CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM ROBÔ CARTESIANO POR MEIO … · V149c Vale, Valentina Alessandra...

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Tecnologia

Programa de PósPrograma de PósPrograma de PósPrograma de Pós----graduação em Engenharia Mecânicagraduação em Engenharia Mecânicagraduação em Engenharia Mecânicagraduação em Engenharia Mecânica

-Mestrado - Doutorado

CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM ROBÔ CARTESIANO

POR MEIO DE TÉCNICAS ADAPTATIVAS

por

Valentina Alessandra Carvalho do Vale

Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade Federal da Paraíba para obtenção do

grau de Mestre

João Pessoa – Paraíba Agosto – 2011

ii

VALENTINA ALESSANDRA CARVALHO DO VALE

CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM ROBÔ CARTESIANO

POR MEIO DE TÉCNICAS ADAPTATIVAS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Mecânica da

Universidade Federal da Paraíba, em cumprimento

às exigências para obtenção do Grau de Mestre.

Orientador: Prof. Dr. Paulo Henrique de M. Montenegro

João Pessoa – Paraíba Agosto – 2011

V149c Vale, Valentina Alessandra Carvalho do.

Controle de posição de um robô cartesiano por meio de técnicas adaptativas / Valentina Alessandra Carvalho do Vale.--João Pessoa, 2011.

102f. : il. Orientador: Paulo Henrique de M. Montenegro Dissertação (Mestrado) – UFPB/CT

1. Engenharia Mecânica. 2. Sistema eletropneumático. 3. Robô manipulador. 4. Controle adaptativo preditivo. 5. Controle de posição.

UFPB/BC CDU: 621(043)

iv

“Meus trabalhos acalentaram longas horas de

solidão e me isolaram de um mundo que

transformou sua então benigna face para uma

outra, fulgurante de imaginação e poder.

Perguntarão meus leitores: como poderia eu

encontrar conforto em uma narrativa de mudanças

tristes e de lamentações? Esse é um dos mistérios

de nossa natureza, que se apoderou por completo

de mim e de cuja influência não posso escapar.”

(O Último Homem – Mary Shelley)

v

AGRADECIMENTOS

Inicialmente agradeço a Deus por ter me proporcionado forças quando pareciam

que as mesmas não existiam, nunca permitindo que eu desistisse.

Aos amigos conquistados durante o período de pós-graduação, aos amigos de

longas datas e aos meus familiares, que compreenderam minhas ausências, meus

momentos de devaneios, acreditando e apoiando meus objetivos.

Ao programa da CAPES, pelo apoio financeiro durante a vigência deste trabalho.

Ao coordenador Prof. Dr. Zaqueu Ernesto da Silva, ao meu orientador Prof. Dr. Paulo

Henrique de Miranda Montenegro e a Prof. Dr. José Antonio Riul meu agradecimento mais

que especial por terem acreditado em mim, proporcionando meios para o desenvolvimento

desse trabalho.

Aos meus pais, Frederico Antonio e Geysa Fátima, que sem dúvida foram e são

meus maiores mestres e exemplos de virtude.

vi

CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM ROBÔ CARTESIANO POR MEIO

DE TÉCNICAS ADAPTATIVAS

RESUMO

Neste trabalho apresentam-se projetos de um controlador adaptativo preditivo e de

um híbrido para um robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3

GDL) cartesiano. O robô manipulador é composto basicamente por três válvulas

eletropneumáticas e por três cilindros pneumáticos, dois de 500mm formando o plano XZ e

um de 400mm no eixo vertical Y. Os cilindros são acionados através de três válvulas

eletropneumáticas proporcionais comandadas por computador, que direcionam o fluxo de

ar comprimido conforme a necessidade de posicionamento. Acopladas às hastes de cada

cilindro, estão réguas potenciométricas para medição de suas respectivas posições.

Através de duas placas de aquisição, as válvulas eletropneumáticas e as réguas

potenciométricas são conectadas ao computador e os dados são processados utilizando os

softwares LabVIEW® e Matlab®. Os controladores são desenvolvidos através de modelos

explícitos do robô manipulador eletropneumático estimados em tempo real pelo Algoritmo

dos Mínimos Quadrados Recursivo (MQR).

Palavras-chave: Sistema eletropneumático, controle adaptativo preditivo, identificação

em tempo real, controle de posição.

vii

POSITION CONTROL OF A CARTESIAN ROBOT THROUGH

ADAPTIVES TECHNIQUES

ABSTRACT

This paper presents a design of a predictive adaptive controller and a hybrid

controller for a electro pneumatic manipulator robot with three Cartesian degrees of

freedom (3 DOF). The manipulator robot is composed by three electro-pneumatic valves

and pneumatic cylinders for three, two with 500mm forming the XZ axis and a 400mm on

the vertical axis Y. The cylinders are driven by three electro-pneumatic proportional valves

controlled by computer, which directs the flow of compressed air as the needed position.

Attached to the rods of each cylinder, there are scales for potentiometric measurement of

their respective positions.

Through two acquisition boards, electro-pneumatic valves and potentiometric

scales are connected to the computer and the data is processed using the software

LabVIEW® and MATLAB®. The controllers are developed through explicit models of the

electropneumatic manipulator robot estimated in real time by Recursive Least Squares

Algorithm (RLS).

Keywords: Electropneumatic System, Adaptive Predictive Control, Real-time

Identification, Position Control.

viii

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ........................................................................................... 1

1.1 ROBÔS MANIPULADORES ......................................................................................... 4

1.1.1 Estado da arte para robô manipulador .......................................................................... 5

1.2 METODOLOGIA ............................................................................................................ 7

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................... 7

CAPÍTULO 2 - SISTEMAS DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICOS .......................... 9

2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 9

2.2 SISTEMAS DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICO GENÉRICO ........................... 9

2.3 DETALHAMENTO DE UM SISTEMA DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICO

GENÉRICO ......................................................................................................................... 10

2.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 15

CAPÍTULO 3 - DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL ................................. 16

3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 16

3.2 SISTEMA EXISTENTE ............................................................................................... 16

3.3 ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS DOS COMPONENTES DA BANCADA

EXPERIMENTAL .............................................................................................................. 21

3.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 24

CAPÍTULO 4 - CONTROLE ADAPTATIVO ................................................................. 25

4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 25

4.2 BREVE HISTÓRICO PARA CONTROLE ADAPTATIVO ....................................... 25

ix

4.3 CONTROLADOR ADAPTATIVO AUTO-AJUSTÁVEL EXPLÍCITO .................... 28

4.3.1 A identificação do sistema .......................................................................................... 30

4.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 36

CAPÍTULO 5 - CONTROLE PREDITIVO ........................................................................ 37

5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 37

5.2 DEFINIÇÕES GERAIS DO CONTROLE PREDITIVO ............................................. 37

5.3 CONTROLE PREDITIVO GENERALIZADO (GPC) ................................................ 40

5.3.1 O Algoritmo para o GPC adaptativo .......................................................................... 47

5.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 50

CAPÍTULO 6 - IDENTIFICAÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR DE 3GDL ................. 51

6.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 51

6.2 DETERMINAÇÃO DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM (ta) .................................... 51

6.3 A EXCITAÇÃO DO SISTEMA ................................................................................... 52

6.4 ESCOLHA DA ORDEM DO MODELO DO SISTEMA ............................................. 53

6.5 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO DO SISTEMA ....................................................... 55

6.6 RESTRIÇÕES DO SISTEMA ...................................................................................... 57

6.7 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 57

CAPÍTULO 7 - CONTROLE ADAPTATIVO PREDITIVO DO ROBÔ MANIPULADOR

............................................................................................................................................. 58

7.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 58

7.2 PROJETO DO CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO PARA O ROBÔ

MANIPULADOR ................................................................................................................ 58

7.2.1 Resultados obtidos com o GPC adaptativo apenas com restrição fortemente ativa ... 63

7.3 GPC ADAPTATIVO COM RESTRIÇÃO FORTEMENTE ATIVA E COM

RESTRIÇÃO FRACAMENTE ATIVA ............................................................................. 78

x

7.3.1 Resultados obtidos com o GPC adaptativo com restrição fortemente ativa e com

restrição fracamente ativa .................................................................................................... 80

7.4 GPC HÍBRIDO (PD + GPC) ......................................................................................... 84

7.4.1 Resultados obtidos com o GPC híbrido (PD + GPC adaptativo) ............................... 85

7.5 RESPOSTAS DO SISTEMA SOB AÇÃO DOS CONTROLADORES ...................... 90

7.6 ESFORÇO DA VARIÁVEL DE CONTROLE ............................................................ 92

7.7 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 92

CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................... 93

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFIAS ................................................................................... 96

APÊNDICE A – FATOR DE ESQUECIMENTO .......................................................... 103

APÊNDICE B – EQUAÇÃO DIOFANTINA ................................................................ 104

APÊNDICE C – GRADIENTE DA FUNÇÃO CUSTO DO GPC ................................. 106

APÊNDICE D – ROTINA PARA O CONTROLADOR ADAPTATIVO ..................... 109

APÊNDICE E – ROTINA PARA O CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO

ADICIONADO DE RESTRIÇÃO DA VARIÁVEL DE CONTROLE ........................... 115

APÊNDICE F – ROTINA PARA O CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO HÍBRIDO

(PD + GPC ADAPTATIVO) ............................................................................................. 117

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Diagrama de blocos para sistema de controle: (a) malha aberta; (b) malha

fechada ................................................................................................................................... 2

Figura 1.2 – Diagrama de blocos para sistema de controle com ajuste de ganho por tabela 3

Figura 1.3 – Diagrama de blocos para sistema de controle auto-ajustável............................ 3

Figura 1.4 – Esboços dos primeiros robôs manipuladores: (a) gantry-robot; (b) PlanetBot 5

Figura 2.1 – Diagrama de um sistema de atuação eletropneumático genérico .................... 10

Figura 2.2 – Fonte de ar comprimido: produção, distribuição e condicionamento ............. 11

Figura 2.3 – Sistema de atuação pneumático análogo a um dos elos do manipulador a ser

controlado nesse trabalho .................................................................................................... 12

Figura 2.4 – Representação do princípio clássico do eletromagnetismo ............................. 13

Figura 2.5 – Diagrama da válvula proporcional servo-assistida ......................................... 14

Figura 3.1 – Imagem da bancada experimental ................................................................... 17

Figura 3.2 – Imagem do compressor do sistema de alimentação pneumático .................... 17

Figura 3.3 – Imagem da fonte de alimentação elétrica ........................................................ 18

Figura 3.4 – Esboço da composição do deslocamento do robô ........................................... 18

Figura 3.5 – Esboço do manipulador cartesiano com três graus de liberdade..................... 19

Figura 3.6 – Imagem do robô manipulador cartesiano com três graus de liberdade

eletropneumático ................................................................................................................. 20

Figura 3.7 – Diagrama de blocos do funcionamento da bancada de testes ......................... 21

Figura 3.8 – Imagem das placas de aquisição de dados ...................................................... 22

Figura 4.1 – Diagrama de Blocos do controlador adaptativo por ganho escalonado .......... 27

Figura 4.2 – Diagrama de blocos do controlador STR explícito e sistema ......................... 28

Figura 4.3 – Diagrama de blocos do controlador STR implícito e sistema ......................... 28

Figura 4.4 – Diagrama de blocos para controle adaptativo ................................................. 29

Figura 5.1 – Diagrama de funcionamento do controle preditivo ......................................... 39

Figura 5.2 – Diagrama de blocos para o controle preditivo GPC........................................ 45

Figura 5.3 – Estrutura de um controlador adaptativo preditivo ........................................... 49

Figura 6.1 – Sinal de excitação para o sistema .................................................................... 53

xii

Figura 6.2 – Critérios de desempenho de um sistema ......................................................... 56

Figura 7.1 – Chaveamento após Tp amostras entre o controlador proporcional e o

adaptativo para armazenar inicialmente informações do passado ....................................... 63

Figura 7.2 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo X teste 1

............................................................................................................................................. 66


............................................................................................................................................. 66


............................................................................................................................................. 67

Figura 7.5 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Y teste 1

............................................................................................................................................. 69


............................................................................................................................................. 69


............................................................................................................................................. 70

Figura 7.8 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Z teste 1

............................................................................................................................................. 72


............................................................................................................................................. 72


............................................................................................................................................. 73

Figura 7.11 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros ..... 74

Figura 7.12 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros ..... 74

Figura 7.13 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros ...... 75

Figura 7.14 – Evolução dos parâmetros dos modelos das funções estimadas para o GPC

adaptativo com os melhores parâmetros .............................................................................. 76

Figura 7.15 – Erro em Volts entre a resposta experimental e a estimada para o GPC

adaptativo com os melhores parâmetros .............................................................................. 77

Figura 7.16 – Comportamento das variáveis de controle em Volts para o GPC adaptativo

com os melhores parâmetros ............................................................................................... 78

Figura 7.17 – Áreas de atuação da restrição das variáveis de controle em torno do set-point

............................................................................................................................................. 79

xiii

Figura 7.18 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com

restrição na variável de controle ux...................................................................................... 80

Figura 7.19 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com

restrição na variável de controle uy...................................................................................... 81

Figura 7.20 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com

restrição na variável de controle uz ...................................................................................... 81


com os melhores parâmetros com restrição das mesmas .................................................... 82


adaptativo com os melhores parâmetros com restrição das variáveis de controle .............. 83


adaptativo com os melhores parâmetros com restrição das variáveis de controle .............. 83

Figura 7.24 – Diagrama de blocos do GPC híbrido (PD + GPC adaptativo) ...................... 84

Figura 7.25 – Interpretação Gráfica do controlador PD ...................................................... 85

Figura 7.26 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo híbrido com os melhores

parâmetros ........................................................................................................................... 86

Figura 7.27 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo híbrido com os melhores

parâmetros ........................................................................................................................... 87

Figura 7.28 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo híbrido com os melhores

parâmetros ........................................................................................................................... 87


híbrido com os melhores parâmetros ................................................................................... 88


adaptativo híbrido com os melhores parâmetros ................................................................. 89


adaptativo híbrido com os melhores parâmetros ................................................................. 89

Figura 7.32 – Respostas sobrepostas do elo X para o GPC adaptativo e suas variações com

seus melhores parâmetros .................................................................................................... 90

Figura 7.33 – Respostas sobrepostas do elo Y para o GPC adaptativo e suas variações com


Figura 7.34 – Respostas sobrepostas do elo Z para o GPC adaptativo e suas variações com


xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Especificações técnicas das válvulas eletropneumáticas proporcionais

utilizadas no do sistema do fabricante Festo® .................................................................... 22

Tabela 3.2 – Especificações técnicas dos cilindros pneumáticos utilizados nos elos do

sistema do fabricante Werk-Schott® ................................................................................... 23

Tabela 3.3 – Especificações técnicas do compressor utilizado no do sistema do fabricante

Schulz® ............................................................................................................................... 24

Tabela 4.1 – Exemplos de controladores clássicos e modernos .......................................... 30

Tabela 5.1 – Modelos de Controle Preditivo (MPC) ........................................................... 39

Tabela 6.1 – Modelos testados para cada elo do sistema .................................................... 55

Tabela 7.1 – Parâmetros da função custo e de desempenho do sistema sob ação do GPC

adaptativo (elo X), baseados nas respostas da Fig. (7.2), Fig. (7.3) e Fig. (7.4) ................. 65


adaptativo (elo Y), baseados nas respostas da Fig. (7.5), Fig. (7.6) e Fig. (7.7) ................. 68


adaptativo (elo Z), baseados nas respostas da Fig. (7.8), Fig. (7.9) e Fig. (7.10) ............... 71

Tabela 7.4 – Esforço médio da variável de controle para cada elo do robô manipulador ... 92

Tabela B.1 – Solução Analítica da Equação Diofantina ................................................... 105

Tabela D.1 – Variáveis de entrada do bloco do MatLab® no laço do LabView® (GPC

adaptativo) ......................................................................................................................... 113

Tabela D.2 – Variáveis de saída do bloco do MatLab® no laço do LabView® (GPC

adaptativo) ......................................................................................................................... 114

Tabela F.1 – Variáveis de entrada do bloco do MatLab® no laço do LabView® (PD +

GPC adaptativo) ................................................................................................................ 118

Tabela F.2 – Variáveis de saída do bloco do MatLab® no laço do LabView® (PD + GPC

adaptativo) ......................................................................................................................... 119

xv

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS

an, bn – parâmetros estimados para o sistema

A(z), B(z), C(z), D(z) – polinômios discretos

d – atraso de transporte

e – perturbação

erp – erro de regime permanente

E – vetor de perturbações

G – matriz gerada a partir dos parâmetros do sistema para o GPC

J – função custo do GPC

k – instante de tempo discreto

K – ganho de Kalman

n – número total de parâmetros estimados

N – número de amostras

Nu – horizonte de controle

Ny – horizonte de predição

N1 – horizonte mínimo de predição

P – matriz de covariância

r – sinal de referência

R2 – coeficiente de correlação múltipla

ss – sobre-sinal

ta – tempo de amostragem

tr – tempo de subida

ts – tempo de estabelecimento (ou acomodação)

t95% – 95% do tempo de estabelecimento

u – entrada do sistema

(xmm, ymm, zmm) – posição do pistão do manipulador em milímetros

(xv, yv, zv) – posição do pistão do manipulador em Volts

y – resposta do sistema

xvi

( )ky∧

– saída estimada

Y – vetor de saída

z – 1 – operador atraso

λ – ponderação da variável de controle da função custo do GPC

λe – fator de esquecimento do algoritmo MQR

∆ – operador diferença

ϕ – matriz com vetores de medidas

φ – vetor de medidas de entradas e saídas do sistema

ρ – ponderação do erro da função custo do GPC

θ – vetor de parâmetros

AIC – Critério de Informação de Akaike

ARX – Modelo auto-regressivo com entradas externas

ARIMAX – Modelo auto-regressivo com média móvel e entradas exógenas

CPU – Central Processing Unit

CSA – Canada Space Agency

EPSAC – Extended Predictive Self Adaptative Control

EUA – Estados Unidos da América

GDL – Graus de Liberdade

GMV – Generalized Minima Variance Control

GPC – Generalized Predictive Control

GS – Gain Scheduling

ISO – International Organization for Standardization

LDMC – Linear Dynamic Matrix Control

MAC – Model Algorithmic Control

MBPC – Model Based Predictive Controllers

MPC – Model Predictive Controllers

MQ – Mínimos Quadrados

MQR – Mínimos Quadrados Recursivo

PC – Personal Computer

PD – Proporcional Derivativo

PFC – Predictive Functional Control

QDMC – Quadratic Dynamic Matrix Control

RAM – Random Access Memory

xvii

SCARA – Selective Compliance Assembly Robot Arm

SEQ – Somatório de erro quadrático

SPC – Statistic Predictive Control

STR – Self Tuning Regulators

UPC – Unified Predictive Control

USB – Universal Serial Bus

VDC – Voltage Direct Current

CAPÍTULO 1

-

INTRODUÇÃO

Os sistemas de controle automático estão cada vez mais presentes na sociedade

moderna.

O controle automático representa um papel vital no avanço da engenharia e da

ciência. Além de possuir importância extrema em sistemas de pilotagem de aviões, mísseis

guiados, veículos espaciais, navios, entre outras, tornou-se presente nos processos

industriais e de fabricação modernos. Os avanços na teoria e na prática de controle

automático propiciam meios para atingir-se desempenho ótimo de sistemas dinâmicos,

bem como melhoria na qualidade e diminuição do custo de produção, aumento da taxa de

produção, operações manuais repetitivas, entre outras (OGATA, 1985).

