3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

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FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice-GovernadorOmar Aziz

ReitorLourenço dos Santos Pereira Braga

Vice-ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto

Pró-Reitor de Extensão e Assuntos ComunitáriosAdemar R. M. Teixeira

Pró-Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró-Reitor de Pós-Graduação e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Projeto GráficoMário Lima

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Horácio MartinsMário Lima

Revisão Técnico-gramaticalJoão Batista Gomes

Costa, Helisângela Ramos da.

C837 Matemática Elementar I / Helisângela Ramos da Costa, IedaMaria de Araújo Câmara Costa, Célia Maria Nogueira. Batista –Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 1. Pe-ríodo).

131p.: il. ; 30 cm.

Inclui bibliografia e anexo

1. Matemática – Estudo e ensino. I. Costa, Helisângela Ramos

da. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Batista, Célia MariaNogueira. IV. Título.

CDU (1997): 51

CDD (19.ed.): 510

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SUMÁRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

Unidade I – Sistemas de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – A origem, as antigas civilizações e nosso sistema de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Bases diferentes de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Unidade II – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 03 – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Unidade III – Conjuntos dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 04 – Representação dos números naturais na reta numérica. Operação: adição . . . . . . . . . . . . . . 23TEMA 05 – Operação: subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26TEMA 06 – Operação: multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 07 – Operação: divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 08 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 09 – Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36TEMA 10 – Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Unidade IV – O Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 11 – A idéia do número inteiro. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valorabsoluto de um número inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45TEMA 12 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48TEMA 13 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 14 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Unidade V – O Conjunto dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 15 – O número racional absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEMA 16 – O conjunto dos racionais relativos. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Móduloou valor absoluto de um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62TEMA 17 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65TEMA 18 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66TEMA 19 – Operações: potenciação e radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68TEMA 20 – Expressões numéricas e resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69TEMA 21 – Representação de números fracionários na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72TEMA 22 – Operações: multiplicação e divisão. Sistema monetário nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Unidade VI – Geometria das formas e das medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

TEMA 23 – A geometria de Euclides. Conceitos primitivos. Semi-reta. Segmento de reta. Noções deMedida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79TEMA 24 – Unidades de medida de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81TEMA 25 – Curvas abertas e fechadas. Regiões convexas. Ângulos e Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83TEMA 26 – Triângulos e quadriláteros. Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87TEMA 27 – Medidas de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90TEMA 28 – Área de principais figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92TEMA 29 – Volume de sólidos. Medidas de capacidade e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TEMA 30 – Sólidos geométricos: prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97TEMA 31 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Circunferência e círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99TEMA 32 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Unidade VII – Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

TEMA 33 – Razões e proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107TEMA 34 – Regra de três simples e composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113TEMA 35 – Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116TEMA 36 – Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

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Helisângela Ramos da CostaBacharela em Matemática – UFAM

Bacharela em Processamento de Dados – UFAM

Especialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF)

Iêda Maria de Araújo Câmara CostaEspecialista em Ensino de Matemática – UFAM.

Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)

Célia Maria Nogueira BatistaEspecialista em Ensino da Matemática – UFAM

Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)

PERFIL DOS AUTORES

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PALAVRA DO REITOR

A Licenciatura Plena em Matemática pelo Sistema Presencial Mediado vem reforçar o compromisso do

Governo e da Universidade do Estado do Amazonas de avançar com ousadia na área do ensino que valo-

riza os meios tecnológicos. Os recursos utilizados para tal (livro didático, tv e web) são reforçados pela pre-

sença de Professores Assistentes para garantir a qualidade necessária e otimizar os efeitos positivos advin-

dos dessa ousadia.

O grande potencial tecnológico que caracteriza a UEA tem de ser utilizado para a formação de professores,

especialmente daqueles que se encontram no interior do Estado, fazendo-os permanecer no seu local de

origem, dando-lhes formação à altura das necessidades regionais e criando condições dignas de trabalho.

Toda a experiência significativa acumulada em outros projetos vai contribuir para que o curso de Matemática

cumpra a contento o papel de formar professores com visão diferenciada, colocando em prática uma didáti-

ca eficiente, centrada nas necessidades imediatas do homem e do meio que o circunda.

As estratégias de ensino-aprendizagem devem ser focadas no aluno. Em função dele é que se lança mão

de todos os recursos inovadores, estimulando-o à pesquisa e à conquista de uma vida melhor. Assim, a UEA

cumpre a tarefa de formar profissionais autônomos e disciplinados, aptos a absorver e a praticar uma políti-

ca educacional que elevará o Estado do Amazonas à posição de vanguarda no âmbito do ensino que ultra-

passa as barreiras da sala de aula.

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

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UNIDADE ISistemas de Numeração

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TEMA 01

A ORIGEM. AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES.NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO

1. A origem do sistema de numeração

Para entender como surgiram os números, épreciso ter uma idéia de como o homem, des-de a época mais remota, vivia e quais eramsuas necessidades. Naquele tempo, o homem,para alimentar-se, caçava, pescava e colhiafrutos; para morar, usava cavernas; para defen-der-se, usava paus e pedras. Portanto o ho-mem precisava contar. Quantos peixes havia?Quantas espigas de milho? Quantos dias fal-tavam para a caça de pássaros antes das chu-vas? Quantas ovelhas havia no rebanho? Es-sas necessidades de sobrevivência levaram-noa fazer comparações entre as “coisas” que ti-nham ou queriam com os dedos das mãos.Segundo alguns autores, o surgimento da pri-meira máquina de calcular deve-se às conta-gens nos dedos das mãos.

Devido ao aumento de posses e à necessida-de de contar quantidades maiores, o homempassou a usar objetos pequenos para repre-sentá-las.

No caso das pedrinhas, cada animal que saíapara o pasto de manhã correspondia a umapedra que era guardada em um saco. No fimdo dia, quando os animais voltavam do pasto,era feita a correspondência inversa: para cadaanimal que retornava, era retirada uma pedrado saco. Se no fim do dia sobrasse algumapedra, era porque faltava algum dos animais. Ese algum fosse acrescentado ao rebanho, erasó acrescentar mais uma pedra. A palavra cál-culo é derivada da palavra latina calculus, quesignifica pedras (Figura 1).

Figura 1: Correspondência biunívoca (BIANCHINI, 2002, p. 13).

Nesse caso, quando ocorre a correspondênciaum-para-um nos dois sentidos, por exemplo,uma pedrinha para cada ovelha e uma ovelhapara cada pedrinha, denomina-se correspon-dência biunívoca (Figura 1).

A correspondência unidade a unidade não erafeita somente com pedras, mas eram usadostambém nós em cordas, marcas nas paredes,talhes em ossos, desenhos nas cavernas e ou-tros tipos de marcação (Figura 2).

Figura 2: Objetos utilizados para representar

as quantidades (BIACHINI, 2002, p. 12).

Porém um problema surgiu: imagine que umapessoa usasse traços para representar cadaovelha. Por exemplo: um homem tinha

||||||||||||||||||||||| ovelhas.

Não seria nada prático, não é mesmo? Talvez asolução encontrada tenha sido separar gruposde marcas.

Um homem tinha ||||||||| ||||||||| |||ovelhas.

Neste caso, as marcas estão agrupadas dedez em dez.

Ainda hoje em dia, nos jogos, é muito comumcontar pontos registrando agrupamentos de 5.Por exemplo, num jogo:

João fez pontos

Para facilitar o registro dos objetos, surgiu oábaco, cerca de 3500 a.C., na Mesopotâmia.Os mais antigos ábacos eram formados de sul-cos feitos na areia, nos quais eram colocadaspedrinhas. Um mesmo número de pedrinhascolocadas em sulcos diferentes representavaquantidades diferentes. O primeiro sulco, dadireita para a esquerda, corresponde ao sulcodas unidades; o segundo, ao sulco das deze-nas; o terceiro, ao sulco das centenas, e assimpor diante.

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Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração

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Figura 3: Ábaco antigo (BIACHINI, 2002, p. 43).

2. As antigas civilizações

As primeiras grandes civilizações surgiramnas regiões próximas do Mar Mediterrâneo, hápouco mais de 5 000 anos. Entre elas, desta-cou-se a civilização egípcia. A escrita egípciaera feita por meio de combinações de dese-nhos e sinais gráficos, chamados hieróglifos. Aseguir, uma lista de sinais convencionais utili-zados no sistema de numeração egípcio. Sis-tema de numeração é o conjunto de regrasusadas para tornar possível a leitura e a escri-ta dos números.

Quadro 1: Sistema de numeração egípcio.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matemática

Observe, no quadro 1, que cada símbolo re-presenta dez vezes o que o símbolo anteriorrepresenta, justificando o fato de que a basedo sistema de numeração egípcio é 10. Pararepresentar um determinado número, os egíp-cios colocavam os símbolos tanto da direitapara a esquerda quanto da esquerda para adireita ou de cima para baixo. Isto mostra que

o sistema de numeração egípcio não é posicio-nal. Por exemplo, o número 22 podia ser repre-sentado por:

Ao contrário de outros povos que criaram sím-bolos próprios para representar os números,os romanos buscaram letras do próprio alfabe-to para representá-los. No quadro 2, tem-se osistema de numeração romano e os valorescorrespondentes em nosso sistema de nume-ração.

Quadro 2: Sistema de numeração romano

Na figura 4, tem-se um mostrador de relógioem que são utilizados algarismos romanos.

Figura 4: Algarismos romanos.

Observa-se que, da mesma forma que os egíp-cios, os romanos utilizavam base 10:

I → 1 = 1000, X → 10 = 101, C → 100 =102, M → 1000 =103.

A seguir, as principais regras do sistema denumeração romano:

1) Cada um dos símbolos I, X, C e M pode serrepetido seguidamente até três vezes.

2) Um símbolo escrito à esquerda de outro de maiorvalor indica uma subtração dos respectivos va-lores (princípio subtrativo).

Exemplo:IV→ 5 − 1 = 4; IX→ 10 − 1 = 9; XL→ 50 − 10 = 40;

CD→500 −100 = 400;CM→1000 − 100 = 900.

3) Um símbolo escrito à direita de outro de maiorvalor indica uma soma dos respectivos valores(princípio aditivo).

Exemplo:

VI→ 5 + 1 = 6; XI = 10 + 1 = 11; XV = 10 + 5 = 15;CX→ 100 + 10 = 110; DC→ 500 + 10 = 600;

MDC → 1.000 + 500 + 100 = 1.600

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UEA – Licenciatura em Matemática

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4) Utiliza-se um traço horizontal acima do símbolo,indicando que o número abaixo dele deve sermultiplicado por mil. Dois traços equivale a multi-plicá-lo por 1 000 × 1 000 = 1 000 000 (um milhão).

Exemplos:

3. Nosso Sistema de Numeração

O Brasil, assim como a maioria dos países, uti-liza o sistema de numeração indo-arábico, queé decimal. A palavra “decimal” origina-se do la-tim decem, que significa dez, ou seja, os agru-pamentos são sempre feitos de dez em dez.Por isso, é usualmente chamado de sistemanumérico decimal. A denominação indo-arábi-co deve-se ao fato de seus símbolos e suasregras terem sido inventados pela antiga civi-lização hindu e aperfeiçoados e divulgadospelos árabes.

O principal responsável pela divulgação dessesistema foi o matemático, astrônomo e geógra-fo muçulmano do século IX, Abu Jafar Moha-med Ibn Musa Al-Khowarizmi, com a tradu-ção de seus trabalhos de Aritmética, Álgebra eGeometria para o latim, penetrando e influen-ciando o Ocidente.

A seguir, as principais características desse sis-tema:

1) Utiliza apenas 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 e 9, com os quais é possível representar qual-quer número. Esses símbolos são chamados al-garismos em homenagem à Al-Khowarizmi. Valelembrar que os símbolos do nosso sistema denumeração sofreram várias mudanças sendosua padronização possível com a invenção daimprensa, no século XV. Outro fato é que, os pri-

meiros que chegaram à noção de zero, que indi-ca uma “casa vazia”, foram os babilônios, povoque viveu por volta de 2 500 a. C., na Mesopo-tâmia.

2) Tem base 10, ou seja, os agrupamentos são fei-tos de dez em dez.

3) É um sistema posicional, isto é, um mesmo sím-bolo representa valores diferentes dependendoda posição que ocupa no numeral.

Exemplo: no número 32 524, o primeiro algaris-mo “2” (contando a partir da direita) vale vinteunidades, enquanto o segundo vale duas mil uni-dades.

4) Obedece aos princípios aditivo e multiplica-tivo.O número 235, por exemplo, significa:

200 + 30 + 5 (princípio aditivo)Ou seja,

2 ×100 + 3 ×10 + 5 ×1 (princípio multiplicativo)

No princípio aditivo, o número é obtido pela adi-ção dos valores posicionais.

No princípio multiplicativo, cada algarismo escri-

to imediatamente à esquerda de um outro alga-

rismo vale dez vezes o valor posicional deste.

Assim, cada grupo de dez unidades forma uma

dezena. Cada grupo de dez dezenas forma

uma centena. Cada grupo de dez centenas

forma um milhar. Cada grupo de dez unidades

de milhar forma uma dezena de milhar. Cada

grupo de dez dezenas de milhar forma uma

centena de milhar. E assim por diante. Dessa

forma, todo número pode ser representado uti-

lizando potências de dez. Este tipo de represen-

tação do número é chamado de notação expo-

nencial.

Observe como o número 809 432 é represen-tado no ábaco com sua notação exponencial:

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Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração

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A partir dos conceitos de valor posicional, têm-

se os conceitos de valor relativo e valor abso-

luto.

Valor relativo de um algarismo é o valor que ele

assume, dependendo da ordem que ele ocupa

no número, e valor absoluto é o valor isolado

do algarismo, independente da posição ou or-

dem que ele ocupa no número.

No sistema de numeração decimal, os núme-

ros são lidos ou escritos mais facilmente quan-

do os algarismos são separados em grupos de

três, começando pela direita. Cada algaris-

mo que forma um numeral representa uma

ordem e que cada três ordens consecutivas

representa uma classe como se pode obser-

var no quadro 3.

Mas as classes não terminam nos milhões.

Existem as classes dos bilhões, trilhões, etc.

Considere os números que estão colocados

no quadro 3 e a respectiva leitura:

Lê-se: oitocentos e nove mil, quatrocentos e trinta e dois.

Lê-se: sessenta e três milhões, duzentos e oitenta e três

mil, cento e quatro.

Atenção: Quando o número indicar quantia em di-

nheiro, a separação das classes deve ser feita por

um ponto, caso contrário, deve-se usar espaço.

Exemplos:

a) 3 456 b) 34 567 103 c) R$1.200,00 d) R$14.350,50

EXERCÍCIOS

1) Escreva a quantidade que está representada

em cada ábaco.

2) Escrever os numerais em algarismos romanos:

a) 12 b) 19 c) 159 d) 535

e) 1 542 f) 4 415 g) 750

3) Veja o desenho e descubra que número repre-

senta e qual sua notação exponencial.

4) No quadro valor lugar, represente os números

e depois faça a leitura:

a) 3 482

b) 55 980 644

5) Observe o número 3 482 e responda:

a) Quantas classes e quantas ordens possui o nú-

mero dado?

b) Quantas unidades simples possui?

c) Quantas dezenas possui?

d) Quantas centenas possui?

e) Qual a ordem em que o valor absoluto é igual ao

valor relativo?

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UEA – Licenciatura em Matemática

Quadro 3: Quadro Valor Lugar

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TEMA 02

BASES DIFERENTES DE 10

Quando se precisa contar uma grande quantidadede coisas, separam-se os objetos em grupos, poisisto facilita a contagem. Por exemplo, contar as dú-zias de ovos é uma forma de agrupar: agrupar de12 em 12. Os fabricantes agrupam um determina-do número de unidades em cada embalagem. Porexemplo: as barrinhas de drops vêm com o mes-mo número de balas, as cartelas dos medicamen-tos vêm com o mesmo número de comprimidos.Até a medição do tempo é feita por meio de grupa-mentos de 60 em 60 – sistema sexagesimal.

Exemplo: Uma hora tem 60 minutos e um minutotem 60 segundos. Dessa forma, tem-se:

a) 1h 20min = 1×601 + 20×600 = 1×60 + 20×1 == 60 + 20 = 80min

b) 2h 20min 40s = 2×602 + 20×601 + 40×600 == 2×60×60 + 20×60 + 40×1 == (7 200 + 1 200 + 40)s = 8 440s

Portanto é possível usar qualquer número comobase para criar um sistema numérico posicional.Regra: obtém-se o valor do número, multiplican-do o valor de cada algarismo pela base elevadaà posição ocupada por ele (a partir da posiçãozero), somando-se todas as parcelas.

Outro sistema não decimal bastante utilizado é osistema binário – sistema numérico posicional debase dois que usa apenas os algarismos “um” e“zero”. A grande maioria dos componentes de cir-cuitos elétricos podem assumir apenas um dentredois estados. Por exemplo: interruptores ou tran-sistores podem estar fechados ou abertos; capaci-tores podem estar carregados ou descarregados;lâmpadas podem estar acesas ou apagadas. Foiestabelecido que um desses estados representa o“um” (lâmpada acesa, por exemplo) e que o outrorepresenta o “zero” (lâmpada apagada, por exem-plo). O algarismo do sistema binário é chamado dedígito binário, oriundo do inglês binary digit, cujacontração produz bit. O bit é a menor unidade dedado (ou informação) que pode ser armazenadaem um computador.

O processo de conversão das grandezas domundo real em quantidades expressas no sistemabinário chama-se “digitalização”.

O sistema binário funciona de modo parecido a uminterruptor, como mostra a Figura 5.

Figura 5: Sistema binário (BIANCHINI, 2002, p. 53).

Se desejar representar, neste sistema numérico, onúmero oito mediante um conjunto de lâmpadas,onde uma lâmpada acesa representa o algarismo“1” e uma lâmpada apagada o algarismo “0”, tem-se as 3 lâmpadas da esquerda para direita apa-gadas e 1 acesa (Figura 6).

Figura 6: Representação do número oito nosistema binário (BIANCHINI, p. 56).

1 000(dois) = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 0×20 = 8

Já foi demonstrado como escrever um número emuma determinada base para a base 10. Agora, serádemonstrado como fazer o processo inverso. Amaneira mais simples consiste em fazer divisõessucessivas pela base. As divisões serão feitascom o número e com cada um dos quocientesinteiros encontrados. O processo termina quan-do o quociente for igual a zero. Os restos dasdivisões, escritos na ordem inversa em queaparecem, darão a representação do número nabase escolhida. Observe como fica transforman-do o número oito na base 10 para a base 2.

EXERCÍCIOS

1) Escreva a quantidade que está representadaem cada ábaco.

2) Escreva o número (192)dez na base cinco.

15

Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração

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UNIDADE IIConjuntos

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TEMA 03

CONJUNTOS

Observe os conjuntos a seguir:

Figura 1: Representação dos conjuntos em diagramas.

O conjunto A caracteriza-se por seus elementosserem figuras geométricas. O conjunto B caracteri-za-se por seus elementos serem números. Os con-juntos são representados por letras maiúsculas.Portanto:

Exemplo: = {0, 1, 2, 3, 4....}. Esse conjunto échamado de conjunto dos números naturais. Cadanúmero natural possui um outro número naturaldenominado sucessor – elemento que vem ime-diatamente após um número dado (antecessor). 1é sucessor de 0, e 0 é antecessor de 1.

Os conjuntos podem ser classificados em finito,infinito, unitário e vazio.

Conjunto finito – É aquele em que se podem con-tar todos os seus elementos.

Exemplo: M = {0, 1, 2, ... ,718, 719}. M é o conjun-to dos números naturais menores que 720.

Conjunto infinito – É aquele em que não se con-segue contar todos os seus elementos. Exemplo: Conjunto dos números naturais = {0,1, 2, 3, 4, 5,...}.Observação: cada elemento é escrito uma únicavez no conjunto.

Conjunto unitário – É o conjunto formado por umúnico elemento.Exemplo: A = {3}

Conjunto vazio – É o conjunto que não tem ele-mentos.

Exemplo: O conjunto B formado pelos dias dasemana que começam com a letra “p”. Indica-sepor: B = { } ou B = ∅

Relacionando o conjunto B da figura 1 com o con-junto , percebe-se que é possível estabelecerrelação entre os conjuntos. A relação pode ser depertinência ou de inclusão.

Quadro 1: Relação de pertinência.

Quadro 2: Relação de Inclusão.

1) Em ambas as notações, B é subconjunto de A,ou seja, todos os elementos de B pertencemao conjunto A.

2) O conjunto vazio é subconjunto de qualquerconjunto, e qualquer conjunto contém o con-junto vazio. Ou seja:

∅ ⊂ A e A ⊃ ∅3) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo,

pois se A = B, então:

A ⊃ B e B ⊂ A

4) Em ambas as notações, C não é subconjuntode D, ou seja, nem todos os elementos de Cpertencem ao conjunto D.

Exemplo: Considerando os conjuntos A, B e Conde A é o conjunto formado pelos números querepresentam os ponteiros de um relógio, B pelosnúmeros que aparecem nas teclas de um telefonee C pelos números naturais.

Relação de inclusão é uma relação entreconjuntos.

Relação de pertinência é uma relação entreelementos e conjunto.

Um conjunto é uma coleção de elementosque têm uma característica em comum, umapropriedade que os distingue.

19

Matemática Elementar I – Conjuntos

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Sendo A = {1, 2, 3,...,12}, B = {0, 1, 2,..., 9} eC = {0, 1, 2, 3,...}

Eis algumas possibilidades de relaçõs entre eles:

5 ∈ B, 24 ∉ A, B ⊄ A, B ⊂ C, C ⊃ A, A B

Além de relacionar elemento e conjunto, conjuntoe conjunto, podem-se realizar operações entreconjuntos: união, interseção e diferença entre con-juntos (quadro 3).

Quadro 3: Operação entre conjuntos.

Exemplo: Considerando os conjuntos da figura 2,determine:

Figura 2: Operações entre conjuntos.

a) A ∪ B = {1,2,3,5} ∪ {2,4,5,6,7} = {1,2,3,4,5,6,7}

b) A ∩ B = {1,2,3,5} ∩ {2,4,5,6,7} = {2,5}

c) (A − B) ∩ (A ∩ B)A − B = {1,3}A ∩ B = {2,5}

(A − B ) ∩ (A ∩ B) = {1, 3} ∩ {2,5} = ∅

EXERCÍCIOS

1) Complete os espaços com os símbolos ∈, ∉, ⊃ou ⊄.:a) {c, b, e}.........{a, b, c, d, e, f}

b) 0....... {1, ..., 10, 11,...}

c) {0, 1, 2,...}........{10, 20, 30, 40}

d) {a, e, i, o, u}......{a, u}

e) 3 .....IN

f) {2, 4, 6, 8}.......{0, 1, 2, .., 8}

2) Considerando o conjunto A formado pelaidade das pessoas que têm mais de 30 anos, oconjunto B pela idade das pessoas que têmmenos de 25 anos, o conjunto C pela idadedas pessoas que têm entre 40 e 50 anos, assi-nale V (verdadeiro) ou F (falso) para as sen-tenças:a) A ∪ B = C b) A ∩ C = C

c) C − A = C d) A − (B ∪ C ) = {0,1, 2,..., 30}

20

UEA – Licenciatura em Matemática

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UNIDADE IIIConjunto dos Números Naturais

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TEMA 04

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA.

OPERAÇÃO: ADIÇÃO

O conjunto dos números naturais, representado

pela letra , é o conjunto:

= {0,1,2,3,4,5,6,...}, muito utilizado para resolver

problemas de contagem, em que o zero indica a

ausência de objetos.

1. Representação dos números naturais na re-

ta numérica

A seguir, o procedimento para representar es-

ses números sobre uma reta ordenada:

1) Traça-se uma reta, e sobre ela, marca-se um pon-

to “O” (chamado ponto de origem).

2) Escolhe-se uma unidade de comprimento, 1 cen-

tímetro, por exemplo, à direita do ponto O.

3) Partindo do ponto de origem, coloca-se essa uni-

dade de comprimento repetidas vezes, ao longo

da reta, da esquerda para a direita. Cada ponto

da reta está associado a um número natural.

Note que:

a) 1 é consecutivo de 0 ou sucessor de 0, porque

0 + 1 = 1

b) 3 é consecutivo de 2, porque 2 + 1 = 3

c) 0 < 1 < 2 < 3 → lê-se: 0 é menor que 1, que é

menor que 2, que é menor que 3. O anteces-

sor é sempre menor que seu sucessor. Esta-

belece-se, assim, a ordem crescente dos nú-

meros naturais.

d) 3 > 2 > 1 > 0 → lê-se: 3 é maior que 2, que é

maior que 1, que é maior que 0. O sucessor

sempre é maior que seu antecessor. Estabele-

ce-se, assim, a ordem decrescente dos núme-

ros naturais. Portanto sempre é possível esta-

belecer uma relação de ordem em .

2. Operações com números naturais

A Aritmética é o alicerce da Matemática. Essapalavra vem do grego arithmos, que significanúmero.

As operações com os números naturais sãousadas constantemente na vida diária, emboraseja difícil dizer quando e como se aprende aadicionar, subtrair, multiplicar e dividir. Operaré agir sobre os objetos e, de alguma manei-ra, realizar transformações.

Resolver problemas é uma prática que acom-panha os homens ao longo da história. As ciên-cias, as sociedades, as artes devem muito doseu desenvolvimento à eterna resolução deproblema. George Polya (1887-1985) foi umgrande educador matemático que nasceu emBudapeste, Hungria. Escreveu muitos artigos ealguns livros extraordinários, como How tosolve it (“A Arte de Resolver Problemas”, emportuguês).

Figura 1: A Arte de Resolver Problemas

Fonte: www.mercadolivre.com.br/.../25604126_3848.jpg

Procurando organizar um pouco o processode resolução de problemas, George Polya divi-diu-o em quatro etapas. Polya nunca preten-deu que sua divisão correspondesse a uma se-qüência de etapas a serem percorridas umadepois da outra, sem que nunca seja conve-niente ou necessário voltar atrás, ou que fun-cionasse como uma porção mágica.

As quatro etapas para resolução de proble-mas segundo George Polya:

1) Compreender o problema.

! Ler o enunciado.

! Identificar os dados fornecidos.

! Identificar as incógnitas (dados desconheci-dos do problema).

Aritmética é a parte da Matemática queestuda as propriedades dos números eas operações que se podem realizar so-bre eles.

23

Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

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! Verificar as possíveis relações entre os dadose as incógnitas.

! Se possível, criar um esquema que represen-te a situação.

! Identificar o que o problema pede.

2) Traçar um plano: Consiste em construir uma es-tratégia de resolução.

! Você já resolveu algum problema parecido?

! É possível resolvê-lo por partes?

! Quais são as operações matemáticas adequa-das para resolver a situação?

! Todos os dados do problema estão envolvidosno plano?

3) Executar o plano: Consiste em colocar a estra-tégia de resolução em prática.

! Tentar responder: o que eu obtenho com essepasso?

! Ao encontrar dificuldades, volte à primeira eta-pa e reordene as idéias.

4) Comprovar os resultados.

! Ler o enunciado novamente e verificar se oque foi perguntado é o que foi respondido.

! Verificar se os argumentos utilizados paraobter o resultado são válidos.

! Você pode obter a solução de um outro mo-do?

A seguir, serão apresentadas as operaçõesfundamentais: adição, subtração, multiplica-ção e divisão. Os problemas que as envolvemserão resolvidos utilizando as etapas de Polya.

2.1 Adição

A operação de adição é associada a duasidéias: juntar e acrescentar. A seguir, duassituações que envolvem essas idéias.

Exemplos:

1) Uma livraria tem 123 lápis e 24 livros. Quantosobjetos há na livraria?

1.a etapa: Compreender o problema.

Dados conhecidos: 123 lápis e 24 livros.

Pede-se: a quantidade de objetos da livraria.

Figura 2: Idéia de juntar

2.a etapa: Traçar um plano.

