Professor Vilson Schwantes – PROPORÇÃO. PRELIMINARES: Para se compreender o que vem a ser uma...

Professor Vilson Schwantes – www.pvilson.com.br

PROPORÇÃO.PRELIMINARES: Para se compreender o que vem a ser uma proporção é necessário ter idéia a respeito do que seja uma razão.

Razão é uma relação entre dois valores, ou seja, uma divisão entre duas grandezas. Ex: A soma das idades de um pai [Paulo] e seu filho [Felipe] é de 40 anos. Sabendo-se que a razão entre essas idades é de 5/3, calcule a idade do pai e a do filho.

RAZÃO


P F5 3

10 6

15 920 1225 15

25+15= 40

Pai Filho

Aplicando propriedades proporções.P+F=40;

1) Propriedades;2) Direto…


Outros exemplos: Você já deve ter ouvido expressões como: De cada 20 habitantes 5 são analfabetos; De cada 10 alunos, 2 gostam de matemática; No mês de agosto de 2002, tivemos um dia de sol, para cada 3 dias de chuva. Em cada uma dessas frases está sempre uma comparação entre dois números.

Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; No segundo 2 entre 10 e no último 1 para cada 3. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão. Teremos, pois:


•de cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão = 20

5

•de cada 10 alunos, 2 gostam de matemática. Razão = 10

2

Razão= Comparação entre quantidades de uma mesma grandeza ou grandezas diferentes.


RAZÕES EQUIVALENTES.*Um automóvel gasta 1 litro de gasolina para percorrer 8 Km, então:

•Com 2 litros de gasolina percorrerá 16 Km;

•Com 3 litros de gasolina percorrerá 24 Km;

•Com 4 litros de gasolina percorrerá 32 Km.


Retomando: Numa prova de matemática, um aluno acertou 30 questões e errou 20. A razão entre as questões certas e as questões erradas é igual a quanto :

Um terreno tem 200 metros quadrados de área livre para 600 metros de área construída. A razão da área livre para a área construída é: ......................


*O comprimento de uma sala de aula é 6 metros. Num desenho, este comprimento está representado por 2 cm. Qual foi a escala usada para fazer o desenho? ........

600 cm 2cmx 1cm

X=300 cm; ou;1cm ~ 3m


A capacidade total de um reservatório é de 1000 litros.Neste momento, o reservatório contém 750 litros de água.Qual é a razão entre a quantidade de água que o reservatório contém neste momento e a sua capacidade total?


Propriedades das Proporções.P1: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa. Ex: Resolver uma proporção através desta propriedade significa determinar o valor do termo desconhecido na proporção.

200

80

40

x 16x

10

7

2 35


PARA NÃO ESQUECER.


Propriedades das Proporções.P2. Uma proporção não se altera se somarmos simultaneamente o antecedente ao conseqüente da primeira e o antecedente ao conseqüente da segunda.


Resp. P=35 anos e F=10 anos.

P F7 2

14 421 628 835 10


Propriedades das Proporções.P3 Uma proporção não se altera se subtrairmos simultaneamente o antecedente ao conseqüente da primeira e o antecedente ao conseqüente da segunda.

A diferença entre as idades de Carlos e José é 18 anos. Se a razão dessas idades é 19/10, qual é a idade de José?

20 ANOS


A soma de 2 números é 27. Se a razão entre eles é 2/7, quais são os números? 6 e 21

A razão entre a base e a altura de um retângulo é 8/3 e a soma 22. Calcule a base e a altura do retângulo? b=16 e h=6


MÉDIA PONDERADA.A média ponderada de vários números, com pesos diferentes, é igual à soma dos produtos dos números (ou valores) pelos respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos.

Onde ‘N’ são os números ou valores e ‘P’ são os pesos.

Num concurso para um banco atribui-se peso 3 à prova de matemática, peso 2 para a prova de contabilidade e peso 1 para português. Um candidato tirou as seguintes notas: português 6, contabilidade 6 e matemática 5. Qual a média do candidato? 5,5


MÉDIA PONDERADA.Um professor combinou com seus alunos que a nota de um determinado bimestre seria calculada através da média aritmética ponderada dos testes T1,T2 e T3 realizados durante o bimestre, com os respectivos pesos 3;3 e 4. As notas do aluno Marcos foram T1=7, T2=5 e T3=9. Qual foi a nota bimestral de Marcos?

7,2


GRANDEZAS PROPORCIONAIS e DIVISÃO PROPORCIONAL.

No dia a dia, lidamos com situações que envolvem números, tais como: Preço, peso, salário, dias de trabalho, índice de inflação, velocidade, tempo, idade e outros. Passaremos a nos referir a cada uma dessas situações mensuráveis como uma grandeza. Cada grandeza não é independente, mas, vinculada a outra conveniente.

O salário está relacionado a dias de trabalho; a velocidade com o tempo e espaço percorrido; a pesos que dependem da idade do indivíduo, etc. Vamos analisar dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais.


GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.

Observe que, quando na primeira grandeza (lata(s) de cerveja) aumenta na razão 1 para 2, a segunda grandeza (preço) passa de 1,20 para 2,40.

Como

40,2

20,1é equivalente 2

1

Temos a proporção:

2

1= 40,2

20,1= 0,5 = 0,5

Idem de 1 para 3; r=0,3333….

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.Dessa forma, dizemos que as duas grandezas (quantidade de latas de cerveja e preços) são diretamente proporcionais.

Assim duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se (variando) uma delas, a outra também (varia) na mesma razão da primeira. Ou ainda, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se (ou diminuindo-se) uma delas numa determinada razão, a outra aumenta (ou diminui) nessa mesma razão.

Grandezas como o trabalho produzido e remuneração obtida são, quase sempre diretamente proporcionais. De fato, se você receber R$ 20,00 por dia trabalhado (já incluído descanso remunerado), no final de 15 dias receberá R$ 300,00 de salário ou no final de 30 dias receberá R$ 600,00.

X=300 X=600


GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.Seja dividir R$ 660,00 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5 que são as horas que A e B trabalharam. Quanto deve receber cada sujeito?

300 e 360

x+y=660;Ou

Macete

6+5=11;660:11=60

(Constante)

60.60.

6

5

Dividir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4.

10 e 8


GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.A distância entre Cascavel e Foz do Iguaçu é 120 Km. Um veículo pode percorrer esta distância com diferentes velocidades. Vamos examinar a relação que existe entre as grandezas velocidade e tempo gasto no percurso

Velocidade Tempo Gasto

A 30 Km/h 4 hB 40 Km/h 3 hC 60 Km/h 2 hD 120 Km/h 1 h

RazãoVelocidade

RazãoTempo

Razão Velocidade é Inverso Razão Tempo


Problematizando: X=3 h

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando-se (ou variando-se) uma delas a outra diminui (ou varia) na mesma razão da primeira (na inversa da primeira).


GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.Grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma tarefa são, em geral, inversamente proporcionais. Assim, para uma tarefa de que 10 operários executam em 20 dias devemos esperar que 5 operários a realizem em 40 dias;

10 Oper. 20 dias.5 Oper. ‘x’

40 dias

Velocidade média e tempo de viagem, são inversamente proporcionais, pois, se você dobrar a velocidade de seu veículo, mantendo fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade;


Dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e a 5 que correspondem as faltas no trabalho das pessoas A e B. Quando deve receber cada um?

Macete:

160 : 8= 20 Razão20 .20 .

35

60 e 100

Resolva também utilizando as propriedades das proporções.


*Seja dividir o número 336 em partes inversamente proporcionais a 6;10;12.

Macete:336 : 21= 16 16 .

16 .16 .

1065

160 ; 96 e

8016=Razão

Resolva também utilizando as propriedades das proporções.


A quantia de R$ 850,00 deve ser repartida em três parcelas que são inversamente proporcionais aos números 10; 8 e 5. Qual é o valor de cada uma das parcelas? R$ 200,00 ; 250,00 e

R$ 400,00

Um barbante de 200 cm de comprimento foi dividido em pedaços diretamente proporcionais aos números 3 ; 5 e 2. Qual é o comprimento de cada pedaço? 60 cm ; 100 cm e

40 cm


REGRA DE TRÊSUma regra de três pode ser simples (direta ou inversa) e composta. Vejamos no exemplo. Se 10 quilos de uma certa mercadoria custam 120 reais, quanto custarão 2,5 quilos.

Onde está a incógnita ‘x’, desce sempre a seta, ok.

Agora você deve descobrir se a regra de 3 é direta ou inversa. A regra de 3 será direta, se a um aumento de mercadoria corresponder a um

aumento de preço, ou ainda, se uma diminuição de mercadoria corresponder a uma diminuição de preço.


REGRA DE TRÊSNo caso temos uma regra de 3 direta, pois, 2,5 Kg (menos mercadoria) vai custar menos dinheiro, isto é, menos do que 120,00 reais. Colocamos então, uma seta para baixo, indicativa de regra de 3 direta na coluna onde não estiver a variável.

Após isso arme uma proporção, começando com a coluna que tem a incógnita e a iguale a outra que teve ser disposta no mesmo sentido da seta, isto é, se a seta vem do 10 para o 2,5 o numerador é o 10 e do denominador o 2,5.

Resolvendo, vem:

x= R$ 30,00


REGRA DE TRÊS1) De cada litro de água salgada podemos extrair 4g de sal. Quantos litros da mesma água serão necessários para obtermos um quilo de sal? 250

litros

Um automóvel percorre 30Km em 45 minutos. Quantos Km percorrerá em 5 horas?2 200

Km

Um avião consome 400 litros de gasolina por hora. Calcule o consumo numa etapa de 2h, 10 min e 3s?

3

867 litros.

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