UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL Departamento de Estruturas

EC 702 CONCRETO ARMADO I

SOLICITAES NORMAIS CLCULO NO ESTADO LIMITE LTIMO

PROF. DR. GILSON B. FERNANDES

P GR 702 501- RVERSO REVISTA POR: PROF. DR. MARIA CECILIA A. TEIXEIRA DA SILVA MONITORAS PED REGINA MANTOVANI MATSUI SUSANA LIMA PIRES

CAMPINAS FEVEREIRO/2006

1 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 6 7 7.1 7.2 7.3 7.4

INTRODUO........................................................................................................................................... 3 DIAGRAMAS TENSO-DEFORMAO DOS AOS.............................................................................. 4 DIAGRAMAS CARACTERSTICOS ................................................................................................. 4 DIAGRAMAS DE CLCULO ............................................................................................................ 4 VALORES DE CLCULO................................................................................................................. 5 DIAGRAMA TENSO-DEFORMAO DO CONCRETO ........................................................................ 7 HIPTESES DE CLCULO ...................................................................................................................... 9 DOMNIOS DE DEFORMAES............................................................................................................ 12 EQUAES DE EQUILBRIO E DE COMPATIBILIDADE ..................................................................... 15 FLEXO NORMAL SIMPLES ................................................................................................................. 18 INTRODUO ............................................................................................................................... 18 POSIO DA LINHA NEUTRA ...................................................................................................... 19 DEFORMAO E TENSO NA ARMADURA As ........................................................................... 19 DEFORMAO E TENSO NA ARMADURA As .......................................................................... 22

7.5 CLCULO DE VERIFICAO DE SEES RETANGULARES ................................................... 23 7.5.1 SEES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES ...................................................... 23 7.5.2 SEES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA.......................................................... 25 7.6 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES RETANGULARES ........................................ 26 7.6.1 SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES ............................................................. 27 7.6.2 SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA ................................................................. 29 7.7 VIGAS DE SEO T NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ...................................................... 31 7.7.1 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES T COM ARMADURA SIMPLES ............... 33 7.7.2 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES T COM ARMADURA DUPLA................... 35 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 FLEXO NORMAL COMPOSTA FORA NORMAL DE COMPRESSO .......................................... 37 INTRODUO ............................................................................................................................... 37 FLEXO NORMAL COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE ......................................... 37 FLEXO NORMAL COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE ....................................... 41 COMPRESSO NO UNIFORME ................................................................................................. 44 INTERAO DE MOMENTO FLETOR E FORA NORMAL NA FLEXO-COMPRESSO ........... 47

8.6 FNC - CLCULO DE VERIFICAO EM SEES RETANGULARES ........................................ 53 8.6.1 INTRODUO........................................................................................................................... 53 8.6.2 FLEXO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE..................................................... 53 8.6.3 FLEXO COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE................................................... 56 8.6.4 COMPREESO NO UNIFORME ............................................................................................ 57 9 10 COMPRESSO UNIFORME ................................................................................................................... 61 FLEXO NORMAL COMPOSTA FORA NORMAL DE TRAO .................................................... 63 10.1 10.2 10.3 11 12 INTRODUO ............................................................................................................................... 63 FLEXO-TRAO............................................................................................................................ 63 TRAO NO UNIFORME............................................................................................................ 68

TRAO UNIFORME ............................................................................................................................. 70 FLEXO OBLQUA................................................................................................................................. 72 12.1 12.2 CLCULO EXATO ......................................................................................................................... 72 SUPERFCIES DE INTERAO E DIAGRAMAS DE INTERAO .............................................. 74

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INTRODUO

O estudo das sees de concreto armado tem por finalidade verificar se sob a ao das solicitaes majoradas (solicitaes de clculo) a pea no supera cada um dos estados limites, admitindo que os materiais (concreto e ao) tenham como resistncia real a resistncia minorada (resistncia de clculo). Neste texto, se estabelecem as bases de clculo de sees de concreto armado submetidas a solicitaes normais nos estados limites de deformao plstica excessiva e de ruptura. Denominam-se solicitaes normais as que originam tenses normais nas sees transversais dos elementos estruturais. Compreendem, neste caso, fora normal e momento fletor, ambos referidos ao centro de gravidade da seo transversal de concreto. Uma seo de concreto armado, submetida a solicitaes normais, pode atingir o estado limite ltimo de trs formas: por excesso de deformao plstica do ao da armadura, por esmagamento do concreto na flexo ou por esmagamento do concreto na compresso. a) Estado de deformao plstica excessiva: nas peas submetidas trao ou flexo com quantidades pequenas de armadura, admite-se que o estado limite ltimo seja atingido em virtude de deformao plstica excessiva da armadura, cujo valor se fixa em 1%. b) Estados de ruptura: em peas submetidas flexo simples ou flexo composta, com quantidades mdias ou grandes de armadura, o estado limite ltimo atingido por esmagamento do concreto comprimido para deformaes da ordem de 0,35% e em peas submetidas compresso uniforme ou compresso no uniforme o estado limite ltimo atingido por esmagamento do concreto para deformaes da ordem de 0,2%. O Cdigo Modelo do C.E.B. e a Norma Brasileira NBR 6118:2003 preconizam para o estudo das sees de concreto armado nas formas de runa vistas, um mtodo que cobre de maneira contnua todos os casos de solicitaes normais, desde a trao uniforme at a compresso uniforme, incluindo as fases intermedirias de solicitaes combinadas.

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DIAGRAMAS TENSO-DEFORMAO DOS AOS

2.1 DIAGRAMAS CARACTERSTICOSDe acordo com a NBR-6118:2003, pode-se adotar o diagrama tenso-deformao caracterstico simplificado, indicado na figura 2.1, para aos com ou sem patamar de escoamento. Para os aos, adota-se um diagrama bi-retilneo formado pela reta de Hooke e um segmento reto paralelo ao eixo das deformaes, cuja ordenada corresponde resistncia caracterstica, fyk.

Figura 2.1

Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelos fabricantes, a NBR 6118:2003 admite a adoo do mdulo de elasticidade do ao: ES = 210.000 MPa Para esses aos, embora o efeito Bauschinger possa no ser desprezvel, admitese um comportamento na compresso anlogo ao na trao. Na parte correspondente trao, o alongamento limitado em 1%, ou seja, ao valor que caracteriza o estado limite de deformao plstica excessiva. Na parte correspondente compresso, o encurtamento limitado em 0,35% porque o concreto comprimido solidrio s armaduras sofre ruptura com encurtamentos no superiores a 0,35%.

