Uma Caçada Transcendente: A Classificação de Mahler

Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica

Uma Caçada Transcendente: A Classificaçãode Mahler

Profa. Ana Paula Chaves

Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade Federal de Goiás

Seminário de Álgebra 2015.1 - IME/UFG19 de março de 2015


PreliminaresAlgumas DefiniçõesMotivação

Aproximação RacionalO Teorema de LiouvilleNúmeros de LiouvilleO Teorema de DirichletUm Novo Critério de Irracionalidade

Aproximação AlgébricaUm Novo Critério de TranscendênciaA Classificação de Mahler


PreliminaresAlgumas Definições

DefiniçãoUm número complexo α é dito algébrico, se existe umpolinômio não nulo P(z) ∈ Z [z] tal que P(α) = 0.

ExemploTodos os números racionais, m

√p/q com p/q ∈ Q, i =

√−1, ...



DefiniçãoUm número complexo ξ que não é algébrico, é ditotranscendente.

DefiniçãoDois números ξ e τ são ditos algebricamente dependentes seexiste um polinômio, não nulo, de duas variáveisP(x , y) ∈ Z [x , y ] tal que P(ξ, τ) = 0.



DefiniçãoSeja P(z) ∈ Z [z] com P(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn. A altura deP é dada por

H(P) := max|a0|, . . . , |an|.

DefiniçãoA altura e o grau de um número algébrico α, denotados porH(α) e ∂(α), são respectivamente iguais à altura e o grau doseu polinômio minimal.


PreliminaresMotivação

Dado um número complexo arbitrário ξ, renunciamos aotrabalho de determinar quando existe um polinômio não-nuloque tenha ξ como raíz. Ao invés disso, vamos considerar ospolinômios P(z) ∈ Z [z] para os quais |P(ξ)| é o menorpossível, dependendo da altura e do grau de P, mas semprediferente de zero. Pode se dizer que estamos “brincando” deescolher polinômios com o objetivo de responder: Qual omenor valor que |P(ξ)| pode assumir fora do zero?



Uma questão natural a ser levantada é:

Como esta caça a polinômios que quase se anulam em ξ seconecta com sua transcendência?

Veremos que esta aproximação nos leva a um refinamento dadefinição de transcendência, pois divide os transcendentes emclasses disjuntas.



Esta classificação, criada em 1932 por Kurt Mahler, nos leva àuma nova compreensão dos números transcendentes e nospermite produzir resultados como:• Dar uma condição suficiente para que dois números

transcendentes ξ e ζ aplicados a um polinômioF (x , y) ∈ Z[x , y ] sejam tais que F (ξ, ζ) também sejatranscendente.

• Mostrar que a função f : C→ C dada porf (z) = ez +

∑∞n=1 10−n! leva valores algébricos em valores

transcendentes.


Aproximação RacionalO Teorema de Liouville

Apesar de Euler ter levantado a questão sobre a existência denúmeros transcendentes em 1748, Liouville, quase um séculodepois, foi o primeiro a mostrar exemplos de tais númerosutilizando o seguinte resultado:

Teorema (Liouville - 1844)Seja α um algébrico com polinômio minimal P(z) ∈ Z[z] degrau n ≥ 2. Então, existe uma constante positiva c := c(α) talque ∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ ≥ cqn

para todo racional p/q, com q > 0.


Aproximação RacionalO Teorema de Liouville

Ele construiu um exemplo que não satisfazia o seu teorema, onúmero

L =∞∑

n=1

10−n! = 0.1100010000000000000000001...,

e portanto é transcendente. Este número é conhecido porconstante de Liouville, sendo o primeiro exemplo de númerotranscendente.


Aproximação RacionalNúmeros de Liouville

Liouville foi além e criou um conjunto não enumerável denúmeros reais que não satisfazia o seu teorema:

DefiniçãoUm número ξ ∈ R é dito número de Liouville se existe umasequência de infinitos racionais pn/qn, com qn > 1, tais quepara todo n ∈ N temos

0 <∣∣∣∣ξ − pn

qn

∣∣∣∣ < 1qn

n

ExemploTodo número escrito como

∑n≥1 ank−n!, onde k ∈ N− 1 e

an ∈ 1, . . . , k − 1 é um número de Liouville.



Sabemos que todo número de Liouville é transcendente, mas arecíproca é verdadeira?

A resposta é negativa! Números transcendentes como e e πnão são números de Liouville.



Alguns resultados interessantes sobre números de Liouvillesão:

Teorema (Mailet - 1906)Se ξ é um número de Liouville e f é uma função racional, nãoconstante, com coeficientes racionais, então f (ξ) também é umnúmero de Liouville.

