funções complexas-1.03

7/29/2019 funes complexas-1.03

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Estudo de algumas funes complexas

de uma varivel complexa:

aspectos algbricos e geomtricos

Ceclia S. Fernandez

Universidade Federal Fluminense

1o Colquio da Regio Sudeste

Abril de 2011


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Aos meus grandes amores,

Ana Ceclia e Belmira.


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Prefcio

Este pequeno texto est baseado nos dois primeiros captulos do livro intituladoIntroduo s Funes de uma Varivel Complexa publicado pela SBM na coleoTextos Universitrios, de minha autoria e em parceria com o Prof. Nilson Bernardes

Junior. Vrias modificaes foram feitas no texto original para melhor adequ-lo aopblico alvo do presente minicurso, que so alunos e professores do ensino mdio.

O objetivo deste minicurso estudar funes complexas em uma varivel numcontexto meramente algbrico e geomtrico, sem levar em considerao qualquerconceito que envolva a topologia do plano complexo. Vamos apresentar as chamadasfunes elementares, a saber, as funes racionais, as funes polinomiais, a funoexponencial e as funes trigonomtricas. Apresentaremos a noo de funo inversa direita para estudarmos as funes logaritmos, j que como veremos todo nmerocomplexo no nulo possui uma infinidade de logaritmos.

No primeiro captulo deste texto definimos de modo rigoroso os nmeroscomplexos e apresentamos suas propriedades aritmticas bsicas. Consideramostambm o problema de extrao de razes de nmeros complexos. Introduzimosos conceitos de exponencial e de logaritmo para nmeros complexos. No segundocaptulo vamos introduzir as chamadas funes elementares e apresentar vrias desuas propriedades. No terceiro captulo vamos apresentar vrios exerccios sobre ostpicos anteriormente apresentados. Os exerccios variam muito em seus graus dedificuldade, porm encorajamos o leitor a resolver muitos (ou todos) deles.

Ao terminar, agradeo ao Comit do I Colquio da Regio Sudeste pelaoportunidade de apresentar este minicurso e a Rogrio Trindade pelo excelentetrabalho de digitao.

A autora.

Abril de 2011.

v


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Sumrio

Prefcio v

1 Nmeros Complexos 11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 O corpo dos nmeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Conjugado e valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 A forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Extrao de razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 A exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Potncias complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Funes Complexas 172.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Funes de uma varivel complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 As funes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 A funo exponencial e as funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . 212.5 As funes hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Funes inversas direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7 Transformaes por funes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Exerccios 27

Referncias Bibliogrficas 33

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Captulo 1

Nmeros Complexos

1.1 Introduo

Os nmeros complexos surgiram no sculo 16, motivados pelo interesse em secalcular solues de equaes polinomiais. Por um longo tempo, eles no foramconsiderados como nmeros legtimos, mas existentes apenas na imaginao humana. interessante observar que ainda hoje chamamos o nmero complexo i =

1 dealgarismo imaginrio. O passo decisivo no sentido de formalizar o conceito denmero complexo foi a representao geomtrica desses nmeros como pontos doplano. O primeiro matemtico a ter uma viso clara de tal representao e explor-la em suas investigaes foi Gauss, conforme fica claro, embora de modo implcito, emsua dissertao escrita em 1797. Todavia, Gauss exps ao pblico suas idias a esserespeito de modo explcito apenas em 1831, com o propsito de introduzir os inteirosGaussianos. O corpo dos nmeros complexos C foi finalmente definido de modorigoroso por Hamilton em 1837.

A famosa frmula de Bhaskara (sculo 12)

x =b b2 4ac

2a

para o clculo das solues da equao do 2o grau

ax2 + bx + c = 0 (a

= 0),

que na verdade j era conhecida pelos babilnios h quase 2000 anos a.C., nos mostraque uma tal equao sempre possui solues em C. Um fato notvel sobre os nmeroscomplexos que toda equao polinomial no constante com coeficientes reais (oucomplexos) possui pelo menos uma soluo em C. Este fato, conhecido como teoremafundamental da lgebra, foi provado por Gauss em 1797. No apresentaremos aquiuma demonstrao deste teorema por estar alm do nvel do presente minicurso.

Na Seo 2 definimos de modo rigoroso os nmeros complexos e apresentamossuas propriedades aritmticas bsicas. Alm disso, definimos o algarismo imaginrioi e explicamos como a definio formal de nmero complexo se relaciona com a

representao desses nmeros na forma x + yi (x e y reais), que a forma comonormalmente trabalhamos com eles.

1


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2 Captulo 1: Nmeros Complexos

Na Seo 3 definimos os conceitos de parte real, parte imaginria, conjugado e valorabsoluto de um nmero complexo. Tambm estabelecemos diversas propriedadesdesses conceitos, incluindo a desigualdade triangular.

Na Seo 4 definimos o conceito de argumento e apresentamos a forma polar de

um nmero complexo.Na Seo 5 consideramos o problema de extrao de razes de nmeros complexos.Mostramos que todo nmero complexo no nulo possui exatamente n razes n-simasdistintas, para cada n N, e exibimos uma frmula para o clculo dessas razes.Mostramos tambm que as solues de uma equao quadrtica em C so dadas pelafrmula quadrtica usual (frmula de Bhaskara).

Nas Sees 6 e 7 introduzimos os conceitos de exponencial e de logaritmo paranmeros complexos, e estabelecemos algumas de suas propriedades.

Na Seo 8 definimos e estudamos as potncias com expoentes complexos.

1.2 O corpo dos nmeros complexos

Definimos o corpo dos nmeros complexos como sendo o conjunto

C = {(x,y) : x R e y R},com as seguintes operaes de adio e multiplicao: se z = (x,y) e w = (a, b)pertencem a C, ento

z + w = (x + a,y + b) e zw = (xa yb, xb + ya). (1)

Os elementos de C so chamados de nmeros complexos. Denotamos o nmerocomplexo (0, 0) simplesmente por 0 e o nmero complexo (1, 0) simplesmente por 1.Para cada z = (x,y) C, definimos

z = (x, y) e z1 =

x

x2 + y2,

yx2 + y2

se z = 0.

O nmero z1 tambm denotado por1z

ou 1/z.

Proposio 1.1 As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w, t

C :

(a) z + (w + t) = (z + w) + t (associatividade da adio).

(b) z + w = w + z (comutatividade da adio).

(c) 0 + z = z (elemento neutro).

(d) z + (z) = 0 (elemento oposto).(e) z(wt) = (zw)t (associatividade da multiplicao).

(f) zw = wz (comutatividade da multiplicao).

(g) 1z = z (elemento unidade).


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1.2: O corpo dos nmeros complexos 3

(h) zz1 = 1 se z = 0 (elemento inverso).(i) z(w + t) = zw + zt (distributividade da multiplicao em relao adio).

Demonstrao: Todas as propriedades acima decorrem diretamente das definies

das operaes de adio e multiplicao em C. Por esta razo, provaremos apenas oitem (a) e deixaremos os demais como exerccio.(a): Se z = (x,y), w = (a, b) e t = (c, d), ento

z + (w + t) = (x,y) + (a + c, b + d) = (x + (a + c),y + (b + d))= ((x + a) + c, (y + b) + d) = (x + a,y + b) + (c, d)= (z + w) + t,

onde usamos a associatividade da adio de nmeros reais.2

Tendo definido as operaes de adio e multiplicao em C, definimos asoperaes de subtrao e diviso da maneira usual: dados z, w C,

z w = z + (w) e zw

= zw1 se w = 0.

