UNIVERSIDADEESTADUALDECAMPINASVariaveisComplexasJorgeLuisDomnguezRodrguezdominguez@ime.unicamp.brIMECC-UNICAMP28demaiode2011Sumario1 N umerosComplexos 11.1 ValorAbsoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 FormaPolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 FormuladeMoivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 RazesdeumN umeroComplexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Func oesdeVariavelComplexa 72.1 Fun coesUnvocasePlurivocas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.1 Fun coesElementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 LimiteseContinuidade 133.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.1 TeoremassobreLimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2 LimitesnoInnito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1 TeoremasSobreContinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 ContinuidadeUniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Seq uenciasInnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.1 LimitedeumaSequencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IIIIV SUMARIO3.3.2 TeoremassobreLimitesdeSeq uencias . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 SeriesInnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.1 ConvergenciaAbsoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4.2 TestesdeConvergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 DiferenciacaoComplexa 214.1 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.1 RegrasdeDeriva cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.2 DerivadasdeOrdemSuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.3 RegrasdeLHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Fun coesAnalticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.1 Equac oesdeCauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.2 Fun coesHarmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 IntegracaoComplexa 275.1 IntegraisdeLinha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.1.1 ComprimentodeArco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 OTeoremadeCurvasFechadasparaFunc oesInteiras . . . . . . . . . . . 315.2.1 FormulaIntegraldeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 SeriesdePotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3.1 Diferenciac aodeseriesdepotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3.2 ExpansaodeTaylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 PropriedadedasFunc oesAnaltica 436.1 Denic oesTopologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Representac aoemSeriesdePotencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2.1 FormulaIntegraldeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46IVSUMARIO SUMARIO V6.3 AnaliticidadeemConjuntosAbertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3.1 TeoremadeValorMedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3.2 TeoremadoModuloMaximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3.3 TeoremadoModuloMnimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4 Classicac aodasSingularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4.1 SeriedeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.4.2 SeriesdeLaurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557 OTeoremadoResduo 577.1 CalculodeResduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 OTeoremadoResduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2.1 TeoremasEspeciaisUsadosnoCalculodeIntegrais . . . . . . . . 597.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61VCaptulo1N umerosComplexosDenicao 1.0.1.SejaCo conjunto de todos os pares (a, b) com a, b Re as operacoes(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)(a, b) (c, d) = (ac bd, bc + ad)AssimCsatisfazosaxiomasdeumcampo(associatividade, comutatividadeedis-tributividade), (0, 0)e(1, 0)saooselementosidentidadeparaasomaemultiplicacaorespectivamente.Escrevemosaparaon umerocomplexo(a, 0). Secolocamosi = (0, 1)entao(a, b) = a + ib, a, b R.Temosassim,C= {z C : z= a + ib, a, b R}ondea = Re(z) echamadaaparterealdezeb = Im(z)aparteimaginariadez.Observacao1.0.1. Dadosz, w Ctemosz2+ w2= (z + iw)(z iw)12 CAPITULO1. NUMEROSCOMPLEXOS1.1 ValorAbsolutoSez= x + iy,x, y R,denem-seovalorabsolutodezpor|z| =x2+ y2eoconjugadodezporz= x iy.Observacao1.1.1. |z|eadistanciadezateaorigem.1.1.1 PropriedadesSejamz, wdoisn umeroscomplexos. Entao1. |z| = |z|2. |z|2= z z3.1z=z|z|2, z = 04. Re(z) =12(z + z) e Im(z) =12i(z z)5. z + w = z + w e zw = z w6. |z w| = |z| |w|7.

zw

= |z||w|, w = 01.2 FormaPolarSejaz= x + iy C,considere |z|eoanguloentreoraioOZeoeixodasabscissas.Entaox = r cos y = r sen er = |z| = arctan

yx

Oangulo echamadoargumentodez.2CAPITULO1. NUMEROSCOMPLEXOS 1.3. RAIZESDEUMNUMEROCOMPLEXO 3Assim,temos1z = r(cos + i sen ) = r cis 1.2.1 FormuladeMoivreSejamz1= r1 cis 1ez2= r2 cis 2,ent ao:z1 z2= r1r2 cis(1 + 2) .Emgeral,dadosnn umeroscomplexosz1, z2, . . . zn C,temosz1 z2 . . . zn= r1r2 . . . rn cis(1 + 2 + . . . n) .No caso particular, multiplicando um n umero complexo z, n vezes, temos a EquacaoBinomialzn= rncis (n), n 0. (2.1)Paraz C,talque |z| = 1,temosaFormuladeMoivre(cos + i sen )n= cos(n) + i sen (n) (2.2)1.3 RazesdeumN umeroComplexoDadoz = 0en 2,precisamosencontrarw Ctalquew = z1/n.Defatoz= |z| cis epelaequacaobinomial(2.1)w = |z|1/ncis

n

Mas cis =cis ( + 2k), 0 k n 1,entaodemaneirageralpodemosescreverwk= |z|1/ncis1n( + 2k), 0 k n 1 (3.3)wkeakesimaraizdez.1Notacao: cis = cos + i sen .34 CAPITULO1. NUMEROSCOMPLEXOS1.4 Exerccios1. Encontreaspartesrealeimaginariade1z,z az + a(a R),3 + 5i7i + 1e

1 + i32

32. Resolvaasequac oes(a) z2+ (2i 3)z + 5 i = 0(b) z2+32iz 6i = 03. Determineosn umerosreaisxeytaisque2x 3iy + 4ix 2y 5 10i = (x + y + 2) (y x + 3)i4. Proveque,|Rez|, |Imz| |z| |Rez| +|Imz|, z C5. Proveque(a) z1 + . . . + zn= z1 + . . . + zn(b) z1 . . . zn= z1 . . . zn(c)

z1z2

=z1z2, z2 = 0(d) |z|2= zz6. Calculeovalorabsolutode(2 + i)(4 + 3i),3 i2 + 3i,ii + 3e (i + 1)67. Provequedadosdoisn umeroscomplexoszew,temos(a) |z + w| |z| +|w|(b) |z w| |z| |w|4CAPITULO1. NUMEROSCOMPLEXOS 1.4. EXERCICIOS 5(c) |z + w|2+|z w|2= 2 (|z|2+|w|2)8. Provequezeumn umerorealseesomentesez= z.9. Provequesobreocrculoz= rei,temos |eiz| = er sen .10. UtilizeaformuladeMoivreparaprovar(a) cos(3x) = 4 cos3x 3 cos x(b)sen (3x)sen x= 4 cos2x 1,x = 0, , 2, . . .11. Considerandoodesenvolvimentodaserieinnitaex= 1 + x +x22!+ . . . =n=0xnn1parax ix,x R. Temoseix= cos x + i sen x (FormuladeEuler)Destamaneirapodemosescrevercos x =eix+ eix2, sen x =eixeix2iMostreque(a) sen3x =34 sen x 14 sen (3x)(b) cos4x =18 cos(4x) +12 cos(2x) +3812. Determine os valores de z para os quais z5= 32 e localize eles no plano complexo.13. Resolvaasequac oes(a) z4+ 81 = 0(b) z6+ 1 =3i(c) z41 = 056 CAPITULO1. NUMEROSCOMPLEXOS14. Provequeasomaeoprodutodetodasasrazesdea0zn+ a1zn1+ . . . + an= 0, a0 = 0sao a1a0e(1)n ana0,respectivamente.15. Paran = 2, 3 . . .,proveque(a) cos 2n+ cos 4n+ . . . + cos 2(n 1)n= 1(b) sen 2n+sen 4n+ . . . +sen 2(n 1)n= 06Captulo2Func oesdeVariavelComplexaUmsmboloz, quepodeserutilizadoparaqualquerconjuntoden umeroseditoumavari avelcomplexa.Se podemos associar a cada vari avel complexa zum ou mais valores de uma variavelcomplexaw,dizemosqueweumafunc aodezeescrevemosw = f(z).Avariavelzechamadavariavelindependenteewechamadavari aveldependente.2.1 Func oesUnvocasePlurivocasDenicao2.1.1. Seacadazcorrespondesomenteumvalordew = f(z),dizemosquefeumafuncaounvocadez.Umafuncaoplurvocapodeserconsideradacomoumacolecaodefuncoesunvocas,ecadaumadelasechamadaumramodafuncao.Exemplo2.1.1.1. w = f(z) = z2,paracadazexisteumesomenteumw,feumafuncaounvoca.2. w= f(z) = z1/2,paracadavalordezexistemduasrazes,entaofeumafuncaoplurvoca.78 CAPITULO2. FUNCOESDEVARIAVELCOMPLEXA2.1.1 Func oesElementares1. FuncoesPolinomiais. Saodenidasporw = P(z) = a0 + a1z + a2z2+ . . . + anznondean =0, a1, a2, . . . , an1saoconstantescomplexaseneuminteiropositivo,chamadograudopolinomioP(z).Afunc aow = f(z) = a + bzechamadafuncaolinear.2. FuncoesRacionaisAlgebricas. Saodenidasporw = f(z) =P(z)Q(z)ondeP(z)eQ(z)saopolinomios.3. FuncoesExponenciais. Saodenidasporw = f(z) = ez+ ex+iy= ex (cos y + i sen y)ondee = 2, 71828 . . . eabasenaturaldoslogaritmos.Sea eumn umerorealpositivo,denimosaz= ez ln a4. FuncoesTrigonometricas. Saodenidasemtermosdasfuncoesexponenciais,comosegue:sen z=eizeiz2icot z=i (eiz+ eiz)eizeizcos z=eiz+ eiz2sec z=2eiz+ eiztan z=eizeizi (eiz+ eiz)csc z=2ieizeizAlgumas das propriedades familiares, nocasodas func oes trigonometricas reaistambemvalemparaasfunc oestrigonometricascomplexas.8CAPITULO2. FUNCOESDEVARIAVELCOMPLEXA 2.1. FUNCOESUNIVOCASEPLURIVOCAS 95. FuncoesTrigonometricasInversas. sez=sen w, ent aow=sen1zeditaainversadesenodez, ouArcosenodez. Domesmomododenimostodasasdemaisfunc oestrigonometricasinversas. Estasfuncoesquesaoplurvocaspodemserexpressasemtermosdelogaritmosnaturaiscomosegue:sen1z=1iln(iz +1 z2) cot1z=12i ln

