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Derivada
Primitiva ou Antiderivada
INTEGRAÇÃO – Um Estudo Introdutório
Introdução: Veja o processo a seguir:
252)( 2 xxxF
derivação
54)( xxf [ sendo )()( xfxF ]
54)( xxf
integração
?)( xF
Podemos dizer em “palavras simples” que:
A integração [do tipo indefinida] representa uma transformação inversa da derivação.
A INTEGRAL INDEFINIDA:
Para se calcular a antiderivada [ou primitiva] de uma função utilizamos:
cxFdxxf )()( Onde: sinal [símbolo] de integração indefinida
f‟(x) função integrando
F(x) função integrada [primitiva ou antiderivada]
dx operador que indica a variável de integração [x]
c constante de integração
A primitiva de 54)( xxf ficaria então “simbolizada” na forma: dxx )54(
Para realizarmos o processo de integração, dispomos de algumas “regras”, das quais, as duas mais “simples”
são:
cxdx e
cx
dxx1
1
1 ecom
Assim como na derivação, a integração [indefinida] também usufrui da propriedade da linearidade. Assim:
i) dxxfkdxxfk )()(
ii) dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
De forma mais sintética e abrangente, podemos escrever: dxxgdxxfkdxxgxfk )()()()(
Destacamos ainda que: )()( xfdxxfdx
d
Ou seja, a derivada da integral de uma dada função )(xf é a própria função )(xf .
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Assim, a integral dxx )54(
é:
dxx )54( = dxx4 + dx5
= cxxcxxdxdxx 525
2
14.5.4 22
Note que todas as funções:
1452)( 2
1 xxxF
852)( 2
2 xxxF
352)( 2
3 xxxF
xxxF 52)( 2
4
Isso justifica a existência da constante de integração “c” na transformação em questão [integral indefinida], pois para uma determinada função, existem infinitas primitivas que a satisfazem. Perceba que, se não tivermos nenhuma informação adicional, não poderemos dizer com exatidão qual a função
que originou a derivada 54)( xxf , por exemplo.
Observação: É comum a omissão do símbolo [sinal] de multiplicação. Veja: dxxdxx 33 14).(.14
Exemplos:
a) cedxedxe xxx 10.1010
b) cxxcxx
dxdxxdxdxxdxx 553
3.5.353)53( 33
222
c) cxxcxx
dxxdxxdxx x
25
253434 32
26
510.6.10]610[
d) cesendeddedde 2.2cos2cos)2(cos
EXERCÍCIOS:
1) Encontre a antiderivada mais geral das funções integrando-as, e verifique suas respostas, diferenciando-as.
a) 3821)( 2 xxxf b) 12514 36 xxxy c)
4/34/1 75)( xxxf
d)
2/14/15)( xxxg e) 316)( xxf f) 3 44 3 7)( aaaf
g) 4133
5)( 25 uuuf h)
9
10)(
mmf i)
2
3
5
61)(
48
vvvf
j) xx
xxg32
3)(3 k)
21
)(
tttf
ANTES DE RESOLVER O EXERCÍCIO ACIMA, OBSERVE AS DICAS DADAS A SEGUIR:
Para refletir: Ao término do jogo, o rei e o peão voltam para a mesma caixa. [Provérbio italiano]
têm suas derivadas iguais a: 54)( xxf [ sendo )()( xfxF ]
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Em funções, como a proposta em [j], devemos fazer uma “preparação” antes da integração. Veja:
dxxxxdxxx
xdxxx
xI
)323(
13
123
323 2/132/1
2/13
2/1
3
E assim:
dxxdxxdxxdxxxxdx
xxxI 2/132/12/132/1
3323)323(
323
Em funções, como a proposta em [k], devemos fazer uma “preparação” antes da integração. Veja:
dttdtdttdtttdt
ttdt
ttttdt
tt 2222
2
2
2
2
2
2)2(1
211
21
2) Resolva as integrais apresentadas a seguir:
a) dss
ss
22
b)
dxx
xx
6
63 245 c)
dA
A
AA
2
24 5
d) dxx
xx
4
5 52 e) du
u
uu
2
2 3 f) dx
x
xx
52 69
ANTES DE RESOLVER O EXERCÍCIO ACIMA, OBSERVE A DICA DADA A SEGUIR:
Em funções, como a proposta em [b], devemos fazer uma “preparação” antes da integração. Veja:
dx
