1

Departamento de Matemática, Física, Química e Engenharia de Alimentos

Projeto Calcule!

Prof as

: Rosimara Fachin Pelá – Vanda Domingos Vieira

Caderno 3 – Integrais e Aplicações

PARTE 1: INTEGRAIS IMEDIATAS

Definimos: )())(()()( xfkxFIRkkxFdxxf

Propriedades da integral indefinida:

1) dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

2) IRkdxxfkdxxfk )()(

Ex)Encontre as seguintes integrais:

a) kxxxkxxx

dxxdxdxxdxxx 552

23

3523)523( 2323

22

Para verificar se a resposta esta correta basta: 5235 223

xxkxxx

Exercícios:

Calcule as integrais indefinidas:

01) dx2x7 08)

dx

xx

1 15)

dx

xx

4 5

3 2 4

02) dtt

35

09)

dx

xx 24

113 16)

dx

x

)x( 21

03) dx x3 210 10)

dy

y

yy 12 24

17)

dx x

e x3

3

04) dy y

3 11)

dt

t

t

3

3 127 18)

dx

xcos

senx

xcos 22

2

05) dx xx37 ‘ 12) d )sencos( 45 19)

du

u

uuu4

234 3

6

423

06) dx )]x(x[1 4

25 13)

dh

h

h3

1

1 20) dt )tcoste( t 3 2

2 07) du)uu( 235 23 14)

dt t / 7

2

3 21

21)

dy

ysenysec 23

2

2

3

PARTE 2 : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO – INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO

Aplicaremos esta técnica quando o integrando é a derivada de uma função composta ))(( xgF .

Sejam )(xf e )(xF duas funções tais que )()( xfxF . Seja )(xg outra função derivável assim pela regra da

cadeia temos:

)()).(()()).((]))(([ xgxgfxgxgFxgF ou seja ))(( xgF é uma primitiva de )x(g)).x(g(f

Para resolver uma integral da forma dxxgxgf )())(( , faremos uma mudança variável na integral, ou seja:

faremos na integral )(xgu assim teremos dxxgdu )( , logo:

k)u(Fdu)u(fdx)x(g))x(g(f

Nas resoluções deveremos escolher convenientemente a função u, de modo que a integral se transforme numa das

integrais imediatas.

Ex) dx)1x2x3(xxx 223

Fazendo

dx)1x2x3(du

xxxu2

23

( pois a função externa a raiz é a derivada da função interna a raiz)

kxxx3

2u

3

2uduuduudx)1x2x3(xxx

3233

23

22323

21

Exercicios:

I – Calcule as seguintes integrais, usando a substituição indicada:

01) dxxxx )23()12( 2213 faça 123 xxu 05) dxxtgx2sec faça tgxu

02) dxx 16

6 faça 16 xu 06) dxxtgx

2sec faça xu sec

03) dxx

x

1

2

2 faça 12 xu 07)

dx

x

arcsenx

2

2

1 faça arcsenxu

04) dxe x

2 faça xeu 08) dxxx

))(ln1(

12

faça xu ln

II - Calcule as integrais indefinidas:

3

01) dx x23 08) dx tg5x x5sec 15) 32 )x(1

dx x

02) ](lnx)+x[1

dx xln2

09) x

dx xln 16)

4t

dt t

2

3

03) dx x2sen 10) x

x

e1

dx e 17)

3 y

y2

e1

dy e

04) dx 1xx 2 11) dx x cos . xsen2 18) tlnt

dt2

05) dx e x5 12) x

x

e +1

dx e 19) dx x5x

06) dx )2x3(eccos 2

13) 1x

dx x4

2 20)

dx

x3sen1

x3cos.x3sen3

07) xcos1

dx senx 14) dx e .)1e( x6x

PARTE 3 : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO – : INTEGRAIS POR PARTES

A integração por partes é utilizada quando a integral é do tipo dxxgxf )().( e assim utilizaremos a formula:

dxxgxfxgxfdxxgxf )().()().()().(

ou na forma diferencial, considerando )(xfu e )(xgv , então dxxfdu )( e dxxgdv )( assim:

duvvudvu .