2.2 DIAGRAMAS DE CLCULOOs diagramas de clculo dos aos so obtidos a partir dos diagramas caractersticos mediante uma translao efetuada paralelamente reta de Hooke. 4

Para os aos, admite-se um diagrama de clculo como o apresentado na figura 2.2, ou seja, bi-retilneo, formado pela reta de Hooke e um segmento reto paralelo ao eixo f yk das deformaes e cuja ordenada corresponde resistncia de clculo: f yd = .

s

Figura 2.2

A parte do diagrama correspondente compresso anloga quela que corresponde trao. O limite para o alongamento 1% e o encurtamento mximo 0,35%. As resistncias de clculo f yd = f yk

s

e

f ycd =

f yck

s

so obtidas a partir das resistncias caractersticas fyk e fyck determinadas experimentalmente. Na falta de determinao experimental, fyk e fyck podem ser consideradas iguais e com o valor mnimo nominal de fyk fixado pela NBR 7480:1996.

2.3 VALORES DE CLCULOAs relaes tenso-deformao para os aos so as seguintes:

s = E s s , se s yd

s = f yd , se

s yd

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Figura 2.3

Os valores das resistncias e deformaes de clculo para os aos da NBR 7480:1996 so os que se apresentam na tabela abaixo. Tais valores foram determinados para s = 1,15 e Es = 210.000 MPa.

fyk Aos (MPa) CA-25 CA-50 CA-60 250 500 600

fyd (MPa) 217,4 434,8 521,7

yd 0,001035 0,002070 0,002484

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DIAGRAMA TENSO-DEFORMAO DO CONCRETO

A distribuio de tenses no concreto nas sees submetidas flexo e compresso, na proximidade da ruptura, depende de muitos fatores tais como: posio da linha neutra; velocidade de aplicao da carga; durao da carga; quantidade de armadura; forma da seo; resistncia do concreto; idade do concreto ao ser aplicada a carga; composio do concreto condies climticas.

Por essa razo, praticamente impossvel conseguir uma nica distribuio real de tenses que corresponda a todas as situaes existentes. Alm disso, deve-se considerar que, durante os primeiros anos de vida, o concreto passa por um perodo em que sofre um amadurecimento acompanhado pela hidratao do cimento, pela transformao dos produtos da hidratao desde o estado de gel at a cristalizao e por um processo de secagem. Enquanto isso, a resistncia, o mdulo de deformao e as caractersticas de fluncia do concreto sofrem variaes com o tempo. Simultaneamente, ocorrem deformaes que dependem da tenso no concreto e influem na distribuio das tenses. Por todos esses motivos, a distribuio de tenses na zona comprimida pode oscilar entre um tringulo ligeiramente arredondado e uma parbola, cujo valor mximo no est situado na borda da seo, mas no seu interior. Na borda comprimida a deformao poder estar compreendida entre 0,2% e 1%. Mesmo que se tentasse empregar, em cada caso de dimensionamento, o diagrama da distribuio de tenses correspondente s condies existentes, no seria possvel ser fiel realidade. Dificilmente seria possvel prever o histrico do carregamento, a idade do concreto quando ele comeasse a atuar e o grau de solicitao que aconteceria. Por essas razes deve-se utilizar um diagrama que, em cada caso, corresponda s situaes mais desfavorveis, podendo-se conservar a conveno, j aceita, de que com a idade de 28 dias uma parte ou elemento da estrutura j est em condio de poder resistir combinao mais desfavorvel dos carregamentos. Os estudos experimentais desenvolvidos nesse sentido, considerando combinaes de fora normal e momento fletor, cargas de curta e de longa durao, formas diferentes de seo, quantidades diferentes de armadura, etc., revelaram que o diagrama parbola - retngulo da figura 3.1 permite determinar, com preciso suficiente para a prtica, a solicitao de ruptura de uma seo qualquer nas condies mais desfavorveis. 7

Figura 3.1

Esse diagrama no cpia de alguma distribuio verdadeira de tenses. um diagrama idealizado e que se justifica por levar a resultados concordantes com os obtidos experimentalmente. Conforme a NBR 6118:2003, o diagrama tenso-deformao do concreto compresso, a ser usado no clculo, compe-se de uma parbola do 2 grau que passa pela origem e tem seu vrtice no ponto de abscissa 0,2% e ordenada 0,85 fcd e de um segmento reto entre as deformaes de 0,2% e 0,35% tangente parbola e paralelo ao eixo das abscissas figura 3.2.

c = 0,85. f cd [1 (1

c0,002

)2 ]

Figura 3.2

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HIPTESES DE CLCULO

As hipteses de clculo no estado limite ltimo de ruptura ou de deformao plstica excessiva, nos casos de flexo simples ou flexo composta, normal ou oblqua, e de compresso ou trao uniforme, excludas as vigas paredes e os consolos curtos, so as seguintes: a) Sob a influncia das solicitaes normais, as sees transversais permanecem planas (hiptese de Bernouilli). Como resultado, as deformaes das fibras de uma seo so proporcionais s suas distncias linha neutra, ou seja, o diagrama de deformaes na seo transversal retilneo (figura 4.1).

Figura 4.1

b) A resistncia trao do concreto desprezada. Em virtude da baixa resistncia que o concreto apresenta quando tracionado, na regio da seo em que a solicitao produz tenses de trao admite-se que o concreto esteja fissurado. Disso decorre que todas as foras internas de trao devem ser resistidas por armadura.

c) Admite-se que haja aderncia perfeita entre a armadura e o concreto adjacente no fissurado. Em vista disso, a deformao nas barras da armadura a mesma do concreto que as envolve.

d) O alongamento especfico su mximo permitido na armadura de trao 1%. Este limite adotado convencionalmente por considerar-se que a esse valor correspondem fissurao excessiva do concreto e deformao excessiva da pea, dando-se por esgotada sua capacidade resistente.

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e) O encurtamento de ruptura do concreto nas sees no inteiramente comprimidas de 0,35% e nas sees inteiramente comprimidas, o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasio da ruptura, varia de 0,35% a 0,20%, mantendo-se constante e igual a 0,20% a deformao a 3/7 da altura total da seo a partir da borda mais comprimida (figura 4.2).

