ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2....

265
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS (UFBA – EP – DCE) ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Notas de Aula Tatiana Bittencourt Dumêt Salvador, Fevereiro/ 2008

Transcript of ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2....

Page 1: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA

DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS (UFBA – EP – DCE)

ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I

× Notas de Aula Ø

Tatiana Bittencourt Dumêt

Salvador, Fevereiro/ 2008

Page 2: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

ii

APRESENTAÇÃO

Este material foi elaborado com o objetivo de auxiliar no acompanhamento da disciplina ENG 118 – Estruturas de Concreto Armado I. Ele não é, e nem tem a intenção de ser, um substituto dos livros de concreto armado. Além da bibliografia sugerida para o curso, indicada neste material, no final de cada capítulo estão listadas as referências bibliográficas e a bibliografia complementar de cada um deles. É altamente recomendável que os alunos utilizem um, dois ou mais livros para que obtenham um aprendizado mais completo.

Este trabalho foi dividido em oito capítulos, seguindo o programa do curso. A seqüência adotada visa seguir o caminho de raciocínio que normalmente é utilizado pelos projetistas de concreto.

INFORMAÇÕES IMPORTANTES SOBRE O CURSO

O horário de aula das turmas é o seguinte: T01P01 – 7:00 às 8:40hs, terças e quintas; e T02P02 – 13:00 às 14:40hs, terças e quintas. Nos dias de prova, os horários são T01P01 – 7:00 às 8:45hs e T02P02 – 13:00 às 14:45hs, inclusive para as provas finais. As provas terão duração de 1:45hs (uma hora e quarenta e cinco minutos).

O curso é divido em quatro unidades: a primeira engloba os capítulos 1 a 4; a segunda estuda os capítulos 5 e 6; a terceira o capítulo 7 e a quarta o capítulo 8. Ao final de cada unidade será feita uma prova. A nota final do curso será a média das quatro provas. As datas das provas estão indicadas no cronograma do curso, apresentado a seguir. As provas serão SEM CONSULTA LIVRE. Serão entregues aos alunos, junto com as provas, o material de consulta, que constará das tabelas e fórmulas necessárias para a sua realização. Nas provas é proibida a utilização de calculadoras programáveis (como as hp´s, por exemplo), de palmtop´s e de telefones celulares.

A freqüência nesta disciplina é obrigatória e será cobrada. O aluno que ultrapassar o limite de faltas estabelecido pela Universidade estará REPROVADO POR FALTA, independentemente de qualquer nota que já tenha obtido.

O aluno que deixar de fazer alguma das provas, só terá direito a 2ª CHAMADA mediante entrada com o pedido de 2ª chamada, independentemente de ter motivo justificado (atestado), junto ao Departamento de Construção e Estruturas, que se localiza no 5º andar da Escola Politécnica, dentro do prazo de 48hs. Os alunos que tiverem a falta justificada terão direito a fazer a 2ª chamada do assunto referente, apenas, à prova que faltou, desde que feito o pedido dentro do prazo com a justificativa em anexo. Os alunos que não tiverem a falta justificada, se entrarem com o pedido de 2ª chamada dentro do prazo, terão direito a fazer uma avaliação, com todo o assunto do curso, no final do semestre, em dia e hora indicados no cronograma do curso apresentado a seguir.

Um bom semestre a todos,

Tatiana Dumêt

Page 3: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

iii

CRONOGRAMA DO CURSO – 2008/1 DATA DIA AULA ASSUNTO 26/02 Terça 1 Apresentação do curso 28/02 Quinta 2 Introdução ao Concreto Estrutural 04/03 T 3 Materiais: Concreto 06/03 Q 4 Materiais: Concreto, Aço e Concreto Armado 11/03 T 5 Ações e Solicitações 13/03 Q 6 Ações e Solicitações 18/03 T 7 Introdução ao Projeto Estrutural 20/03 Q ----- FERIADO SEMANA SANTA 25/03 T 8 Introdução ao Projeto Estrutural; Pré-dimensionamento 27/03 Q 9 Revisão para a prova 01/04 T 10 1a Prova 03/04 Q 11 Aderência 08/04 T 12 Bases para o dimensionamento 10/04 Q 13 Bases para o dimensionamento 15/04 T 14 Revisão para a prova 17/04 Q 15 2a Prova 22/04 T 16 Laje – Introdução, tipos, ocorrência, Cálculo de esforços 24/04 Q 17 Laje – Determinação de h, carregamento, dimensionamento (R, M e X) 29/04 T 18 Laje – Cálculo de As, correções, novo dimensionamento, detalhamento 01/05 Q ----- FERIADO DIA DO TRABALHO 06/05 T ----- VIAGEM 08/05 Q ----- VIAGEM 13/05 T 19 Laje – Detalhamento, laje corredor e verificação do cortante 15/05 Q 20 Laje – Exercício 20/05 T 21 Revisão para a prova 22/05 Q ----- FERIADO CORPUS CHRISTI 27/05 T 22 3a Prova 29/05 Q 23 Viga – Introdução, cálculo dos esforços, seções simplesmente armadas 03/06 T 24 Viga – Seção duplamente armada e Seção T 05/06 Q 25 Viga – Solicitações Tangencia is: Cortante 10/06 T 26 Viga – Solicitações Tangenciais: Torção 12/06 Q 27 Viga – Detalhamento 17/06 T 28 Viga – exercício EESC 19/06 Q 29 Revisão para a prova 24/06 T ----- FERIADO SÃO JOÃO 26/06 Q 30 4a Prova 01/07 T ----- Provas de 2a Chamada (Geral) – Turma única das 7:00 às 8:45hs

10/07 Q ----- FINAL

Page 4: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

iv

PROGRAMA DO CURSO - SUMÁRIO -

PARTE I

1. INTRODUÇÃO AO CONCRETO ARMADO ............................................................ 2

1.1. Histórico ................................................................................................................... 21.1.1. Desenvolvimento dos materiais de construção ................................................ 31.1.2. Breve história das construções ......................................................................... 31.1.3. Histórico do concreto ....................................................................................... 51.1.4. O concreto no Brasil ........................................................................................ 8

1.2. Noções Gerais ........................................................................................................... 121.2.1. Definição de concreto armado ......................................................................... 121.2.2. Viabilidade do concreto armado ...................................................................... 141.2.3. Tipos de concreto ............................................................................................. 151.2.4. Aplicações do concreto .................................................................................... 19

1.3. Vantagens e Desvantagens ...................................................................................... 211.3.1. Vantagens do concreto armado ........................................................................ 211.3.2. Desvantagens do concreto armado .................................................................. 22

2. MATERIAIS ................................................................................................................... 252.1. Concreto ................................................................................................................... 25

2.1.1. Resistência à compressão ................................................................................. 252.1.2. Resistência à tração .......................................................................................... 322.1.3. Retração / expansão ......................................................................................... 332.1.4. Variação de temperatura .................................................................................. 342.1.5. Fluência (deformação lenta) ............................................................................ 342.1.6. Estanqueidade, isolamento térmico e acústico ................................................ 352.1.7. O comportamento do concreto ......................................................................... 36

2.2. Aço ............................................................................................................................ 392.2.1. Processos de fabricação e diagramas Tensão versus Deformação .................. 392.2.2. Classificação quanto ao limite de escoamento ................................................ 412.2.3. Dimensões ........................................................................................................ 412.2.4. Classificação quanto à conformação superficial .............................................. 422.2.5. Exigências de qualidade ................................................................................... 432.2.6. Fadiga do aço ................................................................................................... 44

2.3. Concreto Armado .................................................................................................... 442.3.1. Comportamento elétrico .................................................................................. 452.3.2. Defesa contra agentes químicos ....................................................................... 452.3.3. Resistência às altas temperaturas ..................................................................... 45

3. AÇÕES E SOLICITAÇÕES ......................................................................................... 473.1. Introdução ................................................................................................................ 473.2. Ações a Considerar em uma Estrutura ................................................................. 47

Page 5: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

v

3.2.1. Ações diretas .................................................................................................... 47 3.2.2. Ações indiretas ................................................................................................. 48 3.2.3. Ações excepcionais .......................................................................................... 48

3.3. Teoria da Segurança ............................................................................................... 48 3.3.1. Requisitos para garantir a economia ................................................................ 48 3.3.2. Conceitos de segurança .................................................................................... 49

3.4. Introdução ao Método dos Estados Limites .......................................................... 50 3.4.1. Estados limites últimos .................................................................................... 50 3.4.2. Estados limites de serviço ................................................................................ 51 3.4.3. Processo de dimensionamento ......................................................................... 51 3.4.4. Vantagens principais do dimensionamento pelo método dos estados limites . 52

3.5. Princípios para Verificação da Segurança ............................................................ 52 3.5.1. Estado limite último ......................................................................................... 54 3.5.2. Estado limite de serviço ................................................................................... 56 3.5.3. Segurança dos cálculos .................................................................................... 56

3.6. Carregamento das Estruturas ................................................................................ 56 3.6.1. Determinação dos carregamentos .................................................................... 57 3.6.2. Carregamento das lajes .................................................................................... 57 3.6.3. Carregamento das vigas ................................................................................... 57 3.6.4. Carregamento dos pilares ................................................................................. 58

4. INTRODUÇÃO AO PROJETO ESTRUTURAL ....................................................... 61 4.1. Elementos Estruturais ............................................................................................. 61 4.2. Partes Constituintes de um Projeto Estrutural .................................................... 63

4.2.1. Projeto arquitetônico ........................................................................................ 63 4.2.2. Projeto estrutural .............................................................................................. 63 4.2.3. Projeto de fôrmas ............................................................................................. 64 4.2.4. Projetos de instalações ..................................................................................... 64 4.2.5. Projeto de revestimento de fachada ................................................................. 64 4.2.6. Informações do projeto estrutural .................................................................... 64

4.3. Seqüência de um Projeto Estrutural ..................................................................... 76 4.4. Apresentação do Projeto do Curso ........................................................................ 76 4.5. Prescrições Normativas ........................................................................................... 76 4.6. Pré-dimensionamento das Estruturas ................................................................... 84

4.6.1. Pilares .............................................................................................................. 84 4.6.2. Vigas ................................................................................................................ 87 4.6.3. Lajes ................................................................................................................. 90

5. ADERÊNCIA .................................................................................................................. 93 5.1. Tipos de Aderência .................................................................................................. 95 5.2. O Estudo da Tensão de Aderência ......................................................................... 96

5.2.1. Viga à flexão .................................................................................................... 97 5.2.2. Prisma tracionado axialmente .......................................................................... 98 5.2.3. Ensaio de arrancamento padrão ....................................................................... 99

5.3. Representação da Aderência .................................................................................. 99

Page 6: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

vi

5.4. Modos de Ruptura por Perda de Aderência ......................................................... 100 5.5. Os Comprimentos de Ancoragem .......................................................................... 104 5.6. Cálculo do Comprimento de Ancoragem pela NBR 6118 (2004) ........................ 105

6. BASES PARA O DIMENSIONAMENTO .................................................................. 110 6.1. Hipóteses de Cálculo ............................................................................................... 113 6.2. Domínios da Flexão ................................................................................................. 115 6.3. Problemas de Análise .............................................................................................. 120 6.4. Problemas de Dimensionamento ............................................................................ 122

PARTE II 7. LAJES ............................................................................................................................. 128

7.1. Introdução ................................................................................................................ 128 7.2. Tipos de Laje ........................................................................................................... 128 7.3. Análise de Esforços nas Lajes ................................................................................ 132 7.4. Determinação da Altura das Lajes ........................................................................ 137 7.5. Carregamento das Lajes Para o Projeto em Estudo ............................................ 140 7.6. Dimensionamento e Detalhamento das Lajes ....................................................... 143

7.6.1. Cálculo das reações e momentos atuantes ....................................................... 143 7.6.2. Cálculo dos momentos finais ........................................................................... 147 7.6.3. Dimensionamento e detalhamento das armaduras ........................................... 149

7.7. Verificação ao Esforço Cortante ............................................................................ 165 PARTE III 8. VIGAS ............................................................................................................................. 168

8.1. Introdução ................................................................................................................ 168 8.2. Nomenclatura .......................................................................................................... 182 8.3. Solicitações Normais ............................................................................................... 183

8.3.1. Seções simplesmente armadas ......................................................................... 183 8.3.2. Seções duplamente armadas ............................................................................ 186 8.3.3. Vigas de seção T .............................................................................................. 192

8.4. Solicitações Tangenciais .......................................................................................... 198 8.4.1. Esforço cortante ............................................................................................... 199 8.4.2. Momento torçor ............................................................................................... 211

8.5. Detalhamento ........................................................................................................... 227 ANEXO A (Tabelas) ....................................................................................................... 239 ANEXO B (Transparências de Exercícios) ..................................................................... 252

Page 7: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

vii

BIBLIOGRAFIA

ARAÚJO, J. M. (2003) – Curso de concreto armado. Rio Grande: Dunas, 2003. Vols. 1 a 4, 2.ed.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. (2004) – Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2003. São Carlos: EdUFSCar, 2001, 2004. 374p. (www.ufscar.br/~editora) ([email protected])

GIONGO, J.S. (1993). – Concreto armado: ancoragem por aderência. São Carlos, EESC-USP;

GIONGO, J. S.; TOTTI Jr., F. – Concreto Armado: Resistência de Elementos Fletidos Submetidos à Força Cortante. São Carlos, EESC-USP, 1994;

FERGUSON, P. M; BREEN, J. E; JIRSA, J. O. (1988) – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 5th edition, 1988;

FUSCO, P. B. - Estruturas de concreto: solicitações normais. Ed. Guanabara Dois S.A., Rio de Janeiro, 1981;

FUSCO, P. B. - Estruturas de Concreto: solicitações tangenciais. São Paulo, EPUSP, 1981;

FUSCO, P. B. (1995) – Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: PINI;

MACGREGOR, J. G. (1988) – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall;

MEHTA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais. São Paulo: PINI;

LEONHARDT, F.; MONNING, E. (1977/78) - Construções de concreto. Rio de Janeiro, Interciência. v. 1 a 6;

PFEIL, W. (1978) – Concreto Armado. São Paulo, 3a edição;

PINHEIRO, L. M. (1986). Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos: EESC-USP. 66p.;

ROCHA, A. M. (1987/88) – Concreto armado. São Paulo, v. 1 a 4;

SÜSSEKIND, J. C. (1980) - Curso de concreto: concreto armado. Porto Alegre: Globo. v.1 e 2.

NORMAS TÉCNICAS

Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) - NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2004;

ABNT - NBR 6120 (1980) – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – Procedimento. Rio de Janeiro, Novembro/ 1980;

ABNT - NBR 7480 (1996) – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação;

Page 8: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

viii

ABNT - NBR 8681 (2004) – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2004;

ABNT - NBR 14931 (2004) – Execução de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2004.

SITES RELACIONADOS AO CONCRETO • ABECE – www.abece.com.br – Associação Brasileira de Engenharia e

Consultoria Estrutural; • ABCP – www.abcp.org.br – Associação Brasileira de Cimento Portland; • ABESC – www.abesc.org.br - Associação Brasileira das Empresas de Serviço

de Concretagem; • ACI – www.concrete.org – American Concrete Institute; • CREA – www.creaba.org.br – Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e

Agronomia da Bahia; • Comunidade da Construção – www.comunidadedaconstrucao.com.br – Reunião

de entidades voltadas para a melhoria da qualidade da construção de obras com cimento;

• IBRACON – www.ibracon.org.br – Instituto Brasileiro do Concreto; • PINI – www.piniweb.com – Editora de livros técnicos; • Vídeos – www.youtube.com – busca por concrete forms; concrete pour;

concreto; etc....

SITES RELACIONADOS AO CURSO

• DCE – www.dptoce.ufba.br – Departamento de Construção e Estruturas da EPUFBA;

• EPUFBA – www.eng.ufba.br – Escola Politécnica da Universidade Federal da Bahia;

• Livros de Engenharia – www.livrosdeengenharia.com.br – site de venda de livros de engenharia;

• LMC – www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/tecedu – Laboratório de Mecânica Computacional da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – Tecnologia Educacional / Engenharia Civil

• UFBA – www.ufba.br – Universidade Federal da Bahia.

Page 9: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

PARTE I

Introdução e Conceitos Fundamentais

Page 10: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

2

1. INTRODUÇÃO AO CONCRETO ARMADO

O concreto simples é um material de construção constituído pela mistura convenientemente proporcionada de materiais inertes (agregados graúdo e miúdo) com um aglomerante hidráulico e água.

O consumo de concreto em 1920 era de aproximadamente 700 milhões de toneladas por ano. Segundo Brunauer e Copeland (1964)1, apud MEHTA & MONTEIRO (1994): “O consumo mundial total de concreto, no ano passado (1963), foi estimado em 3 bilhões de toneladas, ou seja, uma tonelada por ser humano vivo. O homem não consome nenhum outro material em tal quantidade, a não ser a água”. Agora, entrando no século XXI, o consumo anual de concreto é próximo de 6 bilhões de toneladas, ou seja, continua da ordem de uma tonelada por ser humano.

O grande consumo de concreto deve-se a vários fatores, entre os quais pode-se destacar: a facilidade e a disponibilidade de encontrar os materiais que o compõem (água, cimento e agregados) e a um custo relativamente baixo; a sua facilidade de execução; a sua adaptação a praticamente todo tipo de forma e tamanho; a sua excelente resistência à água e a diversas ações; e ainda, o fato de que o concreto se apresenta como um material “ecologicamente correto”, não só por requerer, na sua produção, um consumo relativamente baixo de energia, como também por ser um material que pode reciclar grande quantidade de resíduos industriais.

Segundo PINHEIRO & GIONGO (1986), o concreto surgiu com o desejo de se criar uma pedra artificial, resistente, econômica e durável como a pedra natural e que apresentasse como vantagem a possibilidade de ser moldada nas dimensões e nas formas desejadas.

1.1. HISTÓRICO

Desde o seu aparecimento, no início do século passado, até hoje o concreto vem se desenvolvendo, seja com o surgimento de novas tecnologias, como o surgimento de novas técnicas de concretagem, ou seja, com o surgimento de novos materiais, tais como os aditivos, as fibras, etc.

É de fundamental importância o conhecimento da nossa história, para uma melhor compreensão do nosso tempo presente, seja ela referente a qualquer assunto. Segundo NÁPOLES NETO & VARGAS (1996): “A História, não como simples descrição, mas como registro, o quanto possível completo, dos fatos analisados, tem sido chamada de “Mestra da Vida”... Tanto que os chamados “históricos de casos” têm sido apresentados em reuniões técnicas gerais, como já foram objeto de congressos só a eles dedicados”.

Seja a história das construções, ou seja, a história da medicina, elas fazem parte da nossa história. Elas contam a história do Homem.

1 Brunauer, S.; Copeland, L. E. (1964) – artigo publicado na “Scientific American”, apud MEHTA & MONTEIRO (1994).

Page 11: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

3

1.1.1. Desenvolvimento dos materiais de construção

Desde os primórdios da humanidade, uma das principais preocupações do homem tem sido onde e como se abrigar. Os materiais de construção que têm sido usados desde então vêm sofrendo mudanças. A Figura 1.1 apresenta um esquema do desenvolvimento dos materiais de construção mais utilizados, e mostra apenas uma sequência cronológica, e não uma ordem de importância ou de qualidade dos materiais.

Figura 1.1 – Desenvolvimento dos materiais de construção (LIN & BURNS,1981).

1.1.2. Breve história das construções

Quando surgiu a primeira construção? Essa é uma pergunta que se tem tentado responder há bastante tempo. Antes de respondê-la, porém, precisa-se definir o que é uma construção. Na literatura corrente acham-se várias definições, entre elas pode-se destacar a seguinte, segundo GRIMSHAW (1998), uma construção é qualquer estrutura feita pelo homem que inclua parte do espaço em redor e proporcione proteção contra os elementos do ambiente. Essa definição deixa de fora as estruturas como as pontes, os canais, as barragens, etc, porém responde a uma segunda pergunta: por que as pessoas começaram a fazer construções?

Há cerca de 2,5 milhões de anos os homens primitivos viviam em cavernas, ou em outros abrigos naturais, que os protegiam do tempo e dos animais selvagens. Essa condição de vida tinha um inconveniente: os homens ficavam restritos às áreas próximas de seus abrigos. Quando eles começaram a sair em busca de alimentos ou locais mais seguros, nem sempre era possível proteger-se em outros abrigos naturais, e então começaram a improvisar novos abrigos. Começaram a elaborar as primeiras construções. Essas construções eram bem primitivas, feitas com os materiais disponíveis: madeira, cipós, peles e ossos de animais, galhos de árvores, etc. Apesar de rústicas, essas construções forneciam ao homem o que ele

Page 12: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

4

precisava: proteção contra o clima e os animais, e um lugar para guardar os seus pertences. Como essas construções eram feitas com materiais perecíveis, a grande maioria foi destruída ao longo do tempo. A construção mais antiga de que se tem notícia, segundo GRIMSHAW (1998), tem cerca de 400 mil anos. Ela foi descoberta em 1965 em Nice, na França, e era composta de 21 cabanas muito perto umas das outras, indicando que seus moradores deviam ter vivido em comunidade.

O uso da pedra nas construções surgiu como uma alternativa quando não se tinham disponíveis a madeira, o cipó, etc. Ou ainda, era usada em conjunto com estes materiais. O exemplo mais conhecido do uso da pedra nas construções é o conjunto das Pirâmides do Egito.

Depois das pirâmides, o uso das pedras foi muito freqüente na construção de torres, templos, castelos, domos e arcos. Entre eles destacam-se: o pagode de Suzhou, em forma de torre (China, 960 a.C.), o Coliseu de Roma (70-82 d.C.), o Panteão de Roma (110-125 d.C.), o templo budista de Borobodur (Java, c. 800 d.C.) e a famosa Torre de Pisa, construída entre 1174 e 1350.

Veio então a Idade Média, também conhecida como a Idade das Trevas, e muito do desenvolvimento da engenharia foi perdido ou destruído durante esse período. Porém, algumas construções dessa época eram grandiosas, como os castelos dos senhores feudais, por exemplo, e algum progresso ocorreu.

Com a chegada do Renascimento, como o próprio nome já diz, novos impulsos foram dados não só às artes como também à ciência e ao desenvolvimento tecnológico. Nomes como Galileo e Leonardo Da Vinci foram de extrema importância nessas áreas. Segundo NÁPOLES NETO & VARGAS (1996): “Leonardo da Vinci, na arquitetura, na construção e até na engenharia, apresentou projetos de bate-estacas e ensecadeiras. Galileo Galilei, não só reuniu tudo que a ciência do século XVI tinha trazido para a arte da construção, mas também pelos seus estudos sobre a flexão de vigas acabou por fundar a Resistência dos Materiais”.

Os séculos XVII e XVIII marcam o crescimento da França, e nesse período destaca-se Vauban, engenheiro militar, cuja grande experiência foi adquirida na construção de cerca de 300 fortificações e no trabalho dos grandes canais mandados fazer por Luís XIV. Nesse período, são formados os primeiros engenheiros civis, assim reconhecidos, pela Escola de Pontes e Pavimentos (École des Ponts et Chaussées).

No século XVIII, a partir de 1760, tem início a Revolução Industrial, que começou na Inglaterra e logo se espalhou por toda a Europa e Estados Unidos. Com a Revolução Industrial, vieram as máquinas e a produção em larga escala de mercadorias e novos materiais, entre eles o ferro.

A partir daí a construção de estruturas em ferro teve uma expansão quase meteórica. O novo material permitia vãos maiores com seções menores. A primeira ponte em ferro foi construída em 1779 sobre o rio Severn em Coalbrookdale (Shiropshire), Inglaterra. Em 1803, R. Trevithick construiu a primeira estrada de ferro. A fabricação do aço, de maneira barata, veio em 1856 com H. Bessemer, e praticamente substituiu o ferro nas construções, devido a sua maior durabilidade. O grande marco dessa época, a Torre Eiffel, foi construída para a Exposição Internacional de 1889, e até hoje é um dos cartões postais mais visitados do mundo.

Page 13: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

5

Com o surgimento do cimento portland em 1824 com J. Aspdin, e daí o concreto como o conhecemos hoje, a junção dos dois materiais, aço e concreto, formando o concreto armado, foi uma conseqüência natural do desenvolvimento deles. O século XX foi testemunha, primeiro do desenvolvimento do concreto armado, em seguida do concreto protendido, e posteriormente dos concretos de alto desempenho.

No século XX, surgiram os computadores, os arranha-céus, as grandes barragens e as pontes com vãos de mais de 1 km, como a Ponte Akashi-Kaikyo, no Japão, cujo vão central possui 1,99 km de comprimento. O século XX foi palco de um avanço tecnológico nunca antes imaginado, maior, talvez, que todo o avanço até então.

Hoje existem inúmeros materiais e técnicas de construção diferentes, que podem ser usados independentemente ou em conjunto, como as estruturas mistas, por exemplo. Todos têm sua importância, basta que se saiba como e quando utilizá-los, para que se consiga tirar o melhor proveito possível de cada um.

1.1.3. Histórico do concreto

O surgimento oficial do concreto é datado de 1849, com o famoso barco de Lambot, na França, tanto que esta comemorou os cem anos do concreto armado (Cent Ans de Béton Armé) em 1949. Porém, a história do concreto começou bem antes.

Segundo AÏTCIN (1999), alguns pesquisadores, como o francês Davidovits, dizem que os egípcios foram os inventores do concreto, já que acreditam que o concreto foi usado na construção das partes internas das pirâmides. Acredita-se que no seu interior foram usados blocos de concreto feitos de um tipo de cimento denominado “geopolímero”, que era composto de pedra britada, silte do Nilo e resíduos das minas de cobre da área do Monte Sinai. Apenas os blocos externos das pirâmides seriam de pedra natural. Há pesquisadores que contestam essa idéia.

Alguns arqueólogos acreditam que o concreto veio do Oriente Médio, ou dos fenícios, ou ainda dos gregos, todos antes dos romanos. Caso os romanos não tenham sido os inventores do concreto, no que acredita a maioria dos pesquisadores, eles foram sem dúvida nenhuma os primeiros que o usaram de forma eficaz e em larga escala.

Os romanos já usavam uma mistura de pedra com as cinzas vulcânicas do Vesúvio, encontradas na cidade de Puzzoli, daí a origem do nome pozolana, que endurecia em contato com a água. Eles também já usavam aditivos em suas misturas, como o sangue, que funcionava como um incorporador de ar nas argamassas, fato que ocorre devido à propriedade de dispersão da hemoglobina. Na construção do Pantheon da Roma, uma das obras mais impressionantes do Império Romano, foram utilizados sete tipos diferentes de concreto, do mais pesado ao mais leve, à medida que se chegava ao topo da cúpula, o que se constituiu no uso de concreto com agregados leves, há praticamente nove séculos. Os romanos também já utilizavam o princípio do concreto armado, pois foram encontradas construções dessa época com barras de bronze dentro de argamassas de pozolanas.

Com a chegada dos Bárbaros e a queda do Império Romano, o uso do concreto se perdeu até quase o final do século XVIII. Até então, como já foi citado anteriormente, a pedra era o material de construção mais utilizado, seguida pela madeira.

Page 14: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

6

Após esse período, a primeira notícia que se tem do concreto é em 1770 com Rondelet, na construção da Igreja de Santa Genoveva, hoje Pantheon de Paris. Essa construção foi feita em alvenaria armada, com a associação de ferro e pedra natural, com os espaços vazios sendo preenchidos com uma argamassa de cal. A Figura 1.2 apresenta um esboço de parte da construção.

Figura 1.2 – Alvenaria de pedra armada (Pantheon de Paris, 1770)(VASCONCELOS, 1992).

Em seguida, ainda no século XVIII, os ingleses Smeaton e Parker desenvolveram pesquisas sobre o cimento, e em 1791 Smeaton usou uma mistura de pedra e argila como base da construção do Farol de Eddistone, em Cornwall. Com o desenvolvimento das pesquisas na área do cimento, chega-se a um outro inglês, Aspdin, que em 1824 desenvolveu o cimento portland. Quase que paralelamente a Aspdin, Vicat, na França, também chega ao cimento portland, e a partir daí o cimento passa a ser produzido em escala industrial. Em 1845, Johnson desenvolve o cimento como nós o utilizamos hoje.

Chega-se então a 1849, data oficial do surgimento do concreto. Nesta data o francês Lambot desenvolveu um barco em argamassa armada, chamada na época de cimento armado. O objetivo de Lambot era fazer um barco com um material que não se deteriorasse com o tempo, em contato com a água. Ele costumava sair para pescar com seus filhos, e os barcos de madeira acabavam apodrecendo de tempos em tempos, sendo necessário fazer outros. O experimento deu certo e Lambot o apresentou na Exposição de Paris de 1855. Também nesse ano (1855) é montada a primeira fábrica de cimento na Alemanha.

Em 1854, W. B. Wilkinson registrou uma patente de um sistema de piso usando domos em argamassa oca como fôrma, preenchidos com concreto armado com cabos de aço expurgados de guindastes de minas.

O grande responsável pela difusão do concreto armado na Europa, e em seguida na América, foi o horticultor e paisagista francês Monier. Ele esteve na Exposição de Paris e viu o barco de Lambot. Monier também tinha problemas com o apodrecimento de vasos de madeira, onde ele cultivava suas plantas, e começou então a fazer vasos de argamassa armada, mesmo material do barco, que não se deteriorava em contato com a água. A partir de 1861, Monier começou a fazer outros objetos e obter patentes para eles, à medida que viajava pela Europa, vendendo suas peças e difundindo o concreto armado. Nesse mesmo ano (1861), Coignet, também francês, obtém uma patente para execução de peças de concreto armado. Em 1867, Monier tira a patente para os vasos, em 1868 para tubos e reservatórios, em 1869 para placas e

Page 15: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

7

em 1873 para pontes. Nesse mesmo ano (1873), Ward, nos estados Unidos, constrói uma casa em concreto armado.

Dentre os americanos, o advogado Hyatt é um dos grandes nomes dessa época, deixando grandes contribuições para as construções de concreto armado. Em 1877 ele tira a patente de um sistema de execução em vigas de concreto e aço, onde a posição das barras previa os efeitos de tração e cisalhamento, e já sugeria o uso de estribos e barras dobradas.

Até esta época, a armadura era disposta no concreto empiricamente, de forma a adequar-se com a forma da estrutura desenvolvida, sem levar em conta os esforços envolvidos. Em 1880 Monier vendeu suas patentes a uma empresa alemã, que contratou o professor Mörsch, da Universidade de Stuttgart, para realizar estudos sobre o concreto armado, estudos estes que resultaram na formulação da Teoria Clássica de Mörch, em 1902. A partir desta teoria, as primeiras normas para o cálculo e a construção em concreto armado foram redigidas, propiciando o desenvolvimento deste material na construção.

Desde então, vários pesquisadores vêm dando suas contribuições ao desenvolvimento do concreto, entre eles destacam-se, segundo PINHEIRO & GIONGO (1986), os listados a seguir:

1880 Hennebique, na França, constrói a primeira laje armada com barras de aço de seção circular;

1884 e 1885

Firmas alemãs, entre elas Wayss e Freytag, adquirem as patentes de Monier, para emprego na Alemanha e na Áustria;

1886 Könen, na Alemanha, escreve a primeira publicação sobre cálculo de concreto armado;

1888 Döhring, também na Alemanha, registra a primeira patente sobre aplicação de protensão em placas e em pequenas vigas;

1892 Hennebique registra patente da primeira viga como as atuais, com estribos;

1897 Rabut, na França, inicia o primeiro curso sobre concreto armado, na École des Ponts et Chaussées;

1902 Mörsch, engenheiro da firma Wayss e Freytag, publica a primeira edição de seu livro, apresentando resultados de numerosas experiências e tornando-se um dos maiores contribuintes para o progresso do concreto armado;

1904 Surge na Alemanha a primeira norma sobre concreto armado;

1912 Mörsch e Könen desenvolvem os princípios do concreto protendido com a introdução de tensão prévia nas armaduras para eliminar os esforços de tração. A idéia porém foi abandonada devido às altas perdas de tensão registradas ao longo do tempo;

1928 Freyssinet (considerado o pai do concreto protendido) utiliza os aços de baixa relaxação, obtendo, assim, o concreto protendido como o conhecemos hoje;

Page 16: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

8

1945 A partir desse ano, após a 2a Guerra Mundial, o concreto protendido passa a ser usado em escala comercial.

Desde o final da década de 50 vem sendo produzidos os concretos de alta resistência (CAR). Inicialmente considerava-se nesta categoria concretos com resistência à compressão acima de 35 MPa. Atualmente tais concretos são usados cotidianamente em vários países, não sendo mais considerados de alta resistência. Hoje, concretos com resistência à compressão acima de 100 MPa são obtidos com relativa facilidade. O limite de resistência para considerá-lo de alta resistência, ou não, ainda não está totalmente definido, varia de país para país, e às vezes até mesmo dentro de um único país há divergências. Porém, pode-se dizer que o uso do concreto de alta resistência, seja ela acima de 40, 50 ou 60 MPa, é uma constante em quase todo o mundo.

Com o desenvolvimento dos concretos de alta resistência, chegou-se, nos dias atuais, a um novo tipo de concreto: o concreto de alto desempenho (CAD). Na realidade, um novo conceito para os diferentes tipos de concreto já existentes. Quando se diz CAD, deve-se estabelecer a que se refere o desempenho desejado, seja ele a alta resistência ou a durabilidade, por exemplo. Na maioria dos casos essas duas propriedades ocorrem juntas.

Não se pode falar no desenvolvimento do concreto, ou de qualquer material de construção, sem citar o desenvolvimento da arquitetura. Engenharia e arquitetura são duas ciências que vêm caminhando juntas, apesar de nem sempre de forma amigável. São ciências que interagem e se complementam. O que seria da engenharia, ou do concreto, se não tivessem existido nomes como Peter Behrens, Walter Gropius, Frank Lloyd Wrigth, Le Corbusier, Gaudi, Lina Bo Bardi, sem falar nos brasileiros Lúcio Costa e Oscar Niemeyer, que imaginaram as obras de arte que a engenharia ergueu? E o que seria da arquitetura se não fosse a engenharia para realizar o que estava no papel?

No momento atual de globalização, tem-se que cada vez mais procurar trabalhar em grupo, para assim obter um resultado final de sucesso, seja ele na atividade que for.

1.1.4. O concreto no Brasil

O uso do concreto no Brasil começou no limiar do século XX e não parou mais. Apesar do Brasil não ter participado na descoberta do concreto, já que as pesquisas tecnológicas na Europa e Estados Unidos eram bem mais avançadas que as nossas na época, soube muito bem usá-lo de forma criativa, ousada e eficiente, como comprovam o nosso acervo de obras por todo o país. Hoje, além das contribuições construtivas, o Brasil participa efetivamente no desenvolvimento tecnológico do concreto, e da ciência da engenharia como um todo.

Segundo VASCONCELOS (1992), a primeira obra em concreto do Brasil de que se tem notícia é de 1892. Consistia da construção de casas de habitação sob a responsabilidade do engenheiro Carlos Poma, que utilizou o sistema de Monier. Em 1901, foi feita a substituição de uma galeria provisória de madeira por uma de concreto armado, da Estrada de Ferro Central, na Serra da Mantiqueira. Em seguida, em 1904, estava sendo construída a Companhia Açucareira da Praia da Saudade, segundo nota do Prof. Antonio de Paula Freitas. Em 1907, aproximadamente, foram realizadas várias obras de saneamento em Santos, a cargo do engenheiro Saturnino de Brito, onde se destaca a ponte da rua Senador Feijó com 5,4 m de vão e laje de 15 cm de espessura, como mostra a Figura 1.3.

Page 17: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

9

Figura 1.3 – Ponte na rua Senador Feijó em Santos (VASCONCELOS, 1992).

Ainda segundo VASCONCELOS (1992), em 1908 foi executada uma ponte de 9 m de vão no Rio de Janeiro sobre a responsabilidade do empreiteiro Echeverria, do qual não se sabe quase nada, com cálculo e projeto de Hennebique. Acredita-se que Hennebique tenha feito vários cálculos e projetos para o Brasil e outros países da América do Sul. Segundo Milton Vargas2, apud VASCONCELOS (1992), o primeiro edifício em concreto armado do Brasil (na época cimento armado) foi em São Paulo à rua Direita no 7, construído pelo arquiteto Francesco Notaroberto, provavelmente entre 1907 e 1908.

Apesar das contradições quanto a qual foi realmente a primeira obra no Brasil, desde o início do século XX têm sido produzidas inúmeras obras em concreto armado no país. A seguir são transcritos trechos de VASCONCELOS (1992), enumerando as principais obras que contam a história do nosso país:

1911 Ponte sobre o Rio Camanducaia, na Fazenda Modelo, em Amparo, São Paulo;

1912 Ponte sobre o Rio Tamanduateí, na Moóca, São Paulo. Trata-se de uma ponte em arco de 29 m de vão, construída como parte das obras de retificação e canalização do rio;

1912 Paredes laterais e lajes do fundo e do teto das obras de reconstrução de dois grandes reservatórios do sistema de abastecimento de água de Belo Horizonte;

1914 Diversas obras de arte (pontes, viadutos, muros de arrimo) na duplicação da linha da Serra do Mar da EFCB. Nessas obras foram usados trilhos velhos como armadura de concreto, não se tratando, portanto, de concreto armado com o significado que hoje se lhe dá;

1914 Muros de arrimo laterais em dois trechos das obras de retificação e canalização do Rio Tamanduateí, São Paulo;

2 Vargas, M. (1979) – A tecnologia no Brasil. In: FERRI, M. G. & MOTOYAMA, S., coord. História das Ciências no Brasil. São Paulo, EDUSP, 1979. cap. 13, p. 331-73, apud VASCONCELOS (1992).

Page 18: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

10

1924 Jockey Club do Rio de Janeiro, fundações em estacas de concreto armado cravadas até uma profundidade máxima de 24 m, perfazendo um total de 8 km, um recorde sul-americano na época;

1926 Jockey Club do Rio de Janeiro, marquise da tribuna de sócios com balanço de 22,4 m, recorde mundial na época (projeto e construção de Christiani & Nielsen);

1926 Ponte Presidente Sodré (antiga Itajurú) em Cabo Frio, arco de 67 m de vão e flecha de 10,5 m, recorde sul-americano na época (projeto e construção de Christiani & Nielsen)

1925 a 1929

Edifício Martinelli, construído em São Paulo com área de 40.000 m2, o maior do mundo, na época, com 106,5 m de altura e 30 pavimentos;

1930 Elevador Lacerda, na cidade de Salvador, construído pela filial brasileira da firma dinamarquesa Christiani & Nielsen. É o maior elevador de passageiros para fins comerciais no mundo, com elevação de 59 m, e altura total de 73 m;

1930 Ponte de Herval (ou Ponte Emílio Baumgart, destruída pelas enchentes de 1983) em Santa Catarina, sobre o Rio do Peixe, com o maior vão do mundo, na época, de 68 m em viga reta. Primeira ponte do mundo em concreto construída em balanços sucessivos (destruída numa enchente em, aproximadamente, 1982);

1930 Estátua do Cristo Redentor no Corcovado, mais alta estátua (30 m) de concreto armado do mundo, na época; empreendimento e realização do engenheiro Heitor da Silva Costa, escultura de Paul Landowski e cálculos do Bureau d’Études L. Pelnard, Considère & A. Caquot – Paris;

1928 a 1931

Edifício “A Noite”, construído no Rio com 22 pavimentos: o mais alto edifício do mundo em concreto armado, na época, com 102,8 m de altura a partir do rés-do-chão e 3,6 m enterrados; projeto de Emílio Baumgart e construção de Gusmão, Dourado & Baldassini;

1937 Ponte ferroviária na estrada de ferro Mayrink-Santos, em viga contínua de 3 tramos (24,33 + 30 + 24,33 m), conhecida como Viaduto 19; a maior ponte ferroviária do mundo na época, projeto de Humberto da Fonseca;

1937 O maior conjunto de obras-de-arte em volume de concreto do mundo, em estradas de ferro (na época de sua conclusão), na Estrada de Ferro Mayrink-Santos; projeto de Humberto da Fonseca;

1939 Ponte ferroviária sobre o Rio Mucuri com 39,3 m, recorde mundial, na época, para este tipo de ponte, em viga reta (projeto de Baumgart);

1939 Jockey Club de São Paulo, marquise da tribuna dos sócios com 25,2 m, recorde mundial na época;

Page 19: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

11

1943 Cúpula do Salão de Jogos do Hotel Quitandinha em Petrópolis; recorde sul-americano em casca elíptica, na época, com diâmetro de 46,4 m e flecha de 12,6 m; projeto de Antonio Alves Noronha;

1949 Ponte do Galeão, a mais longa ponte (e a de maior área de tabuleiro) do mundo, na época, em concreto protendido, com 380 m de extensão e 7.600 m2, construída pela Civilhidro;

1952 Ponte de Joazeiro sobre o Rio São Francisco, a mais longa do mundo (801 m), na época, em seu gênero: ponte rodo-ferroviária em viga reta contínua; o comprimento da viga contínua é de 561 m (L. máx. de 44,8 m);

1952 Ponte sobre o Rio das Antas, o maior arco de concreto armado do mundo, na época, com 186 m de vão (com tabuleiro intermediário), no Rio Grande do Sul; projeto de Antonio Alves Noronha;

1960 Ponte de Estreito, sobre o Rio Tocantins, com o maior vão do mundo (140 m), na época, em viga reta, construída pelo processo de balanços sucessivos, em concreto protendido, pela primeira vez no Brasil; construção e projeto de Sergio Marques de Souza;

1962 Ponte da Amizade (ponte internacional de Foz do Iguaçu ou Ponte Presidente Stroessner como a denominam os paraguaios) com o maior arco de concreto armado do mundo, na época, com 290 m de vão;

1962 Edifício Itália, o mais alto edifício em concreto armado do mundo, durante alguns meses, antes da conclusão dos acabamentos, perdendo, logo em seguida, para o Marina City (Chicago);

1969 Garagem San Siro, em São Paulo: o mais alto edifício –garagem do mundo, com altura de 90,3 m acima da calçada, esbeltez 10:1, 36 andares; interessante solução estrutural de Mario Franco; projeto arquitetônico e construção de A. Danilovic;

1969 Museu de Arte de São Paulo (MASP), com laje de 30 x 70 m livres, recorde mundial de vão, na época, projeto estrutural da equipe técnica do Prof. Figueiredo Ferraz, projeto arquitetônico de Lina Bo Bardi, construção de Heleno & Fonseca;

1975 Ponte Colombo Salles em Florianópolis, a maior viga contínua protendida do mundo (1.227 m), projeto da equipe técnica do Prof. Figueiredo Ferraz, construída pela Construtora Norberto Odebrecht;

1982 Usina Hidrelétrica de Itaipu, é a maior do mundo na modalidade de barragem de gravidade aliviada, com 190 m de altura e mais do que 10 milhões de metros cúbicos de concreto; foi projetada por quatro consórcios de firmas brasileiras e paraguaias e construída do mesmo modo com coordenação americano-italiana.

19?? Edifício World Trade Center, em São Paulo, projeto de Aflalo & Gasperini Arquitetos e construído pela Construtora OAS; possui 177.000 m2 de área

Page 20: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

12

construída, que engloba: duas torres, uma de 26 e outra de 17 andares; estrutura em laje lisa protendida com 25 cm de altura e vãos de 10 m, com vigas de bordo.

19?? Edifício Suarez Trade, em Salvador, projeto da Leite & Miranda, com 33 andares e 40.000m2, com concreto de 60MPa nas colunas da torre, andares-tipo com 600m2 totalmente livres, sem pilares intermediários, estrutura protendida nervurada no tipo, com 15m de vão e espessura total de somente 400mm, laje plana (sem vigas) em concreto armado nos andares de garagem.

19?? Edifício Manhattan Tower, no Rio de Janeiro, projeto da Leite & Miranda, é um recorde mundial em esbeltez para edifícios, para 114m de altura, são somente 8m de largura, uma relação de 14 para 1, com a torre principal com 33 andares.

1.2. NOÇÕES GERAIS

A característica mais importante que se pode ressaltar em relação ao concreto armado é que ele se constitui na combinação de um material que resiste muito bem à compressão, o concreto, com um material que resiste muito bem à tração, o aço. De maneira geral, pode-se dizer que, nas peças de concreto armado, o concreto é o responsável por resistir aos esforços de compressão e o aço aos de tração. Nas peças essencialmente comprimidas, o aço aumenta a capacidade resistente do elemento.

Separadamente, o aço resiste tanto à tração como à compressão, porém o concreto possui uma baixa resistência à tração, da ordem de 10% da sua resistência à compressão, para os concretos de baixa resistência. Para resistências à compressão mais altas, essa porcentagem diminui.

A junção desses dois materiais – aço e concreto - forma um terceiro, o concreto armado, que se apresenta como uma excelente opção para quase todo tipo de estrutura.

1.2.1. Definição de concreto armado

Como já foi dito, o concreto armado é o material de construção resultante da ação conjunta de dois outros materiais: o concreto e o aço.

O concreto por sua vez é um material composto da mistura de um aglomerante hidráulico (o cimento), da água, de agregados miúdo (em geral a areia) e graúdo (em geral a brita), e ainda, quando for o caso, de aditivos. Estes últimos servem para melhorar ou fornecer alguma propriedade específica ao concreto, como por exemplo, os incorporadores de ar, que servem para melhorar a trabalhabilidade do mesmo.

Em função dos materiais utilizados na mistura, é importante conhecer a seguinte terminologia:

• Pasta: mistura do cimento e da água;

• Argamassa: mistura da pasta com o agregado miúdo;

• Concreto: mistura da argamassa com o agregado graúdo;

Page 21: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

13

• Concreto armado: junção do concreto com a armadura (aço).

Para a caracterização do concreto armado é importante a definição de dois valores básicos: a resistência do concreto à compressão e a resistência do aço à tração. Para as peças comumente em utilização no mercado, a resistência do concreto à compressão (fc) varia de 20MPa a 50MPa. Já a resistência do aço à tração (fs) é de 500MPa e 600MPa. Esse assunto será tratado mais detalhadamente nos capítulos referentes às propriedades dos materiais concreto e aço.

