Aula pb 13_resumo
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Teoria da Decisão
Num concurso para uma empreitada pública foi deliberado que a decisão de adjudicação seria baseada
em três critérios: preço, prazo e qualidade técnica da proposta.
Apresentaram-se 5 concorrentes, indicando-se no quadro abaixo as avaliações das propostas segundo os
critérios referidos (no referente à qualidade técnica das propostas, estas foram pontuadas numa escala de
0 a 100, em que 0 é a pior).
Exercício 14 – Enunciado Metodologia multicritério
PROPOSTASCusto
(106 euros)
Prazo
(meses)
Qualidade
Técnica
A 13 35 10
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1
Na Comissão da Avaliação geraram-se os seguintes consensos:
-admitir que as funções de valor dos critérios “Custo” e “Prazo” são lineares,
-considerando apenas os critérios “Custo" e “Prazo", as propostas D e E são equivalentes,
-considerando apenas os critérios “Custo" e “Qualidade Técnica", as propostas A e B são
equivalentes.
A 13 35 10
B 15 32 85
C 17 38 100
D 16 30 90
E 15 32 0
(Continua)
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Teoria da Decisão
a) Faça uma análise de dominância.
b) Determine um sistema de pesos dos critérios que, para um método de soma ponderada, seja
compatível com aquelas avaliações.
c) Tendo em consideração as posições referidas na alínea anterior, utilizando um método compensatório,
faça uma proposta fundamentada da adjudicação.
d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos
Exercício 14 – Enunciado (Continuação) Metodologia multicritério
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d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos
dos outros dois critérios se mantém.
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Exercício 14 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
a) Faça uma análise de dominância.
PROPOSTASCusto
(106 euros)
Prazo
(meses)
Qualidade
Técnica (QT)
A 13 35 10
B 15 32 85
C 17 38 100
Matriz de impactos/níveis de desempenho
Ge
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Ge
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3
D 16 30 90
E 15 32 0
max/min 17/13 38/30 100/0
( ) max
max min
Função de valor linear para o critério : iPrazo PrazoPrazo V Prazo
Prazo Prazo
−=
−
( )Função de valor para o critério qualidade técnica ( ) : /100QT V QT QT=
( ) max
max min
Função de valor linear para o critério ( ) : ,
iCusto CustoCusto V Custo preferência crescente com custo
Custo Custo
−=
−
decrescente
Avaliação parcial: Associação de pontuações (valores cardinais numa escala predefefinida) aos níveis de
desempenho de cada critério por via da construção e aplicação de funções de valor.
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Exercício 14 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
PROPOSTASV(Custo)
[0, 1] *
V(Prazo)
[0, 1] *
V(QT)
[0, 1] *
A 1.00 0.375 0.10
B 0.50 0.75 0.85
C 0.00 0.00 1.00
D 0.25 1.00 0.90
a) Faça uma análise de dominância.Matriz de pontuações/valores
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4
D 0.25 1.00 0.90
E 0.50 0.75 0.00
Resposta:
•Nenhuma proposta é a melhor segundo os três critérios considerados. A proposta A é a melhor no
critério Custo, a proposta D no critério de Prazo e a proposta C no critério de Qualidade Técnica.
•Nenhuma proposta é a pior segundo os três critérios considerados.
• A proposta E é dominada pela proposta B, porque a proposta E é pior que a proposta B no critério da
Qualidade Técnica e não é melhor nos restantes critérios. A proposta E pode ser eliminada em
posteriores considerações.
*Escala de intervalo alternativa: [0,100]
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Exercício 14 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
b) Determine um sistema de pesos dos critérios que, para um método de soma ponderada, seja compatível com aquelas avaliações.
