Introducao integrais

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รrea sob o grรกfico, Antiderivadas, Teorema Fundamental do Cรกlculo, Integraรงรฃo por substituiรงรฃo, Integraรงรฃo por Partes, Aplicaรงรตes das Integrais

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Page 2: Introducao integrais

O PROBLEMA DA รREA

Como determinar a รกrea sob uma

curva qualquer y = f(x) , entre dois

pontos x1 e x2.

x1 x2

y

๐‘“ ๐‘ฅ

x

A

Assim como no caso das derivadas,utilizaremos aproximaรงรตes.

x1 x2

โˆ†๐‘ฅ1โˆ†๐‘ฅ2. . . . . .

k

โˆ†๐‘ฅ๐‘˜

y

f (k)

x

๐‘˜=1

๐‘›

๐‘“(๐‘˜) โˆ™ โˆ†๐‘ฅ๐‘˜A

Page 3: Introducao integrais

A INTEGRAL DEFINIDA

Define-se a Integral da funรงรฃo f (x) entre os pontos x1 x2 , como o limite:

๐‘ฅ1

๐‘ฅ2

๐‘“ ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘‘๐‘ฅ = limโˆ†๐‘ฅ โ†’ 0

๐‘˜=1

๐‘›

๐‘“(๐‘˜) โˆ™ โˆ†๐‘ฅ๐‘˜

x1 x2

y

A = ๐‘ฅ1๐‘ฅ2 ๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ

๐‘“ ๐‘ฅ

x

Page 4: Introducao integrais

Mas o conceito รฉ muito pouco prรกtico, pois o cรกlculo desse limite pode ser muito trabalhoso

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CรLCULO

O Teorema Fundamental do Cรกlculo estabelece uma relaรงรฃo estreita entrederivaรงรฃo e integraรงรฃo. A princรญpio os problemas da tangente e da รกrea nรฃoparecem ter nenhuma relaรงรฃo. Porรฉm, Isaac Barrow (1630-1677), professor deNewton em Cambridge, apรณs alguns experimentos, conjecturou que derivaรงรฃo eintegraรงรฃo sรฃo processo inversos. Mas quem formalizou e provou o Teoremaforam Newton e Leibniz. A prova deste teorema foi a base para odesenvolvimento do Cรกlculo Diferencial e Integral.

A aplicaรงรฃo desse teorema nos permite calcular a รกrea sob qualquercurva sem necessidade de calcular o limite do somatรณrio.

Page 5: Introducao integrais

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CรLCULO โ€“ PARTE 1

1ยช. Parte : Dada uma funรงรฃo f (s) , contรญnua em um intervalo [a,b], vamos definir a funรงรฃo

๐น ๐‘ฅ =

๐‘Ž

๐‘ฅ

๐‘“(๐‘ ) โˆ™ ๐‘‘๐‘  definida tambรฉm em [a,b]

Observe que F depende apenas de x. Para cada valor fixado de x a integral

๐‘Ž๐‘ฅ๐‘“(๐‘ ) โˆ™ ๐‘‘๐‘  รฉ um nรบmero definido, fornecendo o valor da funรงรฃo F no ponto x.

Quando variamos o valor de x , o valor de ๐‘Ž๐‘ฅ๐‘“(๐‘ ) โˆ™ ๐‘‘๐‘  tambรฉm varia, permitindo

assim a construรงรฃo da funรงรฃo F(x) .

Podemos dizer entรฃo que F(x) corresponde

a รกrea sob a curva entre a e x.

Page 6: Introducao integrais

2ยช. Parte : Tomando a f (s) , contรญnua no intervalo [a,b], como na 1ยช. Parte, podemos

mostrar que a funรงรฃo F(x), definida por

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CรLCULO โ€“ PARTE 2

๐น ๐‘ฅ =

๐‘Ž

๐‘ฅ

๐‘“(๐‘ ) โˆ™ ๐‘‘๐‘ 

รฉ derivรกvel, e que ๐‘ญโ€ฒ ๐’™ = ๐’‡ ๐’™ .

xa

y

๐‘“ ๐‘ฅ

xbx+h

hUsando a definiรงรฃo de derivadapodemos escrever a expressรฃo

๐นโ€ฒ ๐‘ฅ = limโ„Žโ†’0

๐น ๐‘ฅ + โ„Ž โˆ’ ๐น(๐‘ฅ)

โ„Ž

Mas ๐น ๐‘ฅ + โ„Ž โˆ’ ๐น(๐‘ฅ) = (รrea sob o

grรกfico entre a e x+h) โ€“ (รrea sob o

grรกfico entre a e x) ๐‘“(๐‘ฅ) โˆ™ โ„Ž . Assim,

intuitivamente vemos que ๐‘ญโ€ฒ ๐’™ = ๐’‡ ๐’™ .

