Considere o problema da expansão do aeroporto de uma grande cidade europeia, relativamente ao qual

estão em apreciação quatro opções:

Opção 1 (O1): não fazer expansão;

Opção 2 (O2): expansão concentrada no mercado de passageiros;

Opção 3 (O3): expansão concentrada nos mercados de passageiros e de carga (tornando-se este o

mais importante aeroporto da região);

Opção 4 (O4): expansão condicionada pelas emissões de CO2 previstas (que terão de ser

negociadas com outros aeroportos na região).

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

EXAME Fevereiro 2011

Grupo III –Teoria da Decisão

negociadas com outros aeroportos na região).

Para avaliar estas alternativas foram construídos cenários para o futuro que têm em conta os três

critérios seguintes:

C1 – Benefícios económicos e de desenvolvimento. Descritor: benefícios previstos expressos em

milhões de u.m. (unidades monetárias), que têm em conta não só os lucros do funcionamento do

aeroporto mas também o emprego gerado na região e o desenvolvimento a nível de infra-estruturas, da

indústria e dos serviços. Função de valor: tem níveis de referência 50 milhões (pior nível de impacto) e

500 milhões de u.m. (melhor nível de impacto). Numa escala 0-100, e sendo X os benefícios em milhões

de u.m. é:

1

50( ) 100

500 50

XV X

−= ×

−

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

1

C2 – Impacto sobre a população. Descritor: número de habitantes que sofrerão desconforto

significativo devido à poluição do ar e sonora. Função de valor: linear entre os níveis de referência 100

mil habitantes (pior nível de impacto) e 20 mil habitantes (melhor nível de impacto).

C3 – Impacto sobre o ambiente (paisagem, biodiversidade e recursos naturais). Descritor: expresso

numa escala qualitativa com três cenários possíveis: impacto reduzido (melhor nível), impacto

intermédio e impacto elevado (pior nível). A aplicação da estimação directa (direct rating) indicou que a

passagem de um impacto elevado a um impacto reduzido é 1.6 vezes superior à passagem de um

impacto elevado a um impacto intermédio.

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

EXAME Fevereiro 2011

Grupo III –Teoria da Decisão (Continuação)

impacto elevado a um impacto intermédio.

As matrizes de impactos e de avaliação local (na escala 0-100) das quatro opções estão indicadas na

tabela que se segue.

OpçãoMatriz de impactos Matriz de avaliação local

C1 C2 C3 V1 V2 V3

O1 90 20 Reduzido 29,81 100,00

O2 350 75 Intermédio 81,65 31,25

O3 475 80 Elevado 97,18 25,00

O4 220 45 Intermédio 61,46 68,75

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

2

Considere um modelo de agregação aditivo (soma ponderada) e coeficientes de ponderação (“pesos”) de

0,60, 0,20 e 0,20 para os critérios C1 a C3, respectivamente.

a) Preencha a última coluna da tabela e determine qual a melhor alternativa de decisão relativamente ao

problema da expansão deste aeroporto. Justifique.

Para o que se segue considere V3(O1)=100, V3(O3)=0, V3(O2)= V3(O4)=66.67.

(NOTA: Na resolução das alíneas que se seguem, consideram-se os resultados obtidos na alínea a)

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

EXAME Fevereiro 2011

Grupo III –Teoria da Decisão (Continuação)

b) Suponha que a opção 1 será modificada levando a uma degradação do nível de impacto sobre o

ambiente (C3) de reduzido para intermédio. Admitindo que não há alteração do nível de impacto

sobre a população (C2), qual o aumento dos benefícios económicos e de desenvolvimento (C1),

expresso em milhões de u.m., que compensa essa alteração?

c) Determine qual deverá ser o aumento do peso dos benefícios económicos e de desenvolvimento (C1)

de forma a que a opção O3 se torne tão atraente como a opção O2. Assuma que se mantém a

proporção actualmente existente entre os pesos dos outros critérios (C2 e C3).

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

3

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

EXAME Fevereiro 2011

Grupo III –Teoria da Decisão (Resolução)

a) Preencha a última coluna da tabela e determine qual a melhor alternativa de decisão relativamente ao problema da expansão deste

aeroporto. Justifique.

Critério C1 – Benefícios económicos e de

desenvolvimento

Critério C2 – Impacto sobre a população

Esc

ala

0-1

00

Esc

ala

0-1

00

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

1

Função de valor para o critério C1

50( ) 100

500 50

XV X

−= ×

− 2

Função de valor para o critério C2

100( ) 100

100 20

XV X

−= ×

−

Pior

nível de impactoMelhor

nível de impacto

Esc

ala

0

Esc

ala

0

Melhor

nível de impacto

Pior

nível de impacto

4

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

EXAME Fevereiro 2011

Grupo III –Teoria da Decisão (Resolução)

a) Preencha a última coluna da tabela e determine qual a melhor alternativa de decisão relativamente ao problema da expansão deste

aeroporto. Justifique.

