ATPS Integrais (Salvo Automaticamente) (Reparado)

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7/23/2019 ATPS Integrais (Salvo Automaticamente) (Reparado) http://slidepdf.com/reader/full/atps-integrais-salvo-automaticamente-reparado 1/29 SUMÁRIO ETAPA 1.................................................................... ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 1.1 A Integral ...........................................................................Erro! Marcador não definido. 1.2 Integral Indefinida .........................................................................................................1 1.3 Integral Definida e Cálcul de Área ................................ Erro! Marcador não definido. 1.! A"lica#$e% da Integral ...................................................... Erro! Marcador não definido. 1.& De%afi%..............................................................................Erro! Marcador não definido. DESAFIO A.................................................................... Err' Marcadr n( definid. DESAFIO B.................................................................... Err' Marcadr n( definid. DESAFIO C.....................................................................................................................5 DESAFIO D.....................................................................................................................6 1.) Relat*ri..........................................................................................................................+ ,I,-IORA/IA.......................................................................................................................0 ETAPA 1

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SUMÁRIO

ETAPA 1....................................................................ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.

1.1 A Integral...........................................................................Erro! Marcador não definido.

1.2 Integral Indefinida.........................................................................................................1

1.3 Integral Definida e Cálcul de Área................................Erro! Marcador não definido.

1.! A"lica#$e% da Integral......................................................Erro! Marcador não definido.

1.& De%afi%..............................................................................Erro! Marcador não definido.• DESAFIO A....................................................................Err' Marcadr n( definid.• DESAFIO B....................................................................Err' Marcadr n( definid.• DESAFIO C.....................................................................................................................5• DESAFIO D.....................................................................................................................6

1.) Relat*ri..........................................................................................................................+

,I,-IORA/IA.......................................................................................................................0

ETAPA 1

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1.1 A Integral

O cálculo diferencial e ineral e"e in#cio no $%culo &'II (uando doi$ auore$) I$aac Ne*on

na Inlaerra e) +ofried ,ei-ni na Ale/an0a criara/ a$ 1ri/eira$ defini23e$) 1or%/) não

/anin0a/ conao.

E/-ora en0a/ dado o 1ona1% inicial) nen0u/ do$ doi$ foi ca1a de de/on$rar co/ clarea

co/o n4/ero$ infinio$ 1oderia/ re$ular e/ n4/ero$ finio$. A1ena$ no $%culo &I&) co/ a

cria2ão do li/ie (ue o$ conceio$ do cálculo fora/ definido$.

/ cálculo a1roi/ado da área $o- u/a cur"a (ual(uer f  ( x )  e/ u/ iner"alo definido

[ a , b ]  do eio 1ode $er feio (uando di"idi/o$ o eio e/ "ário$ re7nulo$ de

a/an0o$ iuai$. A alura de$$e$ re7nulo$ de"e e$ar e/ u/ 1ono (ual(uer c j denro de

cada $u-iner"alo do eio ) re$ulando e/ f  ( x ).  Se a alura de cada re7nulo % dada 1or 

f  ( c j )  e o co/1ri/eno 1ela "aria2ão e/ ) dx ) a área oal  A $o- a cur"a % dada 1ela

$o/a8ria do$ re7nulo$.

 A ≅ f  (c1 ) dx+ f  (c2 ) dx+…+ f  (cn) dx=∑ j=1

n

f  ( c j ) dx

9 1erce1#"el (ue) (uano /aior o n4/ero de re7nulo$) /ai$ a1roi/ado e$ará o cálculo da

área. Se i"er/o$ u/a (uanidade infinia de re7nulo$ ere/o$ a área eaa. E$$a $o/a8ria

de infinio$ re7nulo$ e/ u/ deer/inado iner"alo [ a , b ]   foi e$a-elecido 1elo ale/ão

Bern0ard Rie/ann co/o a defini2ão de ineral.

 A= limn→ ∞

∑ j=1

n

f  (c j ) dx=∫a

b

f  ( x )dx

:

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1.2 Integral Indefinida

A$$i/ co/o a e$á $u-ra2ão 1ara a $o/a e a di"i$ão 1ara a /uli1lica2ão co/o o1era23e$

in"er$a$) a inera2ão % a o1era2ão in"er$a da deri"a2ão. ;ara enconrar a ineral de"e/o$

faer o 1roce$$o in"er$o da deri"ada.

Se 1ara a deri"ada de  x2

  % 2 x ) a ineral de 2 x de"e $er  x2

) $e a deri"ada de

 x3=3 x

2

) a ineral de 3 x2= x

3.  Noa/o$ (ue) ao inerar u/a fun2ão) o e1oene da

"ariá"el au/ena u/a unidade e di"idi/o$ 1elo no"o e1oene) 1or%/) $e deri"ar/o$ a$

fun23e$ f  ( x )= x2+6  ou g ( x )= x

2+37  ere/o$ o /e$/o re$ulado) 2 x . A con$ane

deri"ada não 1ode $er enconrada ao faer a inera2ão) 1or e$$e /oi"o) $e/1re $o/a/o$

u/a con$ane C   (ual(uer.