Page 7: Introducao integrais

A funรงรฃo F (x) รฉ denominada uma antiderivada (ou primitiva) da f , ou seja, a Fรฉ uma funรงรฃo tal que F โ€™= f . Alรฉm disso, pela definiรงรฃo da F, temos:

๐‘Ž

๐‘

๐‘“ ๐‘ฅ . ๐‘‘๐‘ฅ = ๐น ๐‘ โˆ’ ๐น(๐‘Ž)

Pelo Teorema Fundamental do Cรกlculo, para calcular a integral de uma funรงรฃo fbasta encontramos uma antiderivada da mesma, o que evita o cรกlculo atravรฉs dolimite de somatรณrios.

A seguir, mostramos uma tabela contendo antiderivadas de algumas funรงรตesfundamentais.

Note-se que ao calcularmos a integral ๐‘“(๐‘ฅ) โˆ™ ๐‘‘๐‘ฅ , as antiderivadas da ๐‘“ sรฃo todas

as funรงรตes do tipo ๐น ๐‘ฅ + ๐พ , tais que ๐นโ€ฒ ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฅ) e ๐พ = constante .

A ANTIDERIVADA

Page 8: Introducao integrais

๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ + ๐พ

๐‘ฅ๐‘›๐‘‘๐‘ฅ =๐‘ฅ๐‘›+1

๐‘› + 1+ ๐พ

๐‘’๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘’๐‘ฅ + ๐พ

๐‘‘๐‘ฅ

๐‘ฅ= ln ๐‘ฅ + ๐พ

๐‘‘๐‘ฅ

๐‘ฅ2= โˆ’1

๐‘ฅ+ ๐พ

๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ =2

3๐‘ฅ32 + ๐พ

๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’cos ๐‘ฅ + ๐พ

๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = sen ๐‘ฅ + ๐พ

๐‘ ๐‘’๐‘2 ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = tg ๐‘ฅ + ๐พ

sec ๐‘ฅ ๐‘ก๐‘” ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = sec ๐‘ฅ + ๐พ

TABELA DE ANTIDERIVADAS DEFUNร‡ร•ES FUNDAMENTAIS

Page 9: Introducao integrais

๐‘ โˆ™ ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ โˆ™ ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ

(๐‘ข ๐‘ฅ + ๐‘ฃ(๐‘ฅ))๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ข ๐‘ฅ ๐‘‘ ๐‘ฅ + ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ

๐‘”โ€ฒ ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“โ€ฒ ๐‘” ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘” ๐‘ฅ )

REGRAS DE INTEGRAร‡รƒO

Page 10: Introducao integrais

A Antiderivaรงรฃo รฉ a determinaรงรฃo de uma funรงรฃo cuja derivada รฉ conhecida.

O PROBLEMA DA ANTIDERIVAร‡รƒO

Definiรงรฃo: Dada uma funรงรฃo ๐‘“(๐‘ฅ), definida em um intervalo ๐ผ = (๐‘Ž, ๐‘). Umafunรงรฃo, a qual denota-se, ๐น ๐‘ฅ รฉ denominada uma antiderivada da ๐‘“ se๐นยด ๐‘ฅ = ๐‘“ ๐‘ฅ , โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ.

Exemplo 1 : Se conhecemos a funรงรฃo velocidade ๐’— ๐’• de uma partรญcula, podemosdeterminar sua funรงรฃo posiรงรฃo ๐’”(๐’•). Pois sabemos que a velocidade mede a taxa devariaรงรฃo (derivada) da posiรงรฃo. Logo, a funรงรฃo ๐‘  ๐‘ก รฉ uma antiderivada da ๐‘ฃ(๐‘ก).

