(Variáveis Complexas)

download (Variáveis Complexas)

of 13

Transcript of (Variáveis Complexas)

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

1: Nmeros Complexos e sua lgebraIndice:1.1 Histria dos Nmeros Complexos 1.2 Nmeros Complexos 1.2.1 lgebra dos Complexos 1.2.2 Representao cartesiana e polar 1.2.3 Exerccios Resolvidos 1.2.4 Produto e quociente na forma polar 1.2.5 Frmulas de de Moivre e de Euler 1.2.6 Extrao de razes 1.2.7 Exerccios Resolvidos 1.3. Subconjuntos de 1.3.1 Exerccios 1.3.2 Algumas Solues

C

Veja a introduo deste texto ou o artigo sobre Histria da Matemtica.

1 de 13

05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

Embora historicamente a necessidade de estudar os nmeros complexos tenha surgido junto com o estudo de equaes do terceiro grau, para compreender esta necessidade basta considerarmos a soluo de equaes do tipo

x 2 + 1 = 0.

(1)

Para obter uma soluo definimos 1 = i, a que damos o nome de unidadeimaginria. Como conseqncia desta definio as razes da equao 1 so i e i pois

i 2 = ( 1 )

2

= 1; (i)

2

= 1.

Um nmero complexo um nmero na forma a + i b , possuindo, portanto, uma parte real a e uma parte imaginria b. O conjunto dos complexos

C = {x + iy; x, y R}.Um nmero complexo qualquer, z = x + i y composto de parte real e parte imaginria, respectivamente

Re(z) = x, Im(z) = y.Dados dois complexos

z 1 = x 1 + iy 1 eas seguintes operaes podem ser definidas:

z 2 = x 2 + iy 2

Adio: z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) Subtrao: z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 ) + i(y 1 y 2 ) Multiplicao:

z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 )Diviso: para z 2 0 : (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + i(x 2 y 1 x 1 y 2 ) x 1 + iy 1 x 1 + iy 1 x 2 i y 2 z1 = = = z2 x 2 + iy 2 x 2 + iy 2 x 2 i y 2 (x 2 ) 2 + (y 2 ) 2 Observe que z1 = z2 se, e somente se,

.

x1 = x2 e y1 = y2de forma que uma equao complexa envolve, na verdade, duas equaes reais.

2 de 13

05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

O conjunto dos complexos pode ser representado por meio do plano complexo, em sua forma cartesiana, mostrada na figura 1(a) ou polar, figura 1(b).

Figuras 1(a) e 1(b)

As coordenadas cartesianas e polares se relacionam da seguinte forma:Unexpected text node: '.'

(2)

Podemos portanto escrever z = x + iy

como

z = r(cos + isen),onde as variveis (r, ) e (x, y) se relacionam de acordo com as expresses em 2.

Definies: O valor absoluto de z = x + iy denotado por x 2 + y 2 = r, |z| = enquanto chamado de argumento de z, = arg(z). O conjugado

complexo de z denotado por z e definido como z = x iy.Vemos na figura 2 que |z| a

distncia do ponto at a origem

enquanto z o complexo obtido de zpor reflexo no eixo real. Observe que, em termos destas definies, temos

zz = |z| 2 ,enquanto a diviso entre complexos pode ser escrita como3 de 13

Figura 2: um complexo e seu conjugado05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

pode ser escrita como z1 z1 z 2 z1 z 2 = = . z2 z2 z 2 |z 2 | 2

1. Encontre as partes reais e imaginrias dos nmeros complexos: 1 i 2 z1 = ; z 2 = (1 + i) 8 . 2+i Racionalizamos o primeiro: 2 i 2i 2 1 i 2 2 i z1 = = 3 2+i 2i e o segundo4

= i,

z 2 = (1 + i)

8

= [(1 + i) 2 ]

= (2i) 4 = 2 4 = 16.

Portanto Re(z 1 ) = 0, Im(z 1 ) = 1; Re(z 2 ) = 16, Im(z 2 ) = 0. Observe que, para racionalizar z 1 multiplicamos o denominador por seu complexo

conjugado, uma vez que, para qualquer complexo z , zz sempre um real, oquadrado de seu mdulo.

