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NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA

Carga Horária do nivelamento: 20 horas/aula

EMENTA: Conceituação sobre a matemática financeira e suas aplicações através de Juros e Taxas de juros (reais, efetivas e equivalentes). Descontos simples e compostos. Empréstimos e Amortização. Conceitos de equivalência e fluxo de caixa. Valor Presente Líquido, Taxa Interna de Retorno. Avaliação de fluxos de caixa pelos métodos do Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno.

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• Diferentemente que muitos possam imaginar, a matemática financeira não é somentenão é somente uma técnica ou ferramenta que se preocupa com cálculos de juros simples ou compostos.

• A matemática das finanças pode ser entendida como uma ciência que se preocupa em analisar os fenômenos econômico-financeiros, convergindo a eficientes processos de tomadas de decisão (de cunho pessoal, empresarial, governamental). Solucionando problemas, em geral, por meio de métodos quantitativos.

Matemática Financeira

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CONCEITO:

COMPREENDE UM CONJUNTO DE TÉCNICAS E FORMULAÇÕES EXTRAÍDAS DA MATEMÁTICA, COM O OBJETIVO DE RESOLVER PROBLEMAS RELACIONADOS ÀS FINANÇAS DE MODO GERAL, E QUE, BASICAMENTE, CONSISTEM NO ESTUDO DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

BRUNI, Adriano Leal

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Matemática Financeira

Este primeiro tópico apresentará formidáveis aspectos necessários para se interpretar e resolver questões financeiras.

Instrumentos-chave:

• Fluxo de Caixa;

• Regimes de Capitalização (seus significados e diferenças);

• Variáveis que formam os modelos financeiros

• Capitalização Contínua/Discreta e Descontínua

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FLUXO DE CAIXAFLUXO DE CAIXA

• É uma escala temporal correlacionada com informaçõesmonetárias, muito utilizada para definir orçamentos.

• Pode ser representado por tabelas, quadros ou esquematicamente por um diagrama.

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VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

• ESTÁ RELACIONADO À IDÉIA DE QUE, AO LONGO DO TEMPO, O VALOR DO DINHEIRO MUDA.

• OPORTUNIDADE DE APLICÁ-LO (JUROS).• RISCO• DESVALORIZAÇÃO DO CAPITAL (INFLAÇÃO).

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O TEMPO É UMA VARIÁVEL CHAVE PARA A M. F.

O TEMPO É UMA VARIÁVEL CHAVE PARA A M. F.

• REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (RCS)

• REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (RCC)

EXISTE DUAS FORMAS BÁSICAS NA EVOLUÇÃO DO CUSTO DO DINHEIRO NO TEMPO (CAPITALIZAÇÃO).

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Duas formas de Capitalizar

• Juros com capitalização SIMPLESOs juros são sempre calculados sobre o saldo

inicial• Juros com capitalização COMPOSTAOs juros são sempre calculados sobre o saldo atual

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JUROSDefinições

• “É o dinheiro pago pelo uso do dinheiro emprestado ou como remuneração do capital aplicado em atividades produtivas”

• Chama-se TAXA de JUROS i a razão entre os juros que serão cobrados no fim do período e o capital inicialmente empregado.

i=JP

i=JP

As taxa de juros podem ser mensais, trimesrais, semestrais, anuais.

EXEM PLO: - dívida R$ 1.500,00 - juros anuais R$ 150,00 Taxa de Juros anuais ... ia . a . = (150/1500) = 0,1 ou 10/100 ou 10%.

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FATORES QUE DETERMINAM A EXISTÊNCIA DOS JUROS

• INFLAÇÃO - diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno maior que o capital investido

• UTILIDADE - investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã, o que só é atraente quando o capital recebe remuneração adequada

• RISCO - existe sempre a possibilidade do investimento não corresponder às expectativas

• OPORTUNIDADE - os recursos disponíveis para investir são limitados, motivo pelo qual ao se aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros; e é preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório.