Com uma escolha apropriada de u e v, a segunda integral deve ser mais fácil que a primeira. Quando usamos a essa

formula, varias escolhas de u e dv tornam-se disponíveis.

4 Ex) Calcule dxxx 2cos)43(

Escolhendo:

dv de lados dois os integramos vencontrar para , vdv 2

22cos

u) derivamos lo-encontra para dx,u du com ( 343

comoxsen

vdxxdv

dxduxu

Assim:

dxxx 2cos)43( = dxxsenxsen

x 32

2

2

2)43( = dxxsen

xsenx 2

2

3

2

2)43( =

2

)2cos(

2

3

2

2)43(

xxsenx

dxxx 2cos)43( = kxxsen

x 2cos4

3

2

2)43(

Exercícios:

01)Resolva as seguintes integrais usando as escolhas indicadas:

a) dxsenxx )15( faça 15 xu e dxsenxdv

b) dxex x )14( faça 14 xu e dxedv x

c) dxxx ln)1( faça xu ln e dxxdv )1(

d) dxarcsenx faça arcsenxu e dxdv

02) Calcule as integrais indefinidas:

1) )5cos().13( dxxx 8) dxx4sen

2) dxex x31).32( 9) dxxlnx

3) dxxe x2 10) dxxcosx2

4) 32 dxex x 11) dx secxtgxx

5) dx ln2 xx 12) dxxsene x 54

6) )2cos(2 dxxx 13) dxarccosx

7) dx 2

x senx 14) dyarctgy

5

PARTE 4 : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO – : INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMETRICA

Usando substituições trigonométricas convenientes podemos transformar integrais que envolvem 22 xa , 22 xa

e 22 ax em integrais que podemos calcular diretamente. As figuras seguintes nos sugerem tal substituição:

axsen senax

tgaxa

xtg

secsec axa

x

Lembretes:

01)

xxsen

xsenxxxsen

22

2222

cos1

1cos1cos

02) xtgx 22 1sec

03) xgx 22 cot1seccos

04) xsenxx 22cos)2cos(

05) xsenxxsen cos2)2(

a

x

22 xa

22 xa

x

a

x

22 ax

a

6 Ex) Calcule

4 2

2

dxx

x

Como temos 2x-4 deveremos usar a substituição: sensenx 24 , assim teremos ddx cos2

Logo: I= 4 2

2

dxx

x

= cos2

)2(4

)2(

2

2

d

sen

sen

= cos2

44

4

2

2

d

sen

sen

= cos

)1(4

8

2

2

d

sen

sen

I= cos)(cos4

8

2

2

d

sen = cos

cos2

8 2

d

sen = 4 2 dsen =

2

2cos14

d

= 2cos2 dd

Usando uma substituição para resolver a segunda integral temos:

4 2

2

dxx

x

=

2

sen2-22

= sen2-4

Agora teremos que voltar para a variável x, assim usaremos a relação:

senx

senx 2

2 então:

2

xarcsen e

2

4

2

4.

2.2cos22

22 xxxxsensen

Portanto: 4 2

2

dxx

x

= k

xx

2

4

2

x4arcsen

2

Exercicios:

01)Usando as substituições recomendadas e identidades trigonométricas mostre que:

a) sec242 x usando tgx 2

b) cos39 2 x usando senx 3

c) tgx 4162 usando sec4x

d) cos3169 2 x usando senx4

3

e) sec12 2 x usando 2

tgx

2

x

222 x

7 02) Calcule as integrais:

01) 9

2

2

dxx

x

06)

22 4

dx

xx

02) 22

ax

dx 07)

2

2

1 x

dxx

03)

422xx

dx 08) dx

x

x

92

04)

)4( 23

2

x

dx 09) dx

x

x-

24

1

05) 16

dx

2x

10)

dxx

x

6

23

21

PARTE 5 : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO – : INTEGRAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS

Seja as integrais da forma dxxq

xp

)(

)(, onde p(x) e q(x) são polinômios e o grau do polinômio p(x) é menor do que o

grau do polinômio q(x). A integral não é imediata e também não se resolve por substituições. Essas integrais serão

resolvidas escrevendo a função racional )(

)(

xq

xp como uma soma de frações mais simples. Esta soma será obtida

através da fatoração do denominador, onde os fatores podem ser lineares ou quadrados irredutíveis, ou seja:

1º caso)Os fatores de q(x) são lineares distintos, ou seja, ))...().(()( 2211 nn bxabxabxaxq :

)(

)()(

xq

xpxf =

))...().((

)(

2211 nn bxabxabxa

xf

=

)(....

)()( 22

2

11

1

nn

n

bxa

A

bxa

A

bxa

A

onde nAAA ,...,, 21 são constantes a serem determinadas usando igualdades de frações racionais.

2º caso) Os fatores de q(x) são lineares repetidos, ou seja, nbaxbaxbaxxq )...())(()( 2 :

)(

)()(

xq

xpxf =

nbaxbaxbax

xf

)...()).((

)(2

=n

n

bax

A

bax

A

bax

A

)(....

)()( 2

21

onde nAAA ,...,, 21 são constantes a serem determinadas usando igualdades de frações racionais.

3º caso) Os fatores de q(x) são quadráticos irredutíveis distintos, ou seja, ))...(()( 2

11

2

1 nnn cxbxacxbxaxq

)(

)()(

xq

xpxf =

))...((

)(2

11

2

1 nnn cxbxacxbxa

xf

=

)(....

)( 2

11

2

1

11

nnn

nn

cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

onde nn BABA ,,...,, 11 são constantes a serem determinadas usando igualdades de frações racionais.

8

4º caso) Os fatores de q(x) são quadráticos irredutíveis repetidos, ou seja,

ncbxaxcbxaxcbxaxxq )...()).(()( 2222 :

)(

)()(

xq

xpxf =

ncbxaxcbxaxcbxax

xf

)...()).((

)(2222

=n

nn

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

)(....

)()( 222

22

2

11

onde nn BABA ,,...,, 11 sã o constantes a serem determinadas usando igualdades de frações racionais.

Ex) Calcule 4

123dx

xx

Fatorando o denominador, tem-se )4(4x 223 xxx ,assim os fatores são lineares porem repetidos( xxx .2 ).

A decomposição por frações parciais será:

4x

B

x

A

4

1223

x

C

xx,

agrupando o segundo membro cujo MMC é )4(4 223 xxxx , temos:

)4(

)4()4(

4x

B

x

A

4

12

2

223

xx

CxxBxxA

x

C

xx

2)4()4(1 CxxBxxA

Fazendo alternadamente x=0, x=4 e x=1 temos: 16

1

16

1,

4

1 CeBA

Desse modo:

4x

x4

1 161

161

241

23 xxxdx

xdxdx

xx

4

1

x

1dx

x

1

4

1161

161

241

23

Resolvendo as integrais:

kxxxxdxxx

4lnln 4lnln -4

1161

161

4x1

161

161

x1

41

23

Exercícios:

I- Todo polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como um produto de fatores lineares e ou quadráticos.

Usando fatoração, mostre que:

a) )3)(1)(1(33 23 xxxxxx

b) )1)()(1(1222123 xxxxxx

c) )2)(2(4 224 xxxxx

d) 32123 16128 xxxx

9 II – Usando decomposição de frações por frações parciais, mostre que:

a) )3(8

7

)1(8

1

)1(4

3

33

1223

xxxxxx

x

b) )1(

2

)(3

10

)1(3

4

122

3

2123

xxxxxx

x

c) xxxxxx

xx

4

3

4

1

)2(16

15

)2(16

13

4

13224

3

d) )1(

7

)1(

101

12

4522

2

xxxx

xx

III – Calcule as seguintes integrais:

01)

dx

xx

x

65

42

06)

dxxx

x-

23

23

02) )3)(2)(1( xxx

xdx 07) dx

xx

xx

2

2

)1(

243

03)

dx

xx

x

2

2 08)

dx

xxx

xx

2

434

23

2

04) 2)1(x

xdx 09)

dx

)x(x

xx

3

3

1

14

05) dxxxx

xx

82

16284

23

2

10)

dxxx 34 2

2

PARTE 6 : INTEGRAIS DEFINIDAS

Se f é continua sobre [a, b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo IRkkxfxF ;)()( então:

b

a

aFbFdxxf )()()( .

