ATPS Integrais (Salvo Automaticamente) (Reparado)
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7/23/2019 ATPS Integrais (Salvo Automaticamente) (Reparado)
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SUMÁRIO
ETAPA 1....................................................................ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
1.1 A Integral...........................................................................Erro! Marcador não definido.
1.2 Integral Indefinida.........................................................................................................1
1.3 Integral Definida e Cálcul de Área................................Erro! Marcador não definido.
1.! A"lica#$e% da Integral......................................................Erro! Marcador não definido.
1.& De%afi%..............................................................................Erro! Marcador não definido.• DESAFIO A....................................................................Err' Marcadr n( definid.• DESAFIO B....................................................................Err' Marcadr n( definid.• DESAFIO C.....................................................................................................................5• DESAFIO D.....................................................................................................................6
1.) Relat*ri..........................................................................................................................+
,I,-IORA/IA.......................................................................................................................0
ETAPA 1
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1.1 A Integral
O cálculo diferencial e ineral e"e in#cio no $%culo &'II (uando doi$ auore$) I$aac Ne*on
na Inlaerra e) +ofried ,ei-ni na Ale/an0a criara/ a$ 1ri/eira$ defini23e$) 1or%/) não
/anin0a/ conao.
E/-ora en0a/ dado o 1ona1% inicial) nen0u/ do$ doi$ foi ca1a de de/on$rar co/ clarea
co/o n4/ero$ infinio$ 1oderia/ re$ular e/ n4/ero$ finio$. A1ena$ no $%culo &I&) co/ a
cria2ão do li/ie (ue o$ conceio$ do cálculo fora/ definido$.
/ cálculo a1roi/ado da área $o- u/a cur"a (ual(uer f ( x ) e/ u/ iner"alo definido
[ a , b ] do eio 1ode $er feio (uando di"idi/o$ o eio e/ "ário$ re7nulo$ de
a/an0o$ iuai$. A alura de$$e$ re7nulo$ de"e e$ar e/ u/ 1ono (ual(uer c j denro de
cada $u-iner"alo do eio ) re$ulando e/ f ( x ). Se a alura de cada re7nulo % dada 1or
f ( c j ) e o co/1ri/eno 1ela "aria2ão e/ ) dx ) a área oal A $o- a cur"a % dada 1ela
$o/a8ria do$ re7nulo$.
A ≅ f (c1 ) dx+ f (c2 ) dx+…+ f (cn) dx=∑ j=1
n
f ( c j ) dx
9 1erce1#"el (ue) (uano /aior o n4/ero de re7nulo$) /ai$ a1roi/ado e$ará o cálculo da
área. Se i"er/o$ u/a (uanidade infinia de re7nulo$ ere/o$ a área eaa. E$$a $o/a8ria
de infinio$ re7nulo$ e/ u/ deer/inado iner"alo [ a , b ] foi e$a-elecido 1elo ale/ão
Bern0ard Rie/ann co/o a defini2ão de ineral.
A= limn→ ∞
∑ j=1
n
f (c j ) dx=∫a
b
f ( x )dx
:
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1.2 Integral Indefinida
A$$i/ co/o a e$á $u-ra2ão 1ara a $o/a e a di"i$ão 1ara a /uli1lica2ão co/o o1era23e$
in"er$a$) a inera2ão % a o1era2ão in"er$a da deri"a2ão. ;ara enconrar a ineral de"e/o$
faer o 1roce$$o in"er$o da deri"ada.
Se 1ara a deri"ada de x2
% 2 x ) a ineral de 2 x de"e $er x2
) $e a deri"ada de
x3=3 x
2
) a ineral de 3 x2= x
3. Noa/o$ (ue) ao inerar u/a fun2ão) o e1oene da
"ariá"el au/ena u/a unidade e di"idi/o$ 1elo no"o e1oene) 1or%/) $e deri"ar/o$ a$
fun23e$ f ( x )= x2+6 ou g ( x )= x
2+37 ere/o$ o /e$/o re$ulado) 2 x . A con$ane
deri"ada não 1ode $er enconrada ao faer a inera2ão) 1or e$$e /oi"o) $e/1re $o/a/o$
u/a con$ane C (ual(uer.
