apresenta

aULas - nOVO eneMteoria e resoluo de exerccios

COMpetnCIa 1

A Matemtica na Vida dos Povos

Os nmeros so uma inveno humana, assim como o sistema de conta-gem e operaes matemticas, que surgiu da necessidade estabelecida pelo desenvolvimento das atividades humanas.A matemtica serve para solucionar questes cotidianas, antes de tudo.O senso numrico natural, mas preciso ordenar e estabelecer medidas para quantidade, peso, tempo etc.

"O que a Matemtica?"

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Dividimos os nmeros em conjuntos de acordo com suas caractersticas.

A maioria dos nmeros pertence a mais de um grupo simultaneamente, isso ocorre porque um conjunto pode estar contido em um outro.

Conjuntos numricos

Nmeros Reais

Nmeros Irracionais

Nmeros Racionais

Nmeros Inteiros

Nmeros Naturais

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

o conjunto dos nmeros reais no negativos e, sem dvida, o mais usual. Para grandezas como medida, por exemplo, s nos interessam valores positivos ou mesmo nulos.Representamos este conjunto pela letra N maiscula.

N = {0, +1, +2, +3, ... }

Conjunto dos naturais

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Todo nmero no decimal, seja positivo, negativo ou at mesmo nulo faz parte do conjuntos dos inteiros.A diferena entre os inteiros e os naturais incluso dos nmeros negativos, usados para grandezas que admitem valores menores que zero, como tempera-tura ou calcular qualquer desconto.Representamos este conjunto pela letra Z maiscula.

Z = { ..., -3, -2, -1, 0 , +1, +2, +3, ...}

Conjunto dos Inteiros

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Qualquer nmero que possa ser representado por uma frao (decimais ou no) pertence ao conjunto dos racionais, no importando se ele positivo, ne-gativo ou nulo.Quando precisamos de pores no inteiras de uma grandeza, como numa re-ceita culinria, usamos os racionais.A letra Z maiscula representa esse conjunto.

Q = { ..., -, ..., -1/1, ..., 0, ..., + , +1/1, ...}

Conjunto dos racionais

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Decimais que no possuem n de casas definido aps a vrgula so chamados irracionais. Entram as dzimas no-peridicas, as razes de nmeros primos e o nmero Pi, por exemplo.Esse conjunto no possui interseco com o conjunto dos racionais.A letra I maiscula representa esse conjunto.

Q = { ..., - 2 , ..., 0, ..., + 2 , ...}

Conjunto dos Irracionais

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

O conjunto dos Reais a unio dos outros j citados, ou seja, engloba o conjunto dos Naturais, os Inteiros, os Racionais e os Irracionais.

Conjunto dos reais

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

www.CUrsOeneM.org.br

Qualquer conjunto ordenado de nmeros reais uma sequncia numrica que pode ser finita ou infinita. Nos interessam especialmente sequncias que tenham regularidade na se-quncia, uma relao matemtica entre seus termos.

sequncias numricas

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

H sequncias em que todos os termos, a partir do segundo, so iguais ao ante-rior somado a uma constante (razo). assim o conjunto dos nmeros pares ou mesmo da velocidade de um carro em acelerao.

sequncias numricas

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Existem sequncias em que todos os termos, a partir do segundo, so iguais ao anterior multiplicado por uma constante (razo).

Se uma bactria se divide em duas para se reproduzir, o conjunto que mostra o n de indivduos pelo tempo tem essa caracterstica e sua razo igual a 2.

sequncias numricas

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

A civilizao babilnica viveu na Mesopotmia h cerca de 6000 anos. Os estudiosos en-contraram documentos dessa civilizao feitos em tijolos, relativamente finos, de argila. A escrita era feita com uma espcie de estilete nos tijolos ainda midos. Os traos dessa escrita tinham o formato de cunha e por isso a escrita dos babilnios chamada cunei-forme. Os arquelogos descobriram tabletes babilnicos datados provavelmente de 1800 antes de Cristo, onde apareceram as sequncias numricas: 1, 3, 9, 27, 81,... 1, 4, 16, 64,...

Adaptado de CARVALHO, M. C. Padres Numricos e Seqncias.

So Paulo. Editora Moderna. 1997.

As sequncias descobertas mostram que os babilnios j trabalhavam naquela poca com sequncias de nmeros que mostram a seguinte regra de formao: cada nmero da sequncia pode ser obtido:

a) a partir do segundo, somando ao anterior um mesmo nmero.b) a partir do segundo, multiplicando o anterior por um mesmo nmero.c) a partir do quarto, somando ao anterior um mesmo nmero.d) a partir do terceiro, multiplicando o anterior por um mesmo nmero.e) a partir do terceiro, somando o anterior por um mesmo nmero.

exerccio (pg. 14 - exerccio 01)

GUIAPRTICOENEMnovoMateMtICa e suas TecnologiasGUIAPRTICOENEMnovo

resoluo

Alternativa B

As sequncias apresentadas no texto so denominadas progresses geomtricas, em que cada termo pode ser obtido, a partir do segundo, multiplicando-se o anterior por um mesmo nmero.

A primeira sequncia, deve ser multiplicada por 3. A segunda, por 4, conforme mostramos a seguir:

1, 1x3 = 3, 3x3 = 9, 9x3 = 27, 27x3 = 81, ...1, 1x4 = 4, 4x4 = 16, 16x4 = 64, ...