Um sistema de controle é um conjunto de dispositivos ou uma função matemática

que representa o mesmo, mantendo uma ou mais grandezas físicas (sistema a controlar ou

planta) dentro de condições definidas ou desejadas. O sistema pode ser elétrico, mecânico,

óptico, biológico, entre outros.

Quanto à estrutura, um sistema de controle pode ser de malha aberta (sem

retroação), no qual um sinal de entrada a referência define o comportamento do

controlador, ou de malha fechada (com retroação), no qual o erro, que é a diferença entre a

referência e saída define o comportamento do mesmo. A vantagem desse último é que,

para uma mesma referência, porém com distúrbios diferentes ou alterações no sistema a ser

controlado, o controlador responderá de forma ponderada a cada uma das situações.

2

(a) (b)

Figura 1.1 – Diagrama de blocos para sistema de controle: (a) malha aberta; (b) malha

fechada

Para projetar um controlador é necessário conhecer o sistema a ser controlado. Há

algumas formas de fazer sua modelagem, entre elas: modelagem caixa branca, modelagem

caixa cinza e modelagem caixa preta.

A modelagem caixa branca é a baseada na física do processo, ou seja, é necessário

conhecer as relações matemáticas que descrevem os sistemas, por isso é conhecida como

modelagem fenomenológica ou conceitual. Sua limitação é a complexidade dos sistemas,

sendo muitas vezes realizadas aproximações.

A modelagem caixa preta é obtida através de dados amostrados da excitação e

resposta do sistema, tratados com métodos numéricos, os quais buscam estabelecer

relações entre causa e efeito. Por isso é conhecida como modelagem empírica. Sua

limitação está na estrutura dos modelos e na capacidade de processamento dos

computadores. Além disso, é necessário conhecer as limitações do sistema que está sendo

identificado.

A modelagem caixa cinza é quando a identificação é feita por caixa preta,

entretanto com conhecimento de algumas relações entre os parâmetros do modelo e os

componentes do sistema.

As técnicas clássicas de controle para robôs manipuladores ou aquelas baseadas

em modelo (controle de posição e/ou forca) envolvem o conhecimento das equações que

descrevem o comportamento dinâmico do manipulador, que não são lineares, como

qualquer sistema real. Além de modelos não lineares exigirem maiores esforços

computacionais, existe certa dificuldade inerente ao processo de levantamento desse

modelo dinâmico, devido às incertezas a respeito dos parâmetros do sistema, estando esse

comportamento também sujeito às influências externas como perturbações e variações

paramétricas (BATTISTELLA, 1999). No mais, sistemas reais são variantes no tempo,

pois sofrem desgastes e interferências não determinísticas (estocásticas), assim a ação de

controle deverá ser robusta o suficiente para responder de forma adequada ou se adaptar a

3

cada alteração sofrida pelos mesmos. Essa última solução remete ao controlador

adaptativo, que é capaz de modificar seu comportamento em resposta às mudanças na

dinâmica do sistema e perturbações externas.

A Fig. (1.2) e a Fig. (1.3) mostram os diagramas de blocos de dois dos principais

tipos de controle adaptativo existentes. O primeiro é mais conhecido como ganho tabelado

(GS – gain scheduling), e pode ser caracterizado como sendo um adaptativo em malha

aberta (RÚBIO & SÁNCHEZ, 1996), e o segundo apresenta uma forma clássica de um

controle auto-ajustável (STR – Self Tuning Regulators).

Figura 1.2 – Diagrama de blocos para sistema de controle com ajuste de ganho por tabela

Figura 1.3 – Diagrama de blocos para sistema de controle auto-ajustável

O controlador auto-ajustável (STR) procura automatizar as tarefas de modelagem

matemática, projeto e implementação da lei de controle. No STR as estimativas dos

4

parâmetros do sistema são atualizadas e os parâmetros do controlador são obtidos pela

solução de um projeto que utiliza os parâmetros estimados do sistema (MONTENEGRO,

2007).

Ainda segundo MONTENEGRO (2007, apud COELHO e COELHO, 2004), o

STR apresenta grandes vantagens em relação a outros tipos de controladores, pois as

variações da dinâmica do sistema são acompanhadas pelo identificador e,

consequentemente, pelo controlador a cada período de amostragem.

1.1 ROBÔS MANIPULADORES

Ao longo das últimas décadas, a abertura de mercado e o processo de globalização

da economia têm levado o setor industrial a um novo padrão de concorrência, onde as

formas tradicionais de gestão e produção não são mais suficientes para garantir a

lucratividade e sobrevivência no mercado que se apresentam cada vez mais competitivas e

exigentes em qualidade, custo e atendimento de prazos. Visando o aumento de

produtividade e padronização na qualidade de produtos, muitas indústrias têm

implementado a automatização de sua produção baseada na utilização de robôs

manipuladores para realização de tarefas pré-determinadas e repetitivas. Neste panorama,

os robôs manipuladores estão sendo cada vez mais utilizados em atividades que envolvem

precisão e alta velocidade (UNECE, 2004).

Os robôs manipuladores são basicamente dispositivos de posicionamento que

podem ter inúmeros graus de liberdade, formados por cadeias de elos, em cuja extremidade

é fixada uma ferramenta ou dispositivo com o qual é realizada a tarefa. Os elos que

formam a cadeia são interligados através de juntas às quais determinam o grau de liberdade

do mecanismo e podem ter movimentos de translação (prismático) ou de rotação

(rotacional). Assim, um robô manipulador pode ser classificado, quanto ao sentido dos

movimentos realizados e quanto à fonte de alimentação requerida.

Quanto à configuração física, um robô manipulador pode ser de coordenadas

cartesianas, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, SCARA (Selective Compliance

Assembly Robot Arm), entre outros. Quanto à fonte de alimentação requerida, podem ser

hidráulicos, pneumáticos, hidro-pneumáticos, elétricos, eletro-hidráulicos, eletro-

pneumáticos, eletromagnéticos, entre outros.

5

1.1.1 Estado da arte para robô manipulador

Os primeiros trabalhos em robótica de manipulação datam do fim da Segunda

Guerra Mundial no ano de 1945, máquinas do tipo Mestre-Escravo foram introduzidas e

desenvolvidas para manipular materiais perigosos, como substâncias radioativas entre os

anos 1940 e 1950.

Em 1950 a General Mills Corporation (EUA) desenvolveu o robô gantry-robot,

que era um manipulador cartesiano. Em 1957 surgiu o primeiro robô de coordenadas

esféricas, o PlanetBot, ambos apresentados na Fig. (1.4).

(a) (b)

Figura 1.4 – Esboços dos primeiros robôs manipuladores: (a) gantry-robot; (b) PlanetBot

A investigação e desenvolvimento na área de controle durante os anos 50 e 60

conduziram aos primeiros robôs controlados por computador com sinal de retroação

sensorial. Desde então, os manipuladores mecânicos evoluíram, existindo inúmeras

propostas de técnicas de controle, de força, de velocidade, de posição com diversas

dimensões físicas e construídas com diversos materiais.

Um robô manipulador industrial é constituído por vários elos rígidos ligados em

série por juntas, que são geralmente atuadas por motores elétricos ou atuadores

pneumáticos ou hidráulicos, além de um sistema de controle computadorizado para

controlar e supervisionar o movimento do robô, recorrendo à informação sensorial para

obter o estado do robô e do ambiente.

Em GERVINI (2003) é avaliada a importância do estudo de vibrações em robôs

manipuladores, utilizando um robô manipulador espacial desenvolvido naquela data pela

6

Agência Espacial Canadense (CSA – Canada Space Agency). Em GONZALEZ e

VAQUERO (2003) também são analisados robôs manipuladores espaciais. Nesse mesmo

trabalho também são exemplificados robôs manipuladores utilizados na área de medicina

computadorizada, como em procedimentos de laparoscopia. Em RODRIGUES (2010) é

desenvolvido um sistema com robô manipulador a ser aplicado na medicina para

visualização de órgãos vitais.

Entretanto, por sua funcionalidade de posicionar objetos em posições estratégicas

em um sistema de coordenadas espaciais, os robôs manipuladores cartesianos estão

presentes em indústrias, onde o transporte e/ou posicionamento de alguns itens em pontos

do processo fabril é exigido com rapidez e precisão, em adição ao isolamento para não

contaminação ou para diminuição de riscos ocupacionais de contato. Além disso, somada à

crescente demanda de equipamentos de automação e controle de sistemas em ambientes

fabris, há o aumento de políticas ambientais, sendo importante a realização de uma

investigação sobre fontes de alimentação requeridas pelos robôs manipuladores. Assim,

técnicas de controle para robôs cartesianos pneumáticos vêm sendo objeto freqüente de

estudos, pois são capazes de operar com rapidez, além de possuírem as vantagens de

qualquer sistema pneumático, como a abundância de ar em ambientes sob condições

normais, facilidade para transporte (tubulações), facilidade de armazenamento por serem

compressíveis (reservatórios), além de matéria-prima não poluente.

Por outro lado, a utilização de servo-atuadores pneumáticos é limitada pelas não-

linearidades inerentes a estes sistemas, principalmente devido à compressibilidade do ar.

Este comportamento não-linear tem limitado a utilização destes servo-atuadores em tarefas

em que se exija um seguimento preciso de trajetória em que o movimento se dê de forma

suave e contínua (CARVALHO, 2009). Alguns estudos sobre controladores em sistemas

pneumáticos revelaram essa limitação, como em CANUDAS et al. (1995), NOURI et al.

(2000), NEGRI (2001), ZORLU et al. (2003), GUENTHER e PERONDI (2004),

MONETEGRO et al. (2004), GUENTHER et al. (2006), SOBRINHO (2009),

CARVALHO (2009).

Em atendimento à necessidade de realização de novas pesquisas que envolva o

controle em servo-atuadores para acompanhamento de trajetórias, sobretudo os

pneumáticos, o presente trabalho tem por objetivo o desenvolvimento de um sistema de

controle adaptativo preditivo auto-ajustável a ser aplicado em um robô cartesiano com três

graus de liberdade, comandados por sistemas eletropneumáticos pertencente ao

7

Laboratório de Dinâmica, do Departamento de Engenharia Mecânica, do Centro de

Tecnologia, da Universidade Federal da Paraíba, Campus I.

1.2 METODOLOGIA

Nesse trabalho será realizada a identificação em tempo real de cada cilindro do

manipulador e de forma recursiva por meio de um estimador, que utiliza o método dos

mínimos quadrados recursivo (MQR).

Em uma segunda etapa serão projetados controladores adaptativos auto-ajustáveis

independentes para cada cilindro do manipulador utilizando Generalized Predictive

Control (GPC).

Para efeito comparativo, a etapa seguinte constará da junção do GPC com um

Proporcional-Derivativo (PD), gerando uma forma híbrida.

Testes experimentais com o sistema operando sob a ação destes controladores

projetados serão realizados, sendo os resultados confrontados para a obtenção das

conclusões.

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho está dividido em 9 capítulos e 6 apêndices, sendo a seguir descritos

resumidamente em seqüência.

No Capítulo 1 foi apresentado uma introdução sobre controle de sistemas, seguido

do histórico breve, descrições sobre robôs manipuladores e metodologia a ser seguida neste

trabalho.

No Capítulo 2 é apresentada uma síntese de conceitos básicos e fundamentais

sobre sistemas pneumáticos, descrevendo seu funcionamento, vantagens e limitações.

No Capítulo 3 é detalhada a bancada experimental composta pelo robô

manipulador mecânica e eletricamente.

No Capítulo 4 é realizado um estudo sobre controle adaptativo, apresentando suas

diferentes configurações, além de detalhamento do diagrama de blocos do controlador

adaptativo auto-ajustável.

No Capítulo 5 é apresentada a técnica de controle preditivo GPC, além de sua

junção ao controle adaptativo, formando o GPC adaptativo.

8

No Capítulo 6 é detalhada a identificação do sistema real, sendo apresentada a

técnica utilizada para definição do tempo de amostragem, para escolha da ordem do

modelo que irá representar o sistema, escolha do sinal de excitação, além de técnicas de

validação para modelamento do sistema, critérios de desempenho para sistemas e possíveis

restrições de sistemas reais.

No Capítulo 7 são detalhados os procedimentos experimentais realizados,

implementação do GPC, do GPC com restrição em torno do set-point e do GPC híbrido

(PD+GPC).

No Capítulo 8 são feitas as considerações finais e conclusões, indicando as

limitações, vantagens e contribuições, seguindo de sugestões para trabalhos futuros.

Nas Referências Bibliográficas é apresentada a relação das fontes utilizadas como

suporte teórico durante o desenvolvimento desse trabalho.

O Apêndice A consta do fundamento matemático para a inclusão do fator de

esquecimento relacionado à identificação online do sistema via técnica dos mínimos

quadrados recursivos.

O Apêndice B apresenta o conceito da Equação Diofantina, além de uma solução

analítica da mesma.

O Apêndice C possui o desenvolvimento da solução do gradiente da função custo

da técnica GPC.

O Apêndice D consta da rotina do controlador adaptativo preditivo sem restrição.

O Apêndice E consta da rotina do controle GPC com restrição do ganho.

O Apêndice F consta da rotina do GPC híbrido, PD+GPC adaptativo.

CAPÍTULO 2

-

SISTEMAS DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICOS

2.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta uma síntese de conceitos básicos e fundamentais sobre

sistemas de atuação eletropneumáticos, que são essenciais para levantamento de limitações

e compreensão do seu funcionamento, sendo detalhando alguns dos componentes e os

respectivos funcionamentos.

2.2 SISTEMAS DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICO GENÉRICO

No contexto do projeto de sistemas de automação e controle, um sistema de

atuação corresponde ao conjunto de elementos capaz de receber uma informação

proveniente de um circuito elétrico, hidráulico ou pneumático, para estabelecer qual a ação

que deve ser executada. O sistema de atuação é alimentado com energia elétrica, hidráulica

ou pneumática (NEGRI, 2001).

A eletropneumática vem ampliando sua presença na indústria em face da

capacidade de realizar ações rápidas e de forma segura, principalmente quando é utilizado

como atuação mecânica em equipamentos com ciclos operacionais complexos.

A Fig. (2.1) apresenta um diagrama do sistema de atuação eletropneumático

genérico (SA), que, baseado no sinal elétrico (s) da ação de comando, recebe ar

comprimido (P) a uma pressão constante, fornecendo energia mecânica (M) manifestada

através das variáveis: aceleração, velocidade e deslocamento. O manipulador de posição

(MP) é formado pelo sistema de atuação e pelo mecanismo que desempenha a ação

mecânica. O sistema de atuação e a central de comando trocam informações através da rota

10

“c”, que é de via dupla. A fonte de alimentação elétrica (a) torna o sistema

eletropneumático com a alimentação das válvulas.

Figura 2.1 – Diagrama de um sistema de atuação eletropneumático genérico

Conforme estabelecido na ISO 5598, Sistemas e Componentes Hidráulicos e

Pneumáticos, a terminologia pneumática refere-se à ciência e à tecnologia que trata do uso

do ar ou gases neutros como meio de transmissão de potência.

2.3 DETALHAMENTO DE UM SISTEMA DE ATUAÇÃO

ELETROPNEUMÁTICO GENÉRICO

Os circuitos pneumáticos são alimentados por uma fonte de ar comprimido e

incluem válvulas e cilindros interligados através de tubulações, cujo objetivo é a

conversão, de forma controlada, da energia pneumática em energia mecânica de translação

ou de rotação. Assim, o sistema pneumático engloba sensores, controladores, circuitos

elétricos, válvulas e demais componentes que viabilizam a automação ou controle de um

processo, tornando-se um sistema eletropneumático.

A fonte de ar comprimido, que é a energia pneumática, inclui a unidade de

produção, distribuição e condicionamento de ar, como mostrado na Fig. (2.2) retirada do

texto de PINCHES & CALLEAR (1996).

11

Figura 2.2 – Fonte de ar comprimido: produção, distribuição e condicionamento

A unidade de produção inclui o compressor com filtro de admissão, resfriador

posterior, separador de condensado, reservatório com válvula de segurança, manômetro e

secador.

Uma unidade de distribuição compreende uma tubulação preferencialmente

composta de uma rede principal de onde derivam redes secundárias que alimentam os

pontos de ligação dos circuitos pneumáticos.

Nas extremidades das tubulações de alimentação da rede secundária são instaladas

as unidades de condicionamento específicas para cada equipamento, incluindo válvula

reguladora de pressão, purgador para extração de água condensada na rede e filtro.

O compressor comprime o ar para a pressão de trabalho desejada, e o reservatório

estabiliza a distribuição e nivela as oscilações de pressão na rede distribuidora, garantindo

uma reserva no momento de alto consumo de ar da pressão.

O sistema atuador é o responsável por receber o sinal de comando e a energia

pneumática, transformando essa em energia mecânica. Assim, o sistema atuador é

composto pelas válvulas, que, baseado em um sinal de comando “u” proveniente do PC

pelas placas de aquisição, transforma a energia proveniente da fonte de ar comprimido em

12

energia mecânica nos pistões dos cilindros, como indicado na Fig. (2.3) retirada de

CARVALHO (2009), que é uma analogia a um elo do sistema do manipulador a ser

controlado nesse trabalho, desprezando qualquer carga existente.

Figura 2.3 – Sistema de atuação pneumático análogo a um dos elos do manipulador a ser

controlado nesse trabalho

As válvulas podem ser classificadas quanto à forma que permitem ou impedem a

passagem de fluido, podendo sua abertura ser total ou proporcional. A última tem a

vantagem de possibilitar uma maior ação de controle, sendo empregada na maioria dos

sistemas automáticos pneumáticos.

As válvulas proporcionais têm sua abertura controlada por um sistema

eletromagnético que recebe o sinal da ação de controle, permitindo ou impedindo total ou

parcialmente a passagem do ar.

O funcionamento do sistema eletromagnético é baseado no princípio do

eletromagnetismo clássico (Lei de Lenz-Faraday), em que um condutor carregando uma

corrente (i) e imerso em um fluxo magnético (B) fica submetido a uma força

eletromagnética (F), Fig. (2.4). O fluxo magnético pode ser produzido por um imã

permanente ou um eletroímã. Observando que o sentido da força pode mudar se o sentido

do fluxo ou da corrente mudar.

13

Figura 2.4 – Representação do princípio clássico do eletromagnetismo

Nas válvulas proporcionais o fluxo magnético é produzido por eletroímãs, que são

bobinas percorridas por correntes, no qual é possível variar sua intensidade e direção,

ficando o condutor submetido à força de intensidade e direção variada, possibilitando

infinitas posições de aberturas.

Na Fig. (2.5) retirada de BURKERT (2011), é possível observar que o movimento

do embolo da válvula é feito por diferença de pressão, sendo o fluxo de ar que impulsiona

os cilindros pneumáticos proveniente do canal principal (4). Quando o condutor (1) se

desloca para cima, a abertura (2) aumenta, permitindo a passagem de ar, fazendo com que

a pressão inferior seja maior do que a superior do embolo (3), deslocando o mesmo para

cima, até o nivelamento das pressões. Quando o condutor se desloca para baixo, a pressão

superior se torna maior que a inferior no embolo, deslocando o mesmo para baixo, até o

nivelamento da pressão.

