Função e Geometria

Função e GeometriaCoordenadas cartesianasPara localizar pontos num plano, usamos o referencial cartesiano.

Indicamos um par ordenado de números reais como:

(a,b)primeira coordenada

(abscissa)segunda coordenada

(ordenada)

Sistema de eixos ortogonais

O sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares, Ox e Oy, que têm a mesma origem O.

Um plano munido de um sistema de eixos ortogonais é chamado de plano cartesiano.

P(a,b)

y

x

(0, y)

(x, 0)

b

a

2

Função e Geometria

x

1 2 3 4 ‒4 ‒3 ‒2 ‒1

4

3

2

1

‒1

‒2

‒3

0

B

Cada par ordenado de números reais corresponde a um ponto do plano cartesiano e, reciprocamente, a cada ponto do plano corresponde um par ordenado de números reais.

Localize no plano cartesiano abaixo os pontos:

A (4,1)

B (1,4)

C (‒2, ‒3)

D (2, ‒2)

E (‒1,0)

F (0,3)

O (0,0)

y

OE

C

D

A

F

3

Função e GeometriaExplorando intuitivamente a noção de função

A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis.

Considere a tabela abaixo:

Número de litros Preço a pagar (R$)

1 2,60

2 5,20

3 7,80

4 10,40

40 104,00

x 2,60x

O preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados.

Preço (p) a pagar = 2,60 vezes o número de litros comprados.

p = 2,60x

4

Função e Geometria

Observe os conjuntos A e B. Devemos associar cada elemento de A a seu triplo em B.

Todos os elementos de A têm correspondentes em B.

Cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.

Quais características da relação entre esses conjuntos você notou?

Noção de função por meio de conjuntos

‒2 •

‒1 •

0 •

1 •

2 •

• ‒8• ‒6• ‒4• ‒3• 0• 3• 6• 7

5

A B

Função e GeometriaObserve esses conjuntos.

Não é função, pois o elemento 0 de A corresponde a 3 elementos de B.

Não é função, pois há elementos de A que não têm correspondentes em B.

Eles são funções?

Cada elemento de A é menor do que um elemento de B.

Cada elemento de A tem o mesmo valor que um elemento de B.

6

0 •

4 •

• 2

• 3

• 5

A B‒4 •

‒2 •

0 •

2 •

4 •

• 0

• 2

• 4

• 6

• 8

A B

Função e Geometria

Todos os elementos de A possuem correspondentes em B.

Cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.

A correspondência entre A e B é dada pela fórmula y = x4.

Portanto, essa correspondência é uma função de A em B.

‒2 •

‒1 •

0 •

1 •

2 •

• 0

• 1

• 4

• 8

• 16

7

A B

Função e GeometriaDefinição e notação

Usamos a seguinte notação:

Lê-se: f é uma função de A em B.

A função f transforma x de A em y de B.

y = f(x) Lê-se: y é igual a f de x.

•x

•y

f

Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento x A a um único elemento y B.

f: A B ou A B f

8

A B

Função e GeometriaDomínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função

Dada uma função f de A em B.

O conjunto A chama-se domínio (D) da função.

O conjunto B chama-se contradomínio (CD) da função.

Para cada x de A, o elemento y de B chama-se imagem de x pela função f.

O conjunto de todos os y é chamado conjunto imagem da função f e é indicado como Im(f).

•x

•y

f

A B

9

Função e GeometriaGráficos de funções

O gráfico de uma função ajuda a analisar a variação de grandezas, uma dependendo da outra.

Construção de gráficos de funções

Vamos construir o gráfico de uma função:

1) Construa uma tabela com valores x escolhidos convenientemente e seus respectivos correspondentes y.

2) A cada par ordenado (x,y) da tabela, associar um ponto do plano determinado pelos eixos x e y.

3) Marcar um número suficiente de pontos até que seja possível esboçar o gráfico da função.

10

Função e GeometriaAgora que você já sabe como proceder para construir um gráfico, vejamos um exemplo:

A função é y = 2x + 1, com x real

Como x varia no conjunto dos números reais, escolhemos alguns valores arbitrários para x e obtemos os valores correspondentes para y.