∫ xn

dx= x

n+1

n+1+C 

Ee/1lo$<

∫ x2

dx= x

3

3

 +C 

∫2 x dx=2 x

2

2  +C = x

2+C 

∫6 x4

dx=6 x

5

5  +C 

√  x dx=∫ x

1

2 dx=¿ x

3

2

32

+C =2

3

 √  x3+C =2

3

 x√  x+C 

∫¿

∫5dx=∫5 x0

dx=5 x

1

1  +C =5 x+C 

∫  1

 x2 dx=∫ x

−2dx=

 x−1

−1+C =

−1

 x  +C 

=

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Sa-endo (ue a inera2ão % a o1era2ão in"er$a da deri"a2ão) alu/a$ inerai$ 1ode/ $er 

enconrada$ u$ando a a-ela de deri"ada$) co/o 1or ee/1lo) a deri"ada da fun2ão

dydx

 ( lnx )=1 x ) 1orano) ∫(

1 x )dx=lnx+C  . Noe (ue) u$ando a f8r/ula ∫ x

ndx= xn+1

n+1

) não $eria 1o$$#"el enconrar a ineral de u/a fun2ão do i1oa

 x   >$endo a   % u/a

con$ane (ual(uer?) 1oi$ re$ularia e/ u/ "alor inei$ene@

∫ 1

 x dx=∫ x

−1dx=

 x0

0 +C =∄

Ouro$ ee/1lo$ de inerai$ indefinida$<

∫ 1

 x dx=lnx+C 

∫a x

dx= a

 x

lna+C 

∫e x

dx=e x+C 

∫ senx dx=−cosx+C 

∫cosx dx=senx+C 

∫ sec2 x dx=tgx+C 

1.3 Integral Definida e Cálcul de ÁreaA área de-aio de u/a fun2ão f  ( x)  1ode $er calculada u$ando a ineral) 1ara i$$o) de"e

$er e$a-elecido u/ iner"alo definido [a ,b ] ) $endo a  e b  1ono$ no eio ) e denro

de$$e iner"alo) a fun2ão de"e $er con#nua e /aior ou iual a ero. ;ara o$ iner"alo$ e/ (ue

a fun2ão for neai"a) a inera2ão re$ulará e/ u/a área neai"a) (ue de"erá $er 

/uli1licada 1or >:?.

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A fun2ão inerada f  ( x)  re$ulará na $ua fun2ão 1ri/ii"a  F ( x ) . A área $o- a cur"a

$erá dada 1ela diferen2a da 1ri/ii"a e/ fun2ão de a  e b .

f  ( x ) dx= F ( x )∨¿ x=a x=b= F (b )− F (a)

 A=∫a

b

¿

Ee/1lo<

Enconrar a área $o- a fun2ão f  ( x )= x3+1 ) no iner"alo   [2,3] .

Enconra/o$ a ineral da fun2ão<

( x3+1 ) dx= x4

4 + x∨¿2

3

 A=∫2

3

¿

 Na ineral definida de$con$idera/o$ a con$ane C) 1oi$ (uando $u-ra#/o$ u/a 1ela oura o

re$ulado $erá .

 A=

(

34

4

 +3

)−

(

24

4

 +2

)=

(

81

4

 +12

4

 )−

(

16

4

 + 8

4

)=93

4

 −24

4

 A=69

4 =17,25

e/o$ enão (ue a área $o- a fun2ão f  ( x )= x3+1   no iner"alo de = a% % de :)=5

unidade$.

1.! A"lica#$e% da Integral

O cálculo diferencial e ineral % u/ do$ recur$o$ /ai$ i/1orane$ na "ida de enen0eiro$

e/ odo /undo. +ra2a$ ineral) 1ode/o$ e$i/ar co/ 1reci$ão) área$ cur"a$) (ue não

 1ode/ $er calculada$ u$ando a1ena$ o$ con0eci/eno$ de eo/eria) 1ode/o$ calcular o

co/1ri/eno do arco de u/a cur"a e a/-%/ o "olu/e do$ /ai$ di"er$o$ i1o$ de $8lido$

eo/%rico$) a$$i/ co/o a área da $u1erf#cie de$e$. Na enen0aria ci"il) u$a/o$ o cálculo

/ai$ co/u/ene 1ara di/en$ionar a e$ruura de "ia$ e 1ilare$.

G

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1.& De%afi%

• DESAFIO A

Hual da$ alernai"a$ a-aio re1re$ena a ineral indefinida de< ∫(a3

3 +

 3

a3+3

a )da

a?   F (a )=12a4−

3a−2

2  +ln|3a|+C 

 -?   F (a )= a

12

4

−  3

2a2+3 ln|a|+C 

c?   F (a )¿   a

12

4

+  3

2a2−3ln|a|+C 

d?   F (a )=12a4+

3a−2

2  + ln|a|+C 

e?  F (a )=a

4+  3

2a2+3 ln|a|+C 

;ode/o$ ree$cre"er a ineral de for/a $e1arada e i$olar a$ con$ane$@

1

3∫ a

3da+3∫  1

a3 da+3∫ 1

a da

1

3∫ a

3da=

1

3 ∙

a4

4 +C =

a4

12+C 

3∫ a−3

da=3 a

−2

−2+C =

−3

2a2+C 

3∫ 1

a da=3ln|a|+C 

Aora 1ode/o$ $o/ar odo$ o$ "alore$ 1ara o-er o re$ulado final. ,e/-rando (ue a

$o/a8ria da$ con$ane$ C coninua $endo u/a con$ane C) a ineral indefinida de

(

a3

3 +

 3

a

3+3

a

)da  % re1re$enada 1ela o12ão >-?@

5

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 F ( a )= a4

12−

  3

2a2+3 ln|a|+C 

• DESAFIO B

Su1on0a (ue o 1roce$$o de 1erfura2ão de u/ 1o2o de 1er8leo en0a u/ cu$o fio de J

:. e u/ cu$o /arinal de C '  (q )=1000+50q   d8lare$ 1or 1%) onde q   % a

 1rofundidade e/ 1%$. Sa-endo (ue C (0 )=10.000 ) a alernai"a (ue e1re$$a C (q) ) o