14

Figura 2.5 – Diagrama da válvula proporcional servo-assistida

Os cilindros podem ser classificados quanto ao seu funcionamento, podendo ser

de simples ou dupla ação. O de simples ação a expansão do embolo é realizado pela

introdução de ar comprimido, enquanto que o retorno é feito por ação de uma mola. O de

dupla ação tanto a expansão quanto o retorno é realizado pela introdução de ar

comprimido.

Como qualquer outro sistema, o projeto de sistemas pneumáticos compreende a

análise e a seleção correta dos componentes da instalação. Nessa etapa, o sistema é

materializado, possibilitando a verificação das limitações impostas ao projeto, resultando

na qualidade do mesmo.

A seleção de componentes pneumáticos tem como principal fonte de consulta os

catálogos de fabricantes e, para que a utilização destes catálogos seja o mais eficiente

possível, é importante não só o conhecimento de princípios teóricos, mas também o

conhecimento de normas que estabelecem as condições de testes destes componentes e o

entendimento do significado dos termos empregados nestas normas, além da relação custo

e benefício.

No caso da escolha das válvulas, por exemplo, sabe-se que, se for escolhida uma

válvula muito pequena, a pressão de saída também será reduzida, consequentemente, para

alcançar a força mecânica desejada, será necessária a escolha de um cilindro maior,

acarretando um consumo de ar mais elevado, aumentando os custos de investimento e de

15

operação do sistema. Por outro lado, uma válvula de dimensões superiores normalmente

requererá maior tempo de resposta e maior custo.

Desta forma, o projeto de um robô manipulador eletropneumático é

interdisciplinar, envolvendo conhecimentos de engenharia mecânica, elétrica, eletrônica,

de controle, de materiais, além da ciência da computação (que propiciam ferramentas para

programação dos manipuladores robóticos, capacitando-os à realização das tarefas

específicas). Sendo importante nessa fase a utilização de materiais leves, para minimizar o

efeito de forças dissipativas, além de materiais de baixo custo por razões econômicas e que

atendam as especificações das normas regulamentadoras para seu determinado fim.

2.4 CONCLUSÃO

Nesse capítulo foram apresentados conceitos básicos e fundamentais sobre

sistemas de atuação eletropneumáticos genéricos, detalhando suas unidades de produção,

distribuição e condicionamento de ar.

Foram também apresentados alguns componentes e seus respectivos

funcionamentos, como compressor, válvulas, cilindros, direcionando essa apresentação

para a bancada experimental. Além disso, foi apresentada a importância do projeto desses

sistemas, e em que o mesmo se baseia.

CAPÍTULO 3

-

DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL

3.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta todos os componentes da bancada experimental, que é

composta pelo robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3GDL),

sistema de alimentação pneumático, sistema de alimentação elétrico, placas de aquisição

de dados e computador PC. Descrevendo as características técnicas e o funcionamento da

bancada.

3.2 SISTEMA EXISTENTE

A bancada experimental se encontra no Laboratório de Dinâmica, do

Departamento de Engenharia Mecânica, do Centro de Tecnologia, da Universidade Federal

da Paraíba, Campus I, e é composta basicamente pelos sistemas de alimentação, pelo

manipulador cartesiano, por um computador PC e por placas de aquisição de dados,

conforme Fig. (3.1).

17

Figura 3.1 – Imagem da bancada experimental

O robô manipulador a ser controlado é alimentado por uma fonte de energia

pneumática proveniente de um compressor, um filtro de admissão, um manômetro e um

reservatório, como vemos na Fig. (3.2).

Figura 3.2 – Imagem do compressor do sistema de alimentação pneumático

Além da fonte pneumática, que operará com 0,3MPa de pressão, o sistema possui

uma fonte elétrica, como apresentada na Fig. (3.3), para proporcionar energia para o

acionamento das válvulas eletropneumáticas. Esse sinal elétrico associado ao sinal da ação

de controle enviado pelo computador, possibilitará o deslocamento das hastes dos cilindros

pneumáticos de dupla ação, recolhendo ou estendendo suas hastes impulsionadas pela

fonte de ar comprimido (compressor) com pressão constante e com capacidade de fornecer

a vazão consumida pelos componentes do sistema.

18

Figura 3.3 – Imagem da fonte de alimentação elétrica

O robô manipulador eletropneumático é composto por três elos perpendiculares

entre si, formando os eixos X, Y e Z do sistema de coordenadas cartesianas. O sistema de

eixos foi montado de forma que o eixo Z translada os outros dois eixos, e o eixo X

translada o eixo Y, possibilitando na extremidade do eixo Y um movimento espacial,

sendo o movimento final do robô manipulador cartesiano a composição dos movimentos

de translação em cada um dos eixos, ou seja, um vetor com componentes nas direções X, Y

e Z, como apresentado na Fig. (3.4).

Figura 3.4 – Esboço da composição do deslocamento do robô

O manipulador cartesiano, desenho da Fig. (3.5), é composto por três cilindros

pneumáticos (1), sendo dois de 500mm formando o plano horizontal XZ e um de 400mm

19

no eixo vertical Y. Esses cilindros são alimentados com ar comprimidos através de três

válvulas eletropneumáticas (5) comandadas por sinais provenientes da ação de controle. O

ar comprimido é proveniente de um compressor, que, através de dutos flexíveis,

impulsionam o fluxo de ar para as câmaras dos cilindros para estender ou recolher as

hastes. Acopladas às hastes de cada cilindro, estão as réguas potenciométricas (2) para

medição de suas respectivas posições, sendo as mesmas indispensáveis para a ação de

controle. As guias (3), que direcionam os deslocamentos lineares, estão paralelas aos

respectivos eixos, enquanto as patinas (4) possibilitam uma diminuição do atrito no

movimento. Sua imagem se encontra na Fig. (3.6).

Figura 3.5 – Esboço do manipulador cartesiano com três graus de liberdade

20

Figura 3.6 – Imagem do robô manipulador cartesiano com três graus de liberdade

eletropneumático

Os controladores são desenvolvidos com rotinas computacionais na plataforma

MatLab® em ambiente LabVIEW® em um computador PC e exercem sua ação sobre cada

um dos cilindros de maneira independente baseado no erro, que, nesse trabalho, é a

diferença entre a posição desejada e a posição medida do sistema.

Para a ação de controle existir, o sistema a ser controlado e sensores devem se

comunicar com o controlador, que nesse caso é a rotina implementada no PC. Os sensores

de posição enviam informações sobre a posição dos cilindros, o erro é calculado com

relação a uma referência desejada, em função deste erro é determinada a ação de controle,

que é enviada ao sistema.

Como em qualquer tipo de comunicação, são estabelecidos: emissor, receptor,

mensagem, código e canal. Quando o computador envia a ação de controle, o mesmo é o

emissor, cada válvula é um receptor, a mensagem é a ação de controle, o código é um sinal

elétrico e o canal é a placa de aquisição conectada ao PC pela porta USB. Quando o

computador recebe a informação sobre posições dos cilindros, o mesmo é o receptor, cada

régua potenciométrica é um emissor, as mensagens são as posições dos cilindros, o código

é um sinal elétrico e o canal é a placa de aquisição conectada ao PC pela porta USB.

Assim, as placas de aquisição de dados e a porta USB funcionam como via dupla, e o

21

computador alterna nas funções de emissor e receptor, como apresentado na Fig. (3.7)

retirada de MEIRA (2010), que descreve o funcionamento da bancada de testes.

Figura 3.7 – Diagrama de blocos do funcionamento da bancada de testes

3.3 ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS DOS COMPONENTES DA BANCADA

EXPERIMENTAL

O computador utilizado no trabalho possui um processador Intel® de 1,60GHz e

960MB de memória RAM.

As duas placas de aquisição de dados, imagem da Fig. (3.8), são de fabricação da

National Instruments® de especificação NI USB 6009, sendo uma para receber e enviar os

sinais relacionados aos elos X e Z, e a outra para receber e enviar os sinais relacionados ao

elo Y. A utilização de duas placas de aquisição é devido a limitação de canais de saída

analógicos, pois as mesmas possuem 8 canais de entrada analógica, 2 canais de saída

analógica e 12 canais de entradas/saídas digitais, interface USB com o computador na taxa

de amostragem 48kS/s, faixa de tensão de entrada de ±1 VDC a ±20 VDC e faixa de tensão

de saída de 0 a 5 VDC.

22

Figura 3.8 – Imagem das placas de aquisição de dados

As válvulas eletropneumáticas proporcionais de 5/3 vias são da série MPYE do

fabricante Festo®. Algumas de suas especificações técnicas apresentadas na Tab. (3.1).

Tabela 3.1 – Especificações técnicas das válvulas eletropneumáticas proporcionais

utilizadas no do sistema do fabricante Festo®

Modelo MPYE-5-1/8-HF-010-B

Tipo 5/3 vias

Tipo de acionamento elétrico

Pressão absoluta de trabalho Até 1,0 MPa (10 bar)

Vazão nominal 700 l/min

Sentido do fluxo Não reversível

Temperatura de trabalho 5 °C a 40 °C

Temperatura ambiente 0 °C a 50 °C

Tensão de alimentação 24 VDC ± 25%

Tensão de excitação 0 a 10 VDC

Observando pela Tab. (3.1), a tensão de excitação das válvulas (0 a 10 VDC) é

diferente da tensão de saída das placas de aquisição de dados (0 a 5 VDC), utilizou-se um

amplificador de potência para suprir a necessidade das válvulas. Observar também que

23

para possibilitar o movimento de avanço e recuo dos pistões, foi adicionado a toda ação de

controle 2,5V, de forma que de 0V < u < 2,4V os pistões recuam, e de 2,6V < u < 5V os

pistões avançam, em que u remete a ação de controle. Para a tensão de alimentação das

válvulas, foi utilizado um regulador de corrente contínua de fabricação Minipa®, modelo

MPL-3003, para fornecer a potência necessária de 24 VDC.

Os cilindros pneumáticos presentes no sistema são da série CWE da Wherk-

Schott®, as principais especificações técnicas estão na Tab. (3.2).

Tabela 3.2 – Especificações técnicas dos cilindros pneumáticos utilizados nos elos do

sistema do fabricante Werk-Schott®

Elos X e Z Elo Y

Modelo CWEA03273310X0400 CWEA03273310X0200

Curso efetivo 400mm 200mm

Tipo Dupla ação, haste simples Dupla ação, haste simples

Diâmetro 32mm 32mm

Pressão de trabalho Até 1,0MPa (10 bar) Até 1,0MPa (10 bar)

Fluido Ar comprimido filtrado Ar comprimido filtrado

Temperatura ambiente -10°C a 80°C -10°C a 80°C

Força teórica a 0,6MPa, avanço 482,55N 482,55N

Força teórica a 0,6MPa, retorno 414,70N 414,70N

As réguas potenciométricas são da Festo®, para o eixo X foi utilizada uma escala

de 450mm e resolução 0,01mm, sendo o modelo MLO-POT-450-TLF, para o eixo Y foi

utilizada uma escala de 225mm e resolução 0,01mm, sendo o modelo MLO-POT-225-TLF

e para o eixo Z foi utilizada uma escala de 500mm e resolução 0,01mm, sendo o modelo

MLO-POT-500-TLF.

Como o sinal de controle é em Volts, as posições dos cilindros correspondem a

tensões em Volts dadas pelas réguas, assim para saber a relação entre a posição em

milímetros e a tensão em Volts foram posicionadas as hastes dos cilindros em diversas

posições ao longo dos seus cursos, anotando as respectivas posições em milímetros e

tensões em Volts. Com o conjunto desses dados foi utilizada interpolação para ajuste de

curvas, obtendo as funções matemáticas aproximadas mostradas nas Eq. (3.1), Eq. (3.2) e

24

Eq. (3.3), em que xmm, ymm, zmm, xv, yv e zv correspondem às posições em milímetros e às

tensões em Volts dos eixos X, Y e Z, respectivamente.

vmm x55,4

400x ⋅= (3.1)

vmm y56,4

200y ⋅= (3.2)

vmm z1,4

400z ⋅= (3.3)

O compressor utilizado foi o MSL 10 ML-175 do fabricante Schulz®, cujas

principais especificações técnicas estão na Tab. (3.3)

Tabela 3.3 – Especificações técnicas do compressor utilizado no do sistema do fabricante

Schulz®

Modelo MSL 10 ML-175

Peso bruto 90kg

Peso líquido 81kg

Deslocamento teórico 283 litros/min

Pressão máxima de operação 8,3MPa (83bar)

Potência 2hp – 1,5kW

Volume do reservatório 178 litros

3.4 CONCLUSÃO

Nesse capítulo foi apresentada a bancada experimental do robô manipulador

cartesiano eletropneumático de três graus de liberdade. Sendo detalhando o funcionamento

e as características técnicas do computador utilizado, das placas de aquisição, das válvulas

eletropneumáticas, da fonte elétrica de alimentação, dos cilindros de dupla ação, das réguas

potenciométricas e do compressor. Também foram apresentadas as relações entre tensão e

posição das réguas potenciométricas.

CAPÍTULO 4

-

CONTROLE ADAPTATIVO

4.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta um breve histórico de controle adaptativo, algumas

configurações do mesmo, detalhamento dos blocos que compõe o controlador adaptativo

auto-ajustável (STR – Self Tuning Regulators), técnica de identificação dos mínimos

quadrados recursivos (MQR) e combinação da técnica adaptativa com outros

controladores.

4.2 BREVE HISTÓRICO PARA CONTROLE ADAPTATIVO

Ao conceber, projetar e implementar um controlador, dois passos são

fundamentais, a identificação do sistema a controlar e o projeto do controlador.

A metodologia de controle convencional normalmente é baseada em uma

identificação fixa, requerendo um controlador suficientemente robusto para suportar as

variâncias dos sistemas reais, que sofrem alteração em sua dinâmica devido ao desgaste no

decorrer do tempo, além de mudanças bruscas e ruídos. Esse problema pode ser

contornado mediante a repetição periódica ou esporádica dos passos de identificação do

sistema e projeto do controlador.

Desde os anos 50, inúmeros pesquisadores vêm analisando formas de

implementar controladores cuja lei de controle não seja fixa, variando de acordo com as

alterações verificadas no modelo do sistema sobre o qual o controle exerce (RESENDE,

1995).

26

Nos últimos anos o interesse em sistemas de controle adaptativos aumentou

rapidamente junto com o interesse e o progresso em robótica e outros campos de controle.

O termo sistema adaptativo implica que o sistema é capaz de se ajustar a mudanças,

venham estas mudanças de dentro do sistema ou de fora dele. Este conceito é de muito

interesse para o projetista de sistema, pois um sistema adaptativo, além de se acomodar a

mudanças ambientais, também se acomodaria a erros de projeto de engenharia e

compensaria possíveis falhas ou incertezas moderadas de componentes secundários do

sistema, aumentando, portanto, a confiabilidade (ASSIS, 1993).

Assim a designação controle adaptativo é de uma metodologia de projeto de

controladores, que, periodicamente, realiza uma identificação do sistema, atualizando o

modelo do controlador.

Em relação às primeiras referências nesse âmbito, que datam dos anos 50, a

maioria remetia à indústria aeronáutica, em que os sistemas clássicos de controle para

pilotagem não eram capazes de responder adequadamente à diversidade de condições em

que as aeronaves ficavam sujeitas. Tal fato fez surgir o conceito de escalonamento de

ganho, no qual o controle é sintonizado em função de um conjunto de parâmetros para cada

situação de operação.

Por se adaptar a um conjunto de variáveis auxiliares, que apresentam uma

correlação com a saída, o controlador por escalonamento de ganho é modelado em malha

aberta, resultando na forma mais simples de controle adaptativo (controle adaptativo em

malha aberta), Fig. (4.1) retirada de RESENDE (1995), permitindo uma resposta rápida às

variações da dinâmica do sistema. Entretanto, o fato de sua ação de controle não observar a

saída, não permite qualquer correção da função de escalonamento em função do melhor ou

pior desempenho apresentado em malha fechada, além de necessitar de um estudo rigoroso

sobre quais variáveis exercem influência e suas ponderações sobre o ganho ótimo. A Fig.

(4.1) mostra o diagrama de blocos do controle adaptativo por ganho escalonado.

27

Figura 4.1 – Diagrama de Blocos do controlador adaptativo por ganho escalonado

No entanto, alguns sistemas apresentam variações amplas, como no caso das

aeronaves supersônicas. Não sendo um ganho de realimentação por tabela capaz de

fornecer a flexibilidade necessária para atender às especificações de desempenho, o que

desencadeou em acidentes em vôos testes, acarretando naquela época no desinteresse da

aeronáutica. Nesse contexto, inúmeras contribuições teóricas e desenvolvimento de

hardware surgiram, o que proveriam a esse tipo de controlador a estabilidade e a

confiabilidade mesmo frente a perturbações e variações nas características do sistema.

Dessas contribuições, pode ser destacada a teoria de Espaço de Estados e Controle

Estocástico, que facilitaram a análise e a manipulação matemática de sistemas dinâmicos,

além de possibilitar a consideração de modelos não determinísticos na análise de controle

(RESENDE, 1995).

Assim, na década de 70 consolidaram-se os resultados pretendidos, como as

contribuições de ASTROM & WITTENMARK (1997) na prática de Controle Adaptativo

de um sistema de dinâmica desconhecida.

Finalmente nos anos 80, a disseminação de computadores, além da própria

necessidade e exigência do mercado, favoreceu aos avanços práticos do controle

adaptativo.

Uma das primeiras e mais importantes mudanças na técnica de controle adaptativo

de ganho ajustável foi fechar a malha, surgindo o controle adaptativo auto-ajustável (STR),

que combina a ação da identificação (estimação do sistema em tempo real) com o

procedimento de projeto de controle. Essa técnica contempla dois métodos: algoritmos

28

auto-ajustáveis diretos ou explícitos e algoritmos auto-ajustáveis indiretos ou implícitos. O

primeiro tem a vantagem de observar o comportamento do sistema, enquanto que o

segundo tem a vantagem de ser relativamente mais rápido por projetar diretamente o

controlador. As Fig. (4.2) e (4.3) retiradas de MONTENEGRO (2007) mostram o diagrama

de blocos dos controladores STR.

Figura 4.2 – Diagrama de blocos do controlador STR explícito e sistema

Figura 4.3 – Diagrama de blocos do controlador STR implícito e sistema

4.3 CONTROLADOR ADAPTATIVO AUTO-AJUSTÁVEL EXPLÍCITO

O termo adaptativo expressa a possibilidade de modificar comportamentos e/ou

características de acordo com a situação e/ou o objetivo. Assim, defini-se controle

29

adaptativo como o método utilizado pelos controladores passíveis de modificar o seu

comportamento em função das características apreendidas do sistema que controlam

(RESENDE, 1995). Sendo a identificação periódica do sistema a ser controlado a essência

desse tipo de controle. Essa é aliada ao projeto do controlador realizado de forma

automática, ou seja, de forma iterativa e sem intervenção humana direta que resulta no

Controle Adaptativo Auto-Ajustável, mostrado na Fig. (4.4) retirada de HEMERLY

(2000).

Figura 4.4 – Diagrama de blocos para controle adaptativo

De forma resumida, a estrutura básica está relacionada com as funções de

identificação das características dinâmicas do sistema, de decisão ou projeto do

controlador, baseado no modelo identificado e na modificação ou atuação baseada na

decisão tomada (ASSIS, 1993).

