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Teorema de millman
ISPS- Eng. Electrica I , 2012 Pag 1
Índice
I. Introdução ............................................................................................................................2
II. Objectivos ............................................................................................................................3
1. Algorítmo do teorema de millman ....................................................................................4
1.1. Teorema de millman em corrente contínua ....................................................................4
1.2. Teorema de millman em corrente alternada ................................................................. 11
III. Conclusão ....................................................................................................................... 13
IV. Bibliografia .................................................................................................................... 14
Teorema de millman
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I. INTRODUÇÃO
Os circuitos eléctricos, tanto os de corrente contínua, como os de corrente alternada, podem ser
simples, sendo fácil o seu cálculo, ou complexos. Para o cálculo de circuitos complexos, recorre-
se à vários métodos de resolução. Entre eles, encontramos o teorema de millman, muito útil para
a simplificação de circuitos, onde o objectivo é o de transformar diversas fontes de tensão em
paralelo numa única fonte em série com uma resistência.
É nesta ordem de ideias, que o presente trabalho irá descrever as particularidades deste teorema.
Para uma fácil percepção, a análise dos circuitos usando o teorema está dividida em duas partes:
corrente contínua e corrente alternada.
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II. OBJECTIVOS
GERAL
Fazer uma abordagem geral sobre o teorema de Millman
ESPECÍFICOS
Mostrar o algorítmo do teorema tanto para circuitos de corrente contínua, como os de
corrente alternada;
Dar exemplos, sobre a sua aplicação no cálculo de circuitos eléctricos.
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1. ALGORÍTMO DO TEOREMA DE MILLMAN
O Teorema de Millman é um caso particular do Teorema de Thévenin e utiliza-se para reduzir a
complexidade de um circuito transformando um conjunto de N fontes de tensão em paralelo
numa única fonte de tensão Vn com resistência interna Rn (em corrente contínua).
A resolução de circuitos pelo método de Millman é feita em três passos simples:
1. Para iniciar , todas as fontes são convertidos fontes de alimentação de tensão (se necessário)
de acordo com a maneira mais conveniente.
2. Se há mais de uma fonte de corrente em paralelo, é necessário reduzir a uma única fonte, tal
como descrito por outros métodos.
3. Finalmente, deve converter a fonte de corrente, resultando em uma fonte de tensão.
1.1. TEOREMA DE MILLMAN EM CORRENTE CONTÍNUA
Este método é apresentado frequentemente na analise de circuitos com bipolos activos de uma
estrutura como mostra a figura.
Figura 1: circuito com bipolo activo
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Figura 2: Circuito Equivalente pelo teorema de millman
O circuito da figura acima pode ser interpretado como uma ligação paralela de três fontes onde a
terceira f.e.m tem o valor zero.
Vamos thevenizar esse bipolo.
Quanto a determinação de Req não apresenta nenhuma dificuldade pois,
Então
ou
onde m é o numero de ramos do bipolo.
Para a determinacao de é necessario determinar a tensão entre os terminais do circuito
aberto. Para isso, podemos usar qualquer metodo da análise de circuitos. Aqui aplicaremos a
analise nodal:
Equação de no:
,
Substituicao das correntes:
,
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Resolvendo para:
Em ambos esquemas Uab é a mesma, ou numa forma geral:
A analise de circuitos complexos pode ser simplificada se varios ramos paralelos contendo fonte
de tensao e resistências são substituidas por um unico ramo equivalente. Isto pode ser feito com
base no teorema do fonte em paralelo, isto é:
o teorema de Milliman que diz que é a soma algebrica das f.e.m. nos bracos, multiplicada
pelas condutancias correspondentes, dividida pela soma das condutancias nos ramos, e e a
resistencia paralela efectiva.
Uma maneira de memorizar o teorema de Millman é notar que o numerador contem cada tensão
de ramo do circuito com um sinal positivo quando o sentido da tensao concorda com o sentido da
.
Vamos considerar mais uma dedução desse teorema aplicando a nocão da fonte de corrente.
Podemos facilmente transformar cada fonte de tensao real numa fonte de corrente real obtendo.
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A tensao comum nos terminais de uma fonte ligados em paralelo sobre uma resistencia é
onde é a soma das correntes de curto-circuito de cada ramo e é a resistencia
paralela efectiva de todos os ramos incluindo a carga.
Figura: 3 Circuito com fonte ligado em paralelo
Figura:4 Circuito Equivalente
O seguinte passo é simplificar a fig 3) para a fig 4), inspencionando a fig 4) podemos escrever:
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Figura 5: Um caso particular de Par de Nos
Neste caso as correntes podem ser calculadas facilmente pelo metodo de par de nos. Neste
processo, partimos da tensao entre esses nos, calculando a partir dela as correntes.
Pelo metodo da analise de nos é mais facil determinar as correntes, determinando a tensao entre
os terminais:
Potencia dessipada Potencia fornecida
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Exemplo 1: Determinar a corrente na resistência de I2 utilizando o Teorema de Millman.
R1=10 ; R2=5 ; R3=2 ; R4=4 ; E1=8V ; E3=4V
Resolução:
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Exemplo 2: Utilizando o teorema de Millman, determine a tensão medida entre os pontos A e B.
R1=50 ; R2=25 ; R3=30 ; E1=200V ; E2=100V ; E3=150V
Resolução:
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1.2. TEOREMA DE MILLMAN EM CORRENTE ALTERNADA
A teorema de Millman é conseqüência da validade da transformação de fonte no regime forçado
senoidal. Indica visualmente, a aplicação sucessiva da transformação de fonte permite associar e
simplificar tanto a associação em paralelo de fontes de tensão. A informação contida na figura é
suficiente para constatar a igualdade na forma entre o teorema de Millman em notação fasorial.
Exemplo 3: Dado o circuito calcule a corrente que circula na impedância Z.
Dados :Z1=1+j, Z2=1-j , Z=1+j2 , E1=10e j0 , E2=10e
-j/3
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Resolução: Aplicando teorema de millman calculamos a tensão nos exetremos da impedância Z.
E a corrente que circula na impedância Z é:
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III. CONCLUSÃO
O teorema de Millman constitui um caso particular do teorema de Thevenin, aplicado para
reduzir diversas fontes de tensão em paralelo, em apenas uma. Porém, se for mais conveniente
para o circuito a calcular, pode-se transformar em uma fonte de corrente em paralelo com uma
resistência.
A sua aplicação é larga nos bipolos activos. No caso de sua aplicação em corrente alternada,
deve-se prestar especial atenção na determinação da impedância equivalente, uma vez que
recorre-se à números complexos.
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IV. BIBLIOGRAFIA
ORDABAEV, B..Fundamentos de Electrotecnia. Maputo, 1990
GUIMARÃES, Mauro. Electrotécnica Geral: Apostila – parte 1. UEP; Departamento de
Engenharia Eléctrica, 2010