Aula 4-Integrais
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AULA 4: Integrais
Keliny Martins de M. Sousa Soares
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Primitivas
De�nição 1: Seja f uma função de�nida num intervalo I. Umaprimitiva de f em I é uma função F de�nida em I, tal que
F ′(x) = f (x)
para todo x em I.
Ex: F (x) = 1
3x3 é uma primitiva de f (x) = x2 em R.
Se duas funções tem derivadas iguais num intervalo, elas diferem,nesse intervalo, por uma constante. Assim as primitivas de f em Isão as funções da forma F (x) + k ,com k constante. Assim,F (x) + k , k constante, é a família das primitivas de f em I. Anotação
∫f (x)dx será usada para representar a família das
primitivas de f: ∫f (x)dx = F (x) + k
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Primitivas
De�nição 1: Seja f uma função de�nida num intervalo I. Umaprimitiva de f em I é uma função F de�nida em I, tal que
F ′(x) = f (x)
para todo x em I.
Ex: F (x) = 1
3x3 é uma primitiva de f (x) = x2 em R.
Se duas funções tem derivadas iguais num intervalo, elas diferem,nesse intervalo, por uma constante. Assim as primitivas de f em Isão as funções da forma F (x) + k ,com k constante. Assim,F (x) + k , k constante, é a família das primitivas de f em I. Anotação
∫f (x)dx será usada para representar a família das
primitivas de f: ∫f (x)dx = F (x) + k
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Primitivas
De�nição 1: Seja f uma função de�nida num intervalo I. Umaprimitiva de f em I é uma função F de�nida em I, tal que
F ′(x) = f (x)
para todo x em I.
Ex: F (x) = 1
3x3 é uma primitiva de f (x) = x2 em R.
Se duas funções tem derivadas iguais num intervalo, elas diferem,nesse intervalo, por uma constante. Assim as primitivas de f em Isão as funções da forma F (x) + k ,com k constante. Assim,F (x) + k , k constante, é a família das primitivas de f em I. Anotação
∫f (x)dx será usada para representar a família das
primitivas de f: ∫f (x)dx = F (x) + k
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
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Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
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Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
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Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Tabela das primitivas:
a) (cx)′ = c
b) ( xα+1
α+1)′ = xα, (α 6= −1)
c) (ex)′ = ex
d) ( ax
ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1
e) (sin x)′ = cos x
f) (cos x)′ = − sin x
g) (tan x)′ = sec2
h) (sec x)′ = sec x tan x
i) (arcsin x)′ = 1√1−x2
j) (arctan x)′ = 1
1+x2
Ex: Seja f (x) = x2
3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.
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Integral de�nida
De�nição 1: Se F é primitiva de uma função f num intervalo I talque F (a) = 0 para um certo a de I, então certamente F é únicanessas condições. Assim,
F =
∫af (t)dt
e
F (x) =
∫ x
af (t)dt, x ∈ I
. Portanto,
F (x) =
∫ a
af (t)dt = 0
e
F ′(x) = (
∫ x
af (t)dt)′ = f (x).
Para cada b de I, o número∫ ba f (t)dt = F (b) se chama integral
de�nida de f de a até b; a e b são extremos de integração e f é afunção integranda, ou o integrando.
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Integral de�nida
De�nição 1: Se F é primitiva de uma função f num intervalo I talque F (a) = 0 para um certo a de I, então certamente F é únicanessas condições. Assim,
F =
∫af (t)dt
e
F (x) =
∫ x
af (t)dt, x ∈ I
. Portanto,
F (x) =
∫ a
af (t)dt = 0
e
F ′(x) = (
∫ x
af (t)dt)′ = f (x).
Para cada b de I, o número∫ ba f (t)dt = F (b) se chama integral
de�nida de f de a até b; a e b são extremos de integração e f é afunção integranda, ou o integrando.
