NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA

Carga Horária do nivelamento: 20 horas/aula

EMENTA: Conceituação sobre a matemática financeira e suas aplicações através de Juros e Taxas de juros (reais, efetivas e equivalentes). Descontos simples e compostos. Empréstimos e Amortização. Conceitos de equivalência e fluxo de caixa. Valor Presente Líquido, Taxa Interna de Retorno. Avaliação de fluxos de caixa pelos métodos do Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno.

• Diferentemente que muitos possam imaginar, a matemática financeira não é somentenão é somente uma técnica ou ferramenta que se preocupa com cálculos de juros simples ou compostos.

• A matemática das finanças pode ser entendida como uma ciência que se preocupa em analisar os fenômenos econômico-financeiros, convergindo a eficientes processos de tomadas de decisão (de cunho pessoal, empresarial, governamental). Solucionando problemas, em geral, por meio de métodos quantitativos.

Matemática Financeira

Matemática Financeira

CONCEITO:

COMPREENDE UM CONJUNTO DE TÉCNICAS E FORMULAÇÕES EXTRAÍDAS DA MATEMÁTICA, COM O OBJETIVO DE RESOLVER PROBLEMAS RELACIONADOS ÀS FINANÇAS DE MODO GERAL, E QUE, BASICAMENTE, CONSISTEM NO ESTUDO DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

BRUNI, Adriano Leal

Matemática Financeira

Este primeiro tópico apresentará formidáveis aspectos necessários para se interpretar e resolver questões financeiras.

Instrumentos-chave:

• Fluxo de Caixa;

• Regimes de Capitalização (seus significados e diferenças);

• Variáveis que formam os modelos financeiros

• Capitalização Contínua/Discreta e Descontínua

Matemática Financeira

FLUXO DE CAIXAFLUXO DE CAIXA

• É uma escala temporal correlacionada com informaçõesmonetárias, muito utilizada para definir orçamentos.

• Pode ser representado por tabelas, quadros ou esquematicamente por um diagrama.

VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

• ESTÁ RELACIONADO À IDÉIA DE QUE, AO LONGO DO TEMPO, O VALOR DO DINHEIRO MUDA.

• OPORTUNIDADE DE APLICÁ-LO (JUROS).• RISCO• DESVALORIZAÇÃO DO CAPITAL (INFLAÇÃO).

O TEMPO É UMA VARIÁVEL CHAVE PARA A M. F.

O TEMPO É UMA VARIÁVEL CHAVE PARA A M. F.

• REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (RCS)

• REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (RCC)

EXISTE DUAS FORMAS BÁSICAS NA EVOLUÇÃO DO CUSTO DO DINHEIRO NO TEMPO (CAPITALIZAÇÃO).

Duas formas de Capitalizar

• Juros com capitalização SIMPLESOs juros são sempre calculados sobre o saldo

inicial• Juros com capitalização COMPOSTAOs juros são sempre calculados sobre o saldo atual

JUROSDefinições

• “É o dinheiro pago pelo uso do dinheiro emprestado ou como remuneração do capital aplicado em atividades produtivas”

• Chama-se TAXA de JUROS i a razão entre os juros que serão cobrados no fim do período e o capital inicialmente empregado.

i=JP

i=JP

As taxa de juros podem ser mensais, trimesrais, semestrais, anuais.

EXEM PLO: - dívida R$ 1.500,00 - juros anuais R$ 150,00 Taxa de Juros anuais ... ia . a . = (150/1500) = 0,1 ou 10/100 ou 10%.

FATORES QUE DETERMINAM A EXISTÊNCIA DOS JUROS

• INFLAÇÃO - diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno maior que o capital investido

• UTILIDADE - investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã, o que só é atraente quando o capital recebe remuneração adequada

• RISCO - existe sempre a possibilidade do investimento não corresponder às expectativas

• OPORTUNIDADE - os recursos disponíveis para investir são limitados, motivo pelo qual ao se aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros; e é preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório.

TIPOS DE JUROS

•JUROS SIMPLES - só o pricipal rende juros ao longo da vida do investimento

•JUROS COMPOSTOS - após cada período, os juros são incorporados ao capital e passam, por sua vez, a render juros

•EXEMPLO: Considere R$ 100,00 empregados a 10% ao ano. Juros Simples Juros Compostos•Principal 100,00 100,00•após 1 ano 100 + 0,10 x 100 = 110 100 + 0,10 x 100 = 110•após 2 anos 110 + 0,10 x 100 = 120 110 + 0,10 x 110 = 121•após 3 anos 120 + 0,10 x 100 = 130 121 + 0,10 x 121 = 133,1•após 4 anos 130 + 0,10 x 100 = 140 133,1+0,10x133,1 = 146,41

•OBSERVAÇÃO: Na prática, no Brasil, empregam-se JUROS COMPOSTOS

Juros Simples x Juros Compostos

EVOLUÇÃO DO CAPITAL SOB JUROS

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1 2 3 4 5

n (TEMPO)

PR

INC

IPA

L

Seqüência1Seqüência2

PRINCÍPIOS BÁSICOSPRINCÍPIOS BÁSICOS

• SÓ COMPARAR VALORES MONETÁRIOS SE ESTIVEREM REFERENCIADOS NA MESMA

DATA.

