ESCOLA DE ENGENHARIAR DA UFMG

DEPARTAMENTODEENGENHARIA DE ESTRUTURAS DEEs

CONCRETO ARMADO I

Prof. Ney Amorim Silva

Maro de 2005

Para todo professor de concreto uma tarefa gratificante escrever sobre o assunto de sua aula,

principalmente nesse momento de mudana de norma em que existe uma carncia natural de

livros e apostilas contemplando as mudanas da nova NB 1, NBR-6118 de Maro de 2003.

Essa a terceira edio da apostila destinada aos alunos do curso de graduao em

Engenharia Civil, disciplina Concreto Armado I. Peo a gentileza que me informem todos os

erros encontrados para serem consertados edies posteriores.

Os captulos de flexo simples e fissurao seguem as mesmas formulaes das apostilas do

Professor Jos de Miranda Tepedino, de saudosa memria, adaptadas para as mudanas

inseridas pela nova norma. No caso da flexo simples essa adaptao foi feita pelo Pof

Sebastio Salvador Real Pereira e j utilizada pelos alunos desde o segundo semestre de 2003.

Nesses captulos os trechos entre aspas, quando no referenciados de forma diferente, so

transcries das suas apostilas originais.

Para o curso completo de Concreto Armado I, essa apostila deve ser complementada com a

apostila de Domnios de Deformao, do Professor. Jos Celso da Cunha, alm naturalmente

das notas de aula.

Gostaria de agradecer a todos os professores de concreto do DEEs, que me ajudaram na troca

de idias e nas correes, e com certeza continuaro a contribuir nas prximas edies desta

apostila.

Maro de 2005

ndice

ASSUNTOS Pgina

Captulo 1 Materiais 01

Captulo 2 Flexo Normal Simples 29

Captulo 3 Laje 55

Captulo 4 Controle da Fissurao 94

Captulo 5 Cisalhamento 113

Captulo 6 Verificao da Aderncia 141

Captulo I MATERIAIS

I.1 Histrico O material composto concreto armado surgiu h mais de 150 anos e se transformou neste perodo no material de construo mais utilizado no mundo, devido principalmente ao seu timo desempenho, economia e facilidade de produo. Abaixo so citadas algumas datas histricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento do concreto armado e protendido, conforme Rusch(1981). 1824 O empreiteiro escocs Josef ASPDIM desenvolveu um processo industrial para fabricao do cimento portland, assim chamado devido semelhana com a cor das pedras calcreas encontradas na ilha de Portland. 1849/1855 O francs Joseph Louiz LAMBOT desenvolveu no sul da Frana, onde passava suas frias de vero, um barco fabricado com o novo material, argamassa de cimento e areia entremeados por fios de arame. O processo de fabricao era totalmente emprico e acreditando estar revolucionando a industria naval, patenteou o novo produto, apresentando-o na feira internacional de Paris em 1855. 1861 O paisagista e horticultor francs Joseph MONIER foi na realidade o nico a se interessar pela descoberta de seu compatriota Lambot, vendo neste produto a soluo para os seus problemas de confinamento de plantas exticas tropicais durante o inverno parisiense. O ambiente quente e mido da estufa era favorvel ao apodrecimento precoce dos vasos feitos at ento de madeira. O novo produto alm de bem mais durvel apresentava uma caracterstica peculiar: se o barco era feito para no permitir a entrada de gua seguramente no permitiria tambm a sua sada, o que se encaixava perfeitamente busca de Monier, que a partir desta data comeou a produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforadas com uma malha de ao. Monier alm de ser bastante competente como paisagista, possua um forte tino comercial e viu no novo produto grandes possibilidades passando a divulgar o concreto inicialmente na Frana e posteriormente na Alemanha e em toda a Europa. Ele considerado por muitos como o pai do concreto armado. Em 1865 construiu nos arredores de Paris uma ponte de concreto armado com 16,5 m de vo por 4m de largura. 1867 Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com armaduras de ao. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes e pontes. Construes construdas de forma emprica mostram que o inventor no possua uma noo clara da funo estrutural das armaduras de ao no concreto. 1877 O advogado americano Thaddeus HYATT publicou sobre seus ensaios com construes de concreto armado. Hyatt j reconhecia claramente o efeito da aderncia ao-concreto, da funo estrutural das armaduras, assim como da sua perfeita localizao na pea de concreto.

1

1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais que do origem a introduo do concreto

armado em outros pases.

1884 Duas firmas alems FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN &

JOSSEAUX , compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservam-

se o direito de revenda para toda a Alemanha.

1886 As duas firmas alems cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A WAISS, que

funda em Berlim uma empresa para construes de concreto segundo o Sistema Monier.

Realiza ensaios em Construes Monier e mostra atravs de provas de carga as vantagens

econmicas de colocao de barras de ao no concreto, publicando estes resultados em 1887.

Nesta mesma publicao o construtor oficial Mathias KOENEN, enviado aos ensaios pelo

governo Prussiano, desenvolve baseado nos ensaios, um mtodo de dimensionamento emprico

para alguns tipos de Construes Monier, mostrando que conhecia claramente o efeito

estrutural das armaduras de ao. Deste modo passa a existir uma base tecnicamente correta

para o clculo das armaduras de ao.

1888 O alemo DOHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e vigas de pequeno

porte tem sua resistncia aumentada atravs da protenso da armadura, constituda de fios de

ao. Surge assim provavelmente pela primeira vez a idia da protenso deliberada.

1900 A construo de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistncia de sistemas

distintos, geralmente patenteados. O alemo E. MORSH desenvolve a teoria iniciada por

Koenen e a sustenta atravs de inmeros ensaios realizados sobre a incumbncia da firma

WAISS & FREITAG, a qual pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Morsh e publicados

em 1902 constituem ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de

dimensionamento de peas de concreto armado.

1906 O alemo LABES concluiu que a segurana contra abertura de fissuras conduzia a

peas antieconmicas. Koenen props em 1907 o uso de armaduras previamente distendidas.

Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por BACH em 1910. Os ensaios

mostraram que os efeitos danosos da fissurao eram eliminados com a protenso. Entretanto

Koenen e Morsh reconheceram j em 1912 uma perda razovel de protenso devido retrao

e deformao lenta do concreto.

2

1928 - O francs FREYSSINET j havia usado a protenso em 1924. Entretanto s em 1928

o primeiro engenheiro projetista a reconhecer a importncia bem maior da protenso na

construo civil. Estuda as perdas devido a retrao e deformao lenta do concreto e registra

vrias patentes sobre o sistema Freyssinet de protenso. considerado o pai do concreto

protendido.

I.2 Viabilidade do concreto armado

As trs propriedades abaixo em conjunto que viabilizam o material concreto armado:

Aderncia ao-concreto esta talvez seja a mais importante das propriedades uma vez que a responsvel pela transferncia das tenses de trao no absorvidas pelo concreto para

as barras da armadura, garantindo assim o perfeito funcionamento conjunto dos dois

materiais.

Coeficiente de dilatao trmica do ao e do concreto so praticamente iguais esta propriedade garante que para variaes normais de temperatura, excetuada a situao

extrema de incndio, no haver acrscimo de tenso capaz de comprometer a perfeita

aderncia ao-concreto.

Proteo da armadura contra a corroso Esta proteo que est intimamente relacionada com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas distintas: a proteo fsica

e a proteo qumica. A primeira garantida quando se atende os requisitos de cobrimento

mnimo preconizado pela NBR 6118(2003) que protege de forma direta as armaduras das

intempries. A proteo qumica ocorre devido a presena da cal no processo qumico de

produo do concreto, que envolve a barra de ao dentro do concreto, criando uma camada

passivadora cujo ph se situa acima de 13, criando condies inibidoras da corroso.

Quando a frente de carbonatao, que acontece devido a presena de gs carbnico (CO2)

do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armao essa camada despassivada

pela reao qumica do (CO2) com a cal, produzindo cidos que abaixam o ph desta

camada para nveis iguais ou inferiores a 11,5 , criando condies favorveis para o

processo eletro-qumico da corroso se iniciar. A corroso pode acontecer

independentemente da carbonatao, na presena de cloretos (ons cloro Cl-), ou sulfatos

(S--).

3

I.3 Vantagens do concreto armado

Economia a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transformaram o concreto em um sculo e meio no material para construo mais usado no mundo.

Adaptao a qualquer tipo de forma ou frma e facilidade de execuo a produo do concreto no requer mo de obra especializada e com relativa facilidade se consegue

qualquer tipo de forma propiciada por uma frma de madeira.

Estrutura monoltica (monos nica, litos pedra) esta propriedade garante estrutura de concreto armado uma grande reserva de segurana devido ao alto grau de

hiperestaticidade propiciado pelas ligaes bastante rgidas das peas de concreto. Alm

disso quando a pea est submetida a um esforo maior que a sua capacidade elstica

resistente, a mesma ao plastificar, promove uma redistribuio de esforos, transferindo s

peas adjacentes a responsabilidade de absorver os mesmos.

Manuteno e conservao praticamente nulas a idia que a estrutura de concreto armado eterna no mais aceita no meio tcnico, uma nova mentalidade associa qualidade de

execuo do concreto, em todas as suas etapas, um programa preventivo de manuteno e

conservao. Naturalmente quando comparado com outros materiais de construo esta

manuteno e conservao acontecem em uma escala bem menor, sem prejuzo no entanto

da vida til das obras de concreto armado.

Resistncia a efeitos trmicos-atmosfricos e a desgaste mecnicos.

I.4 Desvantagens do concreto armado

Peso prprio a maior desvantagem do concreto armado seguramente o seu grande peso prprio que limita a sua utilizao para grandes vos, onde o concreto protendido ou

mesmo a estrutura metlica passam a ser econmica e tecnicamente mais viveis. A sua

massa especfica dada pela NBR 6118(2003) como 2500 Kg/m3;

Dificuldade de reformas e demolies (hoje amenizada com tecnologias avanadas e equipamentos modernos que facilitam as reformas e demolies);

Baixo grau de proteo trmica embora resista normalmente ao do fogo a estrutura de concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e isolamentos trmicos

para proporcionar um conforto trmico adequado a construo.

