Microsoft Word - Funções Complexas, Soares e Fronza

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMTICA

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA PURA E APLICADA EDITAL DAS LICENCIATURAS - 2004

FUNES COMPLEXAS E TRANSFORMAES GEOMTRICAS; PARA CURSOS DE LICENCIATURA EM MATEMTICA

Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia Acad. Dbora da Silva Soares

Acad. Juliana Fronza

2005

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SUMRIO

1. Introduo e justificativa da proposta................................................3

2. Mltiplos significados para a noo de funo...................................5

3. Origem e evoluo dos Nmeros complexos.......................................8

4. Geometria das transformaes...........................................................12

5. Atividades articulando complexos e geometria ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.14

6. Funes de varivel complexa.............................................................22

7. Funes complexas no lineares..........................................................25

8. Resoluo das atividades (5).................................................................35

9. Bibliografia Recomendada....................................................................82

10. Anexos....................................................................................................83

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1. Introduo e justificativa da proposta

Este texto trata do ensino das funes complexas em cursos universitrios de formao de professores. Ele foi criado com dois objetivos principais: ampliar os significados atribudos noo de funo, incluindo as concepes de funo como transformao e como movimento; introduzir as funes complexas e suas representaes por meio de equaes e por meio de grficos.

Justifica-se, este trabalho, quando nos damos conta que, nos cursos de Licenciatura em Matemtica, trabalha-se muito pouco com nmeros complexos e, com relao funo, d-se muita nfase aos aspectos importantes para o Clculo Diferencial e Integral de uma varivel real. Para muitos professores licenciados em Matemtica, funo passa a ser uma equao, como y=ax+b ou y=x2, com representao grfica bem definida no plano XOY.

Partimos para este trabalho motivados pela fala do Prof. Elon de Lages Lima

esta definio (funo como conjunto de pares ordenados) apresenta o inconveniente de ser formal e esttica e no transmitir a idia intuitiva de funo como correspondncia, transformao, dependncia (uma grandeza em funo da outra) ou resultado de um movimento. Quem pensaria numa rotao como um conjunto de pares ordenados? Os matemticos...olham para uma funo como uma correspondncia, no como um conjunto de pares ordenados. ( p.82)

Na linha terica, estudamos resultados da Didtica da Matemtica na linha francesa. Artigue (1999) refere pesquisas que mostram que a aprendizagem se funda, de maneira decisiva, na flexibilidade do funcionamento matemtico via articulao de pontos

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de vista, registros de representaes, competncias e habilidades matemticas. Articulao quer dizer comunicao entre partes, entre partes e o todo, e conexo entre as partes.

So questes importantes para ensino superior: a) reconstruo e rupturas de conhecimentos e pontos de vista anteriores;b) flexibilidade no modo de fazer Matemtica.

Nessa perspectiva, desenvolve-se este texto. A idia planejar e desenvolver com os futuros professores uma ao didtica que se caracterize pela reconstruo de conhecimentos anteriores a respeito de funo e de nmeros complexos, pela articulao de saberes e pela nfase na flexibilidade dos modos de registrar e resolver problemas.

O trabalho no tema das funes complexas, no mbito da formao de professores, pode favorecer a reconstruo, reorganizao e ampliao dos conhecimentos anteriores a respeito de funo, assim como relacionar tpicos de Geometria, Geometria Analtica e Nmeros Complexos, em geral afastados entre si, no nvel mdio.

Este estudo prope, para as funes complexas, um enfoque diferente daquele que usualmente enfatizado, nos cursos superiores. Neste nvel funes complexas so tratadas no mbito da Anlise Matemtica, com questes a respeito de suas derivadas e integrais, com mltiplos teoremas. A nossa proposta consiste em tratar as funes complexas como transformaes do plano, funes que transformam figuras ou regies em outras, causando algum tipo de mudana ou deformao.

As atividades partem das transformaes geomtricas e dos registros da geometria euclidiana, passam para o mundo da geometria analtica e logo, para os registros complexos, nas formas algbrica e trigonomtrica. O estudo inclui algumas das funes complexas no lineares. Oferecemos para os futuros professores exerccios resolvidos mostrando, entre os modos de resolv-los, a utilizao das ferramentas e conceitos da lgebra Linear.

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2. Mltiplos significados para a noo de funo

A noo de funo surgiu como o instrumento matemtico indispensvel para o estudo quantitativo dos fenmenos naturais, iniciado por Galileu (1564-1642) e Kepler (1571-1630). O estudo da natureza pedia uma linguagem matemtica apropriada. O estudo do movimento da queda dos corpos, do movimento dos planetas e dos movimentos curvilneos impulsionaram o desenvolvimento do conhecimento matemtico relativo s funes. A noo de funo est associada na sua origem noo de lei natural.

Assim, o conceito de funo, historicamente, tem significado de modelo para um fenmeno real, uma relao especial entre as grandezas variveis que constituem um acontecimento natural ou das cincias experimentais.

No sculo XVII, Descartes utilizou equaes com x e y para introduzir uma relao de dependncia entre quantidades variveis, de modo a permitir o clculo de valores de uma delas a partir dos valores da outra. Na mesma poca, Newton usava o termo fluente para expressar sua noo de funo, muito ligado com a noo de curva. No fim do sculo, Leibniz usa o termo funo para referir segmentos de reta cujos comprimentos dependiam de retas e curvas. Logo depois o termo foi usado para referir quantidades dependentes entre si.

Nos sculos XVIII e XIX a noo de funo passou a ser identificada com a de expresso analtica. Em 1716, Joo Bernouilli define funo de uma certa varivel: uma quantidade que composta de qualquer forma por variveis e constantes. Em 1748, Euler, substitui o termo quantidade por expresso analtica. Constitui-se, na poca, a identificao entre funo e suas representaes, como se uma funo fosse uma equao.

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Tambm ocorre uma proliferao nos significado dados varivel , juntamente com o significado dado funo. O termo varivel, que inicialmente referia grandezas fsicas que variavam e eram interdependentes, passa a ser associado medidas de uma curva, com significado geomtrico. Logo depois, assume o significado de um mero smbolo de linguagem: x, ou y, por exemplo. Nesta linha, funo pode ser vista como lei natural, como relao entre medidas de uma curva ou como uma equao, uma expresso em linguagem matemtica.

Em 1837, Dirichlet separou o conceito de funo da sua representao analtica, formulando-os em termos de correspondncia arbitrria entre conjuntos numricos. Uma funo uma correspondncia entre duas variveis, tal que a todo valor da varivel independente se associa um s valor da varivel dependente. O termo varivel, no entanto, nada tem a ver com grandezas fsicas, apenas um smbolo.

No sculo XX, com o desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos iniciada por Cantor, a noo de funo passa a referir correspondncias arbitrrias entre quaisquer conjuntos, numricos ou no. O grupo Bourbaki elaborou em 1939 a definio hoje utilizada nos meios matemticos, para funo: Uma funo uma tripla ordenada (X, Y, f), onde X e Y so conjuntos e f um subconjunto de XxY, tal que se (x,y) f e (x, y) f ento y = y.

Esta definio, excessivamente formal, tornou o conceito muito abstrato e distante de suas origens.