Figura 4.2

O encurtamento de ruptura do concreto sofre influncia de vrios fatores como velocidade de deformao, forma da seo transversal e posio da linha neutra na seo. O fato de se admitir o encurtamento de ruptura do concreto conforme o critrio exposto uma hiptese simplificadora. Na verdade, os resultados experimentais justificam os valores 0,35% para as sees no inteiramente comprimidas e 0,20% para as sees comprimidas uniformemente. Ao mesmo tempo, parece lgico supor uma passagem contnua do valor 0,35% para o valor 0,20% para os casos de compresso no uniforme, conforme mencionado na presente hiptese.

f) A distribuio das tenses no concreto na seo transversal se faz de acordo com um diagrama parbola - retngulo (figura 4.3) baseado no diagrama tensodeformao adotado para o concreto. Permite-se a substituio desse diagrama por um retngulo de altura y = 0,8 x, com a seguinte tenso: 0,85 fcd no caso em que a largura da seo medida paralelamente linha neutra no diminui a partir desta para a borda comprimida; 0,80 fcd no caso contrrio.

Figura 4.3

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Para os clculos de verificao e dimensionamento, torna-se necessrio admitir uma forma para a distribuio da curva de tenses de compresso na seo de concreto. Estudos comparativos entre vrias formas adotadas para essa distribuio de tenses evidenciaram que uma distribuio composta por uma parbola do 2 grau desde a linha neutra at a fibra com deformao de 0,20% completada com um segmento reto at a borda mais comprimida, onde a tenso vale 0,85 fcd, fornece boa concordncia com os resultados obtidos experimentalmente. O diagrama parbola - retngulo vlido para qualquer forma de seo transversal e pode ser usado tambm na flexo oblqua. Ao mesmo tempo, verifica-se que se consegue boa aproximao de clculo com uma distribuio retangular de tenses com altura igual a 80% da profundidade da linha neutra real e com tenso igual a 0,85 fcd ou 0,80 fcd conforme exposto anteriormente. O diagrama retangular de tenses adotado fornece uma resultante de tenses que concorda em intensidade e ponto de aplicao com o que lhe corresponde ao diagrama parbola - retngulo. No entanto, diferenas apreciveis se verificam quando a linha neutra se situa muito prxima borda comprimida porque as tenses correspondem parte curva da distribuio real de tenses e, portanto, com valor inferior a 0,85 fcd. O coeficiente redutor da resistncia de clculo do concreto considera a diminuio da resistncia do mesmo por influncia da deformao lenta (efeito Rusch) causada por aes de longa durao e, considera tambm, a diminuio da resistncia decorrente da elevao de parte da argamassa superfcie e da exudao da gua, que afetam a resistncia da parte superior de concreto, onde podero ocorrer as mximas tenses de compresso.

g) A tenso na armadura a correspondente deformao determinada de acordo com as hipteses anteriores e obtida do diagrama tenso-deformao do ao correspondente.

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DOMNIOS DE DEFORMAES

As configuraes possveis do diagrama de deformaes correspondentes ao estado limite ltimo para uma seo submetida a solicitaes normais sugerem a delimitao de regies, chamadas domnios de deformaes, onde poder estar contido o diagrama de deformaes referente a um determinado caso de solicitao normal quando o estado limite ltimo for atingido. Na figura 5.1 esto representados os domnios de deformaes e as retas que correspondem aos limites entre cada um deles.

Figura 5.1

Os domnios 1 e 2 correspondem ao estado limite de deformao plstica excessiva e so fixados pelo ponto A, que corresponde ao alongamento de 1%. Para todas as situaes correspondentes aos domnios 1 e 2 a reta do diagrama de deformao passa pelo ponto A. Os domnios 3, 4 e 4a referem-se ao estado limite de ruptura do concreto na flexo e so fixados pelo ponto B, que corresponde ao encurtamento de 0,35% na borda mais comprimida da seo. Para todas as situaes correspondentes aos domnios 3, 4 e a reta do diagrama de deformaes passa pelo ponto B. O domnio 5 corresponde ao estado limite de ruptura do concreto na compresso e fixado pelo ponto C que corresponde ao encurtamento de 0,2% na fibra distante (3/7)h da borda mais comprimida da seo. Para todas as situaes referentes ao domnio 5 e a reta do diagrama de deformaes passa pelo ponto C. A posio da linha neutra na seo definida pela distncia x da linha neutra at a borda mais comprimida da seo. Na figura 5.1 so indicadas as posies da linha neutra para as situaes limites entre os domnios de deformaes.

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RETA a A reta a corresponde trao uniforme, caso em que toda a seo tracionada de modo uniforme. A deformao na seo representada por uma reta paralela face da seo, que a origem das deformaes. A posio da linha neutra dada por x=-. O estado limite ltimo atingido por deformao plstica excessiva da armadura sendo caracterizado por um alongamento de 1%. Por isso, a reta a, que representa as deformaes no estado limite ltimo para o caso da trao uniforme, passa pelo ponto A, que corresponde a um alongamento de 1% na armadura. A seo resistente constituda somente pelas armaduras, pois o concreto tracionado considerado fissurado.

DOMNIO 1 O domnio 1 corresponde ao caso de trao no uniforme. Toda a seo tracionada, mas de modo no uniforme. A linha neutra externa seo e a reta do diagrama de deformaes na seo passa pelo ponto A correspondente a um alongamento de 1% na armadura mais tracionada. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x > - at x 0. O estado limite ltimo caracterizado por deformao plstica excessiva da armadura. A seo resistente composta apenas pelas armaduras, no havendo participao resistente do concreto.

DOMINIO 2 Abrange os casos de flexo simples e flexo composta com grande excentricidade. A linha neutra interna seo transversal, estando uma parte desta sujeita compresso. Este domnio corresponde s situaes em que o alongamento da armadura atinge 1% e o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto inferior a 0,35%. A reta do diagrama de deformaes na seo passa pelo ponto A, correspondente a um alongamento de 1% na armadura. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x > 0 at x < 0,259d. O estado limite ltimo atingido por deformao plstica excessiva da armadura, no se verificando ruptura do concreto na zona comprimida da seo.