Ex) Calcular: 2

1

23 dxx

Sabemos que kxxF 3)( é uma primitiva de 23)( xxf assim:

718123 332

1

3

2

1

2 kkkkkxdxx

Obs: No caso de uma integral definida não é necessário colocar na primitiva a constante pois a mesma desaparece

nos cálculos.

10

Exercícios:

Calcular as seguintes integrais:

01) 2

1

6

5dx

x 08)

2e

2)(lne

xx

dx 15)

33

322 9 xx

dx

02)

9

4

3dt

t

t 09)

2

0

4 2

dxex x 16)

6

42 4 xx

dx

03)

4

1

5 dxx 10) /3

0

cos 3sen

dxxx 17)

5

0

22 25 dxxx

04)

1

1

32 )1( vdvv 11) 2

0

2 dxxe x 18)

2

1

23

3 dxxx

x

05)

1

0

2)23( x

dx 12)

/4

0

3 4sen

dxxe x 19)

3

1

2

2

)1(

34 dxxx

xx

06)

4

1

3)1( xx

dx 13)

4/

0

3cos

xdx 20)

2

1

3

2

9

1835 dxxx

xx

07) dxx

2/31cos 14)

12/

16/

3 4

xdxtg

PARTE 7 : CALCULO DE ÁREAS

O cálculo de áreas de figuras planas pode ser feito por integração. Vamos considerar as funções f e g contínuas em

[a, b]:

Caso 1:Se b][a; xpara0)( xf

Assim a área pelo gráfico de f, pelas retas x=a e x=b e o eixo dos x é dada por: b

a

dxxfA )(

y

x b a

y=f(x)

11 Caso 2:Se b][a; xpara0)( xf

Assim a área pelo gráfico de f, pelas retas x=a e x=b e o eixo dos x é dada por : b

a

dxxfA )(

Caso 3:Se b][a;x para)()( xgxf

Assim a área limitada pelo gráfico de f e de g, pelas retas x=a e x=b é dada por :

b

a

dxxgxfA )()(

Exercícios

01)Esboce o gráfico das curvas no mesmo plano cartesiano identificando os pontos de interseção:

a) 26 xy e xy 23 f) 22 xxy e 2xy

b) 3xy , 2

xy e 6 xy g) 25 xxy e xy

c) xy 3 , xy e 4 yx h) 22 yyx e yyx 42

d) 22 2 xy e 12 xy i) xy 1 e 3

3 xy

e) 2yx e 42 2 yx

Obs) 1) Para traçar gráficos de retas e parábolas devemos construir uma tabela com pontos importantes de cada

função:

RETAS: Devemos encontrar os pontos de interseção com os eixos coordenados, faça x=0 e depois y=0.

PARABOLAS: Devemos encontrar pontos como:

a) ponto de interseção com eixo y, aça x=0

y=g(x)

y=f(x)

y

x b a

y

x b a

y=f(x)

y=f(x)

12 b) raízes, faça y = 0

c)vértice faça a

bxV

2

d) se estes pontos não forem suficientes acrescentes outros pontos com valores arbitrários.

2) Para traçar gráficos de funções no mesmo plano cartesiano devemos determinar se existem pontos de interseção e

acrescentá-los na tabela de valores.

