CONCRETO ARMADO I – SLIDES

1.0 CONCEITOS FUNDAMENTAIS

O concreto é um material composto; Sozinho o concreto não é um ‘bom’ elemento resistente, pois, enquanto tem uma boa resistência a compressão, pouco resiste a tração. Dessa maneira, é importante a associação com o aço, disposto longitudinalmente na região tracionada da peça do concreto. Ex: viga apoiada com carregamento concentrados:

2.0 VANTAGENS E DESVANTAGENS

Como todo material que se utiliza para determinada finalidade, o concreto armado apresenta vantagens e desvantagens quanto ao seu uso estrutura.

a. Vantagens: apresenta boa resistência à maioria das solicitações; Boa trabalhabilidade e, por isso adapta-se a várias formas; Permite obter estruturas monolíticas; As técnicas de execução são razoavelmente dominadas em todo o país; Em diversas situações pode competir com o aço em termos econômicos; É um material durável; Apresenta durabilidade e resistência ao fogo; Possibilita a utilização da pré-moldagem, proporcionando maior rapidez e facilidade de execução; É resistente a choques e vibrações, efeitos térmicos, atmosféricos e desgastes mecânicos.

b. Desvantagens: Resultam em elementos com maiores dimensões que o aço, o que, com seu peso específico elevado( y ~25 KN/cm³), acarreta um peso próprio muito grande, limitando seu uso em determinadas situações ou elevando bastante seu custo; As formas e adaptações são, muitas vezes, de difícil execução; É bom condutor de calor e som, exigindo em alguns casos, a associação com outros materiais para sanar o problema; São necessários um sistema de fôrmas e utilização de escoramentos que, geralmente, precisam permanecer no local até que o concreto alcance resistência adequada.

3.0 SISTEMAS E ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Antes de iniciarmos o estudo do concreto armado, é importante analisarmos o comportamento das estruturas para podermos distinguir a diferença entre sistema estrutural e elemento estrutural.

Elemento estrutural: são peças que compõem uma estrutura geralmente com uma ou duas dimensões preponderantes sobre as demais. Ex: lajes, vigas, pilares.

Quando esses elementos são arranjados entre si, formam o que chamamos de sistema estrutural.

A interpretação e análise do comportamento real de uma estrutura são geralmente complexo e difícil, e nem sempre possível, dessa maneira são utilizados técnicas de discretização para facilitar o estudo e conseguir analisar a estrutura com resultados satisfatórios.

4.0 CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES DO CONCRETO

Concreto fresco: consistência, trabalhabilidade, homogeneidade, adensamento, pega e cura.

Concreto endurecido: principais características são mecânicas – destacando a resistência à compressão e à tração.

Os cimentos podem ser considerados como de endurecimento lento, normal e rápido, como os significados das siglas: CP I: cimento comum; CP II: cimento composto; CP III: cimento de alto forno; CP IV: cimento pozolânico; CP V: cimento de alta resistência inicial.

Resistência a compressão:

Resistência características: são de acordo com a NBR 6118/03, os valores que vem e um lote do material, tem certa probabilidade de serem ultrapassadas, no sentido desfavorável para a segurança.

Logo, definiu-se como Fck, o valor apresenta grau de confiança de 95% de probabilidade de ser atingindo, ou 5% abaixo. Então:

Encontrada a resistência características, definiu0se então a resistência de projeto:

Sendo que Yc dependo do tipo de solicitação que a estrutura está sujeita, neste caso, como estamos trabalhando com solicitação normal de uso, a NBR determina que o valor de Yc=1,4.

Resistência à tração: como o concreto resiste mal à tração, geralmente não se conta com essa resistência, entretanto, a resistência à tração pode estar relacionada com a capacidade resistente da peça, como as sujeitas ao esforço cortante, e, diretamente, com a fissuração, por isso é necessário conhece-las. Existem 3 tipos de ensaio de tração

- Flexão tração = 60% da resistência à tração pura;

-Compressão diametral = 85% da resistência à tração pura;

-Tração pura;

De acordo com NBR 6118:2003, item 8.2.5, a resistência à tração indireta Fct,sp e a resistência à tração na flexão Fct,f devem ser obtidos em ensaios realizados segundo as NBR 7222:94 e NBR12142:91. Ainda, a resistência a tração direta Fct pode ser considerada igual a 0,9.Fct,sp ou 0,7Fct,f, ou na falta de ensaios para obtenção, pode ser avaliado o seu valor médio característico por meio das equações:

Diagrama tensão-deformação

Mostra a relação entre “o” .”e” do concreto na compressão

a. Módulo tangente: seu valor é variável em cada ponto e é obtido pela inclinação da reta tangente à curva nesse ponto

b. Módulo de deformação tangente na origem (E0) ou módulo de deformabilidade incial: é obtido pela inclinação da reta tangente à curva na origem

c. Módulo secante (módulo de elasticidade ou módulo de deformação longitudinal à compressão –Ec): seu valor é variável em cada ponto e é obtido pela inclinação da reta que une a origem a esse ponto Ec=o/e

Segundo a NBR 6118:03, item 8.28, o módulo de elasticidade deve ser obtido segundo o descrito na NBR 8522:84, sendo considerado o módulo de deformação tangente inicial cordal a 30% Fc. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade inicial por meio da equação:

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto:

O valor máximo de tensão nas proporções mais solicitandas dos elementos estruturais é σmáx=0,85 fcd,, sendo o fator 0,85 um coeficiente de modificação, cuja função é levar em conta a influência dos outros fatores que interferem na resistência do concreto, mas não aparecem no ensaio de determinação da resistência.

-Efeito deletério do tempo de atuação do carregamento;

-Maturação do concreto;

-Influência da forma geométrica do corpo de prova;

5.0 CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES DO AÇO:

As características mecânicas mais importantes são:

-resistência característica de escoamento (Fyk) que é a máxima tensão que a barra deve suportar, pois a partir desse ponto o aço sofre deformações permanentes;

-limite de resistência;

σ c=0 ,85 f cd [1−(1− ε c

0,2% )2 ]

-alongamento de ruptura;

Nos aços com o patamar de escoamento definidos, a deformação de cálculo , sendo Es o módulo de elasticidade =210 GPa, ,sendo Ys=1,15; pois trata-se de solicitação normal de uso.

Propriedades mecânicas do aço:

Método de cálculo dos estados limites

ELU = último

ELU= utilização ou serviço

De maneira geral, a NBR 6118:03, estabelece, em seu item 12.5, que na verificação da segurança de estruturas de concreto devem ser atendidas as condições construtivas e as condições analíticas de segurança.

6.0 DIMENSIONAMENTO DE UMA ESTRUTURA

Nas condições construtivas de segurança deve-se tomar cuidados especiais em relação aos critérios de detalhamento, especiais em relação aos critérios de detalhamento, ao controle de materiais, conforme as normas específicas, especialmente a NBR 12655:96, e ao controle de execução da obra, conforme a NBR 14931:03 outras normas específicas.

Quantos às condições analíticas de segurança, a NBR 6118:03, item 12.5.2 indica que “as resistências não devem ser menores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os estados-limites e todos os carregamentos especificados para o tipo de construção considerada.

O método dos estados-limites é um processo simplificado de verificação da segurança, visto que uma análise probabilística completa seria difícil e complicada, até mesmo impossível, e por isso é chamado de semiprobabilístico.

Admite-se que a estrutura seja segura quando as solicitações de cálculo forem, no máximo, iguais aos valores que podem ser suportados pela estrutura no estado-limite considerado.

Resumidamente, o método consiste em:

ε yd=f yd

E s

f yd=f yk

γs

Sd≤R d

-adotar os valores característicos para as resistências e para as ações; dessa forma aceita-se que, a priori, as resistências efetivas possam ser superiores aos seus valores característicos;

-cobrir os demais elementos de incertezas existentes no cálculo estrutural pela transformação dos valores característicos em valores de cálculo: minoram-se as resistências e majoram-se as ações.

Coeficientes de ponderação das resistências

As resistências, de acordo com o item 12.4 da NBR 6118:03, deverão ser minoradas pelo coeficiente:

Ym1 = considera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos;

Ym2 = considera a diferença entre a resistência do material no corpo de prova;

Ym3 = considera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências;

Para o estado-limite último, os valores base para verificação são apresentados abaixo no quadro.

Para obras usuais e situações normais em geral, tem-se para o concreto e aço no estado limite-último, os valores respectivos das resistências de cálculo:

Concreto Aço

Estados limites

Os estados limites considerados no cálculo das estruturas de concreto são: estado limite último e estado limite de serviço.

