Capítulo 45Concei to de ângulo

r. òemrpranoConsideremos uma reta r contida num pÌano d.seidm o e o u ' suhcor luf lo. de ponro' dess(

Os conjunlos de pontos o' e d" são chamêdos de semiplanos de orig€Ìn ..

2. Angulo geométricoAngulo geomélrico é à intersecção de doìs semipÌanos cujas orìgens são relas concoÌrentes.

Ob'cr \e que ne(es doi . câ.ú, Ì . m., . o. ángulo. :

O ponto O é chânâdo véÌÌice e as serni retas de 0ã são os lâdos do ângìÌo.DenotâreÌÌos o ângulo pelo sínbolo Áó8.

i i i^Lli

. ÂngüÌo Áô'B', de véÍìce O' e lados oC eoE.

2.1, Interior de um ângulo geométricoUm ponto é ponto interior â um ânguÌo geomeÌÍico aÓB se. e sornente s.. perlef(e a e!\e ângulo

nras não a um dos lddos ou óÀ ou dr=.

. P é ponto interior âo ângulo geoméÍico ÁôBi

. 0 não é ponto inlcÌior âo âneulo geométricoÁOB. pojs peltence a um lado do àngulo.

O conjunto 1 formado por todos os ponlos inlerìores de um ânguto geomélrico AOB é deDomnradointe':ior do ângulo.

2.2. Exterior de um ângulo geométrico

Um ponto é ponto €xteÍior â un ânguìo geométrìco ÁO,B se. e sornente se, peÌtence âo plano quecontém ÁôA rnas não penence âesse ânguÌo.

. r . t e ponro e\reror ao ântJ u tsfuìrc l cú i rut ' :

. 0 não é ponlo erterìor ro ânguÌo gcomótrico

O conjunto,E formado por todos os pontos exleÌions a um ângulo geométÌico,4OB ó dcnonrinâdoert€rior do ângulo.

3. Angulo replementar de um ângulo geométricoSejam / o interior de uìn âDguÌo geonétrÌco

ÀOB e.! o plano quecontém essc ânguÌo. Châmâ-se "ângulo replementàr deÁOB" o conjunto dosponios que peÍencem a o e não pertencem â /.

lndrcando poÍ rcp,,tO8ì o "eflen"nrdr do iÍg!1o geométrico ÁÓ,8. temos:

4. Ângulo rasoSe duâs semi-ÌeLâs forem opostas, então diremos que o ânguÌo compreendìdo por elas é raso.

Àngulo Íaso de \eÍÈce o e kdoç OÀ e oB.

5. Ansulo de uma volta e ânsulo nuloSe duas semireÌâs forem coincidenÌes, então dìremos que fìcam compreendidos por elas um ângulo

de uma voÌta e um âqgLrÌo nulo.

Angulode I mJ \ôl a Je \ er . rce Oe lâdô' rÁ c O8.

Àrgulo nuÌo de vértice O e lados O;i e Olj

Notâs

l. O ângulo raso. o nulo, o de uma volta complctâ c o Ìepleìnentâr de um ânguÌo geomélrico nào sàoângulos geométricos. pois não são inreÌsecções de seìniplnnos. cujrs origeús são rems concorìenles.

2. O tipo de ânguÌo que mâis nos interessa é o ângulo geométrico. Por comodidâdc, dâqui pân a1ÌeDtc. omitiÌemos a palavrn geornétrico. chaììando o snÌplcsmcnle de ângulo, ou sejâ:

6. 0 grau, unidade de medida de arco e ânguloSeja Á7 urn arco contido nLuna cìrcunlbêncja

c de cenllo o tal que o comprimento de it é igual

Ia

Y do compnmenro de L,

. Delìnc se a ìnedida do ânsulo,4OB como sendo I srou (l').

' Define-se a medida do arco,43 como sendo 1 grêu (1").

Iülic,rido r medida do âDgulo,lôs por med(,4ÓB) e a mcdjda rlo arco íB- por rned(i3-), temos que:

338

Í-

NotâUÍn aÌto de ÌÌedidâ 0' (zero gnu) é denoÌninado ârco nulo.

Exercício resolvidoËÍ.: Na fielra, o comprimerto oo

'.o úFru- c ig'.r u

2_ J "m { ,

- r . J. ' . icu ; ,Án.r de. 'n, .n

ci lc ' ,1. . , a m.didx Jo íngulo VOV em gidu..

a-F\\ ,1

rfricanos o rco por úãl-e rão slmpìcsncntc pofúi, rrois exìíem doÌs dcos na circunterência con

sddÒ-Ì a nedìda, em sÌaus.,lo arcoúFF. temos que:r = ] :oo" = so'.

A nÌcdida do àÌsuÌo MdN é isual à medìdr do rÌco í7F ì Asiú. remos:

med(MôN) - .cd(útÀl') : 8o'.