cu$o oal 1ara $e 1erfurar q  1%$ %<

a?   C (q )=10.000+1.000 q+25 q2

 -?   C (q )=10.000+25q+1.000q2

c?   C (q )=10.000 q2

d?   C (q )=10.000+25q2

e?   C (q )=10.000 q+q2+q

3

Se C '  (q )=1000+50q   % o cu$o /arinal) 1ara enconrar a fun2ão oriinal de"e/o$

de$faer a deri"ada C '  (q )  ara"%$ da inera2ão@

C ( q )=∫ (1000+50q )dq=1000q+50q

2

2  +C =1000q+25q

2+C 

Huando a 1rofundidade q  % iual a ) o cu$o C (q)  % de J :.. Su-$iuindo e$$e$

"alore$ na e(ua2ão enconra/o$ o "alor da con$ane C@

C (0)=1000q+25q2+C 

10.000=1000 ∙0+25 ∙02+C 

10.000=C 

Se a con$ane C =10.000 ) enconra/o$ a fun2ão 1ri/ii"a

C ( q )=10.000+1.000q+25 q2

∙ .  O12ão >a?.

6

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• DESAFIO C

 No inicio do$ ano$ K) a aa de con$u/o /undial de 1er8leo cre$ceu e1onencial/ene.

SeLa C (t )  a aa de con$u/o de 1er8leo no in$ane t  ) onde t   % o n4/ero de ano$

conado$ a 1arir do inicio de :KK. / /odelo a1roi/ado 1ara C ( t )   % dado 1or 

C ( t )=16,1∙ e0,07 t 

. Hual da$ alernai"a$ a-aio re$1onde correa/ene a (uanidade de

 1er8leo con$u/ida enre :KK= e :KKG

a? 56)G -il03e$ de -arri$ de 1er8leo -? G) -il03e$ de -arri$ de 1er8leoc? K)6 -il03e$ de -arri$ de 1er8leod? =6)5G -il03e$ de -arri$ de 1er8leoe? Nen0u/a da$ alernai"a$

A (uanidade de 1er8leo con$u/ida 1elo 1er#odo % dada 1ela inera2ão do cu$o enre o$

in$ane$ = e G >1oi$ a conae/ de ano$ co/e2a e/ :KK?

∫2

4

(16,1 ∙ e0,07 t ) dt 

;ara realiar e$$a cona uilia/o$ o /%odo da inera2ão 1ela $u-$iui2ão.

Se u=0,07 t   a deri"ada de u  e/ fun2ão de t  )du

dt  )) i$olando dt  ) e/o$

(ue dt =  du

0,07 .

Su-$iu#/o$ enão na e(ua2ão<

∫2

4

(16,1 ∙ eu )   du

0,07

16,1

0,07∫2

4

eu

du

230 ∙eu

230 ∙e0,07 t 

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Su-$iuindo de "ola u=0,07 t   e/o$ 230 ∙e0,07 t 

. Enão) enconra/o$ o re$ulado 1or@

230 (e0,07 ∙4−e0,007∙ 2 )=230 ∙0,1728=39,76

;orano) K)6 -il03e$ de -arri$ de 1er8leo fora/ con$u/ido$ no 1er#odo de :KK= a :KKG.

O12ão correa< >c?.

• DESAFIO D

A área $o- a cur"a  y=e x

2  de  x=−3  a  x=2  % dada 1or<

a? G)KK

 -? )==c? 6)d? :)::e? =)==

;ara de$co-rir a área $o- a cur"a) inera/o$ a fun2ão 1elo /%odo da $u-$iui2ão@

∫−3

2

e

1

2 x

dx

u=1

2

 x

du

dx=1

2

dx=2du

Su-$iuindo na f8r/ula e/o$

e

(¿¿ u)2du=2∙ eu

=2 ∙ e

1

2 x

∫−3

2

¿

Su-$iu#/o$ enão 1or e = faendo a $u-ra2ão

2(e

2

2−e

−3

2 )

Re$ol"endo) enconra/o$ o re$ulado G)KK) re1re$enado 1ela o12ão >a?.

ETAPA 2

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2.1 Integra#( "r %u%titui#(

 Na$ deri"ada$) 1ode/o$ u$ufruir de f8r/ula$ co/o a rera da cadeia) a rera da /uli1lica2ão

e a rera da di"i$ão 1ara enconrar a$ deri"ada$ /ai$ dif#cei$) 1or%/) 1ara enconrar a

 1ri/ii"a de u/ 1roduo ou de u/a fra2ão) de"e/o$ uiliar ouro$ /%odo$ co/o a

inera2ão 1or $u-$iui2ão e a inera2ão 1or 1are$.