Alm disso, a potenciao tambm definida da maneira usual:

z0 = 1, zn = z z

n-vezes

e zn = z1 z1

n-vezes

se z = 0 (n 1).

Decorre da Proposio 1 que diversas propriedades das operaes aritmticasde nmeros reais so vlidas para nmeros complexos. Por exemplo, a soma e oproduto de duas fraes z1/w1 e z2/w2 de nmeros complexos podem ser obtidaspelas frmulas

z1w1

+z2w2

=z1w2 + z2w1

w1w2e

z1w1

z2w2

=z1z2

w1w2,

exatamente como ocorre no caso real. Destacamos outras propriedades nos exerccios2 e 3.

Um conjunto no qual esto definidas uma operao de adio e uma operao demultiplicao satisfazendo as propriedades mencionadas na Proposio 1 chamadoum corpo. Por esta razo que chamamos C de corpo dos nmeros complexos. Istotambm explica por que muitas vezes R chamado corpo dos nmeros reais e Q chamado corpo dos nmeros racionais. A Teoria dos Corpos um ramo da lgebraAbstrata, e assim est fora do objetivo do presente livro. Aqui,Q,R eC sero os nicoscorpos que ns encontraremos.

O leitor certamente lembra de ter visto no ensino mdio os nmeros complexoscomo sendo os nmeros da forma

x + yi,

onde x e y so nmeros reais e i um algarismo imaginrio, que satisfaz estranha

igualdade i2

= 1. Vejamos como obter tal representao dos nmeros complexos.Primeiramente, denotamos o nmero complexo (x, 0), com x R, simplesmente por


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x. Note que isto est de pleno acordo com o que j fizemos com o elemento neutro 0 eo elemento unidade 1 (0 = (0, 0) e 1 = (1, 0)). Em outras palavras, fazemos a seguinteconveno:

x = (x, 0) para todo x R. (2)Dessa forma, passamos a ver R como um subconjunto de C, ou seja, todo nmero real considerado um nmero complexo. A princpio, a incluso R C pode gerar umacerta ambigidade: dados x R e a R, o que entendemos por

x + a e xa ?

A soma e o produto dos nmeros reais x e a ou a soma e o produto dos nmeroscomplexos x e a ? A resposta que tanto faz, uma vez que os valores so os mesmos.De fato,

(x, 0) + (a, 0) = (x + a, 0) = x + ae

(x, 0)(a, 0) = (xa 0 0, x 0 + 0 a) = (xa, 0) = xa,por (1) e nossa conveno (2). Agora, note que (0, 1)2 = (0, 1)(0, 1) = (1, 0) = 1,ou seja, o nmero 1 possui uma raiz quadrada em C! O nmero complexo (0, 1) denotado por i e chamado de algarismo imaginrio. Assim, temos a propriedade bsicado algarismo imaginrio:

i2 = 1. (3)

Finalmente, dado um nmero complexo qualquer z = (x,y), temos

z = (x,y) = (x, 0) + (0,y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1),

isto ,

z = x + yi. (4)

Logo, o par (x,y) e a expresso x + yi representam o mesmo nmero complexo. Aexpresso (4) chamada a forma algbrica de z; essa a forma na qual os nmeroscomplexos so usualmente denotados.

Sempre que tomarmos um nmero complexo na forma z = x + yi assumiremosimplicitamente que x e y so nmeros reais.

Observamos que com a forma algbrica no precisamos nos preocupar emmemorizar as definies de z + w e zw dadas em (1). De fato, basta usarmos algumasdas propriedades da adio e da multiplicao em Cj apresentadas: se z = x + yi ew = a + bi so nmeros complexos, ento

z + w = (x + yi) + (a + bi) = x + a + yi + bi = (x + a) + (y + b)i

e

zw = (x + yi)(a + bi) = xa + yia + xbi + ybi2 = (xa yb) + (xb + ya)i.


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1.3: Conjugado e valor absoluto 5

1.3 Conjugado e valor absoluto

Dado um nmero complexo z = x + yi, definimos a parte real e a parte imaginria dez por

Rez = x e Imz = y,respectivamente. Quando Rez = 0, dizemos que z imaginrio puro.Como um nmero complexo z = x + yi o par ordenado (x,y), podemos

represent-lo graficamente como o ponto do plano cartesiano de abscissa x e ordenaday, ou como o vetor que liga a origem a este ponto (Figura 1). Neste contexto, chamamoso plano cartesiano de plano complexo, o eixo dos x de eixo real e o eixo dos y de eixoimaginrio.

Abaixo indicamos as interpretaes grficas da adio e da subtrao de nmeroscomplexos.

Definimos o conjugado de um nmero complexo z = x + yi como sendo o nmerocomplexo

z = x yi.Graficamente, z o ponto do plano complexo obtido atravs da reflexo de z em relaoao eixo real (Figura 3).

Proposio 1.2 As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w C:(a) z = z, z

w = z

w e zw = z w.

(b) z/w = z/w se w = 0.


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(c) z + z = 2 Rez e z z = 2i Imz.(d) z R se e somente se z = z.(e) z imaginrio puro se e somente se z =

z.

Demonstrao: Provaremos apenas que z + w = z + w e deixaremos ademonstrao das demais propriedades ao leitor. De fato, se z = x + yi e w = a + bi,ento

z + w = (x + a) + (y + b)i = (x + a) (y + b)i = z + w.2

Atravs da noo de conjugado, podemos deduzir a expresso do inverso de umnmero complexo z = x + yi = 0 da seguinte maneira:

z1 = 1

x + yi

x + yix + yi

= x yi

x2 + y2= x

x2 + y2+ y

x2 + y2i.

O valor absoluto (ou mdulo) de um nmero complexo z = x + yi definido por

|z| =

x2 + y2.

Graficamente, o nmero real |z| nos d o comprimento do vetor correspondente a z noplano complexo (Figura 3). Mais ainda, |z w| a distncia entre os pontos do planoque representam z e w.

Proposio 1.3 As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w C:(a) Rez |Rez| |z| e Imz | Imz| |z|.(b) |z|2 = zz, |z| = |z| e |zw| = |z||w|.(c) |z/w| = |z|/|w| se w = 0.(d) |z + w| |z| + |w|.(e) |z + w| ||z| |w||.


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1.3: Conjugado e valor absoluto 7

A desigualdade (d) conhecida como desigualdade triangular.Demonstrao: Provaremos apenas as duas ltimas propriedades, deixando as

demais para o leitor.(d): Afirmamos que

|z + w|2

= |z|2

+ 2 Re(zw) + |w|2

. (5)Com efeito,

|z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w)= zz + zw + wz + ww = zz + zw + zw + ww

= |z|2 + 2 Re(zw) + |w|2,onde usamos o item (b) e a Proposio 2. Como

|z|2 + 2 Re(zw) + |w|2 |z|2 + 2|zw| + |w|2= |z|2 + 2|z||w| + |w|2 = (|z| + |w|)2

(pelos itens (a) e (b)), segue de (5) que|z + w|2 (|z| + |w|)2.