Em pesquisa desenvolvida com alunos formandos do Curso de Licenciatura da UFRGS, verificamos que os professores se formam com trs concepes de funo: associao ou correspondncia entre os entre conjuntos, relao entre variveis e regra ou frmula. A concepo de funo como uma transformao entre figuras geomtricas ou regies, assim como a compreenso de que um movimento tambm uma funo esto ausentes dos programas usuais. Ou seja, o professor licenciado no estabelece ligao entre as transformaes e movimentos da Geometria e o conceito de funo.

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Para o professor, em geral, funo regra, frmula, grfico, diagrama de setas ou conjunto de pares ordenados. Para o professor do nvel mdio, distante da Universidade, funo s tem relao com funes reais. Domnio e imagem aparecem sempre como

subconjuntos do conjunto dos reais ou dos inteiros, no h lugar no currculo para as funes cujo domnio so partes do plano ou do espao.Assim, funo no tem relao com movimento e transformao de figuras planas.

O estudo das funes complexas traz a possibilidade de estabelecer tais articulaes: as transformaes geomtricas podem ser vistas como funes complexas, que podem ser representadas por frmulas, regras e grficos; as funes complexas podem expressar movimentos ou transformaes de figuras planas.

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2. Origem e evoluo dos nmeros complexos

Estudando Maor (2003), encontramos um excelente resumo da evoluo dos nmeros complexos, chegando s funes complexas.

Durante dois mil anos a matemtica cresceu sem se importar com o fato de que as razes quadradas dos negativos no podiam ser calculadas. Para os gregos, bastavam os nmeros positivos, aqueles que eram usados na geometria.

O matemtico hindu Brahmagupta 628dc usou nmeros negativos, mas a Europa medieval os ignorou, considerando-os absurdos.

Na Europa, s em 1225 os negativos foram reconhecidos. Fibonacci, em 1225, interpretou uma raiz negativa, que surgiu num problema financeiro, como uma perda, em vez de um ganho. Em1530, Bombelli interpretou os nmeros como comprimentos de uma linha e as quatro operaes como movimentos ao longo dessa linha, dando assim uma interpretao geomtrica para os nmeros reais. Mas somente quando se percebeu que a subtrao poderia ser interpretada como inverso da adio foi que se tornou possvel uma aceitao total dos nmeros negativos no nosso sistema numrico.

Em 1545, Cardano tentou encontrar dois nmeros cuja soma fosse 10 e cujo produto fosse 40. Isso leva equao quadrtica x2-10x+40=0, cujas solues eram nmeros desconhecidos, por trazerem a necessidade de tirar raiz quadrada de um nmero negativo.

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Com a passagem do tempo, quantidades da forma x + (raiz quadrada de (1)) y hoje chamadas de nmeros complexos e escritas como x+iy onde x,y so nmeros reais e raiz 1 = i foram encontrando seu lugar na matemtica. Por exemplo, a soluo geral da equao cbica exige que se lide com essas quantidades, mesmo que a soluo final se revele real. Mas foi apenas no sculo XIX que os matemticos se acostumaram com estes

nmeros, aceitando-os como nmeros de qualidade.

Dois desenvolvimentos ajudaram neste processo. Em primeiro lugar, por volta de 1800, ficou demonstrado que a quantidade x+iy poderia receber uma interpretao geomtrica simples. Num sistema de coordenadas retangulares, marcamos o ponto P cujas coordenadas so x e y. Se interpretarmos os eixos dos x e dos y como eixos real e imaginrio, respectivamente, ento o nmero complexo x+iy ser representado pelo ponto P(x,y), ou de modo equivalente , pelo segmento de linha OP, denominado vetor, pois OP individualizado por seu comprimento (mdulo), por uma direo (ngulo entre o segmento e o eixo positivo dos x) e sentido, de O para P. Podemos ento somar ou subtrair nmeros complexos do mesmo modo como somamos ou subtramos vetores, somando e subtraindo, separadamente, as componentes.

Esta representao grfica foi sugerida mais ou menos ao mesmo tempo por Wessel, noruegus, Argand, francs, e Gauss, alemo.

O segundo desenvolvimento foi devido a Hamilton. Em 1835 ele definiu os nmeros complexos de maneira formal ao trata-los como pares ordenados de nmeros reais, sujeitos a certas regras de operao.

Um nmero complexo definido como o par ordenado (a,b), onde a e b so reais. A)Dois pares (a,b) e (c,d) so iguais se e s se a=c e b=d.

B) Multiplicando (a,b) por um real K, produz-se o par (ka,kb).

C)A soma dos pares (a,b) e (c,d) o para (a+c, b+d) e seu produto (ac-bd, ad+bc).

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O significado por trs da aparentemente estranha definio de multiplicao torna-se claro se multiplicarmos o para (0,1) por si mesmo; de acordo com a regra, obtemos (-1,0). Pode-se denotar o par (1,0) por 1 e o para (0,1) por i.Assim

(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a+bi.

Uma vez superadas as dificuldades psicolgucas de aceitar os nmeros complexos, estava aberto o caminho para novas produes.

Em 1799, Gauss deu a primeira demonstrao rigorosa de um fato j conhecido: um polinmio de grau n sempre possui pelo menos uma raiz no domnio dos complexos.De fato , se considerarmos razes repetidas como razes separadas, um polinmio de grau n ter exatamente n razes complexas. O teorema de Gauss conhecido como Teorema Fundamental da lgebra.

A aceitao dos nmeros complexos teve impacto tambm na Anlise.

Formalmente, podemos estender a definio de Euler (enunciada no captulo anterior) de uma funo para as variveis complexas, sem mudar uma palavra, basta permitir que as constantes e variveis assumam valores complexos. Mas, de um ponto de vista geomtrico, tal funo no pode ser representada por um grfico em um sistema de coordenadas de duas dimenses, porque cada uma das variveis agora exige, para sua representao, um sistema de coordenadas de duas dimenses, isto um plano.

Para interpretar geometricamente tal funo, devemos pensar nisso como uma transformao de um plano no outro.

Definimos funo complexa do seguinte modo: quando z designa um nmero complexo qualquer, chamamos z de varivel complexa. Se, para cada valor de z em um domnio D, o valor de uma segunda varivel complexa w determinado, ento w uma funo da varivel complexa z no conjunto D:

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w = f(z)

O conjunto D o domnio de definio da funo w. Os valores f(z), correspondentes a todos os z em D, constituem um outro conjunto C de nmeros complexos, conhecido como Imagem da funo f.

Propriedades de uma funo real f(x), de uma varivel real x, so demonstradas geometricamente pelo grfico da funo. A equao y = f(x) estabelece uma correspondncia entre pontos x no eixo XX e pontos y no eixo YY, isto , ela leva ponto x em pontos y. A curva assim obtida o grfico de f(x) . Da mesma maneira, usamos uma superfcie para exibir graficamente uma funo real f(x,y) das variveis reais x e y.

Entretanto, quando w = f(z) e as variveis w e z so complexas, no dispomos de tal representao grfica da funo f, uma vez que precisamos de um plano para a representao de cada uma das variveis.