02)Calcule a sua área da região limitada por:

a) 26 xy e xy 23 f) 22 xxy e 2xy

b) 3xy , 2

xy e 6 xy g) 25 xxy e xy

c) xy 3 , xy e 4 yx h) 22 yyx e yyx 42

d) 22 2 xy e 12 xy i) xy 1 e 3

3 xy

e) 2yx e 42 2 yx

RESPOSTAS

Parte 1:

01) kx 8

4

1 06) kxxx 75

7

1 11) ktt 3 23 11

2

3

11

81 16) kxxx 22

3

2 3

21) kgycotseny

3

2

2

3

02) kt

44

3 07) kuuu 7911

7

4

3

4

11

9 12) ksencos 54 17) kxex 4

4

1

3

1

03) kx 3 56 08) kxx 2

3

2 3 13) khhh 23

2

1

3

1 18) kxsectgx 2

04) ky 6 09) kxx

x 1

3

13

3 14) ktt / 723 19) kuln

uu

3

1

3

2

9

2

4 9

05) kx 3 73 10) kyyy 2

5

4

9

2 59

15) kx

x 4

3 5 16

5

3 20) ksentte t

3 5

5

3

Parte 2:

I-

01) cxx

22

)12( 223

03) cx 12 2 05) c

xtg

2

2

07) carcsenx

3

)( 3

02) cx 16ln 04) ce x

2

2

06) cx

2

sec2

08) cxarctg )(ln

13 II-

01) c)x23(3

1 3 06) c)2x3(gcot3

1 11) cxsen

3

1 3 16) c4t4)4t(3

1 232

02) c])x( ln1ln[2

1 2 07) cxcos12 12) c)e1ln( x 17) c)e1(2

3)e1(

5

3 2y5y

03) cx2cos2

1 08) cx5sec

5

1 13) c1x4 2 18) c

tln

1

04) c)1x(3

1 32 09) c)x( ln2

1 2 14) c)1e(7

1 7x 19) c)x5(3

10)x5(

5

2 35

05) ce5

1 x5 10) ce12 x 15) c)x1(4

122

20) 3 23 5 )x3sen1(

2

1)x3sen1(

5

1

Parte 3:

01) a) ksenxxx 5cos)15( c) kxx

xxx

4ln

2

)2( 22

b) kex x )54( d) kxarcsenxx 21.

02)

01) kx )5cos(25

3

5

1).sen(5x)+(-3x 08) kxsenxsenx 4

32

12

4

1

8

3

02) ke x 313x-1

9

2

3

3)e-(2x- 09) kxx )2ln3(

9

2 3

03) ke x 2-2x

4

1

2

xe- 10) ksenxxxsenx 2cos2 x2

04) kexee xxx

27

2

9

2

3

x

3332

11) k tgxsecxln-xsecx

05) 9

ln3

33 xx

x 12) kxxsene x )5cos554(

41

1 4

06) kxsenxxxsen

4

)2(

2

)2cos(

2

)2(x

2

13) k2x-1-arccosx x

07) kx

senx

x 2

42

cos2 14) k 2y1ln-arctgyy

Parte 4:

01) kxarcsenx

3

x-9 2

06) kx

x

4

24

O2) ka

x

a

a

22xln 07) kxxarcsenx 21

2

1

14 03) k

x

4

4x-

2

08) kx

arcx 3

sec392

04) R: k 4x4

x

2 09) k

xarcsenx

34 2

05) kxx 162ln 10) kx

x

521

5

1

Parte 5:

01) kxx 1ln7

56ln

7

2 06) kx

x-x- 1ln

2ln

02) kxxx 3ln2

32ln21ln

2

1- 07) k

x++x++x

1

11lnln2

03) kx+ -x 1lnln2 08) kx

xx

1

3)2(2ln

04) kxx+

1ln1

1 09) k

xxx

2)1(

2

1

3ln

05) kxx-x 2ln3

144ln

3

8ln2 10) kxx

xx 2ln

4

1ln

4

1

2

1

2

12

Parte 6: 01) 31/32 11) 1/4(3e

4 + 1)

02) 20/3 12) 4/25(e3/4

+1)

03) 14/3 13) 2/3

04) 0 14) 1/4 – 1/8ln2

05)1/3 15) 1/27(6 – 23 )