A inera2ão 1or $u-$iui2ão con$i$e nu/a /aneira de re"erer a rera da cadeia. ;ela rera

da cadeia@

d

dx [f  ( g ( x ) ) ]=f '  (g ( x ) ) ∙ g ' ( x)

;orano) 1ara realiar a inera2ão do i1o f  ( g ( x ) )∙ g ' ( x )  e/ (ue f  ( x)  % a fun2ão de

fora) g( x)   % a fun2ão de denro e ei$e u/a deri"ada da fun2ão de denro) g ' ( x) )

 1ode/o$ definir (ue<

∫ f  (g ( x ) ) ∙ g ' ( x)dx= F ( g ( x ) )+C 

Sendo (ue  F  % u/a 1ri/ii"a de f  ( x) .

iliando o /%odo da $u-$iui2ão) n8$ roca/o$ a fun2ão de denrog( x)

 1ela "ariá"el

u  e re$ol"e/o$ a ineral e/ fun2ão de u . De"e/o$ enão) eli/inar oda$ a$ oura$

"ariá"ei$ e) no fi/) $u-$iuir u  de "ola e/ g( x) .

;or ee/1lo) 1ara re$ol"er a ineral ∫2 x ∙ sen ( x2 ) dx ) e/o$  x2

  co/o fun2ão de

denro) enão o $u-$iuire/o$ 1or u .

E/ $euida) enconra/o$ a deri"ada de u  e/ fun2ão de  x <

du

dx=2 x∴dx=

du

2 x

Su-$iuindo o$ "alore$ e/o$<

∫2 x ∙ sen(u)du

2 x=∫ sen (u ) du=−cos (u )+C 

;ara er/inar) roca/o$ u  de "ola e/  x2

<

K

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∫2 x ∙ sen ( x2 ) dx=−cos ( x2 )+C 

2.2 Integra#( "r "arte%Diferene da inera2ão 1or $u-$iui2ão) (ue de$fa a rera da cadeia) a inera2ão 1or 1are$

% o /%odo uiliado 1ara de$faer a rera do 1roduo. Ara"%$ de$$e /%odo) 1ode/o$

enconrar a 1ri/ii"a de u/a ineral do i1o ∫u ∙ v d x .

;ela rera do 1roduo) e/o$ (ue<

d

dx (uv )=u

' v+uv ' 

I$olando o 1roduo uv '   ere/o$<

u v' =

  d

dx (uv )−u

' v

E/ $euida) inera/o$ a/-a$ a$ 1are$ 1ara o-er a f8r/ula da inera2ão 1or 1are$@

∫u v' dx=∫   d

dx (uv ) dx−∫ u

' v dx

∫udvdx=uv−∫ vdudx

 Noa/o$ (ue ei$e/ doi$ faore$< u   (ue de"erá $er deri"ado) e v '   (ue de"erá $er 

inerado a fi/ de enconrar a $ua fun2ão oriinal) v .  ;or i$$o) 1ara faciliar o$ cálculo$)

de"e/o$ e$col0er co/o v '  ) a(uele (ue for /ai$ fácil de inerar. A i/ae/ $euine

/o$ra o rau de dificuldade de cada i1o de fun2ão.

:

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o/ando co/o ee/1lo) re$ol"er a ineral ∫2 x ∙ senx dx ) "e/o$ (ue senx   % u/a

fun2ão riono/%rica) 1orano) /ai$ $i/1le$ (ue a fun2ão 2 x ) (ue % u/a fun2ão

al%-rica. ;or $er a fun2ão /ai$ $i/1le$) senx=dv ) 1ara enconrar o "alor de v

inera/o$ senx   e/ fun2ão de  x   >de$con$iderando a con$ane C) (ue $8 de"e $er 

adicionada ao final do$ cálculo$?@

v=∫ senxdx=−cos x

Se

senx

  %

dv

) a fun2ão al%-rica

2 x

 $erá iual a

u

. Enconra/o$ enão a $uaderi"ada@

du= d

dx 2 x=2

Su-$iuindo o$ "alore$ na f8r/ula ∫udvdx=uv−∫ vdudx ) ere/o$<

∫2 x sen x dx=2 x (−cos x )−∫−cos x ∙2dx

¿−2 x cos x+2∫cos x dx

O-e/o$ enão u/a no"a ineral ∫cos x dx ) /a$ (ue 1ode $er calculada co/ /aior 

facilidade@

∫2 x sen x dx=−2 xcos x+2sen x+C 

O re$ulado enconrado % −2 x cos x+2 sen x+C  ) e) $e deri"ar/o$ e$$a fun2ão) ere/o$ de

"ola o "alor 2 x sen x dx .

2.3 De%afi%

Con$idere/ a$ $euine$ iualdade$<

I?

∫ (3−t ) ∙ (t 2−6 t )4

dt =−(t 2−6 t )5+C 

10

II?

