1

Universidade Estadual do Mato Grosso – UNEMAT Ciências da Computação

Bruno Henrique de O. Carvalho

Lucas Douglas Rothmund

Integrais Duplas e Triplas

Definições e exercícios

Novembro/2012

Barra do Bugres - MT

2

Bruno Henrique de O. Carvalho

Lucas Douglas Rothmund

Integrais Dupla e Triplas

Trabalho desenvolvido durante a disciplina de

Calculo II como parte da avaliação referente

ao 3º semestre

Professor: Jonhy Syllas dos Santos Ferreira

Barra Do Bugres

2012

3

Sumário Integrais duplas .......................................................................................................................................... 4

Volumes e integrais duplas sobre retângulos ............................................................................ 4

Exemplos.................................................................................................................................... 7

Exercícios ................................................................................................................................... 8

Integrais iteradas ........................................................................................................................................ 9

Exemplo ...................................................................................................................................... 9

Exercícios .................................................................................................................................. 10

Integrais duplas em regiões genéricas ...................................................................................................... 11

Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas .................................................. 11

Regiões planas inscritas em faixas verticais: ............................................................................ 11

Regiões planas inscritas em faixas horizontais......................................................................... 12

Exemplos .................................................................................................................................. 13

Exercícios .................................................................................................................................. 15

Integrais duplas em coordenadas polares ................................................................................................ 16

Exemplos .................................................................................................................................. 18

Exercícios .................................................................................................................................. 20

Integral tripla ........................................................................................................................................... 21

Exemplos ................................................................................................................................... 23

Exercícios ................................................................................................................................... 25

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas .......................................................................... 26

Exemplos ................................................................................................................................... 27

Exercícios ................................................................................................................................... 29

Bibliografia ............................................................................................................................................... 30

4

Integrais duplas

Volumes e integrais duplas sobre retângulos

Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral

definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e,

no processo, chegar à definição de integral dupla.

Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado

e vamos, inicialmente, supor . O gráfico de é a superfície de equação

.

Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja,

y

b a x

d

c

R

R

x

y

z S

Figura 1

Figura 2

Nosso objetivo é determinar o volume de S.

5

O primeiro passo consiste em dividir o retângulo em sub-retângulos. Faremos isso

dividindo o intervalo em m subintervalos , de mesmo comprimento

–

e o intervalo em n subintervalos, [ ] de mesmo comprimento

–

.

traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos,

formamos os sub-retângulos.

[ ]

cada um dos quais com área .

Se escolhermos um ponto arbitrário em cada , podemos aproximar a parte de

que está acima de cada por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base e

altura . O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da

base:

Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das

caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:

∑∑

xi

x

b a x

d

c

R

x1 x2 xi-1

y1

y2

yj-1

yj

y

Rij

(xij , yij)

Figura 3

Dividindo R em sub-retângulos

6

Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de no ponto

amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então,

adicionamos os resultados.

Nossa intuição diz que a aproximação ∑ ∑

melhora quando

aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que:

∑∑

Usamos essa expressão para definir o volume do sólido que corresponde à região que está

acima do retângulo e abaixo do gráfico de .

Mesmo não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição: A integral

dupla de sobre o retângulo é

∫ ∫

∑∑

se esse limite existir. Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função

contínua. Além disso, se , então o volume do sólido que está acima do

retângulo e abaixo da superfície é

∫∫

A soma ∑ ∑

é chamada soma dupla de Riemann e é usada como

aproximação do valor da integral dupla.

7

Exemplos

8

Exercícios

9

Integrais iteradas

Se for contínua no retângulo , então calculamos a

integral dupla de em através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:

∬

∫ [∫

] ∫ [∫

]

Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que for limitada em ,

podendo ser descontínua em um número finito de pontos de .

Exemplo

10

Exercícios

11

Integrais duplas em regiões genéricas

Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para

integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função , não somente sobre

retângulos, mas também sobre uma região de forma mais geral, como mostra a figura

abaixo. Vamos supor que seja uma região limitada, o que significa que pode ser

cercada por uma região retangular . Definimos, então, uma nova função com domínio

por

{

Se a integral dupla de sobre existe, então definimos a integral dupla de sobre por

∬ ∬

Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas

Regiões planas inscritas em faixas verticais:

Consideremos uma região inscrita na faixa vertical e entre o gráfico de duas

funções contínuas de , ou seja:

onde e são contínuas em . Por exemplo, as regiões representadas abaixo:

R

x x

y y

0 0

12

A integral dupla de em é calculada pelas seguintes integrais iteradas:

∬ ∫ ∫

sempre que for contínua em .