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
xdx
x
xxI
6
6
6
3
66
6
6
3
66
63
241
5245245
E assim:
dxdxxdxxdxxxdxxxI 245)245(])1.[245( 3636636
3) Considerando que cxFdxxf )()( , determine o valor da constante de integração para cada caso:
a) dxx )143( com 7)0( F b) dyy )143( com 14)2( F
c) dxxx )6( 3 com 4)1( F d) dxx
x
2
3/1 1
9
4 com 3/1)3( F
4) Resolva as integrais indefinidas apresentadas a seguir [observe o operador diferencial]:
a) drr 2 b) daam . c) dxy14
d) dttav )( 0 e) dxzyxyy )2( 2 f) dT
V
nRT
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) cxxx 347 23 1b) cxxxx 247
4
52
1c) cxx 4/74/5 44 1d) cxx 2/14/3 23
20
ou cxx 23
20 4 3
1e) cx 3/412
ou cx 3 412 ou cxx 312 1f) caa 3/74/7 37
4
ou caa 3 74 7 37
4
1g) cuuu 41312
5 14 1h) cm 8
4
5
ou c
m
84
5
1i) cvvv
2
3
5
2
7
1 37 1j) c
xxx
2
2/12/3 162
1k) ct
tt 1
23
1 3
2a) css 22
1 2 2b) c
xxx
52
122
2c) cA
AA 5
3
1 3 2d) cxx
x 23
2 1
3
5
2
1
2e) cu
u 6
2f) cxx 2/112/5
11
12
5
18 ou cxx )1033(
55
6 32/5
3a) 7c 3b) 48c
3c) 0c 3d) 3 3c
4a) cr 2 4b) ca
m 2
2
4c) cxy 14 4d) cta
tv 2
2
0
4e) czyxyyx )( 2 4f) c
T
V
nR
2
2
REGRAS DE INTEGRAÇÃO
Diversas funções, como por exemplo: x
xf1
)( , x
xg 2)( ,
2cos
)(sen
f , )ln(xy entre muitas outras,
não são integráveis através das duas regras básicas vistas até aqui. Além disso, o processo de “deduzir” a
primitiva através das regras de derivação pode ser consideravelmente complicado para funções como essas.
Pensando nisso, através de procedimentos algébricos [como a “inversão” de fórmulas de derivadas] foi possível
criar uma TABELA que possibilitasse integrar diversos tipos de funções mais rapidamente, visando facilitar a
resolução de problemas científicos que envolvessem tais funções.
As integrais, que podemos encontrar [calcular] diretamente pela tabela, chamamos de INTEGRAIS DIRETAS
ou INTEGRAIS IMEDIATAS.
Apresentamos uma “Tabela de Integrais Imediatas” a seguir.
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TABELA DE INTEGRAIS Considere: “a” e “k” como constantes e “c” como constante de integração
Propriedade da Linearidade: dxxgdxxfkdxxgxfk )()()()(
Fórmulas:
Nota: Com uma rápida pesquisa em livros ou mesmo na internet, você encontrará tabelas mais “amplas”,
abrangendo uma gama maior [e mais específica] de funções com as suas respectivas integrais imediatas.
Entretanto para nosso estudo, a tabela acima é mais que suficiente, pois uma infinidade de funções terá sua
integral apresentada na tabela acima, fazendo uso conveniente de alguns artifícios e propriedades algébricas.
Veremos isso a seguir.
cxa
xa
axa
dx
ca
xarctg
axa
dx
cxarctgx
dx
caa
dxa
cea
dxe
caxa
dxax
caxa
dxax
caxa
dxaxtg
caxa
dxaxtg
caxtga
dxax
caxtga
dxax
caxsena
dxax
caxa
dxaxsen
cxdxx
ecxdxx
cxdx
xx
axax
ln 2
1
1
1
ln
1
1
sen ln 1
cotg
cosecln 1
cotg
cosln 1
secln 1
co 1
cosec
1
sec
1
cos
cos1
ln1
1 ,1
1
22
22
2
2
2
1
cxdxtgxx
cxhdxxh
cxhtgdxxh
cxhsendxxh
cxhdxxhsen
c x tg x x
dx
cx
dx
cxxsenx
dx
cx
tgsenx
dx
ca
xarcsen
axa
xdxxa
caxxa
axx
dxax
cxxdxx
cxtgxdxx
cxxxdxx
caxxax
dx
ca
xarcsen
xa
dx
cax
ax
aax
dx
sec sec
cotg cosec
sec
cos
cos
sec lncos
4xtg ln
cos
cotg cosec ln
2 ln
2
2
ln2
2
cotg cosec ln cosec
sec ln sec
ln ln
ln
ln 2
1
2
2
22222
222
2222
22
22
22
22
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EXERCÍCIOS [Integrais Indefinidas Imediatas]:
1) Encontre as primitivas das integrais apresentadas a seguir.
