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RACIOCÍNIO LÓGICOCALENDÁRIOS. NUMERAÇÃO. SEQUÊNCIAS LÓGICAS. PROGRESSÕES

ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA

Livro Eletrônico

JOSIMAR PADILHA

Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemá-tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-ceira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Calendários. Numeração. Sequências Lógicas. Progressões Aritmética e Geométrica

Prof. Josimar Padilha

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SUMÁRIO

Relações Arbitrárias, Sequências, Calendários, Numeração E Outros ..................5

1. Questões Com Associação, Correlacionamento, Sequências E Deduzir Novas Informações ..............................................................................................6

Autoavaliação ..........................................................................................24

Gabarito ..................................................................................................29

2. Questões Com Verdades E Mentiras .........................................................30

2.1. Questões Com Uma Contradição (Método Da Contradição) .......................30

2.2. Questões Com Experimentação (Método Da Experimentação) ..................34

Autoavaliação ..........................................................................................41

Gabarito ..................................................................................................47

3. Questões Com Raciocínio Espacial (Figuras), Sequencial E Temporal ............48

3.1. Questões Com Numerações .................................................................48

Autoavaliação ..........................................................................................52

Gabarito ..................................................................................................53

4. Questões Com Numerações De Páginas (Comuns Nas Provas Da Fcc E Cesgranrio) .............................................................................................54

Autoavaliação ..........................................................................................57

Gabarito ..................................................................................................58

5. Questões Com Método Da Pior Hipótese ...................................................59

5.1. Princípio Da Casa Dos Pombos .............................................................59

Autoavaliação ..........................................................................................64

Gabarito ..................................................................................................67

6. Questões Com Sequências E Figuras ........................................................68

6.1. Sucessões Ou Sequências ...................................................................68




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6.2. Representação De Uma Sequência ........................................................69

6.3. Lei De Formação De Uma Sequência .....................................................71

6.4. Termo Geral De Uma Pg ......................................................................73

6.5. Soma Dos N Primeiros Termos De Uma Pg .............................................74

6.6. Sequências Numéricas ........................................................................78

Autoavaliação ..........................................................................................83

Gabarito ..................................................................................................91

7. Questões Com Aplicação De Múltiplos – Datas ..........................................92

Autoavaliação ..........................................................................................96

Gabarito ..................................................................................................98

Gabarito – Desafio ....................................................................................99




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RELAÇÕES ARBITRÁRIAS, SEQUÊNCIAS, CALENDÁRIOS, NU-

MERAÇÃO E OUTROS

Neste módulo, abordaremos os seguintes assuntos:

• calendários (questões com datas);

• numeração (questões com páginas);

• sequências lógicas envolvendo números, letras e figuras;

• progressões aritmética e geométrica.

É importante ressaltar que, neste módulo, aplicarei vários métodos de acordo

com cada tipo de questão.

Vamos iniciar nosso curso com um desafio, tudo certo?

DESAFIO

Uma promessa para lá de esquisita.

Certa vez três amigos, André, Beto e Carlos estavam se preparando para um con-

curso público muito difícil e já se passavam alguns meses, quanto intensificaram

seus estudos e propuseram entre eles que se conquistassem tal almejadas vagas

iriam realizar uma tarefa, que chamaram de “A Promessa”.

Pois bem, a promessa era a seguinte: Após publicação dos nomes dos três em di-

ário oficial, nomeações, os três iriam atravessar uma parte do deserto andando,

alimentado apenas de pão e água.

Após o resultado da prova, os três amigos alcançaram êxito no processo seletivo e

foram aprovados. Após três meses ocorreu a tão esperada nomeação e os três se

preparam para cumprir a promessa.

André, Beto e Carlos viajaram para o deserto do Saara que é popularmente conhe-

cido como o maior e o mais quente deserto mundo. No instante que foram começar




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a travessia os amigos foram conferir seus suprimentos e algo constrangedor ocor-

reu, Carlos havia esquecido seus pães e sua água.

No momento que Carlos informou aos seus amigos que havia esquecido seu ali-

mento, de imediato eles se propuseram a compartilhar os seus suprimentos. André

tinha levado apenas 05 pães e Beto tinha levado 03 pães.

Na hora da partilha dos alimentos ficou acertado que todos os três comeriam e be-

beriam a mesma quantidade durante a viagem.

No decorrer da viagem, algo interessante aconteceu com Carlos, pois ele encontrou

um pote com 08 moedas de ouro, que estava enterrado na areia e não avisou aos

seus amigos.

Depois de 10 dias caminhando debaixo de um sol escaldante, comendo apenas pão

e bebendo água finalmente eles cumpriram a difícil promessa.

No momento da despedida, já aqui no Brasil, Carlos disse aos seus amigos o que

havia encontrado e num gesto de gratidão ofertou todas as moedas que encontrou

para André e Beto, ou seja, Carlos deu as 08 moedas para André e Beto. Na hora

da divisão Carlos optou por ser justo e a pergunta é a seguinte: Quantas moedas

cada um deles, André e Beto, receberam?1

1. Questões com Associação, Correlacionamento, Sequências e

Deduzir Novas Informações

As bancas têm exigido entendimento quanto à lógica de relações arbitrárias en-

tre pessoas, lugares, coisas ou eventos fictícios; dedução de novas informações das

relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura

dessas relações, enfim, uma percepção e um raciocínio mais objetivos e amplos.

1 Veja o resultado do desafio no fim da aula.




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Sendo assim, torna-se necessário um método mais fácil e prático para resolução

das questões.

1. (ESAF) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão

participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem,

os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes

versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas cabe-

ria cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor da peça reuniu-as e pediu

que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio.

Disse Fátima: “Acho que eu sou a governanta, Beatriz é a fada, Sílvia é a Bruxa

e Carla é a princesa”.

Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a princesa ou a bruxa”.

Disse Gina: “Acho que Sílvia é a governanta ou a rainha”.

Disse Sílvia: “Acho que eu sou a princesa”.

Disse Carla: “Acho que a bruxa sou eu ou Beatriz”.

Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados, ne-

nhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio!” Um estudante de

lógica que a tudo assistia, concluiu então que os papéis sorteados para Fátima,

Beatriz, Gina e Sílvia foram respectivamente:

a) rainha, bruxa, princesa e fada.

b) rainha, princesa, governanta e fada.

c) fada, bruxa, governanta e princesa.

d) rainha, princesa, bruxa e fada.

e) fada, bruxa, rainha e princesa.




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Letra d.

Construiremos uma tabela na qual possamos ter condições de associar as pessoas

a seus respectivos papéis. Precisamos observar que, na questão, há o seguinte tre-

cho: “Neste ponto, o diretor falou: Todos os palpites estão completamente errados,

nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio!”, isso quer dizer

que tudo que foi falado era falso (F). Logo, podemos construir a tabela:

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla

Fada F f F V F

Bruxa f f V f f

Rainha V F F f F

Princesa f V F f f

Governanta f F F f V

As células que estão preenchidas com falso (f) “em minúsculo” foram os palpites

errados realizados pelas atrizes, agora, é só preencher as células vazias verifican-

do as únicas possibilidades, isto é, Gina só pode ser bruxa, pois foi a única célula

disponível. A Sílvia só pode ser fada. A Fátima só pode ser rainha. A Carla só pode

ser governanta. A Beatriz só pode ser princesa.

2. (CESPE) Júlio, Carlos e Mariana são empregados de uma mesma empresa, mas

têm especialidades diferentes e trabalham na empresa com diferentes sistemas

operacionais. Sabe-se que:

• o especialista em desenvolvimento de software usa o sistema Macintosh;

• Mariana é especialista em redes de computadores;




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• o sistema Windows não é usado por Mariana;

• Júlio não é especialista em desenvolvimento de software.

Desenvolvimentodo software

Software Rede Linux Windows Macintosh

Júlio

Carlos

Mariana

Linux

Windows

Macintosh

Execute o seguinte procedimento na tabela acima: preencha cada célula com V,

se o cruzamento da informação da linha for verdadeiro e com F, se o cruzamento

dessas informações for falso.

Observe que para iniciar estão marcadas algumas células com informações dadas

acima e outras informações complementares.

Após a execução do procedimento, que pode não preencher todas as células, julgue

os itens.

a) Júlio é especialista em software básico, mas usa o sistema Windows.

b) Mariana não é especialista em redes de computadores, mas Carlos usa o siste-

ma Macintosh.

Certo/Errado.

Nas questões do Cespe, as tabelas já vêm construídas. Veja a tabela a seguir.




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Transferência de informação. Ao preencher as informações na vertical, já é o sufi-

ciente, pois associamos as pessoas, suas especialidades e os sistemas operacionais

utilizados.

Segundo o texto, preenche-se as células em letras minúsculas (v ou f) de acordo

com o texto da questão. Logo, já podemos deduzir as demais informações (letras

maiúsculas). Ao preenchermos as células, já temos:

• Júlio é especialista em software básico e utiliza o sistema Macintosh;

• Carlos é especialista em desenvolvimento de software e utiliza o sistema Win-

dows;

• Mariana é especialista em rede de computadores e utiliza o sistema Linux.

Após a execução do procedimento, que pode não preencher todas as células, julgue

os itens.

a) Júlio é especialista em software básico, mas usa o sistema Windows.

Júlio é especialista em software básico (v)? Júlio usa o sistema Windows (v) = (v).




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Obs..:� foi utilizada tabela-verdade (conjunção) para interpretação do item.

b) Mariana não é especialista em redes de computadores, mas Carlos usa o siste-

ma Macintosh.

Mariana não é especialista em redes de computadores (F)??Carlos usa o sistema

Macintosh.

(v) = F

Obs..:� foi utilizada tabela-verdade (conjunção) para interpretação do item.

3. (FCC) Três técnicos: Amanda, Beatriz e Cássio trabalham no banco. Um deles no

complexo computacional, outro na administração e outro na segurança do sistema

financeiro, não respectivamente. A praça de lotação de cada um deles é: São Paulo,

Rio de Janeiro e Porto Alegre. Sabe-se que:

– Cássio trabalha na segurança do sistema financeiro.

– O que está lotado em São Paulo trabalha na administração.

– Amanda não está lotada em Porto Alegre e não trabalha na administração.

É verdade que, quem está lotado em São Paulo e quem trabalha no complexo com-

putacional são, respectivamente,

a) Beatriz e Amanda.

b) Amanda e Cássio.

c) Cássio e Beatriz.

d) Beatriz e Cássio.

e) Cássio e Amanda.




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Letra a.

Construiremos uma tabela na qual possamos ter condições de associar as pessoas

a seus respectivos Estados e área de trabalho.

Transferência de informação. Ao preencher as informações na vertical, já é o sufi-

ciente, pois associamos as pessoas, suas áreas (setores) e os Estados.

Segundo o texto, preenche-se as células acima em letra minúscula (v ou f) de acor-

do com o texto da questão. Logo, já podemos deduzir as demais informações em

maiúsculo.

É verdade que quem está lotado em São Paulo e quem trabalha no complexo com-

putacional são, respectivamente, Beatriz e Amanda.