๐‘  ๐‘ก = ๐‘ฃ ๐‘ก . ๐‘‘๐‘ก

Exemplo 2 : Se um engenheiro sabe que um determinado fluido escoa para dentrode um tanque a uma taxa dada por ๐’‡(๐’•) (litros/s) , entรฃo ele pode determinar afunรงรฃo ๐‘ธ(๐’•), que fornece o volume (litros) escoado atรฉ o instante ๐’•. Pois se ๐‘“(๐‘ก)representa a taxa de variaรงรฃo de ๐‘„ ๐‘ก , entรฃo ๐‘„(๐‘ก) รฉ uma antiderivada da ๐‘“(๐‘ก).

๐‘„ ๐‘ก = ๐‘“ ๐‘ก . ๐‘‘๐‘ก

Page 11: Introducao integrais

O PROBLEMA DA ANTIDERIVAร‡รƒO

Devemos ainda lembrar que, se ๐น for uma atiderivada da ๐‘“, entรฃo qualquer funรงรฃo dotipo ๐‘ญ ๐’™ + ๐‘ช , onde ๐ถ รฉ uma constante arbitrรกria, รฉ tambรฉm uma antiderivada da ๐‘“ .

Exemplo : Tomemos a funรงรฃo ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ2

Atribuindo diferentes valores a constante ๐ถ obtemos uma famรญlia de funรงรตesantiderivadas da ๐‘“, cujos grรกficos diferem apenas pelo valor da constante.

๐‘ฅ

๐‘ฆ

๐‘ฆ =๐‘ฅ3

3โˆ’ 2

๐‘ฆ =๐‘ฅ3

3

๐‘ฆ =๐‘ฅ3

3+ 1

๐‘ฆ =๐‘ฅ3

3+ 2

Pela tabela de antiderivaรงรฃo sabemos que ๐น ๐‘ฅ =๐‘ฅ3

3รฉ uma antiderivada da ๐‘“ . Logo

podemos afirmar que qualquer funรงรฃo do tipo ๐น ๐‘ฅ =๐‘ฅ3

3+ ๐ถ tambรฉm o serรก.

Page 12: Introducao integrais

INTEGRAL DEFINIDA E CรLCULO DE รREAS

A determinaรงรฃo da รกrea delimitada entre o eixo ๐‘ฅ e o grรกfico de uma funรงรฃo ๐‘“(๐‘ฅ),numa regiรฃo contida entre dois pontos ๐‘Ž e ๐‘ do seu domรญnio, รฉ realizada, como jรกvimos, pelo cรกlculo da integral definida da funรงรฃo entre estes dois pontos.

Pelo Teorema Fundamental do Cรกlculo, o valor desta integral definida รฉ dado por

๐‘Ž๐‘๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐น ๐‘ โˆ’ ๐น(๐‘Ž)

Ou seja, para calcular a Integral definida (รกrea) basta determinar a antiderivada ๐‘ญ(๐’™)da funรงรฃo, substituir os valores dos limites de integraรงรฃo ๐‘Ž e ๐‘ e subtrair os resultados.

๐‘Ž

๐‘

๐‘ฆ

๐‘ฅ

๐‘“(๐‘ฅ)

๐ด1 < 0

๐ด2 > 0

รrea Total = ๐ด1 + ๐ด2

Notar que, รกreas abaixo doeixo ๐‘ฅ sรฃo computadas comsinal negativo pela Integral.

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EXEMPLOS - CรLCULO DE รREAS

Calcule a รกrea sob o grรกfico das seguintes funรงรตes

๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘ฅ2+ 1, entre ๐‘ฅ = 1 ๐‘’ ๐‘ฅ = 3 ๐‘“ ๐‘ฅ =1

๐‘ฅ, entre ๐‘ฅ = 1 ๐‘’ ๐‘ฅ = 4

1

3

(๐‘ฅ2+1)๐‘‘๐‘ฅ =๐‘ฅ3

3+ ๐‘ฅ1

3

=

27

3+ 3 โˆ’

1

3+ 1 = 12 โˆ’

4

3=32

3๐‘ข. ๐‘Ž.

1

4๐‘‘๐‘ฅ

๐‘ฅ= ๐‘™๐‘›๐‘ฅ 1

4 =

๐‘™๐‘›4 โˆ’ ๐‘™๐‘›1 = ๐‘™๐‘›4 = 1,39 u.a.