z + iz i

cos1z=1iln(z +z21) sec1z=1iln

1 +1 z2z

tan1z=12i ln

1 + iz1 iz

csc1z=1iln

i +z21z

6. FuncoesHiperbolicas. Saodenidascomosegue:senh z=ezez2coth z=ez+ ezezezcosh z=ez+ ez2sech z=2ez+ eztanh z=ezezez+ ezcsch z=2ezez7. Funcoes Hiperbolicas Inversas. Sez =senh w, entaow=senh1zeditainversadosenohiperbolicode z. Domesmomododenimos todas as demaisfunc oes hiperbolicas inversas. Estas func oes que sao plurvocas podem ser expressasemtermosdelogaritmosnaturaiscomosegue:senh1z= ln(z +z2+ 1) coth1z=12 ln

z + 1z 1

cosh1z= ln(z +z21) sech1z= ln

1 +1 z2z

tanh1z=12 ln

1 + z1 z

csch1z= ln

1 +z2+ 1z

8. Funcoes Logartmicas. Se z =ew, entaoescrevemos w=ln z e chamamoslogaritmos natural de z. Assim, a funcao logartmica natural e a inversa da func aoexponencialepodeserdenidaporw = f(z) = ln z= ln r + i( + 2k), k = 0, 1, 2, . . . .910 CAPITULO2. FUNCOESDEVARIAVELCOMPLEXAOndez= rei= rei(+2k).Notequeln zeumafuncaoplurvocaqueteminnitosramoseovalorprincipalouramoprincipaldeln zedenidocomummenteporLn z= ln r + i, 0 < 2.Aoigual queafunc aoexponencial, afunc aologartmicapodeserdenidaparabasesreais, diferentesdee. Assim, sez =aw, entaow=loga z, ondea>0ea = 0, 1. Nestecaso,z= ewlna,portanto,w = f(z) = loga z=ln zlna.10CAPITULO2. FUNCOESDEVARIAVELCOMPLEXA 2.2. EXERCICIOS 112.2 Exerccios1. (FuncoesExponenciais)Proveque(a) ez1 ez2= ez1+z2(b) |ez| = ex(c) ez+2ki= ez,k =, 1, 2, . . .2. (FuncoesTrigonometricas)Proveque(a) sen2z + cos2z= 1(b) eiz= cos z + i sen zeeiz= cos z i sen z(c) sen (z1 + z2) =sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2(d) cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2sen z1 sen z23. (FuncoesHiperbolicas)Proveque(a) 1 tanh2z=sech2z(b) sen iz= i senh z(c) cos iz= cosh z(d) sen z=sen xcosh y + i cos xsenh y4. Encontreosvaloresdee2i,e34i,ee23i5. Paraquevaloresdez,ezeigualai, 1 ie1 + 2i.6. Determinetodososvaloresde2i,iie(1)2i.7. determineovalordelog 1, log

12

, log(1 + i), log

a iba + ib

8. Encontreosvaloresde sen i,cos ietan(i + 1).1112 CAPITULO2. FUNCOESDEVARIAVELCOMPLEXA9. Utilize as formulas de adicao para separar sen (x +iy) e cos(x +iy) em partes realeimaginaria.10. Mostreque| cos z|2=senh2y + cos2x = cosh2x sen y=12 [cosh(2y) + cos(2x)]e| sen z|2=senh2y +sen2x = cosh2x cos y=12 [cosh(2y) cos(2x)]12Captulo3LimiteseContinuidade3.1 LimitesSejaf(z) umafunc aounvocadenidanumavizinhancade z0(excetotalvez emz0).Dizemosqueon umero eolimitesef(z)quandoz z0eescrevemoslimzz0f(z) = ,se para qualquer n umero positivo (sucientemente pequeno), existe um n umero pequeno(usualmentedependendode)talque|f(z) | < se 0 < |z z0| < .3.1.1 TeoremassobreLimitesSe limzz0f(z) = Ae limzz0g(z) = B,ent ao,1. limzz0(f(z) g(z)) =limzz0f(z) limzz0g(z) = A B2. limzz0(f(z) g(z)) =

limzz0f(z)

limzz0g(z)

= AB3. limzz0

f(z)g(z)

=limzz0f(z)limzz0g(z)=AB,seB = 0.1314 CAPITULO3. LIMITESECONTINUIDADE3.1.2 LimitesnoInnitoPormeiodatransformacaow=1zopontoz= 0 etransformadoemw= ,que editoopontonoinnitodoplanocomplexo.Para estudarmos o comportamento de f(z) em z= , basta fazer z=1we examinarocomportamentodef

1w

emw = 0.Dizemosque limzf(z)=, separaqualquer>0podemosdeterminarM>0talque|f(z) | < se |z| > MDizemosque limzz0f(z) = ,separaqualquerN> 0existeum> 0talque|f(z)| > N se 0 < |z z0| < 3.2 ContinuidadeSeja f(z) uma func ao unvoca denida numa vizinhanca de z0, inclusive em z0. A func aof(z) editacontinuaemz= z0,se1. f(z) edenidaemz0,2. limzz0f(z)deveexistir,3. limzz0f(z) = f(z0)Ospontosdoplanocomplexo,ondef(z)naoecontinua,saoditosdescontinuidadesdef(z).Se limzz0f(z) existe mas naoe igual af(z0), dizemos que z0e umasingularidaderemovvel.Observacao3.2.1. Paraexaminaracontinuidadedef(z)emz= , fazemosz=1weexaminamosacontinuidadedef

