Integrais duplas.pdf
-
Upload
bruno-henrique-de-oliveira -
Category
Documents
-
view
89 -
download
0
Transcript of Integrais duplas.pdf
1
Universidade Estadual do Mato Grosso – UNEMAT Ciências da Computação
Bruno Henrique de O. Carvalho
Lucas Douglas Rothmund
Integrais Duplas e Triplas
Definições e exercícios
Novembro/2012
Barra do Bugres - MT
2
Bruno Henrique de O. Carvalho
Lucas Douglas Rothmund
Integrais Dupla e Triplas
Trabalho desenvolvido durante a disciplina de
Calculo II como parte da avaliação referente
ao 3º semestre
Professor: Jonhy Syllas dos Santos Ferreira
Barra Do Bugres
2012
3
Sumário Integrais duplas .......................................................................................................................................... 4
Volumes e integrais duplas sobre retângulos ............................................................................ 4
Exemplos.................................................................................................................................... 7
Exercícios ................................................................................................................................... 8
Integrais iteradas ........................................................................................................................................ 9
Exemplo ...................................................................................................................................... 9
Exercícios .................................................................................................................................. 10
Integrais duplas em regiões genéricas ...................................................................................................... 11
Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas .................................................. 11
Regiões planas inscritas em faixas verticais: ............................................................................ 11
Regiões planas inscritas em faixas horizontais......................................................................... 12
Exemplos .................................................................................................................................. 13
Exercícios .................................................................................................................................. 15
Integrais duplas em coordenadas polares ................................................................................................ 16
Exemplos .................................................................................................................................. 18
Exercícios .................................................................................................................................. 20
Integral tripla ........................................................................................................................................... 21
Exemplos ................................................................................................................................... 23
Exercícios ................................................................................................................................... 25
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas .......................................................................... 26
Exemplos ................................................................................................................................... 27
Exercícios ................................................................................................................................... 29
Bibliografia ............................................................................................................................................... 30
4
Integrais duplas
Volumes e integrais duplas sobre retângulos
Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral
definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e,
no processo, chegar à definição de integral dupla.
Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado
e vamos, inicialmente, supor . O gráfico de é a superfície de equação
.
Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja,
y
b a x
d
c
R
R
x
y
z S
Figura 1
Figura 2
Nosso objetivo é determinar o volume de S.
5
O primeiro passo consiste em dividir o retângulo em sub-retângulos. Faremos isso
dividindo o intervalo em m subintervalos , de mesmo comprimento
–
e o intervalo em n subintervalos, [ ] de mesmo comprimento
–
.
traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos,
formamos os sub-retângulos.
[ ]
cada um dos quais com área .
Se escolhermos um ponto arbitrário em cada , podemos aproximar a parte de
que está acima de cada por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base e
altura . O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da
base:
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das
caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:
∑∑
xi
x
b a x
d
c
R
x1 x2 xi-1
y1
y2
yj-1
yj
y
Rij
(xij , yij)
Figura 3
Dividindo R em sub-retângulos
6
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de no ponto
amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então,
adicionamos os resultados.
Nossa intuição diz que a aproximação ∑ ∑
melhora quando
aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que:
∑∑
Usamos essa expressão para definir o volume do sólido que corresponde à região que está
acima do retângulo e abaixo do gráfico de .
Mesmo não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição: A integral
dupla de sobre o retângulo é
∫ ∫
∑∑
se esse limite existir. Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função
contínua. Além disso, se , então o volume do sólido que está acima do
retângulo e abaixo da superfície é
∫∫
A soma ∑ ∑
é chamada soma dupla de Riemann e é usada como
aproximação do valor da integral dupla.
7
Exemplos
8
Exercícios
9
Integrais iteradas
Se for contínua no retângulo , então calculamos a
integral dupla de em através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:
∬
∫ [∫
] ∫ [∫
]
Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que for limitada em ,
podendo ser descontínua em um número finito de pontos de .
Exemplo
10
Exercícios
11
Integrais duplas em regiões genéricas
Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para
integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função , não somente sobre
retângulos, mas também sobre uma região de forma mais geral, como mostra a figura
abaixo. Vamos supor que seja uma região limitada, o que significa que pode ser
cercada por uma região retangular . Definimos, então, uma nova função com domínio
por
{
Se a integral dupla de sobre existe, então definimos a integral dupla de sobre por
∬ ∬
Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas
Regiões planas inscritas em faixas verticais:
Consideremos uma região inscrita na faixa vertical e entre o gráfico de duas
funções contínuas de , ou seja:
onde e são contínuas em . Por exemplo, as regiões representadas abaixo:
R
x x
y y
0 0
12
A integral dupla de em é calculada pelas seguintes integrais iteradas:
∬ ∫ ∫
sempre que for contínua em .