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TIPOS DE JUROS

•JUROS SIMPLES - só o pricipal rende juros ao longo da vida do investimento

•JUROS COMPOSTOS - após cada período, os juros são incorporados ao capital e passam, por sua vez, a render juros

•EXEMPLO: Considere R$ 100,00 empregados a 10% ao ano. Juros Simples Juros Compostos•Principal 100,00 100,00•após 1 ano 100 + 0,10 x 100 = 110 100 + 0,10 x 100 = 110•após 2 anos 110 + 0,10 x 100 = 120 110 + 0,10 x 110 = 121•após 3 anos 120 + 0,10 x 100 = 130 121 + 0,10 x 121 = 133,1•após 4 anos 130 + 0,10 x 100 = 140 133,1+0,10x133,1 = 146,41

•OBSERVAÇÃO: Na prática, no Brasil, empregam-se JUROS COMPOSTOS

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Juros Simples x Juros Compostos

EVOLUÇÃO DO CAPITAL SOB JUROS

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1 2 3 4 5

n (TEMPO)

PR

INC

IPA

L

Seqüência1Seqüência2

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PRINCÍPIOS BÁSICOSPRINCÍPIOS BÁSICOS

• SÓ COMPARAR VALORES MONETÁRIOS SE ESTIVEREM REFERENCIADOS NA MESMA

DATA.

• NUNCA SOME VALORES EM DATAS DIFERENTES.

• SÓ COMPARAR VALORES MONETÁRIOS SE ESTIVEREM REFERENCIADOS NA MESMA

DATA.

• NUNCA SOME VALORES EM DATAS DIFERENTES.

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JUROS SIMPLES

O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES.

– A TAXA DE JUROS INCIDE SOMENTE SOBRE O VALOR INICIAL (EMPRESTADO OU APLICADO).

EX: Ci = $ 100,00 aplicados a 5% ao período.primeiro período: 100 x 0,05 = $ 5,00segundo período: 100 x 0,05 = $ 5,00terceiro período : 100 x 0,05 = $ 5,00n-éssimo período: 100 x 0,05 = $ 5,00

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O RCS VISTO ATRAVÉS DE TABELA.

Mês Saldo Inicial Juros 8% a.m. Saldo Final

0 800,00

1 800,00 864,00

2 864,00 928,00

3 928,00 992,00

4 992,00 1.056,00

5 1.056,00 1.120,00

6 1.120,00 1.184,00

800,00

64,00

64,00

64,00

64,00

64,00

64,00

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Juros em RCS

J = VP x i x nJ = VP x i x nOnde:

j = Juros ( $ )

VP = Valor Presente ( $ )

i = Taxa ( unitária/período )

n = períodos de tempo

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Exercício 1

Um capital de $ 500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no RCS. Qual o valor dos juros mensais?

J = VP x i x n

J = 500 x 0,05 x 1 $ 25,00

J = VP x i x n

J = 500 x 0,05 x 1 $ 25,00

Na HP12C:

500 (ENTER) 5 % 25,00000 (visor)

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Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base.

SUGESTÃO:

Altere sempre n e evite alterar i

IMPORTANTEIMPORTANTE

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Na HP12C:

120 (ENTER) 4 % 7 X 33,600000 (visor)

Exercício 2

Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?

J = VP x i x n

J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60

J = VP x i x n

J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60

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MONTANTE OU VALOR FUTURO

VF = VP + j

VF = VP + (VP x i x n)

VF = VP x (1 + i x n)VF = VP x (1 + i x n)

j = VP x i x ne

SENDO:

MONTANTE OU VALOR FINAL

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Exercício 3

Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação?

VF = VP x (1 + i x n)

VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00

VF = VP x (1 + i x n)

VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00

Na HP12C:

3000 (ENTER) 6 % 5 x + 3.900,00000

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DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE NO RCS.

VF = VP (1 + i x n)

n = [(VF / VP) - 1] / i

i = [(VF / VP) - 1] / n

VP = VF / (1 + i x n)

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Exercício 4

Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação?

VP = VF / (1 + i x n)

VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00

VP = VF / (1 + i x n)

VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00

Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x + 500,00000 (visor)

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Exercício 5O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação?

i = [(VF / VP) - 1] / n

i = [(400 / 200) - 1] / 5

$ 0,20 ou 20% a. m.

i = [(VF / VP) - 1] / n

i = [(400 / 200) - 1] / 5

$ 0,20 ou 20% a. m.

Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5 0,200000 (visor)

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Exercício 6A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação?

n = [(VF / VP) - 1] / i

n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses

n = [(VF / VP) - 1] / i

n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses

Na HP12C: 134 (ENTER) 68 1 – 0,02 (visor) 48,52941175 meses

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CONTAGEM DE TEMPO

• COMERCIAL OU BANCÁRIO;• CIVIL OU EXATO.

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EXERCÍCIO 7Calcule os juros simples cobrados sobre uma operação de empréstimo no valor de $ 40.000,00, realizada por 58 dias, com uma taxa igual a 23% a.a. Empregue nos cálculos o ano:

a) comercial; b) civil ou exato.

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Exercício 8

• A Pague e Leve Eletrodomésticos Ltda, vende suas mercadorias com pagamento para após dois meses. Sabendo-se que determinado produto a vista custa $ 550,00 e, após dois meses, custa $ 715,00, calcule a taxa de juros simples mensal cobrada pela loja.VF = VP (1+ i x n)

715 = 550 (1 + i x 2) = 0,15 ou 15% a.m.

– RESPOSTA: 15% a.m.

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Exercício 9• Calcule o rendimento e o montante

acumulado ao final de 18 meses, de uma aplicação de $ 68.000,0, a taxa de 3% a.m. no RCS.J = 68.000 x 0,03 x 18 = $ 36.720,00VF = VP + J = 68.000 + 36.720 = $104.720,00

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Exercício 10

• Uma instituição financeira cobra de seus clientes 28% a.a. no RCS para saldos negativos em conta especial. O banco sempre efetua seus cálculos com base no ano comercial. Quais os juros que o banco cobrará para uma conta que ficou “estourada” em $ 4.200,00 por 16 dias?

J = 4.200 x 0,28 x 16 / 360 = $ 52,27

• HP 12C:4200 [ENTER] 28 [%] 16 [x] 360 [/] =$ 52,27

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Exercício 11• Em quantos períodos um capital aplicado a

juros simples de 20% ao período é quadruplicado?VF = 4 x VPVF = VP (1+ i x n) 4VP = VP (1+ i x n)4VP/VP = (1+ i x n) 4 = (1+ i x n)4 - 1 = i x n 3 = 0,2 x n

3 / 0,2 = n 15 períodos

HP 12C

400 [ENTER] 100 [/] 1 [-] 0,20 [/] =15 períodos

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Exercício 12

• Qual deve ser o valor aplicado hoje a uma taxa de 4% a.t. para obter $ 16.000,00 ao final de dois anos?VF = VP (1+ i x n)16000 = VP (1+ 0,04 x 2 x 4)

» VP = $ 12.121,21

HP 12C

16000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,04 [ENTER] 2 [x] 4 [x] [+] [/] = $ 12121,21

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Exercício 13• A partir de qual prazo $ 3.000,00

aplicados à taxa de 15% a.m. será inferior a $ 2.400,00 aplicados à taxa de 20% a.m.? Considere ambas as aplicações a juros simples.

» J 1 = 3.000 x 0,15 x 1 = $ 450,00

» J 2 = 2.400 x 0,20 x 1 = $ 480,00

• A cada um mês a diferença será menor em $ 30,00.Como a diferença total é de $ 600,00 (3.000 – 2.400) o tempo

necessário será de 20 meses (600 / 30).

Resposta: 20 meses

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Exercício 14• Uma nota promissória tem valor de resgate a $

40.000,00. Por quanto devemos adquiri-la hoje, 128 dias antes do vencimento, se desejamos uma rentabilidade linear de 26% a.a.? Considere o ano comercial nos cálculos.

» VF = VP (1 + i x n)

» VP = 40.000 / (1 + 0,26 x 128/360) =

$ 36.615,13• HP 12C.

40000 [ENTER] 0,26 [ENTER] 128 [ENTER] 360 [/] [x] 1 [+] [/]

Resposta: $ 36.615,13

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Exercício 15• Dados do Banco Indo-Australiano indicam

que uma aplicação de $ 500.000,00 obteve durante 215 dias um rendimento de $ 224.000,00. Calcule as taxas de rendimento (comercial) a juros simples para:a)O prazo da operação.

b)Ao Ano.

c) Ao semestre.

d)Ao bimestre.

e)Ao mês.

f) Ao dia.