06) 5/36 16) 1/2 arc cos1/3 – /6

07) 3/2(3 – 1) 17) 625/16

08) 1/2 18) 4ln4/3 – 3/2

09) 1/2(e4 –1) 19) ln27/4 – 2

10) 9/16 20) 13ln2 – 4ln5

Parte 7:

02) a) ua3

32 b) ua22 c) ua

2

3 d) ua

3

4 e) ua

3

32 f) ua

3

1 g) ua

3

32 h) 45 i) ua

2

9

15 Aplicações de derivada Parte 1 – Sinal de funções

1)Função polinomial do 1o grau:

IRbeIRabaxxfIRIRf *,)(,:

Obs:

1) Im(f) = IR

2) Se axxfb )(0 chamada de função linear.

3) a: coeficiente angular e b: coeficiente linear.

Gráfico: reta .

Obs: 1) A reta intercepta o eixo y no ponto (0,b).

2) Se fa 0 é crescente.

Se fa 0 é decrescente.

Zero ou raiz de função:

Determinar o zero ou raiz de uma função qualquer y = f(x) é achar a interseção do gráfico da função com o eixo x,

ou seja, zero de f é o número real x tal que F(x)=0.

Sinal da função:

Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo, e zero é

negativo.

Zero ou raiz de f(x) = ax+b:

a

bxbaxxf 00)(

Sinal de f(x) = ax+b:

1) se a > 0

2) se a < 0

_ +

ab

_

+

ab

16

2-Função polinomial do 2o grau:

.0,,,)(,: 2 acomIRcbacbxaxxfIRIRf

Gráfico: parábola

Obs: 1) Se 0a parábola com concavidade para cima.

2) Se 0a parábola com concavidade para baixo.

Zero ou raiz :

acba

bxcbxaxxf 4,

200)( 22

(Fórmula de Bhaskara)

Vértice:

aa

bV

4,

2

obs: se a > 0 :

1)ocorre ponto de mínimo em x = vx ;

2)

a

yIRyf4

,)Im( .

obs: se a < 0 :

1)ocorre ponto de máximo em x = vx ;

2)

a

yIRyf4

,)Im( .

Sinal da Função:

1)se a > 0

V

Eixo desimetria

+ + + + + + + + +

x1 = x2

+

x2 _ x1

+

Δ>0 Δ = 0 Δ < 0

17

2)se a<0

Exercicios:

01)Estude o sinal das funções definidas em IR:

a) xy 4

40

40

40

:

xsey

xsey

xsey

R e) 2( ) 2 3f x x x

310)(

310)(

310)(

:

xsexf

xouxsexf

xexsexf

R

b) 3

42)( xxf

32

32

32

0)(

0)(

0)(

:

xsexf

xsexf

xsexf

R f) 2( ) 3 +6 3f x x x

10)(

10)(:

xsexf

xsexfR

c) xy

00

00

00

:

xsey

xsey

xsey

R g) 2( ) 3 4 2f x x x IRxxfR ,0)(:

d) 5 xy

50

50

50

:

xsey

xsey

xsey

R h) 2 1 1

( )2 2

f x x x

10)(

10)(

10)(

:

21

21

21

xsexf

xouxsexf

xexsexf

R

02) Resolva, em IR, as inequações:

a) 0)25)(24( xx 2,25 xouxIRxS

b) 0)35)(14)(23( xxx 23

41

23, xouxIRxS

c) 0)15( 3 x 51, xIRxS

d) 0)34( 4 x 34S

e) 015

43

x

x

43

51, xIRxS

f) 243

25

x

x

3410, xouxIRxS

g) 0232 xx 21, xouxIRxS

h) 010232 xx 4,

25 xIRxS

i) 0144 2 xx 21 IRS

- - - - - - - - -

x1 = x2

-

x2 +

x1

-

Δ>0 Δ = 0 Δ < 0

18 j) 0542 2 xx S

k) 0)572)(672( 22 xxxx 25

23 21, xouxIRxS

l) 0362 23 xxx 3, xIRxS

m) 0232

54

2

2

xx

xx 21,

21

45 xouxouxIRxS

n) 0232

32

2

xx

x

32

212, xouxIRxS

Parte 2 – Aplicações da derivada Exercicios: 01)Determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, os pontos de inflexão e os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções. Utilizando as informações anteriores, faça um esboço do gráfico.