Estado Limite último: é aquele relacionado ao colapso ou a qualquer outra forma de ruína estrutural que determine a paralisação, no todo ou em parte, do uso da estrutura. De acordo com o item 10.3 da NBR 6118:03, a segurança das estruturas de concreto devem ser sempre verificadas em relação aos seguintes estados limites últimos:

γm=γm1⋅γm2⋅γm3

f yd=f yk

γs

→ f yd=f yk

1 ,15f cd=

f ck

γ c

→ f cd=f ck

1,4

a. Perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido;b. Esgotamento da capacidade resistente da estrutura, em seu todo ou em parte, por

causa de solicitações normais ou tangenciais, admite-se, em geral, verificações separadas dessas solicitações;

c. Esgotamento da capacidade resistente da estrutura, em todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;

d. Provocado por solicitações dinâmicas;e. Colapso progressivo;f. Outros que, eventualmente, possam ocorrer em casos especiais.

Estado limite de serviço: conforme o item 10.4 da NBR 6118:03, é aquele relacionado à durabilidade das estruturas, à aparência, ao conforto do usuário e à boa utilização funcional das mesmas, seja em relação aos usuários, às máquinas ou aos equipamentos utilizados.

Ações: denomina-se ação qualquer influência, ou conjunto de influências, capazes de produzir estados de tensão ou deformação em uma estrutura. As ações consideradas classificam-se, de acordo com a NBR 8681:03, em PERMANENTES, VARIÁVEIS e EXCEPCIONAIS.

Ações permanentes: são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida útil da construção.

a. Diretas: são constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes. Yc simples = 2400 Kg/m³ ou 24 KN/m³, Yc concreto armado= 2500 Kg/m³ ou 25 KN/m³.

b. Indiretas: são constituídas por deformações impostas por retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoios, imperfeições geométricas e protensão.

Ações Variáveis: as ações variáveis são classificadas como diretas e indiretas

a. Diretas: são constituídas de cargas acidentais previstas para uso da construção, pela ação do vento e da chuva, devendo-se respeitar as prescrições feitas por normas brasileiras específicas: cargas verticais para uso de construção (pessoa, mobiliários, veículo, materiais diversos, etc); Cargas móveis, considerando o impacto vertical; Impacto lateral; Força longitudinal de fernação ou aceleração; Força centrífuga;

Essas cargas devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o elemento estudado, ressalvadas as simplificações permitidas por normas específicas.

b. Indiretas: são causadas por variações uniformes e não-uniformes de temperatura e por ações dinâmicas.

Ações excepcionais: “no projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com valores definidos, em cada caso particular, por normas brasileiras específicas”. Resumindo, as ações podem ser classificadas, para ocaso de construção usuais e segundo a NBR 6118:03 como:

-permanentes: peso próprio, retração, protensão, fluência e recalque.

-Variáveis: acidental vertical, vento e temperatura.

Valores representativos de ações:

São quantificados por seus valores representativos:

a. Característicos ( Fk) são estabelecidos em função da variabilidade de suas intensidades. (Fqk) correspondem aos que tem probabilidade de 25% a 35% de serem ultrapassados no sentido mais desfavorável durante um período de 50 anos.

b. Excepcionais: arbitrados para as ações excepcionais e não pode ser definidos em norma;

c. Reduzidos: são definidos em função da combinação de ações pra as verificações de ELU e ELS;

Valores de cálculo

Os valores de cálculo (Fd) das ações são obtidos, para as várias combinações, a partir dos valores representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação (Yf) também definidos.

Coeficientes de ponderação:

Yf1= considera a variabilidade das ações;

Yf2= considera a simultaneidade de atuação das ações;

Yf3= considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações;

O desdobramento do coeficiente de ponderação em coeficientes parciais permite que os valores gerais especificados para Yf possam ser discriminados em função das peculiaridades dos diferentes tipos de estruturas e de materiais de construção considerados.

γ f=γ f 1⋅γ f 2⋅γ f 3

O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações na estrutura, de modo a verificar os estados limites últimos e de serviço. Essa análise permite estabelecer as distribuições de esforços internos, as tensões, as deformações e os deslocamentos, em parte ou em toda a estrutura.