4. (CESPE) Em um tribunal, tramitam três diferentes processos, respectivamente,

em nome de Clóvis, Sílvia e Laerte. Em dias distintos da semana, cada uma dessas

pessoas procurou, no tribunal, informações acerca do andamento do processo que




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lhe diz respeito. Na tabela a seguir estão marcadas com V células cujas informa-

ções da linha e da coluna correspondentes e referentes a esses três processos se-

jam verdadeiras. Por exemplo, Sílvia foi procurar informação a respeito do processo

de sua licença, e a informação sobre o processo de demissão foi solicitada na quin-

ta-feira. Uma célula é marcada com F quando a informação da linha e da coluna

correspondente é falsa, isto é, quando o fato correspondente não ocorreu. Observe

que o processo em nome de Laerte não se refere à contratação e que Sílvia não

procurou o tribunal na quarta-feira.

Demissão Contrata-ção

Licença T e r ç a --feira

Q u a r t a --feira

Q u i n t a --feira

Clóvis F

Sílvia F F V F

Laerte F Fterça-feira Fquarta-feira Fquinta-feira V F F

Com base nessas instruções e nas células já preenchidas, é possível preencher lo-

gicamente toda a tabela. Após esse procedimento, julgue os itens a seguir.

a) O processo em nome de Laerte refere-se à demissão e ele foi ao tribunal na

quinta-feira.

b) É verdadeira a proposição “Se Sílvia não tem processo de contratação, então o

processo de licença foi procurado na quarta-feira”.

Certo/Errado.




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Preenchendo a tabela:

Transferência de informação.

Devemos preencher esta célula com V, pois vimos que Laerte não está associado à

contratação nem à licença.

Ao preencher a tabela acima, podemos concluir que:

Clóvis → Contração → Quarta-feira

Sílvia → Licença → Terça-feira

Laerte → Demissão → Quinta-feira

Julgando os itens, temos:

a) O processo em nome de Laerte refere-se à demissão e ele foi ao tribunal na

quinta-feira.

Obs..:� não se esquecer de que a proposição possui um conectivo de conjunção,

logo é necessário aplicar tabela-verdade. Beleza?

b) É verdadeira a proposição: “Se Sílvia não tem processo de contratação, então o

processo de licença foi procurado na quarta-feira”.




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Obs..:� não se esquecer de que a proposição possui um conectivo condicional, logo,

é necessário aplicar tabela-verdade. Beleza?

5. (CESPE) Em um posto de fiscalização da PRF, os veículos A, B e C foram abor-

dados, e os seus condutores, Pedro, Jorge e Mário, foram autuados pelas seguintes

infrações: (i) um deles estava dirigindo alcoolizado; (ii) outro apresentou a CNH

vencida; (iii) a CNH apresentada pelo terceiro motorista era de categoria inferior à

exigida para conduzir o veículo que ele dirigia. Sabe-se que Pedro era o condutor

do veículo C; o motorista que apresentou a CNH vencida conduzia o veículo B; Má-

rio era quem estava dirigindo alcoolizado. Com relação a essa situação hipotética,

julgue os itens que se seguem. Caso queira, use a tabela na coluna de rascunho

como auxílio.

I – A CNH do motorista do veículo A era de categoria inferior à exigida.

II – Mário não era o condutor do veículo A.

III – Jorge era o condutor do veículo B.

IV – A CNH de Pedro estava vencida.

V – A proposição “Se Pedro apresentou CNH vencida, então Mário é o condutor

do veículo B” é verdadeira.

Estão certos apenas os itens:

a) I e II.

b) I e IV.

c) II e III.

d) III e V.

e) IV e V.




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Letra d.

A questão acima refere-se a uma correlação, na qual associaremos os elementos

apresentados no texto.

Para melhor resolução, torna-se interessante construir a tabela:

Nomes Pedro Jorge Mário

Veículos

Infrações

1. Sabe-se que Pedro era o condutor do veículo C, preenchendo a célula:


Veículos C

Infrações

2. Mário era quem estava dirigindo alcoolizado, preenchendo a célula:


Veículos C

Infrações Alcoolizado

3. O motorista que apresentou a CNH vencida conduzia o veículo B: se o motorista

que apresentou a CNH vencida conduzia o veículo B, então podemos concluir que

não era Mário, pois estava alcoolizado; nem Pedro, pois conduzia o veículo C. Sen-

do assim, o que apresentou a CNH vencida foi Jorge e dirigia o veículo B.




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Veículos C B

Infrações CNHvencida

Alcoolizado

4. Podemos concluir que Pedro apresentou CNH de categoria inferior à exigida e

Mário dirigia o veículo A.

Nomes Pedro Jorge MárioVeículos C B A

InfraçõesCNH

categoria inferior

CNHvencida

Alcoolizado

I – Errado. A CNH do motorista do veículo A era de categoria inferior à exigida.

II – Errado. Mário não era o condutor do veículo A.

III – Certo. Jorge era o condutor do veículo B.

IV – Errado. A CNH de Pedro estava vencida.

V – Certo. A proposição “Se Pedro apresentou CNH vencida, então Mário é o con-

dutor do veículo B” é verdadeira.

“Pedro apresentou CNH vencida (F)? Mário é o condutor do veículo B(F) = V.

6. (ESAF/MPU) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido

horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela

que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-

-se que nenhuma fora eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um

voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma




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havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou na-

quela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na

vizinha da esquerda de Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e

Ema foram, respectivamente, para,

a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa.

b) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô.

c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa.

d) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô.

e) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia.

Letra b.

Vamos ilustrar a situação acima:

De acordo com a questão, cada uma das meninas não pode votar na sua vizinha da

esquerda, uma vez que deixa claro que “Ana votou naquela que votou na vizinha

da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e

assim por diante”, logo, devemos verificar as possibilidades, que são:

Primeira – Ana votar em Clô:




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Segunda – Ana votar em Déa:

Terceira – Ana votar em Ema:

Vamos verificar cada uma das possibilidades. Apenas uma poderá dar certo. Para

melhor entendimento, ilustrarei com setas os votos e suas respectivas ordens.

Primeira – Ana votar em Clô:




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Na ilustração acima, Ana votou em Clô, Clô votou em Bia, Bia votou em Déa e Déa

votou em Clô. Assim, percebe-se que Clô recebeu dois votos, o que não pode acon-

tecer segundo o enunciado. Os votos foram dados de acordo com o critério esta-

belecido, em que cada uma votou naquela que votou na sua vizinha da esquerda.

Segunda – Ana votar em Déa:

Na ilustração acima, Ana votou em Déa, Déa votou em Bia, Bia votou em Ema, Ema

votou em Clô e Clô votou em Ana. Assim, percebe-se que cada uma recebeu um

voto, o que está de acordo com o enunciado. Os votos foram dados de acordo com

o critério estabelecido, em que cada uma votou naquela que votou na sua vizinha

da esquerda. Essa sequência é a correta.

Terceira – Ana votar em Ema:




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Na ilustração acima, Ana votou em Ema, Ema votou em Bia, Bia votou em Ana, Ana

votou em Clô e Clô votou em Bia. Assim, percebe-se que Bia recebeu dois votos e

Ana deu dois votos, o que não pode acontecer segundo o enunciado. Os votos fo-

ram dados de acordo com o critério estabelecido, em que cada uma votou naquela

que votou na sua vizinha da esquerda.

Após verificarmos as possibilidades, percebemos que a segunda é a correta.

7. (FGV/2016) Certo dia, em um porto há apenas três navios, um ao lado do outro:

um navio porta contêineres (P), um navio de carga geral (C) e um navio graneleiro

(G). Além disso, pelos seus tamanhos, um desses navios é considerado pequeno,

outro médio e outro grande.

Sabe-se que:

• o navio P está à esquerda do navio pequeno.

• o navio grande está à direita do navio G.

• o navio C não é o menor dos navios.

É correto concluir que

a) o navio G está imediatamente à esquerda do navio médio.




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b) o navio C tem tamanho pequeno.

c) o navio grande está imediatamente à direita do médio.

d) o navio C está à esquerda do navio G.

e) o navio P tem tamanho médio.

Letra e.

Nesta questão, organizaremos em ordem da seguinte forma: a cada informação,

construiremos um esquema até que esteja totalmente formado.

1ª informação.: “o navio P está à esquerda do navio pequeno”.

← ESQUERDA DIREITA →

Navios: Navio P

Tamanho: pequeno

2ª informação.: “o navio grande está à direita do navio G.”

Conforme essa informação, há apenas uma opção para o navio Grande, que inse-

riremos no esquema:


Navios: Navio P Navio G

Tamanho: Pequeno “Grande”

3ª informação.: “o navio C não é o menor dos navios”

Conforme a 3ª informação, há apenas uma opção para o Navio C, ou seja, ele só




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pode ser o Grande, uma vez que o Navio P não é o menor.


Navios: Navio P Navio G

Tamanho: pequeno “Grande”

Agora, é só completar os espaços vazios com as opções de “Navio Médio” e “ Navio G”.


Navios: Navio P Navio G Navio C

Tamanho: Médio Pequeno “Grande”




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AUTOAVALIAÇÃO

1. (2017/FCC/TRT-11ª REGIÃO/AM E RR) Alexandre, Breno, Cleide e Débora saí-

ram vestindo camisas do seu time de futebol. Sabe-se que cada pessoa torce por

um time diferente, e que os times são: Flamengo, Corinthians, São Paulo, Vasco,

não necessariamente nessa ordem. Cleide é corintiana, Breno não torce pelo Fla-

mengo nem pelo São Paulo, Débora é são-paulina. Sendo assim, conclui-se que

Alexandre e Breno, respectivamente, torcem para

a) Flamengo e Corinthians.

b) Vasco e Flamengo.

c) São Paulo e Vasco.

d) Flamengo e Vasco.

e) Vasco e Corinthians.

2. (2017/FCC/TRT-11ª REGIÃO/AM E RR) Marlene, Jair, Renata, Alexandre e Patrí-

cia fizeram uma prova de um concurso obtendo cinco pontuações diferentes. Sabe-

-se ainda que, nessa prova:

– Marlene obteve mais pontos do que Alexandre, mas menos pontos do que Patrí-

cia;

– Jair obteve mais pontos do que Renata, que por sua vez obteve mais pontos do

que Marlene.

Sendo assim, é necessariamente correto que

a) Marlene obteve mais pontos do que Renata.

b) Jair obteve menos pontos do que Patrícia.

c) Renata obteve menos pontos do que Patrícia.

d) Alexandre foi o que obteve menos pontos.

e) Patrícia foi a que obteve mais pontos.




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3. (2016/FCC/AL-MS) Alexandre, Bruno, Carlos, Dario, Ernesto e Fábio vão viajar

juntos a um mesmo destino. Os seis decidem ir em duplas, sendo que uma dupla

irá de avião, outra de trem e a outra de carro. Sabe-se que:

– Alexandre não vai de carro, e que acompanhará Bruno, que por sua vez não vai

de avião;

– Ernesto vai de avião;

– Carlos não vai acompanhado de Dario, nem vai de avião.

Nas condições dadas, é correto afirmar que

a) Dario vai de carro.

b) Fábio vai com Ernesto.

c) Fábio vai de carro.

d) Ernesto vai de trem.

e) Carlos vai com Ernesto.

