A) B)

(A B) C (( B A) B)

(A B) C ((B A) B)

(A B) C (B A B)

(A B) C (B A)

(A B) C (A B)

(A B) C.


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Exemplo 9: Distributividade de sobre

– (A B) (C D)

[(A B) C] [ D]

(A C) (B C) (A D) (B D)

Exemplo 10: Distributividade do sobre o

– (A B) (C D)

[(A B) C] [ D]

(A C) (B C) (A D) (B D)


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Forma Normal da Negação

Para quaisquer frases P e Q:

– 1. Lei da Dupla Negação: P P

– 2. Lei de DeMorgan: (P Q) ( P Q)

– 3. Lei de DeMorgan: (P Q) ( P Q)

Usando estas três leis, podemos, a partir de uma qualquer frase, construída com os conectores lógicos , , e , obter uma outra frase onde o é aplicado apenas a frases atómicas.

Ou seja, qualquer frase construída à custa de frases atómicas e os conectores lógicos , , e , é logicamente equivalente a uma outra formada apenas por literais e pelos conectores lógicos e . Estas frases dizem-se estar na Forma Normal da Negação.

Exemplo 11: Considerando que A, B, e C são frases atómicas.

((A B) C) (A B) C

( A B) C

( A B) C


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Forma Normal da Conjunção e da Disjunção

Uma frase está na Forma Normal Disjuntiva (FND) se é uma disjunção de uma ou mais conjunções de um ou mais literais.

Uma frase está na Forma Normal Conjuntiva (FNC) se é uma conjunção de uma ou mais disjunções de um ou mais literais.

As leis da distributividade da conjunção e da disjunção, permitem-nos transformar qualquer frase que esteja na Forma Normal da Negação, na sua correspondente Forma Normal Disjuntiva ou Conjuntiva.

– A Distributividade de sobre : permite-nos transformar qualquer frase que esteja na Forma Normal da Negação, numa frase na Forma Normal Disjuntiva:

» P (Q R) (P Q) (P R)

– A Distributividade de sobre : permite-nos transformar qualquer frase que esteja na Forma Normal da Negação, numa frase na Forma Normal Conjuntiva.

» P (Q R) (P Q) (P R)


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Forma Normal da Conjunção e da Disjunção

Para determinar se uma frase está na Forma Normal Disjuntiva, observe se os sinais de negação afectam apenas directamente frases atómicas, e se os sinais da conjunção afectam apenas directamente literais. Se estes dois factos se verificarem a frase está na Forma Normal Disjuntiva.

Para determinar se uma frase está na Forma Normal Conjuntiva, observe se os sinais da negação apenas afectam directamente frases atómicas, e se os sinais da disjunção afectam somente literais. Se estes dois factos se verificarem pode concluir que a frase está na Forma Normal Conjuntiva.

Algumas frases estão simultaneamente na FNC e na FND:

– A frase A B, está nas duas formas normais.

» Por um lado está na FND já que é uma disjunção de uma frase (ela própria) a qual é uma conjunção de dois literais. Por outro lado, está na FNC já que é uma conjunção de duas frases, cada uma das quais é uma disjunção de um literal.

Exemplo 12: Usando uma cadeia de equivalências podemos obter, para as seguintes frases, frases equivalentes mas na FND.

a) C (A (B C))

b) A (A (B (A C)))

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