Com os pares ordenados (x, y) obtidos, podemos localizá-los no plano cartesiano.

x y = 2x + 1 (x, y)

‒2 ‒3 (‒2, ‒3)

‒1 ‒1 (‒1, ‒1)

0 1 (0,1)

1 3 (1,3)

2 5 (2,5)

Unindo os pontos, obtemos a reta que representa a função y = 2x + 1.

y

x

y = 2x +15

3

1

1 2‒1

‒3

‒1

‒2

0

‒2

11

Função e GeometriaReconhecendo se um gráfico é de uma função

Para uma função existir, é necessário que para qualquer x de um conjunto de valores corresponda um único y, de outro ou do mesmo conjunto de valores.

Ou seja, no gráfico de uma função, qualquer perpendicular ao eixo x deve intersectar o gráfico sempre em um único ponto.

Observe os exemplos:

É uma função. Não é uma função.É uma função somente

para 1 ≤ x ≤ 4.

12

Função e GeometriaFunção afim

Conceito de função afim

Exemplos de função afim:

y = ‒x + 6

y = 4x

a = ‒1 e b = 6

a = 4 e b = 0

y = 2x ‒ 7

a = 2 e b = ‒7

Função afim é toda função de em cuja lei de formação pode ser indicada por y = ax + b, com a e b reais.

13

Função e GeometriaO gráfico de uma função afim

O gráfico de uma função afim é sempre uma reta não perpendicular ao eixo x.

Como dois pontos determinam uma reta, basta encontrar apenas dois de seus pontos para traçá-la.

Exemplo: x y = 5x ‒ 6

1 ‒1

2 4

A reta do gráfico “corta” o eixo y no ponto (0, ‒6), pois para:

y

x

y = 5x ‒ 6

11

4

2‒1

‒4

A reta do gráfico “corta” o eixo x no ponto ( ,0), pois para:

y = 0 5x – 6 = 0 x =

x = 0 y = 5 . 0 ‒ 6 y = ‒ 6

14

Função e GeometriaÂngulo de declividade da reta de uma função afim

O ângulo correspondente a um giro no sentido anti-horário, partindo do eixo x até a reta que corresponde ao gráfico de uma função afim, é chamado de ângulo de declividade da reta.

• Quando a é positivo em y = ax + b, é um ângulo agudo.

y

x

y

x

• Quando a é negativo, é um ângulo obtuso.

15

Função e GeometriaUm caso particular de função afim: a função linear

y = 3xy = 2x + 5

É função afim que é função linear.É função afim mas não é função linear.

O gráfico de uma função linear também é uma reta mas com uma característica própria: a reta corta os eixos na origem (0,0).

O gráfico de uma função linear

Uma função com lei de formação do tipo y = ax, com a real e a 0, é chamada de função linear.

A função linear é um caso particular da função afim, pois y = ax equivale a y = ax + b, com a 0 e b = 0.

y = 2xy

x

16

Função e GeometriaFunção identidade

A função linear que faz corresponder a cada x (real) um y tal que y = x é chamada de função identidade.

Ou seja, cada número real corresponde a ele próprio.

Função linear e proporcionalidade

As funções do tipo y = ax, com a 0, x e y reais, apresentam proporcionalidade direta entre os valores de x e y.

y

y = x

x

CA

SA

DE

TIP

OS

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

17

Função e GeometriaEstudo do sinal da função afim

Fazer um estudo sobre o sinal de uma função afim consiste em determinar os valores de x do domínio para os quais:

Zero da função afim

Para determinar esse valor, basta resolver a equação ax + b = 0.

Interpretação geométrica

Geometricamente, o zero da função afim é a abscissa do ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo x.

f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0

O valor de x para o qual a função f(x) = ax + b, a 0, se anula, ou seja, para o qual f(x) = 0, denomina-se zero da função afim.

f(x) = 0 ax + b = 0 ax = ‒b x = ‒

18

Função e GeometriaO coeficiente b em y = ax + b

Na função afim y = ax + b, quando x = 0, temos que y = b, ou seja, b é o valor da função quando x = 0.

O gráfico intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b).

Estudo do sinal da função pela análise do gráfico

a < 0 (função crescente) a < 0 (função decrescente)

Dispositivo prático:

x

+

‒r

Dispositivo prático:

x

+

‒ r

y

x

(r,0)

imagenspositivas

imagensnegativas

x

y

(r,0)

imagenspositivas

imagensnegativas

x = r f(x) = 0

x > r f(x) > 0

x < r f(x) < 0

x = r f(x) = 0

x > r f(x) < 0

x < r f(x) > 0

19

Função e Geometria

Você já viu esse conteúdo: vamos relembrar com um exemplo?