::

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∫0

5t 

√ t +4dt =4,67

;ode/o$ afir/ar (ue<a? >I? e >II? $ão "erdadeira$

 -? >I? % fal$a e >II? % "erdadeirac? >I? % "erdadeira e >II? % fal$ad? >I? e >II? $ão fal$a$

;ara re$ol"er a iualdade >I? u$are/o$ o /%odo da inera2ão 1or $u-$iui2ão) $endo u a

fun2ão de denro) t 2−6 t  @

u=t 2−6 t 

du

dt  =2 t −6

dt =  du

2t −6

O-$er"a/o$ (ue o "alor 2t −6  não irá cancelar t −3 ) 1or%/) o$ "alore$ $ão /4li1lo$

e 1ode/o$ rocar 2t −6   1or 2(t −3) ) ao /uli1licar 1or 2 ) e) /uli1licando 1or 

(−1)  e/o$ (uedt =

  du

−2(3−t ) . De$a for/a) $u-$iuindo o$ "alore$ ere/o$<

∫ (3−t ) u4   du

(−2)(3−t )

Si/1lificando e re$ol"endo a inera2ão@

−1

2 ∫u

4du

−1

2  ∙

u5

5 +C 

−u5

10 +C 

:=

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−(t 2−6 t )5+C 

10

O re$ulado o-ido % −(t 2

−6 t )

5

+C 10 ) 1orano) a afir/a2ão >I? e$á correa.

;ara $a-er $e a infor/a2ão >II? e$á correa) uiliare/o$ o /e$/o /%odo) $endo u   a

fun2ão de denro) t +4 .

u=t +4

du

dt  =1

dt =du

Su-$iuindo e re$ol"endo a ineral e/o$   ∫  t 

√ udu

. Ne$e for/ao) a ineral não 1ode $er 

re$ol"ida) 1oi$ / dua$ "ariá"ei$. De"e/o$ enão enconrar o "alor de t   e/ fun2ão de

u . Se u=t +4 ) t =u−4 ) rocando na e(ua2ão e/o$<

∫ u−4

√ udu

∫ (u−4 )u−1

2 du

∫u1

2−4u−1

2 du

De"e/o$ no$ le/-rar (ue a ineral dada e$a"a e/ fun2ão de t  ) não de u ) 1or i$$o)

não uiliare/o$ o$ li/ie$ e 5 a% $u-$iuir a fun2ão de "ola e/ t  .

u3

2

3

2

−4 u

1

2

1

2

2u√ u3  −8√ u

:

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2(t +4 )√ t +43

−8√ t +4|0

5

roca/o$ o$ "alore$ de t   1elo$ li/ie$ e 5@

2(5+4)√ 5+43

  −8√ 5+4−(2(0+4 )√ 0+43  −8 √ 0+4)

2 ∙9√ 93  −8√ 9−

2√ 43  +8√ 4

18 ∙3

3  −24−

2∙2

3  +16

54−72−16+483

  =14

3  ≅ 4,67

O re$ulado o-ido % a1roi/ada/ene 4,67 ) $endo a$$i/) a afir/a2ão >II? a/-%/ %

"erdadeira. E$á correa a alernai"a >a?.

ETAPA 3

3.1 Cálcul de Área

 Na ea1a : "i/o$ co/o enconrar a área $o- u/a fun2ão) aora "ere/o$ co/o enconrar a

área enre u/a ou /ai$ fun23e$.

E.< Calcular a área enre a$ fun23e$  y= x2

  e  y=2− x2

) re1re$enada 1elo ráfico

$euine<

:G

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;ode/o$ o-$er"ar (ue o$ li/ie$ dado$ 1ara e$$a área % dado 1elo 1ono de iner$ec2ão enre

a/-a$ a$ fun23e$) 1orano@

 x2=2− x

2

2 x2=2

 x=1 x=−1

;ara enconrar a área enre e$$a$ dua$ cur"a$) -a$a calcular a área da fun2ão $u1erior e

$u-rair 1ela área da fun2ão inferior. Ne$e ca$o) a fun2ão $u1erior %  y=2− x2

) $e não

i"%$$e/o$ o ráfico e (ui$%$$e/o$ de$co-rir (ual % a fun2ão $u1erior -a$a"a $u-$iuir x

 1or u/ 1ono (ual(uer denro do li/ie dado. Calculando a área<

 A=∫−1

1

(2− x2)dx−∫

−1

1

 x2

dx

 A=2 x− x

3

3 |−1

1

− x

3

3 |−1

1

 A={2 ∙1−13

3 −[2 ∙ (−1 )− (−1 )

3

3  ]}−{13

3 − (−1 )

3

3  } A=2−

1

3+2−

1

3−

1

3−

1

3=4−

4

3

 A=8

3 u

2

3.2 De%afi%

,eia/ o de$afio a-aio<

Con$idere/ a$ $euine$ rei3e$ S:  >fiura :? e S=  >fiura =?. A$ área$ de S:  e S=  $ão)

re$1eci"a/ene )6K: u.a. e 6)6 u.a.

:5

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;ode/o$ afir/ar (ue<

a? >I? e >II? $ão "erdadeira$ -? >I? % fal$a e >II? % "erdadeirac? >I? % "erdadeira e >II? % fal$ad? >I? e >II? $ão fal$a$

O-$er"ando a fiura :) "e/o$ (ue a $ua área no iner"alo de a : 1ode $er calculada 1ela

$u-$iui2ão de u/ rianulo de alura 1  1or ouro de alura iual a1

4 .

;ela eo/eria) $u-$iui/o$ o$ "alore$ na f8r/ula 1ara área de ri7nulo$<

 A1=B ∙ h1

2  −

B ∙ h2

2

 A1=1

2−

1

8

 A1=3

8

 No iner"alo de : a =) a área da fiura e$á co/1reendida enre a fun2ão  y=1 x   e u/

ra1%io de -a$e$1

2  e1

4  e alura iual a 1 .