4. (2016/FCC/ELETROBRAS/ELETROSUL) Alice, Bianca, Clara, Débora e Érica são

amigas e sentam-se juntas e lado a lado no meio de uma fileira vazia do cinema

com 15 lugares. Depois que todos se acomodam, verifica-se que:

– Bianca não se senta ao lado de Débora, mas em cada um dos seus lados está

sentada uma das suas amigas.

– Ao lado de Érica há uma poltrona vazia.

– Sentada, Clara está na terceira poltrona à esquerda da poltrona de Érica.

– Há apenas duas poltronas ocupadas entre Alice e uma poltrona vazia.

Nas condições descritas, é correto afirmar que

a) Débora está sentada na poltrona do meio.

b) Bianca está sentada ao lado de Clara.

c) Alice está sentada ao lado de Clara.




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d) Érica está sentada ao lado de Débora.

e) Clara está há três poltronas de Bianca.

5. (2016/FCC/TRF-3ª REGIÃO) Amanda, Brenda e Carmen são médica, engenheira

e biblioteconomista, não necessariamente nessa ordem. Comparando a altura das

três, a biblioteconomista, que é a melhor amiga de Brenda, é a mais baixa. Saben-

do-se também que a engenheira é mais baixa do que Carmen, é necessariamente

correto afirmar que

a) Brenda é médica.

b) Carmen é mais baixa que a médica.

c) Amanda é biblioteconomista.

d) Carmen é engenheira.

e) Brenda é biblioteconomista.

6. (2016/FCC/TRF-3ª REGIÃO) A tabela a seguir indica o(s) dia(s) de plantão de

cada um dos cinco funcionários de um departamento. Por problemas na impressão

da tabela, apenas o preenchimento de plantões da última linha e da última lacuna

não saíram visíveis.

A respeito dos plantões dos cinco funcionários nessa semana, sabe-se que:

I – apenas dois funcionários fizeram plantão na 4ª feira.

II – Ricardo e Camilo fizeram o mesmo número de plantões na semana.

III – 3ª feira foi o dia da semana com mais funcionários de plantão.




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IV – todos os funcionários fizeram, ao menos, um plantão na semana, e todos os

dias da semana contaram com, ao menos, um funcionário de plantão.

V – três funcionários fizeram apenas um plantão na semana.

De acordo com os dados, Camilo NÃO fez plantão apenas

a) 2ª feira e 6ª feira.

b) 3ª feira e 6ª feira.

c) 3ª feira e 4ª feira.

d) 3ª feira, 5ª feira e 6ª feira.

e) 2ª feira, 3ª feira e 6ª feira.

7. (2016/FCC/TRF-3ª REGIÃO) Um exame é constituído de cinco perguntas, sendo

que cada uma deve ser respondida com verdadeiro (V) ou falso (F). A tabela abaixo

mostra as respostas assinaladas por quatro alunos.

Sabendo-se que um dos quatro alunos acertou todas as respostas, outro acertou

somente duas das respostas, e outro errou todas as respostas, o número de res-

postas certas do aluno restante foi

a) 3.

b) 4.

c) 1.

d) 2.

e) 5.




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8. (2015/FCC/TRT-4ª REGIÃO/RS) Há sete participantes de um torneio de tiro ao

alvo, cada um disparando um único tiro. Quatro deles (André, Francisco, Sérgio

e José) são experientes, e três deles (Eduardo, Fernando e Gabriel) são novatos.

Sabe-se que:

– para que um novato dispare seu tiro, ele deve ser antecedido e precedido por um

atirador experiente;

– Fernando é o segundo a disparar seu tiro, enquanto que Sérgio é o último atirador

experiente a disparar um tiro;

– Francisco dispara antes do que José dispara seu tiro, mas depois do que André

dispara seu tiro.

Dentre as opções abaixo, NÃO é necessariamente correto que

a) Gabriel dispare seu tiro depois de Fernando.

b) Sérgio dispare seu tiro depois de todos os atiradores novatos.

c) Fernando é o primeiro novato a disparar um tiro.

d) Eduardo dispare seu tiro antes do que José.

e) José dispare seu tiro entre Eduardo e Gabriel.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




GABARITO

1. d

2. d

3. c

4. c

5. c

6. a

7. d

8. d




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RACIOCÍNIO LÓGICO




2. Questões com Verdades e Mentiras

Nas provas de concursos, há questões em que as bancas exigem uma análise

referente às declarações realizadas em uma determinada situação, procurando, na

maioria das vezes, saber quem é o mentiroso e até mesmo o culpado de um deter-

minado delito.

Nas questões com declarações nas quais existem pessoas que mentem e falam

a verdade, podemos perceber que existe uma contradição entre declarações, pois

não há como adivinhar quem mente ou quem fala a verdade. Devemos aplicar o

que foi ensinado no início referente às três leis do pensamento: uma proposição

“declaração” não pode ser verdadeira (V) e falsa (F) ao mesmo tempo, daí haverá

uma possível valoração para essas declarações. Vejamos as questões comentadas

a seguir e a aplicação do método.

É importante perceber que, em uma contradição, não há como existir duas ver-

dades ou até mesmo duas mentiras, assim podemos inferir que sempre em uma

contradição haverá uma verdade e uma mentira.

2.1. Questões com uma Contradição (Método da Contradição)

9. (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de

cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era

o culpado, cada um deles respondeu:

Armando.: “Sou inocente”.

Celso.: “Edu é o culpado”.

Edu.: “Tarso é o culpado”.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Juarez.: “Armando disse a verdade”.

Tarso.: “Celso mentiu”.

Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram

a verdade, pode-se concluir que o culpado é:

a) Edu.

b) Tarso.

c) Juarez.

d) Armando.

e) Celso.

Letra b.

De acordo com a questão, há as declarações de:

• Celso.: “Edu é o culpado”;

• Tarso.: “Celso mentiu”.

Existe uma contradição. Não é possível as duas serem verdadeiras ou falsas ao

mesmo tempo. Logo, uma é verdadeira e a outra é falsa ou vice-versa.

Partindo da contradição das declarações: “Sabendo-se que apenas um dos sus-

peitos mentiu...”, podemos deduzir que a mentira (adotaremos como F) está entre

Celso ou Tarso, logo, podemos analisar da seguinte forma:




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Valoraremos essas declarações de acordo com as outras que temos certeza de que

são verdadeiras, pois a única mentira se encontrará na contradição.

Sendo verdadeiras as declarações de Armando, Edu e Juarez, podemos concluir que

Tarso é o culpado. Por Tarso ser o culpado, Celso mentiu e Tarso falou a verdade.

Armando.: “Sou inocente”. (V)

Celso.: “Edu é o culpado”. (F)

Edu.: “Tarso é o culpado”. (V)

Juarez.: “Armando disse a verdade”. (V)

Tarso: “Celso mentiu”. (V)

10. (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem

pagar. Apanhado por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou

sem pagar, eles informaram:

– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.

– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.

– “Foi a Mara”, disse Manuel.

– “O Mário está mentindo”, disse Mara.

– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.

Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que

quem entrou sem pagar foi:

a) Mara.

b) Maria.

c) Mário.

d) Manuel.

e) Marcos.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Letra a.

De acordo com a questão:

Existe uma contradição. Não é possível as duas serem verdadeiras ou falsas ao

mesmo tempo. Logo, uma verdadeira e a outra é falsa ou vice-versa, pois Mara vai

contra a informação de Mário.

Partindo da contradição das declarações: “Sabendo-se que um e somente um dos

colegas mentiu”, podemos deduzir que a mentira (adotaremos como F) está entre

Mara ou Mário. Podemos analisar da seguinte forma:

– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. (V)

Valoraremos essas declarações de acordo com as outras de que temos certeza que

são verdadeiras, pois a única mentirá se encontrará na contradição.

Sendo verdadeiras as declarações de Marcos, Manuel e Maria, podemos concluir

que foi a Mara que entrou sem pagar, segundo a afirmação de Manuel.

– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. (V)

– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. (F)

– “Foi a Mara”, disse Manuel. (V)

– “O Mário está mentindo”, disse Mara. (V)

– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. (V)




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RACIOCÍNIO LÓGICO




2.2. Questões com Experimentação (Método da Experimentação)

Nas questões com declarações em que não há contradições entre duas ou mais

declarações, devemos valorar uma declaração como verdadeira e, a partir dela,

valorarmos as demais. Após valoração, verificar se houve ou não algum problema,

isto é, não tenha solução, assim, caso tivermos solução a questão está pronta, caso

contrário recomeçamos a questão com valoração falsa.

Nessas questões não temos a certeza de que as pessoas envolvendo são do

mesmo tipo, ou seja, todas podem falar a verdade, ou todas podem mentir e até

mesmo termos pessoas dos dois tipos, é por isso que experimentamos.

Vejamos as questões comentadas aplicação do método.

11. (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primei-

ros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes.

Ao comunicarem a classificação final, cada Juiz anunciou duas colocações, sendo

uma delas verdadeira e outra falsa.

Juiz 1.: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”.

Juiz 2.: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”.

Juiz 3.: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”.

Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto co-

locados foram, respectivamente:

a) André, Caio, Beto, Dênis.

b) Beto, André, Caio, Dênis.

c) André, Caio, Dênis, Beto.

d) Beto, André, Dênis, Caio.

e) Caio, Beto, Denis, André.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Letra c.

Nessa questão, há duas possibilidades para cada discurso, ou seja, cada um con-

tendo uma informação verdadeira para o primeiro e falsa para a segunda, ou falsa

para a primeira e verdadeira para a segunda. Logo, realizaremos uma experimen-

tação.

Temos:

Juiz 1.: “André foi o primeiro (Verdadeiro); Beto foi o segundo”. (Falso)

Juiz 2.: “André foi o segundo (Falso) Dênis foi o terceiro”. (Verdadeiro)

Juiz 3.: “Caio foi o segundo (Verdadeiro) Dênis foi o quarto”. (Falso)

Supondo a valoração para o primeiro juiz:

Temos:

Juiz 1.: “André foi o primeiro (Falso) Beto foi o segundo”. (Verdadeiro)

Juiz 2.: “André foi o segundo (Falso) Dênis foi o terceiro”. (Verdadeiro)

Juiz 3.: “Caio foi o segundo (Verdadeiro) Dênis foi o quarto”. (Falso)

Nesse caso, houve empate entre Beto e Caio, logo, essa situação não está de acor-

do. Sendo assim, a primeira situação está correta.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




12. (ESAF) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo

blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas verme-

lhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem.

Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa

amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise

diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz

que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz,

Carolina, Denise e Eduarda são, respectivamente:

a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.

b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.

c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.

d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.

e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.

Letra e.

Essa questão, bem como a anterior, devemos resolver a partir da primeira declara-

ção como verdadeira. Caso não haja contradição, a questão estará de acordo; mas,

se houver, deveremos começar como falsa. A cada valoração, associaremos a cor

da blusa.

1ª SITUAÇÃO: Ana começa falando a verdade (EXPERIMENTAÇÃO).