DOMNIO 3 O domnio 3 corresponde flexo simples e flexo composta com grande excentricidade. A linha neutra interna seo e a reta do diagrama de deformaes na seo passa pelo ponto B, correspondente a um encurtamento de 0,35% na borda comprimida. Abrange os casos em que no estado limite ltimo o encurtamento de 0,35% alcanado na borda comprimida da seo e o alongamento na armadura est compreendido entre 1% e yd, deformao que corresponde ao incio do escoamento do ao. O estado limite ltimo caracterizado pela ruptura do concreto comprimido aps o escoamento da armadura. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x = 0,259d at x xy. Esta a situao desejvel para projeto, pois os materiais so aproveitados de forma econmica e a runa poder ser avisada pelo aparecimento de muitas fissuras motivadas pelo escoamento da armadura. As peas de concreto armado nestas condies so denominadas peas sub-armadas.

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DOMNIO 4 O domnio 4 abrange os casos de flexo simples e de flexo composta com grande excentricidade. A linha neutra interna seo e a reta do diagrama de deformaes na seo passa pelo ponto B. Refere-se aos casos em que no estado limite ltimo o encurtamento de 0,35% alcanado na borda comprimida de seo e o alongamento na armadura est situado entre yd e 0. O estado limite ltimo caracterizado pela ruptura do concreto comprimido sem que haja escoamento da armadura. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x > xy at x < d. Apesar do aparecimento eventual de fissuras, estas possuem abertura muito fina no instante que ainda precede a ruptura. Esta se d de modo brusco e sem aviso, porque o concreto sofre esmagamento na zona comprimida da seo antes que a armadura tracionada possa permitir a abertura de fissuras visveis que sirvam de advertncia. As peas de concreto armado nestas condies so denominadas peas super-armadas e devem ser evitadas tanto quanto possvel. Na flexo simples esta situao sempre poder ser evitada, contudo, na flexo composta nem sempre.

DOMNIO 4a O domnio 4a corresponde flexo composta com pequena excentricidade. As armaduras so comprimidas e existe somente uma pequena regio de concreto tracionada prxima a uma das bordas da seo. S poder ocorrer na flexo-compresso. A linha neutra interna seo, mas situa-se entre a armadura menos comprimida e a borda tracionada da seo. Cobre o campo de profundidade da linha neutra de x d at x < h. A reta do diagrama de deformaes na seo passa pelo ponto B. O estado limite ltimo caracterizado pela ruptura do concreto com encurtamento de 0,35% na borda comprimida, sem aparecimento de fissuras.

DOMNIO 5 O domnio 5 refere-se compresso no uniforme, com toda a seo de concreto comprimida. A linha neutra externa seo e a reta do diagrama de deformaes na seo passa pelo ponto C, afastado da borda mais comprimida de 3/7 da altura total da seo e correspondente a um encurtamento de 0,20%. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x h at x < +. O estado limite ltimo atingido pela ruptura do concreto comprimido com encurtamento na borda mais comprimida situado entre 0,35% e 0,20%, dependendo da posio da linha neutra, mas constante e igual a 0,20% na fibra que passa pelo ponto C.

RETA b A reta b corresponde compresso uniforme, caso em que toda a seo comprimida de modo uniforme. A deformao na seo representada por uma reta paralela face da seo, que a origem das deformaes. A posio da linha neutra dada por x = + . O estado limite ltimo atingido por ruptura do concreto com um encurtamento de 0,20%. Por isso, a reta b que representa as deformaes no estado limite ltimo para o caso da compresso uniforme, passa pelo ponto C, que corresponde a um encurtamento de 0,20%. A seo resistente constituda pelo concreto e pelas armaduras, sendo a deformao nestas igual do concreto, ou seja, 0,20%. 14

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EQUAES DE EQUILBRIO E DE COMPATIBILIDADE

O estudo geral das sees de concreto armado, submetidas a solicitaes normais no estado limite ltimo de ruptura ou de deformao plstica excessiva, deve tratar de sees com forma qualquer com uma distribuio qualquer de armaduras. Neste trabalho trata-se somente de sees, com um eixo de simetria, submetidas a solicitaes normais que atuam segundo um plano que contm esse eixo e com um par de armaduras principais As e As. Considere-se uma seo de forma qualquer, mas simtrica em relao ao plano de flexo, submetida a uma fora normal Nu e a um momento fletor Mu, relativos ao centro de gravidade da seo transversal, e com armaduras As e As (figura 6.1).

Figura 6.1

A notao empregada a seguinte: Nu = valor ltimo da fora normal N;

Mu = valor ltimo do momento fletor M; As = rea da seo transversal da armadura mais tracionada ou menos comprimida;

As = rea da seco transversal da armadura mais comprimida ou menos tracionada; h= d= d = x= y= by = altura total da seo; altura til da seo; distncia do centro de gravidade da armadura at a borda mais prxima da seo; distncia da linha neutra at a borda mais comprimida ou menos tracionada da seo; ordenada contada a partir da borda mais comprimida; largura da seo na ordenada y; 15

c =

tenso de compresso no concreto;

cy = tenso de compresso no concreto na ordenada y; s = s =Rc = Rs = tenso na armadura As; tenso na armadura As; resultante das tenses de compresso no concreto; resultante das tenses na armadura As;

Rs = resultante das tenses na armadura As; zc = distncia do ponto de aplicao da resultante de compresso no concreto ao centro de gravidade da armadura As.