• NUNCA SOME VALORES EM DATAS DIFERENTES.

• SÓ COMPARAR VALORES MONETÁRIOS SE ESTIVEREM REFERENCIADOS NA MESMA

DATA.

• NUNCA SOME VALORES EM DATAS DIFERENTES.

JUROS SIMPLES

O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES.

– A TAXA DE JUROS INCIDE SOMENTE SOBRE O VALOR INICIAL (EMPRESTADO OU APLICADO).

EX: Ci = $ 100,00 aplicados a 5% ao período.primeiro período: 100 x 0,05 = $ 5,00segundo período: 100 x 0,05 = $ 5,00terceiro período : 100 x 0,05 = $ 5,00n-éssimo período: 100 x 0,05 = $ 5,00

O RCS VISTO ATRAVÉS DE TABELA.

Mês Saldo Inicial Juros 8% a.m. Saldo Final

0 800,00

1 800,00 864,00

2 864,00 928,00

3 928,00 992,00

4 992,00 1.056,00

5 1.056,00 1.120,00

6 1.120,00 1.184,00

800,00

64,00

64,00

64,00

64,00

64,00

64,00

Juros em RCS

J = VP x i x nJ = VP x i x nOnde:

j = Juros ( $ )

VP = Valor Presente ( $ )

i = Taxa ( unitária/período )

n = períodos de tempo

Exercício 1

Um capital de $ 500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no RCS. Qual o valor dos juros mensais?

J = VP x i x n

J = 500 x 0,05 x 1 $ 25,00

J = VP x i x n

J = 500 x 0,05 x 1 $ 25,00

Na HP12C:

500 (ENTER) 5 % 25,00000 (visor)

Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base.

SUGESTÃO:

Altere sempre n e evite alterar i

IMPORTANTEIMPORTANTE

Na HP12C:

120 (ENTER) 4 % 7 X 33,600000 (visor)

Exercício 2

Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?

J = VP x i x n

J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60

J = VP x i x n

J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60

MONTANTE OU VALOR FUTURO

VF = VP + j

VF = VP + (VP x i x n)

VF = VP x (1 + i x n)VF = VP x (1 + i x n)

j = VP x i x ne

SENDO:

MONTANTE OU VALOR FINAL

Exercício 3

Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação?

VF = VP x (1 + i x n)

VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00

VF = VP x (1 + i x n)

VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00

Na HP12C:

3000 (ENTER) 6 % 5 x + 3.900,00000

DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE NO RCS.

VF = VP (1 + i x n)

n = [(VF / VP) - 1] / i

i = [(VF / VP) - 1] / n

VP = VF / (1 + i x n)

Exercício 4

Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação?

VP = VF / (1 + i x n)

VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00

VP = VF / (1 + i x n)

VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00

Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x + 500,00000 (visor)

Exercício 5O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação?

i = [(VF / VP) - 1] / n

i = [(400 / 200) - 1] / 5

$ 0,20 ou 20% a. m.

i = [(VF / VP) - 1] / n

i = [(400 / 200) - 1] / 5

$ 0,20 ou 20% a. m.

Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5 0,200000 (visor)

Exercício 6A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação?

n = [(VF / VP) - 1] / i

n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses

n = [(VF / VP) - 1] / i

n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses

Na HP12C: 134 (ENTER) 68 1 – 0,02 (visor) 48,52941175 meses

CONTAGEM DE TEMPO

• COMERCIAL OU BANCÁRIO;• CIVIL OU EXATO.

EXERCÍCIO 7Calcule os juros simples cobrados sobre uma operação de empréstimo no valor de $ 40.000,00, realizada por 58 dias, com uma taxa igual a 23% a.a. Empregue nos cálculos o ano:

a) comercial; b) civil ou exato.

Exercício 8

• A Pague e Leve Eletrodomésticos Ltda, vende suas mercadorias com pagamento para após dois meses. Sabendo-se que determinado produto a vista custa $ 550,00 e, após dois meses, custa $ 715,00, calcule a taxa de juros simples mensal cobrada pela loja.VF = VP (1+ i x n)

715 = 550 (1 + i x 2) = 0,15 ou 15% a.m.

– RESPOSTA: 15% a.m.

Exercício 9• Calcule o rendimento e o montante

acumulado ao final de 18 meses, de uma aplicação de $ 68.000,0, a taxa de 3% a.m. no RCS.J = 68.000 x 0,03 x 18 = $ 36.720,00VF = VP + J = 68.000 + 36.720 = $104.720,00

Exercício 10

• Uma instituição financeira cobra de seus clientes 28% a.a. no RCS para saldos negativos em conta especial. O banco sempre efetua seus cálculos com base no ano comercial. Quais os juros que o banco cobrará para uma conta que ficou “estourada” em $ 4.200,00 por 16 dias?