O grande problema que as peças de concreto armado apresentam é a fissuração. Uma fissuração elevada do concreto pode levar a uma série de problemas, onde se destacam os seguintes:

• Comprometimento da estética da estrutura;

• Sensação de desconforto e insegurança dos usuários;

• Redução da inércia da peça (Figura 1.4), podendo levá-la a grandes deformações, ou até mesmo à ruína;

Figura 1.4 – Redução de inércia devido à fissuração.

• Corrosão das armaduras (Figura 1.5), que num estágio avançado também pode comprometer a estabilidade e segurança da estrutura.

Figura 1.5 – Exemplos de corrosão de armadura.

Page 22: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

14

Algumas providências podem ser tomadas para minimizar o problema da fissuração, como o uso de fibras no concreto, ou ainda, a utilização do concreto protendido.

1.2.2. Viabilidade do concreto armado

De acordo com SÜSSEKIND (1981), a existência do material concreto armado só é possível devido a três fatores básicos. São eles:

a) Aderência entre o concreto e o aço.

Para que o concreto armado trabalhe como um material único, é fundamental garantir que haja uma perfeita aderência entre o aço e o concreto, o que significa que os dois materiais possuam a mesma deformação em todos os pontos (εs=εc). Caso contrário, estaria havendo um escorregamento de um material em relação ao outro (εs≠εc). A aderência entre os dois materiais também garante que haja a transferência de esforços de um para o outro, fazendo com que o aço ajude o concreto e vice-versa.

b) Coeficientes de dilatação térmica (α) do concreto e do aço praticamente iguais, à temperatura ambiente.

O coeficiente de dilatação térmica do aço é de α=1,2x10-5/oC, e o do concreto varia de α=0,9x10-5/oC à α=1,4x10-5/oC, com valor mais freqüente em torno de α=10-5/oC. Para as temperaturas usuais das estruturas de concreto armado, essa diferença não é significativa. Adota-se, portanto, para o concreto armado um coeficiente de dilatação térmica de α=10-5/oC. Essa diferença passa a ter importância quando as estruturas atingem temperaturas elevadas, como no caso de incêndios, o que não é uma situação corriqueira para a grande maioria das obras. Nas estruturas onde o risco de incêndio é significativo, pode-se tomar algumas providências para minimizar o problema, tais como: a utilização de cimentos mais resistentes ao fogo e o aumento do cobrimento das peças. As peças de concreto armado quando submetidas a grandes diferenças de temperatura (∆T) sofrem deformações (ε), que são calculadas da seguinte maneira:

ε = α . ∆T ε = ∆L / L ∆L = α . ∆T . L

c) Proteção contra a corrosão, que o concreto fornece à armadura.

O concreto fornece dois tipos de proteção contra a corrosão às armaduras de concreto:

• Proteção física: devido ao cobrimento; as armaduras não ficam expostas ao meio ambiente, o que as levaria à oxidação; por isso, atenção especial deve ser dada ao cobrimento das peças, que deve ser o mais uniforme e homogêneo possível.

• Proteção química: o concreto, por ser um meio alcalino, inibe a oxidação das armaduras.

A proteção das armaduras quanto à corrosão é um fator determinante na durabilidade da peça, ou seja, na garantia da sua vida útil. Para que seja garantida esta proteção das armaduras, deve-se atentar a dois aspectos:

Page 23: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

15

• Deve-se fixar um valor mínimo para o cobrimento da armadura, e mante-lo o mais uniforme possível, a fim de não ocorrer maior perigo de corrosão numa região.

• Os cimentos, agregados, água de amassamento e aditivos não devem conter uma quantidade de materiais passíveis de favorecer a corrosão, em percentuais superiores a limites estabelecidos em norma (Ver Tabela I no Anexo A).

1.2.3. Tipos de concreto

Atualmente, quando se fala em concreto, deve-se definir a qual se refere, pois existe uma enorme variedade de tipos de concreto, tais como: concreto armado, concreto protendido, concreto compactado com rolo, concreto projetado, concreto massa, concreto leve, concreto pesado, concreto com fibras, etc. Cada um deles tem características e aplicações próprias. Nos parágrafos seguintes, será feita uma breve descrição de alguns dos tipos mais usados, citando suas principais características e aplicações.

• Concreto simples: concreto utilizado sem armadura, ou com armadura menor que a mínima, que resiste basicamente às tensões de compressão e possui um peso específico da ordem de 24 kN/m3; utilizado principalmente nas fundações, como os blocos de concreto ciclópico, os tubulões e as estacas de concreto;

• Concreto armado: é o material resultante da ação conjunta do concreto e do aço (Figura 1.6), que trabalha como armadura passiva, onde o primeiro resiste às tensões de compressão e o último às de tração; possui um peso específico da ordem de 25 kN/m3; a existência do concreto armado se dá, principalmente, pela aderência entre os dois materiais; é utilizado em praticamente todo tipo de estrutura, até onde o binômio Eficiência x Economia é satisfeito;

Figura 1.6 – Concreto armado

• Concreto protendido: é a ação conjunta do concreto e do aço, como armadura ativa (com a introdução de tensões prévias na armadura, Figura 1.7); o concreto protendido é utilizado, entre outras aplicações, nas estruturas com grandes vãos e cargas elevadas, onde o concreto armado passa a não ser economicamente viável; o concreto protendido, também, tem a vantagem de apresentar uma durabilidade maior, já que sua fissuração é bem menor;

• Argamassa armada: possui basicamente a mesma composição do concreto (Figura 1.8), porém sem a utilização do agregado graúdo (pedra), e possui uma armadura difusa, de pequeno diâmetro, normalmente em tela soldada; é muito utilizada em peças pré-moldadas leves;

Page 24: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

16

Figura 1.7 – Concreto protendido

Figura 1.8 – Argamassa armada

• Concreto leve: é um concreto mais leve que o convencional, feito, na maioria das vezes, com agregados leves celulares, podendo seu peso específico seco ao ar ser da ordem de dois terços do peso do concreto convencional, e não ultrapassando o valor de 18,50 kN/m3; é muito utilizado nas peças de pré-moldados leves, e em estruturas onde se pretende reduzir o peso próprio;

• Concreto moldado in loco: é o concreto que é confeccionado no local aonde a peça vai permanecer (Figura 1.9);

Figura 1.9 – Concreto moldado in loco.

• Concreto pré-moldado: é o concreto que é produzido fora do local onde vai trabalhar (Figuras 1.10 e 1.11); pode ser no próprio canteiro da obra ou em fábricas de pré-moldagem; a grande vantagem é a possibilidade de reutilização das fôrmas quando há grande repetição das peças e a rapidez na montagem; porém, deve-se tomar cuidado especial com o seu transporte e o seu içamento das peças;

Page 25: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

17

Figura 1.10 – Canteiro de pré-moldados.

Figura 1.11 – Estocagem de vigas pré-fabricadas.

• Concreto pesado: é um concreto feito com minerais de alta massa específica, e é cerca de 50% mais pesado que o concreto convencional; é usado para blindagem em usinas nucleares, ou outros tipos de radiação;

• Concreto massa: é a denominação dada ao concreto utilizado em estruturas que apresentam um grande volume de concreto, como as barragens, onde atenção especial deve ser dada às elevadas temperaturas que ocorrem no seu interior, durante a concretagem;

• Concreto bombeado: é o concreto que é transportado por pressão através de tubos rígidos ou mangueiras flexíveis e descarregado diretamente nos pontos onde deve ser aplicado; muito utilizado nas obras de grandes edificações, onde o concreto, normalmente, chega em caminhões betoneiras, e é então bombeado (Figura 1.12);

Page 26: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

18

Figura 1.12 – Concreto sendo bombeado durante concretagem de laje.

• Concreto projetado: é o concreto que é projetado em alta velocidade, por uma bomba pneumática, sobre uma superfície; é muito utilizado em obras de reparo, túneis, canais, paredes finas, etc.;

• Concreto de alta resistência (CAR): segundo o CEB-FIP CM 90 (1993), é o concreto com resistência à compressão acima de 60 MPa; esse limite pode variar de país para país; uma classificação que é utilizada no Brasil é a seguinte:

baixa resistência: até 25 MPa;

média resistência: de 25 à 50 MPa;

alta resistência: de 50 à 90 MPa;

ultra-alta resistência: acima de 90 MPa;

muito utilizado atualmente em praticamente todo tipo de estruturas, especialmente em obras de vulto e em pilares dos edifícios;

• Concreto de alto desempenho (CAD): segundo o CEB-FIP CM 90 (1993), é o concreto com fator A/C inferior a 0,40, ou seja com baixa permeabilidade; é um concreto que tem um desempenho diferenciado, em relação ao convencional, para determinadas propriedades, como a resistência e a durabilidade; é um concreto que possui na sua composição, além dos materiais usados no concreto comum, algum material com propriedades pozolânicas, como por exemplo a sílica ativa ou a cinza volante, e aditivos superplastificantes para melhorar a sua trabalhabilidade, que fica prejudicada com a adição dos finos; é utilizado em estruturas sujeitas à compressão elevada (como os pilares), em peças protendidas, em estruturas submetidas a desgastes mecânicos e erosão, como rodovias, pisos industriais, pistas de aeroportos, obras marítimas, etc.;

• Concreto compactado com rolo: é um concreto seco, de consistência dura e trabalhabilidade tal que lhe permite receber compactação por rolo compressores, vibratórios ou não; empregado como base e revestimento de pavimentos sujeitos a tráfego pesado e em obras hidráulicas;

Page 27: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

19

• Concreto com fibras: concreto contendo fibras de aço (concreto 2%, argamassa 10%), vidro (5%), polipropileno, cimento amianto (10%), vegetais, etc, que aumentam a rigidez, ductilidade e durabilidade; diminuem a permeabilidade e as tensões nos estribos; e controlam melhor a fissuração; muito utilizado em estruturas pré-moldadas e em concreto projetado, lajes e pisos, túneis, etc.;

• Concreto com polímeros: concreto contendo polímeros resulta num material com permeabilidade muito baixa e excelente resistência química; utilizado como revestimento de proteção de armaduras, contra corrosão, em pisos industriais e tabuleiros de pontes.

Os tipos de concretos citados anteriormente podem ser encontrados separadamente ou em conjunto, por exemplo, uma estrutura em concreto armado pode ser com concreto de alto-desempenho, que normalmente é também um concreto de alta-resistência. Ou ainda, uma estrutura em concreto protendido pode utilizar concreto reforçado com fibras, e assim por diante.

Existem ainda outros tipos de concretos especiais, como por exemplo: concreto de alta densidade, concreto com alta trabalhabilidade, concreto auto-adensável, concreto com baixa retração, etc. Cada um deles com uma característica própria, visando atender melhor a um determinado tipo de estrutura.

1.2.4. Aplicações do concreto

O concreto pode ser utilizado praticamente em todo tipo de construção, desde as obras de arte, como pontes (Figura 1.13) e estruturas em concreto aparente (Figura 1.14), até as estruturas de serviço, que ficam escondidas, como os reservatórios enterrados e as estações de tratamento de água (Figura 1.16).

O concreto é, sem dúvida, o material mais usado nas obras de pontes, cais, túneis, barragens, muros de arrimo, torres, reservatórios, galerias, edifícios e outros.

Atualmente, o concreto vem sendo usado, também, nos pavimentos, pisos industriais, dormentes e outras aplicações, onde há a tendência do uso das fibras, para ajudar na resistência à fadiga.

As figuras a seguir apresentam alguns exemplos de estruturas de concreto.

Figura 1.13 – Ponte Salginatobel na Suíça, com 13,94 m de vão em concreto armado, projetada por Robert

Maillart e construída entre 1929 e 1930. FONTE: http://nisee.berkeley.edu/elibrary/

Page 28: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

20

Figura 1.14 – Edifícios residenciais em Salvador.

Figura 1.15 – Teatro Castro Alves, Salvador.

Page 29: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

21

Figura 1.16 – Tanque de tratamento de água em concreto armado (FERGUSON et al, 1988).

1.3. VANTAGENS E DESVANTAGENS

Assim como todo e qualquer outro material de construção, o concreto armado apresenta vantagens e desvantagens. Algumas das principais vantagens e desvantagens estão listadas a seguir. Para as desvantagens são discutidas algumas das providências que podem ser tomadas para minimizar, ou em alguns casos até mesmo eliminar, essas deficiências.

1.3.1. Vantagens do concreto armado

As principais vantagens do concreto armado são as seguintes:

a) Economia, devido principalmente à facilidade e à disponibilidade de se encontrar os materiais que o compõem (água, cimento e agregados), e a um custo relativamente baixo;

b) Facilidade de execução. Não é preciso uma tecnologia avançada nem para produzir o concreto, nem para construir utilizando-o;

c) Adaptação a praticamente todo tipo de forma e tamanho, e de maneira relativamente fácil;

d) Excelente resistência à água e a diversas ações;

e) É um material “ecologicamente correto”, não só por requerer, na sua produção, um consumo relativamente baixo de energia, como também por ser um material que pode reciclar grande quantidade de restos industriais;

f) Apresenta um baixo custo de manutenção para as estruturas, desde que estas sejam bem construídas e utilizadas de maneira apropriada;

g) Resistência a efeitos térmicos, atmosféricos e a desgastes mecânicos;

h) Obtenção de uma estrutura monolítica e hiperestática; garante, desta forma, diretamente e sem necessidade de ligações posteriores, uma maior redistribuição de esforços, gerando uma maior integridade estrutural.

Page 30: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

22

1.3.2. Desvantagens do concreto armado

As principais desvantagens do concreto armado são as seguintes:

a) Peso próprio elevado, da ordem de 25 kN/m3. Nas estruturas onde o peso próprio é a carga predominante, o custo pode ser elevado. Esse fato ocorre, principalmente, em estruturas que apresentam vãos grandes e carregamento elevado. Nestes casos é preferível usar o concreto protendido, ou ainda as estruturas metálicas. Outras opções para diminuir o peso próprio das estruturas são: a utilização de concreto leve (uso de agregados leves), argamassa armada, ou ainda, os concretos de alta resistência que resultam em seções menores;

b) Dificuldade de reformas, demolições e desmontes. O uso de concreto pré-moldado pode minimizar um pouco o problema, mas se se pretende construir estruturas de caráter temporário não se deve usar o concreto armado;

c) Não é completamente impermeável à água e outros líquidos. Esse problema pode ser resolvido com a utilização de aditivos impermeabilizantes, o uso de mantas impermeabilizantes, ou a redução do fator A/C visando a diminuição da permeabilidade do concreto e tornando-o mais compacto;

d) Não é um bom isolante térmico nem acústico, o que pode ser corrigido com o uso de isolamentos térmicos e acústicos, tais como o isopor e a cortiça.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AÏTCIN, P-C – Concretes of yesterday, today and tomorrow. 41o Congresso Brasileiro do Concreto, Salvador, 1999.

CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993.

FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 1988.

GRIMSHAW, C.- Construções: conexões. Câmara Brasileira do Livro, São Paulo, 1998.

HELENE, P. R. L. – Corrosão em armaduras para concreto. São Paulo: PINI: Instituto de Pesquisas Tecnológicas, 1986.

LIN,T. Y.; BURNS, N. H. – Design of prestressed concrete structures. John Wiley & Sons, Inc., 1981.

MEHTA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. – Concreto: estrutura, propriedades e materiais. São Paulo: PINI, 1994.

NÁPOLES NETO, A. D. F.; VARGAS, M. (1996). Uma Breve História das Fundações. In: HACHICH, W. et al , coords. Fundações: teoria e prática. São Paulo: PINI, 1996. cap. 1.A, p. 17 - 33.

PINHEIRO, L. M.; GIONGO, J. S. – Concreto armado: propriedades dos materiais. EESC-USP, 1986.

Page 31: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

23

SÜSSEKIND, J. C. – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.

VASCONCELOS, A. C. – O concreto no Brasil: recordes, realizações, história. Vol.1. São Paulo: PINI, 1992.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (1978) – Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978.

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

ABNT. NBR 7197 (1989)– Projeto de estruturas de concreto protendido. Rio de Janeiro, 1989.

ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002.

ACI. State-of-the-art report on fiber reinforced plastic: reinforcement for concrete structures. Reported by ACI Committee 440.

ACI. State-of-the-art report on high strength concrete. ACI 363 R – 92.

BARDI, P. M. – Engenharia e arquitetura na construção. Banco Sudameris Brasil S.A., 1985.

Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

FUSCO, P. B. - Estruturas de concreto: solicitações normais. Ed. Guanabara Dois S.A., Rio de Janeiro, 1981.

FUSCO, P. B. – Estruturas de concreto: solicitações tangenciais. São Paulo, EPUSP, 1981.

FUSCO, P. B. – Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, PINI, 1995.

GIAMMUSSO, S. E. – Concreto bombeado. São Paulo, ABCP, 1987.

GIONGO, J. S.; TOTTI Jr., F. – Concreto armado: resistência de elementos fletidos submetidos à força cortante. São Carlos, EESC-USP, 1994.

MACGREGOR, J. G. – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988.

PETRUCCI, E. G. R. – Concreto de cimento portland. 10. ed. atualizada e revisada por PAULON, V. A.; Porto Alegre. Rio de Janeiro: Globo, 1983.

ROY, S. K. et all – Concrete and the environment: the deterioration of concrete structures. International Symposium on ‘Innovative World of Concrete-98’.Proceedings Vol. 1. Calcutá, Índia, 1998.

Page 32: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

24

SANTOS NETO, P – Resistência do concreto à força cortante em peças fletidas. São Carlos, EESC-USP, 1977.

SILVA, P. F. A. – Durabilidade das estruturas de concreto aparente em atmosfera urbana. São Paulo: PINI, 1995.

SKALNY, J.; MINDESS, S. – Material science of concrete II. The American Ceramic Society, Inc., 1991.

SOBRAL, H. S. – Concretos leves: tipos e comportamento estrutural. São Paulo, ABCP, 1987.

TRAMONTANO, M. – Habitação moderna: a construção de um conceito. EESC-USP, 1993.

Page 33: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

25

2. MATERIAIS

O concreto armado é um material formado por dois outros materiais: o concreto e o aço. A seguir serão vistas algumas das propriedades de cada um dos materiais componentes e, também, do material resultante.

2.1. CONCRETO

O concreto consiste em agregados inertes envolvidos por uma pasta feita com cimento portland e água, que preenche os vazios entre os agregados, unindo-os. Após o endurecimento desta pasta através da reação química resultante da união do cimento com a água, forma-se o concreto. As propriedades mais importantes do concreto para as estruturas são: resistência à compressão, deformabilidade e durabilidade.

2.1.1. Resistência à compressão:

Segundo MEHTA & MONTEIRO (1994), “A resistência de um material é definida como a capacidade de este resistir à tensão sem ruptura”. A resistência do concreto à compressão, sua característica mais importante, é medida através de ensaios de compressão axial em corpos-de-prova, sendo esses ensaios utilizados para o controle de qualidade e a aceitação do concreto utilizado na estrutura. As Figuras 2.1a e 2.1b apresentam detalhes do ensaio de compressão axial em corpos-de-prova cilíndricos.

(a)

(b) Figura 2.1 – Detalhes de ensaio de compressão axial em corpos-de-prova cilíndricos de concreto.

Fatores que interferem na resistência à compressão do concreto:

a) Fator água/cimento - porosidade: Principal responsável pela resistência do concreto à compressão, o fator água/cimento mede a relação entre o peso da água e o do cimento utilizado no traço do concreto. Ele determina a porosidade do concreto endurecido, que

Page 34: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

26

por sua vez afeta na resistência do mesmo, visto que uma menor porosidade, ocasionada por uma menor relação água/cimento, proporcionará uma maior área de contato entre os elementos, proporcionando assim uma maior resistência.

b) Tipo de Cimento: O tipo de cimento utilizado no concreto em geral influi pouco na resistência à compressão definitiva do concreto, sendo mais utilizado para ajustar outras características do mesmo. Segundo MEHTA & MONTEIRO (1994), “..., a influência da composição do cimento sobre a porosidade da matriz e a resistência do concreto fica limitada às baixas idades”. A Tabela 2.1 mostra esse efeito do tipo de cimento portland sobre a resistência relativa do concreto a 1, 7, 28 e 90 dias.

Tabela 2.1 – Resistência relativa aproximada do concreto segundo a influência do tipo de cimento (MEHTA & MONTEIRO, 1994).

Tipo de cimento Resistência à compressão (porcentagem em relação ao Tipo I ou concreto de

cimento Portland comum)

Portland ASTM1

Natureza

1 dia 7 dias 28 dias 90 dias

I Normal ou uso comum 100 100 100 100

II Calor de hidratação moderado e moderada resistência a sulfatos

75 85 90 100

III Alta resistência inicial 190 120 110 100

IV Baixo calor de hidratação 55 65 75 100

V Resistente a sulfatos 65 75 85 100

c) Cura: As condições de cura do concreto são especialmente importantes para a resistência à compressão do mesmo. A cura inadequada ou a alta temperatura pode ocasionar uma perda de água prematura do concreto, deixando espaços vazios, reduzindo assim a sua resistência.

d) Idade do Concreto: A resistência do concreto à compressão cresce em função do tempo decorrido da concretagem, mais rapidamente nas primeiras idades e mais lentamente a partir do nonagésimo dia, vindo a se estabilizar, aproximadamente, após o primeiro ano de vida da estrutura. Os ensaios feitos no concreto levam em consideração a idade de 28 dias. A Tabela 2.2, apresentada pelo CEB-FIP CM 90 (1993) apud SÜSSEKIND (1981), fornece uma relação entre as resistências para várias idades e tipos de cimento.

Tabela 2.2 - Variação da resistência do concreto à compressão (temperatura ambiente entre 15o e 20o C) (SÜSSEKIND, 1981).

Idade do concreto (dias) 3 7 28 90 360

Cimento Portland Comum 0,40 0,65 1,00 1,20 1,35

Cimento Portland de Alta Resistência Inicial 0,55 0,75 1,00 1,15 1,20

1 ASTM – Americam Society for Testing and Materials: O cimento ASTM I corresponde aos cimentos brasileiros CP I e CP I-S; os ASTM II e ASTM V correspondem aos CP I-RS, CP I-S RS, CP II-E RS, CP II-Z RS, CP II-F RS, CP III RS e CP IV-RS; o ASTM III ao CP V-ARI; o ASTM IV não tem similar no Brasil.

Page 35: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

27

Segundo a NBR 6118 (2004), para idades inferiores a 28 dias, pode-se utilizar a seguinte expressão:

( ) ck])t/28(1[s

ck1cj f.ef.f2/1−=β=

0,38 para concreto de cimento CP III e IV;

onde: s = 0,25 para concreto de cimento CP I e II;

0,20 para concreto de cimento CP V – ARI.

t é a idade efetiva do concreto em dias.

e) Adensamento: O adensamento, feito imediatamente após o lançamento do concreto, tem a função de eliminar os vazios existentes no mesmo. Nos concretos estruturais, o adensamento é feito principalmente através de vibração, que deve ser feita tomando-se os devidos cuidados para evitar: pontos sem vibração (que provocarão surgimentos de vazios), segregação do material por meio de vibração exagerada, ou perda de aderência com a armadura. O adensamento do concreto no corpo-de-prova é feito de forma manual, por procedimentos definidos em norma. O adensamento feito fora destes padrões pode conduzir a resultados errôneos da resistência do concreto à compressão.

f) Forma e dimensões do corpo-de-prova: A medida da resistência do concreto através de corpos-de-prova apresenta certas dificuldades de compatibilização com o comportamento da estrutura real. Uma destas dificuldades é o dimensionamento do corpo-de-prova, que deve ser tal que o diâmetro permita uma concretagem fácil, e a altura não pode ser excessivamente baixa para evitar um impedimento da deformação transversal, devido ao atrito das faces extremas com os pratos da prensa de ensaio. Baseado neste princípio, a norma brasileira e a maioria das normas internacionais recomendam a adoção de corpos-de-prova cilíndricos de 15 cm de diâmetro de base por 30 cm de altura. Existem ainda alguns países, como a Alemanha, que adotam corpos-de-prova cúbicos com 20 cm de aresta, encontrando resultados superiores aos dos cilíndricos, devido, sobretudo, ao atrito mencionado anteriormente.

Correção da resistência à compressão

Como foi citado, há diferenças entre o valor encontrado nos ensaios de compressão axial do corpo-de-prova e o valor de resistência que estará atuando nas estruturas. Essas diferenças são decorrentes de três fatores: o tamanho do corpo-de-prova; a velocidade de carregamento; e a idade do concreto.

Para levar em conta a diferença de tamanho entre o corpo-de-prova cilíndrico de 15x30cm e as estruturas, admite-se um coeficiente de correção de 0,95, ou seja, a resistência da estrutura é 0,95 da resistência do corpo-de-prova. Para outras dimensões e formas de corpos-de-prova (cilíndrico 10x20cm; cilíndrico 5x10cm; prismático; cúbico, etc.) tem-se outros coeficientes.

A resistência do concreto aumenta com o tempo, como indicado na Tabela 2.2. Para levar em conta a idade do concreto, admite-se que a resistência à compressão aumenta 20%, em um ano, em relação à resistência aos 28 dias, ou seja, fc,1ano=1,2 fck.

Page 36: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

28

A velocidade de carregamento de uma estrutura influi na sua resistência. Quanto mais rápido o carregamento maior a carga máxima, porém, mais acentuada é a queda. Segundo Rush2 apud MEHTA & MONTEIRO (1994), “A resistência final do concreto é também afetada pela velocidade de carregamento. Devido à progressiva microfissuração sob cargas mantidas constantes, o concreto sofrerá ruptura a uma tensão menor do que a induzida por carregamento instantâneo ou rápido, normalmente utilizado em laboratório”. A Figura 2.2 apresenta esse efeito.

Figura 2.2 – Relação entre as resistências sob carregamento rápido e lento (Rüsh apud MEHTA & MONTEIRO,

1994).

Para levar em conta a velocidade de carregamento, admite-se que, a favor da segurança, a resistência obtida com um carregamento lento é 75% da resistência obtida em ensaios com carregamento rápido.

Levando-se em conta os três fatores, tem-se que:

fck,projeto = 0,95 * 1,2 * 0,75 * fck = 0,85 fck,ensaio

Determinação do fck do concreto

A determinação da resistência do concreto é feita através de tratamento estatístico dos resultados dos ensaios realizados em um número suficiente de corpos de prova (CP), definido através de normas. Os resultados dos ensaios obedecem aproximadamente a uma curva normal de distribuição de freqüências ou Curva de Gauss, com as abcissas representando os valores da resistência do corpo-de-prova correspondentes a uma freqüência, marcada nas ordenadas, como pode ser visualizado na Figura 2.3.

2 Rüsh, H – J. ACI, Proc., Vol. 57, No. 1, 1960.

Fator de correção

Page 37: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

29

=

==

(CP) ensaios de número n

absuluta Freqência F onde ,

nFfr

i ordem de CP do aresistênci

concreto do média resisência

=

== ∑

ci

cicm

f

nf

f

Figura 2.3 - Curva de Gauss.

Através desta curva, encontramos a resistência característica do concreto (fck), considerada como sendo o valor que tem 95% de probabilidade de ser igualado ou superado. Matematicamente, através da curva de Gauss temos que:

1n

)ff(

concreto do qulidade Indica amostra. da dispersão da Medida Padrão Desvio

65.1ff

n

1i

2cmci

cmck

−=δ

→=δ

δ−=

∑=

EXERCÍCIO 2.1:

Foram ensaiados dez corpos-de-prova de concreto à compressão axial, cujos resultados são apresentados a seguir. Determinar o fck (MPa) do concreto analisado.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fci 28 30 26 30 29 35 30 31 30 31

Quando não possuímos os dados dos ensaios, apenas o valor de fcm, o desvio padrão pode ser arbitrado através de recomendações da Norma, variando de 4 MPa até 7 MPa, como segue:

• 4 MPa: Utilizado quando houver um tecnologista a serviço da obra, e todos os materiais forem medidos em peso;

• 5,5 MPa: Utilizado quando houver um tecnologista a serviço da obra, o cimento for medido em peso, e os demais agregados em volume. Este volume deve ser corrigido em função da umidade, previamente determinada, assim como a quantidade de água;

Page 38: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

30

• 7 MPa: Utilizado quando o cimento for medido em peso e os demais agregados em volume, sendo apenas a quantidade de água corrigida em função de um valor de umidade estimado.

Módulo de elasticidade

O Módulo de elasticidade (Ec) é a relação entre a tensão atuante e a deformação longitudinal resultante desta tensão. Por esta definição, temos que seu valor em um determinado ponto M (Figura 2.4), deve ser dado por:

McM tgE ϕ=

Figura 2.4 – Diagrama Tensão versus Deformação do concreto.

Levando em consideração que a adoção de coeficientes de segurança impostos ao cálculo das estruturas faz com que, em serviço, o concreto trabalhe com uma tensão fs não superior a 40% da sua tensão de ruptura e que da origem até o ponto de tensão fs, a inclinação não varia significativamente, podemos tomar como módulo de elasticidade tangente para este trecho, o valor em sua origem:

00c tgE ϕ=

Segundo a NBR 6118 (2004), “quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão:

Eci = 5600 fck½ (MPa)

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão:

Ecs = 0,85 Eci

Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (Ecs)”.

Page 39: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

31

Coeficiente de Poisson

O coeficiente de deformação transversal, ou coeficiente de Poisson (ν) representa a relação entre as deformações transversais e longitudinais na peça (Figura 2.5). Varia entre 0,15 e 0,25, sendo sugerido pela NBR 6118 (2004) o valor constante de 0,20, devido a pequena variação que estes valores representam nos cálculos. Esse valor, entretanto, válido para tensões de compressão menores que 0,5fc e tensões de tração menores que fct.

Figura 2.5 – Coeficiente de Poisson.

ν = tgα

para

=ν⇒=

=ν⇒=

25,0MPa26f

15,0MPa11f

ck

ck

Valor aproximado ν = 0,20

Diagrama Tensão versus Deformação simplificado

De forma a estabelecer um critério de dimensionamento comum aos concretos com diferentes resistências à compressão com que se trabalha na prática, havia a necessidade de um diagrama ideal, mesmo que simplificado, para possibilitar a sua aplicação numérica. A partir dos ensaios realizados por E. Grasser, com diferentes resistências de concreto (fr entre 17 e 34 MPa), feitos para cargas de curta duração, comprovou-se que a tensão máxima ocorre com uma deformação específica da ordem de 0,2%, atingindo a ruptura com uma deformação média em torno de 0,35%.

Com esses dados, a maioria das normas, inclusive a NBR 6118 (2004) e o CEB-FIP CM 90 (1993), recomenda a utilização do diagrama simplificado parábola-retângulo (Figura 2.6) no dimensionamento do concreto normal para carregamentos de curta duração. Porém, para tensões de compressão menores que 0,5.fc, admiti-se uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para o módulo de elasticidade o valor do módulo secante (Ecs).

Figura 2.6 – Diagrama Tensão versus Deformação idealizado (NBR 6118, 2004).

Page 40: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

32

2.1.2. Resistência à tração

A resistência à tração do concreto é relativamente baixa, girando em torno de 8 a 15% da sua resistência à compressão. Além disso, é muito mais difícil mensurar o seu valor, pois este varia muito, a depender do ensaio realizado, além das variações pelo tipo do agregado, pela resistência à compressão e pela presença de uma tensão de compressão transversal a tensão de tração. Os ensaios para a determinação da resistência à tração do concreto são:

Ensaio de tração direta:

Consiste em tracionar um corpo-de-prova (CP) cilíndrico de concreto, como mostrado na Figura 2.7. Este tipo de ensaio possui grandes dificuldades de realização pela forma de colocação do corpo-de-prova na prensa. Quando da aplicação da carga, pode ocorrer um esmagamento nas extremidades do CP, comprometendo o ensaio.

AFt

t =σ

Figura 2.7 - Ensaio de tração direta

A NBR 6118 (2004) intitula essa variável de fct.

Ensaio de tração indireta ou tração na flexão:

Esse ensaio é feito com a utilização de um corpo-de-prova prismático, com seção transversal de 15 cm x 15 cm e comprimento de 75 cm, que é submetido à aplicação de carga transversal nos terços médios entre os apoios, conforme Figura 2.8.

Figura 2.8 - Ensaio de tração indireta.

IyM

3LPM

máxrr

r

⋅=σ

⋅=

A NBR 6118 (2004) intitula essa variável de fct,f, e estabelece a seguinte relação: fct = 0,7 fct,f.

Ensaio de compressão diametral:

Ensaio mais utilizado para a determinação da resistência à tração do concreto, é também chamado na literatura internacional de Ensaio Brasileiro, por ter sido idealizado pelo pesquisador brasileiro F. L. Lobo Carneiro. Este ensaio consiste na aplicação de um

Page 41: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

33

carregamento em duas arestas diametralmente opostas de um corpo de prova cilíndrico de 15 cm de diâmetro por 30 cm de altura, conforme mostrado na Figura 2.9a. Devido à aplicação desta carga de compressão, surgem tensões de tração praticamente constantes na direção perpendicular ao carregamento (Figura 2.9b).

Figura 2.9 - Ensaio de tração por compressão diametral.

Caso as tensões de tração fossem constantes:

dhF2

t π=σ

Correção devido a existência da compressão:

dhF55,0

t =σ

A NBR 6118 (2004) intitula essa variável de fct,sp, e estabelece a seguinte relação: fct= 0,9 fctsp.

Fórmulas empíricas:

Como os projetos de estruturas são desenvolvidos apenas a partir do fck do concreto, torna-se necessária a utilização de expressões confiáveis para determinação da resistência característica do concreto à tração (fctk), sendo estas expressões sugeridas pela NBR 6118 (2004), a partir de dados experimentais para concretos normais, como:

3/2ckm,ct

m,ctsup,ctkm,ctinf,ctk

f3,0f

f3,1ff7,0f

=

==

A unidade das expressões é MPa.

2.1.3. Retração / expansão

A retração e a expansão são deformações volumétricas do concreto, independentes de carregamento e direção. Estas variações ocorrem devido à perda (retração) ou a absorção

Page 42: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

34

(expansão) de água por parte do concreto. A intensidade do fenômeno varia de acordo com a umidade do ambiente, a espessura da peça, e o fator água/cimento da mesma.

No processo de retração, a água é inicialmente expulsa das fibras externas do concreto, criando deformações diferenciais que, por sua vez, geram tensões capazes de provocar fissuração em peças de concreto armado, e perda de tensão em cabos de peças em concreto protendido.

Para minimizarem-se os efeitos da retração, deve ser efetuado um processo de cura no concreto, por pelo menos sete dias, de forma que a umidade existente ao seu redor impeça a perda de água do interior do mesmo.

No caso de estruturas com comprimento muito elevado, somente a cura não é suficiente para se evitar a retração, devendo então este comprimento ser reduzido, através de juntas de concretagem, que pode ser definitiva (gerando estruturas distintas), ou provisórias, que serão preenchidas após o processamento da parcela principal de retração.

2.1.4. Variação de temperatura

Uma peça submetida a uma variação uniforme de temperatura t ºC terá uma deformação axial dada pela expressão: tct α=ε , onde α é o coeficiente de dilatação térmica do material. Para o caso do concreto, a NBR 6118 (2004) recomenda a adoção do valor de 10-5/ºC para o coeficiente de dilatação térmica, α. A variação de temperatura pode ser ocasionada por dois fatores:

• Meio ambiente;

• Calor de hidratação, em estruturas com grande volume de concreto, como o caso das barragens.

Para minimizarem-se os efeitos da temperatura, deve-se:

• Prever juntas de dilatação na estrutura, de tal forma que as dimensões da estrutura entre as juntas seja sempre inferior a 30 m;

• Considerar os efeitos de temperatura nos cálculos da estrutura.

2.1.5. Fluência (deformação lenta)

É o aumento da deformação, sem que haja uma mudança no carregamento da peça. Consideremos, segundo SÜSSEKIND (1981), a peça de concreto representada na Figura 2.10, carregada axialmente com uma tensão de compressão constante ao longo do tempo, de valor σc. No instante de aplicação do carregamento, ela sofrerá uma deformação imediata ∆lci, gerando uma redução no volume da peça. Esta redução provocará o deslocamento da água quimicamente inerte existente no interior do concreto para regiões onde a mesma já tenha evaporado, desencadeando um processo análogo à retração, aumentando a deformação até um máximo de ∆lct no tempo infinito.

Page 43: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

35

Figura 2.10 - Deformações em uma peça de concreto (SÜSSEKIND, 1981).

A fluência varia com:

• Umidade do Ambiente Quanto mais seco o ambiente, maior a fluência do concreto;

• Espessura da peça Maior fluência em peças menos espessas;

• Prazo de desforma Quanto mais jovem o concreto no momento do carregamento, maior a deformação lenta;

• Composição do concreto A fluência aumenta com o aumento do fator água/cimento e do consumo de cimento na peça.

Como efeitos favoráveis da fluência no concreto, temos o alívio das concentrações de tensões e dos esforços de deformações impostas à estrutura, como a retração. São efeitos desfavoráveis o aumento da flecha e da curvatura dos pilares com cargas excêntricas, provocando um acréscimo na excentricidade inicial; a perda de tensão em cabos de peças em concreto protendido.

2.1.6. Estanqueidade, isolamento térmico e acústico

Segundo SÜSSEKIND (1981), a estanqueidade do concreto só pode ser considerada razoável quando a peça tem um baixo fator água/cimento, granulometria bem determinada e espessura superior a 20 cm, além do procedimento de uma vibração cuidadosa. Em geral, principalmente no concreto fissurado, a estanqueidade só é conseguida com a utilização de impermeabilizantes.

Geralmente, o produto impermeabilizante é ao mesmo tempo um isolante térmico, devido ao fato de o concreto proporcionar um isolamento térmico muito deficiente, em comparação com outros materiais de construção.

Ainda segundo SÜSSEKIND (1981), quanto ao isolamento acústico, temos duas situações distintas:

Page 44: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

36

• Os ruídos que são trazidos pelo ar, em ondas sonoras de baixa energia, não produzem vibração no concreto, comportando-se este como um excelente isolante acústico;

• Quando o ruído é provocado pelo contato com o concreto (um móvel arrastado, por exemplo), o concreto vibra com grande intensidade, sendo aconselhável a utilização de revestimentos acústicos em pisos e paredes.

2.1.7. O comportamento do concreto

Antes de mostrarmos o comportamento do concreto, vamos fazer uma revisão sobre o comportamento dos materiais:

a) Comportamento Elástico (Figura 2.11) Tem a capacidade de recuperar integralmente a deformação introduzida.

Figura 1.11 - Comportamento elástico.

ll∆

b) Elasticamente Perfeito (Figura 2.12) Material que segue a Lei de Hooke.

Figura 2.12 - Comportamento elasticamente perfeito.

σ = ε.E

c) Comportamento Plástico (Figura 2.13) Quando os efeitos da deformação introduzida são permanentes.

Page 45: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

37

Figura 2.13 - Comportamento plástico.

d) Para o concreto temos (Figura 2.14):

Figura 2.14 - Comportamento do concreto.

Tipos de deformação

• Que dependem do carregamento

= Fluência plástica Lentaelástica Lenta

plástica Imediataelástica Imediata

• Que independem do carregamento

ra temperatude ãopor variaç Causadas

xpansãoretração/epor Causadas

Page 46: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

38

Ensaio de deformação do concreto:

O ensaio representado pelos gráficos a seguir (Figura 2.15) demonstra o comportamento do concreto ao longo do tempo, sofrendo cargas e descargas em seqüência.

φ

φ

Figura 2.15 - Ensaio do comportamento do concreto.

OA Deformação Imediata

O’A Deformação elástica imediata

OO’ Deformação plástica imediata

BC Deformação imediata

CD Deformação lenta (alguns materiais não a apresentam)

DE Deformação elástica imediata

EF Deformação elástica lenta

BF = ∆ε Deformação plástica lenta

EXERCÍCIO 2.2:

Determinar o histórico de deformações para o ensaio indicado na Figura 2.16, sabendo-se que:

Page 47: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

39

• Para F0 a recuperação elástica é de 50%;

• Não há deformação lenta nos intervalos (t1-t2) e (t3-t4);

• Há deformação lenta plástica nos intervalos (t2-t3) e além de t4.

Figura 2.16 – Histórico do carregamento para o corpo-de-prova de concreto.

2.2. AÇO

O aço empregado em barras nas peças de concreto armado é uma liga constituída principalmente de ferro e carbono, à qual são incorporados outros elementos para melhoria das propriedades. O aço é usado em conjunto com o concreto com a finalidade principal de resistir aos esforços de tração, que não são suportados pelo concreto.

Segundo a NBR 6118 (2004), a massa específica dos aços para concreto armado pode ser tomada como γ=7850kg/m3. O valor do coeficiente de dilatação térmica do aço, para intervalos de temperatura entre –20oC e 150oC, pode ser considerado de α=10-5/oC.

2.2.1. Processos de fabricação e diagramas Tensão versus Deformação:

a) Aço tipo A:

É o aço de dureza natural, no qual a mistura de ferro com carbono é laminada à quente, sem qualquer tratamento posterior. Os aços desta categoria apresentam um patamar de escoamento bem caracterizado, tendo seu diagrama Tensão versus Deformação real representado na Figura 2.17a. Na Figura 2.17b é representado o diagrama simplificado ou padronizado, a ser considerado no dimensionamento, tendo como limite uma deformação de εs=10 00

0 para o alongamento, a fim de se evitar a deformação excessiva da peça.

fyk Limite de escoamento característico; aquele que tem 95% de chance de ser ultrapassado;

εyk = s

yk

Ef

Deformação unitária limite de escoamento;

Es = tg α Módulo de deformação longitudinal do aço.

Page 48: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

40

(a) Diagrama Real

(b) Diagrama Simplificado

Figura 2.17 - Diagramas Tensão versus Deformação para o aço tipo A.

b) Aço tipo B:

Os aços desta categoria são, após a laminação à quente, encruados por deformação a frio (torção, tração, trefilação, etc.). Estes aços não têm patamar de escoamento definido, sendo adotado um “limite convencional de escoamento”, fyk, como a tensão sob a qual, sendo descarregada a peça, reste uma deformação de 2 00

0 . Os ensaios mostram ainda que até o valor de 0,7fyk, o diagrama se mantém retilíneo, sendo caracterizado um regime elástico nesta fase. Na figura 2.18b, vemos o diagrama tensão deformação simplificado proposto para o dimensionamento, no qual se fez uma concordância parabólica para as tensões no intervalo entre a fase elástica e o limite convencional de escoamento.

(a) Diagrama Real (b) Diagrama Padronizado

Figura 2.18 – Diagramas Tensão versus Deformação para o aço classe B.

fyk Limite de escoamento convencional; tensão correspondente a uma deformação residual de 2 00

0 ;

εyk = s

yk

Ef

+2 000 Deformação unitária limite de escoamento;

0,7fyk Limite de proporcionalidade; ponto até onde é válida a lei de Hooke (comportamento perfeitamente elástico).

Page 49: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

41

Obs.: Para todos os aços utilizados em concreto armado, seja ele classe A ou B, o ângulo α é sempre constante (Figura 2.19), sendo então constante o valor de Es, que é dado por:

Es = 210.000MPa (2.100.000 kgf/cm2)

Figura 2.19 - Diagrama Tensão versus Deformação para aços de diferentes tipos

2.2.2. Classificação quanto ao limite de escoamento

O limite de escoamento dos aços empregados em concreto armado varia entre 250 MPa (2.500 kgf/cm2) e 600MPa (6000 kgf/cm2), sendo sua nomenclatura baseada neste limite de escoamento, seja ele real ou convencional, sendo feita a notação da seguinte forma: CA–50 A, em que:

• CA Tipo de concreto no qual será aplicado, sendo CA correspondente a concreto armado;

• 50 Limite de escoamento (fyk) em Kgf/mm2;

• A Classe do aço.

Comercialmente, até há alguns anos atrás, os aços fabricados eram os seguintes:

CA – 25 A CA – 32 A CA – 40 A CA – 40 B

CA – 50 A CA – 50 B CA – 60 B

Segundo a nova NBR 7480 (1996), a classificação se reduz às três categorias abaixo, sendo, porém, permitido que se utilize categorias diferentes.

CA – 25 A CA – 50 A CA – 60 B

2.2.3. Dimensões

O aço é vendido em forma de barras (para aços com φ ≥ 5mm) e fios (φ ≤10mm). Os fios são vendidos em rolos e as barras possuem comprimento variando entre 10 e 12 m, sendo limitado por norma o valor de 11,00 m ± 9%. A Tabela 2.3 apresenta as características dos fios e barras mais utilizados no mercado brasileiro.

Page 50: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

42

Tabela 2.3 - Bitolas padronizadas de fios e barras, segundo a NBR 7480 (1996).

Bitolas Padronizadas de fios e barras (NBR 7480, 1996)

Bitola φ Valor nominal para cálculo

Fios Barras Área da seção

(cm2)

Massa linear

(kg/m)

Perímetro

(cm)

3,2 - 0,080 0,063 1,00

4,0 - 0,125 0,100 1,25

5,0 5,0 0,200 0,160 1,60

6,3 6,3 0,315 0,250 2,00

8,0 8,0 0,500 0,400 2,50

10,0 10,0 0,800 0,630 3,15

12,5 12,5 1,250 1,000 4,00

- 16,0 2,000 1,600 5,00

- 20,0 3,150 2,500 6,30

- 25,0 5,000 4,000 8,00

- 32,0 8,000 6,300 10,00

Obs.: Não é aconselhável o uso de diâmetros inferiores a 5 mm, pois por serem muito finos, o seu manuseio na obra pode gerar deformações que comprometam o seu funcionamento.

2.2.4. Classificação quanto à conformação superficial

Quanto à conformação superficial, as barras de aço são classificadas em lisas e nervuradas. As barras lisas foram as primeiras a serem fabricadas, mas com o intuito de melhorar as condições de aderência entre o aço e o concreto e limitar as fissurações surgiram as barras com nervuras longitudinais, transversais e inclinadas.

O coeficiente de conformação superficial (ηb) indica a maior ou menor aderência entre o concreto e o aço, de acordo com as nervuras existentes no mesmo. A NBR 6118 (2004) fornece a seguinte tabela (Tabela 2.4) com os valores do coeficiente de conformação superficial (ηb) para os aços usuais.

Tabela 2.4 – Coeficiente de conformação superficial (NBR 6118, 2004).