๐‘ฅ

๐‘ฆ

1 4

๐‘“ ๐‘ฅ =1

๐‘ฅ

๐‘ฅ

๐‘ฆ

31

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ2 + 1

Page 14: Introducao integrais

Mร‰TODOS DE INTEGRAร‡รƒO I

Integraรงรฃo por Substituiรงรฃo

Esta tรฉcnica, baseada na regra da cadeia, รฉ utilizada sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma :

๐ผ = ๐‘“(๐‘” ๐‘ฅ ) โˆ™ ๐‘˜๐‘”โ€ฒ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ

A tรฉcnica consiste em fazer a substituiรงรฃo : ๐‘ข = ๐‘”(๐‘ฅ) , o que implica๐‘‘๐‘ข = ๐‘”โ€™(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ . Logo, podemos reescrever a Integral como :

๐ผ = ๐‘˜ ๐‘“(๐‘ข) โˆ™ ๐‘‘๐‘ข

O que deve simplificar o cรกlculo.

Exemplos:

a. ๐‘’2๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘ข = 2๐‘ฅ , ๐‘ก๐‘’๐‘Ÿ๐‘’๐‘š๐‘œ๐‘ :๐‘‘๐‘ข

๐‘‘๐‘ฅ= 2 โ†” ๐‘‘๐‘ฅ =

๐‘‘๐‘ข

2. Logo, temos:

๐‘’2๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘’๐‘ข๐‘‘๐‘ข

2=1

2๐‘’๐‘ข + ๐พ =

1

2๐‘’2๐‘ฅ + ๐พ

Page 15: Introducao integrais

b. 2๐‘ฅ 1 + ๐‘ฅ2 โˆ™ ๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘ข = 1 + ๐‘ฅ2 , teremos ๐‘‘๐‘ข = 2๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ . Logo :

2๐‘ฅ 1 + ๐‘ฅ2 ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข =2

3๐‘ข3

2 + ๐พ =2

3(1 + ๐‘ฅ2)

3

2 + ๐พ

c. 1

3๐‘ฅ+4๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘ข = 3๐‘ฅ + 4 , teremos ๐‘‘๐‘ข = 3๐‘‘๐‘ฅ . Logo :

1

3๐‘ฅ+4๐‘‘๐‘ฅ =

1

๐‘ข

๐‘‘๐‘ข

3=1

3ln ๐‘ข + ๐พ =

1

3๐‘™๐‘› 3๐‘ฅ + 4 + ๐พ

Mร‰TODOS DE INTEGRAร‡รƒO I

d. ๐‘ ๐‘’๐‘› (๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘)๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘ข = ๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘ , teremos ๐‘‘๐‘ข = ๐‘Ž๐‘‘๐‘ฅ . Logo :

๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ข๐‘‘๐‘ข

๐‘Ž= โˆ’1

๐‘Žcos ๐‘ข + ๐พ = โˆ’

1

๐‘Žcos(๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘) + ๐พ

e. ๐‘ฅ2. cos ๐‘ฅ3 + 2 ๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘ข = ๐‘ฅ3 + 2, teremos ๐‘‘๐‘ข = 3๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ . Logo :

๐‘ฅ2. ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ3 + 2) ๐‘‘๐‘ฅ = cos ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข

3=1

3sen ๐‘ข + ๐พ =

1

3๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ3 + 2) + ๐พ

Page 16: Introducao integrais

Integraรงรฃo por Partes

Mร‰TODOS DE INTEGRAร‡รƒO II

Esta tรฉcnica รฉ baseada na regra do produto, e รฉ utilizada sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma :

๐ผ = ๐‘“(๐‘ฅ) โˆ™ ๐‘”โ€ฒ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ

Como sabemos, pela regra do produto, ๐‘‘ ๐‘“ โˆ™ ๐‘” = ๐‘“๐‘‘๐‘” + ๐‘”๐‘‘๐‘“ .Consequentemente ๐‘“๐‘‘๐‘” = ๐‘‘ ๐‘“ โˆ™ ๐‘” โˆ’ ๐‘”๐‘‘๐‘“. Assim, integrando ambos os ladosdessa igualdade, podemos escrever:

๐ผ = ๐‘“ ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘”โ€ฒ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘“ ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘” ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘” ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“โ€ฒ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ

Exemplos:

a. ๐‘ฅ๐‘’๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘’ ๐‘”โ€™ ๐‘ฅ = ๐‘’๐‘ฅ , teremos : ๐‘“โ€™ ๐‘ฅ = 1 e ๐‘” ๐‘ฅ = ๐‘’๐‘ฅ.