Idéia de juntar objetos diferentes. Portanto a

operação a ser utilizada é a adição.

3.a etapa: Executar o plano.

Para realizar a soma, será necessário executar

uma seqüência de procedimentos, chamada de

algoritmo.

Será utilizada a seguinte convenção para os algo-

ritmos das quatro operações:

Figura 3: Convenção utilizada para as quatro operações.

Primeiro, deve-se representar no quadro valor

lugar as parcelas 123 e 24, e depois deve-se jun-

tar os objetos de cada ordem.

Lê-se: “Cento e quarenta e sete”.

4.a etapa: Comprovar os resultados.

Logo, a quantidade de objetos que há na livraria

são 147.

2) No balde, havia 147 peixes. Marina pescou mais

56 peixes e colocou-os no mesmo balde. Quan-

tos peixes há no balde?

Figura 4: Idéia de acrescentar.

24

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 25: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

1.a etapa – Compreender o problema.

Dados conhecidos: 147 peixes e 56 peixes.

Pede-se: a quantidade de peixes no balde.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de acrescentar peixes a uma quantidade de

peixes já existente. Portanto, a operação a ser uti-

lizada é adição.

3.a etapa – Executar o plano.

Deve-se representar no quadro valor de lugar as

parcelas da adição 147 + 56. Depois, trocam-se

dez unidades por uma dezena e transporta-se

para o lugar das dezenas.

Lê-se: “Cento e noventa e três”.

Chama-se de “vai um” o transporte de uma or-

dem para a ordem imediatamente superior, que

aqui significa “vai uma dezena”, pois 7 + 6 = 13,

ou seja, 10 + 3, indicando que restam 3 na or-

dem das unidades. Quando se somam as deze-

nas, o “vai um” significa “vai uma centena”, pois

40 + 50 + 10 = 100. Portanto nada resta na or-

dem das dezenas, representando por 0. Este pro-

cesso é conhecido como “transporte de reserva”.

O resultado da adição é obtido pelos algarismos

que representam a quantidade que restou em

cada ordem. No caso, tem-se 2 centenas, 0

dezena e 3 unidades. Portanto, 147 + 56 = 203.

4.a etapa – Comprovar os resultados.

Propriedades da adição

A adição em apresenta as seguintes pro-

priedades:

A1) Propriedade do fechamento

Observe o que acontece com a soma 2 + 6:

2 + 6 = 8

Portanto: a soma de dois números naturais

resulta em um número natural. Ou seja, se

a ∈ , b ∈ , então a + b ∈ .

A2) Propriedade comutativa

Observe o que acontece com a soma 4 + 3

e 3 + 4:

Portanto: dados dois números naturais a e b,

tem-se que a + b = b + a.

A3) Propriedade associativa

Observe o que acontece com a soma:

(3 + 2) + 4 e 3 + (2 + 4)

Portanto: dados três números naturais a, b e

c, tem-se que (a + b) + c = a + (b + c).

A4) Existência do elemento neutro

Observe o que acontece com a soma 0+4

e 4+0:

Portanto: quando se soma zero a um núme-

ro natural, a soma não se altera. Por isso, o

zero é o elemento neutro da adição.

25

Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

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EXERCÍCIOS

1) Para estudar para uma prova de Matemá-tica, Patrícia resolveu, no sábado, 25 exercí-cios. No domingo, ela fez 7 exercícios a mais.

a) Quantos exercícios Patrícia fez no domingo?

b) Quantos exercícios fez no fim de semana?

2) Foi realizada uma pesquisa entre os estudan-tes das escolas de um município para verificarqual o alimento mais consumido (arroz, feijão,macarrão, carne). Cada estudante só podia es-colher um único alimento. As respostas foramtabuladas segundo o quadro:

a) Quantos estudantes escolheram o alimento arroz?

b) Quantos estudantes do sexo feminino responde-ram à pesquisa?

c) Quantos estudantes foram pesquisados?

TEMA 05

OPERAÇÃO: SUBTRAÇÃO

2.2 Subtração

Quando uma operação desfaz o que a outrarealizou anteriormente, determinando a voltaao estado original, diz-se que essa operação éa inversa da outra.

Veja alguns exemplos:

Figura 5: Operações inversas.Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica

Você observou que a adição e a subtração sãooperações inversas. Uma desfaz o que a outrafez.

A operação de subtração é associada a trêsidéias: retirar, comparar e completar. A se-guir, três situações que envolvem essas idéias.

Exemplos:

1) Reginaldo tem em sua biblioteca 134 livros e doa-rá 13 livros para sua escola. Quantos livros fica-rão na biblioteca de Reginaldo?

Figura 6: Subtração – Idéia de retirada.

1.a etapa – Compreender o problema.

Dados conhecidos: 134 livros de Reginaldo dosquais 13 livros serão doados para a escola. Pede-se: a quantidade de livros que ficará na bi-blioteca de Reginaldo.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de retirar uma quantidade de outra. Portan-to a operação a ser utilizada é subtração.

26

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 27: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

3.a etapa – Executar o plano.

Deve-se representar no quadro valor de lugar o

número 134, de forma que se retire 3 unidades e

1 dezena (subtraendo).

Lê-se: “Cento e vinte e um”.

4.a etapa – Comprovar os resultados.

121 + 13 = 134

2) Num engradado onde cabem 57 garrafas, Márcio

tem apenas 29. Quantos faltam para completá-la?

Figura 7: Subtração – Idéia de completar (IMENES, p. 63).

1.a etapa – Compreender o problema.

Dados conhecidos: 57 garrafas cabem no

engradado, e Márcio possui 29 garrafas.

Pede-se: a quantidade de garrafas que faltam

para encher o engradado.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de completar uma quantidade para atingir

outra. Portanto a operação a ser utilizada é a sub-

tração.

3.a etapa – Executar o plano

Deve-se representar no quadro valor de lugar o

minuendo da subtração 57 − 29.

a) Registra-se o minuendo.

b) Faz–se o transporte da unidade superior para

a unidade imediatamente inferior.

c) Observe que se trocou uma dezena por dez

unidades. A seguir, retiram-se 9 unidades e

depois 2 dezenas.

Lê-se: “Vinte e oito”.

Normalmente, o “empresta um” chama-se “re-

curso à ordem superior”.

4.a etapa – Comprovar os resultados.

28 + 29 = 57

Logo, a quantidade de garrafas que faltam para

encher o engradado é 28.

3) Marcelo tem 25 anos, sua irmã Carmem tem 9.

Quantos anos Marcelo tem a mais que Carmem?

Figura 8: Subtração – Idéia de comparar

1.a etapa – Compreender o problema.

Dados conhecidos: 25 anos (idade maior) e 9

anos (idade menor).

Pede-se: a quantidade de anos que Marcelo tem

a mais que Carmem.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de comparar duas quantidades. Portanto a

operação a ser utilizada é a subtração.

3.a etapa – Executar o plano.

Deve-se efetuar a subtração 25 – 9.

Como o algarismo das unidades do minuendo é

menor que o do subtraendo, conforme o algorit-

mo da subtração, deve-se transportar a unidade

superior para a unidade imediatamente inferior.

No caso, troca-se uma dezena por dez unidades.

Depois, retiram-se 9 unidades das 15 unidades e

0 dezena de 1 dezena.

27

Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

Page 28: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

4.a etapa – Comprovar os resultados.

9 + 16 = 25

Logo, Marcelo tem 9 anos a mais que Carmem.

Esta relação é conhecida como relação funda-mental da subtração e pode ser representada daseguinte forma:

A relação da subtração também pode ser escritacomo:

A soma de três termos de uma subtração é odobro do minuendo.

Cálculo do elemento desconhecido numaigualdade:

Vista a relação fundamental da subtração, elaserá usada para calcular o elemento desconheci-do numa igualdade.

Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade:

x + 7 = 12 (relação fundamental da subtração)

x + 7 − 7 = 2 − 7

Solução:

x + 0 = 12 − 7

x = 5

Vale lembrar que as propriedades fechamento,comutativa, associativa e elemento neutro nãosão válidas para a subtração em N. Observe:

a) 2 ∈ , 3 ∈ , mas 2 − 3 ∉ (não é possível, noconjunto dos números naturais, retirar 3unidades de 2 unidades se não possuo a or-dem das dezenas para fazer o “empréstimo”).Nesse caso, não é válida a propriedade defechamento.

b) 3 − 2 ≠ 2 − 3. Nesse caso, não é válida a pro-priedade comutativa.

c)

EXERCÍCIOS

1) A leitura de um hidrômetro feita no mês janeiroindicava 3 456 metros cúbicos, e uma novaleitura feita no mês de fevereiro seguinte indi-cava 4 789 metros cúbicos. Quantos metroscúbicos de água foram consumidos a mais nomês de fevereiro?

2) Em uma eleição para prefeito de um municípiono 2.O turno, o candidato A obteve um total de5.789 votos e o candidato B obteve um total de4.745 votos. Sabendo que houve 165 votosbrancos, 59 votos nulos e que o município tem11 567 habitantes. Responda:

a) Quantas pessoas votaram no município?

b) Quantas pessoas não votaram?

c) Quantos votos a mais obteve o candidato A emrelação ao candidato B?

3) Calcular o valor do elemento desconhecido:

a) x + 45 = 312

b) 10 + y = 25

c) a − 8 = 19

Nesse caso, não é vá-lida a propriedade as-sociativa

Minuendo − subtraendo = diferença ⇔ subtraendo ++ diferença = minuendo

28

UEA – Licenciatura em Matemática

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TEMA 06

OPERAÇÃO: MULTIPLICAÇÃO

2.3 Multiplicação

A operação de multiplicação é associada àidéia de adição de parcelas iguais. A seguir,três situações que envolvem essas idéias.

Exemplos:

1) Cristina está escolhendo um sorvete de uma

bola (cupuaçu, buriti, açaí, tucumã) com um tipo

de cobertura (caramelo, chocolate, morango). De

quantas maneiras diferentes pode montar o

sorvete?

1.a etapa – Compreender o problema.

Dados conhecidos: 4 tipos de sorvete: 4 e 3 tipos

de cobertura.

Pede-se: a quantidade de maneiras diferentes de

se montar o sorvete.

Figura 9: Idéia da multiplicação.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de parcelas iguais por meio das combina-

ções possíveis de sorvetes. Portanto a operação

a ser utilizada é a multiplicação.

3.a etapa – Executar o plano.

4.a etapa – Comprovar os resultados.

Logo, há 12 maneiras diferentes de montar o

sorvete.

2) Para fazer um copo de leite, utilizam-se 3 colhe-

res de sopa cheias de leite em pó. Quantas co-

lheres de sopa de leite em pó são necessárias

para fazer 12 copos de leite?

1.a etapa – Compreender o problema.

Dados conhecidos: 1 copo de leite corresponde

a 3 colheres de leite em pó.

Pede-se: a quantidade de colheres de leite em pó

para fazer 12 copos de leite.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de adição de parcelas iguais por meio da

proporcionalidade entre copo de leite e colheres

de sopa de leite em pó. Portanto a operação a ser

utilizada é a multiplicação.

3.a etapa – Executar o plano.

Registra-se o número 12 e repete-se a configu-

ração pela quantidade de vezes a ser repetida.

Depois, conta-se a quantidade de objetos de ca-

da ordem.

Lê-se: “Trinta e seis”.

4.a etapa – Comprovar os resultados.

Logo, serão necessárias 36 colheres de sopa de

leite em pó para fazer 12 copos de leite.

3) Para viajar de uma cidade A para uma cidade B,

percorrem-se 123 quilômetros. Sabe-se que a

distância para ir da cidade B até a cidade C é o

quádruplo da distância de A até B. Qual é a dis-

tância da cidade B até a cidade C?

1.a etapa – Compreender o problema.

Dados conhecidos:

! Distância de A até B: 123 quilômetros.

! Distância de B até C: quatro vezes a distância

de A até B.

Pede-se: a distância da cidade B até a cidade C.

29

Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

Page 30: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de adição de parcelas iguais por meio da

proporcionalidade entre a distância de A até B e

a distância de B até C. Portanto a operação a ser

utilizada é a multiplicação.

3.a etapa – Executar o plano.

a) Registra-se o multiplicando e repete-se a con-

figuração pela quantidade de vezes indicada

pelo multiplicador.

b) Trocam-se 10 unidades por uma dezena.

Lê-se: “Quatrocentos e noventa e dois”.

4.a etapa – Comprovar os resultados.

Logo, a distância de B até C é de 492 quilôme-

tros.

Propriedades da multiplicação

M1) Propriedade do fechamento:

Observe o que acontece com o produto 3 × 6:

3 × 6 = 18

Portanto: o produto de dois números natu-

rais resulta em um número natural. Ou seja,

se a ∈ , b ∈ , então a × b ∈ .

M2) Propriedade comutativa:

Observe o que acontece com o produto 2 × 3e 3 × 2:

Portanto: dados dois números naturais a e b,tem-se que a × b = b × a.

M3) Propriedade associativa:

Observe o que acontece com o produto(3 × 5) × 4 e 3 × (5 × 4):

Portanto: dados três números naturais a, b ec, tem-se que (a × b) × c = a × (b × c).

Esta propriedade da multiplicação, muitas ve-zes é usada no cálculo mental. Exemplo: Nu-ma caixa há 80 lápis. Quantos lápis há em 7caixas?

Figura 10: Multiplicação – propriedade associativa.

O procedimento para resolver o problema po-de ser interpretado da seguinte forma:

7 × 80 = 7 × (80 × 10) = (7 × 8) × 10 =

= 56 × 10 = 560

M4) Existência do elemento neutro:

Observe o que acontece com o produto1 × 4 = 4 × 1:

Portanto, quando se multiplica o número um porqualquer número natural, o produto não se altera.Por isso, o 1 é o elemento neutro da multipli-cação.

30

UEA – Licenciatura em Matemática

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M5) Propriedade distributiva da multiplicação emrelação à adição:

Exemplo:

Portanto, dados três números naturais a, b,c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c

Essa propriedade também é muito utilizada nocálculo mental.

Exemplo: Um televisor está sendo vendido emuma loja a R$453,00. Quanto a loja irá arre-cadar se vender doze televisores?

453 × 12 = 453 × (10 + 2) = 453 × 10 + 453 × 2

= 4 530 + 906

= 5 436

Logo, pagarei R$5.436,00 pelas doze televi-sores.

EXERCÍCIOS

1) Uma cidade A tem 12 624 habitantes. E a cida-de B tem o triplo de habitantes da cidade A.Quantos habitantes tem a cidade B?

2) Uma pizzaria oferece 32 tipos de pizza e 9 tiposde suco. Qual o número de escolhas dife-rentes que se pode fazer de um tipo de pizzacom um tipo de suco?

TEMA 07

OPERAÇÃO: DIVISÃO

2.4 Divisão

Entre a multiplicação e a divisão, há uma rela-

ção parecida com a que existe entre a adição e

a subtração, já que uma desfaz o que a outra

fez. Veja os exemplos.

A divisão está associada a duas idéias: de

repartir e de medida.

Idéia de repartir:

Exemplos:

1) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas.

Não foi exigido que a divisão fosse feita em par-

tes iguais. Portanto há muitas maneiras de fazer a

distribuição:

! 3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola;

! 2 pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3

bolas;

! as 4 pessoas receberam 2 bolas cada uma e

ficam sobrando 2 bolas, etc;

2) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de

modo que:

a) Todas recebam a mesma quantidade de bolas.

Nesse caso, há 2 possibilidades: cada pessoa

recebe 1 bola e sobram 6 bolas ou cada pes-

soa recebe 2 bolas e sobram 2 bolas.

b) Todas recebam a mesma quantidade de bolas

e sobre o menor número de bolas. Nesse ca-

so, só há um modo de repartir: 2 bolas para

cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas.

31

Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

Page 32: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Idéia de medida:

Exemplos:

1) Deseja-se arrumar 48 livros em pacotes de doislivros cada. Quantos pacotes serão formados?

1.a etapa – Compreender o problema.

! Quais os dados do problema?

48 livros, e cada pacote deve possuir 2 livros.

! O que é pedido?

A quantidade de pacotes de livros.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem

2 livros. Portanto, a operação a ser utilizada é a

divisão.

3.a etapa – Executar o plano.

Será utilizado o algoritmo da divisão:

a) Registra-se o dividendo.

Lê-se: “vinte e quatro”.

4.a etapa – Comprovar os resultados

24 × 2 = 48

Portanto serão formados 24 pacotes com 2 livroscada.

Esta relação é conhecida como relação funda-mental da divisão (para divisão exata) e podetambém ser escrita como: q × d = D

Cálculo do termo desconhecido:

Dada a relação fundamental da divisão, ela seráusada para calcular o elemento desconhecidonuma igualdade.

Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade:

25x = 175 (relação fundamental da divisão)

Solução:

x = 175 : 25

x = 7

2) O dono de uma loja encomendou 13 caixas pa-ra colocar 4 latas de refrigerante em cada uma.

Sabendo que há 53 latas, a quantidade de caixasencomendadas pelo dono da loja é suficiente?

1.a etapa – Compreender o problema.

Dados conhecidos: quantidade total de latas = 53e quantidade de latas que cabem em cada cai-xa = 4. Pede-se: verificar se a quantidade de caixasencomendadas pelo dono é suficiente.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem

2 livros. Portanto a operação a ser utilizada é a

divisão.

3.a etapa – Executar o plano.

a) Registra-se o número 53.

b) Quando não se podem formar grupos de 4elementos, devem-se transportar os elemen-tos de uma ordem para a ordem imediatamen-te inferior em grupos de dez. Em seguida,agrupa-se de 4 em 4 e registra-se o resultado.

Lê-se: “Treze”.

4.a etapa – Comprovar os resultados.

13 × 4 + 1 = 52 + 1 = 53

Logo, 13 caixas não são suficientes para colocar53 latas. O resto da divisão, nesse caso, indicaque ficaria faltando colocar em uma caixa umalata de refrigerante. Quando esse fato ocorre, diz-se que a divisão é não-exata.

Divisão não-exata:

Indica-se por: D = d . Q + r

O maior resto possível é sempre igual a d − 1, istoé, R ≤ d − 1.

A operação que associa cada par denúmeros naturais D e d, ao maior númeronatural q, que multiplicado por d não superaD, é chamada divisão não-exata com resto r.

32

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 33: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Quanto às propriedades da divisão, assim como

na subtração, não são válidas as propriedades

fechamento, comutativa, associativa e elemento

neutro. Observe:

a) 2 ∈ , 3 ∈ , mas 2 : 3 ∉ (não é possível, noconjunto dos números naturais, agrupar 3 uni-dades se só existem 2 unidades, e não há aordem das dezenas, para fazer o empréstimo).Nesse caso, não é válida a propriedade defechamento.

b) 6 : 2 ≠ 2 : 6 Nesse caso, não é válida a pro-priedade comutativa.

c)

Nesse caso, não é válida a propriedade asso-ciativa.

A seguir, um exemplo de aplicação da proprieda-de distributiva para a divisão.

Figura 11: Divisão: propriedade distributiva.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica

Observe que:

1299 : 3 = (1200 + 90 + 9) : 3 = 1200 : 3 + 90 : 3 +9 : 3 = 400 + 30 + 3 = 433.

Considerações importantes quanto ao númerozero na divisão:

1) Quando o zero é dividendo. Exemplo: 0 : 7 = 0,pois 0 × 7 = 0.

2) Quando o zero é divisor. Exemplo: se 2 : 0 = q,então q × 0 = 2?

Não existe um número que multiplicado por 0dê 2, pois todo número multiplicado por 0 dá0. Tal divisão é impossível.

3) Quando o dividendo e o divisor são iguais azero. Se 0 : 0 = q, então q × 0 = 0. Então, have-ria infinitos quocientes para a divisão de zero

por zero. Mas, para a Matemática, não há inte-resse algum em ter-se infinitos quocientes pa-ra uma só divisão. Portanto não se permite adivisão de zero por zero. O zero nunca podeser divisor!

Vale destacar que os conceitos relativos à divisãono conjunto de números naturais desempenhampapel importante para os conceitos de númerosfracionários e dos que se relacionam com o con-junto de números racionais.

EXERCÍCIOS

1) Para ir a pé de casa para a escola ou da esco-la para casa, Maria gasta o triplo do tempo quegastaria se fosse de bicicleta. Ontem, ela foi apé da escola até sua casa, pegou a bicicleta e,imediatamente, voltou para a escola. Tudo issodemorou 72 minutos. Quantos minutos ela de-morou no trajeto de casa à escola?

2) Marcos comprou um CD e 5 agendas de mes-mo preço, gastando ao todo 70 reais. Sabendoque o CD custou 25 reais, quanto custou cadaagenda?

3) Tenho 150 mudas para plantar. Já plantei 86 equero plantar as que faltam em 4 dias, plantan-do o mesmo número de mudas em cada dia.Quantas mudas devo plantar por dia?

4) Efetue as seguintes operações:

a) 123 × 78

b) 4 056 × 34

c) 1 809 × 908

d) 1 064 : 2

e) 405 : 68

f) 8 905 : 45

33

Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

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TEMA 08

POTENCIAÇÃO – RADICIAÇÃO –EXPRESSÕES NUMÉRICAS

2.5 Potenciação

Na vida cotidiana, existem várias situações emque são utilizados números muito grandes oumuito pequenos. Quantos grãos de areia há napraia? Qual a distância da Terra à Lua? Quantopesa nosso planeta? Quantos gigabytes tem odisco rígido de seu computador? Escrever nú-meros muito grandes nem sempre é conve-niente. Portanto, para multiplicações em quese tem um mesmo fator, criou-se uma quintaoperação, mais econômica: a potenciação.

Exemplo: Como representar matematicamenteo número de posições do jogo da velha?

Lê-se: “3 elevado ao quadrado”.

Quando o expoente for 3, lê-se “(base) elevadoao cubo”.

Para os demais expoentes, lê-se: “(base) eleva-do à (n.o ordinal correspondente: quarta, quin-ta,...) potência” ou apenas “(base) elevado à(n.o ordinal correspondente: quarta, quinta,...).

Exemplo: 56 lê-se: “cinco elevado à sexta po-tência” ou “cinco elevado à sexta”.

Casos especiais da potenciação:

1) Toda potência de base 1 é igual a 1.

Exemplo: 16 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1

2) Toda potência de expoente 1 é igual àbase.

Exemplo: 51 = 5

3) Toda potência de base 10 e expoentenatural é igual ao número formado pelo

algarismo 1 seguido de tantos zerosquantos indicar o expoente.

Exemplos:

a) A velocidade da luz é de trezentos mil quilô-metros por segundo:

300 000 km/s = 3 × 105 km/s

b) O disco rígido de meu computador tem 20Gigabytes (Gb)

1 Gb = 1 000 000 000 bytes ou 109 bytes

4) Toda potência de base zero e expoentediferente de zero é igual a zero.

Exemplo: 04 = 0

Propriedades das potências:

P1) Multiplicação e divisão

Exemplos:

Então: Para efetuar a multiplicação de potên-cias de bases iguais, deve-se manter a basee adicionar os expoentes.

am . an = am + n onde m, n ≠ 0

Para efetuar a divisão de potências de basesiguais, deve-se manter a base e subtrair osexpoentes.

am : an = am − n onde a, m, n ≠ 0

Observação: Quando as bases não sãoiguais, calcula-se o valor de cada potência.

A partir da propriedade envolvendo divisão depotências com bases iguais, tem-se que:

Toda potência de um número natural dife-rente de zero com expoente zero é igual a 1.

Dado dois números naturais a e n (n > 1),a expressão an representa um produto den fatores iguais ao número a, ou seja:

an = a . a . a . ...... a

34

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 35: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Exemplo: 30 significa um quociente como24 : 24 = 52 : 52 = 1

P2) Potência de uma potência

Exemplos:

Então: Para efetuar uma ou mais potência depotência, deve-se repetir a base e multipli-car os expoentes.

P3) Potência de um produto ou quociente

Exemplos:

a) (3 × 5)2 = 152 = 225 = 9 × 25 = 32 × 52

b) (46 : 23)2 = 22 = 4 = 2116 : 529 = 462 : 232

Então: Para efetuar potência de um produto(ou quociente) pode-se aplicar a potênciaem cada base e multiplicar (ou dividir) osresultados obtidos.

2.6 Radiciação

Na potenciação, você viu como representarmatematicamente o número de posições dojogo da velha: 32 = 3 × 3 = 9. Agora, se a per-gunta fosse: Qual o número de posições emcada linha (ou coluna) cujo quadrado resultano total de posições do jogo da velha?

Chamando “x” o número de posições em cadalinha (ou coluna) de x, deve-se encontrar onúmero “x”, elevado ao quadrado resulta em 9.Portanto é necessário realizar a operação in-versa, chamada radiciação.

Observação: quando o índice é 2, não se es-creve o número 2, apenas quando o índice édiferente de 2.

Exemplo:

Lê-se: “raiz cúbica de sessenta e quatro é iguala quatro”.

2.7 Expressões Numéricas

Para resolver corretamente expressões numéri-cas, é necessário obedecer à ordem em queas operações devem ser resolvidas.

1) Potenciações e radiciações, na ordem emque aparecem.

2) Divisões e multiplicações, na ordem emque aparecem.

3) Adições e subtrações, na ordem em queaparecem.

No caso dos sinais de associação, eles de-vem ser eliminados na seguinte ordem: pa-rênteses, colchetes parênteses, colchetes echaves.

Na figura 12, tem-se vários livros distribuídosem várias prateleiras. Como apresentar duasexpressões numéricas diferentes para que seobtenha a quantidade de livros existentes naestante?

Figura 12: Resolução de problemasutilizando expressões numéricas.

Exemplos:

Nas expressões com chaves, colchetes e pa-rênteses, eliminam-se primeiro os parênteses,depois os colchetes e em seguida a chave.Efetuam-se as operações conforme a ordemdescrita anteriormente.

35

Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

Page 36: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

EXERCÍCIOS

1) Um prédio tem 4 andares. Cada andar tem 4apartamentos e cada apartamento tem 4 qua-tro vagas na garagem. Quantas vagas há nagaragem do prédio?

2) Resolva as expressões numéricas:

a) 17 + [ 10 − (15 : 3 + 2) + 4]

b) 6 + { 9 − [(8 − 10 : 2) × 3]}

c) 48 − {28 − 4[3 (40 : 5 − 3) : (17 − 3 × 4)]}

d) 22 + {25 − [34 : (23 + 3 : 3) − ]}

e) 3 × (14 − 3)2 : 33 + [ : 13 + (23 × 21)]

TEMA 09

DIVISIBILIDADE

3. Divisibilidade

Sabe-se que o ano bissexto é aquele que pos-

sui 366 dias, ao contrário do ano comum que

possui 365 dias. Os anos bissextos acontecem

de quatro em quatro anos exemplos: os anos

de 1 600 e 2 000 foram anos bissextos. Estes

números têm uma característica em comum:

são números que, quando divididos por 4, dão

resto zero. Ou seja, a divisão é exata.

3.1 Conjunto dos divisores de um número na-

tural

Dados dois números naturais, se a divisão do

primeiro pelo segundo é exata, diz-se que:

O primeiro é divisível pelo segundo (ou o pri-

meiro é múltiplo do segundo);

O segundo é divisor do primeiro (ou o segun-

do é fator do primeiro).

Exemplo: Na operação 1600 : 4 = 400; 1600 é

divisível por 4 ou múltiplo de 4;

4 é divisor de 1600 ou fator de 1600.

Para se obter o conjunto dos divisores de um

número, basta dividir esse número pela

sucessão dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, ...

e verificar em quais se obteve resto zero.

Exemplo: Determinar o conjunto dos divisores

de 16. Indica-se D(16).

Continuando o processo até o divisor ser igual

a 16, tem-se: D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

3.2 Conjunto dos múltiplos de um número na-

tural

Para se obter o conjunto dos múltiplos de um

número, basta multiplicar esse número pela su-

cessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

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UEA – Licenciatura em Matemática

Page 37: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Exemplo: Determinar o conjunto dos múltiplos

de 2, indica-se M(2).