J = 4.200 x 0,28 x 16 / 360 = $ 52,27

• HP 12C:4200 [ENTER] 28 [%] 16 [x] 360 [/] =$ 52,27

Exercício 11• Em quantos períodos um capital aplicado a

juros simples de 20% ao período é quadruplicado?VF = 4 x VPVF = VP (1+ i x n) 4VP = VP (1+ i x n)4VP/VP = (1+ i x n) 4 = (1+ i x n)4 - 1 = i x n 3 = 0,2 x n

3 / 0,2 = n 15 períodos

HP 12C

400 [ENTER] 100 [/] 1 [-] 0,20 [/] =15 períodos

Exercício 12

• Qual deve ser o valor aplicado hoje a uma taxa de 4% a.t. para obter $ 16.000,00 ao final de dois anos?VF = VP (1+ i x n)16000 = VP (1+ 0,04 x 2 x 4)

» VP = $ 12.121,21

HP 12C

16000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,04 [ENTER] 2 [x] 4 [x] [+] [/] = $ 12121,21

Exercício 13• A partir de qual prazo $ 3.000,00

aplicados à taxa de 15% a.m. será inferior a $ 2.400,00 aplicados à taxa de 20% a.m.? Considere ambas as aplicações a juros simples.

» J 1 = 3.000 x 0,15 x 1 = $ 450,00

» J 2 = 2.400 x 0,20 x 1 = $ 480,00

• A cada um mês a diferença será menor em $ 30,00.Como a diferença total é de $ 600,00 (3.000 – 2.400) o tempo

necessário será de 20 meses (600 / 30).

Resposta: 20 meses

Exercício 14• Uma nota promissória tem valor de resgate a $

40.000,00. Por quanto devemos adquiri-la hoje, 128 dias antes do vencimento, se desejamos uma rentabilidade linear de 26% a.a.? Considere o ano comercial nos cálculos.

» VF = VP (1 + i x n)

» VP = 40.000 / (1 + 0,26 x 128/360) =

$ 36.615,13• HP 12C.

40000 [ENTER] 0,26 [ENTER] 128 [ENTER] 360 [/] [x] 1 [+] [/]

Resposta: $ 36.615,13

Exercício 15• Dados do Banco Indo-Australiano indicam

que uma aplicação de $ 500.000,00 obteve durante 215 dias um rendimento de $ 224.000,00. Calcule as taxas de rendimento (comercial) a juros simples para:a)O prazo da operação.

b)Ao Ano.

c) Ao semestre.

d)Ao bimestre.

e)Ao mês.

f) Ao dia.

Resposta

• VP = $500.000,00 VF = $724.000,00 e J = $224.000,00.

• Na HP 12C:

724000 [ENTER] 500000 [/] 1 [-] 215 [ENTER] 360 [/] [/] = 0,7501 ao ano

os demais basta colocar o período na mesma base.

a) 44,80%.

b) 75,01% ao ano.

c) 37,50% ao semestre.

d) 12,50% ao bimestre.

e) 6.25% ao mês.

f) 0,2084% ao dia.

JUROS COMPOSTOS

O REGIME COMPOSTO DE CAPITALIZAÇÃO.

– O rendimento se dá de forma exponencial. Os juros do período são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte.

– FÓRMULA:M = C*( 1 + i)n

DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE NO RCC.

Exercícios16) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.

17) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

18) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

19) O valor final de um empréstimo de R$ 5.000,00 por um período de 7 meses é R$ 5.862,72. Qual a taxa de juros da aplicação?

20) Calcule o número de períodos de capitalização para um principal de R$ 1.470,00, montante de R$ 1.623,00 à taxa de 2,00% a.m.

TAXAS

• Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Ou é a unidade de medida pela qual os juros são fixados na remuneração de um capital num determinado período de tempo ( dias, meses, anos etc.)

TAXA PROPORCIONAL

• Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

• Este caso se tiver uma taxa ao ano, e o período do problema é em meses, basta dividir a taxa por 12, ou seja, um (1) ano tem doze (12) meses.

• i= 12%aa 1%am• i= 8%as 1,33%am

TAXA NOMINAL

• Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo NÃO coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização;

• A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:

– - 12% ao ano, capitalizados mensalmente;– - 24% ao ano, capitalizados semestralmente;– - 10% ao ano, capitalizados trimestralmente,– - 18% ao ano, capitalizados diariamente.

TAXA EFETIVA

• A Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

– 120% ao mês com capitalização mensal; – 450% ao semestre com capitalização semestral; – 1300% ao ano com capitalização anual.

• OBS: Quando trabalhamos com taxa efetivas, omitimos o seu período de capitalização, pois eles estão na mesma unidade de tempo da taxa em questão.

TAXA EFETIVA

• ETAPAS:

1ª: Analisar a unidade de tempo entre a Taxa Nominal e a forma de capitalização;

2ª: Calcular a taxa efetiva conforme a forma de capitalização;

3ª: Calcular a taxa efetiva conforme a unidade de tempo da Taxa Nominal.

EXEMPLOS

1. Determinar as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano, com os seguintes períodos de capitalização:

a) mensal;

b) Trimestral;

c) semestral.