– Ana diz.: Beatriz veste blusa vermelha. (Se Ana fala verdade, então veste blusa

vermelha, sua declaração é verdadeira, logo Beatriz veste blusa vermelha).

– Beatriz diz.: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa vermelha, en-

tão fala verdade, sua declaração é verdadeira, logo Carolina veste amarelo e com




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RACIOCÍNIO LÓGICO




isso é mentirosa, pois quem veste amarelo, mente).

– Carolina diz.: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina mente, então veste ama-

relo, sua declaração é falsa, logo Denise veste blusa vermelha e fala a verdade,

pois quem veste vermelho fala verdade).

– Denise diz.: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise

veste vermelho, então fala verdade, sua declaração é verdadeira, logo Beatriz e

Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Como sabemos que Beatriz veste blusa

de cor vermelha, então Eduarda veste blusa de cor amarela, o que significa dizer

que ela mente).

– Eduarda diz.: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda mente, então veste ama-

relo, sua declaração é falsa, logo Ana tem que vestir amarelo, para que Eduarda

esteja mentindo).

Percebemos que Eduarda está falando a verdade – o que não pode acontecer, pois

é uma pessoa mentirosa. Uma pessoa que mente não pode falar a verdade (entrar

em contradição). Nesse caso, a 1ª situação não está de acordo.

2ª SITUAÇÃO.: Ana começa falando mentira (EXPERIMENTAÇÃO)

– Ana diz.: Beatriz veste blusa vermelha. (Se Ana fala mentira, então veste blusa

amarela, sua declaração é falsa, logo Beatriz veste blusa amarela).

– Beatriz diz.: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa amarela, en-

tão fala mentira, sua declaração é falsa, logo Carolina veste vermelho e com isso

fala verdade, pois quem veste vermelho fala verdade).

– Carolina diz.: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina fala verdade, então ves-

te vermelho, sua declaração é verdadeira, logo Denise veste blusa amarela e fala

mentira, pois quem veste amarelo fala mentira).

– Denise diz.: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise




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RACIOCÍNIO LÓGICO




veste amarelo, então fala mentira, sua declaração é falsa, logo Beatriz e Eduarda

vestem blusas de cores iguais. Como sabemos que Beatriz veste blusa de cor ama-

rela, então Eduarda veste blusa amarela, o que significa que ela fala mentira).

– Eduarda diz.: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda fala mentira, então veste

amarelo, sua declaração é falsa, logo Ana tem que vestir amarelo, o que realmente

acontece, pois Ana é mentirosa).

Nesse caso, a 2ª situação está de acordo, pois nenhuma delas entra em contradição

com sua própria declaração.

Ana – amarelo; Beatriz – amarelo; Carolina – vermelho; Denise – amarelo; Eduar-

da – amarelo.

O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cás sio diz às

quartas, quintas e sextas–feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos

outros dias da semana; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças–

feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ela nos outros dias da semana.

A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos.

13. (CESPE/MI/2013) Se, em certo dia, ambos disserem “Amanhã é meu dia de

mentir”, então essa afirmação terá sido feita em uma terça–feira.

Certo.

Vamos construir uma tabela para que possamos visualizar melhor a situação.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Se analisarmos a terça-feira segundo o que o item propõe:

• Cássio na terça-feira (fala a verdade) diz.: “Amanhã é meu dia de men-

tir”, se ele fala a verdade nesse dia, então deverá mentir na quarta-feira, o

que realmente acontece segundo podemos observar no quadro acima;

• Cássia na terça-feira (fala mentira) diz.: “Amanhã é meu dia de mentir”,

se ela fala mentiras nesse dia, então deverá falar a verdade na quarta-feira,

o que realmente acontece segundo podemos observar no quadro acima.

14. (CESPE/MI/2013) Na terça-feira, Cássia disse que iria ao supermercado no sá-

bado e na quarta-feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso, a proposição

“Se Cássia for ao supermercado no sábado, então comprará arroz” é verdadeira.

Certo.

De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a

pessoa está falando a verdade e quando está mentindo.

A proposição: “Cássia for ao supermercado no sábado” será falsa (F), pois foi dita

em uma terça-feira.

A proposição: “comprará arroz” será verdadeira (V), pois foi dito em uma quarta-

-feira.

Valorando as proposições, podemos aplicar na proposição composta: “Cássia for ao

supermercado no sábado (F) → comprará arroz (V) = VERDADEIRO.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




15. (CESPE/MI/2013) Se, em uma sexta–feira, Cássio disser a Cássia: “Se eu te

amasse, eu não iria embora”, será correto concluir que Cássio não ama Cássia.

Errado.

De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a

pessoa está falando a verdade e quando está mentindo.

Em uma sexta–feira, segundo a tabela acima, Cássio mente, logo, a afirmação dita

por ele deve ser valorada como falsa.

Cássio: “Se eu te amasse, eu não iria embora” = F

Há uma proposição composta condicional. Para que seja falsa, o antecedente tem

que ser verdadeiro e o consequente falso, assim:

Cássio: eu te amasse(V) → eu não iria embora (F) = F

Dessa forma, Cássio ama Cássia e vai embora.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




AUTOAVALIAÇÃO

1. (2017/FCC/TRT-24ª REGIÃO/MS) Em um grupo de cinco homens (P, Q, R, S e T)

que se conhecem muito bem, cada um é destro ou canhoto, ou seja, não há ambi-

destros. P diz ser destro, Q diz que P é canhoto, R diz que Q é canhoto, S diz que Q

é destro, e T diz que R é canhoto. Sabe-se que os homens destros estão dizendo a

verdade, e que os canhotos estão mentindo. Se apenas dois dos cinco homens são

canhotos, então os canhotos são

a) P e S.

b) Q e S.

c) S e T.

d) P e R.

e) Q e R.

2. (2016/FCC/AL-MS) Lucas encontrou as seguintes sentenças em um livro de ló-

gica:

1. A próxima sentença é verdadeira.

2. A sentença anterior é falsa.

Analisando as duas sentenças, é correto afirmar que

a) 1 e 2 são necessariamente verdadeiras.

b) 1 é verdadeira e 2 é falsa.

c) 1 é falsa e 2 é verdadeira.

d) 1 e 2 são necessariamente falsas.

e) 1 e 2 são mutuamente inconsistentes.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




3. (2016/FCC/SEGEP-MA) Quatro meninos têm 5, 7, 9 e 11 carrinhos cada um. A

respeito da quantidade de carrinhos que cada um tem, eles afirmaram:

– Antônio: Eu tenho 5 carrinhos;

– Bruno: Eu tenho 11 carrinhos;

– Cássio: Antônio tem 9 carrinhos;

– Danilo: Eu tenho 9 carrinhos.

Se apenas um deles mentiu, tendo os outros dito a verdade, então é correto con-

cluir que a soma do número de carrinhos de Antônio, Bruno e Cássio é igual a

a) 23.

b) 25.

c) 21.

d) 27.

e) 22.

4. (2016/FCC/PREFEITURA DE TERESINA) Paulo, Francisco, Carlos, Henrique e Ale-

xandre são irmãos, sendo que apenas um deles quebrou um vaso na sala de casa.

Ao investigar o ocorrido, a mãe dos cinco ouviu de cada um as seguintes afirma-

ções:

Paulo: − Fui eu quem quebrou o vaso.

Francisco: − Eu não quebrei o vaso.

Carlos: − Foi Alexandre quem quebrou o vaso.

Henrique: − Francisco está mentindo.

Alexandre: − Não foi Carlos quem quebrou o vaso.

Se apenas um dos cinco irmãos disse a verdade, quem quebrou o vaso foi

a) Henrique.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




b) Francisco.

c) Paulo.

d) Carlos.

e) Alexandre

5. (2016/FCC/TRT-14ª REGIÃO/RO E AC) Aldo, Daniel e Eduardo são três amigos.

Dois deles têm 66 anos, e sempre mentem. O outro deles tem 48 anos e sempre

diz a verdade. Se Aldo disse “– A idade de Daniel não é 66 anos”, então, é correto

afirmar que

a) Eduardo e Daniel dizem a verdade.

b) Aldo e Eduardo mentem.

c) Eduardo tem 48 anos.

d) Aldo diz a verdade.

e) Aldo tem 48 anos.

6. (2015/FCC/DPE-RR) Se Daniela possui pelo menos três carros, então Elisa pos-

sui três carros. Se Elisa possui carro, então Fernanda possui cinco carros. Sabendo-

-se que Daniela possui cinco carros, foram feitas as seguintes afirmações:

I – Elisa possui carro;

II – Fernanda possui carro;

III – Fernanda não possui carro.

Das três afirmações feitas, são necessariamente corretas APENAS

a) I.

b) II.

c) III.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




d) I e II.

e) I e III.

7. (2015/FCC/TCE-CE) Em uma família de 6 pessoas, um bolo foi dividido no jantar.

Cada pessoa ficou com 2 pedaços do bolo. Na manhã seguinte, a avó percebeu que

tinham roubado um dos seus dois pedaços de bolo. Indignada, fez uma reunião de

família para descobrir quem tinha roubado o seu pedaço de bolo e perguntou para

as outras 5 pessoas da família: “Quem pegou meu pedaço de bolo?”

As respostas foram:

Guilherme: “Não foi eu”

Telma: “O Alexandre que pegou o bolo”.

Alexandre: “A Caroline que pegou o bolo”.

Henrique: “A Telma mentiu”

Caroline: “O Guilherme disse a verdade”.

A avó, sabendo que uma pessoa estava mentindo e que as outras estavam falando

a verdade, pôde concluir que quem tinha pegado seu pedaço de bolo foi

a) Guilherme.

b) Telma.

c) Alexandre.

d) Henrique.

e) Caroline.

8. (2015/FCC/CNMP) Paulo, Ricardo e Sérgio fizeram as seguintes afirmações:

Paulo: eu sou advogado.

Ricardo: Paulo não é advogado.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Sérgio: A afirmação de Ricardo é falsa.

A respeito das afirmações ditas por eles, certamente,

a) as três são verdadeiras.

b) duas são verdadeiras.

c) duas são falsas.

d) menos do que três são falsas.

e) menos do que duas são verdadeiras.

9. (2014/FCC/TRF-4ª REGIÃO) Miguel, Érico, Ricardo, Jaime e Caio são interroga-

dos em um Tribunal para averiguação de um crime certamente cometido por, ape-

nas, um dos cinco. Nos interrogatórios, cada um fez a seguinte afirmação:

Miguel: – o culpado é Jaime.

Érico: – Ricardo não é culpado.

Ricardo: – o culpado é Caio.

Jaime: – eu não sou culpado.

Caio: – o culpado é Miguel.

Se apenas um dos cinco interrogados diz a verdade, então o crime foi cometido por

a) Jaime.

b) Caio.

c) Miguel.

d) Érico.

e) Ricardo.

10. (2006/FCC/SEFAZ-SP) Numa ilha dos mares do sul convivem três raças distin-

tas de ilhéus: os zel(s) só mentem, os del(s) só falam a verdade e os mel(s) alter-




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RACIOCÍNIO LÓGICO




nadamente falam verdades e mentiras – ou seja, uma verdade, uma mentira, uma

verdade, uma mentira –, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra.