1w

emw = 0.Denicao3.2.1. Umafuncaof(z)diz-secontinuanumaregiaoRseela econtinuaemtodosospontosdeR.14CAPITULO3. LIMITESECONTINUIDADE 3.3. SEQUENCIASINFINITAS 153.2.1 TeoremasSobreContinuidadeTeorema3.2.1. Sef(z) eg(z) saocontinuas emz0, entaoas funcoes f(z) + g(z),f(z) g(z)ef(z)g(z)saocontinuasemz0. Parag(z0) = 0,afuncaof(z)g(z)eumafuncaocontinuaemz0.Teorema 3.2.2. Se w=f(z) e continuaemz0e z =g() e continuaem0e se0= f(z0),entaoafuncaow = g[f(z)],chamadafuncaocomposta,econtinuaemz0.Teorema3.2.3. Sef(z)econtinuanumaregiaofechada,elaelimitadanaregiao.Teorema3.2.4. Sef(z)econtinuanumaregiao,entaoaspartesreal eimaginariadef(z)tambemsaocontinuasnaregiao.3.2.2 ContinuidadeUniformeSeja f(z) continua numa regiao. Ent ao, por denic ao, em cada ponto z0da regiao e cada > 0,podemosencontrar> 0(emgeraldependedeedez0)talque|f(z) f(z0)| < , se |z z0| < .Seexistirumdeltadependendodemsnaodoparticularpontoz0,dizemosqueacon-tinuidade euniformenaregiao.Analiticamente,f(z) euniformementecontinuanumaregiaoseparaqualquer > 0existeum> 0talque|f(z1) f(z2)| < , se |z1z2| < ondez1ez2saoquaisquerdoispontosdaregiao.3.3 Seq uenciasInnitasDenicao3.3.1. Umasequenciaeumconjuntoden umerosu1, u2, u3, . . . formadadeacordocomumaregradeterminada. Cadan umerodasequenciaeditoumtermoeuneditoonesimotermo.1516 CAPITULO3. LIMITESECONTINUIDADEAsequenciau1, u2, u3, . . . etambemdesignadasimplesmentepor {un}.Exemplo3.3.1. O conjunto de n umeros 1+i,(1+i)22!,(1+i)33!, . . . e uma sequencia innita.3.3.1 LimitedeumaSequenciaUmn umeroeditoolimitedeumasequenciainnitau1, u2, u3, . . . separaqualquern umeropositivoexisteumn umeropositivoN= N()talque|un| < paratodo n > N.Nestecaso,escrevemoslimnun= Se limite de uma sequencia existe e dita ser convergente, caso contr ario e dita divergente.3.3.2 TeoremassobreLimitesdeSeq uenciasSelimnan= Aelimnbn= B,ent ao,1. limn(anbn) =limnanlimnbn= A B2. limn(an bn) =

limnan

limnbn

= AB3. limn

anbn

=limnanlimnbn=AB,seB = 0.16CAPITULO3. LIMITESECONTINUIDADE 3.4. SERIESINFINITAS 173.4 SeriesInnitasSejau1, u2, u3, . . . umasequenciadada. Consideremos anovasequenciaS1, S2, S3, . . .dadaporS1= u1,S2= S1 + u2,S3= S2 + u3,... ...Sn= Sn1 + SnondeSneditaanesimasomaparcial.AsequenciaS1, S2, S3, . . . esimbolizadaporu1 + u2 + u3 + . . . =n=1uneeditaumaserie. Se limnSn=Sexiste, aserieeditaconvergenteeSeasuasoma;casocontr arioaserie echamadadedivergente.Teorema3.4.1. Seaserieu1 + u2 + u3 + . . .converge,entao, limnun= 0.Demonstracao. SejaSnasomadosnprimeirostermosdaserie,ent aoSn+1= Sn + un.Assim,seexiste limnSn,temoslimnSn+1=limnSn +limnun=limnun= 0.Observacao3.4.1. AreciprocadoTeoremaanteriornaoeverdadeira. Se limnun= 0,aseriepodeounaoconvergir.1718 CAPITULO3. LIMITESECONTINUIDADE3.4.1 ConvergenciaAbsolutaDenicao3.4.1. Umaserien=1unconvergeabsolutamenteseaseriedosvaloresabso-lutosn=1|un|converge.Sen=1unconverge, masn=1|un| naoconverge, aserien=1unechamadacondicio-nalmenteconvergente.Teorema3.4.2. Sen=1|un|converge,entaon=1unconverge.3.4.2 TestesdeConvergenciaTeorema3.4.3(TestedaComparacao).1. Sen=1|vn|convergee |un| |vn|,entaon=1unconvergeabsolutamente.2. Sen=1|vn| divergee |un| |vn|, entaon=1|un| divergemasn=1unpodeounaoconvergir.Teorema3.4.4(TestedaRazao). Se limn

un+1un

= L,entaon=1unconverge(abso-lutamente)seL < 1edivergeseL > 1. SeL = 1otestefalha.Teorema3.4.5(TestedaRaiz). Se limnn|un| = L,entaon=1unconverge(absolu-tamente)seL < 1edivergeseL > 1. SeL = 1otestefalha.18CAPITULO3. LIMITESECONTINUIDADE 3.5. EXERCICIOS 193.5 Exerccios1. Se limzz0f(z) = Ae limzz0g(z) = B,provequelimzz0[2f(z) 3ig(z)] = 2A 3iB2. Proveque(a) limz1+iz2z + 1 iz22z + 2= 1 12i(b) limzi3z42z3+ 8z22z + 5z i= 4 + 4i3. Provequeolimitedeumafunc aodevariavelcomplexa,quandoexiste e unico.4. Provequelimz0zznaoexiste.5. Calculecadaumdoslimites(a) limzi2(2z 3)(4z + i)(iz 1)26. Provequeafuncaof(z) = z2econtinuaemz= z0.7. Paraquevaloresdezsaocontinuasasseguintesfunc oes(a) f(z) =zz2+ 1(b) f(z) = csc z8. Provequeumasequenciaconvergente elimitada.9. Provequen=1znn(n + 1)convergeabsolutamenteem |z| 1.10. DetermineoDomniodeconvergenciadasseguintesseries:(a)n=1(z + 2)n14n(n + 1)3(b)n=1(1)n1z2n1(2n 1)!1920 CAPITULO3. LIMITESECONTINUIDADE20Captulo4DiferenciacaoComplexa4.1 DerivadasSejaf(z)umafuncaodenidanumaregiaoRdoplanocomplexo. Aderivadadef(z) edenidaporf(z) =limz0f(z + z) f(z)zdesdequeolimiteindicadoexista.Nestecasodizemosquef(z) ediferenciavelemz.Teorema4.1.1. Sef(z)ediferenciavel emz,entaof(z)econtinuaemz.4.1.1 RegrasdeDerivacaoSef(z), g(z)eh(z)saofunc oesanalticasemz, asseguintesregrasdederivacaosaovalidas1.ddz {f(z) g(z)} =ddzf(z) ddzg(z)2.ddz {cf(z)} = cddzf(z),ondec eumaconstante.3.ddz {f(z)g(z)} = f(z)ddzg(z) + g(z)ddzf(z)2122 CAPITULO4. DIFERENCIAC AOCOMPLEXA4.ddz

f(z)g(z)

=g(z)ddzf(z) f(z)ddzg(z)[g(z)]2,seg(z) = 0.5. Sew = f(),onde= g(z),ent ao,dwdz=dwd ddzAnalogamente,sew = f(),onde= g()e= h(z),entao,dwdz=dwd dd ddz6. Sew = f(z),entaoz= f1(w)edwdz=1dzdw.7. Sez= f(t)ew = g(t),ondet eumparametro,entaodwdz=dwdtdzdt=g(t)f(t).4.1.2 DerivadasdeOrdemSuperiorSew= f(z) eanalticanumaregiao,suaderivada edadaporf(z),woudwdz . Sef(z)e tambem analtica na regiao, sua derivada e denotada por f(z), woud2wdz2 . Do mesmomodo, aderivadadeondemn, ounesimaderivadadef(z), seelaexiste,edenotadaporf(n)(z),w(n)oud(n)wdz(n).4.1.3 RegrasdeLHospitalSejam f(z) e g(z) analticas numa regiao, contendo o ponto z0 e suponhamos que f(z0) =g(z0) = 0,masg(z0) = 0. Ent aoaregradeLHospitalnosdizquelimzz0f(z)g(z)=f(z0)g(z0)22CAPITULO4. DIFERENCIAC AOCOMPLEXA 4.2. FUNCOESANALITICAS 234.2 Func oesAnalticasSeaderivadaf(z) existeemtodos os pontos z deumaregiaoR, entaof(z) diz-seanalticaemR. Tambemusaremosaspalavrasregulareholomorfacomosinonimosdeanaltica.Dizemos que a funcao f(z) e analtica num ponto z0, se existir um > 0 tal que f(z)existaparatodozcom |z z0| < .4.2.1 EquacoesdeCauchy-RiemannUmacondicaonecessariaparaquew=f(z) =u(x, y) + iv(x, y)sejaanalticanumaregiaoR equeuevsatisfacamasequac oesux=vy,uy= vx.Seasderivadasparciaisdef(z)saocontinuasemR, entaoasequac oesdeCauchy-Riemannsaotambemcondic oessucientesparaquef(z)sejaanalticaemR.Asfuncoesu(x, y)ev(x, y)saocomumentechamadasdefuncoesconjugadas. (Dadaumadelas,podemosencontraraoutra)4.2.2 Func oesHarmonicasSeasderivadasParciaisdesegundaordemdeuevcomrelac aoaxeyexistemesaocontinuasnumaregiaoR,temos2ux2+2uy2= 0,2vx2+2vy2= 0assim,sobestascondic oes,aparterealeimaginariadeumafunc aoanalticasatisfazemaequac aodeLaplaceesaoditasfunc oesharmonicasemR.Teorema4.2.1. Sef(z) = u(x, y) +iv(x, y) eanalticanumaregiaoReu econstante,entaofeconstante.2324 CAPITULO4. DIFERENCIAC AOCOMPLEXADemonstracao. Umavezqueueconstanteux=uy=0, pelasequac oesdeCauchy-Riemann,vx= vy= 0entaoveconstante,logofeconstante.Teorema4.2.2. Sef(z)eanalticaemumaregiaoRese |f(z)| econstanteemR,entaofeconstante.Demonstracao. Porhipotese|f(z)|2= u2+ v2 CteTomandoasderivadasparciaiscomrespeitoaxey,temosuux + vvx= 0,uuy + vvy= 0.substituindoasequac oesdeCauchyRiemann,obtemosuuxvuy= 0,vux + uuy= 0.talque