2 × 0 = 0 2 × 1 = 2 2 × 3 = 6 2 × 4 = 8

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8...}

Observe que:

O conjunto dos múltiplos diferentes do zero

é infinito;

Zero é múltiplo de qualquer número;

Todo número é múltiplo de si mesmo.

3.3 Critérios da divisibilidade

Para verificar se um número é divisível por

outro, deve-se efetuar a divisão entre eles, po-

rém existem regras que permitem verificar se

um número é divisível por outro sem se efetuar

a divisão. Essas regras são denominadas cri-

térios da divisibilidade.

Divisibilidade por 2: um número será divisí-

vel por 2 quando for par.

Exemplo: 16 é divisível por 2 porque é par.

Divisibilidade por 3: um número será divisí-

vel por 3 quando a soma dos valores abso-

lutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo: 27 é divisível por 3 porque 2 + 7 = 9,

que é divisível por 3.

Divisibilidade por 4: um número será divisí-

vel por 4 quando terminar em 00 ou quando

o número formado pelos seus dois últimos

algarismos for divisível por 4.

Exemplos:a) 400 é divisível por 4 porque termina em 00.

b) 336 é divisível por 4 porque o número 36 é divisí-

vel por 4

Divisibilidade por 5: um número será divisí-

vel por 5 quando terminar em 0 ou 5.

Exemplos:a) 65 é divisível por 5 porque termina em 5.

b) 30 é divisível por 5 porque termina em 0.

Divisibilidade por 6: um número será divisí-

vel por 6 quando for divisível por 2 e por 3.

Exemplo: 630 é divisível por 6 porque é divisí-

vel por 2 e por 3.

Divisibilidade por 8: um número será divisí-vel por 8 quando terminar em 000 ou quan-do o número formado pelos seus três últi-mos algarismos for divisível por 8.

Exemplos:a) 1000 é divisível por 8 porque termina em 000.b) 1744 é divisível por 8 porque 744 é divisível por 8.

Divisibilidade por 9: um número será divisí-vel por 9 quando a soma dos valores abso-luto de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo: 2133 é divisível por 9 porque 2 + 1 +3 + 3 = 9, que é divisível por 9.

Divisibilidade por 10: um número será divisí-vel por 10 quando terminar em 0.

Exemplos:a) 40 é divisível por 10 porque termina em 0.b) 75 não é divisível por 10 porque não termina

em 0.

3.4 Números primos

Desde o sistema de escrita dos egípcios, acriptografia vem sendo utilizada, tanto para finsmilitares como diplomáticos. Um arquiteto dofaraó Amenemhet II construiu alguns monu-mentos para o faraó, os quais precisavam serdocumentados em tabletes de argila, sem quecaíssem no domínio público. Um escriba teve aidéia de substituir algumas palavras ou trechosde texto destes tabletes. Caso o documentofosse roubado, o ladrão não encontraria o ca-minho que o levaria ao tesouro. Muitos consi-deram isto como o primeiro exemplo docu-mentado da escrita cifrada.

Erastótenes de Cirene, filósofo e geômetragrego (276 a.C. a 194 a.C.) é conhecido comocriador de um método para identificar númerosprimos, o crivo de Erastótenes.

O termo Criptografia surgiu da fusão das pa-lavras gregas “Kryptós” (oculto) e “gráphein”(escrever). Trata-se de um conjunto de concei-tos e técnicas que visam codificar uma infor-mação de modo que apenas o emissor e oreceptor possam acessá-la e interpretá-la. Umexemplo simples de código consiste em per-mutar cada letra do alfabeto usada na men-sagem pela letra seguinte. Por exemplo, apalavra “Matemática” seria escrita codificadacomo “Nbufnbujdb”. Porém, esse método émuito simples de ser decifrado.

37

Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

Page 38: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Durante a 2.a Guerra Mundial, três americanosdesenvolveram um sistema de código secreto,chamado RSA (Rivest, Shamir and AdlemanAlgorithm), em homenagem aos seus criadoresRon Rivest, Adi Shamir e Len Adleman. Criava-se um novo ramo da Criptografia, a ciência doscódigos, fortemente baseado na Teoria dosNúmeros e, em particular, nos números pri-mos. A grande maioria das pessoas não sabeque a inviolabilidade dos seus dados pessoais,cartões de crédito e senhas bancárias depen-de em parte destes números.

O método RSA é um dos algoritmos mais usa-dos para transações criptográficas na Internet.Nesse algoritmo, números primos são utiliza-dos da seguinte forma: dois números primossão multiplicados para se obter um terceirovalor. Porém, descobrir os dois primeiros nú-meros a partir do terceiro (ou seja, fazer umafatoração) é muito trabalhoso, pois é necessá-rio usar muito processamento para descobri-los, tornando essa tarefa quase sempre inviá-vel.

Observação: é muito importante que além dese escolher primos p e q muitos grandes, adiferença | p − q | não pode ser pequena, poisisso facilitaria a fatoração.

D(2) = {1,2}; D(3) = {1,3}; D(4) = {1,2,4};

D(5) = {1,5}; D(6) = { 1, 2, 3, 6}

São exemplos de números primos 2, 3, 5, 7,11...

EXERCÍCIOS

1) Quais são os múltiplos do número:

a) 3

b) 4

c) 7

2) Quais são os divisores do número:

a) 35

b) 450

c) 73

3) Dadas as sentenças:

I) 1 339 é múltiplo de 13.II) Zero é o único múltiplo de 0.III) 1 414 é divisível por 11.

Podemos afirmar que:

a) I e II são verdadeiras.b) I e III são verdadeiras.c) II e III são verdadeiras.d) As três são verdadeiras.

4) Dado o conjunto A = {n ∈ N; 10 ≤ n ≤ 20}, de-terminar os números primos desse conjunto.

Um número é primo quando possui exa-tamente dois divisores (ele mesmo e aunidade). Se possuir mais de dois diviso-res, é chamado número composto.

38

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 39: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

TEMA 10

MÁXIMO DIVISOR COMUM.MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

4. Máximo divisor comum

Analise a seguinte situação: deseja-se dividir 3toras de madeira, que medem respectivamente12m, 18m e 24m, em partes iguais e com maiortamanho possível. Qual comprimento devepossuir cada uma das partes?

Figura 13: Máximo divisor comum.

Para responder a estas pergunta, devem-seencontrar os divisores de 12, 18 e 24?

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(18) = {1, 2, 3, 6, 18}

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

D(12) I M(18) I M(24) = {6}

Observe que 6 é o maior divisor comum entre12, 18 e 24. Logo, cada tora deve ser divididaem 6 partes iguais.

Processos práticos para decomposição defatores primos:

I) Decomposição em fatores primos

Para chegar à forma fatorada completa deum número natural, realiza-se uma opera-ção denominada decomposição em fatoresprimos, que consiste em:

1) dividir, inicialmente, o número dado pelo seumenor divisor primo;

2) dividir o quociente obtido pelo seu menor divi-sor primo;

3) repetir este procedimento até obter o quocien-te igual a 1.

Exemplo: Calcular o m.d.c. entre 48 e 40.

O processo de decomposição em fatores primospode ser utilizado para determinar os divisoresde um número, a quantidade de divisores, aquantidade de divisores pares e ímpares.

Procedimento para determinar os divisores de

um número:

1) Fatora-se o número dado.2) Traça-se uma barra vertical à direita dos fato-

res primos.3) Um pouco acima, à direita da barra, escreve-

se o divisor 1.4) Multiplicam-se os fatores primos pelos núme-

ros que vão ficando à direita da barra.

Observação: Os produtos que se forem repe-

tindo não serão escritos.

Veja a aplicação da regra para o número 60.

Logo, os divisores D(60)= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12,

15, 20, 30, 60}.

Procedimento para determinar a quantidade

de divisores de um número:

1) Decompõe-se o número em fatores primos.2) Soma-se uma unidade a cada expoente.3) Multiplicam-se os resultados obtidos.

Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51

Logo, o número de divisores de 60 é:

N.D(60) = (2 +1) × (1 +1) × (1 +1) = 3 × 2 × 2 = 12.

Procedimento para determinar a quantidade

de divisores ímpares de um número.

Nesse caso, faz-se o processo anterior apenas

com os expoentes dos fatores primos ímpares.

O m.d.c é o produto dos fatores comunselevados ao seu menor expoente.

Dados dois ou mais números naturais di-ferentes de zero, denomina-se máximodivisor comum (m.d.c) o maior de seusdivisores comuns.

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Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

Page 40: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51

Logo, o número de divisores ímpares de 60 é:

N.D.I. (60) = (1 +1) × (1 +1) = 5

Procedimento para determinar a quantidade

de divisores pares de um número:

1) Soma-se uma unidade a cada expoente dosfatores primos ímpares.

2) Multiplicam-se os resultados encontrados peloexpoente do fator primo par.

Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51

Logo, o número de divisores pares de 60 é:

N.D.P. (60) = 2 × (1 +1) × (1 +1) = 8

II) Divisões sucessivas

O cálculo do m.d.c. de dois números peloprocesso das divisões sucessivas obedeceàs seguintes regras:

1) Divide-se o maior número pelo menor.2) Divide-se o número menor pelo primeiro resto.3) Divide-se o primeiro resto pelo segundo resto,

e assim sucessivamente, até se obter uma di-visão exata.

4) O último divisor é o m.d.c. procurado.

Exemplo: Calcular o m.d.c de 78 e 54.

5. Mínimo múltiplo comum

Analise a seguinte situação: três navios fazemo mesmo percurso entre dois portos: o primei-ro de 8 em 8 dias. O segundo de 12 em 12 diase o terceiro de 16 em 16 dias. Tendo saído jun-tos em certo dia do mês, após quantos diassairão juntos novamente?

Para responder a essa pergunta, devem-se en-contrar os múltiplos de 8, 12 e 16.

M(8) = {0, 8,16, 24, 32, 40,48, ....}

M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...}

M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, .... }

M(8) I M(12) I M(16) = {48}

Logo, após 48 dias esses navios sairão juntosnovamente.

Pode-se observar que o menor múltiplo co-mum entre 8, 12 e 16 diferente de 0 é o 48.

Processos práticos para o calculo do m.m.c.:

a) Decomposição em fatores primos

O cálculo do m.m.c de dois ou mais númerospela decomposição em fatores primos obedece àseguinte regra:

Decompõem-se os números em fatores primos.

Exemplo: m.m.c. (36, 120) =

b) Decomposição simultânea

O cálculo do m.m.c. de dois ou mais númerospela decomposição simultânea obedece à se-guinte regra:

Decompõem-se, simultaneamente, os númerosem fatores primos.

Exemplo:

O m.m.c é o produto dos fatores primosobtidos.

O m.m.c é o produto dos fatores primoscomuns e não-comuns elevados ao seumaior expoente.

Dados dois ou mais números naturais di-ferentes de zero, chama-se mínimo múl-tiplo comum (m.m.c.) o menor de seusmúltiplos comuns diferente de 0.

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EXERCÍCIOS

1) De uma estação urbana, partem ônibus para obairro A de 18 em 18 minutos; para o bairro Bde 12 em 12 e para o bairro C de 10 em 10 mi-nutos. Sabendo que às 10h os ônibus das trêslinhas partiram juntos, a que horas partirão jun-tos novamente?

2) Considerando os números a = 27 × 3, b = 24 × 5,c = 26 × 11 determine:

a) m. d. c. b) m. m. c.

3) Se a = 2 × 32 × 5 e b = 22 × 3 × 5, determine om.d.c. (a,b) e o m.m.c.(a,b).

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Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais

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UNIDADE IVO Conjunto dos Números Inteiros

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TEMA 11

A IDÉIA DO NÚMERO INTEIRO.REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA.SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALORABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO

1. A idéia do número inteiro

Durante muito tempo, os povos não conhe-ciam o número negativo. Os hindus recusa-vam-se a aceitar que quantidades negativaspudessem ser expressas pela idéia de núme-ro. Somente na passagem da Idade Média pa-ra a Idade Moderna (séculos XIV a XVI) é queos países da Europa Ocidental sofreram pro-fundas transformações com o desenvolvimen-to do comércio e o crescimento das cidades,surgindo a necessidade de solucionar proble-mas do dia-a-dia que não poderiam ser resolvi-dos utilizando números naturais, como perda eprejuízo. Surge, assim, uma interpretação paraos números negativos, antes chamados denúmeros falsos ou números absurdos.

Os números negativos estão presentes em vá-rias situações do nosso dia-a-dia. Veja algunsexemplos:

1) A temperatura de duas cidades. Considere aseguinte situação: um termômetro marca umatemperatura de 10 graus Celsius (10oC) afastadodo zero. Conforme mostra a Figura 1. Tem-seduas possibilidades de interpretação.

a) Temperatura da cidade A.

b) Temperatura da cidade B.

Figura 1: Temperatura de duas cidades (GIOVANI, 2002, p.29)

Observa-se que há dois pontos (A e B) do ter-mômetro que podem ser tomados como a po-sição da coluna de mercúrio em relação aoponto de origem 0 (zero). Isso mostra que onúmero natural 10 não foi suficiente para ex-pressar o afastamento da coluna de mercúrioem relação ao ponto de origem 0. Para elimi-nar a dupla interpretação, convenciona-se:

! o ponto A está 10oC acima de zero. Simbo-licamente: +10oC;

! o ponto B está 10oC abaixo de zero. Simbo-licamente: −10oC.

Figura 2: Representação da temperatura de duascidades no mesmo termômetro (GIOVANI,2002, p. 30)

Diz-se que +10 é um número inteiro positivo(muitas vezes, omite-se o sinal +) e −10 é umnúmero inteiro negativo.

2) Saldos bancários:

Observe que cada vez que o banco descontaalgum valor do saldo de seu Jorge, aparece osinal de menos (−) no valor descontado. Portantocrédito de R$50,00 (+R$50,00) e débito deR$120,00 (− R$120,00).

Ainda hoje, quando uma empresa termina o anoem prejuízo, diz-se que ela terminou o ano novermelho, isto é, seu balanço final indicou maisdespesas (saídas) do que receitas (entradas).Portanto seu saldo é negativo.

3) Elevadores

Muitos edifícios têm piso abaixo do nível da rua.Para localizar os andares de um prédio em rela-ção ao térreo, utilizam-se números inteiros, emque os números negativos servem para indicar ospisos abaixo do térreo. O térreo é considerando oponto de referência (ou de origem).

Figura 3: Números inteiros no painel do elevador.

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Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros

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4) Calendários

Os números inteiros são utilizados para diferen-

ciar períodos antes e depois de uma data. Para

os povos cristãos, o calendário tem como refe-

rência o ano de nascimento de Cristo. Veja na

reta numerada como representar as afirmações:

Roma foi fundada no ano 753 a. C. (−753)

Jesus Cristo nasceu no ano 0.

Manaus foi fundada no ano 1 848. (subentende-

se que foi depois de Cristo) (+1 848)

2. Representação dos números inteiros na reta

numérica

Os números negativos são representados na

reta de forma semelhante à representação dos

números naturais. Partindo do ponto de origem

O, coloca-se a unidade de comprimento esco-

lhida repetidas vezes, ao longo da reta, da es-

querda para a direita, determinando o sentido

positivo da reta, e da direita para a esquerda

determinando o sentido negativo da reta.

Cada ponto associado ao número inteiro é cha-

mado imagem geométrica do número inteiro,

e cada número inteiro é chamado abscissa doponto correspondente.

Exemplo:

O ponto A é a imagem geométrica do número 2.

O número 2 é a abscissa do ponto A.

Nesse contexto, reunindo os números negati-vos e os números naturais, tem-se o conjuntodos números inteiros indicado por .

= {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

3. Subconjuntos

O conjunto dos números inteiros possuem im-portantes subconjuntos. Veja alguns deles noquadro 1.

Representação em Diagramas

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UEA – Licenciatura em Matemática

Quadro 1: Subconjuntos de .

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4. Módulo ou valor absoluto de um númerointeiro

A reta numérica a seguir indica a posição dosmunicípios de Manacapuru e Itacoatiara em re-lação a Manaus, sendo quilômetros a unidadede medida adotada.

Observe que o município de Itacoatiara encon-tra-se a 177 quilômetros a leste de Manaus.Indica-se por: +177 ou apenas 177.

O município de Manacapuru encontra-se a 79quilômetros à oeste de Manaus. Indica-se por:− 79.

Representa-se por |x|.

Exemplos:

O módulo de +177 é 177 e indica-se |+177| == 177.O módulo de − 79 é 79 e indica-se |−79| = 79.

Para determinar a distância entre dois pontosna reta numerada, devem ser considerados osmódulos das distâncias de cada ponto àorigem e somar (ou subtrair) os resultadosobtidos.

Exemplos:

1) Quantos quilômetros são percorridos entre Ma-nacapuru e Itacoatiara passando por Manaus?

Solução: |−79| + |+177| = 79 + 177 = 256 quilô-metros em linha reta.

2) Quantos quilômetros são percorridos entre Ita-coatiara e Maués?

Solução: |+267| − |+177| = 267 − 177 = 90 quilô-metros em linha reta.

4.1 Números inteiros opostos ou simétricos

Suponha agora que um posto de saúde encon-tra-se a 177km a leste de Manaus.

Nesse caso, as distâncias de Itacoatiara e doposto de saúde a Manaus são as mesmas.

Indica-se: |+177| = |−177|. Os números +177e −177 são chamados de números inteirosopostos ou simétricos. Assim, +177 é o opostoou simétrico de −177 e vice-versa.

4.2 Comparação entre números inteiros

O módulo de um número inteiro também éimportante para comparar dois números intei-ros. A comparação de dois números positivosjá foi demonstrada no conjunto dos númerosnaturais. Entre os negativos, comparando asdistâncias de Humaitá e Manicoré a Manaus,tem-se que:

−600 < −333, pois |−600| > |−333|

Portanto, entre dois números negativos, onúmero que tiver o maior valor em móduloserá o menor.

EXERCÍCIOS

1) Observe a reta numérica inteira a seguir.

Dê a distância de:

a) +6 a 0 d) −6 a −2b) −2 a 0 e) −3 a +3c) −3 a +5 f) +5 a −2

2) Uma cidade A encontra-se a 1 200 quilômetrosao norte da cidade B, e uma cidade C encon-tra-se a 3 500 quilômetros ao sul da cidade B,ambas em linha reta. Quantos quilômetros háentre as cidades B e C em linha reta?

3) Analisando as sentenças:I) |−7| > |+5|II) Existe um número inteiro que tem módulo menor

que zero.III) O valor da expressão |−15| + |−3| − |−41| é 23.

Podemos afirmar que:

a) I e II são falsas.b) I e III são falsas.c) II e III são falsas.d) Todas são falsas.

Chama-se módulo ou valor absoluto deum número inteiro “x” a distância dessenúmero até o zero na reta numérica.

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Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros

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TEMA 12

OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

5. Operações com números inteiros

As operações com os números inteiros sãousadas constantemente no cotidiano em situa-ções como: a) Devo R$50,00 ao banco. Meu pai depositou na

minha conta R$30,00. Quanto ficará o meu sal-do?

b) A temperatura de uma cidade da Região Sul doBrasil em um dia foi de 2o C abaixo de zero, e nosEstados Unidos, foi 3 vezes menor. Qual foi atemperatura nos Estados Unidos?

5.1 Adição

A reta numérica será utilizada para entender aadição entre números inteiros.

Procedimento:

1) Partindo do número que indica a 1.a parcela,caminhe na reta tantas casas quanto indi-cadas na 2.a parcela.

2) Se o número for positivo, caminhe para adireita.

3) Se o número for negativo, caminhe para aesquerda.

1.o Caso: Adição de números de mesmosinal:

a) (+1) + (+3)

Partindo de +1, caminhe +3

Tem-se que (+1) + (+3) = +4

b) (−2) + (−4)

Partindo de −2, caminhe −4

Tem-se que (−2) + (−4) = −6

2.o Caso: Adição de números de sinais dife-rentes:

a) (−2) + (+5)

Partindo de −2, caminhe +5

Tem-se que (−2) + (+5) = −2 + 5 = +3

b) (+2) + (−5)

Partindo de +2, caminhe −5

Tem-se que (+2) + (−5) = −3

A adição de três ou mais parcelas (somas algé-bricas) pode ser obtida utilizando a proprie-dade associativa, adicionando-se as parcelaspositivas, depois as parcelas negativas e, final-mente, adicionando-se os resultados obtidos.

Exemplos:

a) (−4) + (−6) + (+5) + (+3)

Somando as parcelas positivas: (+5) + (+3) = 5 +3 = 8

Somando as parcelas negativas: (−4) + (−6) = −10

Adicionando os resultados: (−4) + (−6) + (+5) +(+3) = 8 + (−10) = −2

b) (−7) + (−9) + (+2) + (+7) + (−1)

Somando as parcelas positivas: (+2) + (+7) = 2 +7 = 9

Somando as parcelas os negativos: (−7) + (−9) +(−1) = −17

Adicionando os resultados: (−7) + (−9) + (+2) +(+7) + (−1) = 9 + (−17) = −8

Conhecendo-se as regras para adicionar nú-meros inteiros, é possível resolver problemasque envolvem adição com números inteiros.

Exemplos:

1) Caio tinha R$20,00 na sua conta bancária e seu

irmão Pedro depositou R$80,00. Quanto ficará o

saldo de Caio?

A soma de dois números inteiros de si-nais diferentes é obtida subtraindo-seseus valores absolutos, fornecendo aoresultado o sinal do número de maiorvalor absoluto.

A soma de dois números inteiros demesmo sinal é obtida adicionando-seseus valores absolutos e conservando-se o sinal comum.

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UEA – Licenciatura em Matemática

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2.

a) Márcia devia R$50,00 ao banco e depositouR$20,00. Quanto ficará o saldo de Márcia?

b) Após 3 dias, Márcia emprestou R$25,00 paracomprar um CD. Quanto ficará o saldo deMárcia?

Propriedades da adição:

Os números inteiros obedecem às mesmas pro-priedades da adição utilizadas para númerosnaturais, sendo acrescentada a propriedade daexistência de elemento oposto (também conhe-cida como propriedade do cancelamento).

Propriedade do fechamento: A soma de doisnúmeros inteiros resulta em um número inteiro.

Propriedade comutativa: Dados dois núme-ros inteiros a e b, tem-se: a + b = b + a.

Propriedade associativa: Dados três númerosinteiros a, b e c, tem-se: (a + b) + c = a + (b + c).

Propriedade do elemento neutro: Quando sesoma zero a um número inteiro, a soma não sealtera.

Propriedade da existência de elementooposto: A soma de dois números inteiros desinais diferentes, mas de mesmo módulo, re-sulta no número zero.

Exemplo: Se devo R$5,00 ao banco e pagoR$5,00, qual é o meu saldo?

(−5) + (+5) = 0

5.2 Subtração

Considere a seguinte situação:

No sábado, a temperatura de Boca do Acrepassou de +31oC para +35oC. Qual foi a varia-ção de temperatura?

Esse fato pode ser representado pela sub-tração:

Note que (+35) − (+31) = (+35) + (−31) = +4

Então:

Se a e b são dois números inteiros, a − b éigual à soma do primeiro número com o opos-to do segundo:

a − b = a + (−b)

Cálculo do termo desconhecido

As regras para a adição e a subtração de nú-meros inteiros podem ser utilizadas para solu-cionar problemas que envolvem um termodesconhecido.

Exemplo: Alexandre, o Grande, nasceu em 356a.C. Quantos anos viveu Alexandre, sabendo-se que ele morreu em 323 a.C?

O termo desconhecido “x” indicará a quanti-dade de anos que Alexandre viveu. Portanto:

Para aplicar a propriedade do cancelamento eencontrar o valor de x, deve-se adicionar +356em ambos os membros. Então:

Logo, Alexandre viveu 33 anos.

Representando na reta, tem-se:

Propriedades da subtração

A subtração em não possui as propriedadescomutativa, associativa, elemento neutro e ele-mento oposto.

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Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros

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Propriedade do fechamento: A subtração dedois números inteiros resulta em umnúmero inteiro. Assim, se a ∈ e b ∈ ,então (a − b) ∈ .

Exemplo:

(−3) − (−4) = −3 + 4 = +1, em que −3∈ e − 4∈e 1 ∈ .

Não é válida a propriedade comutativa.

Exemplo:

(−5) − (−4) ≠ (−4) − (−5)

−5 + 4 ≠ −4 + 5

−1 ≠ +1

Não é válida a propriedade associativa.

Exemplo:

[(−3) − (−6)] − (−5) ≠ (−3) − [(−6) − (−5)]

(−3 + 6) + 5 ≠ (−3) – (−6 + 5)

3 + 5 ≠ (−3) − (−1)

8 ≠ −3 + 1

8 ≠ −2

EXERCÍCIOS

1) Partindo do térreo, um elevador desce 3 anda-res. Em seguida, desce mais 1 andar. Determi-ne o andar em que o elevador parou.

2) Cláudio tem uma conta bancária. Hoje, essaconta apresenta o saldo negativo de R$25,00.Para cada situação abaixo, indique a adiçãocorrespondente e dê o resultado.

a) Depósito de R$50,00.b) Retirada de R$5,00.c) Retirada de R$10,00 seguida de depósito de

R$50,00.

3) Um grupo de estudantes andou em uma trilha5km a oeste de um ponto. A seguir, o grupovoltou 2km e parou em uma cachoeira. Repre-sente na reta numerada essa situação e cal-cule a posição final do grupo em relação aoponto inicial de caminhada?

4) Certo dia, o termômetro marcava +3oC parauma cidade A, mas, à noite, a temperaturabaixou para −1oC. Qual foi a variação de tem-peratura nesse período?

5) Pitágoras nasceu no ano 570 a.C. e morreu noano 496 a.C. Com quantos anos Pitágorasmorreu? Represente na reta numerada.

6) Efetue usando apenas a regra:

a) (+5) + (−6) + (−4)b) (+6) + (−3) +(−9) + (−4)c) (−7) + (−5)+ (+7)d) (−12) − (+7) − (−5)e) (+23) − (−18) − (+14)f) (−15) − (+136) − (−98) − (+45)

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TEMA 13

OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

5.3 Multiplicação

Como interpretar o produto de, por exemplo,(+2) × (−3)?

Existem algumas situações que nos permitemdar sentido a multiplicações com números ne-gativos.

Considere um balde com capacidade de 10litros, que será enchido de água à razão de 2litros por minuto.

a) Após 5 minutos (+5) o balde estará cheio com 10

litros, pois: (+2) × (+5) = +10.

b) Após 3 minutos (−3), faltavam 6 litros para encher

o balde, pois: (+2) × (−3) = −6.

Suponha que o balde foi enchido novamentecom 10 litros, e a água será retirada à razão de2 litros por minuto (−2).

c) Após 3 minutos (+3), o balde terá 6 litros a

menos, pois: (−2) × (+3) = −6

d) Em 2 minutos (−2), havia 4 litros a mais no balde,

pois: (−2) × (−2) = +4

Então: O produto de dois números inteirosde mesmo sinal é um número positivo.

O produto de dois números inteiros desinais diferentes é um número negativo.

Resumindo:

Propriedades da multiplicação:

Os números inteiros obedecem às mesmaspropriedades da multiplicação utilizadas paranúmeros naturais.

Propriedade do fechamento: O produto dedois números inteiros resulta em um númerointeiro.

Propriedade comutativa: Dados dois núme-ros inteiros a e b, tem-se: a × b = b × a.

Propriedade associativa: Dados três números

inteiros, a, b e c, tem-se: (a × b) × c = a × (b × c).

Propriedade do elemento neutro: Quando semultiplica o número 1 por qualquer númerointeiro, o produto não se altera.

Propriedade distributiva da multiplicação em

relação à adição: Dados três números inteiros,

a, b, c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c.