Extraindo as razes quadradas de ambos os lados da desigualdade acima obtemos adesigualdade desejada.(e): Pela desigualdade triangular,

|z| = |(z + w) w| |z + w| + | w| = |z + w| + |w|,donde

|z + w| |z| |w|.Trocando os papis de z e w na desigualdade acima, obtemos

|z + w| |w| |z|.Como ||z| |w|| = |z| |w| se |z| |w| e ||z| |w|| = |w| |z| se |w| |z|, vemosque em qualquer caso, |z + w| ||z| |w||. 2

Se z = 0, a Proposio 3(b) implica quez1 =

z

|z|2 (6)

Em particular, z1 = z se |z| = 1. A identidade (6) mostra como z e z1 secomparam graficamente: z1 aponta na direo de z e tem valor absoluto 1/

|z

|(Figura

4).


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1.4 A forma polar

Consideremos um nmero complexo z = x + yi = 0. Seja 0 o ngulo que o eixoreal positivo forma com o vetor correspondente a z no sentido anti-horrio (Figura 5).

Como cos 0 = x/|z| e sen 0 = y/|z|, temos que

z = |z|(cos 0 + i sen 0).Assim, sempre possvel representar z na forma

z = |z|(cos + i sen ), (7)onde R. Uma tal representao chamada uma representao polar de z. Se R satisfaz (7), dizemos que um argumento de z. Assim, 0 um argumentode z. Entretanto, qualquer da forma 0 + 2k, com k Z, tambm satisfaz (7).Em particular, z possui infinitos argumentos. Por outro lado, se satisfaz (7) entocos = cos 0 e sen = sen 0, o que implica que = 0 + 2kpara algum k Z.Assim, o conjunto argz de todos os argumentos de z dado por

argz = {0 + 2k : k Z}.Por exemplo,

1 + i =

2 (cos

4+ i sen

4) e 1 + i =

2 (cos

74

+ i sen7

4)

so representaes polares do nmero 1 + i; note que arg(1 + i) = {/4 + 2k : k Z}. O nico argumento de z que pertence ao intervalo (,] chamado o argumentoprincipal de z e denotado por Argz. Por exemplo,

Arg i = 2

, Arg(1 i) = 34

e Arg(2) = .

A identidadez = |z|(cosArgz + i senArgz) (8)

chamada a forma polar de z.Sejam

z = |z|(cos + i sen ) e w = |w|(cos + i sen )representaes polares de dois nmeros complexos no nulos z e w. Vamos agora obterrepresentaes polares para z1 e zw. Por (6),

z1 = |z|1[cos() + i sen()]. (9)


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1.5: Extrao de razes 9

Alm disso,

zw = |z||w|(cos + i sen )(cos + i sen )= |z||w|[(cos cos sen sen ) + i(cos sen + sen cos)],

donde conclumos que

zw = |z||w|[cos( + ) + i sen( + )]. (10)Esta igualdade nos d a interpretao grfica do produto de dois nmeros complexos:zw tem valor absoluto |z||w| e tem + como um argumento (Figura 6). Definindo

A = {a; a A} e A + B = {a + b; a A e b B} (A, B C),decorre das frmulas (9) e (10) que

arg(z1) = argz e arg(zw) = argz + arg w. (11)Porm, no sempre verdade que Arg(z1) = Argz nem que Arg(zw) = Argz +Arg w De fato, tome z = 1.Ento, Arg(z1) = = = Argz. Tomando agoraz = w = i, temos que Arg(zw) = = = Argz + Arg w. De (9) e (10) obtemosque

zn = |z|n[cos(n) + i sen(n)] para todo n Z. (12)No caso em que |z| = 1, a igualdade (12) nos diz que

(cos + i sen )n = cos(n) + i sen(n). (13)

Esta igualdade conhecida como a frmula de De Moivre.

1.5 Extrao de razes

Dados um nmero complexo w e um nmero natural n 1, dizemos que z C uma raiz n-sima de w se

zn = w.

Se w = 0, claro que z = 0 a nica soluo da equao zn = w. Logo, o nmero 0

possui uma nica raiz n-sima que o prprio 0. Veremos a seguir que se w = 0 entoexistem exatamente n solues distintas da equao zn = w.


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Teorema 1.4 Fixe n N. Todo nmero complexo no nulo w possui exatamente n razesn-simas complexas distintas, a saber,

n

|w|

cos

(Arg(w) + 2k

n )+ i sen

(Arg(w) + 2k

n ), (14)

onde k= 0 , 1 , . . . , n 1.Demonstrao: Para cada k Z, denotemos por zk o nmero complexo dado em

(14). Escreva w = |w|(cos + i sen ), onde = Arg w. Ns estamos procurandotodos os nmeros complexos z = |z|(cos + i sen ) para os quais verdade que

zn = w.

Pela frmula (12), a equao acima se transforma em

|z|n[cos(n) + i sen(n)] = |w|(cos + i sen),o que equivale a dizer que

|z|n = |w|, cos(n) = cos e sen(n) = sen .A primeira condio satisfeita precisamente quando |z| = n|w|, enquanto as duasltimas so satisfeitas quando n = + 2k com k Z, isto , = +2kn comk Z. Assim, as razes n-simas de w so os nmeros zk para k Z. Fazendok = 0 , 1 , . . . , n 1 obtemos distintas razes n-simas de w. Entretanto, os demaisvalores de knos do apenas repeties das razes z0,z1, . . . ,zn1. De fato, tome k Zarbitrrio. Escreva

k = qn + r com q Z e 0 r < n.Como

+ 2kn

= + 2(qn + r)

n=

+ 2rn

+ 2q,

vemos que zk = zr {z0,z1, . . . ,zn1}. 2A raiz n-sima de w obtida fazendo k = 0 em (14) chamada a raiz n-sima principal

de w. A notao n

w reservada para esta raiz. Note que esta notao coerente com anotao n

|w| que indica a nica raiz real positiva de |w|. Portanto,n

w = n

|w|[

cos

Arg wn

+ i sen

Arg w

n

]. (15)

Como a nica raiz n-sima do zero o prprio zero, convencionamos quen

0 = 0. Osmbolo w tambm usado em lugar de 2w.Observe que todas as n razes n-simas de w possuem o mesmo mdulo, a saber,

n|w|. Logo, elas so representadas por n pontos sobre a circunferncia com centrona origem e raio n

|w|. Alm disso, estes pontos esto igualmente espaados aolongo desta circunferncia devido relao de seus argumentos. Como exemplo,consideremos as razes cbicas de 8. Pelo Teorema 4, elas so os nmeros

zk = 2

cos2k

3+ i sen

2k3

para k = 0,1,2.

Calculando, obtemos z0 = 2, z1 = 1 + i3 e z2 = 1 i3. Temos que z0, z1 e z2dividem a circunferncia de centro (0, 0) e raio 2 em trs partes congruentes (Figura 7).