Tipo de barra Coeficiente de conformação superficial (ηb)

Lisa (CA-25) 1,0

Entalhada (CA-60) 1,2

Alta aderência (CA-50) ≥ 1,5

De acordo com a NBR 7480 (1996), permite-se admitir o coeficiente de conformação superficial ηb=1,5, desde que a configuração geométrica das barras (Figura 2.20) atenda às seguintes exigências:

Page 51: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

43

1. Os eixos das nervuras transversais ou cristas devem formar com a direção do eixo da barra um ângulo igual ou superior a 45º;

2. As barras devem ter pelo menos duas nervuras longitudinais contínuas e diametralmente opostas, exceto no caso em que as nervuras transversais estejam dispostas de forma a se oporem ao giro da barra dentro do concreto;

3. A altura média das nervuras ou cristas, ou a profundidade das mossas, deve ser igual ou superior a 0,04 do diâmetro nominal;

4. espaçamento médio das nervuras transversais, cristas ou mossas, medido ao longo da mesma geratriz, deve estar entre 0,5 e 0,8 do diâmetro nominal;

5. As saliências devem abranger pelo menos 85% do perímetro nominal da seção transversal da barra ou do fio.

Figura 2.20 - Exigências atuais da NBR 7480 (1996), para barras de alta aderência.

A Figura 2.21 apresenta alguns tipos de nervuras encontradas nas barras de aço.

Figura 2.21 – Tipos de conformação superficial de barras de aço (FERGUSON et al, 1988).

2.2.5. Exigências de qualidade

Segundo SÜSSEKIND (1981), para recebimento de um lote de barras de aço na obra, devemos nos certificar de sua qualidade, que deve ser verificada através de ensaios normalizados. No ensaio de tração, deve ser verificado o limite de escoamento fyk, além do alongamento mínimo de ruptura. No ensaio de dobramento é verificada a trabalhabilidade das

Page 52: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

44

barras de aço, que serão dobradas para a execução de ganchos na obra. Existe ainda o ensaio de aderência, para verificar o coeficiente de conformação superficial (ηb).

A Tabela 2.5 apresenta as características mecânicas exigidas para as barras de aço empregadas nas peças em concreto armado.

Tabela 2.5 – Exigências de qualidade para barras de armaduras (SÜSSEKIND, 1981).

Ensaio de tração Ensaio de dobramento à 180º Aderência

Diâmetro do pino ou cutelo Categoria

Tensão de escoamento mínima (fyk)

Tensão de ruptura

mínima (fr)

Alongamento mínimo de ruptura (εr) φ < 20 mm φ ≥ 20 mm

Coeficiente ηb mínimo

CA – 25 2.500 kg/cm2 1,2 fyk 18% 2 φ 4 φ 1,0

CA – 32 3.200 kg/cm2 1,2 fyk 14% 2 φ 4 φ 1,0

CA – 40 A 4.000 kg/cm2 1,1 fyk 10% 3 φ 5 φ 1,2

CA – 40 B 4.000 kg/cm2 1,1 fyk 8% 3 φ 5 φ 1,2

CA – 50 A 5.000 kg/cm2 1,1 fyk 8% 4 φ 6 φ 1,5

CA – 50 B 5.000 kg/cm2 1,1 fyk 6% 4 φ 6 φ 1,5

CA - 60 6.000 kg/cm2 1,05 fyk 5% 5 φ ≥ 6 φ ≥ 1,5

2.2.6. Fadiga do Aço

Segundo SÜSSEKIND (1981), os estudos realizados sobre o comportamento do aço empregado em peças de concreto armado submetidas a solicitações alternadas, como no caso de pontes, chegou aos seguintes resultados:

• Para aços CA – 25 e CA – 32, não há qualquer problema de diminuição de resistência;

• As barras de aços CA – 40, CA – 50 e CA – 60 registram problemas de diminuição de resistência para cargas alternadas. Esse problema pode ser minorado com a utilização de nervuras inclinadas nas barras, no lugar de nervuras perpendiculares ao eixo, além do uso de nervuras transversais não ligadas com as longitudinais ao longo de toda a seção. Por conta disso, essas barras de aço devem ter nervuras que, ao mesmo tempo que assegurem o grau de aderência, minimizem os problemas de fadiga do material.

EXERCÍCIO 2.3:

Para os aços CA 40 A e B, determine:

a) fyk b) εyk c) σs para εs=0,5 000 d) σs para εs=3 00

0 e) σs para εs=6 000

2.3. CONCRETO ARMADO

O uso do concreto e do aço em conjunto, formando o concreto armado deve acontecer de tal forma que as melhores qualidades de cada um dos materiais isoladamente sejam aproveitadas,

Page 53: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

45

e um possa suprir as deficiências do outro. Dessa forma, segundo SÜSSEKIND (1981), devem ser verificados os tópicos descritos a seguir.

2.3.1. Comportamento elétrico

O concreto seco é um bom isolante elétrico, porém, quando úmido e sob a ação contínua de corrente elétrica pode ser atacado pela eletrólise. Este ataque não tem grandes repercussões no concreto, porém, a ação da eletrólise favorece a corrosão das armaduras. Por estas razões, em estruturas que ficarão em contato com correntes elétricas, como o caso de ferrovias e metrôs, deve haver um isolamento elétrico entre as linhas elétricas e a estrutura.

2.3.2. Defesa contra agentes químicos

O perigo dos agentes químicos na estrutura é a corrosão das armaduras. Este fato é contornado no concreto armado com a utilização de cobrimentos mínimos de concreto, de forma a impedir o contato destes agentes com a armadura, além da proteção química da cal livre formada durante a pega do concreto.

Deve-se evitar, no entanto, a presença de certos materiais que causam oxidação no aço (halogenetos e sulfatos), além de certos limites previstos em norma, nos agregados e água de amassamento do concreto, pois eles eliminam a proteção química proporcionada pela cal.

2.3.3. Resistência às altas temperaturas

O aço, quando elevado a altas temperaturas (acima de 550oC), começa a sofrer uma diminuição na sua resistência, devendo desta forma ser protegido conforme segue:

Adoção de maiores espessuras de cobrimento

Quando houver a necessidade de uma estrutura resistente a altas temperaturas, deve ser utilizado um cobrimento maior, de forma a haver uma maior dissipação do calor no concreto, evitando que a armadura atinja sua temperatura crítica.

Formas geométricas e dimensões do elemento estrutural

Está provado por ensaios, que as estruturas mais esbeltas são menos resistentes ao fogo, pelo fato de as mesmas possuírem mais área de contato, proporcionando um aquecimento mais rápido. Desta forma, são definidos limites mínimos de dimensão para os elementos em concreto armado.

Tipo de concreto

Os concretos com agregados calcários proporcionam um maior isolamento térmico que aqueles com agregados silícicos, devendo ser adotados quando se for obrigado a enfrentar altas temperaturas.

Tipo de armadura

Como já foi relatado anteriormente, a armadura perde resistência mecânica quando sua temperatura crítica é ultrapassada. A resistência dos aços da classe B é a mais afetada quando da exposição à altas temperaturas, sendo este material desaconselhável nesta situação.

Page 54: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

46

Tipo de construção e estaticidade da estrutura

As estruturas hiperestáticas são mais aconselháveis para o caso de contato com altas temperaturas, pois, nesse caso, a ação das deformações impostas pelo aumento da temperatura tende a provocar redistribuições de esforços, utilizando reservas de resistência capazes de aumentar a segurança da estrutura ao incêndio.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 7480 (1996) – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação. Rio de Janeiro, 1996.

CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993.

FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 1988.

MEHTA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. – Concreto: estrutura, propriedades e materiais. São Paulo: PINI, 1994.

SÜSSEKIND, J. C. – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (1978) – Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978.

ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002.

Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

FUSCO, P. B. – Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, PINI, 1995.

GIONGO, J. S.; TOTTI Jr., F. – Concreto armado: resistência de elementos fletidos submetidos à força cortante. São Carlos, EESC-USP, 1994.

MACGREGOR, J. G. – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988.

PINHEIRO, L. M.; GIONGO, J. S. – Concreto armado: propriedades dos materiais. EESC-USP, 1986.

Page 55: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

47

3. AÇÕES E SOLICITAÇÕES

3.1. INTRODUÇÃO:

Segundo a NBR 8681 (2004), ações são as causas que provocam aparecimento de esforços ou deformações nas estruturas, devendo ser consideradas no dimensionamento das mesmas. Como resultado da aplicação dessas cargas externas, surgem nas estruturas, os esforços solicitantes, que são os esforços causados pelas ações, como os esforços normais e cortantes, e os momentos fletores e torsores, como está representado na Figura 3.1.

F = Forças ativas

R = Forças reativas

Figura 3.1 – Esforços ativos e reativos em uma estrutura qualquer.

Para resistir aos esforços solicitantes (S), que são provocados pelas forças ou deformações, são utilizados os esforços resistentes (R), que dependem do dimensionamento da estrutura,que é função das características dos elementos e dos materiais empregados. Para garantir a segurança das estruturas, os esforços resistentes devem ser sempre maiores ou, em último caso, iguais aos esforços solicitantes, ou seja, devemos garantir, sempre, que: R ≥ S.

3.2. AÇÕES A CONSIDERAR EM UMA ESTRUTURA

3.2.1. Ações diretas

São as forças efetivamente aplicadas à estrutura ao longo do tempo, seja pela aplicação direta da carga (forças ativas), ou pelas reações de apoio das peças (forças reativas). As ações diretas podem ser classificadas de acordo com a sua atuação ao longo do tempo:

a) Ações permanentes (g) : são aquelas que ocorrem nas estruturas com valores constantes ou de pequena variação em torno de sua média, durante praticamente toda a vida da construção, resultante do peso próprio dos elementos da construção, do peso dos equipamentos fixos e dos empuxos devidos ao peso próprio de terras não removíveis e de outras ações permanentes sobre elas aplicadas. Na Tabela I (Anexo A), encontramos os

Page 56: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

48

pesos específicos dos materiais mais comumente utilizados em construção e na Tabela II as ações permanentes de alguns elementos construtivos;

b) Ações variáveis (q): são as ações de uso da construção, bem como os efeitos, tais como forças de frenagem, de impacto e centrífugas, os efeitos do vento, do atrito nos aparelhos de apoio e, em geral, as pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas. Elas ocorrem nas estruturas com valores que apresentam variações significativas em torno de sua média, durante a vida da construção. Na Tabela III (Anexo A), encontram-se os valores mínimos estipulados na NBR 6120 (1980) para as ações variáveis normais. Segundo a NBR 8681 (2004), as ações variáveis que atuam nas construções em função do seu uso (pessoas, mobiliário, veículos, materiais diversos, etc.) são chamadas de cargas acidentais. Na literatura encontram-se, também, os termos cargas de utilização e sobrecargas.

3.2.2. Ações indiretas

São aquelas que resultam em deformações impostas à estrutura. Tais ações só introduzirão esforços solicitantes no caso de estruturas hiperestáticas, uma vez que nas estruturas isostáticas não existem restrições às deformações. As ações indiretas podem ser:

a) Próprias: dependem do material, como a fluência e a retração;

b) Impostas: quando são induzidas por fatores externos, como variação de temperatura e recalque diferencial de apoios.

Em relação à sua duração, elas também podem ser:

a) Permanentes (g) : a protensão, os recalques de apoio e a retração dos materiais;

b) Acidentais (q): variação de temperatura.

3.2.3. Ações excepcionais

São aquelas que têm duração muito curta e probabilidade de ocorrência muito baixa durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas nos projetos de determinadas estruturas. São decorrentes de causas como explosões, incêndios, sismos excepcionais, enchentes, furacões, choques de veículos, etc.

3.3. TEORIA DA SEGURANÇA

Segundo SALES et al (1993), no projeto de uma estrutura, deve existir sempre uma preocupação de que a mesma desempenhe as funções a que se destina, com o máximo de economia e eficiência. Ou seja, deve-se buscar um projeto econômico, que permita que a estrutura tenha condições de segurança, que significa apresentar-se resistente, estável e duradoura, além de poder proporcionar um adequado conforto aos usuários.

3.3.1. Requisitos para garantir a economia:

a) Análise dos materia is;

b) Análise das tecnologias possíveis de serem utilizadas;

Page 57: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

49

c) Comparação de custos de matéria-prima, distâncias de transporte, consumo de material e mão-de-obra, tempo de execução, etc.;

d) Otimização do sistema estrutural: equilíbrio entre consumo de material e mão-de-obra.

3.3.2. Conceitos de segurança:

Segundo SALES et al (1993), a segurança pode ser associada a dois conceitos distintos. São eles:

Conceito qualitativo

Uma estrutura é considerada segura quando ela é capaz de suportar, incólume, todas as ações que vierem a solicitá-la, desde a fase da construção até o final de sua vida útil. Durante este tempo, as estruturas não devem apresentar falhas que impeçam ou mesmo prejudiquem a utilização para a qual foram concebidas. A vida útil de algumas estruturas, por exemplo, são:

• Catedrais medievais: 1000 anos;

• Usinas Hidrelétricas: 100 anos;

• Construções industriais, comerciais, residenciais e agrícolas: 50 anos.

Segundo a NBR 6118 (2004), “Por vida útil de projeto, entende-se o período de tempo durante o qual se mantêm as características das estruturas de concreto, desde que atendidos os requisitos de uso e manutenção prescritos pelo projetista e pelo consumidor, bem como de execução dos reparos necessários decorrentes de danos acidentais”. E ainda, “O conceito de vida útil aplica-se à estrutura como um todo ou às suas partes. Dessa forma, determinadas partes das estruturas podem merecer consideração especial com valor de vida útil diferente do todo. A durabilidade das estruturas de concreto requer cooperação e esforços coordenados de todos os envolvidos nos processos de projeto, construção e utilização,...”.

Conceito quantitativo

Desde a Antigüidade, se busca uma forma de quantificar a segurança, estabelecendo um número que sirva como medida da segurança empregada.

Na Figura 3.2, temos a distribuição dos esforços solicitantes e dos esforços resistentes. A maior ou menor segurança de uma estrutura está ligada à distância entre as médias dos dois gráficos. Porém, além do aumento dos custos para este afastamento, por mais que se afastem os dois, sempre haverá uma área de sobreposição entre eles. O estudo da segurança consiste em se determinar o ponto ótimo em que, através de quantificação dos prejuízos, inclusive com vidas humanas, causados com uma eventual ruína da estrutura, possa se conseguir uma estrutura segura, com o menor custo possível.

Para se fazer esta quantificação, vários processos foram desenvolvidos e aperfeiçoados ao longo dos anos:

a) Método intuitivo (antigüidade);

b) Método do coeficiente de segurança interno (γi);

Page 58: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

50

c) Método do coeficiente de segurança externo (γe);

d) Método das tensões admissíveis:

d.1) Solicitações estabilizantes (tração): γi

d.2) Flambagem: γe

e) Método dos estados limites.

Figura 3.2 - Diagramas de solicitações atuantes e resistência do material (SALES et al, 1993).

Atualmente, a grande maioria dos códigos e normas adota o método dos estados limites para a verificação da segurança de suas estruturas.

3.4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES

Dizemos que uma estrutura atinge um estado limite quando ela apresenta desempenho inadequado às finalidades da construção, não mais preenchendo os requisitos necessários de estabilidade, conforto e durabilidade para o seu funcionamento. Assim sendo, segundo SALES el al (1993), pode-se dizer que a segurança de uma estrutura é a capacidade que ela apresenta de suportar as diversas ações que vierem a solicitá-la durante a sua vida útil, sem atingir qualquer estado limite.

Os estados limites podem ser classificados em duas categorias: últimos e de serviço (ou de utilização).

3.4.1. Estados limites últimos

Segundo a NBR 8681 (2004), são aqueles que pela sua simples ocorrência, determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção, e correspondem ao esgotamento da capacidade portante da estrutura, estando relacionado com o seu colapso, em parte ou no todo. Deve-se haver uma probabilidade muito pequena de sua ocorrência, pois essa terá como conseqüência a perda de vidas humanas ou grandes prejuízos financeiros. Devido a estes fatores, a sua verificação é obrigatória, mesmo que não explicitamente listada em normas.

Page 59: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

51

Segundo a NBR 8681 (2004), no projeto, usualmente devem ser considerados os estados limites últimos caracterizados por:

a) Perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo rígido;

b) Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;

c) Instabilidade por deformação excessiva (pilares);

d) Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático (mecanismo);

e) Instabilidade dinâmica;

f) Colapso por causas excepcionais (catástrofes), quando for o caso.

3.4.2. Estados limites de serviço

Segundo a NBR 8681 (2004), são estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração, causam efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura. Quando não representar situação de risco a vidas humanas, como no caso dos estados limites últimos, uma maior probabilidade de ocorrência desses estados limites é tolerada.

Segundo a NBR 8681 (2004), no período de vida da estrutura, usualmente são considerados estados limites de serviço caracterizados por:

a) Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da construção ou a durabilidade da estrutura (fissuração);

b) Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu aspecto estético (“barriga” em lajes);

c) Vibração excessiva ou desconfortável (estádios de futebol).

3.4.3. Processo de dimensionamento

Segundo SALES et al (1993), o dimensionamento pelo método dos estados limites é um processo que envolve:

a) A identificação de todos os modos de colapso ou maneira pelas quais a estrutura poderia deixar de preencher os requisitos para os quais foi projetada (estados limites);

b) Determinação de níveis aceitáveis de segurança contra a ocorrência de cada estado limite;

c) A consideração, pelo calculista da estrutura, dos estados limites significativos.

Para as estruturas usuais, as normas de segurança já trazem as combinações de coeficientes para garantir a segurança quanto aos estados limites, devendo haver uma adequação destes valores, pelo calculista, quando se tratar de obras que fujam aos padrões estabelecidos.

Page 60: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

52

3.4.4. Vantagens principais do dimensionamento pelo método dos estados limites

Segundo SALES et al (1993), as principais vantagens do dimensionamento utilizando o método dos estados limites são:

a) Maior confiabilidade entre as várias situações de projeto, porque a variabilidade das resistências e das ações é representada de forma explícita e independente para resistências e ações;

b) Nível de segurança pode ser escolhido de tal forma que possa refletir as conseqüências do colapso;

c) Permite que o calculista compreenda melhor os requisitos que uma estrutura deve atender, e o comportamento necessário ao preenchimento desses requisitos;

d) Simplifica o processo de dimensionamento;

e) É uma ferramenta que ajuda o calculista a avaliar situações de projeto fora das rotineiras;

f) É uma ferramenta que permite a atualização de normas de maneira mais racional;

g) Trabalha-se com variáveis probabilísticas.

3.5. PRINCÍPIOS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

Para garantir-se a segurança das estruturas é preciso identificar as ações atuantes, que causam as solicitações (S), e determinar a resistência (R) dos elementos estruturais, para que se possa analisar a desigualdade: S ≤ R.

Portanto, o primeiro passo é identificar as ações atuantes na estrutura. Segunda a NBR 8681 (2004), “As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser valores característicos, valores característicos nominais, valores reduzidos de combinação, valores convencionais excepcionais, valores reduzidos de utilização e valores raros de utilização”.

Valores característicos

Segundo a NBR 8681 (2004), os valores característicos (Fk) das ações são definidos em função da variabilidade de suas intensidades. Para as ações permanentes admite-se o valor que tenha 95% de chance de não ser ultrapassado em 50 anos, como mostra a Figura 3.3. Para as ações variáveis admite-se o valor que tenha de 65% a 75% de chance de não ser ultrapassado em 50 anos.

Valores reduzidos de combinação

Segundo a NBR 8681 (2004), os valores reduzidos de combinação são determinados a partir dos valores característicos multiplicados por um coeficiente de redução: ψ0 Fk. Eles são empregados quando existem ações variáveis de diferentes naturezas, para levar em conta a baixa probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos dessas ações. A Tabela IV, no Anexo A, apresenta os coeficientes de redução das ações.

Page 61: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

53

Figura 3.3 – Distribuição normal para as cargas permanentes.

Valores convencionais excepcionais

Segundo a NBR 8681 (2004), os valores convencionais excepcionais são valores arbitrados para as ações excepcionais. Eles devem, ser estabelecidos por consenso entre o proprietário da construção e as autoridades governamentais que nela tenham interesse.

Notação

A notação utilizada para as ações e as solicitações é:

gk: Ação permanente característica;

qk: Ação variável característica;

Mgk: Momento fletor produzido por uma carga permanente característica;

Nqk: Esforço normal produzido por uma carga variável característica;

Vk: Esforço cortante produzido pela ação conjunta das cargas características.

Generalizando, tem-se:

Fk: Ação característica;

Sgk: Solicitação produzida por carga permanente característica;

Sqk: Solicitação produzida por carga variável característica;

Sk: Solicitação produzida pela ação conjunta das cargas características;

Sεk: Solicitação produzida por deformação característica introduzida;

O caráter probabilístico da verificação da segurança, através dos estados limites e das boas condições de serviço é introduzido com a definição dos valores característicos tanto no que se refere às solicitações atuantes (Sk) como às resistências dos materiais (Rk). Como já definidos

Page 62: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

54

anteriormente, os valores encontrados na prática devem ter a probabilidade muito baixa de serem superiores (no caso das solicitações) ou inferiores (no caso das resistências) aos respectivos valores característicos.

Os fatores de incerteza quanto aos valores característicos são cobertos com a transformação destes em valores de cálculo obtidos pela sua multiplicação por coeficientes de segurança, que são determinados por considerações probabilísticas para cada tipo de estado limite.

3.5.1. Estado limite último

a) Coeficientes de majoração das ações (γf)

No dimensionamento para os estados limites últimos trabalharemos com os valores de cálculo das solicitações Sd, obtidos pela multiplicação de Sk (valor característico) por um coeficiente de majoração das ações γf, resultando:

Sd = Σ(γf . Sk)

Segundo a NBR 6118 (2004), os valores de γf a serem adotados, para as combinações normais de ações, são os seguintes:

Para cargas permanentes γf = 1,4 Situação desfavorável;

γf = 1,0 Situação favorável;

Para cargas acidentais γf = 1,4, acrescentando-se o impacto, quando for o caso;

Para deformações impostas γf = 1,2.

A NBR 6118 (2004), apresenta os coeficientes para todos os tipos de combinações. Aqui, serão apresentadas apenas as combinações normais para as edificações usuais, na forma de suas solicitações resultantes, e não em função das ações. Isso pode ser feito desde que o cálculo do esforço (solicitação) atuante seja no regime elástico linear (elástico ou pseudoelástico).

Sendo assim:

a.1) Combinação geral:

Sd = 1,4 Sgk + 1,4 Sqk + 1,2 Sεk

a.2) Para carga permanente favorável (Figura 3.4):

Sd = 1,0 Sgk + 1,4 Sqk + 1,2 Sεk

a.3) Quando a solicitação acidental tem várias origens, com pouca probabilidade de ocorrência simultânea:

Sqk = Sqk1 + Ψ0 ΣSqki

Page 63: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

55

A Tabela IV, no Anexo A, apresenta os valores de Ψ0, para vários tipos de cargas e estruturas.

Figura 3.4 - Exemplo de carga permanente favorável.

b) Coeficientes de minoração das resistências

Os valores de cálculo das resistências dos materiais Rd (fd) são obtidos pela divisão de Rk (fk) pelo coeficiente de minoração da resistência do material γm. Sendo assim:

Rd = m

kRγ

Segundo a NBR 6118 (2004), os valores de γm a serem adotados são os seguintes:

Para o aço (γm = γs) γs = 1,15.

γc = 1,4 nos casos gerais;

Para o concreto (γm = γc) γc = 1,2 peças pré-moldadas, executadas em usina, sob rigoroso controle;

γc = 1,5 condições desfavoráveis na concretagem.

Logo, tem-se que:

c

ckcd

s

ykyd

ffe

ff

γ=

γ=

Notamos através da Figura 3.5, que a dispersão do aço é bem menor que a do concreto, pelo fato do mesmo passar por um processo de fabricação mais rigoroso e homogêneo, gerando menos incertezas quanto ao seu funcionamento real. Por este motivo, o seu coeficiente minorador de resistência é menor que o do concreto.

Page 64: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

56

Figura 3.5 - Curva de Gauss para o aço (fs) e o concreto (fc).

3.5.2. Estado limite de serviço

Sendo os estados limites de serviço (ou de utilização) situações referentes à peça em serviço e como o fato da estrutura atingir este limite não provocar risco iminente às vidas humanas, torna-se dispensável a aplicação de coeficientes nos valores característicos. Desta forma:

γf = 1,0

γm = 1,0

3.5.3. Segurança dos cálculos

O dimensionamento se fará de tal forma que a pior situação dos valores de cálculo das solicitações em cada seção seja sempre menor ou igual a resistência de cálculo do material nesta seção. Logo:

Rd ≥ Sd ∴ kfm

k S R⋅γ≥

γ

EXERCÍCIO 3.1:

a) Dimensionar, pelo método dos estados limites, um elemento tracionado, confeccionado em aço com resistência à tração de fs=50kN/cm2, com seção quadrada e constante, submetido às seguintes ações:

P1=60kN (peso próprio); P2=130kN (carga variável); P3=40kN (vento).

b) Dimensionar, pelo método dos estados limites, um elemento comprimido, confeccionado em concreto com fck=30MPa, com seção circular e constante, submetido às seguintes ações:

P1=200kN (peso próprio); P2=350kN (carga variável); P3=100kN (vento).

3.6. CARREGAMENTO DAS ESTRUTURAS:

A seguir estão listados, de maneira geral, os carregamentos mais usuais das lajes, das vigas e dos pilares, nas nossas edificações.

Page 65: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

57

3.6.1. Determinação dos carregamentos

A seqüência convencional de carregamento de uma estrutura é a seguinte:

Laje → Viga → Pilar → Fundação → Solo

3.6.2. Carregamento das lajes:

Nas lajes são lançadas as seguintes cargas por unidade de área:

• Peso próprio (pp = espessura da laje [eL] x peso específico do concreto [γ=25kN/m3]);

• Revestimento (piso, forro);

• Enchimento de piso (quando houver);

• Paredes (quando não estiverem sobre as vigas);

• Todas as ações verticais decorrentes da utilização do edifício.

Esquema estático para carregamento das lajes

Figura 3.6 – Esquema estático de laje.

y

4

y

3

x

2

x

1

2

lA.p

Li4R

lA.p

Li3R

lA.p

Li2R

lA.p

Li1R

)m/kN(aargcp

=

=

=

=

=

3.6.3. Carregamento das vigas:

Nas vigas são lançadas as seguintes cargas por unidade de comprimento:

• Peso próprio (pp = [bw * h] * 25kN/m3);

• Paredes;

• Reações das lajes;

• Reação de outras vigas ou de pilares.

Page 66: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

58

Esquema estático para carregamento das vigas

Figura 3.7 – Esquema estático de viga contínua.

3.6.4. Carregamento dos pilares

Nos pilares são lançadas as seguintes cargas:

• Peso próprio (pp = [b * h * L] * 25kN/m3);

• Reações das vigas que nele se apoiam, calculados a partir da equação dos três momentos, ou de algum processo hiperestático;

• Reações das lajes que neles se apoiam diretamente (sistema sem vigas).

EXERCÍCIO 3.2:

Indique o esquema estático dos elementos do pavimento indicado na Figura 3.8.

Figura 3.8 – Fôrma do pavimento a ser carregado.

Page 67: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

59

EXERCÍCIO 3.3:

Determine o carregamento e apresente os esquemas estáticos das estruturas das Figuras 3.9 e 3.10.

ESPERA EXAME 1

BANHEIRO EXAME 2

200

V1 (12/40)

57612 12

10015 15 240 1515

1257

612

V2 (12/40)

V3

(12/

50)

V4

(12/

50)

h=12cm

1525

515

1530

0

PROJ. ARQUITETÔNICO FÔRMAP3(20/20)

P1(20/20)

P2(20/20)

P4(20/20)

Pavimento de Hospital Pé-direito (piso a piso) = 2,72m Rev. = 1,0 kN/m2 Medidas em centímetros

Figura 3.9 – Estrutura 1.

P1(20/20) P2(30/30) P3(20/20)

P4(25/25)

P5(40/40) P6(25/25)

P7(20/20) P8(30/30) P9(20/20)

V1(14/65)

V2(18/65)

V3(14/65)

V4(

13/5

5)V

5(13

/55)

V6(

17/6

0)

V7(

17/6

5)

V8(

17/6

0)

V10

(13/

55)

V9(

13/5

5)

1454

21

854

214

1317

13 372 17213 17 213 17 372

13

17

13

h=10cmh=9cm

h=13cm

h=13cm h=9cmh=10cm

L =11mpar

L =13mpar

Pavimento de Laboratórios Pé-direito (piso a piso) = 2,8m Medidas em centímetros

Há paredes sobre todas as vigas Rev. = 1,0 kN/m2 epar = 15cm Figura 3.10 – Estrutura 2.

Page 68: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

60

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6120 (1980) – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – Procedimento. Rio de Janeiro, 1980.

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 8681 (2004) – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

SALES, J. J.; GONÇALVES, R. M.; MALITE, M. – SET – 403 – Sistemas estruturais; Segurança nas estruturas. Notas de aulas, EESC-USP, 1993.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (1978) – Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978.

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 7480 (1996) – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação. Rio de Janeiro, 1996.

ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002.

CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993.

FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 1988.

Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

MACGREGOR, J. G. – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988.

PINHEIRO, L. M.; GIONGO, J. S. – Concreto armado: propriedades dos materiais. EESC-USP, 1986.

SÜSSEKIND, J. C. – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.

Page 69: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

61

4. INTRODUÇÃO AO PROJETO ESTRUTURAL

Segundo a NBR 6118 (2004), que se refere ao concreto estrutural (concreto simples, concreto armado e concreto protendido), “o produto final do projeto estrutural é constituído por desenhos, especificações e critérios de projeto. As especificações e os critérios de projeto podem constar dos próprios desenhos ou constituir documento separado. A memória de cálculo é o documento fundamental para o controle da qualidade. Esses documentos devem conter informações claras, corretas, consistentes entre si e com as exigências estabelecidas nesta Norma. O projeto estrutural deve proporcionar as informações necessárias para a execução da estrutura. Com o objetivo de garantir a qualidade da execução de uma obra, com base em um determinado projeto, medidas preventivas devem ser tomadas desde o início dos trabalhos. Essas medidas devem englobar a discussão e aprovação das decisões tomadas, a distribuição dessas e outras informações pelos elementos pertinentes da equipe multidisciplinar e a programação coerente das atividades, respeitando as regras lógicas de precedência”.

O projeto estrutural deve atender e garantir à estrutura as exigências mínimas de qualidade, no que se refere a:

• Capacidade resistente (segurança). Ex.: Mint ≥ Mext;

• Desempenho em serviço (utilização). Ex.: f ≤ flim (l/200; l/350; l/500, etc.);

• Durabilidade (vida útil). Ex.: cobrimentos e resistências à compressão mínimos.

As Tabelas V, VI e VII, que se encontram no Anexo A, apresentam as recomendações da NBR 6118 (2004).

4.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS

O primeiro passo na elaboração de um projeto estrutural de qualidade é o conhecimento dos elementos estruturais que fazem parte das estruturas. Segundo MACGREGOR (1988), uma estrutura de concreto armado consiste de uma série de “elementos” individuais que interagem para resistir às cargas impostas à estrutura. Esses elementos, na maioria das vezes, por simplificação, são considerados separadamente no cálculo, mas a interação entre eles deve ser verificada através de uma análise global da estrutura. Os principais elementos utilizados nas estruturas de concreto armado podem ser divididos em três tipos:

• Elementos lineares (1D): vigas e pilares (elementos de barra);

• Elementos laminares ou de superfície (2D): lajes (elementos de placa), vigas-parede (elementos de chapa) e cascas;

• Elementos de bloco ou volumétricos (3D): blocos de fundação, sapatas flexíveis e consolos.

As Figuras 4.1 e 4.2 apresentam alguns exemplos desses elementos estruturais em concreto armado.

Page 70: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

62

Figura 4.1 – Alguns elementos estruturais em concreto armado (MACGREGOR, 1988).

Figura 4.2 – Outros elementos estruturais em concreto armado (MACGREGOR, 1988).

Os elementos estruturais podem ser avaliados separadamente ou em conjunto, através de discretização real e/ ou virtual. De maneira geral, e simplificada, pode-se dizer que a estrutura de sustentação de uma edificação segue a seguinte ordem:

Laje ⇒ Viga ⇒ Pilar ⇒ Fundação ⇒ Solo

Page 71: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

63

Nessa seqüência tem-se a presença dos três tipos de elementos estruturais citados anteriormente. A discretização acima, como já comentado, pode ser virtual ou real. Para a primeira, dimensionam-se os elementos separadamente, apesar de serem construídos de forma monolítica. Por exemplo, dimensionam-se as lajes e as vigas individualmente, mas a concretagem é feita de uma só vez, sem interrupções. A discretização real ocorre quando se trabalha, por exemplo, com peças pré-moldadas, que não só são calculadas separadamente, mas também, construídas uma a uma, e depois montadas na estruturas. A Figura 4.3 apresenta um esquema do caminho que as cargas percorrem numa edificação.

Figura 4.3 – Esquema da ordem de sustentação de uma edificação.

4.2. PARTES CONSTITUINTES DE UM PROJETO ESTRUTURAL

Para que uma edificação seja construída com sucesso, são necessários, pelo menos, os seguintes projetos:

4.2.1. Projeto Arquitetônico

• Planta de Localização (Figura 4.4 – Largo do Paraíso, Porto Alegre);

• Planta de Situação (Figura 4.5 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói);

• Plantas Baixas (Figura 4.6 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói);

• Cortes (Figura 4.7 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói);

• Fachadas (Figura 4.8 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói);

• Detalhes Arquitetônicos (Figura 4.9 – Museu de Arte Contemporânea de Niterói).

4.2.2. Projeto Estrutural

• Locação e Carga dos Pilares (Figura 4.10);

• Fundações: - Blocos de estaca;

- Sapatas (Figura 4.11);

Page 72: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

64

- Vigas baldrames (Figura 4.12), etc.;

• Plantas de Fôrma (Figura 4.12);

• Cortes Estruturais;

• Plantas de Armaduras: - Pilares (Figura 4.11);

- Lajes (Figura 4.13);

- Vigas (Figura 4.14);

- Reservatórios;

- Escadas (Figura 4.11), etc.

• Detalhes Estruturais.

4.2.3. Projeto de Fôrmas (escoramento)

4.2.4. Projetos de Instalações

• Hidráulicas (água e esgoto);

• Elétricas;

• Telefônicas;

• Ar condicionado;

• Incêndio;

• Especiais (hospitais, fábricas, bancos, etc.).

4.2.5. Projeto de Revestimento de Fachada

4.2.6. Informações do Projeto Estrutural

• Memória de cálculo;

• Desenhos (plantas): - Legendas; - Escalas, cotas e dimensões; - Quadros de armadura, etc.

• Especificações: - Cobrimentos; - Aço; - Concreto; - Cargas; - Fator A/C; - Módulo de Elasticidade, etc.

Page 73: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

65

Figura 4.4 – Exemplo de planta de localização.

Figura 4.5 – Exemplo de planta de situação.

Page 74: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

66

Figura 4.6a – Exemplos de planta baixa de arquitetura.

Page 75: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

67

Figura 4.6b – Exemplo de planta baixa de arquitetura.

Page 76: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

68

Figura 4.7 – Exemplo de planta de cortes arquitetônicos.

Page 77: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

69

Figura 4.8 – Exemplo de planta de fachada.

Figura 4.9 – Exemplo de planta de detalhes arquitetônicos.

Page 78: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

70

Figura 4.10a – Exemplo de planta de locação de pilares, cortinas e paredes de rampa (1a parte).

Page 79: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

71

Figura 4.10b – Exemplo de planta de locação de pilares, cortinas e paredes de rampa (2a parte).

Page 80: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

72

Figura 4.11 – Exemplo de planta de fundações e pilares - detalhamento.

Page 81: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

73

Figura 4.12 – Exemplo de planta de forma de baldrames e lajes.

Page 82: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

74

Figura 4.13 – Exemplo de planta de armadura de lajes.

Page 83: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

75

Figura 4.14 – Exemplo de planta de armaduras de vigas.

Page 84: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

76

4.3. SEQÜÊNCIA DE UM PROJETO ESTRUTURAL

a) Estudo do projeto arquitetônico (formas e utilização);

b) Verificação e compatibilização das cotas e dimensões;

c) Lançamento da fôrma;

d) Compatibilização com os projetos de instalações;

e) Carregamento da estrutura;

f) Cálculo dos esforços;

g) Dimensionamento dos elementos e/ ou da estrutura;

h) Detalhamento.

As atividades entre os itens c) e g) representam um processo iterativo, onde se busca a otimização da estrutura, garantindo segurança e funcionalidade. Um dos grandes problemas dos projetistas é que a ordem de cálculo de uma estrutura é inversa à da sua construção, ou seja, ela é calculada de cima para baixo, e é construída de baixo para cima. Por isso, muitas vezes as fundações e pilares apresentam desperdício de material, pois são determinados a partir de um pré-dimensionamento que deve ser sempre a favor da segurança.

Uma construção bem planejada é meio caminho andado para o sucesso do empreendimento.

4.4. APRESENTAÇÃO DO PROJETO DO CURSO

O projeto arquitetônico apresentado nas plantas das Figuras 4.15 a 4.20 será usado para os exemplos de carregamento, dimensionamento e detalhamento dos elementos estruturais de interesse no decorrer deste curso.

4.5. PRESCRIÇÕES NORMATIVAS

As prescrições normativas, de maneira geral, estabelecem as condições mínimas exigíveis para garantir segurança e “construtibilidade” às estruturas.

O CEB-FIP MC 90 (1993), por exemplo, é um documento que, segundo ele próprio, sintetiza o progresso técnico e científico desde sua publicação anterior (cerca de uma década) no que diz respeito à segurança, a análise e o projeto de estruturas de concreto. Ele foi desenvolvido para servir como base de cálculo para as edificações e obras que utilizam concreto de peso normal.

Ainda segundo o CEB-FIP MC 90 (1993), os critérios de aquiescência com os requisitos mínimos compreendem duas categorias de medidas:

• Procedimentos de cálculo apropriados, incluindo medidas que facilitem a inspeção e a manutenção de elementos vitais da estrutura, durante toda a sua vida útil;

• Medidas que garantam a qualidade, para prevenir ou eliminar erros humanos.

Page 85: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

77

Figura 4.15 – Planta baixa do pavimento térreo.

Page 86: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

78

Figura 4.16 – Planta baixa do pavimento tipo.

Page 87: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

79

Figura 4.17 – Planta baixa da cobertura.

Page 88: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

80

Figura 4.18 – Detalhes da casa de máquina e reservatório elevado.

Page 89: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

81

Figura 4.19 – Corte longitudinal 1-1.

Page 90: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

82

Figura 4.20 – Corte transversal 2-2.

Page 91: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

83

No Brasil, para as estruturas de concreto, pode-se citar, entre outras, as seguintes normas técnicas:

• Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) - NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2004;

• ABNT - NBR 6120 (1980) – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – Procedimento. Rio de Janeiro, Novembro/ 1980;

• ABNT - NBR 6123 (1988) – Forças devidas ao vento em edificações – Procedimento. Rio de Janeiro, 1988;

• ABNT - NBR 8681 (2004) – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2004;

• ABNT - NBR 14931 (2004) – Execução de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Março/ 2004.

Além dessas, outras normas também contêm disposições que constituem prescrições relacionadas aos projetos em concreto. Entre elas, pode-se citar:

• ABNT - NBR 5738 (1994) – Moldagem e cura de corpos-de-prova cilíndricos ou prismáticos de concreto – Procedimento;

• ABNT - NBR 5739 (1994) – Concreto – Ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos – Método de ensaio;

• ABNT - NBR 7187 (2004) – Projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido – Procedimento;

• ABNT - NBR 7222 (1994) – Argamassa e concreto – Determinação da resistência à tração por compressão diametral de corpos-de-prova cilíndricos – Método de ensaio;

• ABNT - NBR 7480 (1996) – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação;

• ABNT - NBR 7481 (1990) – Tela de aço soldada – Armadura para concreto – Especificação;

• ABNT - NBR 8522 (1984) – Concreto – Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensão-deformação – Método de ensaio;

• ABNT - NBR 8953 (1992) – Concreto para fins estruturais – Classificação por grupos de resistência – Classificação;

• ABNT - NBR 9062 (2001) – Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado – Procedimento;

• ABNT - NBR 10839 (1989) – Execução de obras de arte especiais em concreto armado e concreto protendido – Procedimento;

Page 92: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

84

• ABNT - NBR 12142 (1991) – Concreto – Determinação da resistência à tração na flexão em corpos-de-prova prismáticos – Método de ensaio;

• ABNT - NBR 12654 (1992) – Controle tecnológico de materiais componentes do concreto – Procedimento;

• ABNT - NBR 12655 (1996) – Concreto – Preparo, controle e recebimento.

Entre as prescrições internacionais, as mais consultadas no Brasil são:

• ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002;

• CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993;

• DIN – Deutsches Institut für Normung;

• EC – European Standards. Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1: General rules and rules for buildings. December, 1999;

• FIB – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

Vale notar que o Código Modelo CEB-FIP MC 90 (1993) e a FIB (1999), que é um complemento do CEB-FIP MC 90 (1993), são consideradas “normas mães”, ou seja, elas podem ou não ter valor normativo em alguns países, mas, seu maior objetivo é servir de referências para as normas e códigos de diversos países, dentro e fora da Europa, entre eles o Brasil.

4.6. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS ESTRUTURAS

4.6.1. Pilares

Para o pré-dimensionamento de pilares, um dos procedimentos mais comuns é o Método das Áreas de Influência. Como o próprio nome já diz, o método consiste em dividir o pavimento em áreas que serão apoiadas pelos pilares. Esse método tem a intenção de, apenas, dar uma idéia da carga nos pilares, ou da sua ordem de grandeza, para que possa ser feita uma estimativa das suas dimensões e das cargas nas fundações. O dimensionamento final dos pilares deve ser feito de acordo com os carregamentos reais calculados, levando-se em conta, também, as considerações da estabilidade global da estrutura.

Para a estrutura da Figura 4.21, pode-se dizer que cada pilar recebe a carga equivalente a ¼ da área total do pavimento. Ou seja, as áreas de influência para os pilares são determinadas a partir das linhas médias entre eles, nas duas direções.

Esse método é bastante eficaz e simples quando se têm estruturas com distribuição uniforme de pilares.

Uma vez determinadas as áreas, essas são multiplicadas pelas cargas médias de pré-dimensionamento, fornecendo, então, as cargas nos pilares. Para as edificações usuais, costuma-se utilizar as seguintes cargas médias:

Page 93: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

85

• Carga média do pavimento tipo (PT) ⇒ Ppt = 10 a 12kN/m2

• Carga média da cobertura (cob.) ⇒ Pcob = 0,75 * Ppt

• Carga média de garagem (gar.) ⇒ Pgar = 1,50 * Ppt

Figura 4.21 – Distribuição das áreas de influência dos pilares.

Para o exemplo da Figura 4.21, tem-se:

Nk,P1 = Nk,P2 = Nk,P3 = Nk,P4 = (l/2 * l/2) * Ppt

Admitindo l= 4m e Ppt=10kN/m2, tem-se:

Nk = 2 * 2 * 10 = 40kN

Cada pilar terá uma carga de, aproximadamente, Nk = 40kN, por pavimento. De posse da carga no pilar (Nk) e da resistência do concreto à compressão (σc), pode-se fazer o pré-dimensionamento da seção de concreto do pilar. A área de concreto do pilar será de:

c

kpilar

NA

σ=

Admitindo uma taxa de armadura (ρ) no pilar da ordem de 3%, tem-se que:

β=σ ck

cf

Em que: β = 1,4 ⇒ para pilares solicitados praticamente à compressão simples;

1,5 ⇒ para pilares submetidos à flexo-compressão normal;

1,6 ⇒ para pilares submetidos à flexo-compressão oblíqua.

Para o exemplo da Figura 4.21, admitindo-se fck=30MPa e β=1,5, tem-se que:

Page 94: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

86

2234P3P2P1P cm20m002,0

5,110.3040AAAA ==

====

Para um pilar quadrado: l = (20)1/2 = 4,47cm = 5cm de lado. Porém, a NBR 6118 (2004) estabelece dimensões mínimas para os pilares de 19cm de lado, portanto, adotar-se-ão pilares de 20/ 20cm.

Para a 2a opção de fôrma do projeto em estudo (Figura 4.24), adotando-se um fck=25MPa, β=15 (simplificadamente, considerar-se-ão todos os pilares submetidos à flexo-compressão normal), Ppt=12kN/m2 e dimensões mínimas para os pilares de 20cm de lado, tem-se:

MPa7,165,1

25MPa25f cck ==σ=

A Figura 2.22 apresenta o esquema das áreas de influência para o pavimento tipo. A Tabela 4.1 apresenta os cálculos para os pilares.

Figura 4.22 – Áreas de influência dos pilares do projeto em estudo.

Page 95: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

87

Tabela 4.1 – Cálculo da seção dos pilares para a 2a opção de forma.

Pilar Npt (kN) Ncob (kN) Ntotal = 9*Npt + Ncob (kN)

Anecess (cm2) Seção (cm)

P01=P04=P20=P23 76,08 57,06 741,78 445,07 20 x 25

P02=P03=P21=P22 76,08 57,06 741,78 445,07 20 x 25

P05=P08=P16=P19 137,76 103,32 1343,16 805,90 20 x 45

P06=P07=P17=P18 218,28 163,71 2128,23 1276,94 20 x 65

P09=P13 81,12 60,84 790,92 474,55 20 x 25

P10=P14 167,88 125,91 1636,83 982,10 20 x 50

P11=P15 41,04 30,78 400,14 240,08 20 x 20

P12 177,48 133,11 1730,43 ----- -----

As Figuras 4.23 e 4.24 apresentam duas opções de fôrma para o pavimento tipo em estudo.

4.6.2. Vigas

Da mesma forma que para os pilares, pode-se fazer um pré-dimensionamento para as vigas a fim de obter-se seções iniciais de cálculo. Para vigas de seção retangular ou T, e com vãos até 6m, tem-se que:

)práticadavalor(cm30l.h

)2004,6118NBR(cm12b

)inicial(cm3eb

x

w

paredew

≥β

α≥

−=

Em que: lx = vão téorico ou balanço;

2,4 ⇒ para vão em balanço;

α = 1,0 ⇒ para vão biapoiado;

0,8 ⇒ para vão mono-engastado;

0,7 ⇒ para vão bi-engastado.