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Integral de�nida
De�nição 1: Se F é primitiva de uma função f num intervalo I talque F (a) = 0 para um certo a de I, então certamente F é únicanessas condições. Assim,
F =
∫af (t)dt
e
F (x) =
∫ x
af (t)dt, x ∈ I
. Portanto,
F (x) =
∫ a
af (t)dt = 0
e
F ′(x) = (
∫ x
af (t)dt)′ = f (x).
Para cada b de I, o número∫ ba f (t)dt = F (b) se chama integral
de�nida de f de a até b; a e b são extremos de integração e f é afunção integranda, ou o integrando.
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De�nição 2: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b].Suponha que este intervalo seja dividido em n partes iguais delargura 4x = b−a
n e seja xj um número pertencente ao j-ésimointervalo , para j = 1, 2, . . . , n. Neste caso, a integral de�nida de fem [a, b], denotada por
∫ ba f (x)dx ,é dada por∫ b
af (x)dx = lim
n→∞[Σn
j=1f (xj)]4x
se este limite existir.
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interpretação geométrica:
Suponhamos que y = f (x) seja contínua e positiva em umintervalo [a, b]. Dividimos esse intervalo em n sub-intervalos decomprimentos iguais, ou seja, 4x = b−a
n de modo quea = a0 < a1 < . . . < an = b. Seja xj um sub-intervalo no ponto[ak−1, ak ], k = 1, 2, . . . , n. Construimos em cada um dessessub-intervalos retângulos com base 4x e altura f (xj) conforme a�gura:
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A soma das áreas dos n retângulos construídos é dado pelosomatório de cada um deles, isto é:
Aretângulos = [Σnj=1f (xj)]4x
Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce, 4xdiminue, e conseguentemente o somatório anterior converge para aárea A da região limitada pelo grá�co de f e pelas retasy = 0, x = a e y = b. Portanto a área dessa região é dada por
A = limn→∞
[Σnj=1f (xj)]4x
Mas esse limite é exatamente igual a de�nição de integral de�nida ecom isso observamos que a integral de�nida de uma funçãocontínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a área daregião limitada pelo grá�co de f, pelo eixo x e pelas retas x = a ex = b.
Ex:Usar integração para calcular a área das regiões delimitadas peloeixo x e pela função f (x) = 2x + 3 no intervalo de [1, 3]
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A soma das áreas dos n retângulos construídos é dado pelosomatório de cada um deles, isto é:
Aretângulos = [Σnj=1f (xj)]4x
Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce, 4xdiminue, e conseguentemente o somatório anterior converge para aárea A da região limitada pelo grá�co de f e pelas retasy = 0, x = a e y = b. Portanto a área dessa região é dada por
A = limn→∞
[Σnj=1f (xj)]4x
Mas esse limite é exatamente igual a de�nição de integral de�nida ecom isso observamos que a integral de�nida de uma funçãocontínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a área daregião limitada pelo grá�co de f, pelo eixo x e pelas retas x = a ex = b.
Ex:Usar integração para calcular a área das regiões delimitadas peloeixo x e pela função f (x) = 2x + 3 no intervalo de [1, 3]
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A soma das áreas dos n retângulos construídos é dado pelosomatório de cada um deles, isto é:
Aretângulos = [Σnj=1f (xj)]4x
Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce, 4xdiminue, e conseguentemente o somatório anterior converge para aárea A da região limitada pelo grá�co de f e pelas retasy = 0, x = a e y = b. Portanto a área dessa região é dada por
A = limn→∞
[Σnj=1f (xj)]4x
Mas esse limite é exatamente igual a de�nição de integral de�nida ecom isso observamos que a integral de�nida de uma funçãocontínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a área daregião limitada pelo grá�co de f, pelo eixo x e pelas retas x = a ex = b.