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1.6: A exponencial 11

Finalizaremos esta seo verificando que as solues da equao quadrtica

az2 + bz + c = 0,

onde a, b, c C

e a = 0, so dadas pela frmula quadrtica usual, isto , porz =

b b2 4ac2a

,

onde

b2 4ac denota, como vimos anteriormente, a raiz quadrada principal donmero complexo b2 4ac. Com efeito, usando a tcnica de completar quadrados,temos que

az2 + bz + c = 0 z2 + baz = c

a

z2 + baz + (

b

2a)2 = c

a+ (

b

2a)2

(z + b2a

)2 =b2 4ac

4a2

z + b2a

=b2 4ac

2a

z =

b b2 4ac

2a Por exemplo, as solues da equao z2 + 4z + 5 = 0 so os nmeros complexos 2 + ie 2 i, j que

z =4 16 4(1)(5)

2=

4 42

= 2 i.

1.6 A exponencial

Nosso objetivo nesta seo definir a exponencial ez

de um nmero complexo z ederivar algumas de suas propriedades.


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Lembremos do Clculo que a expanso em srie de Taylor de et para t real

et = 1 + t +t2

2!+

t3

3!+

t4

4!+ .

Substituindo t por iy (y R) nesta srie e computando formalmente (sem nospreocuparmos com qualquer significado preciso de convergncia), obtemos

eiy = 1 + iy y2

2! i y

3

3!+

y4

4!+

=

1 y

2

2!+

y4

4! y

6

6!+

+ i

y y

3

3!+

y5

5! y

7

7!+

.

Essas duas ltimas sries devem novamente nos trazer lembranas do Clculo elasso as expanses em srie de Taylor de cos y e de seny, respectivamente. Em outras

palavras, eiy

= cosy + i seny parece uma boa interpretao para eiy

. Alm disso, comoes+t = eset se s, t R, natural esperarmos que ex+iy = exeiy . Motivados por estasconsideraes, damos a seguinte definio: dado um nmero complexo z = x + yi,definimos a exponencial de z por

ez = ex(cosy + i seny).

A notao expz freqentemente usada em lugar de ez. Com z = iy obtemos a frmulade Euler :

eiy = cosy + i seny.

Como exemplo,ei2 = i, e1+i = e e e i2 = ei.

Vemos diretamente da definio que

|ez| = eRez e arg(ez) = {Imz + 2k : k Z}. (16)Em particular, ez = 0 para todo nmero complexo z. A frmula (12) implicadiretamente que

(ez)n = enz (17)

para quaisquer zC e n

Z. Em particular, (ez)

1 = e

z para todo z

C. Se

z = x + yi e w = a + bi so dois nmeros complexos, a frmula (10) nos mostra que

ezew = [ex(cosy + i seny)][ea(cos b + i sen b)]

= ex+a[cos(y + b) + i sen(y + b)] = ez+w.

Em outras palavras,ez+w = ezew (18)

para todo z, w C. interessante obsevarmos que, ao contrrio do que acontece no caso real, possvel

termos ez

= ew

com z = w. Por exemplo, e0

= e2i

= 1. A proposio abaixo esclarecepor completo esse fenmeno.


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1.7: Logaritmos 13

Proposio 1.5 Para quaisquer z, w C, temos queez = ew se e somente se z = w + 2ki para algum k Z.

Demonstrao: Escreva z = x + yi e w = a + bi com x,y, a, bR. Se ez = ew, isto ,

ex(cosy + i seny) = ea(cos b + i sen b),

ento ex = ea (donde x = a) e y = b + 2kpara algum k Z. Da, z = w + 2ki, comodesejado.

Reciprocamente, se z = w + 2ki com k Z, ento

ez = ew+2ki = ewe2ki = ew(cos2k+ i sen2k) = ew.

2

Na Seo 4 vimos que todo nmero complexo no nulo z tem uma representaopolar z = r(cos + i sen ), onde r = |z| e um argumento de z. Com a noo deexponencial esta igualdade pode ser escrita de uma forma mais econmica, a saber,

z = rei. (19)

Observemos tambm que as n razes n-simas de um nmero complexo no nulow (dadas por (14)) podem ser escritas da seguinte maneira:

n|w| ei

(Arg(w)+2k

n ) para k = 0 , 1 , . . . , n 1.Em particular, as n razes n-simas do nmero 1 (conhecidas como as razes n-simas daunidade) so dadas por

k = e2ki

n para k = 0 , 1 , . . . , n 1.Notemos tambm que as n razes n-simas de w podem ser obtidas multiplicando-se araiz n-sima principal n

w de w pelas razes n-simas da unidade. De fato,

n|w| ei

(Arg(w)+2k

n ) = k n

w (k = 0 , 1 , . . . , n

1).

Por exemplo, se n = 2 ento 0 = 1 e 1 = 1. Logo, as razes quadradas de w so

w e w.

1.7 Logaritmos

Relembremos que um nmero real s dito o logaritmo natural (ou o logaritmo nabase e) de um nmero real positivo t (em smbolos, s = ln t) quando es = t. Imitando

este conceito, dizemos que um nmero complexo w um logaritmo de um nmerocomplexo no nulo z se ew = z.


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Existe uma diferena muito importante entre o caso real e o caso complexo.Enquanto no caso real todo nmero positivo possui um nico logaritmo, veremosa seguir que todo nmero complexo no nulo possui uma infinidade de logaritmos.Denotamos por logz o conjunto de todos os logaritmos do nmero complexo z = 0.

Assim, para todo nmero complexo no nulo z,logz = {w C : ew = z}. (20)Vamos agora determinar logz. Se w = ln |z| + i com argz, ento ew = eln |z|ei =|z|ei = z. Por outro lado, suponhamos w logz. Ento ew = z, o que equivale a dizerque

eRe w = |ew| = |z| e Im w = Argz + 2kpara algum k Z,donde w = ln |z| + i com argz. Portanto,

logz = {ln |z| + i : argz}=

{ln

|z

|+ i(Argz + 2k) : k

Z

}. (21)

Fazendo k = 0 em (21) obtemos o logaritmo principal de z, que denotado por Logz.Assim,

Logz = ln |z| + i Argz. (22)Por (21) e (22),

logz = {Logz + 2ki : k Z}. (23)Notemos que Log x = ln x para todo nmero real positivo x. De agora em diante,escreveremos Log x em vez de ln x quando x for um nmero real positivo. Comoexemplo, temos que

Log(

1) = i, Log(e2i) = 2 +

2

i, Log(1 + i) = Log

2 +

4

i.

Definindo

A B = {a b : a A e b B} e mA = {ma : a A}para A, B C e m Z, temos a seguinteProposio 1.6 Dados dois nmeros complexos no nulos z1 e z2, temos que:

(a) log(z1z2) = logz1 + logz2.

(b) log(z1/z2) = logz1 logz2.(c) log(zm1 ) = m logz1 para todo m

Z.

Demonstrao: Provaremos (a) e deixaremos (b) e (c) como exerccio para o leitor.(a): Tomemos w logz1 + logz2. Ento, w = w1 + w2 com w1 logz1 e w2 logz2.Da, ew = ew1 ew2 = z1z2, ou seja, w log(z1z2). Tomemos agora w log(z1z2). Ento,por (21), w = Log |z1z2| + i com arg(z1z2). Por (11), = 1 + 2 com 1 argz1 e2 argz2. Assim, w = (Log |z1| + i1) + (Log |z2| + i2) logz1 + logz2.