Algumas informaes sobre a funo podem, entretanto, ser obtidas graficamente, exibindo-se conjuntos de pontos correspondentes z e w.

mais simples, em geral, desenhar dois planos complexos separadamente para as variveis z e w: para cada ponto (x,y) no plano z, no domnio de definio de f, existe um ponto (u,v) no plano w, onde w = u + iv.

A correspondncia entre pontos nos dois planos se diz uma transformao de pontos no plano z em pontos no plano w pela funo f. Pontos w so, ento, imagens de pontos z.

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5.Geometria das transformaes

Inspirados pelo estudo de Eves (1992) e pelos textos de Lindquist e Shulte (1994), delineamos um quadro que mostra parcialmente a evoluo histrica da Geometria, salientando sua natureza mutvel, com diferentes conotaes, no correr dos sculos: geometria intuitiva, geometria cientfica, geometria dedutiva, geometria das transformaes, geometria avanada.

Geometria intuitiva, ou geometria do subconsciente, aquela que tem sua origem nas observaes do espao fsico real. O homem observa, compara, reconhece. Nascem a as noes primitivas: distncia, figuras geomtricas simples, paralelismo e perpendicularismo.

Geometria cientfica surge do trabalho da mente humana sobre as noes primitivas, consolidando-as conscientemente, num conjunto de regras e leis mais gerais.

Geometria dedutiva, ou demonstrativa, foi introduzida pelos gregos e corresponde ao uso do pensamento lgico dedutivo para ampliar o corpo de leis e regras iniciais, constituindo a geometria euclidiana. Nesta concepo, espao deixa de ser o real e passa a ser idealizado, lugar onde os objetos podem se deslocar livremente e ser comparados um com os outros.

Geometria das transformaes uma maneira mais global do que local de ver a geometria, que teve origem na percepo de que existem vrias geometrias, a euclidiana e as no euclidianas, criadas no sculo XIX. Nesta poca, espao passa a ser visto como um lugar onde os objetos podem ser comparados entre si. A idia central passa a ser um grupo de transformaes congruentes do espao em si mesmo e a geometria passa a ser considerada como o estudo das propriedades das configuraes de pontos que

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permanecem inalteradas quando o espao circundante sujeito a essas transformaes (Eves, 1992, pg.27).

Na Geometria Euclidiana, as isometrias formam um grupo de transformaes congruentes que se caracterizam por manter inalteradas as propriedades das configuraes de pontos do plano. So tambm chamadas de movimentos rgidos, pois preservam linhas retas, retas paralelas, ngulos entre retas e congruncia entre segmentos. Ou seja, um quadrado sujeito a uma isometria continua quadrado, com mesmas medidas, embora ocupe outra posio no plano. So as simetrias, as rotaes, as reflexes e translaes de objetos do plano. As homotetias preservam as mesmas condies, com exceo da congruncia, mantendo, porm, a semelhana entre as figuras, por isso no so consideradas isometrias. Um quadrado sujeito a uma homotetia pode tornar-se maior ou menor, mas ainda um quadrado.

Definem-se transformaes geomtricas como funes que associam a cada ponto do plano um outro ponto, tambm do plano atravs de certas regras....Se F uma figura (portanto um conjunto de pontos) definiremos F= T(F) como o conjunto dos pontos imagem dos pontos de F (pela transformao T) (Wagner, 1993, p.70).

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5.Atividades articulando complexos e geometria

Os objetivos desta seqncia de atividades so:

1. articular conhecimentos de Geometria, Geometria Analtica e Nmeros

Complexos;

2. ampliar os significados produzidos para funo, no Curso de Licenciatura,

trabalhando a noo de transformao linear e transformao geomtrica;

3. enfatizar as aplicaes geomtricas das funes nmeros complexos.

0.1.REFLEXO

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Seja R uma reta no plano pi. A reflexo em torno do eixo R a transformao : pi pi, que associa a cada ponto X do plano o ponto X tal que R a mediatriz do segmento XX. (LIMA, 2001)

Atividades:

a) Partindo de um segmento qualquer AB e de uma reta R, trace a reflexo de AB com relao a R.

b) Partindo de um sistema de eixos coordenados e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo reflexo em torno do eixo dos XX. Expresse essa funo por uma equao analtica w = f(x,y), com w R2.

c) Partindo de um sistema de eixos coordenados e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo reflexo em torno do eixo YY. Expresse essa funo por uma equao analtica w = g(x,y) , com w R2.

d) Considere o plano XOY como representante do plano complexo. Associe a cada ponto (x,y) o nmero complexo z = x+iy.

Expresse ambas as funes reflexo como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.

Reflexo em torno do eixo XX : f(z) = .......

Reflexo em torno do eixo dos YY: g(z) = ......

e) A figura abaixo representa a regio complexa A={ z =x+iy / 0x, y1}. Encontre as regies B=f(A) e C= g (A) , imagem de A pelas funes definidas acima.

Certifique-se se B e C correspondem a transformaes de A por efeito da reflexo em torno do eixo XX e em torno do eixo dos YY, respectivamente:

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0.2 HOMOTETIA

Fixado um ponto O no plano pi e dado um nmero real k > 0, a homotetia de centro O e

razo k a transformao que a cada ponto A do plano pi associa o ponto A = Ho,k(A) tal que OA = k. AO. (WAGNER, 1993)

OBS.: Vamos considerar k>0 para no precisar referir noes de orientao nesta definio.

Atividades:

a) Partindo de um segmento AB e de um ponto O no plano pi , trace as

homotetias de AB de centro O com razo 2 e com razo .

b) Partindo de um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pelas funes homotetia de centro O e razes 2 e , respectivamente.. Expresse essa funo por uma equao analtica w = f(x,y), com w R2.

c) Considere o plano XOY como representante do plano complexo. Associe a cada ponto (x,y) o nmero complexo z = x+iy.

Expresse a funo homotetia de centro O e razo K , onde K um nmero real no nulo, como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.

Homotetia de centro O e razo k: f(z) =..........

d) Volte FIGURA 1. Encontre a regio B=f(A), imagem de A pela funo definida acima com k = 2. Certifique-se se B corresponde transformao de A por efeito da homotetia de razo 2 A com relao a O.

d) Encontre C, resultado da transformao de A pela funo complexa

f(z) = z /2 C resulta de uma reflexo composta com uma homotetia.

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0.3 SIMETRIA

A simetria em torno do ponto O a transformao (do plano ou do espao ) que faz corresponder a cada ponto X o ponto (X) = X tal que O o ponto mdio do segmento XX. (LIMA, 2001)

Atividades:

a) Partindo de um segmento AB e de um ponto O, encontre o simtrico de AB em torno do ponto.

b) Dado um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pelas funo simetria em torno de O . Expresse essa funo por uma equao analtica w=f(x,y), com w R2.


Expresse a funo simetria de centro O como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.

Simetria de centro O: f(z) =..........

d) Volte FIGURA 1 Encontre a regio B=f(A), imagem de A pela funo definida acima.

Certifique-se de que B resulta do movimento de simetria de A com relao a O.