Nos encontramos com três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das raças

Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C

Nós: – Sr. C, o senhor é da raça zel, del ou mel?

Sr. C: – Eu sou mel. (1ª resposta)

Nós: – Sr. C, e o senhor A, de que raça é?

Sr. C: – Ele é zel. (2ª resposta)

Nós: – Mas então o Sr. B é del, não é isso, Sr. C?

Sr. C: – Claro, senhor! (3ª resposta)

Nessas condições, é verdade que os senhores A, B e C são, respectivamente,

a) del, zel, mel.

b) del, mel, zel.

c) mel, del, zel.

d) zel, del, mel.

e) zel, mel, del.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




GABARITO

1. d

2. e

3. a

4. d

5. c

6. d

7. e

8. d

9. e

10. b




48 de 100

RACIOCÍNIO LÓGICO




3. Questões com Raciocínio Espacial (Figuras), Sequencial e

Temporal

3.1. Questões com Numerações

Tomando o algarismo 2 como exemplo, mas serve para os demais, com exce-

ção do 0, construiremos um padrão para resolvermos as questões que perguntam

quantas vezes aparece um determinado algarismo.

Do número 1 a 99:

• 1 → 9 = aparece uma vez (número 2);


• 20 → 29 = aparece 11 vezes (números: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 e

29);







• 90 → 99 = aparece uma vez (número 92).

Sendo assim, o número 2 aparece 20 vezes, ou seja, haverá (1) uma vez em

cada dezena e, na dezena do número desejado, haverá 11 vezes. O algarismo 0

aparece 9 vezes.

Do número 100 ao 999:

• 100 → 199 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena não influen-

ciam, demonstrado acima (20);




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RACIOCÍNIO LÓGICO




• 200 → 299 = aparecem 120 vezes, pois os números da centena influenciam,

logo, são 20 vezes das dezenas mais 100 vezes das centenas (120);











• 800 → 899 = aparecem vinte vezes, pois os números da centena não influen-



ciam, demonstrado acima (20).

Sendo assim, o número 2 aparece 120 vezes na centena do número desejado e

20 vezes nas demais.


• 1000 → 1099 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade

de milhar influenciam;

• 1100→ 1199 = aparecem 20 vezes, pois os números da centena e unidade

de milhar não influenciam;

• 1200→ 1299 = aparecem 120 vezes, pois os números da centena influenciam

e os da unidade de milhar não influenciam;




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RACIOCÍNIO LÓGICO

















de milhar não influenciam.

A unidade de milhar influencia quando coincidir em ser o próprio número dese-

jado.

11. (FCC) Um livro tem 300 páginas, numeradas de 1 a 300. A quantidade de vezes

que o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro é:

a) 160.

b) 154.

c) 150.

d) 142.

e) 140.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Letra a.

De acordo com a explicação anterior, podemos concluir que:

De 1 a 99 → 20 vezes.

100 a 199 → 20 vezes.

200 a 299 →120 vezes.

Somando: 160 vezes.

12. (CESGRANRIO) Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, quantas

vezes o algarismo 1 é escrito?

a) 481.

b) 448.

c) 420.

d) 300.

e) 289.

Letra b.

Conforme a explicação anterior, podemos concluir que:

De 1 a 99 → 20 vezes

100 a 999 → 280 vezes

1000 a 1099 → 120 vezes

1100 a 1111→ 28 vezes

Somando: 448 vezes.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




AUTOAVALIAÇÃO

1. (ANALISTA/2014) Sabe-se que um livro possui 828 páginas, sendo todas nume-

radas. Quantas vezes o algarismo 2 foi usado?

a) 270

b) 271

c) 272

d) 273

e) 274

2. (2009/FCC/TJ-SE) Se, para numerar todas as páginas de um texto, forem usa-

dos 225 algarismos do sistema decimal de numeração, quantas vezes o algarismo

3 aparecerá na numeração dessas páginas?

a) Menos do que 20

b) 21

c) 33

d) 42

e) Mais do que 43




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RACIOCÍNIO LÓGICO




GABARITO

1. c

2. b




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RACIOCÍNIO LÓGICO




4. Questões com Numerações de Páginas (Comuns nas Provas

da FCC e Cesgranrio)

Construiremos um padrão para resolvermos as questões que perguntam quan-

tas páginas podem ser numeradas com uma determinada quantidade de algaris-

mos.


• 1 → 10 – utilizou 11 algarismos;









• 91 → 100 – utilizou 21 algarismos.

Do número 101 ao 999 temos: para cada página, haverá 3 algarismos, logo,

quando for calcular a quantidade de páginas, é só dividir por 3.

Obs..:� para as questões de concursos públicos, tendo como referência os seis últi-

mos anos, já é o suficiente.

3. (FCC) Se para numerar as páginas de um livro foram usados 357 algarismos,

qual a quantidade de páginas cuja numeração corresponde um número par?




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RACIOCÍNIO LÓGICO




a) 70.

b) 77.

c) 80.

d) 87.

e) 90.

Letra b.

Segundo a explicação anterior, podemos concluir que:

De 1 a 100 → 192 algarismos → 100 páginas

Logo, subtraindo 192 de 357 sobram, ainda, 165 algarismos. Como a partir de ago-

ra as páginas possuem 3 algarismos (para questões de concursos), dividiremos 165

por 3, calculando as páginas restantes: 165 / 3 → 55 páginas.

Total → 155 páginas

Como foi perguntado quantas páginas são pares, é só dividir o resultado por 2.

155/2 = 77 e resta 1. (77 pares e 78 ímpares)

4. (FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referen-

te aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a

capa e a contracapa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao

concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que

foram numeradas é.

a) 97.

b) 99.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




c) 111.

d) 117.

e) 126.

Letra c.

Segundo a explicação anterior, podemos concluir que:

De 1 a 100 → 192 algarismos 100 páginas

Logo, subtraindo 192 de 225 sobram, ainda, 33 algarismos. Como a partir de agora

as páginas possuem 3 algarismos (para questões de concursos), dividiremos 33 por

3, calculando as páginas restantes: 33 / 3 11 páginas.

Total 111 páginas




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AUTOAVALIAÇÃO

1. (FCC/2007/TRF/TÉCNICO JUDICIÁRIO) Um técnico judiciário foi incumbido da

montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição

Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contracapa, a numeração das páginas

foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225

algarismos, o total de páginas que foram numeradas é.

a) 97.

b) 99.

c) 111.

d) 117.

e) 126.




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GABARITO

1. c




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5. Questões com Método da Pior Hipótese

5.1. Princípio da Casa dos Pombos

O princípio do pombal ou princípio da casa dos pombos é a afirmação de que,

se n pombos devem ser postos em m casas, e se n > m, então pelo menos uma casa

conterá mais de um pombo. Matematicamente falando, isso quer dizer que, se o núme-

ro de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um

outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva.

É também conhecido como teorema de Dirichlet ou princípio das gavetas

de Dirichlet, pois supõe-se que o primeiro relato desse princípio foi feito por Diri-

chlet em 1834, com o nome de Schubfachprinzip (“princípio das gavetas”).

O princípio do pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode

ser aplicado em muitos problemas formais, incluindo aqueles que envolvem um

conjunto infinito. Embora se trate de uma evidência extremamente elementar, o

princípio é útil para resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são

imediatos. Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, quem faz o papel

dos objetos e quem faz o papel das gavetas.

2. (FGV) Uma aldeia tem 1000 índios, todos vestidos da mesma forma, mas nu-

merados de 1 a 1000. Todos só falam a verdade, mas, para qualquer pergunta, só

podem responder sim ou não. Uma pessoa chega à aldeia e, para saber quem é o

chefe, deve fazer perguntas a qualquer índio, já sabendo quais são as duas únicas

“respostas possíveis. O número mínimo de perguntas que devem ser feitas para

que se tenha a certeza de conhecer o chefe da aldeia é:




http://pt.wikipedia.org/wiki/Elemento

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://pt.wikipedia.org/wiki/Finito

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_injectiva

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dirichlet

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dirichlet

http://pt.wikipedia.org/wiki/1834

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_infinito

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a) 10.

b) 20.

c) 500.

d) 100.

e) 50.

Letra a.

Essa questão tem como objetivo encontrar o chefe da aldeia com a menor quanti-

dade possível de perguntas para que se tenha certeza. Vamos aplicar uma ideia

de busca binária, ou seja, há 1.000 índios e todos falam a verdade, porém, só sa-

bem falar: sim ou não. A melhor opção é realizarmos o seguinte:

A pergunta será feita para um dos índios de cada grupo formado, da seguinte ma-

neira: “o Chefe está entre vocês?”, a resposta será sim ou não. Como o índio não

mente, dividiremos os remanescentes em dois grupos.

Nas perguntas 4 e 5, adotamos o grupo com maior quantidade, porém, a resposta

do índio nos levará a melhor escolha.

Logo, na 10ª pergunta, teremos certeza de termos encontrado o chefe da aldeia.




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3. (FGV) Em um baú há 15 lenços brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. O número

mínimo de lenços que devem ser retirados do baú para que se possa garantir que,

entre os lenços retirados, haja pelo menos quatro de mesma cor é:

a) 44.

b) 10.

c) 12.

d) 4.

e) 45.

Letra b.

Esta questão exige uma certeza para que possamos retirar uma quantidade de

lenços e que tenhamos entre os retirados, pelo menos, quatro lenços da mesma

cor.

Nesse caso, iremos pensaremos na pior hipótese: suponhamos que você retire um

lenço e este venha da cor branca, o segundo da cor vermelha e o terceiro preto.

Bem, sabemos que não há certeza disso acontecer, porém, é uma situação total-

mente contrária à desejada, logo, é assim que teremos a certeza do nosso deseja-

do acontecer. Observe a ilustração.




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Supondo a pior hipótese, quando se quer lenços de mesma cor, pega-se apenas de

cores diferentes, logo, ao pegar o 10º lenço, com certeza repetirá uma das cores

(branco, vermelho ou preto).

4. (CESGRANRIO) Em uma caixa há duas bolas azuis, 3 bolas amarelas e 4 bolas

pretas. Serão retiradas N bolas dessa caixa, simultaneamente e de forma totalmen-

te aleatória. O menor valor positivo de N, para que se possa garantir que haverá

bolas de todas as cores, é:

a) 4.

b) 5.

c) 6.

d) 7.

e) 8.

Letra e.




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22. Uma empresa irá presentear seus funcionários pelos seus aniversários, logo

quanto a empresa deve possuir para que se tenha certeza de que haverá pelo me-

nos duas comemorações por mês?

13

Pelo princípio da casa dos pombos, se houver mais pessoas (13) do que meses

(12), é certo que, pelo menos, duas pessoas terão nascido no mesmo mês.

Na verdade, estamos aplicando o método da pior hipótese.




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AUTOAVALIAÇÃO

1. (2015/FCC/MANAUS) Em uma oficina existem apenas engrenagens com 3 den-

tes e serras circulares com 5 pontas. Se existem, no total, 97 dentes e pontas nes-

sa oficina, então nela, necessariamente, existem

a) 17 serras circulares, no máximo.

b) 9 engrenagens e 14 serras circulares.

c) mais serras circulares do que engrenagens.

d) 3 engrenagens, no mínimo.

e) 16 serras circulares, no máximo.