a) dx14 f) dx
x2
1 k)
dxx 9
122
b) dxextg x ]25)3(9[ 5 g)
dxxsen
x24
5
3 l) dxx218
c) dxx
1 h)
dmmm )cos4( 3 m) dx
xsen )(
5
d) dxe314 i) dx
x 1
12
n) dxx 162 2
e) dvvv )143( 3 j)
92x
dx o) duusenh )(
2) Mostre que: dxxdxx
ln22
ln 4
3) Resolva as integrais dadas abaixo, encontrando suas primitivas.
a) dxxx)2(
c)
dx
xx
62 e)
dxxx ]4cos8[
3 2
b)
dsen
7
d)
dA
A
A2
2 143 f)
dxx
x
2
2 )1(3
1
4) [THOMAS / Adaptada] Galileu desenvolveu uma fórmula para calcular a velocidade de um corpo em queda
livre, rolando bolas [a partir do repouso] sobre pranchas de inclinação variável, quando procurava por uma
fórmula-limite para prever o comportamento da bola na prancha na vertical e caindo livremente. Veja a parte (a)
da figura a seguir. Ele descobriu que, para qualquer ângulo da prancha, a velocidade da bola em queda durante
t segundos era um múltiplo constante de t . Ou seja, a velocidade era dada por uma relação na forma tkv .
O valor da constante k depende da inclinação da prancha.
Usando uma notação moderna, a parte (b) da figura mostra o que os experimentos de Galileu permitiram
determinar que a velocidade da bola, com distância em metros e tempo em segundos, para qualquer ângulo e
com t segundos de rolagem era:
smtsenv /)(8,9
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Assim: [THOMAS, George B. Cálculo. v. 1. 10. ed. p. 163]
a) Qual é a equação para a velocidade da bola durante a queda livre?
b) Usando os dados anteriores, qual é a aceleração constante que um corpo em queda livre experimenta
quando está próximo à superfície da Terra?
c) Qual a equação para a posição da bola durante a queda livre? Para este caso, o que representa a constante
de integração “c” e qual o seu valor numérico?
5) [STEWART] A respiração é um ciclo completo e cíclico que começa pela inalação e acaba pela exalação, e isso
tudo leva cerca de 5 s. A taxa máxima de fluxo de ar para dentro dos pulmões é de cerca de 0,5 L/s. Isso explica,
em parte, por que a função:
5
2
2
1)(
tsentF
tem sido frequentemente usada para modelar a taxa de fluxo de ar para dentro dos pulmões. Use esse modelo
para encontrar o volume de ar inalado nos pulmões no instante “t”. [STEWART, James. Cálculo. v. 1. 5. ed. p. 419]
Para refletir: Não se torne o que te feriu. [Hofniel]
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) cx 14 1b) cexx
55|3sec|ln3 1c) cx ||ln
1d) cxe 3
14 1e) cv
v
2
7
3ln
34
1f) cx ||ln2
1
1g) cxx )2cos(2||ln5
3 1h) cmsenm )(
4 1i) cxtgarc )(
1j) cx
tgarc
33
1 1k) c
x
x
3
3ln2
1l)
cxsenarcxx )(4142
1m) cx
tg
2ln5
1n)
cxxxx |16|ln161622
1o) cu )(cosh
3a) cxx 2/52/3
5
2
3
4 3b) c
7cos7
3c) cxx ||ln6
3
1 3
3d) cA
A 14
3 3e) cxxsen 3/5
5
3)4(2 3f) cxxtgarc ])([
3
1 3
4a) ]/[8,9 smtv 4b) 2
/8,9 sma
4c) ][9,42
mctS sendo que c representa a posição inicial 0S e que neste caso de queda livre, 00S .
5) ][5
2cos1
4
5)( LttV
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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Muitas funções [em aplicações científicas e tecnológicas] se configuram de tal maneira que não estão contempladas na tabela de integrais imediatas, vista anteriormente. Para tanto, aplicaremos algumas técnicas que as “transformarão” em alguma das funções presentes na tabela em questão. Existe uma grande quantidade de técnicas aplicáveis. Vejamos algumas delas:
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Dada a integral dxxf )( , fazendo a substituição:
dxxgdu
xgu
)(
)( sendo )(xg “parte” de )(xf , chegamos
numa integral imediata, em muitos casos. Exemplos:
a) Calcule: dxxsenx 2.
Resolução:
Fazendo 2xu x
dx
du2 dxxdu 2
2
dudxx
Temos:
cuduusendu
usendxxxsendxxsenx )cos(2
1
2
1
2
22
cu )(cos2
1
Agora, “voltando” à variável x , encontramos:
cxdxxsenx 22 cos
2
1
b) Determine dxex x2
.