Exemplos:

a) (+4) × (−2) × (+5) = (−8) × (+5) = −40 ou utilizando

a propriedade associativa,

(+4) × (+5) × (−2) = (+20) × (-2) = −40

b) (−7) × [(+12) + (−5)] = (−7) × (+7) = −49 ou utili-

zando a propriedade distributiva,

[(−7) × (+12)] + [(−7) × (−5)] = (−84) + (+35) = −49

51

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros

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Observe que:

Para quantidade ímpar de fatores negativos,o produto é negativo. Para quantidade par de fatores negativos, oproduto é positivo.

5.4 Divisão

Você viu que na multiplicação (+2) × (−3) = −6.Sendo a divisão a operação inversa da multipli-cação, tem-se que:

(−6) : (−3) = +2 e (−6) : (+2) = −3.

Então: O quociente de dois números inteirosde mesmo sinal é um número positivo.

O quociente de dois números inteiros desinais diferentes é um número negativo.

Resumindo:

Propriedades da divisão:

Não são válidas as propriedades de fechamen-to, comutativa, associativa e elemento neutro.

EXERCÍCIOS

1) Paulo deve R$45,00 a um amigo. Ana deve odobro do que deve Paulo. Quanto ela deve?

2) Um mergulhador está a 16m de profundidade.Outro mergulhador está a uma profundidadeque é o triplo da do primeiro mergulhador. Aque profundidade ele está?

3) Joana tem em sua conta bancária R$800,00 epretende com este dinheiro pagar, em duasparcelas iguais mensais, uma geladeira. Quan-to Joana deverá sacar por mês?

4) Efetue:a) (−9) × (−14)

b) (+5) × (−9) × (+2)

c) (−9) : (−9)

d) (−28) : (−14)

e) (+45) : (−9)

f) (−84) : (+12)

TEMA 14

OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO.

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

5.5 Potenciação em

Existem dois casos a serem considerados:

1.o Caso: O expoente é um número par.

Observe:

a) (+3)2 = +9

b) (−3)2 = (−3) × (−3) = +9

Quando o expoente é um número par, a po-

tência é sempre um número inteiro positivo.

Observação: (−3)2 e −32 são diferentes, pois:

(−3)2 representa o quadrado do número −3, ou

seja, (−3)2 = (−3) × (−3) = +9

−32 representa o oposto do quadrado do

número 3, ou seja, −32 = −(3 × 3) = −9

2.o Caso: O expoente é um número ímpar.

Observe:

a) (+3)3 = +27

b) (−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27

Quando o expoente é um número ímpar, a

potência tem sempre o mesmo sinal da

base.

Propriedades da potenciação:

As propriedades da potenciação são as mes-

mas utilizadas para os números naturais.

Multiplicação e divisão

Exemplos:

a) (+5)3 × (−2)2 = (+125) × (−4) = −500

b) (−2)5 × (−2)3 = (−2)5 + 3 = (−2)8 = +256

c) (−4)2 : (−2)3 = (+16) : (−8) = −2

d) (−5)2 : (−5)1 = (−5)2 – 1 = (−5)1 = −5

Potência de uma potência

Exemplos:

a) (−102)3 = −1003 = −1 000 000 ou −106

b) [(−2)3]2 = (−8)2 = +64 = (−2)6

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UEA – Licenciatura em Matemática

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Potência de um produto ou quociente

Exemplos:

a) [(+3) × (−5)]2 = (−15)2 = 225 ou (+3)2 × (−5)2 = 9 ×25 = 225

b) [(−46) × (−23)]2 = (+2)2 = 4 ou (−46)2 : (−23)2 =2 116 : 529 = 4

5.5 Radiciação em

Considere a seguinte situação:

Quais os números inteiros cujos quadrados

são iguais a 225?

Os números são +15 e −15, pois

Como, em Matemática, uma operação (como a

radiciação) não pode apresentar dois resulta-

dos diferentes, fica definido que:

= +15

É claro que existe o oposto do número ,

que é − .

Então: − = −(+15) = −15

Agora considere as situações:

1) Qual é o número inteiro que representa a

raiz quadrada de 19?

Observe que não existe nenhum número in-

teiro cujo quadrado dê 19, pois 42 = 16 e

52 = 25. Como não há nenhum número intei-

ro entre 4 e 5, conclui-se que não é possível

obter raiz exata de .

2) Qual é o número inteiro que elevado ao qua-

drado dá −25?

Sabe-se que o quadrado de um número

inteiro nunca é negativo. Isso significa que

os números inteiros negativos não tem raiz

quadrada em , ou seja, não existe no

conjunto .

6. Expressões numéricas em

As regras para se resolverem expressões nu-

méricas envolvendo números inteiros são as

mesmas das utilizadas para números naturais.

Exemplos:

1) (–6)2 + (+3)3 = +36 +27 = 63

2) (+4)2 – (+3)4 = 16 – 81 = −65

3) (−6 + 2)2 : (−4) + [3 × (−5 – 4) – (−1)3 × (−4 + 12)] == (−4)2 : (−4) + [3 × (−9) – (−1) × (+8)] == (+16) : (−4) + [−27 – (−8)] == (−4) + [−27 + 8] == − 4 − 19 = −23

4) − : {3 + 32 − [ : (43 + 42)] + 5 − 51}== − : {3 + 9 – [400 : (64 + 16)] +5 – 5} == − : { 12 – [400 : 80] + 0}== −7 : { 12 – 5 } == −7 : 7 = −1

EXERCÍCIOS

1) O número inteiro x representa a diferença entreo quadrado do número –2 e o cubo do número–1. Qual é o número x?

2) Em 1678, havia, em uma vila, 96 habitantes.Sabendo que no ano de 2005 a populaçãocresceu à segunda potência, quantos habi-tantes essa vila tem?

3) Qual é o número inteiro x que multiplicado pelocubo do número –10, resulta em –40 000?

4) Resolva as expressões numéricas:

a) × ( 42 – – 23 – 22 + 5) =b) (7 – 4)3 × (–4) + {[(–4)8 : (–4)4 ] – 4 + [(–2)3 : (–14 + 22)]}

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Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros

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UNIDADE VO Conjunto dos Números Racionais

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TEMA 15

O NÚMERO RACIONAL ABSOLUTO

1. O Número Racional Absoluto

Muitos dos problemas de medida não podemser resolvidos utilizando números inteiros. Me-dindo comprimento ou área, massa ou capaci-dade, é mais provável encontrar-se um númerofracionário do que um número inteiro.

Observe que, nas atividades diárias, encon-tram-se idéias de fração, tais como: três quar-tos de estrada pavimentada, garrafa com umlitro e meio de água, plantio de melancia emcinco terços da área de um sítio, uso de ferrode cinco oitavos de polegadas na construçãode uma casa.

Exemplos:

1) O planeta Terra

Figura 1: Idéia de fração – o planeta Terra.

Figura 2: Superfície da Terra (IMENES, p. 7).

2) A Constituição do Brasil.

A Constituição brasileira pode ser emendada,quer dizer modificada, sendo a própria Consti-tuição que estabelece o critério de modificação.

Artigo 60 – A Constituição poderá ser emendadamediante proposta:

I – de um terço, no mínimo, dos membros daCâmara dos Deputados ou do Senado Federal;

II – do presidente da República;III – ...

§ 2.O A proposta será discutida e votada em cadacasa do Congresso Nacional, em dois turnos,considerando-se aprovada se obtiver, em ambas,três quintos dos votos dos respectivos membros.Graficamente, fica fácil entender.

Figura 3a: Idéia de fração – a Constituiçãodo Brasil (IMENES, p.16

Mas aprovar uma emenda à Constituição é muitodifícil. São necessários 3/5 dos votos da Câmarae, também, 3/5 dos votos do Senado.

Figura 3b: Idéia de fração – a Constituiçãodo Brasil (IMENES, p.16)

Portanto, desde os tempos mais remotos, ohomem vem-se deparando com situações queo levaram a criar um novo tipo de número, onúmero fracionário, que indica a parte de umtodo.

As primeiras unidades de medida utilizadas fo-ram baseadas no seu próprio corpo. Tomava ocomprimento de seu pé, ou de seu palmo, oude sua passada, a “grossura” de seu dedo.Outras vezes, usava uma vara como unidade-padrão, ou ainda a quantidade de terra quepodia preparar em um dia com seu arado. Maso processo de medição precisava ser melho-rado porque as rudimentares maneiras eramconfusas. Por exemplo, existiam mãos de dife-rentes tamanhos, e dessa forma, um mesmocomprimento tinha medidas diferentes, dificul-tando a comunicação entre as pessoas. O pro-cesso de medição precisava ser melhorado, eo homem criou medidas-padrão universais.

57

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Page 58: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

1.1 Unidade fracionária

Divida um chocolate em três partes iguais. Ca-da uma dessas partes chama-se um terço (uni-dade fracionária). Tomadas duas partes iguaistem-se dois terços, e as três partes iguais cha-mam-se três terços ou o todo.

Dividindo-se a unidade em duas partes iguais,três partes iguais, cinco partes iguais ou emum número qualquer de partes iguais, e to-mando-se alguma dessas partes, fica-se comuma fração da unidade.

Quando se divide a unidade em partes iguais etoma-se uma ou mais dessas partes, obtém-seuma fração.

De modo geral, escreve-se fração com a se-

guinte notação: , em que a indica a quan-

tidade de partes tomadas, “numerador”, e o

numeral b ( b ≠ 0) indica em quantas partes

foi dividido o todo, “denominador”.

Quando se escreve a fração, representada por

, realizam-se duas ações: a pri-

meira é dividir o todo em partes iguais, sendoque cada uma das partes é a unidade fracioná-ria; e a segunda ação é considerar uma oumais unidades fracionárias.

“A barra foi introduzida por árabes do séculoXII, que copiaram o esquema numerador-so-bre-denominador utilizado na Índia. O matemá-

tico italiano Fibonacci (1175-1250) foi o pri-meiro europeu a usar a barra”. (Revista Escola,p.13, n.o 113).

“A convenção é que a palavra fração se refereao numeral e não ao número. O número cha-ma-se número racional ou número fracionário.Por isso, não há soma de frações e sim de nú-meros racionais, pois não se adicionam nume-rais e sim números. Frações maior que outra,somente se for escrita em tamanho maior. Comfrações não há adições, multiplicações, divi-sões, comparações, porque fração é numeral.Mas podemos simplificar frações.

A palavra racional, para os números, não vemde “raciocínio”, mas de rateio, divisão. Istoocorre justamente porque cada número ra-cional é uma razão entre dois números inteiros

com b ≠ 0”. (ROSA NETO, p.132).

1.2 Leitura

Devem ser considerados três casos na leiturade frações:a) denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9: lê-se o

numerador e, em seguida, na mesma ordem, aspalavras meio(s), terço(s), quarto(s), quinto(s),sexto(s), sétimo(s), oitavo(s) e nono(s);

b) denominadores potências de 10, isto é 10, 100,1000, ...: lê-se o numerador acompanhado daspalavras: décimo(s), centésimo(s), milésimo(s), ...;

c) denominadores acima de dez excluindo os doitem b: lê-se o numerador, em seguida o denomi-nador acrescido da palavra avo(s).

58

UEA – Licenciatura em Matemática

Quadro 1: Leitura das frações

Page 59: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

1.3 Frações de grandezas discretas e fraçõesde grandezas contínuas

Bolos, chocolates e tortas que podem ser divi-didos em fatias de qualquer tamanho e aindacontinuam com característica de bolo, choco-late e torta, são exemplos de grandezas con-tínuas. Porém pessoas, carteiras e animais,são exemplos de grandezas discretas ou des-contínuas (pessoas, carteiras e animais sópodem ser contados um a um).

Tanto nas grandezas contínuas quanto nasgrandezas descontínuas, a idéia de fração éo ato de dividir o todo em partes iguais e con-siderar uma ou mais unidades fracionárias.

Uma fração como dá idéia de quantidade,

pois de um chocolate é maior que a meta-

de do chocolate, mas menor que o chocolatetodo. Essas idéias de quantidade associada àsfrações são chamadas de números racionais.

Nas grandezas descontínuas, essa associaçãosó é possível quando a divisão dessa grandezaformar subconjuntos com o mesmo número deelementos, onde o número dos subconjuntos éigual ao denominador a ele associado.

Exemplo: Em uma prateleira há 15 livros, digaquantos livros correspondem às seguintesfrações, quando possível:

a) dos livros são de matemática.

Solução: Como livros são grandezas descon-tínuas e a divisão destas grandezas formam sub-conjuntos com o mesmo número de elementos,logo a fração é possível, e o número de livros dematemática é 10.

Figura 4a: Divisão de grandezas.

b) dos livros, são de geografia.

Solução: Seja A conjunto de livros

Figura 4b: Divisão de grandezas.

A fração não é possível porque a divisão des-

ta grandeza não forma subconjuntos com mes-

mo número de elementos.

1.4 Classificação de frações

Classificam-se as frações comparando o nu-merador com o denominador.

1) Frações menores e maiores do que 1

59

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Figura 5: Classificação de frações (ESCOLA, 1988, p. 13).

Page 60: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Na fração , o numerador (3) é menor do

que o denominador (4). Ela recebe o nome de fração própria.

A fração própria é um numeral que repre-senta uma parte do objeto tomado comounidade.

Na fração o numerador (4) é maior do

que o denominador (2). Ela recebe o nome de fração imprópria.

A fração imprópria é um numeral que re-presenta uma quantidade maior que a uni-dade.

2) Frações aparentes

As frações em que o numerador é múltiplodo denominador, isto é, o numerador é divi-sível pelo denominador, recebem o nome defrações aparentes.

A fração aparente é um numeral de um

número natural.

3) O numeral misto

As frações impróprias podem ser escritas

sob a forma mista.

Ao transformar fração imprópria para núme-

ro misto, equivale dizer que se extraem os

inteiros da fração, ou seja, verifica-se quan-

tos inteiros cabem na fração.

Exemplo: Com retângulos, formam-se 2

retângulos e sobra de retângulo. Assim:

= 2

60

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 61: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

1.5 Frações equivalentes

Considere as frações , e na figura 6:

.

Figura 6: Frações equivalentes.

A figura 6 mostra o mesmo objeto dividido em

3, 6 e 12 partes.

As partes do inteiro podem ser representadas

pelos numerais , e . Tais frações são

denominadas frações equivalentes e são indi-

cadas por ~ ~ .

As frações equivalentes são, portanto, nume-

rais do mesmo número. Multiplicando ou divi-

dindo os dois termos de uma fração por um

mesmo número natural diferente de zero,

obtém-se outra fração equivalente à primeira.

Esse número só não pode ser o zero.

1.6 Simplificação de frações

Exemplo: Sabe-se que ~ , pois as duas

frações têm o mesmo valor, mas a fração

tem os termos menores. Diz-se, por isso, que a

fração foi simplificada, dividindo-se os dois

termos da fração por 4, que é um divisor co-

mum dos termos da fração.

= =

Portanto, para simplificar uma fração, basta

dividir os seus termos por um divisor comum

aos termos.

1.7 Fração irredutível

Considere a fração .

Observe que, ao efetuarmos a divisão dos ter-mos da fração sucessivamente pelo mesmonúmero natural, obtemos uma fração equiva-lente, cujos termos são números naturais me-nores. Quando a divisão não é mais possível,obtemos uma fração chamada irredutível,cujos termos são números primos entre si.

Exemplo: A fração é irredutível, pois 1 e 4

são primos entre si.

m.d.c (1,4) = 1

= = = =

EXERCÍCIOS

1) Participam de uma conferência 9 brasileiros, 6ingleses e 4 argentinos. Os brasileiros repre-sentam qual fração do total de membros daconferência?

2) Onze dias correspondem a que fração do mêsde outubro?

3) Classifique em própria (P), imprópria (I) e apa-rente (A) as seguintes frações:

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )

4) De quantos (inteiros) você pode tirar?

E o que sobra? Então = ..... .

5) Transforme em frações impróprias os seguin-tes números mistos:

a) 1 b) 2

6) Se as frações e são equivalentes, en-

tão qual o valor de x?

7) Simplifique as frações:

a) b)

61

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Page 62: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

TEMA 16

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAISRELATIVOS. REPRESENTAÇÃO NA RETANUMÉRICA. SUBCONJUNTOS. MÓDULO

OU VALOR ABSOLUTO DE UMNÚMERO RACIONAL

2. Conjunto dos números racionais relativos

Os números racionais absolutos à direita dozero são também chamados números racio-nais positivos. Os números racionais negativossituam-se à esquerda do zero.

O conjunto formado por todos números racio-nais negativos, racionais positivos e pelo zeroé o conjunto dos números racionais relativosou, simplesmente, o conjunto dos números ra-cionais, representado pelo símbolo .

= { ..., −3, ..., , −2,6 , −2, ..., −1, ..., 0, ...,1,

...., ,...}

2.1 Representação dos números racionais rela-tivos na reta numérica

O conjunto dos números racionais é formadopelos números representados por frações:

a) do tipo , com b ≠ 0 e a e b inteiros de mesmo

sinal;

b) do tipo , com b ≠ 0 e a e b inteiros de sinais

contrários.

= { | a ∈ , b ∈ , b ≠ 0}

Portanto pode-se calcular qualquer quocientede inteiro com divisor não-nulo utilizando nú-meros racionais.

Observações:

1) Todo número fracionário é um número racio-nal.

Exemplos: − , e −

2) Todo número inteiro é também um número ra-cional.Exemplos: 3 = , −7 = − e 0 =

3) Todo número decimal exato é um número ra-cional.

Exemplos: 0,5 = , −3,4 = − e

−0,0707 = −

4) Todo número decimal periódico é um númeroracional.

Exemplos: 0,555... = , −0,0707... = − e

0,423423... =

5) Ao escrever um número racional negativo, naforma de fração, pode-se colocar o sinal me-nos na frente do número, ou, então, no nume-rador.

Exemplos: − =

2.2 Subconjuntos de

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UEA – Licenciatura em Matemática

Quadro 2: Subconjuntos dos números racionais.

Page 63: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Analisando o quadro 2, pode-se determinarquais das sentenças a seguir são verdadeiras:

a) 5 ∈ b) −17 ∉ c) − ∈ d) − ∉

e) −0,3 ∈ f) − ∉ g) 0 ∈

As sentenças verdadeiras são a, d, e , g.

Observe que:

a) ∪ = b) ∩ =

c) ∩ = ∅ d) ∪ {0} =

Representação em diagramas

2.3 Módulo ou valor absoluto de um númeroracional

O módulo de um número racional é determina-do da mesma maneira que o módulo de umnúmero inteiro.

Exemplos: O módulo de + é e indica-se:

+ =

O módulo de − é e indica-se: − =

1) Números racionais opostos ou simétricos

Observe, na reta numérica racional, que os

números racionais e − estão à mesma

distância da origem e localizam-se em senti-

dos opostos. Indica-se: − = . Os nú-

meros e − são chamados de números

racionais opostos ou simétricos.

Exemplo: O número 0,5 é o oposto ou simé-trico de −0,5 e −0,5 é o oposto ou simétricode 0,5.

2) Comparação de números racionais

a) Números racionais absolutos

Considere três casos:

1.o caso: Números fracionários cujas fra-ções têm denominadores iguais:

A fração com o maior numerador representa onúmero maior.

Figura 7a: Frações com denominadores iguais.

Perceba que a parte do objeto representada

por é maior do que a parte representada

por . Então > ou <

2.o caso: Números fracionários cujas fra-ções têm numeradores iguais:

A fração com o menor denominador represen-ta o número maior.

Figura 7b: Frações com numeradores iguais

Perceba que a parte do objeto representada

por é maior do que a parte representada

por . Então > ou <

Todo número inteiro é um número racio-nal, mas nem todo número racional é um

número inteiro.

63

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Page 64: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

3.o caso: Números fracionários cujas fra-ções têm numeradores e denominadores di-ferentes.

Como comparar e ?

Procedimento:

! Obter frações equivalentes com o mesmodenominador.

! Comparar as frações de acordo com o 1.o

caso.

Então: > m.m.c. (5,4) = 20

b) Números racionais negativos

Da mesma forma, comparamos números ra-cionais negativos escritos na forma fracionária.

Exemplos:

1) e , conclui-se que > , pois

−1 > −5.

2) e , como os denominadores são di-

ferentes, reduz-se ao mesmo denominador

(m.m.c.) obtendo as frações e .

Conclui-se, portanto, que < , pois

−10 < −9.

De modo geral, dados dois números ra-cionais, o menor deles será aquele queestiver à esquerda do outro na reta nu-merada.

EXERCÍCIOS

1) Compare os números racionais:

a) e b) e

c) e 0 d) e

2) Determinar as sentenças verdadeiras.

a) − < −

b) >

c) − <

d) − =

e) − < −

64

UEA – Licenciatura em Matemática

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TEMA 17

OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

2.4 Operações com números racionais

As propriedades estruturais das operações

definidas entre números inteiros são válidas

quando se realizam operações com números

racionais.

1) Adição e subtração

Ensina-se a efetuar as operações de adição, sub-

tração por meio de diagramas que representam a

unidade e as unidades fracionárias. O uso das re-

gras práticas só é conveniente ser ensinado após

entender por que e como se opera.

Regra prática para adicionar e subtrair dois

números racionais

1.o caso: A adição ou a subtração de dois nú-

meros racionais representados por frações de

mesmo denominador. A figura 7 mostra que: se

adicionarmos a , obtém-se .

+ = , porque a quantidade pela qual o

todo foi dividido é a mesma.

Figura 8: Adição de frações com mesmo denominador.

Para somar ou subtrair frações de mesmo deno-

minador, somam-se ou subtraem-se os numera-

dores e repete-se o denominador.

2.o caso: Adição ou subtração de números ra-

cionais representados por frações de deno-

minadores diferentes.

Redução de frações ao mesmo denominador

comum:

Figura 9: Redução de frações ao mesmo denominador.

Reduzindo as frações ao mesmo denomi-

nador (calculando o m.m.c.), e adicionando

algebricamente os numeradores, tem-se:

Exemplos:

Propriedades da adição

As propriedades da adição em são: fecha-

mento, comutativa, associativa, elemento neutro

e elemento oposto (cancelamento).

Propriedades da subtração:

A subtração em não possui as propriedades

comutativa, associativa, elemento neutro e ele-

mento oposto. Possui apenas a propriedade do

fechamento.

Propriedade do fechamento:

A subtração de dois números racionais resulta

em um número racional. Assim, se a ∈ e b ∈ ,

então (a − b) ∈ .

Exemplo:

(− ) − (− ) = − + = ∈ ,

em que − ∈ e − ∈

65

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Page 66: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

EXERCÍCIOS

1) Resolva as adições utilizando apenas desenho.

2) Agora, represente as adições do exercício 1utilizando frações.

a) .......................................

b) .......................................

3) Resolva as subtrações usando apenas dese-nhos.

4) Agora, represente as subtrações do exercício 3utilizando frações.

a) .......................................

b) .......................................

5) Efetue:

a) (− ) + (+ )

b) (+ ) + (+ )

c) (−4) − (+ )

6) Maria colocou em um jarro 3/5 de litro de leite.Depois colocou mais 1/5 de litro de leite. Re-presente graficamente cada uma das frações everifique quantos litros de leite possui o jarro?

7) Suponha que Maria retirou 2/5 de litro de leite.Quantos litros restaram no jarro? Representegraficamente.

TEMA 18

OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

2) Multiplicação

A expressão “um terço da metade”, pode ser re-presentada por

Figura 10: Multiplicação de frações

Então, de = , a operação entre frações

que traduz esse resultado é a multiplicação

× =

O produto de duas frações é a fração em que: onumerador é o produto dos numeradores dasfrações dadas; e o denominador é o produto dosdenominadores das frações dadas.

Simplificação pelo cancelamento

Seja a multiplicação:

ou

A operação multiplicação em pode ser realiza-da da seguinte forma:

a) Se os fatores tiverem sinais iguais, o produtofica com sinal “+”; se os fatores tiverem sinaiscontrários, o produto fica com sinal “−” .

b) Multiplicam-se os numeradores das frações,obtendo o numerador do produto.

c) Multiplicam-se os denominadores da fração,obtendo o denominador do produto.

d) Simplifica-se o resultado quando possível.

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

66

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 67: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Propriedades da multiplicação

Assim como em , a multiplicação em possui

as propriedades: fechamento, comutativa, asso-

ciativa, elemento neutro, distributiva da multipli-

cação em relação à adição, acrescentando a pro-

priedade do elemento inverso:

Para todo racional x ≠ 0, existe um único racio-

nal y tal que x . y = 1. Tal y denomina-se in-

verso de x, e indica-se por x −1 ou . Assim,

x . x −1 = 1

Exemplo: 4 −1 ou é o inverso de 4, e 4 é o

inverso de 4 −1 ou

Neste sentido, chamamos de frações inversas

duas frações cujo produto é igual a 1.

Exemplos:

O inverso de é , pois × = 1.

O inverso de é , pois × = 1.

3) Divisão

Observe as seguintes situações:

a) Se Marta quer dividir entre dois irmãos um

quarto de um chocolate, que parte do choco-

late ganhará cada um?

Figura 11a: Divisão de frações.

b) Quero distribuir oitavos de um bolo entre algu-

mas crianças. Tendo-se apenas do bolo,

quantas crianças poderão receber?

Figura 11b: Divisão de frações.

Portanto, 6 crianças poderão receber um pe-

daço do bolo.

Para efetuar a divisão, podemos multiplicar aprimeira fração pelo inverso multiplicativo dasegunda.

Exemplo:

Observe a seguinte divisão em :

O quociente entre dois números racionais tam-bém pode vir indicado por uma “fração” emque o numerador e o denominador sãofrações.

Exemplos:

:

EXERCÍCIOS

1) Paulo e seus irmãos comeram em um dia

de um queijo e, no dia seguinte, comeram

. Que parte do queijo os irmãos comeram?

Que parte falta comer?

2) Mostrar por meio de figuras que:

a) : 2 =

b) 2 : = 5

3) Calcule: + : 2 + 5 ×

4) Um barco navegou de um percurso, o que

corresponde a 1 200 metros. Qual a distânciaa ser percorrida por esse barco?

5) Sueli apontou dos 24 lápis de cor da caixa.

Quantos lápis Sueli apontou?

67

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Page 68: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

TEMA 19

OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃOE RADICIAÇÃO

4) Potenciação

Considerando os estudos anteriores de poten-

ciação, vamos calcular agora a potência que te-

nha como base um número racional (positivo ou

negativo) e como expoente um número inteiro.

Toda potência de número racional diferente de

zero com expoente 0 é igual a 1.

Exemplos:

a) a0 = 1 b) ( )0 = 1 c) (− )0 = 1

Toda potência de número racional com ex-

poente 1 é igual à própria base.

Exemplos:

a) a1 = a b) (− )1 = − c) ( )1 =

Toda potência de número racional com ex-

poente maior que 1 é igual a um produto em

que o número de fatores é igual ao expoente

da potência e todos os fatores são iguais à

base.

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

Toda potência de um número racional, diferen-

te de zero, com expoente inteiro negativo é

igual ao inverso do número dado elevado ao

mesmo expoente, porém, positivo.

Exemplos:

a)

b)

c)

Propriedades da potenciação

1.a – Multiplicação de potência de mesma base

De modo geral, para qualquer base a racional,a ≠ 0, e para quaisquer expoentes m e n intei-ros, vale a igualdade: am × an = a m + n

Exemplos:

a) =

b) =

2.a – Divisão de potência de mesma base

De modo geral, para qualquer base a racional,a ≠ 0, e para quaisquer expoentes m e n intei-ros, vale a igualdade: am : an = a m − n

Exemplos:

a)

b)

3.a – Potência de uma potência

De modo geral, para qualquer base a ≠ 0, epara quaisquer expoentes m e n inteiros, valea igualdade: (am)n = a m . n

Exemplos:

a)

b)

4) Radiciação

Um número racional quadrado perfeito é o qua-drado de outro número racional.