Ex:Usar integração para calcular a área das regiões delimitadas peloeixo x e pela função f (x) = 2x + 3 no intervalo de [1, 3]
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
1o Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f uma função contínua no intervalo I. Escolhendo c em I, sejaA a função de domínio I dada por A(x) =
∫ xc f . Então para todo x
de I, tem-sedA
dx(x) = f (x)
Ex:∫2xdx
2o Teorema Fundamental do Cálculo
Se F é uma primitiva de f em I e se a e b são números de I, então∫ b
af (t)dt = F (b)− F (a).
Exemplo:
a)∫4
0(2x + 10)dx
b)∫4
−3(x2 − x − 1)dx
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1o Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f uma função contínua no intervalo I. Escolhendo c em I, sejaA a função de domínio I dada por A(x) =
∫ xc f . Então para todo x
de I, tem-sedA
dx(x) = f (x)
Ex:∫2xdx
2o Teorema Fundamental do Cálculo
Se F é uma primitiva de f em I e se a e b são números de I, então∫ b
af (t)dt = F (b)− F (a).
Exemplo:
a)∫4
0(2x + 10)dx
b)∫4
−3(x2 − x − 1)dx
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1o Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f uma função contínua no intervalo I. Escolhendo c em I, sejaA a função de domínio I dada por A(x) =
∫ xc f . Então para todo x
de I, tem-sedA
dx(x) = f (x)
Ex:∫2xdx
2o Teorema Fundamental do Cálculo
Se F é uma primitiva de f em I e se a e b são números de I, então∫ b
af (t)dt = F (b)− F (a).
Exemplo:
a)∫4
0(2x + 10)dx
b)∫4
−3(x2 − x − 1)dx
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
1o Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f uma função contínua no intervalo I. Escolhendo c em I, sejaA a função de domínio I dada por A(x) =
∫ xc f . Então para todo x
de I, tem-sedA
dx(x) = f (x)
Ex:∫2xdx
2o Teorema Fundamental do Cálculo
Se F é uma primitiva de f em I e se a e b são números de I, então∫ b
af (t)dt = F (b)− F (a).
Exemplo:
a)∫4
0(2x + 10)dx
b)∫4
−3(x2 − x − 1)dx
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Propriedades da Integral De�nida
∫ ba (mf + ng)(x)dx = m
∫ ba f (x)dx + n
∫ ba g(x)dx∫ b
a mf (x)dx = m∫ ba f (x)dx∫ b
a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b
a (f + g)(x)dx =∫ ba f (x)dx +
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f − g)(x)dx =∫ ba f (x)dx −
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f )(x)dx =∫ ca f (x)dx +
∫ bc f (x)dx , com a ≤ c ≤ b∫ b
a (f )(x)dx = −∫ ab f (x)dx
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Propriedades da Integral De�nida
∫ ba (mf + ng)(x)dx = m
∫ ba f (x)dx + n
∫ ba g(x)dx∫ b
a mf (x)dx = m∫ ba f (x)dx∫ b
a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b
a (f + g)(x)dx =∫ ba f (x)dx +
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f − g)(x)dx =∫ ba f (x)dx −
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f )(x)dx =∫ ca f (x)dx +
∫ bc f (x)dx , com a ≤ c ≤ b∫ b
a (f )(x)dx = −∫ ab f (x)dx
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Propriedades da Integral De�nida
∫ ba (mf + ng)(x)dx = m
∫ ba f (x)dx + n
∫ ba g(x)dx∫ b
a mf (x)dx = m∫ ba f (x)dx∫ b
a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b
a (f + g)(x)dx =∫ ba f (x)dx +
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f − g)(x)dx =∫ ba f (x)dx −
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f )(x)dx =∫ ca f (x)dx +
∫ bc f (x)dx , com a ≤ c ≤ b∫ b
a (f )(x)dx = −∫ ab f (x)dx
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Propriedades da Integral De�nida
∫ ba (mf + ng)(x)dx = m
∫ ba f (x)dx + n
∫ ba g(x)dx∫ b
a mf (x)dx = m∫ ba f (x)dx∫ b
a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b
a (f + g)(x)dx =∫ ba f (x)dx +
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f − g)(x)dx =∫ ba f (x)dx −
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f )(x)dx =∫ ca f (x)dx +
∫ bc f (x)dx , com a ≤ c ≤ b∫ b
a (f )(x)dx = −∫ ab f (x)dx