2

Terminamos esta seo observando que no sempre verdade que Log(z1z2) =Logz1 + Logz2, nem que Log(z1/z2) = Logz1 Logz2 e nem que Log(zm1 ) = m Logz1De fato, tome z = w = i. Temos que Log(zw) = Log(z2) = i = i = 2Logz =Logz + Log w. Tomando agora z = i e w = i, temos que Log(

z

w ) = i = i =Logz Log w.


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1.8: Potncias complexas 15

1.8 Potncias complexas

Relembremos que se t um nmero real positivo e a um nmero real arbitrrio, usual definirmos a potncia ta pela frmula

ta = ea log t.

Ao tentarmos imitar esta definio no contexto dos nmeros complexos, com o objetivode definirmos a potncia z onde z um nmero complexo no nulo e umnmero complexo arbitrrio, ns nos deparamos com o seguinte problema: z tem umainfinidade de logaritmos! Qual deles devemos usar? A resposta: todos eles. Maisprecisamente, para cada w logz, o nmero complexo ew chamado a -potnciade z associada ao logaritmo w. Se w = Logz, ento o nmero complexo ew chamadoa -potncia principal de z. Para denotarmos esta -potncia especial de z, usaremosa notao familiar z. Assim, neste livro, z denotar exclusivamente a -potncia

principal de z, isto :z = eLogz. (24)

Como exemplo, temos que

(i) 12 = e 12 Log(i) = e 12 ( i2 ) = e i4 =

2 i22

Como todo logaritmo de z daformaLogz + 2ki com k Z, segue que as-potnciasde z so os nmeros da forma

e2kiz (25)

com k Z. Analisaremos a seguir dois casos que merecem um comentrio especial.Primeiramente, vejamos o que ocorre quando um nmero inteiro; digamos = n.Como e2ki = 1 para todo k Z, segue de (25) que todas as -potncias de z sereduzem ao nmero complexo zn, a n-sima potncia usual de z definida na Seo 2.Com efeito,

e2kiz = 1 en Logz = zn,

j que n Logz um logaritmo de zn (Proposio 6(c)). Vejamos agora o que ocorrequando = 1/n com n N. Segue de (25) que o conjunto das -potncias de zcoincide com o conjunto das razes n-simas de z apresentadas no Teorema 4, j que:

e2kiz = exp2ki

n

exp

Logzn

= exp

[Log |z|

n+ i

Arg(z) + 2k

n

]

= exp(Log n

|z|) exp[

i

Arg(z) + 2k

n

]

= n

|z| exp[

i

Arg(z) + 2k

n

].

Em particular,z

1n = nz . (26)


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sempre verdade que z+ = z z. De fato,

z+ = e(+) logz = e logz+logz = e logz e logz = z z.Porm, outras regras de exponenciao no so vlidas em geral. Por exemplo, no sempre verdade que (zw) = zw e nem que (z) = z.


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Captulo 2

Funes Complexas

2.1 Introduo

Tendo estudado o corpo dos nmeros complexos no Captulo 1, vamos agora iniciaro estudo das funes complexas de uma varivel complexa, isto , das funes f : A Ccujo domnio A est contido emC. Tais funes constituem o principal objeto de estudoda Anlise Complexa em uma varivel.

Na Seo 2 relembramos alguns conceitos importantes sobre funes eintroduzimos as funes complexas de uma varivel complexa, assim como algumasnoes bsicas associadas a tais funes.

Nas Sees 3, 4 e 5 apresentamos exemplos importantes de funes complexasde uma varivel complexa, a saber: as funes racionais, as funes polinomiais, afuno exponencial, as funes trigonomtricas e as funes hiperblicas. Alm disso,estabelecemos algumas propriedades destas funes.

Na Seo 6 introduzimos o conceito de funo inversa direita e definimos a funoraiz quadrada principal e a funo logaritmo principal.

Na Seo 7 vamos apresentar como certas funes complexas de uma varivelcomplexa transformam retas, crculos e discos.

2.2 Funes de uma varivel complexa

Comecemos relembrando alguns conceitos bsicos sobre funes. Dados dois

conjuntos A e B, uma funo f de A em B uma regra de correspondncia que associa acada elemento a de A um elemento f(a) de B, chamado o valor de f em a. As notaesf : A B e f : a A f(a) B so usadas para indicar que f uma tal funo. Oconjunto A chamado o domnio de f e o conjunto B chamado o contradomnio de f.Se S A, definimos a imagem de S por f como sendo o conjunto f(S) = {f(a) : a S}.O conjunto f(A) chamado a imagem de f. Quando f(A) = B, dizemos que f sobrejetiva. Se f(a1) = f(a2) sempre que a1 = a2 (a1, a2 A), dizemos que f injetiva.Finalmente, f dita ser bijetiva quando injetiva e sobrejetiva.

Se f : A B e g : C D so funes tais que f(A) C, definimos a composta de gcom f como sendo a funo g f : A D dada por

(g f)(a) = g(f(a)) para todo a A.

17


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18 Captulo 2: Funes Complexas

Se f : A B bijetiva, ento existe uma nica funo h : B A tal que (h f)(a) = apara todo a A e (f h)(b) = b para todo b B. Tal funo h chamada a inversa def e denotada por f1.

No presente livro estamos interessados em funes f : A C cujo domnioA um subconjunto de C. Uma tal funo chamada de funo complexa de umavarivel complexa. Assim, a menos que se diga explicitamente o contrrio, sempre queconsiderarmos uma funo f : A C assumiremos implicitamente que A C.

comum definirmos uma funo complexa de uma varivel complexasimplesmente dando uma expresso explcita dos valores da funo, como, porexemplo, f(z) = (2z + 1)/(z2 + 1) e g(z) = z/ Rez. Nesse caso, convencionamosque o domnio da funo o conjunto de todos os nmeros complexos para os quaisa expresso dada tem sentido. Nos exemplos acima, temos que o domnio de f C\{i, i} e o domnio de g {z C : Rez = 0}.

Dadas duas funes f : A C e g : B C e dado um nmero complexo c,definimos as funes mltiplo c f, soma f + g, diferena f

g, produto f g e quociente f/g

por(c f)(z) = c f(z), (f g)(z) = f(z) g(z),

(f g)(z) = f(z)g(z) e (f/g)(z) = f(z)/g(z).

Notemos que o domnio de c f A, os domnios de f g e f g so iguais a A B e odomnio de f/g o conjunto {z A B : g(z) = 0}. Tambm definimos o conjugado fe o mdulo |f| de f por

f(z) = f(z) e |f|(z) = |f(z)| (z A).Por exemplo, se f : C

C dada por f(z) = z2, ento

f(z) = z2 = z2 = (x2 y2) 2xyi e |f|(z) = |z2| = |z|2 = x2 + y2,para todo z = x + yi C.

Muitas vezes conveniente expressarmos uma funo f : A C em termos de suaparte real e de sua parte imaginria, isto , representarmos f na forma

f = u + iv,

ondeu(z) = Re[f(z)] e v(z) = Im[f(z)] (z A).