8 ⇒ para, nos casos correntes, não precisar mudar a altura nos cálculos;

β = 10 ⇒ pode dispensar o redimensionamento devido às flechas;

12 ⇒ necessita a verificação da flecha; sugere-se o cálculo conjunto com a laje.

Page 96: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

88

Figura 4.23 – 1a opção de fôrma para o pavimento tipo em estudo.

Page 97: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

89

Figura 4.24 – 2a opção de fôrma para o pavimento tipo em estudo.

Page 98: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

90

A Tabela 4.2 apresenta os cálculos das vigas para a 2a opção de fôrma (Figura 4.24) do projeto em estudo.

Tabela 4.2 – Pré-dimensionamento das vigas da 2a opção de fôrma.

Altura (cm) Viga Vão lx (cm) Condições de apoio

α β

Calc. Adot.

V101=V102=V110=V111 Único 419,0 Biapoiada 1,00 12 34,92 35

V103=V109 Único 276,0 Biapoiada 1,00 12 23,00 30

V104=V108 1o 454,5 Mono-engastada 0,80 12 30,30 35

V105=V107 3o 377,0 Mono-engastada 0,80 12 25,13 30

V106 Único 180,0 Biapoiada 1,00 12 15,00 30

V112=V114=V123=V124 1o 539,5 Mono-engastada 0,80 12 35,97 40

V113=V115 Único 374,0 Biapoiada 1,00 12 31,17 35

V116=V117=V121=V122 Único 552,0 Biapoiada 1,00 12 46,00 50

V118=V119 Único 460,0 Biapoiada 1,00 12 38,33 40

V120 Único 336,0 Biapoiada 1,00 12 28,00 30

4.6.3. Lajes

Para as lajes maciças (armadas em cruz) com vãos menores que 6m, tem-se:

mínx h

l.h ≥

βα

Em que: lx = menor vão téorico ou balanço;

2,4 ⇒ para vão em balanço;

α = 1,0 ⇒ para vão biapoiado;

0,8 ⇒ para vão mono-engastado;

0,7 ⇒ para vão bi-engastado.

β = 30 ⇒ pode dispensar o redimensionamento devido às flechas, principalmente, se não houver parede sobre a laje;

35 ⇒ necessita a verificação da flecha.

Page 99: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

91

5cm ⇒ para cobertura;

hmín ≥ 7cm ⇒ para piso e balanço;

12cm ⇒ para passagem de veículos;

A Tabela 4.3 apresenta os cálculos das lajes para a 2a opção de fôrma (Figura 4.24) do projeto em estudo.

Tabela 4.3 – Pré-dimensionamento das lajes da 2a opção de fôrma.

Altura (cm) Laje lx (cm) Condições de apoio

α β

Calc. Adot.

L101=L102=L109=L111 432 Biapoiada 1,00 35 12,31 13

L103=L110 275 Mono-engastada 0,80 35 6,29 7

L104=L105=L107=L108 460 Mono-engastada 0,80 35 10,51 11

L106 350 Biapoiada 1,00 35 10,00 10

EXERCÍCIO 4.1:

Para a 1a opção de fôrma do projeto em estudo, determine as seções de pré-dimensionamento das vigas e lajes.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993.

Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

MACGREGOR, J. G. – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (1978) – Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978.

ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002.

Page 100: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

92

FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 1988.

SÜSSEKIND, J. C. – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.

Page 101: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

93

5. ADERÊNCIA

O concreto armado é o material resultante da ação conjunta de dois outros materiais: o concreto e o aço. Para que estes dois materiais trabalhem junto é fundamental que haja uma solidariedade entre eles, que não permita o escorregamento de um em relação ao outro. Essa solidariedade é garantida pela aderência que existe entre o aço e o concreto.

O princípio básico do concreto armado é que o aço resista à tração enquanto o concreto resiste à compressão. Para isso, é necessário que haja uma transferência de esforços de um para o outro, o que é possível devido à aderência.

Nas peças de concreto armado, as armaduras sofrem variação de tensão ao longo do comprimento, especialmente nas zonas de ancoragem e de variação do momento fletor. Para que não haja o escorregamento da armadura e a peça permaneça em equilíbrio, é necessário que surjam as tensões de aderência. A Figura 5.1 ilustra esse comportamento.

b) Forças na armadurab

s1T = f . Az 1

T

Cs2T > T f > f12

s

τb

s1

φss22T = f . A

a) Forças internas devidas à flexão

Figura 5.1 – Surgimento da tensão de aderência.

Para que a armadura da Figura 5.1 não escorregue é necessário que apareça uma força de aderência (Fader) que equilibre a diferença (T2 – T1). Montando-se a equação de equilíbrio para as forças horizontais, tem-se que:

4.A...A.fA.f

..AA.FFTT2

sbbS1SS2S

blatlatbaderader12

φπ=φπτ+=

φπ=τ=+=

l

l

b

Sb

bb2

bb1S2SS .4

.fou,

..4.

....4fff

lll φ∆

=τφτ

=φπ

τφπ=−=∆

em que: T = Forças de tração;

C = forças de compressão;

z = braço de alavanca interno;

fs = tensão na armadura;

Page 102: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

94

As = área da seção transversal da armadura;

τb = tensão de aderência;

Alat = área de atuação de τb;

φ = diâmetro da barra (armadura).

Se o elemento for de comprimento infinitesimal dx, pode-se reescrever a equação da seguinte forma:

φτ

=∆ bS .4dxf

Logo, se a armadura estiver sob tensão constante (∆fs = 0), a peça já se encontra em equilíbrio, não havendo necessidade da atuação da força de aderência. Porém, sempre que haja a variação de tensão (∆fs ≠ 0), precisa-se da força de aderência para que a armadura não escorregue em relação ao concreto, o equilíbrio seja mantido, e possa ser feita a transferência dos esforços.

Pela expressão da Eq. (5.1), percebe-se que é necessário um certo comprimento para que as forças de aderência possam se desenvolver, esse comprimento é chamado de comprimento de aderência, ou de ancoragem, ou ainda de zona de transferência de tensão. As Figuras 5.2, 5.3 e 5.4 apresentam um esquema desse fenômeno, que pode ser visualizado durante um ensaio de viga à flexão.

Figura 5.2 – Viga à flexão antes do início da fissuração.

Percebe-se que nos pontos de fissura a tensão do concreto cai para zero, e, depois, vai aumentando à medida que a tensão na armadura vai diminuindo. Isso ocorre devido à transferência de tensão do aço para o concreto, e vice-versa.

Eq. (5.1)

Page 103: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

95

Figura 5.3 – Viga à flexão após o início da fissuração.

Figura 5.4 – Viga à flexão bastante fissurada.

5.1. TIPOS DE ADERÊNCIA

A aderência entre o concreto e o aço, nas peças de concreto armado e protendido, é composta de três parcelas distintas: a aderência química (adesão), a aderência por atrito, e a aderência mecânica.

a) Aderência química

A aderência química, ou adesão, é proveniente das ligações físico-químicas que ocorrem na interface do aço com o concreto, durante a pega do cimento. Essa parcela tem um valor muito

Page 104: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

96

pequeno. Segundo Tassios1 apud ELIGEHAUSEN et al (1983), para as peças de concreto armado, é da ordem de 0,5MPa a 1MPa.

b) Aderência por atrito

A aderência por atrito é função do coeficiente de atrito (µ) entre o aço e o concreto (aproximadamente µ=0,3), que depende da rugosidade superficial da armadura, e é proveniente de pressões transversais que a barra sofre devido à retração do concreto (FUSCO, 1995), ou às forças externas de compressão, para o caso do concreto armado. A aderência por atrito tem valores maiores que a adesão. Segundo ELIGEHAUSEN et al (1983), para concretos com fck = 30MPa em peças de concreto armado, a tensão de aderência por atrito pode variar de 0,4MPa a 10MPa. Esse intervalo grande se explica pelo fato de não se ter muita pesquisa nessa área.

c) Aderência mecânica para barras lisas ou nervuradas

A aderência mecânica é função da irregularidade da superfície da armadura, ou seja, da conformação superficial da barra. Quanto mais irregular for a superfície da armadura, maior será a aderência mecânica, pois as saliências na superfície da barra funcionam como pontos de apoio que mobilizam as tensões de compressão no concreto (FUSCO, 1995), o chamado efeito de cunha, como ilustra a Figura 5.5.

Figura 5.5 – Aderência mecânica (FUSCO, 1995).

As barras podem apresentar superfícies lisas ou nervuradas. Mesmo nas barras ditas lisas, existe uma certa irregularidade na sua superfície devida ao processo produtivo (Figura 5.5), porém o valor da aderência mecânica não é muito grande. Já nas barras nervuradas, ou barras de alta aderência, a aderência mecânica é a grande responsável pela ancoragem da armadura. O estudo da aderência em barras nervuradas tem sido objeto de várias pesquisas em todo o mundo.

5.2. O ESTUDO DA TENSÃO DE ADERÊNCIA

A tensão de aderência tem sido objeto de vários estudos em todo o mundo, inclusive com simpósios e congressos totalmente dedicados a esse tema. Isso se justifica pela sua importância nas peças de concreto armado e protendido, já que, para se garantir um bom comportamento dessas peças, é fundamental que se tenha uma excelente compreensão do

1 TASSIOS, T. P. (1979) – Properties of bond between concrete and steel under load cycles idealizing seismic action. Comité Euro-International du Béton, Bulletin no 131, Paris, apud ELIGEHAUSEN et al (1983).

Page 105: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

97

fenômeno da aderência, para que elas sejam dimensionadas de modo a garantir a ancoragem das armaduras.

Nas peças de concreto armado, costuma-se estudar a tensão de aderência por meio de três modelos distintos: o de viga à flexão, o de prisma carregado axialmente, e o de arrancamento. As Figuras 5.6, 5.7 e 5.8, respectivamente, mostram uma representação esquemática dos três modelos citados.

5.2.1. Viga à flexão

Numa viga de concreto armado submetida à flexão (Figura 5.6), a força que atua na armadura numa fissura vale:

zMT =

Figura 5.6 – Tensões numa viga fissurada submetida à flexão (MACGREGOR, 1988).

Fazendo-se o equilíbrio das forças horizontais na barra, como foi visto no início do capítulo, tem-se que:

dx...T bmτφπ=∆

onde τbm é o valor médio da tensão de aderência. Porém,

VdxMe

zMT =

∆∆=∆

Logo:

dx

τb

z

fc

τb τbm

fs

Page 106: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

98

z..V

z...dxM

..dxT

bm φπ=

φπ∆

=φπ

∆=τ

O valor calculado da tensão de aderência é um valor médio, pois há a variação de tensão, no concreto e na armadura, ao longo da viga. A tensão no concreto é sempre nula onde há fissura, e entre as fissuras há a transferência de esforços do aço para o concreto, e vice-versa. Porém, devido à variação do momento fletor, o valor da tensão na armadura nos pontos de fissura não é constante. Há também uma variação da tensão na armadura ao longo de toda a viga, e não apenas entre as fissuras.

Os ensaios em vigas para o estudo da aderência podem ter formas variadas. Para as peças de concreto armado, o estudo de vigas biapoiadas é o mais comum, tanto se analisando as barras tracionadas, como se analisando as barras traspassadas em zonas de momento constante. Pode-se estudar também meias-vigas e/ou vigas contínuas, como bem descreve FERGUSON et al (1988).

5.2.2. Prismas tracionados axialmente

Já para os prismas tracionados axialmente (Figura 5.7), a tensão média de aderência é nula, pois não há variação de tensão na armadura (∆fs = 0) de um ponto de fissura em relação a outro; há variação da tensão apenas entre as fissuras. O valor da tensão de aderência pode ser calculado ponto a ponto pela equação (5.1). Este modelo não é muito usado no estudo da tensão de aderência, porém, foi utilizado por GOTO (1971), um dos estudos mais importantes e conhecidos sobre a formação de fissuras ao redor de barras tracionadas.

Figura 5.7 – Tensões num prisma fissurado carregado axialmente (MACGREGOR, 1988).

Eq. (5.2)

τb

Page 107: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

99

5.2.3. Ensaio de arrancamento padrão

O ensaio de arrancamento padrão (Figura 5.8) tem sido o mais usado no estudo da aderência, e antes da década de 50 era praticamente o único utilizado (MACGREGOR, 1988).

Figura 5.8 – Tensões num ensaio de arrancamento (MACGREGOR, 1988).

Esse ensaio é muito simples de ser executado e fornece uma leitura direta da tensão de aderência. Porém, há o inconveniente do concreto ficar comprimido, não havendo fissuração, o que faz com que os resultados obtidos não sejam muito representativos para outras peças, como as vigas, por exemplo. Além disso, há um confinamento da armadura devido ao cobrimento exagerado de concreto e há um impedimento da expansão transversal do corpo-de-prova, devido ao atrito com a placa de apoio da máquina de ensaio. Mesmo com esses problemas, os ensaios de arrancamento fornecem resultados satisfatórios. Mais do que resultados quantitativos, esses ensaios fornecem resultados qualitativos do comportamento das peças em relação à aderência, principalmente quando se quer avaliar parâmetros distintos que influenciam na aderência. E por isso, apesar de todos os inconvenientes, esse tipo de ensaio ainda é bastante utilizado.

Ao longo do tempo algumas medidas vêm sendo tomadas para minimizar esses problemas, fazendo com que o modelo seja mais representativo das peças de concreto armado e protendido. Uma dessas modificações é a redução do cobrimento de concreto. Alguns pesquisadores sugerem que este valor fique em torno de 2φ, para diminuir o efeito de confinamento da armadura. Outra modificação é no número de barras utilizadas no ensaio. Ao invés de se ter apenas uma barra, pode-se utilizar quatro ou duas barras.

5.3. REPRESENTAÇÃO DA ADERÊNCIA

Independentemente do tipo de ensaio, o que se pretende obter é a representação do comportamento da aderência. Segundo DUCATTI (1993), “O modelo do comportamento da aderência é representado pela relação entre a tensão de aderência e o escorregamento. A primeira é identificada idealizadamente pela tensão de cisalhamento na interface barra-concreto, e o segundo pelo deslocamento relativo entre a armadura e o concreto, deslocamento este provocado pela diferença entre as deformações específicas do aço e do concreto”.

τb

Forças de atrito

Page 108: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

100

Existem alguns modelos representativos do comportamento Tensão de aderência local versus Escorregamento local, como a curva típica para peças de concreto armado com fc = 30MPa, apresentada por ELIGEHAUSEN et al (1983), a partir de ensaios de arrancamento com deformação controlada, e mostrada na Figura 5.9.

Figura 5.9 – Tensão de aderência local (τ) versus Escorregamento local (S), para concretos com fc=30MPa (ELIGEHAUSEN et al, 1983).

5.4. MODOS DE RUPTURA POR PERDA DE ADERÊNCIA

Existem, basicamente, dois modos de ruptura relacionados à perda da aderência: a ruptura por arrancamento, e a ruptura por fendilhamento. A Figura 5.10 apresenta o gráfico característico para os dois tipos de ruptura, em que a letra (a) corresponde a arrancamento e a letra (b), a fendilhamento.

Figura 5.10 – Representação gráfica para as rupturas por arrancamento (a) e por fendilhamento (b).

Pelo gráfico, percebe-se que a ruptura por arrancamento é mais dúctil que a por fendilhamento, e mobiliza uma tensão de aderência maior, para peças semelhantes.

Existe, porém, uma grande variedade de modos de ruptura associados a esses dois, especialmente quando a peça é posta em serviço e passam a atuar as solicitações normais e tangenciais. O tipo de ruptura que uma peça irá sofrer é influenciado por vários fatores: o tipo da armadura (barra, fio, cordoalha), o tipo de conformação superficial da armadura (lisa ou nervurada), o diâmetro da barra, a existência ou não de armaduras de confinamento, a distância entre barras de uma mesma camada, o cobrimento, a tensão na armadura, a qualidade do concreto, e a condição superficial da barra, entre outros. Esses são fatores que, obviamente, influenciam na aderência das peças de concreto armado e protendido. Na literatura técnica, porém, existem várias discordâncias sobre a maior ou menor influência

Page 109: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

101

desses fatores na aderência, chegando mesmo, em alguns casos, a conclusões contrárias. Isso se deve, principalmente, ao fato de que os parâmetros de ensaio, os materiais utilizados e as condições ambientes apresentam variações muito grandes de uma pesquisa para a outra, o que dificulta a generalização dos resultados.

De maneira geral, quando uma barra começa a ser solicitada, inicialmente a aderência é mantida pelas forças coesivas provindas da adesão. Essa parcela, porém, é rapidamente destruída, seja devido a pequenos escorregamentos localizados, seja pela redução do diâmetro da armadura (efeito de Poisson), por conta do aumento da tensão. Passam, então, a agir as forças de atrito. A partir do momento que o concreto começa a fissurar, as forças de atrito vão sendo reduzidas e a aderência passa a ser função, praticamente, da aderência mecânica, proveniente da irregularidade da superfície das barras.

Para as barras lisas, como a aderência mecânica não fornece grande ajuda, a barra vai perdendo a aderência à medida que vão sendo destruídas as forças de atrito. Esse processo leva, normalmente, a uma ruptura por arrancamento da barra.

Já para as barras nervuradas, como a aderência passa a ser governada pela aderência mecânica, quando começa a diminuir a aderência por atrito, as nervuras agem como pontos de apoio de bielas comprimidas, que impedem o deslocamento relativo da barra. Em contrapartida, aparecem tensões de tração perpendiculares às das bielas, que geram um anel de tensão ao redor da armadura, como mostra a Figura 5.11.

Figura 5.11 – Transferência de esforços por aderência (FUSCO, 1995).

À medida que se vai aumentando a força na armadura, vai havendo uma pulverização do concreto ao redor da barra, devido à compressão exercida pelas nervuras. Para as barras de alta aderência (nervuradas), antes que ocorra a pulverização total do concreto, e a barra

Page 110: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

102

escorregue (deixando um buraco no concreto com diâmetro igual à soma do diâmetro da barra mais 2 vezes a altura das nervuras), dá-se o fendilhamento da peça, devido às altas tensões radiais de tração (Figura 5.12).

Figura 5.12 – Fendilhamento longitudinal do concreto (FUSCO, 1995).

Esses dois modos de ruptura apresentam padrões de fissuração distintos, como mostra a Figura 5.13.

(a) (b)

Figura 5.13 – Rupturas por fendilhamento (a) e por arrancamento (b) (COLLINS & MITCHELL, 1997).

Vale ressaltar que a descrição anterior é característica, principalmente, do comportamento durante ensaios de arrancamento. Quando a peça é posta em serviço, esses comportamentos são afetados, em maior ou menor grau, pelos diversos fatores citados no início deste item, podendo inclusive levar ao fendilhamento de barras lisas, ou ao arrancamento de barras nervuradas. Outro aspecto que influencia na aderência é o cisalhamento, pois as fissuras diagonais de cisalhamento estão intimamente associadas ao fendilhamento. Ressalta-se, também, que apesar de tratados, tradicionalmente, como fenômenos separados, a aderência e o cisalhamento são tópicos que, na verdade, estão relacionados (FERGUSON et al, 1988).

A seguir são discutidos os aspectos mais relevantes, em relação aos parâmetros que influenciam no modo de ruptura das peças por aderência. Na realidade, apesar de serem apresentados separadamente, esses fatores são inter-relacionados, tanto no fenômeno físico, como no dimensionamento das peças.

a) Tipo da armadura e conformação superficial

Os dois parâmetros são inter-relacionados, já que o tipo ou a classificação da armadura depende da conformação superficial da barra. Os diversos tipos de armadura apresentam comportamentos diferentes em relação à aderência: os fios e as cordoalhas, que têm a superfície lisa, são mais susceptíveis à ruptura por arrancamento; já as barras, que são

Page 111: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

103

nervuradas, são mais propensas à ruptura por fendilhamento. Isso ocorre devido às tensões radiais de tração originadas nas nervuras (Figura 5.5), onde, normalmente, se iniciam as microfissuras internas que se estenderão até a face externa do concreto.

b) Diâmetro da barra e tensão na armadura

O diâmetro da barra e a tensão na armadura são fatores diretamente proporcionais um ao outro. Quanto menor o diâmetro da barra, mais ela será suscetível à ruptura por arrancamento, enquanto que as barras de grande diâmetro (φ≥25mm) são mais propensas à ruptura por fendilhamento, pois quanto maior o diâmetro, maior será a área da barra e, conseqüentemente, maior será a tensão instalada nela, levando a elevadas tensões radiais de tração.

c) Armadura de confinamento

As armaduras de confinamento, que podem ser estribos ou espirais, ajudam na resistência às solicitações radiais de tração, impedindo o fendilhamento. A presença dessas armaduras pode, inclusive, fazer com que barras nervuradas de grande diâmetro apresentem ruptura por arrancamento. As normas e códigos apresentam o cálculo dessas armaduras.

d) Espaçamento entre as barras e cobrimento

Esses dois fatores estão intimamente ligados. Quanto menores forem o cobrimento e a distância entre as barras, mais a peça estará suscetível ao fendilhamento. Na literatura encontram-se alguns padrões de fissuração de fendilhamento que levam em conta o cobrimento e a distância entre as barras. A Figura 5.14 apresenta alguns desses padrões.

(a) (b) (c)

Figura 5.14 – Fissuras de fendilhamento: (a) cobrimento lateral e metade da distância entre as barras, menores que o cobrimento em relação à face inferior da peça; (b) cobrimento lateral=cobrimento inferior, e ambos

menores que metade da distância entre as barras; (c) cobrimento inferior menor do que o cobrimento lateral e a metade da distância entre as barras (MACGREGOR, 1988).

Para peças com grandes cobrimentos, a ruptura por fendilhamento é menos comum, devido ao efeito de confinamento exercido pelo grande volume de concreto.

e) Qualidade do concreto

A qualidade do concreto pode ser entendida sob dois aspectos: a resistência do concreto à compressão, e a qualidade da matriz de cimento. Quanto maior a resistência do concreto, melhor a aderência, já que as resistências do concreto à tração e à compressão são fatores intimamente ligados. Em relação à qualidade da matriz cimentícia, acredita-se que quanto mais compacta e com menos vazios for a matriz, melhor será a aderência, porém este conceito ainda se encontra em discussão.

Page 112: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

104

f) Condição superficial da barra

Um aspecto muito importante é a condição superficial das barras (limpa, lubrificada, enferrujada), principalmente para as barras lisas, os fios, e as cordoalhas que têm giro livre. Nestes casos, uma superfície mais rugosa, como a provocada pela ferrugem, pode melhorar a aderência mecânica das armaduras. Porém, este é um tema muito delicado, pois uma oxidação maior pode levar à redução excessiva do diâmetro da armadura, diminuindo a sua capacidade resistente. Todas as pesquisas que ensaiaram barras limpas e enferrujadas confirmam a melhora na aderência dessas últimas. Porém, confirmam também que este é um parâmetro muito difícil de ser quantificado, e que não é recomendável o uso intencional de barras oxidadas, apesar da melhoria que isto implica.

g) Outros parâmetros

Além dos já citados, outros fatores também influenciam na aderência; são eles: o tipo de carregamento, os efeitos da retração e da fluência, a posição da armadura na peça, a posição e a direção da armadura em relação à direção do lançamento do concreto, e o tipo de cura da peça.

5.5. OS COMPRIMENTOS DE ANCORAGEM

Como se sabe, a transferência de esforços do aço para o concreto, e vice-versa, se dá ao longo de um determinado comprimento. Para que os esforços sejam transferidos de maneira satisfatória é necessário que se garanta um comprimento mínimo para a peça atingir o equilíbrio, que é chamado de comprimento de ancoragem. Em outras palavras, o comprimento de ancoragem é o menor comprimento necessário para que a tensão na armadura vá de zero à tensão desejada. Caso o comprimento existente seja menor que o necessário, a barra poderá sofrer um arrancamento, antes de atingir o valor esperado. Os comprimentos de ancoragem para barras submetidas à tração e à compressão são diferentes, pois na tração há a fissuração do concreto, fazendo com que o comprimento de ancoragem necessário seja maior do que na compressão. Neste trabalho tratar-se-á apenas do comprimento de ancoragem de barras tracionadas.

Rearrumando a equação (5.1), pode-se dizer que o comprimento básico de ancoragem (lb), para as peças de concreto armado, vale:

b

Sb .4

f.τ

φ=l

Ou seja, quanto maior a tensão de aderência, menor o comprimento necessário para ancorar a armadura. Logo, os principais fatores que influenciam no comprimento de ancoragem são os principais fatores que influenciam na tensão de aderência. São eles: as resistências do concreto à tração e à compressão, a retração, a presença de armadura de confinamento (estribos ou armaduras de fretagem), o cobrimento, o tipo e a distribuição das barras de aço, a posição das barras durante a concretagem, e o histórico de carregamento da peça. Esses fatores são levados em conta no cálculo do comprimento de ancoragem através de coeficientes que multiplicam, diminuindo ou aumentando, o valor do comprimento de ancoragem básico (equação 5.3). Os vários códigos e normas apresentam diferentes coeficientes.

Eq. (5.3)

Page 113: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

105

Como já foi visto, é necessária a existência de um espaço (lb) para que haja a transferência da carga. A determinação de lb é feita tomando por base o ensaio de arrancamento, utilizado para quantificar a aderência, representado pela Figura 5.15.

Figura 5.15 – Representação do ensaio de arrancamento.

Considera-se que a perda de aderência ocorre quando a barra de aço sofre um deslocamento (∆) de 0,1mm, atingindo a sua tensão última de aderência (τbu). Portanto, o comprimento reto de ancoragem (lb1) deve ser suficiente para resistir à força de tração Pu sem provocar um deslocamento ∆ = 0,1mm.

Note que apesar do valor da tensão de aderência variar ao longo do comprimento de ancoragem, consideramos, para o cálculo, por simplificação, que o valor τbu é constante.

5.6. CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM PELA NBR 6118 (2004)

A NBR 6118 (2004) estabelece que o cálculo da aderência é feito para o estado limite último. Segundo ela, as barras se encontram em zonas de boa aderência quando:

• Possuem inclinação maior que 45o sobre a horizontal (Figura 5.16);

Figura 5.16 – Barra em situação de boa aderência: α > 45o.

• Se encontram na horizontal ou com inclinação menor que 45o sobre a horizontal, desde que:

1. Para elementos estruturais com h < 60cm, localizados no máximo 30cm acima da face inferior do elemento ou junta de concretagem mais próxima (Figura 5.17);

Page 114: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

106

Figura 5.17 - Barra em situação de boa aderência: α < 45o – h < 60cm.

2. Para elementos estruturais com h ≥ 60cm, localizados no mínimo 30cm abaixo da face superior do elemento ou junta de concretagem mais próxima (Figura 5.18);

Figura 5.18 - Barra em situação de boa aderência: α < 45o – h ≥ 60cm.

Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de fôrmas deslizantes devem ser consideradas em má situação quanto à aderência.

Segundo a NBR 6118 (2004), a tensão de aderência de cálculo (fbd) é calculada da seguinte forma:

( ))MPa(

4,1f3,07,0f7,0f

fef...f3/2

ck

c

m,ct

c

inf,ctkctdctd321bd =

γ=

γ=ηηη=

em que: fbd = resistência de aderência de cálculo da armadura passiva;

fctd = resistência de cálculo à tração do concreto;

fctk = resistência característica à tração do concreto;

fctm = resistência média à tração do concreto;

1,0 para barras lisas; η1 = 1,4 para barras entalhadas;

2,25 para barras nervuradas;

η2 = 1,0 para situações de boa aderência; 0,7 para situações de má aderência;

Page 115: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

107

η3 = 1,0 para φ < 32mm; (132 – φ)/100, para φ > 32mm;

φ = diâmetro da barra, em milímetros.

No item 9.4.2.1., a NBR 6118 (2004) estabelece que as barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua extremidade, de acordo com as seguintes condições:

a) Obrigatoriamente com gancho para barras lisas;

b) Sem ganchos nas que tenham alternância de solicitação, de tração e compressão;

c) Com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de φ > 32mm ou para feixes de barras.

Os tipos ganchos das extremidades das barras estão representados nas Figuras 5.19 a 5.21.

Figura 5.19 – Gancho semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ.

Figura 5.20 – Gancho em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4φ.

Figura 5.21 – Gancho em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ.

Logo, segundo a NBR 6118 (2004), o valor do comprimento de ancoragem básico (lb) é dado por:

Page 116: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

108

bd

ydb f

f4φ

=l

E o comprimento de ancoragem necessário (lb,nec) pode ser calculado por:

φ≥≥α=

mm10010

3,0

AA

.b

min,bmin,bef,s

calc,sb1nec,b

lllll

em que: α1 = 1,0 para barras sem gancho; 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao

do gancho ≥ 3φ.

EXERCÍCIO 5.1:

Qual o comprimento reto de ancoragem para a situação da Figura 5.22?

Figura 5.22 – Esquema do bloco de ancoragem.

Aço CA 50 A

fck = 25MPa

Pk = 50kN

Dimensões em centímetros

EXERCÍCIO 5.2:

Para a barra de aço da Figura 5.23, determine:

a) Pu;

b) ∆lu (para P ligeiramente inferior a Pu);

c) lb em zona de má aderência.

Figura 5.23 – Barra de aço φ 12,5mm, CA 50 A e fck = 30MPa.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

COLLINS, M. P.; MITCHELL, D. – Prestressed concrete structures. Response Publications, Canada, 1997.

DUCATTI, V. A. – Concreto de elevado desempenho: estudo da aderência com a armadura. São Paulo. Tese (Doutorado) – Escola Politécnica de São Paulo, Universidade de São Paulo, 1993.

Page 117: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

109

ELIGEHAUSEN, R.; POPOV, E. P.; BERTERO, V. V. – Local bond stress-slip relationships of deformed bars under generalized excitations. Report no UCB/EERC-83/23, University of California, Berkeley. 162 p, 1983.

FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 1988.

FUSCO, P. B. – Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, PINI, 1995.

GOTO, Y. – Cracks formed in concrete around deformed tension bars. ACI journal, April 1971.

MACGREGOR, J. G. – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (1978) – Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978.

ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002.

CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993.

Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

FUSCO, P. B. – Estruturas de concreto: solicitações tangenciais. São Paulo, EPUSP, 1981.

SÜSSEKIND, J. C. – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.

Page 118: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

110

6. BASES PARA O DIMENSIONAMENTO

O dimensionamento das estruturas se baseia no resultado da análise estrutural das mesmas. Segundo a NBR 6118 (2004), “O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura”.

Para a análise estrutural, deve-se utilizar modelos estruturais que sejam capazes de representar de forma clara e realista a estrutura, e/ ou o elemento estrutural, em estudo. Ainda segundo a NBR 6118 (2004), “As estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais básicos, classificados e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua função estrutural”.

Como já foi dito, os elementos podem ser lineares, de superfície e de volume. Entre os lineares, destacam-se: as vigas, que funcionam basicamente à flexão (apresentam tensões de tração e de compressão); os pilares, que trabalham basicamente à compressão; os tirantes, que trabalham basicamente à tração; e os arcos, em que predominam as forças de compressão, mas podem, também, serem solicitados à flexão. Entre os elementos de superfície, tem-se: as placas, que são elementos planos sujeitos principalmente a ações normais a seu plano; as chapas, também planas, sujeitas principalmente a ações contidas em seu plano; e as cascas, que são elementos de superfície não planos.

Assim como existem vários tipos de elementos estruturais, existem, também, diferentes tipos de análises estruturais, que, segundo a NBR 6118 (2004), “se diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura, não perdendo de vista em cada caso as limitações correspondentes”. Para as análises listadas na NBR 6118 (2004), todos os modelos admitem deslocamentos pequenos para a estrutura. Os tipos de análise estrutural adotados pela NBR 6118 (2004) são:

• Análise linear;

• Análise linear com redistribuição;

• Análise plástica;

• Análise não-linear;

• Análise através de modelos físicos.

Uma vez feita a análise estrutural, e se determinado os efeitos das ações em uma estrutura, parte-se para o seu dimensionamento.

Segundo o Fib Bulletin 2 (1999), uma seqüência de atividades para um bom projeto estrutural, é a apresentada na Figura 6.1. Ela engloba desde o pré-projeto (ou projeto conceitual) até o completo detalhamento da estrutura. Cada uma dessas etapas reúne uma série de atividades. Por exemplo, no pré-projeto define-se o tipo de estrutura a ser adotado, e o arranjo estrutural dos elementos que a compõem, ou seja, a posição das lajes, das vigas, dos pilares, e etc. Esse arranjo, ou fôrma, inicial pode ser mudado numa etapa posterior. Depois, determinam-se as dimensões das peças. Para isso, o projetista tanto pode se basear na sua experiência como utilizar regras práticas de pré-dimensionamento.

Page 119: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

111

Pré-projeto

Determinação das Dimensões dos Elementos

Idealização da Estrutura para a Análise Estrutural

Análise Estrutural

Dimensionamento para o Estado Limite Último

Dimensionamento para o Estado Limite de Serviço

Detalhamento das Armaduras

(tipo da estrutura, posicionamento dos elementos)

(por experiência, relação vão/ altura, etc...)

(determinação dos esforços: momentos, cortantes e forças axiais)

(cálculo das armaduras, verificação das seções de concreto)

(verificação das flechas e vibrações, e detalhes para controle da fissuração)

Figura 6.1 – Seqüência para um bom projeto (Fib Bulletin 2, 1999).

De maneira geral, uma vez determinado o arranjo estrutural, parte-se para o cálculo dos esforços que irão solicitar a estrutura. Para isso, como já foi dito, existem vários modelos de cálculo que podem ser adotados, como os apresentados na NBR 6118 (2004). A partir desse ponto, faz-se o dimensionamento para o estado limite último, ou seja, verifica-se se as seções de concreto adotadas são suficientes para resistirem às tensões de compressão, e se forem, calcula-se a quantidade de armadura necessária para resistir às tensões de tração. Em seguida, verifica-se se a estrutura atende ao dimensionamento para o estado limite de serviço. Caso a estrutura ou seus elementos não passem em alguma das verificações, altera-se a dimensão com problema e refaz-se todo o caminho. Uma vez que a estrutura passe em todas as verificações, pode-se, então, detalhar as armaduras.

Para o nosso curso, admitindo que os esforços nos elementos já foram calculados, iremos nos concentrar no dimensionamento para o estado limite último (ELU) de elementos submetidos à flexão simples (momento fletor e esforço cortante): as lajes e as vigas.

Antes de partir para o dimensionamento desses elementos, é importante conhecer a nomenclatura utilizada. A Figura 6.2 apresenta o esquema de uma peça submetida à flexão simples e parte da nomenclatura e da simbologia adotadas.

Vale notar que tanto a nomenclatura como a simbologia adotadas seguem a NBR 6118 (2004), apresentando algumas diferenças em relação a outras prescrições normativas e a alguns livros de concreto armado.

Page 120: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

112

D.M.F. (M)

+

-

D.E.C. (V)

+

p (kN/m)

b w

h

l

Mmáx.

p = carga linear uniformemente distribuída

l = vão da viga (de eixo a eixo dos apoios)

h = altura da seção transversal

bw = largura da seção transversal

Mmáx. = momento máximo do vão

D.M.F. = diagrama de momentos fletores

D.E.C. = diagrama de esforços cortantes

Figura 6.2 – Viga submetida à flexão simples.

Quando uma peça é submetida à flexão simples, estão atuando os momentos fletores e os esforços cortantes, que por sua vez, impõem ao elemento tensões de tração e de compressão, como mostra a Figura 6.3. A NBR 6118 (2004), assim como várias outras prescrições, admite que se dimensione separadamente para os momentos fletores e para os esforços cortantes.

compressão

tração

compressão

tração

M MV

V

V

V

Figura 6.3 – Tensões de tração e compressão devidas aos momentos fletores e aos esforços cortantes.

No nosso curso, inicialmente neste capítulo, serão apresentadas as bases para o dimensionamento para o momento fletor. O dimensionamento para o esforço cortante será visto no capítulo 8, no que se refere às vigas, pois, para as lajes aqui estudadas, pode-se desprezar o seu cálculo. Esse assunto será comentado em mais detalhes no capítulo 7.

Na análise da seção transversal da viga submetida ao momento fletor, deve-se conhecer os seguintes elementos, mostrados na Figura 6.4, em que:

LN = linha neutra (linha de tensão nula);

As = área de aço da seção;

εc = deformação de compressão (no concreto) (encurtamento);

Page 121: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

113

εbwDeformações

t

L

sA

N

εc

Tensões

x

d'

d h

σ

σ

c

s

Figura 6.4 – Elementos e nomenclatura para a análise da seção transversal.

εt = deformação de tração (no aço)(alongamento);

σc = tensão no concreto (compressão);

σs = tensão no aço (tração);

x = altura da linha neutra (diagrama parábola-retângulo);

d = altura útil da seção – distância do centro de gravidade da armadura à borda mais comprimida;

d’= distância do centro de gravidade da armadura à borda mais tracionada;

Uma boa maneira de se entender o que acontece com as peças submetidas à flexão simples, é acompanhar um ensaio de flexão numa viga. Para o elemento da Figura 6.2, à medida que vai se aumentando a carga p, vai se aumentando o momento, o que aumenta as tensões de tração e de compressão, e a deformação da viga (Figura 6.5a). Nesse estágio, tanto o aço como o concreto resistem às tensões de tração, e o diagrama de tensões é linear. Com o contínuo aumento da carga, atinge-se o ponto em que as tensões de tração atuantes ultrapassam a resistência à tração do concreto e a viga começa a fissurar (Figura 6.5b), e o digrama de tensão deixa de ser linear. A partir desse ponto, apenas o aço passa a resistir à tração. A carga vai sendo aumentada até a ruptura da peça, que acontece ou quando o concreto atinge uma deformação de compressão de 3,5‰ ou quando o aço atinge uma deformação de tração de 10‰ (Figura 6.5c). O que ocorrer primeiro.

Com base nas observações anteriores, pode-se dividir o comportamento da viga em duas etapas distintas, antes e depois da fissuração. Quando as peças se encontram não-fissuradas são ditas no Estádio I, e após a fissuração no Estádio II.

O dimensionamento para o estado limite último no concreto armado ocorre no Estádio II, ou seja, com as peças fissuradas. A seguir são apresentadas as hipóteses de cálculo para o dimensionamento, que admitem algumas simplificações em relação ao comportamento real das estruturas.

6.1. HIPÓTESES DE CÁLCULO

Tanto para os elementos lineares como para os de superfície, a NBR 6118 (2004) estabelece que, na análise dos esforços resistentes de uma seção, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas:

a) As seções transversais se mantêm planas após a deformação;

Page 122: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

114

p (kN/m)

l

0

p (kN/m)1

3p (kN/m)

(a) Estádio I - peça não fissurada

(b) Início do Estádio II - peça fissurada

(c) Ruptura da peça - estágio avançado de fissuração e esmagamento do concreto na zona comprimida

fissuras de flexão

fissuras de cisalhamentoesmagamento do concreto

Diagramas detensão

Diagramas dedeformação

armadura

tração

compressão

Figura 6.5 – Viga submetida ao ensaio de flexão.

b) A deformação das barras, em tração ou compressão, deve ser a mesma do concreto em seu entorno;

c) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas, obrigatoriamente no ELU;

d) A distribuição de tensões no concreto segue o diagrama simplificado parábola-retângulo (tensão variável), apresentado na Figura 2.6. Esse diagrama pode ser substituído por um retângulo de altura 80% da altura do anterior, como mostra a Figura 6.6, e tensão de compressão do concreto constante de:

x

y =

0,8

x

0,85 fcd

cd0,80 f ou

cd0,85 f

Tensões(parábola-retângulo)

Tensões(retangular)

Figura 6.6 – Diagrama simplificado retangular para o concreto.

• 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida;

• 0,80 fcd no caso contrário.

Em que:

y = altura do diagrama retangular simplificado;

0,85 fcd e/ ou 0,80 fcd = resistência de cálculo do concreto à compressão.

e) A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação do aço;

Page 123: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

115

f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios da flexão, definidos a seguir.

6.2. DOMÍNIOS DA FLEXÃO

Como foi visto, quando uma peça é submetida à flexão, ela fica sujeita a esforços de tração e de compressão. Nas peças de concreto armado, o concreto é o responsável por resistir aos esforços de compressão e o aço aos de tração. A depender do valor do momento fletor aplicado, da quantidade de armadura e das dimensões da peça, esta pode estar com mais área comprimida, mais área tracionada ou em parcelas iguais. A região da seção transversal onde as tensões são nulas é chamada de linha neutra (LN), e ela é a linha divisora entre a zona comprimida e a zona tracionada da peça. À medida que o valor do momento fletor aplicado aumenta ou diminui, a altura da LN vai variando, e o comportamento da peça em relação ao modo de ruptura também.

No dimensionamento para ELU, como já foi citado, quando uma viga é submetida à flexão, considera-se que ela atingiu um estado limite ou quando o concreto atinge um encurtamento máximo de 3,5‰ ou quando o aço atinge um alongamento máximo de 10‰. Portanto, pode-se ter uma ruptura devido à falha no concreto ou no aço, ou ainda, nos dois simultaneamente. Para entender melhor de que maneira a peça está se comportando, é necessário analisar-se os chamados domínios da flexão, ou domínios de deformação, que estão representados na Figuras 6.7.

3

5

4a

1

4

2

d

d'

h

ε

ε = 3,5

ε = 10 ydsu

cu

ooo

ooo

A

Seçãotoda

comprimida

Seçãotoda

tracionada

x

Figuras 6.7 – Domínios da flexão.

Pelo diagrama dos domínios, que representa o diagrama de deformação da seção transversal para várias alturas da LN, percebe-se que eles são divididos em cinco: D.1, D.2, D.3, D.4 (e D.4a) e D.5. Cada um deles representa um determinado intervalo de deformação a que a seção transversal da peça está sujeita. A altura da LN, denominada de x, cresce da borda mais comprimida em direção a mais tracionada. A seguir são analisadas as características principais de cada um dos domínios.

Domínio 1

Neste domínio, a seção transversal se encontra toda tracionada, como mostra a Figura 6.8.

Page 124: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

116

Fu

-

sdε = 10 ooo

< x < 0

+

Figura 6.8 – Seção transversal no domínio 1.

Segundo FUSCO (1981), “O estado limite último é caracterizado pela deformação εsd=10‰. Neste domínio estão incluídos os casos de tração axial e de tração axial excêntrica com pequena excentricidade”.

Domínio 2

Neste domínio, a seção transversal se encontra parte tracionada e parte comprimida, como mostra a Figura 6.9.

ε = 10

xuM

sdooo

0 < ε < 3,5cd

ooo

+

-

Figura 6.9 – Seção transversal no domínio 2.

Segundo FUSCO (1981), “O estado limite último é caracterizado pela deformação εsd=10‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo comprimido. Neste domínio estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade”.

Domínio 3

Neste domínio, a seção transversal se encontra parte tracionada e parte comprimida, como mostra a Figura 6.10.

osd10 > ε > εoo

ε = 3,5

xMu

cdooo

yd

+

-

Figura 6.10 – Seção transversal no domínio 3.

Page 125: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

117

Segundo FUSCO (1981), “O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd=3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade”.

Domínio 4 (e 4a)

Neste domínio, a seção transversal se encontra parte tracionada e parte comprimida, como mostra a Figura 6.11.

oε = 3,5

uMx

cd

-oo

ε < εsd yd

Figura 6.11 – Seção transversal no domínio 4.

Segundo FUSCO (1981), “O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd=3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com grande excentricidade”.

Domínio 5

Neste domínio, a seção transversal se encontra toda comprimida, como mostra a Figura 6.12.

u

h < x <

F-

ε = 3,5cd ooo

Figura 6.12 – Seção transversal no domínio 5.

Segundo FUSCO (1981), “No domínio 5 estão incluídos os casos de flexo-compressão com pequena excentricidade e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção transversal, a qual está inteiramente comprimida”.

Domínios da flexão simples

Pelos diagramas apresentados, percebe-se que os domínios dependem, ou indicam, a posição da linha neutra (LN) da seção. A Tabela 6.1 apresenta um resumo com as principais características de cada um dos domínios.

Page 126: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

118

Tabela 6.1 – Características dos domínios da flexão.

Tipo de flexão Domínio Característica e modo de ruptura

Flexão composta Domínio 1 Flexo-tração - ruptura do aço

Domínio 2 Ruptura pelo escoamento do aço (dúctil)

Domínio 3 Ruptura pelo escoamento do aço (dúctil) e/ ou esmagamento do concreto (frágil)

Flexão simples

Domínio 4 Ruptura pelo esmagamento do concreto (frágil)

Flexão composta Domínio 5 Flexo-compressão – esmagamento do concreto

As peças podem romper por esmagamento do concreto ou deformação excessiva da armadura. O primeiro tipo é uma ruptura frágil, ou seja, ocorre sem aviso prévio. A ruptura do concreto à compressão, principalmente para os CAR, é explosiva, o concreto não dá sinais que está com problemas. Logo, é um tipo de ruptura que deve ser evitado. O segundo tipo é uma ruptura dúctil, ela dá muitos sinais de que está preste a ocorrer. Quando a armadura começa a escoar, a peça deforma mais e apresenta um padrão crescente de fissuração. Portanto, deve-se garantir que no caso de uma peça chegar a ruptura, que esta seja pelo aço, dúctil, pois, ter-se-á tempo para os devidos reparos. Em resumo, pode-se dizer que:

a) A ruptura do concreto é frágil;

b) A ruptura do aço é dúctil;

c) Em caso de ruptura, o aço deve romper primeiro, ou, no mínimo, no mesmo tempo que o concreto.

Logo, para os casos de flexão simples, deve-se dimensionar as peças nos domínios 2 e/ ou 3, onde as rupturas são dúcteis. O ponto ideal de dimensionamento é o ponto A (Figura 6.7), que é o limite entre os domínios 3 e 4. A depender do domínio em que a peça se encontra, ele se classifica da seguinte maneira:

a) Seção sub-armada (atinge o escoamento na ruptura): εsd > εyd ⇒ D. 2 e 3;

b) Seção normalmente armada: εsd = εyd ⇒ ponto A;

c) Seção super-armada (não atinge o escoamento na ruptura): εsd < εyd ⇒ D. 4.