Resolução:
Fazendo 2xu x
dx
du2 dxxdu 2
2
dudxx
Temos: duedu
edxxedxex uuxx
2
1
2
22
ceu
2
ce
dxexx
xxu
2
2
22
c) Encontre: dxxxx )12.()322( 102.
Resolução:
Fazendo 322 2 xxu 24 xdx
du
dxxdu )12.(2 2
)12(du
dxx
Temos: cu
duudu
udxxxx112
1
2
1
2)12.()322(
111010102 c
u
22
11
Agora, “voltando” à variável x , temos:
cxxcxx
dxxxx
112
112102 )322(
22
1
22
)322()12.()322(
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d) Determine: 8)53( x
dx.
Resolução: Fazendo 53 xu 3dx
du
dxdu 3 3
dudx
Temos:
duuduu
du
udx
xx
dx 8
8888 3
11
3
1
3
1
)53(
1
)53(
cu
73
1 7
cu
21
7
Agora, “voltando” à variável x : cx
cx
x
dx
7
7
8 )53.(21
1
21
)53(
)53(
Observação: Analise cuidadosamente os exemplos apresentados e perceba que a regra da integração por
substituição corresponde à regra da cadeia para a derivação.
EXERCÍCIOS:
Resolva as integrais dadas a seguir pelo método da substituição.
01) dxxx 43 cos4 02) dxxsenx 32 03) dxxxxx )23.()7( 2523
04) dxxx 3/22 )2.(6 05) dxxx 2/143 )3.( 06) dxx
x
)cos(
07)
dxxsen
223
08) dtee tt 23/12 .)2( 09)
dte
et
t
4
10)
dxx
e x
2
/1 2 11) dxxxsen cos.4
12) dxx
xsen5cos
13) dxxx 2)3.(ln
3 14)
dxex x54 15) dxx )35(sec2
16) dx
x 2
7 17) dxxx 21. 18)
dx
xx ln1
1
19) dxxx 5 32 1. 20) dv
v
v23
2
)2( 21) dy
y
13
1
22) dxx
x
93
2
23) dxxx
3)1(
1 24) dtKtt 843 ).(
25) dxxsenx )14( 2
26) dxxx 1. 2 27)
32 2x
xdx
28) dxxx 23 52
29)
dxx
x1 30) dxe x
1
31) dxx .esen x
cos
32) dxxe x .
1
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
01) cxsen 4 02) cx 3cos
3
1 03) c
xx
6
)7( 623
04) cx 3/52 )2(5
9 05) cx 2/34 )3(
6
1 06) cxsen )(2
07) cx
22cos
2
3 08) ce t 3/42 )2(
8
3 09) cet |4|ln
10) cx
e x 2
1
11) cxsen
5
)( 5
12) cx
4)(cos4
1
13) cx
3ln
3 14) c
e x
5
5
15) cxtg )35(5
1
16) cx |2|ln7 17) cx 32 )1(3
1 18) cx ln12
19) cx 5/63 )1(18
5 20) c
v
)2(3
13
21) cy 133
2
22) cx 93
2 3 23) c
x
2)1(
1 24) cKt 94 )(
36
1
25) cx )14cos(8
1 2 26) cx 32 )1(
3
1 27) cx 32
2
1 2
28) cx
3ln
3 52
29) cx 2/3)1(3
4 30) ce x 1
31) c e x cos 32) ce x 2
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Já vimos que algumas funções não podem ser integradas por comparação imediata na tabela de integrais. Assim, nesses casos, aplicamos uma substituição conveniente [de variável] para realizar a integração. Entretanto, existem situações em que isso não será suficiente. Em muitos desses casos, poderemos integrar fazendo uso de uma técnica que chamamos de “integração por partes”. Vejamos: Vamos considerar uma função [composta] definida pelo produto de duas funções f(x) e g(x), sendo estas funções deriváveis no intervalo I. Através da regra de derivação do produto de funções, temos que:
)()()()()()( xgxfxgxfxgxf
)()()()()()( xfxgxgxfxgxf
Integrando os dois membros [lados] da expressão, temos:
][ )()()()( )()(
)()()()( )()(
dxxfxgxgxfdxxgxf
dxxfxgdxxgxfdxxgxf
Fazendo: dxxfduxfu )()( e dxxgdvxgv )()(
E substituindo em [] temos a “fórmula” para integrar por partes: duvvudvu
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Exemplos:
a) Calcule: dxex x
Resolução:
Fazendo xu dxdu
dxedv x dxedv x
xev
Temos: cxeceexdxeexdxex xxxxxx )1.(
b) Determine dxxsenx .
