Matemática I

Funções Definição Domínio e Imagem Função Composta Função Inversa

Sistema Cartesiano Par Ordenado Plano Numérico Gráficos em Distância entre Pontos

Conteúdo da Seção

2

2

Encontramos em nosso cotidiano diversas relações que envolvem grandezas, sendo que o valor que se obtém para uma delas depende do valor de uma ou mais outras grandezas.

Inicialmente, trabalharemos com situações que relacionem entre si apenas duas grandezas.

Funções

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a) O valor de imposto a ser pago (I) (ISS - Imposto Sobre Serviço) sobre um serviço depende do seu preço (p).

b) O preço a ser pago por uma refeição em um self-service (P) depende da quantidade de comida colocada no prato (k).

c) A receita obtida na venda de uma mercadoria ou serviço (R) depende da quantidade vendida dessa mercadoria ou desse serviço (q).

Funções Exemplos Práticos

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Nos exemplos anteriores:

a) Como o valor do Imposto (I) depende do preço do Serviço (p)?

b) Como o preço a ser pago (P) depende do peso (k)?

c) Como a receita (R) depende da quantidade (q)?

Funções Exemplos Práticos

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Chamamos I, P e R de VARIÁVEIS DEPENDENTES, pois seus valores dependem dos valores de p, k e q.

As variáveis p, k e q recebem o nome de VARIÁVEIS INDEPENDENTES.

As situações descritas nos exemplos a), b) e c) estabelecem uma relação de DEPENDÊNCIA entre duas variáveis.

Funções

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Podemos substituir, nas frases, a palavra DEPENDE pela palavra FUNÇÃO e dizermos que:

a) o Imposto (I) é FUNÇÃO do seu preço de venda (p);

b) o preço da refeição (P) é FUNÇÃO de seu peso (k);

c) a receita (R) é FUNÇÃO da quantidade vendida (q).

Funções

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Utilizamos, simbolicamente, uma notação que indica a existência de uma relação de dependência entre duas variáveis.

Notação Interpretação

a) I = f ( p ) O imposto ( I ) é função do preço ( p )

b) P = f ( k ) O preço ( P ) é função do peso ( k )

c) R = f ( q ) A receita ( R ) é função da quantidade ( q )

FunçõesNotação

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A LCL Comércio de Peças Ltda. emitiu uma nota fiscal

referente à venda de 4 produtos vendidos. A nota foi emitida

para seu cliente a José Bolinha Representações Ltda.

Identifique, na nota fiscal a seguir, uma função receita e

apresente-a utilizando a linguagem matemática.

Caso LCL Comércio de Peças Ltda.

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Caso LCL Comércio de Peças Ltda.

LRC Indústria Mecânica Ltda

Natureza da Operação

Destinatário / RemetenteNome/Razão Social

Endereço

Município

CNPJ

Telefone UF Inscrição Estadual

Inscrição Estadual

CEP

CNPJ/CPF

Bairro/Distrito

UNID QTDE Valor Unitário VALOR TOTAL

LCL Representações Ltda.

Praia de Botafogo 240/10 andar

(21) 25520345

22250-050

Rio de Janeiro. RJ

Botafogo

Descrição do Produto

Simples Remessa

Rolamento de Encosto.Rolamento de Agulha.Óleo Lubrificante.

Graxa para Rolamento.

Peça.

Peça.

Litro

kg

258

155

200

50

52,00

82,30

4,50

7,20

13416,00

12756,50

900,00

360,00

LCL Comércio de Peças Ltda.

Natureza da Operação

Destinatário / RemetenteNome/Razão Social

Endereço

Município

CNPJ

Telefone UF Inscrição Estadual

Inscrição Estadual

CEP

CNPJ/CPF

Bairro/Distrito

UNID QTDE Valor Unitário VALOR TOTAL

José Bolinha Representações Ltda.

Praia de Botafogo, 190/10° andar

(21) 25520345

22250-050

Rio de Janeiro RJ

Botafogo

Descrição do Produto

Simples Remessa

Rolamento NiqueladoRolamento de RodaÓleo de Caixa

Graxa para Rolamento

Peça.

Peça.

Litro

kg

258

155

200

50

52,00

82,30

4,50

7,20

13416,00

12756,50

900,00

360,00

Rua Capitão Pedro Lins, 65CEP 22793-078

Barra da Tijuca - Rio de Janeiro - Brasil33.333.333 / 0001-54

01/08/2010

1444

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A LCL Discos Ltda. está fazendo uma liquidação com CDs de MPB. Os CDs desse gênero musical estão sendo vendidos ao preço de R$25,00 a unidade.

a) Qual a expressão matemática que permite calcular a receita diária que a LCL terá na venda de q unidades dos CDs de jazz?

b) Um cliente comprou 20 CDs de jazz, qual foi a receita que a loja teve com essa venda?

