GUIDG.COM – PG. 1 27/9/2010 – CDI-1: TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS

(u, v, w) são variáveis ; (a, b, c) constantes ; e ≈ 2,7182 , lnu = logeu ; sin = seno ; cos = cosseno ; tan = tangente ;

cot = cotangente ; sec = secante ; csc = cossecante ; arc = arco ; h = hiperbólico ; arg = argumento ; s = substituições

IN Integral Imediata IN Integral Imediata

(1) Z duF dv` a

=Z duFZ dv (2) Z b dw= bZ dw (3) Z du = u + c (4) Z duuffffffff=Z u@ 1 du = ln u

L

L

M

M+ c

(5) Z ua du = ua + 1

a + 1ffffffffffffff+ c , a ≠@1 (6) Z au du = au

ln affffffffff+ c (7) Z eu du = eu + c (8) Z udv= vu@Z vdu

9 Z sinu du=@ cosu + c 15 Z sinhu du= coshu + c

10 Z cosu du= sinu + c 16 Z coshu du= sinhu + c

11 Z sec2 u du= tanu + c 17 Z sech2u du= tanhu + c

12 Z csc2 u du=@ cotu + c 18 Z csch2u du=@cothu + c

13 Z secu A tanu du= secu + c 19 Z sechu A tanhu du=@ sechu + c

14 Z cscu A cotu du=@cscu + c 20 Z cschu A cothu du=@ cschu + c

21 ♦ Z du

1@u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffff= arc sinu + c 26 Z du

1@u2

fffffffffffffffff= arg tanhu + c , se| u | < 1arg cothu + c , se| u | > 1

X

\

Z

ou = 12fffln 1 + u

1@ufffffffffffffffL

L

L

L

L

M

M

M

M

M

+ c

X

\

Z

22 ♦ Z du

a2@u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

fffffffffffffffffffffffffffff= arc sinuaffff+ c 27 Z du

1 + u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffff= arg sinhu + c = ln u + u2 + 1qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwL

L

L

L

M

M

M

M

+ c

23 Z du1 + u2

ffffffffffffffff= arc tanu + c 28 Z du

u2@1qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

fffffffffffffffffffffffff= arg coshu + c = ln u + u2@1qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwL

L

L

L

M

M

M

M

+ c

24 Z duu2 + a2

ffffffffffffffffffff= 1afffff g

arc tanuaffffd e

+ c 29 Z du

u 1@u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffff=@argsech|u | + c

25 Z dua2@u2

fffffffffffffffffffffa= 12afffffffln u + a

u@affffffffffffffffL

L

L

L

M

M

M

M

+ c 30 Z du

u 1 + u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffff=@argcsch|u | + c

31 Z tanu du= ln secuL

L

M

M+ c 35 ♦ Z du

u u2@a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

fffffffffffffffffffffffffffffffffff= 1affffarc sin

uaffffLLL

L

M

M

M

M

+ c

32 Z cotu du= ln sen uL

L

M

M+ c 36 Z du

u u2@1qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

fffffffffffffffffffffffffffffff= arc secu + c

33 Z secu du= ln secu + tanuL

L

M

M+ c 37 Z du

u a2F u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

ffffffffffffffffffffffffffffffffffff=@ 1affffln a + a2

F u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

uffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffL

L

L

L

L

L

M

M

M

M

M

M

+ c

34 Z cscu du= ln cscu@ cotuL

L

M

M+ c 38 Z du

u2F a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

ffffffffffffffffffffffffffffff= ln u + u2F a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwL

L

L

L

M

M

M

M

+ c

S Substituições e Identidades trigonométricas (1) sin2x = 1@ cos2x

2fffffffffffffffffffffffffffff

(2) cos2 x = 1 + cos2x2

ffffffffffffffffffffffffffff

S Ia2@u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

u = a A sin z` a

X

^

^

\

^

^

Z

IIa2 + u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

u = a A tan z` a

X

^

^

\

^

^

Z

IIIu2@a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

u = a A sec z` a

X

^

^

\

^

^

Z

(3) sin² x + cos²x = 1 (4) sec² x =1 + tan² x (5) csc² x = 1 + cot² x

GUIDG.COM – PG. 2 Leg. Notação Descrição e demonstração se possível.

Fórmulas de Recorrência.

No processo de integração podemos chegar a alguma da formas abaixo, então aplicamos as fórmulas para simplificar o cálculo da integral. As demonstrações foram omitidas (podem ser vistas em qualquer livro de cálculo). Trigonométricas:

1 - Z sinn

u` a

du =@ 1nffffsin

n@1u` a

A cos u` a

+ n@1nfffffffffffffffZ sin

n@ 2u` a

du

2 - Z cosn u` a

du = 1nffffcosn@1 u

` a

A sin u` a

+ n@1nfffffffffffffffZ cosn@ 2 u

` a

du

3 - Z tann u` a

du = 1n@1ffffffffffffffftann@ 1 u

` a

@Z tann@ 2 u` a

du

4 - Z cotn u` a

du =@ 1n@1fffffffffffffffcotn@ 1 u

` a

@Z cotn@ 2 u` a

du

5 - Z secn u` a

du = 1n@1fffffffffffffffsecn@ 2 u

` a

A tan u` a

+ n@2n@1ffffffffffffffffZ secn@ 2 u

` a

du

6 - Z cscn u` a

du =@ 1n@1fffffffffffffffcscn@ 2 u

` a

A cot u` a

+ n@2n@1ffffffffffffffffZ cscn@ 2 u

` a

du

Integração por frações parciais, quando no denominador há funções quadráticas que se repetem e são irredutíveis.