Logo:

๐‘ฅ๐‘’๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ๐‘’๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ๐‘’๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’๐‘ฅ = ๐‘’๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐พ

Page 17: Introducao integrais

๐‘. ln ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘“(๐‘ฅ) = ln ๐‘ฅ ๐‘’ ๐‘”โ€™ ๐‘ฅ = 1๐‘‘๐‘ฅ , teremos : ๐‘“โ€™ ๐‘ฅ =1

๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ e ๐‘” ๐‘ฅ = ๐‘ฅ.

Logo:

ln๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘™๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1

๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ โˆ™ ln ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ + ๐พ

c. ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘’ ๐‘”โ€™ ๐‘ฅ = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ , teremos : ๐‘“โ€™ ๐‘ฅ = 1๐‘‘๐‘ฅ e

๐‘” ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ. Logo :

๐‘ฅ โˆ™ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ + cos ๐‘ฅ + ๐พ

Mร‰TODOS DE INTEGRAร‡รƒO II

d. ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘’ ๐‘”โ€™ ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ , teremos : ๐‘“โ€™ ๐‘ฅ = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ

e ๐‘” ๐‘ฅ = โˆ’๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ. Logo :

๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ. ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ + 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ . ๐‘‘๐‘ฅ โ‡’

๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ + ๐‘‘๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ โ‡’ 2 ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ + ๐‘ฅ โ‡’

๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ =1

2(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ)

Page 18: Introducao integrais

e. ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ , fazendo ๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ ๐‘’ ๐‘”โ€™(๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ , teremos : ๐‘“โ€™ ๐‘ฅ = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ

e ๐‘” ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ. Logo :

๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ. ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ + 1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ . ๐‘‘๐‘ฅ โ‡’

๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ + ๐‘‘๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ โ‡’ 2 ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ + ๐‘ฅ โ‡’

๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ =1

2(๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ)

Mร‰TODOS DE INTEGRAร‡รƒO II

Page 19: Introducao integrais

SUBSTITUIร‡ร•ES TRIGONOMร‰TRICAS

Nos casos em que nรฃo hรก o ๐‘ฅ multiplicando o radical, utiliza-se substituiรงรตes baseadas nasconhecidas identidades trigonomรฉtricas : ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ = 1 e ๐‘ ๐‘’๐‘2๐‘ฅ = 1 + ๐‘ก๐‘”2๐‘ฅ

Vamos agora estudar um mรฉtodo para resolver integrais do tipo ๐‘ฅ2 ยฑ ๐‘Ž2 ๐‘‘๐‘ฅ ou

๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘‘๐‘ฅ.

Expressรฃo Substituiรงรฃo Identidade Triรขngulo

๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ = ๐‘Ž. ๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐‘ฅ = ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐‘ฅ

๐‘ฅ2 + ๐‘Ž2 ๐‘ฅ = ๐‘Ž. ๐‘ก๐‘”๐œƒ 1 + ๐‘ก๐‘”2๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘2๐‘ฅ

๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘Ž2 ๐‘ฅ = ๐‘Ž. ๐‘ ๐‘’๐‘๐œƒ ๐‘ ๐‘’๐‘2๐‘ฅ = 1 + ๐‘ก๐‘”2๐‘ฅ

๐‘Ž๐‘ฅ

๐œƒ

๐‘Ž

๐‘ฅ๐œƒ

๐‘Ž

๐‘ฅ

๐œƒ

Se as integrais fossem ๐‘ฅ ๐‘ฅ2 ยฑ ๐‘Ž2 ๐‘‘๐‘ฅ ou ๐‘ฅ ๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘‘๐‘ฅ nรฃo haveria problema, poderรญamos

usar as substituiรงรตes ๐‘ข = ๐‘ฅ2 ยฑ ๐‘Ž2 ou ๐‘ข = ๐‘ฅ2 ยฑ ๐‘Ž2.