Exemplo: Os números racionais cujo quadrado é

são:

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UEA – Licenciatura em Matemática

Page 69: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

, pois ( )2 = × = e

− , pois (− )2 = (− ) × (− ) =

Como, em Matemática, uma operação (como aradiciação) não pode apresentar dois resultados

diferentes, conclui-se que o número positivo é

denominado raiz quadrada aritmética de . E

indica-se por =

É claro que existe o oposto do número que é

− = − .

EXERCÍCIOS

1) Calcule as potências

a) (− )0 b) ( )1 c) (− )− 2 d) ( )− 3

2) Aplique as propriedades das potências ereduza a uma só potência.

a) (− )2 : (− )5 b)

c) ( )5 : ( )11 d) ( )4 × ( )6 × ( )−5

TEMA 20

EXPRESSÕES NUMÉRICAS.

RESOLUÇÃO DE PROBEMAS

2.5 Expressões Numéricas

Observações:

1) Toda expressão numérica pode ser repre-

sentada por um único numeral chamado va-

lor numérico da expressão.

2) As operações devem ser efetuadas na se-

guinte ordem:

a) Potenciação e radiciação.

b) Multiplicações e divisões (na ordem em que

aparecem).

c) Adições e subtrações (na ordem em que apa-

recem).

3) Quando a expressão tiver sinais de associa-

ção, estes devem ser eliminados na seguin-

te ordem: primeiro resolvem-se os parênte-

ses, depois os colchetes e, finalmente, as

chaves.

Exemplo: Calcular o valor da expressão:

“efetuam-se as

potenciações e radiciações”:

“eliminam-se os pa-

rênteses”.

“efetua-se a potenciação”.

“eliminam-se os colchetes”.

“simplificação e multiplicação de

fração”.

. “efetua-se a subtração”.

69

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Page 70: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

2.6 Resolução de problemas envolvendo fra-ções:

Você se lembra das quatro etapas essenciaissugeridas pelo matemático Polya?

A seguir, serão apresentadas situações que se-rão analisadas utilizando a metodologia su-gerida por Polya.

Exemplos:

1) Alice e seu pai estão preenchendo juntos um

álbum de figurinhas. Alice já colou das

figurinhas, e seu pai colou das figurinhas.

Sabendo-se que os dois já colaram 99 figu-rinhas, quantas figurinhas tem o álbum com-pleto?

Figura 12: Adição de frações.Fonte: www.victorbahia.eblogger.terra.com.br

1.a – Etapa: Compreender o problema.

Dados conhecidos: Alice colou das figu-

rinhas do álbum.

O pai dela colou das figurinhas do álbum.

Alice e o pai colaram 99 figurinhas.

Pede-se: a quantidade de figurinhas que temo álbum completo.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de juntar as figurinhas. Portanto, a ope-ração a ser utilizada é a adição. Deve-se cal-cular:

a) A fração de figurinhas que os dois, juntos,colaram no álbum.

b) Quantas figurinhas correspondem à fraçãounitária.

c) O total de figurinhas do álbum.

3.a etapa – Executar o plano.

a) Para saber a fração das figurinhas que os doiscolaram no álbum, adicionam-se as quanti-dades já coladas.

+ = + = → fração das figu-

rinhas que os dois colaram juntos no álbum.

b) Para saber quantas figurinhas correspondem àfração unitária:

c) Para calcular quantas figurinhas tem o álbumcompleto:

4.a etapa – Executar o plano.

× 108 + 108 = 18 + 81 = 99. Logo, o ál-

bum completo tem 108 figurinhas.

2) Uma criança percorre os da distância en-

tre a sua casa e a escola. Ainda faltam 420metros. Qual a distância da casa à escola?

Figura 13: Idéia de subtração.

4.a etapaComprovar os

resultados

3.a etapaExecutar o

plano

2.a etapaTraçar um

plano

1.a etapaCompreendero problema

70

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 71: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

1.a etapa – Compreender o problema.

Dados: distância percorrida = da distân-

cia total.

Distância que falta = 420m.

Pede-se: a distância da casa à escola.

2.a etapa – Traçar um plano.

Idéia de completar. Logo, a operação a ser

utilizada é a subtração. Deve-se calcular:

a) A fração que representa o quanto falta.

b) Quantos metros correspondem à fração uni-

tária.

c) A distância total.

3.a etapa – Executar o plano.

a)

b)

c)

4.a etapa – Comprovar os resultados.

2 × 140 + 420 = 700m

Logo, a distância da casa à escola é de 700

metros

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor das expressões:

a)

b)

c)

2) Para pintar de um quarto, utilizei 25 litros de

tinta.

a) Qual é a fração do quarto que resta pintar?

b) Quantos litros de tinta serão necessários parapintar a parte que falta?

c) Quantos litros de tinta serão necessários parapintar o quarto todo?

d) Se cada lata contém 2 litros de tinta, de quan-

tas latas vou precisar para pintar o quarto todo?

Figura 14a: Operações entre frações.

3) Um atacadista possui 2 600 sacas de arroz.

Vendeu ao primeiro freguês destas sacas.

Do que sobrou, vendeu ao segundo fre-

guês, vendeu do novo resto. Quantas sa-

cas sobraram?

Figura 14b: Operações entre frações.Fonte: www.imprensa.com.ni

71

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Page 72: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

4) Três irmãos receberam uma herança. Ao mais

velho coube dessa herança. Ao mais jovem

couberam do resto, ficando R$120.000,00

para o terceiro irmão. Qual é o valor total daherança?

TEMA 21

REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROSFRACIONÁRIOS NA FORMA DECIMAL.OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

3. Representação de números fracionários naforma decimal

Na frase “O governo conseguiu do FMI um em-préstimo de 10,4 bilhões de dólares”, verifica-se que cada vez mais se faz necessário conhe-cer os números racionais escritos na forma denúmeros decimais. Estes estão sujeitos a umsistema posicional de valores muito parecidoscom os dos números naturais, o que vem afacilitar a leitura, a escrita, a comparação e asoperações com esses números.

Figura 15: Reprentação de números fracionários na forma decimal.

Observe que a quantidade de zeros no denom-inador é igual à quantidade de casas decimais.

Figura 16: Reprentação de números fracionários na forma decimal.

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UEA – Licenciatura em Matemática

Page 73: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Cada placa representa = 0,1 da caixa.

Cada cubo representa da

placa.

Como são 10 placas que formam a caixa, en-tão cada cubo representa

da caixa.

Às vezes, depara-se com frases semelhantes aessa: “16% das crianças abandonaram a esco-la”. Mas o que vem a ser 16% (lê-se: dezesseispor cento).

Note que 16% = = 0,16

Portanto, se, por exemplo, forem consideradas200 crianças equivale dizer que 200 × 0,16 = 32crianças abandonaram a escola.

Da mesma maneira que 10 unidades = 1 deze-na, tem-se que:

10 décimos = 1 unidade, 10 centésimos = 1 dé-cimo e 10 milésimos = 1 centésimo.

Se o número é 0,3, pode-se escrever 0,30 ouainda 0,300 e se o número for igual a 4 pode-mos escrever 4,0 ou 4,00 ou ainda 4,000.

Assim, no sistema posicional, torna-se fácil aleitura (quadro 2):

A vírgula posiciona-se logo após a unidadesimples.

3.1 Comparação entre números decimais

Maria gastou R$47,50 e João R$47,25. Quemgastou mais? Para saber quem gastou mais, énecessário comparar dois números decimais.Como fazê-lo?

Para comparar os números decimais, pode-setransformar em números fracionários, ou pro-cede-se da seguinte maneira:

1.o caso: A parte inteira é diferente.

Neste caso basta comparar a parte inteira.

O número que tiver a maior parte inteira serámaior.

Exemplo: Comparar 3,45 e 34,5. Neste caso,como a parte inteira 3 é menor que 34, entãoconclui-se que 3,45 é menor que 34,5 e repre-senta-se 3,45 < 34,5.

2.o caso: A parte inteira é igual.

Exemplo: Comparar 2,047 e 2,47.

Neste caso deve-se:

! Escrever os números decimais com igual númerode casas (2,047 e 2,470).

! Eliminar a vírgula (2,047 e 2,470).

! Obtêm-se, assim, os números naturais (2047 e2470).

! comparar os números naturais (2047 < 2470).

Conclui-se que 2,047 é menor que 2,470.

De modo geral: Dado dois números racionaisquaisquer, o menor deles será aquele que es-tiver à esquerda do outro na reta numerada.

73

Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Quadro 2: Leitura de números fracionários na forma decimal.

Page 74: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

3.2 Operações com números decimais

1) Adição

Observe a figura 17 em que cada quadradinho

vale 0,1.

Figura 17: Adição com números decimais.

2) Subtração

Na figura 18, é efetuada a subtração entre 0,8 e

0,2.

Figura 18: Subtração entre números decimais.

Para adicionar ou subtrair os números decimais,

utiliza-se a regra prática:

1) iguala-se o número de casas decimais das

parcelas ou dos termos da subtração, acres-

centando zeros;

2) dispõem-se os números usando o sistema po-

sicional, isto é, vírgula embaixo de vírgula;

3) adicionam-se ou subtraem-se os números co-

mo se fossem números naturais, colocando a

vírgula no resultado alinhada com as parcelas.

Exemplo: Calcular:

a) 45,9 + 3,53 + 0,065 b) 35,8 − 4,51

Quadro 3: Adição e subtração com números

decimais no quadro valor lugar.

Logo: 45,9 + 3,53 + 0,065 = 49,495

e 35,8 − 4,51 = 31,29

EXERCÍCIOS

1) Faça a leitura dos seguintes números decimais:

a) 2,45 b) 0,004 c) 46,07

2) Complete com um dos símbolos: > (maior),< (menor) ou = (igual):

a) 7,4........7,4b) 30,94........30,4c) 47,5........5740000

3) Calcule:

a) 8,07 + 12,9 b) 35,15 − 14,984

4) Papai comeu 0,2 do bolo, mamãe comeu 0,3 eeu comi 0,4. Qual a parte que sobrou do bolo?

74

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 75: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

TEMA 22

OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO.SISTEMA MONETÁRIO NACIONAL

3) Multiplicação

A largura de uma estrada é de 12,35m. O gover-no deseja ampliá-la duplicando a largura. Qualserá a nova largura?

É do nosso conhecimento que duplicar é multipli-car por 2 e escreve-se 12,35m × 2. Sabe-se ain-da que multiplicar por 2 é somar 2 parcelas de12,35m. Portanto, tem-se:

Quadro 4: Multiplicação de númerosdecimais no quadro valor lugar.

Portanto pode-se efetuar 12,35 × 2. Multiplicando1235 por 2, resulta em 2470; colocar a vírgulacontando 2 casas decimais.

Para efetuar a multiplicação ou transformar os nú-meros em fração, calcula-se o produto ou pro-cede-se da seguinte maneira:

1) multiplicam-se os números como se fossemnúmeros naturais;

2) o produto terá tantas casas decimais quantoforem a soma do número de casas decimaisdos fatores.

Exemplos:

a)

b)

Como 42,030 = 42,03; então: escreve-se 42,03.

Quando se multiplica um número decimal por 10,100, 1000,..., desloca-se a vírgula para a direi-ta, tantas casas quantas forem a quantidade dezeros.

3) Divisão

Observe as seguintes situações:

a) Tenho 60 metros de fio para pipa para dividirentre 8 crianças. Quantos metros cada criançareceberá?

Solução: Se cada criança receber 7 metros,sobrarão 4 metros, e se cada criança receber8 metros faltarão 4 metros. O que devo fazer?

Colocando na forma de fração, tem-se:

= = = 7

Em fração, cada criança receberá sete metrose meio. Mas, como fazer a divisão sem trans-formar em fração?

Veja os seguintes passos:

Exemplo: Recebi R$274,80 de devolução doImposto de Renda. Quero dividir essa quantiaentre 6 sobrinhos. Quanto devo dar a cada um?

Quando a divisão em que um ou ambos os ter-mos da divisão for número decimal, basta multi-plicar o dividendo e o divisor por potência debase dez, isto é, tornando-os um número natural(igualando número de casas decimais). Essa pro-priedade apóia-se na propriedade: “multiplican-do o dividendo e o divisor por um mesmo númerodiferente de zero, o quociente não se altera e oresto fica multiplicado por este número”.

Exemplo: Calcular 274,80 : 6

274,80 : 6 = 2748 : 60 = 45,80

× 10

Dividindo 40 por 8, ob-tém-se um quociente 5 eresto zero.

Acrescente 0 (zero) nacasa dos décimos, e vír-gula após o quociente 7para continuar.

Dispõe-se na forma de divisão,em que o dividendo é 60 edivisor é 8.

Divide-se 60 por 8. O quocien-te será 7 e o resto 4.

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Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais

Page 76: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

4. Sistema Monetário Nacional

Observe os números que aparecem no anún-cio de jornal do preço do carro.

Figura 19: Números na forma decimal.

Atualmente, o nosso sistema monetário é ba-seado no real, que é representado por R$. Asunidades monetárias são divididas em centa-vos. Um centavo do real é um centésimo doreal.

Tudo que se compra no Brasil envolve o real.Exemplo: a passagem de ônibus custa R$1,80(um real e oitenta centavos) em Manaus; o litrodo combustível custa R$2,75 (dois reais e se-tenta e cinco centavos); um galão de 20 litrosde água custa R$3,50 (três reais e cinqüentacentavos). Você deve ter observado que essesistema envolve duas partes: a parte inteira e aparte decimal, que é chamada de centavos. Abase de cálculo desse sistema é o mesmo danumeração decimal.

Figura 20: As moedas do realFonte: http://www.bcb.gov.br

Exemplo: Na sexta-feira, fui às compras e gas-tei R$25,40 em uma calça, R$2,99 em umameia, R$13,70 em um cinto. Dei uma nota deR$50,00. Quanto recebi de troco?

Solução: Total gasto

R$25,40 + R$2,99 + R$13,70 = R$42,09.

Troco recebido: R$50,00 − R$42,09 = R$0,91.

EXERCÍCIOS

1) Efetue a multiplicação e a divisão sem transfor-mar em fração: a) 25,8 × 15b) 0,125 × 3,8 c) 56,4 × 34,7d) 65 : 25 e) 451 : 8,8f) 171,45 : 25,4

2) Meu extrato bancário apresentou:

01/10/02 saldo......R$1.345,85

02/10/02 depósito... R$255,97

02/10/02 cheque compensado......R$759,64

Calcule o saldo do dia 02/10/02.

3) Num posto de gasolina, Renato gastouR$89,10. Mas só possuía notas de 50, 10 e 5reais e moedas de 1 real e de 10 centavos.Como Renato poderá pagar se não deve rece-ber troco?a) 1 nota de R$10,00, 1 nota de R$20,00, 1 nota de

R$50,00 e 1 nota de R$5,00, 4 notas de R$1,00 e1 moeda de R$0,10.

b) 1 nota de R$50,00, 3 notas de R$10,00, 1 nota deR$5,00, 4 moedas de R$1,00 e 1 moeda deR$0,10.

c) 8 notas de R$10,00, 1 nota de R$5,00, 3 notas deR$1,00 e 1 moeda de R$0,10.

d) 1 nota de R$50,00, 1 nota de R$10,00, 4 notas deR$5,00, 8 notas de R$1,00 e 1 moeda de R$0,10.

4) Maria comprou uma televisão de R$450,99.Deu 1/3 deste valor de entrada e vai pagar orestante em 8 prestações iguais. Então qual ovalor da entrada com 2 casas decimais?

5) Uma pizzaria utiliza 0,3 quilos para fazer umapizza. Quantos quilos de mussarella serãonecessários para fazer 3 pizzas?

6) Uma loja vende uma geladeira por R$1.498,00em até 8 parcelas sem juros. Calcule o valor decada prestação da geladeira que foi compradaem 7 vezes iguais.

7) Comprei 8 retalhos de tecidos por R$5,44 ca-da. Quanto paguei ao todo?

8) Dividir 0,8 do bolo para 5 crianças. Qual a parteque cabe a cada criança?

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UEA – Licenciatura em Matemática

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UNIDADE VIGeometria das formas e das medidas

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TEMA 23

A GEOMETRIA E EUCLIDES. CONCEITOSPRIMITIVOS. SEMI-RETA. SEGMENTO DE

RETA. NOÇÕES DE MEDIDA

1. A Geometria e Euclides

A palavra geometria origina-se do gregogeo=terra e metria=medir. Segundo o historia-dor grego Heródoto (séc. V a.C.), atribui-se aosegípcios a origem da geometria, pois, naquelaépoca, o imposto que os proprietários de terrapagavam eram diretamente proporcional àárea de cada lote. Muitas vezes, com as cheiasdo rio Nilo, parte das terras dos agricultoresdesapareciam, e os cobradores tinham querecalcular cada área para que a cobrançafosse justa. Além disso, no comércio era ne-cessário saber o volume de cada depósito degrão.

Muitos matemáticos contribuíram valiosamentepara a geometria. Dentre eles, pode-se desta-car Euclides (séc. III a.C.). Nasceu na Síria eestudou em Atenas com os sucessores dePlatão. Foi um dos primeiros geômetras e éreconhecido como um dos matemáticos maisimportantes da Grécia Clássica e de todos ostempos. Alcançou grande prestígio pela formabrilhante como ensinava geometria e álgebra,conseguindo atrair muitos discípulos para assuas lições.

Figura 1: Euclides explica a inscrição de um hexágono em um círculo.

Embora se tenha perdido mais da metade dosseus livros, ainda restou a sua valiosa con-tribuição Elementos, constituído de 13 volu-mes publicados por volta de 300 a.C., onde secontempla a aritmética, a geometria e a álge-bra. Possui mais de 1500 edições.

Euclides apresentou a geometria por meio deaxiomas ou postulados, admitindo como primi-tivos os conceitos de ponto, reta e plano. Axio-ma ou postulado é uma proposição que nãoexige demonstração. Conceitos primitivos sãoaqueles que se admitem sem definição, tem-seapenas um conhecimento intuitivo decorrenteda experiência e da observação. Definição éuma enunciação de qualidades características.

2. Conceitos primitivos: ponto, reta e plano

No dia-a-dia, são encontrados diversos exem-plos desses conceitos primitivos.

Exemplos:

a) Os buracos existentes nos botões nos dá a idéiade ponto.

Figura 2: Idéia de ponto.

b) Uma estrada nos dá idéia de reta.

A reta não tem começo, nem fim, nem espessura.É representada por letras minúsculas do nossoalfabeto.

Figura 3: Idéia de reta (PATILLA, 1995, p.6).

c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéia deplano.

Representação

é representado porletra minúscula doalfabeto grego.

Figura 4: Idéia de plano.

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Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Page 80: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

3. Semi-reta

Um ponto qualquer, A, de uma reta r, divide es-sa reta em duas partes chamadas semi-retas.

Figura 5: Semi-reta.

– Semi-reta de origem A que contém B.

– Semi-reta de origem A que contém C.

4. Segmento de reta

Para se definir segmento de reta, é preciso en-tender o conceito primitivo “estar entre”.

Entre dois pontos distintos, A e B, sempre exis-te um ponto C (Figura 6).

Figura 6: Noção “estar entre”.

O conjunto formado pelos pontos A e B e portodos os pontos da reta entre A e B é chama-do segmento de reta.

Na figura 6, existem os segmentos , e. Os pontos A e B são chamados extremos

do segmento .

Observe na figura 7 os segmentos , e

Figura 7: Segmentos consecutivos e colineares.

Note que:

e possuem apenas um extremo em co-mum – segmentos consecutivos.

e não possuem extremo em comum –segmentos não-consecutivos.

e estão contidos em uma mesma reta –segmentos colineares.

e não estão contidos em uma mesmareta – segmentos não-colineares.

5. Noções de medida

É comum as pessoas depararem-se com assituações abaixo:

a) Qual é a extensão do rio Amazonas?

b) Quantos quilos tem um saco com farinha?c) Quais são as dimensões da geladeira?

Para responder a essas perguntas, é necessá-rio estudar a noção de medida sob os aspec-tos unidimensional (medida de segmento dereta, o comprimento), bidimensional (figurasplanas, a área) e tridimensional (figuras sóli-das, o volume).

Medida é um valor numérico que se obtém aocomparar uma grandeza com a unidade demedida previamente escolhida.

Respondendo a alguns itens da pergunta aci-ma, obtêm-se exemplos de medidas:

O rio Amazonas tem 6800km de extensão.

O saco de farinha tem 50kg.

Unidade de medida é uma grandeza escolhi-da como referência. Medir o comprimento doteclado tomado como unidade um lápis de me-dida “u” (figura 8), por exemplo, é determinarquantas vezes cabe “u” no comprimento doteclado. Pode ser observada que coube 2,5vezes de “u” nesse comprimento.

Figura 8: Medindo o teclado.

Durante muito tempo, os homens usaram o pé(figura 9), a mão, o braço, o cúbito, o palmocomo unidade para medir comprimento.

Figura 9: Unidades de medidas antigas (SILVEIRA, 2000, p. 247)

Algumas como a milha, légua, jarda e polega-da (figura 9), apesar de não pertencerem aosistema métrico decimal, são usadas até hoje.Usa-se polegada para medir o diâmetro dotubo, a tela do monitor, a TV (figura 10); e amilha é usada em navegação marítima.

80

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 81: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Figura 10: Aplicação de polegadas.

Porém este tipo de medida apresentava umadiferença muito grande entre os resultadosobtidos. Para acabar com essa diferença, oscientistas franceses, em 1795, adotaram umsistema universal de medidas denominado sis-tema métrico decimal, que tem como unidadepadrão o metro linear.

EXERCÍCIOS

1) Qual ente geométrico nos sugere:

a) a capa de um livro?b) uma corda esticada?c) um furo de agulha na roupa?

2) Analisando a figura:

Classifique as sentenças em falso (F) ou ver-dadeiro (V):

a) ( ) e são consecutivos.b) ( ) e são colineares.c) ( ) e são consecutivos.d) ( ) e são colineares.

TEMA 24

UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO

6. Unidades de medida de comprimento

As unidades de medida de comprimento refe-

rem-se ao aspecto unidimensional da geome-

tria.

Adotou-se o metro linear como sendo o com-

primento equivalente à fração da dis-

tância do Pólo Norte até a linha do Equador,

medida sobre o meridiano (figura 11).

Figura 11: Metro linear (SILVEIRA, p. 246).

Existem muitos instrumentos para medir com-

primentos como fita métrica, metro de carpin-

teiro, trena, régua de polegadas, etc.

O sistema métrico decimal é um conjunto de

unidades que deriva do metro e que aumenta

ou diminui segundo potências de base dez.

A unidade fundamental para medir comprimen-

tos é o metro, que se indica por “m”.

Para medir grandes extensões, como o com-

primento de uma rua, ou de uma estrada, ou

de um rio, utiliza-se como unidade um dos

múltiplos do metro, e para medir pequenas ex-

tensões, como a espessura de uma tábua, ou

a largura de uma porta, ou o tamanho de uma

régua, os submúltiplos são mais adequados.

Os múltiplos e submúltiplos do metro são cha-

mados de unidades secundárias de compri-

mento, e sua variação é de potências de base

dez, conforme o quadro 1.

81

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Quadro 1: Múltiplos e submúltiplos do metro.

Page 82: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

As medidas nem sempre representam um nú-

mero natural. Ele pode ser escrito na forma

decimal ou fracionária.

6.1 Leitura de comprimento

Para fazer a leitura de medidas:

1) escrevem-se os algarismos no quadro de valor e

lugar, localizando o último algarismo da parte

inteira sob a sua respectiva unidade;

2) completam-se os demais algarismos nas suas

respectivas casas;

3) lê-se a parte inteira, como se lê um número natu-

ral, acompanhada da unidade em que se localiza

o último algarismo, e da mesma maneira faz-se

com a parte decimal.

Observação: Quando a parte inteira for zero,

lê-se apenas a parte decimal.

Quadro 2: Leitura de comprimento.

6.2 Mudanças de unidade de comprimento

Foi visto no quadro 1 que 100m equivale a

1 hm, então, pode-se escrever 1hm ou 100m.

Para fazer a transformação de unidades, uti-

liza-se o processo prático de transformação de

unidades de comprimento.

Para fazer a leitura de medidas:

1) Para passar de uma unidade a outra imediata-

mente inferior, multiplica-se por 10, ou seja, des-

loca-se a vírgula um algarismo para a direita.

Exemplo: 3,48 dm = (3,48 x 10) cm = 34,8 cm

2) Para passar de uma unidade a outra imediata-

mente superior, divide-se por 10, ou seja, deslo-

ca-se a vírgula um algarismo para a esquerda.

Exemplo: 86,5 dm = (86,5 : 10) m = 8,65 m

3) Para passar de uma unidade a qualquer outra

unidade, aplicam-se sucessivas vezes um dos

casos anteriores.

Exemplo: 13,4 cm = (13,4 : 10) dm = (1,34 : 10) m

= 0,134 m

Quadro 3: Transformação de unidades.

EXERCÍCIOS

1) Faça a leitura das seguintes medidas.

a) 8,7km c) 27,8cmb) 0,35m d) 0,08dm

2) Expresse na unidade indicada:

a) 25m em hm.b) 36km em n.c) 68,2dm em hm.d) 73,5hm em dm.

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UEA – Licenciatura em Matemática

Page 83: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

TEMA 25

CURVAS ABERTAS E FECHADAS. REGIÕESCONVEXAS. ÂNGULO. POLÍGONOS

7. Curvas Abertas e Fechadas

Ao nosso redor, podem ser encontrados diver-sos exemplos de curvas abertas e fechadas.

No nosso alfabeto e no nosso sistema denumeração, por exemplo, várias letras e núme-ros são escritos por meio de curvas. As estra-das não-retilíneas também nos dão a idéia decurvas.

As curvas abertas ou fechadas podem aindaser classificadas em simples ou não-simples.As curvas simples caracterizam-se por não secruzarem, enquanto que as curvas não-sim-ples caracterizam-se por se cruzarem, confor-me mostra o quadro 4.

Quadro 4: Curvas abertas e curvas fechadas.

Quando uma curva é formada apenas por seg-mentos de reta consecutivos e não-colineares,ela é chamada de linha poligonal.

Exemplo:

8. Regiões convexas

Observe a figura 12:

Figura 12: Regiões convexas (IMENES, p. 163).

Note que a pizza divide a prateleira (o plano)em duas regiões sem pontos comuns: a re-gião interior e a região exterior. E mais, exis-tem pontos na região interior, como A e B, talque o segmento determinado por esses pon-tos não está contido na região. Nesse caso,diz-se que a região (da pizza) é côncava. Se osegmento que une dois pontos quaisquer daregião interior está contido nessa região, comoo diz-se que a região é convexa.

Exemplos:

Figura 13: Conjuntos convexos e não-convexos.

Agora que você já viu os conceitos primitivos eos segmentos, faz-se necessário medir a incli-nação que um segmento faz em relação a ou-tro segmento.

9. Ângulo

Existem diversos objetos, construções quepossuem ou não uma certa inclinação, comomostra as figuras 14 e 15.

Figura 14: Teatro Amazonas.

Figura 15: Torre de Pisa, Itália.

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Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Page 84: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Os pilares verticais que sustentam o Teatro, oarco de sua fachada, a inclinação da torre dePisa em relação ao solo dão-nos idéia de ân-gulo.

Figura 16: Ângulo.

A reunião de duas semi-retas distintas de mes-ma origem chama-se ângulo.

Comparando com os exemplos do teatro e datorre de Pisa têm-se as seguintes represen-tações gráficas de ângulos:

Figura 17: Ângulos do Teatro.

Figura 18: Ângulos da torre de Pisa.

Um transferidor é um instrumento utilizado pa-ra medir ângulos (figura 19). Ele é dividido em180 partes de medidas iguais, e cada uma des-sas partes é chamada grau.

Figura 19: Transferidor (BIANCHIMI, 1995, p. 158).

Figura 20: Grau (GIOVANI, 2002, p. 177).