∫ xn
dx= x
n+1
n+1+C
Ee/1lo$<
∫ x2
dx= x
3
3
+C
∫2 x dx=2 x
2
2 +C = x
2+C
∫6 x4
dx=6 x
5
5 +C
√ x dx=∫ x
1
2 dx=¿ x
3
2
32
+C =2
3
√ x3+C =2
3
x√ x+C
∫¿
∫5dx=∫5 x0
dx=5 x
1
1 +C =5 x+C
∫ 1
x2 dx=∫ x
−2dx=
x−1
−1+C =
−1
x +C
=
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Sa-endo (ue a inera2ão % a o1era2ão in"er$a da deri"a2ão) alu/a$ inerai$ 1ode/ $er
enconrada$ u$ando a a-ela de deri"ada$) co/o 1or ee/1lo) a deri"ada da fun2ão
dydx
( lnx )=1 x ) 1orano) ∫(
1 x )dx=lnx+C . Noe (ue) u$ando a f8r/ula ∫ x
ndx= xn+1
n+1
) não $eria 1o$$#"el enconrar a ineral de u/a fun2ão do i1oa
x >$endo a % u/a
con$ane (ual(uer?) 1oi$ re$ularia e/ u/ "alor inei$ene@
∫ 1
x dx=∫ x
−1dx=
x0
0 +C =∄
Ouro$ ee/1lo$ de inerai$ indefinida$<
∫ 1
x dx=lnx+C
∫a x
dx= a
x
lna+C
∫e x
dx=e x+C
∫ senx dx=−cosx+C
∫cosx dx=senx+C
∫ sec2 x dx=tgx+C
1.3 Integral Definida e Cálcul de ÁreaA área de-aio de u/a fun2ão f ( x) 1ode $er calculada u$ando a ineral) 1ara i$$o) de"e
$er e$a-elecido u/ iner"alo definido [a ,b ] ) $endo a e b 1ono$ no eio ) e denro
de$$e iner"alo) a fun2ão de"e $er con#nua e /aior ou iual a ero. ;ara o$ iner"alo$ e/ (ue
a fun2ão for neai"a) a inera2ão re$ulará e/ u/a área neai"a) (ue de"erá $er
/uli1licada 1or >:?.
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A fun2ão inerada f ( x) re$ulará na $ua fun2ão 1ri/ii"a F ( x ) . A área $o- a cur"a
$erá dada 1ela diferen2a da 1ri/ii"a e/ fun2ão de a e b .
f ( x ) dx= F ( x )∨¿ x=a x=b= F (b )− F (a)
A=∫a
b
¿
Ee/1lo<
Enconrar a área $o- a fun2ão f ( x )= x3+1 ) no iner"alo [2,3] .
Enconra/o$ a ineral da fun2ão<
( x3+1 ) dx= x4
4 + x∨¿2
3
A=∫2
3
¿
Na ineral definida de$con$idera/o$ a con$ane C) 1oi$ (uando $u-ra#/o$ u/a 1ela oura o
re$ulado $erá .
A=
(
34
4
+3
)−
(
24
4
+2
)=
(
81
4
+12
4
)−
(
16
4
+ 8
4
)=93
4
−24
4
A=69
4 =17,25
e/o$ enão (ue a área $o- a fun2ão f ( x )= x3+1 no iner"alo de = a% % de :)=5
unidade$.
1.! A"lica#$e% da Integral
O cálculo diferencial e ineral % u/ do$ recur$o$ /ai$ i/1orane$ na "ida de enen0eiro$
e/ odo /undo. +ra2a$ ineral) 1ode/o$ e$i/ar co/ 1reci$ão) área$ cur"a$) (ue não
1ode/ $er calculada$ u$ando a1ena$ o$ con0eci/eno$ de eo/eria) 1ode/o$ calcular o
co/1ri/eno do arco de u/a cur"a e a/-%/ o "olu/e do$ /ai$ di"er$o$ i1o$ de $8lido$
eo/%rico$) a$$i/ co/o a área da $u1erf#cie de$e$. Na enen0aria ci"il) u$a/o$ o cálculo
/ai$ co/u/ene 1ara di/en$ionar a e$ruura de "ia$ e 1ilare$.
G
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1.& De%afi%
• DESAFIO A
Hual da$ alernai"a$ a-aio re1re$ena a ineral indefinida de< ∫(a3
3 +
3
a3+3
a )da
a? F (a )=12a4−
3a−2
2 +ln|3a|+C
-? F (a )= a
12
4
− 3
2a2+3 ln|a|+C
c? F (a )¿ a
12
4
+ 3
2a2−3ln|a|+C
d? F (a )=12a4+
3a−2
2 + ln|a|+C
e? F (a )=a
4+ 3
2a2+3 ln|a|+C
;ode/o$ ree$cre"er a ineral de for/a $e1arada e i$olar a$ con$ane$@
1
3∫ a
3da+3∫ 1
a3 da+3∫ 1
a da
1
3∫ a
3da=
1
3 ∙
a4
4 +C =
a4
12+C
3∫ a−3
da=3 a
−2
−2+C =
−3
2a2+C
3∫ 1
a da=3ln|a|+C
Aora 1ode/o$ $o/ar odo$ o$ "alore$ 1ara o-er o re$ulado final. ,e/-rando (ue a
$o/a8ria da$ con$ane$ C coninua $endo u/a con$ane C) a ineral indefinida de
∫
(
a3
3 +
3
a
3+3
a
)da % re1re$enada 1ela o12ão >-?@
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F ( a )= a4
12−
3
2a2+3 ln|a|+C
• DESAFIO B
Su1on0a (ue o 1roce$$o de 1erfura2ão de u/ 1o2o de 1er8leo en0a u/ cu$o fio de J
:. e u/ cu$o /arinal de C ' (q )=1000+50q d8lare$ 1or 1%) onde q % a
1rofundidade e/ 1%$. Sa-endo (ue C (0 )=10.000 ) a alernai"a (ue e1re$$a C (q) ) o
cu$o oal 1ara $e 1erfurar q 1%$ %<
a? C (q )=10.000+1.000 q+25 q2
-? C (q )=10.000+25q+1.000q2
c? C (q )=10.000 q2
d? C (q )=10.000+25q2
e? C (q )=10.000 q+q2+q
3
Se C ' (q )=1000+50q % o cu$o /arinal) 1ara enconrar a fun2ão oriinal de"e/o$
de$faer a deri"ada C ' (q ) ara"%$ da inera2ão@
C ( q )=∫ (1000+50q )dq=1000q+50q
2
2 +C =1000q+25q
2+C
Huando a 1rofundidade q % iual a ) o cu$o C (q) % de J :.. Su-$iuindo e$$e$
"alore$ na e(ua2ão enconra/o$ o "alor da con$ane C@
C (0)=1000q+25q2+C
10.000=1000 ∙0+25 ∙02+C
10.000=C
Se a con$ane C =10.000 ) enconra/o$ a fun2ão 1ri/ii"a
C ( q )=10.000+1.000q+25 q2
∙ . O12ão >a?.