u2+ v2

ux= 0eux= vy= 0. Similarmente,uy= vx= 0,assimfeconstante.24CAPITULO4. DIFERENCIAC AOCOMPLEXA 4.3. EXERCICIOS 254.3 Exerccios1. Proveque(a)ddz sec z= sec z tan z(b)ddz(z2+ 1)12=z(z2+ 1)12(c)ddz(z + 2z)13=z + 13z(z + 2z)232. Encontreasderivadasdasseguintesfunc oes(a) f(z) = ln(sec z + tan z)(b) f(z) = csc

(z2+ 1)12

(c) f(z) = (z21) cos(z + 2i)3. SeIm[f(z)] = 6x(2y 1)ef(0) = 3 2i,f(1) = 6 5i,encontref(1 + i)4. Analiseaanaliticidadedasseguintesfuncoes(a) f(z) = z2+ 5iz + 3 i(b) f(z) = zez(c) f(z) =sen (2z)5. VeriqueseasequacoesdeCauchy-Riemannsaosatisfeitaspara(a) f(z) = ez2(b) f(z) = cos(2z)(c) f(z) =senh (4z)6. Provequeu(x, y) eharmonicaemalgumaregiao,encontreumafunc aoconjugadav(x, y)eexpressef(z) = u(x, y) + iv(x, y)emtermosdez.(a) u(x, y) =senh x sen y2526 CAPITULO4. DIFERENCIAC AOCOMPLEXA(b) u(x, y) =yx2+y2(c) u(x, y) = ex(x sen y y cos y)(d) u(x, y) = 2x(1 y)(e) u(x, y) = x2y22xy 2x + 3y(f) u(x, y) = ln[(x 1)2+ (y 2)2]7. Provequeemcoordenadaspolaresasequac oesdeCauchy-Riemann,temaformaur=1rv,vr= 1rueaequacaodeLaplacetemaforma2Ur2+1rUr+1r22U2= 08. Sejaw(z)analticaesejaw=ei, z=rei. Provequeparatodopontoz =0ondew = 0asequacoesdeCauchy-Riemannpodemserescritasnaformar=r,= rr .9. Sew22w +sen (2z) = 0,encontred2wdz2 .10. Calculeosseguinteslimites(a) limz0z sen zz3(b) limzitan1(z2+ 1)2sen2(z2+ 1), onde o ramo do arco tangente e escolhido de tal modo quetan10 = 0.(c) limz0

sen zz1z2.26Captulo5IntegracaoComplexa5.1 IntegraisdeLinhaDenicao5.1.1. Sejaf(t) = u(t) +iv(t)umafuncaodevalorcomplexoevariavelreal,a t b.baf(t)dt =bau(t)dt + ibav(t)dtDenicao5.1.2. Sejaz(t)=x(t) + iy(t), a t b. Acurvadeterminadaporz(t)echamadadiferenciavel porpartese z(t) = x(t) = iy(t)se x e ysao continuas sobre [a, b] e continuamente diferenciaveis sobre cada sub intervalo[a, x1], [x1, x2], . . . , [xn1, b]dealgumaparticaode[a, b].Acurvae ditaser suave se, alemdisso, z(t) =0exceptonumn umeronitodepontos.Denicao 5.1.3.Seja uma curva suave dada por z(t), a t b, e suponha fcontinuaemtodosospontosz(t)Entaoaintegral defaolongodeef(z)dz=ba(z(t)) z(t)dt.2728 CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXAObservacao5.1.1. Notequeaintegral aolongodacurvadependenaosomentedospontosdemassobreadirecaodeles.Denicao5.1.4. Suponhaqueedadaporz(t), a t b. Entao edenidaporz(b + a t),a t b.Proposicao5.1.1.f(z)dz= f(z)dzDemonstracao.f(z)dz= baf(z(b + a t)) z(b + a t)dtAgoraseparandoempartesreal eimaginariaeaplicandomudancadevari avel paraasfuncoesreais,temosf(z)dz=baf(z(t)) z(t)dt = f(z)dzExemplo5.1.1. Sejaf(z) =1z=xx2+ y2 iyx2+ y2,eseja: z(t) = Rcos t + iRsen t, 0 t 2, R = 0.Entao,f(z)dz =20

cos tRi sen tR

(Rsen t + iRcos t)dt=2pi0idt =2iObservacao5.1.2. Suponhaf(z) 1,esejaqualquercurvasuave. EntaoCf(z)dz=ba z(t)dt = z(b) z(a).28CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXA 5.1. INTEGRAISDELINHA 29Proposicao5.1.2. Sejaumacurvasuave; sejamfegfuncoescontinuassobre; esejaumn umerocomplexoqualquer. Entao1.[f(z) + g(z)] dzf(z)dz +g(z)dz2.f(z)dz= f(z)dzLema5.1.1. Suponhaf(t)umafuncaocontinuadevalorcomplexo. Entao

baf(t)dt

ba|f(t)|dt.Demonstracao. Suponhabaf(t)dt = Rei, R 0. (1.1)Entaobaeif(t)dt = R. (1.2)Suponhatambemqueeif(t) = A(t) + iB(t),comAeBfunc oesdevalorreal. Entaodaequac ao(1.2),tem-seR =baA(t)dt =baRe

eif(t)

dtmasRez |Rez| |z|,assimR ba|f(t)|dt (1.3)comparando(1.1)e(1.3),obtemosoresultado.5.1.1 ComprimentodeArcoDenicao5.1.5. Dadaumacurvaparametrizadapor(x(t), y(t)),a t b,ocompri-mentodearcoLedadoporL =ba[x(t)]2+ [y(t)]2=ba| z(t)|dt2930 CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXATeorema 5.1.1.Suponha que e uma curva suave de comprimento L, fcontinua sobree |f(z)| M,atravesde. Entao

f(z)dz

MLDemonstracao. Sejadadaporz(t) = x(t) + iy(t),a t b. Entao,

f(z)dz

=

baf(z(t)) z(t)dt

ba|f(z(t)) z(t)| dtAplicandooTeoremadeValorMedioparaasfunc oes |f(z(t))|e | z(t)|

f(z)dz

maxzC|f(z)|ba| z(t)|dt =MLProposicao5.1.3. Suponha {fn}umaseq uenciadefuncoescontnuasefn f uni-formementesobreumacurvasuavegamma. Entaof(z)dz=limnfn(z)dz.Demonstracao.f(z)dz fn(z)dz=[f(z) fn(z)] dzTomandonsucientementegrandetalque|f(z) fn(z)| < , z CEntao,

f(z)dz fn(z)dz

Lparaqualquer > 0,eassim epossvelconcluircomademonstrac ao.Proposicao5.1.4. SejafaderivadadeumafuncaoanalticaF,istoe,f(z) = F(z),ondeFeanalticasobreumacurvasuave. Entao,f(z)dz= F(z(b)) F(z(a)).30CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXA5.2. OTEOREMADECURVASFECHADASPARAFUNCOESINTEIRAS 31Demonstracao. Seja(t) = F(z(t)), a t b,temosque (t) = limh0F(z(t + h)) F(z(t))h= limh0F(z(t + h)) F(z(t))z(t + h) z(t)z(t + h) z(t)h(Desde que z(t) = 0, podemos encontrar > 0 tal que |h| < implica z(t+h)z(t) = 0.)Assim (t) = f(z(t)) z(t).Segue-sequef(z)dz =baf(z(t)) z(t)dt =ba (t)dt= (b) (a) =F(z(b)) F(z(a)).5.2 O Teorema de Curvas Fechadas para Funcoes In-teirasDenicao5.2.1. Acurvaefechadaseseuspontosiniciaisenaiscoincidem.Teorema 5.2.1 (Teorema do Retangulo 1).Seja fuma funcao inteira e a fronteiradeumretanguloR. Entaof(z)dz= 0.Demonstracao.1. Sejaf(z) = + zumafunc aolinearesejadadapor : z(t), a t b, z(a) = z(b).3132 CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXAUma vez quef(z) e a derivada de uma funcao analtica F(z) = z +z22 . Temos,f(z)dz=F(z)dz= F(z(b)) F(z(a)) = 0.2. SejaI=f(z)dz,devemosmostrarqueI= 0.Dividimosoretanguloemquatrosub-retangulosiguaisdefronteiras1, 2, 3e4.f(z)dz=4i=1if(z)dzFigura5.1: RetanguloUma vez que as integrais no interior apresentam-se em direcoes opostas assim estassecancelam. Daiparaalgumk,1 k 4,oqualdenotamospor(1),