7 - Z du

u2 + a2b cnffffffffffffffffffffffffffffff=

u u2 + a2b c1@ n

2a2 n@1` a

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff+ 2n@32a2 n@1` a

fffffffffffffffffffffffffffffffZ du

u2 + a2b cn@1

ffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Substituições para funções

integrando envolvendo raízes quadradas e trinômios quadrados.

A seguir, mais substituições, isso quando houver um dos casos abaixo na função integrando.

1 - ax2 + bx + cqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=F apwwwwwwwwwwwwwwwwwwwx + t

* Se a > 0 no trinômio ax² + bx + c .

2 - ax2 + bx + cqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= xtF cpwwwwwwwwwwwwwwwww

* Se c > 0 no trinômio ax² + bx + c .

3 - ax2 + bx + cqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= x@ r` a

t

* Se o trinômio ax² + bx + c tem raízes reais, r é qualquer uma das raízes do trinômio. OBS: Esse tipo de substituição é tão complicado quanto as trigonométricas, use um livro para auxiliá-lo.

GUIDG.COM – PG. 3

Teórico fundamental:

Integral indefinida / Anti-derivada e

Primitiva.

Z f x` a

dx = F x` a

+ c ^ F. x` a

= f x` a

A integral da função f (x) é F(x) se e somente a derivada da função F(x) for igual a f (x).

Z . . . . . é o sinal de integração.

f (x) . . é a função integrando. dx . . . . isto indica a variável a que estamos nos referindo. c . . . . . é a constante arbitrária, pode variar, entre C, c, K, k, e etc. * Não esqueça de carregar a constante no final do processo de integração, caso contrário estará se referindo apenas a uma função “ F(x) + 0 ” , fazendo c = 0 , mas a integral não se refere propriamente a esta função, e sim a família de funções tais que a derivada são iguais a função integrando. Integração ou Anti-derivação é o processo para se achar a função a qual queremos integrar. A primitiva de f (x) é a função tal que a derivada de uma outra função F’(x) = f (x) . E a integral então é a família de todas a primitivas, isto por que pode-se adicionar uma constante arbitrária a primitiva, e mesmo assim a derivada será igual a função integrando. 1 – Seja t = f (x) uma função e sua derivada dt = f’ (x)dx. 2 – Se queremos encontrar a integral de f’ (x)dx , então procuramos pela primitiva f (x) . Por isso diz-se que a integração é o processo inverso ao da derivação, logo a integral é também conhecida como a Anti-derivada. Porém não existe regras para se integrar uma função assim como na derivação, o processo é bastante intuitivo, contudo existem as integrais imediatas, e métodos para transformar uma integral aparentemente impossível numa imediata, e é assim que acontece o processo de integração. As integrais imediatas são obtidas ao se derivar as funções elementares, compare a tabela de Integrais elementares com a tabela geral de derivadas, você vai perceber que para se dar bem no estudo de integrais terá de saber muito sobre derivada.

Método da substituição, ou

Mudança de variável.

Algumas integrais podem ser resolvidas aplicando-se o método da substituição de variável, este processo existe devido à regra da cadeia, que pode visto em derivada e diferencial. Veja a demonstração: Da regra da cadeia sabemos que: (1) [ F( g(x)) ]’ = F’[ g(x)].g’(x) Da definição de integral:

Z f t` a

dt = F t` a

+ c ^ F. t` a

= f t` a

Substituindo t = g(x) F. g x` a

B C

= f g x` a

B C

Substituindo em (1): [ F( g(x)) ]’ = f [g(x)].g’(x) Integrando a equação:

Z F g x` a

b c

D E

. dx =Z f g x` a

B C

A g. x` a

dx

F g x` a

B C

=Z f g x` a

B C

A g. x` a

dx

GUIDG.COM – PG. 4

Agora fazemos g(x) = u , então du = g’(x)dx , substituindo:

Z f u` a

du = F u` a

+ c

Na aplicação desse método deve analisar qual função devemos fazer a substituição, para que a integral obtida seja mais simples.

* *

Visto que temos a tabela de integrais e os conceitos fundamentais, podemos seguir com a integração de funções elementares. Quando precisarmos de algumas das regras da tabela faremos assim, IM#, # indicara o número da integral usada. Por exemplo: IN7 – significa que estamos usando a integral imediata número 7 da tabela.

Z tanx dx

Z tanx dx=Z sinxcosxfffffffffffffffdx = I

Substituindo adequadamente: cos x = u , du = – sin x dx – du = sin x dx

I =Z @ duufffffffff g

=@Z duuffffffff

, por IN4:

I =@ ln u

L

L

M

M=@ ln cosxL

L

M

M+ c , mas por propriedades de logaritmos:

I = ln cosx` a@1L

L

L

L

M

M

M

M

+ c

I = ln secxL

L

M

M+ c

Estudo incompleto, poderá ser atualizado futuramente.