O STR é muito flexível quanto à escolha do método de projeto do controlador e

do algoritmo para estimação dos parâmetros do sistema. Os parâmetros estimados são

considerados como se fossem os parâmetros reais. Esta abordagem é baseada no princípio

da equivalência à certeza (MONTENEGRO, 2007, apud HEMERLY, 1996).

Não há restrição para a escolha do projeto do controlador, podendo ser utilizadas

técnicas de controle clássico ou de controle moderno, citando exemplos como os

controladores PID, PI, PD, os controladores preditivos do tipo variância mínima (MV –

30

Minimum Variance), de Variância Mínima Generalizada (GMV – Generalized Minimum

Variance ), o Controlador Preditivo Generalizado (GPC – Generalized Predictive Control),

além do Linear Quadratico Gaussiano (LQG – Linear Quadratic Gaussian). A Tab. (4.1)

apresenta exemplos de controladores clássicos e modernos, que podem se combinar ou

sofrer alterações para atender a demanda do sistema.

Tabela 4.1 – Exemplos de controladores clássicos e modernos

Clássico Moderno

On/Off Ótimo

Auto-operado Preditivo

Proporcional integral derivativo Robusto

Avanço e atraso de fase Inteligente

4.3.1 A identificação do sistema

O problema em elaborar modelos matemáticos de sistemas dinâmicos baseados

em estimação dos parâmetros, pode ser entendido como o problema da área da engenharia

de controle denominada identificação de sistemas. O modelo de um sistema, por sua vez,

pode ser entendido como uma descrição de algumas das propriedades do sistema, adequada

a algum propósito específico (LJUNG, 1999).

As técnicas clássicas para a identificação de sistemas podem ser divididas em não

paramétricas e paramétricas. Os modelos que buscam determinar funções de transferência

através de técnicas diretas, sem selecionar um conjunto de modelos possíveis, nem

empregando um vetor de parâmetros de dimensão finita de forma direta, são ditos não-

paramétricos, destacam-se assim a análise da resposta transitória do sistema, a análise de

correlação e a análise espectral. Enquanto que nas técnicas paramétricas é selecionado um

modelo de sistema com um vetor de parâmetros, dado um vetor de observações da entrada

e da saída do sistema, objetivando-se obter os parâmetros do modelo que melhor

descrevem o sistema.

O tratamento do problema de controle em manipuladores robóticos empregando

metodologias da cinemática e da dinâmica, apesar de possuírem aspectos positivos, podem

levar o sistema a ser controlado a operar com limitações, além de poder cometer erros

31

devidos às limitações computacionais e efeitos mecânicos desprezados no ato da

modelagem, segundo CARVALHO (2009, apud LAMAS, et al., 2002).

Assim, devido às complexidades dos sistemas reais e mais especificamente dos

manipuladores robóticos, a análise empírica e paramétrica é a mais utilizada em controle

moderno, ou seja, as relações entre saídas e entradas são obtidas por métodos numéricos

para um dado modelo paramétrico (CARVALHO, 2009, apud KIRECCI et al., 2003).

Toda análise empírica é discreta, por terem seus dados amostrados, assim, o modelo

matemático do sistema passa a ser representado por uma razão de polinômios no domínio

Z. A Eq. (4.1) representa um modelo paramétrico geral, com um atraso (d), uma entrada

(u) e uma saída (y). O sinal “e” é a representação da perturbação, que, normalmente, é

considerado uma seqüência aleatória, não correlata e de média nula, enquanto que o ∆ é a

ação integrativa. Assim, o primeiro termo da equação é denominado Parte Determinística

e o segundo Parte Estocástica. Baseado nos polinômios A, B e C, são obtidos diversos

tipos de modelos matemáticos.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )kezA

zCku

zA

zBzky 1

1

1

1d ⋅

⋅∆+⋅⋅= −

−

−

−− (4.1)

onde:

( )( )( )

−=∆

⋅++⋅+=

⋅++⋅+=

⋅++⋅+=

−

−−−

−−−

−−−

1

nn

110

1

nn

110

1

nn

11

1

z1

zc...zcczC

zb...zbbzB

za...za1zA

c

c

b

b

a

a

Existem diferentes métodos para estimação dos parâmetros dos modelos lineares

discretos, porém maior ênfase é dada ao estimador dos mínimos quadrados (MQ), uma vez

que é a base para o desenvolvimento de outros métodos de identificação (LJUNG, 1999).

O método consiste em partir de um modelo denominado ARX (Auto-Regressão Exógena)

para um dado sistema, Eq. (4.2), cuja representação por uma equação a diferenças com (na

+ nb + 1) parâmetros a estimar é dada pela Eq. (4.3). Agrupando as medidas e os

parâmetros nos vetores, φ e θ, respectivamente, podemos reescrever o modelo como

apresentado na Eq. (4.5).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kekuzBzkyzA 1d1 +⋅⋅=⋅ −−− (4.2)

32

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kendkub...dkubnkya...1kyaky bn0an1 ba+−−⋅++−⋅+−⋅−−−⋅−= (4.3)

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

−+⋅

−ϕ

ϕ=

− 1Ne

0e

kθ

1N

0

1Ny

0y

T

T

MMM (4.4)

Agrupando em vetores a Eq. (4.4) é obtida a Eq. (4.5).

( ) ( ) EkθkY +⋅φ= (4.5)

onde:

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]

=

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−

=

−ϕ

ϕϕϕ

=φ

Tn0n1

ba

ba

ba

T

T

T

T

babbaakθ

1ndNu2dNu1nNy2Ny

nd1ud1un1y0y

nduduny1y

1N

2

1

0

KK

LL

MMMM

LL

LL

M (4.6)

A resposta estimada no instante k sem contaminação da perturbação, é dada na

forma da Eq. (4.7).

( ) ( )kθkY∧∧

⋅φ= (4.7)

O erro de estimação é a diferença entre o Y real e o Y estimado, como dado na

Eq. (4.8).

( )kθYYY∧∧

⋅φ−=−=ε (4.8)

O estimador dos mínimos quadrados ponderado ou estimador de Markov é obtido

minimizando a função dada na Eq. (4.9).

33

⋅φ−⋅⋅

⋅φ−=⋅φ−=∧∧∧

∧θYWθYθYminJ

T2

Wθ

desemp (4.9)

Onde: Jdesemp – índice de desempenho

( )( )

( )

−

=

1Nw00

01w0

000w

W

L

MMM

L

L

w(i) – ponderação nos componentes do erro.

Derivando e igualando a zero a Eq. (4.9) para obter o mínimo da função, é obtida

a estimação dos parâmetros, Eq. (4.10).

( ) [ ] 0θW2WY2Jθ

TTTdesemp =

⋅φ⋅⋅φ⋅+φ⋅⋅⋅−=∂

∂ ∧

∧

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )kYkkkk T1T ⋅φ⋅φ⋅φ=θ−∧

(4.10)

Porém, para controle adaptativo, é necessário o reconhecimento em tempo real do

sistema. Assim, a Eq. (4.10) é inviável computacionalmente, pois a cada iteração seria

necessário o cálculo da inversa de uma matriz cada vez maior. Uma solução para esse

problema é o método dos mínimos quadrados recursivo (MQR), que parte da adição de

uma amostra à Eq. (4.10), obtendo os termos separados da Eq. (4.14) e da Eq. (4.15), que

são manipulados para a obtenção dos parâmetros de forma recursiva.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )1kY1k1k1k1k T1T +⋅+φ⋅+φ⋅+φ=+θ−∧

(4.11)

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

+ϕφ

=

+ϕϕ

ϕ

=+φ→

ϕ

ϕ=φ

1k

k

1k

k

1

1k

k

1

k T

T

T

T

T

T

MM (4.12)

34

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

+=

+

=+→

=1kY

kY

1kY

kY

1Y

1kY

kY

1Y

kYM

M (4.13)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1k1kkk1k1k TT +ϕ⋅+ϕ+φ⋅φ=+φ⋅+φ (4.14)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1kY1kkYk1kY1k TT +⋅+ϕ+⋅φ=+⋅+φ (4.15)

Fazendo a mudança de variáveis da Eq. (4.16) nas Eq. (4.10), Eq. (4.11), Eq.

(4.14) e Eq. (4.15), são obtidas a Eq. (4.17) e Eq. (4.18).

[ ][ ]

⋅φ=

φ⋅φ=−

YR

PT

1T

(4.16)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+⋅+=+

⋅=∧

∧

1kR1kP1kθ

kRkPkθ (4.17)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+⋅+ϕ+=++ϕ⋅+ϕ+=+ −−

1kY1kkR1kR

1k1kkP1kP T 11

→ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

+⋅+ϕ+=++ϕ⋅+ϕ+=+

−−

1kY1kkR1kR

1k1kkP1kP1T 1 (4.18)

Utilizando a equivalência matemática da Eq. (4.19), é obtida a Eq. (4.20).

( ) ( ) 111111 JNLJNMLJJNMLJ −−−−−− ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅+ (4.19)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+⋅+ϕ+=++ϕ⋅⋅+ϕ+

⋅+ϕ⋅+ϕ⋅−=+

1kY1kkR1kR

1kkP1k1

kP1k1kkPkP1kP

T

T

(4.20)

Da Eq. (4.3) podemos obter o Y estimado de um instante de tempo k, dado a

estimação dos parâmetros no instante (k – 1), como vemos na Eq. (4.21). Para um instante

seguinte (k+1), temos a Eq. (4.22).

35

( ) ( ) ( ) ( )ke1kkkY T +−θ⋅ϕ=∧∧

(4.21)

( ) ( ) ( ) ( )1kek1k1kY T ++θ⋅+ϕ=+∧∧

(4.22)

Substituindo a Eq. (4.22) na Eq. (4.20), supondo que Y estimado é igual a Y,

obtemos a Eq. (4.23).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅+ϕ⋅+ϕ++⋅+ϕ+=+

+ϕ⋅⋅+ϕ+⋅+ϕ⋅+ϕ⋅−=+

∧kθ1k1k1ke1kkR1kR

1kkP1k1

kP1k1kkPkP1kP

T

T

T

(4.23)

Da Eq. (4.17) e da Eq. (4.18), respectivamente, tiramos R(k+1) e (φ.φT),

substituindo na Eq. (4.23) e manipulando, obtemos a Eq. (4.24).

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+⋅+ϕ⋅++=+

+ϕ⋅⋅+ϕ+=+

∧∧1ke1k1kPkθ1kθ

1kkP1k1

kP1kP

T (4.24)

Fazendo a mudança de variável da Eq. (4.25), conhecida como ganho de Kalman,

é obtido o algoritmo do MQR, Eq. (4.26).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1kkP1k1

1kkP1k1kP1kK

T +ϕ⋅⋅+ϕ++ϕ⋅=+ϕ⋅+=+ (4.25)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅+ϕ⋅+−=+

+⋅++θ=+θ

+ϕ⋅⋅+ϕ++ϕ⋅=+

θ⋅+ϕ−+=+

∧∧

∧

kP1k1kKkP1kP

1ke1kKk1k

1kkP1k1

1kkP1kK

k1k1kY1ke

T

T

T

(4.26)

Geralmente na inicialização é utilizado um valor elevado para a matriz de

covariância P, que é uma matriz identidade multiplicada por um valor elevado (≥103), isso

36

garante um elevado ganho inicial. Para o vetor de parâmetros θ geralmente é atribuído

inicialmente um vetor nulo. Porém também pode ser atribuído inicialmente um vetor de

parâmetros θ diferente de zero, caso sejam conhecidos valores aproximados do mesmo,

sendo atribuído nesse caso para a matriz de covariância P, uma matriz identidade

multiplicada por um valor pequeno (≤10). Nas n primeiras iterações são armazenados os

valores de saídas e entradas nos vetores de medidas (φ) e saídas (Y), em que n remete ao

número de parâmetros a serem estimados. Nas demais iterações, os vetores de medidas e

saídas são atualizados e segue a utilização das equações do sistema apresentado na Eq.

(4.26) na ordem exposta. A explicação detalhada desse algoritmo pode ser encontrada em

LJUNG (1999) e COELHO e COELHO (2004).

A matriz de covariância P tende ao longo das iterações a uma matriz diagonal com

valores baixos, caso a identificação seja adequada. Porém, para sistemas variantes no

tempo, é importante fornecer a esse algoritmo uma capacidade de adaptação regenerada,

impedindo que o ganho do estimador tenda a valores baixos. Esta capacidade pode ser

obtida dando-se uma maior importância às novas medidas pela inclusão de um fator de

esquecimento como é apresentado no Apêndice A (COELHO e COELHO, 2004).

4.4 CONCLUSÃO

Neste capítulo foi apresentado um breve histórico de controle adaptativo, algumas

configurações do mesmo, detalhamento dos blocos que compõe o controlador adaptativo

auto-ajustável (STR – Self Tuning Regulators), técnica de identificação dos mínimos

quadrados recursivos (MQR), combinação da técnica adaptativa com outros controladores

e a limitação do ganho do algoritmo MQR. O algoritmo MQR foi detalhado

matematicamente partindo de um modelo ARX do sistema, sendo essa técnica a ser

utilizada na identificação paramétrica do sistema.

CAPÍTULO 5

-

CONTROLE PREDITIVO

5.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta um breve histórico de controle preditivo, algumas

classificações do mesmo, detalhamento matemático do controlador preditivo generalizado

(GPC) e a combinação da técnica adaptativa com o mesmo, formando o controlador GPC

adaptativo.

5.2 DEFINIÇÕES GERAIS DO CONTROLE PREDITIVO

Controle preditivo baseado em modelo (MBPC – Model Based Predictive

Controllers) ou, simplesmente, Controle Preditivo (MPC – Model Predictive Controllers)

é, segundo MELEIRO (2002, apud SEBORG, 1994), a estratégia de controle multi-

variável mais aplicada na indústria de processos. Os primeiros algoritmos MPC foram

desenvolvidos por dois grupos, RICHALET et al. (1976) e CUTLER e REMAKER

(1979). A idéia de CUTLER e REMAKER (1979) deu origem a um dos algoritmos

preditivos mais empregados na indústria química, o DMC (Controle por Matriz Dinâmica).

Apesar das inúmeras variações dos controladores preditivos, todos eles, como sua

própria denominação evidencia, utilizam o conhecimento dos valores futuros de referência

para calcular o sinal de controle mais adequado. O sucesso industrial dos controladores

preditivos é atestado pela variedade das versões comerciais aplicadas nas indústrias de

processamento químico. SEBORG (1994) e HENSON (1998) reportaram uma vasta

aplicabilidade mundial de controladores preditivos em refinarias de óleo e plantas

petroquímicas.

38

SANTOS (1998) analisou critérios de desempenho e aspectos de robustez no

desenvolvimento de controladores adaptativos preditivos. CAVALCANTI (2003)

desenvolveu um controlador preditivo generalizado bilinear compensado adaptativo.

GABIN e ZAMBRANO (2004) desenvolveram um controle preditivo por modo deslizante

para robôs manipuladores. SILVA (2004) aplicou um controle preditivo em uma bomba de

infusão de insulina para regulação de glicemia em diabéticos Tipo I. ALBÁN (2006)

desenvolveu um controle preditivo para um robô tipo SCARA. SOUZA (2006)

implementou em plantas físicas um controlador preditivo generalizado com restrições.

BARBOSA (2007) apresentou um controlador preditivo generalizado com função de pesos

variantes no tempo através de algoritmos genéticos. BESCH et al. (2009) implementou um

controlador preditivo generalizado escalonado em um CLP. CORREIA (2010) elaborou

um controle preditivo com restrição em um compressor de ar.

O MPC é uma família de técnicas de controle que prediz o comportamento futuro

do sistema através de um modelo interno dinâmico de previsão das variáveis controladas

em funções das variáveis manipuladas. As ações de controle são então calculadas visando

minimizar a diferença entre a trajetória prevista e a trajetória de referência, ou seja,

minimizando uma função custo que engloba as trajetórias dos erros previstos das variáveis

controladas, tratando-se de uma otimização da função custo ou de controle ótimo.

Há inúmeras variações para o MPC. A Tab. (5.1) lista algumas variações do MPC,

pode ainda haver combinações das mesmas ou com adição de características adaptativas,

entre outras.

39

Tabela 5.1 – Modelos de Controle Preditivo (MPC)

Abreviação Nome

EPSAC Extended Predictive Self Adaptative Control

GMV Generalized Minima Variance Control

GPC Generalized Predictive Control

LDMC Linear Dynamic Matrix Control

QDMC Quadratic Dynamic Matrix Control

MAC Model Algorithmic Control

PFC Predictive Functional Control

SPC Statistic Predictive Control

UPC Unified Predictive Control

Apesar das inúmeras variações, qualquer um desses modelos consiste em uma

técnica puramente discreta no tempo, em que o mesmo se relaciona com o modelo do

sistema para que seja calculada uma seqüência de controle futura, de modo que, a saída

predita siga uma determinada trajetória de referência, como é mostrado na Fig. (5.1).

Figura 5.1 – Diagrama de funcionamento do controle preditivo

As variáveis mostradas na Fig. (5.1), u(k), y(k) e r(k), representam os valores do

sinal de controle, da variável controlada e do sinal de referência, respectivamente, sendo os

valores futuros dessas variáveis representadas por vetores como indicado na Eq. (5.1).

40

[ ]

[ ]

++=

++=

−+=∧∧∧

T

T

T

)Nyk(r)1k(r

)Nyk(Y)1k(Y

)1Nuk(u)k(u

K

K

K

r

Y

u

(5.1)

A predição é feita dentro de um horizonte de predição denominado Ny, e esse

comportamento futuro, )1k(Y +∧

, é previsto a partir de um modelo do sistema e de um

conjunto de ações de controle dentro do horizonte de controle Nu. As ações de controle são

calculadas de modo que a saída predita siga uma trajetória de referência.

A lei de controle preditiva é obtida através da minimização de uma função

objetivo ou custo. Esta função mensura o rastreamento da saída predita em relação à

referência. A função objetivo é adequada aos requisitos do projeto do controlador, que

podem envolver tempo de estabilização, sobre-sinal, tempo de subida, entre outras.

5.3 CONTROLE PREDITIVO GENERALIZADO (GPC)

O GPC foi proposto por CLARKE et al. (1987) e desde então tem se tornado um

dos métodos mais populares no âmbito do controle preditivo, sendo utilizado com êxito em

numerosas aplicações, abrangendo desde sistemas estáveis em malha aberta, sistemas de

fase não mínima e sistemas com atraso de transporte variante no tempo. Possui ampla

aplicação na indústria química e petroquímica, mostrando-se robusto quanto à

sobreparametrização, atraso de transporte incerto (MONTENEGRO, 2007). Sendo por esse

motivo um dos modelos mais populares de MPC.

A idéia do GPC é calcular uma seqüência de sinais de controle futuros de maneira

a minimizar uma função custo, Eq. (5.2), definida sobre o horizonte de predição móvel, em

que ( )iky +∧

é a predição do sinal de saída i-passos à frente, r(k+i) é a trajetória de

referência futura, N1 é o horizonte mínimo de predição, Ny é o horizonte de predição, Nu é

o horizonte de controle. O princípio do horizonte móvel calcula uma seqüência de ações de

controle, porém só envia a ação (ou ações no caso de sistema multi-variável) de controle

atual.