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• DESAFIO C
No inicio do$ ano$ K) a aa de con$u/o /undial de 1er8leo cre$ceu e1onencial/ene.
SeLa C (t ) a aa de con$u/o de 1er8leo no in$ane t ) onde t % o n4/ero de ano$
conado$ a 1arir do inicio de :KK. / /odelo a1roi/ado 1ara C ( t ) % dado 1or
C ( t )=16,1∙ e0,07 t
. Hual da$ alernai"a$ a-aio re$1onde correa/ene a (uanidade de
1er8leo con$u/ida enre :KK= e :KKG
a? 56)G -il03e$ de -arri$ de 1er8leo -? G) -il03e$ de -arri$ de 1er8leoc? K)6 -il03e$ de -arri$ de 1er8leod? =6)5G -il03e$ de -arri$ de 1er8leoe? Nen0u/a da$ alernai"a$
A (uanidade de 1er8leo con$u/ida 1elo 1er#odo % dada 1ela inera2ão do cu$o enre o$
in$ane$ = e G >1oi$ a conae/ de ano$ co/e2a e/ :KK?
∫2
4
(16,1 ∙ e0,07 t ) dt
;ara realiar e$$a cona uilia/o$ o /%odo da inera2ão 1ela $u-$iui2ão.
Se u=0,07 t a deri"ada de u e/ fun2ão de t )du
dt )) i$olando dt ) e/o$
(ue dt = du
0,07 .
Su-$iu#/o$ enão na e(ua2ão<
∫2
4
(16,1 ∙ eu ) du
0,07
16,1
0,07∫2
4
eu
du
230 ∙eu
230 ∙e0,07 t
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Su-$iuindo de "ola u=0,07 t e/o$ 230 ∙e0,07 t
. Enão) enconra/o$ o re$ulado 1or@
230 (e0,07 ∙4−e0,007∙ 2 )=230 ∙0,1728=39,76
;orano) K)6 -il03e$ de -arri$ de 1er8leo fora/ con$u/ido$ no 1er#odo de :KK= a :KKG.
O12ão correa< >c?.
• DESAFIO D
A área $o- a cur"a y=e x
2 de x=−3 a x=2 % dada 1or<
a? G)KK
-? )==c? 6)d? :)::e? =)==
;ara de$co-rir a área $o- a cur"a) inera/o$ a fun2ão 1elo /%odo da $u-$iui2ão@
∫−3
2
e
1
2 x
dx
u=1
2
x
du
dx=1
2
dx=2du
Su-$iuindo na f8r/ula e/o$
e
(¿¿ u)2du=2∙ eu
=2 ∙ e
1
2 x
∫−3
2
¿
Su-$iu#/o$ enão 1or e = faendo a $u-ra2ão
2(e
2
2−e
−3
2 )
Re$ol"endo) enconra/o$ o re$ulado G)KK) re1re$enado 1ela o12ão >a?.
ETAPA 2
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2.1 Integra#( "r %u%titui#(
Na$ deri"ada$) 1ode/o$ u$ufruir de f8r/ula$ co/o a rera da cadeia) a rera da /uli1lica2ão
e a rera da di"i$ão 1ara enconrar a$ deri"ada$ /ai$ dif#cei$) 1or%/) 1ara enconrar a
1ri/ii"a de u/ 1roduo ou de u/a fra2ão) de"e/o$ uiliar ouro$ /%odo$ co/o a
inera2ão 1or $u-$iui2ão e a inera2ão 1or 1are$.
A inera2ão 1or $u-$iui2ão con$i$e nu/a /aneira de re"erer a rera da cadeia. ;ela rera
da cadeia@
d
dx [f ( g ( x ) ) ]=f ' (g ( x ) ) ∙ g ' ( x)
;orano) 1ara realiar a inera2ão do i1o f ( g ( x ) )∙ g ' ( x ) e/ (ue f ( x) % a fun2ão de
fora) g( x) % a fun2ão de denro e ei$e u/a deri"ada da fun2ão de denro) g ' ( x) )
1ode/o$ definir (ue<
∫ f (g ( x ) ) ∙ g ' ( x)dx= F ( g ( x ) )+C
Sendo (ue F % u/a 1ri/ii"a de f ( x) .
iliando o /%odo da $u-$iui2ão) n8$ roca/o$ a fun2ão de denrog( x)
1ela "ariá"el
u e re$ol"e/o$ a ineral e/ fun2ão de u . De"e/o$ enão) eli/inar oda$ a$ oura$
"ariá"ei$ e) no fi/) $u-$iuir u de "ola e/ g( x) .