Page 20: Introducao integrais

SUBSTITUIร‡ร•ES TRIGONOMร‰TRICAS - EXEMPLOS

a. I = ๐‘‘๐‘ฅ

๐‘ฅ2 ๐‘ฅ2โˆ’4Caso 3 : Fazemos ๐‘ฅ = 2๐‘ ๐‘’๐‘๐œƒ . Logo teremos ๐‘‘๐‘ฅ = 2๐‘ ๐‘’๐‘๐œƒ. ๐‘ก๐‘”๐œƒ ๐‘‘๐œƒ

๐ผ = 2๐‘ ๐‘’๐‘๐œƒ. ๐‘ก๐‘”๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ

4๐‘ ๐‘’๐‘2๐œƒ. 4๐‘ ๐‘’๐‘2๐œƒ โˆ’ 4=

2๐‘ก๐‘”๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ

4๐‘ ๐‘’๐‘๐œƒ. 4. (๐‘ ๐‘’๐‘2๐œƒ โˆ’ 1)=

2๐‘ก๐‘”๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ

4๐‘ ๐‘’๐‘๐œƒ. 2 ๐‘ก๐‘”2๐œƒ

= ๐‘ก๐‘”๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ

4๐‘ ๐‘’๐‘๐œƒ. ๐‘ก๐‘”๐œƒ=1

4 ๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ =

1

4๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ + ๐พ

b. I = 9 โˆ’ ๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ

Mas pelo triรขngulo : ๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ =๐‘ฅ2โˆ’4

๐‘ฅLogo : ๐ผ =

๐‘ฅ2 โˆ’ 4

4๐‘ฅ+ ๐พ

Caso 1 : Fazemos ๐‘ฅ = 3๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ . Logo teremos ๐‘‘๐‘ฅ = 3๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ ๐‘‘๐œƒ

๐ผ = 9 โˆ’ 9๐‘ ๐‘’๐‘›2๐œƒ. 3๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ = 3 ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐œƒ 3๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ๐‘‘๐œƒ

= 9 ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐œƒ ๐‘‘๐œƒ

= 9(1 โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐œƒ). 3๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ

Se recordarmos o exemplo (e) dos slides de Integraรงรฃo por partes

9 ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐œƒ ๐‘‘๐œƒ =9

2๐œƒ + ๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ. ๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ + ๐พ . Mas pelo triรขngulo : ๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ =

๐‘ฅ

3๐‘’ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ =

9โˆ’๐‘ฅ2

3

Page 21: Introducao integrais

SUBSTITUIร‡ร•ES TRIGONOMร‰TRICAS - EXEMPLOS

Assim, substituindo os valores de ๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ ๐‘’ cos ๐œƒ na expressรฃo, temos finalmente :

I = 9 โˆ’ ๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ =9

2๐œƒ + ๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ. ๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ + ๐พ =

9

2๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›

๐‘ฅ

3+๐‘ฅ

3โˆ™9 โˆ’ ๐‘ฅ2

3+ ๐พ

๐ผ =9

2๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›

๐‘ฅ

3+๐‘ฅ 9 โˆ’ ๐‘ฅ2

9+ ๐พ

c. I = ๐‘‘๐‘ฅ

๐‘ฅ2 ๐‘ฅ2+1Caso 2 : Fazemos ๐‘ฅ = ๐‘ก๐‘”๐œƒ , portanto ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘2๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ

๐ผ = ๐‘ ๐‘’๐‘2๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ

๐‘ก๐‘”2๐œƒ. ๐‘ ๐‘’๐‘๐œƒ= ๐‘ ๐‘’๐‘๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ

๐‘ก๐‘”2๐œƒ= ๐‘๐‘œ๐‘ 2๐œƒ๐‘‘๐œƒ

๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ. ๐‘ ๐‘’๐‘›2๐œƒ= ๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ. ๐‘‘๐œƒ

๐‘ ๐‘’๐‘›2๐œƒ

Fazendo ๐‘ข = ๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ , temos ๐‘‘๐‘ข = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ๐‘‘๐œƒ e podemos reescrever a expressรฃoacima na forma

๐ผ = ๐‘‘๐‘ข

๐‘ข2=โˆ’1

๐‘ข

Desfazendo a substituiรงรฃo temos : ๐ผ = โˆ’1

๐‘ ๐‘’๐‘›๐œƒ

Usando o triรขngulo do caso 2 finalmente : ๐ผ = โˆ’๐‘ฅ2+1

๐‘ฅ

Page 22: Introducao integrais

APLICAร‡รƒO A FรSICA

Suponhamos uma caixa apoiada no chรฃo. E digamos que desejamos deslocรก-la emlinha reta, entre os pontos ๐‘Ž e ๐‘, como mostra a figura. Para deslocarmos a caixaprecisaremos aplicar sobre a mesma uma forรงa (๐’‡).