Combinações de ações

Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura durante um período pré-estabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos desfavoráveis para a estrutura; a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e de serviço em função de combinações últimas e de serviço, respectivamente. Em todas as combinações, as ações permanentes devem ser tomadas em sua totalidade, das ações variáveis devem ser tomadas apenas as parcelas que produzem efeitos desfavoráveis para segurança. As ações incluídas em cada uma das combinações devem ser consideradas com seus valores representativos, multiplicados pelos respectivos coeficientes de ponderação.

qkqqjkjkqqgkggkgd FFFFFF 001

7.0 VIGAS DE CONCRETO ARMADO

O cálculo da armadura necessária para resistir a um momento fletor é um dos pontos mais importantes no detalhamento das peças de concreto armado. O dimensionamento é feito no estado limite último de ruína, impondo que na seção mais solicitada sejam alcançadas deformações limites específicas dos materiais, ou seja, o estado limite último pode ocorrer tanto pela ruptura do concreto comprimido quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. O estudo das seções de concreto armado tem por objetivo comprovar que, sob

solicitações de cálculo, a peça não supera os estados limites, supondo que o concreto e aço tenham, como resistências reais, as resistências características minoradas. Assim, as solicitações de cálculo são aquelas que, se alcançadas, levarão a estrutura a atingir um estado limite, caracterizando sua ruína.

Tipos de flexão

O momento fletor causa flexão nos elementos estruturais, e nas seções transversais desses elementos surgem tensões normais. Existem diversos tipos de flexão, sendo preciso identificar cada um deles para que seja possível calcular esses elementos. A seguir apresenta-se o conceito de cada um:

a. Flexão normal (simples ou composta): ocorre quando o plano do carregamento ou da sua resultante é perpendicular à linha neutra (LN) – linha de seção transversal em que a tensão é nula – ou em outras palavras, quando o plano contém um dos eixos principais de inércia; neste caso, em seções simétricas, o momento fletor atua no plano de simetria.

b. Flexão oblíqua ( simples ou composta): ocorre quando plano de carregamento não é normal à linha neutra; ou quando o momento fletor tem uma componente normal ao plano de simetria, ou ainda, quando a seção não é simétrica, pela forma ou por suas armaduras.

c. Flexão simples: ocorre quando não há esforço normal na seção (N=0); a flexão simples pode ser normal ou oblíqua.

d. Flexão composta: ocorre quando há esforço normal atuando na seção (N=/0), com ou sem esforço cortante.

e. Flexão pura: corresponde a um caso particular de flexão, em que não há esforço cortante atuando (V=0), nas regiões da viga em que isso ocorre, o momento fletor é constante.

f. Flexão não pura: ocorre quando há esforço cortante atuando na seção.

Nas vigas, geralmente o esforço normal é desprezível e, dessa forma, serão consideradas incialmente apenas flexões normais, simples e pura, em que N e V=0. Será analisado o dimensionamento para um caso bem simples, para posteriormente introduzir novos conceitos e ampliar sua aplicação. Ressalta-se que, com as hipóteses adotadas, a solução deste problema permitirá dimensionar a armadura longitudinal de vigas e lajes, pelo menos nas seções mais solicitadas à flexão.

Processo de colapso de vigas sob tensões normais

A seção transversal central da viga de concreto armado, retangular neste caso, submetida a um momento fletor M crescente, passa por três níveis de deformações, denominadas estádios, os quais determinam o comportamento da peça até a ruína.

Pode-se caracterizar, os três estádios de deformação de uma viga de concreto na flexão normal simples:

a. Estádio I (estado elásticos): sob a ação de um momento Fleto M de pequena intensidade, a tensão de tração no concreto não ultrapassa sua resistência

características à tração. Diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear; As tensões das fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações, correspondentes ao trecho linear d diagrama tensão-deformação do concreto; Não há fissuras visíveis;

b. Estádio II (estado fissuração): aumentando o valor do momento fletor M, as tensões na maioria dos pontos abaixo da linha neutra terão valores superiores ao da resistência característica do concreto à tração. Considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração; Admite-se que a tensão de compressão no concreto continuar linear; As fissuras de tração no concreto na flexão são visíveis.

c. Estádio III: aumenta-se o momento fleto até um valor próximo ao de ruína M. As fibras mais comprimidas do concreto começa a escoar a partir da deformação específica de 0,2%, chegando a atingir, sem aumento de tensão, 0,35%; Diagrama de tensões tende a ficar vertical (uniforme), com quase todas as fibras trabalhando com sua tensão máxima, ou seja, praticamente todas as fibras atingem deformações superiores a 2,0%°; a peça está bastante fissurada, com as fissuras se aproximando da linha neutra, fazendo com que sua profundidade diminua e, consequentemente, a região comprimida de concreto também; Supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um diagrama parábola-retângulo.