Resolução:
Fazendo xu dxdu
dxxsendv dxxsendv xv cos
Temos cxsenxxdxxxxdxxxxdxxsenx cos coscos coscos
c) Encontre: dxxx ln
Resolução:
Fazendo xu ln dxx
du1
dxxdv dxxdv cx
v 2
2
ou cxv 2
2
1
Agora então:
1
2
1
2
1)(ln ln 22
dxx
xxxdxxx
dxxxxdxxx 2
1ln
2
1 ln 2
cxxxdxxx 22
2
1
2
1ln
2
1 ln
cxxxdxxx 22
4
1ln
2
1 ln
cxxx
dxxx
4
ln2 ln
22
Assim: cxx
dxxx
4
)1ln2( ln
2
ou cxxdxxx
2
1ln
2
1 ln 2
Lembrete: duvvudvu
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Dicas para Integração por Partes:
i) Em integrais dos tipos: dxxxpdxsenxxpdxexp x cos)( , )( , )( , etc.
Fazemos:
dxntetranscendefunçãodv
polinômiouméxpu
] [
)(
ii) Em integrais dos tipos: dxxarcxpdxxsenarcxpdxxxp cos)(, )( , ln)( , etc.
Fazemos:
polinômiouméxpondedxxpdv
ntetranscendefunçãou
)()(
] [
Nota:
Existe ainda o acróstico “LIATE” que pode ser aplicado em boa parte dos casos. Veja:
u dv
L I A T E Logarítmicas Exponenciais Inversas de Trigonométricas Trigonométricas Algébricas [inclui as Polinomiais]
Detalhe: Você deve ter percebido que é muito importante neste processo que você seja capaz de identificar, com
clareza, as funções envolvidas. O que são funções transcendentes? E algébricas?
EXERCÍCIOS:
Resolva as integrais dadas pelo método da integração por partes.
01) dxex x
. 02) dxex x3. 03) dye
yy2
04) dxxx 3cos 05) dxxx ln. 06) dxx
x
ln
07) dxxx ln.2 08) dx
x
x2
ln 09) dxxsenx 2
10) dxxsenx )22(. 11) dxxsenx2
12) dxxx cos2
13) dxex x
.2 14)
21xe x dx 15) dxex x22 .
16) drer r 2/. 17) 3 cos 4x x dx 18) dsene 3.2
19) dxxx 24 ).(ln 20) dxex x23 . 21) 3
ln x dx
22) dxx)cos(ln 23) dxxsenx )ln(.cos
Observação: Os outros casos de integração por partes [que não foram mencionados nesta dica] requerem uma análise mais criteriosa.
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
01) ceex xx ou cxe x )1.( 02) c
eex xx
93
. 33
ou cxe x
3
1
3
3
03) cye y
2
1
2
1 2 04) c
xxsenx
9
3cos
3
3
05) cxxx 2/32/3
9
4ln.
3
2 ou cxx
3
2ln.
3
2 2/3 06) cxxx 4ln.2
07) cxxx 33
9
1ln
3
1
ou cxx
3
1ln
3
1 3 08) cx
x
1ln ou c
x
x
ln1
09) cxsenxx
4
2
2
2cos 10) cxsenx
x )22(
4
1)22cos(
2
11) cxxsenxxx cos22cos2 12) cxsenxxxsenx 2cos22
13) cexeex xxx 222
ou cxxex )22( 2 14)
2x xe x e c
15) cexeex xxx
422
2222
16) cere rr 2/2/ 42
17) cxsenx
xxx
xsenx
432
34cos
128
34cos
16
34
4
23
18) cesene )3cos.(13
3)3.(
13
2 22
19)
25
2
5
ln2)(ln
5
25 x
xx
20) cexeexex xxxx
8
3
4
3
4
3
2
222223
21) cxxxxxxx 6||ln.6||ln.3||ln. 23 22) cxxsen
x lncosln
2
23) cxsenxsenxsen )ln(.
Leia o texto abaixo e pense a respeito...
Conta-se que numa pequena cidade do interior em tempos passados, um grupo de pessoas se divertia com um “idiota” da região. Um pobre coitado – pessoa simples – que vivia de pequenos biscates e ajuda dos vizinhos. Diariamente eles chamavam o rapaz ao bar onde se reuniam e ofereciam a ele a escolha entre duas moedas: uma grande de 400 réis e outra menor, de dois mil réis. Ele sempre escolhia a maior e menos valiosa, o que era motivo de risos para todos.
Certo dia, um dos membros do grupo chamou-o e lhe perguntou se ainda não havia percebido que a moeda maior valia menos. "Eu sei" – respondeu o não tão tolo assim – "ela vale cinco vezes menos, mas no dia que eu escolher a outra, a brincadeira acaba e não vou mais ganhar minha moeda".