EXEMPLOS• RESPOSTAS:a) Tx. Nominal = 9% A.A Cap. Mensal Tx. Efet. Mensal = 0,75% A.M

Tx. Efet. Anual = {(1 + 0,0075)12 - 1} x 100 = 9,38% A.A

b) Tx. Nominal = 9% A.A Cap. Trimestral Tx. Efet. Trimestral = 2,25% A.T

Tx. Efet. Anual = {(1 + 0,0225)4 - 1} x 100 = 9,31% A.A

c) Tx. Nominal = 9% A.A Cap. Semestral Tx. Efet. Semestral = 4,50% A.S

Tx. Efet. Anual = {(1 + 0,045)2 - 1} x 100 = 9,20% A.A

TAXA EQUIVALENTE

• Duas taxas são ditas equivalentes quando, embora referidas a unidades de tempo diferentes, aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo valor.

• Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado.

• As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

Taxa Equivalente

EXEMPLOS

1. Suponha as taxas de 10% ao mês e 33,10% ao trimestre. Considere o capital de R$ 20.000,00 aplicado durante 3 meses a essas taxas. Os valores futuros produzidos são:

Dados: VP=R$ 20.000,00; n = 3 meses = 1 trimestre; i1 =10% ao mês; i2 = 33,1% ao trimestre

EXEMPLOS

EXEMPLOS

EXEMPLOS

OPERAÇÕES DE DESCONTO OPERAÇÕES DE DESCONTO

As operações de desconto podem ser de dois tipos:

• RACIONAL (por dentro)

• COMERCIAL (por fora)

• BANCÁRIO

As operações de desconto representam a antecipação do pagamento (ou recebimento) de

valores futuros.

DESCONTO EM RCS

• O desconto é aplicado quando um empréstimo é saldado antes do vencimento previsto e, claro, desde que esse desconto esteja previsto em contrato.

• Não vá correndo pagar todas suas contas com um mês de antecedência, pensando que com isso você vai conseguir altos descontos.

ALGUNS SINÔNIMOS

Valor Presente = Valor Líquido = Valor Descontado ou Valor Recebido.

Valor Nominal = Valor Futuro = Valor de Face.

DESCONTO RACIONALDESCONTO RACIONAL(desconto por dentro)(desconto por dentro)

Nas operações de desconto racional a taxa incidi sobre o VALOR PRESENTE da operação

(Desconto por DENTRO)

d = VF – VP

VP = VF / (1 + i x n)

d = VF – [VF / (1 + i x n)]

LEMBRETE

DESCONTO RACIONAL ou POR DENTRO.

A taxa de juros incide sobre o Valor Presente

EXERCÍCIO 21

Um título no valor nominal de $ 500,00, com vencimento programado daqui a três meses, foi descontado hoje. Sabendo que foi aplicado desconto racional no regime de capitalização simples, a uma taxa de 4,5% a. m., calcule o desconto e o valor recebido.

d = VF – [VF / (1 + i x n)]

d = 500 – [500 / (1 + 0,045 x 3)]

d = $ 59,47

Resolução pela HP12C

500 [Enter] 1 [Enter] 0,045 [Enter] 3 [x] [+] [/]

no visor temos 440,53 (valor presente)

Ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 500 [+]

no visor temos 59,47 (valor do desconto)

DESCONTO COMERCIALDESCONTO COMERCIAL(desconto por fora)(desconto por fora)

Nas operações de desconto comercial a taxa incidi sobre o VALOR FUTURO da operação.

(Desconto por FORA)

VP = VF - d

VP = VF x (1 - i x n)

VP = VF x (1 - i x n) i = (1 - VP /VF) / n

VF = VP / (1 - i x n)

n = (1 - VP/ VF) / i

VARIAÇÕES DA FÓRMULA

VALOR PRESENTE

EXERCÍCIO 22

Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto por fora igual a 4% a.m., calcule o valor do desconto e o valor líquido de uma operação com as seguintes características: prazo = 38 dias, valor nominal = $ 3.400,00.

VP = 3400 x (1 – 0,04 x 38/30)

VP = $ 3.227,73

VP = VF x (1 - id x n)

d = 3400 – 3227,73 = $172,27

d = VF – VP

Resolução pela HP12C

1 [Enter] 0,04 [Enter] 38 [Enter] 30 [/] [x] [–] 3400 [x]

no visor temos 3227,73 (valor liquido)

Ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 3400 [+]

no visor temos 172,27 (valor do desconto)

DESCONTO BANCÁRIODESCONTO BANCÁRIODESCONTO BANCÁRIODESCONTO BANCÁRIOAs operações de desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, porém, no caso do desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), o que altera os resultados anteriormente calculados.

Assim, o desconto bancário será igual ao desconto comercial mais uma taxa pré-fixada que incide sobre o valor nominal.