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Propriedades da Integral De�nida
∫ ba (mf + ng)(x)dx = m
∫ ba f (x)dx + n
∫ ba g(x)dx∫ b
a mf (x)dx = m∫ ba f (x)dx∫ b
a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b
a (f + g)(x)dx =∫ ba f (x)dx +
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f − g)(x)dx =∫ ba f (x)dx −
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f )(x)dx =∫ ca f (x)dx +
∫ bc f (x)dx , com a ≤ c ≤ b∫ b
a (f )(x)dx = −∫ ab f (x)dx
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Propriedades da Integral De�nida
∫ ba (mf + ng)(x)dx = m
∫ ba f (x)dx + n
∫ ba g(x)dx∫ b
a mf (x)dx = m∫ ba f (x)dx∫ b
a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b
a (f + g)(x)dx =∫ ba f (x)dx +
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f − g)(x)dx =∫ ba f (x)dx −
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f )(x)dx =∫ ca f (x)dx +
∫ bc f (x)dx , com a ≤ c ≤ b∫ b
a (f )(x)dx = −∫ ab f (x)dx
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Propriedades da Integral De�nida
∫ ba (mf + ng)(x)dx = m
∫ ba f (x)dx + n
∫ ba g(x)dx∫ b
a mf (x)dx = m∫ ba f (x)dx∫ b
a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b
a (f + g)(x)dx =∫ ba f (x)dx +
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f − g)(x)dx =∫ ba f (x)dx −
∫ ba g(x)dx∫ b
a (f )(x)dx =∫ ca f (x)dx +
∫ bc f (x)dx , com a ≤ c ≤ b∫ b
a (f )(x)dx = −∫ ab f (x)dx
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Exemplos:Calcule as seguintes integrais:
a)∫2
1x2dx
b)∫3
−1 4dx
c)∫2
0(x3 + 3x − 1)dx
d)∫2
1
1
x2dx
e)∫2
1( 1
x + 1
x3)dx
f)∫ π
8
0sin 2xdx
g)∫1
0e−xdx
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Mudança de variável na integral
Seja f contínua num intervalo I e sejam a e b dois reais quaisquerem I. Seja g : [c , d ]→ I , com g' contínua em [c,d], tal queg(c) = a e g(d) = b. Nestas condições∫ b
af (x)dx =
∫ d
cf (g(u))g ′(u)du
Exemplos:
a)∫1
0(x − 1)10dx
b)∫11
2
√2x − 1dx
c)∫1
0e3xdx
d)∫1
0
xx2+1
dx
e)∫2
1x√x2 + 1dx
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Mudança de variável na integral
Seja f contínua num intervalo I e sejam a e b dois reais quaisquerem I. Seja g : [c , d ]→ I , com g' contínua em [c,d], tal queg(c) = a e g(d) = b. Nestas condições∫ b
af (x)dx =
∫ d
cf (g(u))g ′(u)du
Exemplos:
a)∫1
0(x − 1)10dx
b)∫11
2
√2x − 1dx
c)∫1
0e3xdx
d)∫1
0
xx2+1
dx
e)∫2
1x√x2 + 1dx
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Cálculo da Integral Inde�nida
Sejam f e g tais que Img ⊂ Df com g derivável. Suponhamos queF seja uma primitiva de f, isto é, F ′ = f . Segue que, F ′(g(x)) éuma primitiva de f (g(x))g ′(x). Desse modo, de∫
f (u)du = F (u) + k
segue ∫f (g(x))g ′(x)dx = F (g(x)) + k
Fazendo u = g(x) e du = g ′(x)dx temos que∫f (g(x))g ′(x)dx =
∫f (u)du = F (u) + k = F (g(x)) + k
ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Primitivas Imediatas
a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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Primitivas Imediatas
a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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Primitivas Imediatas
a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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Primitivas Imediatas
a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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a)∫cdx = cx + k
b)∫xαdx = xα+1
α+1+ k (α 6= −1)
c)∫exdx = ex + k
d)∫
1
x dx = ln x + k, (x > 0)
e)∫
1
x dx = ln(−x) + k , (x < 0)
f)∫
1
x dx = ln |x |+ k
g)∫cos xdx = sin x + k
h)∫sin xdx = − cos x + k
i)∫sec2 xdx = tan x + k
j)∫sec x tan xdx = sec x + k
l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k
m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k
n)∫
1
1+x2dx = arctan x + k
o)∫
1√1−x2 dx = arcsin x + k
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Regras algebricas para Integração Inde�nida
1)∫kf (x)dx = k
∫f (x)dx , k uma constante qualquer.