41

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑==

−+⋅⋅+

+−+⋅=Nu

1i

2Ny

Ni

2^

1iku∆iλikrikyiρJ1

(5.2)

onde: ρ(i) seqüência ponderadora sobre o erro

λ(i) seqüência ponderadora sobre o controle

O GPC utiliza um modelo paramétrico para o sistema do tipo Auto-regressivo

Integral com Média Móvel e Exógeno (ARIMAX). Também é considerado que o sistema

possui um atraso natural somado ao atraso do segurador de ordem zero, sendo o modelo

ARIMAX apresentado na Eq. (5.3).

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ikezAz1

zC1iku

zA

zBziky

11

1

1

1d +⋅

⋅−+−+⋅⋅=+ −−

−

−

−− (5.3)

( )( )( ) ( )

⋅=

=

−=

−−

−

−

11~

1

1

zA∆zA

1zC

z1∆

� ( ) ( )( )

( ) ( )( )1

~1

~

1

zA

iked1iku∆

zA

zBiky

−−

− ++−−+⋅⋅=+ (5.4)

Com o objetivo de separar a dependência de y(k + i) dos valores passados e

futuros, é utilizada uma identidade polinomial chamada de Equação Diofantina,

apresentada na Eq. (5.5), que substituindo na Eq. (5.4), é obtida a Eq. (5.6).

( )( ) ( )

( )1~

1ii1

i1

~

zA

zFzzR

zA

1

−

−−−

−+= (5.5)

onde: ( ) ( )( )

( ) ( )

⋅++⋅+=

⋅++⋅+⋅=⋅−−−−

−−−

−−−−

1inai,

1i,1

1i

1n1i,i

1i,1i,0

i1i

i

zr...zr1zR

zf...zffzzFz a

42

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

+⋅+⋅+

+

−−⋅⋅

⋅+−−+⋅⋅⋅=+

−

−

−

−

−−−−

ikezRkezA

zF

d1ku∆

zA

zFzBd1iku∆zRzBiky

1i

1~

1i

1~

1i

11

i1

(5.6)

Da Eq. (5.4): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ku∆zBzkyzAke 1d1~

−⋅⋅⋅−⋅= −−− , substituindo na Eq. (5.6) e fazendo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1inn0

1inai,

1i,1

nn

110

1i

11i

b

g

b

bzg...gzr...zr1zb...zbbzRzBzG −+−−−−−−−−− ⋅++=⋅++⋅+⋅⋅++⋅+=⋅= :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ikezRkyzFd1iku∆zGiky 1i

1i

1i +⋅+⋅+−−+⋅⋅=+ −−− (5.7)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kyzFd1iku∆zGiky 1i

1i

^

⋅+−−+⋅⋅=+ −− (5.8)

Assim:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+≥

⋅+−+⋅⋅=++

⋅++⋅⋅=++

⋅++⋅⋅=++

⋅+⋅⋅=++

+<⋅+−+⋅⋅=+

⋅+−⋅⋅=+

−+

−+

−+

−+

−+

−+

−+

−+

−−

−−

d1i

kyzF1Nku∆zGNdky

kyzF2ku∆zG3dky

kyzF1ku∆zG2dky

kyzFku∆zG1dky

d1ikyzFd1ku∆zG2ky

kyzFdku∆zG1ky

1Nd

1Nd

^

13d

13d

^

12d

12d

^

11d

11d

^

12

12

^

11

11

^

M

M

(5.9)

Ou seja, para i < 1+d, temos que a estimativa de y depende apenas dos valores

passados, enquanto para i ≥ 1+d, temos que a estimativa de y depende dos valores

presentes e futuros, podendo Gi ser reescrito na forma da Eq. (5.10), em que foram

separados os termos relacionados ao passado dos demais.

43

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )1di1

z

1dinn

dn

z

1dnn0

1inn

dnn

1dnn

22

110

1inn0

1i

zzz

zg...gzzg...g

zg...zgzg...zgzgg

zg...gzG

1

g2

b

1

b

1

b

g

b

2

b

1

b

g

−−−−

β

−−−+−

α

−+−

−+−+−−+−−−

−+−−

β⋅+α=

⋅++⋅+⋅++=

⋅++⋅+⋅++⋅+⋅+=

⋅++=

−−4444 34444 214444 34444 21

(5.10)

Substituindo a Eq. (5.10) na Eq. (5.8), é obtida a Eq. (5.11).

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )1ku∆zzGzkyzFd1iku∆ziky

d1iku∆zzGkyzFd1iku∆ziky

kyzFd1iku∆zzziky

11i

di1i

1^

11i

1i

1^

1i

1di1^

−⋅⋅α−+⋅+−−+⋅⋅α=+

−−+⋅⋅α−+⋅+−−+⋅⋅α=+

⋅+−−+⋅⋅β⋅+α=+

−−−−−

−−−−

−−−−−

Assim: ( ) ( )1ku∆ky −⋅⋅+⋅+⋅= G'FuGy (5.11)

Observar pela Eq. (5.9) que, como y chapéu remete a saída predita (futura), temos

que ( )i varia de ( )1d + até ( )Nd + , sendo então as variáveis da Eq. (5.11) dadas por:

onde:

( )

( )

++

++=

Ndky

1dky

^

^

My ( )

( )

−+⋅

⋅=

1Nku∆

ku∆

Mu ( )( )

( )

=−

+

−+

−

1Nd

11d

1

zF

zF

z MF

=

−− 02N1N

01

0

ggg

0gg

00g

L

MMM

L

L

G

( )( )

( ) ( )

⋅⋅−−⋅−−

⋅⋅−−

⋅−

=

−−−

−−+

−−+

−+

N1N1N

110

1Nd

2110

12d

01

1d

zzgzggzG

zzggzG

zgzG

'

K

MG

Os dois últimos termos da Eq. (5.11) remete ao tempo passado e presente, tendo

em vista que são conhecidas as variáveis de entrada do sistema passadas e as variáveis de

saída do sistema passadas e presente. Assim podem ser agrupados no vetor f, Eq. (5.12),

que representa a resposta livre, sendo a Eq. (5.11) reescrita na Eq. (5.13), fazendo o atraso

nulo.

44

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )1ku∆zzGzkyzFikf 11i

i1i −⋅⋅α−+⋅=+ −−−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )ku∆zzGzkyzFikf 11i

1i1i ⋅⋅α−+⋅=+ −−−−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )ku∆zgzggzGzkyzFikf 1i1i

110

1i

1i1i ⋅⋅⋅++⋅+−+⋅=+ −−

−−−−− K (5.12)

fuGy +⋅= (5.13)

Substituindo a Eq. (5.13) na função custo, Eq. (5.2), fazendo os ponderadores ρ(i)

e λ(i) constantes, é obtida a Eq. (5.14), em que ( ) ( ) ( )[ ]Ndkr2dkr1dkrr ++⋅++⋅++⋅= L .

( ) ( ) uurfuGrfuG ⋅⋅λ+−+⋅⋅−+⋅⋅ρ= TTJ (5.14)

Para obter o mínimo da função custo é aplicado o operador diferencial gradiente

na mesma igualado a zero (Apêndice C), resultando na lei de controle da Eq. (5.15).

( ) ( )frGIGGu −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=− TT 1

(5.15)

Para cada instante k tem-se a lei de controle dada na Eq. (5.16).

( ) ( ) ( ) ( )kkTkkk

Tk frGIGG −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=−

−11-kuku

( ) ( ) ( ) ( )kkTkkk

Tk frGIGG −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=

−11-kuku (5.16)

Na Eq. (5.15), r é a referência, e f depende dos valores de y e ∆u, conforme Eq.

(5.12). Assim, observando as simplificações a seguir, temos a Eq. (5.17), da qual é possível

obter um diagrama de blocos para o controle GPC, Fig. (5.2).

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )kyFsrKuHz1∆

∆uHzkyzFKRKu

∆uKzkyzFKRKu

u∆zkyzFRK

K

1i

1i1S

1i1i

1i1i

1

⋅−⋅=⋅⋅+⋅

⋅⋅−⋅⋅−⋅=∆

⋅Μ⋅⋅−⋅⋅−⋅=∆

⋅⋅Μ⋅−⋅−⋅=

−⋅=

−⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=

−

−−

−−

−−

−

u

fru

frGIGGu TT

45

( )( )( )Hz1∆

kyFsrKu

1i ⋅+⋅⋅−⋅

=−

(5.17)

Figura 5.2 – Diagrama de blocos para o controle preditivo GPC

Na Eq. (5.15) é conhecida a referência “r”, e as ponderações ρ e λ são

sintonizadas de acordo com o sistema, através de testes, podendo ser constantes ou

variáveis. Entretanto a matriz G e o vetor f podem ser obtidos através da solução da

Equação Diofantina.

A solução da Equação Diofantina requer um elevado esforço computacional. Uma

forma alternativa em cada instante de tempo é a solução numérica conforme mostra a Eq.

(5.18) e Eq. (5.19), que renomeando seus termos podem ser escritas na forma Eq. (5.20) e

Eq. (5.21).

( ) ( )321321

F

1i

i~

E

1i zFzAzR1 −−− ⋅+⋅= (5.18)

( ) ( ) ( )4342143421

S

11i

1i~

R

11i zFzAzR1 −

++−−

+ ⋅+⋅= (5.19)

FzAE1 i~

⋅+⋅= − (5.20)

( ) SzAR1 1i~

⋅+⋅= +− (5.21)

Da Eq. (5.20), observando a igualdade dos polinômios e isolando F, é possível

chegar à condição inicial dada na Eq. (5.22).

46

( )( ) ( )

( ) ( )nfinf

1i1

i0

an

an1

121

nfinf

1i1

i0

anan

~1

1

~

nfnf

110

ianan

~1

1

~

zf...zfzfzE...zEE1

zf...zfzfzaE...zaEE1

zf...zffzza...za1E1

~

~

~~

~~

+−+−−−

+

−

+−+−−−−

−−−−−

⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+=

⋅++⋅+⋅+⋅⋅++⋅⋅+=

⋅++⋅+⋅+

⋅++⋅+⋅=

⋅−⋅=

⋅−=

⋅−=

~

11

~

ii

i

~i

AE1zF

AE1zF

AE1zF

−⋅=

=~

1

1

A1zF

1E

(5.22)

Subtraindo as Eq. (5.20) e Eq. (5.21), é obtida a Eq. (5.23), em que o polinômio

resultante da subtração de R e E é de grau “i” e pode ser escrito na forma da Eq. (5.24).

( ) ( )FSzzERA0 1i~

−⋅⋅+−⋅= −− (5.23)

( )( ) ( )( )i

i

1inai,

1i,1

inai,

1inai,

1i,1

i1i

zr

zr...zr1zrzr...zr1

RRER

−

−−−−−−−+

⋅=

⋅++⋅+−⋅+⋅++⋅+=

−=−

(5.24)

Da Eq. (5.24) pode ser obtido a Eq. (5.25).

ii

i1i

zr

EEER−

+

⋅=

−=−

iii1i zrEE −

+ ⋅+= (5.25)

Substituindo a Eq. (5.24) na Eq. (5.23), é obtida a Eq. (5.26) ou, reescrevendo

essa, a Eq. (5.27).

i

~1 rAFSz ⋅−=⋅− (5.26)

( ) ( ) ian

an

~1

1

~nf

nf1

10ns

ns1

101 rza...za1zf...zffzs...zssz

~~ ⋅

⋅++⋅+−⋅++⋅+=⋅++⋅+⋅ −−−−−−− (5.27)

47

Fazendo igualdade de polinômios na Eq. (5.27), tem-se a Eq. (5.28) e a Eq. (5.29).

( ) ( ) ...zrafrfzs...zszs0 1i1

~

1i01ns

ns2

11

0 +⋅

⋅−+−=⋅++⋅+⋅+ −+−−−

( ) ii0i F de termoPrimeiro0Ffr →== (5.28)

( ) S degrau o até 0 k para , ra1kFrafs i1k

~

ii1k

~

1kk =⋅−+=⋅−= +++ (5.29)

Além disso, foi definido que ( ) ( ) ( )1i

11i zRzBzG −−− ⋅= , ou:

( ) ( ) ( )1i

11i zEzBzG −−− ⋅= (5.30)

Assim, para a obtenção da matriz G da lei de controle dada na Eq. (5.15) sem a

utilização da solução da Diofantina, foi obtido o algoritmo da Eq. (5.31) com as condições

iniciais dadas pela Eq. (5.22).

=⋅=

−⋅=

=

BBEG

A1zF

1E

11

~

1

1

(5.22)

( )

( )

BEG

...zszssF

ra1kFs

zrEE

0Fr

1i1i

2-2

1-101i

i1k

~

ik

iii1i

ii

⋅=+⋅+⋅+=

⋅−+=

⋅+=

=

++

+

+

−+

(5.31)

5.3.1 O Algoritmo para o GPC adaptativo

Até alguns anos atrás, notava-se na literatura de controle avançado de processos

químicos, uma clara distinção entre as duas grandes classes de controladores avançados:

Adaptativo e Preditivo (DECHECHI, 1998).

48

A habilidade para preservar o desempenho do sistema sob ação de controle

adaptativo em malha fechada a partir da identificação das variações na dinâmica do

sistema e do meio por um algoritmo online, bem como uma sintonização adequada para o

controlador em diferentes pontos de operação, motiva um crescente número de aplicações

de algoritmos de controle adaptativo auto-ajustável preditivo. Nas últimas três décadas,

várias técnicas de controle preditivo têm sido propostas na literatura de controle de

processos para substituir os métodos de controle clássicos convencionais na indústria, em

virtude aos desenvolvimentos promovidos nas teorias da estabilidade e controle moderno

(SANTOS, 1998).

Para o algoritmo do GPC adaptativo foram obtidos os passos a seguir, o qual

possui resulta na estrutura da Fig. (5.3) retirada de SANTOS (1998).

• Definir os parâmetros do sistema (A e B): identificação online (MQR)

• Obter os termos da matriz G:

=⋅=

−⋅=

=

BBEG

A1zF

1E

11

~

1

1

(5.22)

( )

( )

BEG

...zszssF

ra1kFs

zrEE

0Fr

1i1i

2-2

1-101i

i1k

~

ik

iii1i

ii

⋅=+⋅+⋅+=

⋅−+=

⋅+=

=

++

+

+

−+

(5.31)

• Montar a matriz G:

=

−− 02N1N

01

0

ggg

0gg

00g

K

MMM

K

K

G

• Obter os termos referentes aos dados passados da lei de controle:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] u∆zgzggzGzkyzFikf 1i1i

110

1i

1i1i ⋅⋅⋅++⋅+−+⋅=+ −−

−−−−− K (5.12)

49

• Montar os vetores f e r:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

+++=

+++=T

T

Nkr2kr1kr

Nkf2kf1kf

K

K

r

f

• Encontrar a ação de controle:

( ) ( )frGIGGu −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=− TT 1

(5.15)

( ) ( ) ( ) ( )kkTkkk

Tk frGIGG −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=

−11-kuku (5.16)

Figura 5.3 – Estrutura de um controlador adaptativo preditivo

50

5.4 CONCLUSÃO

Neste capítulo foi apresentado um breve histórico de controle preditivo, algumas

classificações do mesmo, detalhamento matemático do controlador preditivo generalizado

(GPC) e a combinação da técnica adaptativa com o mesmo, formando o controlador GPC

adaptativo, sendo apresentado seu diagrama de blocos e algoritmo. Também é apresentada

a equação Diofantina, que é essencial para a separação dos termos referentes ao passado

dos termos referentes ao futuro na lei de controle preditiva.

CAPÍTULO 6

-

IDENTIFICAÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR DE 3GDL

6.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta as etapas de modelamento e identificação do sistema com

seus critérios de validação, bem como a determinação do período de amostragem e do sinal

de excitação do sistema. Também constará das definições de alguns critérios de

desempenho de sistemas, além de restrições possíveis para um sistema.

6.2 DETERMINAÇÃO DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM (t a)

Geralmente sistemas reais não são lineares, enquanto que a maioria dos

controladores é linear. Uma solução para essa questão é a geração de modelos lineares

adequados para períodos de amostragem pequenos, diminuindo o erro proveniente da

linearização.

Assim, na identificação de sistemas o tempo de amostragem é um parâmetro

fundamental a ser definido, caso seja grande, é possível que ocorra perda de informação da

dinâmica do sistema (sub-amostrado), caso seja pequeno, ocorrerá sobre-amostragem. Na

prática, em controle digital, o tempo de amostragem é escolhido de acordo com o tempo de

resposta do sistema. SOUZA (2010, apud ISERMANN, 1980) recomenda que o tempo de

amostragem esteja entre o intervalo dado na Eq. (6.1), cujo t95% correspondente ao tempo

necessário para que a resposta do sistema à entrada degrau atinja 95% do seu valor final.

5

tt

15

t %95a

%95 ≤≤ (6.1)

52

SOUZA (2010) determinou que o tempo de amostragem para o robô em questão é

de 200ms. Os procedimentos para determinação desse tempo foram: posicionamento do

sistema na posição tida como origem, excitação dos elos com um pulso de duração

suficiente para atingir um deslocamento considerável de aproximadamente meio segundo,

medição com um cronômetro que cada elo levou para atingir 95% da resposta final. Esse

tempo cronometrado foi dividido pelo número de amostras no tempo , resultando no valor

da amostragem (ta).

6.3 A EXCITAÇÃO DO SISTEMA

A qualidade do modelo estimado de um sistema depende em parte da natureza do

sinal de entrada aplicado durante a fase de coleta de amostras. Deve-se escolher um sinal

de excitação que demonstre toda a dinâmica do sistema, minimizando erros de modelagem,

ou seja, o sinal de entrada deve forçar o sistema a revelar na saída todas as suas

características dinâmicas.

Uma forma de excitar os elos do robô manipulador é através de uma seqüência de

pulsos construídos, de tal forma que o sistema efetue movimentos de avanço e retorno.

Para esse trabalho a seqüência de pulsos para excitar o sistema foi análoga para os três

elos. A Fig. (6.1) mostra o sinal de excitação aplicado ao robô.

53

Figura 6.1 – Sinal de excitação para o sistema

6.4 ESCOLHA DA ORDEM DO MODELO DO SISTEMA

Conforme AGUIRRE (2000), se a ordem utilizada para o modelo for muito menor

do que a ordem efetiva do sistema real, o modelo não possuirá a complexidade estrutural

necessária para reproduzir a dinâmica do sistema. Por outro lado, se a ordem do modelo for

muito maior do que a necessária, a estimação de parâmetros será provavelmente mal

condicionada, ocasionando cancelamento de pólos e zeros na função de transferência do

sistema.

Critérios como: somatório do erro quadrático (SEQ), Eq. (6.2), coeficiente de

correlação múltipla R2, Eq. (6.3), e critério de informação de Akaike (AIC), Eq. (6.4),

podem ser utilizados para validação da estrutura do modelo. Nessas equações N significa

número de amostras, y são amostras, n é o número de parâmetros, a indicação “^” são as

estimações e a indicação “-” é a média.

54

( ) ( )2N

1k

kykySEQ ∑=

∧

−= (6.2)

( ) ( )

( )[ ]

−

−−=

∑

∑

=

=

∧

N

1k

2

N

1k

2

2

yky

kyky

1R (6.3)

( ) ( ) n2kykyN

1lnNAIC

2N

1k

⋅+

−⋅⋅= ∑=

∧ (6.4)

A condição ideal para qualquer que seja o sistema seria que a diferença entre a

saída real e a estimação fosse nula, assim, na condição ideal teríamos a Eq. (6.5).