Critério C3 – Impacto sobre o ambiente (paisagem, biodiversidade e recursos naturais).

(Melhor nível de impacto)100

80

X

Impacto reduzido

( ) ( )100

100 0 1,6 0 62,5X X− = − ⇔ = =

(direct rating)

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

60

40

20

0

X

Impacto elevado (Pior nível de impacto)

Impacto intermédio ( ) ( )100

100 0 1,6 0 62,51,6

X X− = − ⇔ = =

(100-0

)

(X-0

)

5

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritérioGrupo III –Teoria da Decisão (Resolução)

a) Preencha a última coluna da tabela e determine qual a melhor alternativa de decisão relativamente ao problema da expansão deste

aeroporto. Justifique.

OpçãoMatriz de impactos Matriz de avaliação local Avaliação

global

Vi (*)C1 C2 C3 V1 V2 V3

O1 90 20 Reduzido 29,81 100,00 100,00 57,89

O2 350 75 Intermédio 81,65 31,25 62,50 67,74

EXAME Fevereiro 2011G

estã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

O2 350 75 Intermédio 81,65 31,25 62,50 67,74

O3 475 80 Elevado 97,18 25,00 0,00 63,31

O4 220 45 Intermédio 61,46 68,75 62,50 63.13

Pesos (λj ) - - - 0,60 0,20 0,20 67,74 (O2)

3

,

1

,

(*) V V , O1, O2, O3, O4

com

peso do critério C , 1,2,3; V pontuação global da opcão/alternativa , e

V pontuação local/parcial da opção/alternativa segundo o crit

i j i j

j

j i

i j

i

j j i

i

=

= λ =

λ − = −

−

∑

ério C , 1,2,3.j j =

Resposta: A melhor opção relativamente à expansão do aeroporto é a Opção 2 (O2), expansão

concentrada no mercado de passageiros, com uma pontuação total de 67,74 pontos. 6

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

EXAME Fevereiro 2011

Grupo III –Teoria da Decisão (Resolução)

b) Suponha que a opção 1 será modificada levando a uma degradação do nível de impacto sobre o ambiente (C3) de reduzido para

intermédio. Admitindo que não há alteração do nível de impacto sobre a população (C2), qual o aumento dos benefícios económicos

e de desenvolvimento (C1), expresso em milhões de u.m., que compensa essa alteração?

O1,1 O1,2 O1,3

' '

O1,1 O1,2 O1,2

Pontuações (valores) correntes da opção O1 segundo os três critérios :

V 29,81, V 100,00, V 100,00

Novas pontuações (valores) da opção O1 segundo os três critérios :

V ?, V V 100,

= = =

= = = '

O1,300, V 62.50=

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

O1,1 O1,2 O1,2V ?, V V 100,= = = O1,3

'

O1,1

00, V 62.50

Determinar V ,a nova pontuação da opção1 segundo o critério 1, de modo a compensar a degradação

da sua pontuação segundo o critério 3, isto é, tal que a pontuação global da opção 1

=

'

O1 O1

3 3' '

O1 O1, O1 O1,

1 1

se mantenha: V V ,

com V V e V V .j j j j

j j= =

=

= λ = λ∑ ∑

7

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

EXAME Fevereiro 2011

Grupo III –Teoria da Decisão (Resolução)

b) Suponha que a opção 1 será modificada levando a uma degradação do nível de impacto sobre o ambiente (C3) de reduzido para

intermédio. Admitindo que não há alteração do nível de impacto sobre a população (C2), qual o aumento dos benefícios económicos

e de desenvolvimento (C1), expresso em milhões de u.m., que compensa essa alteração?

' ' '

1 O1,1 2 O1,2 3 O1,3 1 O1,1 2 O1,2 3 O1,3

'

O1,1

'

O1,1

e substituindo, vem

V V V V V V

0,60 29,81 0,20 100,00 0,20 100,00 0,60 V 0,20 100,00 0,20 62,50

0,60 V 0,60 29,81 0,20

λ + λ + λ = λ + λ + λ ⇔

× + × + × = × + × + × ⇔

× = × +

Expandindo

( )

( )'

100,00 62,50

0,20 V 29,81 100,00 62,50 42,31

× − ⇔

= + × − =

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

( )

( )

'

O1,1

2' '

O1,1 O1,1' '

O1,1 O1,1

0,20 V 29,81 100,00 62,50 42,31

0,60

do benefício económico correspondente à nova pontuação

50 V V 100 50 500 50 130.56

500 50 100

XX

= + × − =

−= × ⇔ = + − = −

Cálculo

( )

( )

6

O1,1

' 6

O1,1 O1,1 O1,1

10 u.m.

da diferença

130.56 90 40,56 10 u.m.