2. Escreva na sua forma polar e calcule os conjugados complexos de: i z 3 = i, z 4 = . 1i O argumento de z3 pode ser visto apenas pela posio do ponto no plano complexo, = /2, enquanto seu valor absoluto |z 3 | = 1 2 + 0 = 1. Ento z 3 = i = cos + isen , 2 2 = i ou z 3 = cos isen . z3 = i 2 2 Quanto a z4 melhor racionaliz-lo antes, i 1+i 1 + i z4 = = . 1i 1+i 2 Portanto x = 1 2

e y = 1 . Alm disto 2 2 2 2 1 1 1 ( ) r= +( ) = = , 2 2 2 2 3 = arctan(1) = . 4 Tomamos ento = 3/4 j que

Observe que tan(3/4) = tan(5/4) = 1.

z 4 est no segundo quadrante. Seu complexo conjugado : 1 i4 de 13 05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

z4 =

1 i 2

Algumas operaes so mais simples se os nmeros dados esto na forma cartesiana, como ocorre na adio. Outras podem bastante simplificadas se escrevermos os termos envolvidos em sua forma polar. Por exemplo, dados

z 1 = r 1 (cos1 + isen1 ), z 2 = r 2 (cos2 + isen2 )encontramos seu produto

z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos1 + isen1 )(cos2 + isen2 ) = r 1 r 2 [cos1 cos2 sen1 sen2 + i(cos1 sen2 + sen1 cos2 )].Usando as identidades trigonomtricas:

cosAcosB senAsenB = cos(A + B), cosAsenB + senAcosB = sen(A + B),obtemos

z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(1 + 2 ) + isen(1 + 2 )].Isto significa que, para multiplicar dois complexos, multiplicamos seus valores absolutos e somamos seus argumentos. Para efetuar a diviso observe antes que 1 1 cos1 isen1 = = cos1 isen1 , cos1 + isen1 cos1 + isen1 cos1 isen1 observando que o denominador cos2 1 + sen 2 1 = 1. Temos ento que, se

z 2 0, r 1 (cos1 + isen1 ) z1 r1 = = (cos1 + isen1 )(cos2 isen2 ) = z2 r2 r 2 (cos2 + isen2 ) r1 (cos1 cos2 + sen1 sen2 ) + i(sen1 cos2 cos1 sen2 ) = r2 r1 [cos(1 2 ) + isen(1 2 )]. r2

(3)

Este ltimo resultado poder ser obtido, como antes, usando-se as frmulas trigonomtricas para a diferena de dois ngulos. Alternativamente, podemos simplesmente usar o fato de que o cosseno uma funo par enquanto o seno mpar, ou seja,

cos() = cos; sen() = sen.

(4)

Com isto vemos que r1 r1 (cos1 + isen1 )(cos2 isen2 ) = (cos1 + isen1 )[cos(2 ) + isen(2 )], r2 r2 o que resulta na expresso em vista do resultado j conhecido.5 de 13 05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

o que resulta na expresso em vista do resultado j conhecido.

Considere n nmeros complexos, expressos por

z k = r k (cosk + isenk ), k = 1, , n.Para multiplicar todos estes nmeros podemos operar dois a dois at incluir os n nmeros, obtendo

z 1 z 2 z n = r 1 r 2 r n [cos(1 + 2 + + n ) + isen(1 + 2 + + n )].Se todos os n fatores so iguais temos

zzz = z n = r n (cosn + isenn).Se |z| = 1 ento r = 1 e obtemos a frmula de de Moivre:n

(cos + isen)

= (cosn + isenn).

Observe que a frmula acima vale tambm para expoentes negativos, pois, supondo

n positivo,(cos + isen)n

=

1 (cos + isen)n

n

=

1 cosn + isenn

= cosn isenn.

Alm disto, lembrando que o cosseno par e o seno mpar podemos escrever

(cos + isen)

= cos(n) + isen(n),

que a frmula de de Moivre para expoentes negativos. Outra expresso importante foi obtida por Euler da seguinte forma: partimos das expanses em sries de potncias (1) para as funes exponencial, seno e cosseno, respectivamenteAs expanses em sries de potncias para funes que possuem todas as derivadas em determinado ponto so as chamadas sries de Taylor e MacLaurin. Veja o apndice ao texto sobre Equaes Diferencais para

ex = 1 + x +

x2 x3 xn + ++ + , 2! 3! n! x3 x5 x7 senx = x + + 3! 5! 7! x2 x4 x6 cosx = 1 + + . 2! 4! 6!