Teorema (Erdös - 1962)Todo número real pode ser escrito como a soma de doisnúmeros de Liouville.


Aproximação RacionalO Teorema de Dirichlet

Agora, veremos que, ao contrário dos números racionais, osirracionais podem ser tão bem aproximados por racionaisquanto desejarmos:

Teorema (Dirichlet)Dado um número irracional τ , existe uma constante positivaC(τ) = C tal que para todo H inteiro positivo, existem inteiros pe q, com 0 < max|p|, |q| ≤ H, satisfazendo a desigualdade

|τq − p| < CH

Se C < H, então q 6= 0.


Aproximação RacionalO Teorema de Dirichlet

Como consequência dos Teoremas de Liouville e Dirichlet,obtemos uma nova definição de irracionalidade, equivalente ausual:

TeoremaDado um número real τ e um inteiro positivo H, seja

Ω(τ,H) = min|P(τ)|; P(z) = a1z + a0 ∈ Z[z]

com P(τ) 6= 0 e H(P) ≤ H

Defina ω(τ,H) como Ω(τ,H) = H−ω(τ,H) eω(τ) = lim supH→+∞ ω(τ,H). Então τ é irracional se, esomente se, ω(τ) 6= 0.


Aproximação AlgébricaUm Novo Critério de Transcendência

E como consequência das generalizações dos Teoremas deDirichlet e Liouville, conseguimos um critério paratranscendência semelhante ao obtido para irracionalidade:

TeoremaDados um número complexo ξ e inteiros positivos H e N, sejam

PN,H = P(z) ∈ Z[z]; gr(P) ≤ N e H(P) ≤ H

eΩ(ξ,N,H) = min|P(ξ)|; P(z) ∈ PN,H e P(ξ) 6= 0.

Defina ω(ξ,N,H) como Ω(ξ,N,H) = H−ω(ξ,N,H)·N ,ω(ξ,N) := lim supH→∞ ω(ξ,N,H) e ω(ξ) := lim supN→∞ ω(ξ,N).Então ξ é transcendente se, e somente se, ω(ξ) 6= 0.


Aproximação AlgébricaA Classificação de Mahler

Quais os possíveis valores de ω(ξ)?i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico;ii. 0 < ω(ξ) < +∞iii. ω(ξ) = +∞



Relembrando da definição de ω(ξ):

ω(ξ) = lim supN→∞

ω(ξ,N)

onde ω(ξ,N) também é um lim sup dado por

ω(ξ,N) = lim supH→∞

ω(ξ,N,H),

observamos que: Se ω(ξ,N0) =∞ para algum N0 ∈ N, então

ω(ξ) = lim supN→∞

ω(ξ,N) ≥ ω(ξ,N0) =∞⇒ ω(ξ) =∞



Portanto, para se obter ω(ξ) =∞, existem duas maneiras:i. ω(ξ,N0) =∞ para algum N0;ii. ω(ξ,1), ω(ξ,2), . . . não possui ponto de acumulação.



Dessa forma, a classificação que divide os números complexosem duas classes,• ω(ξ) = 0 (no caso ξ algébrico)• ω(ξ) 6= 0 (no caso ξ transcendente)



Se tornou uma classificação mais detalhada que consiste emquatro classes,• ω(ξ) = 0• 0 < ω(ξ) <∞• ω(ξ) =∞ e existe um N0 tal que ω(ξ,N0) =∞• ω(ξ) =∞ e para todo N, ω(ξ,N) 6=∞



Visando analisar bem estes últimos três casos, vamos definir

υ(ξ) := menor inteiro positivo N tal que ω(ξ,N) =∞.

Logo, caso ω(ξ,N) <∞ para todo N, então υ(ξ) =∞. Agora,se ω(ξ) =∞ então υ(ξ) pode ser finito ou infinito.



Deste modo, temos quatro possibilidades para ω(ξ) e υ(ξ) quecorrespondem às quatro classes vistas anteriormente e dãoorigem à seguinte classificação devida a Mahler (1932), paraum número complexo ξ:

Se ω(ξ) = 0 e (logo) υ(ξ) =∞, ξ é um A-número.Se 0 < ω(ξ) <∞ e (logo) υ(ξ) =∞, ξ é um S-número.Se ω(ξ) =∞ e υ(ξ) <∞, ξ é um U-número.Se ω(ξ) =∞ e υ(ξ) =∞, ξ é um T-número.