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )[ ]

( ) ( )( ) ( )

−∞=

⋅+

−⋅⋅=

=

−

−−=

=

−=

∑

∑

∑

∑

=

∧

→ξ−ξ

=

=

∧

→ξ−ξ

=

∧

→ξ−ξ

∧

∧

∧

n2kykyN

1lnNlimAIC

1

yky

kyky

1limR

0kykylimSEQ

2N

1k0kk

N

1k

2

N

1k

2

0kk

2

N

1k0kk

(6.5)

MEIRA (2010) e SOUZA (2010) realizaram procedimentos semelhantes para

determinar a ordem do modelo do sistema em questão, e consistiu em excitar os elos do

sistema com uma seqüência de pulsos, armazenando todos os dados de excitações e das

respectivas respostas com uma taxa de amostragem de 200ms, que foi determinada

anteriormente. Com esses valores e o algoritmo do estimador MQR da seção (4.3.1) com

fator de esquecimento unitário, variando a quantidade de parâmetros e o valor do atraso no

algoritmo, conforme Tab. (6.1), e sendo utilizadas em cada variação as equações de

validação de modelo, Eq. (6.2), Eq. (6.3) e Eq. (6.4), foram obtidos resultados análogos em

ambos os trabalhos. Os resultados expostos na Tab. (6.1), foram retirados do trabalho de

MEIRA (2010).

55

Tabela 6.1 – Modelos testados para cada elo do sistema

SEQ R2 AIC

Modelo na nb d n X Y Z X Y Z X Y Z

1 1 0 1 2 1,76 4,797 0,924 0,958 0,901 0,954 –44,609 –24,554 –57,492

2 2 0 1 3 0,515 0,962 0,188 0,988 0,98 0,991 –67,205 –54,688 –87,288

3 2 0 2 3 0,151 3,033 0,073 0,996 0,937 0,996 –91,684 –31,721 –106,29

4 2 1 1 4 0,033 0,322 0,037 0,999 0,993 0,998 –119,92 –74,583 –117,94

5 3 0 1 4 0,386 0,473 0,14 0,991 0,99 0,993 –70,929 –66,875 –91,251

6 3 0 2 4 0,116 2,34 0,045 0,997 0,952 0,998 –94,987 –34,915 –113,72

7 3 0 3 4 0,3 2,076 0,188 0,993 0,957 0,991 –76,009 –37,307 –85,343

8 3 1 1 5 0,029 0,286 0,03 0,999 0,994 0,999 –120,71 –74,916 –118,08

9 3 1 2 5 0,084 2,141 0,047 0,998 0,956 0,998 –99,432 –34,691 –110,96

10 3 2 1 6 0,015 0,218 0,029 1 0,996 0,999 –131,36 –78,382 –120,83

Modelo:

( )( ) a

a

b

b

nn

11

nn

110d

za...za1

zb...zbbz

ku

ky−−

−−−

⋅++⋅+⋅++⋅+

⋅= (6.6)

Baseado na Eq. (6.5), foram destacadas as três linhas com melhores resultados.

Apesar dos modelos 8 e 9 terem tido resultados melhores, foi escolhido o modelo de

número 4, sendo justificado pelo princípio da parcimônia, tendo em vista o funcionamento

em tempo real do sistema de identificação do controle adaptativo, o qual possui quatro

parâmetros a serem determinados e um atraso de uma amostragem, transcrito na Eq. (6.7).

( )( ) 2

21

1

21

10

22

11

1101

zaza1

zbzb

zaza1

zbbz

ku

ky−−

−−

−−

−−

⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅= (6.7)

6.5 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO DO SISTEMA

Em muitos casos práticos, as características de desempenho desejadas de um

sistema a ser controlado são especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo.

56

Os sistemas com energia armazenada não podem responder instantaneamente e vão

fornecer respostas transitórias sempre que estiverem sujeitos a sinais de entrada e/ou

distúrbios. (OGATA, 2005).

Assim, as características de desempenho de um sistema são estabelecidas em

função da resposta transitória no domínio do tempo, sendo as características mais

comumente especificadas o tempo de subida (tr), o tempo de pico (tp), o tempo de

acomodação (ts), erro de regime permanente (erp) e o sobre-sinal (ss).

O tempo de subida nesse trabalho remeterá ao tempo necessário para o sistema

sair de 0% a 100% do valor final, que é o comumente utilizado para sistemas de segunda

ordem. O tempo de acomodação é o tempo necessário para que a resposta alcance valores

em uma faixa de ±2% ou ±5% em torno da referência, nesse trabalho será utilizado ±5%,

pois essa será a faixa de tolerância para o erro de regime permanente. Sobre-sinal é o valor

de pico da curva de resposta, que pode ser dado pela Eq. (6.8). O tempo de pico é o tempo

referente ao sobre-sinal. Esses critérios de desempenho podem ser observados na Fig.

(6.2).

%100ferênciaRe

ferênciaRecUP% max ⋅

−= (6.8)

Figura 6.2 – Critérios de desempenho de um sistema

57

6.6 RESTRIÇÕES DO SISTEMA

As condições operacionais são normalmente definidas por uma intersecção de

restrições, em que a função é minimizada se necessária. Muitos algoritmos de previsão

levam em consideração as limitações do sistema, e, portanto, têm sido bem sucedido na

indústria, enquanto outros podem incorporá-lo a posteriori. Ao adicionar restrições para a

função objetivo, a minimização se torna mais complexa, de modo que a solução não pode

ser obtida explicitamente como no caso sem restrição. (CAMACHO & BORDON, 1999).

Segundo LARA (2005) e CORREIA (2010), restrições podem ser impostas nas

variáveis de entrada e de saída. A primeira devido a limitações no atuador, tais como

saturação ou restrições na rapidez de câmbio, a segunda usualmente associada a limitações

operacionais, tais como considerações de segurança, qualidade final do produto ou

especificações do equipamento. As restrições podem ser fortemente ativa (rígidas),

fracamente ativa (flexíveis) e por aproximação de set-point (restrições terminais). As

fortemente ativas indicam uma região que as restrições não podem ser violadas sob

nenhuma hipótese, as fracamente ativas permitem violação das restrições em instantes

específicos e as de aproximação de set-point são restrições fracamente ativas impostas pelo

set-point, resultando em uma função objetivo penalizada em ambos os lados da restrição.

Nesse sistema temos a restrição fortemente ativa das tensões máximas suportadas

pelos atuadores, que são de 4,55V, 4,56V e 4,1V para os elos X, Y e Z, respectivamente,

assim, um filtro na entrada desses atuadores vai restringir a lei de controle em 4V para

todos os elos.

6.7 CONCLUSÃO

Nesse capítulo foram apresentados critérios de desempenho de sistemas, restrições

de sistemas e procedimentos para determinação do tempo de amostragem e ordem do

modelo matemático paramétrico do sistema. Além de serem justificados as escolhas dos

sinais de excitação para os elos do sistema. Os trabalhos de MEIRA (2010) e SOUZA

(2010) foram bases para o desenvolvimento desse capítulo, os quais constataram a

presença de dois pólos, um zero e um atraso de transporte do sistema, além de que o

modelo em questão representava bem a dinâmica do sistema.

CAPÍTULO 7

-

CONTROLE ADAPTATIVO PREDITIVO DO ROBÔ

MANIPULADOR

7.1 INTRODUÇÃO

Nesse capítulo serão apresentadas as etapas experimentais da implementação do

controlador adaptativo preditivo desenvolvido para os três elos do robô manipulador,

mostrando gráficos de respostas no tempo, além de serem desenvolvidos variações do

controlador GPC, uma adicionando restrições, outra somando ao mesmo uma ação

proporcional-derivativa. Também serão os esforços médios das variáveis de controle.

7.2 PROJETO DO CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO PARA O ROBÔ

MANIPULADOR

Nesse foram projetados três controladores GPC adaptativos, um para cada elo,

cujas leis de controle são dadas na Eq. (7.1), obtidas a partir da Eq. (5.15).

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=

−⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=

−⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=

−

−

−

zzz

1

zzzzz

yyy

1

yyyyy

xxx

1

xxxxx

1-kuku

1-kuku

1-kuku

frGIGG

frGIGG

frGIGG

Tzz

Tz

Tyy

Ty

Txx

Tx

(7.1)

59

Cada elo terá seus valores passados de “u” e “f”, além de parâmetros, referências

e matrizes G, distintos, possibilitando que os cálculos da lei de controle sejam realizados

de forma independente.

Baseado na seção (5.3.1), para o algoritmo GPC, temos que identificar os

polinômios A e B do modelo pré-definido na seção (6.4) através do algoritmo MQR da

seção (4.3.1), obter a matriz G das leis de controle da Eq. (7.1), obter os termos referentes

ao passado “f” da mesma equação, montar os vetores f e r, aplicando na lei de controle.

Esses cálculos são realizados para cada elo e a cada iteração.

Para esse trabalho foi definido o horizonte mínimo de predição igual a “um”, o

horizonte de predição (Ny) e o horizonte de controle (Nu) para o controle GPC iguais a

“três”, observar que se os horizontes forem muito extensos, pode exigir um elevado

esforço computacional. A seguir o algoritmo GPC para esses horizontes. As Eq. (7.2), Eq.

(7.3), Eq. (7.4), Eq. (7.5), Eq. (7.6), Eq. (7.7), Eq. (7.8), Eq. (7.9), Eq. (7.10) e Eq. (7.11)

mostram a determinação dos parâmetros do GPC em função dos polinômios A e B que

formam a função de transferência de cada elo do robô.

• Definir os parâmetros do sistema (A e B): identificação online (MQR)

( )( ) 2

21

1

21

10

zaza1

zbzb

ku

ky−−

−−

⋅+⋅+⋅+⋅

=

( ) ( ) ( ) ( )

=⋅+=

⋅−⋅−+⋅−+=⋅+⋅+⋅−=

⋅+⋅+=

−

−−−−−−

−−

1d

zbbB

zazaaz1a1zaza1z1A

zaza1A

110

32

212

11

22

11

1~

22

11

(7.2)

• Obter os termos da matriz G:

( ) ( )

⋅+=

⋅+⋅−+−=

=

=−

−−

1101

22

12111

1

zbbG

zazaaa1F

1E

0i

60

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )( ) ( )

za1bza1bzbb

zbbza11BEG

za1aza1aaa

a11aaazszssF

a1aa1a0ra3Fs

a1aaara2Fs

a11aaara1Fs

za11zrEE

a10Fr

1i

211

110

110

110

1122

212

11122

11212

21-

102

121213

~

12

112212

~

11

112111

~

10

11

1112

111

⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+=

⋅+⋅⋅−+=⋅=

⋅−⋅+⋅−⋅−−+

−⋅−−−=⋅+⋅+=

−⋅=−⋅−−=⋅−=

−⋅−−=⋅−=

−⋅−−−=⋅−=

⋅−+=⋅+=

−==

=

−−−

−−

−−

−

−−

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }( ) ( ) ( )[ ]

zba11aaa

zba1ba11aaazbba1b

zbbza11aaaza11BEG

za11aaaa

za11aaaaaa1a

a11aaa1aa1aaa

zszssF

a11aaaaa11aaaa0ra3Fs

a11aaaaaa1ara2Fs

a11aaa1aa1aaara1Fs

za11aaaza11zrEE

a11aaa0Fr

2i

311121

21101121

11010

110

21121

1133

2-11212

111211212

112111122

2-2

1-103

112121121223

~

22

1121121222

~

21

11211112221

~

20

21121

11

2223

112122

⋅⋅−⋅−−−+

⋅⋅−+⋅−⋅−−−+⋅+⋅−+=

=⋅+⋅⋅−⋅−−−+⋅−+=⋅=

⋅−⋅−−−⋅+

⋅−⋅−−−⋅−−−⋅+

−⋅−−−⋅−−−⋅−−=⋅+⋅+=

−⋅−−−⋅=−⋅−−−⋅−−=⋅−=

−⋅−−−⋅−−−⋅=⋅−=

−⋅−−−⋅−−−⋅−−=⋅−=

⋅−⋅−−−+⋅−+=⋅+=

−⋅−−−==

=

−

−−

−−−

−

−−−

=

012

01

0

ggg

0gg

00g

G

( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ){ } ( )[ ]

+⋅−⋅−+⋅−⋅−−−+⋅−=

01011101121

0101

0

bbba1ba1ba11aaa

0bbba1

00b

G (7.3)

61

• Obter os termos referentes aos dados passados da lei de controle:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2kub1kub2kya1kyaakya1

ku∆gzGkyzF1kf

112211

01

11

1

−⋅−−⋅+−⋅+−⋅−+⋅−=⋅⋅−+⋅=+ −−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2kuf1kuf2kyf1kyfkyf1kf 1413121110 −⋅+−⋅+−⋅+−⋅+⋅=+ (7.4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2kua1b1kua1b2-kya1a

1kya1aaakya11aaa

ku∆zggzGzkyzF2kf

111112

11221121

110

12

112

−⋅−⋅−−⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅−−+⋅−⋅−−−=

⋅⋅⋅+−+⋅=+ −−−


( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )2kuba11aaa

1kuba11aaa2-kya11aaaa

1kya11aaaaaa1a

kya11aaa1aa1aaa

ku∆zgzggzGzkyzF3kf

11121

1112111212

11211212

112111122

22

110

13

213

−⋅⋅−⋅−−−−−⋅⋅−⋅−−−+⋅−⋅−−−⋅+

+−⋅−⋅−−−⋅−−−⋅+⋅−⋅−−−⋅−−−⋅−−=

⋅⋅⋅+⋅+−+⋅=+ −−−−


• Montar os vetores f e r:

+++

=3)f(k

2)f(k

1)f(k

f

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

−⋅⋅−⋅−−−−−⋅⋅−⋅−−−+

⋅−⋅−−−⋅++−⋅−⋅−−−⋅−−−⋅+

⋅−⋅−−−⋅−−−⋅−−=+−⋅−⋅−−⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅−−+⋅−⋅−−−=+

−⋅−−⋅+−⋅+−⋅−+⋅−=+

2kuba11aaa

1kuba11aaa

2-kya11aaaa

1kya11aaaaaa1a

kya11aaa1aa1aaa)3k(f

2kua1b1kua1b2-kya1a

1kya1aaakya11aaa)2k(f

2kub1kub2kya1kyaakya1)1k(f

11121

11121

11212

11211212

112111122

111112

11221121

112211

(7.7)

A trajetória de referência pode ser considerada constante e igual ao set point atual:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]TT krkrkr3kr2kr1kr =+++=r (7.8)

62

• Conhecendo todas as variáveis da lei de controle, é possível encontrar a ação de

controle:

( ) ( )frGIGGu −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=− TT 1

( )

=⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=−

333231

232221

1312111

ppp

ppp

ppp

P TT GIGG (7.9)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−⋅−

=−

3

2

1

3433323130

2423222120

1413121110

rf

rf

rf

2kuf1kuf2kyf1kyfkyfkr



fr (7.10)

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

=

333232131

323222121

313212111

rfprfprfp

rfprfprfp

rfprfprfp

u

Para um instante k:

( ) ( ) 313212111 rfprfprfp1kuku ⋅+⋅+⋅+−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )krppp2kupfpfpf

1kupfpfpf12kypfpfpf

1kypfpfpfkypfpfpfku

131211133412241114

133312231113133212221112

133112211111133012201110

⋅+++−⋅⋅+⋅+⋅−−⋅⋅+⋅+⋅+−−⋅⋅+⋅+⋅−

−⋅⋅+⋅+⋅−⋅⋅+⋅+⋅−= (7.11)

Outro aspecto importante a ser considerado é que a lei do controlador adaptativo

necessita de informações de dados passados e que, durante as primeiras iterações, não há

nenhum dado armazenado, necessitando de um controlador inicial que não requer os

mesmos, ou ser conhecido ou atribuído valores pertinentes para os mesmos. Nesse trabalho

será implementado um controlador proporcional discreto para as primeiras iterações (Tp

amostras), cuja lei de controle é dada na Eq. (7.12), resultando no diagrama de blocos da

Fig. (7.1).

( ) ( )keKku pp ⋅= (7.12)

63

Figura 7.1 – Chaveamento após Tp amostras entre o controlador proporcional e o

adaptativo para armazenar inicialmente informações do passado

7.2.1 Resultados obtidos com o GPC adaptativo apenas com restrição fortemente

ativa

Os resultados de importância para esse trabalho é o deslocamento do robô em

relação à referência, sendo necessária a inclusão das equações na rotina de relação entre

tensão e posição das réguas potenciométricas, dadas na Eq. (3.1), Eq. (3.2) e Eq. (3.3).

Porém, para diminuir o esforço computacional a cada iteração, as mesmas só foram

utilizadas ao final do programa, quando todos os valores de entradas e saídas estavam

armazenados. Para esses mesmos vetores, foram também observados os valores de tempo

de subida (ou descida), tempo de acomodação, sobre-sinal e erro de regime permanente,

observando que as condições exigidas para meu sistema era de um sobre-sinal inferior a

20% e erro de regime permanente inferior a ±5%.

Os valores dos parâmetros dos controladores proporcionais iniciais foram

definidos de forma que o sistema respondesse sem apresentar um sobre-sinal elevado

durante seu período de atuação de 25 amostras. Sendo obtido experimentalmente para os

mesmos, os ganhos Kp’s apresentados na Eq. (7.13).

64

=

=

=

3,0K

3,0K

3,0K

pz

py

px

(7.13)

Para os fatores de esquecimento foram atribuídos valores iguais à unidade, Eq.

(7.14), pois o sistema não sofre grandes variações sobre o período de tempo analisado.

=λ

=λ

=λ

1

1

1

mqrZ

mqrY

mqrX

(7.14)

Diversas combinações foram atribuídas para os parâmetros ponderadores da

variável de controle e do erro quadrático da função custo do GPC, algumas das quais

expostas na Tab. (7.1), Tab. (7.2) e Tab. (7.3), obtendo os respectivos resultados para os

critérios de desempenho do sistema. Observar que os resultados obtidos foram para sete

pulsos, cada um com 100 amostras, ou seja, aproximadamente 2 minutos e 20 segundos de

operação.