(1)f(z)dz

14.32CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXA5.2. OTEOREMADECURVASFECHADASPARAFUNCOESINTEIRAS 33Seja R(1)o retangulo limitado por (1). Continuando desta maneira, dividindo R(k)emquatroretanguloscongruentes,obtemosasequenciaderetangulosR(1) R(2) R(3) . . .esuasfronteiras(1), (2), (3), . . .talquediamR(k+1)=12diamR(k)etalque

(k)f(z)dz

14k. (2.4)Sejaz0 k=1R(k). Umavezquef(z) eanalticaemz0,temosf(z) f(z0)z z0f(z0)podemosescreverf(z) = f(z0) + f(z0)(z z0) + z(z z0), z 0 quando z z0.Ent ao,(n)f(z)dz =(n)[f(z0) + f(z0)(z z0) + z(z z0)] dz=(n)z(z z0)dz (peloitem1)Paraestimaraintegral, assumimosqueamaiorladodafronteiraoriginal tinhacomprimentos. Entao,(n)|dz| =comprimentode(n)4s2ne|z z0| 2 s2n, z (n).Dado > 0,escolhemosNtalque|z z0| 2 s2n=|z| .3334 CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXAEnt aoparan N,temospeloTeorema5.1.1

(n)f(z)dz

42s24n. (2.5)Combinandoasequacoes(2.4)e(2.5)mostramosqueparan N

I4n

42s24nou|I| 42s2.umavezqueesta ultimadesigualdade evalidaparatodo > 0,podemosconcluirqueI= 0.Teorema5.2.2(TeoremaIntegral). SefeinteiraexisteumafuncaointeiraFtalqueF(z) = f(z), zCorolario5.2.1. Sejafumafuncaointeiraeumacurvafechadasuave. Entaof(z)dz= 0.Teorema5.2.3(TeoremadoRetangulo2). Sefeumafuncaointeiraeg(z) =

f(z) f(a)z a; z = a,f(a) ; z= a,entaog(z)dz= 0,ondeeafronteiradeumretanguloR.Corolario 5.2.2.Suponha que g(z) e denida como no Teorema 5.2.3. Entao o TeoremaIntegral 5.2.2eoCorolario5.2.1,saovalidosparag(z).34CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXA5.2. OTEOREMADECURVASFECHADASPARAFUNCOESINTEIRAS 355.2.1 FormulaIntegraldeCauchyLema5.2.1. Suponhaqueaestacontidonumcrculo,centradoemeraio. Entaodzz a= 2i.Demonstracao. Notequedzz =20ieiei d = 2i,enquanto,parak = 1, 2, 3, . . .dz(z )k+1=1k20eid = 0.Escreva1z a=1(z ) (a )=1(z )

1 (a)(z)

=1(z ) 11 wondew =(a )(z )e |w| = |a |< 1em.Entao11z a=1(z )1 +(a )(z )+(a )2(z )2+ . . .

=1(z )+(a )(z )2+(a )2(z )3+ . . .Assim,temos1z adz =1(z )dz +k=1(a )k(z )k+1dz =2i.1Lembrandoaigualdade11 w= 1 + w + w2+ w3+ . . .3536 CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXATeorema5.2.4(FormulaCauchy). Sejafumafuncaointeira,a Ceeacurva : Rei, 0 2, com R > |a|.Entao,f(a) =12if(z)z adz.Assim,doLema5.2.1aprovaseguedemaneiraimediata.Demonstracao. PeloCorolario5.2.2f(z) f(a)z adz= 0talquef(a)dzz a=f(z)z adz5.3 SeriesdePotenciasDenicao5.3.1. Umaseriedepotenciaemzeumaserieinnitadaformak=0Ckzk.ondeoscoecientesCneavariavel zsaocomplexos.Demaneirageralpodemosconsiderark=0Ck(z z0)koqualrepresentaumaseriedepotenciacomrespeitoaocentroz0.Exemplo5.3.1. Aseriegeometrica1 + z + z2+ . . . + zk+ . . .cujasomaparcial podeserescritacomo1 + z + z2+ . . . + zn1=1 zn1 zconvergepara11zpara |z| < 1edivergepara |z| 1.36CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXA 5.3. SERIESDEPOTENCIAS 37Istodaaideiapadraodocomportamentodeumaseriegeometrica: convergentenointerior de um circulo e divergente fora do mesmo, exceto que pode acontecer que a serieconvergesomenteparaz= 0,oqueestaconvergeparatodovalordeZ.Paraestudaraconvergenciadeumaseriedepotencia,lembremoslimnan=limn

supknak

.Umavezquesupknakeumafunc aonao-crescenteden,olimitesempreexisteoue+.Aspropriedadesdelimsaoasseguintes:Se limnan= L,1. ParacadaNeparacada > 0,existalgumk > Ntalqueak L ;2. Paracada 0,haalgumNtalqueak L + paratodok > N.3. limncan= cLparaalgumaconstantenaonegativac.Teorema5.3.1. Suponhaque limn|Ck|1k= L1. SeL = 0,k=0Ckzkconvergeparatodoz.2. SeL = ,k=0Ckzkconvergesomenteparaz= 0.3. Se0 < L < ,sejaR =1L. Entaok=0Ckzkconvergepara |z| < Redivergepara|z| > R. (Rechamadooraiodeconvergencia)Demonstracao.1. L = 0. Umavezque limn|Ck|1k= 0temosquelimn|Ck|1k|z| = 0, z.Assim,paracadaz,haalgumaNtalquek > Nimplica

Ckzk

12k3738 CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXAtal quek=0|Ckzk| converge; pelo teste da convergencia absoluta,k=0Ckzkconverge.2. L = . Paraalgumz = 0,|Ck|1k1|z|Dai, |Ckzk| 1, ostermosaserienaoseaproximamdezero, easeriediverge.(Obviamenteaserieconvergesoparaz= 0).3. 0 < L < ,R =1L. (exerccio!)5.3.1 DiferenciacaodeseriesdepotenciaSuponhaqueaserien=0CnznconvergeemalgumdiscoD(0; R), R>0. Entaoaserien=1nCnzn1,obtidapordiferenciacao, econvergenteemD(0; R). Defatolim|nCn|1n1= lim