Pode-se dizer, simplificadamente que:

Estádios I e II: correspondem às situações de serviço( quando atuam as ações reais);

Estádio III : corresponde aos estado limite último (ações majoradas, resistências minoradas) , que só ocorrem em situações extremas.

O cálculo de dimensionamento das estruturas de concreto armado será feito no estado limite último, pois seu principal objetivo é projetar estruturas que resistam aos esforços de forma econômicas, sem chegar ao colapso. As situações de serviço são importantes, porém muitas vezes o próprio cálculo no estado limite último e o bom detalhamento da armadura conduzem às verificações dessas situações, que deverão ser feitas quando necessário.

Hipótese de cálculo

As hipóteses de cálculo será trabalhado no Estado Limite Último (17.2.2 da NBR 6118/2014)

As seções transversais permanecem planas após o início da deformação até atingir o estado limite último, e são, em cada ponto, proporcionais à sua distância até a linha neutra; Solidariedade dos materiais; Tensão de tração do concreto, normais à seção transversal, são desprezadas; Majora-se as ações e minora-se as resistências (Fcd e Fyd), que estão caracterizadas pela deformação “E”.

Os diversos casos de distribuição das deformações do concreto e do aço definem os DOMÍNIOS.

A. Encurtamento – ecu= 3,5%° nas seções não inteiramente comprimidas; Ecu=2,0%° a 3,5%° nas seções inteiramente comprimidas;

B. Alongamento e seu=10%° para prevenir deformações plásticas;

A tensão nas armaduras são obtidas a partir dos diagramas tensão x deformação. Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo.

D= altura útil;

d’= distância da borda mais comprimida até o CG da armadura

Msd= momento solicitante de projeto

Mrd= momento resistente de projeto

Bw= largura da peça

H= altura total da peça

Z= braço de alavanca

X= altura da linha neutra (LN)

Y= altura da linha neutra reduzida (convencional)

Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção, a cada par de deformações específicas de cálculo, Ec e Es correspondentes a um esforço normal.

Primeiramente é necessário conhecer qual o domínio em que a peça está. A reta ‘a’ e os D1 e 2 correspondem ao estado limite último por deformação plástica excessiva. Os D3, 4, 4a, 5 e a reta b correspondem ao estado limite último convencional por ruptura.

Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão, início Es=10%°, x=-infinito; término Es=10%°, Ec=0;X=0, linha neutra é externa à seção transversal a seção resistente é composta por aço, e não há participação do concreto.

Domínio 2: flexão simples ou composta início Es=10%°, Ec=0,x=0 término Es=10%°, Es=3,5%°, x=0,259.d (ELU caracterizado pela deformação do aço, o concreto não alcança a ruptura Ec<3,5%°; LN corta a seção transversal, a seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido).

Domínio 3: flexão simples ou composta (sub-armada). Seção resistente é composta por tração do aço e compressão do concreto, a ruptura do concreto ocorre simultaneamente ao escoamento do aço( são aproveitado integralmente), situação ideal, os dois atingem a capacidade resistente máxima, a ruína ocorre com aviso. Início Es=10%°, Ec=3,5%°; x=0,259.d término Es=Eyd; Ec=3,5%°, x= ( ELU caracterizado Ec=3,5%°; LN corta a seção transversal – tração, compressão, na fronteira D3,4.

Domínio 4: flexão simples ou composta (super-armadas) Início Es=Eyd; Ec=3,5%°, X=xlimD3, término Es=0, Ec=3,5%°, X=d. (ELU caracterizado Ec=3,5%°, LN corta a seção transversal –tração e compressão- a deformação da armadura é inferior a Eyd, a seção resistente é composta por tração e compressão, a ruptura.

Cálculo da armadura longitudinal em vigas submetidas a flexão

O cálculo da quantidade de armadura longitudinal, para seções transversais retangulares, conhecidos a resistência do concreto (Fck), a largura da seção (bw), a altura útil (d) e o tipo de aço ( Fyd e Eyd), é feito de maneira simples, a partir do equilíbrio das forças atuantes na seção. O concreto armado, antes de chegar ao seu limite máximo de resistência, ou seja, antes de romper por compressão no concreto ou de apresentar grandes fissuras por escoamento no aço, passa por vários domínios de solicitações. Para facilitar os cálculos, substiuí-se o diagrama curvo por um retangular. Nesse caso, para compensar a simplificação, altera-se a posição da LN usando a relação Y=0,8x

Para se calcular linha neutra, tem-se a seguinte equação:

Por semelhança de triângulo

A norma brasileira determina que a deformação do concreto limite para ruptura tenha início em 2,0%° e final a 3,5%°. E para o aço de 10%° e vai até o limite de escoamento Eyd.