: A degradação do impacto ambiental (de para ) na opção 1 (O1) é compensada

com um a

X

X X X

reduzido intermédio

×

∆

∆ = − = − = ×

Cálculo

Resposta

umento de 40,46 milhões de u.m. nos benefícios económicos. 8

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

EXAME Fevereiro 2011

Grupo III –Teoria da Decisão (Resolução)

c) Determine qual deverá ser o aumento do peso dos benefícios económicos e de desenvolvimento (C1) de forma a que a opção O3 se

torne tão atraente como a opção O2. Assuma que se mantém a proporção actualmente existente entre os pesos dos outros critérios

(C2 e C3).

3

1 2 3

1

2

3

Sistema corrente de pesos (ponderadores) dos critérios

0,60, 0,20 e 0,20 1

0,201

0,20

j

j=

λ = λ = λ = λ =

λ= =

λ

∑

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

3

' ' '

1 2 3

Novo sistema de pesos (ponderadores) dos critérios

, e λ λ λ3

'

1

'

2 2

'

3 3

' '

O3 O2

' ' ' ' ' ' ' '

O3 1 O3,1 2 O3,2 3 O3,3 O2 1 O2,1 2 O2,2 3 O2,3

1

1,

tal que as novas pontuações totais das opções O3 e O2 se tornem iguais: V V ,

com V V V V ,e V V V V .

j

j=

λ =

λ λ= =

λ λ

=

= λ + λ + λ = λ + λ + λ

∑

9

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Teoria da Decisão

Metodologia multicritério

EXAME Fevereiro 2011

Grupo III –Teoria da Decisão (Resolução)

c) Determine qual deverá ser o aumento do peso dos benefícios económicos e de desenvolvimento (C1) de forma a que a opção O3 se

torne tão atraente como a opção O2. Assuma que se mantém a proporção actualmente existente entre os pesos dos outros critérios

(C2 e C3).

'

1

' '

2 3

' ' ' ' ' ' '

1 2 3 2 1 3 2

' ' ' '

3 2 3 2

do novo sistema de pesos, em função do peso do critério 1,

(Resolver sistema indeterminado de 2 equações lineares em ordem a e )

+ 1 1 1

λ

λ λ

λ + λ λ = λ = − λ − λ λ =⇔ ⇔

λ = λ λ = λ

Cálculo

( )

( )

' '' ' 2 11 2

' '' '3 23 1

11

2

11

2

λ = − λ − λ − λ

⇔ λ = λ λ = − λ

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

( )

( ) ( )

3 1

' ' ' ' ' ' ' '

O3 1 O3,1 2 O3,2 3 O3,3 O2 1 O2,1 2 O2,2 3 O2,3

' ' ' ' ' '

O3 1 O3,1 1 O3,2 1 O3,3 O2 1 O2,1

12

das novas pontuações V V V V e V V V V .

1 1V V 1 V 1 V ; V V

2 2

λ = − λ

= λ + λ + λ = λ + λ + λ

= λ + − λ + − λ = λ +

Cálculo

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

' '

1 O2,2 1 O2,3

' ' ' ' ' ' ' '

O3 O2 1 O3,1 1 O3,2 1 O3,3 1 O2,1 1 O2,2 1 O2,3

' ' ' ' ' '

1 1 1 1 1 1

'

1

1 11 V 1 V

2 2

1 1 1 1V V V 1 V 1 V V 1 V 1 V

2 2 2 2

25,00 0,00 31,25 62,5097,18 1 1 81,65 1 1

2 2 2 2

197,18 81,65 25,00 31,25 6

2

− λ + − λ

= ⇒ λ + − λ + − λ = λ + − λ + − λ ⇔

λ + − λ + − λ = λ + − λ + − λ ⇔

− λ + − −( )( ) ( )' ' '

1 1 1

' '

1 1

'

1 1 1

2,50 1 0 15.53 34.375 1 0

18.845 34.375 0.689

do aumento do peso do critério 1: 0,689 0,600 0,089 ( 14.8%)

− λ = ⇔ λ − − λ = ⇔

λ = ⇔ λ =

∆λ = λ − λ = − = ≅Cálculo 10