A Fรญsica define o Trabalho realizado quando se aplica uma forรงa constante ๐’‡ paradeslocar um corpo entre dois pontos ao longo de uma linha reta, pelo produto

๐‘Š = ๐‘“. โˆ†๐‘ฅ

๐‘“

๐‘Ž ๐‘โˆ†๐‘ฅ = ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž

A unidade de trabalho รฉ Newton x metro , a qual denomina-se Joule. Ou seja, sempreque a forรงa estiver dada em Newtons e a distรขncia do deslocamento em metros, otrabalho serรก calculado em Joules.

Page 23: Introducao integrais

APLICAร‡รƒO A FรSICA

Suponhamos agora uma situaรงรฃo mais realista, na qual, em vez de ser constante ao longo de todo o deslocamento, a forรงa seja dada por uma funรงรฃo ๐’‡(๐’™).

Neste caso, para calcularmos o trabalho realizado,vamos dividir o deslocamento entre ๐‘Ž e ๐‘ empequenos intervalos (โˆ†๐‘ฅ). De modo que, em cadaintervalo a forรงa pode ser considerada constante ๐‘“(๐‘ฅ๐‘–).

Usando a mesma ideia usada para o problema da รกrea,podemos dizer que o trabalho total, pode ser calculadopela integral

๐‘Š = ๐‘Ž

๐‘

๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ

De uma forma geral, a ideia de dividir o domรญnio do problema em pequenas porรงรตes, de modo aaproximar uma situaรงรฃo complexa por uma sequรชncia de problemas mais simples รฉ muito usada naEngenharia. Essa ideia รฉ a base do cรกlculo diferencial e integral, criaรงรฃo do gรชnio Isaac Newton.

Desta forma, podemos calcular o trabalho realizado emcada pequeno deslocamento por

๐‘ค๐‘– = ๐‘“ ๐‘ฅ๐‘– โˆ™ โˆ†๐‘ฅ

๐‘ฅ๐‘–

๐‘“(๐‘ฅ๐‘–)

โˆ†๐‘ฅ

๐‘ฅ๐‘๐‘Ž

๐‘ฆ

๐‘“(๐‘ฅ)

Page 24: Introducao integrais

APLICAร‡รƒO A FรSICA - EXEMPLO

Segundo a Lei de Hooke, uma lei bastante conhecida naFรญsica, quando aplicamos uma forรงa para distender umamola, a partir de sua posiรงรฃo de equilรญbrio, a forรงa quedevemos exercer รฉ dada por

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘˜๐‘ฅ

onde ๐‘˜ รฉ a chamada constante de elasticidade da molae ๐‘ฅ รฉ a extensรฃo do deslocamento.

Podemos entรฃo calcular o trabalho realizado para causar uma distensรฃo de ๐’…๐‘š๐‘’๐‘ก๐‘Ÿ๐‘œ๐‘ em uma mola com constante elรกstica ๐’Œ.

๐‘Š = 0

๐‘‘

๐‘˜๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ =๐‘˜

2๐‘ฅ2

0

๐‘‘

=๐‘˜

2๐‘‘2

๐‘ฅ

๐’‡(๐’™)

0

Page 25: Introducao integrais

Um carro de fรณrmula 1 entra acelerando em uma reta. Sua velocidade (em๐‘š/๐‘ ) aolongo do movimento รฉ descrita pela funรงรฃo ๐‘ฃ ๐‘ก = 30 + 5t . Supondo que o carroleva 8s para percorrer a reta, determine qual o comprimento da reta em metros.

Os conceitos da Fรญsica nos dizem que a velocidade รฉa taxa de variaรงรฃo da distรขncia. Logo a funรงรฃo ๐‘ (๐‘ก),que representa a distรขncia percorrida, รฉ a integralda funรงรฃo velocidade.

Podemos entรฃo escrever :

Comprimento = 0830 + 5๐‘ก ๐‘‘๐‘ก = 30๐‘ก +

5

2๐‘ก20

8= 30.8 +

5

264 = 400๐‘š

๐‘† = 0

8

๐‘ฃ ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก

APLICAร‡รƒO A FรSICA - EXEMPLO

๐‘ก

๐‘ฃ๐‘ฃ ๐‘ก = 30 + 5t

8s0 Comprimento = ๐‘  8 โˆ’ ๐‘  0 = 08๐‘ฃ ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก

Page 26: Introducao integrais

CAMPOS DE DIREร‡ร•ES E A ANTIDERIVADA

Suponhamos que quisรฉssemos determinar a antiderivada da funรงรฃo

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ3 + 1 โˆ’ ๐‘ฅ , que satisfaz a condiรงรฃo ๐น 0 = 1 .