|nCn|1n nn1= lim|Cn|1nTeorema5.3.2. Sejaf(z)=n=0Cnznconvergepara |z| max(|a|, |b|). DeacordocomaformuladeCauchyf(b) f(a) =12if(z)z bdz 12if(z)z adz=12if(z)(b a)(z a)(z b)dzUmavezquefelimitada,existeumn umeropositivoMtalque|f(z)| M, z C.Tambem,lembremosque|z w| |z| |w| =1|z w| 1|z| |w|.Assimtemos,|f(b) f(a)| 12|f(z)| |b a||z a||z b||dz|12M |b a|(R |a|)(R |b|)|dz|. .. .()=M |b a| R(R |a|)(R |b|)dadoquefeinteira,temraiodeconvergenciainnito,observamosque|f(b) f(a)| 0, quando R .Logof(a) = f(b)eassimfeconstante.40CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXA 5.4. EXERCICIOS 415.4 Exerccios1. Calculef(z)dzonde(a) f(z) = x2+ iy2e : z(t) = t2+ it2, 0 t 1,(b) f(z) =1ze : z(t) =sen t + i cos t, 0 t 2.2. Determineasseguintesintegraiseaxsen (bx)dx eeaxcos(bx)dx3. Seumafuncaointeiraf(z) = A(= ), z. Ent aof(z) = A + eg(z),ondeg(z) eumafuncaointeira.4. Se umafunc aointeiraf(z) =A(= ), paraz1, z2, . . . , zncomordens demultiplicidadek1, k2, . . . , kn,ent aof(z) = A + (z z1)k1(z z2)k2. . . (z zn)kneg(z),ondeg(z) eumafuncaointeira.5. MostrequeSn= n1n 1,quandon .6. Encontreoraiodeconvergenciadasseguintesseries(a)n=0zn!,(b)n=0(n + 2n) zn.7. Provequeaserien=1znn2convergeparaumn umeroreal nitoparatodo |z| 1.Veriquetambemqueistonao evalidoparaaseriedasderivadas.4142 CAPITULO5. INTEGRAC AOCOMPLEXA8. Sen=0Cnzntemraiode convergenciaR. Encontreoraiode convergenciadasseguintesseries(a)n=0npCnzn,(b)n=0C2nzn,(c)n=0|Cn|zn.9. Suponha limn|Cn|1n< . Mostrequesef(z) =n=0Cn(z )n,ent aoCn=f(n)()n!.10. Encontreodomniodeconvergenciadasseguintesseries(a)n=0n(z i)n,(b)n=0n2(2z 1)n,(c)n=0(1)nn!(z + 1)n.11. Desenvolvaf(z) =sen (z)numaseriedeTayloremtornodez=4edetermineodomniodeconvergenciadestaserie.12. Sejaf(z) = ln(1 + z),considerandooramoparaoqualf(0) = 0.(a) Desenvolvaf(z)emseriedeTayloremtornodez= 0.(b) Determineodomniodeconvergenciadaseriedoitema).(c) Desenvolvaln

1 + z1 z

emseriedeTayloremtornodez= 0.42Captulo6PropriedadedasFunc oesAnaltica6.1 DenicoesTopologicasNoquesegueprecisaremosdealgumasdenic oestopologicasemCasquaisapresenta-mosaseguir:D(z0; r)representaodiscoabertodecentroemz0eraior;i.e.D(z0; r) = {z C : |z z0| < r}.C(z0; r)representaocrculodecentroemz0eraior;i.e.C(z0; r) = {z C : |z z0| = r}.Denicao 6.1.1 (Conjunto Aberto). UmconjuntoSCe ditoabertose paraqualquerz S,existe> 0Tal queD(z; r) S.ParaqualquerconjuntoS,denotamosseucomplementoporS=C\S= {z C : z /S}.Denicao6.1.2(ConjuntoFechado). UmconjuntoS Ceditofechadoseseucomplemento Seaberto.Equivalentemente,Sefechadose {zn} Sezn zimplicaz S.4344 CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICADenicao6.1.3(DenicoesImportantes).1. AfronteiradeS,edenidaporS=

z C : > o, D(z0, ) S = e D(z0, ) S = .2. OfechodeSedadoporS= S S.3. SelimitadoseexisteumM> 0tal queS D(0; M).4. Conjuntosquesaofechadoselimitadossaochamadosdecompactos.5. S e dito ser desconexo se existem dois conjuntos disjuntos A e Bcuja uniao contemS, enquanto nem A nem Bsozinhos contem S; Se Se nao desconexo sera chamadodeconexo.6. UmconjuntoabertoeconexoserachamadodeRegiao.6.2 RepresentacaoemSeriesdePotenciasTeorema6.2.1. SejafumafuncaoanalticaemD(; r). SeoumretangulofechadoReopontoaestaocontidosemD(; r)erepresentaafronteiradeR,f(z)dz= 0Demonstracao. AprovaeexatamenteamesmaqueadosTeoremas5.2.1e5.2.3, umavezquefeanalticaatravesdeReassim esatisfeitadesdequeR D(; r)Teorema6.2.2. Sef(z)eanalticaemD(; r) ea D(; r), haumafuncaoF(z)analticaemD(; r)tal queF(z) = f(z)44CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICA 6.2. REPRESENTAC AOEMSERIESDEPOTENCIAS 45Demonstracao. DenamosF(z) =zf()donde a integral denota o caminho atraves da linha reta de ate +Re(z) e de +Re(z)atezNote que para qualquer z D(; r) e h sucientemente pequeno, z +h D(; r) talqueF(z + h) F(z) =z+hzf()deumavezque1hz+hz1d=1h(z + h z) = 1.Entao,F(z + h) F(z)hf(z) =1hz+hzf()d f(z)1hz+hz1d=1hz+hz[f() f(z)] dparacada 0,seh esucientementepequeno,|f() f(z)| atravesdocaminhodeintegrac ao. Entao

F(z + h) F(z)hf(z)

1h 2h = 2Assim,temosF(z) = f(z).Teorema6.2.3. Sef(z) e analtica emD(; r),a D(; r)eequalquercurvasuavefechadacontidaemD(; r),f(z)dz= 0.4546 CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICADemonstracao. DeacordocomoTeorema6.2.2, existeumafunc aoanalticaF(z)emD(; r)talquef(z)dz=F(z)dz= F(z(b)) F(z(a)) = 0umavezqueopontoinicialenalz(a)ez(b)coincide.6.2.1 FormulaIntegraldeCauchySejafanalticaenD(; r),0 < < r,e |a | < . Ent aof(a) =12iCf(z)z adz (2.1)ondeCrepresentaocrculo + ei,0 2.Teorema6.2.4. SefeanalticaemD(; r),existemconstanteCktaisquef(z) =k=0Ck(z )k, z D(; r)Demonstracao. Tomea D(; r)e > 0talque |a | < < r.PelaformulaintegraldeCauchy,se |z | < |a |f(z) =12iCf(w)w zdweusandoofatoque1w +z (w )2+(z )2(w )3+ . . .convergeuniformementepara1wzatravesdeCf(z) =12if(w)1w +z (w )2+(z )2(w )3+ . . .

dw=k=0Ck(z )kondeCk=12if(w)(w )k+1dw.46CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICA 6.3. ANALITICIDADEEMCONJUNTOSABERTOS 47Observacao6.2.1. Sef temumarepresentacaoemseriesdepotencia, f(k)(0)existeparak = 1, 2, 3, . . .,ef(z) =k=0f(k)()k!(z )k, z.Entaof(k)() =k!2if(w)(w )k+1dw6.3 AnaliticidadeemConjuntosAbertosO seguinte teorema arma que se fe analtica num ponto , ela tem uma representac aoemseriedepotencianumdiscocentradoem,i.e. ela einnitamentediferenciavelem.Teorema 6.3.1.Se fe analtica em um domnio arbitrario O, entao para cada O,existemconstanteCktaisquef(z) =k=0Ck(z )kparatodosospontoszdentrododiscograndecentradoemecontidoem O.Exemplo6.3.1. Porexemploparaencontraraexpansaoemseriedepotenciasde1z2,emtornodez= 2,temos1z2=12 + (z 2)

2=1411 +(z2)22=141 (z 2)2+(z 2)222(z 2)323+ . . .

2=141 2(z 2)2+3(z 2)2224(z 2)323+ . . .

2=n=0(1)n(n + 1)(z 2)n4 2neoraiodeconvergenciaedadopor1limsup |Cn|1/n= lim

4 2nn + 1

1/n=24748 CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICAObservacao 6.3.1. Note que PeloTeorema6.3.1, dadoque f e innitamente dife-renciavel em,temosf(z) = f() + f()(z ) +f()2!(z )2+f()3!(z )3+ . . .Teorema6.3.2(Unicidade). SuponhaquefeanalticanumaregiaoDequef(zn) =0,onde {zn}eumasequenciadepontosdistintosezn z0 D. Entaof 0emD.6.3.1 TeoremadeValorMedioSefeanalticaemOe O, entaof()eigual aovalormediodef tomadoemtornodafronteiradequalquerdiscocentradoemcontidoem O. Isto e,f() =1220f( + rei)d (3.2)ondeD(; r) O.Demonstracao. Istoeumareformulac aodaformulaintegral deCauchyIntegral coma = .f() =12iCrf(z)z dzintroduzindoaparametrizac aodeCr: z= + rei, temosoresultadodemaneiradireta.6.3.2 TeoremadoModuloMaximoDenicao6.3.1. Dizemosqueumpontozeummaximorelativodefse|f(z)| |f(w)|, paratodownumavizinhancadez.Analogamente,zeummnimorelativodefse|f(z)| |f(w)|, paratodownumavizinhancadez.48CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICA 6.3. ANALITICIDADEEMCONJUNTOSABERTOS 49Teorema6.3.3. Sejaf umafuncao(naoconstante) analticanumaregiaoR: Paracadaz Rer > 0,existealgumw D(z; r) R,tal que|f(w)| > |f(z)|.Demonstracao. pelo Teorema de Valor Medio (Teorema 3.2), para r > 0 tal que D(z; r) R,temos|f(z)| 1220|f(z + rei)|dPor outro lado se assumimos que |f(w)| |f(z)| para todo wtal que |z w| < r. Ent ao1220|f(z + rei)|d |f(z)|Destasduas ultimasdesigualdades,temos|f(z)| =1220|f(z + rei)|dou,1220