Pode-se tirar várias conclusões dessa pequena narrativa:
- Primeiro: quem parece idiota, nem sempre é. - Segundo: (dito em forma de pergunta) quais eram os verdadeiros tolos da história? - Terceiro: se você for ganancioso, poderá acabar estragando sua fonte de renda. Mas a conclusão mais interessante, a meu ver, é a percepção de que podemos estar bem, mesmo quando os outros não têm uma boa opinião a nosso respeito. Portanto, o que importa não é o que pensam de nós, mas o que realmente somos...
Este material foi produzido com base no livro:
FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
Para refletir: Procure novos ensinamentos com simplicidade, sem arrogância. [retirado de um biscoito da sorte chinês]
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Observação:
No caso ao lado, o método das frações parciais
propriamente dito, NÃO foi aplicado por que o
)]([)]([ xDgrxPgr , resultando numa divisão exata.
Observação:
No caso ao lado, o método das frações parciais
propriamente dito, também NÃO foi aplicado por que o
)]([)]([ xDgrxPgr . Após a execução da divisão [não
exata] dos polinômios, reescrevemos a integral que agora
possui regras [praticamente] imediatas na tabela.
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
Esta técnica é utilizada quando precisamos encontrar [a família de primitivas de] uma função que é dada por
uma função racional, isto é, pelo quociente de dois polinômios.
► Se )(
)()(
xD
xPxf onde, P e D são polinômios e o grau de P é MAIOR ou IGUAL ao grau de D:
CASO 1: A divisão )(
)(
xD
xP é exata [resto zero]. Assim: )(
)(
)(xQ
xD
xP
Exemplo:
Dividindo [pelo método da chave], temos:
0
)8422(
8422
2)421(
428843
23
23
234
23234
xxx
xxx
xxxxx
xxxxxxx
Então:
= cxx
dxx 22
)2(2
CASO 2: A divisão )(
)(
xD
xP não é exata [resto diferente de zero]. Assim:
)(
)()(
)(
)(
xD
xRxQ
xD
xP
Exemplo:
dx
x
xx
1
3
Dividindo [pelo método da chave], temos:
2
)22(
02
)(
2)(
100
2
2
223
23
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
Então:
dx
x
xx
1
3
=
cxx
xxdx
xxx |1|ln22
231
22
232
dx
xxx
xxxx
42
884323
234
dx
xxx
xxxx
42
884323
234
)]([)]([ xDgrxPgr ↳
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Lembrete:
))((2
xxxxacbxax
Sendo que x e x são as raízes da
equação 02
cbxax .
Nota:
Para este caso [1], podemos aplicar outro método conhecido
como Método de Heaviside ou Método do Encobrimento. Pesquise e procure saber mais!
► Se )(
)()(
xD
xPxf onde, P e D são polinômios e o grau de P é MENOR que o grau de D:
CASO 1: O denominador D(x) é um produto de fatores lineares distintos.
Sejam a, b, x„ e x„‟, números reais, com x„ ≠ x„‟. Então, existem números reais A e B, tais que:
D(x) com grau 2: )()())((
)(
xx
B
xx
A
xxxx
xP
Analogamente...
D(x) com grau 3: )()()())()((
)(
xx
C
xx
B
xx
A
xxxxxx
xP
Exemplo: dx
xx
x
6
52
1º passo: encontrar as raízes de D(x) para fatorá-lo. Neste caso são duas: x‟ e x‟‟.
232
51
2
2411062
xexxxxx
Assim temos que: )2)(3(62 xxxx
2º passo: substituir as raízes no “modelo” e encontrar os valores de A e B.
)2()3()2)(3(
5
x
B
x
A
xx
x
)2)(3(
)3()2(
)2)(3(
5
xx
xBxA
xx
x
)3()2(5 xBxAx
Substituindo 3x temos: )33()23()3(5 BA
BA 0515 3A
Substituindo 2x temos: )32()22()2(5 BA
BA 5010 2B
3º passo: calcular a integral.
dx
xx
x
6
52
=
cxxdxxx
|2|ln2|3|ln3)2(
2
)3(
3
)]([)]([ xDgrxPgr ↳
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CASO 2: O denominador D(x) é um produto de fatores lineares distintos, mas alguns deles são repetidos.
Sejam x„, x„‟, números reais, com x„ ≠ x„‟ e P(x) um polinômio cujo grau é menor que 3. Então, existem números
reais A, B e C, tais que:
212 )()()())((
)(
xx
C
xx
B
xx
A
xxxx
xP
Analogamente...