;or ee/1lo) 1ara re$ol"er a ineral ∫2 x ∙ sen ( x2 ) dx ) e/o$ x2
co/o fun2ão de
denro) enão o $u-$iuire/o$ 1or u .
E/ $euida) enconra/o$ a deri"ada de u e/ fun2ão de x <
du
dx=2 x∴dx=
du
2 x
Su-$iuindo o$ "alore$ e/o$<
∫2 x ∙ sen(u)du
2 x=∫ sen (u ) du=−cos (u )+C
;ara er/inar) roca/o$ u de "ola e/ x2
<
K
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∫2 x ∙ sen ( x2 ) dx=−cos ( x2 )+C
2.2 Integra#( "r "arte%Diferene da inera2ão 1or $u-$iui2ão) (ue de$fa a rera da cadeia) a inera2ão 1or 1are$
% o /%odo uiliado 1ara de$faer a rera do 1roduo. Ara"%$ de$$e /%odo) 1ode/o$
enconrar a 1ri/ii"a de u/a ineral do i1o ∫u ∙ v d x .
;ela rera do 1roduo) e/o$ (ue<
d
dx (uv )=u
' v+uv '
I$olando o 1roduo uv ' ere/o$<
u v' =
d
dx (uv )−u
' v
E/ $euida) inera/o$ a/-a$ a$ 1are$ 1ara o-er a f8r/ula da inera2ão 1or 1are$@
∫u v' dx=∫ d
dx (uv ) dx−∫ u
' v dx
∫udvdx=uv−∫ vdudx
Noa/o$ (ue ei$e/ doi$ faore$< u (ue de"erá $er deri"ado) e v ' (ue de"erá $er
inerado a fi/ de enconrar a $ua fun2ão oriinal) v . ;or i$$o) 1ara faciliar o$ cálculo$)
de"e/o$ e$col0er co/o v ' ) a(uele (ue for /ai$ fácil de inerar. A i/ae/ $euine
/o$ra o rau de dificuldade de cada i1o de fun2ão.
:
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o/ando co/o ee/1lo) re$ol"er a ineral ∫2 x ∙ senx dx ) "e/o$ (ue senx % u/a
fun2ão riono/%rica) 1orano) /ai$ $i/1le$ (ue a fun2ão 2 x ) (ue % u/a fun2ão
al%-rica. ;or $er a fun2ão /ai$ $i/1le$) senx=dv ) 1ara enconrar o "alor de v
inera/o$ senx e/ fun2ão de x >de$con$iderando a con$ane C) (ue $8 de"e $er
adicionada ao final do$ cálculo$?@
v=∫ senxdx=−cos x
Se
senx
%
dv
) a fun2ão al%-rica
2 x
$erá iual a
u
. Enconra/o$ enão a $uaderi"ada@
du= d
dx 2 x=2
Su-$iuindo o$ "alore$ na f8r/ula ∫udvdx=uv−∫ vdudx ) ere/o$<
∫2 x sen x dx=2 x (−cos x )−∫−cos x ∙2dx
¿−2 x cos x+2∫cos x dx
O-e/o$ enão u/a no"a ineral ∫cos x dx ) /a$ (ue 1ode $er calculada co/ /aior
facilidade@
∫2 x sen x dx=−2 xcos x+2sen x+C
O re$ulado enconrado % −2 x cos x+2 sen x+C ) e) $e deri"ar/o$ e$$a fun2ão) ere/o$ de
"ola o "alor 2 x sen x dx .
2.3 De%afi%
Con$idere/ a$ $euine$ iualdade$<
I?
∫ (3−t ) ∙ (t 2−6 t )4
dt =−(t 2−6 t )5+C
10
II?
::
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∫0
5t
√ t +4dt =4,67
;ode/o$ afir/ar (ue<a? >I? e >II? $ão "erdadeira$
-? >I? % fal$a e >II? % "erdadeirac? >I? % "erdadeira e >II? % fal$ad? >I? e >II? $ão fal$a$
;ara re$ol"er a iualdade >I? u$are/o$ o /%odo da inera2ão 1or $u-$iui2ão) $endo u a
fun2ão de denro) t 2−6 t @
u=t 2−6 t
du
dt =2 t −6
dt = du
2t −6
O-$er"a/o$ (ue o "alor 2t −6 não irá cancelar t −3 ) 1or%/) o$ "alore$ $ão /4li1lo$
e 1ode/o$ rocar 2t −6 1or 2(t −3) ) ao /uli1licar 1or 2 ) e) /uli1licando 1or
(−1) e/o$ (uedt =
du
−2(3−t ) . De$a for/a) $u-$iuindo o$ "alore$ ere/o$<
∫ (3−t ) u4 du
(−2)(3−t )
Si/1lificando e re$ol"endo a inera2ão@
−1
2 ∫u
4du
−1
2 ∙
u5
5 +C
−u5
10 +C
:=
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−(t 2−6 t )5+C
10
O re$ulado o-ido % −(t 2
−6 t )
5
+C 10 ) 1orano) a afir/a2ão >I? e$á correa.