B representa uma figura simtrica a A.

e) Encontre C, resultado da transformao de A pela funo complexa f(z) = -3 z

C resulta de uma reflexo composta com uma homotetia e com uma simetria.

0.4.TRANSLAO Seja AB um segmento orientado, no plano pi ou no espao E. (Orientado significa que a ordem em que os extremos so citados relevante: primeiro A, e depois B.) A translao

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determinada por AB a transformao (correspondncia biunvoca) : pi pi, ou : E E, definida por (X) = X, de modo que (AB, XX ) e (AX, BX ) sejam os pares de lados opostos de um paralelogramo. (LIMA, 2001)

Atividades:

a) Partindo de um segmento AB orientado e de um outro segmento XY, no paralelo com AB . Encontre a translao de XY determinada por AB .

b) Partindo de um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo translao determinada por um

segmento orientado OA , de origem em O e extremidade em A(u,v), um ponto do 1 quadrante, no alinhado com OP. Expresse essa funo por uma equao analtica w = f(x,y), com w R2.

c) Considere o plano XOY como representante do plano complexo. Associe a cada ponto (x,y) o nmero complexo z = x+iy. Expresse a funo translao determinada pelo nmero complexo u+iv = (u,v) como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.

Translao determinada por u+iv: f(z) =..........

d) Volte FIGURA 1. Encontre a regio B=f(A), imagem de A pela funo acima com u+iv= 2+3i. Certifique-se que B resulta do movimento de translao de A, 2 unidades na direo do eixo XX e 3 unidades na direo do eixo YY, como determina o nmero 2+3i.

e) Encontre C, resultado da transformao de A pela funo complexa

f(z) = -3 z + 1+2i. C resulta de uma reflexo composta com uma homotetia, e com uma simetria e com uma translao.

05. ROTAO Fixemos um ponto O no plano pi agora orientado (como a tradio recomenda, o sentido positivo o anti-horrio). Dado um ngulo , a rotao de centro O e amplitude a transformao que a cada ponto A do plano pi associa o ponto A = R(A) de forma que se

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tenha AO = AO, AA = e o sentido de A para A (em torno de O), positivo. (WAGNER, 1993)

Atividades:

a) Partindo de um ponto O e de um segmento AB , de forma que O, A e B no sejam colineares, construa a rotao de AB de centro O e amplitude 45.

b) Partindo de um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo rotao de P com centro O e amplitude , onde um ngulo qualquer. Neste caso, para facilitar a visualizao, pode-se pensar em como um ngulo agudo, com medida prxima a 45.

Suponha que o segmento OP faa um ngulo .com o eixo XX e que tenha medida

r.

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Para visualizar o ponto (w1, w2), resultado da rotao de (x,y), por um ngulo , analise o grfico seguinte.

Expresse essa funo por uma equao analtica w= f(x,y), com w R2.


Este nmero pode ser expresso em coordenadas polares, r e .

O ngulo chamado um argumento de z e denotado por: = arg z.

O argumento de z no univocamente determinado por que ns podemos somar ou

subtrair qualquer mltiplo de 2pi de para obter um outro valor do argumento. No entanto,

s existe um nico valor (em radianos) do argumento que satisfaz -pi < pi .

O mdulo r de um nmero complexo z = a + bi, denotado por z , definido por

r = 22 baz += .

Se z = x + yi um nmero complexo no-nulo, r = z e mede o ngulo do eixo real positivo ao vetor z, ento, como sugere a figura,

x = r . cos , y = r . sen de modo que z = x + yi pode ser escrito como

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z = r . cos + ir . sen ou z = r . (cos + i sen ). Esta a chamada forma polar de z

Da anlise da figura acima, considerando x = x + iy e w = w1 + i w2 e aplicando regras da trigonometria bsica, obtemos:

x = r cos w1 = r cos ( + ) y = r sen w2 = r sen ( + )

A partir destas relaes, expresse a funo rotao de z= x+iy, em torno de O, com amplitude , como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos. Rotao em torno de O com amplitude : f(z) = K.z , K = cos + i sen

A funo linear complexa f(z) = K.z, com K=1 corresponde ao movimento de rotao no plano complexo.

c) Volte figura do exerccio da reflexo letra (e).

Encontre a regio B=f(A), imagem de A pela funo acima, com = 45.

Certifique-se de que B resulta do movimento de rotao de A em torno de O, num giro de 45 em sentido anti-horrio, ou seja, B a transformao de A por efeito da rotao.

d) Encontre C, resultado da transformao de A pela funo complexa

f(z) = 2i. z + 1+3i.

C resulta de uma rotao de 90 composta com uma reflexo homotetia, e com uma simetria e com uma translao.

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6. Funes de uma varivel complexa

Quando z designa qualquer um dos nmeros de um conjunto S de nmeros complexos, chamamos z de varivel complexa. Se, para cada valor de z em S, o valor de uma segunda varivel complexa w determinado, ento w uma funo da varivel complexa z no conjunto S:

w = f(z)

O conjunto S usualmente um domnio. Nesse caso ele se diz domnio de definio da funo w. Os valores f(z), correspondentes a todos os z em S, constituem um outro conjunto R de nmeros complexos, conhecido como contradomnio da funo w. Propriedades de uma funo real f(x), de uma varivel real x, so demonstradas geometricamente pelo grfico da funo. A equao y = f(x) estabelece uma correspondncia entre pontos x no eixo-x e pontos y no eixo-y, isto , ela leva ponto x em pontos y. A descrio grfica melhora quando se leva cada ponto x num ponto (x,y) do plano x-y, ponto este que se situa distncia orientada y acima ou abaixo do ponto x. A curva assim obtida o grfico de f(x) . Da mesma maneira, usamos uma superfcie para exibir graficamente uma funo real f(x,y) das variveis reais x e y.

Entretanto, quando w = f(z) e as variveis w e z so complexas, no dispomos de tal representao grfica da funo f, uma vez que precisamos de um plano para a representao de cada uma das variveis.

Algumas informaes sobre a funo podem, entretanto, ser obtidas graficamente, exibindo-se conjuntos de pontos correspondentes z e w.

mais simples, em geral, desenhar dois planos complexos separadamente para as variveis z e w: para cada ponto (x,y) no plano z, no domnio de definio de f, existe um ponto (u,v) no plano w, onde w = u + iv.

A correspondncia entre pontos nos dois planos se diz aplicao ou transformao de pontos no plano z em pontos no plano w pela funo f. Pontos w so,

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ento, imagens de pontos z. Este termo se aplica tambm entre conjuntos como, por exemplo, imagem de uma curva, de uma regio, etc.

Para se empregar certos termos geomtricos tais como translao, rotao e reflexo, conveniente, s vezes, considerar a aplicao como transformao num s plano.

Estudamos, neste texto, casos particulares das funes complexas

f(z) = A z + B e f(z) = A z + B, com z varivel e A, B constantes, todas com valores complexos.