De acordo com a figura 19, tem-se:

a) medida de AÔB = 20o. Indica-se: m(AÔB) = 20o. O

ângulo cuja medida é menor que 90o é chamado

ângulo agudo;

b) m(AÔE) = 140o. O ângulo cuja medida é maior

que 90o é chamado ângulo obtuso;

c) m(AÔF) = 180o (medida do ângulo referente à ar-

cada superior do Teatro). O ângulo cuja medida é

igual a 180o é chamado ângulo raso;

d) m(AÔD) = 90o (medida do ângulo referente aos

pilares do Teatro). O ângulo cuja medida é 90o é

chamado ângulo reto;

e) m(AÔA) = 0o. O ângulo cuja medida é igual a 0o é

chamado de ângulo nulo.

9.1 Submúltiplos do grau

Os submúltiplos do grau, que estão como as

unidades de tempo numa relação sexagesimal

(isto é, de 60 em 60), são o minuto-ângulo (’)

ou somente minuto, e o segundo-ângulo (”) ou

somente segundo.

Então: 1 grau é igual a 60 minutos: 1o = 60’

1 minuto é igual a 60 segundos: 1’ = 60”

Como: 1o = 60’ e 1’ = 60”, temos que:

1o = 60. 60” = 3 600”

Para transformar graus em minutos, basta mul-

tiplicar por 60; e para transformar graus em

segundos, basta multiplicar por 3600.

Inversamente, para transformar minutos em

graus basta dividir por 60; e para transformar

segundos, em graus basta dividir por 3600.

1’ = do grau; 1” = do minuto;

1” = do grau.

Exemplos:

1)Transformar:

a) 3o em minutos

Como: 3o = 3 × 60’ = 180’

b) 84” em minutos

84

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 85: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

9.2 Ângulos congruentes

Considere os ângulos A C e DÊF.

Observe que possuem medidas iguais, isto é:

m(A C) = 30o e m(DÊF) = 30o.

Portanto ângulos com medidas iguais são de-

nominados congruentes.

Logo: m(A C) = m(DÊF) ⇔ A C ≅ DÊF

9.3 Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta, de ori-

gem no vértice do ângulo, que o divide em dois

ângulos congruentes.

é a bissetriz do AÔB ⇔ m(AÔB) = m(XÔB)

9.4 Operações com medidas de ângulo

1) Adição

Para adicionar duas ou mais medidas de ângu-

los, devem-se adicionar segundos com segun-

dos, minutos com minutos e graus com graus.

Exemplos:

a) 24o 35’ 15” + 13o 18’ 37”

b) 47o 33’ 45” + 28o 45’

2) Subtração

Para subtrair duas medidas de ângulos, devem-

se subtrair segundos de segundos, minutos de

minutos e graus de graus. Em alguns casos, de-

vem-se fazer transformações para realizar as sub-

trações.

Exemplos:

a) 48o 20’ 15” − 17o 7’ 8”

b) 58o 55’ 18” + 37o 59’ 42’

3) Multiplicação por um número natural

Para multiplicar uma medida de ângulo por um

número natural, deve-se multiplicar esse número

pelos segundos, minutos e graus, fazendo a sim-

plificação, quando necessário.

Exemplos:

a) 42o 20’ 17” × 2

b) 28o 29’ 35” × 4

4) Divisão por um número natural

Para dividir uma medida de ângulo por um nú-

mero natural, deve-se dividir esse número pelos

segundos, minutos e graus, fazendo a simplifica-

ção, quando necessário.

Exemplos:

a) 58o 28’ 36” : 2

b) 44o 16’ 2” : 7

85

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Page 86: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

10. Polígonos

Você pode identificar os polígonos na natureza.Por exemplo, o formato dos favos de mel fabri-cados pelas abelhas é muito bom para guar-dar objetos com grande economia de espaço.Os blocos de calçamento e suportes de garra-fas são utilizados para o armazenamento debebidas alcoólicas em adegas. Esse mesmoformato também é encontrado na cabeça deum tipo de parafuso chamado pelos mecânicosde sextavado, e na geometria, de hexagonal.

Figura 21: Utilização dos polígonos no dia-a-dia.

Além da forma hexagonal, outras formas depolígonos são utilizadas em revestimento depisos e paredes de uma casa.

Diz uma lenda que, na antiga China, um rapazresolveu viajar mundo afora. Ao se despedir deseu velho mestre, este lhe deu um simples la-drilho quadrado, dizendo:

– Vá e use-o para registrar tudo o que valer a pena.

O rapaz se foi, mas não tinha idéia de comoatender ao pedido do mestre. Para piorar, o la-drilho caiu e se quebrou, aparecendo as setefiguras geométricas, como mostra a figura 22.

Figura 22: Sete peças do tangram (PATILLA, 1995, p.13).

Figura 23: Figuras formadas com tangram(IMENES 199, p.217).

Toda linha poligonal fechada simples é cha-mada polígono.

10.1 Região poligonal convexa

Quando a região interior do polígono é con-vexa, ele é chamado de polígono convexo.Caso contrário, ele é chamado de polígononão-convexo.

Quadro 5: Polígonos convexos e côncavos.

Lados e vértices do polígono

Os segmentos , , e são os ladosdos polígonos do quadro 5.

Os pontos A, B, C, D e E são seus vértices.

A partir de agora, todo polígono convexo seráchamado apenas de polígono.

10.2 Classificação dos polígonos

A classificação dos polígonos é dada de acor-do com o número de lados, como mostra oquadro 6.

Quadro 6: Classificação dos polígonos.

10.3 Polígonos regulares

Um polígono é regular quando tem os lados eângulos congruentes, ou seja, tem a mesmamedida. Caso contrário, o polígono é irregu-lar. Veja, no quadro 7, alguns exemplos depolígonos regulares e irregulares.

86

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 87: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Quadro 7: Polígonos regulares e irregulares (Telecurso 2000).

EXERCÍCIOS

1) Classifique em agudo, obtuso, reto ou raso, osseguintes ângulos:

a) 45o

b) 130o

c) 180o

d) 90o

2) João deu ao seu irmão um barco de papel.Identifique os polígonos e classifique-os quan-to ao número de lados e em convexos ou não-convexos.

3) Transforme:

a) 50o em minutosb) 80’ em segundosc) 122 400” em grau

4) Calcule:

a) 21o 54’ 51” + 28o 45’ 15”b) 78o − 42o 20’c) 45o 54’ 52” × 5d) 351o 45’ 35” : 7

TEMA 26

POLÍGONOS: TRIÂNGULOS,QUADRILÁTEROS E PERÍMETRO

10.4 Triângulos

1) Classificação dos triângulos quanto aos lados

Ao seu redor, você perceberá que existem di-ferentes tipos de triângulos, como mostra a figu-ra 24.

Figura 24: Diferentes triângulos no dia-a-dia.

Os triângulos podem ser classificados de acor-do com as medidas de seus lados (figura 25) ede acordo com a medida de seus ângulos (figu-ra 26).

Figura 25: Classificação dos triângulos quanto aos lados.

Eqüilátero – quando os lados do triângulo têma mesma medida, ou seja, são congruentes.

Isósceles – quando apenas dois lados do triân-gulo são congruentes.

Escaleno – quando os três lados do triângulotêm medidas diferentes.

2) Classificação dos triângulos quanto aos ân-gulos

Quanto aos ângulos, os triângulos classificam-se em:

Figura 26: Classificação dos triângulos quanto aos ângulos.

Retângulo – quando o triângulo tem um ânguloreto.

Acutângulo – quando o triângulo tem os trêsângulos agudos.

Obtusângulo – quando o triângulo tem umângulo obtuso.

87

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Page 88: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

3) Elementos do triâgulo

Figura 27: Elementos do triângulo.

10.5 Quadriláteros

1) Classificação dos quadriláteros quanto aoslados

Ao seu redor, existem vários objetos cujos con-tornos representam os quadriláteros.

Veja alguns exemplos:

Figura 28: Quadriláteros utilizados no dia-a-dia.

Você percebeu a existência de alguns dessesquadriláteros:

Figura 29: Quadriláteros.

Paralelogramo – tem os lados opostos parale-los. Ex.: losango, retângulo e quadrado.

Losango – tem os quatro lados com medidasiguais.

Retângulo – tem os quatro ângulos retos.

Quadrado – tem os quatro ângulos retos e osquatro lados com mesma medida.

Trapézio – tem apenas dois lados paralelos.

Veja um resumo das características (proprieda-des) dessas figuras no quadro 8.

Observe que, na 3.a coluna (quadro 8), aparece

uma propriedade comum a todas as figuras, ou

seja, as quatro possuem dois pares de lados

opostos paralelos. Por isso, são chamadas de

paralelogramos.

11. Perímetro de um polígono

Quando uma costureira quer colocar renda

ao redor de um retalho quadrado de pano,

para saber quantos metros de renda irá pre-

cisar ela deverá calcular o perímetro desse

retalho.

Perímetro é a soma das medidas de todos os

seus lados e geralmente é representado por

“2p”. Semiperímetro é a metade do períme-

tro e é representado por “p”.

Observação: O perímetro do polígono é ape-

nas o seu contorno, ao passo que a área é a

união do contorno com a sua região interna.

Exemplo:

Figura 30: Perímetro.

Quadro 9: Perímetro.

Logo, o perímetro desse polígono é 23,5 cm.

88

UEA – Licenciatura em Matemática

Quadro 8: Propriedades dos Quadriláteros.

Page 89: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

11.1 Perímetro de figuras geométricas planas

Figura 31: Perímetro de figuras planas.

Exemplo:

Um terreno retangular medindo 40,4m defrente por 35,25m de lateral precisa ser cerca-da. Quantos metros de cerca terão que serfeitos?

Solução:

Como perímetro é a soma de todos os lados,e o retângulo tem lados congruentes, dois adois, então, teremos a medida da frente igualao do fundo e as medidas das duas lateraisiguais. Assim, tem-se:

2p = 40,4m + 40,4m + 35,25m + 35,25m(quadro 8) ou

2p = 2 × 40,4m + 2 × 35,25m ou

2p = 2 × (40,4m + 35,25m)

Quadro 10: Perímetro do retângulo.

Logo, terão que ser feitos 151,30m de cerca.

Observações: a) Para que a medida de comprimento com sua

unidade não deixe de ser comprimento, deve-semultiplicar ou dividir esta medida apenas porum número real.

Exemplos:

1) Uma estrada foi pavimentada em 60,5km. Ogoverno decidiu triplicar essa pavimentação.Quantos quilômetros da estrada foram pavi-mentados no total?

Solução: 60,5km × 3 = 181,5km

2) Um pai quer dividir um rolo de fio de pipa quemede 35m entre seus 4 filhos. Quantos me-tros de fio receberá cada um?

Solução: 35m : 4 = 8,75m

Logo, cada um receberá 8,75m

b) Quando uma medida de comprimento é dividi-da por outra medida de comprimento de mes-ma unidade, então, obtém-se uma constantenumérica.

Exemplo:

Quero dividir um rolo de corda de 36 metros, detal forma que cada pedaço tenha 4m. Quantospedaços serão obtidos?

Solução: 36m : 4m = 9

Logo, terei 9 pedaços.

EXERCÍCIOS

1) Observe os triângulos abaixo e classifique-osquanto aos ângulos e quanto aos lados:

2) Classifique as sentenças em V ou F:

a) ( ) Todo paralelogramo é quadrilátero.b) ( ) Todo retângulo é paralelogramo.c) ( ) Todo losango é um quadrado.

3) Desenhe:

a) Um quadrilátero com quatro lados congruentesque não seja um quadrado. Escreva o nome dafigura.

b) Um quadrilátero com quatro ângulos congruen-tes que não seja um quadrado. Escreva o nomeda figura.

c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulosretos. Escreva o nome da figura.

4) Na figura abaixo, determine o perímetro.

89

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Page 90: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

5) Um terreno retangular tem 32,5m de frente por40m de lateral e precisa ser cercado. Quantosmetros de cerca será necessário fazer?

6) Patrícia quer dividir uma corda de 40cm comsuas amiguinhas, de tal forma que cada peda-ço tenha 5cm. Com quantas amiguinhas po-derá dividir a corda?

7) Um heptágono tem cada lado medindo 2cm.Calcule o perímetro desse heptágono.

TEMA 27

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

12. Medidas de superfície

As medidas de superfície referem-se ao as-

pecto bidimensional da geometria e são utili-

zadas no cálculo de área. Freqüentemente,

deparamo-nos com as frases: “a área de

preservação ambiental foi invadida”, “houve

um aumento na área de plantação de melan-

cia no município de Manicoré”, “vende-se um

terreno com 250m2 ”, “Amazonas é o maior

estado brasileiro em extensão territorial com

uma área de 1 564 455km2”, etc. Mas o que

vem a ser área?

A área é um número que expressa medida

da superfície.

Da mesma maneira como se mede o compri-

mento, mede-se a área, isto é, verifica-se

quantas vezes a unidade de área cabe naque-

la figura. Na figura abaixo, tomando como

unidade um de dimensão 1m × 1m (largu-

ra × comprimento), veja quantas vezes o

cabe na figura desenhada no quadriculado

(figura 32).

Figura 32: Área.

Couberam 23 , pois 2 equivalem a

um . Então, diz-se que a área da figura 32

é 23 .

A unidade fundamental para medir superfícies

é o metro quadrado “m2”. O metro quadrado

é a superfície de um quadrado de um metro

de lado.

Observação:

Se duas medidas de comprimento forem mul-

tiplicadas, o produto dessas medidas não

será mais medida de comprimento, e sim,

medida da área.

90

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 91: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

12.1 Leitura e transformação das medidas desuperfície

A conversão dos múltiplos e submúltiplos daunidade de área é de potência de base cem,pois esta envolve duas dimensões.

Para medir grandes superfícies como a áreaque o Amazonas ocupa no Brasil, utilizamosos múltiplos, e para medir pequenas superfí-cies, como azulejos, cerâmicas que servempara revestir um piso ou uma parede, ou áreado tampo de uma carteira usamos os sub-múltiplos.

Para medir grandes porções de terra comosítios e fazendas, é comum utilizar as unida-des agrárias: o centiare (ca), o are (a) e ohectare (ha).

1 centiare (ca) = 1 m2

1 are (a) = 1 dam2 = 100 m2

1 hectare (ha)) = 1 hm2 = 10 000 m2

Hectare é a mais usada.

Em alguns estados do Brasil, uma unidadenão legal chamada alqueire é utilizada:

Alqueire mineiro = 48 400 m2

Alqueire paulista = 24 200 m2

Processo prático de transformação de uni-dades de área:

1) Para passar de uma unidade a outra imediata-mente inferior, multiplica-se por 100, ou seja,desloca-se a vírgula dois algarismos para a dire-ita.

Exemplo:

3,48dm2 = (3,48 × 100)cm2 = 348cm2.

2) Para passar de uma unidade a outra imediata-mente superior, divide-se por 100, ou seja, des-loca-se a vírgula dois algarismos para a esquer-da.

Exemplo:

5,67dm2 = (5,67 : 100)m2 = 0,0567m2.

3) Para passar de uma unidade a qualquer outra,aplica-se sucessivas vezes um dos casos.

EXERCÍCIOS

1) Transforme e escreva a leitura:

a) 4,55cm2 em m2 .

b) 23,56hm2 em km2

c) 0,67mm2 em hm2

d) 106,78m2 em dm2

91

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Quadro 11: Múltiplos, submúltiplos e transformação de unidades de área.

Page 92: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

TEMA 28

ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

12.2 Área das principais figuras planas

1) Área do retângulo (AR) é o produto da medida

da base pela medida da altura.

Figura 33: Área do retângulo.

2) Área do quadrado (AQ) é o produto das medi-

das dos lados.

Figura 34: Área do quadrado.

3) Área do paralelogramo (AP) é o produto da

medida da base pela medida da altura.

Figura 35: Área do paralelogramo.

4) Área do triângulo (ATRI) é a metade do produto

da medida da base pela medida da altura.

Figura 36: Área do triângulo.

5) Área do trapézio (ATRA) é a metade do produto

da base média pela altura.

Figura 37: Área do trapézio.

6) Área do losango (AL) é a metade do produto da

medida da diagonal maior pela medida da dia-

gonal menor.

Figura 38: Área do losango.

7) Área do polígono regular (APR): todo polígono

regular decompõe-se em vários triângulos (figu-

ra 38). Como a área do triângulo OBC é dada

por , basta multiplicar esta área pelo nú-

mero de triângulos “n”. A medida “a” é a altura

do triângulo OBC ou apótema do polígono re-

gular. Apótema é o segmento cujas extremida-

des são o centro do polígono regular e o ponto

médio do lado.

Figura 39: Área do polígono regular.

92

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 93: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

EXERCÍCIOS

1) No circo, há um trapézio conforme a figuraabaixo. Calcule a sua área.

2) A medida da superfície do Distrito Federal é5 822km2. Qual é a medida dessa superfície emhectares?

Figura 40: Área do Distrito Federal.

Fonte: www.sac.org.br

4) A medida da superfície do Parque do Mindu,situado em Manaus, no Bairro Parque Dez deNovembro, é de 33ha. Qual é a medida dessasuperfície em metros quadrados.

Figura 41: Área do Parque do Mindu.

Fonte: www.arcoweb.com.br

4) Um piso quadrado de cerâmica tem 15cm delado.

a) Qual é a área desse piso?

b) Quantos pisos são necessários para assoalhar

uma sala de 45m2 de área?

Figura 42: Área do piso de uma sala.

Fonte: www.bellagres.com.br

5) Um vitral é composto de 80 peças triangularesiguais, de base 25cm e altura 16cm. Qual é, emmetros quadrados, a área desse vitral?

Figura 43: Área de um vitral.Fonte: www.todoslosangeles.homestead.com

93

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Page 94: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

TEMA 29

VOLUMES DE SÓLIDOS. MEDIDAS

DE CAPACIDADES E MASSAS

13. Volumes de sólidos

O volume refere-se ao aspecto tridimensional

da geometria, sendo utilizado em várias situa-

ções do dia-a-dia.

Todo mês, a grande maioria recebe em sua

residência a fatura referente ao consumo de

água. E nela vem o registro do volume de

água consumida, indicado em m3. Pode-se

observar que, ao colocar a caixa d’água no

chão, apenas o fundo ficou sobre o chão e as

outras partes ficaram fora. Isso significa que o

objeto como a caixa d’água, não é uma figu-

ra plana e sim uma figura espacial. Esses

objetos são chamados de sólidos.

Sólido é o corpo que tem três dimensões e é

limitado por superfícies fechadas.

Além da caixa d’água existem mais exemplos

de sólidos na figura 44.

Figura : Utilização dos polígonos no dia-a-dia.

Da mesma maneira como são medidos ocomprimento e a área, mede-se o volume,isto é, verifica-se quantas vezes a unidade devolume cabe naquele sólido. Na figura 45,tomando como unidade um , veja quantasvezes o cabe na figura desenhada.

Figura 45: Volume.

Note que, no sólido da figura 45, cabem 90 .

A unidade fundamental para medir volume éo metro cúbico “m3”. O metro cúbico é umcubo de um metro de aresta (figura 46).

Figura 46: Metro cúbico.

Como o volume envolve três dimensões, aconversão dos múltiplos e submúltiplos daunidade de volume é de potência de base mil,conforme o quadro 12.

Processo prático de transformação de uni-dades de volume:1) Para passar de uma unidade a outra imediata-

mente inferior, multiplica-se por 1000, ou seja, des-loca-se a vírgula três algarismos para a direita.

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UEA – Licenciatura em Matemática

Quadro 12: Leitura e transformação de unidades de volume.

Page 95: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Exemplo:3,46dm3 = (3,46 × 1000)cm3 = 3460cm3

2) Para passar de uma unidade a outra imediata-mente superior, divide-se por 1000, ou seja, des-locase a vírgula três algarismos para a esquerda.

Exemplo:86,3dm3 = (86,3 : 1000)m3 = 0,0863m3

3) Para passar de uma unidade a qualquer outraaplica-se sucessivas vezes um dos casos.

14. Medidas de capacidade e massas

O líquido ou gás ocupa o espaço do recipien-te que o contém. O volume interior de um re-cipiente é a capacidade.

Quando se compra um galão de água, nor-malmente, este contém 20l. Quando se afir-ma que o galão tem 20l significa que todoo conteúdo pode ser armazenado em umprisma de 20dm3, ou seja, em uma caixa dedimensões 2dm × 2dm × 5dm (comprimen-to × largura × altura) ,veja a figura 47.

Figura 47: Capacidade.

Exemplo:

1) Para encher uma caixa d’água de 2 metros decomprimento por 2 metros de largura e 1 metrode profundidade, foram necessários 4 000 litrosde água.

Figura 36: Área do triângulo.

Volume da caixa d’água:2 m x 2 m x 1 m = 4 m3

Capacidade da caixa d’água = 4 000 litros

Veja as duas definições abaixo:

Massa é a quantidade de matéria que for-ma um corpo. A massa é constante emqualquer lugar, seja na Terra ou na Lua.

Peso é a força que age sobre um corpopara o centro da Terra. Logo, o lugar ondese encontra o corpo influi no peso.

Normalmente, pergunta-se: qual é o seu pe-so? Na realidade, a pergunta deveria ser“qual é a massa do seu corpo?”.

O instrumento utilizado para medir a massade um corpo é a balança (figura 49a) e paramedir o peso do corpo, isto é, a força comque a teria atrai os corpos, é usado o dina-mômetro (figura 49b).

Figura 49a: Instrumento para medir massa(SILVEIRA, 2000, p. 293).

Figura 49b: Instrumento para medir peso(SILVEIRA, 2000, p. 294).

A unidade fundamental para medir a capaci-dade é o litro, e para medir a massa é oquilograma. O grama é um submúltiplo doquilograma, mas aqui no nosso estudovamos tomar como unidade de referência o“grama”, para que fique um estudo análogoaos demais.

Para medir grandes capacidades ou massas,são utilizados os múltiplos; e os submúltiplospara medir pequenas capacidades ou mas-sas. A leitura e a transformação de unidadesprocede-se da mesma forma que a do com-primento.

95

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Quadro 13: Múltiplos e submúltiplos de capacidade.

Page 96: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Além dessas unidades, para medir grandes

quantidades de massa usamos:

1 arroba = 15kg

1 tonelada ( t ) = 1000kg

o megaton = 1000t

Para metais e pedras preciosas, ou semi pre-

ciosas, usa-se o quilate que equivale a 0,2g.

Uma relação importante:

Uma maneira simples para descobrir a massa

de um litro de água é, antes de despejar em

uma caixa de papelão com um decímetro de

aresta,“pesá-la” numa balança. Anotar o valor

da massa da caixa vazia. Depois, anotar o

valor da massa da caixa com a água e calcu-

lar a diferença entre a massa da caixa com a

água e da caixa vazia. O valor encontrado

será o valor da massa da água.

Se a água estiver a uma temperatura de 4oC,

encontra-se um valor próximo de 1kg.

Como toda experiência requer calma, deve-

se ter cuidado em todas as etapas. Assim,

tem-se o quadro 15 relacionando volume com

capacidade e massa da água a uma temper-

atura de 4oC.

Quadro 15: Relação entre volume, capacidade e massa.

Exemplo:

Um recipiente, totalmente cheio, contém um

volume de 8m3 de água pura. Quantos quilo-

gramas de água há nesse recipiente.

8m3 = ( 8 × 1000)dm3 = 8 000dm3

Como 1dm3 de água tem 1kg, então 8 000dm3

de água têm 8 000kg.

EXERCÍCIOS

1) Escolha uma embalagem com formato deparalelepípedo, meça as arestas e calcule ovolume.

2) Calcule a capacidade mínima, em metros cúbi-cos, de uma caixa em que caiba a televisão desua casa.

3) Faça a leitura das seguintes medidas:a) 0,94km3

b) 2,779m3

c) 19,5dald) 0,08dg

4) Expresse na unidade indicada:a) 0,451dm3 em m3

b) 0,04dm3 em cm3

c) 36kg em gd) 73,5hl em dl

5) Um reservatório de água tem as seguintesdimensões internas: 1,20m de comprimento,80cm de largura e 50cm de altura. Sabendoque faltam 5cm para encher totalmente essereservatório, responda:a) Quantos litros de água há no reservatório?

b) Qual a massa, em quilogramas, de água que háno reservatório?

96

UEA – Licenciatura em Matemática

Quadro 14: Múltiplos e submúltiplos de massa.

Page 97: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

TEMA 30

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.PRISMAS E PIRÂMIDES

15. Sólidos geométricos

Todo ser e todo objeto é constituído de ma-téria e ocupa um certo espaço.

Figura 50: Objetos de formas diferentes.

Os seres e objetos têm, em geral, uma formacomplexa. Os objetos de forma mais com-plexa são os sólidos geométricos. Os sólidosgeométricos de maior interesse são: prismas,pirâmides, cilindro e cones.

Figura 51: Sólidos geométricos.

15.1 Prismas

São exemplos de prismas as seguintes em-balagens:

Figura 52: Noções de prismas (IMENES, 1999, p. 212).

1) Elementos do prisma

Figura 51: Sólidos geométricas.

2) Planificação do prisma

Para obter as áreas das superfícies que envol-

vem um determinado sólido, é necessário re-

presentar o sólido que está no espaço (tridi-

mensional) para o plano (bidimensional). Tal

processo é conhecido como planificação do

sólido, podendo ser realizado de forma que a

superfície externa do sólido seja feita de

papelão ou algum outro material.

Figura 54: Planificação do prisma.

Portanto, um sólido formado por todos os pon-

tos do espaço localizados dentro dos planos

que contêm as faces laterais e os planos das

bases.

3) Classificação dos prismas

Os prismas classificam-se de acordo com o

polígono da base (quadro 18).

Quadro 18: Classificação dos prismas.

Exemplo:

Figura 55: Prismas triangular e hexagonal.

Um prisma regular é aquele cujos polígonos

das bases são regulares. Ex.: prisma triangular,

hexagonal, etc.

Chama-se paralelepípedo todo prisma cujos

polígonos das bases são paralelogramos.

97

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Page 98: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

4) Área e volume do prisma

Casos especiais:

Cubo

Figura 56: Volume do cubo.

Paralelepípedo retângulo

Figura 57: Volume do paralelepípedo retângulo.

15.2 Pirâmides

As pirâmides mais famosas foram construídasno Egito antigo por volta de 2600 a 2500 a.C.Elas eram utilizadas para sepultar famíliasreais. As pirâmides de Gizé existem até hojee são formadas por um conjunto de nove pi-râmides construídas pelos faraós Quéops,Quéfrem e Miquerinos. A mais alta chama-seQuéops e mede 138 metros de altura. O his-toriador grego Heródoto, escrevendo 2400anos atrás, calculou que 100.000 homens tra-balharam durante 20 anos para completar aconstrução da Grande Pirâmide. Também écalculado que foram usados 2,3 milhões deblocos de pedra para construí-la, cada blocopesando 2,5 toneladas.

Figura 58: As pirâmides do Egito.

Pirâmides foram também construídas por ou-

tros povos, como os maias, na América Cen-

tral, entre 300 e 900 d.C., e, mais tarde, pelos

astecas. Eram usadas como templos para

adoração ao Sol, à Lua e aos seus deuses da

chuva.

1) Elementos da pirâmide

Figura 59: Elementos da pirâmide.

2) Planificação da pirâmide

Figura 60: Planificação da pirâmide.

3) Classificação das pirâmides

Quadro 19: Classificação das pirâmides.

Por exemplo, na figura 59 tem-se uma pirâmide

pentagonal e, na figura 60, tem-se uma pirâmi-

de quadrangular.

4) Área na pirâmide e volume da pirâmide

Área total = n × Afl + 2 × Ab, onde Afl é áreadas faces laterais e Ab é a área da base. Volume do prisma = Ab . h, onde h = altura.

98

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 99: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Por exemplo, na figura 59 tem-se uma pirâmidepentagonal e na figura 60 tem-se uma pirâmidequadrangular.

EXERCÍCIOS

1) Em um prisma reto hexagonal regular, a arestada base mede 3cm, a aresta da face lateralmede 6cm e a área de cada triângulo que for-

ma o polígono da base é cm2. Pede-se:

a) Calcular a área total.b) Calcular o volume.