4

Fissurao a fissurao que um fenmeno inevitvel nas peas de concreto armado tracionadas, devido ao baixo grau de resistncia trao do concreto, foi por muitas

dcadas considerado uma desvantagem do material. J a partir do final da dcada de

setenta, este fenmeno passou a ser controlado, baseado numa redistribuio das bitolas da

armadura de trao, em novos valores de cobrimentos mnimos e at mesmo na diminuio

das tenses de servio das armaduras, pelo acrscimo das mesmas. Cabe salientar que a

fissurao no foi eliminada, apenas controlada para valores de aberturas mximas na face

do concreto de tal forma a no comprometer a vida til do concreto armado.

I.5 - Concreto

I.5.1 Propriedades mecnicas do concreto

Resistncia compresso

A resistncia mecnica do concreto a compresso devido a sua funo estrutural assumida no

material composto concreto armado a principal propriedade mecnica do material concreto a

ser analisada e estudada. Esta propriedade obtida atravs de ensaios de compresso simples

realizados em corpos de provas (CPs), com dimenses e procedimentos previamente

estabelecidos em normas nacionais e estrangeiras.

A resistncia a compresso depende basicamente de dois fatores: a forma do corpo de prova e a

durao do ensaio. O problema da forma resolvido estabelecendo-se um corpo de prova

cilndrico padronizado, com 15 cm de dimetro e 30 cm de altura, que recomendado pela

maioria das normas do mundo, inclusive as brasileiras.

Em outros paises, como por exemplo, a Alemanha, adota-se um corpo de prova cbico de

aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resistncia a compresso

ligeiramente superior ao obtido pelo cilndrico. Isto se deve a sua forma, onde o efeito do atrito

entre as faces do corpo de prova carregadas e os pratos da mquina de ensaio, confina de forma

mais efetiva o CP cbico que o cilndrico, devido a uma maior restrio ao deslocamento

transversal das faces carregadas.

Adota-se neste caso um fator redutor igual a 0,85 , que quando aplicado ao CP cbico

transforma seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilndrico, podendo assim ser

usada a vasta bibliografia alem sobre o assunto.

5

Normalmente o ensaio de compresso em corpos de prova de curta durao e sabe-se a partir

dos ensaios realizados pelo alemo Rusch, que este valor ligeiramente superior ao obtido

quando o ensaio de longa durao. Isto se deve a microfissurao interna do concreto, que se

processa mesmo no concreto descarregado, e que no ensaio de longa durao tem seu efeito

ampliado devido a interligao entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade

resistente do CP a compresso. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em uma

estrutura de longa durao deve-se corrigir os resultados do ensaio de curta durao por um

fator, denominado coeficiente de Rusch, igual a 0,85.

Resistncia caracterstica do concreto a compresso (fck)

Quando os resultados dos ensaios a compresso de um determinado nmero de CPs so

colocados em um grfico, onde nas abscissas so marcadas as resistncias obtidas e nas

ordenadas a freqncia com que as mesmas ocorrem, o grfico final obedece a uma curva

normal de distribuio de freqncia, ou curva de Gauss.

Observa-se neste grfico que a resistncia que apresenta a maior freqncia de ocorrncia a

resistncia mdia fcj, aos j dias, e que o valor eqidistante entre a resistncia mdia e os

pontos de inflexo da curva o desvio-padro s (ver fig. 1.1), cujos valores so dados

respectivamente por:

nf

f cicj= (1.1)

( )

1nff

s2

cjci

= (1.2)

onde n o nmero de CPs e fci a resistncia compresso de cada CP i.

6

Frequncia

Do lote de CPs ensaiados a resistncia a ser utilizada nos clculos baseada em consideraes

probabilsticas, considerando-se em mbito mundial: a resistncia caracterstica (fck) do lote

de concreto ensaiado aquela abaixo da qual s corresponde um total de 5% dos resultados

obtidos (ou seja um valor com 95% de probabilidade de ocorrncia)(ver fig. 1.2).

5% 95%

fck

Frequncia

Figura 1.2 Resistncia caracterstica do concreto compresso

s s

Freq,max

Resist. mdia fcj Resistncia do concreto fc

Figura 1.1 Curva normal de distribuio de freqncias (Curva de Gauss)

7

Para um quantil de 5% obtem-se a partir da curva de Gauss:

fck = fcj 1,65 s (1.3)

A partir de resultados de ensaios feitos em um grande nmero de obras e em todo o mundo

percebe-se que o desvio-padro s principalmente dependente da qualidade de execuo e

no da resistncia do concreto. A NBR-12655(1996) que trata do preparo, controle e

recebimento do concreto, define baseada na sua expresso (2.3) que o clculo da resistncia

de dosagem deve ser feito segundo a equao:

fcj = fck + 1,65 sd (1.4)

onde sd representa o desvio-padro de dosagem.

De acordo com a NBR-12655(1996) o clculo da resistncia de dosagem do concreto

depende, entre outras variveis, da condio de preparo do concreto, definida a seguir:

Condio A (aplicvel s classes C10 at C80): o cimento e o os agregados so medidos em massa, a gua de amassamento medida em massa ou volume com dispositivo

dosador e corrigida em funo da umidade dos agregados;

Condio B Aplicvel s classes C10 at C25 - o cimento medido em massa, a gua de amassamento

medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa

combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3;

Aplicvel s classes C10 at C20 - o cimento medido em massa, a gua de amassamento medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A

umidade do agregado mido determinada pelo menos trs vezes durante o servio do

mesmo turno de concretagem. O volume de agregado corrigido atravs da curva de

inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado;

Condio C (aplicvel apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento medido em massa, os agregados so medidos em volume, a gua de amassamento medida em

8

Ainda de acordo com a NBR-12655(1996), no incio da obra ou em qualquer outra

circunstncia em que no se conhea o valor do desvio-padro sd, deve-se adotar para o

clculo da resistncia de dosagem os valores apresentados na tabela 1.1, de acordo com a

condio de preparo, que deve ser mantida permanentemente durante a construo. Mesmo

quando o desvio-padro seja conhecido, em nenhum caso o mesmo pode ser adotado menor

que 2,0 MPa.

Tabela 1.1 Desvio- padro a ser adotado em funo da condio de preparo do concreto

Condio Desvio-padro MPa

A 4,0 B 5,5

C1) 7,0

1) Para condio de preparo C, e enquanto no se conhece o desvio-padro, exige-se para os

concretos de classe C15 um consumo mnimo de 350 Kg de cimento por metro cbico.

Mdulo de elasticidade longitudinal

O mdulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama x (tenso x deformao) obtido pela derivada d/d no ponto considerado, que representa a inclinao da tangente curva no ponto..De todos os mdulos tangentes possveis o seu valor na origem

tem grande interesse, uma vez que as tenses de servio na estrutura no devem superar a

40% da tenso de ruptura do concreto, e neste trecho inicial o diagrama x praticamente linear. De acordo com o item 8.2.8 da NBR-6118(2003) o mdulo de elasticidade ou mdulo

de deformao tangente inicial dado por:

Eci = 5600 (fck)1/2 (1.5)

9

com Eci e fck dados em MPa.

O mdulo de elasticidade secante a ser utilizado nas anlises elsticas de projeto,

principalmente para determinao dos esforos solicitantes e verificao dos estados limites

de servio, deve ser calculado por:

Ecs = 0,85 Eci (1.6)

Coeficiente de Poisson e mdulo de elasticidade transversal

De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118(2003) para tenses de compresso inferiores a

0,5.fc e para tenses de trao inferiores a fct, o coeficiente de Poisson e o mdulo de

elasticidade transversal so dados respectivamente por:

= 0,2 (1.7)

Gc = 0,4 Ecs (1.8)

Diagramas tenso-deformao (x) Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118(2003) o diagrama x na compresso para tenses inferiores a 0,5 fc pode ser adotado como linear e as tenses calculadas com a lei de Hooke,

com o mdulo de elasticidade igual ao secante Ecs.

Para os estados limites ltimos o diagrama x na compresso dado pela figura (1.3) abaixo, onde se nota dois trechos distintos, o primeiro curvo segundo uma parbola de segundo grau,

com deformaes inferiores a 0,2%, e o segundo constante, com deformaes variando de

0,2% a 0,35%. Para o trecho curvo a tenso no concreto dada por:

=

2c

cdc 0,002110,85f (1.9)

10

fck 0,85fcd

=

2c

cdc 0,002110,85f

Na equao (1.9) fcd representa a resistncia de clculo do concreto dada no item 12.3.3 da

NBR-6118(2003).

Na trao o diagrama x bilinear conforme a figura (1.4) abaixo:

2 3,5 c Figura 1.3 Diagramas tenso-deformao do concreto na compresso

Eci

ct fct 0,9fct

0,15 ctFigura 1.4 Diagrama tenso-deformao bi-linear do concreto trao

11

Resistncia trao

Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118(2003) a resistncia a trao direta do concreto (fct)

dado por:

fct = 0,9 fct,st (1.10)

ou

fct = 0,7 fct,f (1.11)

onde fct,st a resistncia a trao indireta e fct,f a resistncia a trao na flexo. Na falta

desses valores pode-se obter a resistncia mdia a trao dada por:

fct,m = 0,3 (fck)2/3 (MPa) (1.12)

Os valores inferior e superior para a resistncia caracterstica a trao (fctk) so dados por:

fctk,inf = 0,7 fct,m (1.13a)

fctk,sup = 1,3 fct,m (1.13b)

I.5.2 Caractersticas reolgicas do concreto

Segundo o dicionrio Aurlio reologia parte da fsica que investiga as propriedades e o

comportamento mecnico dos corpos deformveis que no so nem slidos nem lquidos.

Retrao (shrinkage)

A retrao no concreto uma deformao independente do carregamento (e, portanto, de

direo, sendo, pois, uma deformao volumtrica) que ocorre devido perda de parte da

gua dissociada quimicamente do processo de produo do concreto, quando este seca em

contato com o ar.