;ara $a-er $e a infor/a2ão >II? e$á correa) uiliare/o$ o /e$/o /%odo) $endo u a
fun2ão de denro) t +4 .
u=t +4
du
dt =1
dt =du
Su-$iuindo e re$ol"endo a ineral e/o$ ∫ t
√ udu
. Ne$e for/ao) a ineral não 1ode $er
re$ol"ida) 1oi$ / dua$ "ariá"ei$. De"e/o$ enão enconrar o "alor de t e/ fun2ão de
u . Se u=t +4 ) t =u−4 ) rocando na e(ua2ão e/o$<
∫ u−4
√ udu
∫ (u−4 )u−1
2 du
∫u1
2−4u−1
2 du
De"e/o$ no$ le/-rar (ue a ineral dada e$a"a e/ fun2ão de t ) não de u ) 1or i$$o)
não uiliare/o$ o$ li/ie$ e 5 a% $u-$iuir a fun2ão de "ola e/ t .
u3
2
3
2
−4 u
1
2
1
2
2u√ u3 −8√ u
:
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2(t +4 )√ t +43
−8√ t +4|0
5
roca/o$ o$ "alore$ de t 1elo$ li/ie$ e 5@
2(5+4)√ 5+43
−8√ 5+4−(2(0+4 )√ 0+43 −8 √ 0+4)
2 ∙9√ 93 −8√ 9−
2√ 43 +8√ 4
18 ∙3
3 −24−
2∙2
3 +16
54−72−16+483
=14
3 ≅ 4,67
O re$ulado o-ido % a1roi/ada/ene 4,67 ) $endo a$$i/) a afir/a2ão >II? a/-%/ %
"erdadeira. E$á correa a alernai"a >a?.
ETAPA 3
3.1 Cálcul de Área
Na ea1a : "i/o$ co/o enconrar a área $o- u/a fun2ão) aora "ere/o$ co/o enconrar a
área enre u/a ou /ai$ fun23e$.
E.< Calcular a área enre a$ fun23e$ y= x2
e y=2− x2
) re1re$enada 1elo ráfico
$euine<
:G
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;ode/o$ o-$er"ar (ue o$ li/ie$ dado$ 1ara e$$a área % dado 1elo 1ono de iner$ec2ão enre
a/-a$ a$ fun23e$) 1orano@
x2=2− x
2
2 x2=2
x=1 x=−1
;ara enconrar a área enre e$$a$ dua$ cur"a$) -a$a calcular a área da fun2ão $u1erior e
$u-rair 1ela área da fun2ão inferior. Ne$e ca$o) a fun2ão $u1erior % y=2− x2
) $e não
i"%$$e/o$ o ráfico e (ui$%$$e/o$ de$co-rir (ual % a fun2ão $u1erior -a$a"a $u-$iuir x
1or u/ 1ono (ual(uer denro do li/ie dado. Calculando a área<
A=∫−1
1
(2− x2)dx−∫
−1
1
x2
dx
A=2 x− x
3
3 |−1
1
− x
3
3 |−1
1
A={2 ∙1−13
3 −[2 ∙ (−1 )− (−1 )
3
3 ]}−{13
3 − (−1 )
3
3 } A=2−
1
3+2−
1
3−
1
3−
1
3=4−
4
3
A=8
3 u
2
3.2 De%afi%
,eia/ o de$afio a-aio<
Con$idere/ a$ $euine$ rei3e$ S: >fiura :? e S= >fiura =?. A$ área$ de S: e S= $ão)
re$1eci"a/ene )6K: u.a. e 6)6 u.a.
:5
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;ode/o$ afir/ar (ue<
a? >I? e >II? $ão "erdadeira$ -? >I? % fal$a e >II? % "erdadeirac? >I? % "erdadeira e >II? % fal$ad? >I? e >II? $ão fal$a$
O-$er"ando a fiura :) "e/o$ (ue a $ua área no iner"alo de a : 1ode $er calculada 1ela
$u-$iui2ão de u/ rianulo de alura 1 1or ouro de alura iual a1
4 .
;ela eo/eria) $u-$iui/o$ o$ "alore$ na f8r/ula 1ara área de ri7nulo$<
A1=B ∙ h1
2 −
B ∙ h2
2
A1=1
2−
1
8
A1=3
8
No iner"alo de : a =) a área da fiura e$á co/1reendida enre a fun2ão y=1 x e u/
ra1%io de -a$e$1
2 e1
4 e alura iual a 1 .
A2=∫1
2dx
x −
(B+b ) h
2
:6
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A2= ln x|12−[ (
1
2+1
4 )12 ]
A2=ln2−ln 1−3
4 ∙1
2
A2=(ln 2−3
8 )u2
So/ando enão a$ dua$ área$ 1ara o-eer a área oal e/o$<
A=3
8+ln 2−
3
8
A=ln 2≅0,6931u . a .