Com base nessas análises, pode-se concluir que, deve-se projetar as seções para trabalharem como sub-armadas ou normalmente armadas, e nunca como super-armadas, pois correriam o risco de sofrer ruptura frágil. O ideal é trabalhar no ponto A, pois alia segurança à economia, utilizando o máximo que os dois materiais podem oferecer.

Para a análise e o dimensionamento das seções, utilizam-se as equações de equilíbrio de esforços e a de compatibilidade de deformação, que são baseadas nos diagramas de tensão e de deformação, respectivamente.

Page 127: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

119

Equações de equilíbrio

Tem-se, basicamente, três equações de equilíbrio: de forças horizontais (Fh); de forças verticais (Fv); e de momentos fletores (M). Para a seção da Figura 6.13, tem-se:

L

b w

As

N

sdσd'

y

d

cd0,85 f

z

C

T

Figura 6.13 – Seção transversal sob flexão. )II()2yd(A.)

2yd(y.b.f.85,0M

MMz.Tz.CMMM0M

000F

)I(A.y.b.f.85,0TC0F

ssdwcdd

dextint

extint

v

ssdwcd

h

−σ=−=

===

=∴=

=∴=

σ=

=∴=

Equação de compatibilidade

Tem-se uma equação de compatibilidade, que é proveniente da Lei de Bernouille-Navier, que é apresentada a seguir, a partir do diagrama de deformação da Figura 6.14.

L

b w

A s

sdε

N

cdε

d'

x

d

Figura 6.14 – Diagrama de deformação da seção transversal sob

flexão.

)III(1

8,0dy

)8,0yd(8,0y

)xd(x

cd

sd

sdcd

sdcd

εε

+=

ε−

ε−

Limites entre os domínios da flexão simples

Temos quatro pontos limites para definir: o ponto entre o D. 1 e o D.2; o ponto entre o D. 2 e o D.3; o ponto entre o D. 3 e o D.4; e o ponto entre o D. 4 e o D.5. A Figura 6.15 apresenta o esquema com os pontos limites.

503,0

5,307,21

8,0dyA50CAaçododepende

dyA207,0

5,3101

8,0dyB

8,0dyC0

dyO

=+

=→→=→=+

=→

=→=→

Page 128: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

120

oε = 10su oo

3

εyd

4

2

x

4ad'

A

cuε = 3,5

d

ooo

h

O

B

C

Figura 6.15 – Pontos limites entre os domínios.

A NBR 6118 (2004), admitindo o aço CA 50 A, estabelece como limites os seguintes valores:

• Para fck ≤ 35MPa (y/d)lim ≤ 0,40;

• Para fck > 35MPa (y/d)lim ≤ 0,32.

6.3. PROBLEMAS DE ANÁLISE

Como o próprio nome já diz, para os problemas de análise o que se quer é verificar a capacidade resistente de uma dada seção, na qual são conhecidos os seguintes dados: dimensões da peça (vão – l –, largura – bw –, e altura – h); resistência do concreto à compressão (fck); resistência do aço à tração (fyk); e área de aço (As). Os valores que se quer obter são: a altura da linha neutra (y); o momento fletor máximo (Md) para a seção; a tensão (σsd) e a deformação (εsd) na armadura; e a deformação no concreto (εcd).

Problema 1

Para a seção transversal da Figura 6.16, determine o momento fletor máximo que ela suporta.

Asd' = 6cm

d = 54cm

b = 20cmw

h =

60cm

Figura 6.16 – Seção transversal em análise.

Aço CA 50 A

fck = 20MPa

d’ = 6cm

d = h – d’ = 60 – 6 = 54cm

As = 3,81cm2

Hipótese inicial: LN no domínio 3 ⇒ εcd = 3,5‰ e σsd = fyd.

cm82,6m0682,0y15,110.500

.10.81,3y.2,0.4,110.20

.85,03

43

==∴= −

Page 129: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

121

Verificando a hipótese inicial:

kN.m59,91,4

83,79MkN.m83,792

0,06820,54.0,0682.0,20.1,4

10.20.0,85M

esmagounãoconcretoo3,5ε1,90,0019ε

ε0,0101

0,80,54

0,0682

escoouaçoo10

2,07ε18,70,0187ε

0,0035ε

1

0,80,54

0,0682

k

3

d

ooo

cdooo

cd

cd

ooo

ooo

ydoo

osd

sd

===

−=

⇒=<==∴+

=

>

=>==∴

+=

Como εcd = 1,9‰ < 3,5‰, a peça se encontra no domínio 2. Porém, a hipótese inicial de que σsd = fyd ainda é válida para o domínio 2.

Problema 2

Para a seção transversal da Figura 6.17, determine o momento fletor máximo que ela suporta.

Asd' = 6cm

d = 54cm

b = 20cmw

h =

60cm

Figura 6.17 – Seção transversal em análise.

Aço CA 50 A

fck = 20MPa

d’ = 4cm

d = h – d’ = 60 – 6 = 54cm

As = 8cm2

Hipótese inicial: LN no domínio 3 ⇒ εcd = 3,5‰ e σsd = fyd.

cm32,14m1432,0y15,110.500

.10.8y.2,0.4,110.20

.85,03

43

==∴= −

Verificando a hipótese inicial:

kN.m116,41,4

162,90MkN.m162,902

0,14320,54.0,1432.0,20.1,4

10.20.0,85M

escoouaçoo2,077,060,00706ε

0,0035ε

1

0,80,54

0,1432

k

3

d

ooo

ooo

sdsd

===

−=

⇒>==∴+

=

Como εyd = 2,07‰ < εsd = 7,06‰ <10‰, a peça se encontra no domínio 3. Logo, a hipótese inicial é válida.

Page 130: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

122

Problema 3

Para a seção transversal da Figura 6.18, determine o momento fletor máximo que ela suporta.

Asd' = 6cm

d = 54cm

b = 20cmw

h =

60cm

Figura 6.18 – Seção transversal em análise.

Aço CA 50 A

fck = 20MPa

d’ = 4cm

d = h – d’ = 60 – 6 = 54cm

As = 20cm2

Hipótese inicial: LN no domínio 3 ⇒ εcd = 3,5‰ e σsd = fyd.

cm81,35m3581,0y15,110.500

.10.20y.2,0.4,110.20

.85,03

43

==∴= −

Verificando a hipótese inicial:

escoounãoaçooε0,720,00072ε

0,0035ε

1

0,80,54

0,3581ydoo

osd

sd⇒<==∴

+=

Como εsd < εyd, a peça se encontra no domínio 4. Logo, a hipótese de que a LN está no domínio 3 não é válida. Quando isso ocorre, o problema cai num sistema de 4 equações, apresentado a seguir, que é um pouco mais complexo de ser resolvido para se obter o valor do momento fletor máximo.

Não é recomendável se trabalhar com peças no domínio 4, pois elas poderiam sofrer ruptura frágil. Em todo caso, se fosse calculado o valor para o momento fletor máximo, ele seria maior que os dois valores anteriores.

Sistema de equações

−ε=σεε

+=

−=

σ=

AtipoAço)IV(.E

)III(1

8,0dy

)II(2ydy.b.f.85,0M

)I(.Ay.b.f.85,0

sdssd

cd

sd

wcdd

sdswcd

6.4. PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO

Nos problemas de dimensionamento, procura-se sempre trabalhar no domínio 3, ou no máximo, no domínio 2. Levando-se em conta que estamos em um desses domínios, algumas

Incógnitas

Page 131: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

123

das variáveis das equações de equilíbrio e de compatibilidade já têm seus valores definidos, são elas:

εcd = 3,5‰ (Domínio 3) e σsd = fyd (Domínios 2 e 3)

Modificando-se as equações (I) e (II), apresentadas anteriormente, e levando-se em conta as constantes, tem-se:

)I(f.85,0

fdy

)armaduradegeométricataxa(d.b

Ad.b

f.Ad.b

y.b.f.85,0

)d.b(f.Ay.b.f.85,0TC)I(

cd

yd

w

s

w

yds

w

wcd

wydswcd

ρ=

ρ==

÷==

)II()dy5,01(

dy

d.b.f.85,0M

)d()2yd(y

b.f.85,0M

)2yd(A.)

2yd(y.b.f.85,0M

MM)II(

2wcd

d

2

wcd

d

ssdwcdd

extint

−=

÷−=

−σ=−=

=

A equação de compatibilidade (equação (III)), não sofre mudanças, e continua como apresentada a seguir:

)III(1

8,0dy

cd

sd

εε

+=

Utilizando as equações para o dimensionamento, vejamos alguns exemplos.

Problema 1

Para a seção transversal da Figura 6.19, determine a área de aço necessária. Resolva para o limite do aço e para o limite da NBR 6118 (2004).

h =

70cm

sA

d = 64cm

d' = 6cmb = 12cmw

Figura 6.19 – Seção transversal para dimensionamento.

Aço CA 50 A

fck = 25MPa

d’ = 6cm

d = h – d’ = 70 – 6 = 64cm

Mk = 6tf.m

Page 132: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

124

Verificando o limite do aço para o domínio 3 (ponto A), pela equação de compatibilidade:

0,503

0,00350,002071

0,8dy

3,5ε2,07210000

1,15500

εε

εε

1

0,8dy

CA50Alim,

ooo

cdooo

ydsd

cd

sd

=+

=

=→===→+

=

Voltando ao problema:

503,0dyMPa78,434

15,1500fMPa86,17

4,125f

limydcd =

====

Pode-se acompanhar o seguinte roteiro para o dimensionamento:

1) Determina-se (y/d) pela equação (II):

=

→=

=−±

=

=+

−=

0,120dy

falsaraiz1,880dy

20,225.442

dy

00,225dy2

dy

)dy0,5(1

dy

0,64.0,12.10.17,86.0,8560.1,4

2

1

2

23

2) Compara-se o (y/d) encontrado com o (y/d)lim:

2.1) Limite do aço:

OK503,0dy120,0

dy

!mudarsedeve4Domíniody

dy

OKApontody

dy

OK3Domínioou2Domíniody

dy

lim

lim

lim

lim

⇒=

<=

−⇒⇒

>

⇒⇒

=

⇒⇒

<

2.2) Limite da NBR 6118 (2004):

Page 133: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

125

OK0,400dy

0,120dy

!mudarsedeve4Domínioou3Domíniody

dy

OK3Domínioou2Domíniody

dy

lim

lim

lim

⇒=

<=

−⇒⇒

>

⇒⇒

<

Neste problema, o (y/d) encontrado atende às duas verificações.

3) Calcula-se a área de aço necessária (As):

0,419%0,0041910.434,78

10.17,86.0,850,120?

3

3

===

22s

min

3,22cm0,0003218m0,64.0,12.0,00419A

OK(2004))NBR6118da(valor??

===

>

Problema 2

Para a peça da Figura 6.20, determine a menor altura h para que a seção não apresente ruptura brusca, e a área de aço necessária para resistir ao momento fletor. Considere o limite do aço e o da NBR 6118 (2004).

s

b = 15cmwd' = 6cm

A

dh

Figura 6.20 – Seção para dimensionamento.

Aço CA 50 A

fck = 30MPa

Mk = 10tf.m

d = h – 6

( )

434,78MPaf21,43MPa1,430

f

0,06h0,503y0,5030,06hy

0,503dy

ydcd

lim

===

−=∴=

∴=

45cmh0,43mh0,13610,06)(h0,1361(d)

20,503

10,503(d).0,15.10.21,43.0,85

100.1,4

22

23

=∴≥∴=−∴=

−=

Page 134: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

126

22s

min

cm33,12m001233,039,0.15,0.0211,0A

OK%11,20211,078,434

43,21.85,0503,0

===

ρ>===ρ

Adotando-se o limite da NBR 6118 (2004), tem-se:

cm05h0,46mh0,16010,06)(h0,1601(d)

20,40010,400

(d).0,15.10.21,43.0,85100.1,40,400

dy

22

23lim

=∴≥∴=−∴=

−=∴=

22s

min

11,09cm0,001109m0,44.0,15.0,0168A

OKρ1,68%0,0168434,78

21,43.0,850,400ρ

===

>===

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

FUSCO, P. B. - Estruturas de concreto: solicitações normais. Ed. Guanabara Dois S.A., Rio de Janeiro, 1981.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (1978) – Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978.

ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002.

CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993.

FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 1988.

MACGREGOR, J. G. – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988.

SÜSSEKIND, J. C. – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.

Page 135: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

PARTE II

Lajes

Page 136: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

128

7. LAJES

7.1. INTRODUÇÃO

Segundo POLILLO (1981), “Denominam-se de lajes, as placas de material litóide”. As placas de concreto são denominadas de lajes, e, como já foi dito, elas são elementos planos que trabalham solicitadas, basicamente, à flexão e recebem cargas perpendiculares a seu plano médio. Nas edificações usuais, a laje é o primeiro elemento a receber as cargas, e tem a função de retransmiti-las às vigas ou diretamente aos pilares, no caso das lajes planas, por exemplo. Nas estruturas de edifícios, as lajes exercem grande importância sobre o consumo de concreto, pois chegam a ser responsáveis por 50% do volume total de concreto utilizado.

Segundo MACGREGOR (1984), as lajes armadas em cruz, que distribuem as cargas em duas direções, são uma forma única de construção que só as estruturas de concreto armado apresentam, entre todos os materiais de construção.

7.2. TIPOS DE LAJES

Segundo ROCHA (1987), pode-se classificar as lajes em dois grandes grupos, de acordo com o modo de dimensionamento:

a) Lajes armadas em uma só direção, ou laje corredor – quando a relação entre o maior e o menor vão for maior do que 2 (Figura 7.1).

yl

xl

yl

xl_____ > 2

Figura 7.1 – Laje corredor.

b) Lajes armadas em duas direções, ou lajes armadas em cruz - quando a relação entre o maior e o menor vão for menor do que ou igual a 2 (Figura 7.2).

É importante ressaltar que mesmo as lajes ditas armadas em uma única direção, têm armaduras positivas nas duas direções principais, como será visto posteriormente, porém, elas são calculadas levando-se em conta apenas a direção principal. Logo, a nomenclatura correta deveria ser laje calculada em uma única direção.

As lajes apresentam, também, outras classificações que levam em conta outros parâmetros. São elas:

Page 137: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

129

xl

yl_____ < 2lx

ly

Figura 7.2 – Laje armada em cruz.

• Quanto à fabricação, ou modo de execução: Pré-moldadas (Figuras 7.3 e 7.4)

Moldadas in loco (Figura 7.5)

Plana (Figuras 7.6a e 7.7)

• Quanto à forma: Maciça Cogumelo (Figuras 7.6b e 7.8)

Vigada (Figuras 7.6c e 7.9)

Nervurada (Figuras 7.6d e 7.10)

Figura 7.3 – Edifício de apartamento de 13 andares com todas as lajes pós-tensionadas no solo e depois

içadas até a posição definitiva (São Francisco). Lajes com 20cm de espessura, em concreto leve e 8,5m de

vão (LIN & BURNS, 1981).

Figura 7.4 – Centro japonês Pagoda (São Francisco). Lajes circulares pré-moldadas e pós-tensionadas (LIN

& BURNS, 1981).

Page 138: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

130

Figura 7.5 – Armaduras de laje in loco.

(a) (b)

(c)

(d)

Figura 7.6 – Tipos de laje: (a) laje plana; (b) laje cogumelo; (c) laje com vigas; (d) laje nervurada (MACGREGOR, 1984).

Page 139: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

131

Figura 7.7 – Laje plana com viga chata nas extremidades (FERGUSON et al, 1988).

Figura 7.8 – Típica laje cogumelo com capitel (FERGUSON et al, 1988).

Figura 7.9 – Sistema reticulado de laje com viga.

Figura 7.10 – Laje nervurada.

Page 140: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

132

Segundo MACGREGOR (1984), as lajes planas e com vigas são recomendadas para vãos entre 4,5m e 6m. As lajes nervuradas para vãos entre 7,5m e 12m. E as lajes cogumelo para vãos entre 6m e 9m com carregamento acima de 5kN/m2.

Neste curso, serão estudadas, apenas, as lajes maciças com vigas, ou seja, o sistema estrutural dito convencional, em que as lajes se apoiam nas vigas, e essas nos pilares.

7.3. ANÁLISE DE ESFORÇOS NAS LAJES

Após a determinação do carregamento da laje, parte-se para o cálculo dos esforços nela atuantes, ou seja, a determinação das solicitações. As lajes trabalham, basicamente, à flexão simples, isso quer dizer que nela estarão atuando momentos fletores e esforços cortantes. Para isso, existem alguns métodos para a análise de esforços nas lajes. Alguns são listados a seguir, e serão descritos posteriormente.

• Teoria da Elasticidade;

• Teoria das Grelhas;

• Método das Linhas de Ruptura;

• Tabelas de dimensionamento.

Além da determinação dos momentos fletores e forças cortantes, determinam-se, também, as reações das lajes, que irão carregar as vigas. Para as lajes maciças apoiadas sobre vigas (que é o caso em estudo neste curso), despreza-se o esforço cortante atuante. Essa verificação está apresentada no final deste capítulo. Logo, para o cálculo das lajes maciças só irá interessar a determinação dos momentos fletores e das reações sobre as vigas.

Um outro aspecto fundamental na análise dos esforços das lajes, é a determinação das suas condições de contorno. É necessário saber qual o tipo de apoio de cada um dos lados da laje. Tem-se, basicamente, três tipos de apoio para as lajes maciças no sistema reticulado: lado simplesmente apoiado; lado engastado; e lado livre. Quando um lado da laje é dito simplesmente apoiado, ele se encontra sobre uma viga e não há continuidade com outra laje. Quando um lado da laje é dito engastado, ele também se encontra sobre uma viga e há continuidade com outra laje. Quando o lado não está apoiado sobre uma viga, ele é dito de bordo livre, ou seja, sem apoio. A Figura 7.11 apresenta a representação gráfica para cada um dos tipos de apoio.

Lado simplesmenteapoiadoLado engastado Bordo livre

Figura 7.11 - Representação gráfica para os tipos de apoio das lajes.

Para as lajes retangulares, sem levar em conta as lajes com bordo livre, tem-se seis tipos distintos de ocorrência, como mostra a Figura 7.12.

A laje com ocorrência 1 tem os quatro lados simplesmente apoiados. A com ocorrência 2, tem um dos lados engastados e os outros três simplesmente apoiados. A de ocorrência 3 apresenta

Page 141: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

133

dois lados consecutivos engastados, e a 4 dois lados opostos engastados. A com ocorrência 5 tem três lados engastados e a tipo 6 tem os quatros lados engastados. Perceba-se que não há a preocupação em determinar-se se os engastes acontecem nos lados maiores ou nos menores. Esse aspecto será levado em conta posteriormente.

1 2 3

654

Figura 7.12 – Tipos de ocorrência de lajes retangulares.

A seguir serão descritos, sucintamente, os quatro métodos de análise de esforços nas lajes citados anteriormente.

Teoria da Elasticidade

Segundo MACGREGOR (1984), a Teoria da Elasticidade (TE) demonstra não só a relação entre os momentos internos e as cargas nas lajes, como também demostra a relação entre os momentos e a curvatura das lajes.

A TE, que é uma teoria matemática, fornece resultados precisos quando o material se comporta segundo as leis de Hooke e Navier, ou seja, de maneira elástico-linear. Como já foi visto, o concreto armado apresenta um comportamento elasto-plástico, logo, o cálculo pela TE fornece valores aproximados.

A análise de esforços pela TE se baseia na equação diferencial de 4a ordem de Lagrange, que relaciona a deformada elástica da placa (w) com o seu carregamento (p), e está apresentada a seguir, onde K é o coeficiente de rigidez da placa.

)1(12d.E

KKp

yyx2

x 2

3c

4

4

22

4

4

4

ν−==

∂ω∂

+∂∂ω∂

+∂

ω∂

Da TE resultam, também, as seguintes equações de equilíbrio para o cálculo das solicitações.

ω∂+

∂ω∂

∂∂

−=

ω∂+

∂ω∂

∂∂

−=

∂∂ω∂

ν−−==

ω∂ν+

∂ω∂

−=

ω∂ν+

∂ω∂

−=

2

2

2

2

y2

2

2

2

x

2

yxxy2

2

2

2

y2

2

2

2

x

yxyKV

yxxKV

yx)1(KMM

xyKM

yxKM

Page 142: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

134

Teoria das Grelhas

Para as lajes retangulares sobre quatro apoios, com carga uniformemente distribuída, pode-se utilizar a Teoria das Grelhas (TG) para o cálculo dos esforços, que é um processo rápido e simplificado. Ele consiste em dividir a carga total (p), que é por área, em duas cargas lineares, uma para cada direção da laje (px e py), como mostra a Figura 7.13.

p

py

x

p

y

x

l

lA

Figura 7.13 – Distribuição das cargas.

Para a distribuição das cargas, segundo POLILLO (1981), “considerando que a carga p se divide em duas componentes segundo as duas direções, uma px e outra py, imaginam-se faixas ortogonais isoladas entrecruzando-se no centro da laje, sujeitas às px e py, respectivamente, igualam-se as flechas no centro. Desta igualdade resulta o valor de px ou de py. Em seguida, considerando-se sempre as faixas independentes, levando-se em conta o tipo de apoio existente em cada borda, calculam-se os momentos Mx e My em cada faixa nas duas direções. Procedendo-se deste modo, não se leva em conta a influência favorável dos momentos de torção, que tendem a diminuir as solicitações à flexão”.

Portanto, se o valor da flecha, para cada condição de contorno, é conhecido, pode-se determinar os valores de px e de py. A Tabela 7.1 apresenta os valores das flechas para as condições de apoio mais utilizadas.

Tabela 7.1 – Valores para as flechas.

Apoios Flecha

Simplesmente apoiada (bi-apoiada) EI384.p.5f

4l=

Mono-engastada EI384.p.2f

4l=

Bi-engastada EI384

.pf4l

=

A Tabela 7.2 apresenta os valores para os momentos e reações para as condições de contorno mais utilizadas.

Page 143: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

135

Tabela 7.2 – Valores para os momentos e reações de apoio.

Apoios M+ M- R1 R2

Bi-apoiada 8.p 2l zero

2.p l

2.p l

Mono-engastada 22,14

.p 2l 8.p 2l 0,6 p . l 0,4 p . l

Bi-engastada 24.p 2l

12.p 2l 2

.p l 2.p l

Considerando-se uma laje com os quatro bordos simplesmente apoiados (Figura 7.14), tem-se:

py

lx

A

p

xp

ly

Figura 7.14 – Laje com ocorrência 1.

As duas direções são bi-apoiadas, e no ponto A: εx = εy, logo:

xy

xxxx

yx

4yy

y

4xx

x

K1K

p.Kpp.Kp

ppp

EI384l.p.5

fEI384

l.p.5f

−=

==

+=

==

Fazendo fx = fy, no ponto A, tem-se:

4x

4y

4x

x4x

4y

4x

y4x

4y

4x

y

4x

4y

4y

x4x

4y

4y

x4x

4y

4y

x

4x

4y

4x

4y

yx4x

y4y

x

4yy

4xx

4yy

4xx

lllKp.

lllp

llp

lp

lll

Kp.ll

lp

llp

lp

llp

llpp

)matematicaomanipulaçãpor(lp

lp

l.pl.pEI384

l.p.5EI384

l.p.5

+=∴

+=∴

+=

+=∴

+=∴

+=

+=

+

+===

=∴=

EXERCÍCIO 7.1:

Para a laje da Figura 7.15, determinar o carregamento nas duas direções principais.

m/kg380500x76,0pm/kg120500x24,0p

76,043

4ll

lK24,0

433

lll

K

yx

44

4

4x

4y

4x

y44

4

4x

4y

4y

x

====

=+

=+

==+

=+

=

Page 144: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

136

xl

lp=500kg/m y2

=4,0m

=3,0m

Figura 7.15 – Laje a ser carregada.

p =120kg/mx

yp =380kg/m

l =4,0mx

y =3,0ml

EXERCÍCIO 7.2:

Para as lajes das Figuras 7.16 e 7.17, determine os coeficientes de carregamento.

xl

py

A

p

px

ly

Figura 7.16 – Laje 1.

lx

py

A

p

yl

px

Figura 7.17 – Laje 2.

Método das Linhas de Ruptura

O método das linhas de ruptura, ou a teoria das charneiras plásticas, é um método de análise estrutural plástica, ou seja, as não linearidades dos materiais podem ser consideradas, desde que eles tenham um comportamento rígido-plástico perfeito ou elasto-plástico perfeito, como o concreto armado, por exemplo.

Segundo ROCHA (1987), “A teoria de ruptura para cálculo das lajes consiste em admitir que, sob a ação da carga de ruptura as lajes se dividem em painéis que giram em torno de linhas ao longo das quais atua um momento igual ao que a laje resiste na ruptura, segundo a direção normal a estas linhas. Conhecendo-se a posição das linhas de ruptura, a relação entre o momento de ruptura e a carga pr que rompe a laje é obtida estabelecendo-se as condições de equilíbrio estático nos painéis limitados pelas linhas de ruptura e pelo contorno da laje”. Ainda segundo o mesmo autor, ”A aplicação das condições de equilíbrio pode ser feita através do princípio dos trabalhos virtuais, estabelecendo a igualdade entre o trabalho da carga pr e o trabalho dos momentos ao longo das linhas de ruptura para uma deformação atribuída à laje na ruptura. Esta deformação se realiza como se houvessem rótulas ou charneiras ao longo das linhas de ruptura. Na configuração de ruptura a laje forma um mecanismo ou cadeia cinemática”.

Page 145: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

137

Logo, este método se baseia na configuração de ruína das lajes, ou seja, nas linhas de ruptura que a laje apresenta, como mostra a Figura 7.18.

Figura 7.18 – Linhas de ruptura.

Tabelas de dimensionamento

Para facilitar a determinação das solicitações nas lajes, foram criadas várias tabelas com uma série de coeficientes que levam em conta os diversos parâmetros utilizados no cálculo das lajes. Algumas tabelas, por exemplo, se baseiam na Teoria das Grelhas e outras na Teoria da Elasticidade. Algumas das tabelas mais utilizadas são:

• Czerny (TE);

• Erturk (TE);

• Barés (TE);

• Marcus (TG + TE), etc.

Hoje em dia, o uso das tabelas está sendo substituído pela utilização de softwares de análise estrutural, que tanto podem trabalhar com as tabelas internamente, como com o cálculo matemático mais preciso.

Para este curso serão utilizadas as Tabelas de Czerny, Tabela VI que se encontra no Anexo A, que se baseiam na Teoria da Elasticidade, para o cálculo dos esforços (momentos fletores e reações) nas lajes.

7.4. DETERMINAÇÃO DA ALTURA DAS LAJES

Existem vários métodos para a determinação da altura (h) inicial das lajes, como o método para o pré-dimensionamento citado no capítulo 4. Independentemente de como será feita a determinação da altura, ela deve obedecer aos limites mínimos exigidos pela NBR 6118 (2003), já citados no capítulo 4, que para as lajes maciças são:

• 5 cm para lajes de cobertura não em balanço;

• 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;

• 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN;

• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30kN.

A Figura 7.19 apresenta um esquema dos elementos que compõem a altura da laje.

Page 146: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

138

d' =cob.+( /2) d =h-d'

h

cob.

φ

d'

1

1

d'2

d2 φ1 cam.a

a2 cam.

1 cam.a1 1 1

φd' =cob.+( + /2) d =h-d'2 1 cam.a 22aφ2 cam.

Figura 7.19 – Detalhe da altura da laje.

A NBR 6118 (2004) estabelece os cobrimentos mínimos para as lajes, que dependem das condições de agressividade ambiental onde elas estão instaladas. As Tabelas V, VI e VII, no Anexo A, apresentam as classificações ambientais, cobrimentos mínimos e condições mínimas de qualidade do concreto, respectivamente, fornecidos pela Norma.

Além do método já descrito, existem outros que estão listados a seguir.

Método da NBR 6118 (1978)

Quando não se quer verificar as flechas das lajes, pode-se adotar a seguinte expressão:

32 .Ld

ΨΨ≥

em que: L = é o menor vão;

Ψ2 = valor tabelado que depende das condições de contorno e do vão (Tabela IX do Anexo A);

Ψ3 = valor tabelado que depende do aço (Tabela X do Anexo A).

EXERCÍCIO 7.3:

Para a laje da Figura 7.20, determine a altura da laje pelo método da NBR 6118 (1978) e pelo método para o pré-dimensionamento utilizado no capítulo 4.

=4,0mLx

p=6,0mLy

Figura 7.20 – Laje a ser calculada.

NBR 6118 (1978):

Cob. = 15mm φ8mm CA 50 – Ψ3 = 25 Relação entre os vãos = 6 / 4 = 1,5 ⇒ Ψ2 = 1,6

13cm h

12,7cm2,15,110h10cm1,6x25

400d

=⇒

=++=∴=≥

Capítulo 4:

cm10h14,9

35400x8,0h

cm11h67,1030

400x8,0h

35

30

=⇒=≥

=⇒=≥

Page 147: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

139

Método prático

Segundo este método, pode ser usada a seguinte expressão para a determinação da altura da laje.

+

≤−≥l

llll

maiordo7,02)n1,05,2(d

yx**

em que n é o número total de engastes da laje.

EXERCÍCIO 7.4:

Para a laje da Figura 7.20, determinar a altura pelo método prático.

cm13h36,122,15,166,9hcm66,92,4)2x1,05,2(d

m2,46x7,0

m52

642n *

=⇒=++≥=−≥

=

=+

≤= l

Método baseado no cálculo das flechas

Para o cálculo, segundo esse método, são utilizadas as seguintes expressões:

=

=→

=

+=→

500f

q7,0ph

300f

q7,0g2ph

ondef.E.p.Kh

2

2

2

1

1

1

3

4

l

ll

Onde l é o menor dos vãos e K é um coeficiente que depende das condições de contorno e da relação entre os vão. A Tabela XI, do Anexo A, apresenta os valores de K.

O valor da altura será o maior entre os dois. Como este método fornece os menores valores para a altura da laje, costuma-se trabalhar como se o resultado obtido fosse o da altura útil (d), e acrescenta-se a ele o valor de d’.

EXERCÍCIO 7.5:

Para a laje da Figura 7.20, determinar a altura pelo método baseado no cálculo das flechas.

MPa4,21287205600x85,0EMPa20f

0461,0K5,1463Tipo

ck

x

y

==→=

=→==→ll

Page 148: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

140

Admitindo as cargas de g=3kN/m2; q=2kN/m2; p=5kN/m2, tem-se:

10cmh5cm4,92,11,56,75hh

0,0459m0,008x21287400

4x1,4x0,0461d0,008m500

4f1,4kN/m2x0,7p

0,0675m0,01333x21287400

4x7,4x0,0461d0,01333m300

4f7,4kN/m2x0,73x2p

1

3

4

212

2

3

4

112

1

=→=++==

=≥====

=≥===+=

Comparação dos resultados

A Tabela 7.3 apresenta a comparação de resultados para o cálculo da altura da laje da Figura 7.20.

Tabela 7.3 – Resultados para as alturas da laje.

Método NBR 6118 (1978) Cap. 4 Prático Flecha

hlaje (cm) 13 11 / 10 13 10

Percebe-se que há uma variação significativa nos resultados. Vale lembrar que essas alturas são valores iniciais, para que se possa dar início ao cálculo das estruturas, e devem ser verificadas ao longo do processo de dimensionamento, como será visto posteriormente.

De maneira geral, o método da NBR 6118 (1978) fornece os maiores valores e o baseado no cálculo da flecha os menores.

O método recomendado para a determinação da altura das lajes é o apresentado no capítulo 4.

EXERCÍCIO 7.6:

Para as lajes L101=L102=L109=L111 da 2a opção de fôrma do projeto em estudo, determinar as suas alturas pelos quatro métodos analisados. A Tabela 7.4 apresenta a comparação dos resultados.

Tabela 7.4 – Resultados para as alturas das lajes L101=L102=L109=L111 da 2a opção de fôrma do projeto em estudo.

Método NBR 6118 (1978) Cap. 4 Prático Flecha

hlaje (cm) 15 13 13 12

7.5. CARREGAMENTOS DAS LAJES PARA O PROJETO EM ESTUDO

Para a 2a opção de fôrma, já foram determinadas as alturas de pré-dimensionamento das lajes no capítulo 4. Para essas alturas, determinam-se os carregamentos de cada uma das lajes, como está apresentado a seguir.

Page 149: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

141

L101=L102=L109=L111

285

275

560

432

Carregamentos

pp = 0,13 x 25 = 3,25kN/m2

rev. = 1kN/m2

Par. = (0,15 x 2,57 x 6,67) x 15 / (4,32 x 5,6) = 1,6kN/m2

g = 5,85kN/m2

q = 1,50kN/m2

p = 7,35kN/m2

L103=L110

276

275

pp = 0,07 x 25 = 1,75kN/m2

rev. = 1kN/m2

Par. = (0,25 x 2,63 x 2,6) x 15 / (2,75 x 2,76) = 3,38kN/m2

g = 6,13kN/m2

q = 1,50kN/m2

p = 7,63kN/m2

L104=L105=L107=L108

460

463

570

107

pp = 0,11 x 25 = 2,75kN/m2

rev. = 1kN/m2

Par. = (0,15 x 2,59 x 6,95) x 15 / (5,7 x 4,6)

Par. = 1,54kN/m2

g = 5,29kN/m2

q = 2,00kN/m2

p = 7,29kN/m2

L106

350

366

pp = 0,10 x 25 = 2,50kN/m2

rev. = 1kN/m2

Par. = (0,15 x 2,6 x 4,86) x 15 / (3,5 x 3,66) = 2,22kN/m2

g = 5,72kN/m2

q = 1,50kN/m2

p = 7,22kN/m2

De posse do carregamento e sistema estático das lajes, pode-se partir para o cálculo dos esforços e o dimensionamento.

Page 150: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

142

A Figura 7.21 apresenta um esquema das lajes do pavimento tipo para a 2a opção de fôrma, indicando os seus carregamentos para as alturas calculadas utilizando o método de pré-dimensionamento apresentado no capítulo 4, a altura encontrada para este método e a altura encontrada pelo método baseado no cálculo das flechas (valor entre parênteses).

p=7,63kN/m2

p=7,35kN/m2p=7,35kN/m2

p=7,29kN/m2

p=7,22kN/m2

L101

h = 13cm(h = 12cm)

L102

h = 13cm(h = 12cm)

L103

h = 7cm(h = 7cm)

L104

h = 11cm(h = 11cm)

L106

h = 10cm(h = 8cm)

L105

p=7,29kN/m

(h = 11cm)h = 11cm

2

L107

p=7,29kN/m

(h = 11cm)h = 11cm

2

L108

p=7,29kN/m

(h = 11cm)h = 11cm

2

p=7,35kN/m

(h = 12cm)h = 13cm

L109

2 p=7,35kN/m

(h = 12cm)h = 13cm

L111

2

L110

p=7,63kN/m2

h = 7cm(h = 7cm)

Figura 7.21 – Esquema das lajes do pavimento tipo para a 2a opção de fôrma com suas alturas e carregamentos.

Page 151: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

143

7.6. DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS LAJES

Antes de fazer-se o dimensionamento propriamente dito para as lajes da 2a opção de fôrma, far-se-á o cálculo dos esforços nas lajes, utilizando as tabelas de Czerny.

7.6.1. Cálculo das reações e momentos atuantes

A Figura 7.22 apresenta os tipos de ocorrência, para as tabelas de Czerny, de cada uma das lajes em estudo.

L110 L111L109

2

7,35kN/m2

Tipo 2ATipo 5A

7,63kN/m

7,35kN/m2

Tipo 2A

L108L107

7,29kN/m

Tipo 3

2 7,29kN/m2

Tipo 3

Tipo 4A

7,22kN/m2

L106

L105L104

27,29kN/m

Tipo 3

27,29kN/m

Tipo 3

27,63kN/m

Tipo 5A

7,35kN/m2

Tipo 2A

L103 27,35kN/m

Tipo 2A

L101 L102

Figura 7.22 – Tipos de ocorrência e carregamento das lajes do pavimento tipo para a 2a opção de fôrma.

Page 152: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

144

A seguir são apresentados os cálculos dos esforços para cada um dos grupos de laje.

L101 = L102 = L109 = L111

L101

Tipo 2A

7,35kN/m2

l=5

,60m

y

xl =4,32m

λ = ly / lx = 5,60 / 4,32 = 1,30

=4,32mlx

L101

l=5

,60m

y 6,32

7,86

13,62

4,62

7,59 7,59

-14,

22

7,86kN/m5,60x7,35x0,191l.p.VR0,191V

13,62kN/m5,60x7,35x0,331l.p.VR0,331V7,59kN/m4,32x7,35x0,239l.p.VR0,239V

14,29kN.m9,6

4,32x7,35n

l.pX9,6n

4,62kN.m29,7

4,32x7,35m

l.pM29,7m

6,32kN.m21,7

4,32x7,35m

l.pM21,7m

yy2y2y2

yy1y1y1

xxxx

2

y

2x

yy

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

===→=

===→====→=

−=−=−=→=

===→=

===→=

L103 = L110

7,63kN/m

Tipo 5A

L103

2

=2,7

5ml x

ly =2,76m

λ = ly / lx = 2,76 / 2,75 = 1,00

=2,76m

=2,7

5m

l

xl

y

L103

1,31

1,03

-3,5

6

-3,17 -3,17

l

5,26=2,7

5m

y

5,26

l

x

=2,76m

6,36

L1033,02

Momentos Reações

m.kN17,32,18

75,2x63,7n

l.pX2,18n

m.kN56,32,16

75,2x63,7n

l.pX2,16n

m.kN03,19,55

75,2x63,7m

l.pM9,55m

m.kN31,11,44

75,2x63,7m

l.pM1,44m

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

−=−=−=→=

−=−=−=→=

===→=

===→=

Page 153: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

145

m/kN02,375,2x63,7x144,0l.p.VR144,0V

m/kN26,576,2x63,7x250,0l.p.VR250,0Vm/kN36,675,2x63,7x303,0l.p.VR303,0V

x2x2x2x

yyyy

x1x1x1x

===→=

===→====→=

L104 = L105 = L107 = L108

=5,70myl

7,29kN/mxl=4

,60m Tipo 3

2

L104

λ = ly / lx = 5,70 / 4,60 = 1,24

7,31

=5,70myl

=4,6

0ml x

L104

3,386,11 5,51

10,5

5

12,78

-13,

90 -11,96

11,96kN.m12,9

4,60x7,29n

l.pX12,9n

13,90kN.m11,1

4,60x7,29n

l.pX11,1n

3,38kN.m45,6

4,60x7,29m

l.pM45,6m

5,51kN.m28

4,60x7,29m

l.pM28,0m

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

−=−=−=→=

−=−=−=→=

===→=

===→=

6,11kN/m5,70x7,29x0,147l.p.VR0,147V7,31kN/m4,60x7,29x0,218l.p.VR0,218V

10,55kN/m5,70x7,29x0,254l.p.VR0,254V12,78kN/m4,60x7,29x0,381l.p.VR0,381V

yy2y2y2

xx2x2x2

yy1y1y1

xx1x1x1

===→====→=

===→====→=

L106

7,22kN/m

=3,50mlx

=3,6

6ml y

Tipo 4A

2

L106

λ = ly / lx = 3,66 / 3,50 = 1,05

yl=3

,66m

-6,6

0

9,22

lx =3,50m

1,692,62

3,82 3,

82-6

,609,22

L106

Page 154: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

146

m/kN22,966,3x22,7x349,0l.p.VR349,0Vm/kN82,350,3x22,7x151,0l.p.VR151,0V

m.kN60,64,13

50,3x22,7n

l.pX4,13n

m.kN62,27,33

50,3x22,7m

l.pM7,33m

m.kN69,12,52

50,3x22,7m

l.pM2,52m

yyyy

xxxx

2

y

2x

yy

2

y

2x

yy

2

x

2x

xx

===→====→=

−=−=−=→=

===→=

===→=

O esquema da Figura 7.23 apresenta a metade do pavimento tipo com todos os esforços indicados.

L107 L108

L106

L104

L101

L103

L105

L102

7,31 7,31

10,5

5

10,5

5

6,11 6,11

3,82

-6,6

0 2,62

1,69

3,82

9,22

-6,6

09,22

7,31

6,11

-13,

90 12,78

5,51

3,38

10,5

5

-11,96

-13,

90 12,78

5,51

3,38

7,31

-11,96

6,11

10,5

50

0

-14,

29

-14,

29

-13,

90

13,62 13,626,36

7,86 7,86

7,59

7,59

7,59

7,59

4,62

6,324,

62

6,32

-3,17 -3,170 03,02

1,31

1,03

5,26 5,26

-3,5

6

Figura 7.23 – Momentos fletores e reações nas lajes da 2a opção de fôrma para o pavimento tipo.

Page 155: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

147

7.6.2. Cálculo dos momentos finais

Como pode ser observado na Figura 7.23, sobre as vigas de apoio entre duas lajes, tem-se dois momentos diferentes, um de cada uma das lajes, pois elas foram calculadas individualmente. É necessário, portanto, determinar-se qual o momento negativo final de cálculo (Me

f), que é baseado no equilíbrio entre os dois momentos existentes. Para tanto, utiliza-se o seguinte procedimento:

>

+≥

)MM(M8,02

MMM

e2

e1

e1

e2

e1

ef

A NBR 6118 (2004) permite que se utilize o maior entre os dois momentos em alguns casos.

Após o equilíbrio dos momentos negativos, é necessário se fazer a correção dos momentos positivos nos vão onde ocorreu a redução do valor no engaste. Quando ocorre a diminuição do momento fletor no apoio, há um acréscimo do momento fletor no meio do vão. Por outro lado, quando há um aumento do momento de engaste, há uma redução do momento no meio do vão (∆f), como indica a Figura 7.24.

ma c

e

bd f

1 2m3m

1f

f2f3

f4

l1 2l 3l 4l

f∆

Figura 7.24 – Correção do momento positivo em função da redução do momento negativo.

Para o cálculo dos momentos fletores positivos corrigidos, tem-se o seguinte:

2)fm(

MM

2)me(

2)dm(

MM

2)mc(

2)ma(

MM

2)bm(

MM

34i

4F

323i

3F

212i

2F

11i

1F

−−=

−+

−−=

−+

−+=

−−=

A seguir estão apresentadas as correções para os momentos fletores da 2a opção de fôrma do pavimento tipo em análise.

Quando há a redução, esta é desprezada a favor da segurança.

Page 156: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

148

Equilíbrio dos momentos negativos Correção dos momentos positivos

Entre L101 e L103:

=

=+

≥54,217,3x8,0

59,12

17,30X f

Entre L101 e L104:

=

=+

≥11,4314,29x0,8

14,102

14,2913,90Xf

Entre L103 e L104:

=

=+

≥12,1190,13x8,0

73,82

56,390,13Xf

Entre L104 e L106:

=

=+

≥28,560,6x8,0

30,32

60,60Xf

Entre L104 e L105: Já estão em equilíbrio

L101:

4,722

10,1429,414,62My =

+=

L103:

66,12x2

54,217,303,1M y =

+=

L104:

90,62

12,1190,1351,5Mx =

+=

L106:

94,32x2

28,560,662,2M y =

+=

A Figura 7.25 apresenta o esquema do pavimento tipo com os momentos que foram modificados, e a Figura 7.26 os momentos finais para o pavimento.

-13,

90

-13,

90L105

-13,

90L104

1,69

L107

-6,6

00

2,62

-11,96

L106

5,51

3,38

-6,6

00

-11,96

3,385,51

L103-3,17

6,32

-14,

29

0

4,62

L101

-14,

291,31

1,03

-3,17 0

L102

6,324,62

L108

-3,5

6

Figura 7.25 – Momentos fletores a serem modificados para o pavimento tipo.

Page 157: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

149

-5,2

8

-5,2

8

L107 L108

3,94

1,69

L106

L102L101

3,38

-14,

10

6,90

L104

-11,96

6,90

3,38-1

1,12 L105

-14,

10

-2,54

4,72

6,326,32

1,31

1,66

L103 -2,54

4,72

Figura 7.26 – Momentos fletores finais, já equilibrados e corrigidos, para o pavimento tipo.

7.6.3. Dimensionamento e detalhamento das armaduras

Após a determinação dos esforços solicitantes nas lajes, parte-se para o seu dimensionamento. A partir dos momentos fletores encontrados, verifica-se a seção de concreto e determina-se a área de aço necessária para atendê- lo.

Para o dimensionamento para o E.L.U., primeiro, precisa-se determinar qual é a altura útil (d) da laje. Vale notar que, de maneira geral, as lajes possuem armaduras nas duas direções principais, formando uma malha de duas camadas. Isso quer dizer que se tem duas alturas úteis diferentes: uma para a 1a camada e outra para a 2a camada. Esse fato está apresentado na Figura 7.27. Para evitar erros na execução, admite-se uma altura útil referente às barras da 2a camada.

Além disso, é necessário calcular qual é a área de aço mínima que deverá ser colocada nas lajes. Segundo a NBR 6118 (2003), para as lajes armadas em duas direções, tem-se:

• Para as armaduras negativas: ρs ≥ ρmín;

• Para as armaduras positivas: ρs ≥ 0,67 ρmín,

onde os valores de ρmín dependem do valor do fck, e se encontram na Tabela XII do Anexo A.

Page 158: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

150

d' =cob.+( /2) d =h-d'

h

cob.

φ

d'

1

1

d'2

d2 φ1 cam.a

a2 cam.

1 cam.a1 1 1

φd' =cob.+( + /2) d =h-d'2 1 cam.a 22aφ2 cam.

Figura 7.27 – Corte na laje, indicando as duas camadas de armaduras.

Outro aspecto fundamental no dimensionamento das lajes, é saber qual o diâmetro máximo da armadura que pode ser usado. Segundo a NBR 6118 (2004), ele não pode ultrapassar o valor de 1/8 da altura da laje, ou seja: φmáx ≤ h/8. A prática recomenda que o diâmetro mínimo a ser usado nas armaduras para os momentos negativos seja de φmín≥6,3mm.