A deformao especfica de retrao do concreto cs pode ser calculada conforme indica o anexo A da NBR 6118(2003). Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada

simplificadamente atravs da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor caracterstico superior da

12

deformao especfica de retrao entre os instantes to e t, cs(t, to), em funo da umidade relativa do ar e da espessura equivalente ou fictcia em , dada por:

em = (2 Ac) /u (1.14)

onde Ac a rea da seo transversal e u o permetro da seo em contato com a atmosfera.

Os valores dessa tabela so relativos a temperaturas do concreto entre 10 oC e 20 oC,

podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Esses valores so vlidos

para concretos plsticos e de cimento Portland comum.

Nos casos correntes das obras de concreto armado, em funo da restrio retrao do

concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mnimo especificado na NBR-6118(2003), o

valor de cs(t, to) pode ser adotado igual a 15x10-5. Esse valor admite elementos estruturais de dimenses usuais, entre 10 cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiente no inferior a 75%.

O valor caracterstico inferior da retrao do concreto considerado nulo.

Fluncia (creep)

A fluncia uma deformao que depende do carregamento e caracterizada pelo aumento

da deformao imediata ou inicial, mesmo quando se mantm constante a tenso aplicada.

Devido a esta deformao imediata ocorrer uma reduo de volume da pea, provocando

este fato uma expulso de gua quimicamente inerte, de camadas mais internas para regies

superficiais da pea, onde a mesma j tenha se evaporado. Isto desencadeia um processo, ao

longo do tempo, anlogo ao da retrao, verificando-se desta forma um crescimento da

deformao inicial, at um valor mximo no tempo infinito, mesmo sob tenso constante.

Da mesma forma que na retrao, as deformaes decorrentes da fluncia do concreto podem

ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR-6118(2003). Nos casos em que a

tenso c(to) no varia significativamente, permite-se que essas deformaes sejam calculadas simplificadamente pela expresso:

13

+= (28)E)t(t

)(tE1)(t)t(t

ci

0,

0ci0c0,

(1.15)

onde: - c(t, to) a deformao especfica total do concreto entre os instantes to e t; - c(to) a tenso no concreto devida ao carregamento aplicado em to;

- (t, to) o limite para o qual tende o coeficiente de fluncia provocado por carregamento aplicado em to.

O valor de (t, to) pode ser calculado por interpolao da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor caracterstico superior do coeficiente de fluncia (t, to). O seu valor caracterstico inferior considerado nulo.

Tabela 1.2 - Valores caractersticos superiores da deformao especifica de retrao cs(t,to) e do coeficiente de fluncia (t,to)

Umidade Ambiente % 40 55 75 90

Espessura fictcia 2 Ac/u (cm)

20 60 20 60 20 60 20 60

(t, to) to

dias

5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4

cs(t, to) %o

5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09

I.6 Ao de armadura passiva

Armadura passiva a armadura usada nas peas de concreto armado.

14

I.6.1 Categoria

Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado ao classificado pela

NBR-7480(1996) nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60, em que CA significa concreto

armado e o nmero representa o valor caracterstico da resistncia de escoamento do ao em

kN/cm2. Os valores nominais dos dimetros, das sees transversais e da massa por metro so

os estabelecidos pela NBR-7480(1996), cujos valores mais usados esto na tabela 1.3.

Tabela 1.3 Valores nominais para fios e barras de ao

Dimetro nominal

(mm)

Massa

Nominal

(kg/m)

rea nominal

da seo

(cm2) Fios Barras

5,0 5,0 0,154 0,196

6,0 0,222 0,283

6,3 0,245 0,312

6,4 0,253 0,322

7,0 0,302 0,385

8,0 8,0 0,395 0,503

9,5 0,558 0,709

10,0 10,0 0,617 0,785

- 12,5 0,963 1,227

- 16 1,578 2,011

- 20,0 2,466 3,142

- 22,0 2,984 3,801

- 25,0 3,853 4,909

- 32,0 6,313 8,042

- 40,0 9,865 12,566

15

I.6.2 Tipo de superfcie

Os fios e barras podem ser lisos ou providos de salincias ou mossas. Para cada categoria de

ao, o coeficiente de conformao superficial mnimo, b , deve atender ao indicado na NBR-6118(2003).

Para os efeitos desta norma, a conformao superficial medida pelo coeficiente 1 , cujo valor est relacionado ao coeficiente de conformao superficial b , como estabelecido na tabela 1.3, conforme tabela 8.2 da NBR-6118.

.

Tabela 1.3 - Relao entre 1 e b

Tipo de Barra Coeficiente de conformao superficial

b 1 Lisa (CA-25) 1 1

Entalhada (CA-60) 1.2 1.4 Alta aderncia (CA-50) 1,5 2.25

Para a massa especfica do ao da armadura passiva pode ser adotado o valor 7850 kg/m3. O

valor do coeficiente de dilatao trmica, para intervalos de temperatura entre 20 oC e 150 oC

pode ser adotado como 10-5/ oC. O mdulo de elasticidade, na falta de ensaios ou valores

fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a 210 GPa.

I.6.3 Diagrama tenso-deformao

O diagrama tenso-deformao do ao, os valores caractersticos da resistncia ao escoamento

fyk , da resistncia a trao fstk e da deformao ltima de ruptura uk devem ser obtidos de ensaios de trao realizados segundo a NBR-6152. O valor de fyk para os aos sem patamar de

escoamento o valor da tenso correspondente deformao permanente de 2 .

Para clculo nos estados limites de servio e ltimo pode-se utilizar o diagrama tenso-

deformao simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aos com ou sem patamar

de escoamento.

16

Fig. 1.5 Diagrama tenso-deformao para aos de armaduras

passivas

Es

s

syd 10

I.7 Definies da NBR 6118(2003)

Concreto estrutural termo que se refere ao espectro completo das aplicaes do concreto

como material estrutural

Elementos de concreto simples estrutural elementos estruturais produzidos com concreto

sem nenhuma armadura, ou quando a possui em quantidades inferiores aos mnimos

estabelecidos nesta norma.

Elementos de concreto armado elementos estruturais produzidos com concreto cujo

comportamento estrutural depende da perfeita aderncia ao-concreto e onde no se aplicam

deformaes iniciais nas armaduras.

Elementos de concreto protendido elementos estruturais produzidos com concreto onde

parte da armadura previamente alongada por equipamentos especiais de protenso com a

finalidade de, em condies de servio, impedir ou limitar a fissurao e os deslocamentos da

estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aos de alta resistncia no ELU( estado

limite ltimo).

17

Armadura passiva qualquer armadura que no seja usada para produzir foras de

protenso, ou seja, armadura utilizada no concreto armado.

Armadura ativa (de protenso) armadura constituda por barras, fios isolados ou

cordoalhas, destinada a produzir foras de protenso, isto , armaduras com pr-alongamento

inicial.

Estados limites

Estado limite ltimo (ELU) estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de runa estrutural, que determine a paralisao do uso da estrutura.

1. estado limite ltimo da perda do equilbrio da estrutura, admitida como corpo rgido;

2. estado limite ltimo de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no seu todo ou em parte, devido s solicitaes normais e tangenciais;

3. estado limite ltimo de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;

4. estado limite ltimo provocado por solicitaes dinmicas; 5. estado limite ltimo de colapso progressivo; 6. outros estados limites ltimos que eventualmente possam ocorrer em casos

especiais.

Estados limites de servio (ELS) 1. Estado limite de formao de fissuras (ELS-F) estado que se inicia a formao

de fissuras. Admite-se que este estado limite atingido quando a tenso mxima

de trao na seo transversal for igual a fct,f , j definida anteriormente como a

resistncia caracterstica trao do concreto na flexo.

2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos mximos estabelecidos nesta norma.

3. Estado limite de deformaes excessivas (ELS-DEF) estado em que as deformaes atingem os limites estabelecidos para utilizao normal especificados

nesta norma.

4. Estado limite de vibraes excessivas (ELS-VE) estado em que as vibraes atingem os limites estabelecidos para utilizao normal da construo.

18

I.8 Aes

Na anlise estrutural deve ser considerada a influncia de todas as aes que possam produzir

efeitos significativos para a segurana da estrutura em exame, levando-se em conta os

possveis estados limites ltimos e os de servios. As aes so classificadas conforme a

NBR-8681(2003) em permanente, variveis e excepcionais.

I.8.1 Aes permanentes

Aes permanentes so as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a

vida da construo. As aes permanentes devem ser consideradas com seus valores

representativos mais desfavorveis para a segurana.

I.8.1.1 Aes permanentes diretas

As aes permanentes diretas so constitudas pelo peso prprio e pelos pesos dos elementos

construtivos fixos e das instalaes permanentes.

Peso prprio Peso dos elementos construtivos fixos e de instalaes permanentes NBR 6120(1980) Empuxos permanentes

I.8.1.2 Aes permanentes indiretas

As aes permanentes indiretas so constitudas pelas deformaes impostas por retrao e

fluncia do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeies geomtricas e protenso.

Retrao do concreto Fluncia do concreto Deslocamentos de apoio Imperfeies geomtricas

1. Imperfeies globais

2. Imperfeies locais

Momento mnimo Protenso

19

I.8.2 Aes variveis

I.8.2.1 Aes variveis diretas

As aes variveis diretas so constitudas pelas cargas acidentais previstas para o uso da

construo, pela ao do vento e da chuva.

Cargas acidentais previstas para o uso da construo Ao do vento Ao da gua Aes variveis durante a construo

I.8.2.2 Aes variveis indiretas

Variaes uniformes de temperatura Variaes no uniformes de temperatura Aes dinmicas

I.8.3 Aes excepcionais

No projeto de estruturas sujeitas a situaes excepcionais de carregamento, cujos efeitos no

podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas aes excepcionais com os

valores definidos, em caso particular, por Normas Brasileiras especficas.

I.8.4 Valores das aes

I.8.4.1 Valores caractersticos

Os valores caractersticos Fk das aes so estabelecidos na NBR-6118 (2003) em funo da

variabilidade de suas intensidades.

Para as aes permanentes Fgk , os valores caractersticos devem ser adotados iguais aos

valores mdios das respectivas distribuies de probabilidade, sejam valores caractersticos

superiores ou inferiores. Esses valores so aqui definidos ou em normas especficas, como a

NBR-6118(2003).