Enconra/o$ (ue a área da fiura % e(ui"alene dada no de$afio) 1orano) % "erdadeira.
A área da fiura = no 1ri/eiro (uadrane % dada 1ela fun2ão conane y=4 e 1ela fun2ão
y=4
x . O li/ie % dado 1elo 1ono e/ (ue u/a fun2ão iner$ecciona a oura@
4
x=4
x=1
No iner"alo de a : a área 1ode $er de$cria 1elo re7nulo) de alura G e co/1ri/eno :.
Sendo a$$i/) a área no 1ri/eiro (uadrane de a : % de G u.a. A área no iner"alo de : a G %
definida 1ela iner2ão da fun2ão y=
4
x @
A=∫1
44
x dx
A=4∫1
4dx
x
A=4 ( ln 4−ln 1 )
A=4ln4
:
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e/o$ a$$i/) a área oal no 1ri/eiro (uadrane iual a 1+4 ln4 ) a1roi/ada/ene
6)5G5= u.a.
A$ área$ no$ ouro$ (uadrane$ $ão a$ /e$/a$) 1oi$ $ão li/iada$ 1elo$ /e$/o "alore$) $endo(ue) não 1ode/o$ deiar a área neai"a. De$a /aneira) e/o$ u/a área de G "ee$ 6)5G5=) o
(ue e(ui"ale a =6): u.a.) 1orano) a afir/a2ão % fal$a.
ETAPA !
!.1 lue% de %*lid% de re4lu#(
Su1on0a (ue (uere/o$ calcular a área de u/ cil#dro) 1ode/o$ faer i$$o facil/ene u$ando a
f8r/ula =! "2
∙ h . Colocando o cilindro e/ u/ ráfico) co/o na fiura a $euir)
1ode/o$ o-$er"ar (ue o cilindro nada /ai$ % (ue u/a fun2ão con$ane) roacionada e/ orno
do eio .
De$$a /aneira) 1ode/o$ dier (ue o raio do cilindro corre$1onde u/a fun2ão f ( x) e $ua
alura corre$1onde $ua "aria2ão no eio da$ a-$ci$$a$.
+ra2a$ ao cálculo) 1ode/o$ calcular o "olu/e de u/a fiura co/o e$a $euine) definida 1or
u/a fun2ão (ual(uer@
:
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Di"idindo a fiura e/ faia$ infinia/ene 1e(uena$) 1ode/o$ definir (ue o $eu "olu/e)
d ) % e(ui"alene ao "olu/e de u/ cilindro) co/ alura infinia/ene 1e(uena. E$ando a
alura no eio ) 1ode/o$ $u-$iu#la 1or dx ) e o raio e(ui"ale f ( x) ) 1orano<
d =! [ f ( x)]2 dx
;ara enconrar o "alor da fiura 1or ineiro a $o/a8ria) ou $eLa) a inera2ão de oda$ a$
faia$) e/ u/ iner"alo deer/inado@
=! ∫a
b
[ f ( x )]2
dx
!.2 C"rient de arc de cur4a%
/a cur"a) corre$1ondene u/a fun2ão) a/-%/ 1ode $er calculada u$ando a ineral.
;ara calcular a cur"a # da i/ae/ aci/a) di"idi/o$ o eio e/ "alore$ infinie$i/ai$ e
a$$i/ "ere/o$ (ue a cur"a % for/ada 1or infinia$ rea$) (ue c0a/are/o$ de l$ . ;ara
calcular e$$a rea u$a/o$ a f8r/ula de ;iáora$) loo@
l$ =√ (% x$ )2+( % y$ )
2
l$ =√ (% x$ )
2+(% y$ )2
( % x$ )2
∙ ( % x$ )2
:K
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l$ =√1+( % y$ )
2
( % x$ )2
∙ % x$
l$ =√1+(dy
dx )2
∙ dx
A$$i/) 1ode/o$ a$$u/ir (ue o co/1ri/eno oal da cur"a # % dada 1ela inera2ão de
odo$ o$ "alore$ de l$ ) e/ u/ iner"alo de a a b @
#=∫a
b
√ 1+[ f ' ( x)]2
∙ dx
!.3 Su"erf5cie de %*lid% de re4lu#(
A área da $u1erf#cie & de $8lido$ de re"olu2ão 1ode $er definida 1or 2! " ∙ # ) $endo
# o co/1ri/eno da cur"a. Pá (ue o raio corre$1onde fun2ão f ( x) ) defini/o$ a
f8r/ula 1ara cálculo da $u1erf#cie de $8lido$ de re"olu2ão co/o<
&=2 ! ∫a
b
f ( x )√ 1+[ f ' ( x)]2
∙ dx
!.! De%afi%• DESAFIO A
A área da $u1erf#cie de re"olu2ão o-ida 1ela roa2ão) e/ orno do eio ) da cur"a dada
1or y=4√ x de1
4 x 4 %<
2 !