|f(z)| |f(z + rei)|

d = 0umavezqueointegrando econtinuoenaonegativo,temosque|f(z)| = |f(w)|, w D(z; r)oquecontradizahipotesedefsernaoconstante.6.3.3 TeoremadoModuloMnimoSe fe uma func ao (nao- constante) analtica numa regiao R, ent ao nenhum ponto z Dpodesermnimorelativodef,amenosquef(z) = 0.Demonstracao. Suponhaquef(z) =oeconsideref(z)=1g(z). Sez Reummnimodef, ent aoeleeumpontodemaximodeg, ent aopeloteoremadomodulomaximogdeveriaserconstanteemR, oqueimplicaf constanteemR, istocontradizanossahipotese.4950 CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICA6.4 ClassicacaodasSingularidadesDenicao6.4.1. Umpontonoqualf(z)nao eanaltica editoumpontosingularouumasingularidadedef(z).Existemvariostiposdesingularidades1. Singularidadesisoladas. Opontoz0echamadoumasingularidadeisoladaouumpontosingularisoladodef(z)seexiste> 0,talqueocrculo |z z0| = naocontemnenhumpontosingulardiferentedez0.Sez0nao eumpontosingularepodemosencontrarum> 0talque |z z0| = nao envolve nenhum ponto singular,ent ao dizemos quez0e umpontoordinariodef(z).2. Polos. Seexisteuminteiropositivontalquelimzz0(z z0)nf(z) = A = 0,ent ao,z0editoumpolodeordemn. Sen = 1,z0eumpolosimples.3. Singularidades removveis. Opontosingular z0editoumasingularidaderemovveldef(z)selimzz0f(z) existe4. Singularidadesessenciais. Umasingularidadequenaoeumpoloouumasin-gularidaderemovvel, editaumasingularidadeessencial.5. Singularidades noinnito. Otipodesingularidadedef(z) emz = eomesmoqueaqueledef

1w

emw = 0.50CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICA 6.4. CLASSIFICAC AODASSINGULARIDADES 516.4.1 SeriedeTaylorSeja fuma func ao analtica no interior do crculo C0(z0; r0). Ent ao, em cada ponto znointeriordeC0f(z) =n=0f(n)(z0)n!(z z0)n|z z0| < r0.Esta eaexpansaoemseriedeTaylordafunc aofemtornodopontoz0.Sez0= 0,temosaseriedeMaclaurin,f(z) =n=0f(n)(0)n!zn|z| < r0.Exemplo6.4.1. AlgunsexemplosconhecidosdeseriesdeTaylorsaosen z =n=1(1)n+1z2n1(2n 1)!, |z| < cos z =n=0(1)nz2n(2n)!, |z| < ez=n=0znn!, |z| < 11 + z=n=0(1)nzn, |z| < 1ln

1 + z1 z

=n=02z2n+12n + 1, |z| < 1.Outroexemploeaexpansaodafuncaof(z) =1 + 2zz2+ z31 + 2zz2+ z3=1z2

2 11 + z

nao epossvelencontrarumaseriedeMaclaurinparaf(z)desdequeelanao eanalticaemz= 0,maspodemosfazeristopara11+z.Assimpara0 < |z| < 1,temos1 + 2zz2+ z3=1z2

2 1 + z z2+ z3. . .

=1z2+1z 1 + z z2+ z3. . .5152 CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICA6.4.2 SeriesdeLaurentSejaC1eC2doiscrculosconcentricos,decentroz0eraiosr1er2(r1< r2),respectiva-mente.Teorema6.4.1. SefeanalticasobreoscrculosC1,C2esobreoanelentreestesdoiscrculos. Entaoemcadapontof sobreestedomniof(z)erepresentadapelaseguinteexpansaof(z) =n=1an(z z0)n. .. .Parte Principal+n=0an(z z0)n. .. .Parte Analitica(4.3)ondean=12iC2(z z0)n1f(z)dz (n = 1, 2, . . .)an=12iC1f(z)(z z0)n+1dz (n = 0, 1, 2, . . .)AserieresultanteechamadaseriedeLaurent.Observacao6.4.1. Umavezqueasfuncoesf(z)(z z0)n+1ef(z)(z z0)n+1saoanalticasnaregiaoanularr2 |z z0| r1,paraqualquercrculoconcentricoCentreC1eC2,escrevemosf(z) =n=an(z z0)nondean=12iC1f(z)(z z0)n+1dz (n = 0, 1, 2, . . .)Exemplo6.4.2. Considereafuncaof(z)=e2z(z1)3, aqual temumasingularidadeemz= 1.Sejau = z 1,entaoe2z(z 1)3=e2u3 e2u=e2u31 + 2u +(2u)22!+(2u)33!+(2u)44!+ . . .

= e21(z 1)3+2(z 1)2+2z 1+43+23(z 1) + . . .

Podemosaindadizerquez= 1eumpolodeordem3easerieconvergeparaz = 1.52CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICA 6.4. CLASSIFICAC AODASSINGULARIDADES 53Observacao6.4.2. Umamaneiramais facil declassicar os polos deumafuncaoeobservandosuaseriedeLaurent.Sef(z)temaforma(4.3)naqual aparteprincipal temsomenteumn umeronitodetermosdadospora1z z0+a2(z z0)2+ . . . +an(z z0)nondean = 0,entaoz= z0eumpolodeordemn.Exemplo6.4.3. Desenvolvaf(z)=1(z + 1)(z + 3)emseriedeLaurent em: (a)1 3,(c)0 < |z + 1| < 2,(d) |z| < 1.(a) Decompondoemfrac oesparciais1(z + 1)(z + 3)=121z + 1 1z + 3

Se |z| > 1,1z + 1=1z(1 + 1/z)=1z1 1z+1z2 1z3+ . . .

=1z 1z2+1z3 1z4+ . . . .Se |z| < 3,1z + 3=13(1 + z/3)=131 z3+z232 z333+ . . .

=13 z32+z233 z334+ . . .Ent aoodesenvolvimentoemseriedeLaurentpara1 < |z| < 3, e1(z + 1)(z + 3)=12. . . 1z4+1z3 1z2+1z 13+z32 z233+z334 . . .

(b) Se |z| > 3,ent aoobviamente |z| > 1ecomonoitem(a)1z + 1=1z 1z2+1z3 1z4+ . . .5354 CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICANooutrotermo,se |z| > 3,1z + 3=1z(1 + 3/z)=1z1 3z+32z2 33z3+ . . .

=1z 3z2+32z3 33z4+ . . .Ent aoodesenvolvimentoemseriedeLaurentpara |z| > 3, e1(z + 1)(z + 3)=121z 1z2+1z3 1z4+ . . . 1z+3z2 32z3+33z4 . . .

=1z2 4z3+13z4 . . .(c) Sejau = z + 1. Entao1(z + 1)(z + 3)=1u(u + 2)=12u(1 + u/2), |u/2| < 1=12u1 u2+u222 u323+ . . .