2. (2014/FCC/TRT-16ª REGIÃO/MA) Em uma floresta com 1002 árvores, cada ár-

vore tem de 900 a 1900 folhas. De acordo apenas com essa informação, é correto

afirmar que, necessariamente,

a) ao menos duas árvores dessa floresta têm o mesmo número de folhas.

b) apenas duas árvores dessa floresta têm o mesmo número de folhas.

c) a diferença de folhas entre duas árvores dessa floresta não pode ser maior do

que 900.

d) não há árvores com o mesmo número de folhas nessa floresta.

e) a média de folhas por árvore nessa floresta é de 1400.

3. (2014/FCC/TRT-2ª REGIÃO/SP) O procedimento de despacho de bagagens em

voos internacionais de certa companhia aérea está descrito no fluxograma abaixo.

Ao final do processo de despacho para um voo internacional, Pedro e Marina tive-

ram de pagar R$ 105 e R$ 78, respectivamente. Dessa forma, pode-se concluir




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INICIO DO PROCESSO DE DESPACHO

2. Peça ao passageiro que assine um

termo de responsabilidade.

7. Para cada bagagem, cobre R$ 3 para cada kg que exceda os 32 kg permitidos.

5. Passe cada bagagem separada-mente.

FIM DO PROCESSO DE DESPACHO

4. Cobre R$ 96 para cada bagagem que exceda as duas permitidas.

8. Imprima e cole as etiquetas das bagagens.

1. Todas as bagagens estão em boas condições?

3. Há mais de duas bagagens para des-

pachar?

6. Alguma bagagem pesa mais de 32 kg?

SIM

SIM

SIM

NÃO

NÃO

NÃO




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que, necessariamente,

a) tanto Pedro, quanto Marina despacharam mais do que duas bagagens.

b) Pedro pode ter despachado uma, duas ou três bagagens e Marina despachou

duas.

c) Pedro pode ter despachado uma, duas ou três bagagens e Marina despachou,

no máximo, duas.

d) Pedro despachou três bagagens e Marina despachou duas.

e) Pedro despachou três bagagens e Marina pode ter despachado uma ou duas.

4. (2012/FCC/MPE-PE) Em uma festa haviam apenas casais e seus respectivos fi-

lhos naturais, que chamaremos de meninos e meninas. A respeito dessas pessoas

presentes na festa, sabe-se que:

– havia mais meninos do que meninas;

– não havia casais sem filhos;

– cada menino tem uma irmã.

Apenas com os dados fornecidos, com relação às pessoas presentes na festa, é

necessariamente correto afirmar que há

a) casais com apenas uma filha.

b) casais com dois filhos e uma filha.

c) menos pais do que filhos.

d) o mesmo número de homens e mulheres.

e) mais mulheres do que homens.




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GABARITO

1. a

2. a

3. c

4. c




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6. Questões com Sequências e Figuras

6.1. Sucessões ou Sequências

Definição: conjunto de elementos de qualquer natureza, organizados ou escri-

tos numa ordem bem determinada.

A representação de uma sequência é determinada tendo os seus elementos, ou

termos, entre parênteses.

Não pode haver uma interpretação como ocorre nos conjuntos, pois qualquer

alteração na ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência.

Exemplos.:

a) Sucessão dos meses de um ano: (janeiro, fevereiro, março, abril... dezembro);

b) O conjunto ordenado (0, 1, 2, 3, 4, 5...) é chamado sequência ou sucessão dos

números naturais.

Termos de uma sucessão.: uma sequência ou uma sucessão numérica pode

possuir uma quantidade finita ou infinita de termos.

Exemplos:

a) (4, 8, 12, 16) é uma sequência finita;

b) (a, e, i, o, u) é uma sequência finita;

c) (3, 6, 9...) é uma sequência infinita.

a1 = 1 a2 = 3 a3 = 5 a4 = 7 ...

O número que aparece no nome do elemento é a "ordem" dele, ou seja, a1 é o primeiro, a2 é o segundo etc.




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6.2. Representação de uma Sequência

A representação matemática de uma sucessão é dada da seguinte forma:

(b1, b2, b3,...bn-1, bn), em que:

– b1 é o primeiro termo.

– b2 é o segundo termo.

– bn é o enésimo termo.

Exemplo: dada a sequência (–1, 2, 5, 8, 11), calcular:

a) a3 – a2

b) a2 + 3a1

Solução:

a) a3 = 5 e a2 = 2 ⇒ a3 – a2 = 5 – 2 = 3

b) a2 + 3. a1 = 2 + 3 x –1 = 2 – 3 = –1

23. (CESGRANRIO/2008)

Qual é o 700 termo da sequência de números (an) definida acima?

a) 2.

b) 1.

c) – 1.




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d) – 2.

e) – 3.

Letra d.

Primeiro, construiremos a sequência para que possamos verificar qual foi o padrão

utilizado na sucessão dos termos.

a1 = 2

a2 = 3

a3 = a2 – a1 = 1

a4 = a3 – a2 = –2

a5 = a4 – a3 = –3

a6 = a5 – a4 = –1

a7 = a6 – a5 = 2

a8 = a7 – a6 = 3

Representando a sequência: (2, 3, 1, –2, –3, –1, 2, 3, 1,...)

Ao representar, torna-se notável que a sequência possui uma outra sequência que

se repete de seis em seis termos. Logo, podemos realizar o seguinte cálculo para

resolver o problema:

Se sobraram 4 termos, o termo a70 corresponde ao 4º termo: (2, 3, 1, –2, –3, –1,

2, 3, 1,...).




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6.3. Lei de Formação de uma Sequência

É a relação estabelecida entre os elementos da sequência que gera os demais

elementos.

Exemplo: uma Progressão Aritmética (PA).

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)

O primeiro termo dessa PA é 1, o segundo é 3, e assim por diante.

Quando há um termo do qual não sabemos a posição, chamamos de an, em que

“n” é a posição ocupada pelo termo em questão. Esse é o termo geral, pois pode

ser qualquer um.

Voltando ao exemplo.

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)

Como é uma PA, segue um ritmo definido (ritmo que é a soma de duas unidades a

cada elemento que acrescentamos). Esse ritmo se chama razão, que é represen-

tada por “r”. Portanto, o segundo termo será a soma do primeiro mais a razão, o

terceiro será a soma do segundo mais a razão, e assim por diante.

Vimos no exemplo acima que cada próximo termo da progressão é acrescido de

duas unidades, portanto, r = 2. A razão pode ser estabelecida da seguinte maneira:

r = an – a n- 1




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TABELA 1 TABELA 2

a1 = 1 = 1 a1 = a1

a2 = 3 = 1 + 2 a2 = a1 + r

a3 = 5 = 1 + 2 + 2 a3 = a1 + r + r

a4 = 7 = 1 + 2 + 2 + 2

a4 = a1 + r + r + r

a5 = 9 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2

a5 = a1 + r + r + r + r

... ...

Ao analisar as tabelas 1 e 2, verificamos que somamos o primeiro termo a1 com

(n–1) vezes a razão.

Logo:

a1 = a1 + 0.r1

a2 = a1 + 1.r

a3 = a1 + 2.r

a4 = a1 + 3.r

a5 = a1 + 4.r

an =a1+(n-1).r

Logo, podemos definir que a lei de formação de uma PA é a seguinte:

an = a1+(n-1). r

Exemplo: uma Progressão Geométrica (PG).

(4, 8, 16, 32, 64,... )

Note que, dividindo um termo qualquer dessa sequência pelo termo antecedente,

o resultado é sempre igual a 2:




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a2: a1 = 8: 4 = 2

a4: a3 = 32: 16 = 2

a5: a4 = 64: 32 = 2

Progressão Geométrica (PG) é a sequência de números reais não nulos em que

o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sem-

pre o mesmo (constante).

Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.

Exemplos:

(1, 2, 4, 8, 16,...) é uma PG de razão q = 2

(2, –4, 8, –16,...) é uma PG de razão q = –2

6.4. Termo Geral de uma PG

Para obtermos o termo geral de uma PG, utilizamos o primeiro termo (a1) e a

razão (q).

Seja (a1, a2, a3,..., an) uma PG de razão q. Temos:

a2: a1 = q → a2 = a1 ⋅ q

a3: a2 = q → a3 = a2 ⋅ q → a3 = a1 ⋅ q²

a4: a3 = q → a4 = a3 ⋅ q → a4 = a1 ⋅ q³

...

...

...

Logo, conclui-se que na ocupa a n-ésima posição da PG. Dada pela expressão:

an = a1 ⋅ qn – 1




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6.5. Soma dos n Primeiros Termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos

Sn, considerando o que segue:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:

Sn ⋅ q = a1 ⋅ q + a2 ⋅ q +.... + an-1 ⋅ q + an ⋅ q ⋅

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:

Sn ⋅ q = a2 + a3 +... + an + an ⋅ q

Observe que a2 + a3 +... + an é igual a Sn – a1 ⋅ Logo, substituindo, vem:

Sn ⋅ q = Sn – a1 + an ⋅ q

Simplificando, temos a seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a n = a1 ⋅ qn-1, obteremos uma nova apresentação para a fór-

mula da soma, ou seja:




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(CESPE) Julgue o item.

24. Considere-se que (an) seja uma sequência que satisfaz à seguinte relação:

an+1 – an = 2n e a1 =1.

Nesse caso, a1 + a2 +...+ a100 = 2101 – 102.

Certo.

Sabendo que a1= 1 e utilizando a relação: an+1 – an = 2n

– Para n = 1, temos:

an+1 – an = 2n

a1+1 – a1 = 21

a2 – 1 = 2

a2 = 2 + 1

a2 = 3


an+1 – an = 2n

a2+1 – a2 = 22

a2 – 3 = 4

a2 = 4 + 3

a2 = 7





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an+1 – an = 2n

a3+1 – a3 = 23

a2 – 7 = 8

a2 = 8 + 7

a2 = 15

Sendo assim, temos a seguinte sequência:

a1 = 1

a2 = 3

a3 = 7

a4 = 15

a5 = 31

a6 = 63

.

.

.

a100 = 299 + a99

De um termo para outro é observado o seguinte acréscimo:

Sequência:

+21 +21 +23 +24 +25

(a1= 1) → (a2= 3) → (a3= 7) → (a4 = 15) → (a5 = 31) → (a6 = 63) →

Analisando a sequência (progressão geométrica): 21, 22, 23, 24,..., 299

Verifica-se que cada termo é adquirido por meio da relação:




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an = a1 + Sn – 1, descrevendo Sn – 1, temos:

an = a1 + Sn – 1, substituindo:

an = 1+ 2n – 2

an = 2n – 1

Encontrando os termos:

a1 = 21 – 1

a2 = 22 – 1

a3 = 23 – 1

a4 = 24 – 1

. =.

. =.

. =.

a100= (2100) – 1

______________

Soma = (2101 – 2) – 100

Soma = 2101 – 102




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6.6. Sequências Numéricas

Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos

em uma determinada ordem.