3 ∙ (128√ 2−17√ 17 )u . a . . E$á correa e$$a
afir/a2ão
=
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;ara e$e de$afio) u$are/o$ a f8r/ula 1ara cálculo da área de $u1erf#cie de u/ $8lido de
re"olu2ão@
&=2 ! ∫a
b
f ( x )√ 1+[ f ' ( x)]
2
∙ dx
Sendo f ( x )=4√ x ) enconrare/o$ a $ua deri"ada@
4 √ x=4 x1
2
f ' ( x )=4 ∙(12 ) x
−1
2
f ' ( x )=
2
√ x
Aora) $u-$iu#/o$ o$ "alore$ na f8r/ula@
&=2 ! ∫1
4
4
4√ x√1+( 2
√ x )2
∙ dx
&=8 ! ∫14
4
√ x √1+
4
x ∙ dx
&=8 ! ∫1
4
4
√ x (1+ 4
x ) ∙ dx
&=8 ! ∫1
4
4
√ x+4 ∙ dx
;ara re$ol"er e$$a ineral) u$a/o$ a inera2ão 1or $u-$iui2ão) $endo u= x+4 .
u= x+4
du
dx=1
dx=du
=:
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&=8 ! ∫1
4
4
√ u∙du
&=8 ! ∙ u
3
2
3
2 |144
&=8 ! ∙ 2
3√ u3|1
4
4
&=8 ! ∙ 2u ∙√ u
3
|14
4
&=8 ! ∙ 2
3∙( x+4 )∙√ x+4|1
4
4
&=8 ! [ 23 (4+4) ∙√ 4+4−( 23 ( 14 +4)∙√ 1
4+4 )]
&=8 !
(13
∙16√ 8−23
∙ 174 √
174 )
&=8 !
3 (16√ 4 ∙2−34
4 ∙ √ 17√ 4 )
&=8 !
3 (16∙√ 4 ∙√ 2−17
2 ∙ √ 172 )
&=8 !
3 (32∙√ 2−17∙√ 17
4 )
&=8 !
3 (128√ 2−17√ 174 )
&= 8 !
3 ∙4 (128√ 2−17√ 17 )
&=2!
3 (128√ 2−17√ 17 )u . a .
==
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Co/o o a área da $u1erf#cie %2 !
3 (128√ 2−17√ 17) u . a . ) a afir/a2ão e$á correa.
• DESAFIO B
Hual % o "olu/e do $8lido de re"olu2ão o-ido 1ela roa2ão) e/ orno da rea y=2 ) da
reião ( deli/iada 1elo$ ráfico$ da$ e(ua23e$< y=sen x, y= (senx )3 de x=0
a% x=!
2
a? )=6 u.". -? G)6 u.".c? 5)= u.".d? 6)5: u.".e? 6)K u.".
;ara definir o "olu/e de$$e $8lido de re"olu2ão) uilia/o$ a for/ula<
=! ∫a
b
[ f ( x ) ]2dx
Ne$$e ca$o) o $8lido de re"olu2ão e$á irando e/ orno da rea y=2 e 1ara (ue 1o$$a/o$
uiliar a f8r/ula) ele de"e irar e/ orno do eio . ;ara i$$o) u$are/o$ f ( x )−2 . ;elo
iner"alo de 0 a!
2 a fun2ão senx e$á aci/a da fun2ão sen3 x e 1or i$$o) ficará
no lado de denro do $8lido de re"olu2ão. ;ara calcular do "olu/e) uilia/o$ o "olu/e da
fun2ão de fora /eno$ o "olu/e da fun2ão de denro) loo@
=! ∫0
!
2
[ ( sen3 x )−2]
2
−[ ( sen x )−2 ]2
dx
=! ∫0
!
2
[4−4 sen3 x+sen
6 x−(4−4 sen x+sen
2 x )] dx
=
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=! ∫0
!
2
[−4 sen3 x+sen
6 x+4 sen x−sen
2 x ]dx
=∫0
! 2
4 !s e n x d x∫0
! 2
−! sen2 x dx+∫
0
! 2
−4 !sen3 x dx+∫
0
! 2
! sen6 x dx
Ineral de 4 ! sen x <
∫0
!
2
4!sen x dx=4 ! (−cos x)|0!
2
¿−4 ! (cos !
2−cos0)=−4 ! (−1 )
¿4 !
;ara calcular inerai$ de $eno ele"ada$ a n4/ero$ naurai$ /aiore$ (ue :) u$a/o$ a f8r/ula
de recorrncia@
∫ senn
audu=−sen
(n−1)au ∙cosau
an +
(n−1 )n ∫ sen
(n−2)audu
Ineral de −! sen2 x <
∫0
!
2
−!sen2 x dx=−! ∫
0
!
2
sen2
dx
¿−! (−s e n xcos x
2 +
1
2∫ 1dx )
0
!
2
¿−! (−s e n xcos x
2 +
x
2 )0
!
2
¿−! [−se n !
2 cos
!
2
2 +
1
2∙ !
2−(−se n0cos0
2 −
0
2 )]¿−! ( !
4 )
=G
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¿−!
2
4
Ineral de−4 !sen
3 x
<
∫0
!