Regiões planas inscritas em faixas horizontais

Consideremos uma região inscrita na faixa horizontal e entre o gráfico de

duas funções contínuas de y, ou seja:

onde e são contínuas em . Por exemplo, as regiões representadas abaixo:

A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:

x

y

0 x

y

0 x

y

0 b b b a a a

y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x)

y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x)

x = h2(y) x = h2(y)

x

y

0 x

y

0 x

y

0

d d d

c c

c

x = h1(y) x = h1(y)

x = h1(y)

x = h2(y)

x = h2(y) x = h2(y)

13

∬ ∫ ∫

sempre que for contínua em .

Exemplos

14

15

Exercícios

16

Integrais duplas em coordenadas polares

Suponha que queiramos calcular a integral dupla ∬

, onde é uma das regiões

mostradas na figura 4. Em qualquer dos casos, a descrição de é complicada em

coordenadas retangulares, mas a descrição de R fica mais fácil utilizando-se coordenadas

polares.

Lembre-se da Figura 5 em que as coordenadas polares de um ponto estão

relacionadas com as coordenadas retangulares (x,y) pelas equações

As regiões da Figura são casos especiais do retângulo polar

Que é apresentado na Figura 3. Para calcular a integral dupla ∬

, onde é o

retângulo polar, dividimos o intervalos em subintervalos de larguras

iguais

e dividimos o intervalo em subintervalos de larguras

iguais

. Então os círculos e os raios

Figura 4

𝑦

𝜃 𝑥

𝑟

𝑦

𝑃 𝑟 𝜃 𝑃 𝑥 𝑦

17

18

Exemplos

19

20

Exercícios

21

Integral tripla

Assim como definimos integrais para funções de uma única variável e dupla para funções

de duas variáveis, vamos definir integrais triplas, para funções de três variáveis.

Inicialmente, trataremos o caso mais simples, quando ∫ é definida em uma caixa

retangular:

O primeiro passo é dividir B em subcaixas. Fazemos isso dividindo o intervalo [a,b] em l

subintervalos [x,-1,x] de comprimento iguais ∆x, dividindo [c,d] em m subintervalos de

comprimento ∆y, e dividindo [r,s] em m subintervalos de comprimento ∆z. Os planos

através dos pontos terminais desses subintervalos paralelos aos planos coordenados

subdividem a caixa B em lmn subcaixas.

Como mostrado na figura a seguir, cada subcaixa tem volume ∆V= ∆x ∆y ∆z.

Assim formamos a soma tripla de Riemann.

Ou seja:

∑ ∑

∑ ∫

22

Onde o ponto mostra (

) esta em . Por analogia com a definição da

integral dupla, definimos a integral tripla como o limite das somas triplas de Riemann.

A integral tripla de ∫ sobre a caixa B é

∭∫

∑∑ ∑∫

Se o limite existir.

Novamente, a integral tripla sempre existe se ∫ for continua. Escolhemos o ponto

amostra como qualquer ponto de cada subcaixa, mas, se escolhermos o ponto ,

obteremos uma expressão com aparência complicada para integral tripla:

∭

∑∑ ∑

Assim como para integrais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla

consiste em expressá-la como integral iterada como segue a figura:

Se ∫ é continua em uma caixa retangular , então

∭ ∫ ∫ ∫

A integral iterada do lado direito do Teorema de Fubini indica que primeiro

integramos em relação a x (mantendo y e z fixados), em seguida integramos em relação a y

(mantendo z fixado) e finalmente em relação a z. Existem cinco outras ordens possíveis de

integração todas fornecendo o mesmo resultado.

23

Exemplos

24

25

Exercícios

26

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas

Temos como formula para calcular a integração tripla em coordenadas cilíndricas:

∭ ∫ ∫ ∫

Ela nos diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para

coordenadas cilíndricas escrevendo e deixando z como esta

utilizando os limites apropriados de integração para z, r e , e trocando dV por r dz dr d ,

como mostra a figura:

É recomendável a utilização dessa formula quando E é uma região sólida cuja

descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas, e especialmente quando a função

envolve expressões

Figura 4

27

Exemplos

28

29

Exercícios

30

Bibliografia

STEWART, James. Calculo: Volume 2. São Paulo: Thomson Learning, 2007.