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Resposta

• VP = $500.000,00 VF = $724.000,00 e J = $224.000,00.

• Na HP 12C:

724000 [ENTER] 500000 [/] 1 [-] 215 [ENTER] 360 [/] [/] = 0,7501 ao ano

os demais basta colocar o período na mesma base.

a) 44,80%.

b) 75,01% ao ano.

c) 37,50% ao semestre.

d) 12,50% ao bimestre.

e) 6.25% ao mês.

f) 0,2084% ao dia.

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JUROS COMPOSTOS

O REGIME COMPOSTO DE CAPITALIZAÇÃO.

– O rendimento se dá de forma exponencial. Os juros do período são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte.

– FÓRMULA:M = C*( 1 + i)n

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DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE NO RCC.

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Exercícios16) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.

17) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

18) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

19) O valor final de um empréstimo de R$ 5.000,00 por um período de 7 meses é R$ 5.862,72. Qual a taxa de juros da aplicação?

20) Calcule o número de períodos de capitalização para um principal de R$ 1.470,00, montante de R$ 1.623,00 à taxa de 2,00% a.m.

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TAXAS

• Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Ou é a unidade de medida pela qual os juros são fixados na remuneração de um capital num determinado período de tempo ( dias, meses, anos etc.)

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TAXA PROPORCIONAL

• Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

• Este caso se tiver uma taxa ao ano, e o período do problema é em meses, basta dividir a taxa por 12, ou seja, um (1) ano tem doze (12) meses.

• i= 12%aa 1%am• i= 8%as 1,33%am

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TAXA NOMINAL

• Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo NÃO coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização;

• A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:

– - 12% ao ano, capitalizados mensalmente;– - 24% ao ano, capitalizados semestralmente;– - 10% ao ano, capitalizados trimestralmente,– - 18% ao ano, capitalizados diariamente.

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TAXA EFETIVA

• A Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

– 120% ao mês com capitalização mensal; – 450% ao semestre com capitalização semestral; – 1300% ao ano com capitalização anual.

• OBS: Quando trabalhamos com taxa efetivas, omitimos o seu período de capitalização, pois eles estão na mesma unidade de tempo da taxa em questão.

Page 44: Slides Mba Matematica Financeira

TAXA EFETIVA

• ETAPAS:

1ª: Analisar a unidade de tempo entre a Taxa Nominal e a forma de capitalização;

2ª: Calcular a taxa efetiva conforme a forma de capitalização;

3ª: Calcular a taxa efetiva conforme a unidade de tempo da Taxa Nominal.

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EXEMPLOS

1. Determinar as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano, com os seguintes períodos de capitalização:

a) mensal;

b) Trimestral;

c) semestral.

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EXEMPLOS• RESPOSTAS:a) Tx. Nominal = 9% A.A Cap. Mensal Tx. Efet. Mensal = 0,75% A.M

Tx. Efet. Anual = {(1 + 0,0075)12 - 1} x 100 = 9,38% A.A

b) Tx. Nominal = 9% A.A Cap. Trimestral Tx. Efet. Trimestral = 2,25% A.T

Tx. Efet. Anual = {(1 + 0,0225)4 - 1} x 100 = 9,31% A.A

c) Tx. Nominal = 9% A.A Cap. Semestral Tx. Efet. Semestral = 4,50% A.S

Tx. Efet. Anual = {(1 + 0,045)2 - 1} x 100 = 9,20% A.A

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TAXA EQUIVALENTE

• Duas taxas são ditas equivalentes quando, embora referidas a unidades de tempo diferentes, aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo valor.

• Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado.