65


adaptativo (elo X), baseados nas respostas da Fig. (7.2), Fig. (7.3) e Fig. (7.4)

λgpcX ρgpcX Pulso ts(s) tr(s) emáx ss

Teste 1

0,5 0,5

1 0,68 - 11% 17%

2 0,55 - 29% 7%

3 0,55 - 20% 32%

4 0,6 - 22% 10%

5 1,06 - 25% 18%

6 1,13 - 35% 7%

7 0,65 - 15% 25%

Teste 2

0,5 1,0

1 0,6 - 30% 11%

2 0,55 - 25% 7%

3 0,55 - 26% 24%

4 1,3 - 35% 10%

5 0,7 - 33% 30%

6 0,8 - 32% 12%

7 0,52 - 35% 26%

Teste 3

1,0 0,5

1 0,54 - 7% 16%

2 0,57 - 12% 10%

3 0,45 - 38% 38%

4 0,6 - 6% 1%

5 1,24 - 9% 31%

6 0,55 - 17% 6%

7 0,55 - 21% 8%

66



67


68


adaptativo (elo Y), baseados nas respostas da Fig. (7.5), Fig. (7.6) e Fig. (7.7)

λgpcY ρgpcY Pulso ts(s) tr(s) emáx ss

Teste 1

0,5 0,5

1 6,25 - 25% 0%

2 1 - 20% 10%

3 0,25 - 70% 42%

4 0,66 - 30% 25%

5 1,45 - 90% 38%

6 1,46 - 40% 3%

7 0,4 - 33% 70%

Teste 2

0,5 1,0

1 6 - 45% 0%

2 1,1 - 70% 35%

3 0,18 - 72% 70%

4 0,75 - 40% 25%

5 0,91 - 63% 60%

6 0,89 - 70% 17%

7 0,73 - 74% 70%

Teste 3

1,0 0,5

1 6,1 - 7% 0%

2 1,1 - 60% 9%

3 0,27 - 10% 36%

4 0,26 - 8% 27%

5 1,2 - 7% 9%

6 1,7 - 9% 0%

7 0,56 - 15% 100%

69



70


71


adaptativo (elo Z), baseados nas respostas da Fig. (7.8), Fig. (7.9) e Fig. (7.10)

λgpcZ ρgpcZ Pulso ts(s) tr(s) emáx ss

Teste 1

0,5 0,5

1 5,84 - 42% 0%

2 0,75 - 20% 6%

3 0,5 - 32% 30%

4 0,54 - 21% 23%

5 0,55 - 75% 15%

6 1,38 - 40% 10%

7 0,78 - 38% 39%

Teste 2

0,5 1,0

1 5,8 - 22% 0%

2 0,7 - 35% 13%

3 0,68 - 70% 41%

4 0,69 - 41% 18%

5 0,98 - 62% 20%

6 0,88 - 42% 19%

7 0,96 - 61% 75%

Teste 3

1,0 0,5

1 0,75 - 24% 10%

2 0,81 - 15% 20%

3 0,53 - 30% 13%

4 0,67 3,14 4% 10%

5 0,55 - 12% 12%

6 1,66 - 25% 10%

7 0,71 - 14% 20%

72



73


Em vista dos resultados obtidos, temos que os melhores resultados entre os

listados anteriormente para todos os elos ocorreram quando λ = 1 e ρ = 0,5, assim foram

realizados outros testes com combinações de λ e ρ, de forma que λ fosse maior do que ρ,

visto que essa condição se mostrou a mais satisfatória na maioria dos testes experimentais

para todos os três elos.

Entre os testes realizados, os melhores valores para os parâmetros dos

controladores foram os dados na Eq.(7.15), cujas respostas estão nas figuras a seguir.

=ρ

=λ

=ρ

=λ

=ρ

=λ

4,0

7,1

5,0

7,2

4,0

6,2

gpcZ

gpcZ

gpcY

gpcY

gpcX

gpcX

(7.15)

74

Figura 7.11 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros

Figura 7.12 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros

75

Figura 7.13 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros

Os parâmetros em todos os experimentos convergiram para valores relativamente

próximos. Para os melhores resultados, o comportamento dos parâmetros pode ser visto na

Fig. (7.14), em que os parâmetros convergiram para os valores da Eq. (7.16), Eq. (7.17) e

Eq. (7.18).

76


adaptativo com os melhores parâmetros

−

=

5,0

15,0

23,0

23,1

b

b

a

a

X1

X0

X2

X1

(7.16)

−

=

01,0

72,0

68,0

66,1

b

b

a

a

Y1

Y0

Y2

Y1

(7.17)

−

=

64,0

02,0

18,0

17,1

b

b

a

a

Z1

Z0

Z2

Z1

(7.18)

Como apresentado na Eq. (4.23), transcrita a seguir, a estimação dos parâmetros

está diretamente relacionada ao erro de estimação, assim, quando o mesmo vai diminuindo,

77

os mesmos tendem a se estabilizar, como apresentado na Fig. (7.14). A seguir na Fig.

(7.15) temos, para o mesmo teste, que o erro de estimação vai tendendo a valores próximos

de zero, justificando a convergência dos parâmetros.

( ) ( ) ( ) ( )1ke1kKk1k +⋅++θ=+θ∧∧


adaptativo com os melhores parâmetros

Nos gráficos das respostas de cada elo, Fig. (7.11), Fig. (7.12) e Fig.(7.13), é

possível observar que os resultados melhoraram, entretanto continuam a não satisfazer os

critérios de desempenho desejado, visto que o erro de regime permanente ultrapassa a

margem dos ±5%, além de que a maioria dos sobre-sinais ultrapassa a margem desejada de

20%.

Para essas condições foram observadas grandes oscilações da variável de controle,

como apresentada na Fig. (7.16).

78


com os melhores parâmetros

7.3 GPC ADAPTATIVO COM RESTRIÇÃO FORTEMENTE ATIVA E COM

RESTRIÇÃO FRACAMENTE ATIVA

Devido ao funcionamento oscilatório da variável de controle apresentado na Fig.

(7.16), que apresenta um dos melhores resultados obtidos experimentalmente, foi

procurada uma solução para esse controlador no sistema em questão.

Uma solução possível é restringir a variável de controle quando a resposta do

sistema se aproxima do set-point, tal técnica foi descrita na seção (6.6).

Nesse sistema, em que o sinal de excitação está representado pela linha vermelha

na Fig. (7.17), foi observado que estando o pistão em uma posição inferior a da referência,

conforme áreas rosas na Fig. (7.17), o atuador precisa avançar o pistão para alcançar a

referência, porém com menor intensidade, requerendo um truncamento nesse trabalho de

(2,5 + 0,024)V.

79

Enquanto que estando o pistão em uma posição superior a da referência, conforme

áreas azuis na Fig. (7.17), o atuador precisa recuar o pistão para alcançar a referência,

analogamente, requerendo um truncamento nesse trabalho de (2,5 – 0,024)V.

A área verde da Fig. (7.17) está distante da condição de set-point, não requerendo

restrição da variável de controle. Nesse trabalho foi considerada uma margem de 0,2V em

torno do set-point, cujas relações com o posicionamento podem ser obtidas pelas Eq. (3.1),

Eq. (3.2) e Eq. (3.3).

Figura 7.17 – Áreas de atuação da restrição das variáveis de controle em torno do set-point

Por não ser aplicada em todos os pontos de operação, essa restrição é tida como

fracamente ativa por aproximação do set-point, a rotina completa para o GPC adaptativo

com restrição na variável de controle se encontra no Apêndice E.

80

7.3.1 Resultados obtidos com o GPC adaptativo com restrição fortemente ativa e com

restrição fracamente ativa

Partindo da melhor solução obtida sem a restrição da variável de controle, obtida

para os parâmetros da função custo do GPC da Eq. (7.15), temos os resultados

apresentados na Fig. (7.18), na Fig. (7.19) e na Fig. (7.20).

Figura 7.18 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com

restrição na variável de controle ux

81

Figura 7.19 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com

restrição na variável de controle uy

Figura 7.20 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com

restrição na variável de controle uz

82

Para o elo X, a condição de sobre-sinal menor que 20% foi satisfeita, enquanto

que a condição de erro de regime permanente em alguns pontos não foi satisfeita. Para os

elos Y e Z nenhuma das condições foi satisfeita, exceto por alguns pulsos. Entretanto o

controlador melhorou significativamente com a inclusão da restrição por set-point. Segue

na Fig. (7.21) o comportamento da variável de controle, que apresentou uma oscilação de

menor amplitude devido à restrição.


com os melhores parâmetros com restrição das mesmas

Foram também obtidos os comportamentos dos parâmetros e do erro de

estimação, respectivamente Fig. (7.22) e Fig. (7.23).

83


adaptativo com os melhores parâmetros com restrição das variáveis de controle


adaptativo com os melhores parâmetros com restrição das variáveis de controle

84

7.4 GPC HÍBRIDO (PD + GPC)

Segundo CORREIA (2010) um mecanismo de controle adaptativo deve incluir

amostras da saída do sistema e do sinal de controle, além de atualizar parâmetros do

controlador de modo a garantir o seguimento de referência. Neste sentido, pode-se

imaginar a existência de outro sinal de controle que possa coexistir com o sinal do GPC

calculado. Esta idéia se fundamenta no princípio da hibridização de controladores, em que

dois tipos de controladores são combinados para produzir um único sinal de controle.

A saída de qualquer sistema apresenta uma inércia com relação a modificações na

variável de entrada. Essa inércia faz com que uma mudança na variável de controle

provoque uma mudança na saída do sistema somente após certo intervalo de tempo,

podendo esse atraso gerar transitórios com grande amplitude e período de oscilação.

Sabendo que a principal função do compensador avanço de fase é reconfigurar a

curva de resposta em freqüência para conseguir um ângulo de avanço de fase suficiente

para compensar o atraso de fase excessivo associado aos componentes de um sistema

(OGATA, 200%). E supondo a possibilidade das oscilações do GPC adaptativo serem

devidas a inércia do sistema, foi projetado um compensador em avanço para atuar em

conjunto ao GPC adaptativo. Esse compensador foi o controlador Proporcional-Derivativo

(PD), resultando no diagrama de blocos da Fig. (7.24).

Figura 7.24 – Diagrama de blocos do GPC híbrido (PD + GPC adaptativo)

85

A escolha do PD foi devido ao fato do mesmo funcionar como um "antecipador"

da ação de controle e, consequentemente, do sistema reagir mais rapidamente. Assim, o

sinal de controle a ser aplicado é proporcional a uma predição da saída do sistema, Fig.

(7.25). Esta ação preditiva a princípio tende a aumentar a estabilidade relativa do sistema e

a tornar a resposta transitória mais rápida.

Figura 7.25 – Interpretação Gráfica do controlador PD

A lei de controle para o PD discreto é dada na Eq. (7.18).

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( )[ ]1kekeTKkeK1kekeTkeKku dppdppd −−⋅⋅+⋅=−−⋅+⋅= (7.19)

Observar que a lei de controle do GPC adaptativo não será alterada, tendo suas

equações que utilizam a variável de controle apenas influência da própria variável de

controle gerada pelo GPC adaptativo, não da soma resultante dos dois controladores (PD +

GPC adaptativo), como é possível observar na rotina do Apêndice F.

7.4.1 Resultados obtidos com o GPC híbrido (PD + GPC adaptativo)

Partindo da solução para os parâmetros da função custo do GPC da Eq. (7.15) e

após testes com várias combinações para os Kp’s e os Td’s do PD discreto, foi obtido com

os GPC híbridos as respostas dos elos X, Y e Z, respectivamente apresentadas na Fig.

(7.26), na Fig. (7.27) e na Fig. (7.28), em que os parâmetros do PD com os melhores

resultados obtidos estão expostos na Eq. (7.20), observar que o tempo derivativo (Td) é o

intervalo de tempo pelo qual a ação derivativa avança o efeito da ação proporcional.

86

=

==

==

=

005,1T

3,0K

2,1T

3,0K

1T

3,0K

dZ

Z2p

dY

Y2p

dX

X2p

(7.20)

Figura 7.26 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo híbrido com os melhores

parâmetros

87

Figura 7.27 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo híbrido com os melhores

parâmetros

Figura 7.28 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo híbrido com os melhores

parâmetros

88

Para o elo X, a condição de sobre-sinal menor que 20% foi satisfeita, enquanto

que a condição de erro de regime permanente em alguns pontos não foi satisfeita. Para os

elos Y e Z nenhuma das condições foi satisfeita, exceto por alguns pulsos. Entretanto o

controlador melhorou significativamente com a inclusão do PD. Segue na Fig. (7.29) o

comportamento da variável de controle.


híbrido com os melhores parâmetros

Foram também obtidos os comportamentos dos parâmetros e do erro de

estimação, respectivamente Fig. (7.30) e Fig. (7.31).

89


adaptativo híbrido com os melhores parâmetros


adaptativo híbrido com os melhores parâmetros

90

7.5 RESPOSTAS DO SISTEMA SOB AÇÃO DOS CONTROLADORES

Foram sobrepostos os gráficos obtidos para as respostas das três variações de GPC

projetados nesse trabalho, com o objetivo de facilitar a comparação de desempenho do

sistema sob ação dos mesmos. A Fig. (7.32), Fig. (7.33) e Fig. (7.34) apresentam as

respostas sobrepostas para os elos, X, Y e Z, respectivamente.

Figura 7.32 – Respostas sobrepostas do elo X para o GPC adaptativo e suas variações com

seus melhores parâmetros

91

Figura 7.33 – Respostas sobrepostas do elo Y para o GPC adaptativo e suas variações com


Figura 7.34 – Respostas sobrepostas do elo Z para o GPC adaptativo e suas variações com


92

7.6 ESFORÇO DA VARIÁVEL DE CONTROLE

Um fator que foi analisado em todos os experimentos expostos nesse capítulo foi

o esforço médio da variável de controle, Eq. (7.21). Este fator indica o valor médio do

quadrado da variável de controle “u”. De uma forma geral, quanto menor o seu valor,

melhor é o desempenho do sistema.

( )

N

ku

Esforço

N

1k

2

MédioU

∑== (7.21)

Na Tab. (7.4) são apresentados os valores para cada elo nos experimentos

realizados anteriormente para o GPC adaptativo, GPC adaptativo com restrição em torno

do set-point e GPC híbrido, para os parâmetros da função custo do GPC dados na Eq.

(7.15).

Tabela 7.4 – Esforço médio da variável de controle para cada elo do robô manipulador

Elo X Elo Y Elo Z

GPC adaptativo 0,01363460 V2 0,00931446 V2 0,02288360 V2

GPC adaptativo com restrição de u 0,00375111 V2 0,00506663 V2 0,00500708 V2

GPC híbrido 0,00466070 V2 0,00515047 V2 0,00507018 V2

7.7 CONCLUSÃO

Nesse capítulo foi apresentado as etapas experimentais da implementação do

controlador adaptativo preditivo desenvolvido para os três elos do robô manipulador,

mostrando gráficos de respostas no tempo, além de serem desenvolvidos variações do

controlador GPC, uma adicionando restrições, outra somando ao mesmo uma ação

proporcional-derivativa. Também foram apresentados gráficos de evolução dos parâmetros

do sistema, de erro de estimação entre a resposta experimental e a estimada,

comportamentos e esforços médios das variáveis de controle.

CAPÍTULO 8

-

CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho teve como objetivo apresentar o projeto de controladores adaptativos

para o posicionamento dos três elos de um robô manipulador eletropneumático.

No projeto do controlador para o sistema, foi considerado a independência de

cada um dos três controladores, como três sistemas SISO (Simple Input, Simple Output),

assim o erro do sistema foi considerado independente em cada elo, não levando em

consideração a soma dos vetores i, j e k para os respectivos elos.

A modelagem do sistema foi feita de forma empírica, utilizando o método dos

mínimos quadrados recursivo para um modelo paramétrico obtido em SOUZA (2010) e

MEIRA (2010), que possui dois pólos, um zero e um atraso de transporte.

O controlador adaptativo desenvolvido para o sistema foi o GPC, além de suas

variações, GPC com restrição da variável de controle e GPC híbrido. As especificações de

desempenho exigidas para o sistema foram, quanto ao sobre-sinal e ao erro de regime

permanente, 20% e ±5%, respectivamente.

Para o controlador GPC adaptativo a especificação de sobre-sinal, para os três

elos, foi atendida na maioria dos experimentos realizados, entretanto a condição de erro em

regime permanente não foi atendida para os três elos em quase nenhum pulso dos

experimentos.

Com os resultados não satisfatórios com o uso do controlador GPC adaptativo

diante de trabalhos com outros controladores para o mesmo sistema (SOUZA, 2010,

MEIRA 2010), foram buscadas alternativas para melhorar seu desempenho.

Como foi observada uma grande oscilação da variável de controle do GPC

adaptativo em torno da referência, foi realizada uma restrição do tipo terminal

(aproximação da referência) como primeira alternativa.

94

Uma segunda alternativa foi justificada pelas oscilações da resposta do sistema

serem, possivelmente, devido a inércia do sistema. Sendo então proposto a adição de um

controlador proporcional derivativo à ação do GPC adaptativo.

As duas alternativas apresentaram uma melhora no comportamento, apresentando

uma resposta oscilatória com menor amplitude e freqüência, como é possível observar nas

curvas de respostas sobrepostas da Fig. (7.31), Fig. (7.32) e Fig. (7.34).

Ao comparar as duas alternativas, os resultados para as respostas foram similares

para os elos X e Z, enquanto para o elo Y a resposta para o GPC restrito foi mais adequada

que a do GPC híbrido, uma vez que o último apresentou elevados picos durante recuos da

referência. Somado a isso, os valores obtidos para os esforços médios das variáveis de

controle apresentados na Tab. (7.4) e os obtidos para os erros de estimação atribuíram os

melhores resultados para o GPC restrito. Entretanto analisando o comportamento das

variáveis de controle, o GPC híbrido apresentou uma resposta mais condizente com o

esperado, pois é oscilatória em todos os pontos, diferentemente do GPC com restrição, que

apresentou apenas curvas saturadas em sua limitação.

Uma outra característica identificada para o GPC adaptativo foi que a variável de

controle deveria possuir menor ponderação sobre o erro, ou seja, o parâmetro “ρ”, da sua

lei de controle, deveria ser menor que o “λ”, pois os resultados apresentaram respostas com

oscilações de menores freqüências.

A inclusão do fator de esquecimento do estimador MQR não apresentou melhoras

significativas na resposta do sistema, pois o sistema não sofre grandes variações sobre o

período de tempo analisado.

Os sistemas pneumáticos possuem as seguintes vantagens: facilidade de obtenção

(volume ilimitado), não apresenta riscos de faísca em atmosfera explosiva, fácil

armazenamento e transporte, matéria prima não poluente, entre outras.

Entretanto, todos os sistemas pneumáticos sofrem de uma limitação severa,

caracterizada pela compressibilidade do ar. Esse efeito é não-linear e apresenta

conseqüências significativas sobre o desempenho desses sistemas, particularmente no que

concerne seu grau de precisão em tarefas de posicionamento. (SOBRINHO, 2009). Além

disso, a fonte de ar comprimido não ideal, vazamentos em diversos pontos do sistema

(bocais, orifícios, válvulas), atrito dos elos, resistência do ar, influência da gravidade,

vibrações devido a não simetria dos elos, desconsideração das massas sobre os elos,

95

corrente de ar nas tubulações não laminar, baixo poder de processamento do PC, são

algumas das possíveis causas para o difícil controle do sistema.

Como sugestões para trabalhos futuros estão: análise da influência de uma carga

no sistema, desenvolvimento de um sistema de controle para pressão da fonte de ar não

ideal, análise quantitativa do efeito da pressão de alimentação no sistema, utilização de um

modelo para o sistema de ordem superior, além de variações de controladores adaptativos e

preditivos.

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APÊNDICE A

–

FATOR DE ESQUECIMENTO

Como o algoritmo do MQR trabalha com valores passados de forma recursiva e se

os dados forem adequados para a identificação, o ganho do estimador (K) tende a zero,

tendo em vista que o mesmo é calculado a partir do erro que tem média nula. Assim, as

estimativas tendem a se tornar constantes e, consequentemente, se o sistema sofrer alguma

alteração, será necessário um tempo elevado para que as estimativas convirjam para o novo

valor, dizendo então que o algoritmo adormeceu.

Assim, para um algoritmo de capacidade de adaptação mínima é atribuído um

peso maior às novas medidas, esse peso é denominado fator de esquecimento, como o

nome sugere, ele dar menor ênfase aos valores de medidas mais ultrapassadas.

O valor do fator de esquecimento tem de estar entre zero e um, tendo em vista o

funcional de custo, Eq. (A.1), pois valores mais passados do erro recebem uma

exponencial maior na ponderação e, consequentemente, uma menor ponderação, ou seja, as

medidas velhas são exponencialmente “esquecidas”.

( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]∑∑=

−

=

− ⋅λ=θ⋅ϕ−⋅λ=N

1t

2tNe

N

1t

2TtNemqr tettyJ (A.1)

Assim, partindo do algoritmo do MQR sem fator de esquecimento e adicionando

o mesmo, é obtido um algoritmo mais adequado a sistemas variantes no tempo.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

⋅+ϕ⋅+−⋅λ

=+

+⋅++θ=+θ

+ϕ⋅⋅+ϕ+λ+ϕ⋅=+

θ⋅+ϕ−+=+

∧∧

∧

kP1k1kKkP1

1kP

1ke1kKk1k

1kkP1k

1kkP1kK

k1k1kY1ke

T

e

Te

T

(A.2)

APÊNDICE B

–

EQUAÇÃO DIOFANTINA

O termo “diofantina” é uma homenagem ao grego Diofante, que por volta de

250d.C. realizou um estudo sistemático de soluções de equações com coeficientes e

incógnitas inteiras.

Segundo SILVA (2004, apud KUCERA, 1979), essa terminologia foi estendida

para equações polinomiais, devido ao fato que, sob o ponto de vista da álgebra abstrata, os

inteiros e polinômios são “entidades” semelhantes, além de que as equações diofantinas

polinomiais lineares são dadas na forma da Eq. (B.1), em que A(z – 1), B(z – 1) e C(z – 1) são

polinômios conhecidos em z – 1, enquanto R(z – 1) e F(z – 1) são suas incógnitas também na

forma polinomial.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111 zCzFzBzRzA −−−−− =⋅+⋅ (B.1)

Nesse trabalho é utilizado um caso específico da Eq. (B.1), que é dado na Eq.

(B.2).

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) 1zFzzRzA

1zC

zzB

zAzAzA1i11

~

1

11

1~

11

=⋅+⋅→

=

=

=⋅∆=−−−−

−

−−

−−−

(B.2)

Como no problema tratado nesse trabalho, A(z – 1) é um polinômio mônico

(coeficiente unitário para o termo de maior potência), sendo Ã(z – 1) mônico também.

Assim, reescrevendo a Eq. (B.2) na forma da Eq. (B.3), a solução analítica é dada na Tab.

(B.1).

105

( )( ) ( )

( )1~

1i1

1~

zA

zFzzR

zA

1

−

−−−

−⋅+= (B.3)

Tabela B.1 – Solução Analítica da Equação Diofantina

Passo Resultado

1

Solução analítica é na forma:

( )

( )

( )1i

1

1i

1~

zFz

zR

zA1

−−

−

−

⋅

M

2

Sabendo que:

( )( )

( )[ ]( ) ( )

( ) ( )( )

⋅++⋅+=

⋅++⋅+=

⋅++⋅+⋅=⋅

+−−−

−−−−

−−−−−−

+

−

1n~

1~

1~

1i11

1n1i1i

a1an1

nai,i,1i

a

1ii,i,1i,0i

za...za1zA

zr...zr1zR

zf...zffzzFz

3

Substituindo:

( )( )

( )

( )

−⋅−−−⋅

+⋅+

⋅++⋅−

⋅++⋅+

−−

−−−

+−−

+

+

+

...za...az

...za1za...az

za...za11

a1an1

1a

1an1

a1an1

n~~

i

1~

n~~

1

1n~

1~

M

4

Observar:

A solução de R e de F vai depender da ordem desejada para o

polinômio R, ou seja, do valor de i, entretanto a ordem de F sempre

será a mesma do polinômio A.

APÊNDICE C

–

GRADIENTE DA FUNÇÃO CUSTO DO GPC

Em engenharia, um fator importante é a análise de custo do projeto desde sua

concepção a sua aplicação, sempre existindo a necessidade de minimizar as perdas em

todas as etapas. Essas perdas podem ser de matéria prima, energia, entre outras.

Sendo conhecida a função de perdas de um sistema, é possível calcular as

condições que a minimizam, bastando encontrar seus pontos críticos (pontos onde a

derivada é nula). Assim, aplicando o operador diferencial e igualando a zero, encontra-se

os possíveis pontos que minimizam a função.

Nesse trabalho, a função a ser minimizada possui mais de uma variável de

entrada, sendo mais adequado aplicar o operador gradiente, que resulta em um vetor com o

mínimo da função em relação a cada uma das variáveis, como apresentada na Eq. (C.1),

em que f é uma função de xf, yf e zf.

( )

∂∂

∂∂

∂∂=

→

fff z,

y,

xgrad

ffff (C.1)

Entretanto, é desejado saber apenas o valor da variável de controle (u) que

minimiza a função custo do sistema, Eq. (5.14).

( ) ( ) uurfuGrfuG ⋅⋅λ+−+⋅⋅−+⋅⋅ρ= TTJ (5.14)

Na equação reescrita anteriormente, é aplicado o operador diferencial com relação

à variável de controle (u), fazendo algumas manipulações, é obtida a lei de controle da Eq.

(5.15).

0u

J =∂∂

107

( ) ( )[ ] 0u

T =⋅⋅λ+−+⋅⋅−+⋅⋅ρ∂∂

uurfuGrfuG T

( ) ( )[ ] [ ] 0uu

T =⋅∂∂⋅λ+−+⋅⋅−+⋅

∂∂⋅ρ uurfuGrfuG T

( ) ( )[ ] [ ] 0TT =+⋅λ+⋅−+⋅+−+⋅⋅⋅ρ uuGrfuGrfuGG T

( ) ( ) 0uuGrfuGrfuGG =⋅λ+⋅λ+⋅−+⋅⋅ρ+−+⋅⋅⋅ρ TTT

Sabendo que:

( )TauxTauxaux

Taux ABBA ⋅=⋅ (C.2)

( )Tauxaux

Taux

Taux BABA +=+ (C.3)

Baseada na relação da Eq. (C.2), obtemos:

( ) ( )[ ] 0uurfuGGrfuGG =⋅λ+⋅λ+−+⋅⋅⋅ρ+−+⋅⋅⋅ρ TTTT

Utilizando a relação da Eq. (C.3), temos:

( )[ ] ( )[ ] 0urfuGGurfuGG =⋅λ+−+⋅⋅⋅ρ+⋅λ+−+⋅⋅⋅ρTTT

Fazendo ( ) urfuGGM ⋅λ+−+⋅⋅⋅ρ= T , a condição a seguir deve ser satisfeita:

TT MM 0MM −=→=+

A única solução possível é M ser uma matriz nula, como mostrado a seguir:

108

=

−=

→

=

=

000

000

000

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

jii2i1

2j2212

1j2211

ij2i1i

j22221

j11211

jii2i1

2j2212

1j2211

T

ij2i1i

j22221

j11211

L

MMM

L

L

L

MMM

L

L

L

MMM

L

L

L

MMM

L

L

L

MMM

L

L

M

M

Assim:

( ) 0urfuGGM =⋅λ+−+⋅⋅⋅ρ= T

( ) 0urfGuGG =⋅λ+−⋅⋅ρ+⋅⋅⋅ρ TT

( ) ( )rfGuIGG −⋅⋅ρ−=⋅⋅λ+⋅⋅ρ TT

( ) ( )frGIGGu −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=− TT 1 (5.15)

APÊNDICE D

–

ROTINA PARA O CONTROLADOR ADAPTATIVO

A seguir a rotina desenvolvida para MatLab®, observar que algumas variáveis de

entrada e saída são provenientes do ambiente LabView®, conforme Tab. (D.1) e Tab.

(D.2), em que a rotina se encontra dentro de um laço (loop).

%%% Indentificador MQR % Vetor de medida: 4x1 fix = [-x1; -x2; ux1; ux2]; fiy = [-y1; -y2; uy1; uy2]; fiz = [-z1; -z2; uz1; uz2]; % Calculo do erro: 1x1 Xest = tetax*fix; Yest = tetay*fiy; Zest = tetaz*fiz; errox = x - Xest; erroy = y - Yest; erroz = z - Zest; % Vetor ganho: 4x1 kx = px*fix/(lambbx + fix'*px*fix); ky = py*fiy/(lambby + fiy'*py*fiy); kz = pz*fiz/(lambbz + fiz'*pz*fiz); % Parametros estimados: 4x1 tetax = tetax' + kx*errox; tetay = tetay' + ky*erroy; tetaz = tetaz' + kz*erroz; % Matriz de covariancia: 4x4 px = 1/lambbx*(px - kx*fix'*px); py = 1/lambby*(py - ky*fiy'*py); pz = 1/lambbz*(pz - kz*fiz'*pz);

110

% Parametros estimados: 1x4 tetax = tetax'; tetay = tetay'; tetaz = tetaz'; if i <= TP %%% Controlador P ux = kpx*ex; uy = kpy*ey; uz = kpz*ez; else %%% Controle GPC %matriz identidade auxiliar I = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; %Vetor f(k+i) = Fi0*y(k) + Fi1*y(k-1) + Fi2*y(k-2) + Fi3*u(k-1) + Fi4*u(k-2) F10x = (1-a1x); F11x = (a1x-a2x); F12x = a2x; F13x = b1x; F14x = -b1x; F10y = (1-a1y); F11y = (a1y-a2y); F12y = a2y; F13y = b1y; F14y = -b1y; F10z = (1-a1z); F11z = (a1z-a2z); F12z = a2z; F13z = b1z; F14z = -b1z; F20x = F11x + F10x*F10x; F21x = F12x + F11x*F10x; F22x = F12x*F10x; F23x = b1x*F10x; F24x = -b1x*F10x; F20y = F11y + F10y*F10y; F21y = F12y + F11y*F10y; F22y = F12y*F10y; F23y = b1y*F10y; F24y = -b1y*F10y;

111

F20z = F11z + F10z*F10z; F21z = F12z + F11z*F10z; F22z = F12z*F10z; F23z = b1z*F10z; F24z = -b1z*F10z; F30x = F21x + F10x*F20x; F31x = F22x + F11x*F20x; F32x = F12x*F20x; F33x = b1x*F20x; F34x = -b1x*F20x; F30y = F21y + F10y*F20y; F31y = F22y + F11y*F20y; F32y = F12y*F20y; F33y = b1y*F20y; F34y = -b1y*F20y; F30z = F21z + F10z*F20z; F31z = F22z + F11z*F20z; F32z = F12z*F20z; F33z = b1z*F20z; F34z = -b1z*F20z; %Matriz G Gx=[b0x 0 0;(b1x+F10x*b0x) b0x 0;(F20x*b0x+F10x*b1x) (b1x+F10x*b0x) b0x]; Gy=[b0y 0 0;(b1y+F10y*b0y) b0y 0;(F20y*b0y+F10y*b1y) (b1y+F10y*b0y) b0y]; Gz=[b0z 0 0;(b1z+F10z*b0z) b0z 0;(F20z*b0z+F10z*b1z) (b1z+F10z*b0z) b0z]; %P=(beta*G'*G+lamb*I)^(-1)*beta*G'=[p11 p12 p13; p21 p22 p23; p31 p32 p33] PPx = ((betax*Gx'*Gx + lambx*I)^(-1))*betax*Gx'; p11x = PPx(1,1); p12x = PPx(1,2); p13x = PPx(1,3); p21x = PPx(2,1); p22x = PPx(2,2); p23x = PPx(2,3); p31x = PPx(3,1); p32x = PPx(3,2); p33x = PPx(3,3); PPy = ((betay*Gy'*Gy + lamby*I)^(-1))*betay*Gy'; p11y = PPy(1,1); p12y = PPy(1,2); p13y = PPy(1,3); p21y = PPy(2,1); p22y = PPy(2,2); p23y = PPy(2,3); p31y = PPy(3,1); p32y = PPy(3,2); p33y = PPy(3,3); PPz = ((betaz*Gz'*Gz + lambz*I)^(-1))*betaz*Gz'; p11z = PPz(1,1); p12z = PPz(1,2); p13z = PPz(1,3); p21z = PPz(2,1); p22z = PPz(2,2); p23z = PPz(2,3); p31z = PPz(3,1); p32z = PPz(3,2); p33z = PPz(3,3);

112

%Predicao w1x = wx; w1y = wy; w1z = wz; w2x = wx; w2y = wy; w2z = wz; w3x = wx; w3y = wy; w3z = wz; %Termos LeiControle: u = L1*y(k)+L2*y(k-1)+L3*y(k-2)+L4*u(k-1)+L5*u(k-2)+L6 L1x = -(F10x*p11x + F20x*p12x + F30x*p13x); L2x = -(F11x*p11x + F21x*p12x + F31x*p13x); L3x = -(F12x*p11x + F22x*p12x + F32x*p13x); L4x = 1 - (F13x*p11x + F23x*p12x + F33x*p13x); L5x = -(F14x*p11x + F24x*p12x + F34x*p13x); L6x = (p11x*w1x + p12x*w2x + p13x*w3x); L1y = -(F10y*p11y + F20y*p12y + F30y*p13y); L2y = -(F11y*p11y + F21y*p12y + F31y*p13y); L3y = -(F12y*p11y + F22y*p12y + F32y*p13y); L4y = 1 -(F13y*p11y + F23y*p12y + F33y*p13y); L5y = -(F14y*p11y + F24y*p12y + F34y*p13y); L6y = (p11y*w1y + p12y*w2y + p13y*w3y); L1z = -(F10z*p11z + F20z*p12z + F30z*p13z); L2z = -(F11z*p11z + F21z*p12z + F31z*p13z); L3z = -(F12z*p11z + F22z*p12z + F32z*p13z); L4z = 1 -(F13z*p11z + F23z*p12z + F33z*p13z); L5z = -(F14z*p11z + F24z*p12z + F34z*p13z); L6z = (p11z*w1z + p12z*w2z + p13z*w3z); %Lei de controle final ux = (L4x*ux1 + L5x*ux2 + L1x*x + L2x*x1 + L3x*x2 + L6x); uy = (L4y*uy1 + L5y*uy2 + L1y*y + L2y*y1 + L3y*y2 + L6y); uz = (L4z*uz1 + L5z*uz2 + L1z*z + L2z*z1 + L3z*z2 + L6z); end

113

Tabela D.1 – Variáveis de entrada do bloco do MatLab® no laço do LabView® (GPC

adaptativo)

Nome das Entradas Significado

i Contador de amostras.

TP Número de amostras em que o controlador proporcional

inicial atua.

kpx, kpy, kpz Ganhos proporcionais relativos aos controladores

proporcionais iniciais.

x, y, z Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas

no tempo amostrado (k).

x1, y1, z1 Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas

no tempo amostrado (k – 1).



wx, wy, wz Referências no tempo amostrado (k).

wx1, wy1, wz1 Referências no tempo amostrado (k – 1).

ex, ey, ez Erros entre posição medida e referência.

ux1, uy1, uz1 Variáveis de controle no tempo amostrado (k – 1).


px, py, pz Matriz de covariância.

tetax, tetay, tetaz Vetor de parâmetros de cada elo.

lambbx, lambby, lambbz Fatores de esquecimento relacionado a cada elo.

lambx, lamby, lambz Ponderadores da variável de controle da função custo do

GPC.

betax, betay, betaz Ponderadores do erro da função custo do GPC.

114

Tabela D.2 – Variáveis de saída do bloco do MatLab® no laço do LabView® (GPC

adaptativo)

Nome das Saídas Significado




Xest, Yest, Zest Posições estimadas dos elos no tempo amostrado (k).


errox, erroy, erroz Erro de estimação.

ux, uy, uz Variáveis de controle no tempo amostrado (k).



APÊNDICE E

–

ROTINA PARA O CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO

ADICIONADO DE RESTRIÇÃO DA VARIÁVEL DE CONTROLE

A rotina desenvolvida para MatLab® adicionando a restrição da variável de

controle foi análoga a rotina do Apêndice D, substituindo as últimas linhas (a partir do

comentário “Lei de controle final”) pela rotina a seguir, observar que as variáveis de

entrada e saída se mantiveram as mesmas da Tab. (D.1) e Tab. (D.2).

%Lei de controle final uux = (L4x*ux1 + L5x*ux2 + L1x*x + L2x*x1 + L3x*x2 + L6x); uuy = (L4y*uy1 + L5y*uy2 + L1y*y + L2y*y1 + L3y*y2 + L6y); uuz = (L4z*uz1 + L5z*uz2 + L1z*z + L2z*z1 + L3z*z2 + L6z); if ((x>=wx-0.2)&(x<=wx+0.2)&(abs(uux)>0.025)) if (x<wx) ux = 0.024; else ux = -0.024; end else ux = uux; end if ((y>=wy-0.2)&(y<=wy+0.2)&(abs(uuy)>0.025)) if (y<wy) uy = 0.024; else uy = -0.024; end else uy = uuy; end

116

if ((z>=wz-0.2)&(z<=wz+0.2)&(abs(uuz)>0.025)) if (z<wz) uz = 0.024; else uz = -0.024; end else uz = uuz; end end

APÊNDICE F

–

ROTINA PARA O CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO HÍBRIDO

(PD + GPC ADAPTATIVO)

A rotina desenvolvida para MatLab® adicionando a ação preditiva-derivativa foi

análoga a rotina do Apêndice D, substituindo as últimas linhas (a partir do comentário “Lei

de controle final”) pela rotina a seguir, observar que foram adicionadas novas variáveis de

entrada e saída conforme Tab. (F.1) e Tab. (F.2).

%Lei de controle final (ux1 e ux2 devem ser sem ser somados com upd) uux = (L4x*ux1 + L5x*ux2 + L1x*x + L2x*x1 + L3x*x2 + L6x); uuy = (L4y*uy1 + L5y*uy2 + L1y*y + L2y*y1 + L3y*y2 + L6y); uuz = (L4z*uz1 + L5z*uz2 + L1z*z + L2z*z1 + L3z*z2 + L6z); uxpd = kp2x*ex + kdx*(ex-ex1); uypd = kp2y*ey + kdy*(ey-ey1); uzpd = kp2z*ez + kdz*(ez-ez1); ux = uux+uxpd; uy = uuy+uypd; uz = uuz+uzpd; end

118

Tabela F.1 – Variáveis de entrada do bloco do MatLab® no laço do LabView® (PD +

GPC adaptativo)

Nome das Entradas Significado


TP Número de amostras em que o controlador proporcional

inicial atua.

kpx, kpy, kpz Ganhos proporcionais relativos aos controladores

proporcionais iniciais.

kp2x, kp2y, kp2z Ganhos proporcionais relativos ao PD.

kdx, kdy, kdz Ganhos derivativos relativos PD.








wx1, wy1, wz1 Referências no tempo amostrado (k – 1).

ex, ey, ez Erros entre posição medida e referência no tempo

amostrado (k).

ex1, ey1, ez1 Erros entre posição medida e referência no tempo

amostrado (k – 1).





lambbx, lambby, lambbz Fatores de esquecimento relacionado a cada elo.

lambx, lamby, lambz Ponderadores da variável de controle da função custo do

GPC.

betax, betay, betaz Ponderadores do erro da função custo do GPC.

119

Tabela F.2 – Variáveis de saída do bloco do MatLab® no laço do LabView® (PD + GPC

adaptativo)

Nome das Saídas Significado




Xest, Yest, Zest Posições estimadas dos elos no tempo amostrado (k).


ex, ey, ez Erros entre posição medida e referência.

errox, erroy, erroz Erro de estimação.

ux, uy, uz Variáveis de controle no tempo amostrado (k).

uux, uuy, uuz Contribuição apenas do GPC às variáveis de controle.



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