As propostas D ( =4) e E ( =5) são equivalentes considerando os critérios 'Custo' ( =1) e 'Prazo' ( =2) :
Valores, , das propostas D ( 4) e E (( =5) segundo os critérios =1 e i
i i j j
V i i j j
•
=
Razões de compensação
( ) ( )4 1 4,1 2 4,2 5 1 5,1 2 5,2
4 5 1 4,1 2 4,2 1 5,1 2 5,2 1 4,1 5,1 2 4,2 5,2
=2 :
e
Equivalência 0
V V V V V V
V V V V V V V V V V
λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
= + = +
⇒ = ⇔ + = + ⇔ − + − =
( )( )
( )( )
4,2 5,211.00 0.75 0.25
1 ( )0.25 0.50 0.25
V Vrazão de compensação
V V
λ
λ
− −⇒ = − = − = − =
− −−
Ge
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Ge
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a D
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5
( ) ( )2 4,1 5,1
1 ( )0.25 0.50 0.25
As propostas A ( =1) e B ( =2) são equivalentes considerando os critérios 'Custo' ( =1) e 'Qualidade Téc
razão de compensaçãoV V
i i j
λ⇒ = − = − = − =
− −−
•
( ) ( )
( )( )
( )( )
1 2 1 1,1 2 1,3 1 2,1 2 2,2 1 1,1 2,1 3 1,3 2,3
1,3 2,31
3 1,1 2,1
nica' ( =3)
Equivalência 0
0.10 0.85 0.75 3 1.5 ou (
1.00 0.50 0.50 2
j
V V V V V V V V V V
V Vrazã
V V
λ λ λ λ λ λ
λ
λ
⇒ = ⇔ + = + ⇔ − + − =
− − − ⇒ = − = − = − =
−−
1 2 3 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
)
, 1,2,3 (Resolver sistema de 3 equações lineares a 3 incógnitas)
21 1 8 3 8 3
3
2 2 2
3 3 3
j
o de compensação
jλ
λ λ λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
=
+ + = + + = = =
= ⇔ = ⇔ = ⇔
= = =
Cálculo dos pesos
1
2 1 2
3 1 3
3
8
3
8
2 2 3 2
3 3 8 8
λ
λ λ λ
λ λ λ
=
= ⇔ =
= = × =
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Exercício 14 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
c) Tendo em consideração as posições referidas na alínea anterior, utilizando um método compensatório, faça uma proposta fundamentada
da adjudicação.
PROPOSTAS V(Custo) V(Prazo) V(QT)
A 1.00 0.375 0.10 0.54
3
,
1
i j i j
j
V Vλ=
=∑
Avaliação global por agregação aditiva simples (média ponderada) das pontuações parciais (método ou
estratégia compensatória).
Matriz de pontuações/valores
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6
A 1.00 0.375 0.10 0.54
B 0.50 0.75 0.85 0.68
C 0.00 0.00 1.00 0.25
D 0.25 1.00 0.90 0.69
E 0.50 0.75 0.00 0.47
Pesos (λj) λ1=3/8 λ2=3/8 λ3=2/8 0.69 (D)
Resposta: A proposta a adjudicar é a proposta D, com um valor agregado de 0.69. A segunda melhor
proposta é a B, com um valor agregado de 0.68.
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Exercício 14 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos dos outros dois critérios se
mantém.