20

Os valores caractersticos das aes variveis Fqk , estabelecidos por consenso em Normas

Brasileiras especficas, correspondem a valores que tm de 25% a 35% de probabilidade de

serem ultrapassados no sentido desfavorvel, durante um perodo de 50 anos. Esses valores

so aqui definidos ou em normas especficas, como a NBR-6118(2003).

I.8.4.2 Valores representativos

As aes so quantificadas por seus valores representativos, que podem ser:

1. os valores caractersticos conforme definido acima;

2. valores convencionais excepcionais, que so os valores arbitrados para as aes

excepcionais;

3. valores reduzidos, em funo da combinao de aes, tais como:

verificaes de estados limites ltimos, quando a ao considerada se combina com a ao principal.Os valores reduzidos so determinados a partir da expresso

oFk , que considera muito baixa a probabilidade de ocorrncia simultnea dos valores caractersticos de duas ou mais aes variveis de naturezas diferentes;

verificao de estados limites de servio. Estes valores reduzidos so determinados a partir de 1Fk , que estima um valor freqente e 2Fk , que estima valor quase permanente, de uma ao que acompanha a ao principal.

I.8.4.3 Valores de clculo

Os valores de clculo Fd das aes so obtidos a partir dos valores representativos,

multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderao f definidos a seguir.

I.8.5 Coeficientes de ponderao das aes

As aes devem ser majoradas pelo coeficiente f dado por:

f = f1 . f2 . f3 (1.16) onde:

21

f1 parte do coeficiente de ponderao das aes f , que considera a variabilidade das aes

f2 parte do coeficiente de ponderao das aes f , que considera a simultaneidade de atuao das aes

f3 parte do coeficiente de ponderao das aes f , que considera os desvios gerados nas construes e as aproximaes feitas em projeto do ponto de vista das solicitaes

I.8.5.1 Coeficientes de ponderao das aes no ELU

Os valores-base so os apresentados na tabela 1.4 para f1 . f3 e na tabela 1.5 para f2 .

Tabela 1.4 Valores de f1 . f3

Combinaes de

aes

AesPermanentes

(g) Variveis

(q) Protenso

(p) Recalques de

apoio e retrao

D1) F G T D F D F

Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 Especiais ou de

construo 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0

Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 Onde: D desfavorvel, F favorvel, G geral e T temporria. 1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso prprio das estruturas, especialmente as pr-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.

I.8.5.2 Coeficientes de ponderao no ELS

Em geral , o coeficiente de ponderao das aes para estados limites de servio dado pela

expresso:

f = f2 (1.17)

onde f2 tem valor varivel conforme a verificao que se deseja fazer (tab. 1.5) f2 = 1 para combinaes raras f2 = 1 para combinaes freqentes

22

f2 = 2 para combinaes quase permanentes.

I.8.6 Combinaes de aes

Um carregamento definido pela combinao das aes que tm probabilidades no

desprezveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um perodo

preestabelecido.

Tabela 1.5 Valores do coeficiente f2

Aes

f2 0 11) 2

Cargas acidentais

de edifcios

Locais em que no h predominncia de peso de equipamentos que permanecem fixos por longos perodos de tempo, nem de elevadas concentraes de pessoas 2)

0,5 0,4 0,3

Locais em que h predominncia de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos perodos de tempo, ou de elevada concentrao de pessoas 3)

0,7 0,6 0,4

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6

Vento Presso dinmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0

Temperatura Variaes uniformes de temperatura em relao mdia anual local 0,6 0,5 0,3 1) Para os valores 1 relativos s pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seo 23. 2) Edifcios residenciais 3) Edifcios comerciais, de escritrios, estaes e edifcios pblicos

23

I.8.6.1 Combinaes ltimas

1. Combinaes ltimas normais Em cada combinao devem estar includas as aes

permanentes e a ao varivel principal, com seus valores caractersticos e as demais

aes variveis, consideradas secundrias, com seus valores reduzidos de combinao,

conforme NBR-8681(2003).

2. Combinaes ltimas especiais ou de construo Em cada combinao devem estar

presentes as aes permanentes e a ao varivel especial, quando existir, com seus

valores caractersticos e as demais aes variveis com probabilidade no desprezvel de

ocorrncia simultnea, com seus valores reduzidos de combinao, conforme NBR-

8681(2003)

3. Combinaes ltimas excepcionais - Em cada combinao devem estar presentes as

aes permanentes e a ao varivel excepcional, quando existir, com seus valores

representativos e as demais aes variveis com probabilidade no desprezvel de

ocorrncia simultnea, com seus valores reduzidos de combinao, conforme NBR-

8681(2003). Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incndio e colapso

progressivo.

4. Combinaes ltimas usuais para facilitar a visualizao, essas combinaes esto

listadas na tabela 11.3 da NBR-6118(2003)

I.8.6.2 Combinaes de servio

So classificadas de acordo com sua permanncia na estrutura como:

1. Quase permanente podem atuar durante grande parte do perodo de vida da estrutura e sua considerao pode ser necessria na verificao do estado limite de deformaes

excessivas (ELS-DEF);

2. Freqentes se repetem muitas vezes durante o perodo de vida da estrutura e sua

considerao pode ser necessria na verificao dos estados limites de formao de

fissuras, de abertura de fissuras e de vibraes excessivas. Podem tambm ser

consideradas para verificaes de ELS-DEF decorrentes de vento ou temperatura que

possam comprometer as vedaes;

3. Raras ocorrem algumas vezes durante o perodo de vida da estrutura e sua considerao

pode ser necessria na verificao do estado limite de formao de fissuras.

24

4. Combinaes de servio usuais para facilitar a visualizao, essas combinaes esto

listadas na tabela 11.4 da NBR 6118(2003)

I.8.7 Resistncias

I.8.7.1 Valores caractersticos

Os valores caractersticos fk das resistncias so os que, num lote de material , tm uma

determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorvel para a segurana.

Pode ser de interesse determinar a resistncia caracterstica inferior fk,inf e a superior fk,sup ,

que so respectivamente menor e maior que a resistncia mdia fm . Para efeito da NBR-6118

(2003), a resistncia caracterstica inferior admitida como sendo o valor que tem apenas 5%

de probabilidade de no ser atingido pelos elementos de um dado lote de material.

I.8.7.2 Valores de clculo

1. Resistncia de clculo A resistncia de clculo fd dada pela expresso:

fd = fk / m (1.18)

onde m o coeficiente de ponderao das resistncias.

2. Resistncia de clculo do concreto

A resistncia de clculo do concreto fcd obtida em duas situaes distintas:

quando a verificao se faz em data j igual ou superior a 28 dias

fcd = fck / c (1.19)

quando a verificao se faz em data j inferior a 28 dias

25

fcd = fckj / c = (1).(fck / c) (1.19)

sendo 1 a relao (fckj / fck ) dada por:

1 = exp{s{1-(28/t)1/2]} (1.20)

onde: s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV;

s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II;

s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI

t a idade efetiva do concreto, em dias.

I.8.7.3 Coeficientes de ponderao das resistncias

As resistncias devem ser minoradas pelo coeficiente:

m = m1 . m2 . m3 (1.21)

onde:

m1 a parte o coeficiente de ponderao das resistncia m , que considera a variabilidade da resistncia dos materiais envolvidos.

m2 a parte do coeficiente de ponderao das resistncia m , que considera a diferena entre a resistncia do material no corpo-de-prova e na estrutura.

m3 a parte co coeficiente de ponderao das resistncia m , que considera os desvios gerados na construo e as aproximaes feitas em projeto do ponto de vista das

resistncias.

Coeficientes de ponderao das resistncias no estado limite ltimo (ELU)

Os valores para verificao no ELU esto indicados na tabela 1.6

26

Tabela 1.6 Valores dos coeficientes c e s

Combinaes Concreto c Ao s

Normais 1.4 1.15 Especiais ou de

construo 1.2 1.15

Excepcionais 1.2 1

Coeficientes de ponderao das resistncias no estado limite de servio (ELS)

Os limites estabelecidos para os estados limites de servio no necessitam de minorao,

portanto m= 1.

I.9 Referncias Bibliogrficas

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (2003) NBR 6118 Projeto de

estruturas de concreto

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (1980) NBR 6120 Cargas para

clculo de estruturas de edificaes Procedimento

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (1987) NBR 6123 Foras

devidas ao vento em edificaes Procedimento

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (1996) NBR 7480 Barras e

fios de ao destinados a armadura para concreto armado Especificao

27

28

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (2003) NBR 8681 Aes e

segurana nas estruturas Procedimento

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (1996) NBR 12655 Concreto

Preparo, controle e recebimento Procedimento

RUSCH, H. (1981) Concreto armado e protendido, propriedades dos materiais e

dimensionamento Editora Campus, Rio de Janeiro

Captulo 2 - FLEXO NORMAL SIMPLES 2.1 - Introduo Dentre os esforos solicitantes o momento fletor M em condies normais o esforo preponderante no dimensionamento de peas estruturais como lajes e vigas. Quando o momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos eixos principais da seo transversal, a flexo dita normal . Se simultaneamente atua uma fora normal N ela dita normal composta e na ausncia desta, flexo normal simples. Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a fora cortante V, podendo no entanto em situaes especiais, ser o nico esforo solicitante. Nesse caso tem-se a flexo pura, situao ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as cargas simtricas P, quando se despreza o peso prprio da viga. Segundo o o item 16.1 da NBR 6118 (2003), o objetivo do dimensionamento, da verificao e do detalhamento garantir segurana em relao aos estados limites ltimos (ELU) e de servio (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas partes. Essa segurana exige que sejam respeitadas condies analticas do tipo:

Sd Rd MS,d MR,d (2.1) Onde Sd a solicitao externa de clculo e Rd a resistncia interna de clculo. Na figura 2.1, designou-se por Rcc a resultante de compresso no concreto e por Rst a resultante de trao na armadura (ao = steel), na seo em que atua o momento solicitante de clculo Md. Como flexo simples, Nd = 0, tem-se que o momento interno resistente equivalente a ao do binrio:

Rcc . z = Rst . z = Md (2.2) Quanto ao comportamento resistente flexo pura, sabe-se que sendo o concreto um material menos resistente trao do que compresso, to logo a barra seja submetida a um momento

Md Rcc

z Rst Nd=0

Seo Transversal

Figura 2.1 Esforos externos e internos na seo transversal

29

P P As Figura 2.2 Fissuras de flexo fletor capaz de produzir tenses de trao superiores s que o concreto possa suportar, surgem fissuras de flexo transversais, conforme mostrado na figura 2.2. A costura dessas fissuras pela armadura de flexo As impede que as mesmas cresam indefinidamente ocasionando a ruptura total da pea. Conforme ser visto no captulo 4, a abertura dessas fissuras depender substancialmente das caractersticas e do detalhamento final da armadura de flexo. A runa de uma pea flexo um fenmeno de difcil caracterizao, devido basicamente a

complexidade envolvida no funcionamento conjunto ao-concreto. Portanto para que essa

tarefa seja possvel convenciona-se que a runa de uma seo flexo alcanada quando,

pelo aumento da solicitao, atingido a ruptura do concreto compresso ou da armadura

trao. Para sees parcialmente comprimidas, admite-se que ocorra a ruptura do concreto

quando o mesmo atinge na sua fibra mais comprimida o encurtamento limite (ltimo)

cc,u=3,5 . Para o ao admite-se que a ruptura trao ocorra quando se atinge um alongamento limite (ltimo) s,u = 10 . O alongamento mximo de 10 se deve a uma limitao da fissurao no concreto que envolve a armadura e no ao alongamento real de

ruptura do ao, que bem superior a esse valor.

Atinge-se, ento, o estado limite ltimo - ELU, correspondente a ruptura do concreto

comprimido ou a deformao plstica excessiva da armadura.O momento fletor Md o

momento de ruptura, enquanto o momento de servio ser o de ruptura dividido pelo

coeficiente de ponderao das aes f, ou seja:

Msev = Md / f (2.3)

30

Conforme o item 17.2 da NBR 6118, na anlise dos esforos resistentes de uma seo de viga

ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipteses bsicas:

1. As sees transversais se mantm planas aps a deformao; os vrios casos possveis so

ilustrados na figura 2.3;

2. a deformao das barras passivas aderentes em trao ou compresso deve ser a mesma do

concreto em seu entorno;

3. as tenses de trao no concreto, normais seo transversal, devem ser desprezadas,

obrigatoriamente no ELU;

4. Para o encurtamento de ruptura do concreto nas sees parcialmente comprimidas

considera-se o valor convencional de 3,5 (domnios 3,4 e 4a da figura 3). Nas sees

inteiramente comprimidas (domnio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais

comprimida, na ocasio da ruptura, varie de 3,5 a 2 , mantendo-se inalterado e igual

a 2 a deformao a 3/7 da altura da seo, a partir da borda mais comprimida.

5. Para o alongamento mximo de ruptura do ao considera-se o valor convencional de 10

(domnios 1 e 2 da figura 2.3) a fim de prevenir deformao plstica excessiva.

6. A distribuio das tenses do concreto na seo se faz de acordo com o diagrama

parbola-retngulo da figura 2.4. Permite-se a substituio desse por um diagrama

retangular simplificado de altura y=0,8 x (x a profundidade da linha neutra), com a

seguinte tenso:

0,85 . fcd = 0,85 . fck / c = cd = fc (2.4)

no caso em que a largura da seo, medida paralelamente linha neutra, no diminua a

partir desta para a borda comprimida;

0,80 . fcd = 0,80 . fck / c = cd = fc (2.5)

no caso contrrio.

7 A tenso nas armaduras deve ser obtida a partir das suas deformaes usando os

diagramas tenso-deformao, com seus valores de clculo.

31

Alongamento Encurtamento 2.2 - Seo subarmada, normalmente armada e superarmada

No caso particular de flexo simples, dos domnios existentes ficam eliminados os de nmero

1 (seo totalmente tracionada), 4a e 5 (seo totalmente comprimida), restando pois os

domnios possveis 2,3 e 4.

Os domnios 2 e 3 correspondem ao que se denomina seo sub-armada (a armadura escoa

antes da ruptura do concreto compresso: sd yd). O domnio 4 corresponde ao que se

2,0%o

3,5%o 2,0%o d B

h73 a

d

b C 2 1

h 5 3 4 A

4ayd 10,0%

Figura 2.3 Domnios de deformao (Tepdino/NBR-6118)

cd=0,85fcd ou 0,80fcd 3,5%o cd=0,85fcd

y =

0.8x

x

h

Figura 2.4 Diagramas parbola-retngulo e retangular simplificado do concreto (Tepedino)

32

denomina seo superarmada (o concreto atinge o encurtamento convencional de ruptura

antes da armadura escoar: sd < yd).

Costuma-se chamar normalmente armada uma seo que funciona no limite entre as duas

situaes acima, isto , no qual, teoricamente, o esmagamento convencional do concreto

comprimido e a deformao de escoamento do ao ocorram simultaneamente. Na figura 2.3 a

situao de peas normalmente armadas ocorre no limite entre os domnios 3 e 4.

Segundo Tepedinio em princpio, no h inconveniente tcnico na superarmao, a no ser,

talvez, alguma deformao excessiva por flexo, fato que pode ser prevenido. No entanto, a

superarmao antieconmica, pelo mau aproveitamento da resistncia do ao. Por isto

mesmo, sempre que possvel, devem-se projetar sees subarmadas ou normalmente armadas,

sendo a mesma desaconselhvel pela NBR 6118.

A NBR 6118 prescreve no item 14.6.4.3 limites para redistribuio de momentos e condies

de dutilidade:

A capacidade de rotao dos elementos estruturais funo da posio da linha neutra no

ELU. Quanto menor x/d, maior essa capacidade.

Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regies de apoios das vigas ou de ligaes com

outros elementos estruturais, mesmo quando no forem feitas redistribuies de esforos

solicitantes, a posio da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:

a) x/d 0,50 para concretos com fck 35 MPa; ou b) x/d 0,40 para concretos com fck > 35 MPa;

E no item 17.2.3, dutilidade de vigas:

Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuio de esforos,

importante garantir boas condies de dutilidade, sendo adotada, se necessrio, armadura de

compresso que garante a posio adequada da linha neutra (x), conforme 14.6.4.3

33

A introduo da armadura de compresso para garantir o atendimento de valores menores de

x (posio da linha neutra), que estejam nos domnios 2 ou 3, no conduz a elementos

estruturais com ruptura frgil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frgil est

associada a posio da linha neutra no domnio 4, com ou sem armadura de compresso.

2.3 - Seo retangular flexo simples

Segundo Tepedino no caso da seo retangular, pode-se, sem erro considervel e obtendo-se

grande simplificao, adotar, para os domnios 2 e 3 (seo subarmada ou normalmente

armada), o diagrama retangular para as tenses no concreto, permitido pela NBR 6118,

representado na figura 2.5.

Para que a tenso sd na armadura tracionada seja igual a fyd, necessrio e suficiente que a profundidade relativa da linha neutra (x/d) seja menor ou igual profundidade relativa limite

do domnio 3, dada por:

0,035

0,035dx

ydlim3,

lim3, +=

= (2.6)

com yd, deformao de clculo ao escoamento da armadura, dada por:

b

h

Asfyd

Rcc = fc.b.y Ass

c 0,0035 fc = cd = 0,85fcd

Md

syd

sy = 0.8x

d

x

Figura 2.5 Seo retangular flexo simples

d

As

As

34

yd = fyd / Es (2.7)

De acordo a figura 2.5 pode-se escrever as seguintes equaes de equilbrio:

MAs = 0 Md = Rcc . (d y/2) + As . sd . (d d) (2.8)

Fh = 0 Nd = 0 = Rcc + As . sd As . fyd (2.9)

Ao dividir todos os termos da equao (2.8), de equilbrio em termos de momentos, por uma

quantidade que tem a mesma dimenso de um momento, como o termo fc.b.d2, obtm-se uma

equao de equilbrio em termos adimensionais, que depois de substitudo o valor de

Rcc=fc.b.y e cancelados os valores iguais no numerador e denominador fica:

+=dd'1

bdf'A'K'K

c

sds (2.10)

Onde:

2c

d

bdfMK = (2.11)

o parmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor solicitante (externo)

de clculo;

=

=

=

2

2dy1

dy

bdf2ydbyf

K' 2c

c

(2.12)

o parmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor resistente (interno) de

clculo, devido ao concreto comprimido. O terceiro termo de (2.10) mede a intensidade do

momento fletor resistente (interno) de clculo, devido armadura As comprimida.

Na equao (2.12), o valor da profundidade relativa da linha neutra referente ao diagrama retangular simplificado de tenses no concreto, ou seja:

= (y/d) = 0,8 . (x/d) = 0,8 . (2.13)

35

A equao (2.12) representa uma equao do segundo grau em e ,portanto, conforme (2.13), em funo da incgnita x (profundidade da linha neutra), que depois de resolvida fornece

entre as duas razes do problema, o seguinte valor possvel:

(2.14) 2K'11 =

Voltando-se equao (2.10), multiplicando-se e dividindo-se o ltimo termo

simultaneamente por fyd, obtm-se a expresso para o clculo da armadura comprimida As:

dd'1

K'KfbdfA'yd

cs

= (2.15)

Onde representa o nvel de tenso na armadura comprimida, dada por:

= sd / fyd 1 (2.16)

A partir da equao de equilbrio (2.9) determina-se a armadura de trao As dada por:

yd

sds

yd

cs f

'A'fbyfA += (2.17)

Multiplicando-se e dividindo-se simultaneamente o segundo termo de (2.17) por d e

substituindo a relao sd / fyd do terceiro termo pela equao (2.16), obtm-se:

A'dy

fbdfA syd

cs += (2.18)

De (2.13) e (2.14) sabe-se que (y/d) = = 1 (1 2.K)1/2 que levado em(2.18) fornece:

As = As1 + As2 (2.19)

com

36

( 2K'11fbdfAyd

cs1 = ) (2.20)

dd'1

K'Kfbdf

A'Ayd

css2

== (2.21)

Uma vez calculada a armadura As, com sua parcela As2 pode-se obter a armadura As dada

por:

As = As2 / (2.22)

As expresses (2.19) a (2.22) so as utilizadas para o clculo flexo de vigas com seo

retangular.