Pode-se concluir das atividades acima que esta famlia de funes complexas constitui a forma analtica das transformaes geomtricas, que so determinadas pelos parmetros A e B.

a) Se A no um nmero real, temos uma rotao com uma homotetia, determinada pelo mdulo de A . Se o mdulo de A for 1, tem-se apenas uma rotao;

b) se A um nmero real positivo, diferente de 1, temos uma homotetia de centro O, que pode ser uma ampliao (A>1) ou uma reduo (A

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transformaes do plano que preservam as medidas. So tambm chamadas de movimentos rgidos, por sua caracterstica de no deformar as figuras originais. As homotetias preservam a semelhana entre as figuras.

No entanto, existem muitas outras funes complexas que no so movimentos rgidos da Geometria Euclidiana. Funes complexas muito simples causam deformaes nas linhas retas.

25

7. Funes complexas no lineares

7.1. Atividades

1. A imagem do quadrado de lado 1, representado na figura abaixo, no um quadrado sob efeito da transformao complexa f(z) = z 2

Verifique, calculando a imagem dos pontos de A a H e unindo-os.

2. Busque a imagem do quadrado da acima, pela funo exponencial complexa f(z) = z. Esta funo definida por f(x+iy) =x (cos y + i sen y) (ver anexos).

Calcule , marque e una as imagens dos pontos A a H.

26

7.2.SOBRE A FUNO F(Z)= Z2

* F(Z) = Z2 , F(x+iy) = ( x2-y2) + 2xyi

* A imagem das retas verticais do tipo x= c constante so curvas parablicas.

X = c2 y2 Y = 2cy

* Isolando y = Y/2c pode-se substituir na equao anterior e obter:

X = c2 Y2/ 4c2 = c2 ( 1- Y2/4)

* Ou seja, a imagem da reta x=c uma parbola cujo eixo de simetria OX.

27

* A imagem das retas horizontais do tipo y=c, constante tambm so parbolas

X = x2 c2

Y= 2cx substituindo x = Y/2c

Obtemos:

X = Y2/4c2 c2 = c2 ( Y2/4 1)

Esta curva tambm uma parbola com eixo de simetria OX.

28

Considerando a expresso trigonomtrica de z = x + iy:

z = r(cos + isen )

= arg z = arc tg y/x

Podemos calcular e observar o efeito da funo F(z) = z2.

z2 = r2[(cos2 sen2 ) + i(2. sen . cos )]

z2 = r2(cos 2 + isen 2)

Ou seja, a funo F(z) = z2 duplica o argumento do complexo z e produz o quadrado de seu mdulo.

Obs.: A medida de Oz r, e a medida de Of(z) r2.

22 yxzr +==

29

O ngulo zx = e o ngulo f(z)x = 2

* Podemos traar as imagens das seguintes regies:

A = {z/ = /6} B = {z/ 2 r 3 e 0 /6}

* A corresponde a uma semi-reta de origem O e ngulo a = /6 com o eixo Oy. * f(A) corresponde a uma semi-reta de origem O e ngulo a = /3 com o eixo Ox.

* B corresponde a um setor com ngulo /6, limitado pelo eixo Ox, e interceptado por um anel entre os raios 4 e 9.. * f(z) = z2 causa ampliao no argumento e modificao no raio.

30

7.3. SOBRE A FUNO F(Z) = Z (VER ANEXOS)

* Esta funo transforma as retas horizontais x=c constante em crculos de raio ec.

x = X + i Y

X = x cosy

Y= x seny

* Se x= c e y varivel obtemos:

X = c cosy e Y = c seny

31

O lugar geomtrico desta equao no plano um crculo de raio c.

* Por outro lado se y = c constante, teremos

X = x . cosc e Y = x . senc

* Da vem que Y = tanc. X

* O lugar geomtrico desta equao no plano uma reta que faz um ngulo c com o eixo OX positivo.

32

7.4. SOBRE A FUNO F(z) = 1/z

Pode-se ver que:

pois,

Assim f(z) = 1/z corresponde a uma reflexo devida a funo f(z) composta com uma inverso do raio.

Por exemplo, se z = 1 + i, temos:

2

1z

z

z=

( )( ) ( ) 222

111z

z

yxiyx

iyxiyx

iyxiyxz=

+

=

+=

+=

22 yxz

iyxz

+=

=

33

Podemos expressar z na forma trigonomtrica:

1211

2

12

2

2

=

=

=

z

z

z

221

21

111 ii

iz=

=

+=

34

Ou seja, o efeito da forma f(z) = 1/z sobre uma regio do plano consiste em transform-la numa regio simtrica com inverso do raio.

( )

( )

( )

sencos11

sencos1

/arg

sencos

22

22

irz

r

irz

z

z

xytgarcz

yxzr

irz

=

==

==

+==

+=

35

8. Resoluo das Atividades (5)

01. Reflexo


Atividades:

a) Dado um segmento AB e uma reta r, trace a reflexo de AB com relao a r.

Resoluo:

* Sejam a reta v e o segmento AB , no coincidentes. * Reta r perpendicular a reta v por A. * Reta s perpendicular a reta v por B.

* r v = E e s v = F.

* Circunferncia c1 de centro E e raio EA .

* Circunferncia c2 de centro F e raio FB .

* c1 r = C e c2 s = D.

* O segmento CD a reflexo de AB em torno de v.

36

b) Dado um sistema de eixos coordenados e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo reflexo em torno do eixo XX. Expresse essa funo por uma equao analtica f(x,y).

Resoluo:

* A funo f(x, y) = (x, -y) a funo que reflete um ponto em torno do eixo dos XX.

* Ento: f(P) = f(x, y) = (x, -y) = P

* O ponto P a reflexo de P em torno do eixo dos XX.

37

c) Dado um sistema de eixos coordenados e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo reflexo em torno do eixo YY. Expresse essa funo por uma equao analtica g(x,y).

Resoluo:

* A funo g(x, y) = (-x, y) a funo que reflete um ponto em torno do eixo dos YY.

* Ento: g(P) = g(x, y) = (-x, y) = P

* O ponto P a reflexo de P em torno do eixo dos YY.

38

d) Considere o plano XOY como representante do plano complexo. Associe a cada ponto (x,y) o nmero complexo z = x+iy. Expresse ambas as funes reflexo como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos:

Reflexo em torno do eixo XX : f(z) = ..........


Resoluo:

* A funo f(z) = x iy = conjugado a funo complexa que reflete um nmero complexo em torno do eixo dos XX.

* Ento: f(z) = f(x + iy) = x iy = z = w , onde z = conjugado de z.

* O nmero complexo w a reflexo de z em torno do eixo dos XX.

39

* A funo g(z) = -x + iy = - conjugado a funo complexa que reflete o nmero complexo z em torno do eixo dos YY.

* Ento: g(z) = g(x + iy) = -x + iy = - z = w , onde z = conjugado de z.

* O nmero complexo w a reflexo de z em torno do eixo dos YY.

02. Homotetia:

40

Fixado um ponto O no plano pi e dado um nmero real k 0, a homotetia de centro O e


Atividades

a) Dado o segmento AB , um ponto O no plano pi , trace as homotetias de AB de centro O com razo 2 e com razo .

Resoluo:

Razo 2:

* Semi-reta OA .

* Semi-reta OB .

* Circunferncia c1 de centro Y e raio OB .

* c1 OB .= B

* Circunferncia c2 de centro X e raio OA .