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Em certo pas, o presidente eleito permanece no cargo por 5 anos, enquanto um prefeito eleito para um mandato de 4 anos. No ano de 1998, houve eleies tanto para presidente quanto para prefeitos. As eleies para presidente e para prefeitos nesse pas voltaro a ocorrer no mesmo ano em:

a) 2008.b) 2014.c) 2018.d) 2020.e) 2022.

exerccio (pg. 14 - exerccio 02)

GUIAPRTICOENEMnovoMateMtICa e suas TecnologiasGUIAPRTICOENEMnovo

resoluo

Alternativa A

Como o presidente eleito permanece no cargo por 5 anos, teremos um novo presidente a cada 5, 10, 15, ...anos e assim por diante.J o prefeito, sendo eleito a cada 4 anos, um novo mandato ocorrer a cada 4, 8, 12, 16 ... anos.

Logo, a prxima eleio comum a presidente e prefeito poder ser obtida calculando-se o MMC (Mnimo Mltiplo Comum) entre 5 e 4, ou seja, M.M.C (5, 4)=20.

Com isso, a eleio ocorrer em 1988 + 20 = 2008.

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Marcela, responsvel pela decorao da festa de So Joo, decidiu dispor as bandeiras na seguinte sequncia:

No ptio da escola, cabiam 7 filas. Obedecendo a mesma sequncia numrica do quadro, o nmero de bandeirolas da ltima fila :

a) 47.b) 32.c) 37.d) 42.e) 27.

exerccio (pg. 15 - exerccio 04)

GUIAPRTICOENEMnovoMateMtICa e suas TecnologiasGUIAPRTICOENEMnovo

Fila N de Bandeiras

1 7

2 12

3 17

resoluo

Alternativa C

A quantidade de bandeiras forma uma progresso aritmtica cujo primeiro termo igual a 7 e a razo, igual a 5.

Com isso, para se calcular quantas bandeiras sero colocadas na stima fila, basta calcu-lar o stimo termo da P. A. 7, 12, 17 ...

Portanto:an= a1 + (n-1).r => a7=a1+(7-1).r => a7=a1+6ra7 = 7 + 6.5 => a7 = 37

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Uma empresa decidiu doar livros e cadernos aos alunos carentes de uma escola da sua vizinhana. Recebero os materiais escolares apenas os alunos que tenham menos de 10 faltas no ano e cujas famlias tenham renda de at 3 salrios mnimos. Sabe-se que: a escola possui 1000 alunos; 350 alunos tm menos de 10 faltas no ano; 700 alunos pertencem a famlias com renda de at 3 salrios mnimos; 200 alunos no pertencem a nenhum dos grupos acima, ou seja, tm 10 ou mais faltas no ano e pertencem a famlias com renda superior a 3 salrios mnimos.

A empresa deve enviar o material escolar para:

a) 250 alunos.b) 300 alunos.c) 400 alunos.d) 550 alunos.e) 600 alunos.

exerccio (pg. 15 - exerccio 05)

GUIAPRTICOENEMnovoMateMtICa e suas TecnologiasGUIAPRTICOENEMnovo

resoluo

Alternativa A

De acordo com os dados fornecidos no enunciado, podemos elaborar a tabela descrita a seguir:

Pode-se completar a tabela ainda com os seguintes dados:a) Alunos com mais de 10 faltas = 1000 350 = 650*b) Alunos com mais de 10 faltas e at 3 salrios mnimos = 650 200 = 450**c) Alunos com mais de 10 faltas e at 3 salrios mnimos = 700 450 = 250***d) Alunos com menos de 10 faltas e mais de 3 salrios mnimos = 350 250 = 100****

Portanto, com os dados obtidos, a empresa deve enviar o material para 250 alunos.

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Menos de 10 faltas

Mais que 10 faltas Total

At 3 salrios mnimos 250*** 450** 700

Mais de 3 salrios mnimos 100**** 200 300

Total 350 650* 1000

www.CUrsOeneM.org.br

As fraes podem confundir pelo formato em que se apresentam, mas elas so apenas divises escritas de maneira diferente.Optamos por elas quando o resultado da diviso no for um n inteiro.

Fraes

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Um armazm recebe sacos de acar de 24kg para que sejam empacotados em embala-gens menores. O nico objeto disponvel para pesagem uma balana de 2 pratos, sem os pesos metlicos.

Realizando uma nica pesagem, possvel montar pacotes de:

a) 3kg.b) 4kg.c) 6kg.d) 8kg.e) 12kg.

exerccio (pg. 16 - exerccio 08)

GUIAPRTICOENEMnovoMateMtICa e suas TecnologiasGUIAPRTICOENEMnovo

resoluo

Alternativa E

Com uma nica pesagem, s possvel montar pacotes menores iguais se a balana ficar em equilbrio colocando se o valor de 24/2 = 12 Kg de acar em cada prato.

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

Realizando exatamente duas pesagens, possvel montar pacotes de:

a) 3kg ou 6kg.b) 3kg, 6kg ou 12kg.c) 6kg, 12kg ou 18kg.d) 4kg ou 8kg.e) 4kg, 6kg ou 8kg.

exerccio (pg. 16 - exerccio 09)

GUIAPRTICOENEMnovoMateMtICa e suas TecnologiasGUIAPRTICOENEMnovo

resoluo

Alternativa C

Com uma pesagem, possvel montar pacotes iguais de 24/2 = 12 kg.Se o mesmo processo for utilizado, possvel a seguir montar pacotes de 12/2=6 kg.Alm de pacotes de 6kg possvel obter combinao com pacote de 12kg e montar um pacote de6 + 12 = 18kg. Portanto, podemos montar pacotes de 6kg, 12kg, 18kg.

MateMtICa e suas Tecnologias

GUIAPRTICOENEMnovo

www.CUrsOeneM.org.br