7/25/2019 Integrais Imprprios

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INTEGRAIS IMPRPRIOS

DEFINIO: Integral imprprio um integral imprprio se a seu intervalo de integrao no

finito (integral imprprio de 1 espcie) ou se a funo a integrar no contnua (no limitada) no intervalo de integrao (integral imprprio de 2 espcie).

Integral imprprio de 1 espcie

DEFINIO: Sejam e f(x)uma funo definida no intervalo [, +[. Supondo que f(x)integrvel em qualquer intervalo [, ]com >.() Ento chama-se integral imprprio de 1 espcie a:

lim () = () .O mesmo poder ser observado tambm para:

lim () = () Se o integral tem limite finito quando , diz-se que() integrvel ou que o integralimprprio existe, tem sentido ou convergente.

Se o integral no tem limite finito quando diz-se que()no integrvel ou que ointegral imprprio no existe, no tem sentido ou divergente.

EXEMPLOS:

I) = lim[ln()] = limln(t)= +

Logo o integral divergente

II)

= lim

[

]

= lim

(

+ 1)

= 1

Logo o integral convergente

III) = lim . () = lim ()

=

2 lim () ()= 2( 1)=Logo o integral divergente

IV) = lim = lim =

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= lim1

2

2 = lim 122(0)=

=1

2()(0)= 1

2

2 0=

4

Logo o integral convergente

NOTA:

() = ()+ () , o integral imprprio inicial ser convergente seambos os integrais parciais convergirem (e ser divergente se um, ou ambos, dos integrais

divergir).

EXEMPLO:

I) ()

= (1 + ) + (1 + ) =

= lim (1 + ) + lim (1 + ) =

= lim 12(1 + )

+ lim 12(1 + )

= lim + ()+ lim ()+= += 0(convergente)(Nota: este integral pode resolver-se usando a substituio = 1 + )

II) () = lim() 11 + + lim() 11 + =

= lim (

)

2

+ lim (

)

2

=

= lim(0)2 ()2 + lim ()2 (0)2 == 0 + 0 = 0 (convergente)

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Integral imprprio de 2 espcie

DEFINIO: Sejaf(x) uma funo contnua e integrvel no intervalo ]

,

],

,

, o integral

imprprio def(x) nesse intervalo dado por:

() = lim()

Sef(x) for e integrvel no intervalo [, [, ento o integral imprprio vem:() = lim()

Em ambos os casos o integral imprprio ser convergente se tiver limite finito.

NOTA: Sejaf(x) uma funo definida em [, ]e contnua e integrvel em todos os pontosdesse intervalo exceto em c, [,]. Ento:() = lim()

+ lim()

O integral imprprio inicial ser convergente se ambos os integrais parciais convergirem (e

ser divergente se um, ou ambos, dos integrais divergir).

EXEMPLO:

I) = 0 = 0, a funo contnua em \{0} 1 = lim 1

= lim

= lim

12

=

= 2 lim 1 = 2. (1 0)= 2Logo o integral convergente

II) = lim = lim [(1 )] =

= lim (1 ) (1 0)=( 1)=Logo o integral divergente

III) 1 = 0 = 1 =1, a funo contnua em \{1,1}

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4 1 = lim 4 1 + lim 4

1 == lim[| 1|]+ lim[| 1|] == lim(| 1| 1)+ lim(|2 1| | 1|)==((0) ln 1)+ (63) (0)= + ln(63)+

Logo o integral divergente

3

ln(

)

=

3

ln(

)

=

ln(

)

3

=

=0 13 ( ln()3=3 13 ln()==3 13 ln()1=

1

3 13 =

1

3+ 3 =

=

p.p.p.

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