Podemos resolver também por meio do estudo do sinal da função afim:

S = x | x >

2x – 5 > 0, em f(x)

x > f(x) > 0

S = x | x >

x+

‒

2x ‒ 5 > 0 em

2x > 5 x >

2x – 5 = 0 2x = 5 x = (zero)

20

Função e GeometriaFunção quadrática

Conceito de função quadrática

Exemplos:

y = 3x2 ‒ 2x + 5 y = ‒x2 + 5x + 6

a = 3, b = ‒2 e c = 5 a = ‒1, b = 5 e c = 6

y = ‒4x2 ‒ 3x

a = ‒4, b = ‒3 e c = 0

y = 6x2

a = 6, b = 0 e c = 0

Função quadrática é toda função de em cuja lei de formação pode ser indicada por y = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a 0.

21

Função e GeometriaValor de uma função quadrática em um ponto

Dada uma função y = ax2 + bx + c, pode-se ter um valor de x e determinar o y ou ter um y e determinar o x.

Vejamos exemplos:

Considere a mesma função.

Dado x = 2, vamos calcular y.

y = 22 – 5 . 2 + 6

y = 4 – 10 + 6

y = 0

Então, para x = 2, y = 0.

Considere a função:

Dado y = 0, vamos calcular x.

y = x2 ‒ 5x + 6

0 = x2 – 5 . x + 6

x2 – 5x + 6 = 0

Então, para y = 0, x = 3 ou x = 2.

22

Função e GeometriaZeros de uma função quadrática

Exemplo:

Considere a função:

y = x2 ‒ 9x + 20

x = = =

x′ = 5

x″ = 4

Damos o nome de zeros de uma função quadrática, dada por y = ax2 + bx + c (a 0), aos valores reais de x que anulam y, quando existirem.

= b² ‒ 4ac = (‒9)² ‒ 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1

23

Função e GeometriaGráfico de uma função quadrática

x 4 3 2 1 0 ‒1 ‒2

y 5 0 ‒3 ‒4 ‒3 0 5

Quanto mais valores escolhemos para x, mais fácil fica o traçado da parábola.

Exemplo:

A parábola apresenta simetria.

O eixo de simetria da parábola é sempre perpendicular ao eixo x.

O encontro da parábola com o seu eixo de simetria é o vértice da parábola.

eixo de simetria

x

y

0

V(1, ‒4) vértice da parábola

= =

24

Função e GeometriaGráfico da função quadrática e os coeficientes a, b, c

Responsável pela concavidade e abertura da parábola.

• Se a > 0, a concavidade é para cima.

Coeficiente a

• Se a < 0, a concavidade é para baixo.

Quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola, independentemente da concavidade.

x

a > 0 y y = 5x²y = 2x²

y = x²

0

y = x²

y = x²

a < 0x

y = ‒5x² y = ‒2x²

y = ‒x²

0

y

y = ‒ x²

y = ‒ x²

25

Função e Geometria

Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola, no sentido da esquerda para a direita.

• Se b > 0, a parábola cruza o eixo y no ramo crescente.

Coeficiente b

• Se b < 0, a parábola cruza o eixo y no ramo decrescente.

• Se b = 0, a parábola cruza o eixo y no vértice.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

26

Função e Geometria

Indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y.

A parábola cruza o eixo y no ponto (0,c).

Coeficiente c

A parábola e suas intersecções com os eixos

Dada a equação y = x2 – 2x + 1, vejamos como calcular os pontos de intersecção:

Intersecção com eixo y:

A parábola intersecta o eixo y em (0,1).

Intersecção com eixo x:

x

y

c

x

y

(1, 0)

(0, 1)

x = 0 y = 0² – 2 . 0 + 1 y = 1

y = 0 x² – 2x + 1

x = = 1

= 4 – 4 = 0 = 0

27

Função e Geometria

V – , – = V(2, ‒8)

Vértice da parábola, valor máximo ou valor mínimo da função quadrática

Exemplo:

Dada a equação y = 2x2 – 8x, vamos calcular o vértice:

A função quadrática y = 2x2 – 8x assume valor mínimo –8 quando x = 2.