* c2 OA .= A

* '' BA a homotetia de centro O e razo 2 de AB .

41

Razo :

* Semi-reta OA .

* Semi-reta OB .

* B = ponto mdio de OB .

* A = ponto mdio de OA .

* '' BA a homotetia de centro O e razo de AB .

b) Dado um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pelas funes homotetia de centro O e razes 2 e , respectivamente.. Expresse essa funo por uma equao analtica f(x,y).

Resoluo:

Razo 2:

* A homotetia de razo 2 e centro O = (0, 0) definida pela funo f(x, y) = 2(x, y) = (2x, 2y).

42

* Aplicando esta homotetia no ponto P, obtemos:

f(P) = f(x, y) = 2(x, y) = (2x, 2y) = P

* O ponto P a homotetia de centro O e razo 2 do ponto P.

Razo :

* A funo g(z) = (x, y) = ( x, y ) define a homotetia de centro O = (0, 0) e razo .

* Aplicando esta funo no ponto P, obtemos:

g(P) = g(x, y) = (x, y) = ( x, y ) = P.

* O ponto P a homotetia de centro O e razo de P.

43

c) Considere o plano XOY como representante do plano complexo. Associe a cada ponto (x,y) o nmero complexo z = x+iy. Expresse a funo homotetia de centro O e razo K , onde K um nmero real no nulo, como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.


Resoluo:

* A funo que define a homotetia de razo k e centro O = 0 + 0i = 0 :

f(z) = k. z, onde k um nmero real qualquer.

* Se k < 1, temos uma reduo; se k>1, temos uma ampliao.

44

03. Simetria:


Atividades

a) Dado o segmento AB e o ponto O, encontre o simtrico de AB em torno do ponto O.

Resoluo:

* reta OA

* c1 = circunferncia de centro O e raio OA

* c1 OA = A

* reta OB

* c2 = circunferncia de centro O e raio OB

* c2 OB = B

* '' BA o simtrico em relao a O de AB .

45

b) Dado um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pelas funo simetria em torno de O . Expresse essa funo por uma equao analtica f(x,y).

Resoluo:

* A funo f(x, y) = (-x, -y) a funo que define a simetria de um ponto em relao ao ponto O = (0, 0).

* Aplicando a funo sobre P, obtemos:

f(P) = f(x, y) = (-x, -y) = P

* P o simtrico de P em relao a O = (0, 0).

46

c) Considere o plano XOY como representante do plano complexo. Associe a cada ponto (x,y) o nmero complexo z = x+iy. Expresse a funo simetria de centro O como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.


Resoluo:

* A funo complexa que define a simetria de centro O = 0 + 0i = 0, :

f(z) = -x iy = -z.

* Aplicando a funo no poto z, obtemos:

f(z) = f(x + iy) = -x iy = w

* O nmero complexo w o simtrico de z em relao ao ponto O = 0 + 0i = 0

47

04. Translao:

Seja AB um segmento orientado, no plano pi ou no espao E. (Orientado significa que a ordem em que os extremos so citados relevante: primeiro A, e depois B.) A translao determinada por AB a transformao (correspondncia biunvoca) : pi pi, ou : E E, definida por (X) = X, de modo que (AB, XX ) e (AX, BX ) sejam os pares de lados opostos de um paralelogramo. (LIMA, 2001)

Atividades

a) Dado um segmento AB orientado e um outro segmento XY, no paralelo com AB . Encontre a translao de XY determinada por AB .

Resoluo:

* segmento AX . * reta r paralela a AX por B. * reta s paralela a AB por X. * r s = X. * segmento AY . * reta u paralela a AY por B. * reta v paralela a AB por Y. * u v = Y * ''YX a translao de XY segundo AB .

48

b) Dado um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo translao determinada por um segmento orientado de origem em O e extremidade em A(u,v), um ponto do 1 quadrante, no alinhado com OP. Expresse essa funo por uma equao analtica f(x,y).

Resoluo:

* Sejam os pontos P (x, y) , O (0, 0) e A (u, v)

* A translao de XY em relao a OA dada pela funo: f (x, y) = (x + u, y + v)

* Aplicando a funo no ponto P, temos:

f(P) = f(x, y) = (x + u, y + v) = P

* O ponto P a translao de P segundo o segmento orientado OA .

49



Resoluo:

* A funo complexa que define a translao de z = x + iy, determinada pelo nmero

complexo u + iv :

f(z) = z + (u + iv)

* Aplicando a funo em z, obtemos:

f(z) = f(x +iy) = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + (y + v) i = w

* O nmero complexo w a translao de z segundo o nmero complexo (u + iv).

50

05. Rotao:

Fixemos um ponto O no plano pi agora orientado (como a tradio recomenda, o sentido positivo o anti-horrio). Dado um ngulo , a rotao de centro O e amplitude a transformao que a cada ponto A do plano pi associa o ponto A = R(A) de forma que se tenha AO = AO, AA = e o sentido de A para A (em torno de O), positivo. (WAGNER, 1993)

Atividades

a) Dado um ponto O e um segmento AB , de forma que O, A e B no sejam colineares, construa a rotao de AB de centro O e amplitude 45.

Resoluo:

* reta r perpendicular reta OA por O.

* bissetriz s de rA. * circunferncia c1 de centro O e raio OA.

* c1 s = A.

* reta t perpendicular reta OB por O.

51

* bissetriz p de tB. * circunferncia c2 de centro O e raio OB.

* c2 p = B

* O segmento '' BA a rotao do segmento AB .

b) Dado um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo rotao de P com centro O e amplitude , onde um ngulo qualquer. Neste caso, para facilitar a visualizao, pode-se pensar em como

um ngulo agudo, com medida prxima a 45. Expresse essa funo por uma equao analtica f(x,y).

Resoluo:

52

* Queremos uma funo f(x, y) = (x, y) . Do tringulo retngulo com ngulo + , obtemos:

sen ( + ) = y/r y = r. sen ( + ) = r. (sen . cos + cos . sen )

cos ( + ) = x/r x = r. cos ( + ) = r. (cos . cos - sen . sen )

* Do segundo tringulo, obtemos as seguintes relaes:

cos = x/r e sen = y/r

Substituindoas nas expresses de x e y, obtemos que:

y = r . ( (y/r) . cos + (x/r). sen ) = (y cos + x sen )

x = r. ( (x/r) . cos - (y/r) . sen ) = (x cos - y sen )

* Por tanto: f(x, y) = f(x, y) = (x cos - y sen , y cos + x sen )

53


Este nmero pode ser expresso em coordenadas polares, R e

R: representa o mdulo do nmero x+iy, que a medida do segmento OP.

: representa o argumento do nmero x+iy, que a medida do ngulo que o raio vetor OP

forma com o eixo dos XX positivo.

z=x+iy = R. (cos + i sen )

Expresse a funo rotao de z, em torno de O, com amplitude , como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.

Resoluo:

* Do item anterior, j sabemos que:

f(x, y) = (x, y) = (x cos - y sen , y cos + x sen ).

54

* Comparando a definio de multiplicao de dois nmeros complexos:

z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac bd) + (ad + bc) i com a expresso que temos a funo, conclumos que:

a = x , b = y , c = cos e d = sen .