De acordo com a “lei de formação de uma sequência”, podemos perceber que

uma sequência numérica é constituída de termos numéricos, ou seja, números que

seguirão um padrão de formação. Toda sequência numérica possui uma ordem para

organização dos seus elementos, assim podemos dizer que em qualquer sequência os

elementos são dispostos da seguinte forma: (a1, a2, a3, a4,...., an,.....) ou (a1, a2, a3,...,

an), em que a1 é o 1º elemento, a2 o segundo elemento e assim por diante, e an o

e-nésimo elemento.

Exemplos:

(1, 0, 0, 1) – (4, 3, 3, 4) – (5, 4, 4, 5) – (6, 7, 7, 6) – (9, 8, 8, 9)

2, –4, 6, –8, –12,...

Essas sequências são diferenciadas em dois tipos:

• Sequência finita: é uma sequência numérica na qual os elementos têm fim,

como, por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores do que

10 e menores do que 40;

(a1, a2, a3, a4,..., an) sequência finita.

• Sequência infinita: é uma sequência que não possui fim, ou seja, seus ele-

mentos seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números inteiros.

(a1, a2, a3, a4,..., an,...) sequência infinita.




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Logo, podemos citar algumas sequências ou séries.

Série de Fibonacci: é uma sequência definida na prática da seguinte forma,

você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando

os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros números de Fibonacci para

n = 0, 1,... são

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,

2584, 4181, 6765, 10946...

Essa sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, conhecido

como Fibonacci, que descreve o aumento de uma população de coelhos. Os termos

descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de n meses

supondo que:

• nasce apenas um casal no primeiro mês;

• os casais reproduzem-se apenas após o segundo mês de vida;

• no cruzamento consanguíneo, não há problemas genéticos;

• cada casal fértil dá a luz a um novo casal todos os meses;

• não há morte de coelhos.

Número Tribonacci.: um número Tribonacci assemelha-se a um número de

Fibonacci, mas em vez de começarmos com dois termos predefinidos, a sequência

é iniciada com três termos predeterminados, e cada termo posterior é a soma dos

três termos anteriores. Os primeiros números de uma pequena sequência Tribo-

nacci são:

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768,

10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317 etc.




http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Pisano_Fibonacci

http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero

http://pt.wikipedia.org/wiki/Um


http://pt.wikipedia.org/wiki/Dois

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%AAs

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinco

http://pt.wikipedia.org/wiki/Oito

http://pt.wikipedia.org/wiki/Treze

http://pt.wikipedia.org/wiki/Vinte_e_um

http://pt.wikipedia.org/wiki/Trinta_e_quatro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinquenta_e_cinco

http://pt.wikipedia.org/wiki/Oitenta_e_nove

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cento_e_quarenta_e_quatro


http://pt.wikipedia.org/wiki/Dois

http://pt.wikipedia.org/wiki/Quatro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sete

http://pt.wikipedia.org/wiki/Treze

http://pt.wikipedia.org/wiki/Vinte_e_quatro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Quarenta_e_quatro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Oitenta_e_um

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Progressão Aritmética.: é uma sequência de números que obedecem uma lei

de formação já citada antes, isto é, an = a1 + (n–1).r, em que podemos definir cada

elemento por meio do termo anterior juntamente com a razão. Ex.: (10, 15, 20,

25, 30, 35, 40,...).

Progressão Geométrica.: é uma sequência de números que obedecem a uma

lei de formação já citada antes, isto é, an = a1 ⋅ qn – 1, em que podemos definir cada

elemento por meio do termo anterior com a razão. Ex.: (2, 6, 18, 54,...).

5. (FGV/2007) Na sequência numérica 3, 10, 19, 30, 43, 58,..., o termo seguinte

ao 58 é:

a) 75.

b) 77.

c) 76.

d) 78.

e) 79.

Letra a.

As questões de sequências, em sua maioria, apresentam uma lógica que será per-

cebida com bastante treino. Vejamos esta sequência:

• Primeiro termo: 3;

• Segundo termo: 10;

• Terceiro termo: 19;

• Quarto termo: 30.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Concluímos que o quinto termo realmente é 43, pois entre o primeiro e o segundo

aumentaram 7 unidades; entre o segundo e o terceiro aumentaram 9 unidades;

entre o terceiro e o quarto aumentaram 11 unidades. Percebe-se, então, que o au-

mento acontece da seguinte forma: (7, 9, 11, 13, 15, 17 e...), logo, do termo 58

para o seu sucessor, há um aumento de 17 unidades, que resulta em 75 (próximo

número).

6. (FGV) Na sequência de algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1,

2, 3, o 2007º algarismo é:

a) 1.

b) 2.

c) 4.

d) 5.

e) 3.

Letra e.

Na sequência acima há o seguinte: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1,

2, 3. Observe que se torna um pouco difícil encontrar um padrão, pois o intervalo

entre os termos não é constante, porém, devemos agrupar uma quantidade maior

de termos transformando-os em termos maiores.

Sendo assim, perceberemos que [1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2,], [1, 2, 3, 4, 5,4, 3, 2,] e

[1, 2, 3,...] criamos termos com maior quantidade de números, em que cada termo

possui 8 números.

Se queremos o termo de posição 2007º, calcularemos assim:




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O número estará na 7ª posição, logo: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1,

2, 3.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




AUTOAVALIAÇÃO

1. (IDECAN) Três números naturais 𝒂, 𝒃 e 𝒄 formam, nessa ordem, uma progressão

aritmética de razão 𝒓, com 𝒓 ∈ R. Sabe-se que

o quádruplo de 𝒂 é igual ao triplo de 𝒃. Assim, a razão entre 𝒃 e 𝒄 é:

a) 1/2.

b) 3/4.

c) 4/3.

d) 4/5.

2. (IDECAN) Considere a equação a seguir:

4 + 7 + 10 +... + 𝒙 = 424

Sabendo-se que os termos do primeiro membro dessa equação formam uma pro-

gressão aritmética, então o valor de 𝒙 é:

a) 37.

b) 49.

c) 57.

d) 61.

3. (IDECAN) A soma do primeiro e sétimo termos de uma progressão aritmética é

igual a 92. Se a razão dessa progressão é 13, então o terceiro termo dessa sequ-

ência é

a) 21.

b) 27.

c) 33.

d) 39.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




4. (2013/IDECAN/CREFITO-8ª REGIÃO/PR) O sétimo termo de uma progressão

geométrica de razão 2 é igual a 768. Se o segundo termo dessa progressão geo-

métrica é igual ao quarto termo de uma progressão aritmética, cuja razão é – 5,

então o produto do primeiro termo da progressão geométrica e o primeiro termo

da progressão aritmética é igual a

a) 456.

b) 468.

c) 472.

d) 484.

e) 492.

5. (2014/IDECAN/CNEN) A soma dos nove termos de uma progressão aritmética é

igual a 72. Sabe-se que a razão r da progressão é igual a 3. Logo, sendo P o quinto

termo dessa progressão, é correto afirmar que

a) P ≤ 3

b) 3 < P ≤ 7.

c) 7 < P ≤ 11.

d) 11 < P ≤ 15.

e) 15 < P ≤ 19.

6. Observe a seguinte sequência de figuras formadas por “triângulos”:




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Continuando a sequência de maneia a manter o mesmo padrão, é correto concluir

que o número de “triângulos” da figura 100 é:

a) 403.

b) 401.

c) 397.

d) 395.

e) 391.

7. Uma aranha demorou 20 dias para cobrir com sua teia a superfície total de uma

janela. Ao acompanhar o seu trabalho, curiosamente, observou-se que a área da

região coberta pela teia duplicava a cada dia. Se desde o início ela tivesse contado

com a ajuda de outra aranha de mesma capacidade operacional, então, nas mes-

mas condições, quantos dias seriam necessários para que, juntas, as duas reves-

tissem toda a superfície de tal janela?

a) 10.

b) 12.

c) 15.

d) 18.

e) 19.

8. (2014/FCC/TRT-16ª REGIÃO/MA) Seguindo o mesmo padrão de formação das

dez primeiras figuras dessa sequência, a décima primeira figura é:




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RACIOCÍNIO LÓGICO




9. (2017/FCC/TCE-SP) Considere a sequência de números naturais 0, 5, 100, 10,

15, 90, 20, 25, 80, 30, …, 10. A diferença entre os números que ocupam as 26ª e

22ª posições é um número que ocupa, nessa sequência, a posição

a) 9ª.

b) 7ª.

c) 6ª.

d) 5ª.

e) 8ª.

10. (2017/FCC/DPE-RS) A sequência ( 10/3; 17/4; 26/5; 37/6;...) é formada por

números muito próximos a números inteiros. A soma entre o termo mais próximo

a 10 e o termo mais próximo a 20 é igual a

a) 502/30

b) 803/40

c) 603/20

d) 901/30

e) 301/10




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RACIOCÍNIO LÓGICO




11. (2017/FCC/FUNAPE) Na sequência (100.000; 90.000; 81.000; 72.900;...), o

segundo termo não inteiro é o que está na posição

a) 6.

b) 5.

c) 7.

d) 8.

e) 9.

12. (2017/FCC/TRT-24ª REGIÃO/MS) Na sequência 1A3E; 5I7O; 9U11A; 13E15I;

17O19U; 21A23E;..., o 12º termo é formado por algarismos e pelas letras

a) EI.

b) UA.

c) OA.

d) IO.

e) AE.

13. (2016/FCC/TRT-20ª REGIÃO/SE) A sequência de números 1; 13; 1; 2; 13; 1;

2; 3; 13; 1; 2;..., foi criada com um padrão e possui vinte termos. A soma dos ter-

mos: 20º, 15º e 13º é um número

a) múltiplo de 5.

b) múltiplo de 9.

c) divisor de 2.

d) múltiplo de 8.

e) divisor de 6.




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14. (2016/FCC/METRÔ-SP) A sequência: 1A; 2AE; 3AEI; 4AEIO; 5AEIOU; 6AEIO;

7AEI; 8AE; 9A; 10AE; 11AEI; 12AEIO;..., ilimitada, mantém o mesmo padrão ló-

gico. Cada termo dessa sequência é composto por um certo número de símbolos

gráficos, sejam algarismos ou letras. O décimo primeiro termo, que é 11AEI, é for-

mado por cinco símbolos gráficos: 1, 1, A, E, e I. O milésimo décimo quarto termo

dessa sequência é formado por um número de símbolos gráficos igual a

a) 5.

b) 6.

c) 7.

d) 8.

e) 9.

15. (2016/FCC/ELETROBRAS/ELETROSUL) Observe os 15 primeiros termos de uma

sequência:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19,...

Mantido o mesmo padrão, o 1000º termo dessa sequência será igual a

a) 1326.

b) 1252.

c) 1434.

d) 1250.

e) 1333.

16. (2013/FCC/TRT-18ª REGIÃO/GO) Empilhando de modo conveniente 8 dados

idênticos, formamos um cubo de altura 2, como representado na figura.




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Do mesmo modo, para formar um cubo de altura 4, será necessário empilhar de

modo conveniente um total de dados idênticos igual a

a) 64

b) 48

c) 36

d) 24

e) 16

17. (2013/FCC/DPE-RS) Considere um quadriculado 6 × 6.