Regiões planas inscritas em faixas horizontais
Consideremos uma região inscrita na faixa horizontal e entre o gráfico de
duas funções contínuas de y, ou seja:
onde e são contínuas em . Por exemplo, as regiões representadas abaixo:
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:
x
y
0 x
y
0 x
y
0 b b b a a a
y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x)
y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x)
x = h2(y) x = h2(y)
x
y
0 x
y
0 x
y
0
d d d
c c
c
x = h1(y) x = h1(y)
x = h1(y)
x = h2(y)
x = h2(y) x = h2(y)
13
∬ ∫ ∫
sempre que for contínua em .
Exemplos
14
15
Exercícios
16
Integrais duplas em coordenadas polares
Suponha que queiramos calcular a integral dupla ∬
, onde é uma das regiões
mostradas na figura 4. Em qualquer dos casos, a descrição de é complicada em
coordenadas retangulares, mas a descrição de R fica mais fácil utilizando-se coordenadas
polares.
Lembre-se da Figura 5 em que as coordenadas polares de um ponto estão
relacionadas com as coordenadas retangulares (x,y) pelas equações
As regiões da Figura são casos especiais do retângulo polar
Que é apresentado na Figura 3. Para calcular a integral dupla ∬
, onde é o
retângulo polar, dividimos o intervalos em subintervalos de larguras
iguais
e dividimos o intervalo em subintervalos de larguras
iguais
. Então os círculos e os raios
Figura 4
𝑦
𝜃 𝑥
𝑟
𝑦
𝑃 𝑟 𝜃 𝑃 𝑥 𝑦
17
18
Exemplos
19
20
Exercícios
21
Integral tripla
Assim como definimos integrais para funções de uma única variável e dupla para funções
de duas variáveis, vamos definir integrais triplas, para funções de três variáveis.
Inicialmente, trataremos o caso mais simples, quando ∫ é definida em uma caixa
retangular:
O primeiro passo é dividir B em subcaixas. Fazemos isso dividindo o intervalo [a,b] em l
subintervalos [x,-1,x] de comprimento iguais ∆x, dividindo [c,d] em m subintervalos de
comprimento ∆y, e dividindo [r,s] em m subintervalos de comprimento ∆z. Os planos
através dos pontos terminais desses subintervalos paralelos aos planos coordenados
subdividem a caixa B em lmn subcaixas.
Como mostrado na figura a seguir, cada subcaixa tem volume ∆V= ∆x ∆y ∆z.
Assim formamos a soma tripla de Riemann.
Ou seja:
∑ ∑
∑ ∫
22
Onde o ponto mostra (
) esta em . Por analogia com a definição da
integral dupla, definimos a integral tripla como o limite das somas triplas de Riemann.
A integral tripla de ∫ sobre a caixa B é
∭∫
∑∑ ∑∫
Se o limite existir.
Novamente, a integral tripla sempre existe se ∫ for continua. Escolhemos o ponto
amostra como qualquer ponto de cada subcaixa, mas, se escolhermos o ponto ,
obteremos uma expressão com aparência complicada para integral tripla:
∭
∑∑ ∑
Assim como para integrais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla
consiste em expressá-la como integral iterada como segue a figura:
Se ∫ é continua em uma caixa retangular , então
∭ ∫ ∫ ∫
A integral iterada do lado direito do Teorema de Fubini indica que primeiro
integramos em relação a x (mantendo y e z fixados), em seguida integramos em relação a y
(mantendo z fixado) e finalmente em relação a z. Existem cinco outras ordens possíveis de
integração todas fornecendo o mesmo resultado.
23
Exemplos
24
25
Exercícios
26
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas
Temos como formula para calcular a integração tripla em coordenadas cilíndricas:
∭ ∫ ∫ ∫
Ela nos diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para
coordenadas cilíndricas escrevendo e deixando z como esta
utilizando os limites apropriados de integração para z, r e , e trocando dV por r dz dr d ,
como mostra a figura:
É recomendável a utilização dessa formula quando E é uma região sólida cuja
descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas, e especialmente quando a função
envolve expressões
Figura 4
27
Exemplos
28
29
Exercícios
30
Bibliografia
STEWART, James. Calculo: Volume 2. São Paulo: Thomson Learning, 2007.