A armadura de compresso As nem sempre necessria para equilibrar o momento externo

Md (representado adimensionalmente por K), que nesse caso ser equilibrado internamente

apenas pelo momento devido ao concreto comprimido (representado adimensionalmente por

K). A nica possibilidade matemtica de se ter armadura As nula e conseqentemente

tambm As2, fazer em (2.15) ou em (2.21) K = K. Essa igualdade tem uma explicao

fsica coerente com a situao de armadura simples (sem armadura de compresso), ou seja:

- quando o momento externo Md, (K), for equilibrado pelo momento interno devido ao

concreto comprimido, (K), isto K = K, no necessrio armadura de compresso.

Conforme visto anteriormente na equao (2.6), a mxima profundidade relativa da linha

neutra para se ter seo subarmada ou normalmente armada a correspondente ao limite do

domnio 3. Com essa profundidade limite obtm-se o mximo momento interno resistente

KL, que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situao limite, a

partir da equao (2.12), obtm-se:

KL = KL = L (1 - L / 2) (2.23)

Com

L = (y/d)L = 0,8.(x/d)L = 0,8 . 3,lim (2.24)

37

O valor de 3,lim depende do tipo de ao empregado, assim como as outras grandezas da tabela 2.1 abaixo.

Tabela 2.1 Valores de KL sem a considerao da dutilidade

Ao fyd (kN/cm2)

yd ()

3,lim (x/d)3,lim

L KL CA-25 21,74 1,035 0,772 0,617 0,427 CA-50 43,48 2,070 0,628 0,503 0,376 CA-60 52,17 2,484 0,585 0,468 0,358

A relao = (x/d), alm de satisfazer ao limite estabelecido em (2.6), que gerou a tabela 2.1, deve tambm atender aos limites fixados pela NBR 6118 em 14.6.4.3, para melhoria da

dutilidade, que fixa a profundidade relativa limite em:

lim = (x/d)lim 0,50 para concretos com fck 35 MPa (2.25)

lim = (x/d)lim 0,40 para concretos com fck 35 MPa

Observando-se a tabela 2.1 nota-se que todos os valores de 3,lim so superiores aos das equaes (2.25) e que, portanto, para se atender s prescries de melhoria de dutilidade das

vigas deve-se ter os seguintes valores de KL da tabela 2.2, que agora no mais dependem do

tipo de ao, mas sim apenas se a resistncia fck do concreto inferior ou no a 35 MPa.

Tabela 2.2 Valores finais de KL, com a considerao da dutilidade

fck

KL

35 MPa 0,320

> 35 MPa 0,269

A partir da equao (2.11) e considerando os valores limites da tabela 2.2, obtm-se: Md,L = KL . (fc.b.d2) (2.26)

38

bfK

MdcL

dL = (2.27)

onde:

Md,L o mximo momento fletor de clculo resistido com armadura simples dL a altura til mnima necessria para resistir ao Md com armadura simples

Caso o momento de clculo atuante seja maior que Md,L ou ainda que a altura til seja menor

que dL,o que significa em ambos, K > KL, torna-se necessrio para o equilbrio a armadura de

compresso As. Essa situao, com a utilizao simultnea de armadura de trao As e de

compresso As, caracteriza sees dimensionadas flexo com armadura dupla.

Conforme j citado a superarmao deve sempre ser evitada, principalmente por ser

antieconmica. Na situao de armadura dupla para os valores da tabela 2.2, caso se pretenda

absorver um momento solicitante superior ao Md,L apenas com armadura de trao, isso no

significa necessariamente peas superarmadas. J com os valores da tabela 2.1, caso a mesma

situao ocorra e seja possvel o equilbrio apenas com armadura simples (s As), essa seo

ser obrigatoriamente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.1 referem-se ao final

do domnio 3.

Na situao de armadura dupla K > KL (Md > Md,L), basta fazer nas equaes de

dimensionamento flexo em sees retangulares, equaes (2.19) a (2.22), K = KL. Essa

igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto

comprimido K igual ao mximo momento fletor de clculo resistido com armadura simples

KL. Essa parcela do momento total ser resistida pelo concreto comprimido e pela armadura

tracionada As1. A diferena (Md Md,L), que em termos adimensionais fica (K KL), ser

absorvida pela parcela da armadura de trao As2 e pela armadura de compresso As.

No clculo da armadura As aparece o nvel de tenso na armadura comprimida, que normalmente vale 1, ou seja sd = fyd. A tenso na armadura comprimida sd funo da deformao sd, que por sua vez depende da profundidade relativa da linha neutra = (x/d). Na situao de armadura dupla (onde As 0) essa profundidade relativa constante e igual a lim = (x/d)lim dado na equao (2.25), para cada uma das duas faixas de resistncia do concreto (fck 35 MPa ou fck> 35 MPa).

39

Considerando os valores limites da equao (2.25) nota-se que ambos, (x/d)=0,4 e (x/d)=0,5,

so menores que os valores de 3,lim = (x/d)3,lim da tabela 2.1, para as trs categorias de ao CA-25, CA-50 e CA-60. Alm disso, o valor da profundidade relativa do domnio 2 dado

por 2,lim = (x/d)2,lim = (3,5 / 13,5) = 0,259. Pode-se concluir, portanto, que para as trs categorias de ao empregados em peas de concreto armado, a profundidade relativa limite

que define a armadura dupla estar no domnio 3, ou seja:

2,lim = 0,259 < lim = (x/d)lim < 3,lim (2.28)

A definio do ELU para o domnio 3 c,max = 3,5 , conforme indicado na figura 2.6. A deformao s pode ser calculada a partir da seguinte equao, retirada por semelhana de tringulos na figura 2.6:

limlim

s

x0,035

d'x' = (2.29)

0,035

dx

dd'

dx

0,035x

d'x'

lim

lim

lim

lims

== (2.30)

Caso s seja menor que o valor da deformao de clculo correspondente ao escoamento yd, a tenso sd obtida pela aplicao da Lei de Hooke, sd = Es . s, o que implica em valor

s

c,max=0,035 d

xlim sd

Figura 2.6 Diagrama de deformao na armadura dupla

40

de menor que 1. Caso contrrio sd = fyd, o que implica em = 1. Fazendo s yd em (2.30) obtm-se a inequao (2.31) que expressa a relao (d/d) abaixo da qual se tem = 1:

0,035

1dx

dd' yd

lim

(2.31)

O ao CA-25 pouco usado no Brasil, o CA-60 normalmente usado para flexo em lajes,

onde no se usa armadura dupla, restando, pois o ao CA-50, que o mais utilizado para

flexo em vigas. Para esse ao yd = 2,07 , e considerando (x/d)lim = 0,5 (fck35 MPa) a equao (2.31) fica:

(d/d) 0,204 ou (d/d) 4,896 (2.32) Esse valor expresso por (2.32), assim como para outros tipos de ao e (x/d)lim, esto indicados na tabela 2.3. Tabela 2.3 Valores das relaes entre d e d, para se ter = 1(nvel de tenso em As)

Ao

fck 35 MPa (x/d)lim = 0,5

fck > 35 MPa (x/d)lim = 0,40

(d/d) (d/d) (d/d) (d/d) CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550

CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121

CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616

Os valores da tabela 2.3 so as relaes usuais para vigas de concreto armado, ou seja, geralmente o nvel de tenso na armadura comprimida igual a 1. No entanto, para situaes pouco comuns, no contempladas na tabela 2.3, o valor de = sd / fyd 1, pode ser obtido com sd = Es . s fyd, a partir da equao (2.30):

1f

E0,035

dx

dd'

dx

yd

s

lim

lim

= (2.33)

Todo o dimensionamento de sees retangulares submetidas flexo simples encontra-se de forma resumida na prxima pgina.

41

Valores de KL

fck KL 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269

Relaes entre d e d para de ter o nvel de tenso = 1

Ao fck 35 MPa fck > 35 MPa (d/d) (d/d) (d/d) (d/d)

CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616

As d

As

b

d

y=0,8x

Md

cd=fc=0,85fcd As.s

Rcc=fcby

Asfyd d-y

/2

d-d

FLEXO NORMAL SIMPLES SEO RETANGULAR (TEPEDINO)

K KL K = K 2

c

d

bdfMK =

> KL K = KL

K

( )2K'11fbdfAyd

cs1 =

s2s1s AAA +

dd'1K'K

fbdfAyd

cs2

=

0,8dx =2K'11 =AA' s2s =

yd

sd

f'

= ( ) ( )( )

lim

lim

yd dx

dd'

dx

f735

=

2 fyd em kN/cm

42

2.4 Seo T ou L flexo simples

Nas estruturas de concreto armado so muito freqentes as sees em T ou L, uma vez que

as nervuras das vigas so normalmente solidrias s lajes, que colaboram na resistncia

compresso, conforme mostrado na figura 2.7.

necessrio salientar que uma viga de concreto armado com seo geomtrica em T ou L,

isto , composta de uma nervura e uma mesa, somente pode ser considerada como tal no

clculo, quando a mesa estiver comprimida; caso contrrio a seo se comportar como

retangular de largura bw(Tepedino).

Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama retangular

simplificado, seja menor ou igual a altura da mesa (y hf), a seo ser tratada como retangular, de largura bf.

Tambm no caso da seo em T ou L vlida e vantajosa a substituio do diagrama

parbola-retngulo pelo retangular simplificado.

hf

bf

d =f

bw

d x

Figura 2.7 Seo T flexo simples

s

s

c

y=0,8x

Md

cd c=0,85fcdAssd Rcc

A fs yd

43

Para sees normalmente armadas ou subarmadas (s yd s = fyd), podem ser montadas as seguintes equaes de equilbrio:

( ) ( )d'd'A'2

hdhbbf2ydybfM sdsffwfcwcd +

+

= (2.34)

(2.35) ( ) 0fA'A'hbbfybfN ydssdsfwfcwcd =++=

Transformando-se a equao (2.34) conforme procedimento anlogo ao da seo retangular e

lembrando-se que = y/d e = sd/fyd obtm-se:

+

+

=

dd'1

bdffA'

2dh1

dh1

bb

21

bdfM

c

ydsff

w

f2

c

d (2.36)

Fazendo-se

=

2dh1

dh1

bb

bdfMK ff

w

f2

c

d (2.37)

=21K' (2.38)

Nota-se pelo valor de K em (2.37), que ao diminuir do momento total solicitante de clculo

Md o momento resistido apenas pelas laterais da mesa comprimida - fc(bf-bw)hf(d-hf/2), o

problema se transforma na flexo de uma seo retangular de largura bw.