Note que u e v so funes reais em A. Se escrevermos z = (x,y) com x,y R,podemos considerar u e v como funes reais de duas variveis reais:u(z) = u(x,y) e v(z) = v(x,y).

Por exemplo, se f : C C dada por f(z) = z + 1, ento as partes real e imaginriade f so u(z) = u(x,y) = x + 1 e v(z) = v(x,y) = y.

Dados uma funo f : A C e um subconjunto S de A, dizemos que f limitadaem S se existe uma constante M > 0 tal que

|f(z)| M para todo z S.

Por exemplo, a funo f : C C dada por f(z) = z2

limitada em {z C : |z| 1},mas no limitada em C.


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2.3: As funes racionais 19

2.3 As funes racionais

Uma funo racional uma funo do tipo

f(z) =

a0 + a1z +

+ anzn

b0 + b1z + + bmzmonde os coeficientes a0, a1, . . . , an e b0, b1, . . . , bm so nmeros complexos. O domnio def o conjunto de todos os elementos de C nos quais o denominador de f no se anula.

Uma funo racional da forma

f(z) = a0 + a1z + + anzn (1) chamada uma funo polinomial. Se an = 0 em (1), dizemos que f uma funopolinomial de grau n. Observamos que no atribudo grau funo polinomial nulaf(z) = 0.

Vejamos algumas funes racionais especiais:a) Funes constantes: So as funes da forma

f(z) = c,

onde c uma constante complexa. Se c = 0, temos a funo nula.

b) Translaes: So as funes da forma

f(z) = z + b,

onde b uma constante complexa. Se b = 0, temos a funo identidade.

c) Rotaes: So as funes da forma

f(z) = az,

onde a uma constante complexa de mdulo 1.

d) Homotetias: So as funes da forma

f(z) = az,

onde a uma constante real no nula. Dizemos que f uma dilatao se a > 1 e umacontrao se 0 < a < 1.

e) Funo inverso: a funof(z) = 1/z.

f) Funo n-sima potncia: a funo

f(z) = zn,

onde n N.Dada uma funo f : A C e dado um nmero z0 A, dizemos que z0 um

zero de f (ou uma raiz de f) se f(z0) = 0. Por exemplo, i/2 o nico zero da funo

f(z) = 2z + i e os zeros da funo polinomial g(z) = z2

+ 4z + 5 so os nmeros 2 ie 2 + i.


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Proposio 2.1 Seja f(z) = a0 + a1z + + anzn uma funo polinomial. Se z0 C umaraiz de f, ento z z0 um fator de f , isto , existe uma funo polinomial g tal que

f(z) = (z z0)g(z) para todo z C.

Demonstrao: Por hiptese,

f(z0) = a0 + a1z0 + + anzn0 = 0.

Portanto,

f(z) = f(z) f(z0)= a1(z z0) + a2(z2 z20) + + an(zn zn0 ). (2)

Agora,

zkzk0 = (z z0)(zk1 + zk2z0 + + zzk20 + zk10 )para todo inteiro k 1. Substituindo estas igualdades em (2) e colocando (z z0) emevidncia, vemos que f(z) = (z z0)g(z), onde g a funo polinomial

g(z) = a1 + a2(z + z0) + + an(zn1 + zn2z0 + + zzn20 + zn10 ).

2

Proposio 2.2 Toda funo polinomial de grau n 0 possui no mximo n razes.

Demonstrao: A prova ser feita por induo sobre n. Como toda funopolinomial de grau zero no possui razes, o resultado obvio para n = 0.Suponhamos o resultado verdadeiro para um certo n 0 e seja f uma funopolinomial de grau n + 1. Vamos provar que f possui no mximo n + 1 razes. Sef no possui razes, nada temos a fazer. Digamos que f possui pelo menos uma raiz eseja z0 uma raiz de f. Pela Proposio 1, existe uma funo polinomial g tal que

f(z) = (z z0)g(z) para todo z C.

Como f tem grau n + 1, temos que g tem grau n. Pela hiptese de induo, g possui nomximo n razes. Como as razes de f so exatamente z0 e as razes de g, conclumosque f possui no mximo n + 1 razes, como desejado. 2

De fato, toda funo polinomial de grau n 1 possui pelo menos uma raiz em C.Este fato conhecido como o Teorema Fundamental da lgebra e no ser provadoaqui.


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2.4: A funo exponencial e as funes trigonomtricas 21

2.4 A funo exponencial e as funes trigonomtricas

A funo exponencial a funo exp : C C dada porexpz = ez.

Como |ez| = ex para todo z = x + yi C, vemos queexpz = 0 para todo z C. (3)

Uma outra propriedade importante da funo exponencial que ela peridica deperodo 2i, isto ,

exp(z + 2i) = expz para todo z C. (4)Outras propriedades da funo exponencial so dadas pelas frmulas (17) e (18) do

Captulo 1. Note que a funo exponencial complexa estende a funo exponencialreal.Para y R, como eiy = cosy + i seny e eiy = cosy i seny, segue que

cosy =eiy + eiy

2e seny =

eiy eiy2i

Portanto, natural definirmos a funo cosseno e afuno seno de uma varivel complexapor

cosz =eiz + eiz

2e senz =

eiz eiz2i

(z C).

As quatro outras funes trigonomtricas so definidas em termos das funes cossenoe seno pelas relaes usuais. Assim,

tgz =senzcosz

e secz =1

cosz(5)

esto definidas para todo z C tal que cosz = 0, e

cotgz =coszsenz

e cscz =1

senz(6)

esto definidas para todo zC tal que senz

= 0. Note que as funes trigonomtricas

complexas estendem as correspondentes funes reais.As definies (5) e (6) nos conduzem a perguntar quais so os zeros da funo cosz

e da funo senz. A resposta dada pela seguinte

Proposio 2.3 Temos que

cosz = 0 se e somente se z = /2 + kcom k Ze

senz = 0 se e somente se z = kcom k Z.

Em particular, os zeros do cosseno e do seno complexos so os zeros do cosseno e do seno reais,respectivamente.


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Demonstrao: Comecemos relembrando que o cosseno hiperblico e o senohiperblico de um nmero real y so definidos por

coshy =ey + ey

2

e senhy =ey ey

2

,

respectivamente. Seja z = x + yi C. Ento,

cosz = cos(x + yi) =ey+xi + eyxi

2

=ey(cos x + i sen x) + ey(cos x i sen x)

2

= (cos x)

ey + ey

2

i (sen x)

ey ey

2

,

ou seja,cosz = cos(x + yi) = cos x coshy i sen x senhy. (7)

De modo anlogo obtemos que

senz = sen(x + yi) = sen x coshy + i cos x senhy. (8)

Por (7), cosz = 0 se e somente se

cos x coshy = 0 e sen x senhy = 0. (9)

Como coshy > 0, a primeira igualdade em (9) vlida exatamente quando cos x = 0,ou seja, x = /2 + kcom k Z. Substituindo este valor de x, vemos que a segundaigualdade em (9) equivale a senhy = 0, o que ocorre exatamente quando y = 0.Portanto, cosz = 0 se e somente se z = /2 + k com k Z. O caso da funosenz se prova de modo anlogo, usando a frmula (8).