2
−4 !sen3 x dx=−4 ! ∫
0
!
2
sen3
dx
¿−4 ! (−se n2 x cos x
3 +
2
3∫ s e n x d x)
0
!
2
¿−4 !
(−se n
2 x cos x
3 −
2
3 cos x
)0
!
2
¿−4 ! [−se n2 !
2 cos
!
2
3 −
2
3cos
!
2−(−se n
20cos 0
3 −
2
3cos0)]
¿−4 ! ∙2
3
¿−8 !
3
Ineral de ! sen6 x <
∫0
!
2
!sen6 x dx=! ∫
0
!
2
sen6
dx
¿!
(−se n
5 xcos x
6
+5
6∫ se n
4 x dx
)0
!
2
¿! [−se n5 xcos x
6 +
5
6 (−se n3 x cos x
4 +
3
4∫ se n
2 x dx)]
0
!
2
¿! (−se n5 xcos x
6 −
5 se n3 xcos x
24 +
15
24∫se n
2 x dx )
0
!
2
¿!
[−se n
5 xcos x
6 −
5 se n3 x cos x
24 +
5
8
(−s e n x cos x
2 +
1
2∫ 1dx
)]0
!
2
=5
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¿! (−se n5 xcos x
6 −
5 se n3 xcos x
24 ±
5 s e n x cos x
16 +
5
16 x )
0
!
2
¿! [−se n5 !
2 cos !
2
6 −
5 se n3 ! 2 cos !
2
24 ±
5 se n ! 2 cos !
2
16 +
5
16 ∙
!
2−(−se n
50cos0
6 −
5 se n30cos 0
24 ±
5 se n0co
16
¿! ∙5 !
32
¿5 !
2
32
So/ando odo$ o$ "alore$ e/o$@
=4 ! −!
2
4 −
8 !
3 +
5 ! 2
32
=12! −8!
3 +
5! 2−8!
2
32
=4 !
3 −
3 ! 2
32 ≅4,18−0,92
≅3,26u . v .
O "olu/e do $8lido de re"olu2ão erado 1or e$$a$ dua$ fun23e$ % de a1roi/ada/ene )=6
unidade$ de "olu/e) 1orano) a o12ão >a? e$á correa.
=6
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3.1 Relat*ri• DESAFIO A Q O12ão correa >-?• DESAFIO B Q O12ão correa >a?• DESAFIO C Q O12ão correa >c?• DESAFIO D Q O12ão correa >a?
Se(uncia inicial do n4/ero de liro$ /en$al era#do$ do no"o 1o2o) o-ido$ 1or /eio do$
de$afio$ e $ua$ re$1eci"a$ alernai"a$<
3 6 1 7
,I,-IORA/IA
+ESA,,E) De-ora0@ +,EASON) Andre* M.@ MCCA,,M) illia/ +. Cálculo
de uma variável. ed. Rio de Paneiro< ,C) =.
=
7/23/2019 ATPS Integrais (Salvo Automaticamente) (Reparado)
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EBER) Ol#"io A.) SODR9) lT$$e$. Ensino superior: cálculo: integral de funções reais.
Di$1on#"el e/<
U01<VV1e$$oal.$erco/el.co/.-rV/ae/aicaV$u1eriorVcalculoVineralVineral.0/W. Ace$$o
e/< :K $e. =:5.
SI,'A) +uil0er/e Sano$. O cálculo diferencial e integral . Di$1on#"el e/<
U01<VV10Tlo$.neV/ae/aicaV0i$calculoVW. Ace$$o e/< :K $e. =:5.
EMS. Integral definida. Di$1on#"el e/<
U01<VVfi$ica.ue/$.-rVar(ui"o$Vcalc:noVineralXdefinida.1df W. Ace$$o e/< :K $e. =:5.
;RAES) Eliana. MAOS) I"ana. YAREY) Po$e10. 'E,,OSO) Sil"ia. Aplicações da
integral simples. Di$1on#"el e/<
U01$<VV*iZi.uf-a.-rV*iZiV1u-VCalculoBVNoa$DeAulaVA1licacao.1df W. Ace$$o e/< :K $e.=:5.
SIM[ES) Ro%rio. SI;,E) I"anee \uc0i. DE FI+EIREDO) Eli$andra Bar. Aplicações da
integral na determinação de características geométricas de seções planas de estruturas em
arras. Di$1on#"el e/<
U01<VV$inec.co/.-rVanai$=:GVanai$=:GVario$Ven$inode/ae/aicaV:GK=K=6.1dfW.
Ace$$o e/< :K $e. =:5.
01<VV/iner"a.uf1el.edu.-rV]$a-rina.$alaarVarea.0/01<VVecalculo.if.u$1.-rVinerai$Va1licacoe$XineralV"olu/e$X$olido$V1ro-le/a$X"olu/e$V1r
o-le/a=X"ol.0/
01<VV***.1rofe$$ore$.uff.-rV$aleeVcdiiVa.1df
01<VVo-aricenroda/ene.-lo$1o.co/.-rV=::V:Vco/ocalcularoco/1ri/enode
u/.0/l