=12u 14+u23 u224+ . . .Ent ao,1(z + 1)(z + 3)=12(z + 1) 14+z + 123(z + 1)224+ . . .para |u| < 2,u = 0ou0 < |z + 1| < 2.54CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICA 6.5. EXERCICIOS 556.5 Exerccios1. DesenvolvaasseguintesfuncoesemseriedeTayloremtornodopontoindicadoedetermineseudomniodeconvergencia.(a) f(z) = cos z; z=2,(b) f(z) =11+z; z= 1,(c) f(z) =zez+1; z= 0,(d) f(z) = ez2senh (z + 2); z= 0,(e) f(z) =sen zz2+4; z= 0,2. Calcule as series de Laurent em torno das singularidades indicadas para cada umadasseguintesfuncoes(a) f(z) =e2z(z1)3; z= 1,(b) f(z) =zsen zz3; z= 0,(c) f(z) =1z2(z1)3; z= 3,(d) f(z) = (z 3) sen1z+2; z= 2,3. Desenvolvaf(z) =z(z 1)(2 z)emseriedeLaurentem(a) |z| < 1,(b) 1 < |z| < 2,(c) |z| > 2,(d) |z 1| > 1,(e) 0 < |z 2| < 1.4. Determineeclasiquetodasassingularidadesdasfuncoes(a) f(z) =1(2 sen z 1)2,5556 CAPITULO6. PROPRIEDADEDASFUNCOESANALITICA(b) f(z) =ze1/z1,(c) f(z) = cos(z2+ z2),(d) f(z) = tan1(z2+ 2z + 2),(e) f(z) =zez1,.5. Sef(z)=3z 3(2z 1)(z 2), determineaseriedeLaurentemtornodez=1, naregiao12< |z 1| < 1.56Captulo7OTeoremadoResduoSeja Cum crculo com centro em z= a, R uma regiao limitada por Ce f(z) uma func aoanalticaemR C,excetoemz= a. Entaof(z)temumdesenvolvimentoemseriedeLaurentemtornodez= a,dadoporf(z) = a0 + a1(z a) + a2(z a)2+ . . . +a1z a+a2(z a)2+ . . .ondean=12iCf(z)(z a)n+1dz (n = 0, 1, 2, . . .)Nocasoespecialn = 1,temosqueCf(z)dz =2ia1chamamosa1oresduodef(z)emz= a.7.1 CalculodeResduosTeoricamenteparacalcular oresduodeumafuncaodevemos encontrar oseudesen-volvimentoemseriedeLaurent. Mas, nocasoemquez=aeumpolodeordemk,temosa1=limza1(k 1)!dk1dzk1

(z a)kf(z)

5758 CAPITULO7. OTEOREMADORESIDUOExemplo 7.1.1.A funcao f(z) =ezsen2ztem polos duplos em z= m, m = 0, 1, 2, . . . .1. Metodo1. Oresduoemz= mea1= limzm11!ddz(z m)2ezsen2z

= limzaez[(z m)2sen z + 2(z m) sen z 2(z m)2cos z]sen3zFazendoamudancau = z m,temossen (u + m) = sen u cos m +sen m cos u = sen ucos mcos(u + m) = cos ucos m sen m sen u =cos ucos mEntaoa1= limu0eu+mu2sen u + 2usen u 2u2cos usen3u

= emlimu0u2sen u + 2usen u 2u2cos uu3u3sen3u

= emlimu0u2sen u + 2usen u 2u2cos uu3

limu0

usen u

3=em2. Metodo2. FazendoaexpansaoemseriedeLaurentemtornodez= a,f(z) =ezsen2z=emeusen2u= em1 + u +u22!+ . . .

u u33!+u55!+ . . .

2= em1 + u +u22!+ . . .u2

1 u23+2u445+ . . .

= em

1 u23+2u445+ . . .

Logooresduoeem.58CAPITULO7. OTEOREMADORESIDUO 7.2. OTEOREMADORESIDUO 597.2 OTeoremadoResduoTeorema7.2.1. Sejaf(z)analticanumaregiaoRlimitadaporduascurvasfechadasC,C1(ondeC1stacontidaemC)esobreestascurvas. Entao

Cf(z)dz=

C1f(z)dz (2.1)ondeCeC1saoambaspercorridasnosentidoanti-horario.Teorema7.2.2. Sejaf(z)analticanumaregiaoRlimitadapelascurvasfechadasC,C1,C2,C3,. . . ,Cn(ondeC1,C2,C3,. . . ,CnestaocontidasnaregiaolimitadaporC)esobreestascurvas. Entao,

Cf(z)dz=

C1f(z)dz +

C2f(z)dz + . . . +

Cnf(z)dz (2.2)Teorema7.2.3. SejaCumacurvafechada,RumaregiaolimitadaporCef(z)umafuncaoanalticaemR C,excetonassingularidadesa, b, c, . . . pertencentesaRquepossuemresduosa1, b1, c1, . . .. Entao,oteoremadoresduoestabeleceque

Cf(z)dz= 2i (a1 + b1 + c1 + . . .) (2.3)7.2.1 TeoremasEspeciaisUsadosnoCalculodeIntegraisAocalcular integrais reais utilizandovariavel complexa, frequentementeenecessario,mostrarqueF(z)dzeeimzF(z)dztendemazeroquandoR .Teorema7.2.4. Se |F(z)| MRkparaz= Rei,ondek > 1eMsao constantes. EntaolimRF(z)dz= 0ondeeosemicrculodecentronaorigemeraioR.Teorema7.2.5. Se |F(z)| MRkparaz= Rei,ondek > 0eMsao constantes. EntaolimReimzF(z)dz= 0ondeeosemicrculodecentronaorigemeraioR.5960 CAPITULO7. OTEOREMADORESIDUOExemplo7.2.1. Calcule0dxx6+ 1Consideremos

Cdzz6+ 1,ondeCeosemicrculodecentronaorigemeraioR. eosegmentoderetade RaR,orientadonosentidoanti-horario.z6+ 1=0, quandoz=ei/6, e3i/6, e5i/6, e7i/6, e9i/6, e11i/6osquaissaopolossimples,esomenteostresprimeirosencontram-seenvolvidosporC. EntaoRes(f(z); epii/6) = limzei/6

(z ei/6)1z6+ 1

=16e5i/6Res(f(z); e3pii/6) = limze3i/6

(z e3i/6)1z6+ 1

=16e5i/2Res(f(z); e5pii/6) = limze5i/6

(z e5i/6)1z6+ 1

=16e25i/6Assim,

Cdzz6+ 1= 2i

16e5i/6+16e5i/2+16e25i/6

=23i.e,RRdxx6+ 1+dzz6+ 1=23Em,z= Rei,entao|f(z)|

1R6e6i+ 1

1|R6e6i| 1=1R61|dz| = |Rieid| RdEntao

dzz6+ 1

0RdR61=2RR61 0, quando R Entao0dxx6+ 1=12dxx6+ 1=360CAPITULO7. OTEOREMADORESIDUO 7.3. EXERCICIOS 617.3 Exerccios1. Paraasseguintesfuncoesdetermineospoloseoscorrespondentesresduos(a) f(z) =2z + 1z2z 2(b) f(z) =

z + 1z 1

2(c) f(z) =sen zz22. Proveque

Ccosh zz3dz= i,seCeoquadradodeverticesem 2 2i.3. Calcule(a)

Cezcosh zdzaolongodocrculodenidopor |z| = 5.(b)

Ce1/zsen (1/z)dzaolongodocrculodenidopor |z| = 1.(c)

Csenh 3z(z /4)3dzaolongodoquadradolimitadoporx = 2,y= 2.(d)

C2z2+ 5(z + 2)3(z2+ 4)z2dzondeCedenidopor |z 2i| = 6.(e)12i

Ceztz(z2+ 1)dz,t > 0emtornodoquadradodeverticesem 1 i.4. Mostrequeez(z + 2)3dz= ie2,ondeealinhaz(t) := 1 + it,t R.5. Calculeasseguintesintegraisdenidas(a)dx(x2+ 4x + 5)2(b)20sen 35 3 cos d(c)20cos 35 + 4 cos d(d)0cos x(x2+ 1)5dx(e)0sen2xx2dx6162 CAPITULO7. OTEOREMADORESIDUO6. Proveque(a)0dxx4+ 1=22(b)20cos235 4 cos 2d =38(c)0cos mx(x2+ 1)2dx =em(m + 1)4, m > 0.(d)20da + b cos + c sen =2a2b2c2, a2> b2+ c2.62ReferenciasBibliogracas[1] LarsV.Ahlfors.ComplexAnalysisAnintroductiontothetheoryofanalyticfunc-tionsofonecomplexvariable,ThridEdition,McGraw-Hill,1979.[2] Rolf NevalinnaandV. PaateroIntroductiontoCOMPLEXANALYSIS, Addison-WesleyPublishingCompany.1964.[3] JohnB. Conway. Functions of OneComplexVariable, SecondEdition, Springer-Verlag.Berlin1978.[4] MurrayR. Spiegel. VariaveisComplexas comumaintroducaoasTransforma coesConformesesuasaplicac oes,McGraw-Hill.Brasil,1972.[5] JosepBakandDonaldJ. Newman. ComplexAnalysis, SecondEdition, Springer.NewYork1996.63