* Ento podemos escrever:

f(z) = (x + iy) . (cos + i sen ) = k . z , onde k, z C e k = 1, para manter a norma de z constante.

RESOLUO DOS EXERCCIOS COM QUADRADOS

01. Reflexo


Atividades:

a) Dado um segmento AB e uma reta r, trace a reflexo de AB com relao a r.

Resoluo:

* Sejam a reta v e o segmento AB , no coincidentes. * Reta r perpendicular a reta v por A. * Reta s perpendicular a reta v por B.

* r v = E e s v = F.

* Circunferncia c1 de centro E e raio EA .

55

* Circunferncia c2 de centro F e raio FB .

* c1 r = C e c2 s = D.

* O segmento CD a reflexo de AB em torno de v.

b) Dado um sistema de eixos coordenados e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo reflexo em torno do eixo XX. Expresse essa funo por uma

equao analtica f(x,y).

Resoluo:

* A funo f(x, y) = (x, -y) a funo que reflete um ponto em torno do eixo dos XX.

* Ento: f(P) = f(x, y) = (x, -y) = P

* O ponto P a reflexo de P em torno do eixo dos XX.

56

c) Dado um sistema de eixos coordenados e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo reflexo em torno do eixo YY. Expresse essa funo por uma

equao analtica g(x,y).

Resoluo:

* A funo g(x, y) = (-x, y) a funo que reflete um ponto em torno do eixo dos YY.

* Ento: g(P) = g(x, y) = (-x, y) = P

* O ponto P a reflexo de P em torno do eixo dos YY.

57

d) Considere o plano XOY como representante do plano complexo. Associe a cada ponto (x,y) o nmero complexo z = x+iy. Expresse ambas as funes reflexo como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos:

Reflexo em torno do eixo XX : f(z) = ..........


Resoluo:

* A funo f(z) = x iy = conjugado a funo complexa que reflete um nmero complexo em torno do eixo dos XX.

* Ento: f(z) = f(x + iy) = x iy = z = w

* O nmero complexo w a reflexo de z em torno do eixo dos XX.

58

* A funo g(z) = -x + iy = - conjugado a funo complexa que reflete o nmero complexo z em torno do eixo dos YY.

* Ento: g(z) = g(x + iy) = -x + iy =- z = w

* O nmero complexo w a reflexo de z em torno do eixo dos YY.

e) A figura abaixo representa a regio complexa A = { z = x + iy /0 x 1 , 0 y 1}. Encontre as regies B = f(A) e C = g(A), imagem de A pelas funes definidas acima. Certifique-se de que B e C correspondem s

59

transformaes de A por efeito da reflexo em torno do eixo dos XX e em torno dos YY,

respectivamente.

Resoluo:

60

02. Homotetia:

Fixado um ponto O no plano pi e dado um nmero real k 0, a homotetia de centro O e


Atividades

a) Dado o segmento AB , um ponto O no plano pi , trace as homotetias de AB de centro O com razo 2 e com razo .

Resoluo:

Razo 2:

* Semi-reta OA .

* Semi-reta OB .

* Circunferncia c1 de centro Y e raio OB .

* c1 OB .= B

* Circunferncia c2 de centro X e raio OA .

* c2 OA .= A

* '' BA a homotetia de centro O e razo 2 de AB .

61

Razo :

* Semi-reta OA .

* Semi-reta OB .

* B = ponto mdio de OB .

* A = ponto mdio de OA .

* '' BA a homotetia de centro O e razo de AB .

62

b) Dado um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pelas funes homotetia de centro O e razes 2 e , respectivamente.. Expresse essa funo por uma equao analtica f(x,y).

Resoluo:

Razo 2:

* A homotetia de razo 2 e centro O = (0, 0) definida pela funo f(x, y) = 2(x, y) = (2x, 2y).

* Aplicando esta homotetia no ponto P, obtemos: f(P) = f(x, y) = 2(x, y) = (2x, 2y) = P

* O ponto P a homotetia de centro O e razo 2 do ponto P.

Razo :

63

* A funo g(z) = (x, y) = ( x, y ) define a homotetia de centro O = (0, 0) e razo .

* Aplicando esta funo no ponto P, obtemos:

g(P) = g(x, y) = (x, y) = ( x, y ) = P.

* O ponto P a homotetia de centro O e razo de P.

c) Considere o plano XOY como representante do plano complexo. Associe a cada ponto (x,y) o nmero complexo z = x+iy. Expresse a funo homotetia de centro O e razo K , onde K um nmero real no nulo, como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.


Resoluo:

* A funo que define a homotetia de razo k e centro O = 0 + 0i = 0 :

f(z) = k. z, onde k um nmero real qualquer.

* Se k < 1, temos uma reduo; se k>1, temos uma ampliao.

64

d) Encontre a regio B = F(A), imagem de A pela funo definida acima com k = 2. Certifique-se de que B corresponde transformao de A por efeito de homotetia de razo 2 com relao a O.

Resoluo:

65

e) Encontre C, resultado da transformao de A pela funo complexa f(z) = 2z

.

Resoluo:

03. Simetria:


66

Atividades

a) Dado o segmento AB e o ponto O, encontre o simtrico de AB em torno do ponto O.

Resoluo:

* reta OA

* c1 = circunferncia de centro O e raio OA

* c1 OA = A

* reta OB

* c2 = circunferncia de centro O e raio OB

* c2 OB = B

* '' BA o simtrico em relao a O de AB .

b) Dado um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pelas funo simetria em torno de O . Expresse essa funo por uma equao analtica f(x,y).

67

Resoluo:

* A funo f(x, y) = (-x, -y) a funo que define a simetria de um ponto em relao ao ponto O = (0, 0).

* Aplicando a funo sobre P, obtemos:

f(P) = f(x, y) = (-x, -y) = P

* P o simtrico de P em relao a O = (0, 0).

c) Considere o plano XOY como representante do plano complexo. Associe a cada ponto (x,y) o nmero complexo z = x+iy. Expresse a funo simetria de centro O como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.


Resoluo:

* A funo complexa que define a simetria de centro O = 0 + 0i = 0, :

f(z) = -x iy = -z.

* Aplicando a funo no poto z, obtemos:

68

f(z) = f(x + iy) = -x iy = w

* O nmero complexo w o simtrico de z em relao ao ponto O = 0 + 0i = 0

d) Encontra a regio B = f(A), imagem de A pela funo definida acima. Certifique-se de que B resulta do movimento de simetria de A com relao a O.

Resoluo:

69

e) Encontre C, resultado da transformao de A pela funo complexa f(z) = - 3z.

Resoluo:

70

04. Translao:

Seja AB um segmento orientado, no plano pi ou no espao E. (Orientado significa que a ordem em que os extremos so citados relevante: primeiro A, e depois B.) A translao determinada por AB a transformao (correspondncia biunvoca) : pi pi, ou : E E, definida por (X) = X, de modo que (AB, XX ) e (AX, BX ) sejam os pares de lados opostos de um paralelogramo. (LIMA, 2001)

Atividades

a) Dado um segmento AB orientado e um outro segmento XY, no paralelo com AB . Encontre a translao de XY determinada por AB .