Para o nosso projeto, serão adotados os seguintes dados: fck = 25MPa; aço CA 50 A; cobrimento = 20mm; φmáx = 10mm (para as lajes com h > 7cm); e φmáx = 8mm (para as lajes com h = 7cm). Logo, admitindo a altura útil referente à segunda camada, tem-se que:

d’ = 2,0 + 1 + 0,5 = 3,5cm ⇒ d = h – 3,5 (para lajes com h > 7cm)

d’ = 2,0 + 0,8 + 0,4 = 3,2cm ⇒ d = h – 3,2 (para lajes com h = 7cm)

Para a verificação da seção de concreto e a determinação da área de aço necessária, será utilizada a tabela para flexão simples em seção retangular apresentada em PINHEIRO (1993), que se encontra como Tabela XIII no Anexo A. A Tabela 7.5 apresenta os resultados do dimensionamento para o E.L.U. das lajes da 2a opção de fôrma do projeto em estudo.

Tabela 7.5 – Dimensionamento para o E.L.U. das lajes em estudo.

Mk (kN.m) hinicial (cm) dinicial (cm) As,mín (cm2) Kc Ks As (cm2) -14,10 11 7,5 1,65 2,85 0,027 7,11-11,96 11 7,5 1,65 3,36 0,026 5,80-11,12 7 3,8 1,05 0,93 (0,031) (12,70)

6,90 11 7,5 1,11 5,82 0,025 3,226,32 13 9,5 1,31 10,20 0,024 2,24

-5,28 10 6,5 1,50 5,72 0,025 2,844,72 13 9,5 1,31 13,66 0,024 1,673,94 10 6,5 1,01 7,66 0,024 2,043,38 11 7,5 1,11 11,89 0,024 1,51

-2,54 7 3,8 1,05 4,06 0,025 2,341,69 10 6,5 1,01 17,86 0,024 0,871,66 7 3,8 0,70 6,21 0,024 1,531,31 7 3,8 0,70 7,87 0,024 1,16

Page 159: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

151

Percebe-se que para o momento negativo de Mk = -11,12kN.m, não foi encontrado um valor satisfatório na Tabela XIII, que posicionasse a peça no domínio 3 ou no 2, logo temos que aumentar a altura dessa laje. Note também que a única área de aço que ficou abaixo da mínima foi a calculada para o momento de Mk = 1,69kN.m (As,mín=1,01cm2>As,calc=0,87cm2), portanto, para esse esforço solicitante será utilizada a área de aço mínima.

Inicialmente, será determinada a armadura para todas as lajes, e depois serão feitas as correções necessárias, inclusive para as lajes L103 e L110.

Partindo-se das áreas de aço calculadas, temos que determinar qual o melhor arranjo de armadura a ser utilizado na laje. Para isso a NBR 6118 (2004) define alguns critérios básicos de detalhamento. São eles:

• As armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu posicionamento durante a concretagem;

• Para as armaduras principais: smáx ≤ 2 h; 20cm;

• Para as armaduras secundárias: smáx ≤ 33cm; • As,secundária ≥ 20% As,principal.

Além dessas, a prática recomenda que o espaçamento das barras esteja dentro dos seguintes limites: 10cm ≤ s ≤ 20cm. Porém, permite-se utilizar espaçamentos de até 7cm.

Baseado nas recomendações acima, vamos determinar o melhor arranjo para as áreas de aço calculadas. A Tabela 7.6 apresenta os resultados.

Tabela 7.6 – Determinação dos arranjos das armaduras.

Mk (kN.m)

hinicial (cm)

As,min (cm2)

As (cm2) smáx (cm)

Armadura

-14,10 11 1,65 7,11 20 φ10c.11 ou φ8c.7 -11,96 11 1,65 5,80 20 φ10c.13 ou φ8c.8 -11,12 7 1,05 (12,70) 14 Não é possível nenhum arranjo!

6,90 11 1,11 3,22 20 φ8c.15 ou φ 6,3c.9 6,32 13 1,31 2,24 20 φ6,3c.14 ou φ5c.8

-5,28 10 1,5 2,84 20 φ8c.17 ou φ6,3c.11 4,72 13 1,31 1,67 20 φ6,3c.18 ou φ5c.11 3,94 10 1,01 2,04 20 φ6,3c.15 ou φ5c.9 3,38 11 1,11 1,51 20 φ6,3c.20 ou φ5c.13

-2,54 7 1,05 2,34 14 φ6,3c.13 1,69 10 1,01 0,87 20 φ5c.19 1,66 7 0,7 1,53 14 φ5c.13 1,31 7 0,7 1,16 14 φ5c.17 ⇒ φ5c.14

Page 160: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

152

Percebe-se que para uma mesma área de aço, pode-se ter diversas combinações de armadura. A escolha da mais indicada é baseada no espaçamento mais adequado, ou seja, entre 7cm e o espaçamento máximo para cada laje. Porém, preferencialmente, deve-se utilizar s ≥ 10cm. Note, também, que para as áreas de aço das lajes L103 e L110, com h = 7cm, o espaçamento máximo foi de s = 14cm, logo o arranjo das armaduras contemplou esse limite.

Correção das alturas das lajes

Como foi verificado, a altura das lajes L103 e L110 é insuficiente para resistir ao momento negativo. Logo, vamos aumentar a altura dessas lajes. Por outro lado, a altura das lajes L101, L102, L109 e L111 está sobrando, ou seja, pode-se reduzir para h=11cm. Portanto, vamos otimizar o pavimento para h=11cm em todas as lajes. Vale lembrar que com a redução da altura das lajes, torna-se imprescindível para elas a verificação da flecha. A Figura 7.28 apresenta o pavimento otimizado.

L110L109

h = 11cm h = 11cm

h = 11cmp=8,58kN/m2

L111

2p=7,29kN/mp=7,29kN/m

h = 11cm

p=7,29kN/m

h = 11cm

L107

h = 11cm

h = 11cm

L108

2 p=7,29kN/m2

p=7,46kN/m2

L106

h = 11cm

h = 11cm

p=6,86kN/m

L104

L101

p=8,58kN/m

2

L105

h = 11cm

L1032

2

h = 11cm

L102

p=6,86kN/m2

p=6,86kN/m2 p=6,86kN/m2

Figura 7.28 – Pavimento tipo com a otimização das lajes.

Page 161: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

153

Após a otimização, temos que fazer o seguinte:

1. Recorrigir os carregamentos das lajes, pois mudam o peso próprio e o peso das paredes:

• L101 = L102 = L109 = L111 ⇒ p = 6,86 kN/m2

• L103 = L110 ⇒ p = 8,58 kN/m2

• L104 = L105 = L107 = L108 ⇒ p = 7,29 kN/m2 (não houve mudança)

• L106 ⇒ p = 7,46 kN/m2

2. Recalcular os esforços;

3. Refazer o equilíbrio dos momentos negativos e a correção dos momentos positivos;

4. Recalcular as armaduras;

5. Detalhar o pavimento

A Figura 7.29 apresenta os novos esforços no pavimento e a Figura 7.30 apresenta os esforços finais a serem dimensionados, após o equilíbrio dos momentos negativos e a respectiva correção dos positivos.

-13,

90 12,78

-13,

9012,78

-13,

90 L105L104

3,94

6,31

L107

10,5

5

10,5

5

9,531,75

-6,8

1

7,31 03,

94 2,71

L108 7,31

6,31

10,5

5

10,5

5

9,53

L106

7,31

-6,8

10 7,31

-11,96

3,385,51

-11,96

5,51

3,38

6,31

6,31

5,90

7,34

12,72-13,

34

7,08 4,

31

L101

3,405,90

1,47

-4,0

1

12,72

0 -3,57

1,16

-13,

34

7,16

0-3,57

5,93

7,08

L103

7,34

5,93

7,08

4,31

L1027,

08

Figura 7.29 – Esforços no pavimento otimizado.

Page 162: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

154

-11,

12

-13,

62

-13,

62 L105L104

3,38

L107

4,07

-5,4

5

L108

1,75

L106

-5,4

5

6,96

3,38

-11,96

6,96

4,31

L101

5,90L103-2,86

1,871,47

-2,86

4,31

L102

5,90

-11,

12

-11,96

Figura 7.30 – Momentos fletores finais no pavimento otimizado.

A Tabela 7.7 apresenta o dimensionamento e as armaduras finais para o pavimento. Para os cálculos, todas as lajes têm h=11cm, d=7,5cm, φmáx=10mm e smáx=20cm.

Tabela 7.7 – Armaduras finais para o pavimento otimizado.

Mk (kN.m) As,mín (cm2) Kc Ks As (cm2) Armadura -13,62 1,65 2,95 0,026 6,61 φ10 c. 12 -11,96 1,65 3,36 0,026 5,81 φ10 c. 13 -11,12 1,65 3,61 0,026 5,40 φ10 c. 14

6,96 1,11 5,77 0,025 3,25 φ8 c. 15 5,90 1,11 6,81 0,024 2,64 φ6,3 c. 11

-5,45 1,65 7,37 0,024 2,44 φ6,3 c. 12 4,31 1,11 9,32 0,024 1,93 φ6,3 c. 16 4,07 1,11 9,87 0,024 1,82 φ6,3 c. 17 3,38 1,11 11,89 0,024 1,51 φ5 c. 13

-2,86 1,65 14,05 0,024 1,28 φ6,3 c. 19 1,87 1,11 21,49 0,023 0,80 φ5 c. 18 1,75 1,11 22,96 0,023 0,75 φ5 c. 18 1,47 1,11 27,33 0,023 0,63 φ5 c. 18

Page 163: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

155

A Figura 7.31 apresenta o pavimento tipo com a posição das armaduras.

L107

L104

φ6,3c.11φ6,3

c.16

L101

L108

L106

L105

L103

L102

φ6,3c.11

φ5c.18

φ5c.13 φ10c.13

φ6,3c.19

φ6,3c.19

φ5c.13

φ5c.18

φ6,3

c.16

φ5c.

18

φ10c

.12

φ10c

.14

φ10c

.12

φ8c.

15

φ8c.

15

φ6,3

c.12

φ6,3

c.17

φ6,3

c.12

φ10c

.14

φ10c.13

Figura 7.31 – Posicionamento das armaduras positivas e negativas do pavimento tipo.

Detalhamento das lajes

A partir das áreas de aço calculadas, e respectivos arranjos indicados na Figura 7.31, deve-se detalhar as armaduras, ou seja, indicar o desenho de como essas armaduras ficarão posicionadas no pavimento. Para isto, algumas regras devem ser atendidas. Elas são baseadas tanto na NBR 6118 (2004) como na experiência dos projetistas. Segundo GIONGO (1996), “A distribuição das armaduras deve ser feita de modo a cobrir a superfície onde atuam os momentos fletores”. Essa afirmação vale tanto para as armaduras positivas (colocadas próximas à face inferior da laje) como para as negativas (colocadas próximas à face superior da laje). Entretanto, o detalhamento das armaduras positivas e o das negativas seguem alguns critérios distintos que visam simplificar o projeto.

Para o detalhamento das armaduras positivas costuma-se reduzir as áreas de aço nas proximidades dos apoios (armaduras alternadas), visto que a área de aço calculada foi determinada para o momento fletor máximo, que fica na região central da laje. Segundo GIONGO (1996), pode-se utilizar as reduções indicadas na Figura 7.32, onde já estão

Page 164: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

156

considerados os comprimentos totais levando em conta o comprimento de aderência. De maneira geral, pode-se utilizar, para todos os casos abaixo, a redução indicada no primeiro esquema (0,15 lx).

lx

0,15

ly

lxlx

lx 0,15 xl

0,15 xl

0,15 xl

0,15 xl

0,15 xl

0,12 xl0,33 xl 0,30 xl

0,30 lx

0,30 lx

0,30 lx

Figura 7.32 - Distribuição otimizada de armadura (GIONGO, 1996).

Caso não se queira fazer a redução das áreas de aço, é só colocar as armaduras de eixo de apoio a eixo de apoio, como mostra a Figura 7.33, e que também já considera o comprimento de ancoragem.

yl

lx

Figura 7.33 - Detalhamento da armadura positiva direta.

Para as armaduras negativas sobre os apoios extremos e intermediários, a NBR 6118 (1978) permitia que as armaduras levassem em conta um diagrama triangular de momentos fletores sobre os apoios e que se estendesse de mais 10φ para cada lado, resultando no esquema da Figura 7.34a. Também para essas armaduras, pode-se usar o detalhamento alternado, como indica a Figura 7.34b. Ou seja, para as armaduras negativas, o comprimento total, já levando em conta a ancoragem, será de:

• Direta: l = 2 x 0,25 l2 + 2 x 10φ + 2 x r

• Alternada: l = 0,25 l2 + 0,125 l2 + 2 x 10φ + 2 x r

Page 165: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

157

Onde r é o comprimento vertical indicado na Figura 7.35.

l1

2l

3l

1l l32l

0,25

0,125

l2

l2

> >

0,25 2l

r

10φ 10φ10φ

r

r r

r r

l

l

l

(a) armadura direta

(a) armadura alternada

Figura 7.34 – Distribuição das armaduras negativas (adaptada de GIONGO, 1996).

1 cam.v=h-[2.cob.+ + ] r=v+φ a φ2 cam.a

φ

cob.

1 cam.2 cam.a

a

1 cam.a

a2 cam.cob.

v

φ2 cam.a

Figura 7.35 – Determinação do ramo vertical da armadura negativa.

Após a determinação dos comprimentos totais das armaduras, deve-se calcular a quantidade de cada uma delas. Para isso, divide-se o vão interno da laje, na direção perpendicular à armadura, e soma-se mais um para fazer o fechamento dos intervalos dos espaçamentos. A Figura 7.36 apresenta um esquema do cálculo das quantidades de barras. Esse procedimento vale para as armaduras positivas e negativas.

(b)

Page 166: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

158

2l

1l l3

l2,int

l1,int l3,intb b b

b

b

n =( ) + 1xl2,int

sn =( ) + 1l

y s1,int

n y

nx

Figura 7.36 – Determinação da quantidade de barras da armadura das lajes.

Utilizando-se dos conceitos apresentados anteriormente, foram determinadas as armaduras para o pavimento tipo em estudo, cujos cálculos se encontram a seguir.

As Figuras 7.37 e 7.38 apresentam os detalhamentos das armaduras positivas e negativas, respectivamente, para o pavimento em estudo.

Após o detalhamento do pavimento, temos que calcular o quadro de armaduras (Tabela 7.8) e o quadro resumo (Tabela 7.9) para o aço, assim como a taxa de armadura (T.A.) da laje. Esses indicadores são de extrema importância para o construtor da edificação.

• Armaduras positivas:

L101=L102=L109=L111

27116420n

560cm

51111548n

432cm

2

2

1

1

=+=

=

=+=

=

l

l

2l=5

,60m

l1 =4,32m12

12

1212

548

420

N1 - 51φ6,3c.11 - 432

N6

- 27φ

6,3c

.16

- 560

Page 167: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

159

L103=L110

16118264n

275cm

16118263n

276cm

2

2

1

1

=+=

=

=+=

=

l

l

12

12264 12

N8

- 16φ

5c.1

8 - 2

75

2l=2

,75m

263

N2 - 16φ5c.18 - 276

=2,76ml112

L104=L105=L107=L108

38115558n

460cm

35113448n

570cm

2

2

1

1

=+=

=

=+=

=

l

l

12

12558 12

N7

- 38φ

8c.1

5 - 4

60

2l=4

,60m

448

N3 - 35φ5c.13 - 570

=5,70ml112

L106

9117138n

203cm26155354

13117

138)(338n

cm663

10118

155n

204cm26138338

12118

155)(354n

350cm

2b

2b

2a

2a

1b

1b

1a

1a

=+=

=−+−=

=+−

=

=

=+=

=−+−=

=+−

=

=

l

l

l

l

12

12338 12

N10

- 13

φ6,3

c.17

- 36

6

2l=3

,66m

354

N5 - 12φ5c.18 - 350

=3,50ml1

12N4 - 10φ5c.18 - 204

N9

- 9φ6

,3c.

17 -

203

138

155

Page 168: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

160

• Armaduras negativas:

L101 e L104 N

12 -

36φ1

0c.1

2 -

262

125

625

06

36112420

n

cm610,2.211rcm12510.25,0

cm101.1010

432cm115460.25,0460

vãosmenores

=+=

=−−==φ+

==φ =→

=

l

L103 e L104

125

N12

- 2

0φ10

c.14

- 2

626

250

6

10114126

n

cm610,2.211rcm12510.25,0

cm101.1010

275cm115460.25,0460

vãosmenores

=+=

=−−==φ+

==φ =→

=

l

Page 169: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

161

L101 e L103

N11 - 15φ6,3c.19 - 2426

115

15 N11 c.19

230 6

15119263n

cm637,663,00,2.211rcm11505,11410.25,0

cm3,663,0.1010275

cm108432.25,0432vãosmenores

=+=

≈→=−−=→=φ+

==φ =→

=

l

L104 e L105

6

125

N12 - 36φ10c.13 - 262250 6

36113448n

cm610,2.211rcm12510.25,0

cm101.1010460

cm115460.25,0460vãosmenores

=+=

=−−==φ+

==φ =→

=

l

L104 e L106

18 N

13 c

.12

N13

- 29φ6

,3c.

12 -

262

125

625

06

29112338n

18112200n

cm637,663,00,2.211rcm12530,12110.25,0

cm3,663,0.1010350

cm115460.25,0460vãosmenores

2

1

=+=

=+=

≈→=−−=→=φ+

==φ =→

=

l

Page 170: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

162

N6

- 27φ

6,3c

.16

- 560

N1 - 51φ6,3c.11 - 432 51 N1 c.11

27 N

6 c.

16

51 N1 c.11

27 N

6 c.

16

51 N1 c.11

27 N

6 c.

16

N9

- 9φ6

,3c.

17 -

203

N10

- 13

φ6,3

c.17

- 36

6

N5 - 12φ5c.18 - 350

N4 - 10φ5c.18 - 204N7

- 38φ

8c.1

5 - 4

60

N3 - 35φ5c.13 - 570

N8

- 16φ

5c.1

8 - 2

75

N2 - 16φ5c.18 - 276

16 N

8 c.

18

16 N2 c.18

35 N3 13

38 N

7 c.

15

35 N3 c.13

38 N

7 c.

15

38 N

7 c.

15

35 N3 c.13

Figura 7.37 – Detalhamento da armadura positiva.

Page 171: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

163

N13

- 29φ6

,3c.

12 -

262

20 N

12 c

.14

36 N

12 c

.12

15 N11 c.19

36 N

12 c

.12

15 N11 c.19

36 N12 c.13

620

N12

c.1

4

36 N

12 c

.12

36 N

12 c

.12

18 N

13 c

.12

250

125

6

2506

125

N12 - 36φ10c.13 - 2626

15 N11 c.19N11 - 15φ6,3c.19 - 2426

115

230 6

Figura 7.38 – Detalhamento da armadura negativa.

Page 172: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

164

Tabela 7.8 – Quadro de armaduras para as lajes do pavimento tipo.

Comprimento N φ (mm) Quant.

Unit. (m) Total (m)

1 6,3 204 4,32 881,28

2 5 32 2,76 88,32

3 5 140 5,70 798,00

4 5 10 2,04 20,40

5 5 12 3,50 42,00

6 6,3 108 5,60 604,80

7 8 152 4,60 699,20

8 5 32 2,75 88,00

9 6,3 9 2,03 18,27

10 6,3 13 3,66 47,58

11 6,3 60 2,42 145,20

12 10 256 2,62 670,72

13 6,3 47 2,62 123,14

Tabela 7.9 – Quadro resumo de aço para as lajes do pavimento tipo.

φ (mm) Comp. (m) Peso (kg)

5 1036,72 166

6,3 1820,27 455

8 699,20 280

10 670,72 423

TOTAL 1324

Para o cálculo da taxa de armadura temos de dividir o peso total de aço pelo volume total de concreto, como está indicado a seguir:

3c

3

c

25,02mx0,111,38x1,55]3,66x3,54x4,6x5,7062x2,75x2,760[4x4,32x5,V

kg/m91,2525,021324

V1324

concretodeVolumeaçodePesoT.A.

=−+++=

====

Dimensionamento e detalhamento das lajes corredor

Para as lajes corredor, o cálculo dos esforços é feito admitindo-se uma viga na direção menor, e determinam-se os valores para os momentos fletores e as reações a partir das expressões apresentadas na Tabela 7.2. Uma vez calculados os esforços, as áreas de aço são encontradas com a ajuda da Tabela XIII, do Anexo A.

Page 173: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

165

Para o detalhamento dessas lajes, a armadura mínima, segundo a NBR 6118 (2004), é dada por:

• Para as armaduras negativas: ρs ≥ ρmín;

• Para as armaduras positivas principais (na direção menor): ρs ≥ ρmín;

• Para as armaduras positivas secundárias (na direção maior):

• ρs ≥ 0,5 ρmín;

• As/s≥ 20% da armadura principal;

• As/s≥ 0,9cm2/cm.

7.7. VERIFICAÇÃO AO ESFORÇO CORTANTE

Segundo a NBR 6118 (2004), “as lajes maciças ou nervuradas, que atendem aos requisitos da norma, podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a força cortante de cálculo obedecer à expressão”:

VSd ≤ VRd1

onde: VSd = força cortante solicitante de cálculo;

VRd1 = força cortante resistente de cálculo, relativa a elementos sem armadura para força cortante.

“A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por”:

VRd1 = [τRd . κ (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp ] bw . d

onde: τrd = 0,25 fctd

fctd = fctk,inf/ γc

02,0quemaiornão,d.b

A

w

1s1 =ρ

σcp = NSd/ Ac

κ é um coeficiente que tem os seguintes valores:

- para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: κ = |1|;

- para os demais casos: κ = |1,6 – d|, não menor que |1|, com d em metros;

onde: fctd é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento;

As1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que (d + lb,nec) além da seção considerada;

bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d;

NSd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva).

Page 174: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

166

EXERCÍCIO 7.7:

Detalhar as lajes para a 1ª opção de fôrma do projeto em estudo.

EXERCÍCIO 7.8:

Para as lajes da 2ª opção de fôrma, verificar o cisalhamento.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABCP; ABESC; IBRACON; IBTS (2002) – Tecnologia do concreto armado: em notícias. Informativo Técnico, ano 5, n. 13, julho 2002.

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (1978) – Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978.

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

GIONGO, J. S. (1996) – Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. São Carlos: EESC-USP, 1996.

MACGREGOR, J. G. (1988) – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988.

PINHEIRO, L. M. (1993). Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos: EESC-USP, 1993.

POLILLO, A. (1981) – Dimensionamento de concreto armado. Vol. 2, 4a ed., Livraria Nobel S. A., São Paulo, 1981.

ROCHA, A. M. (1987) – Concreto armado. São Paulo, Vol. 1, 1987.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002.

CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993.

FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. (1988) – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 1988.

Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

FUSCO, P. B. (1995) – Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, PINI, 1995.

SÜSSEKIND, J. C. (1981) – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1 e 2, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.

Page 175: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

PARTE III

Vigas

Page 176: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

168

8. VIGAS

8.1. INTRODUÇÃO

As vigas são elementos lineares, em que uma das dimensões, que é o comprimento (vão l), é bem maior que as outras duas (largura bw e altura h), como mostra a Figura 8.1.

l

b

h

w

l w>> b , h

Figura 8.1 – Dimensões das vigas.

De maneira geral, as vigas apresentam a altura (h) maior que a largura (bw), em que uma boa razão entre elas é entre: 2 ≤ (h/bw) ≤ 5. As vigas com h ≤ bw são chamadas de vigas chatas, e são mais comuns em algumas lajes planas.

Em relação à razão l /h, a NBR 6118 (2004) estabelece que: “As prescrições que seguem referem-se a vigas isostáticas com relação l /h ≥ 3,0 e a vigas contínuas com relação l /h ≥ 2,0, em que l é o comprimento do vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso do balanço) e h a altura total da viga”. As vigas com l /h menores que as citadas na NBR 6118 (2004) são chamadas de vigas-parede, e apresentam um dimensionamento específico para elas. Para o nosso curso, não serão estudadas nem as vigas chatas nem as vigas- parede.

Como já foi citado no Capítulo 4, para o elemento ser considerado como viga, a largura tem que ser maior ou igual a 12cm (bw ≥ 12) e a altura maior ou igual a 30cm (h ≥ 30). Para a determinação do vão efetivo (l ef) das vigas, a NBR 6118 (2004) estabelece que ele pode ser calculado da seguinte maneira (Figura 8.2):

→++=

h3,02

ta

h3,02

ta

comaa2

2

1

1

210ef ll

As vigas também podem ter outros tipos de classificações. São elas:

• Quanto à fabricação Moldada in loco (Figura 8.3); Pré-moldada (Figura 8.4).

Page 177: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

169

h

t1 t2

l0 l0

a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário

Figura 8.2 – Vão efetivo (NBR 6118, 2004).

Retangular (Figura 8.5a); Seção T (Figura 8.5b);

• Quanto à forma da seção Duplo T, ou π (Figura 8.5c); Viga caixão (Figura 8.5d); etc...

Figura 8.3 – Viga moldada in loco.

Figura 8.4 – Viga pré-moldada (LIN & BURNS, 1981).

Page 178: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

170

(a)

(b)

(c)

(d) Figura 8.5 – Seções de viga: (a) retangular; (b) seção T (MACGREGOR, 1984); (c) duplo T; (d) viga-caixão

(MACGREGOR, 1984).

Modos de ruptura

Como foi citado no Capítulo 6, uma boa maneira de se entender o que acontece com as peças submetidas à flexão simples, é acompanhar um ensaio de flexão numa viga. Para essas peças, além de conhecermos como elas se comportam sob flexão, é importante sabermos como essas peças podem atingir um estado limite último, ou seja, qual o modo de ruptura que a peça estará sujeita. A Figura 8.6 apresenta um esquema dos vários modos de ruptura que pode ocorrer numa viga.

Armação longitudinal principal

Armação transversalAB

D

EC

Figura 8.6 – Tipos possíveis de ruptura numa viga (armações principais indicadas) (SÜSSEKIND, 1981).

A Tabela 8.1 apresenta as principais características de cada modo de ruptura indicado anteriormente.

O dimensionamento para o estado limite último visa evitar o aparecimento de um desses modos de ruptura. Para cada um deles, tem-se uma série de medidas preventivas que podem, e

Page 179: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

171

devem, ser tomadas, o que será estudado mais adiante nos itens referentes ao dimensionamento para o E.L.U.

Tabela 8.1 – Modos de ruptura das vigas de concreto armado.

Modo de Ruptura Aspecto Descrição Tipo

Flexão – compressão (A)

Avanço da fissura de flexão, reduzindo a área comprimida até o esmagamento da zona de compressão do concreto

Frágil/ dúctil

Cortante-tração (B)

Ruptura da armadura de cisalhamento por tração

Dúctil

Cortante – flexão (C)

Interação momento/ cortante, o avanço da fissura diagonal corta o banzo comprimido da peça

Frágil/ dúctil

Rompimento da ligação aço-concreto (D)

Fendilhamento do concreto; esgotamento da capacidade aderente da peça.

Frágil

Cortante-compressão (E)

Esmagamento da biela comprimida na região junto ao apoio.

Frágil

Cálculo dos esforços

O cálculo dos esforços (momentos fletores, momentos torçores, forças cortantes e forças normais) segue as recomendações da Resistência dos Materiais. A maioria das vigas em

Page 180: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

172

estudo estará sujeita apenas à flexão simples (momentos fletores e forças cortantes). Em alguns casos, elas estarão sujeitas, também, à torção.

Não serão estudadas vigas solicitadas à força normal, como no caso das peças protendidas. Portanto, as vigas em estudo estarão sujeitas a dois tipos de solicitações:

• Solicitações normais: momentos fletores (σ – tensões normais ao plano da seção transversal);

• Solicitações transversais: momentos torçores e forças cortantes (τ – tensões tangenciais à seção transversal).

Para as vigas da 2a opção de fôrma do pavimento tipo em análise, vamos determinar os sistemas estáticos e os carregamentos, e calcular os esforços solicitantes, calculadas com o auxílio do programa FTOOL (www.tecgraf.puc-rio.br/ftool). Todas elas estão sujeitas, apenas, à flexão simples.

V101 = V102 = V110 = V111 (12/ 35)

pp = 0,12 x 0,35 x 25 = 1,05kN/m

Par = 0,25 x (2,7 – 0,35) x 15 = 8,8125kN/m

R1L101 = 7,34kN/m

p = 17,2025kN/m

V103 = V109 (12/ 30)

pp = 0,12 x 0,30 x 25 = 0,9kN/m

Par = 0,15 x (2,7 – 0,30) x 15 = 5,4kN/m

R1L103 = 3,4kN/m

p = 9,7kN/m

D. E. C. D. M. F.

Page 181: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

173

V104 = V108 (12/35)

pp = 1,05kN/m

Par = 0,15x(2,7–0,35)x15 =

= 5,29kN/m

Reações:

1o e 4o trechos = R2L101 + R1L104 = 12,72 + 12,78 = 25,50kN/m

2o e 3o trechos = R2L103 + R1L104 = 7,16 + 12,78 = 19,94kN/m

p1 = p4 = 31,84kN/m

p2 = p3 = 26,28kN/m

D. E. C. D. M. F.

D. E. C.

Page 182: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

174

V105 (12/30) (considerando trecho rígido) pp = 0,9kN/m

Par = 5,4kN/m

Reações:

1o 2o e 5o trechos = R2L104 = 7,31kN/m

3o e 4o trechos = R2L104 + R1L106 = 7,31 + 9,53 = 16,84kN/m

p1= p2= p5= 13,61kN/m

p3 = p4 = 23,14kN/m

D. M. F.

D. M. F.

Page 183: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

175

V105 (12/30) (considerando apoio contínuo)

D. E. C.

D. E. C.

Page 184: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

176

V106 (12/30)

pp = 0,9kN/m

Par = 5,4kN/m

Reações = zero

p = 6,3kN/m

V107 (12/30) (considerando trecho rígido)

pp = 0,9kN/m

Par = 5,4kN/m

Reações:

1o e 4o trechos = R1L107 = 7,31kN/m

2o e 3o trechos = R1L107 + R2L106 = 7,31 + 9,53 = 16,84kN/m

p1 = p4 = 13,61kN/m

p2 = p3 = 23,14kN/m

D. E. C. D. M. F.

D. M. F.

Page 185: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

177

V107 (12/30) (considerando apoio contínuo)

D. E. C.

D. M. F.

Page 186: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

178

V112 = V123 V114 = V124 (12/40)

pp = 0,12 x 0,40 x 25 =

= 1,20kN/m

Par = 0,25 x (2,7 – 0,4) x 15 =

= 8,625kN/m

Reações:

1o vão = R3L109 = 7,08kN/m

2o vão = R3L107 = 6,31kN/m

p1 = 16,905kN/m

p2 = 16,135kN/m

D. E. C.

D. M. F.

Page 187: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

179

V113 (12/35) – Viga da Escada

pp = 0,12 x 0,35 x 25 = 1,05kN/m

Par = 0,25 x (2,7 – 0,35) x 15 =

= 8,8125kN/m

Reações = patamar da escada (se for o caso)

p = 9,8625kN/m (+Rpatamar)

D. E. C.

D. M. F.

Page 188: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

180

V115 (12/35)

pp = 1,05kN/m

Par = 5,2875kN/m

R3L106 = 3,94kN/m (só no 1o trecho)

p1 = 10,2775kN/m

p2 = 6,3375kN/m

V116 = V121 V117 = V122 (12/50)

pp = 0,12 x 0,50 x 25 = 1,50kN/m

Par = 0,15 x (2,7 – 0,5) x 15 =

= 4,95kN/m

Reações:

1o trecho = R4L109 = 7,08kN/m

2o trecho = R4L109 + R3L110 =

= 7,08 + 5,93 = 13,01kN/m

p1 = 13,53kN/m

p2 = 19,46kN/m

D. E. C.D. M. F.

D. E. C. D. M. F.

Page 189: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

181

V118 V119 (12/40)

pp = 1,20kN/m

Par = 0,15 x (2,7 – 0,4) x 15 =

= 5,175kN/m

R4L107 = 10,55kN/m

R3L108 = 10,55kN/m

p = 27,475kN/m

V120 (12/30)

pp = 0,90kN/m

Par = 5,4kN/m

R4L106 = 3,94kN/m

p = 10,24kN/m

D. E. C. D. M. F.

D. E. C. D. M. F.

Page 190: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

182

Para a viga V105 (12/30) foram feitos dois cálculos distintos:

1) Admitindo o trecho da caixa de elevador como rígido, o que divide a viga em duas: uma viga contínua com dois vãos (sendo o último apoio um engaste), e outra com apenas um vão mono-engastado;

2) Admitindo o trecho do elevador como apoio simples e adotando um valor teórico para os vãos adjacentes, o que calcula a viga como contínua com três vãos.

Percebe-se que há uma variação nos esforços calculados, porém há um certo equilíbrio, já que ao passo que alguns valores aumentam, outros diminuem. A escolha por um ou outro tipo de cálculo dos esforços depende de como a peça vai ser detalhada, da verificação global da estrutura (estabilidade global), e, também, das ferramentas de cálculo disponíveis.

Essas considerações valem, também, para a viga V107. Para o nosso projeto será adotado o cálculo como viga contínua com três vãos.

Após a determinação dos esforços solicitantes, vamos dimensionar as vigas para o Estado Limite Último (E.L.U.), levando em consideração todas as solicitações. Para as hipóteses de cálculo admitidas, já apresentadas no Capítulo 6, é permitido que dimensione a peça para cada esforço separadamente, e depois as armaduras calculadas são sobrepostas.

8.2. NOMENCLATURA

A seguir são re-apresentadas a nomenclatura e a simbologia básicas utilizadas, já apresentadas no Capítulo 6.

p = carga linear uniformemente distribuída;

l = vão da viga (de eixo a eixo dos apoios);

h = altura da seção transversal;

bw = largura da seção transversal;

Mmáx. = momento máximo do vão;

D.M.F. = diagrama de momentos fletores;

D.E.C. = diagrama de esforços cortantes;

LN = linha neutra (linha de tensão nula);

As = área de aço da seção;

εc = deformação de compressão (no concreto) (encurtamento);

D. E. C. D. M. F.

Page 191: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

183

εt = deformação de tração (no aço)(alongamento);

σc = tensão no concreto (compressão);

σs = tensão no aço (tração);

x = altura da linha neutra (diagrama parábola-retângulo);

d = altura útil da seção – distância do centro de gravidade da armadura à borda mais comprimida;

d’= distância do centro de gravidade da armadura à borda mais tracionada.

8.3. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Para o dimensionamento ao momento fletor, independentemente da forma da seção transversal das peças, elas podem ser classificadas em seções simplesmente armadas (apenas com armaduras tracionadas) e em seções duplamente armadas (com armaduras tracionadas e comprimidas). A seguir são apresentados os cálculos para os dois tipos de seção.

8.3.1. Seções simplesmente armadas

Para as seções simplesmente armadas, vale o procedimento apresentado no Capítulo 6.

Para as vigas do nosso pavimento tipo, nas quais já foram calculados os esforços, vamos dimensioná-las para o E.L.U., como seções retangulares simplesmente armadas.

Primeiro é preciso determinar a altura útil das vigas (d). A Figura 8.7 apresenta esse cálculo.

cobφestribo

φ1a camada

φ2a camada

d

d'

h

vaCGs

Se as bitolas das 2 camadas forem iguais:

+φ+φ+=

−=

2acob'd

'dhd

vcam1estribo a

Se as bitolas forem diferentes, tem que se determinar o ponto CGS (centro de gravidade da armadura).

Figura 8.7 – Determinação da altura útil das vigas.

Para o espaçamento entre as camadas de armadura, a NBR 6118 (2004) estabelece que, para as vigas, “O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

- 20mm; a) na direção horizontal (ah): - diâmetro da barra, do feixe ou da luva;

- 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado;

Page 192: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

184

- 20mm; b) na direção vertical (av): - diâmetro da barra, do feixe ou da luva;

- 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado.”

Para as armaduras longitudinais de viga, a NBR 6118 (2004) não estabelece um diâmetro mínimo nem um máximo.

Os dados adotados foram: CA 50 A; fck = 25MPa; cobvigas = 30mm; φestribo = 5mm; φmáx = 12,5mm; e av = 2,5cm (valor adotado da prática). Logo, para d’, tem-se:

( ) 6cm2)2,5(1,250,53,02aφφcobd' vcamada1estribo a =+++=+++=

Para a armadura mínima, a NBR 6118 (2004) estabelece que para as vigas, independentemente de qual a armadura, ρmin é o obtido da Tabela XII do Anexo A. Logo, para os nossos dados, ρmin = 0,15%. A norma diz, também, que o ρmáx para as vigas é de 4%. A seguir são apresentados alguns cálculos.

V101 = V102 = V110 = V111 (12/ 35)

12

35 d

d'

h

⇒>=

−=

−=

alturaaumentara0,40,4441,556

dy

dy0,51

dy

0,29x0,12x1,4

25000x0,85

37,80x1,4dy0,51

dy

d.b.f.0,85M.1,4

2

2wcd

k

2ws

minyd

cd

corrigido,knova

cm19,434x12x01026,0d.b.ρA

OKρ01026,0

15,1500

4,125x85,0

x294,0f

f.85,0dyρ

294,0dym.kN7,37Mcm40h

===

>=

==

===

V103 = V109 (12/ 30)

12

30 hd

d'

⇒<=

OK0,40,1311,869

dy

2ws

min

1,32cm24x12x0,00459d.b.ρA

OKρ0,00459

1,15500

1,425x0,85

x0,131ρ

===

>=

=

Mk,máx=37,8kN.m

d’ = 6cm

d = 29cm

Mk,máx=9,20kN.m

d’ = 6cm

d = 24cm

Page 193: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

185

V112 = V123 V114 = V124 (12/40)

12

40 d

d'

h

⇒>=

alturaaumentara0,40,4651,535

dy

2ws

min

corrigido,knova

cm28,539x12x0,01128d.b.ρA

OKρ0,01128

1,15500

1,425x0,85

x0,323ρ

323,0dym.kN6,53Mcm45h

===

>=

=

===

V116 = V121 V117 = V122 (12/50)

12

50 d

d'

h

⇒>=

alturaaumentara0,40,4031,597

dy

2ws

min

corrigido,knova

cm30,694x12x0,01072d.b.ρA

OKρ0,01072

1,15500

1,425x0,85

x0,307ρ

307,0dym.kN2,81Mcm55h

===

>=

=

===

A Tabela 8.2 apresenta os resultados parciais e finais para verificação das alturas de todas as vigas.

Tabela 8.2 – Verificação das alturas das vigas da 2ª opção de fôrma para o pavimento tipo em análise.

Viga bw hini d Mk,max ∆ (y/d)1 (y/d)2 D. STATUS hnecess hadot cm cm cm kN.m cm cm

V101 12 35 29 37,8 1,24 1,556 0,444 3 aumentar h 36,13 40 V103 12 30 24 9,2 3,02 1,869 0,131 2 OK --- 30 V104 12 35 29 59,4 -0,34 --- --- --- aumentar h 43,77 45 V105 12 30 24 37,2 0,03 1,085 0,915 --- aumentar h 35,89 40 V106 12 30 24 2,6 3,72 1,965 0,035 2 OK --- 30 V107 12 30 24 37,9 -0,05 --- --- --- aumentar h 36,17 40 V112 12 40 34 53,7 1,14 1,535 0,465 3 aumentar h 41,91 45 V113 12 35 29 17,6 2,71 1,824 0,176 2 OK --- 35 V115 12 35 29 15,8 2,85 1,843 0,157 2 OK --- 35 V116 12 50 44 81,1 1,42 1,597 0,403 3 aumentar h 50,14 55 V118 12 40 34 72,7 0,13 1,182 0,818 --- aumentar h 47,79 50 V120 12 30 24 19,6 1,91 1,691 0,309 3 OK --- 30

Percebe-se que para as vigas V104 e V107, o valor do ∆ é negativo. Isso indica que a área de concreto é insuficiente, ou seja, devemos aumentar a seção. Pode-se aumentar a altura e/ ou a largura da peça, ou ainda, aumentar o fck. A medida mais eficaz é o aumento da altura (h). Já para as vigas V101, V105, V112, V116 e V118, o ∆ foi positivo, porém ou (y/d) se encontra no domínio 4 ou além do limite da norma [(y/d)>0,4]. Devemos, portanto, aumentar, também,

Mk,máx=53,70kN.m

d’ = 6cm

d = 34cm

Mk,máx=81,10kN.m

d’ = 6cm

d = 44cm

Page 194: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

186

a seção de concreto. Para essas sete vigas, adotando o (y/d)lim, determinou-se o menor valor possível para h, que está indicado na última coluna da Tabela 8.2.

A Tabela 8.3 apresenta os resultados finais para o dimensionamento das áreas de aço de todas as vigas, já levando em conta as alturas corrigidas, daí os momentos fletores estarem um pouco diferentes, pois quando se muda a altura, mudam os carregamentos de peso próprio e parede. Posteriormente, iremos detalhar essas vigas.

Tabela 8.3 – Dimensionamento das vigas da 2ª opção de fôrma para o pavimento tipo em análise.

Viga bw h d Mk,máx (y/d)2 D. As As,min As,adotado cm cm cm kN.m cm2 cm2 cm2

V101 12 40 34 37,7 0,294 3 4,19 0,61 4,19V103 12 30 24 9,2 0,131 2 1,32 0,43 1,32V104 12 45 39 59,6 0,369 3 6,04 0,70 6,04V105 12 40 34 37,3 0,290 3 4,13 0,61 4,13V106 12 30 24 2,6 0,035 2 0,36 0,43 0,43V107 12 40 34 38,0 0,297 3 4,23 0,61 4,23V112 12 45 39 53,6 0,323 3 5,28 0,70 5,28V113 12 35 29 17,6 0,176 2 2,14 0,52 2,14V115 12 35 29 15,8 0,157 2 1,90 0,52 1,90V116 12 55 49 81,2 0,307 3 6,30 0,88 6,30V118 12 50 44 72,9 0,351 3 6,47 0,79 6,47V120 12 30 24 19,6 0,309 3 3,11 0,43 3,11

8.3.2. Seções duplamente armadas

Como foi visto anteriormente, quando (y/d) > (y/d)lim devemos aumentar a seção da peça. Porém, pode-se utilizar um outro artifício, que é a colocação de armadura comprimida. A substituição de parte do concreto comprimido por armadura comprimida suspende a linha neutra, pois a resistência à compressão do aço é bem maior que a do concreto. Quando isso ocorre, dizemos que a peça está duplamente armada, ou seja, com armadura de tração e de compressão. Resumindo, pode-se dizer que:

>

duplaarmaduraseçãodaaumento

escoamentoementranãoaço;bruscarupturady

dySe

escoamentoementraaço;avisocomrupturady

dySe

lim

lim

a

Porém, há um limite para a utilização da armadura dupla, que será visto em seguida. Quando o (y/d) > (y/d)lim significa que o Md > Md,lim, que vale:

=

limlim

2wcdlim,d d

y5,01dy.d.b.f.85,0M

Quando isso ocorre, determinamos qual o momento limite para a seção (Md,lim), e o momento excedente (∆Md) é dimensionado para a armadura dupla. O limite para a sua utilização é o seguinte:

Page 195: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

187

duplaarmadura2

MMMMM lim,d

dlim,ddd →≤∆→−=∆

Logo, se ∆Md for maior que metade do Md,lim, ou se a soma das armaduras de tração e de compressão fornecer um ρs maior que 4%, a peça deve ter sua seção aumentada. Caso contrário ela será dividida em duas (Figura 8.8):

• SEÇÃO 1: dimensionada para Md,lim, com concreto comprimido e aço tracionado (Figura 8.9);

• SEÇÃO 2: dimensionada para ∆Md com aço tracionado e comprimido (Figura 8.10).

A

A'

d

s

12

sup

ssA

sA'

sA

d'

d'

SEÇÃO 1 SEÇÃO 2

= +1sA As sA

2

Figura 8.8 – Divisão da seção transversal para a armadura dupla.

1As

SEÇÃO 1

d

d'

armadatesimplesmenseçãoM

dy

dy

lim,d

lim

=

Figura 8.9 – Seção 1 para a armadura dupla.

A's

2

SEÇÃO 2

C

T

z

sA

s

s

s

)'dd(.f.A)'dd(..AM

z.Tz.CM'ddz

f.AT.AC

MMM

yd2s'sd

'sd

ssssd

s

yd2ss

'sd

'ss

lim,ddd

−=−σ=∆

==∆−=

=σ=

−=∆

Figura 8.10 – Seção 2 para a armadura dupla.

A seguir é apresentado o roteiro para o dimensionamento de seções duplamente armadas.

1) Dados da seção: fck, aço, Mk, bw e h.

Page 196: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

188

2) Cálculo de (y/d) ⇒ (y/d) > (y/d)lim.

3) Determinação de Md,lim.

4) Determinação e verificação de ∆Md.

5) Determinação de As1:

d.b.Af

f.85,0.

dy

wlim1syd

cd

limlim ρ=

6) Determinação de σ’sd:

( ) ooo

limscdscd

'sd 5,3

x'd1f

−=εε=σ

7) Determinação de A’s:

( )'ddM

A 'sd

d's −σ

∆=

8) Determinação de As2:

( )'ddfM

Ayd

d2s −

∆=

9) Seção final: sA'

sA21

= +As sA

Para as vigas do pavimento tipo que apresentaram (y/d) > 0,4 (V101, V105, V112, V116 e V118), vamos testar a utilização da armadura dupla, em vez de aumentar a seção.

V101 (12/35)

12

35 d

d'

h

duplaarmadura24,512

49,022

M3,9049,0252,92∆M

49,02kN.m2

0,410,4.0,29.0,12.1,4

25000.0,85M

0,4dy0,444

dy52,92kN.m37,8.1,4M

CA50Ae25MPaf29cmd37,8kN.mM

limd,d

2limd,

limd

ckk

→==<=−=

=

−=

=

>=

==

===

Page 197: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

189

SEÇÃO 1:

21slim cm87,429.12.014,0A014,0

15,1500

4,125.85,0

.400,0 ===

SEÇÃO 2:

( ) ( )

( ) ( )

OK4%ρ1,62%0,016229.12

5,65ρ

5,65cm0,395,26A5,26cm0,394,87A

0,39cm10x0,060,291,15500000

3,9A

0,39cm10x0,060,29430862

3,9AAA

430,86MPa210000.2,05σfσ2,07ε2,05ε

2,053,514,5

61ε14,5cm0,8

29.0,4x

máxtotals,

2totals,

2s

24's

24'ss2

's

ooo'

sdyd'sdoo

oydoo

oscd

ooo

ooo

scdlim

=<===

=+==+=

=−

=

=−

=≠

==⇒≠⇒=<=

=

−===

V105 (12/30)

12

30 hd

d'

podenão79,16257,33

2M

51,1857,3308,52M

m.kN57,3324,014,0.24,0.12,0.