Como a flexo-compresso constitui-se na solicitao mais freqente, considera-se a fora normal com sinal positivo quando for de compresso e com sinal negativo quando for de trao. O momento fletor considerado positivo quando provocar trao na borda inferior da seo. As tenses internas e suas resultantes so consideradas positivas quando de compresso e negativas quando de trao. O sistema de esforos constitudo por Nu e Mu referidos ao eixo baricntrico da seo transversal de concreto pode ser reduzido a um sistema equivalente formado pela fora normal Nu aplicada com excentricidade e em relao ao centro de gravidade da seo de concreto (figura 6.2), onde:

e=

Mu Nu

A excentricidade es de Nu em relao ao centro de gravidade da armadura As (figura 6.2) vale:

es = e +

d d' 2

Figura 6.2

A excentricidade e considerada positiva a partir do centro de gravidade da seo transversal at a sua borda mais comprimida e a excentricidade es tomada como positiva a partir do centro de gravidade da armadura As at a borda mais comprimida da seo transversal. 16

Considerando-se as resultantes internas como indica a figura 6.1 e referindo-se os momentos dessas resultantes ao centro de gravidade da armadura As, as equaes de equilbrio no estado limite ltimo so escritas na forma seguinte: N u = Rc + R s '+ R s N u .e s = Rc z c + R s ' (d d ' )

N = h b dy + A ' ' + A s s s s u 0 y cy h N u .e s = b y cy (d d ' )dy + As ' ' s (d d ' ) 0

onde os sinais dos esforos so considerados conforme a conveno adotada. Considerando-se positivos os encurtamentos e negativos os alongamentos a equaes de compatibilidade das deformaes tem a seguinte forma:

cx

=

'sx d'

=

sxd

Nesta equao:

c = s = s =

deformao especfica do concreto na borda mais comprimida (ou menos tracionada) deformao especfica na armadura As deformao especfica na armadura As

Com a conveno apresentada, as equaes de equilbrio e de compatibilidade de deformaes so vlidas para qualquer domnio de deformaes e para qualquer caso de solicitao normal, desde a trao uniforme at a compresso uniforme, passando pelos casos intermedirios de flexo simples e solicitaes combinadas. Neste trabalho, as tenses e as deformaes sero consideradas em valor absoluto. As resultantes internas de compresso e de trao j sero orientadas no sentido do esforo aplicado e os sinais correspondentes sero includos nas expresses de clculo. O momento Mu ser considerado sempre positivo e a fora normal ser positiva quando de compresso e negativa quando de trao.

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FLEXO NORMAL SIMPLES

7.1 INTRODUOFlexo simples aquela que se verifica com ausncia de fora normal. Flexo normal aquela em que o plano de flexo contm um dos eixos principais de inrcia da seo. Na flexo normal simples a linha neutra situa-se entre a borda comprimida da seo e a armadura tracionada: 0 < x < d. Ocorre nos domnios 2, 3 e 4 de deformaes.

Equaes de Equilbrio

0 = Rc + Rs Rs Mu = Rc zc + Rs (d d)

Rc Rs Rs Mu d d zc bw

resultante de compresso no concreto resultante de compresso na armadura comprimida (As) resultante de trao na armadura tracionada (As) valor ltimo do momento fletor altura til da seo (distncia do CG da armadura tracionada at a borda comprimida da seo) distncia do CG da armadura comprimida at a borda comprimida da seo distncia do ponto de aplicao de Rc ao CG da armadura tracionada largura da alma da seo

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Equaes de Compatibilidade

c ,ux

=

'sx d'

=

sdx

x

distncia da LN at a borda comprimida encurtamento de ruptura do concreto na borda comprimida encurtamento da armadura comprimida alongamento da armadura tracionada

c,u s s

7.2 POSIO DA LINHA NEUTRAA posio da linha neutra pode ser relacionada com as deformaes na borda comprimida da seo e sua armadura tracionada. Da equao de compatibilidade:

c ,ux

=

sdxx d

x=

c ,u c ,u + s

d

Definio:

x =

x: coeficiente adimensional que fornece a posio relativa da LN naseo. Sendo: x =

c ,u c ,u + s

d

tem-se

x =

c ,u c ,u + s

7.3 DEFORMAO E TENSO NA ARMADURA AsAsrea da seo transversal da armadura tracionada deformao na armadura tracionada (alongamento) tenso na armadura tracionada

s s

a) Domnio 2:

0 < x < 0,259d 0 < x < 0,259

0 < c < c,u = 0,35%

s = s,u = 1% > yd s = fyd19

b) Domnio 3:

0,259d x xy 0,259 x xy

c = c,u = 0,35% yd s 1% s = fydsees sub-armadas

Definio:

xy

valor de x quando c = c,u = 0,35% e s = yd valor de x quando c = c,u = 0,35% e s = yd

xyxy =

c ,u d c ,u + yd

xy =

c ,u c ,u + yd

xy =

0,0035 0,0035 + yd

Para que s = fyd preciso que x xy Obs.: xy tambm denominado de xlim.

Aos CA-25 CA-50 CA-60

yd 0,001035 0,002070 0,002484

xy 0,772 0,628 0,585

c) Domnio 4:

xy < x < d xy < x < 1

c = c,u = 0,35%0 < s < yd 0 < s < fydsees super-armadas

c ,ux

=

sdx

s = c ,u dx x1 x

dx x

s = 0,0035

s = 0,0035Relao x do ao:

x

Para 1> xy > x Portanto:

tem-se

0 < s < yd

0 < s < fyd

(reta de Hooke)

s = Es s20

d) Comentrios: 1) No dimensionamento, a situao mais recomendvel para x < xy, isto , sees sub-armadas. 2) As vantagens dessa situao so:

ruptura com aviso (devido ao escoamento do ao e aparecimento de muitas fissuras); maior economia (por aproveitar toda a capacidade resistente do ao).

3) A ruptura das peas super-armadas brusca e sem aviso sendo, por isso, essa situao evitada na flexo simples. 4) Deve-se tambm evitar o dimensionamento com x de valor muito baixo (no domnio 2, em geral para x < 0,15) porque resulta uma quantidade muito pequena de armadura conduzindo a uma ruptura frgil. Para isso preciso que a taxa de armadura seja maior ou igual taxa mnima de armadura (NBR 6118:2003 - item 17.3.5.2.1 Tabela 17.3)

Tabela 17.3 Taxas mnimas de armadura de flexo para vigas (fonte: NBR 6118:2003) Valores de min1) em % (As,min/Ac) Forma da Seo

min

fck

20

25

30

35

40

45

50

Retangular 0,035 T (mesa comprimida) T (mesa tracionada) Circular 0,0701)

0,15

0,15

0,173

0,201

0,230

0,259

0,288

0,024

0,15

0,15

0,15

0,150

0,158

0,177

0197

0,031

0,15

0,15

0,153

0,178

0,204

0,229

0,255

0,230

0,288

0,345

0,403

0,460

0,518

0,575

Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupem uso de ao CA-50, c =1,4, s=1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, min deve ser recalculado com base no valor de min dado.