Fazendo x = i no argumento da exponencial obtemos

(i) 2 (i) 3 (i) n e = 1 + i + + ++ + = 2! 3! n! 2 i3 4 i5 = 1 + i + + . 2! 3! 4! 5!i

Agrupando os termos reais e imaginrios temos

e i = 1 6 de 13

+ + i( + ). 2! 4! 3! 5!

2

4

3

5

05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

2!

4!

3!

5!

uma reviso sobre este assunto.

Podemos agora identificar a parte real com o cosseno e a parte imaginria com o seno e, portanto,

e i = cos + isen.Ela nos permite escrever nmeros complexos em uma forma alternativa, muito til para a realizao de diversas operaes,

z = x + iy = r(cos + isen) = re i .Esta expresso permitiu a Euler escrever a equao

e i = 1,considerada por muitos como uma das mais belas equaes matemticas j escritas, onde se reune quatro importantes constantes: e, , i e

1.

Observe ainda que, nesta representao, o complexo conjugado

z = r(cos isen) = re i ,onde usamos a paridade das funes trigonomtricas, descrita na equao 4. A multiplicao e diviso dos complexos se torna bem mais simples se eles esto escritos em sua forma exponencial. Se produto

z 1 = r 1 e i1

e

z 2 = r 2 e i2 temos o

z 1 z 2 = (r 1 e i1 )(r 2 e i2 ) = r 1 r 2 e i(1 +2 ) ,e o quociente

z1 r 1 e i1 r 1 i(1 2 ) = = . e z2 r2 r 2 e i2Igualmente simples so as operaes de potenciao,

z n = (re i ) z n =

n

= r n e in ,

1 in e . rn

Dados dois nmeros complexos, z, p C dizemos que z a raz ensima de p,n z = p , se z n = p. Tomando p = r(cos + isen) sabemos que n z 0 = r (cos + isen ) n n

n uma raiz pois z 0 = p. No entanto existem outras raizes, sob a forma de + 2k + 2k n n z k = p = r [cos( ) + isen( )], n n

onde k um inteiro. Isto est correto porque7 de 13 05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

onde

um inteiro. Isto est correto porquen z k = r[cos( + 2k) + isen( + 2k)] = r[cos + isen] = p,

uma vez que o seno e o cosseno so funes peridicas de perodo 2. Observe que se fizermos k = n ento n z n = r [cos( + 2) + isen( + 2)] = z 0 , n n ou seja, retornamos raiz correspondente k = 0. Existem portanto n razes

n simas distintas de um nmero complexo qualquer p 0 , + 2k + 2k n z k = r [cos( ) + isen( )], k = 0, 1, , n 1. n n

(5)

1. Calcule as razes n-simas de 1. Primeiro representamos 1 em sua forma polar, correspondendo r = 1, = 0. Logo 1 = cos0 + isen0. Agora podemos extrair as raizes 2k 2k w k = cos + isen . n n

Observe que, se denotarmos

w = cos

2 2 + isen , n n

podemos representar as demais razes por meio da frmula de de Moivre, 2k 2k w k = cos( ) + isen( ). n n Estas so as chamadas razes da unidade, w = 1 , dadas por:n

1, w, w 2 , , w n1 .

2. Como caso particular do exerccio acima vamos encontrar as razes quartas de da unidade, 1 .4

Estas razes so 1, w, w 2 , w 3 onde w = cos + isen = i. 2 2 As demais razes so

w 2 = i 2 = 1, ew 3 = i 3 = i.As razes so, portanto: 1, i , 1, i.

Observe que a frmula 5 para as razes de um8 de 13 05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

Observe que a frmula 5 para as razes de um nmero qualquer pode ser escrita comon z k = r (cos

Figura 3.

2k 2k n + isen )(cos + isen ) = r (cos + isen )w k . n n n n n n

Dai se conclui que as razes de um nmero qualquer so dadas pelo produto de uma de suas razes com as razes n-simas da unidade.

3. Calcule as razes cbicas de 27. Uma das razes As razes cbicas da unidade so onde As razes so, portanto,

z0= 3,As trs razes esto sobre um crculo de raio 3 e so representadas graficamente na figura 4. Figura 4. 4. Calcule as razes cbicas de 1 e as represente graficamente no plano complexo. Comeamos por escrever em forma polar Sabemos que temos trs raz: Portanto Note que, se fizermos obteremos novamente a raiz

5. Calcule as razes quadradas de i, a unidade imaginria. Observe que As duas razes so, portanto: ou seja Representamos graficamente as razes obtidas nos dois exerccios na figura 5(a) e (b).