2) A figura 61 apresenta a planificação de umprisma triangular. Calcular sua área total e seuvolume.

Figura 61: Planificação de um prisma traingular.

3) Determine o volume de uma pirâmide cuja ba-se é uma região retangular de 5cm por 6cm ecuja altura é de 9cm.

TEMA 31

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.CORPOS REDONDOS:

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

15.3 Corpos redondos

Corpos redondos são corpos que rolamquando suas superfícies laterais estão apoia-das sobre alguma outra superfície inclinada.Analisando a figura a seguir, você identificaque os sólidos representados pelas letras A eB deslizam sobre a superfície da rampa, fatoque não acontece com o sólido representadopela letra C. Logo, os sólidos A e B são cor-pos redondos.

Figura 62: Corpos redondos.

O sólido A da figura 62 é chamado de cone, eo B é chamado de cilindro.

Em todos os cilindros, existe a figura geomé-trica chamada de círculo (base do cilindro) ea circunferência. Circunferência é o conjuntode pontos do plano eqüidistante de um pontofixo desse plano.

Figura 63: Círculo × cilindro.

1) Comprimento da circunferência

Cortando a circunferência da figura 64 em umponto, torna-se fácil medi-la. O segmento éo comprimento da circunferência de centro O.

Figura 64: Comprimento da circunferência(CASTRUCI, 1985, p. 174).

99

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Page 100: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

No quadro 19, foram anotadas algumas medi-

das dos comprimentos e diâmetros de várias

circunferências. Na última coluna, dividiu-se

cada medida obtida do comprimento (C) pela

medida do diâmetro correspondente (d).

Quadro 19: Relação entre o comprimento

e o diâmetro de objetos circulares.

Faça você mesmo mais algumas medidas e

verifique se o resultado da divisão C por d é

sempre um número um pouco maior do que 3.

Quanto mais precisas forem sua medidas, mais

próximo você estará de um número constante

conhecido como número pi, cujo símbolo é π.

O número π é um número irracional cujo valor

aproximado é 3,14. Na verdade, este número

possui infinitas casas decimais, mas, na prática,

utiliza-se apenas uma aproximação de seu

valor.

π = 3,14159265358979323846264...

π ≅ 3,14

A partir deste resultado, obtém-se uma expres-

são geral:

= π

C = π d

C = 2 π r

Exemplo:

Qual o comprimento da roda de uma bicicleta

de aro 26?

Uma bicicleta de aro 26 tem o raio de sua roda

medindo 30cm.

Figura 65: Comprimento da roda

de uma bicicleta (Telecurso 2000).

Observe este resultado: 188,40cm = 1,884m.

Isso significa que uma volta completa da roda

desta bicicleta equivale a uma distância de

aproximadamente 1 metro e 88 centímetros.

2) Área do Círculo

Da mesma forma que o comprimento da circun-

ferência, a área do círculo depende da medida

de seu raio.

Divide-se o círculo em 16 partes iguais. Cada

uma destas partes é denominada setor circular.

Figura 66: Divisão do círculo em 16 partes iguais.

Tomando a metade destes setores e rearruman-

do-os obtém-se a figura 76. A outra metade po-

de ser encaixada sobre esta, de forma a não

deixar espaços vazios.

Figura 67: Método para cálculo da área do círculo.

A figura 67 ainda não é um quadrilátero, pois

dois de seus lados são formados por arcos

sucessivos e não por segmentos de reta. No

entanto pode-se dividir nosso círculo em seto-

res circulares cada vez menores:

Figura 68: Área do círculo × área do retângulo.

Note que a figura 68 aproxima-se muito mais de

um retângulo de altura igual ao raio e compri-

mento igual à metade do comprimento da cir-

cunferência deste círculo.

Área do circulo ≅ área do retângulo.

A = π r . r

A = π r 2

C = 2 π r

100

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 101: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

EXERCÍCIOS

1) Quantos círculos de raio igual a 10cm pode-rão ser cortados em uma cartolina de 70 cmpor 50cm?

2) Uma praça circular tem raio igual a 4m. Qualo comprimento da circunferência que limita apraça e qual sua área?

3) Na figura a seguir, tem-se 2 círculos concên-tricos (mesmo centro) com raios 5cm e 3cm.Qual a área da região sombreada?

TEMA 32

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. CORPOSREDONDOS: CILINDRO E CONE

3) Cilindro

Os objetos cilíndricos podem ser encontradosem quase todos os lugares. Por exemplo, amaioria das latas encontradas nas prateleirasdos supermercados; as moedas, que são co-nhecidas como cilindros chatos; as colunas ci-líndricas utilizadas para sustentar o teto de cer-tas construções, etc.

Elementos do cilindro

Figura 69: Elementos do cilindro.

Planificação do cilindro

Figura 70: Planificação do cilindro.

Observe na figura 70 que para calcular a áreado cilindro faz-se necessário calcular a área dabase e a área lateral. E, para isso, é preciso co-nhecer o comprimento da circunferência e aárea do círculo.

Uma vez que se tem a área do retângulo e aárea do círculo, pode-se obter a área no cilin-dro, pois, planificando-o, sua lateral é um retân-gulo cuja altura é a mesma do cilindro e cujocomprimento é igual ao da circunferência, e suabase e seu fundo correspondem a 2 círculos(figura 71).

Área no cilindro e volume do cilindro

Figura 71: Área no cilindro e volume do cilindro.

101

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

Page 102: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Exemplos:

1) Calcular a área lateral Al , área total At e o vo-

lume V de um cilindro reto de altura 10cm e

raio da base 5cm.

Figura 72: Planificação do cilindro.

a) Usando a planificação do cilindro, tem-se:

Área lateral Al = Área do retângulo com la-

dos de 2 π . r , raio = 5cm e altura h = 10cm.

Al = 2π. r .h = 2 .π .5 .10 =10 .π .10 =100πcm2

A área de cada base é a área de um círcu-

lo de raio 5 cm:

Ab = π r 2 = π.5 2 = 25πcm2

A área total

At = Al + 2 Ab = 100π + 50π = 150πcm2

b) V = Ab . H = 25π.10 = 250 πcm3.

2) Calcule a área na lata e diga quantos litros de

óleo cabem nesta lata.

Ab = π × 0,752 = 0, 5625πcm2

Al = 2 × π × 0,75 × 3 = 4,5 πcm2

Área total = 2 × 0,5625 π + 4,5 π =

= 1,125 π + 4,5 π = 5,625 πcm2

Volume = 0,5625πcm2 × 3cm = 1,6875cm3

Transformando 1,6875cm3 para dm3, tem-se

0,0016875dm3.

Como 1dm3 = 1l, então, cabem 0,0016875 l

de óleo na lata.

4) Cone

Observando a figura 73 a seguir, verifica-se que

todas elas têm uma característica em comum: a

forma do cone.

Figura 73: Idéias do cone.

Elementos do cone

Figura 74: Elementos do cone.

Planificação do cone

Figura 75: Planificação do cone.

Fonte: http://pessoa

Área do cone e volume do cone

Exemplo: Dado um cone circular de raio da ba-

se 3cm, geratriz 7cm e altura 2 cm. Cal-

cular:

a) A área lateral do cone.

b) A área total do cone.

c) O volume do cone.

Planificando a superfície do cone, temos:

a) A área lateral Al = π . r . g = π . 3x 7 = 21πcm2

e Ab = π r2 = π 32 = 9πcm2.

102

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 103: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

b) A área total At = Al + Ab = 21π + 9π = 30πcm2

c) Volume = Ab . h

Volume = × 9π . 2 = 6π cm3

EXERCÍCIOS

1) Calcule o volume de duas latas de óleo comformatos diferentes.

2) Qual é a capacidade de uma lata que tem aforma cilíndrica com 7cm de diâmetro e 14cmde altura?

3) Analisando cada figura abaixo:

a) Verifique se é um prisma, uma pirâmide, um cilin-dro ou um cone e classifique.

b) Nos casos em que a figura for prisma ou pirâmi-de, identifique quais são as arestas laterais, faceslaterais e arestas da base.

4) Uma indústria de embalagens recebeu umaencomenda com a seguinte especificação: oconteúdo que seria colocado dentro da emba-lagem deveria ser na maior quantidade possí-vel. Qual dos modelos de embalagem é o maisadequado?

103

Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas

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UNIDADE VIIProporcionalidade

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TEMA 33

RAZÕES E PROPORÇÕES

1. Razão

1.1 Conceito de razão

Numa pesquisa para conhecer a preferênciados leitores de um jornal local, foram obtidosos seguintes dados:

Números de pessoas entrevistadas: 100 pes-soas

! Preferência pelo jornal A......................60

! Preferência pelo jornal B......................30

! Preferência pelo jornal C......................10

Pode-se comparar o número dos que têm pre-ferência pelo jornal A(60) com o número deentrevistados (100), dividindo 60 por 100.

= =

Esse tipo de comparação entre dois númerosracionais é chamado razão.

A razão também pode ser representada por

3 : 5. Lê-se ( três está para cinco) e indica que,de cada cinco pessoas entrevistadas, três têmpreferência pelo jornal A.

Da mesma forma:

! A razão entre os que preferem o jornal B e onúmero de pessoas entrevistadas é:

= lê-se: 3 está para 10.

! A razão entre os que preferem o jornal C e onúmero de pessoas entrevistadas é:

= , lê-se: 1 está para 10 ou 1 para 10.

! A razão entre os que preferem o jornal A e onúmero dos que preferem o jornal B é:

= = , lê-se: 2 está para 1 ou 2 para 1.

Exemplos:

1) A razão entre 12 e 3 é 4, pois = 4

2) A razão entre 3 e 6 é 0,5, pois: = 0,5

3) Para preparar uma bebida na forma de suco,normalmente adicionamos A litros de suco con-centrado a B litros de água. A relação entre aquantidade de litros de suco concentrado e deágua é um número real expresso como umafração ou razão (que não tem unidade), é a ra-

zão:

Figura 1a: Idéia de razãoFonte: www.catalogovirtual.com/luizacestas/novidades.

4) Em uma partida de basquete, um jogador faz 20arremessos e acerta 10.

Figura 1b: Idéia de razão.

Fonte: www.pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html

É possível avaliar o aproveitamento desse jo-gador, dividindo o número de arremessos queele acertou pelo total de arremessos, o quesignifica que o jogador acertou 1 para cadadois arremessos, o que também pode serpensado como o acerto de 0,5 para cadaarremesso.

= = 0,5

1.2 Nomes especiais dos termos da razão

A razão é representada por um número racio-nal, mas é lida de modo diferente. Veja:

Na fração:

107

Matemática Elementar I – Proporcionalidade

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Na razão:

1.3 Razão entre duas grandezas de mesma es-pécie

Observe o retângulo e determine:

a) A razão entre a base e a altura do retângulo:

Note que a base mede da altura.

Como = 1 , tem-se que a base mede 1

da altura.

b) A razão entre a altura e o perímetro do retângulo:

Utilizando o raciocínio anterior, o perímetro mede

5 vezes a altura.

1.4 Razão inversas

Considerando as razões e observe que:

! O antecedente da primeira é igual ao conse-

qüente da segunda.

! O conseqüente da primeira é igual ao antece-

dente da segunda.

! O produto das duas razões é igual a 1, isto é:

× = 1

Nessas condições, diz-se que é razão inver-

sa de , ou vice-versa.

Outros exemplos:

1) A razão inversa de é .

2) A razão inversa de é .

1.5 Aplicações das razões

Existem algumas razões especiais muito uti-lizadas em nosso cotidiano como: velocidademédia, escala, densidade demográfica e densi-dade de um corpo.

1) Velocidade Média

A velocidade média, em geral, é uma grandezaobtida pela razão entre uma distância percorrida(expressa em quilômetros ou metros) e um tem-po gasto para percorrê-la (expresso em horas,minutos ou segundos).

vmédia =

Exemplo:

Suponha que um carro de Fórmula MAT percor-reu 328km em 2 h. Qual foi a velocidade média doveículo nesse percurso?

Figura 2: Velocidade média.Fonte: www. bestlap.com.br

A partir dos dados do problema, tem-se:

vmédia = = 164km/h

Significa que a velocidade média do veículo du-rante a corrida foi de 164km/h, ou seja, se o carrotivesse que percorrer 328km em 2h, com a mes-ma velocidade, essa velocidade seria 164km/h.

2) Escala

No caso de mapas geográficos, plantas de casasou maquetes de projetos, a escala determina arelação entre as medidas de um desenho e asmedidas reais que correspondem a ele.

Suponha que, em um determinado mapa, a dis-tância entre o monte Caburaí (extremo Norte doBrasil) e o arroio Chuí (extremo Sul) é representa-do por um segmento de 7,2cm. A distância realentre esses extremos é de 4.320km.

108

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 109: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Para calcular a razão entre a distância que estáno mapa e a distância real, deve-se primeiramen-te transformar 4.320km em centímetros.

4.320km = 432.000.000cm.

Logo, a razão é dada por:

Esse tipo de razão é chamada escala.

A escala indica que cada centímetro

no mapa equivale a 60.000.000 cm = 600km.

Escala é a razão entre um comprimento no dese-nho e o correspondente comprimento real.

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalasdiferentes.

Figura 3: escala.

Os dois mapas possuem a mesma forma, mastêm tamanhos diferentes. O mapa A é uma am-pliação do mapa B, ou o mapa B é uma reduçãodo mapa A

Usa-se escala quando se quer representar umesboço gráfico de objetos como móveis, plantasde uma casa ou de uma cidade, fachadas de pré-dios, mapas, maquetes, etc.

3) Densidade Demográfica

O cálculo da densidade demográfica, tambémchamado de população relativa de uma região,expressa a razão entre o número de habitantes ea área de uma determinada região.

Exemplo:

O município de Coari, no estado do Amazonas,ocupa uma área de 57.529,7km², e tem uma po-pulação de 63.815 habitantes. Dê a densidadedemográfica da cidade de Coari.

Dens. Demográfica = = 1,10 hab/km2

2. Proporção

2.1 Conceito de proporção

Observe as fotos da figura 1.

Dizer que a foto é 3 × 4, significa dizer que ela

tem um formato de um retângulo com 3cm de

base e 4cm de altura. Do mesmo modo, uma

foto 6 × 8 tem 6cm de base e 8cm de altura.

Figura 4: Idéia de proporção.

A razão existente entre a base e a altura da foto

é de:

Pode-se afirmar que = = 0,75

Diz-se que a igualdade entre as duas razões é

uma proporção.

De modo geral:

Representa-se a proporção por:

ou a : b = c : d

Lê-se: a está para b assim como c está para d.

2.2 Os termos da proporção

Dados os números racionais a, b, c e d, dife-rentes de zero, diz-se que eles formam, nes-sa ordem, uma proporção quando a razão dea para b for igual à razão de c para d.

109

Matemática Elementar I – Proporcionalidade

Page 110: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

2.3 Propriedade fundamental das proporções

Na proporção, o produto dos meios é sempreigual ao produto dos extremos.

= ↔ 6 × 4 = 8 × 3 = 24

Exemplos:

1) e

formam uma proporção, pois 4 × 9 = 12 × 336 = 36

2) e

não formam uma proporção, pois 2 × 9 ≠ 3 × 518 ≠ 15

2.4 Cálculo do termo desconhecido de uma pro-porção

Existem várias situações do dia-a-dia em que énecessário calcular o termo desconhecido deuma proporção.

Exemplos:1) A maquete de um centro cultural foi feita na razão

de 5 para 150. A maquete tem 45cm de altura.Calcular a altura desse centro cultural.

=

5 . x = 150 × 45 ↔ 5 . x = 6 750

x = ↔ x = 1350cm

Transformando para metros, tem-se: x = 13,50m.

2) A razão entre as idades de dois irmãos é de .

O maior tem 20 anos. Qual a idade do irmãomenor?

Dado conhecido: a idade do irmão maior é 20anos.

Dado desconhecido: a idade do irmão menor = x.

A razão entre as idades:

= ↔ 4 . x = 3 × 20 ↔ 4 . x = 60

x = ↔ x = 15

Logo, a idade do irmão menor é de 15 anos.

2.5 Propriedades das proporções

1.a) Numa proporção, a soma ou a diferença

dos dois primeiros termos está para

o primeiro (ou para o segundo), assim

como a soma ou a diferença dos dois

últimos está para o terceiro (ou para o

quarto).

Exemplos:

1) A soma das idades de duas primas é 80

anos, a razão entre a mais nova e a mais

velha é . Ache as idades de cada uma.

Considerando as idades a e b, sendo

a = idade menor e b = idade maior, tem-se:

A soma das idades a e b é 80 → a + b = 80.

A razão entre a idade menor e a maior

é → = .

Utilizando a propriedade, tem-se que:

Como a + b = 80, então:

Portanto, se a + b = 80

então b = 80 − a = 80 − 32 = 48.

Para comprovar o resultado, tem-se:

32 + 48 = 80 e razão entre os dois números

Logo, a idade da prima mais nova é 32 anos,

e da prima mais velha é 48 anos.

110

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 111: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

2) Determinar dois números sabendo que a

razão entre eles é e que a diferença é 48.

A diferença entre os números a e b é 58:

a − b = 48

A razão entre os dois números é:

→ =

Utilizando a propriedade tem-se que:

Como a − b = 48

Portanto, se a − b = 48 então b = 84 − 48 = 36

Para comprovar o resultado, tem-se:

84 − 36 = 48

E a razão entre os dois números:

Logo, o número maior é 84, e o númeromenor é 36.

2.a) Numa proporção, a soma ou a diferençados antecedentes está para a soma ou adiferença dos conseqüentes, assim co-mo qualquer antecedente está para seuconseqüente.

Exemplos:

1) Calcular a e b, sabendo que a + b = 63

e =

Utilizando a propriedade, tem-se que:

=

Como a + b = 63, tem-se:

Utilizando novamente a propriedade, tem-seque:

Como a + b = 63, tem-se:

Para comprovar o resultado, tem-se que:

27 + 36 = 63 e = .

Logo, a = 27 e b = 36.

3.a) Numa proporção, o produto dos antece-

dentes está para o produto dos conse-

qüentes, assim como o quadrado de um

antecedente está para o quadrado de

seu conseqüente.

ou

Exemplo:

A área de um retângulo é de 150m² e a razão

da largura para o comprimento é de .

Encontrar as dimensões do retângulo.

Seja a = largura e b = comprimento do retângu-

lo, utilizando a propriedade tem-se:

Como a . b = 150, tem-se:

Usando o produto dos meios pelos extremos,

tem-se:

Portanto, se a . b = 150 então 10 . b = 150

b = ↔ b = 15

Para comprovar o resultado, tem-se:

área do retângulo = a . b = 10 × 15 = 150m2,

e a razão entre a largura e o comprimento:

Logo, a largura do retângulo é 10m e a altura

é 15m.

111

Matemática Elementar I – Proporcionalidade

Page 112: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

4.a) Numa proporção, elevando-se os quatro

termos ao quadrado, resulta em uma

nova proporção.

Exemplo:

A soma do quadrado de dois números é 468, e

a razão do menor para o maior é de . Deter-

minar esses números.

Seja a e b dois números, utilizando a proprie-

dade tem-se:

Utilizando a 1.a propriedade, tem-se:

Como a2 + b2 = 468, tem-se:

Portanto, se a2 + b2 = 468, então 144 + b2 = 468

b2 = 468 − 144

b2 = 324

b = = 18

Para comprovar o resultado, tem-se:

122 + 182 = 144 + 324 = 468, e a razão do menor

para o maior =

Logo, os números são 12 e 18.

EXERCÍCIOS

1) Calcule as razões entre:

a) 1 e 6 c) 6 e 1

b) 5 e 25 d) e

2) Observando as figuras A e B responda:

a) Qual a razão entre o comprimento do retângulo Ae do retângulo B?

b) Qual a razão entre o perímetro do retângulo A edo retângulo B?

c) Qual a razão entre o área do retângulo A e doretângulo B?

3) Qual é a razão entre a capacidade de uma gar-rafa de guaraná de 600ml e a de uma garrafade vinho de 900ml?

4) Certo refrigerante é vendido por R$0,70, em la-tas de 350ml, e por R$250,00, em garrafas de2 litros. Qual das duas embalagens é mais eco-nômica para o consumidor?

5) Calcule a densidade demográfica de seu muni-cípio.

6) Determine os pares de razões que formamuma proporção:

a) e b) e

c) e d) e

7) Calcule o valor do termo desconhecido nasproporções:

a) b)

c) d)

8) Usando as propriedades de proporção, resolvaos problemas:

a) A razão entre dois números é de 13 para 19, e asua soma é 192. Determine esses números.

b) Na 6.a série A, há 28 alunos. A razão entre o nú-

mero de meninos e o de meninas é . Quantos

rapazes há na 6.a série A?

c) Um pai divide R$72,00 entre seus dois filhos demodo que eles recebam as quantias proporcio-nais as suas idades, que é de 3 e 5 anos, respec-tivamente. Determine as quantias.

d) A idade de dois irmãos está na razão de .

Determine essas idades, sabendo que sua somaé 20 anos.

112

UEA – Licenciatura em Matemática

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TEMA 34

REGRA DE TRÊS SIMPLES

1. Conceito de grandeza

As grandezas podem ter suas medidas aumen-tadas ou diminuídas.

São exemplos de grandezas: velocidade,tempo, peso e espaço. São comuns em nossodia-a-dia situações em que duas ou mais gran-dezas se relacionam.

Exemplos:

1) Uma bicicleta, para percorrer um determinadoespaço, quanto maior a velocidade menor otempo gasto.

Figura 1: Idéia de grandeza.Fontes: www.sesamo.com

www. store-garage34.locasite.com.br/loja/images/velocidade.

2) A nota que o aluno tira numa prova depende donúmero de questões que ele acerta.

3) O trabalho a ser realizado em um determinadotempo depende do número de operários empre-gados.

A relação de dependência entre duas grandezas,dependendo da condição apresentada, pode serclassificada como diretamente proporcional ouinversamente proporcional.

2. Grandeza diretamente proporcional

Exemplo:

Na compra de 10 litros de açaí, ao preço deR$1,50 o litro, gasta-se o total de R$15,00. En-tão, na compra de 20 litros de açaí, o custototal será de R$30,00, e na compra de 30 li-tros, o custo total será de R$45,00.

Portanto:

3. Grandeza inversamente proporcional

Exemplo:

Um avião, à velocidade de 800km por hora, le-va 42 mimutos para ir de Manaus a Manicoré.Se a velocidade do avião fosse de 600km porhora, o tempo necessário para fazer a mesmaviagem seria de 56 minutos?

As grandezas velocidade e tempo são inversa-mente proporcionais, pois à medida que umaaumenta a outra diminui e vice-versa.

4. Regra de três

Existem dois tipos de regra de três: a simples,que trabalha com apenas duas grandezas, e acomposta, que envolve mais de duas gran-dezas.

4.1 Regra de três simples

Para resolver problemas que envolvem regrade três simples, deve-se obedecer ao seguinteprocedimento:

1) Colocam-se os valores da grandeza de mes-ma espécie na mesma coluna, e os valoresda grandeza de espécie diferente em outracoluna.

2) Fixando a grandeza que possui a variável,e analisando a outra grandeza, se foremdiretamente proporcionais, as setas devemestar no mesmo sentido. Caso sejam inver-samente proporcionais, as setas ficam emsentido contrário, invertendo-se a razão.

3) A razão da grandeza que possui a variável éigual à razão da outra grandeza.

Quando duas grandezas são inversa-mente proporcionais, os números queexpressam essas grandezas variam umna razão inversa do outro.

Quando duas grandezas variam semprena mesma razão, diz-se que essas gran-dezas são diretamente proporcionais.

Grandeza é todo atributo de um fenôme-no, corpo ou substância que pode serqualitativamente distinguido e quantitati-vamente determinado.

113

Matemática Elementar I – Proporcionalidade

Page 114: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Exemplos:

1) Comprei 5 metros de tecido por R$900,00. Quan-

to gastaria se tivesse comprado 9 metros?

Considerando a tabela que relaciona o compri-

mento com o preço do tecido tem-se:

Observe que as grandezas comprimento e preço

são diretamente proporcionais, pois se 5 metros

de tecido custam R$900,00, 9 metros custarão

mais que R$900,00. Observe que aumentando ou

diminuindo uma grandeza, a outra aumenta ou

diminui na mesma proporção. Logo, as gran-

dezas são diretamente proporcionais.

Multiplicando o produto dos meios pelos extre-

mos, tem-se:

5 . x = 9 × 900

5 . x = 8100

x =

x = 1620

Portanto, por 9 metros de tecido, gastaria

R$1.620,00.

2) Uma equipe de 4 trabalhadores constroem uma

casa em 8 dias. Em quantos dias, apenas 2 da

equipe de trabalhadores constroem uma casa

idêntica ?

Figura 2: Grandeza inversamente proporcional.

Fonte: www.atribunamt.com.br

As grandezas são trabalhadores e dias:

Observe que as grandezas número de trabalha-

dores e tempo são inversamente proporcionais,

pois se 4 trabalhadores constroem uma casa em

8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo

para construí-la. Ou seja, quanto menor o núme-

ro de trabalhadores, maior será o tempo para a

construção. Logo, devemos inverter a proporção.

Multiplicando o produto dos meios pelos extre-

mos tem-se:

2 . x = 4 × 8 ↔ 2 . x = 32 ↔ x = ↔ x = 16

Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em

16 dias.

De modo geral: regra de três simples é um

processo de resolução de problemas de quatro

valores, dos quais três são conhecidos, e deve-

mos determinar o quarto valor.

4.1 Regra de três composta

O processo usado para resolver problemas

que envolvem mais de duas grandezas, direta

ou inversamente proporcionais, é chamado

regra de três composta.

Para resolver problemas que envolvem regra

de três composta, deve-se obedecer ao se-

guinte procedimento:

1) Colocam-se os valores das grandezas de

mesma espécie na mesma coluna, e os va-

lores das grandezas de espécies diferentes

em outra coluna.

2) Fixando a grandeza que possui a variável e

analisando as outras grandezas, se forem

diretamente proporcionais, as setas devem

estar na mesma direção. Caso sejam inver-

samente proporcionais, as setas ficam em

sentido contrário, invertendo-se a razão.

3) A razão da grandeza que possui a variável é

igual ao produto das razões das outras

grandezas.

114

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 115: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Exemplo:

Dois pedreiros levam 9 dias para construir ummuro com 2 m de altura. Trabalhando 3 pedrei-ros e aumentando a altura do muro para 4m,qual será o tempo necessário para completar aobra?

Figura 3: Regra de três composta.Fontes: www.eletropaulo.com.br

As grandezas são pedreiros, altura do muro edias trabalhados.

Quanto maior a altura do muro, mais diasserão necessários para construí-lo. Logo, asgrandezas altura e dias são diretamenteproporcionais. Quanto menor o número depedreiros, mais dias serão necessários paraconstruir o muro.

Portanto:

Logo, para construir o muro de 4m serão ne-cessários 12 dias.

EXERCÍCIOS

1) A professora Ana Maria percorre de bicicleta,de sua casa até a escola onde leciona, 1400mem um tempo de 7 minutos. Quantos metrosvai percorrer em 30 minutos, desenvolvendosempre a mesma velocidade?

2) Cinco pintores levam 40 dias para pintar umaescola. No mesmo ritmo de trabalho, quanto

tempo levariam 10 pintores para pintar amesma escola?

3) Uma torneira, despejando 5 litros de água porminuto, enche uma caixa d’água em 6 horas.Em quanto tempo duas torneiras iguais a essaencherão essa mesma caixa?

4) Um empreiteiro recebe R$8.360,00 por 20 diasde trabalho. Quanto receberá por 35 dias?

5) Romildo trabalhou 30 dias e recebeu R$150,00.Em quantos dias de trabalho ele receberáR$200,00?

6) Três torneiras enchem uma piscina em 10horas. Quantas torneiras a encheriam em 2horas?