3213 )()()()())((
)(
xx
D
xx
C
xx
B
xx
A
xxxx
xP
Exemplo:
dx
xxx
xx
)96)(2(
312132
2
1º passo: encontrar as raízes de D(x). Neste caso são três: x‟, x‟‟ e x‟‟‟. Note que uma delas é x‟‟‟ = 2.
332
06
2
363660962
xexxxxx
Assim temos que: 22 )3()3)(3(96 xxxxx
2º passo: substituir as raízes no “modelo” e encontrar os valores de A, B e C.
22
2
)3()3()2()3)(2(
31213
x
C
x
B
x
A
xx
xx
2
2
2
2
)3)(2(
)2()3)(2()3(
)3)(2(
31213
xx
xCxxBxA
xx
xx
)2()3)(2()3(31213 22 xCxxBxAxx
Substituindo 3x temos: )23()33)(23()33(31)3(21)3(3 22 CBA
CBA 005
5C
Substituindo 2x temos: )22()32)(22()32(31)2(21)2(3 22 CBA
CBA 0011
1A
Substituindo 0x temos: )20()30)(20()30(31)0(21)0(3 22 CBA
CBA 26931
2B
3º passo: calcular a integral.
dx
xxx
xx
)96)(2(
312132
2
= cx
xxdxxxx
)3(
5|3|ln2|2|ln
)3(
5
)3(
2
)2(
12
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Lembrete:
bnb a
n
a log.log
cbcb aaa loglog)(log
cbcb aaa loglog)/(log
CASO 3: O denominador D(x) contem fatores quadráticos irredutíveis, mas nenhum deles se repete.
Sejam b, c, x„, números reais e P(x) um polinômio cujo grau é menor que 3. Suponhamos ainda que cbxx 2
não admite raízes reais, isto é, Δ < 0. Então, existem números reais A, B e C, tais que:
cbxx
CBx
xx
A
cbxxxx
xP
22 )())((
)(
Exemplo: dxxx
xx
4
423
2
1º passo: encontrar as raízes de D(x) para fatorá-lo.
0)4( 2 xx 0)4(0 2 xex
0
2º passo: substituir a raiz no “modelo” e encontrar os valores de A, B e C.
4)4(
4222
2
x
CBx
x
A
xx
xx
)4(
))(()4(
)4(
422
2
2
2
xx
xCBxxA
xx
xx
))(()4(42 22 xCBxxAxx
CxBxAAxxx 222 442
ACxxBAxx 4)(42 22
Comparando os polinômios na igualdade acima, temos:
A44 1A BAxBAx 2)(2 22
1B
Cxx 1
1C
3º passo: calcular a integral.
dxxx
xx
4
423
2
= cx
arctgxxdxxx
x
xdx
x
x
x
22
1|4|ln
2
1||ln
4
1
4
1
4
11 2
222
A solução pode ser escrita na forma:
dxxx
xx
4
423
2
= c
xarctgxx
22
1|4|ln
2
1||ln 2
= c
xarctgxx
22
1|4|ln||ln 2/12
dxxx
xx
4
423
2
= c
xarctgxx
22
14ln||ln 2
dxxx
xx
4
423
2
= c
xarctgxx
22
1)4(ln 2
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CASO 4: O denominador D(x) contem fatores quadráticos irredutíveis repetidos.
Sejam b, c, x„, números reais e P(x) um polinômio cujo grau é menor que 5. Suponhamos ainda que cbxx 2
não admite raízes reais, isto é, Δ < 0. Então, existem números reais A, B, C, D e E, tais que:
22222 )()())('(
)(
cbxx
EDx
cbxx
CBx
xx
A
cbxxxx
xP
Exemplo: dxxx
xxx
22
32
)1(
21
1º passo: encontrar as raízes de D(x) para fatorá-lo.
Já está fatorado, pois )1( 2 x não tem raízes reais!
2º passo: substituir a raiz no “modelo” e encontrar os valores de A, B, C, D e E.
22222
32
)1(1)1(
21
x
EDx
x
CBx
x
A
xx
xxx
22
222
22
32
)1(
))(())(1)(()1(
)1(
21
xx
xEDxxxCBxxA
xx
xxx
))(())(1)(()1(21 22232 xEDxxxCBxxAxxx
)()()()()12(21 23242432 xExDxxCxxBxxAxxx
ExDxCxCxBxBxAAxAxxxx 23242432 221
AxECxDBACxxBAxxx )()2()(12 23423
Comparando os polinômios na igualdade acima, temos:
33 Cxx
1C
ExECx 11)( 0E
A11
1A
0)(0 44 BAxBAx
1B
22)2(2 22 DBAxDBAx 1D
3º passo: calcular a integral.