a) 329152)( xxxxf e) 34 2)( xxxf

b) 2533

)( 23

xxx

xf f) x

xxf 1)(

c) 342912)( xxxxf g) x

xxf

2)(

d) 183)( 2331 xxxxf h) 12)( 34 xxxf

02)Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento seja h = -t

2 + 4t +6. Em que instante a bola atinge a sua altura máxima? Qual é a altura máxima atingida pela bola?

R: t=2seg h=10 m 03)O lucro de uma empresa é dado por L(x) = -30x

2 + 360x – 600, em que x é o numero de unidades vendidas. Para que valor

de x é obtido o lucro máximo? R:6 unid

04)Um refrigerante é vendido em latas cilíndricas de volume 350 ml. Calcular o raio da base de modo, que o material gasto na

embalagem seja o mínimo possível. (1 litro = 1000cm3) R: 3 175

cm

05)Uma caixa retangular, sem tampa, tem base quadrada. A área total é 507 cm

2. Achar as dimensões da caixa de volume

máximo satisfazendo estas condições. R: x= 13 cm e y = 6,5 cm 06)Um fazendeiro precisa construir dois currais lado a lado com uma cerca comum. Se cada curral deve ter área retangular de

2400 m2, qual o comprimento mínimo que a cerca deve ter? R: 240 2 m

07)Uma caixa sem tampa será feita recortando-se pequenos quadrados iguais dos cantos de uma folha de papelão medindo 8 cm por 15 cm e dobrando-se os lados para cima. Que tamanho os quadrados das bordas devem ter para que a caixa chegue a

sua capacidade máxima? R: x = cm35

08)Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo. Se o perímetro da janela for 6 m, encontre as dimensões da janela que deixam passar a maior quantidade possível de luz.

R: b = h = 4

12

09)As bordas de cima e de baixo de um pôster tem 6 cm, e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm

2, encontre as dimensões do pôster com a menor área.

R: b = 24 cm e h = 36 cm

19 Resposta 01) a) Pontos críticos em 1x e 5x , crescente em ]5,1[ e decrescente em [,5[]1,] , máximo em 5x e mínimo em 1x

e côncava para cima em [3,] e para baixo em [,3] .

b) Pontos críticos em 1x e 5x , crescente em ]5,1[ e decrescente em [,5[]1,] , máximo em 5x e mínimo em 1x

e côncava para cima em [3,] e para baixo em [,3] .

c) Pontos críticos em 2

1x e 2x , crescente em ]2,[2

1 e decrescente em [,2[],]2

1 , máximo em 2x e mínimo

em 2

1x e côncava para cima em [,]4

3 e para baixo em [,]4

3 .

d) Pontos críticos em 2x e 4x , crescente em [,4[]2,] e decrescente em ]4,2[ , máximo em 2x e mínimo em

4x e côncava para cima em [,3] e para baixo em [3,] .

e) Pontos críticos em 0x e 2

3x , crescente em [,[2

3 e decrescente em ],[2

3 , mínimo em 2

3x e côncava para

cima em [,1][0,] e para baixo em [1,0] .

f) Pontos críticos em 1x e 1x , crescente em [,1[]1,] e decrescente em ]1,0[]0,1[ , máximo em 1x mínimo

em 1x e côncava para cima em [,0] e para baixo em [0,] .

g) Não tem pontos críticos, crescente em [,0[]0,] , não tem máximo e mínimo e côncava para cima em [0,] e para

baixo em [,0] .

h) Pontos críticos em 0x e 2

3x , crescente em [,[2

3 e decrescente em ],]2

3 , não tem máximo e mínimo em

23x e côncava para cima em [,1][1,] e para baixo em [0,1] .