 A2=∫1

2dx

 x −

(B+b ) h

2

:6

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 A2= ln x|12−[ (

1

2+1

4 )12  ]

 A2=ln2−ln 1−3

4 ∙1

2

 A2=(ln 2−3

8 )u2

So/ando enão a$ dua$ área$ 1ara o-eer a área oal e/o$<

 A=3

8+ln 2−

3

8

 A=ln 2≅0,6931u . a .

Enconra/o$ (ue a área da fiura % e(ui"alene dada no de$afio) 1orano) % "erdadeira.

A área da fiura = no 1ri/eiro (uadrane % dada 1ela fun2ão conane  y=4  e 1ela fun2ão

 y=4

 x . O li/ie % dado 1elo 1ono e/ (ue u/a fun2ão iner$ecciona a oura@

4

 x=4

 x=1

 No iner"alo de a : a área 1ode $er de$cria 1elo re7nulo) de alura G e co/1ri/eno :.

Sendo a$$i/) a área no 1ri/eiro (uadrane de a : % de G u.a. A área no iner"alo de : a G %

definida 1ela iner2ão da fun2ão  y=

4

 x @

 A=∫1

44

 x dx

 A=4∫1

4dx

 x

 A=4 ( ln 4−ln 1 )

 A=4ln4

:

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e/o$ a$$i/) a área oal no 1ri/eiro (uadrane iual a 1+4 ln4 ) a1roi/ada/ene

6)5G5= u.a.

A$ área$ no$ ouro$ (uadrane$ $ão a$ /e$/a$) 1oi$ $ão li/iada$ 1elo$ /e$/o "alore$) $endo(ue) não 1ode/o$ deiar a área neai"a. De$a /aneira) e/o$ u/a área de G "ee$ 6)5G5=) o

(ue e(ui"ale a =6): u.a.) 1orano) a afir/a2ão % fal$a.

ETAPA !

!.1 lue% de %*lid% de re4lu#(

Su1on0a (ue (uere/o$ calcular a área de u/ cil#dro) 1ode/o$ faer i$$o facil/ene u$ando a

f8r/ula  =! "2

∙ h . Colocando o cilindro e/ u/ ráfico) co/o na fiura a $euir)

 1ode/o$ o-$er"ar (ue o cilindro nada /ai$ % (ue u/a fun2ão con$ane) roacionada e/ orno

do eio .

De$$a /aneira) 1ode/o$ dier (ue o raio do cilindro corre$1onde u/a fun2ão f  ( x)  e $ua

alura corre$1onde $ua "aria2ão no eio da$ a-$ci$$a$.

+ra2a$ ao cálculo) 1ode/o$ calcular o "olu/e de u/a fiura co/o e$a $euine) definida 1or 

u/a fun2ão (ual(uer@

:

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Di"idindo a fiura e/ faia$ infinia/ene 1e(uena$) 1ode/o$ definir (ue o $eu "olu/e)

d  ) % e(ui"alene ao "olu/e de u/ cilindro) co/ alura infinia/ene 1e(uena. E$ando a

alura no eio ) 1ode/o$ $u-$iu#la 1or dx ) e o raio e(ui"ale f  ( x) ) 1orano<

d =! [ f ( x)]2 dx

;ara enconrar o "alor da fiura 1or ineiro a $o/a8ria) ou $eLa) a inera2ão de oda$ a$

faia$) e/ u/ iner"alo deer/inado@

 =! ∫a

b

[ f ( x )]2

dx

!.2 C"rient de arc de cur4a%

/a cur"a) corre$1ondene u/a fun2ão) a/-%/ 1ode $er calculada u$ando a ineral.

;ara calcular a cur"a  #  da i/ae/ aci/a) di"idi/o$ o eio e/ "alore$ infinie$i/ai$ e

a$$i/ "ere/o$ (ue a cur"a % for/ada 1or infinia$ rea$) (ue c0a/are/o$ de l$  . ;ara

calcular e$$a rea u$a/o$ a f8r/ula de ;iáora$) loo@

 

l$ =√ (% x$ )2+( % y$ )

2

l$ =√ (% x$ )

2+(% y$ )2

( % x$ )2

  ∙ ( % x$ )2

:K

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l$ =√1+( % y$ )

2

( % x$ )2

∙ % x$ 

l$ =√1+(dy

dx )2

∙ dx

A$$i/) 1ode/o$ a$$u/ir (ue o co/1ri/eno oal da cur"a  #  % dada 1ela inera2ão de

odo$ o$ "alore$ de l$  ) e/ u/ iner"alo de a  a b @

 #=∫a

b

√ 1+[ f ' ( x)]2

∙ dx

!.3 Su"erf5cie de %*lid% de re4lu#(

A área da $u1erf#cie &  de $8lido$ de re"olu2ão 1ode $er definida 1or 2! " ∙ # ) $endo

 #   o co/1ri/eno da cur"a. Pá (ue o raio corre$1onde fun2ão f  ( x) ) defini/o$ a

f8r/ula 1ara cálculo da $u1erf#cie de $8lido$ de re"olu2ão co/o<

&=2 ! ∫a

b

f ( x )√ 1+[ f ' ( x)]2

∙ dx

!.! De%afi%• DESAFIO A

A área da $u1erf#cie de re"olu2ão o-ida 1ela roa2ão) e/ orno do eio ) da cur"a dada

 1or  y=4√  x   de1

4  x 4   %<

2 ! 