U-números são aqueles em que ω(ξ) = +∞ mas υ(ξ) <∞.Isto nos leva à definir subclasses dentro dos U-números deacordo com os possíveis valores de υ(ξ):

DefiniçãoSejam ξ um número complexo e m um inteiro positivo. Então ξé dito um U-número de tipo m se ω(ξ) = +∞ e υ(ξ) = m. OsU-números de tipo m também são conhecidos comoUm-números.

ProposiçãoOs Números de Liouville são exatamente os U1-números.



Apesar de haver uma quantidade não enumerável deU-números, quase todo número não é U-número:

TeoremaO conjunto dos U-números tem medida nula em C



A existência de Um-números para todo m ≥ 1 foi mostrada porLeveque, com o resultado:

Teorema (Leveque, 1953)Seja ai n2,4 para todo j. Então, a raíz m-ésima de(3 +

∑j≥1 aj10−j)/4 é um Um-número.

Chaves e Marques construíram Um-números de forma maisnatural, como podemos ver:

Teorema (Chaves-Marques, 2014)Sejam α um algébrico de grau m e L a constante de Liouville.Então αL e α + L são Um-números.



O resultado de Erdös pode ser reescrito como: ?todo númeroreal pode ser escrito como a soma de dois U1-números?.Pollington mostrou que esta não é uma propriedade exclusivadesta classe de U-números:

Teorema (Pollington, 1993))Dado um inteiro positivo m, todo número real pode ser escritocomo a soma de dois Um-números



Mais alguns resultados sobre U-números:• Mahler em 1953 mostrou que logα não é um U-número,

onde α 6= 1 é um algébrico não nulo.• Mahler, também em 1953, provou que π não é um

U-número.• Adhikari, Saradha, Shorey e Tijedman em 2001, aplicaram

a teoria de A. Baker sobre forma linear em logaritmosmostrar que os números∑

n≥0

((3n + 1)(3n + 2)(3n + 3))−1 e∑n≥1

2−nFn/n,

onde (Fn)n≥0 é a sequência de Fibonacci, sãotranscendentes mas não são U-números.



Um fato conhecido é que o conjunto dos Números Algébricos éprecisamente o conjunto dos A-números. Observamos que aunião dos A- e U-números formam um conjunto de medidanula no plano complexo. Daí, quase todos os números são S-ou T -números. Daremos um passo à frente, estabelecendo oresultado:

TeoremaQuase todos os números são S-números



No mesmo trabalho em que Mahler exibiu a sua classificação,ele provou que:

Teorema (Mahler, 1932)Todo número da forma eα, com α algébrico não nulo, é umS-número.



Quando Mahler propôs a sua classificação, ele mostrou que oconjunto dos U-números e dos T -números tinham medidanula. Entretanto, Entretanto, Mahler não conseguiu provar aexistência de T -números em seu trabalho. A primeira provadeste fato foi descoberta 36 anos depois de Mahler propôr asua classificação, e é devida a Schmidt.

Teorema (Schmidt, 1968)Existem T-números.



• Apesar de sabermos que T -números existem, exibirexemplos desta classe ainda é um problema em aberto.

• Caveny, em 1993, mostrou que se α é um T - ou U-númeroe β é um U-número, então αβ é transcendente.



Estabelecemos a relação entre classificação de Mahler edependência algébrica com o seguinte Teorema:

TeoremaSe dois números são algebricamente dependentes, então elespertencem à mesma classe.A contrapositiva deste teorema nos permite produzir umresultado interessante sobre transcendência:

CorolárioSejam ξ e ζ números transcendentes que pertencem a classesdiferentes e F (x , y) ∈ Z[x , y ] um polinômio não nulo. Então,F (ξ, ζ) é transcendente.



Alguns problemas a serem resolvidos são:• Dar exemplos de T -números.• Saber qual a classificação de π• Quais funções analíticas f são tais que se ξ é um número

de Liouville, f (ξ) também é?

Bibliografia

Bibliografia I

A. P. Chaves, D. MarquesAn Explicit Family of Um-numbersElemente der Mathematik (Printed ed.), v. 69, p. 18-22,2014.

Y. BugeaudApproximation by Algebraic NumbersNew York: Cambridge University Press, 2014. 274 p.(Cambridge Trats in Mathematics vol. 160)

E. Burger, R. Tubbs.Making Transcendence transparent: An intuitive approachto classical transcendental number theorySpringer-Verlag, 2004. 263 p.

Bibliografia

“If numbers aren’t beautiful, I don’t know what is.” (P. Erdös)

Obrigada!

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