Fórmula do Desconto Bancário

dB = dC + t x VFdB = dC + t x VF

Onde:

•dB = desconto bancário

•dC = desconto comercial

•t = taxa pré-fixada

•VF = Valor Futuro

O Valor Presente de desconto Bancário

VP = VF - dBdB = dC + t x VF

VP = VF – (dC + t x VF)

dC = VF x id x n

VP = VF – (VF x id x n + t x VF)

VP = VF x (1 - id x n - t)VP = VF x (1 - id x n - t)

VALOR PRESENTE LÍQUIDO

EXERCÍCIO 23EXERCÍCIO 23

Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-datado no valor de $ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título

VP = VF x (1 - id x n - t)VP = VF x (1 - id x n - t)

VP = 5000 x (1 – 0,03 x 5 – 0,007) VP = $ 4.215,00VP = $ 4.215,00

d = VF - VPd = VF - VP

d = 5000 - 4215 d = $ 785,00d = $ 785,00

Resolução pela HP12C

1 [Enter] 0,03 [Enter] 5 [x] [–] 0,007 [-] 5000 [x]

no visor temos 4.215,00 (valor presente)

Ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 5000 [+]

no visor temos 785,00 (valor do desconto)

EXERCÍCIO 24EXERCÍCIO 24

Um banco realiza operações de desconto de notas promissórias mediante a aplicação de uma taxa simples de desconto por fora igual a 4% ao mês. Além disso, cobra a título de IOF uma taxa igual a 0,3% sobre o valor nominal. Qual será o valor líquido recebido após desconto de um título com valor nominal igual a $ 12.500,00 e vencimento em 50 dias?

VP = VF x (1 - id x n - t)VP = VF x (1 - id x n - t)

VP = 12.500 x (1 – 0,04 x 50/30 – 0,003)

VP = $ 11.629,17VP = $ 11.629,17

Resolução pela HP12C

1 [Enter] 0,04 [Enter] 50[x] 30 [/] [–] 0,003 [-] 12.500 [x]

no visor temos 11.629,17 (valor presente)

E se ainda o problema pedir o valor do desconto devemos,

ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 5000 [+]

no visor temos 870,83 (valor do desconto)

EXERCÍCIO 25EXERCÍCIO 25

Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a $7.800,00 dois meses antes de seu vencimento mediante uma taxa de desconto por fora igual a 7% ao mês e um percentual sobre o valor de face igual a 0,8%. Qual o valor líquido recebido pela empresa?

VP = VF x (1 - id x n - t)VP = VF x (1 - id x n - t)

VP = 7.800 x (1 – 0,07 x 2 – 0,008)

VP = $ 6.645,60VP = $ 6.645,60

Resolução pela HP12C

1 [Enter] 0,07 [Enter] 2 [x] [–] 0,008 [-] 7.800 [x]

no visor temos 6.645,60 (valor presente)

E se ainda o problema pedir o valor do desconto devemos,

ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 7800 [+]

no visor temos 1.154,40 (valor do desconto)

DESCONTO EM RCC

• É o abatimento concedido sobre um título por seu resgate antecipado, ou a venda de um título antes do seu vencimento, observando os critérios da capitalização composta.

• Como no desconto simples temos duas formas de desconto composto:

a)Desconto racional composto ou por dentro.

b)Desconto comercial composto ou por fora.

Desconto Comercial Composto(desconto por fora)

Nas operações de desconto comercial a taxa incidi sobre o VALOR FUTURO da operação.

(Desconto por FORA)

VP = VF - d

VP = VF x (1 - i)n

Dc = VF x [1- (1 - i)n ]

VF = VP / (1 - i)n

EXERCÍCIO 26EXERCÍCIO 26

Calcular o valor atual de um título de $ 20.000 descontados  um ano antes do vencimento a taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre capitalizável trimestralmente.

VP = VF x (1 - i)n

VP = 20.000 x (1 – 0,05)4

VP = 20.000 x (0,95)4

VP = 20.000 x 0,814506VP = R$ 16.290,12

Desconto Racional Composto(desconto por dentro)

Nas operações de desconto racional a taxa incidi sobre o VALOR PRESENTE da operação

(Desconto por DENTRO)

VF = VP x (1 + i)n

Dr = VF x [1- (1 + i)-n ]

VP = VF / (1 + i)-n

EXERCÍCIO 27EXERCÍCIO 27

Encontrar o desconto Racional Composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2% ao mês.

Dr = VF x [1- (1 + i)-n ]

Dr = VN [1 - (1 + i)-n]Dr = 50.000 [1 - (1 + 0,02)-2]Dr = 50.000 [1 - (1,02)-2]Dr = 50.000 [1 – 0,961169]Dr = 50.000 . 0,038831Dr = 1.941,56

ANUIDADES OU

RENDAS CERTAS

CONCEITO:Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto em nível de financiamentos (Amortização) quanto de investimentos (Capitalização).

Rendas Certas ou Anuidades

Algumas definições importantes:

ANUIDADES: é cada pagamento feito em determinados intervalos de tempo (Ex: mensal, bimestral, anual, etc.).

INTERVALOS DE PAGAMENTO: intervalo de tempo decorrido entre dois pagamentos.

VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL: é a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos, calculados numa data focal dada, anterior às datas de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.

VALOR FUTURO OU MONTANTE: é a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos, calculados numa data focal dada, posterior às datas de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.

SEQUENCIA UNIFORME DE PAGAMENTOS: quando todos os pagamentos ou anuidades são iguais, os períodos e as taxas de juros

também são iguais. 

Rendas Certas ou Anuidades As Séries de Pagamento uniformes divide-se em:

POSTECIPADAS: são aquelas cujo pagamento ocorre no fim do período. Ex: Pagamento da fatura do cartão de crédito.

