ATPS Integrais (Salvo Automaticamente) (Reparado)

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  • 7/23/2019 ATPS Integrais (Salvo Automaticamente) (Reparado)

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    SUMRIO

    ETAPA 1....................................................................ERRO! MARCADOR NO DEFINIDO.

    1.1 A Integral...........................................................................Erro! Marcador no definido.

    1.2 Integral Indefinida.........................................................................................................1

    1.3 Integral Definida e Clcul de rea................................Erro! Marcador no definido.

    1.! A"lica#$e% da Integral......................................................Erro! Marcador no definido.

    1.& De%afi%..............................................................................Erro! Marcador no definido. DESAFIO A....................................................................Err' Marcadr n( definid. DESAFIO B....................................................................Err' Marcadr n( definid. DESAFIO C.....................................................................................................................5 DESAFIO D.....................................................................................................................6

    1.) Relat*ri..........................................................................................................................+

    ,I,-IORA/IA.......................................................................................................................0

    ETAPA 1

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    1.1 A Integral

    O clculo diferencial e ineral e"e in#cio no $%culo &'II (uando doi$ auore$) I$aac Ne*on

    na Inlaerra e) +ofried ,ei-ni na Ale/an0a criara/ a$ 1ri/eira$ defini23e$) 1or%/) no

    /anin0a/ conao.

    E/-ora en0a/ dado o 1ona1% inicial) nen0u/ do$ doi$ foi ca1a de de/on$rar co/ clarea

    co/o n4/ero$ infinio$ 1oderia/ re$ular e/ n4/ero$ finio$. A1ena$ no $%culo &I&) co/ a

    cria2o do li/ie (ue o$ conceio$ do clculo fora/ definido$.

    / clculo a1roi/ado da rea $o- u/a cur"a (ual(uer f(x ) e/ u/ iner"alo definido

    [ a , b ] do eio 1ode $er feio (uando di"idi/o$ o eio e/ "rio$ re7nulo$ de

    a/an0o$ iuai$. A alura de$$e$ re7nulo$ de"e e$ar e/ u/ 1ono (ual(uer cj denro de

    cada $u-iner"alo do eio ) re$ulando e/ f(x ). Se a alura de cada re7nulo % dada 1or

    f( cj ) e o co/1ri/eno 1ela "aria2o e/ ) dx ) a rea oal A $o- a cur"a % dada 1ela

    $o/a8ria do$ re7nulo$.

    A f(c1 ) dx+ f(c2 ) dx++ f(cn) dx=j=1

    n

    f( cj ) dx

    9 1erce1#"el (ue) (uano /aior o n4/ero de re7nulo$) /ai$ a1roi/ado e$ar o clculo da

    rea. Se i"er/o$ u/a (uanidade infinia de re7nulo$ ere/o$ a rea eaa. E$$a $o/a8ria

    de infinio$ re7nulo$ e/ u/ deer/inado iner"alo [ a , b ] foi e$a-elecido 1elo ale/o

    Bern0ard Rie/ann co/o a defini2o de ineral.

    A= limn

    j=1

    n

    f(cj ) dx=a

    b

    f(x )dx

    :

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    1.2 Integral Indefinida

    A$$i/ co/o a e$ $u-ra2o 1ara a $o/a e a di"i$o 1ara a /uli1lica2o co/o o1era23e$

    in"er$a$) a inera2o % a o1era2o in"er$a da deri"a2o. ;ara enconrar a ineral de"e/o$

    faer o 1roce$$o in"er$o da deri"ada.

    Se 1ara a deri"ada de x2

    % 2x ) a ineral de 2x de"e $er x2

    ) $e a deri"ada de

    x3=3x2 ) a ineral de 3x

    2=x3 . Noa/o$ (ue) ao inerar u/a fun2o) o e1oene da

    "ari"el au/ena u/a unidade e di"idi/o$ 1elo no"o e1oene) 1or%/) $e deri"ar/o$ a$

    fun23e$ f(x )=x2+6 ou g (x )=x

    2+37 ere/o$ o /e$/o re$ulado) 2x . A con$ane

    deri"ada no 1ode $er enconrada ao faer a inera2o) 1or e$$e /oi"o) $e/1re $o/a/o$

    u/a con$ane C (ual(uer.

    xn dx=xn+1

    n+1+C

    Ee/1lo$:?.