Todos os valores da função são maiores do que –8!

O vértice de uma parábola dada por y = ax2 + bx + c (a 0) é determinado por:

V – , –

= b2 – 4ac = (–8)2 – 4 . 2 . 0 = 64

28

Função e GeometriaEstudo do sinal da função quadrática

Estudar o sinal da função quadrática significa determinar os valores reais de x para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0.

• a função admite dois zeros reais diferentes, x’ e x’’ ;

• a parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.

a > 0 a < 0

f(x) = 0 para x = x″ ou x = x′

f(x) > 0 para x < x″ ou x > x′

f(x) < 0 para x″ < x < x′

f(x) = 0 para x = x″ ou x = x′

f(x) > 0 para x″ < x < x′

f(x) < 0 para x < x’’ ou x > x′

+

– –x’x”+ +

– x’x”

29

Função e Geometria

• a função admite um zero real duplo x’ = x’’ ;

• a parábola que representa a função tangencia o eixo x.

a > 0 a < 0

f(x) = 0 para x = x′ = x″ f(x) = 0 para x = x′ = x″

Assim, quando > 0, f(x) tem sinal oposto ao de a quando x está entre as raízes da equação, e tem o sinal de a quando x está fora do intervalo das raízes.

f(x) > 0 para x x′ f(x) < 0 para x x′

+ +

x’ = x”

– –

x’ = x”

30

Função e Geometria

• a função não admite zeros reais;

• a parábola que representa a função não intersecta o eixo x.

f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x real

Assim, quando = 0, f(x) tem o sinal de a para x diferente da raiz da equação.

Assim, quando < 0, f(x) tem o sinal de a para qualquer valor real de x.

a > 0

+ + + + + + + + +

a < 0– – – – – – – – –

31

Função e Geometria

Desigualdades como:

x2 – 5x + 6 > 0 3x2 < 0 (x ‒ 3)(x + 3) < 0

Vamos resolver a inequação x2 – 3x + 2 < 0:

Isso significa determinar os valores reais de x para os quais a função f(x) = x2 – 3x + 2 assume valores negativos.

a = 1 > 0; a > 0

As raízes da equação x2 – 3x + 2 são x′ = 1 e x″ = 2.

–

++

1 2

x

Como queremos f(x) < 0 então S = {x | 1 < x < 2}.

= (–3)² – 4 . 1 . 2 = 9 – 8 = 1 > 0 = 0

32

Função e GeometriaRetomando as ideias de razão e proporçãoRazão

Em uma classe, há 15 meninos e 20, meninas totalizando 35 alunos.

Qual a razão de meninos e o número total de alunos da classe?

razão entre dois números, com o segundo diferente de zero, é o quociente do primeiro pelo segundo.

Lembrando que...

Outros exemplos:

Note que ambas as razões têm o mesmo valor!

A razão é indicada por 15:35 ou por . Seu valor na forma irredutível é .

A razão entre 5 e 8 é .

A razão entre 10 e 25 é ou .

A razão entre 0 e 9 é ou 0.

A razão entre 6 e 15 é ou .

33

Função e Geometria

=

Proporção

Duas razões de mesmo valor formam uma proporção.

Indicamos essa proporção como:

10 e 15 são os extremos dessa proporção.

6 e 25 são os meios dessa proporção.

Observe que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

10 . 15 = 150 6 . 25 = 150

Esse fato se repete em todas as proporções e é conhecido como propriedade fundamental das proporções.

Esse é o coeficiente de proporcionalidade.

No exemplo anterior, você viu que a razão entre 10 e 25 é igual à razão entre

6 e 15. Ambas são equivalentes a .

34

Função e GeometriaRazão entre segmentos e segmentos proporcionais

Observe os segmentos. Como podemos calcular a razão entre eles?

É só calcular a razão entre as medidas de comprimento em uma mesma unidade.

coeficiente de proporcionalidade.

A

B

4 cm

C

D

6 cm

Assim, a razão entre e :

= =

Imagine agora dois outros segmentos de 10 cm e de 15 cm.

A razão entre eles é , que também é igual a .

=

Dizemos que , , e , nessa ordem, são segmentos proporcionais,

pois = = .

35

Função e Geometria

A razão entre a medida do comprimento e a medida do diâmetro em quaisquer circunferências é sempre a mesma.