ANTECIPADAS: são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no início do período. Exemplo: Compra em uma loja para pagamento em 4 prestações mensais, iguais, sendo uma de entrada.

DIFERIDAS: são aquelas séries de pagamento que se iniciam após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos. Geralmente conhecido por “período de carência”. Exemplo: Financiamento pelo prazo de 6 meses, com carência de 2 meses.

ANUIDADES TEMPORÁIS: quando o número de intervalo de tempo é finito.

ANUIDADES VARIÁVEIS: quando os intervalos de tempo não são iguais ou os prestações diferem de valor.

ANUIDADES PERPÉTUAS: quando o número de intervalos de tempo é infinito.

Rendas Certas ou Anuidades

Classificação das Anuidades:

• Quanto ao número de prestações:

Finitas: quando ocorrem em um período determinado de tempo;

Infinitas: quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente;

• Quanto a periodicidade dos temos:

Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalo de tempo constante.

Não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalos de tempo irregulares.

• Quanto ao valor das prestações:

Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos são de valores iguais.

Não Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

Seja um principal VP a ser pago em n termos iguais a PMT, imediatos, postecipados e periódicos, submetidos a uma taxa i de juros composto, referida ao mesmo período de tempo.

Representação gráfica do modelo:

O Objetivo é trazer todos os pagamentos ou prestações para o momento inicial.

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

FÓRMULA DO MODELO BÁSICO DE ANUIDADE POSTECIPADAS

Valor Presente de uma Anuidade Imediata Perpétua

EXPRESSÃO

iPMTVP

1

EXEMPLO

Se uma imóvel está rendendo um aluguel de R$ 550,00 por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado é de 2,7% ao mês, qual séria o valor doimóvel alugado?

EXEMPLO

Uma pessoa quer comprar um imóvel para viver com a renda do seu aluguel. Calcula que poderá alugá-lo por R$ 2.000,00 mensais. Quanto estará disposta a pagar pelo imóvel se a taxa de mercado está em torno de 1% a.m?

Valor Presente de uma Anuidade Antecipada

EXEMPLO

Comprei uma geladeira de última geração nas Lojas Enairam em 18 pagamentos de R$ 130,72, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa cobrada pela loja é de 2% ao mês, qual o preço à vista da geladeira.

EXEMPLO

As Lojas Brasileiras esta vendendo um aparelho de ar condicionado à vista por R$ 1.799,00 ou em 15 prestações fixas, sendo a primeira no ato da compra. Qual o valor das prestações se a taxa cobrada pela loja é de 1,3% ao mês.

Valor Presente de uma Renda DiferidaEXPRESSÃO

cn

ii

iPMTVP

)1(

)1(1

OU:

EXEMPLO

Um empréstimo de R$ 8.000,00 deve ser pago com juros de 4,5% a.m., em seis parcelas mensais iguais, vencendo a primeira a 90 dias do empréstimo. De quanto serão as parcelas?

EXEMPLO Uma financeira emprestou a quantia de R$ 720,00, pelo prazo de um ano, para recebimento em 8 prestações mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira deverá vencer no final do quinto mês e que a taxa cobrada é de 6,5% ao mês, determine o valor das prestações?

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

Como o valor futuro de uma renda é a soma dos valores futuros de cada um dos seus termos, temos a seguinte representação.

Representação gráfica do modelo:

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

FÓRMULA DO VALOR FUTURO DE ANUIDADE POSTECIPADAS

Valor Futuro ou Valor Futuro do Modelo Básico

Para calcular o n quando são dados VF, PMT e i, não é neces-

sário aplicar uma fórmula própria. Pode-se deduzir uma fórmu-

la que deriva facilmente:

)1ln(

)1/*ln(

i

PMTiVFn

Valor Futuro de uma Anuidade Antecipada

EXEMPLO

Comprei uma geladeira de última geração nas Lojas Enairam em 18 pagamentos de R$ 130,72, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa cobrada pela loja é de 2% ao mês, qual o preço à vista da geladeira.

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

INTRODUÇÃO

• A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de formas que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas.

• As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização.

• Existem muitas maneiras de se pagar esses dívidas, entre as mais conhecidas se destacam:

SISTEMA DO MONTANTE SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS

SISTEMA AMERICANO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS

Sistemas utilizados no mercado e respectiva característica preponderante

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DO MONTANTE: Os juros e o capital são quitados no final da operação.

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DE JUROS ANTECIPADOS: O tomador do empréstimo paga os juros decorrentes da operação, na hora do empréstimo, devendo quitar somente o capital no final da operação.

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO - SAA: Os juros são pagos periodicamente e o principal é quitado no final da operação. Ex.: Títulos da dívida pública, debêntures, etc.

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) - SAF: A dívida é quitada através de prestações iguais, periódicas e sucessivas. Ex.: Amplamente utilizado no Brasil: CDC (crédito direto ao consumidor).

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC: Amortizações periódicas, sucessivas e decrescentes em P.A. de uma dívida, onde a prestação incorpora principal mais encargos. Ex.: Sistema Financeiro de Habitação.