Se tensão é força pela área da seção transversal

logo: Fc= força de compressão do concreto

Fs= força de tração no aço

Para que haja equilíbrio o somatório de F=0, deve-se fazer:

xεc

= dε yd+εc

d=h−d 'xd=

εc

ε yd+ε c

σ= FA

∴ F=σ⋅A

Fc=(0 ,85⋅f cd )⋅(bw⋅0,8⋅x )Fc=0 ,68⋅x⋅bw⋅f cd

Fc−F s=0⇒Fc=F s

E o binário entre eles resulta no momento atuante Md, logo:

Portanto:

Para encontrar a armadura é feita utilizando:

zFM sd

xdAfM sydd 4,0

zf

MA

yd

ds

bitola

s

A

Abarrasn

Cálculo da altura mínima: como o maior momento que a seçao pode resistir ocorre quando esta seção está trabalhando no limite D34, é evidente que a menor altura necessária também ocorrerá neste limite. Então, a partir das equações do momento (Md) é possível determinar a altura mínima Dmin.

Da relação:

dxd

x

d

x

sc

c

:

Portanto,

z=d−0,8 x2

→z=d−0,4 xM d=Fc⋅z ou M d=F s⋅z

M d=(0 ,68⋅x⋅d−0 ,272⋅x2 )⋅bw⋅f cd

M d=(0 ,68⋅x⋅d−0 ,272⋅x2 )⋅bw⋅f cd

ξ=εc

ε c+ε s

M d=(0 ,68⋅ξ⋅d2−0 ,272⋅ξ2⋅d2)⋅bw⋅f cd

d=√ M d

bw⋅f cd⋅(0 ,68⋅ξ−0 ,272⋅ξ2)

Em se tratando de flexão simples nos D234, tem sempre Es>0, portanto, E<1. Dessa forma, para que a Dmin ocorra, deve-se ter o maior valor possível de Ee isso acontecerá quando Es for o menor valor possível. Isso ocorre quando Es está no limite D34, onde Es=Eyd.

Portanto,

Fórmulas adimensionais para dimensionamento: sempre que possível, é conveniente trabalhar com fórmulas adimensionais, pois facilita o emprego de diversos sistemas de unidades e permite a utilização de tabelas e gráficos de modo mais racional. Na forma adimensional, as equações ficam:

a. Pela equação do momento:

cdw2

d fbx272,0dx68,0M e dividindo ambos os lados

por cd

2w fdb

, tem-se:

Chamando,

b. Cálculo da linha neutra:

ξ34=0 ,0035

0 ,0035+ε yd

d=√ M d

bw⋅f cd⋅(0 ,68⋅ξ34−0 ,272⋅ξ342)

∴d>dmin⇒ ξ<ξ34⇒ ε>ε yd⇒ D2 ou D3→ peça subarmadad<dmin⇒ ξ>ξ34⇒ ε<ε yd⇒ D4→peça superarmadad=dmin⇒ ξ=ξ34⇒ ε=ε yd⇒ D34→peça normalmente armada

M d

bw⋅d2⋅f cd

=(0 ,68⋅x⋅d−0 ,272⋅x2)⋅bw⋅f cd

bw⋅d2⋅f cd

=0 ,68⋅xd−0 ,272⋅

x2

d2

xd=KXM d

bw⋅d2⋅f cd

=KMD

KMD=(0 ,68⋅KX−0 ,272⋅KX 2 )

KX=εc

εc+ε s

xd=

ε c

εc+εs

c. Expressão que fornece o braço de alavanca (Z=d-0,4x), dividindo os dois lados por “d”, tem-se:

Chamando, e lembrando que , tem-se:

d. Cálculo da armadura , como

zd=d−0,4⋅x

d⇒ z

d=1−0,4⋅x

d

KZ=1−0,4⋅KXxd=KX

zd=KZ

z=( KZ )⋅dAs=M d

z⋅f yd

As=M d

( KZ )⋅d⋅f yd