Nota Nas sees tipo T, a rea da seo a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

21

7.4 DEFORMAO E TENSO NA ARMADURA AsAsrea da seo transversal da armadura comprimida deformao na armadura comprimida (encurtamento) tenso na armadura comprimida

's 's

a) DOMNIO 2:

0 < x < 0,259d 0 < x < 0,259

0 < c < c,u = 0,35%

s = s,u = 1%

'sx d'

=

sdx

's = s

x d' dx

' s = 0,010Definio :

x d' dx

=

d' d

' s = 0,010

x 1 x

b) DOMNIO 3 e 4:

0,259d < x < d 0,259 < x < 1

c = c,u = 0,35%0 < s 1%

'sx d'

=

c ,ux

' s = c ,u x d' x

x d' x

' s = 0,0035

' s = 0,0035

x x

Relao x do ao: Definio:

xy

valor de x quando s = yd (nos domnios 2, 3 ou 4)

22

O valor de xy obtido, para cada ao, por uma das duas expresses de s vistas anteriormente (conforme corresponda aos domnios 2, 3 ou 4) admitindo-se s = yd. Para que s = fycd preciso que s yd .

Aos CA-25 CA 50 CA 60

yd 0,001035 0,002070 0,002484

=0,05 0,139 0,213 0,239

=0,08 0,166 0,238 0,276

xy =0,10 0,184 0,254 0,345

=0,12 0,203 0,294 0,414

=0,15 0,230 0,367 0,517

-

quando x xy tem-se s yd e portanto s = fycd quando x < xy tem-se s < yd e portanto s = Es.s com s dado por uma das expresses apresentadas anteriormente, conforme o domnio.

c) COMENTRIOS: 1) Quando x desprezar a armadura As e considerar somente a armadura As. 2) No caso em que x , recalcular x considerando somente a armadura As

7.5 CLCULO DE VERIFICAO DE SEES RETANGULARESAdotar-se- nos clculos o diagrama retangular de tenses de compresso como permitido pela NBR 6118:2003.

7.5.1 SEES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES Denominam-se sees com armadura simples aquelas que possuem armadura somente do lado tracionado (As).

Equaes de equilbrio

0 = Rc Rs Mu = Rc .zc = Rs .zc23

Ento:

0 = bw y 0,85 fcd - As s y y M u = bw y 0,85 f cd (d ) = As s (d ) 2 2

Rc = bw y 0,85 fcd Rs = As s zc = d y = 0,8 x y 2

x =

x d

x = x d

y = 0,8 x d

Ento:

0 = bw d 0,68 x fcd - As s Mu = bw d2 0,68 x fcd (1 0,4 x) = As s d. (1 0,4 x)

(1a equao) (2a equao)

Nos casos de verificao conhecem-se as dimenses da seo de concreto (bw, h, d), a rea da seo transversal da armadura (As) e as resistncias de clculo do concreto (fcd = fck / c) e do ao (fyd = fyk / s). Procura-se o momento ltimo Mu ou o momento mximo M que a seo poder suportar em servio. Da 1a equao de equilbrio:

x =

As s bw .d .0,68. f cd

-

Admite-se s = fyd e calcula-se x Se x calculado xy, a hiptese est correta (s = fyd) Se x calculado > xy, a hiptese feita est incorreta (s < fyd). Deve-se corrigir x corrigindo-se o valor adotado para s. Coloca-se s em funo de x, Es e s. Corrige-se a tenso e recalcula-se x.

A tenso no ao calculada pela expresso:

s = Es s

24

A deformao s vale:

s = 0,0035

1 x

x

-

Com o valor correto de x a 2a equao fornece Mu.

M u = bw d 2 0,68 x f cd (1 0,4 x )

ou

M u = As s d (1 0,4 x ) M = Mu

-

O momento mximo que a seo poder suportar em servio ser:

f

7.5.2 SEES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA Denominam-se sees com armadura dupla aquelas que possuem armaduras tanto no lado tracionado (As) quanto no lado comprimido (As).

Equaes de equilbrio

0 = Rc + Rs Rs Mu = Rc zc + Rs (d-d)

Ento:

0 = bw y 0,85 fcd + As s - As s y M u = bw . y.0,85. f cd .(d ) + A' s . ' s .(d d ' ) 2 Rc = bw y 0,85 fcd Rs = As s Rs = As s zc = d y = 0,8 x25

y 2

x =

x d

x = x d

y = 0,8 x d

Ento:

0 = bw d 0,68 x fcd + As s - As s Mu = bw d2 0,68 x fcd (1 0,4 x) + As s (d-d)

(1a equao) (2a equao)

Nos casos de verificao, conhecem-se as dimenses da seo de concreto (bw, h, d, d), as rea das sees transversais das armaduras (As e As) e as resistncias de clculo do concreto (fcd = fck / c) e do ao (fyd = fyk / s e fycd = fyck / s). Procura-se o momento ltimo Mu ou o momento mximo M que a seo poder suportar em servio. Da 1a equao de equilbrio:

x =

As s A' s ' s bw d 0,68 f cd

Roteiro:

-

Admite-se s = fyd e s = fycd Para que s = fyd deve-se ter x < xy e para que s = fycd deve-se ter x xy Se as duas condies se verificarem ao mesmo tempo, o valor obtido para x est correto Se uma das condies (ou as duas) no se verificar (verificarem) coloca-se a tenso correspondente (ou tenses correspondentes) em funo de x, Es e das deformaes e recalcula-se x para obter o valor correto. Para As: s = Es s Para As s = Es s se x > xy se x < xy

-

Com o valor correto de x a 2 equao de equilbrio fornece Mu.