2
1 3 2
1 2 3 1 2 11 2 3
1 3 3 1 3 1
, 1,2,3 em função de (Resolver sistema indeterminado de 2 equações a 3 incógnitas)
(Exprimir e em função de )
21 11
3
3 2 2
2 3 3
j jλ λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ λλ λ λ
λ λ λ λ λ λ
=
= − − = − −+ + =
⇔ ⇔ = = =
Pesos
( )
( )
1 2 1 2
3 1 3 2
5 31 1
3 5
2 21
3 5
λ λ λ λ
λ λ λ λ
= − = −
⇔ ⇔ = = −
Ge
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7
PROPOSTAS V(Custo) V(Prazo) V(QT)
A 1.00 0.375 0.10 V1 = 1×0.6× (1-λ2)+0.375×λ2 +0.1×0.4× (1-λ2) = 0.64 – 0.265λ2
B 0.50 0.75 0.85V2 = 0.50×0.6× (1-λ2) +0.75×λ2 +0.85×0.4× (1-λ2)
= 0.64 + 0.11λ2
C 0.00 0.00 1.00 V3 = 0×0.6× (1-λ2)+0×λ2 +1.0×0.4× (1-λ2)= 0.40 - 0.40λ2
D 0.25 1.00 0.90 V4=0.25×0.6× (1-λ2)+1.0×λ2 +0.9×0.4× (1-λ2) = 0.51 + 0.49λ2
E 0.50 0.75 0.00 V5 = 0.5×0.6× (1-λ2) +0.75×λ2 +0.0×0.4× (1-λ2)=0.30 + 0.45λ2
Pesos (λj) λ1=0.6(1-λ2) λ2 λ3=0.4(1-λ2)
2 3 3 3 5
3
,
1
i j i j
j
V Vλ=
=∑
Matriz de pontuações/valores
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Exercício 14 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
d) Faça uma análise de sensibilidade ao peso do critério “prazo”, admitindo que a relação entre os pesos dos outros dois critérios se
mantém.
Análise de sensibilidade ao peso λ2 (Critério “Prazo”)
= A
, B
, C
, D
, E
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8
λ2 ≅ 0.34
Proposta B
Proposta D
Va
lor
da
pro
po
sta
Vi, i
= A
, B
, C
, D
, E
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Teoria da Decisão
No programa de concurso de uma obra de engenharia civil são indicados os três seguintes critérios de
avaliação das propostas concorrentes, por ordem decrescente de importância : preço (C1), qualidade
técnica (C2) e situação económico-financeira do concorrente (C3).
Apresentaram-se a concurso 5 empresas (A1 a A5) e na matriz multicritério seguinte indicam-se as
performances dos concorrentes para os três critérios. As performances segundo C1 vêm expressas em
milhares de euros e as performances segundo C2 e C3 são pontuações atribuídas pelo júri numa escala
crescente de 0 a 100, após análise das propostas. O júri decidiu ainda que a função de valor em termos
de preço (x) é do tipo
Exercício 20 – Enunciado
( )
1
2max 100 ix x
V x −
= ×
Metodologia multicritério
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Ge
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são
de preço (x) é do tipo
9
(Continua)
C1 C2 C3
A1 1560 75 60
A2 1500 80 40
A3 1410 65 80
A4 1380 50 50
A5 1350 55 55
( )max min
100V xx x
= × −
Ge
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são
Teoria da Decisão
a) Faça uma análise de dominância do problema.
b) Que decisão recomendaria caso se adoptassem pesos 0.45, 0.30 e 0.25 para C1, C2 e C3,
respectivamente.
c) Faça uma análise de sensibilidade ao peso atribuído a C1, admitindo que se mantém a proporção entre
os pesos de C2 e C3.
Exercício 20 – Enunciado (Continuação) Metodologia multicritério
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10
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Exercício 20 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
a) Faça uma análise de dominância do problema.
V(C1)
[0, 100]
V(C2)=C2
[0, 100]
V(C3)=C3
[0, 100]
A1 0.00 75 60
A2 53.45 80 40
A3 84.52 65 80Função de valor para o (descritor do)
Matriz de pontuações/valoresAvaliação parcial: Associação de
pontuações (valores cardinais
numa escala predefefinida) aos
níveis de desempenho de cada
critério por via da construção e
aplicação de funções de valor.
Ge
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11
A4 92.58 50 50
A5 100.00 55 55
MIN 0.00 50 40
MAX 100.00 80 80
( )
1
1
21max 1
1
1max 1min
Função de valor para o (descritor do)
critério C
100 iC CV C
C C
−= ×
−
Resposta:
•Nenhuma empresa é a melhor segundo os três critérios considerados. A empresa A5 é a melhor no critério Custo (C1),
a empresa A2 no critério da Qualidade Técnica (C2) e a empresa A3 no critério da situação económico-financeira (C3).