4,125000.85,0M

4,0dy915,0

dym.kN08,522,37.4,1M

A50CAeMPa25fcm24dm.kN2,37M

lim,dd

2lim,d

limd

ckk

→==>=−=∆

=

−=

=

>=

==

===

V112 (12/40)

12

40 d

d'

h

duplaarmadura69,33

238,67

2M

8,738,6718,75M

m.kN38,6724,014,0.34,0.12,0.

4,125000.85,0M

4,0dy465,0

dym.kN18,756,53.4,1M

A50CAeMPa25fcm34dm.kN7,53M

lim,dd

2lim,d

limd

ckk

→==<=−=∆

=

−=

=

>=

==

===

Page 198: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

190

SEÇÃO 1:

21slim cm7,534.12.014,0A014,0

15,1500

4,125.85,0

.4,0 ===

SEÇÃO 2:

( )

OK%4%71,10171,034.12

98,6cm98,664,034,6Acm34,664,07,5A

cm64,010x06,034,015,1

5000008,7AA

AAf07,226,2

26,25,31761cm17

8,034.4,0x

máxtotal,s

2total,s

2s

242s

's

2s'syd

'sdoo

oydoo

oscd

ooo

ooo

scdlim

=ρ<===ρ

=+==+=

=−

==

=⇒=σ⇒=ε>=ε

=

−=ε==

V116 (12/50)

12

50 d

d'

h

duplaarmadura42,562

84,1122

M7,084,11254,113M

m.kN84,11224,014,0.44,0.12,0.

4,125000.85,0M

4,0dy403,0

dym.kN54,1131,81.4,1M

A50CAeMPa25fcm44dm.kN1,81M

lim,dd

2lim,d

limd

ckk

→==<=−=∆

=

−=

=

>=

==

===

SEÇÃO 1:

21slim cm4,744.12.014,0A014,0

15,1500

4,125.85,0

.4,0 ===

SEÇÃO 2:

2s'syd

'sdoo

oydoo

oscd

ooo

ooo

scdlim

AAf07,255,2

55,25,32261cm22

8,044.4,0x

=⇒=σ⇒=ε>=ε

=

−=ε==

Page 199: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

191

( )

OK%4%42,10142,044.12

48,7cm48,704,044,7Acm44,744,04,7A

cm04,010x06,044,015,1

5000007,0AA

máxtotal,s

2total,s

2s

242s

's

=ρ<===ρ

=+==+=

=−

==

V118 (12/40)

12

40 d

d'

h

podenão69,33238,67

2M

4,3438,6778,101M

m.kN38,6724,014,0.34,0.12,0.

4,125000.85,0M

4,0dy818,0

dym.kN78,1019,72.4,1M

A50CAeMPa25fcm34dm.kN7,72M

lim,dd

2lim,d

limd

ckk

→==>=−=∆

=

−=

=

>=

==

===

Percebe-se que somente para as vigas V101, V112 e V116, se utilizarmos armadura dupla, não precisaremos aumentar a seção. Pode-se optar por qualquer uma das soluções. Na prática, escolhe-se baseado na geometria e na economia. Para o nosso projeto, vamos utilizar a armadura dupla, em vez de aumentarmos a seção. Logo, as seções finais das vigas são as apresentadas na Tabela 8.4.

Tabela 8.4 – Seções finais das vigas da 2ª opção de fôrma para o pavimento tipo em análise.

Viga bw h d Mk,máx As A’s As,total ρs cm cm cm KN.m cm2 cm2 cm2 %

V101 12 35 29 37,8 5,26 0,39 5,65 1,62 V103 12 30 24 9,2 1,32 --- 1,32 0,46 V104 12 45 39 59,6 6,04 --- 6,04 1,29 V105 12 40 34 37,3 4,13 --- 4,13 1,01 V106 12 30 24 2,6 0,43 --- 0,43 0,15 V107 12 40 34 38,0 4,23 --- 4,23 1,04 V112 12 40 34 53,7 6,34 0,64 6,98 1,71 V113 12 35 29 17,6 2,14 --- 2,14 0,61 V115 12 35 29 15,8 1,90 --- 1,90 0,55 V116 12 50 44 81,1 7,44 0,04 7,48 1,42 V118 12 50 44 72,9 6,47 --- 6,47 1,23 V120 12 30 24 19,6 3,11 --- 3,11 1,08

Verifica-se que todas as vigas possuem uma taxa de armadura entre o valor mínimo e o máximo, ou seja, 0,15% ≤ ρs ≤ 4%. Pode-se, então, detalhar essas vigas, o que será feito posteriormente.

Vale lembrar que a NBR 6118 (2004) recomenda os seguintes valores limites para o (y/d):

• Para fck ≤ 35MPa (y/d) ≤ 0,40;

• Para fck > 35MPa (y/d) ≤ 0,32.

Page 200: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

192

Logo, pode-se, também, utilizar a armadura dupla para suspender a linha neutra, ainda que a peça se encontre no domínio 3.

8.3.3. Vigas de seção T

As vigas com seção T têm, de maneira geral, duas origens:

• Seção real em T (ou similar), no caso das vigas pré-moldadas, muito comuns em pontes e edifícios garagem;

• Seção T (ou similar) virtual, no caso das lajes maciças apoiadas sobre vigas retangulares, ou seja, considera-se uma parte da laje como seção colaborante da viga.

Para o segundo caso, a prática tem mostrado que parte da laje ajuda a viga a resistir aos esforços solicitantes, e vice-versa, já que ela acompanha as suas deformações. Logo, pode-se considerar parte da laje como seção resistente da viga, como mostra a Figura 8.11.

h

bf

bw

f

h

b

f

bf

wb wb

Viga

Laje

Figura 8.11 – Seção resistente das vigas levando em conta a laje.

Em que: h = altura da viga;

bw = largura da viga;

hf = altura da laje;

bf = largura colaborante total da laje com a viga.

Percebe-se que as vigas resultantes podem apresentar seção em T, em L, ou ainda em T e L invertidos.

Segundo o item 14.6.2.2 da NBR 6118 (2004), “Quando a estrutura for modelada sem a consideração automática da ação conjunta de lajes e vigas, esse efeito pode ser considerado mediante a adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga, compondo uma seção transversal T. A consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma mais realista”.

Para as vigas T, o trecho de laje que funciona como viga é denominado de MESA, e a parte da viga é denominada de ALMA. A Figura 8.12 apresenta um esquema da viga T e a sua simbologia.

Page 201: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

193

wb

bf

h

hf

d

As

MESA

ALMA

Figura 8.12 – Características das vigas de seção T.

Para a consideração da seção T, deve-se levar em conta a posição das zonas tracionada e comprimida da peça. A largura colaborante (bf) é eficiente quando ela se encontra na zona comprimida, já que é um acréscimo da área de concreto. Logo, se a peça estiver sujeita a um momento positivo, a seção T é eficaz, caso contrário, ela não ajudará em nada. Por outro lado, se a viga for invertida, a seção T (invertida) é eficiente para o momento negativo. As Figuras 8.13 a 8.15 apresentam essas considerações para algumas variações na seção transversal.

LN

M>0 M<0

LN

Zona comprimidaZona comprimida

LN

M>0

LN

M<0

Figura 8.13 – Avaliação dos momentos positivos e negativos para a seção T.

Zona comprimida

LN

M>0 M<0

LN

LN

M<0

Zona comprimida

LN

M>0

Figura 8.14 – Avaliação dos momentos positivos e negativos para a seção L.

Page 202: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

194

M>0M<0

LN

Zona comprimida

LN

LN

LN

Zona comprimida

Figura 8.15 – Avaliação dos momentos positivos e negativos para a seção U (viga-calha).

Determinação da largura colaborante

Segundo a NBR 6118 (2004), “A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado, como apresentado a seguir:”

• Viga simplesmente apoiada: a = l a=

• Tramo mono-engastado: a = 0,75 l a=0,75

• Tramo bi-engastado: a = 0,6 l a=0,6

• Tramo em balanço: a = 2 l a=2

Ainda segundo a mesma norma, para a determinação de bf, devem ser respeitados os limites b1 e b3, como mostra a Figura 8.16.

bw

bf

wb

b

b

b b

b1

2

3

4

c1

c

bwb3

bf

1b

Figura 8.16 – Largura da mesa colaborante (NBR 6118, 2004).

Page 203: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

195

Em que: b1 ≤ 0,5 b2 b3 ≤ b4

0,1 a 0,1 a

Dimensionamento da seção T

Para o cálculo da seção T, podemos ter duas situações distintas:

• A linha neutra (LN) está posicionada na mesa (y ≤ hf);

• A linha neutra (LN) está posicionada na alma (y > hf).

A seguir são apresentados, separadamente, as duas situações.

a) Linha neutra na mesa

Neste caso, dimensiona-se a peça para uma seção retangular de largura bf, como indica a Figura 8.17.

LN

bw

bf

As

d

hf

h

x

z

C

TAs As

bf

bf

Figura 8.17 – Seção T com a linha neutra na mesa.

b) Linha neutra na alma

Quando a linha neutra cai na alma, divide-se a seção em duas (SEÇÃO I e SEÇÃO II), como indica a Figura 8.18.

A

h

bwsA

d

hf

LN

s T

z

C

As

bf

bw

bwbf2( ))( f w

2bb

I II

I II

I IIz

T

C

I II

SEÇÃO I SEÇÃO II

Figura 8.18 – Seção T com a linha neutra na alma.

Page 204: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

196

Primeiro, calcula-se o momento (MdI) e a área de aço (AsI) para a SEÇÃO I, fazendo-se o equilíbrio com CI e TI, como indicado a seguir.

( )( )

( )

−−=

−===

−=∴=

=−=

2hd.hbbf.85,0M

2h

dzz.Tz.CM

fhbbf.85,0

ATC

f.AThbbf.85,0C

ffwfcddI

fIIIIIdI

yd

fwfcdsIII

ydsIIfwfcdI

Depois, dimensiona-se a SEÇÃO II, que é uma seção retangular, para o momento restante (MdII), que é a diferença entre o momento total e o equivalente à SEÇÃO I, ou seja,

MdII = Md - MdI

Para algumas das vigas do pavimento tipo que inicialmente apresentaram (y/d) > 0,4 (V101, V105, V116 e V118), vamos testar a utilização da seção T, ao invés de aumentar a seção ou usar armadura dupla. Para a viga V112 não será testada a seção T, pois o momento máximo é negativo, logo a mesa se encontraria tracionada.

V101 (12/35)

12

35 d

d'

h

Determinação da seção T:

)invertidoLemseção(9,53129,41bbb9,41a1,0419419.0,1aa.1,0

274548.5,0b

w1f

1

−=+=+=

=→==→=

1ª hipótese: LN na mesa

2smin

f2

4,37cm29.53,9.0,0028AOKρ0,28%0,0028

1,15500

1,4250,85

0,080ρ

OKh2,3229.0,080y0,080dy

dy0,51

dy

0,29.0,539.1,4

25000.0,85

37,8.1,4

==>==

=

<==∴=→

−=

V105 (12/30)

12

30 hd

d'

Determinação da seção T:

)invertidoLemseção(321220bbb

75,21a1,05,217290.75,0a0,20a1,0200334.60,0a9,24a1,0249332.75,0a

a.1,0

224448.5,0

b

w1f

33

22

111

−=+=+=

=→===→===→==

=

Page 205: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

197

1ª hipótese: LN na mesa

2smin

f2

cm57,524.32.0073,0AOK%73,00073,0

15,1500

4,12585,0

208,0

OKh99,424.208,0y208,0dy

dy5,01

dy

24,0.32,0.4,1

25000.85,0

08,52

==ρ>==

<==∴=→

−=

V116 (12/50)

12

50 d

d'

h

Determinação da seção T:

{)invertidoLemseção(2,67122,55bbb

2,55a1,0552552.0,1aa.1,0210420.5,0

b

w1f

11

−=+=+=

=→==→=

1ª hipótese: LN na mesa

2smin

f2

cm12,644.2,67.0021,0AOK%21,00021,0

15,1500

4,12585,0

060,0

OKh61,244.060,0y060,0dy

dy5,01

dy

44,0.672,0.4,1

25000.85,0

54,113

==ρ>==

<==∴=→

−=

V118 (12/40)

12

40 d

d'

h

Determinação da seção T:

104461246bbbb46)460.1(.1,0

279558.5,0b

1w1f

1

=++=++=

==

Seção em T

1ª hipótese: LN na mesa

2smin

f2

cm09,734.104.002,0A%15,0%20,00020,0

15,1500

4,12585,0

058,0

OKh96,134.058,0y058,0dy

dy5,01

dy

34,0.04,1.4,1

25000.85,0

78,101

===ρ<==

<==∴=→

−=

Page 206: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

198

EXERCÍCIO 8.1:

Para a viga de seção T abaixo, dimensione-a para os dois momentos fletores indicados.

a) 25kN.m

b) 78kN.m

DADOS: fck = 25MPa

CA 50 A

d’= 6cm

60

12

5

25

EXERCÍCIO 8.2:

Dimensionar a viga VI, indicada no corte da Figura 8.19.

VI (25/ 95)

p

=15m

DADOS: fck = 25MPa

CA 50 A

d’ = 6cm

p = 50kN/m

25 300

VI

10

85

25 300 25

Figura 8.19 – Características da viga VI.

8.4. SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS

A seguir são apresentados os cálculos para o dimensionamento ao esforço cortante e ao momento torçor.

Page 207: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

199

8.4.1. Esforço cortante

Quando se ouve a palavra cisalhamento, pensa-se logo nas vigas de concreto armado, apesar de se ter cisalhamento em outras peças e em outros materiais. O porque de se fazer essa correlação imediata é muito simples: toda a teoria do dimensionamento do concreto armado, incluindo o cisalhamento, veio do estudo de vigas fletidas feito por Ritter e Mörsch entre o final do século XIX e o início do século XX. Até hoje, a melhor maneira de estudarmos a flexão e o cisalhamento é através da análise de vigas submetidas à flexão, como já foi citado anteriormente.

Uma viga resiste às cargas, primeiramente, através da mobilização dos esforços internos de momento fletor e força cortante. No dimensionamento das vigas de concreto armado primeiro leva-se em conta o momento fletor para determinar as dimensões da peça e a armadura longitudinal necessária para resisti-lo. Depois, são feitas a verificação do esforço cortante e a determinação da armadura transversal (estribos) necessária.

Ao dimensionar-se as peças de concreto armado deve-se fazê-lo de maneira que, caso venha a ocorrer ruína, esta seja devido à flexão, e por deformação excessiva da armadura longitudinal, já que essa ruína é dúctil, com aviso (a peça apresenta intensa fissuração e deformação). A ruína por cisalhamento deve ser evitada a qualquer custo, pois ela é frágil, não dá aviso de que há problemas na peça.

Ao se carregar uma viga de concreto armado já são mobilizados, desde o início, tensões normais (flexão - σ) e tangenciais (cisalhamento - τ), cujas direções principais e trajetórias são apresentadas na Figura 8.20.

Figura 8.20. Trajetórias das tensões principais de compressão e tração na peça não fissurada (SÜSSEKIND,

1981).

A forma como as tensões de cisalhamento se desenvolvem depende do tipo de peça e da solicitação. As vigas de concreto armado desenvolvem tensões de cisalhamento como as apresentadas na Figura 8.20. As sapatas e as lajes planas desenvolvem tensões de cisalhamento nas seções ao redor dos pilares, o que é denominado de punção; já as peças de volume, como os consolos, os blocos e as vigas-parede desenvolvem, basicamente, tensões de compressão; os pilares podem apresentar tensões de cisalhamento no plano da seção transversal quando submetidos a esforços horizontais (vento e terremoto), chegando inclusive à ruína devido a essas tensões.

Page 208: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

200

Analogia de treliça

Em 1964, Lobo Carneiro, apud SANTOS NETO (1977), escreve o seguinte: ”A chamada treliça clássica de Ritter-Mörsch foi uma das concepções mais fecundas na história do concreto armado. Há mais de meio século tem sido a base do dimensionamento das armaduras transversais – estribos e barras inclinadas – das vigas de concreto armado, e está muito longe de ser abandonada ou considerada superada. As pesquisas sugerem apenas modificações ou complementações na teoria, mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre a viga de concreto armado, depois de fissurada, e a treliça”.

As palavras de Lobo Carneiro continuam válidas até hoje.

Mas afinal, o que é exatamente a analogia de treliça?

A Analogia de Treliça, ou Analogia Clássica de Treliça, ou ainda Analogia Clássica de Mörsch é, como o texto de Lobo Carneiro diz, o estudo e dimensionamento das vigas de concreto armado fissuradas como se fossem treliças isostáticas.

Segundo FUSCO (1981), “O comportamento de treliça não existe nas vigas fletidas desde o início de seu carregamento. No começo, o comportamento das vigas de concreto armado é muito semelhante ao das vigas de material homogêneo resistente à tração. À medida que o carregamento aumenta, ocorre uma mudança de comportamento, passando de comportamento de viga para comportamento de treliça.

É muito importante salientar que o comportamento de treliça das peças fletidas de concreto armado é admitido apenas como simplificação do comportamento real. Na realidade, além do comportamento de treliça, existem outros fenômenos que contribuem para a resistência às forças cortantes, os quais somente podem ser explicitados por meio de modelos alternativos do comportamento resistente”.

A Figura 8.21 apresenta o desenvolvimento da fissuração no ensaio de uma viga de concreto armado submetida à flexão, realizado por Sörensen, apud FUSCO (1981).

As primeiras fissuras que aparecem são as de flexão, para aproximadamente 25% da carga última. São fissuras perpendiculares ao eixo da peça, e que surgem na região de momento fletor máximo, nesse caso na região central da viga.

À medida que se aumenta o carregamento surgem outras fissuras de flexão e vão aumentando as já existentes. Depois, com o contínuo aumento das cargas, começam a surgir as fissuras diagonais, ou de cisalhamento. Quando se atinge um estado tal de fissuração, como o apresentado na Figura 8.21 para a carga última (P=142 kN), diz-se que a viga atingiu um estado limite último, ou chegou à ruína.

Para a peça nesse estágio de fissuração podemos comparar a viga de concreto armado a uma treliça isostática, com banzos paralelos de tração e compressão (flexão) e diagonais tracionadas e comprimidas (cisalhamento) com inclinação de 135o e 45o, respectivamente, em relação ao eixo longitudinal da peça, como mostra a Figura 8.22.

Por motivo de simplificação do modelo, costuma-se adotar a treliça de banzos paralelos, diagonais comprimidas à 45o e diagonais tracionadas à 90o, ou verticais, como indicado na Figura 8.23.

Page 209: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

201

Figura 8.21. Ensaios de Sörensen. Evolução da fissuração (FUSCO, 1981).

Page 210: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

202

Figura 8.22. Treliça clássica de Mörsch com diagonais de tração à 135o.

Figura 8.23. Treliça clássica de Mörsch com diagonais de tração à 90o.

Para a treliça da Figura 8.23, admite-se que o concreto resista às tensões de compressão do banzo comprimido e da diagonal comprimida, que é denominada de biela de compressão. As armaduras longitudinais serão dimensionadas para os esforços de tração do banzo tracionado e as armaduras transversais (estribos) serão dimensionadas para resistir aos esforços diagonais de tração, e serão posicionados na vertical, com inclinação de 90o com o eixo longitudinal da peça. As armaduras transversais devem ser sempre posicionadas com a mesma inclinação das diagonais tracionadas.

Hipóteses básicas

A treliça de Mörsch admite as seguintes hipóteses (Figura 8.24):

• A treliça é isostática. Não há engastamento nos nós, ou seja, na ligação entre os banzos e as diagonais;

• Os banzos tracionado e comprimido são paralelos;

• A biela de compressão de concreto tem uma inclinação de 45o em relação ao eixo da peça.

Figura 8.24 - Hipóteses da treliça clássica (FUSCO, 1981).

Page 211: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

203

Imperfeições do modelo de treliça

As investigações experimentais já realizadas mostraram que os efeitos das forças cortantes nas vigas de concreto armado não podem ser adequadamente avaliados por meio da analogia clássica da treliça. Isso se deve principalmente a três fatores:

• A inclinação das fissuras é menor que a admitida por Mörsch;

• Os banzos comprimido e tracionado não são paralelos. Existe o arqueamento do banzo comprimido, principalmente em direção aos apoios;

• A treliça é altamente hiperestática. Existe o engastamento das diagonais de tração no banzo comprimido, já que este, assim como as bielas de compressão, possuem uma rigidez bem maior que as barras tracionadas.

Para que essa avaliação seja possível, torna-se necessário adotar um modelo de cálculo que melhor interprete a realidade dos fenômenos. Os modelos de cálculo presentemente adotados, decorrentes de analogias generalizadas de treliça, atendem às necessidades práticas do dimensionamento das peças correntes de concreto estrutural.

Em princípio, várias tentativas foram feitas no sentido de se estabelecer treliças hiperestáticas, com bielas diagonais de diferentes inclinações. Essas tentativas foram abandonadas face à complexidade de cálculo desses modelos.

Por esta razão, como modelo teórico padrão de cálculo adota-se a treliça isostática, com banzos comprimido e tracionado paralelos, bielas inclinadas de 45o com o eixo da peça e diagonais tracionadas com inclinação entre 90o e 135o com o eixo da peça (Figuras 8.22 e 8.23). Na prática, de maneira geral, adota-se a treliça com diagonais à 90o, ou seja, com armaduras transversais verticais. Sobre esses modelos são introduzidas algumas modificações para levar em conta as imperfeições. Essas modificações são descritas a seguir.

Hipóteses modificadas para o cálculo

Para o dimensionamento das peças ao esforço cortante serão admitidas as seguintes hipóteses:

• Utilização da treliça isostática para a concepção do problema;

• Decalagem do diagrama de esforços de valor al, com al variando entre 0,5d e d;

• Banzos comprimido e tracionado paralelos, distantes entre si de um braço z, com d=1,15.z;

• Consideração da contribuição do concreto na resistência à tração, através do valor de Vc, para levar em conta a hiperestaticidade da treliça.

A Figura 8.25 apresenta o modelo de treliça utilizado.

Page 212: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

204

z

V

Md

d

Vd

Asw

FT

α

β=45oα

s

Figura 8.25 – Modelo de treliça para o cálculo do esforço cortante.

Para o modelo apresentado na Figura 8.25, tem-se:

( ) ( )

( ) )I.Eq(.sengcot1d

V.15,1s

A

gcot115,1dgcot1zs:geometriaDa

.sen.sV

sA

)s(.sen

VA

FA

senV

F15,1dz

sd

dsw

sd

dsw

sd

dsw

sd

tsw

dt

σαα+=

α+=α+=→

σα=÷

σα=

σ=

α=≅

Com base nestas hipóteses, e na Equação I, pode-se fazer a verificação da tensão de compressão nas bielas diagonais e o dimensionamento das armaduras transversais.

Dimensionamento segundo a NBR 6118 (2004)

A NBR 6118 (2004) admite dois modelos de cálculo para o dimensionamento ao esforço cortante (que serão descritos em seguida) “que pressupõem a analogia de treliça, com banzos paralelos, associados a mecanismos resistentes complementares no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc”. Independentemente de qual modelo de cálculo for adotado, para as peças com bw ≤ 5d, a armadura transversal mínima (constituída de estribos) deve ter uma taxa geométrica de:

3 2ckctm

ywk

ctm

w

swsw f3,0f

ff

2,0sen.s.b

A=≥

α=ρ

Em que: Asw = área da seção transversal dos estribos;

s = espaçamento dos estribos;

α = inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural (45º ≤ α ≤ 90º);

bw = largura média da alma;

fywk = resistência ao escoamento do aço da armadura transversal.

Page 213: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

205

Para a verificação quanto ao ELU, como já foi dito, deve-se verificar a biela comprimida aos esforços de compressão e determinar a área da armadura transversal para os esforços de tração. Segundo a NBR 6118 (2004), “A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições”:

swc3RdSd

2RdSd

VVVVVV

+=≤≤

Em que: VSd = força cortante solicitante de cálculo, na seção;

VRd2 = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, de acordo com um dos modelos de cálculo adotado;

VRd3 = Vc + Vsw = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça e Vsw a parcela resistida pela armadura transversal, de acordo com um dos modelos de cálculo adotado.

A Norma permite que se utilize um dos dois modelos a seguir.

• Modelo de cálculo I: admite diagonais de compressão inclinadas de Θ = 45º em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc tenha valor constante, independente de VSd.

• Modelo de cálculo II: admite diagonais de compressão inclinadas de Θ em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com Θ variável livremente entre 30º e 45º. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd.

No nosso curso, iremos adotar o Modelo II, com diagonais comprimidas de Θ = 45º.

a) Verificação da compressão diagonal do concreto

( )( ) )MPa(250f1

gcotgcotsen.d.b.f..54,0V

ck2v

2wcd2v2Rd

−=αΘ+αΘα=

b) Cálculo da armadura transversal

( )

−→<

+

−→

=

αΘ+α

=

+=

compressãoflexonaV.2M

M1.V

seçãonaLNcomtraçãoflexonaesimplesflexãonaV

seçãodaforaLNcomstracionadoelementos0

V

sen.gcotgcot.f.d.9,0.s

AV

VVV

1cmáx,Sd

01c

1cc

ywdsw

sw

swc3Rd

Page 214: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

206

c

inf,ctkctdwctd0c

2RdSd

0cSd0c1c

ffd.b.f.6,0V

sermediáriointvaloresparaseerpolaintVV0

VVVV

γ==

=→≤→

=

Em que: bw = menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d;

fywd = tensão na armadura transversal, limitada ao valor fyd no caso de estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435MPa.

Quando utilizamos estribos a 90º e inclinação da biela comprimida de 45º, temos que:

sen2 45º = 0,5 sen 90º = 1 cotg 90º = 0 cotg 45º = 1

Logo,

ywdsw

sw

wcd2v2Rd

f.d.9,0s

AV

d.b.f..27,0V

=

α=

A seguir, vamos dimensionar as vigas do pavimento tipo em estudo para o esforço cortante. Primeiro determina-se a taxa de armadura mínima para os estribos, admitindo-se que o aço para as armaduras transversais também é o CA 50 A.

cm/cm012,012.001,0s

A

%10,000103,0500

253,02,0ff

2,0

2

min

sw

3 2

ywk

ctmmín,sw

==

====ρ

V101 (12/35) Vk = 36,0kN VSd = 1,4 . 36,0 = 50,40kN

a) VSd ≤ VRd2

9,02502512v =

−=α

OK40,50VkN01,15129,0.12,0.4,1

25000.9,0.27,0V Sd2Rd =>==

b) VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw

Vc = Vc1 (flexão simples) VSd = VRd3 ∴ Vsw = VSd – Vc

kN78,2610.29,0.12,0.4,1

25.3,0.7,0.6,0V 33 2

0c =

=

Page 215: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

207

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

sA

cm/cm0253,010.

15,1500000.29,0.9,0

71,28s

AkN71,2869,2140,50V

kN69,21VerpolarintVVVeVV

>=

=

=−==⇒⇒→><

V103 (12/30) Vk = 13,4kN VSd = 18,76kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN97,12424,0.12,0.4,1

25000.9,0.27,0V Sd2Rd >==

b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

AkN40,316,2276,18V

kN16,22VVVV

kN16,2210.24,0.12,0.4,1

25.3,0.7,0.6,0V

2

min

swsw

0c1cSd0c

33 2

0c

=

→−=−=

==→>

=

=

V104 (12/45) Vk = 85,6kN VSd = 119,84kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN08,203V Sd2Rd >=

b) VSd ≤ VRd3

kN90,10194,1784,119VkN94,17VerpolarintVVVeVV

N01,36V

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

=−==⇒⇒→><

=

min

sw22sw

sA

cm/cm067,010.

15,1500000.39,0.9,0

9,101s

A

>=

=

V105 (12/30) Vk = 82,0kN VSd = 114,80kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN97,124V Sd2Rd >=

b) VSd ≤ VRd3

kN16,22V 0c =

Page 216: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

208

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

sA

cm/cm120,010.

15,1500000.24,0.9,0

61,112s

AkN61,11219,280,114V

kN19,2VerpolarintVVVeVV

>=

=

=−==⇒⇒→><

V106 (12/30) Vk = 5,7kN VSd = 7,98kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN97,124V Sd2Rd >=

b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

AkN18,1416,2298,7V

kN16,22VVVVkN16,22V

2

min

swsw

0c1cSd0c

0c

=

→−=−=

==→>=

V107 (12/40) Vk = 84,1kN VSd = 117,74kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN04,177V Sd2Rd >=

b) VSd ≤ VRd3

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

sA

cm/cm0079,010.

15,1500000.34,0.9,0

95,104s

AkN95,10479,1274,117V

kN79,12VerpolarintVVVeVVkN40,31V

>=

=

=−==⇒⇒→><

=

V112 (12/40) Vk = 53,7kN VSd = 75,18kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN04,177V Sd2Rd >=

b) VSd ≤ VRd3

kN77,5341,2118,75VkN41,21VerpolarintVVVeVV

kN40,31V

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

=−==⇒⇒→><

=

Page 217: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

209

min

sw22sw

sA

cm/cm040,010.

15,1500000.34,0.9,0

77,53s

A

>=

=

V113 (12/35) Vk = 18,6kN VSd = 26,04kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN01,15129,0.12,0.4,1

25000.9,0.27,0V Sd2Rd >==

b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

AkN74,078,2604,26V

kN78,26VVVV

kN78,2610.29,0.12,0.4,1

25.3,0.7,0.6,0V

2

min

swsw

0c1cSd0c

33 2

0c

=

→−=−=

==→>

=

=

V115 (12/35) Vk = 18,0kN VSd = 25,2kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN01,151V Sd2Rd >=

b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

AkN58,178,262,25V

kN78,26VVVVkN78,26V

2

min

swsw

0c1cSd0c

0c

=

→−=−=

==→>=

V116 (12/50) Vk = 56,3kN VSd = 78,82kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN11,22944,0.12,0.4,1

25000.9,0.27,0V Sd2Rd >==

b) VSd ≤ VRd3

kN95,32VerpolarintVVVeVV

kN63,4010.44,0.12,0.4,1

25.3,0.7,0.6,0V

1c1cSd2RdSd0c

33 2

0c

=⇒⇒→><

=

=

Page 218: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

210

min

sw22sw

sw

sA

cm/cm027,010.

15,1500000.44,0.9,0

87,45s

AkN87,4595,3282,78V

>=

=

=−=

V118 (12/40) Vk = 63,2kN VSd = 88,48kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN04,177V Sd2Rd >=

b) VSd ≤ VRd3

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

sA

cm/cm052,010.

15,1500000.34,0.9,0

39,69s

AkN39,6909,1948,88V

kN09,19VerpolarintVVVeVVkN40,31V

>=

=

=−==⇒⇒→><

=

V120 (12/30) Vk = 20,3kN VSd = 28,42kN

a) VSd ≤ VRd2

OKVkN97,124V Sd2Rd >=

b) VSd ≤ VRd3

cm/cm012,0s

Acm/cm0081,010.

15,1500000.24,0.9,0

61,7s

AkN61,781,2042,28V

kN81,20VerpolarintVVVeVVkN16,22V

2

min

sw22sw

sw

1c1cSd2RdSd0c

0c

=

<=

=

=−==⇒⇒→><

=

A Tabela 8.5 apresenta o resumo do dimensionamento das vigas do pavimento tipo em estudo, indicando as áreas de aço longitudinais e transversais.

Percebe-se que, para as vigas que não passaram com armadura simples e a seção retangular de pré-dimensionamento, temos três opções de arranjo para escolher: armadura simples com altura maior que a da seção de pré-dimensionamento; armadura dupla com a seção de pré-dimensionamento; e armadura simples e seção T. Qual é a melhor opção para o projeto, depende das características de cada obra.

Page 219: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

211

Tabela 8.5 – Resumo das áreas de aço para as vigas do pavimento tipo em estudo (dimensões em cm).

ELU – Solicitações normais

Simplesmente armada Duplamente armada Seção T

ELU – Solicitações tangenciais Viga bw

h As h As A’s h As h Asw/s

V101 12 40 4,19 35 5,26 0,39 35 4,37 35 0,0253

V103 12 30 1,32 --- --- --- --- --- 30 0,012

V104 12 45 6,04 --- --- --- --- --- 45 0,067

V105 12 40 4,13 --- --- --- 30 5,57 30 0,120

V106 12 30 0,43 --- --- --- --- --- 30 0,012

V107 12 40 4,23 --- --- --- --- --- 40 0,079

V112 12 45 5,28 40 6,34 0,64 --- --- 40 0,040

V113 12 35 2,14 --- --- --- --- --- 35 0,012

V115 12 35 1,90 --- --- --- --- --- 35 0,012

V116 12 55 6,30 50 7,44 0,04 50 6,12 50 0,027

V118 12 50 6,47 --- --- --- 40 7,09 40 0,052

V120 12 30 3,11 --- --- --- --- --- 30 0,012

8.4.2. Momento torçor

O tema tratado neste item foi baseado em MACGREGOR (1984) e GIONGO & TOTTI (1994), com alguns trechos inteiramente transcritos dessas referências.

Um momento atuando em volta do eixo longitudinal de uma peça é chamado de MOMENTO TORÇOR (T). Nas estruturas, a torção pode resultar de carregamentos excêntricos ou de deformações resultantes da continuidade de vigas ou peças similares que se juntem formando um ângulo entre elas.

Os carregamentos de torção podem ser separados em dois grupos básicos:

a) Torção equilibrante (Figura 8.26);

(a)

(b)

Figura 8.26 – Exemplos de torção equilibrante: (a) viga em balanço com carga excêntrica; (b) viga apoiando duas lajes pré-moldadas com reações diferentes (MACGREGOR, 1984).

Page 220: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

212

Figura 8.27 – Exemplo de torção de equilíbrio: viga da marquise (MACGREGOR, 1984).

Quando se tem uma torção equilibrante, é obrigatória a sua consideração, pois o momento torçor é necessário para o equilíbrio estático da peça. A sua não consideração pode levar a estrutura ao colapso, por falta de capacidade resistente à torção. Para o exemplo da Figura 8.27, a única consideração estática possível da estrutura é admitir a laje em balanço engastada na viga AB, o que gera nela um momento uniformemente distribuído ao longo do seu eixo. Esse, por sua vez, tem que ser equilibrado pelo engastamento nos pilares. Esses esforços em conjunto levam ao aparecimento de momentos torçores na viga, que deve ser dimensionada para eles.

b) Torção de compatibilidade (Figura 8.28).

Figura 8.28 – Exemplo de torção de compatibilidade (MACGREGOR, 1984).

Page 221: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

213

Para o sistema da Figura 8.28, se a viga AB se apóia na viga CD, quando a primeira se deformar traz consigo a última, causando nela um giro, ou seja, torção. Porém, se a viga CD não tiver rigidez à torção suficiente, ela vai simplesmente deformar, e se acomodar. Portanto, temos duas opções: ou se fornece rigidez suficiente e dimensiona a viga à torção; ou a deixa deformar.

Quando se tem uma torção de compatibilidade, em que o momento torçor é resultante da compatibilidade das deformações da estrutura, como descrito anteriormente, ela pode ser desprezada, como exemplifica a Figura 8.29.

Figura 8.29 – Laje maciça de pavimento ligada a viga de extremidade (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI,

1994).

Para as vigas de bordo nos pavimentos de edifícios, como o da Figura 8.29, o momento fletor uniformemente distribuído atuante na ligação da laje com a viga é transferido para a viga, tendendo a provocar um giro na mesma. Esse momento gera, então, reações de flexão nos pilares que se contrapõem ao giro, fazendo com que apareça na viga tensões tangenciais que provocam a torção.

Na maioria dos projetos estruturais de edifícios, as vigas são limitadas pela arquitetura a seções entre 12cm e 20cm, e esses valores não são suficientes para que a seção transversal absorva as tensões transversais oriundas da torção. Esse efeito, então, é desprezado na maioria das vezes pela consideração de apoio simples das lajes nas vigas de bordo e não de engastamento, como apresentado no exemplo da Figura 8.29.

Como se sabe, o momento torçor é um momento que atua em volta do eixo longitudinal de uma peça. Considere-se, então, uma barra se seção transversal circular que sofre torção por meio de um momento aplicado na sua extremidade livre, como mostra a Figura 8.30.

Page 222: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

214

Figura 8.30 – Peça submetida à torção (MACGREGOR, 1984).

Nessa situação, de torção pura, as seções transversais girarão em torno do eixo longitudinal da peça, de forma que o mesmo não sofre nenhuma variação. Porém, as fibras longitudinais que são paralelas ao eixo central sofrerão distorção, tanto maior quanto mais afastadas do centro elas estiverem, como mostra a Figura 8.31.

Figura 8.31 – Distribuição das tensões transversais de torção em seção circular e seção quadrada

(MACGREGOR, 1984).

Tomando-se um elemento infinitesimal situado na face externa da barra, ele sofrerá uma distorção, com variação entre os ângulos dos seus vértices, que não serão mais retos, ou seja, a seção transversal deixa de ser plana. A deformação das fibras paralelas ao eixo da peça é denominada de empenamento. A Figura 8.32 apresenta o empenamento para uma seção retangular. Nota-se que o plano da seção transversal, após o empenamento, se transforma em uma superfície curva espacial.

Figura 8.32 – Barra solicitada à torção (Süssekind, apud GIONGO & TOTTI, 1994).

A torção simples com empenamento livre irá produzir um sistema de tensões principais atuantes com inclinação de 45º com a horizontal, como mostra a Figura 8.33.

Page 223: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

215

Figura 8.33 – Tensões principais em barra cilíndrica submetida a torção simples (Leonhardt apud GIONGO &

TOTTI, 1994).

Observa-se, na Figura 8.33, que as tensões de tração ocorrem na direção da rotação da barra, e as de compressão na direção perpendicular à mesma, seguindo uma trajetória helicoidal e com tensões máximas ocorrendo nas faces externas da barra. A Figura 8.34 apresenta a variação das tensões em alguns tipos de seção.

Figura 8.34 – Variação das tensões em seções retangulares, circulares e vazadas (Leonhardt apud GIONGO &

TOTTI, 1994).

A tensão de torção (τT) pode ser calculada pela expressão a seguir, que representa uma tensão tangencial, em que WT é o módulo resistente à torção da seção.

tT W

T=τ

A distribuição das tensões de cisalhamento numa seção transversal pode ser visualizada usando-se da Analogia de Membrana ou da Analogia do “Monte de Areia”.

Analogia de membrana

A analogia de membrana é um procedimento perfeitamente elástico que associa as inclinações das tensões de cisalhamento provocadas pela torção às inclinações de uma membrana inflada. A tensão máxima em cada ponto da membrana é proporcional à tensão de cisalhamento neste

Page 224: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

216

ponto, que age perpendicularmente à direção da inclinação máxima. Logo, o momento torçor é proporcional ao volume sob a membrana. Pode-se dizer, então, que as equações para as inclinações de uma membrana inflada são análogas às tensões de cisalhamento devido à torção. A Figura 8.35 apresenta um esquema da analogia de membrana.

Analogia do monte de areia

Essa analogia é perfeitamente plástica, e considera que as tensões de cisalhamento são constantes em todos os pontos, análogas às figuras que tenham inclinação constante: o cone para as seções circulares; e as pirâmides para as seções retangulares.

(a)

(b)

Figura 8.35 – Analogia de membrana: (a) barra circular; (b) barra quadrada (MACGREGOR, 1984).

Conclusões sobre as analogias

Essas analogias, de membrana e do monte de areia, podem ser consideradas em separado para o concreto, apesar do mesmo ser um material elasto-plástico. Soluções baseadas nas duas analogias têm dado bons resultados em predizer o comportamento das peças sob torção.

Viga de concreto armado submetida ao esforço cortante e ao momento torçor

Quando uma peça está submetida a esforços de cortante e torçor, esses podem ser dimensionados separadamente e depois somam as duas contribuições, somando-se, também, a contribuição do momento fletor. Portanto, pode-se seguir o seguinte procedimento:

Inclinação da superfície A

Buraco circular feito na placa

Membrana

Membrana

Buraco quadrado feito na placa

Page 225: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

217

1) Dimensiona-se para o momento fletor: verifica-se o concreto na zona comprimida e determinam-se as armaduras longitudinais;

2) Dimensiona-se para o esforço cortante: verifica-se o concreto para as bielas de compressão e determinam-se as armaduras transversais (estribos);

3) Dimensiona-se para o momento torçor: verifica-se o concreto e determinam-se as armaduras longitudinais e transversais;

4) Verifica-se o concreto para a ação conjunta do cortante e do torçor;

5) Somam-se as armaduras longitudinais (fletor e torçor) e as transversais (cortante e torçor);

6) Detalha-se a peça.

A Figura 8.36 apresenta um esquema com as direções principais e o padrão de fissuração para uma viga submetida à torção pura e à ação combinada do cortante e da torção.

(a) (b)

Figura 8.36 – Tensões principais de tração e padrão de fissuração: (a) viga sob torção pura; (b) viga sob ação combinada do cortante e da torção (MACGREGOR, 1984).

Tensões de cisalhamento Tensões de cisalhamento devido

à torção

Tensões principais Tensões de cisalhamento devido

ao cortante

Fissuração Fissuração

Page 226: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

218

Verificação da segurança

A verificação da segurança de vigas de concreto armado submetidas a tensões tangenciais oriundas da torção é feita baseada no princípio de que a resistência do concreto à tração é desprezada. O momento torçor deve ser majorado do coeficiente de majoração das solicitações, que é adotado igual a 1,4, conforme indicação de norma. As condições de segurança devem atender:

a) As tensões nas armaduras, calculadas supondo o concreto fissurado (Estádio II), não devem ultrapassar a resistência de cálculo das barras da armadura;

b) As tensões de compressão no concreto, no Estádio II, devem ser limitadas a valores baixos, restringindo-se a uma parcela da resistência à compressão do concreto, pois nas diagonais surgem tensões secundárias elevadas.

Dimensionamento à torção

Existem duas teorias que são usadas no dimensionamento de peças de concreto armado:

a) “Skew Bending Theory” (Teoria do Parafuso): Lening – ACI

• Concreto resiste à parte do cortante e da torção;

• Seções vazadas ou cheias são tratadas como cheias.

b) Analogia de Treliça Plástica Espacial: Lampert et al – CANMET, CEB, NBR

• Similar a Analogia de treliça de Mörsch;

• Concreto resiste à parte do cortante, apenas;

• Seções vazadas ou cheias são tratadas como vazadas.

Para a analogia de treliça plástica espacial, o mecanismo resistente da peça é tal que os esforços de tração são absorvidos pela armadura transversal, pois, as treliças, que se formam nas faces da viga (Figura 8.37), não possuem banzos comprimidos inclinados e também não possuem diagonais comprimidas com inclinação menor do que 45º, a exemplo do que se fez para o mecanismo resistente para a força cortante.

Figura 8.37 – Torção simples – modelo de uma seção cheia fissurada (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI,

1994).

Page 227: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

219

Para o modelo de cálculo, pode-se trabalhar com duas treliças espaciais: (a) com armadura inclinada de 45º (Figura 8.38); (b) ou com armaduras perpendiculares e paralelas ao eixo da peça (Figura 8.39).

Figura 8.38 – Treliça com armadura inclinada de 45º (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI, 1994).

Na Figura 8.38, na seção transversal representada pelo corte transversal passando pelo plano I-I, se for feita a análise do equilíbrio do esforço externo (T) e do esforço interno, tem-se:

2.bT

RR

2

R

2

RbT

wcwsw

cwsww

==

+=

E a tensão no concreto é calculada pela expressão:

t.A.2T

tR

c

cwc ==σ

Em que t é a espessura da parede da seção vazada associada à seção real da viga.

Page 228: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

220

Figura 8.39 – Torção simples – armadura perpendicular e paralela ao eixo (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI,

1994).

O arranjo de armadura constituído por barras dispostas longitudinalmente e distribuídas ao longo do perímetro dos estribos, e por estribos perpendiculares ao eixo da viga, é o mais indicado. Pois, as barras longitudinais têm a sua área da seção transversal calculadas para absorver também as tensões normais oriundas da flexão e os estribos, também, têm sua área definida em função das tensões tangenciais devido à flexão. Além disso, esse arranjo facilita a execução da viga na obra, em contraposição às armaduras helicoidais que exigem maior dispêndio de mão-de-obra.

A análise dos esforços internos e tensões é feita considerando como modelo resistente a treliça da Figura 8.39, que é constituída por barras longitudinais tracionadas, barras perpendiculares também tracionadas e diagonais comprimidas. A Figura 8.40 apresenta o arranjo das armaduras.

Determinação da seção vazada equivalente

O valor da tensão tangencial de torção (τT), admitindo uma seção vazada, é dada pela expressão a seguir, desenvolvida por Bredt, em que he é a espessura da parede da seção vazada e Ae é a área limitada pela linha média da parede, incluindo a parte vazada, como mostra a Figura 8.41.

Page 229: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

221

eeT h.A.2

T=τ

Figura 8.40 – Arranjo das armaduras de torção (FUSCO, 1995).

b

h

e

w

Asc1

h

Figura 8.41 – Propriedades da seção vazada.

A NBR 6118 (2004) estabelece que para seções poligonais convexas cheias, “A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente he dada por:”

1ee c.2huAh ≥≤

em que: A = área da seção cheia (A = h x bw);

u = perímetro da seção cheia (u = 2 h + 2 bw);

c1 = distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural (Figura 8.41).

Para uma seção composta de retângulos, a NBR 6118 (2004) estabelece que, “O momento de torção total deve ser distribuído entre os retângulos conforme sua rigidez elástica linear. Cada

Page 230: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

222

retângulo deve ser verificado isoladamente com a seção vazada equivalente. Assim, o momento de torção que cabe ao retângulo i (TSdi) é dado por:”

∑=

i3i

i3i

SdSdi b.ab.aTT

em que: a = menor lado do retângulo;

b = maior lado do retângulo.

Para as seções vazadas, a NBR 6118 (2004) diz que para a espessura da parede, deve ser considerado o menor entre os seguintes valores:

• A espessura real da parede;

• A espessura equivalente calculada supondo a seção cheia de mesmo contorno externo da seção vazada.