2)∫
[f (x)± g(x)]dx =∫f (x)dx ±
∫g(x)dx
Obs.: Não existe regra para a integral do produto e do quocientede duas funções.
Ex1.: Calcule:
a)∫x√xdx
b)∫
x3+1
x dx
c)∫e2xdx
d)∫cos2 xdx
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Ex2:
a)∫x cos x2dx
b)∫e3xdx
c)∫
(2x + 1)3dx
d)∫
x1+x2
dx
e)∫x√1 + x2
f)∫sin3 x cos xdx
g)∫
sin xcos3 x
dx
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Integração por partes
Suponhamos f e g de�nidas e deriváveis num intervalo I. Temos
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
ouf (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x)
Supondo então, que f ′(x)g(x) admita primitiva em I e observandoque f (x)g(x) é uma primitiva de [f (x)g(x)]′, então f (x)g ′(x)também admitirá primitiva em I e∫
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−∫
f ′(x)g(x)dx
que é a integração por partes. Fazendo u = f (x) e v = g(x)
teremos du = f ′(x)dx e dv = g ′(x)dx , temos que∫udv = uv −
∫vdu
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Integração por partes
Suponhamos f e g de�nidas e deriváveis num intervalo I. Temos
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
ouf (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x)
Supondo então, que f ′(x)g(x) admita primitiva em I e observandoque f (x)g(x) é uma primitiva de [f (x)g(x)]′, então f (x)g ′(x)também admitirá primitiva em I e∫
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−∫
f ′(x)g(x)dx
que é a integração por partes. Fazendo u = f (x) e v = g(x)
teremos du = f ′(x)dx e dv = g ′(x)dx , temos que∫udv = uv −
∫vdu
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Exemplos:
a)∫x cos xdx
b)∫ex cos xdx
c)∫cos2 xdx
d)∫ t1x ln xdx
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Cálculo de Áreas
Suponha que f e g sejam de�nidas e contínuas em [a, b] tais que,f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b]. Então a área da região R limitadas pelosgrá�cos de f e g e pelas retas x = a e x = b, é dada por
A =
∫ b
a[f (x)− g(x)]dx
independente de f e g serem positiva ou não. De fato, temos trêspossibilidades:
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Cálculo de Áreas
Suponha que f e g sejam de�nidas e contínuas em [a, b] tais que,f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b]. Então a área da região R limitadas pelosgrá�cos de f e g e pelas retas x = a e x = b, é dada por
A =
∫ b
a[f (x)− g(x)]dx
independente de f e g serem positiva ou não. De fato, temos trêspossibilidades:
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Exemplos: Encontre a área da região limitada:
a) pelo grá�co de f (x) = x3 pelo eixo x e pelas retas x = −1 ex = 1.
b) pelas curvas x = 0, x = 1, y = 2 e pelo grá�co de y = x2.
c) do conjunto de todos os pontos (x , y) tais que x2 ≤ y ≤√x .
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