2

A maioria das propriedades vlidas para as funes trigonomtricas reaispermanecem vlidas no caso complexo. Por exemplo, temos a seguinte

Proposio 2.4 Para quaisquer z, w C, temos:

(a) sen2z + cos2z = 1.

(b) sen(z) = senz.

(c) cos(z) = cosz.

(d) sen(z + w) = senz cos w + cosz sen w.

(e) cos(z + w) = cosz cos w senz sen w.


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2.5: As funes hiperblicas 23

Demonstrao: (a): De fato,

cos2z + sen2z =

eiz + eiz

2

2+

eiz eiz

2i

2

= e2iz + 2eizeiz + e2iz4

e2iz 2eizeiz + e2iz4

= 1.

Deixamos a demonstrao dos demais itens ao leitor.2

Entretanto, h diferenas entre o caso real e o caso complexo. Por exemplo, sabemosque as funes cosseno e seno so limitadas em R. De fato, | cos t| 1 e | sen t| 1para todo t R. Contudo, elas no so limitadas em C, pois

| cos(yi)| = ey + ey2

= ey + ey2 + quando y +e

| sen(yi)| = ey ey2i

ey ey2 + quando y +.2.5 As funes hiperblicas

Definimos a funo cosseno hiperblico e a funo seno hiperblico de uma varivel

complexa por

coshz =ez + ez

2e senhz =

ez ez2

(z C),

respectivamente.As demais funes hiperblicas so definidas pelas relaes usuais. Assim,

tghz =senhzcoshz

e sechz =1

coshz

para todo z C com coshz = 0, ecotghz =

coshzsenhz

e cschz =1

senhz

para todo z C com senhz = 0.

Proposio 2.5 Temos que

coshz = 0 textse e somente se z = (1/2 + k)i com k Z

e senhz = 0 se e somente se z = ki com k Z.


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Demonstrao: Como

cos(iz) =eiiz + eiiz

2=

ez + ez

2= coshz,

segue da Proposio 3 que os zeros de coshz so os nmeros z tais que iz = (1/2 + k)com k Z, ou seja, so os nmeros da forma (1/2 + k)i com k Z. O caso da funosenhz se prova de modo anlogo, usando o fato de que

sen(iz) =eiiz eiiz

2i=

ez ez2i

= i senhz.

2

Vejamos algumas propriedades das funes hiperblicas:

Proposio 2.6 Para quaisquer z, w C, temos:(a) cosh2z senh2z = 1.(b) senh(z) = senhz.(c) cosh(z) = coshz.(d) senh(z + w) = senhz cosh w + coshz senh w.

(e) cosh(z + w) = coshz cosh w + senhz senh w.

Deixamos a demonstrao desta proposio ao leitor.

2.6 Funes inversas direita

Dada uma funo f : A C e dado um subconjunto B de f(A), dizemos que umafuno g : B A uma inversa direita de f em B se

f(g(w)) = w para todo w B;no caso em que B = f(A), dizemos simplesmente que g uma inversa direita de f.

interessante observar que toda funo f : A C possui pelo menos uma inversa direita em qualquer B f(A). De fato, as inversas direita de f em B podem serfacilmente obtidas da seguinte maneira: Para cada w B, escolha qualquer zw A talque f(zw) = w, e defina g(w) = zw.

Por exemplo, as funes

g(z) =

z e h(z) = z (z C)so inversas direita da funo f : C C dada por f(z) = z2. A funo g chamadafuno raiz quadrada principal. Definindo

m(z) = { z se z C e Im z 0z se z C e Im z < 0


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2.7: Transformaes por funes complexas 25

obtemos uma outra inversa direita de f. Como o leitor j percebeu, existem inmerasfunes raiz quadrada. Mas geralmente, existem inmeras funes raiz n-sima".

Consideremos agora a funo f : C C dada por f(z) = ez. A funo

L(z) = Logz (z C\{0}) uma inversa direita de f, chamada funo logaritmo principal. Mais geralmente, paratodo k Z, a funo

Lk(z) = Logz + 2ki (z C\{0}) uma inversa direita de f. Assim, vemos que tambm existem inmeras funeslogaritmo.

Conclumos esta seo observando que se g uma inversa direita de uma funof : A C em um subconjunto B de f(A), ento g injetiva em B. De fato, sew1, w2

B e g(w1) = g(w2), ento

w1 = f(g(w1)) = f(g(w2)) = w2.

2.7 Transformaes por funes complexas

No estudo das funes reais de uma varivel real, considervel nfase dada vi-sualizao geomtrica das funes atravs de seus grficos. Embora tal visualizaotenha limitaes, ela nos ajuda a desenvolver nossa intuio e a compreender muitosconceitos importantes (como os de derivada e integral, por exemplo). J para funescomplexas de uma varivel complexa, os grficos em questo so subconjuntos deC2, que naturalmente identificado ao espao 4-dimensional R4. Assim, perdemosa capacidade de desenhar tais grficos. Todavia, podemos frequentemente melhorarnossa compreenso de uma dada funo f : A C se analisarmos como f transformacertas figuras geomtricas, como retas, crculos, discos, etc. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2.7 A funo f(z) = ez transforma a reta vertical R = {z C : Rez = a} nocrculo C = {z C : |z| = ea} e transforma a reta horizontal S = {z C : Imz = b} nasemi-reta L = {z C : z = reib com r > 0}. De fato, como

|f(z)| = |ez| = eRez para todo z C,

temos que f(R) C. Para verificarmos que C f(R), fixamos w0 C e resolvemos aequao w0 = e

z para z em termos de w0. As solues so

z = Log |w0| + i(Arg w0 + 2k) para k Z.

Seja z0 uma dessas solues. Ento, z0 R (pois |w0| = ea) e w0 = f(z0).Agora, se z S ento f(z) = ez = eRezei Imz = eRezeib L. Logo, f(S) L. Por outro

lado, dado w0

L, temos que z0

= Log|w

0|+ bi

S e f(z

0) = w

0. Assim, L

f(S).

Portanto, f(S) = L, como queramos demonstrar.


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Exemplo 2.8 A funo f(z) = 1z1+z transforma o disco D = {z C : |z| < 1} no semi-plano H = {w C : Rew > 0}. Com efeito, se z = x + yi ento

f(z) =1 z1 + z

=1 z1 + z

1 + z1 + z

=1 z + z zz

|1 + z|2 =(1 |z|2) 2yi

|1 + z|2

Portanto,

Re f(z) =1 |z|2|1 + z|2 > 0 se e somente se |z| < 1.

Logo, f(D) H. Para verificarmos que H f(D), fixamos w0 H e resolvemos a equaow0 = (1 z)/(1 + z) para z em termos de w0. A soluo z0 = (1 w0)/(1 + w0). Porconstruo, w0 = f(z0). Como Re w0 > 0, temos que z0 D. Isto prova que f(D) = H.


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Captulo 3

Exerccios

1. Conclua a demonstrao da Proposio 1.

2. Sejam z e w dois nmeros complexos no nulos. Mostre que:

(a) Se zw = 1, ento w = z1 e z = w1.

(b) (z1)1 = z e (zw)1 = z1w1.