Você sabe qual é o valor dessa razão?

d1

Comprimento: C1

Diâmetro: d1

d2

Comprimento: C2

Diâmetro: d2

= =

Proporcionalidade na circunferência: o número pi ( )

36

Função e GeometriaA divina proporção: o número de ouro

O que uma estrela do mar, um girassol e a concha de um molusco náutilo têm em comum?

Esses são apenas alguns dos diversos exemplos encontrados na natureza que têm como proporção o número de ouro.

Esse número foi utilizado ao longo dos séculos por muitos matemáticos, cientistas e artistas, pois acreditava-se que ele possuía propriedades mágicas, além de representar beleza, perfeição e harmonia.

LO

SK

UT

NIK

OV

/ S

HU

TT

ER

ST

OC

K /

GLO

W I

MA

GE

S

DU

SA

N J

AN

KO

VIC

/ S

HU

TT

ER

ST

OC

K /

GLO

W I

MA

GE

S

KE

VIN

SU

MM

ER

S /

GE

TT

Y I

MA

GE

S

37

Função e GeometriaConsidere um segmento de reta a seguir cuja medida seja 1.

Pode-se dividir o segmento em um ponto C, tal que a razão entre o segmento todo e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e a parte menor.

, ou seja:

Consideremos a razão:

Esse número irracional, cujo valor aproximado é 1,618034, é conhecido como número de ouro, ou ainda, razão áurea.

A BC

x 1 – x

= = x2 = 1 – x x2 + x – 1 = 0

Resolvendo essa equação, o resultado positivo é x = .

= = =8

13

38

Função e GeometriaProporcionalidade e escala

Mapas, maquetes e plantas de construções possuem dimensões proporcionais à realidade que são definidas por uma escala.

No mapa ao lado, a escala utilizada é de 1:1 000 000.

Lembrando que 1 000 000 cm = 10 000 m = 10 km.

Então podemos dizer que, nessa escala, 1 cm no mapa corresponde a 10 km na realidade. A

dapt

ado

de

: IB

GE

. Atla

s ge

ográ

fico

esco

lar.

5.

ed.

Rio

de

Jan

eiro

, 20

09.

39

Função e GeometriaFeixe de retas paralelas e o teorema de Tales

Duas ou mais retas num mesmo plano formam um feixe de retas paralelas quando, tomadas duas a duas, são sempre paralelas.

Note que, na figura ao lado, as retas r, s e t formam um feixe de retas, pois r // s, s // t e r // t.

Denotamos então que r // s // t .

Se uma reta corta uma das retas de um feixe de paralelas, então, ela corta também as demais.

Na figura ao lado, a reta t corta o feixe de retas. Dizemos que essa reta é transversal ao feixe de paralelas.

r

s

t

ta

b

c

d

40

Função e GeometriaPropriedade de um feixe de paralelasConsideremos um feixe de retas paralelas em que todas as retas são equidistantes entre si e uma reta transversal ao feixe.

Nesse caso, os segmentos são congruentes, ou seja, AB = BC = CD, pois os triângulos destacados são todos congruentes entre si (caso LLAo).

Se um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra reta transversal.

Traçando uma outra reta transversal s ao mesmo feixe de paralelas,

chegaremos às mesmas conclusões. Assim, = .

Assim, = .

A

B

C

D

h

t a

b

c

d

h

h

AB

CD

tabcd

s

EF

GH

41

Função e GeometriaTeorema de Tales

Considere um feixe de três retas paralelas r, s e v cortado por uma reta transversal t. Traçamos uma outra reta qualquer u.

Vamos calcular a razão entre AB e BC:

Assim,

A partir das duas equações, pode-se concluir que:

Ou seja, AB, BC, EF, FG formam uma proporção.

A

B

C

x

t

r

s

v

3x

u

E

F

G

y

= =

= =

Se EF = y, vamos medir agora o tamanho de em função de y.

42

= =

Função e GeometriaAplicações do teorema de Tales

Acompanhe a construção ao lado, na qual o segmento é dividido em três partes iguais.

2) Com uma abertura qualquer do compasso, obtemos os pontos R, S e P de modo que AR = RS = SP.

3) Ligamos P com B.

Divisão de um segmento em partes iguais

A R′ S′ B

P

S

R1) Traçamos uma semirreta com origem em A e que forma um ângulo agudo com .