Considerações da NBR 6118 (2004)

A Norma estabelece que as condições nela fixadas admitem um modelo constituído por treliça espacial, com as diagonais de compressão formadas por elementos de concreto e com inclinação Θ variando entre 30º ≤ Θ ≤ 45º.

Segundo a NBR 6118 (2004), “Admite-se satisfeita a resistência do elemento estrutural, numa dada seção, quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições:”

4,RdSd

3,RdSd

2,RdSd

TTTTTT

em que: TRd,2 = limite dado pela resistência das diagonais comprimidas;

TRd,3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural;

TRd,4 = limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural.

a) Condições gerais

Segundo a NBR 6118 (2004), “Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente, calculada de acordo com as prescrições desta seção e com taxa geométrica mínima dada pela expressão:”

ywk

ctm

w

swsws f

f2,0

s.bA

≥=ρ=ρ

Page 231: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

223

E ainda, “Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito a torção seja menor ou igual a 2h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, deve-se respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que: VSd ≤ 0,7 VRd2.”

b) Verificação da compressão diagonal do concreto

Segundo o item 17.5.1.5 da NBR 6118 (2004), “A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por:”

)MPa(250f

1

)2(sen.h.A.f..50,0T

ck2v

eecd2v2Rd

−=α

Θα=

em que: Θ = ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30º≤Θ≤ 45º;

Ae = área limitada pela linha média da parede de seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada;

he = espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado.

c) Cálculo das armaduras

Segundo o item 17.5.1.6 da NBR 6118 (2004), tem-se que: “Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente à parede equivalente, quando:”

• A resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural atende à expressão:

Θ

= gcot.A2.f

sA

T eywd90

3Rd

em que: fywd = resistência de cálculo do aço da armadura passiva, limitada a 435MPa.

• A resistência decorrente das armaduras longitudinais atende à expressão:

Θ

= tg.f.A2

uA

T ywdes

4Rd

Em que: As = soma das áreas das seções das barras longitudinais;

u = perímetro de Ae.

“A armadura longitudinal de torção, de área total As, pode ter arranjo distribuído ou concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação (∆As/ ∆u), onde ∆u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área ∆As”.

“Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal”.

Page 232: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

224

Solicitações combinadas

A NBR 6118 (2004) permite que se dimensione separadamente para a flexão simples e a torção, e depois os seus efeitos, ou seja, as armaduras longitudinais se somam. Já para o cortante e a torção, a Norma também permite que se dimensione os dois separadamente e se somem as armaduras transversais, desde que seja adotado o mesmo ângulo para a inclinação das bielas (Θ), e que a resistência à compressão diagonal do concreto satisfaça à seguinte expressão:

1TT

VV

2Rd

Sd

2Rd

Sd ≤+

Em que VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção.

Adotando-se Θ = 45º, assim como para o cortante, as expressões para TRd2, TRd3 e TRd4 transformam-se em:

ywdes

4Rd

eywd90

3Rd

eecd2v2Rd

f.A2u

AT

A2.fs

AT

h.A.f..50,0T

=

=

α=

Exemplo

Verifique e dimensione a viga da Figura 8.42 para a torção.

Figura 8.42 – Viga submetida à torção.

DADOS: fck = 25MPa

CA 50A

Tk = 15kN.m

VSk = 90kN

cob. = 30mm

φlong = 10mm

φest = 6,3mm

1) Cálculo da seção vazada equivalente:

( )

2ee

ee

1e

1

ce

cm25,7675,46.5,16Acm5,465,855h

cm5,165,825bcm5,8hcm26,813,4.2c.2h

cm13,45,063,00,3'dc

cm59,855252

55.25u

Ah

===−=

=−====≥

=++==

=+

=≤

Page 233: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

225

2) Verificação do concreto (Θ = 45º):

OKm.kN41,52085,0.076725,0.4,1

2500025025150,0T

m.kN2115.4,1T

2Rd

Sd

=

−=

==

3) Cálculo da armadura transversal:

cm/cm0315,025.00126,0s

A

OK%10,0%126,0%10,000103,0500

253,02,0

%126,000126,025,0.076725,0.2

15,1500000

21b.A2.f

T

TTA2.f

Ts

As.b

A

2sw

minswsw

3 2

minsw

weywd

Sdsw

Sd3Rdeywd

3Rd90

w

swsw

==

=ρ>=ρ⇒===≥ρ

==

==ρ

≥==ρ

4) Cálculo da armadura longitudinal:

cm/cm0315,0)5,465,165,465,16(

A)hbhb(

Au

A

cm/cm0315,010x

15,1500000.076725,0.2

21u

ATT

f.A2T

uA

2s

eeee

ss

22sSd4Rd

ywde

4Rds

=+++

=+++

=

=

=≥=

Para as faces superior e inferior: As,sup = As,inf = 16,5 . 0,0315 = 0,52cm2

Para as faces laterais: As,lat = 46,5 . 0,0315 = 1,46cm2

5) Verificação da combinação (cortante + torção):

OK163,041,52

2185,551

126TT

VV

kN85,5515087,0.25,04,1

2500025025127,0V

kN12690.4,1V

2Rd

Sd

2Rd

Sd

2Rd

Sd

<=+=+

=

−=

==

EXERCÍCIO 8.3:

Para a estrutura da Figura 8.43, apresente o seu detalhamento completo. A figura representa a fôrma estrutural de uma marquise, que é normalmente adotada nos projetos arquitetônicos para as entradas dos edifícios. Neste caso, ela é constituída por laje maciça em balanço e viga contínua vinculada a três pilares.

O desenho da fôrma estrutural de edifícios construídos em concreto armado é feito com o observador posicionado no nível inferior à estrutura que se quer mostrar e olhando para cima. Por isto os traços internos da viga e das nervuras na borda da marquise são desenhados em traço pontilhado. O corte transversal pode ser representado no próprio desenho da fôrma,

Page 234: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

226

desde que aí seja rebatido, ou fora dela, conforme mostra a Figura 8.43. A Figura 8.44 apresenta a vinculação, as ações e as solicitações para a laje em balanço.

Figura 8.43 – Fôrma estrutural da marquise (GIONGO & TOTTI, 1994).

Figura 8.44 – Vinculação, ações e esforços solicitantes (GIONGO & TOTTI, 1994).

55

55

Page 235: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

227

8.5. DETALHAMENTO

Segundo a NBR 6118 (2004), “O arranjo das armaduras deve atender não só a sua função estrutural como também às condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural”.

A Figura 8.45 apresenta um esquema de detalhamento a ser evitado.

Figura 8.45 – Exemplos de congestionamentos inaceitáveis (FUSCO, 1995).

A Figura 8.46 mostra o detalhe do adensamento de uma viga de concreto com um vibrador de mangueira.

Page 236: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

228

Figura 8.46 – Detalhe do adensamento de viga.

A NBR 6118 (2004) apresenta vários critérios de disposições construtivas e regras de detalhamento para as vigas, tanto para as armaduras longitudinais e transversais principais (armaduras longitudinais de flexão e torção, e armaduras transversais de cortante e torção) como para as armaduras secundárias, ou construtivas, tais como as armaduras de pele (para peças com h>60cm) e os porta-estribos.

Para o nosso curso, iremos nos preocupar, basicamente, com as armaduras principais, e, apenas, algumas das secundárias. Para um detalhamento mais completo, deve-se, obrigatoriamente, consultar a NBR 6118 (2004).

Armaduras longitudinais

No que diz respeito à flexão, o posicionamento das armaduras deve seguir o diagrama de momento fletores, que indica onde a peça está tracionada, e fazer a decalagem do mesmo, como mostra a Figura 8.47.

A A

A

s+

-

a

a a

a a a

s

s

+

b b

bb

+

-

+

M=0M=0

Figura 8.47 – Distribuição das armaduras longitudinais segundo o diagrama de momentos fletores.

Page 237: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

229

Quando se quer reduzir a taxa de armadura, e fazer o seu escalonamento, a NBR 6118 (2004) permite que se proceda conforme a Figura 8.48.

a a

a a

b

A A

B B

CC

>

10φ

10φ

10φ

10φ

Figura 8.48 – Escalonamento das armaduras segundo o diagrama de momento.

De acordo com a Figura 8.48, para o valor do Mmáx (no ponto A), a partir do qual a tensão na armadura começa a diminuir, deve-se ancorar a barra até 10φ além do ponto B, desde que respeitado o comprimento mínimo de ancoragem para o ponto A. Para o MB, deve-se ancorar a barra até 10φ do ponto C, e assim sucessivamente, respeitando-se sempre os valores de lb.mín. O mesmo procedimento vale para os momentos negativos.

A distância entre as barras longitudinais, tanto na horizontal (ah) como na vertical (av), é a indicada no item 8.3.1. deste capítulo.

A NBR 6118 (2004) diz ainda que: “Os esforços nas armaduras podem ser considerados concentrados no centro de gravidade correspondente (CGs), se a distância deste centro ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10% de h”. A Figura 8.49 exemplifica a recomendação da Norma.

17

3

0,5

3,1

3,125

1,25

6,63

12,5

3,125

1,25

3

1

1,25

0,5

2,5

0,51,25

CGs

4φ10

3φ12,5

cm0,311,0

10,3h

cm60,6y95,6

)25,1175,7(x8,0x2125,4x25,1x3y

cm95,625,1x38,0x4A 2total,s

=≥

=

=++

=

=+=

Figura 8.49 – Centro de gravidade da armadura.

Para garantir que as vigas terão capacidade para resistir aos esforços de tração junto aos apoios, deve-se prolongar parte da armadura longitudinal de tração correspondente ao momento positivo máximo, de modo que:

Page 238: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

230

)móduloem(M5,0MA41A

)móduloem(M5,00

MA31A

vãoapoiovão,sapoio,s

vãoapoiovão,sapoio,s

>⇒≥

≤=

⇒≥

Armaduras transversais

Segundo a NBR 6118 (2004), para elementos estruturais com estribos, tem-se que: ”Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancoradas na face oposta. O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga. O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa. O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições”:

• smáx = 0,6.d ≤ 30cm ⇒ Vd ≤ 0,67 VRd2;

• smáx = 0,3.d ≤ 20cm ⇒ Vd > 0,67 VRd2.

Para o espaçamento adotaremos as mesmas condições que para as lajes: 7cm ≤ s ≤ smáx. Porém, o ideal é um smín = 10cm.

Armadura de pele

A NBR 6118 (2004) estabelece que, para vigas com altura maior do 60cm, tem-se: “A mínima armadura lateral deve ser 0,10% de Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de alta aderência com espaçamento não maior que 20cm e d/3”.

Projeto em estudo

Para o pavimento tipo em estudo, vamos detalhar a viga V101 (12/35).

V101 (12/35)

Do dimensionamento para o ELU para o momento fletor, admitindo uma seção em T, foi obtido o valor de As=4,37cm2 e para o esforço cortante o de (Asw/s) = 0,0253cm2/cm.

Para as armaduras longitudinais, adotando φmín = 10mm e sabendo que só cabem 2 barras por camada, tem-se:

• 6 φ 10mm ⇒ As = 4,8cm2;

• 4 φ 12,5mm ⇒ As = 5cm2;

• 2 φ 12,5mm + 2 φ 10mm ⇒ As = 4,1cm2 (área de aço inferior à necessária) .

Vamos admitir, também, uma As = 2φ12,5mm para o apoio, para levar em conta o engastamento da viga nos pilares de extremidades.

Analisando a seção transversal, segundo a Figura 8.50, temos:

Page 239: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

231

1ª opção (6φ10)

2ª opção (4φ12,5)

3ª opção (2φ10+2φ12,5)

Figura 8.50 – Opções de arranjos de armaduras para a viga V101 (12/35).

Avaliando as opções, vemos que para a 1ª opção, o d’ é maior do que o admitido inicialmente para os cálculos (d’inicial = 6cm), e a área de aço existente é maior que a necessária. A 2ª opção apresenta uma área de aço existente ainda maior que a anterior, porém o d’ é menor que o adotado inicialmente. Para a 3ª opção, temos o menor d’, porém a área de aço existente é um pouco menor do que a necessária. Vamos detalhar a 2ª opção.

No que se refere ao estribo, podemos detalhar a viga toda para o valor encontrado para o cortante máximo, ou reduzir os estribos à medida que o cortante for diminuindo. A armadura transversal mínima para a viga é de (Asw/s)mín = 0,012cm2/cm. Esse valor equivale a um cortante de:

kN22,254,131,35

4,169,2162,13

4,1VV

4,1V

V

kN62,13kgf74,136115,1

5000.29.9,0.012,0V012,0s

A

1ceequivalent,sweequivalent,sdk

eequivalent,swsw

==+

=+

==

===∴=

O ponto onde Vk = 25,22kN é dado por: m63,0x22,25x.202,170,36 =∴=−

Para determinar o arranjo da armadura, sabe-se que a área de aço colaborante para o cortante corresponde ao número de ramos verticais do estribo, que para as nossas vigas são dois. Logo, a área de aço existente de estribo é igual a duas vezes a área da seção transversal da barra da armadura. Para (Asw/s) = 0,0253cm2/cm, tem-se:

15.c5cm81,150253,0

4,0scm4,02,0.2Amm5Para

0253,0A

s0253,0s

A

2sw

swsw

φ⇒==⇒==⇒φ

=∴=

O espaçamento máximo vale:

=

≤⇒<⇒==

=

≤⇒<⇒==

cm30cm4,1729.6,0

sV67,0V23,001,15131,35

VV

cm30cm4,1729.6,0

sV67,0V33,001,15140,50

VV

máx2Rddmín2Rd

Sd

máx2Rddmáx2Rd

Sd

Page 240: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

232

Logo, para o cortante máximo, temos: φ5 c. 15cm. Para o cortante de Vk = 25,22kN, temos:

17.c5cm17s

33.c53,33012,0

4,0smm5012,0

As012,0

sA

máx

swsw

φ⇒=

φ⇒==⇒φ⇒=⇒=

A Figura 8.51 apresenta o esquema de distribuição das armaduras. A Figura 8.52 apresenta o detalhamento da viga V101 (12/35).

φ φ φ

Figura 8.51 – Distribuição dos arranjos de estribo para a V101 (12/35).

φ

φ

φ

φ

Figura 8.51 – Detalhamento da viga V101 (12/35).

EXERCÍCIO 8.4:

Detalhar as demais vigas do pavimento tipo em estudo.

Exemplos de detalhamentos

A seguir são mostradas variações de detalhamento para uma mesma viga. As Figuras 8.53 e 8.54 apresentam duas opções de detalhamento para a mesma viga V1. As Figuras 8.55 e 8.56

Page 241: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

233

Figura 8.53 – Detalhamento 1 para a viga V1.

Page 242: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

234

Figura 8.54 – Detalhamento 2 para a viga V1.

Page 243: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

235

Figura 8.55 – Detalhamento 1 para a viga V2.

Figura 8.56 – Detalhamento 2 para a viga V2.

Page 244: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

236

Figura 8.57 – Detalhamento 1 para a viga V3.

Figura 8.58 – Detalhamento 2 para a viga V3.

Page 245: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

237

Figura 8.59 – Detalhamento 3 para a viga V3.

Figura 8.60 – Detalhamento 4 para a viga V3.

Page 246: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118

238

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2004) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004.

FUSCO, P. B. – Estruturas de concreto: solicitações tangenciais. São Paulo, EPUSP, 1981.

FUSCO, P. B. – Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, PINI, 1995.

GIONGO, J. S.; TOTTI Jr., F. – Concreto armado: resistência de elementos fletidos submetidos à força cortante. São Carlos, EESC-USP, 1994.

LIN,T. Y.; BURNS, N. H. – Design of prestressed concrete structures. John Wiley & Sons, Inc., 1981.

MACGREGOR, J. G. – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1988.

SANTOS NETO, P – Resistência do Concreto à Força Cortante em Peças Fletidas. São Carlos, EESC-USP, 1977.

SÜSSEKIND, J. C. – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1 e 2, 2a ed., Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1981.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (1978) – Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978.

ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002.

CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d’Information, no 203-205, 1993.

FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. – Reinforced concrete fundamentals. John Wiley & Sons, 1988.

Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999.

FUSCO, P. B. - Estruturas de concreto: solicitações normais. Ed. Guanabara Dois S.A., Rio de Janeiro, 1981.

Page 247: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

ANEXO A

× Tabelas Ø

Page 248: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

240

Tabela I – Peso específico dos materiais de construção (NBR 6120, 1980).

Materiais Peso específico aparente

(kN/m3)

1. Rochas Arenito Basalto Gneiss Granito Mármore e calcáreo

26,0 30,0 30,0 28,0 28,0

2. Blocos artificiais Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas Tijolos furados Tijolos maciços Tijolos sílico-calcáreos

22,0 20,0 18,0 13,0 18,0 20,0

3. Revestimentos e Concretos

Argamassa de cal, cimento e areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado

19,0 21,0 12,5 24,0 25,0

4. Madeiras Pinho, cedro Louro, imbuía, pau óleo Guajuvirá, guatambu, grápia Angico, cabriuva, ipê róseo

5,0 6,5 8,0

10,0

5. Metais Aço Alumínio e ligas Bronze Chumbo Cobre Ferro fundido Estanho Latão Zinco

78,5 28,0 85,0

114,0 89,0 72,5 74,0 85,0 72,0

6. Materiais diversos Alcatrão Asfalto Borracha Papel Plástico em folhas Vidro plano

12,0 13,0 17,0 15,0 21,0 26,0

Page 249: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

241

Tabela II – Ações permanentes por unidade de área (GIONGO & PINHEIRO, 1986)

Item Material Ação (kN/m2)

Paredes Tijolos maciços, com 25 cm de espessura

Tijolos maciços, com 15 cm de espessura

Tijolos furados, com 23 cm de espessura

Tijolos furados, com 13 cm de espessura

Tijolos de concreto, com 23 cm de espessura

Tijolos de concreto, com 13 cm de espessura

Tijolos de concreto celular, com 23 cm de espessura

Tijolos de concreto celular, com 13 cm de espessura

4,00

2,50

3,20

2,20

3,50

2,20

0,80

0,50

Coberturas Com telhas cerâmicas c/ madeiramento

Com telhas de fibrocimento c/madeira

Com telhas de alumínio e estrutura de aço

Com telhas de alumínio e estrutura de alumínio

1,20

0,40

0,30

0,20

Forros Com painéis de gesso, c/estrutura de madeira e aço

Com blocos sólidos de gesso

0,50

0,70

Caixilhos Com estrutura de alumínio, com vid ro

Com estrutura de aço, com vidro

0,20

0,30

Telhas De fibrocimento tipo canalete 43

De fibrocimento tipo canalete 90

0,28

0,25

Tabela III – Valores mínimos das cargas verticais (NBR 6120, 1980) Local Carga

(kN/m2) 1. Arquibancadas 4,0 2. Balcões Mesma carga da peça com a qual se comunicam --- 3. Bancos Escritórios e banheiros

Salas da diretoria e de gerência 2,0 1,5

4. Bibliotecas Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livro, a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo de

2,5 4,0

6,0

Page 250: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

242

Continuação da Tabela III 5. Casas de

máquinas (incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em cada caso, porém com o valor mínimo de

7,5

6. Cinemas Platéia com assentos fixos Estúdio e platéia com assentos móveis Banheiro

3,0 4,0 2,0

7. Clubes Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos Sala de assembléia com assentos móveis Salão de danças e salão de esportes Salão de bilhar e banheiros

3,0 4,0 5,0 2,0

8. Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público

1,5 3,0

9. Cozinhas não residenciais

A ser determinada em cada caso, porém com um mínimo de 3,0

10.Depósitos A ser determinada em cada caso --- 11. Edifícios

residenciais Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiros Despensa, área de serviço e lavanderia

1,5 2,0

12. Escadas Com acesso ao público Sem acesso ao público

3,0 2,5

13. Escolas Anfiteatro com assentos fixos Corredor e sala de aula Outras salas

3,0 2,0

14. Escritórios Salas de uso geral e banhe iro 2,0 15. Forros Sem acesso a pessoas 0,5 16. Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com um mínimo de 3,0 17. Galerias de lojas A ser determinada em cada caso, porém com um mínimo de 3,0 18. Garagens e

estacionamentos Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de 25 kN por veículo

3,0

19. Ginásios de esportes

5,0

20. Hospitais Dormitórios, enfermarias, salas de recuperação, sala de cirurgia, sala de raio X e banheiro Corredor

2,0 3,0

21. Laboratórios Incluindo equipamento, a ser determinada em cada caso, porém com um mínimo de

3,0

22. Lavanderias Incluindo equipamentos 3,0 23. Lojas 4,0 24. Restaurantes 3,0 25. Teatros Palco

Demais dependências: iguais às especificadas para cinemas 5,0

26. Terraços Sem acesso ao público Com acesso ao público Inacessível a pessoas

2,0 3,0 0,5

27. Vestíbulo Sem acesso ao público Com acesso ao público

1,5 3,0

Page 251: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

243

Tabela IV – Valores dos fatores de combinação (Ψ0) e de redução (Ψ1 e Ψ2) para as ações variáveis (NBR 8681, 2004).

Ações

Ψ0

Ψ1

Ψ2

3), 4)

Cargas acidentais de edifícios Locais em que não há predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas1).

0,5

0,4

0,3

Locais em que há predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de pessoas2).

0,7

0,6

0,4

Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e garagens.

0,8

0,7

0,6

Vento

Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral.

0,6

0,3

0

Temperatura

Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local.

0,6

0,5

0,3

Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos

Passarelas de pedestres.

0,6

0,4

0,3

Pontes rodoviárias.

0,7

0,5

0,3

Pontes ferroviárias não especializadas.

0,8

0,7

0,5

Pontes ferroviárias especializadas.

1,0

1,0

0,6

Vigas de rolamentos de pontes rolantes.

1,0

0,8

0,5

1) Edificações residenciais, de acesso restrito. 2) Edificações comerciais, de escritórios e de acesso público. 3) Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo, admite-se adotar para Ψ2 o

valor zero. 4) Para combinações excepcionais onde a ação principal for o fogo, o fator de redução Ψ2 pode

ser reduzido, multiplicando-o por 0,7.

Page 252: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

244

Tabela V – Classes de agressividade ambiental (NBR 6118, 2004). Classe de

agressividade ambiental

Agressividade

Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto

Risco de deterioração da estrutura

Rural I Fraca

Submersa Insignificante

II Moderada Urbana1), 2) Pequeno

Marinha1) III Forte

Industrial1), 2) Grande

Industrial1), 3) IV Muito forte

Respingos de maré Elevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

Tabela VI – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para ∆c = 10mm (NBR 6118, 2004).

Classes de agressividade (Tabela V)

I II III IV3)

Tipo de estrutura

Componente ou elemento

Cobrimento nominal (mm)

Laje2) 20 25 35 45 Concreto armado

Viga/ Pilar 25 30 40 50

Concreto protendido1) Todos 30 35 45 55

1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão.

2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitando um cobrimento nominal ≥ 15mm.

3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45mm.

Page 253: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

245

Tabela VII – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e qualidade do concreto (NBR 6118, 2004).

Classes de agressividade (Tabela V) Concreto Tipo

I II III IV

CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 Relação água/cimento

em massa CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45

CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 Classe de concreto

(NBR 8953) CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40

NOTAS

1) O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na NBR 12655.

2) CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado.

3) CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.

Page 254: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

246

Tabela VIII – Cálculo das lajes segundo Czerny (ROCHA, 1987).

y

R

yR 1

Rx

x

Ry x

CASO 1

y

2x

yx

2x

x

yyyxxx

x

y

m.p

Mm.p

M

V..pRV..pR

llll

ll

==

==

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 27,2 24,5 22,4 20,7 19,1 17,8 16,8 15,8 15,0 14,3 13,7 13,2 12,7 11,3 10,4 my 27,2 27,5 27,9 28,4 29,1 29,9 30,9 31,8 32,8 33,8 34,7 35,4 36,1 38,5 40,3 Vx 0,250 0,262 0,273 0,283 0,292 0,300 0,308 0,315 0,321 0,327 0,333 0,339 0,344 0,361 0,375 Vy 0,250 0,238 0,227 0,217 0,208 0,200 0,192 0,185 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,139 0,125

y

y2R

R

2A

xR

x

xy1

R

CASO 2A

y

2x

y

y

2x

yx

2x

x2yy2y

1yy1yxxxx

y

n.p

X

m.p

Mm.p

MV..pR

V..pRV..pR

l

lll

llll

−=

===

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 41,2 36,5 31,9 28,3 25,9 23,4 21,7 20,1 18,8 17,5 16,6 15,7 15,0 12,8 11,4 my 29,4 29,0 28,8 28,8 28,9 29,2 29,7 30,2 30,8 31,6 32,3 33,0 33,6 36,2 38,8 ny 11,9 11,3 10,9 10,4 10,1 9,8 9,6 9,3 9,2 9,0 8,9 8,8 8,7 8,4 8,2 Vx 0,183 0,193 0,202 0,211 0,220 0,230 0,239 0,248 0,256 0,264 0,272 0,280 0,286 0,310 0,329 Vy1 0,402 0,388 0,378 0,366 0,355 0,342 0,331 0,320 0,310 0,300 0,289 0,280 0,272 0,241 0,217 Vy2 0,232 0,226 0,218 0,212 0,205 0,198 0,191 0,184 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,139 0,125

Rx1

y

RRy 2B

2xR

xy

CASO 2B

x

2x

x

y

2x

yx

2x

x2xx2x

yyy1xx1xx

y

n.p

X

m.p

Mm.p

MV..pR

V..pRV..pR

l

lll

llll

−=

===

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 31,4 29,2 27,3 25,8 24,5 23,4 22,4 21,6 21,0 20,3 19,8 19,4 19,0 17,8 17,1 my 41,2 43,2 45,1 47,1 48,8 50,3 51,8 53,2 54,3 55,0 55,6 56,2 56,8 58,6 59,2 nx 11,9 11,3 10,9 10,5 10,2 9,9 9,7 9,4 9,3 9,1 9,0 8,9 8,8 8,4 8,3 Vx1 0,402 0,412 0,422 0,431 0,440 0,447 0,455 0,461 0,466 0,474 0,479 0,484 0,488 0,504 0,517 Vy 0,183 0,175 0,167 0,160 0,153 0,147 0,141 0,136 0,131 0,126 0,122 0,118 0,115 0,102 0,092 Vx2 0,232 0,238 0,244 0,249 0,254 0,259 0,263 0,267 0,270 0,274 0,277 0,280 0,282 0,292 0,299

Page 255: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

247

Continuação da Tabela VIII.

3yR2

Rx

y

1

2Rx

xRy1

CASO 3

y

2x

yx

2x

xy

2x

y

x

2x

x2yy2y2xx2x

1yy1y1xx1xx

y

n.p

Xn.p

Xm.p

M

m.p

MV..pRV..pR

V..pRV..pR

lll

lll

llll

−=−==

===

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 40,2 38,0 35,1 32,2 30,0 28,0 26,5 25,2 24,1 23,1 22,2 21,6 21,0 19,1 17,9 my 40,2 41,0 42,0 42,9 44,0 45,6 47,6 49,6 51,0 52,1 53,0 54,1 54,8 57,7 60,2 nx 14,3 13,3 12,7 12,0 11,5 11,1 10,7 10,3 10,0 9,8 9,6 9,4 9,2 8,7 8,4 ny 14,3 13,8 13,6 13,3 13,1 12,9 12,8 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,3 12,2 12,2 Vx1 0,317 0,332 0,347 0,359 0,371 0,381 0,391 0,400 0,408 0,416 0,424 0,431 0,437 0,459 0,476 Vy1 0,317 0,302 0,288 0,276 0,264 0,254 0,244 0,235 0,227 0,219 0,211 0,204 0,198 0,176 0,159 Vx2 0,183 0,191 0,198 0,205 0,212 0,218 0,224 0,229 0,234 0,239 0,243 0,247 0,250 0,263 0,274 Vy2 0,183 0,175 0,167 0,160 0,153 0,147 0,141 0,136 0,131 0,126 0,122 0,118 0,115 0,102 0,091

Ry y4A R

x

y

R

x

Rx

CASO 4A

y

2x

y

y

2x

yx

2x

x

yyyxxxx

y

n.p

X

m.p

Mm.p

M

V..pRV..pR

l

ll

llll

−=

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 63,3 52,2 46,1 39,8 35,5 31,5 28,5 25,8 23,7 22,0 20,4 19,0 19,9 14,6 12,5 my 35,1 33,7 32,9 32,2 31,7 31,3 31,2 31,2 31,4 31,7 32,1 32,7 33,3 37,1 42,4 ny 14,3 13,4 12,7 12,0 11,5 11,1 10,7 10,3 10,0 9,75 9,5 9,3 9,2 8,7 8,4 Vx 0,144 0,151 0,159 0,166 0,173 0,180 0,188 0,196 0,203 0,210 0,217 0,225 0,233 0,259 0,280 Vy 0,356 0,349 0,341 0,334 0,327 0,320 0,312 0,304 0,297 0,290 0,283 0,275 0,267 0,241 0,217

Ry 4BR

R

y

x

xR

y x

CASO 4B

x

2x

x

y

2x

yx

2x

x

yyyxxxx

y

n.p

X

m.p

Mm.p

M

V..pRV..pR

l

ll

llll

−=

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 35,1 33,0 31,7 30,4 29,4 28,5 27,8 27,1 26,6 26,1 25,8 25,4 25,2 24,4 24,1 my 61,7 64,5 67,2 69,6 71,5 72,8 73,5 74,1 74,6 75,3 75,8 76,5 77,0 77,0 77,0 nx 14,0 13,8 13,5 13,2 13,0 12,7 12,6 12,4 12,3 12,2 12,2 12,1 12,0 12,0 12,0 Vx 0,356 0,363 0,369 0,375 0,380 0,385 0,389 0,393 0,397 0,401 0,404 0,407 0,410 0,420 0,428 Vy 0,144 0,137 0,131 0,125 0,120 0,115 0,111 0,107 0,103 0,099 0,096 0,093 0,090 0,080 0,072

Page 256: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

248

Continuação da Tabela VIII.

y

1xR

yR 5A

2Rx

yR x

CASO 5A

y

2x

yx

2x

xy

2x

y

x

2x

x2xx2x

yyy1xx1xx

y

n.p

Xn.p

Xm.p

M

m.p

MV..pR

V..pRV..pR

lll

ll

llll

−=−==

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 44,1 40,5 37,9 35,5 33,8 32,3 31,0 29,9 29,0 28,2 27,6 27,0 26,5 25,1 24,5 my 55,9 57,5 60,3 64,2 66,2 67,7 69,0 70,5 72,0 73,4 75,2 76,9 78,7 86,8 97,0 nx 16,2 15,3 14,8 14,2 13,9 13,5 13,2 12,9 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,1 12,0 ny 18,2 17,9 17,7 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 Vx1 0,303 0,313 0,321 0,329 0,336 0,343 0,349 0,354 0,359 0,364 0,369 0,373 0,377 0,391 0,402 Vy 0,250 0,237 0,227 0,217 0,208 0,200 0,192 0,185 0,179 0,173 0,166 0,161 0,156 0,138 0,125 Vx2 0,144 0,137 0,131 0,125 0,120 0,114 0,110 0,107 0,103 0,099 0,096 0,093 0,090 0,080 0,071

1yR

y

xR

R5B

Rx

2y x

CASO 5B

y

2x

yx

2x

xy

2x

y

x

2x

x2yy2y

1yy1yxxxx

y

n.p

Xn.p

Xm.p

M

m.p

MV..pR

V..pRV..pR

lll

ll

llll

−=−==

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 59,5 51,6 46,1 41,4 37,5 34,2 31,8 29,6 28,0 26,4 25,2 24,2 23,3 20,3 18,7 my 44,1 43,6 43,7 44,2 44,8 40,5 46,9 48,6 50,3 52,3 55,0 58,2 61,6 79,6 101,0 nx 18,3 16,6 15,4 14,4 13,5 12,7 12,2 11,6 11,2 10,9 10,6 10,3 10,1 9,4 8,8 ny 16,2 15,4 14,8 14,3 13,9 13,5 13,3 13,1 13,0 12,8 12,7 12,6 12,6 12,4 12,3 Vx 0,250 0,263 0,275 0,288 0,301 0,314 0,327 0,339 0,350 0,360 0,370 0,378 0,387 0,416 0,437 Vy1 0,304 0,294 0,284 0,274 0,264 0,254 0,244 0,235 0,227 0,219 0,211 0,202 0,198 0,176 0,159 Vy2 0,142 0,149 0,157 0,164 0,171 0,178 0,185 0,191 0,196 0,202 0,208 0,214 0,217 0,232 0,245

R

x

y

R

y 6

Rx

yR x

CASO 6

y

2x

yx

2x

x

y

2x

yx

2x

x

yyyxxxx

y

n.p

Xn.p

X

m.p

Mm.p

M

V..pRV..pR

ll

ll

llll

−=−=

==

===ε

ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 56,8 50,6 46,1 42,4 39,4 37,0 34,8 33,3 31,9 30,6 29,6 28,8 28,1 26,0 25,0 my 56,8 58,2 60,3 62,6 65,8 69,4 73,6 78,4 83,4 89,4 93,5 96,1 98,1 103,3 105,0 nx 19,4 18,2 47,1 16,3 15,5 14,9 14,5 14,0 13,7 13,4 13,2 13,0 12,8 12,3 12,0 ny 19,4 18,8 18,4 18,1 17,9 17,7 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 Vx 0,250 0,262 0,273 0,283 0,292 0,300 0,308 0,315 0,321 0,327 0,333 0,339 0,344 0,361 0,375 Vy 0,250 0,238 0,227 0,217 0,208 0,200 0,192 0,185 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,139 0,125

Page 257: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

249

Tabela IX – Determinação da altura útil das lajes armadas em duas direções (NBR 6118, 1978).

xxx

1

x

yyy 3

6 y 7

x

y8

x

2

x

yy4

y 9

x

y

x

5

Lx/Ly Ψ2,1 Ψ2,2 Ψ2,3 Ψ2,4 Ψ2,5 Ψ2,6 Ψ2,7 Ψ2,8 Ψ2,9

1,00 1,500 1,700 1,800 1,900 2,000 2,200 1,900 2,000 1,700

1,10 1,460 1,640 1,760 1,830 1,970 2,150 1,880 1,940 1,670

1,15 1,440 1,610 1,740 1,795 1,955 2,125 1,870 1,910 1,655

1,20 1,420 1,580 1,720 1,760 1,940 2,100 1,860 1,880 1,640

1,25 1,400 1,550 1,700 1,725 1,925 2,075 1,850 1,850 1,625

1,30 1,380 1,520 1,680 1,690 1,910 2,050 1,840 1,820 1,610

1,40 1,340 1,460 1,640 1,620 1,880 2,000 1,820 1,760 1,580

1,45 1,320 1,430 1,620 1,585 1,865 1,975 1,810 1,730 1,565

1,50 1,300 1,400 1,600 1,550 1,850 1,950 1,800 1,700 1,550

1,55 1,280 1,370 1,580 1,515 1,835 1,925 1,790 1,670 1,535

1,60 1,260 1,340 1,560 1,480 1,820 1,900 1,780 1,640 1,520

1,65 1,240 1,310 1,540 1,445 1,805 1,875 1,770 1,610 1,505

1,70 1,220 1,280 1,520 1,410 1,790 1,850 1,760 1,580 1,490

1,75 1,200 1,250 1,500 1,375 1,775 1,825 1,750 1,550 1,475

1,80 1,180 1,220 1,480 1,340 1,760 1,800 1,740 1,520 1,460

1,85 1,160 1,190 1,460 1,305 1,745 1,775 1,730 1,490 1,445

1,90 1,140 1,160 1,440 1,270 1,730 1,750 1,720 1,460 1,430

1,95 1,120 1,130 1,420 1,235 1,715 1,725 1,710 1,430 1,415

2,00 1,100 1,100 1,400 1,200 1,700 1,700 1,700 1,400 1,400

Tabela X – Valores de Ψ3 para o cálculo da altura das lajes (NBR 6118, 1978).

Aço (MPa) Vigas e lajes nervuradas Lajes maciças

215 25 35

280 22 33

350 20 30

435 17 25

520 15 20

Page 258: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

250

Tabela XI – Valores de Κ para o cálculo da altura das lajes.

3

4

x

y

f.El.p.K

hl

l≥=λ

λ K1 K2 K3 K4 K5 K6

0,50 --- 0,0070 --- 0,0064 0,0034 --- 0,55 --- 0,0092 --- 0,0082 0,0046 --- 0,60 --- 0,0117 --- 0,0091 0,0054 --- 0,65 --- 0,0144 --- 0,0120 0,0075 --- 0,70 --- 0,0171 --- 0,0139 0,0092 --- 0,75 --- 0,0200 --- 0,0157 0,0109 --- 0,80 --- 0,0228 --- 0,0174 0,0126 --- 0,85 --- 0,0256 --- 0,0190 0,0142 --- 0,90 --- 0,0283 --- 0,0205 0,0158 --- 0,95 --- 0,0309 --- 0,0218 0,0174 --- 1,00 0,0487 0,0334 0,0252 0,0230 0,0188 0,0153 1,10 0,0584 0,0379 0,0301 0,0250 0,0212 0,0182 1,20 0,0678 0,0419 0,0348 0,0267 0,0234 0,0208 1,30 0,0765 0,0454 0,0388 0,0280 0,0251 0,0228 1,40 0,0849 0,0484 0,0426 0,0288 0,0269 0,0250 1,50 0,0926 0,0511 0,0461 0,0294 0,0278 0,0265 1,60 0,0996 0,0531 0,0485 0,0301 0,0288 0,0275 1,70 0,1061 0,0543 0,0501 0,0309 0,0292 0,0284 1,80 0,1123 0,0556 0,0514 0,0315 0,0294 0,0294 1,90 0,1173 0,0573 0,0534 0,0316 0,0300 0,0300 2,00 0,1216 0,0592 0,0562 0,0318 0,0304 0,0303

Tabela XII – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (NBR 6118, 2004).

Valores de ρmín1) (As,mín/Ac)

% Forma da seção fck

ωmín 20 25 30 35 40 45 50

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 T (mesa comprimida) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 T (mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255 Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 1) Os valores de ρmín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA 50, γc=1,4 e γs=1,15.

Caso esses fatores sejam diferentes, ρmín deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado.

NOTA – Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

O valor de ωmín, a taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas, vale:

cdc

ydmín,smín f.A

f.A=ϖ

Page 259: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

251

Tabela XIII – Flexão simples em seção retangular – armadura simples (PINHEIRO, 1993).

)kN/cm(M

d.bK 2

d

2

c = )kN/cm(

Md.A

K 2

d

ss =

dx

x =β

C10 C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA25 CA50A CA50B CA60 B

D O M Í N I O

0,02 103,8 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,023 0,019

0,04 52,3 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,023 0,019

0,06 35,2 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,047 0,024 0,024 0,020

0,08 26,6 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,024 0,020

0,10 21,4 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,024 0,020

0,12 18,0 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,024 0,024 0,020

0,14 15,6 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,024 0,020

0,16 13,7 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,025 0,020

0,18 12,3 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,050 0,025 0,025 0,021

0,20 11,2 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,050 0,025 0,025 0,021

0,22 10,3 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,050 0,025 0,025 0,021

0,24 9,5 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,050 0,025 0,025 0,021

0,26 8,8 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,051 0,026 0,026 0,021

2

0,28 8,3 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,026 0,026 0,022

0,30 7,8 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,026 0,026 0,022

0,32 7,4 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,026 0,026 0,022

0,34 7,0 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,053 0,027 0,027 0,022

0,36 6,7 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,027 0,027 0,022

0,38 6,4 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,027 0,027 0,023

0,40 6,1 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,027 0,027 0,023

0,438 5,7 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,028 0,023

3

0,44 5,7 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,028 0,023

0,462 5,5 3,6 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,028 0,024

0,48 5,3 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,057 0,028 0,029 0,025

0,52 5,0 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,058 0,029 0,031 0,027

0,56 4,7 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,030 0,033 0,029

0,60 4,5 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,030 0,035 ---

0,628 4,4 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,037 ---

0,64 4,3 2,9 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,062 --- --- ---

0,68 4,2 2,8 2,1 1,7 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,063 --- --- ---

0,72 4,0 2,7 2,0 1,6 1,3 1,2 1,0 0,9 0,8 0,065 --- --- ---

0,76 3,9 2,6 2,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,066 --- --- ---

0,772 3,9 2,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,067 --- --- ---

4

Elaborada por Sebastião W. Mendes e Libânio Miranda Pinheiro

Diagrama Retangular de Tensões no Concreto, γc = 1,4 e γs = 1,15

Para γc ≠ 1,4, multiplicar b por 1,4/ γc antes de usar a tabela

Page 260: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

ANEXO B

Transparências de Exercícios

Page 261: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Lista de Exercícios – Revisão para a 1a Prova

1) Qual o melhor concreto entre os dois tipos apresentados abaixo? Justifique.

δ

Concreto 1

δ

Concreto 2 2) Um grupo de 48 corpos-de-prova (CP) de concreto forneceu uma resistência média à

compressão de 24MPa, e foi executado com um controle médio de produção, dispondo de tecnologista a serviço da obra, tendo o cimento sido medido em peso e os demais agregados em volume, que foram corrigidos em função da umidade previamente determinada. Você usaria esse concreto numa obra cujo fck especificado foi de 20MPa? Porque?

3) Para os aços CA 32 e CA 60, nos estados limites último e de serviço, determine:

a) fy b) εy c) σs para εs = 0,43‰

d) σs para εs = 3,4‰ e) σs para εs = 5,6‰

4) Determine o carregamento e as reações de todos os elementos da estrutura da Figura 1.

Escritório 2Escritório 1

Escritório 3

Espera

Hall

Banheiro

(Pav. Tipo)Proj. Arquitetônico

Edf. de Escritórios

17 17 17

17

250 19320 180

1717

17

1725

013

318

019

3

A A 15 17255 392 15

183

135

253

195

1515

15

1515

P2(25/25)

P3(20/20)

P4(20/20)

P5(30/30)

P6 (20/20)

P1(20/20)

P7 (20/20) P8 (20/20)

V1 (15/40)

V5 (15/30)V6 (1

5/40

)

V7 (1

7/45

)

V8 (1

5/40

)

V2 (15/40)

V3 (15/30)

V4 (15/40)

h=10cm

h=10cm

h=10cm

h=13cm

FÔRMA

Figura 1(a) – Pavimento do exercício 4.

Page 262: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Escritório 2 Escritório 1

10

10

240

Corte AA

Figura 1(b) – Pavimento do exercício 4.

5) Para os pavimentos da Figura 2, determine as cargas e seções (quando necessário) de pré-dimensionamento dos pilares, utilizando o método das áreas de influência (medidas em centímetros), e uma carga média para o pavimento tipo de ppt=12kN/m2.

P1(20/20)

P2(20/20)

P3(20/20)

P4(20/20)

V1 (15/50)

V2 (15/50)

V3

(15/

50)

V4

(15/

50)

1537

0

15 370 15

15

f =25MPack

n = 5 pav. tipos + 1 cobertura

P1 P2V1

P3

V2P5P4 P6V

3

V4

300 300

200

200

ckf =30MPa

n = 8 pav. tipos + 1 cobertura

P3P2V1

P1

P6

V2P5

P4

P8 P9

P7

V4

V3

V6

V5

V7

V8

300

400

250

250

400

250 300

ckf =35MPa

n = 6 pav. tipos + 1 cobertura

P2

P3

P1

P5

P6

P4

P7

5050 775

50

300

50

50 50

50

2550 400

400

350

50

350

ckf =25MPa

n = 6 pav. tipos + 1 cobertura

Figura 2 – Estruturas do exercício 5.

Page 263: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA A 2a PROVA

1) Qual a menor barra de aço que pode ser utilizada para um comprimento reto de ancoragem a partir da face do pilar, para a situação da figura abaixo? Qual é o valor desse comprimento? Se quiséssemos diminuir o diâmetro da barra (usar uma barra menor), o que poderia ser feito?

2) Para a situação da Figura 1, determine qual a menor dimensão dos pilares para ancorar a

barra tracionada com um gancho à 90o, a partir das suas faces.

largura=?largura=?

P = 45kNk

20cm

50cm2525

500cm

Figura 1 – Viga sob flexão.

DADOS: fck = 30MPa; Aço CA 50 A; Cobrimento c = 3cm.

3) Qual a menor barra (diâmetro) que pode ser utilizada na estrutura da Figura 2? Qual o comprimento de ancoragem? Considere a barra ancorada a partir da face inferior da laje em direção dos ganchos superiores.

DADOS: fck = 20MPa; CA 40 A (entalhada); Cobrimento = 25 mm

4) O diagrama da Figura 3 apresenta o gráfico Tensão de Aderência versus Escorregamento

para o ensaio de arrancamento esquematizado na Figura 4, cujo aço é o CA 45B (barra entalhada). Sabendo-se que, a tensão de aderência máxima de projeto é aquela, a partir da qual a barra se movimenta em relação ao concreto, qual o comprimento básico de ancoragem, em função do diâmetro da barra, para o ensaio indicado?

Page 264: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

Figura 2 – Situação para o exercício 3.

0,5

1,63

2,05

3,00

1

bf (MPa)

δ (mm)3

Figura 3 - Gráfico Tensão de Aderência versus Escorregamento.

φ

kP

b

Figura 4 - Esquema do ensaio de

arrancamento. 5) Para a peça da Figura 5, indique os trechos onde é necessário a atuação das forças de

aderência. Justifique. Carregamento variável qualquer

Diagrama de Momentos Fletores

O

L

A

B

C D

E

F

G H

I

1 2L 3L

Figura 5 - Sistema estático e diagrama de momentos fletores da viga. 6) Porque se utiliza o diagrama retangular de tensões para o concreto? Qual a tensão de

Page 265: ENG 118 – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I · Vantagens do concreto armado ..... 21 1.3.2. Desvantagens do concreto armado ... (1994) – Concreto: estrutura, propriedades e materiais.

compressão máxima admitida para o concreto no ELU? 7) Dimensione a viga da Figura 5 para o ELU de flexão simples, para as seguintes situações:

Domínio 2 e limite máximo admitido pela NBR 6118 (2004). Comente as diferenças. Comece com a seção de pré-dimensionamento. Se for preciso, aumente para a menor altura necessária.

DADOS: fck = 35MPa; CA 50 A ; d’=7,5cm; bw = 25cm