• As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

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Taxa Equivalente

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EXEMPLOS

1. Suponha as taxas de 10% ao mês e 33,10% ao trimestre. Considere o capital de R$ 20.000,00 aplicado durante 3 meses a essas taxas. Os valores futuros produzidos são:

Dados: VP=R$ 20.000,00; n = 3 meses = 1 trimestre; i1 =10% ao mês; i2 = 33,1% ao trimestre

Page 50: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLOS

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EXEMPLOS

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EXEMPLOS

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OPERAÇÕES DE DESCONTO OPERAÇÕES DE DESCONTO

As operações de desconto podem ser de dois tipos:

• RACIONAL (por dentro)

• COMERCIAL (por fora)

• BANCÁRIO

As operações de desconto representam a antecipação do pagamento (ou recebimento) de

valores futuros.

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DESCONTO EM RCS

• O desconto é aplicado quando um empréstimo é saldado antes do vencimento previsto e, claro, desde que esse desconto esteja previsto em contrato.

• Não vá correndo pagar todas suas contas com um mês de antecedência, pensando que com isso você vai conseguir altos descontos.

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ALGUNS SINÔNIMOS

Valor Presente = Valor Líquido = Valor Descontado ou Valor Recebido.

Valor Nominal = Valor Futuro = Valor de Face.

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DESCONTO RACIONALDESCONTO RACIONAL(desconto por dentro)(desconto por dentro)

Nas operações de desconto racional a taxa incidi sobre o VALOR PRESENTE da operação

(Desconto por DENTRO)

d = VF – VP

VP = VF / (1 + i x n)

d = VF – [VF / (1 + i x n)]

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LEMBRETE

DESCONTO RACIONAL ou POR DENTRO.

A taxa de juros incide sobre o Valor Presente

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EXERCÍCIO 21

Um título no valor nominal de $ 500,00, com vencimento programado daqui a três meses, foi descontado hoje. Sabendo que foi aplicado desconto racional no regime de capitalização simples, a uma taxa de 4,5% a. m., calcule o desconto e o valor recebido.

d = VF – [VF / (1 + i x n)]

d = 500 – [500 / (1 + 0,045 x 3)]

d = $ 59,47

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Resolução pela HP12C

500 [Enter] 1 [Enter] 0,045 [Enter] 3 [x] [+] [/]

no visor temos 440,53 (valor presente)

Ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 500 [+]

no visor temos 59,47 (valor do desconto)

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DESCONTO COMERCIALDESCONTO COMERCIAL(desconto por fora)(desconto por fora)

Nas operações de desconto comercial a taxa incidi sobre o VALOR FUTURO da operação.

(Desconto por FORA)

VP = VF - d

VP = VF x (1 - i x n)

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VP = VF x (1 - i x n) i = (1 - VP /VF) / n

VF = VP / (1 - i x n)

n = (1 - VP/ VF) / i

VARIAÇÕES DA FÓRMULA

VALOR PRESENTE

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EXERCÍCIO 22

Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto por fora igual a 4% a.m., calcule o valor do desconto e o valor líquido de uma operação com as seguintes características: prazo = 38 dias, valor nominal = $ 3.400,00.

VP = 3400 x (1 – 0,04 x 38/30)

VP = $ 3.227,73

VP = VF x (1 - id x n)

d = 3400 – 3227,73 = $172,27

d = VF – VP

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Resolução pela HP12C

1 [Enter] 0,04 [Enter] 38 [Enter] 30 [/] [x] [–] 3400 [x]

no visor temos 3227,73 (valor liquido)

Ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 3400 [+]

no visor temos 172,27 (valor do desconto)

Page 64: Slides Mba Matematica Financeira

DESCONTO BANCÁRIODESCONTO BANCÁRIODESCONTO BANCÁRIODESCONTO BANCÁRIOAs operações de desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, porém, no caso do desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), o que altera os resultados anteriormente calculados.

Assim, o desconto bancário será igual ao desconto comercial mais uma taxa pré-fixada que incide sobre o valor nominal.