5) Traçamos a reta que passa por R, paralela a , obtendo R′.

4) Traçamos a reta que passa por S, paralela a , obtendo S′.

43

O teorema de Tales garante que , , são congruentes, pois e são duas transversais de um feixe de paralelas.

Função e Geometria

Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo.

Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo

Analisando a figura temos que:

Começamos prolongando e traçando a semirreta com origem em C paralela à bissetriz , obtendo o ponto E.

, ,

Substituindo em = , temos que = .

Como é paralela a , usando o teorema

de Tales, temos: =

44

A

E

Assim, . Então o triângulo ACE é isósceles de base . Logo, AE = AC.

B CD

Função e GeometriaFiguras semelhantesO que acontece quando ampliamos, reduzimos ou reproduzimos uma foto com os ângulos e a medida de seus lados?

Não mudam.Mantêm proporcionalidade com as medidas dos lados correspondentes.

Constante de proporcionalidade entre A e B.

Em casos como esse, dizemos que a foto original e a ampliada ou reduzida são semelhantes.

3 cm

4 cm

A

6 cm

4,5 cm

B

, pois 4 . 4,5 = 6 . 3. Simplificando obtemos .=

IKO

/ S

HU

TT

ER

ST

OC

K /

G

LO

W IM

AG

ES

45

Função e GeometriaAmpliação e redução de figuras

Ampliação ou redução de fotos, reprodução de imagens na tela do cinema, representação gráfica de continentes, países ou cidades em mapas, aeromodelos, maquetes e miniaturas são exemplos de figuras semelhantes em nosso cotidiano.

JAN

VA

N E

YC

K /

GA

LE

RIA

IN

TE

RN

AC

ION

AL

, LO

ND

RE

S, I

NG

LAT

ER

RA

MP

AN

CH

/ S

HU

TT

ER

ST

OC

K

/ G

LOW

IM

AG

ES

MA

JEC

ZK

A /

SH

UT

TE

RS

TO

CK

/ G

LO

W IM

AG

ES

46

Função e GeometriaProcesso para ampliar e reduzir figuras

Um processo bem simples de ampliar ou reduzir o tamanho de figuras é quadriculá-las. Veja dois exemplos:

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Função e GeometriaFiguras semelhantes e figuras congruentes

Quando reproduzimos, ampliamos ou reduzimos uma figura, dizemos que as figuras obtidas são semelhantes à figura anterior.

Note que, quando reproduzimos uma figura, a figura obtida além de ser proporcional (e portanto, semelhante) à original tem o mesmo tamanho, e por isso, são figuras congruentes.

a)c)

b)

d)ampliação de a

reprodução de a redução de a

48

Função e GeometriaSemelhança de polígonos

Observe os dois triângulos, o que você pode dizer sobre seus ângulos?

Agora observe os lados:

Qual relação você pode encontrar entre as medidas de cada par de lados?

Os pares e ′, e ′ e e ′ são congruentes entre si!

e

e

e

A

B C

A′

B′ C′

49

Função e GeometriaCalculando a razão entre os lados do triângulo A′B′C′ e do triângulo ABC encontramos:

Os ângulos correspondentes têm a mesma medida, e os segmentos correspondentes têm medidas proporcionais. Podemos dizer então que o triângulo ABC e o triângulo A′B′C′ são semelhantes e indicamos assim:

= = = 2

ABC A′B′C′~

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Função e GeometriaRazão entre perímetro de polígonos semelhantes

Observe os retângulos. O que você pode dizer a respeito deles?

• Eles têm os ângulos congruentes (retos)

Eles são semelhantes.

Vamos calcular a razão entre os perímetros.

Mesma razão entre os lados.

5

22,5

1

• Razão entre os comprimentos: = 2

• Razão entre as larguras: = 2

= 2

51

Função e GeometriaSe dois polígonos são semelhantes, a razão entre seus perímetros é igual a razão entre quaisquer dois lados correspondentes, assim como é igual à razão entre dois outros elementos lineares correspondentes, como diagonais, por exemplo.

Razão entre áreas de regiões poligonais semelhantes

Vamos calcular a razão entre as áreas dos retângulos.

O quadrado da razão entre os lados.

Se duas regiões poligonais são semelhantes, a razão entre as suas áreas é igual ao quadrado da razão entre seus elementos correspondentes lineares (lados, perímetro, diagonais, etc.).