Encontrar uma expressรฃo algรฉbrica para a antiderivada da funรงรฃo acima nรฃo รฉ uma tarefa fรกcil.Na verdade, sabemos que para algumas funรงรตes essa tarefa รฉ impossรญvel.

๐‘ฅ

๐‘ฆ Porรฉm, podemos utilizar um mรฉtodo grรกfico paraesboรงar a antiderivada de qualquer funรงรฃo,utilizando-se do chamado campo de direรงรตes.

Como sabemos, em cada ponto do seu domรญnio a๐‘“(๐‘ฅ) representa a direรงรฃo da tangente ao grรกfico daantiderivada ๐น ๐‘ฅ .

Assim, podemos obter o campo de direรงรตesassociado a ๐‘“(๐‘ฅ) traรงando pequenos segmentos cominclinaรงรฃo ๐‘“(๐‘ฅ) , para valores selecionados de ๐‘ฅ.

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Por exemplo :

๐‘“ โˆ’1 = 1

๐‘“ โˆ’0,5 =1,9

๐‘“ 0 = 1

๐‘“ 0,5 = 0,6

๐‘“ 1 = 0,4

๐‘“ 1,5 = 0,6

๐‘“ 2 = 1

๐‘“ 2,5 = 1,6

๐‘“(3) = 2,3

Page 27: Introducao integrais

CAMPOS DE DIREร‡ร•ES E A ANTIDERIVADA

๐‘ฅ

๐‘ฆ

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

๐‘ญ(๐’™)

โ€ข๐น(0) = 1

Vamos partir do campo de direรงรตesdefinido pela ๐‘“(๐‘ฅ).

E do ponto P(0, ๐น 0 ) , que nos foidado como condiรงรฃo de contorno paraa antiderivada ๐น(๐‘ฅ)

Podemos entรฃo esboรงar a curva querepresenta o grรกfico da ๐น(๐‘ฅ), que serรกtangente ao campo de direรงรตes emcada ponto.

Este mesmo conceito serรก usado mais tarde na resoluรงรฃo de Equaรงรตes Diferenciais

Page 28: Introducao integrais

INTEGRAร‡รƒO POR Sร‰RIES INFINITAS

Nem sempre รฉ possรญvel explicitar a antiderivada de uma funรงรฃo na forma de umaexpressรตes fechada, que combine as funรงรตes elementares conhecidas.

Funรงรตes elementares, sรฃo aquelas que podem ser expressas como combinaรงรฃo defunรงรตes polinomiais, racionais, potรชncia, logarรญtmica, trigonomรฉtrica e hiperbรณlicas

Exemplos :

a. ๐‘’๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ , b.

๐‘‘๐‘ฅ

๐‘™๐‘›๐‘ฅ, c.

๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ฅ

๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ , d. ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ฅ2 ๐‘‘๐‘ฅ

Pode-se provar que as antiderivadas das funรงรตes acima nรฃo sรฃo funรงรตeselementares. De fato, a maioria das funรงรตes elementares nรฃo possuemantiderivadas elementares.

Nesses casos pode-se utilizar sistemas algรฉbricos computacionais (em inglรชs CAS) taiscomo: Derive, Maple, Mathematica, etc. ou Mรฉtodos Numรฉricos de Integraรงรฃo, quepermitem exprimir a antiderivada atravรฉs de uma sรฉrie infinita. Esses mรฉtodosutilizam quase sempre o conceito de campo de direรงรตes.

Page 29: Introducao integrais

LIVROS RECOMENDADOS

โ€ข Stewart, James โ€“ Cรกlculo Vol. 1, 7ยช. Ediรงรฃo, Ed. Cengage, 2013.

โ€ข Guidorizzi, Hamilton L. โ€“ Cรกlculo Vol. 2, 5ยช Ediรงรฃo, Ed. LTC, 2008

โ€ข Apostol, Tom M. โ€“ Calculo Vol. 1, Ed. Reverte Brasil, 2004

โ€ข Ron Larson and Bruce H. Edwards - Calculus, Ed. Brooks Cole, 2013