dxxx
xxx
22
32
)1(
21 = dx
x
x
xx
x
xdx
x
x
x
x
x
2222222 )1(1
1
1
1
)1(1
11
dxxx
xxx
22
32
)1(
21 = c
xxarctgxx
)1(2
1|1|ln
2
1||ln
2
2
dxxx
xxx
22
32
)1(
21 = c
xxarctg
x
x
)1(2
1
1ln
22
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EXERCÍCIOS:
Resolva as integrais pelo método de frações parciais.
a) dx
x
x
6 cxxR |6|ln6:
b)
dx
xxx
xx
)3)(2)(1(
432
cxx
xR
|3|ln
2
1ln
3
2:
c) dxxxx
xx
65
1228923
2
cxxxR |3|ln3|2|ln4||ln2:
d) dx
xx )1()5(
12
cxx
xR
)5(6
1
5
1ln
36
1:
e)
dx
xx
xx23
2
2
235 c
xxxR
1||ln2|2|ln3:
f) dxxx
xxx
103
20452
23
cxx
R 22
:2
g)
dx
xxx
x
6
123
cxxxR |2|ln10
1|3|ln
15
4||ln
6
1:
h) dx
xx )2(
22
cx
xR
2ln:
2
i)
j)
k)
l)
Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. [Lair Ribeiro]
dx
x
x3
2
)1(
dx
xx
x23
4
2
8
dx
xx
x
)2()1(
132
2
dx
xx )4)(1(
12
cxxx
R
|1|ln
1
2
)1(2
1:
2
cxxx
xx
R )2ln(24
22
: 22
cxxx
R
|2|ln
9
11|1|ln
9
16
)1(3
2:
cx
arctgxxR
210
1)4ln(
10
1|1|ln
5
1: 2
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
Resolva as integrais dadas abaixo pelo método mais adequado.
01) dxxx3 02) dtg.cos
03) dxx )12ln( 04) dttt ln.
05) dyey y2. 06) dx
x
xln
07) dx
x
x
12
2
08) dxexx xx 52 23
).69(
09) dxex x).1( 10)
dxx x5.
11)
dxxxx 2
123
12) dx
xsen
x
3
cos
13)
dtt
t 2)2( 14) dxmxx )(cos.2
15) dx
x 33
22
16)
dx
xx
xx23
3 139
17) 1/ 3
3 4x x dx 18)
dx
xx
xx
4
423
2
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
01) [D] cx 2/9
9
2 ou cxx 4
9
2 02) [D] c cos
03) [S] cxxx )12(2
1)12ln()12(
2
1
04) [P] cttt 2/32/3
9
4ln
3
2 ou ctt
3
2ln
3
2 2/3
05) [P] ceey yy 22
4
1.
2
1
06) [S] c
x
2
)(ln 2
ou cx 2ln2
1
07) [F]
cxtgarcx )( 08) [S] ce xx 523
3
09) [P] cex x . 10) [P]
cx xx
2)5(ln
5
5ln
5 ou c
xx
5ln
)15ln(52
11) [F] cxxx |2|ln6
1|1|ln
3
1||ln
2
1 12) [S] cxsen )3(ln
13) [S] ct 3)2(3
2
14) [P]
cmxsen
mmx
m
xmxsen
m
x )(
2)cos(
2)(
32
2
15) [D] cxtgarc )(3
2 16) [F]
cx
xxx |1|ln7
1||ln29
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Página 21 de 21
17) [P] + [S] cxx )916()43(448
3 3/4 18) [F]
c
xarctgxx
22
1)4ln(
2
1||ln 2
Legenda [sugestão do método de resolução]: [D] Integração Direta (Imediata),
[S] Integração por Substituição,
[P] Integração por Partes e
[F] Integração por Frações parciais.
TÓPICO INFORMATIVO:
Neste material abordamos alguns métodos de resolução de integrais indefinidas. A resolução se deu através de:
- Integrais imediatas [obtidas diretamente da tabela de integrais] - Integração por substituição [de variável/função] - Integração por partes - Integração por frações parciais
Entretanto, existem outras técnicas de resolução para casos específicos. Podemos citar alguns casos, como a
integral dxxex
cos que é resolvida através da integração por partes, mas utilizando ainda uma técnica
conhecida como “recorrência”. Para alguns modelos de integrais trigonométricas, como dxx3
cos , podemos
fazer uso de “fórmulas de redução” que diminuem a potência [expoente] da função integrando. Existem ainda
integrais, como dxx
x
2
2
9 que requerem substituições trigonométricas para possibilitar o processo de
integração. Consulte um bom livro de Cálculo para saber mais!!
Para descontrair [se for capaz]...
Curtiu?
Então, qual o resultado da integral indefinida que aparece no “meme” acima? Problem?