9 de 13

05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

Figuras 5(a) e (b)

6. Decomponha o polinmio em um produto de fatores do primeiro grau. As razes de P(z) so as solues de e j foram encontradas em exemplo resolvida. Usando o teorema fundamental da lgebra temos ou seja

Algumas definies so necessrias para a continuidade de nosso estudo e a soluo dos prximos exerccios. Faamos uma lista destas definies:

(i) Um disco aberto a regio e est representada graficamente na figura 6 abaixo.

Exemplo: Vamos discutir com algum detalhe o conjunto onde z0 um ponto fixo do plano complexo. Se denotarmos e ento Portanto os pontos de satisfazem a relao ou seja, so os pontos interiores ao crculo de raio e centro em Alternativamente, podemos chegar mesma concluso visualizando

geometricamente este conjunto, como exibido na figura 6. Observe que a distncia entre um ponto arbitrrio e o ponto fixo z0. A relao s satisfeita pelos pontos interiores ao crculo j descrito.

10 de 13

05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

Figura 6.

(ii) Uma vizinhana de que denotaremos por , qualquer subconjunto de que contenha

Figura 7.

Na figura 7 por exemplo, esquerda, uma vizinhana do ponto pois contm , um disco aberto com centro em Por outro lado, direita, vemos que um retngulo no vizinhana de nenhuma de suas arestas. (iii) Dado um conjunto de , chamaremos de seu complementar o conjunto o conjunto dos pontos do plano complexo que no esto em (iv) Um ponto qualquer dito um ponto interior de se existe um disco aberto centrado em inteiramente contido em (v) Um conjunto aberto se todos os seus pontos so pontos interiores. Um conjunto fechado se seu complementar aberto. (vi) A fronteira de o conjunto de pontos tais que qualquer vizinhana de contm pontos de e de seu complementar. Pontos da fronteira de podem ou no pertencer a este conjunto. Com esta definio percebemos que nenhum ponto interior de um conjunto um ponto de fronteira.

Figura 8.

11 de 13

05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

(vii) um conjunto aberto se no contm pontos de sua fronteira. fechado se contm todos os pontos de sua fronteira. (viii) um ponto de acumulao de se qualquer vizinhana de contm infinitos ponto de Portanto, pontos do interior e pontos da fronteira, pertencendo ou no a so pontos de acumulao. Um ponto isolado de um ponto de que no ponto de acumulao.

Exemplo: No conjunto infinito 1 o nico ponto de acumulao, sendo todos os outros pontos isolados. Note que este nico ponto de acumulo no est contido em C.

(ix) Um aberto conexo se dois quaisquer de seus pontos podem ser unidos por um arco inteiramente contido em Uma regio um conjunto aberto e conexo. Na figura 9(a) o conjunto conexo, enquanto o conjunto mostrado em 9(b) no .

Figura 9. (x) limitado se existe um nmero k positivo tal que Um conjunto limitado e fechado dito compacto. (xi) No conjunto incorporamos o infinito (um nico ponto!) para formar o chamado plano complexo extendido.

Exemplo: o disco aberto interior ao crculo de raio 5 e centro em 3i, como na figura 10(a). O conjunto a circunferncia de centro em z0 e raio r.

12 de 13

05/04/2012 11:45

Variveis Complexas

http://phylos.net/matematica/vc/vc-cap1/#ex1

Figura 10. Na figura 10(b) est representado o conjunto , que consiste naqueles pontos de com centro em z0 e raio r. O mesmo conjunto, representado em coordenadas cartesianas seria descrito por ou seja Exemplo: Qual o conjunto Observamos primeiro que negativo em duas situaes: ou O conjunto procurado a parte do plano complexo dado por que a regio delimitada pelas retas bissetrizes, como representado na figura 11.

Figura 11.

z2 = 2 + i calcule z1 + z2, z1 z2, z1 z2 e z1 / z2.e Represente graficamente cada um dos nmeros complexos envolvidos.

(1) Dados z1 = 3 + 5i

(2) Calcule:

(3) Mostre que (a) onde r o resto da diviso de N por 4 seja, (b) (c) (d) (e)13 de 13 05/04/2012 11:45