= = 4 = 22

52

Função e GeometriaSemelhança de triângulos

Triângulos são polígonos, então o que estudamos sobre polígonos também vale para triângulos.

Dois triângulos são semelhantes se e somente se os lados correspondentes tiverem medidas proporcionais e os ângulos correspondentes forem congruentes.

A

B

C

A′

B′

C′

= = =, e

= =

53

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Função e GeometriaPropriedade fundamental da semelhança de triângulos

Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado outro triângulo, este será semelhante ao primeiro.

Aplicação da propriedade fundamental

Tomemos dois triângulos quaisquer.

Sobreponhamos um triângulo ao outro.

Assim, teremos um ângulo em comum e dois lados paralelos.

Usamos então a propriedade fundamental e concluímos que os triângulos são semelhantes.

A

B C N

M

P

A

CB = N

M

P

54

Função e GeometriaCasos de semelhança de triângulos

Observe esses dois pares de polígonos:

Esses retângulos têm ângulos de medidas iguais, mas não semelhantes, pois as medidas dos seus lados não são proporcionais.

Esses quadriláteros têm lados com as medidas proporcionais, mas não semelhantes, pois seus ângulos não são congruentes.

Ou seja, só a congruência dos ângulos ou só a proporcionalidade dos lados não garante a semelhança de polígonos.

Mas isso vale para triângulos?

2

1

3

0,5

2

3

1

1,5

55

Função e GeometriaCaso AA

Caso LAL

Caso LLL

Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes respectivamente congruentes, eles são semelhantes.

Se dois triângulos têm dois lados correspondentes com medidas proporcionais, e o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida, eles são semelhantes.

Se dois triângulos têm os três lados correspondentes com medidas proporcionais, eles são semelhantes.

A

B C N

M

P

A

BC R P

S

53˚53˚

5

4

10

8

A

B C N

M

P

2,5 3,2

4

5 6,4

8

56

Função e GeometriaUso da semelhança para medir distâncias inacessíveis

Durante uma gincana na escola, uma das tarefas é medir o tamanho de uma árvore.

Como você faria isso? Que instrumentos utilizaria?

É viável fazer isso utilizando uma régua ou fita métrica?

Quais conceitos você aprendeu que podem ser úteis na resolução desse problema?

Uma solução seria medir indiretamente, utilizando conceitos de semelhança de triângulos e proporção.

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SÉ

RG

IO D

OT

TA

JR

. / A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

Função e GeometriaCom metade de uma folha quadrada, e seguindo os procedimentos abaixo é possível calcular a altura de uma árvore, um poste ou uma cesta de basquete.

Meça a distância do chão aos seus olhos.

Meça a distância entre você e a perpendicular que passa pela cesta.

AB = 140 cmDC = 140 cm

AB = DC

AD = 160 cmBC = 160 cm

AD = BC

Mire o topo do objeto (como a cesta na figura ao lado) a ser medido, conservando a parte inferior da folha paralela ao chão. Afaste-se ou aproxime-se da cesta se for necessário.

PA

ULO

MA

NZ

I / A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

58

Função e GeometriaComo os triângulos DCE e DGF possuem dois ângulos correspondentes, então eles são semelhantes. Assim:

A altura da cesta é dada por BC + CE ou AD + AB.

BC + CE = 160 cm + 140 cm = 300 cm = 3 m

DC = ECDF = DG

=

59

PA

ULO

MA

NZ

I / A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

Função e GeometriaTransformações geométricas

Translação

Podemos deslocar ou transladar ou ainda transportar uma figura no plano, de modo que a figura obtida seja congruente à original, por meio de um movimento chamado translação.

Representação de uma translação

A

B

C

A′

B′

C′

A

B

A′

B′

60

A translação que leva de A até A′ é representada por um segmento orientado (ou vetor) , com origem em A e término em A′.

Função e GeometriaFiguras transladadas

A figura PQRS foi transladada dando origem à figura P′ Q′ R′ S′.

A figura P′Q′R′S′ é chamada imagem da figura PQRS.

Cada ponto de PQRS está ligado a P′ Q′ R′ S′ por meio de um segmento orientado.

Observe outro exemplo:

P

Q

R

S

P′Q′

R′

S′

A B

D C

A B

D C

A′ B′

D′ C′

61

Função e GeometriaTranslações sucessivas

É possível fazer translações sucessivas, como no exemplo abaixo, em que a figura amarela é transladada à figura azul e depois a figura azul é transladada para a figura rosa.