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM: Por esse sistema, os pagamentos são média aritmética dos pagamentos dos sistemas Price e SAC.

DEFINIÇÃO BÁSICA

Os Sistemas de Amortização tratam, primordialmente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos (pagos) pelo devedor (mutuário) ao credor do capital (mutuante).

• CARACTERÍSTICAS:a) Basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e

financiamentos de longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do principal e encargos financeiros (juros da operação);

b) Utiliza exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior;

c) Cada sistema de amortização obedece a uma certa padronização, tanto nos desembolsos, quanto nos reembolsos;

d) Podem ter ou não carência, sendo que, no período de carência, normalmente são pagos os juros;

TERMINOLOGIAS

• Encargos Financeiros – juros da operação que podem ser pré-fixados ou pós-fixados, constituindo-se custo para o devedor e retorno para o credor;

• Amortização – pagamento do capital emprestado, realizado através das prestações periódicas, mensais, bimestrais, trimestrais, etc.;

• Saldo Devedor – Representa o valor do principal da dívida, em um determinado momento, após a dedução das amortizações já efetuadas pelo mutuário;

• Prestação – Amortização mais encargos financeiros devidos em determinado período de tempo.

• Carência - é o período que vai da data da concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação.

DEMONSTRATIVOS• São quadros ou tabelas que permitem o devedor (ou o credor)

conhecer, a cada período, o ESTADO da DÍVIDA (total pago e o saldo devedor).

• Em todos os demonstrativos devem constar:

SISTEMA DO MONTANTE

• Por esse sistema, o devedor paga no final do prazo, o montante da divida, ou seja, o valor emprestado mais os juros decorrentes do período;

• Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros compostos;

• Para se calcular o valor desse pagamento final, basta calcular o montante correspondente conforme o caso. O valor da dívida será o valor presente PV e o pagamento final será o valor futuro FV, calculado sobre a taxa i contratada por n períodos.

• Se o contrato prevê juros simples, tem-se: FV = PV (1 + i.n).

• Se o contrato prevê juros compostos, tem-se: FV = PV (1 + i)n

EXEMPLO

Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros de 4,2% ao mês. Calcule o pagamento final

SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS• O devedor paga no ato da liberação do empréstimo o total dos juros decorrentes da operação, pagando no final do período apenas o valor solicitado do empréstimo.

• Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros compostos.

• Se os juros são pagos antecipadamente, o valor liberado não coincide com o valor solicitado pelo devedor, portanto cabe ao tomador do empréstimo solicitar um valor maior.

• É interessante neste caso calcular o valor efetivamente liberado. Chamando de VL o valor efetivamente liberado e de PV o pagamento final e supondo que o empréstimo foi feito à taxa i pelo prazo de n períodos, o valor liberado será:

EXEMPLOUm empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros de 4,2% ao mês. Calcule:

a) O valor liberado no sistema de juros simples;

b) O valor liberado no sistema de juros composto;

SISTEMA AMERICANO

• Paga-se os JUROS periodicamente e o valor emprestado é pago no final do prazo estipulado;

• No final do prazo é pago, além dos juros do período, o valor emprestado.

• Por esse sistema não há diferença entre os regimes de juros simples ou juros compostos, pois como os juros são pagos periodicamente o saldo devedor é sempre o mesmo.

EXEMPLO

Considere um empréstimo de $ 100.000 feito à taxa de 10% a.m. pelo prazo de 3 meses. Qual será o desembolso mensal do devedor se o empréstimo for feito pelo sistema americano com os juros pagos mensalmente.

SISTEMA AMERICANO

• FÓRMULA:

J = PV x i x nONDE:

J = Juros;

PV = valor emprestado;

i = taxa de juros;

n = nº períodos

SOLUÇÃO

N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

0

1

2

3

4

100.000,00

100.000,00

zero100.000,00

---------------

---------------

10.000,00

10.000,00

10.000,0010.000,00

10.0000,00

110.000,00

--------------- --------------- --------------- 100.000,00

• O devedor obriga-se a devolver o principal acrescido de juros em prestações iguais e consecutivas (as prestações são CONSTANTES e incorporam os juros e a amortização);

• O valor da prestação é CONSTANTE, sendo que cada prestação é composta de uma parcela de juros e uma parcela de amortização.

• O valor dos juros decresce com o tempo e o valor da amortização aumenta, logo juros e amortização nesses sistemas são inversamente proporcionais

EXEMPLOS: - Crédito Direto ao Consumidor

- Financiamento de automóveis

Sistemas de Amortização Francês ou Price - SAFSistemas de Amortização Francês ou Price - SAF

• FÓRMULA:

PMT = PV/ 1- (1+i)-n /i

ONDE:

PV = empréstimo;

i = taxa de juros;

n = número de prestações;

PMT = prestações.

Sistemas de Amortização Francês ou Price - SAFSistemas de Amortização Francês ou Price - SAF

EXERCÍCIO 1

Elaborar a planilha pelo sistema francês de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. .

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

OBS: No final do período o saldo devedor deve ser zero ou muito próximo de zero.