3. Sejam z, w C. Mostre que se zw = 0, ento z = 0 ou w = 0.4. Sejam z1,z2, w1, w2 C com w1 = 0 e w2 = 0. Mostre que

z1

w1

+z2

w2

=z1w2 + z2w1

w1w2

ez1

w1

z2

w2

=z1z2

w1w2 5. Se z = 1 i e w = 4i, expresse os seguintes nmeros complexos na forma x + yi:

(a) 3z + iwz zw3.(b) 2|w| + (1 i)z + |z2|.(c) (w + z)/(w z).(d) Im(zw2) + 16i Re(zw1).

(e) 5i sen(Arg w) + z cos(Arg(3z)).

6. Mostre que se z = x + yi e w = a + bi = 0, entoz

w=

ax + by

a2 + b2+

ay bxa2 + b2

i.

7. Mostre que:

(a)

|(2z + 5)(

2

i)

|=

3

|2z + 5

|para todo z

C.

(b) (1 + i)7 = 8(1 + i).

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28 Captulo 3: Exerccios

(c) (1 + i

3)10 = 211(1 + i3).

8. Calcule (1 + i)12 (1 i)129. Sejam u = 1 + i e v = 1

i. Determine u52

v51

10. Determine z C tal que iz + 2z + 1 i = 011. Sejam z = a + bi e w = c + di dois nmeros complexos. Que condies devemoster sobre a, b, c e d para que z + w e z w sejam ambos nmeros reais?12. Mostre que a identidade 1 + z + + zn = (1 zn+1)/(1 z) vale para todo n Ne para todo z C com z = 1.13. Conclua a demonstrao da Proposio 2.

14. Dados dois nmeros complexos no nulos z e w, mostre que |z + w| = |z| + |w| se

e somente se w = tz para algum t>

0.15. Conclua a demonstrao da Proposio 3.

16. Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano complexo:

(a) {z C : |z 1| = |z i|}.(b) {z C : |z 1| = Rez}.(c) {z C : Im(z2) > 0}.(d)

{z

C : Re(1/z) < 1/2

}.

(e) {z C : |z 4| > |z|}.(f) {z C : | Argz Arg i| < /6}.(g) {z C : | Arg(z i)| < /6}.

17. Compute:

(a) As razes quadradas de 1 i3.

(b) As razes cbicas de 27.(c) As razes de ordem 4 de 1.

18. Mostre que a igualdade

zw =

z

w no necessariamente verdadeira para ze w quaisquer em C. Confirme, porm, que esta frmula vlida se z ou w for umnmero real no negativo.

19. Ache as solues das seguintes equaes:

(a) z2

4iz

4

2i = 0.

(b) iz4 (2 + 4i)z2 i = 0.


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29

20. Prove que

2 |z| | Rez| + | Imz| para todo z C.21. Para que nmeros complexos z = 0 temos que z/z = z/|z| ?22. Sejam z e w dois nmeros complexos no nulos. Mostre que

Re(zw) = |z||w| se e somente se arg w = argz.23. Seja c C com |c| < 1. Mostre que |z + c| |1 + cz| se e somente se |z| 1, comigualdade ocorrendo se e somente se |z| = 1.24. Prove que e|z| |ez| e|z| para todo z C.25. Conclua a demonstrao da Proposio 6.

26. Expresse os seguintes nmeros complexos na forma x + yi:

(a) Log(e3) + ii.(b) (1)i Log(i).

27. Calcule todas as -potncias de z quando:

(a) z = ie e = i.

(b) z = 1 e = 2 i.

28. D exemplos mostrando que possvel termos:

(a) (zw) = zw.

(b) (z) = z.29. Prove que se z0 C uma raiz de uma funo polinomial f(z) = a0 + a1z + +anz

n com coeficientes a0, a1, . . . , an reais, ento z0 tambm uma raiz de f.

30. Dada uma funo f : A C e dado um ponto z0 A, dizemos que z0 um pontofixo de f se f(z0) = z0. Determine todos os pontos fixos da funo

f(z) =z2 + 2zz2 + 1

31. Mostre que

| cosz|2 = cos2 x + senh2y e | senz|2 = sen2 x + senh2ypara todo z = x + yi C.32. Mostre que

| cosz| | cos x| e | senz| | sen x|para todo z = x + yi C.33. Ache todas as razes da equao senhz = i.

34. Sejam A =

{z

C : Rez > 0

}e f : A

C a funo dada por

f(z) = Log(z2 + 1).


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30 Captulo 3: Exerccios

(a) Prove que f uma funo injetiva.

(b) Determine sua imagem B = f(A).

(c) Calcule sua inversa f1 : B

A.

35. Determine o domnio de cada uma das seguintes funes:

(a) f(z) = (ez + ez)/(z2 + z2).

(b) g(z) = (z2 + 5z)/(ez 1).

(c) h(z) = Log(ez ez).

(d) k(z) = (z cosz)/(z4 + 3z2

4).

36. Expresse as partes real e imaginria das seguintes funes como funes dasvariveis reais x e y:

(a) f(z) = z3 + iz2.

(b) g(z) = zez zez.

(c) h(z) = iz2 2z2 + i.

(d) k(z) = z Logz para Rez>

0.

37. Sejam f : A C e g : A C funes. Mostre que se f e g so limitadas em umsubconjunto S de A, ento f + g e f g tambm so limitadas em S.

38. Determine f(S), onde S = {z C : 0 < |z| < r} e f(z) = e1/z.39. Considere a funo f(z) = 1/z. Determine a imagem dos seguintes conjuntos porf:

(a) {z C : |z 2| = 1}.

(b) {z C : |z 1| = 1}.(c) {z C : Rez > 1}.

40. Determine a imagem do tringulo com vrtices em 3 + 4i, 3 + 4i e 5i pela funof(z) = z + 5i.

41. Determine a imagem do conjunto {z C : Rez > 0} pelas seguintes funes:

(a) f(z) = 2iz i.

(b) g(z) = i/z 1.


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42. Conclua a demonstrao da Proposio 4.

43. Mostre que a imagem do disco D = {z C : |z| 1} pela funo f(z) = ez estcontida no anel A = {w C : 1/e |w| e}.

44. Mostre que a imagem do disco D = {z C : |z| 1} pela funo f(z) = cosz(resp. f(z) = senz) est contida no disco D = {w C : |w| (e2 + 1)/(2e)}.45. Demonstre a Proposio 6.

46. Ache todas as razes das equaes:

(a) coshz = 1/2.

(b) senhz = 1.

(c) coshz = 2.

47. Prove quesenh(iz) = i senz e cosh(iz) = cosz

para todo z C.48. Determine os pontos fixos das seguintes funes:

(a) f(z) = (1 i)z + 2.(b) g(z) = z + i.

(c) h(z) = zez.

49. Exiba uma inversa direita da funo f : C C dada por f(z) = z3.50. Exiba uma inversa direita g da funo f: C C dada por f(z) = z4 satisfazendog(1) = (2 + i2)/2.


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Referncias Bibliogrficas

[1] M.P. Carmo, A.C. Morgado e E. Wagner, Trigonometria - Nmeros Complexos, 3a

edio, Coleo do Professor de Matemtica, SBM, 2005.

[2] C.S. Fernandez e N.C. Bernardes Jr., Introduo s Funes de uma Varivel Complexa,2a edio, Coleo Textos Universitrios, SBM, 2008.

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