Page 65: Slides Mba Matematica Financeira

Fórmula do Desconto Bancário

dB = dC + t x VFdB = dC + t x VF

Onde:

•dB = desconto bancário

•dC = desconto comercial

•t = taxa pré-fixada

•VF = Valor Futuro

Page 66: Slides Mba Matematica Financeira

O Valor Presente de desconto Bancário

VP = VF - dBdB = dC + t x VF

VP = VF – (dC + t x VF)

dC = VF x id x n

VP = VF – (VF x id x n + t x VF)

VP = VF x (1 - id x n - t)VP = VF x (1 - id x n - t)

VALOR PRESENTE LÍQUIDO

Page 67: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 23EXERCÍCIO 23

Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-datado no valor de $ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título

VP = VF x (1 - id x n - t)VP = VF x (1 - id x n - t)

VP = 5000 x (1 – 0,03 x 5 – 0,007) VP = $ 4.215,00VP = $ 4.215,00

d = VF - VPd = VF - VP

d = 5000 - 4215 d = $ 785,00d = $ 785,00

Page 68: Slides Mba Matematica Financeira

Resolução pela HP12C

1 [Enter] 0,03 [Enter] 5 [x] [–] 0,007 [-] 5000 [x]

no visor temos 4.215,00 (valor presente)

Ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 5000 [+]

no visor temos 785,00 (valor do desconto)

Page 69: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 24EXERCÍCIO 24

Um banco realiza operações de desconto de notas promissórias mediante a aplicação de uma taxa simples de desconto por fora igual a 4% ao mês. Além disso, cobra a título de IOF uma taxa igual a 0,3% sobre o valor nominal. Qual será o valor líquido recebido após desconto de um título com valor nominal igual a $ 12.500,00 e vencimento em 50 dias?

VP = VF x (1 - id x n - t)VP = VF x (1 - id x n - t)

VP = 12.500 x (1 – 0,04 x 50/30 – 0,003)

VP = $ 11.629,17VP = $ 11.629,17

Page 70: Slides Mba Matematica Financeira

Resolução pela HP12C

1 [Enter] 0,04 [Enter] 50[x] 30 [/] [–] 0,003 [-] 12.500 [x]

no visor temos 11.629,17 (valor presente)

E se ainda o problema pedir o valor do desconto devemos,

ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 5000 [+]

no visor temos 870,83 (valor do desconto)

Page 71: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 25EXERCÍCIO 25

Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a $7.800,00 dois meses antes de seu vencimento mediante uma taxa de desconto por fora igual a 7% ao mês e um percentual sobre o valor de face igual a 0,8%. Qual o valor líquido recebido pela empresa?

VP = VF x (1 - id x n - t)VP = VF x (1 - id x n - t)

VP = 7.800 x (1 – 0,07 x 2 – 0,008)

VP = $ 6.645,60VP = $ 6.645,60

Page 72: Slides Mba Matematica Financeira

Resolução pela HP12C

1 [Enter] 0,07 [Enter] 2 [x] [–] 0,008 [-] 7.800 [x]

no visor temos 6.645,60 (valor presente)

E se ainda o problema pedir o valor do desconto devemos,

ainda com este valor no visor digite:

[CHS] 7800 [+]

no visor temos 1.154,40 (valor do desconto)

Page 73: Slides Mba Matematica Financeira

DESCONTO EM RCC

• É o abatimento concedido sobre um título por seu resgate antecipado, ou a venda de um título antes do seu vencimento, observando os critérios da capitalização composta.

• Como no desconto simples temos duas formas de desconto composto:

a)Desconto racional composto ou por dentro.

b)Desconto comercial composto ou por fora.

Page 74: Slides Mba Matematica Financeira

Desconto Comercial Composto(desconto por fora)

Nas operações de desconto comercial a taxa incidi sobre o VALOR FUTURO da operação.

(Desconto por FORA)

VP = VF - d

VP = VF x (1 - i)n

Dc = VF x [1- (1 - i)n ]

VF = VP / (1 - i)n

Page 75: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 26EXERCÍCIO 26

Calcular o valor atual de um título de $ 20.000 descontados  um ano antes do vencimento a taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre capitalizável trimestralmente.

VP = VF x (1 - i)n

VP = 20.000 x (1 – 0,05)4

VP = 20.000 x (0,95)4

VP = 20.000 x 0,814506VP = R$ 16.290,12

Page 76: Slides Mba Matematica Financeira

Desconto Racional Composto(desconto por dentro)

Nas operações de desconto racional a taxa incidi sobre o VALOR PRESENTE da operação

(Desconto por DENTRO)

VF = VP x (1 + i)n

Dr = VF x [1- (1 + i)-n ]

VP = VF / (1 + i)-n

Page 77: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 27EXERCÍCIO 27

Encontrar o desconto Racional Composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2% ao mês.