Mu = bw d2 0,68 x fcd (1 0,4 x) + As s (d-d)O momento mximo que a seo poder em servio ser: M =

Mu

f

7.6 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES RETANGULARESAdotar-se- nos clculos o diagrama retangular de tenses de compresso no concreto, como permitido pela NBR 6118:2003. 26

7.6.1 SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES

Equaes de equilbrio

0 = Rc Rs Mu = Rc zc =Rs zc

Ento:

0 = bw y 0,85 fcd - As s y y M u = bw . y.0,85. f cd .(d ) = As . s .(d ) 2 2 Rc = bw y 0,85 fcd Rs = As s zc = d y = 0,8 x y 2

x =

x d

x = x d

y = 0,8 x d

Ento:

0 = bw d 0,68 x fcd - As s Mu = bw d2 0,68 x fcd (1 0,4 x) = As s d (1 0,4 x)

(1a equao) (2a equao)

No dimensionamento faz-se Mu = Md

Mu Md M

momento ltimo momento de clculo Md = f M momento fletor solicitante em servio 27

ffcd fck

coeficiente de majorao das aes e solicitaes (conforme a NBR 6118:2003 ou a NBR 8681:2003) valor de clculo da resistncia do concreto fcd = fck / c resistncia caracterstica do concreto compresso coeficiente de minorao da resistncia do concreto (c = 1,4 em geral, conforme a NBR 6118:2003)

c

Da 2a equao de equilbrio:

M d = bw d 2 0,68 x f cd (1 0,4 x )M d = bw d 2 0,68 x kc = f ck

c

(1 0,4 x )

Denomina-se

c0,68 x f ck (1 0,4 x )

Resulta ento:

Md =

bw d 2 kc

O coeficiente kc tabelado em funo de fck e x.

Ainda da 2a equao de equilbrio:

M d = As s d (1 0,4 x )As = Md s (1 0,4 x )d

Denomina-se

ks =

1 s (1 0,4 x )Md d

Resulta ento:

As = k s

O coeficiente ks tabelado em funo de x para cada tipo de ao da A.B.N.T.

Definio:

=

As bw h

taxa geomtrica de armadura

A armadura da seo dever satisfazer a seguinte condio: min (ver item 7.3 desta apostila).

28

A seo ter armadura simples sempre que o coeficiente kc correspondente a Md resulte em x x lim (ver item 7.3 desta apostila).

7.6.2 SEO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA

Pode-se admitir a seguinte equivalncia:

Equaes de equilbrio

0 = Rc + Rs Rs Mu = Rc zc + Rs (d-d) Md Md1

Rs= Rs1 + Rs2 Rs1 = Rc Rs2 = Rs

Md = Md1 + Md Md1 = Rc zc = Rs1zc

Md

Md = Rs2 (d-d) = Rs (d-d)

Pode-se ento fazer a seguinte decomposio para o clculo com tabelas:

29

Md = Md1 + Md Md Md1momento de clculo a ser resistido pela seo com armadura dupla parte de Md resistida pelo concreto e a parte As1 da armadura total parte de Md resistida pelo par de armaduras As e As2

Md

As = As1 + As2

A seo ter armadura dupla quando com armadura simples resultar x > x lim. Adota-se x x lim e a seo dever ter armadura dupla. Para x adotado, da tabela, obtm-se kc e ks

M d1

bw d 2 = kcM d1 d

As1 = k s

Md = Md - Md1 Md = As2 s (d-d)ks2 = 1

As 2 =

M d s (d d ' )

Denomina-se

sM d (d d ' )armadura tracionadaA' s = M d ' s (d d ' )

Resulta, ento:

As 2 = k s 2

As = As1 + As2

Md = As s (d-d) k 's = 1 's M d (d d ' )

Denomina-se

Resulta, ento:

A' s = k ' s

armadura comprimida

Com ks2 e ks correspondentes ao x adotado. Os coeficientes ks2 e ks so tabelados em funo de x para cada um dos aos da A.B.N.T..

30

7.7 VIGAS DE SEO T NAS ESTRUTURAS DE CONCRETONas vigas internas das estruturas de concreto, quando a zona comprimida situase do lado da laje, as tenses de compresso distribuem-se alm da alma da seo abrangendo tambm a laje. Por isso, podem-se considerar as regies da laje vizinha da alma como partes integrantes da seo transversal da viga.

A seo T submetida flexo normal simples apresenta, no estado limite ltimo, um bloco de tenses de compresso no prismtico. Por razes prticas substitui-se esse bloco real de tenses por um bloco ideal, prismtico, com um diagrama de tenses constante e semelhante ao diagrama real no plano de solicitao.

Escolhe-se para esse bloco ideal de tenses uma largura eficaz bf tal que seja mantida a resistncia de clculo da seo ao se substituir por ele o bloco real de tenses. A largura bf denominada largura colaborante. O valor da largura colaborante bf no constante ao longo da viga. Depende: - do tipo de viga considerada (simplesmente apoiada, contnua, etc.); - de serem as cargas distribudas ou concentradas; - da presena eventual de msulas. A largura colaborante bf determinada conforme o item 14.6.2.2 da NBR 6118:2003 como se transcreve a seguir: A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida no mximo 10% da distncia a entre dois pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. 31

Para clculo da resistncia ou deformao, a parte da laje a considerar como elemento da viga (parte de bf), medida a partir da face da nervura fictcia, conforme o caso: vigas associadas 0,10 a b1 0,5 b2 em que a tem o seguinte valor: b3 b4 vigas isoladas 0,10 a

-

viga simplesmente apoiada tramo com momento em uma s extremidade tramo com momento nas duas extremidades viga em balano

a=l a = (3/4) l a = (3/5) l a=2l l = vo terico da viga

Neste lado respeitar tambm b3 b4

Viga associada : Viga isolada:

bf = bw + 2 b1 bf = bw + 2 b3

32

7.7.1 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES T COM ARMADURA SIMPLES 1 Caso : o bloco de tenses de compresso no ultrapassa a mesa (y hf, isto x xf)

O dimensionamento se faz como para uma seo retangular com largura fictcia bw = bf e altura h, pois a forma da regio tracionada no interfere no clculo. y = 0,8 x

x=

y 0,8hf

Quando y = hf Sendo x =

tem-se:

x=

0,8

x , d

quando y = hf

define-se

x f =

hf

0,8d

Este caso (y hf) acontece quando x xf.

Assim, quando para

kc =

bf d 2 Md

corresponder

x xf

a armadura ser As = k s

Md d

com ks correspondente ao x obtido.

2 Caso : o bloco de tenses de compresso ultrapassa a mesa (y > hf, isto x > xf)

33

Quando o bloco de tenses de compresso ultrapassa a mesa, prtico empregar o artifcio de decompor a seo T em duas outras idealmente concebidas para estender a este caso o uso das tabelas para sees retangulares.