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    A fun2o inerada f(x) re$ular na $ua fun2o 1ri/ii"a F(x ) . A rea $o- a cur"a

    $er dada 1ela diferen2a da 1ri/ii"a e/ fun2o de a e b .

    f(x ) dx=F(x )x=ax=b=F(b )F(a)

    A=a

    b

    Ee/1loa?.

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    DESAFIO C

    No inicio do$ ano$ K) a aa de con$u/o /undial de 1er8leo cre$ceu e1onencial/ene.

    SeLa C(t) a aa de con$u/o de 1er8leo no in$ane t ) onde t % o n4/ero de ano$

    conado$ a 1arir do inicio de :KK. / /odelo a1roi/ado 1ara C( t) % dado 1or

    C( t)=16,1 e0,07 t . Hual da$ alernai"a$ a-aio re$1onde correa/ene a (uanidade de

    1er8leo con$u/ida enre :KK= e :KKG

    a? 56)G -il03e$ de -arri$ de 1er8leo-? G) -il03e$ de -arri$ de 1er8leoc? K)6 -il03e$ de -arri$ de 1er8leod? =6)5G -il03e$ de -arri$ de 1er8leoe? Nen0u/a da$ alernai"a$

    A (uanidade de 1er8leo con$u/ida 1elo 1er#odo % dada 1ela inera2o do cu$o enre o$

    in$ane$ = e G >1oi$ a conae/ de ano$ co/e2a e/ :KK?

    2

    4

    (16,1 e0,07 t) dt

    ;ara realiar e$$a cona uilia/o$ o /%odo da inera2o 1ela $u-$iui2o.

    Se u=0,07 t a deri"ada de u e/ fun2o de t )du

    dt )) i$olandodt ) e/o$

    (ue dt= du

    0,07 .

    Su-$iu#/o$ eno na e(ua2oa?.

    ETAPA 2

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    2.1 Integra#( "r %u%titui#(

    Na$ deri"ada$) 1ode/o$ u$ufruir de f8r/ula$ co/o a rera da cadeia) a rera da /uli1lica2o

    e a rera da di"i$o 1ara enconrar a$ deri"ada$ /ai$ dif#cei$) 1or%/) 1ara enconrar a

    1ri/ii"a de u/ 1roduo ou de u/a fra2o) de"e/o$ uiliar ouro$ /%odo$ co/o a

    inera2o 1or $u-$iui2o e a inera2o 1or 1are$.

    A inera2o 1or $u-$iui2o con$i$e nu/a /aneira de re"erer a rera da cadeia. ;ela rera

    da cadeia@

    d

    dx[f( g (x )) ]=f '(g (x )) g '(x)

    ;orano) 1ara realiar a inera2o do i1o f( g (x )) g '(x ) e/ (ue f(x) % a fun2o de

    fora) g(x) % a fun2o de denro e ei$e u/a deri"ada da fun2o de denro) g '(x) )

    1ode/o$ definir (ueI? % "erdadeira e >II? % fal$ad? >I? e >II? $o fal$a$

    ;ara re$ol"er a iualdade >I? u$are/o$ o /%odo da inera2o 1or $u-$iui2o) $endo u a

    fun2o de denro) t26 t @

    u=t26 t

    du

    dt=2 t6

    dt= du

    2t6

    O-$er"a/o$ (ue o "alor 2t6 no ir cancelar t3 ) 1or%/) o$ "alore$ $o /4li1lo$

    e 1ode/o$ rocar 2t6 1or 2(t3) ) ao /uli1licar 1or 2 ) e) /uli1licando 1or

    (1) e/o$ (uedt=

    du

    2(3t) . De$a for/a) $u-$iuindo o$ "alore$ ere/o$II? $o "erdadeira$-? >I? % fal$a e >II? % "erdadeirac? >I? % "erdadeira e >II? % fal$ad? >I? e >II? $o fal$a$

    O-$er"ando a fiura :) "e/o$ (ue a $ua rea no iner"alo de a : 1ode $er calculada 1ela

    $u-$iui2o de u/ rianulo de alura 1 1or ouro de alura iual a1

    4 .

    ;ela eo/eria) $u-$iui/o$ o$ "alore$ na f8r/ula 1ara rea de ri7nulo$