3  ∙ (128√ 2−17√ 17 )u . a . . E$á correa e$$a

afir/a2ão

=

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;ara e$e de$afio) u$are/o$ a f8r/ula 1ara cálculo da área de $u1erf#cie de u/ $8lido de

re"olu2ão@

&=2 ! ∫a

b

f ( x )√ 1+[ f ' ( x)]

2

∙ dx

Sendo f  ( x )=4√  x ) enconrare/o$ a $ua deri"ada@

4 √  x=4 x1

2

f '  ( x )=4 ∙(12 ) x

−1

2

f '  ( x )=

  2

√  x

Aora) $u-$iu#/o$ o$ "alore$ na f8r/ula@

&=2 ! ∫1

4

4

4√  x√1+(  2

√  x )2

∙ dx

&=8 ! ∫14

4

√  x √1+

4

 x ∙ dx

&=8 ! ∫1

4

4

√ x (1+ 4

 x ) ∙ dx

&=8 ! ∫1

4

4

√  x+4 ∙ dx

;ara re$ol"er e$$a ineral) u$a/o$ a inera2ão 1or $u-$iui2ão) $endo u= x+4 .

u= x+4

du

dx=1

dx=du

=:

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&=8 ! ∫1

4

4

√ u∙du

&=8 ! ∙ u

3

2

3

2 |144

&=8 ! ∙ 2

3√ u3|1

4

4

&=8 ! ∙ 2u ∙√ u

3

  |14

4

&=8 ! ∙ 2

3∙( x+4 )∙√  x+4|1

4

4

&=8 ! [ 23 (4+4) ∙√ 4+4−( 23 ( 14 +4)∙√ 1

4+4 )]

&=8 ! 

(13

∙16√ 8−23

∙ 174 √

174 )

&=8 ! 

3 (16√ 4 ∙2−34

4  ∙ √ 17√ 4 )

&=8 ! 

3 (16∙√ 4 ∙√ 2−17

2  ∙ √ 172 )

&=8 ! 

3 (32∙√ 2−17∙√ 17

4   )

&=8 ! 

3 (128√ 2−17√ 174   )

&= 8 ! 

3 ∙4 (128√ 2−17√ 17 )

&=2! 

3  (128√ 2−17√ 17 )u . a .

==

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Co/o o a área da $u1erf#cie %2 ! 

3  (128√ 2−17√ 17) u . a . ) a afir/a2ão e$á correa.

• DESAFIO B

Hual % o "olu/e do $8lido de re"olu2ão o-ido 1ela roa2ão) e/ orno da rea  y=2 ) da

reião  (  deli/iada 1elo$ ráfico$ da$ e(ua23e$<  y=sen x, y= (senx )3  de  x=0

a%  x=! 

2

a? )=6 u.". -? G)6 u.".c? 5)= u.".d? 6)5: u.".e? 6)K u.".

;ara definir o "olu/e de$$e $8lido de re"olu2ão) uilia/o$ a for/ula<

 =! ∫a

b

[ f  ( x ) ]2dx

 Ne$$e ca$o) o $8lido de re"olu2ão e$á irando e/ orno da rea  y=2  e 1ara (ue 1o$$a/o$

uiliar a f8r/ula) ele de"e irar e/ orno do eio . ;ara i$$o) u$are/o$ f  ( x )−2 . ;elo

iner"alo de 0  a! 

2  a fun2ão senx  e$á aci/a da fun2ão sen3 x  e 1or i$$o) ficará

no lado de denro do $8lido de re"olu2ão. ;ara calcular do "olu/e) uilia/o$ o "olu/e da

fun2ão de fora /eno$ o "olu/e da fun2ão de denro) loo@

 =! ∫0

2

[ ( sen3 x )−2]

2

−[ ( sen x )−2 ]2

dx

 =! ∫0

2

[4−4 sen3 x+sen

6 x−(4−4 sen x+sen

2 x )] dx

=

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 =! ∫0

2

[−4 sen3 x+sen

6 x+4 sen x−sen

2 x ]dx

 =∫0

! 2

4 !s e n x d x∫0

! 2

−! sen2 x dx+∫

0

! 2

−4 !sen3 x dx+∫

0

! 2

! sen6 x dx

Ineral de 4 ! sen x <

∫0

2

4!sen x dx=4 ! (−cos x)|0! 

2

¿−4 ! (cos ! 

2−cos0)=−4 ! (−1 )

¿4 ! 

;ara calcular inerai$ de $eno ele"ada$ a n4/ero$ naurai$ /aiore$ (ue :) u$a/o$ a f8r/ula

de recorrncia@

∫ senn

audu=−sen

(n−1)au ∙cosau

an  +

(n−1 )n  ∫ sen

(n−2)audu

Ineral de −! sen2 x <

∫0

2

−!sen2 x dx=−! ∫

0

2

sen2

dx

¿−! (−s e n xcos x

2  +

1

2∫ 1dx )

0

2

¿−! (−s e n xcos x

2  +

 x

2 )0

2

¿−! [−se n ! 