Levando-se (2.37) e (2.38) em (2.36) obtm-se:

dd'1

KK'f

dbfA'yd

wcs

= (2.39)

44

Os critrios para limitao do valor de K so os mesmos da seo retangular, portanto:

K KL K = K

K > KL K = KL

Da equao (2.35) obtm-se:

sf

w

f

yd

wcs A'd

h1bb

f

dbfA +

+= (2.40)

O valor de pode ser obtido de (2.38) resultando como na seo retangular a expresso (2.14), que levada em (2.40) fica:

As = As1 + As2 (2.41)

+=

dh1

bb2K'11

fdbfA f

w

f

yd

wcs1 (2.42)

dd'1

K'Kf

dbfAyd

wcs2

= (2.43)

Da mesma forma que na seo retangular

(2.44) AA' s2s =

Fazendo-se bf = bw nas equaes (2.41) a (2.44) elas se transformam nas equaes (2.19) a

(2.22) para a seo retangular, como era de se esperar.

Analisando-se a equao (2.37) nota-se que quando K = 0, o momento externo de clculo Md

igual ao momento interno resistido apenas pelas laterais comprimidas da mesa. Como nesse

caso o trecho da mesa de largura bw ainda est comprimido, a profundidade da linha neutra

45

ser menor que hf, para se ter o equilbrio. Isso significa que mesmo para pequenos valores de

K positivos, a linha neutra cortar a mesa e o dimensionamento se far como seo retangular

de largura bf. O valor positivo de K abaixo do qual a mesa estar parcialmente comprimida

encontrado fazendo-se em (2.37) K = K,uma vez que para pequenos valores de K a armadura

comprimida igual a zero. Como K = (1-/2) e nesse caso y = hf, tem-se:

=

==2dh1

dh

21K'K ff0 (2.45)

Para valores de K K0 o dimensionamento deve ser feito como seo retangular bf x h. Embora esse seja o valor correto, sabe-se que usando o limite do Prof. Tepedino, K 0, a armadura calculada como seo T com 0 K K0, d o mesmo resultado que como seo retangular bf x h nesse mesmo intervalo. Portanto, para efeito dessa publicao ser tomado

como o limite para se ter a mesa parcialmente comprimida o estabelecido pelo Prof.

Tepedino, K 0.

Normalmente a largura colaborante da mesa bf (determinada no item seguinte) conduz a

valores de momentos resistentes internos, que dificilmente precisam de uma profundidade da

linha neutra superior a hf. Nessa situao o melhor seria, determinar o mximo momento

interno de clculo resistido pela mesa inteiramente comprimida, denominado Md,referncia e

dado por:

=2

hdhbfM fffcrefd, (2.46)

Md Md,ref y hf seo retangular bf x h

Md > Md,ref y > hf seo T ou L

2.4.1 Determinao da largura colaborante da mesa - bf

Quando uma viga submetida flexo deforma, ela traz consigo a laje que lhe solidria, que

se estiver comprimida auxiliar na absoro do momento fletor atuante. Adotando-se o

46

diagrama retangular simplificado da NBR-6118, a tenso na mesa comprimida

correspondente ao trecho comum com a nervura (bw), deve ser igual a cd = fc = 0,85fcd.

Afastando-se desse trecho nos dois sentidos, conforme mostrado na figura 2.8, a tenso de

compresso deve diminuir at zero, para pontos na laje bem distantes da nervura. Essa

distribuio de tenses na mesa pode ser obtida pela teoria da elasticidade, mas pela NBR-

6118 ela substituda por uma distribuio uniforme simplificada, com tenso igual a fc, e

com uma largura total igual a bf, de tal forma que as resultantes de compresso em ambas as

distribuies sejam estaticamente equivalentes.

Segundo a NBR-6118, no item 14.6.2.2, a largura colaborante bf deve ser dada pela largura

bw acrescida de no mximo 10% da distncia a entre pontos de momento fletor nulo, para

cada lado da viga em que houver laje colaborante.

A distncia a pode ser estimada, em funo do comprimento l do tramo considerado,como se

apresenta a seguir:

fc

bf Distribuio simplificada equivalente

Distribuio real de tenses na mesa

bw

Figura 2.8 Distribuio real e simplificada de tenses na mesa

47

viga simplesmente apoiada a = 1,00 l, tramo com momento em uma s extremidade a = 0,75 l; tramo com momentos nas duas extremidades a = 0,60 l; tramo em balano a = 2,00 l.

Alternativamente, o cmputo da distncia a pode ser feito ou verificado mediante exame dos

diagramas de momentos fletores na estrutura.

Devem ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na figura 2.9.

b1 0,5 b2 b1 0,1 a (2.47)

b3 b4 b3 0,1 a

bfbf

c b3 b1 b1 b1

b4

c b2

bw bw

Figura 2.9 Largura da mesa colaborante

48

K KL K = K

=

2dh1

dh1

bb

dbfMK ff

w

f2

wc

d K 0 seo retangular bf x h K > KL K = KL

+=

dh1

bb2K'11

fdbfA f

w

f

yd

wcs1

s2s1s AAA +

dd'1K'K

fdbfA

yd

wcs2

=

AA' s2s = 2K'11 = 0,8dx =

Valores de KL

fck KL 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269

Relaes entre d e d para de ter o nvel de tenso = 1

Ao fck 35 MPa fck > 35 MPa (d/d) (d/d) (d/d) (d/d)

CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616

FLEXO NORMAL SIMPLES SEO T OU L (TEPEDINO)

hf

bf d cd=fc=0,85fcdAssd Rcc

As d Md

As Asfyd

bw

yd

sd

f'

= ( ) ( )( )

lim

lim

yd dx

dd'

dx

f735

=

fyd em kN/cm2

49

2.5 Prescries de norma referente s vigas

2.5.1 Armadura longitudinal mnima de trao

De acordo o item 17.3.5.2 da NBR-6118, a armadura mnima de trao, em elementos

estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seo a

um momento fletor mnimo dado pela expresso a seguir, respeitada a taxa mnima absoluta

de 0,15 %.

Md,min = 0,8 .W0 . fctk,sup (2.48)

Onde:

W0 o modulo de resistncia da seo transversal bruta de concreto, relativo fibra mais tracionada;

fctk,sup a resistncia caracterstica superior do concreto trao (item 8.2.5 da NBR-6118).

De 8.2.5 sabe-se que:

fctk,sup = 1,3 . fctm = 0,39 . (fck)2/3 (MPa) (2.49)

O dimensionamento para Md,min deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas

de armadura da tabela 2.4 abaixo.

A taxa mecnica mnima de armadura longitudinal de flexo para vigas, min, que aparece na tabela 2.4, dada por:

cd

ydmin

cdc

ydmins,min f

f

fAfA

== (2.50)

De (2.50) pode-se obter min a partir do valor dado de min:

minyd

cdmin f

f = (2.51)

50

Tabela 2.4 Taxas mnimas de armadura de flexo para vigas

Forma da

seo

Valores de min1) = (As,min / Ac) - % fck min

20 MPa

25 MPa

30 MPa

35 MPa

40 MPa

45 MPa

50 MPa

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

T (Mesa comprimida)

0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197

T (Mesa tracionada)

0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255

Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575

1) Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupem o uso de ao CA-50, c=1,4 e s=1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, min deve ser calculado com base no valor de min dado. NOTA Nas sees tipo T, a rea da seo a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

Os valores da tabela 2.4 foram obtidos para ao CA-50, c=1,4 e s=1,15. Como exemplo para esses valores, a taxa mnima para seo retangular com concreto fck=30 MPa, fica:

min = (30/1,4) x 0,035 / (500/1,15) = 0,00173 = 0,173 %

Para outros valores de tipo de ao ou de coeficientes de ponderaes dos materiais, no se

pode usar a tabela 2.4, devendo-se calcular a taxa mnima pela equao (2.51), que o caso

por exemplo, das lajes, onde se usa normalmente ao CA-60.

2.4.2 Armadura de pele

Segundo o item 17.3.5.2.3 da NBR-6118, a armadura mnima lateral deve ser 0,10 % Ac,alma

em cada face da viga e composta por barras de alta aderncia (12,25) com espaamento no maior que 20 cm ou d/3 (18.3.5), respeitado o disposto em 17.3.3.2 (toda armadura de pele

tracionada deve manter um espaamento menor ou igual a 15).

Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilizao de armadura

de pele.

51

2.4.3 Armaduras de trao e compresso

A soma das armaduras de trao e de compresso (As + As) no deve ter valor maior que

4%Ac, calculada na regio fora da zona de emendas.

2.4.4 Distribuio transversal das armaduras longitudinais

O espaamento mnimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da

seo transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

na direo horizontal (ah) - 20 mm;

- dimetro da barra, do feixe ou da luva;

- 1,2 vez o dimetro mximo do agregado;

na direo vertical (av) - 20 mm

- dimetro da barra, do feixe ou da luva;

- 0,5 vez o dimetro mximo do agregado.

Na figura 2.10 esto indicados os espaamentos mnimos na direo horizontal (ah) e vertical

(av). Com base nessa figura obtm-se a largura til (btil) da viga dada por:

btil = bw 2 . (c + transv) (2.52) onde:

c o cobrimento nominal da armadura transv o dimetro da armadura transversal (estribo)

O nmero mximo de barras longitudinais com dimetro long que cabem em uma mesma camada, atendendo ao espaamento horizontal ah especificado acima, fica:

longh

htiladabarras/cam a

abn ++ (2.53)

52

btil

c transv

ah

av

long bw

Figura 2.10 Distribuio transversal das armaduras longitudinais

Adota-se como valor final do nmero de barras por camada, a parcela inteira do nmero

calculado em (53).