6.1. Submúltiplos do grauDois submúltiplos do graü nrcrecenr dcslâcÌrìe: o minuto e o segundo.

Minrto

Um minuto ( l ' ) é iguaÌ a

Segundo

Unì segundo (1") é iguaÌ â

Pârâ medirmos um ângüÌoi em grausi usamos oIrr . . icr ido . f . ,e Ìn, I r menlo rormJmenle eaprescntâdo como ulÌ semicírculo (de plástico oude madeirâ), grâduâdo de 0'a 180".

I

60

I60

6.2. O transferidor

339

Exercício resolvidoiÈãi,:i l-1"a. o aoguueôr da fisura coú o âuxíio de um Íusferidor

ColÒcâmos o ccnlro do trarúeridor coincidindocom o véÌÌi@ do ângulo. e a origem (tr1 coincì-dindo coÌn um ponto de um Ìado do ângulÒ (coÍ-

A ìeitua feita m escalâ nÒ ponÌo sobrc o outrc lado do ârynlo é a medida dèsse ângulo. Observe na escal.que: med(ÁoB) = 35'

7. Operaçóes com medidas em graus, minutos e segundos

7.1. Adição

Na adição de düâs medidas em graus, rninuÌos e segündos, somâmos, separâdamenre, os graus, osminutos e os segundos.

Exercício resolvido:ËÍi-iÌ:: Etetu$: 32":15'17' + 26.36'50".

Resoluçâo

+ 32"45,17,26'3ó'50',58.81'67',

Cono 60" = l', lodemos escre\et 6'1 : 1 1'Logo. 58"81'67" = 5E'82'7'.Temos, aindâ, que 60 = 1", oque nos peúÌè esfeveÌ 82' = 1"22'.Logo, 5a'82'7' : 59'22"7' .

7.2. Subtração

Para subtrâirmos uma meúda de outÍâ em gÌâus, minutos e segmdos, agimos dê seguinre mâneira:L se a medida em ninutos (ou segundog do minuendo for menoÍ que a conespondenre medìda do

subhaendo, então "emplesÌamos" 1' (ou l') da medida de unidade imeúatamente superìoÌ e â rransformamos ern 60' (ou 60'):

it. quaÌÌdo âs meúdas em graus, rninutos e segundos do minuendo forcm rnôioÌes ou igüâis às medi,das coffespondentes do subtraendo, então subtraínos. separadamenÌe, os graüs, os mìnuros e os ssgun

340

ì

Exercício resolvidoSj{ïi Eferuar 53'26 1?' 28'34'15'.

Resolução53'26',17',.:s..Ì+ ts

*52"46 t1',28.3415"

Temos ertão como r€spoúar 24'52 2".

7.3. Multiplicação por um núrnero inteiroNâ Ínulliplicação de üma meúda eln gÌâüs, minutos e segundos poÌ rm nÌímero ìnÌeiÌo. mulÌipli

câmos, sep.râdâmenÌe, os graus. os minuios c os segundos pelo númeÌo ;nteiro.

Exercícío resolvidolF5r,r'ii Efetuar 22' 15'28" ' 6-

22. t5 28',

132"90'168',

CÒno I 32'90 168" = 132'92'4E' = | 33'32 48", tenos então como Íesposrì: I 33"32'48'.

7.4. Dirisão por um número inteiro

Para dividìÌmos umâ medidâ em graus. minutos e segundos por uÌn númerc inteiro positivo, por

23"26'48', | 3agimos do seguÌnte modo:

L dividimos â Ìnedidâ em graus pelo número iÌteiro | 23'26'48"2. ',7"

IL transfonnamos em mìnutos o rcsto dessà dìvisão (2 ' 60' = 120') e somamos os minutos oblidosaos minutos do dividendo:

23' 26'\ 48",-2 ' ) .( (z . oo) - rzo't

146'

IIL dividìmos â nova medida em minutos pelo número inlelÌo:

23"

\(2 . 60') .-

146',2',

,ra'l t

48'

341

ry. tÌansformamos em segundos o Íesto dessâ divisão (2 . 60' : 120") e somâmos os sesundos ob-tldos âos segundos do dividendo:

23. 26'\

l -\ (2 ' 601 + 120'tL46

-2'( (2 . 60') --

) ' : -

t - ' /r6&

V. finalmente, dividimos a nova medida em segundos pelo número inteiÌoi

23' 26\ 481 3/-2 ' ) r \ r4ysí\ (2 . 601 - t2o't \

r1í l -^,1

le. 60') - t2o',16v

Exercícios resolvidosiÈiíi::ii stitu- oz"so'zo' , s.

67. só\ 2q I s/_ : . t , ,5. õ\ \2 õ0/- 'ut \

"r : ) ,(-n. ul - at/

s0'

:ÈÍi Dètemind a medida do ângÌÌo fomrdo pelos ponrèiÍos do relógìo às l0 h e 15 úin.