Resoluo:

* segmento AX . * reta r paralela a AX por B. * reta s paralela a AB por X. * r s = X. * segmento AY . * reta u paralela a AY por B. * reta v paralela a AB por Y. * u v = Y * ''YX a translao de XY segundo AB .

71

b) Dado um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo translao determinada por um segmento orientado de origem em O e extremidade em A(u,v), um ponto do 1 quadrante, no alinhado com OP. Expresse essa funo por uma equao analtica f(x,y).

Resoluo:

* Sejam os pontos P (x, y) , O (0, 0) e A (u, v)

* A translao de XY em relao a OA dada pela funo: f (x, y) = (x + u, y + v)

* Aplicando a funo no ponto P, temos:

f(P) = f(x, y) = (x + u, y + v) = P

* O ponto P a translao de P segundo o segmento orientado OA .

72



Resoluo:

* A funo complexa que define a translao de z = x + iy, determinada pelo nmero complexo u + iv :

f(z) = z + (u + iv)

* Aplicando a funo em z, obtemos:

f(z) = f(x +iy) = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + (y + v) i = w

* O nmero complexo w a translao de z segundo o nmero complexo (u + iv).

d) Encontre a regio B = f(A), imagem de A pela funo definida acima, com u + iv = 2 + 3i. Certifique-se de que B resulta do movimento de translao de A, duas unidades na

73

direo do eixo XX e trs unidades na direo do eixo YY, como determina o nmero 2 + 3i.

Resoluo:

74

e) Encontre C, resultado da transformao de A pela funo complexa f(z) = iz 212 ++ .

Resoluo:

75

05. Rotao:

Fixemos um ponto O no plano pi agora orientado (como a tradio recomenda, o sentido positivo o anti-horrio). Dado um ngulo , a rotao de centro O e amplitude a transformao que a cada ponto A do plano pi associa o ponto A = R(A) de forma que se tenha AO = AO, AA = e o sentido de A para A (em torno de O), positivo. (WAGNER, 1993)

Atividades

a) Dado um ponto O e um segmento AB , de forma que O, A e B no sejam colineares, construa a rotao de AB de centro O e amplitude 45.

Resoluo:

76

* reta r perpendicular reta OA por O.

* bissetriz s de rA. * circunferncia c1 de centro O e raio OA.

* c1 s = A.

* reta t perpendicular reta OB por O.

* bissetriz p de tB. * circunferncia c2 de centro O e raio OB.

* c2 p = B

* O segmento '' BA a rotao do segmento AB .

b) Dado um sistema de eixos coordenados XOY e um ponto P(x,y), no 1 quadrante, encontre a imagem de P pela funo rotao de P com centro O e amplitude , onde

um ngulo qualquer. Neste caso, para facilitar a visualizao, pode-se pensar em como um ngulo agudo, com medida prxima a 45. Expresse essa funo por uma equao analtica f(x,y).

77

Resoluo:

* Queremos uma funo f(x, y) = (x, y) . Do tringulo retngulo com ngulo + , obtemos:

sen ( + ) = y/r y = r. sen ( + ) = r. (sen . cos + cos . sen )

cos ( + ) = x/r x = r. cos ( + ) = r. (cos . cos - sen . sen )

* Do segundo tringulo, obtemos as seguintes relaes:

cos = x/r e sen = y/r

Substituindoas nas expresses de x e y, obtemos que:

y = r . ( (y/r) . cos + (x/r). sen ) = (y cos + x sen )

x = r. ( (x/r) . cos - (y/r) . sen ) = (x cos - y sen )

* Por tanto: f(x, y) = f(x, y) = (x cos - y sen , y cos + x sen )

78


Este nmero pode ser expresso em coordenadas polares, R e

R: representa o mdulo do nmero x+iy, que a medida do segmento OP.

: representa o argumento do nmero x+iy, que a medida do ngulo que o raio vetor OP

forma com o eixo dos XX positivo.

z=x+iy = R. (cos + i sen )

Expresse a funo rotao de z, em torno de O, com amplitude , como uma equao complexa, w=f(z), com z e w nmeros complexos.

Resoluo:

* Do item anterior, j sabemos que:

79

f(x, y) = (x, y) = (x cos - y sen , y cos + x sen ).

* Comparando a definio de multiplicao de dois nmeros complexos:

z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac bd) + (ad + bc) i com a expresso que temos a funo, conclumos que:

a = x , b = y , c = cos e d = sen .

* Ento podemos escrever:

f(z) = (x + iy) . (cos + i sen ) = k . z , onde k, z C e k = 1, para manter a norma de z constante.

d) Encontre a regio B = f (A), imagem de A pela funo acima, com = 45. Certifique-se de que B resulta do movimento de rotao de A, em torno de O, num giro de 45 em sentido anti-horrio, ou seja, B a transformao de A por efeito da rotao.

Resoluo:

80

e) Encontre C, resultado da transformao de A pela funo complexa

f (z) = 2i. z + 1 + 3i.

Resoluo:

82

9. Bibliografia recomendada

ARTIGUE, Michle. The teaching and Learning of Mathematics at the University Level. Notices of the AMS, dezembro 1999, pag. 1377-1385.

CHURCHILL, Ruel. Variveis Complexas e suas aplicaes. S.Paulo: Universidade de So Paulo, McGraw Hill do Brasil, 1975.

EVES, Howard. Tpicos de Histria da Matemtica para uso em sala de aula. Geometria. S.Paulo: Atual, 1992, v.3, 77p.

LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. Comprimento, rea, Volume e Semelhana. Rio de Janeiro: SBM, 2001. 237 p.

Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto Cezar. A Matemtica do Ensino Mdio. Col. Do Professor de Matemtica. Sociedade Brasileira de Matemtica.Rio de Janeiro: SOLGRAF, 2001, 237 p.

MAOR, Eli. e: A Histria de um Nmero. Editora Record. RJ. 2003.

WAGNER, Eduardo. Construes Geomtricas. Rio de janeiro: Grfica Wagner, 1993. p. 110.

83

10. Anexos

Definindo a funo exponencial complexa: f(z) = ez

Sabe-se que a funo exponencial real f(x) = ex tem uma certa expanso polinomial obtida pelo Teorema de Taylor:

...

4!x

3!x

2!x

1!x1e

432x +++++=

substituindo (x) por (ix) temos:

( ) ( ) ( ) ( )...

4!ix

3!ix

2!ix

1!ix1e

432ix +++++=

calculando e substituindo as potncias de i:

...

4!x

3!ix

2!xix1e

432ix +++=

juntando separadamente os reais do imaginrios:

+++

++= ...

5!x

3!x

xi...4!x

2!x1e

5342ix

Encontramos sries de potncia das funes cos x e sen x, tambm obtidas pelo Teorema de Taylor:

Temos, ento: sen x i xcose ix +=

Analogamente eiy = cos y + sen y

Mas e z = ex +iy = ex . eiy

Logo ez = ex ( cos y + i sen y)

Conseqncia: epii = -1, logo ln (-1) = pi i.

Logaritmos de negativos existem, no universo dos complexos

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