Na figura, foi destacado um quadrado cujos lados têm a seguinte característica:

estão totalmente contidos em linhas que formam o quadriculado. O número total

de quadrados cujos lados possuem essa mesma característica é igual a

a) 36.




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b) 41.

c) 62.

d) 77.

e) 91.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




GABARITO

1. d

2. b

3. c

4. b

5. c

6. b

7. e

8. b

9. d

10. c

11. d

12. d

13. b

14. d

15. e

16. a

17. e




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RACIOCÍNIO LÓGICO




7. Questões com Aplicação de Múltiplos – Datas

18. (FGV) Em certo ano, o dia primeiro de março caiu em uma terça-feira. Nesse

ano, o último dia de abril foi:

a) quarta-feira.

b) sábado.

c) sexta-feira.

d) quinta-feira.

e) domingo.

Letra b.

Sabemos que a semana possui 7 dias e que, por exemplo, de uma segunda-feira

para outra segunda-feira há um intervalo de 7 dias, isto é, podemos afirmar que

acontece da seguinte maneira:

dias: M(7): (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49,...) múltiplos de 7

É necessário que saibamos quantos dias possui cada mês do ano, por isso é neces-

sário falarmos um pouco sobre o ano bissexto.

“O ano de 2008 foi um ano bissexto. Em nosso calendário, chamado gregoriano,

os anos comuns têm 365 dias e os anos bissextos têm um dia a mais, totalizando

366 dias. Essa informação praticamente todo mundo sabe, mas o entendimento

sobre o funcionamento dos anos bissextos ainda é recheado de dúvidas na cabeça

de muita gente. Você saberia dizer quais são os anos bissextos?

Os anos bissextos são anos com um dia a mais, tendo, portanto, 366 dias. O dia




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RACIOCÍNIO LÓGICO




extra é introduzido como o dia 29 de fevereiro, ocorrendo a cada quatro anos. O

período de um ano se completa com uma volta da terra ao redor do sol. Como

instrumentos de uso prático, os calendários adotam uma quantidade exata de dias

para o período de um ano: 365 dias. Mas, na realidade, a terra leva aproximada-

mente 365 dias e 6 horas para completar uma volta ao redor do sol.

Portanto, um calendário fixo de 365 dias apresenta um erro de aproximadamente 6

horas por ano, equivalente a 1 dia a cada quatro anos ou 1 mês a cada 120 anos.

Um erro como esse tem sérias implicações nas sociedades, principalmente nas ati-

vidades que dependem de um conhecimento preciso das estações do ano, como a

agricultura.

Para diminuir esse erro, foi adotado o ano bissexto, acrescentando-se 1 dia a cada

quatro anos. Foi adotado pela primeira vez no Egito, em 238 a.C. O calendário Ju-

liano, introduzido em 45 a.C., adotou a regra de que todo ano divisível por quatro

era bissexto. Mas mesmo com essa regra ainda existia um erro de aproximada-

mente 1 dia a cada 128 anos. No final do século XVI, foi introduzido o calendário

Gregoriano, usado até hoje na maioria dos países, adotando as seguintes regras:

• todo ano divisível por 4 é bissexto;

• todo ano divisível por 100 não é bissexto;

• mas se o ano for também divisível por 400 é bissexto.

Obs..:� deixo um pouco prático dizendo que os anos bissextos são anos olímpicos.

Quantidade de dias em cada mês:

• Janeiro – 31 dias;

• Fevereiro – 28 dias – (bissexto – 29 dias);

• Março – 31 dias;




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• Abril – 30 dias;

• Maio – 31 dias;

• Junho – 30 dias;

• Julho – 31 dias;

• Agosto – 31 dias;

• Setembro – 30 dias;

• Outubro – 31 dias;

• Novembro – 30 dias;

• Dezembro – 31 dias.

Sendo assim, temos que calcular quantos dias existem do dia primeiro de março,

que caiu em uma terça-feira, até o último dia de abril.

1º/03. Observação importante é que o primeiro dia não pode entrar, devendo man-

ter uma sequência de sete dias (múltiplos de sete). Há, assim, um total de 30 dias.

30/04. Conta-se o último dia. Há, assim, 30 dias.

Total: 60 dias.

Como foi de terça a terça, então é só contar mais 4 dias, o que acontecerá sábado.

19. (CESGRANRIO) O ano de 2007 tem 365 dias. O primeiro dia de 2007 caiu em

uma segunda-feira. Logo, nesse mesmo ano, o dia de Natal cairá numa:

a) segunda-feira.




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b) terça-feira.

c) quarta-feira.

d) quinta-feira.

e) sexta-feira.

Letra b.

Do dia primeiro de janeiro de 2007 até o Natal (25/12/2007) passaram-se quantos

dias? Vejamos:

Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.30 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 25

Obs..:� em janeiro, não entra o primeiro dia; mas, em dezembro, entram todos os

dias até a data desejada.

Somando os números acima: 358 dias.

Um cálculo mais simples é fazermos o seguinte: o total (365 dias) menos (7 dias)

– que vai de 25 de dezembro a 1º de janeiro → 365 – 7 = 358 dias.

Passaram-se 51 semanas de segunda a segunda, e sobrou 1 dia, logo, caiu em uma

terça-feira.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




AUTOAVALIAÇÃO

1. (2015/FCC/CNMP/ANALISTA DO CNMP) O mês de fevereiro tem 28 dias em anos

regulares e 29 dias em anos bissextos. Em qualquer ano (regular ou bissexto), os

meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias, e os demais meses têm

31 dias. Sabe-se, ainda, que nunca temos dois anos consecutivos que sejam bis-

sextos.

Se 1º de janeiro de um ano bissexto caiu em uma sexta-feira, o dia 1º de março do

ano seguinte cairá em uma

a) quarta-feira.

b) segunda-feira.

c) sexta-feira.

d) terça-feira.

e) quinta-feira.

2. (2014/FCC/TJ-AP) Ricardo nasceu em 2001 e, exatamente 53 semanas depois

de seu nascimento nasceu Gabriela, sua irmã. Se Gabriela nasceu em 2003, então

ela faz aniversário no mês de

a) junho.

b) fevereiro.

c) janeiro.

d) novembro.

e) dezembro.

3. (2014/FCC/AL-PE/AGENTE LEGISLATIVO) O dia 04 de março de 2014 foi uma

terça-feira. Sendo assim, é correto afirmar que o dia 04 de março de 2015 será




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RACIOCÍNIO LÓGICO




a) segunda-feira.

b) quarta-feira.

c) quinta-feira.

d) domingo.

e) terça-feira.

4. (2013/FCC/TRT-5ª REGIÃO/BA) Um ano bissexto possui 366 dias, o que significa

que ele é composto por 52 semanas completas mais 2 dias. Se em um determinado

ano bissexto o dia 1º de janeiro caiu em um sábado, então o dia 31 de dezembro

cairá em

a) um sábado.

b) um domingo.

c) uma 2ª feira.

d) uma 3ª feira.

e) uma 4ª feira.

5. (2013/FCC/TRT-5ª REGIÃO/BA) A “Guerra dos Mil Dias” foi uma guerra civil que

ocorreu na Colômbia, tendo começado no ano de 1899. Considerando que o conflito

tenha durado exatamente 1000 dias, é possível concluir, apenas com as informa-

ções fornecidas, que seu término

a) ocorreu, certamente, no ano de 1901.

b) pode ter ocorrido no ano de 1901 ou de 1902.

c) ocorreu, certamente, no ano de 1903.

d) ocorreu, certamente, no ano de 1902.

e) pode ter ocorrido no ano de 1902 ou de 1903.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




GABARITO

1. a

2. c

3. b

4. b

5. b




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RACIOCÍNIO LÓGICO




GABARITO – DESAFIO

Uma promessa para lá de esquisita.

Certa vez três amigos, André, Beto e Carlos estavam se preparando para um

concurso público muito difícil e já se passavam alguns meses, quanto intensifi-

caram seus estudos e propuseram entre eles que se conquistassem tal almeja-

das vagas iriam realizar uma tarefa, que chamaram de “A Promessa”.

Pois bem, a promessa era a seguinte: Após publicação dos nomes dos três em

diário oficial, nomeações, os três iriam atravessar uma parte do deserto andan-

do, alimentado apenas de pão e água.

Após o resultado da prova, os três amigos alcançaram êxito no processo seleti-

vo e foram aprovados. Após três meses ocorreu a tão esperada nomeação e os

três se preparam para cumprir a promessa.

André, Beto e Carlos viajaram para o deserto do Saara que é popularmente co-

nhecido como o maior e o mais quente deserto mundo. No instante que foram

começar a travessia os amigos foram conferir seus suprimentos e algo cons-

trangedor ocorreu, Carlos havia esquecido seus pães e sua água.

No momento que Carlos informou aos seus amigos que havia esquecido seu

alimento, de imediato eles se propuseram a compartilhar os seus suprimentos.

André tinha levado apenas 05 pães e Beto tinha levado 03 pães.

Na hora da partilha dos alimentos ficou acertado que todos os três comeriam e

beberiam a mesma quantidade durante a viagem.

No decorrer da viagem, algo interessante aconteceu com Carlos, pois ele en-

controu um pote com 08 moedas de ouro, que estava enterrado na areia e não

avisou aos seus amigos.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Depois de 10 dias caminhando debaixo de um sol escaldante, comendo apenas

pão e bebendo água finalmente eles cumpriram a difícil promessa.

No momento da despedida, já aqui no Brasil, Carlos disse aos seus amigos o

que havia encontrado e num gesto de gratidão ofertou todas as moedas que

encontrou para André e Beto, ou seja, Carlos deu as 08 moedas para André e

Beto. Na hora da divisão Carlos optou por ser justo e a pergunta é a seguinte:

Quantas moedas cada um deles, André e Beto, receberam?

Vamos lá: Carlos pensou da seguinte maneira:

– “Vou dividir as moedas de forma proporcional aos pães que recebi dos meus

amigos”.

– “Não posso dividir 8 pães em partes iguais, pois teria como resposta um nú-

mero que é uma dízima periódica, isto é, 8 dividido por 3 é igual a 2,6666...

Dessa forma, o mais correto era dividir cada pão em três partes iguais, logo,

André teria 15 pedaços de pães e Beto teria 9 pedaços de pães. Esses valores

são adquiridos ao dividir cada pão em 3 pedaços.

No total, os dois, André e Beto, tinham 24 pedaços de pães, o que foi divido

para os três amigos. Dessa forma, cada um deles comeu 8 pedaços de pães.

Carlos então pensou da seguinte forma ao dividir as moedas para seus amigos:

André tinha 15 pedaços, comeu 8 pedaços, logo lhe sobraram 7 pedaços, aos

quais foram me dados. Beto tinha 9 pedaços, comeu 8 pedaços, logo lhe sobrou

1 pedaço, ao qual foi me dado.

Concluindo, Caio recebeu 7 pedaços de pães de André e 1 pedaço de pão de

Beto, portanto, quem lhe deu 7 pedaços ganhou 7 moedas e quem lhe deu 1

pedaço ganhou 1 moeda.




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