AnLe! de resolvemos ese lroblena. vmos fazer algúúâs considerações.. A voÌÌa completa do Dost ador do relógio ren 36ü ,

portâÍto os pontos coreslondenÌes aos úmercs l2, 3,4, 5, 6. 7, 8. 9, 10, 11 c 12 dividem a circunferêncià èm doze arcos d€ 30".

j '

I

I

342

. Os deslocãmcÌtos dos pôntei.os sao proporcìGnais erlre si e lmbém sÃo Ìrroporcionais aÒtetnpo, ou seja, em ó0 nin o ponlèìrc dos miN-tos percoÍe 3600 e o das horâs percorc 3ü.As 10h l5 mìn, o ponteirc maiorestáÌocalizadoexatameíte úo nútnero 3 do mostrador e omenor esrÁ enrre o l0 e o I l.

Teììpo Dèdocanenlo do ponÌeiro

'.{'

6

Para descÒbrìnos o deslocmenro Ì do ponÌelro das lÌorâs, desde âs t0 h até as 10 h 15 min, baía resol_vomos â segurnle reSra de lrês:

\

Exercícios btisicosó.r : . \d hg. ra. o lomplmPnlo do do nPv i iCuaì .

.-^- .lo .o-nnmerro da . i,c

O. Calcule â nÈdìda do ânguloMrN.

B:zjiì!ì Um arcÒ dc circu.íerêncià tem conpiimeúto t2 cDÌ e mede 60.. euâl o cohlrimerro .la cìcuníerênciaque conlém esse.rco?

,Bì$lìiit O comprimdto de umd ci.cuníerênciâ é 72 cm. Qual o comprimenro dc um a.co de 45.. coÌndo !e$a.n-

150'

l530

LogÕ, ó0r = :150.

Poídto, a medidâ o pfocurada é: o : 150" 7.5. . . d= 142,5..LenbÌedo què I " = ó0 , podeúos escrever 0,5. : 30 .Assim podemos aprèsentd aresposLàtânbém sobafomà,d : 142.30.

343

8.5 Sendo Á = 22'38 54 , Ë = l3 '45 18'eC= 18'13'10' , caìcuìeÌâ)A+B b)Á B .)C B d) l Á

8.6 Calculc:

8.4 l ,1c,Jo.dng, u . . r o. i r \ l iodo.t i . e, J. , .

a) 12" + ó'2r '12' , b) ó" 5 'r2 '26"

e) C:5 f ) B :ó

c) 56'36 2{ : 7

8.7 Delemìne aúedidaÌde um ângulo lal qrc ì:37"3'36".

E xercício s compleme ntare s

C.í QMI â medida. em Smus. do ânguìo lòmado peLos ponteifos de um reló8io às I (ì h l0 ìÌin?

C.2 QuaÌ ! medida, cnì g.aus, do ângulo fomado pcÌos ponleiìo\ dÒ relógio às 2 h 15 nìnl

C.3 Qual o dÈ\lôc.menÌo. eú eraus, do pontenÒ dâ\ hoias. desde ds 7 n até Ò próiiDo nÌonÌcnío en que o\

FonLeiÍos se $biepõem?

C.4 A flgura ao lado ó um arco de circunferCncìa decento O. Com o auxílìo de uìn fxnsfelidor, c.ìcuÌcamedida. em enus- de$e âÌco.

C.5 UDacuNrde ünaesÌr.dâÌe!ì r forma dc unì arco decirconfeiéncid. DcÍle o lonlolJniciaÌ da cu^d, até

o ìronto B, t'nìal da.urvâ. r esÌr.dâ mud. sta diìcçào em 32'. Qurl a mcdìda do uconÈ em grns?

f

344

Que stõ e s do s v e stibulare slli;ïtll (F.C-M. s-ro*-Sp) Às 9 h 10 min. o ângulo tomâdo rElos ponteiros de um relóqio él

, 150' b) 147.30, cr 145" d) ló0" e) n.d.a.j"ìt'ti!l <puc r,'lcl u.u

"i"cüfeÌênciâ é dividiilâ em sete arcos de me.lidas isuâis. Dent* as âhemarivâs. o vard

que nais se aproxina da medidâ de cadâ um deses aÌcos é:9 5f43' b) 52. c) s1'25'47 d) 51'25' t0, e) 53'

iì/jíri;r (Fatec-SP) Nâ figura lem-s€ o mosrrâdor de m rclógio {re raio 1. Seus ponreúos nücm 4 h 40 ft,n. Aárca da rcgião hâchuada nâ fieu é:

o)-

9

,. 107r

. I l,r

(Lembrête: a árèa de um círcdo .te raio Ì é dadã p€la fómula,4 = n/r.)

345