A

B

C

D

E

A′

B′C′

D′

E′

A″

B″C″

D″

E″

62

Função e GeometriaReflexão em relação a uma reta

A figura PQRS foi levada à figura P′Q′R′S′ por uma reflexão em relação à reta indicada por s.

imagemeixo de reflexão

• O sentido do deslocamento de P′Q′R′S′ é oposto ao de PQRS.

PQ

R S

P

Q

R

S

Q′

R′

S′

S

P′

P′

Q′R′

S′

• s é mediatriz dos segmentos

, , ,

63

Função e GeometriaUm caso particular de reflexão

Eixo de simetria

O quadrado ABCD foi refletido levando à figura A′B′C′D′ por uma reflexão em relação à reta indicada por s.

Parte do quadrado ABCD está em um lado da reta s; e a outra parte está no outro lado.

Ao se refletir cada uma das figuras ao lado em relação ao eixo s, a figura obtida corresponde à original.

Nesse caso, chamamos, o eixo de reflexão de eixo de simetria da figura.

D

A

C

B

D′

A′

C′

B′

s

s

s

64

Função e GeometriaRotação

Pode-se girar uma figura em torno de um ponto segundo um determinado ângulo e obter outra figura congruente a ela.

• O sentido de deslocamento de ABC é o mesmo sentido de deslocamento de A′B′C′.

• O ponto A é chamado de centro de rotação.

No exemplo abaixo, o triângulo ABC sofreu uma rotação em torno do ponto A de um ângulo no sentido horário.

CA A′

B

C′

B′

65

Função e GeometriaConstrução de uma rotação

Vamos agora construir passo a passo uma rotação de 90º de um triângulo em torno de determinado ponto.

Desenhe o triângulo ABC e o ponto P que será o centro de rotação.

Trace uma linha do ponto A ao ponto P.

Marcamos o ponto A′ de forma que a distância de A′ a P seja igual a distância de A a P, ou seja, PA = PA′.

Repita o procedimento para os pontos B e C.

Ligue os pontos A′, B′ e C′. BC

A

90º

B′

C′

A′

Com um transferidor trace uma reta que forma 90º no sentido horário com .

90º

90º

P

66

Função e GeometriaOutro tipo de transformação: a homotetia

Há um tipo de transformação geométrica que, em geral, não preserva a congruência e está muito relacionada com o que vimos até agora.

O P′P

O PP′

Considere um ponto O, uma semirreta , com o ponto P distinto de O e uma constante, por exemplo, igual a 3.

A correspondência estabelecida entre o ponto P e o ponto P′, ambos sobre a

semirreta é tal que: OP′ = 3 . OP ou = 3.

Assim,

OP′ = . OP ou =

67

Se a razão fosse , o ponto

P′ seria colocado entre O e P, no ponto médio de .

Função e Geometria

Propriedades importantes de uma homotetia

Chamaremos de homotetia com centro em O e razão k positiva toda transformação que leva o ponto P (distinto de O) a um único ponto P′ da semirreta , de modo que OP′ = k . OP. Ao ponto P′ damos o nome de imagem (ou homotético) do ponto P segundo essa homotetia.

1) Em duas figuras homotéticas, os ângulos correspondentes são congruentes, os segmentos correspondentes são paralelos e a razão entre suas medidas é sempre a mesma e igual à razão da homotetia.

2) Se duas figuras são semelhantes, é sempre possível que uma chegue à outra fazendo um ou mais movimentos rígidos (rotação, translação ou reflexão), seguidos de uma homotetia.

O P′P

68

Função e GeometriaTransformações geométricas, correspondência biunívoca, congruência e semelhança

Em todas as transformações que vimos, há uma correspondência biunívoca entre os pontos da figura inicial e os da figura obtida.

A translação, rotação e reflexão são chamadas de isometrias. A figura obtida é congruente à figura inicial.

Observações:

Uma homotetia ou um movimento rígido seguido de uma homotetia leva uma figura a outra semelhante a ela.

A

C

B

D

A′

C′

B′

D′

A B

CD

E

A′B′

C′ D′

E′

AB′

C C′P

A′

B

A B

CD

A′ B′

C′D′

69

O

s