7) Se 35 operários fazem uma escola em 24 dias,trabalhando 8 horas por dia, quantos operáriosserão necessários para fazer a mesma obra em14 dias, trabalhando 10 horas por dia?

8) Três torneiras enchem um tanque em 10 horas.Quantas horas levarão 10 torneiras para en-cher 2 tanques?

9) Duas máquinas empacotam 1 000 litros de leitepor dia. Quantas máquinas são necessáriaspara empacotar 2 000 litros de leite em meiodia?

10) Na merenda escolar, 640 crianças consomem1500 litros de suco em 30 dias. Quantos litrosde suco deverão ser consumidos por 400 cri-anças em 40 dias?

115

Matemática Elementar I – Proporcionalidade

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TEMA 35

PORCENTAGEM

1. Idéia de porcentagem

Figura 1: Idéias de percentagem.

Frases como estas aparecem com freqüênciano nosso dia-a-dia.

Veja o significado de algumas delas.

a) “Grande liquidação. Desconto de 40%.” Significadizer que em cada R$100,00 de compra será feitoum desconto de R$40,00.

b) “O salário mínimo teve aumento de 16,6 %” Sig-nifica dizer que em cada R$100,00 do salário mí-nimo haverá um aumento R$16,60. Logo, em2006, o salário mínimo será de R$349,80.

2. Razão centesimal, taxa percentual

É comum expressar a razão entre um númeroe 100 usando o termo por cento (%), que sig-nifica “dividido por cem” ou centésimo.

Exemplo:

A informação acima significa que em cada 100litros de ar há 21 litros de oxigênio.

É possível relacionar porcentagem com pro-porcionalidade.

A capacidade de oxigênio é diretamente pro-porcional à capacidade de ar. O fator de pro-

porcionalidade é ou 21% . Lê-se: vinte e

um por cento.

Então:

Toda razão de conseqüente 100 chama-serazão centesimal.

a) b) c) d)

Se o conseqüente for um numero diferente de100, nesse caso multiplica-se antecedente econseqüente por um número que torne o con-seqüente igual a 100.

Exemplos:

a) b)

É possível representar as razões centesimaispor números decimais.

a) = 0,08 b) = 0,19 c) = 0,80

d) = 1,36 e) = 0,01

Representam-se as razões centesimais naforma porcentual (%).

a) = 8% b) = 19% c) = 80%

d) = 136% e) = 1%

Qualquer número escrito na forma porcentual(%) é chamado taxa percentual.

8% , 19% , 80% , 136% , 1% são exemplos detaxa percentual.

3. Resolução de Problemas

1) Em uma partida de basquete, Romildo acertou50% dos 30 arremessos que efetuou. Quantosarremessos acertou?

Figura 2: Porcentagem.Fonte: www.icicom.up.pt/.../arquivos/2004/08

116

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 117: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

O problema quer que você responda: Quantovale 50% de 30?

Existem duas maneiras de resolver esse proble-ma:

1.a forma: Como 50% = = 0,50, pode-se es-crever:

50% de 30 = de 30 → × 30 = 0,50 × 30 = 15

2.a forma: 50% dos arremessos significam que,em cada 100 arremessos efetuados, Romildoacerta 50. Assim:

Os problemas de porcentagem podem ser resol-vidos usando regra de três simples e direta.

Usando o produto dos meios pelo produto dosextremos, tem-se:

100 . x = 50 . 30 100 . x = 1500

x = 15

Logo, Romildo acertou 15 arremessos.

2) Ribamar depositou R$600,00 numa caderne-ta de poupança no dia 09/01/2006. Terá, no dia09/02/2006, R$615,00. Qual é o percentual derendimento?

Dados: Quantia principal: R$600,00Rendimento principal: R$15,00

Pede-se: a taxa de rendimento.

Montando a regra de três, tem-se:100% → 600x% → 15

Logo, a taxa de rendimento é de 2,5%.

EXERCÍCIOS

1) Escreva na forma de percentual as razões cen-tesimais:

a) b) c) d)

2) Escreva na forma centesimal:

a)13% b) 49% c) 512% d)116%

3) Escreva na forma de percentual.

a) b) c) d)

4) Calcule:

a) Quanto é 45% de 800?b) 20 é 15% de quanto?

5) Resolva os problemas:

a) Luiz comprou uma televisão por R$695,00 comdesconto de 17%. Quanto pagou pelo aparelho?

b) Em uma classe de 50 alunos, compareceram 35.Qual a taxa percentual de ausência?

c) Economizei R$84,00 ao obter um desconto de15% na compra de uma roupa. Qual era o preçoinicial?

d) Lina gastou 20% de seu salário em uma mercado-ria que custou R$50,00. Quanto Lina ganha men-salmente?

117

Matemática Elementar I – Proporcionalidade

Page 118: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

TEMA 36

JUROS SIMPLES

Figura 1: Juros simples.

Fonte: www.comprafacil.com.br

1. Conceito de juro, capital e taxa

É comum ouvir frases como estas:

– “Vou depositar meu dinheiro na caderneta de

poupança porque renderá juros e correção

monetária.”

– “Vou fazer um empréstimo bancário”.

Quando se deposita numa caderneta de pou-

pança ou se empresta oficialmente uma certa

quantia por um determinado tempo, recebe-se

uma compensação em dinheiro chamada juro.

! Os juros simples, chamados apenas de juros,

são representados pela letra j.

! O dinheiro que se deposita ou empresta chama-

se capital e é representado pela letra C.

! O tempo de depósito ou de empréstimo é repre-

sentado pela letra t.

! A taxa de juros é a razão centesimal que incide

sobre um capital durante certo tempo. É repre-

sentada pela letra i e utilizada para calcular juros.

Resumindo:

O juro ( j ) é uma grandeza diretamente propor-

cional:

1) À quantia emprestada ou Capital (C ): quan-

to maior o capital, tanto maior os juros.

2) Ao tempo ( t ): quanto maior o tempo, tanto

maior o juro.

3) À taxa ( i ), que é o valor tomado em cada

100 unidades, referidas ao ano ou ao mês

ou a dias: quanto maior a taxa tanto maior

os juros.

A fim de facilitar o cálculo necessário para

determinar qualquer uma das grandezas (juro,

tempo ou taxa), estabeleceram-se fórmulas re-

sultantes de um problema de regra de três

composta.

Se o capital 100 produz i em 1 ano, então o

capital C produz j em t anos:

2. Resolução de problemas

Exemplos:

1) Célia emprestou a quantia de R$50.000,00 duran-

te 8 meses, a uma taxa de 1,2 % ao mês. Quais

os juros que Célia pagou?

Em um mês, Célia iria pagar 1,2% de R$50.000,00

Logo, em 8 meses irá pagar

R$600,00 x 8 = R$4.800,00

118

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 119: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Portanto foram pagos R$4.800,00 de juros.

2) João investiu um capital de R$15.000,00, em umainstituição financeira que paga juros durante 3anos, à taxa de 24% ao ano. Qual o valor dosjuros recebidos por João?

Pede-se: j = ?

Utilizando a fórmula:

j =

j =

j = 150 × 3 × 24 ⇒ j = 10 800

Logo, os juros recebidos por João são deR$10.800,00.

3) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses,à taxa de 1,5% ao mês, para obter R$4.410 dejuros?

Pede-se: C = ?

C = 9800

Logo, a quantia a ser aplicada são de R$9.800,00.

4) Por quanto tempo Maurício deverá aplicar um ca-pital de R$12.000,00 a uma taxa de 36% ao anopara render R$8.640,00 de juros?

Pede-se: t = ?

j =

Logo, Maurício deverá aplicar durante 2 anos.

5) A que taxa anual Hélio deve aplicar um capi-

tal de R$20.000,00 para render, em 3 anos,

R$28.800,00 de juros?

Pede-se: i = ?

j =

Logo, a taxa de juros é 48% ao ano.

Observação

Deve-se sempre relacionar taxa e tempo numa

mesma unidade:

Deve-se usar as seguintes unidades comerciais.

Exemplos:

1) Quais são os juros produzidos pelo capital de

R$7.200,0 emprestado à taxa de 8% ao ano,

durante 10 meses?

Pede-se: j = ?

119

Matemática Elementar I – Proporcionalidade

Page 120: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

j =

Logo, os juros produzidos são de R$480,00.

2) Quais são os juros produzidos pelo capital deR$4.000,00 aplicado durante 300dias à taxa de15% ao ano.

Pede-se: j = ?

j =

Logo, os juros produzidos são de R$500,00.

EXERCÍCIOS

1) Lili tomou emprestado a importância deR$12.000,00 pelo prazo de 2 anos, a taxa de30% ao ano. Qual será o valor dos juros aserem pagos?

2) Durante quanto tempo Caio deve aplicar umcapital de 54.000,00 a uma taxa de 0,5% aomês para render R$810,00 de juros?

3) Um comerciante emprestou de uma financia-dora um capital de R$60.000,00, à taxa de1,5% ao mês, durante 2 anos. Quanto pagoude juros ao final do contrato?

4) Quais são os juros produzidos por R$300,00aplicados à taxa de 3,5% a.m durante 2 me-ses?

120

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 121: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I

Respostas de Exercícios

Page 122: 3488655 Licenciatura Em Matematica Matematica Elementar I
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UNIDADE I − Sistemas de Numeração

TEMA 01

A ORIGEM, AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕESE NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO

1) a) 301 b) 210 c) 111

Lembrete:

i) Cada 10 argolas de uma haste corresponde a 1argola na haste imediatamente à esquerda.

ii) O valor da argola muda conforme a posição dahaste no ábaco.

iii) O maior valor de argolas em cada haste é nove.

2) a) XII b) XIX c) CLIX d) DXXXV

e) MDXLII f) IVCDXV g) DCCL

3) O número é 3 020 = 3 ×103 + 0 ×102 + 2 ×101 + 0 ×100

Caso a sua resposta tenha sido diferente, veja anotação exponencial passo a passo:

2 123 = 2 000 + 100 + 20 + 3

2 123 = 2 × 1 000 + 1 × 100 + 2 × 10 + 3

2 123 = 2 × 10 × 10 × 10 + 1 × 10 × 10 + 2 × 10 + 3

2 123 = 2 × 103 + 1 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100

4)

5) a) 2 classes e 4 ordens; b) 2 unidades;c) 8 dezenas; d) 34 centenas; e) 1.a ordem.

TEMA 02

BASES DIFERENTES DE 10

1)

O código é (2332)quatro lê-se: “dois, três, três, doisna base quatro”.

Notação exponencial de (2332)quatro

(2332)quatro = 2 × 43 + 3 × 42 + 3 × 41 + 2 × 40

(2332)quatro = 2 × 64 + 3 × 16 +3 × 4 + 2 × 1

(2332)quatro = 128 + 48 + 12 + 2 = 190

2) (192)dez = (1 2 3 2 )cinco, pois:

1 × 53 + 2 × 52 + 3 × 51 + 2 × 50 = 125 + 25 + 15 + 2 = 192

UNIDADE II − Conjuntos

TEMA 03

CONJUNTOS

1) a) ⊂ b) ∉ c) ⊃ d) ⊃ e) ∈ f) ⊂

2) Sendo A = { 31, 32, 33, 34, ...}, B = {24, 23, 22,

21,...,1} e C = {40,41,..., 49,50}

a) F , pois A ∪ B = {1, 2, 3, ...24,31,......}

b) V , pois A ∩ C = {40,41,..., 49,50} = C

c) F , pois C – A = { }

d) F , pois B ∪ C = D = {0, 1, 2,...50},

então A − (B ∪ C) = A – D = {51,52, ... }

UNIDADE III − Conjuntos dos Números Naturais

TEMA 04

REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS NATURAIS

NA RETA NUMÉRICA. OPERAÇÃO: ADIÇÃO

1) a) 32 b) 57

2) a) 198 + 235 = 433; b) 235 + 467 + 56 + 89 = 847;

c) 198 + 523 + 67 + 169 + 235 + 467 + 56 + 89 =1 804

TEMA 05

OPERAÇÃO: SUBTRAÇÃO

1) 4 789 − 3 456 = 1333 metros cúbicos.

2) a) 5 789 + 4 745 + 165 + 59 = 10 758;

b) 11 567 − 10 758 = 809;

c) 4 745 − 5 789 = 1 044.

3) a) x = 267 b) y = 15 c) a = 27

Lembrete:103 = 10 × 10 × 10102 = 10 × 10101 = 10100 = 1

123

Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios

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TEMA 06

OPERAÇÃO: MULTIPLICAÇÃO

1) 12 624 × 3 = 37 872.

2) 32 × 9 = 288 combinações.

TEMA 07

OPERAÇÃO: DIVISÃO

1) x = tempo de bicicleta, p = 3x = tempo a pé.

3x + x = 72 ⇒ 4x = 72 ⇒ x = 18 minutos. Logo,

Maria demorou 18 minutos para ir da casa à escola.

2) 70 − 25 = 45; 45: 5 = 9 Logo, cada agenda custou9 reais.

3) 150 − 86 = 63; 64 : 4 = 16 Logo, devo plantar 16 mu-das em cada dia.

4) a) 9 594; b) 137 904; c)1 642 572; d) 532;

e) quociente é 5 e resto é 65;f) quociente é 197 e resto é 40.

TEMA 08

OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO ERADICIAÇÃO. EXPRESSÕES NUMÉRICAS

1) 43 = 64 Logo, há 64 vagas na garagem do prédio.

2) a ) 24; b) 6; c) 32; d) 29; e) 28.

TEMA 09

DIVISIBILIDADE

1) a) M(3) = {0, 3, 6, 9,...};

b) M(4) = {0, 4, 8, 12,...};c) M(7) = {0, 7, 14, 21,...}.

2) a) D(35) = {1, 5, 7, 35};

b) D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100};

c) D(450) = {1, 2, 3, 6, 9, 10, 15, 25, 30, 60, 75, 90,

225, 450}

3) a

4) {11, 13, 17, 19}

TEMA 10

MÁXIMO DIVISOR COMUM EMÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

1) m.m.c.(10, 12, 18) = 180

2) a) 24 = 16, b) 27 × 3 × 5 × 11 = 21.120

3) m.d.c.(a, b) = 2 × 3 × 5 = 30 em.m.c.(a, b) = 22 × 32 × 5 = 4 × 9 × 5 = 180

UNIDADE IV − Conjunto dos Números Inteiros

TEMA 11

A IDÉIA DO NÚMERO INTEIRO. REPRESENTAÇÃONA RETA NUMÉRICA. SUBCONJUNTOS. MÓDULOOU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO

1) a) 6; b) 2; c) 8; d) 4; e) 6; f) 7.

2) Há 4 700 quilômetros em linha reta entre as cidadesB e C.

3) c

TEMA 12

OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1) (−3) + (−1) = −4

2) a) (−25) + (+50) = +25b) (−25) + (−5) = −30c) (−25)+(−10) + (+50) = (−35) + (+50) = +15

3) Representação numérica:

Cálculo:(−5) + (+2) = −3

4) 4 graus

5) 74 anos

6) a) −5; b) −10; c) −5; d) −14; e) 27; f) −98

124

UEA – Licenciatura em Matemática

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TEMA 13

OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

1) 2 × (−45) = −90. Ana deve R$90,00.

2) 3 × (−16) = −48. O segundo mergulhador está a 48metros de profundidade.

3) (+800) : (−2) = − 400. Joana deverá sacar R$400,00por mês.

4) a) 126; b) –90; c) 1; d) 2; e) −5; f) −7

TEMA 14

OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO ERADICIAÇÃO. EXPRESSÕES NUMÉRICAS

1) x = (−2)2 – (−1)3 = (+4) – (−1) = 4 + 1 =5

2) 962 = 9 216 habitantes

3) x = 40

4) a) ×(16 − − 8 – 4 + 5) = ×(16 – 6 –12 + 5)= 7 × (+3) = 21

b) (+3)3 × (−4) + {(−4)8 – 4 – 4 +[(−8) : (+8)]} == (+27) × (−4) +{(−4)4 – 4 +(−1)} == −108 + {16 − 4 – 1} = −108 + 16 − 5 = −97

UNIDADE V − O Conjunto dos Números Racionais

TEMA 15

O NÚMERO RACIONAL ABSOLUTO

1) O total de turistas é: 9 + 6 + 4 = 19. Logo: a fração

de brasileiros em relação ao total de turistas é .

2) Como o mês de outubro têm 31 dias, a fração refe-

rente aos onze dias deste mês é .

3) a) P; b) I; c) P; d) A.

4) = 3

5) a) = ; b) =

6) x = 64

7) a) b)

TEMA 16

O CONJUNTO DOS RACIONAIS RELATIVOS.

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA.

SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR

ABSOLUTO DE UM NÚMERO RACIONAL

1) a) > ; b) > ;

c) resposta < 0 todo número negativo é menor

que zero;

d) > − todo número negativo é menor que

qualquer numero positivo.

2) c, d

TEMA 17

OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1) a)

b)

2) a) 1 b)

3) a)

b)

4) a) ; b)

5) a) − ; b) + == + == + == +1 ; c) −

6) + =

+ =

7) − =

+ =

125

Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios

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TEMA 18

OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

1) Comeram do bolo,

pois: + = = = e falta

comer , pois 1 inteiro = e como já foram comi-

dos , sobram ainda − = .

2) a)

b)

3)

Pelo m.m.c., tem-se:

=

= =

Simplificando por 5, tem-se: =

4)

Logo, a distância total a ser escalada é de 1600m.

5) de 24 = ×× 24 = = 12

Logo, Sueli apontou 12 lápis.

TEMA 19

OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

1) a) 1; b) ; c) ;

d)

2) a) b) c) d)

TEMA 20

EXPRESSÕES NUMÉRICASE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

1) a) − ; b) 0 c)

2) a) Resta pintar do quarto;

b) Precisarão 15 litros para pintar a parte que falta; c) Precisarão 40 litros para pintar o quarto todo;d) vou precisar 16 latas de tinta para pintar o quarto

todo.

3) Sobraram 840 sacas.

4) Mamãe levou para a feira R$105,00.

5) O valor total da herança é de R$720.000,00.

TEMA 21

REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROSFRACIONÁRIOS NA FORMA DECIMAL

1) a) dois inteiros e quarenta e cinco centésimos.

b) quatro milésimos.

c) quarenta e seis inteiros e sete centésimos.

2) a) =; b) >; c) <

3)

4) 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9

parte que sobrou: 1 − 0,9 = 0,1 =

126

UEA – Licenciatura em Matemática

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TEMA 22

OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO.

SISTEMA MONETÁRIO NACIONAL

1) a) 387; b) 0,475; c) 1957,08;

d) 2,6; e) 51,25; f) 6,75.

2)

3) Alternativa b

1 nota de R$50,00; 3 notas de R$10,00; 1 nota de

R$5,00; 4 moedas de R$1,00 e 1 moeda de R$0,10.

4)

Logo, o valor da entrada da televisão com 2 casas

decimais é R$150,33

5) 0,3 × 3 = 0,9

6) 1498 : 8 = 187,25 Logo, o valor de cada prestação

da geladeira é R$187,25.

7) 5,44 × 8 = 43,52 Logo, paguei pelos 8 retalhos de

tecido R$43,52.

8) 0,8 : 5 = 0,16 Logo, cabe a cada criança 0,16 do

bolo.

UNIDADE VI − Geometria das formas e das medidas

TEMA 23

A GEOMETRIA DE EUCLIDES.

CONCEITOS PRIMITIVOS. SEMI-RETA.

SEGMENTO DE RETA. NOÇÕES DE MEDIDA

1) a) plano; b) reta; c) ponto.

2) a) V; b) F; c) V; d) V;

TEMA 24

UNIDADES DE MEDIDADE COMPRIMENTO

1) a) oito quilômetros e sete hectômetros;

b) trinta e cinco centímetros;

c) vinte e sete centímetros e oito milímetros;

d) oito milímetros.

2) a) 0,25hm; b) 36 000m;

c) 0,0682hm; d) 73 500dm

TEMA 25

CURVAS ABERTAS E FECHADAS.REGIÕES CONVEXAS. ÂNGULOS E POLÍGONOS

1) a) agudo; b) obtuso; c) raso; d) reto

2) Enumerando as partes da figura tem-se:

I e II: triângulos convexos;

III: pentágono não-convexo e

IV: quadrilátero: trapézio convexo.

3) a) 3000’ b) 4800” c) 34o

4) a) 50o 50’ 6” b) 35o 40’

c) 229o 30’ 20” d) 5o 15’ 5”

TEMA 26

TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS. PERÍMETRO

1) a) retângulo isósceles;

b) acutângulo eqüilátero;

c) obtusângulo escaleno;

d) obtusângulo isósceles

2) a) V; b) V; c) F

3) a) losango; b) retângulo; c) trapézio

4) 71,7 cm

5) 145 m

6) 40 cm : 5 cm = 8 Logo, Patrícia poderá dividir acorda com 8 amiguinhas.

7) Sendo o heptágono um polígono de 7 lados, seuperímetro será 7 × 2 cm = 14 cm.

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Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios

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TEMA 27

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

1) a) 0,000455 m2 b) 0,2356 km2

c) 0,000000000067 hm2 d)10678dm 2

TEMA 28

ÁREA DE PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

1) 28 cm2

2) 582 200 ha

3) 330 000 m2

4) a) 225 cm2; b)2000

5) 1 600 cm2

TEMA 29

VOLUME DE SÓLIDOS. MEDIDAS

DE CAPACIDADE E MASSA

1) O volume da embalagem depende das dimensões

da embalagem escolhida.

2) A capacidade mínima depende das dimensões da

televisão.

3) a) novecentos e quarenta hectômetros cúbicos;

b) dois metros cúbico se setecentos e setenta e no-

ve decímetros cúbicos;

c) dezenove decalitros e cinco litros;

d) oito miligramas.

4) a) 0, 0000451m3; b) 40cm3;

c) 36 000g; d) 73 500dl

5) a) 432l; b) 432kg

TEMA 30

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS:

PRISMAS E PIRÂMIDES

1) Usando a planificação do prisma na figura abaixo,

temos:

Na figura, tem-se que:

r = medida da aresta lateral = 6cm e

s = medida da aresta da base = 3cm.

a) Al (Área lateral) = 6 × Ar (área do retângulo)

= 6 . r . s = 6 × (6 × 3) = 108 cm2.

Ab (Área da base) = área da região limitada pelo

hexágono regular.

Como a região hexagonal é formada por seis re-

giões triangulares eqüiláteras, tem-se:

Ab = 6 × At (área do triângulo)

= 6 × = cm2.

Logo, At (área total) = Al + Ab

At = 108 + 2 ×

At = 27 (4 + )cm2.

b) Volume V = AbH , como o prisma é reto r = H.

V = × 6 = 81 cm3

2) At = 9 (8 + ) u.a. (unidades de área) e

V = 18 u.v. (unidades de volume)

3) V = 90 cm3

128

UEA – Licenciatura em Matemática

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TEMA 31

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS:CORPOS REDONDOS.CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

1) Área da cartolina = 70 × 50 = 3500cm2

Área do círculo = 3,14 × 102 = 3,14 × 100 = 314cm2

Para calcular quantos círculos de 314cm² de áreacabem num retângulo de 3500cm2 de área, divide-se 3500 por 314, o que equivale a aproximadamente11,15. Isto significa que cabem 11 círculos e, portan-to, sobra cartolina.

2) Comprimento = 8 πm e área = 16 πm2

3) Área do circulo com 5cm de raio = 25 πcm2

Área do círculo com 3cm de raio = 9 πcm2

Área da região sombreada = 25 πcm2 − 9 πcm2 == 16 πcm2

TEMA 32

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS:CORPOS REDONDOS. CILINDRO E CONE

1) O volume depende das dimensões do raio e alturaescolhidas.

2) A capacidade da lata é de 538,51ml

3) a) Prisma pentagonal

Arestas laterais: AF, BG, CH, DI e EF.

Faces laterais: FGAB, GHBC, HICD, JIED e FJAE.

Arestas das bases: AB, BC, CD, DE, AE, FG, GH,HI, IJ e FJ.

b) Pirâmide triangular

Arestas laterais: AB, AC e AD.

Faces laterais: ABD, ABC e ADC.

Arestas das bases: BD, BC e DC.

c) Cilindro

4) Pirâmide:

Área da base: 10 × 6 = 60cm2

Volume: = 140cm3

Cone:

Área da base = 3,14 × 52 = 78,5cm2

Volume = = cm3= 183,16cm2

Sendo o volume do cone maior que o volume dapirâmide, a embalagem com forma de cone é a maisadequada.

UNIDADE VII − Proporcionalidade

TEMA 33

RAZÕES E PROPORÇÕES

1) a) b) =

c) d) : = .. =

2) a) b) c)

3)

4) A mais econômica é a garrafa de 2 litros.

5) A resposta depende do número de habitantes e aárea total de cada município.

6) a, b e d

7) a) x = 10; b) y = 3; c) a = −54; d) z =

8) a) Os números são 78 e 114.

b) 20 meninas e 8 meninos.

c) O filho de 3 anos recebe R$27,00 e o de 5 anos recebe R$45,00.

d) As idades são 8 anos e 12 anos.

TEMA 34

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

1) Ana Maria irá percorrer 6 000m ou 6km

2) Os 10 pintores levariam 20 dias para pintar a esco-la.

3) Duas torneiras levarão 12 horas para encher a caixa.

4) O empreiteiro receberá R$14.630,00 por 35 dias detrabalho

5) Romildo receberá R$200,00 por 40 dias de trabalho

6) Serão necessárias 15 torneiras.

7) São necessários 48 operários.

8) Para encher 2 tanques levará 6 horas.

9) São necessárias 8 máquinas.

10) Deverão ser consumidos 1 250 litros de suco.

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TEMA 35

PORCENTAGEM

1) a) 7% b) 23% c) 123% d) 49%

2) a) b) c) d)

3) a) == == 35%; b) == == 6%;

c) == == 48%; d) == == 60%.

4) a) 360 b) 3

5) a) Luís pagou pelo aparelho R$576,85.

b) 30% de ausentes.

c) O preço da roupa é R$560,00.

d) Lina ganha R$250,00 por mês.

TEMA 36

JUROS SIMPLES

1) O juro a ser pago a dona Lili é de R$7.200,00.

2) Caio deve aplicar durante 3 meses.

3) O comerciante pagou de juros a quantia de R$21.600,00.

4) Os juros produzidos foram de R$21,00.

130

UEA – Licenciatura em Matemática

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REFERÊNCIAS

BATISTA, Célia Maria Nogueira et al. Matemática. Universidade do Estado do Amazonas. PROFORMAR,2003. 72 p.

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 5.a e 6.a Série. São Paulo: Moderna, 1995. 217 p.

________. PACCOLA, Herval. Sistemas de Numeração ao longo da história. São Paulo: Moderna, 2002.64 p.

BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática Atual. 5.a série. São Paulo: Atual, 1994.

GIOVANI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., José Ruy. A Conquista da Matemática. 5.a e 6.a

séries. São Paulo: FTD, 2002. 366 p. 391 p.

GUELI, Oscar. Contando a história da Matemática. N.o 1, 4 , 7. São Paulo: Ática, 1996. 41p.

________. Matemática: Uma aventura do pensamento. 6.a série. São Paulo: Moderna. 280 p.

IMENES, Luis Márcio; JAKUBOVIC José; LELLIS Marcelo. Matemática. 4.a série. São Paulo: Scipione, 1999.223 p.

Imenes & Lellis. Matemática. Ed. Scipione, 6.a série, São Paulo.

ROSA NETO, Ernesto; MENDONÇA, E.; SMITH, M. Matemática para o Magistério. São Paulo: Moderna,1996. 312 p.

SILVEIRA, E.; Marques, C. Matemática. 5.a série. São Paulo: Moderna, 2000. 312 p.

PATILLA, Peter. Círculos, Cilindros e Esferas (Coleção Viramundo). São Paulo: Moderna, 1995. 29 p.

TELECURSO 2000. MATEMÁTICA. 1.o grau. Disponível em: http://www.bibvirt.futuro.usp.br

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