2 cos

 ! 

2

2  +

1

2∙ ! 

2−(−se n0cos0

2  −

0

2 )]¿−! ( ! 

4 )

=G

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¿−! 

2

4

Ineral de−4 !sen

3 x

<

∫0

2

−4 !sen3 x dx=−4 ! ∫

0

2

sen3

dx

¿−4 ! (−se n2 x cos x

3  +

2

3∫ s e n x d x)

0

2

¿−4 ! 

(−se n

2 x cos x

3  −

2

3 cos x

)0

2

¿−4 ! [−se n2 ! 

2 cos

 ! 

2

3  −

2

3cos

 ! 

2−(−se n

20cos 0

3  −

2

3cos0)]

¿−4 ! ∙2

3

¿−8 ! 

3

Ineral de ! sen6 x <

∫0

2

!sen6 x dx=! ∫

0

2

sen6

dx

¿! 

(−se n

5 xcos x

6

  +5

6∫ se n

4 x dx

)0

2

¿! [−se n5 xcos x

6  +

5

6 (−se n3 x cos x

4  +

3

4∫ se n

2 x dx)]

0

2

¿! (−se n5 xcos x

6  −

5 se n3 xcos x

24  +

15

24∫se n

2 x dx )

0

2

¿! 

[−se n

5 xcos x

6   −

5 se n3 x cos x

24   +

5

8

(−s e n x cos x

2   +

1

2∫ 1dx

)]0

2

=5

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¿! (−se n5 xcos x

6  −

5 se n3 xcos x

24  ±

5 s e n x cos x

16  +

  5

16 x )

0

2

¿! [−se n5 ! 

2 cos  ! 

2

6  −

5 se n3 ! 2 cos  ! 

2

24  ±

5 se n ! 2 cos ! 

2

16  +

  5

16 ∙

 ! 

2−(−se n

50cos0

6  −

5 se n30cos 0

24  ±

5 se n0co

16

¿! ∙5 ! 

32

¿5 ! 

2

32

So/ando odo$ o$ "alore$ e/o$@

 =4 ! −! 

2

4 −

8 ! 

3  +

5 ! 2

32

 =12! −8! 

3  +

5! 2−8! 

2

32

 =4 ! 

3 −

3 ! 2

32  ≅4,18−0,92

 ≅3,26u . v .

O "olu/e do $8lido de re"olu2ão erado 1or e$$a$ dua$ fun23e$ % de a1roi/ada/ene )=6

unidade$ de "olu/e) 1orano) a o12ão >a? e$á correa.

=6

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3.1 Relat*ri• DESAFIO A Q O12ão correa >-?• DESAFIO B Q O12ão correa >a?• DESAFIO C Q O12ão correa >c?• DESAFIO D Q O12ão correa >a?

Se(uncia inicial do n4/ero de liro$ /en$al era#do$ do no"o 1o2o) o-ido$ 1or /eio do$

de$afio$ e $ua$ re$1eci"a$ alernai"a$<

3 6 1 7

,I,-IORA/IA

+ESA,,E) De-ora0@ +,EASON) Andre* M.@ MCCA,,M) illia/ +. Cálculo

de uma variável. ed. Rio de Paneiro< ,C) =.

=

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EBER) Ol#"io A.) SODR9) lT$$e$. Ensino superior: cálculo: integral de funções reais. 

Di$1on#"el e/<

U01<VV1e$$oal.$erco/el.co/.-rV/ae/aicaV$u1eriorVcalculoVineralVineral.0/W. Ace$$o

e/< :K $e. =:5.

SI,'A) +uil0er/e Sano$. O cálculo diferencial e integral . Di$1on#"el e/<

U01<VV10Tlo$.neV/ae/aicaV0i$calculoVW. Ace$$o e/< :K $e. =:5.

EMS. Integral definida. Di$1on#"el e/<

U01<VVfi$ica.ue/$.-rVar(ui"o$Vcalc:noVineralXdefinida.1df W. Ace$$o e/< :K $e. =:5.

;RAES) Eliana. MAOS) I"ana. YAREY) Po$e10. 'E,,OSO) Sil"ia.  Aplicações da

integral simples. Di$1on#"el e/<

U01$<VV*iZi.uf-a.-rV*iZiV1u-VCalculoBVNoa$DeAulaVA1licacao.1df W. Ace$$o e/< :K $e.=:5.

SIM[ES) Ro%rio. SI;,E) I"anee \uc0i. DE FI+EIREDO) Eli$andra Bar.  Aplicações da

integral na determinação de características geométricas de seções planas de estruturas em

arras. Di$1on#"el e/<

U01<VV$inec.co/.-rVanai$=:GVanai$=:GVario$Ven$inode/ae/aicaV:GK=K=6.1dfW.

Ace$$o e/< :K $e. =:5.

01<VV/iner"a.uf1el.edu.-rV]$a-rina.$alaarVarea.0/01<VVecalculo.if.u$1.-rVinerai$Va1licacoe$XineralV"olu/e$X$olido$V1ro-le/a$X"olu/e$V1r 

o-le/a=X"ol.0/

01<VV***.1rofe$$ore$.uff.-rV$aleeVcdiiVa.1df 

01<VVo-aricenroda/ene.-lo$1o.co/.-rV=::V:Vco/ocalcularoco/1ri/enode

u/.0/l