2.4.5 Armaduras de ligao mesa-alma ou talo-alma

Segundo o item 18.3.7 da NBR-6118, os planos de ligao entre mesas e almas ou tales e

alma devem ser verificados com relao aos efeitos tangenciais decorrentes das variaes de

tenses normais ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistncia do

concreto, quanto das armaduras necessria para resistir s traes decorrentes desses efeitos.

As armaduras de flexo da laje, existentes no plano de ligao, podem ser consideradas como

parte da armadura de ligao, complementando-se a diferena entre ambas, se necessrio. A

53

54

seo transversal mnima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura til e ancorada na

alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro.

Captulo 3 -LAJE

3.1 Definio

Placa um elemento estrutural laminar, uma dimenso (espessura) bem menor que as outras

duas em planta, solicitada predominantemente por cargas normais ao seu plano. Quando a

placa de concreto armado ela normalmente chamada de laje. Como exemplo pode-se citar

lajes de piso e forro dos edifcios, lajes de reservatrios, muros de conteno.

3.2 Histrico

As placas devido a sua importncia como elemento de vedao, piso e de transferncia de

cargas para as vigas, tem merecido ao longo dos tempos grande destaque dos pesquisadores e

constitui ainda hoje um tema inesgotvel de pesquisas.

As placas podem ser classificadas segundo a sua espessura h, comprada com a sua menor

dimenso em planta a como:

Placas muito esbeltas, quando (h/a) (1/100) Placas esbeltas, quando (1/100) < (h/a) (1/5) Placas espessas, quando (h/a) < (1/5)

As placas de concreto, chamadas de lajes, se situam normalmente na faixa de variao das

placas esbeltas, cujo teoria clssica ou de Kirchhoff, interpreta razoavelmente os seus

resultados, que so baseados na soluo da seguinte equao diferencial de quarta ordem:

(4w / x4) + 2 . (4w / x2y2) + (4w / y4) = p/D (3.1)

onde:

w o deslocamento transversal (vertical) da placa;

55

p a carga normal distribuda, aplicada a placa; D a rigidez da placa flexo, dada por:

D = Ec . h3 / 12(1 - 2) (3.2)

Onde Ec e so respectivamente, o mdulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do concreto.

A soluo analtica da equao (3.1) s possvel para situaes particulares de condies de

contorno e de carregamento. Para a maioria dos casos recorre-se a solues numricas para a

soluo da placa baseada nos Mtodos das Diferenas Finitas (MDF), Mtodo dos Elementos

Finitos (MEF) e Mtodo dos Elementos de Contorno (MEC).

Normalmente as lajes de concreto dos edifcios residenciais so retangulares e para essas

foram produzidas desde o incio tabelas para clculo de reaes de apoio e de momentos

fletores. Estas tabelas foram elaboradas baseadas na teoria da elasticidade usando-se

integrao numrica ou sries duplas de Fourier para a soluo da equao (3.1).

As primeiras tabelas utilizadas foram produzidas por Marcus, que resolveu o problema,

substituindo a placa por uma grelha, com vigas ou faixas unitrias perpendiculares e

independentes entre si, introduzindo coeficientes semi-empricos para levar em conta a toro

entre as mesmas, contemplada na equao (3.1) pela derivada cruzada, ou seja em x e y. O

processo de clculo desprezando-se a toro entre as faixas perpendiculares normalmente

conhecido como teoria da grelha ou dos quinhes de carga para clculo de lajes retangulares.

Para o entendimento desse processo simples e normalmente utilizado para a soluo de lajes

nervuradas, seja a figura 3.1 onde uma laje retangular axb, simplesmente apoiada em todos os

quatro lados e submetida a uma carga total p, que ser distribuda em pa e pb, parcelas ou

quinhes da carga total que atuaro nas direes a e b respectivamente. Trata-se de um

problema estaticamente indeterminado cuja nica equao de equilbrio dada por:

p = pa + pb (3.3)

56

Para a soluo desse problema cujas incgnitas so as parcelas ou quinhes de carga pa e pb

deve-se lanar mo de uma equao de compatibilidade geomtrica, que nesse caso consiste

em igualar as flechas a e b no centro da placa, correspondente s flechas mximas nas direes a e b, respectivamente (figura 3.1).

384EI

b5p

384EIa5p

4

bb

4a

a === (3.4)

De (3.4) obtm-se:

pa = pb . (b / a)4 (3.5)

Levando-se (3.5) em (3.3) obtm-se a expresso da parcela de carga na direo b:

pk

ab1

pp b4b =

+= (3.6)

1

pa

a

p b

b

b

1

a

Figura 3.1 Quinhes de cargas

57

4b

ab1

1k

+= ka = 1 - kb (3.7)

Onde ka e kb so os coeficientes para se determinar os quinhes de cargas nas direes a e b

respectivamente.

Para a determinao das reaes e momentos fletores da laje basta calcular isoladamente as

vigas nas direes a e b, utilizando-se as parcelas ou quinhes de carga obtidos.

Pela equao (3.7) para uma relao (b/a) = 2 o valor de kb = 1 / 17 0,06 e conseqentemente ka 0,94, indicando que a laje funciona praticamente na direo menor a. Conforme ser visto adiante, a partir da relao (b/a) > 2 a laje ser considerada armada em

uma direo, ou seja a dimenso menor, sendo que para relaes menores, a laje ser

considerada armada em duas direes ou em cruz.

Outras tabelas para o clculo de reaes e momentos bastante utilizadas so as tabelas de

Kalmanock, que integrou numericamente a equao diferencial (3.1) e tabelou para diversos

tipos de lajes retangulares e de relaes (b/a), variando de 0,5 a 2. Estas tabelas, como outras

baseadas na teoria da elasticidade, so utilizadas no clculo de lajes em regime elstico.

Existem tambm as tabelas baseadas no regime rgido-plstico, ou das linhas de ruptura, ou

das charneiras plsticas (Ingerslev -1923 e Johansen -1932), onde o diagrama tenso-

deformao do material constituinte da laje elasto-plstico perfeito, com um trecho linear

elstico seguido por um trecho perfeitamente plstico. Este processo extremamente simples de

clculo pode ser visto na apostila de lajes retangulares do Prof. Jos de Miranda Tepedino,

que originou tanto as tabelas para clculo de momentos fletores no regime rgido-plstico,

quanto no elstico, mostradas adiante.

3.3 Laje retangular armada em uma direo

Conforme visto no item anterior as lajes retangulares cuja relao entre lados for maior que 2,

ser calculada como laje armada em uma direo, no caso, a direo menor. Estas lajes so

calculadas supondo vigas unitrias com o comprimento correspondente ao vo menor da laje e

58

com as condies de contorno iguais s do lado maior. Desta forma as configuraes

possveis para lajes retangulares armadas em uma direo esto indicadas na figura 3.2.

As reaes e os momentos para as trs lajes da figura 3.2 esto apresentados na tabela 3.1

abaixo, para o clculo no regime elstico e no regime rgido-plstico, com a carga total p

atuando na faixa unitria.

Os valores das reaes e dos momentos da coluna correspondente ao regime elstico so os

valores conhecidos da anlise das estruturas, j os valores do regime rgidoplstico so

obtidos a partir da relao entre o momento negativo e do positivo atuantes numa mesma

direo, que no caso da tabela 3.1 foi adotado igual a 1,5. Assim para a laje apoiada-engastada

o momento mximo positivo dado por:

M = (Ra)2 / 2 . p (3.8)

com

Ra = p.l / 2 X / l = p.l / 2 1,5.M / l (3.9)

M = Ra2 / 2.p = (p.l / 2 1,5.M / l)2 / 2.p (3.10)

a a a

b 1

M M M

X X X

R R Ra Re R R

Figura 3.2 Lajes armadas em uma direo

59

Resolvendo-se a equao de segundo grau em M, equao (3.10), chega-se ao valor possvel

de M dado por:

M = p.l2 / 13,33 (3.11)

Tabela 1 Reaes e momentos para laje armada em uma direo

Tipo da laje Regime Elstico Regime rgido-plstico

Apoiada-apoiada

R = 0,5 . p.a R = 0,5 . p.a

M = pa2/8 M = pa2/8

Apoiada-engastada

Rapoio = 0,375 p.a Rapoio = 0,387 p.a

Rengaste = 0,625 p.a Rengaste = 0,613 p.a

M = p .a2/14,22

X = p.a2/8

M = p.a2/13,33

X = 1,5 . M

Engastada-engastada

R = 0,5 p.a R = 0,5 p.a

M = p.a2/24

X = p.a2/12

M = p.a2/20

X = 1,5 . M

Para a placa engastada-engastada com o momento negativo X igual a 1,5 vez o momento

positivo M, tem-se:

M = Ra2 / 2.p X = (pl/2)2 / 2.p 1,5.M = pl2 / 8 1,5.M (3.12)

De (3.12) obtm-se o valor de M:

M = p.l2 / 20 (3.13)

60

3.4 Laje retangular armada em duas direes ou armada em cruz

Conforme visto anteriormente, quando a relao entre os lados de uma laje retangular menor

ou igual a 2, considera-se a mesma armada em duas direes ou em cruz

3.4.1 Tipos de lajes retangulares

Os tipos possveis de lajes retangulares esto mostrados na figura 3.3, onde a o vo cuja

direo tem o maior nmero de engastes. Caso nas duas direes o nmero de engaste seja o

mesmo, a ser considerado o menor vo.

a a b

b

a

D E F

Figura 3.3 Tipos de lajes retangulares armadas em cruz

a b

C b A B

a a b

61

3.4.2 Reaes de apoio

As reaes de apoio para lajes macias retangulares com carga uniforme podem ser feitas de

acordo com o item 14.7.6 da NBR 6118, seguindo as aproximaes:

1. as reaes em cada apoio so as correspondentes s cargas atuantes nos tringulos ou

trapzios determinados atravs das charneiras plsticas, sendo que essas reaes podem

ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente distribudas sobre os elementos

estruturais que lhes