EXERCÍCIO 2

Considerando um empréstimo de R$ 100.0000,00, feito à taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago no Sistema PRICE, determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.

SOLUÇÃO

N PRESTAÇÃOPV

JUROS10% x S.D.

AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

0

1

2

3

4

78.452,92

54.751,13

28.679,16

zero28.679,16

26.071,97

23.701,79

21.547,08

2.867,92

5.475,11

7.845,29

10.000,0031.547,08

31.547,08

31.547,08

31.547,08

--------------- --------------- --------------- 100.000,00

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES - SAC

• Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem em cada uma delas, uma amortização constante + juros sobre o saldo devedor.

• Enquanto no sistema Francês as prestações são constantes, por esse sistema as amortizações é que são iguais.

• As amortizações são calculadas por:

A = n

VP

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES - SAC

EXERCÍCIO 3

Elaborar a planilha pelo sistema SAC de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m.

EXERCÍCIO 3

EXERCÍCIO 4

Considerando mais uma vez o empréstimo de $ 100.000,00, feito à taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago pelo sistema SAC, fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.

Solução

000.254

000.100

n

VPA

SOLUÇÃO

N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

0

1

2

3

4

75.000,00

50.000,00

25.000,00

zero25.000,00

25.000,00

25.000,00

25.000,00

2.500,00

5.000,00

7.500,00

10.000,0035.000,00

32.500,00

30.000,00

27.500,00

--------------- --------------- --------------- 100.000,00

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

• Criado pelo extinto BNH (Banco Nacional de Habitação) em maio de 1979;

• Constitui-se num misto entre o SFA (Price) e o SAC;

• O SAM é um plano de pagamentos compostos por pagamentos cujos valores são resultantes da média aritmética das prestações no SFA e na SAC.

• Os valores de amortização e juros resultam da mesma regra.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

P SAM = PSAF + PSAC

2

A SAM = ASAF + ASAC

2

J SAM = JSAF + JSAC

2

FÓRMULAS

Prestação

Amortização

Juros

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

P SAM = PSAF + PSAC

2

A SAM = ASAF + ASAC

2

J SAM = JSAF + JSA

2

FÓRMULAS

Prestação

Amortização

Juros

SFA SAC Soma (SAC+SFA)/2

1 83.222,92 96.000,00 179.222,92 89.611,46 2 83.222,92 88.800,00 172.022,92 86.011,46 3 83.222,92 81.600,00 164.822,92 82.411,46 4 83.222,92 74.400,00 157.622,92 78.811,46 5 83.222,92 67.200,00 150.422,92 75.211,46

ParcelaNo.

SFA SAC Soma (SAC+SFA)/21 47.222,92 60.000,00 107.222,92 53.611,46 2 52.889,68 60.000,00 112.889,68 56.444,84 3 59.236,42 60.000,00 119.236,42 59.618,21 4 66.344,80 60.000,00 126.344,80 63.172,40 5 74.306,18 60.000,00 134.306,18 67.153,09

AmortizaçãoNo.

SFA SAC Soma (SAC+SFA)/21 36.000,00 36.000,00 72.000,00 36.000,00 2 30.333,24 28.800,00 59.133,24 29.566,62 3 23.986,50 21.600,00 45.586,50 22.793,25 4 16.878,12 14.400,00 31.278,12 15.639,06 5 8.916,74 7.200,00 16.116,74 8.058,37

No.Juros

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

RESUMINDO

Prestação Juros Amortização Saldo300.000,00

1 89.611,46 36.000,00 53.611,46 246.388,54 2 86.011,46 29.566,62 56.444,84 189.943,70 3 82.411,46 22.793,25 59.618,21 130.325,49 4 78.811,46 15.639,06 63.172,40 67.153,09 5 75.211,46 8.058,37 67.153,09 -

112.057,30 300.000,00 TOTAL

No.SAM (Sistema Amortização Mista)

134

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL

• Neste sistema, a devolução do principal é realizada em parcelas desiguais. As amortização são pré-fixadas e os juros calculados sobre o saldo devedor.

• Um banco emprestou $ 300.000 que serão amortizados da seguinte forma:

• 1o amortização = $ 30.000,00• 2o amortização = $ 50.000,00• 3o amortização = $ 70.000,00• 4o amortização = $ 65.000,00• 5o amortização = $ 85.000,00

Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

135

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL

• Um banco emprestou $ 300.000 que serão amortizados da seguinte forma:• 1o amortização = $ 30.000,00• 2o amortização = $ 50.000,00• 3o amortização = $ 70.000,00• 4o amortização = $ 65.000,00• 5o amortização = $ 85.000,00

Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

Prestação Juros Amortização Saldo0 300.000,00 1 36.000,00 36.000,00 300.000,00 2 36.000,00 36.000,00 300.000,00 3 66.000,00 36.000,00 30.000,00 270.000,00 4 82.400,00 32.400,00 50.000,00 220.000,00 5 96.400,00 26.400,00 70.000,00 150.000,00 6 83.000,00 18.000,00 65.000,00 85.000,00 7 95.200,00 10.200,00 85.000,00 -

195.000,00 300.000,00

No.SAV (Sistema Amortização Variável)

TOTAL