Md = Md1 + Md As = As1 + As2

Md Md1

momento a ser resistido pela seo T parte do momento Md resistida pela mesa e pela parte As1 da armadura total parte do momento Md resistido pela nervura e pela parte As2 da armadura total

Md

O momento Md1 o mesmo que seria resistido por uma seo T com largura fictcia igual a bf bw e y = hf (1 caso)M d1 =

(b f bw )d 2kc

com kc correspondente a x = xf, isto , a y = hf. Para a segunda seo o momento :

Md = Md Md1

Ento:

kc =

bw d 2 M dM d d

tabela

x x limks

As 2 = k s

A armadura As1 necessria para a primeira seo ser obtida por: 34

M d 1 = As1 s (d 1 As1 = s

hf 2

)

M d1 d hf 2 1

Nesta expresso Ento:

s

= ks2

j apresentado anteriormente

As1 = k s 2

M d1 hf d 2

com ks2 correspondente ao x da seo.

As = As1 + As2 7.7.2 CLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEES T COM ARMADURA DUPLA Resolve-se o problema de dimensionamento de sees T com armadura dupla com facilidade empregando-se o artifcio de desdobramento da seo T como indicado abaixo. A seo T, com armadura dupla, desdobrada em: mesa com uma parte da armadura, e nervura com armadura dupla. Esta ltima se desdobra em nervura com armadura simples e um par de armaduras.

Md = Md1 + Md

Md Md2 + Md3As = As1 + As2 + As3

35

A seo ter armadura dupla quando com armadura simples resultar x > x lim. Adota-se x x lim e a seo dever ter armadura dupla.M d1 =

(b f bw ).d 2

kc com kc correspondente a x = xf, isto , a y = hf.

Md2 =

bw .d 2 kc M As 2 = k s d 2 d

com kc e ks correspondentes ao x adotado.

Md3 = Md Md1 Md2As 3 = k s 2 A' s = k ' s Md3 d d' M d3 d d'

com ks2 e ks correspondentes ao x adotado.

As1 = k s 2

M d1 hf d 2

om ks2 correspondente ao x adotado. As = As1 + As2 + As3

36

8

FLEXO NORMAL COMPOSTA FORA NORMAL DE COMPRESSO

8.1 INTRODUOFlexo composta o caso de solicitao normal em que atuam momento fletor e fora normal simultaneamente. Flexo normal composta aquela em que o plano de flexo contm um dos eixos principais de inrcia da seo transversal da pea. Os esforos solicitantes so referidos, convencionalmente, ao eixo geomtrico da pea.

e=

Mu Nu

es = e +

d d' 2 d d' d d' d d' = M u + Nu ) = N u .e + N u . 2 2 2

M su = N u .es = N u .(e +

8.2 FLEXO NORMAL COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADEFlexo normal composta com grande excentricidade aquela em que uma das armaduras tracionada.

As As

rea da seo transversal da armadura tracionada. rea da seo transversal da armadura comprimida.

Ocorre nos domnios de deformaes 2, 3 e 4. Portanto 0 < x < d 0 < x < 1

37

Equaes de equilbrio:

Nu = Rc + Rs Rs Nu es = Rc zc + Rs (d d)

y = 0,8 x y = 0,8 x d x = x d Rc = bw y 0,85 fcd = bw d 0,68 x fcd Rs = As 's Rs = As szc = d 0 ,8 x d y =d = d (1 0,4 x ) 2 2

As equaes ficam:

Nu = bw d 0,68 x fcd + As 's As s Nu es = bw d2 0,68 x fcd (1 0,4x) + As s (d d)

No dimensionamento faz-se Nu = Nd

N Nd Md

valor da fora normal em servio valor de clculo da fora normal: Nd = f N valor de clculo do momento fletor: Md = Nd . e

Ento:

Nd = bw d 0,68 x fcd + As s As s Nd es = bw d2 0,68 x fcd (1 0,4x) + As s (d d)

Dividindo-se os dois membros da 1a equao por bw d fcd e os dois membros da 2 equao por bw d2 fcd, resultam as equaes na forma adimensional.a

Nd A' ' s A s = 0,68 x + s s bw df cd bw d f cd bw d f cd N d es A' ' s d d ' = 0,68 x (1 0,4 x ) + s 2 bw d f cd d bw d f cd

38

d =

Nd bw df cd N d es bw d 2 f cd

normal reduzida

=1 =

d' d d d' d

sd =

momento reduzido

= 0,68 x = 0,68 x (1-0,4x)

tabelados

d = 'd = d

As f yd bw d f cd A' s f ycd bw d f cd = As s bw d f cd

taxa mecnica de armadura referente a As

taxa mecnica de armadura referente a As

sf yd

e

'd

'sf ycd

=

As ' s bw d f cd

Ento

d = + 'd sd = + ' d

'sf ycd

d

sf yd

Equaes para seo com armadura dupla

'sf ycd

(1 )

No caso de seo com armadura simples: As = 0

Rs = 0

e

Rs (d-d) = 0

Nu = Rc Rs Nu es = Rc zc

Com Nu = Nd ficam:

Nd = Rc Rs = bw d 0,68 x fcd As s Nd es = Rc zc = bw d2 0,68 x fcd (1 0,4x)

39

Nd A s = 0,68 x s bw df cd bw d f cd N d es = 0,68 x (1 0,4 x ) bw d 2 f cd

d = d sd =

sf yd

Equaes para seo com armadura simples

As relaes

sf yd

e

'sf ycd

tambm so tabeladas.

1) Dimensionamento com armadura simples

Para = sd

tabela 4

x1

Da 1a equao:

d

sf yd

= d

Para x = x1

tabela 5

sf ydf cd f yd

d =

d sf yd

Da obtm-se:

As = d bw d

2) Dimensionamento com armadura dupla

Para x adotado

tabela 4

Da 2a equao:

'd

'sf ycd

=

sd 1

40

Para x

tabela 6

'sf ycd

sd 1 'd = 'sf ycd

Da obtm-se:

A' s = ' d bw d

f cd f ycd

Da 1a equao:

d

sf yd

= + 'd

'sf ycd

d

Para x

tabela 5

sf yd

+ 'd

'sf ycd f yd

d

d =

s

Da obtm-se:

As = d bw d

f cd f yd

8.3 FLEXO NORMAL COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADEFlexo normal composta com pequena excentricidade aquela com armaduras comprimidas havendo parte da seo de concreto tracionada.

As As

rea da seo transversal da armadura menos comprimida. rea da seo transversal da armadura mais comprimida.

Ocorre no domnio de deformao 4a. Portanto dx