•Nenhuma proposta é a pior segundo os três critérios considerados. A empresa A1 é a pior no critério Custo (C1), a
empresa A4 no critério da Qualidade Técnica (C2) e a empresa A2 no critério da situação económico-financeira (C3).
•A proposta da empresa A4 é dominada pela proposta da empresa A5 pois, comparativamente, apresenta piores
valores para todos os critérios considerados. A proposta da empresa A4 pode ser eliminada/removida.
Ge
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Ge
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a D
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são
Exercício 20 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
b) Que decisão recomendaria caso se adoptassem pesos 0.45, 0.30 e 0.25 para C1, C2 e C3, respectivamente.
V(C1) V(C2)=C2 V(C3)=C3
A1 0.00 75 60 36.75
3
,
1
i j i j
j
V Vλ=
=∑
Matriz de pontuações/valores
Avaliação global por agregação aditiva simples (média ponderada) das pontuações parciais (método ou
estratégia compensatória).
Ge
stã
o e
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a d
a D
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são
Ge
stã
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Te
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a d
a D
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são
12
A2 53.45 80 40 58.05
A3 84.52 65 80 77.53
A4 92.58 50 50 69.16
A5 100.00 55 55 75.25
Pesos (λj) 0.45 0.30 0.25 77.53 (A3)
Resposta: A empresa com a melhor proposta é A3, com uma pontuação/valor agregado de 77.53.
Ge
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Ge
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a d
a D
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Exercício 20 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
c) Faça uma análise de sensibilidade ao peso atribuído a C1, admitindo que se mantém a proporção entre os pesos de C2 e C3.
1
2 3 1
1 2 3 3 1 2 3 1 3
2 3 2 3 2 3
, 1,2,3 em função de (Resolver sistema indeterminado de 2 equações a 3 incógnitas)
(Exprimir e em função de )
61 1 1
5
6 6 6
5 5 5
j jλ λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
=
+ + = = − − = − −
⇔ ⇔ = = =
Pesos
( )
( )
3 1 3 1
2 3 2 1
11 51 1
5 11
6 61
5 11
λ λ λ λ
λ λ λ λ
= − = −
⇔ ⇔ = = −
3
∑
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
13
V(C1) V(C2)=C2 V(C3)=C3
A1 0.00 75 600.00×λ1+75×6/11×(1-λ1) + 60×5/11×(1-λ1)
=68.18 – 68.18*λ1
A2 53.45 80 4053.45×λ1+80×6/11×(1-λ1) + 40×5/11×(1-λ1)
=61.81 – 8.37*λ1
A3 84.52 65 8084.52×λ1+65×6/11×(1-λ1) + 80×5/11×(1-λ1)
=71.82 + 12.70*λ1
A4 92.58 50 5092.58×λ1+50×6/11×(1-λ1) + 50×5/11×(1-λ1)
=50 + 42.58*λ1
A5 100.00 55 55100.00×λ1+55×6/11×(1-λ1) + 55×5/11×(1-λ1)
=55 + 45*λ1
Pesos (λj) λ1 λ2 =6/11×(1-λ1) λ3 =5/11×(1-λ1)
3
,
1
i j i j
j
V Vλ=
=∑
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Exercício 20 - Resolução
Teoria da Decisão
Metodologia multicritério
c) Faça uma análise de sensibilidade ao peso atribuído a C1, admitindo que se mantém a proporção entre os pesos de C2 e C3.
Análise de sensibilidade ao peso λ1 (Critério Custo)
, A
3,
A4,
A5
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
Ge
stã
o e
Te
ori
a d
a D
eci
são
14
λ1≅0.52
Proposta empresa A3
Proposta empresa A5Va
lor
da
pro
po
sta
Vi, i
= A
1,
A2,
A