Caso LCL Discos Ltda.

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A Receita depende da quantidade vendida: Receita Variável Dependente Quantidade Vendida Variável Independente

Matematicamente:

O cliente comprou 20 CDs, logo a receita foi de:

Caso LCL Discos Ltda.

Receita (Quantidade)

R(Quantidade) 25 Quantidade

f

R(20) 25 20 R$ 500,00

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Podemos agrupar as variáveis independentes e dependentes em dois conjuntos distintos.

Conjunto A É o conjunto formado pelas DIFERENTES quantidades q

que podem ser vendidas de uma determinada mercadoria ou serviço.

O conjunto formado pelas possíveis quantidades q (variáveis independentes) recebe o nome de DOMÍNIO.

Funções: Domínio

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Conjunto A

Funções: Domínio

Domínio – Variáveis Independentes

Variáveis Independentes = Quantidades Vendidas

q1

q2q3

q4

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Conjunto B O conjunto formado pelas diferentes RECEITAS obtidas da venda de possíveis QUANTIDADES de mercadorias ou serviços recebe o nome de CONJUNTO IMAGEM.

A receita recebe o nome de variável dependente (R), pois seus valores dependem das quantidades vendidas (variáveis

independentes).

Funções: Imagem

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Conjunto B

Funções: Imagem

R1

R2

R3

Imagem – Variáveis Dependentes

Variáveis Dependentes = Receitas Obtidas

R4

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Funções: Definições

• x é a variável independente da função.

• Domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x.

• y é a variável dependente da função.

• Imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de y, isto é, todos os valores gerados pela função por cada um dos valores do domínio.

• Um conjunto de dois números reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.

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Funções: Definições

função

• Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y), no qual dois pares distintos não têm o primeiro número do par em comum.

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Podemos ainda encarar as funções como “máquinas” processadoras.

Essa máquina é abastecida com uma “matéria-prima” (MP) chamada quantidade (Variável Independente).

A MP é “processada” por um processo chamado função.

A matéria-prima, após ser processada, fornece como “produto final (PF)” uma grandeza chamada Receita (Variável Dependente).

Funções

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A função é o processo que transforma as Variáveis Independentes, que formam o Domínio (MP), em Variáveis Dependentes, que formam a Imagem (PF).

Funções

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A LCL Lanchonetes Ltda. contratou recentemente uma nova cozinheira. A funcionária acertou um salário fixo mensal de R$500,00, mais R$2,00 por hora extra trabalhada.

a) Como contador da firma, expresse o salário (S), em reais, da cozinheira em função do número de horas extras (h) trabalhadas em um mês.

b) Calcule os salários mensais da cozinheira para 10, 15 e 20 horas extras trabalhadas no mês.

Caso LCL Lanchonetes Ltda.

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O salário da cozinheira é a soma do salário fixo com o salário variável.

O salário variável depende das horas extras trabalhadas no mês.

Matematicamente:

Caso LCL Lanchonetes Ltda.

Salário (horas) Salário Fixo Salário Variável

500 2 horas-extras

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O salário para 10 horas extras:

Para 15 horas extras:

Para 20 horas extras:

Caso LCL Lanchonetes Ltda.

Salário (10) 500 10 R$ 520,002

Salário (15) 500 15 R$ 530,002

Salário (20) 500 2 20 R$ 540,00

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Um conjunto de dois números reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.Exemplos:

O conjunto de todos os pares ordenados, formados por números reais, chama-se Plano Numérico, 2. Cada par ordenado (x, y) denomina-se Ponto do Plano Numérico.

Sistema CartesianoPar Ordenado e Plano Numérico

( 1; 2) , ( 2 ; 3 5), ( ; )x y

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Sistema CartesianoPlano Numérico

x

y

1o Quadrante2o Quadrante

3o Quadrante 4o Quadrante

ordenada

abscissa

(x,y)

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( )f x x

Função Gráficos em 2

x f(x)

0 0

2 2

Função Crescente

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Função Gráficos em 2

( ) 2f x x

x f(x)

0 0

2 -4

Função Decrescente

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Função Gráficos em 2

3( )f x x

x f(x)

-2 -8

0 0

2 8

28

3y x

Função Gráficos em 2

x f(x)

-2 8

0 0

2 -8

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Sejam P1 e P2 dois pontos em 2 representados pelos pares ordenados (2 ; 6) e (4 ; 10), respectivamente, encontre a distância entre eles.

Sugestão: Lembre-se do Teorema de Pitágoras. Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados de seus

catetos é igual ao quadrado de sua hipotenusa.

Sistema CartesianoDistância entre 2 Pontos

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Sistema CartesianoDistância entre 2 Pontos

P1

2 1

x x

D=?

