Produto cartesianoProduto cartesiano

Vejamos primeiramente o conceito de Vejamos primeiramente o conceito de

par ordenado:par ordenado:

Dados dois números Dados dois números x x e e y y numa certa ordem, numa certa ordem, chamamos de par ordenado ( x,y) ao par de chamamos de par ordenado ( x,y) ao par de

números números xx e e yy , , tais que tais que xx é o 1º elemento do par e é o 1º elemento do par e yy é o 2º elemento do par ordenado é o 2º elemento do par ordenado. .

Exemplo: ( 2, 3 ) Exemplo: ( 2, 3 ) xx = 2 e = 2 e yy = 3 = 3

( - 5 ; 3,2 ) x = -5 e y = 3,2 ( - 5 ; 3,2 ) x = -5 e y = 3,2

( x, y ) ( x, y )

Produto cartesianoProduto cartesiano

Sendo conhecidos os conjunto A e B: Sendo conhecidos os conjunto A e B:

A = { 3, 4, 5 } e B = { 1, 2 } A = { 3, 4, 5 } e B = { 1, 2 }

A x B = { ( 3,1), (3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)}A x B = { ( 3,1), (3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)}

Produto cartesiano A x B é o produto deProduto cartesiano A x B é o produto de

A por B, formado por pares ordenados onde o A por B, formado por pares ordenados onde o 1º elemento pertence ao 1º conjunto e 1º elemento pertence ao 1º conjunto e

o 2º elemento pertence ao 2º conjunto. o 2º elemento pertence ao 2º conjunto.

Todos elementos de A Todos elementos de A

3

4

5

1

2

A B

A x B

Em diagrama: Em diagrama:

RELAÇÃORELAÇÃO

Dados os conjuntos A e B, qualquer Dados os conjuntos A e B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B é subconjunto do produto cartesiano A x B é chamado de chamado de relação relação de A em B.de A em B.Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e B = { 1, 2, 3, 4 } e o Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e B = { 1, 2, 3, 4 } e o produto cartesiano A x B. produto cartesiano A x B.

A x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)} A x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)}

Qual é o conjunto dos pares A x B onde o 1º Qual é o conjunto dos pares A x B onde o 1º elemento é igual ao 2º elemento?elemento é igual ao 2º elemento?

R = { ( 1,1 ), (2,2) } R R = { ( 1,1 ), (2,2) } R ⊂ A x B ⊂ A x B

Lei de formação:Lei de formação:Existe uma lei de formação entre os Existe uma lei de formação entre os conjuntos A e B. No caso do exemplo conjuntos A e B. No caso do exemplo anterior temos:anterior temos:

R = { (x,y) | x R = { (x,y) | x ∈ A, y ∈ B e y = x } ∈ A, y ∈ B e y = x }

1

2

1

2

3

4Y = x

A B

DOMÍNIO E IMAGEM DOMÍNIO E IMAGEM

Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 }Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 }

e a relação R de A em B, tal que:e a relação R de A em B, tal que:

R = { { (x, y ) | x R = { { (x, y ) | x ∈ ∈ A, y A, y ∈ ∈ B e y = 2 x } B e y = 2 x }

R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) } R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) }

Domínio: { 1, 2, 3 ) primeiros elementos dos pares Domínio: { 1, 2, 3 ) primeiros elementos dos pares

Imagem: { 2, 4 6 } segundos elementos dos pares Imagem: { 2, 4 6 } segundos elementos dos pares

Relação InversaRelação Inversa

Seja dada a relação R, tal que:Seja dada a relação R, tal que:

R = { (1,3 ), (2, 5 ), ( 3, 8) }R = { (1,3 ), (2, 5 ), ( 3, 8) }

invertendo os valores dos pares obtemosinvertendo os valores dos pares obtemos

a relação inversa de Ra relação inversa de R

R R -1 -1 = { (3,1), (5, 2 ), (8, 3 ) } = { (3,1), (5, 2 ), (8, 3 ) }

FUNÇÕES FUNÇÕES

Sejam dois conjuntos A Sejam dois conjuntos A ≠ ≠ Ø e B Ø e B ≠ ≠ Ø , e uma Ø , e uma relação relação f f de A em B. Dizemos que de A em B. Dizemos que f f é uma é uma função ou aplicação de A em B se a todo função ou aplicação de A em B se a todo elemento x elemento x ∈ ∈ A associa-se um A associa-se um único único elemento elemento y y ∈B, ∈B, tal que o par ( x, y ) tal que o par ( x, y ) ∈ ∈ f. f.

Lemos: f : A B Lemos: f : A B

Ou y = f ( x ) Ou y = f ( x )

Observações:Observações:

1- Toda função é uma relação1- Toda função é uma relação

2- Nem toda relação é uma função. 2- Nem toda relação é uma função.

Vamos verificar os casos: Vamos verificar os casos:

Permitido:

f.

.

.

.

.

.

Vários elementos de A associarem-se ao mesmo elemento em B

.

.

.

.

.

f

Sobrar elementos em B

A B

A B

Proibido:

AB

Sobrar elementos em A

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A B

Um elemento de A associar-se a vários elementos em B

. . Domínio: Domínio:

É o conjunto de partida das flechas ( A ), É o conjunto de partida das flechas ( A ), são os valores de x na função.são os valores de x na função.

. . Contradomínio:Contradomínio:

É o conjunto de chegada das flechas ( B ), É o conjunto de chegada das flechas ( B ), são todos os valores de B.são todos os valores de B.

. . Imagem:Imagem:

São as respostas encontradas para o y. São as respostas encontradas para o y.

Imagem pode ser uma parte ou igual ao Imagem pode ser uma parte ou igual ao conjunto B conjunto B

FUNÇÃO SOBREJETORA Uma função f : A B é sobrejetora quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio B

FUNÇÃO INJETORA

Uma função f : A B é injetora quando a dois diferentes valores de A correspondem dois diferentes valores em B.

FUNÇÃO BIJETORA

Uma função f : A B é bijetora quando é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, ou seja quando a cada elemento de A corresponde um único elemento em B

Elaboração;Elaboração;

Meire de Fátima MoralezMeire de Fátima Moralez