2 222 1 2 1D x x y y

} 2 1y y

P2

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A distância entre P1(x1, y1) e P2(x2, y2) é dada por...

Essa distância é chamada de distância euclidiana.

Sistema CartesianoDistância entre 2 Pontos

2 21 2 2 1 2 1( ) ( )D PP x x y y

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Função Composta

( ( ))g f x g f x

• Dadas duas funções f e g, a função composta é representada por:

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Função Composta Exemplos

Dadas as funções , determine a função , seu domínio e sua imagem.

( ) e ( ) 2 4f x x g x x ( )f g x

( ) ( ( ))

2 4 2 4

1Domínio : , 2

Imagem :

f g x f g x

f( x) x

R

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Caso LCL Telefonia Ltda.

A LCL Telefonia Ltda. produz celulares para empresas de telecomunicações. A produção consiste de duas etapas distintas, que são executadas cada uma em um galpão diferente da empresa. A primeira etapa consiste da produção do circuito integrado, na qual existe uma perda de 5% das placas produzidas. A segunda etapa, na montagem dos aparelhos, que tem uma perda de 10% de produtos. A LCL recebeu um pedido de 1.000 celulares de um de seus clientes, e o gerente de produção deseja determinar quantos circuitos impressos deve mandar produzir para atender a esse pedido.

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Caso LCL Telefonia Ltda. Solução

Considere x o número de componentes que entram em uma etapa de produção.

A função de produção de circuito é dada por...

A função de montagem dos celulares é dada por...

( ) 0,95f x x

( ) 0,9g x x

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Caso LCL Telefonia Ltda. SoluçãoOrdem

de Fabricaçãode x circuitos Produção de

Circuitos

Montagemdos Celulares

Circuitos sem defeito

( ) 0,95f x x

Demanda do Cliente

( ) 0,9g x x

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Produção deCircuitos

Fixação de Chips

x

( )f x

Caso LCL Telefonia Ltda. Solução

g ( f(x) )

x

go f

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Caso LCL Telefonia Ltda. Solução

Logo, a função gof(x) é dada por...

O que desejamos é o valor de x para que o valor de gof (x) seja igual a 1.000.

( ( )) 0,9(0,95 ) 0,855g f x x x

0,855 1.000

1.0001.169,59 1.170 circuitos

0,855

x

x

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se A for.......... 0 sentido é para cima. Se A for 0 sentido é para baixo.

Determine todos os pontos de interseção das funções f(x)=3x+2 e g(x)= x²

x=3x+2 x-3x-2=0

f(x)=3x+2 e g(x)= x²

F(3,56)=12,68 g(0,56)= 0,31

Os gráficos de funções do tipo.

Funções lineares Função linear é uma função que varia a

uma taxa constante em relação à variavel independente.

O gráfico de função linear é uma reta. A equação de uma função linear pode ser

escrito na forma

Y=mx +b onde m e b são constantes.

Inclinação de uma reta A inclinação de uma reta não vertical

passando pelos pontos (x1, y1) e (x2,y2)é dada pela expressão.

Inclinação= Δy / Δx

= y2-y1 / x2-x1

INCLINAÇÃO DA RETA

CALCULE A INCLINAÇÃO DA RETA QUE LIGA OS PONTOS (-2,5) E (3,-1)

CALCULE A INCLINAÇÃO DA RETA QUE LIGA OS PONTOS (-3,5) E (4,-1)

Solução: 0S PONTOS (-3,5) E (4,-1)

(-3,5)

(4,-1)

ΔY=-1-5=-6

ΔX=4+3=7

FORMA INLINAÇÃO-INTERSEÇÃO DA EQUAÇÃO DE UMA RETA A equação y=mx+b

de uma reta cuja inclinação é m e cujo ponto de interseção com o eixo y é o ponto (O,b).

Determine a inclinação e a interseção com o eixo y da reta 3y+ 2x=6 e desenhe o gráfico associado. Y=mx+b

3y+ 2x=6 3Y=-2x+6

Y= -2x/3 +6/3

(0,2)

(3,0)

Determine a equação da reta que passa pelo ponto (5,1) e cuja inclinação é igual a ½ e desenhe o gráfico.

y-yo=m(x-xo)

(xo,yo)=(5,1)

m=1/2

solução y-1= ½. (x-5)

Y=x/2 – 3/2

y

x(0,-3/2)

(5,1)

Determine a equação da reta que passa pelo pontos (3,-2) e (1,6) M= y-yo/ x-xo

solução

(3,-2) e (1,6)

M=6-(-2)/ 1-3 M=-4 y-yo=m(x-xo)

Y-6=-4(x-1) Y=-4x +10 Para x=0 y=10

(0,10)

(3,-2)x

y

-2

(1,6)