Dr = VF x [1- (1 + i)-n ]

Dr = VN [1 - (1 + i)-n]Dr = 50.000 [1 - (1 + 0,02)-2]Dr = 50.000 [1 - (1,02)-2]Dr = 50.000 [1 – 0,961169]Dr = 50.000 . 0,038831Dr = 1.941,56

Page 78: Slides Mba Matematica Financeira

ANUIDADES OU

RENDAS CERTAS

CONCEITO:Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto em nível de financiamentos (Amortização) quanto de investimentos (Capitalização).

Page 79: Slides Mba Matematica Financeira

Rendas Certas ou Anuidades

Algumas definições importantes:

ANUIDADES: é cada pagamento feito em determinados intervalos de tempo (Ex: mensal, bimestral, anual, etc.).

INTERVALOS DE PAGAMENTO: intervalo de tempo decorrido entre dois pagamentos.

VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL: é a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos, calculados numa data focal dada, anterior às datas de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.

VALOR FUTURO OU MONTANTE: é a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos, calculados numa data focal dada, posterior às datas de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.

SEQUENCIA UNIFORME DE PAGAMENTOS: quando todos os pagamentos ou anuidades são iguais, os períodos e as taxas de juros

também são iguais. 

Page 80: Slides Mba Matematica Financeira

Rendas Certas ou Anuidades As Séries de Pagamento uniformes divide-se em:

POSTECIPADAS: são aquelas cujo pagamento ocorre no fim do período. Ex: Pagamento da fatura do cartão de crédito.

ANTECIPADAS: são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no início do período. Exemplo: Compra em uma loja para pagamento em 4 prestações mensais, iguais, sendo uma de entrada.

DIFERIDAS: são aquelas séries de pagamento que se iniciam após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos. Geralmente conhecido por “período de carência”. Exemplo: Financiamento pelo prazo de 6 meses, com carência de 2 meses.

ANUIDADES TEMPORÁIS: quando o número de intervalo de tempo é finito.

ANUIDADES VARIÁVEIS: quando os intervalos de tempo não são iguais ou os prestações diferem de valor.

ANUIDADES PERPÉTUAS: quando o número de intervalos de tempo é infinito.

Page 81: Slides Mba Matematica Financeira

Rendas Certas ou Anuidades

Classificação das Anuidades:

• Quanto ao número de prestações:

Finitas: quando ocorrem em um período determinado de tempo;

Infinitas: quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente;

• Quanto a periodicidade dos temos:

Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalo de tempo constante.

Não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalos de tempo irregulares.

• Quanto ao valor das prestações:

Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos são de valores iguais.

Não Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.

Page 82: Slides Mba Matematica Financeira

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

Seja um principal VP a ser pago em n termos iguais a PMT, imediatos, postecipados e periódicos, submetidos a uma taxa i de juros composto, referida ao mesmo período de tempo.

Representação gráfica do modelo:

O Objetivo é trazer todos os pagamentos ou prestações para o momento inicial.

Page 83: Slides Mba Matematica Financeira

VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

FÓRMULA DO MODELO BÁSICO DE ANUIDADE POSTECIPADAS

Page 84: Slides Mba Matematica Financeira

Valor Presente de uma Anuidade Imediata Perpétua

EXPRESSÃO

iPMTVP

1

Page 85: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLO

Se uma imóvel está rendendo um aluguel de R$ 550,00 por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado é de 2,7% ao mês, qual séria o valor doimóvel alugado?

Page 86: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLO

Uma pessoa quer comprar um imóvel para viver com a renda do seu aluguel. Calcula que poderá alugá-lo por R$ 2.000,00 mensais. Quanto estará disposta a pagar pelo imóvel se a taxa de mercado está em torno de 1% a.m?

Page 87: Slides Mba Matematica Financeira

Valor Presente de uma Anuidade Antecipada

Page 88: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLO

Comprei uma geladeira de última geração nas Lojas Enairam em 18 pagamentos de R$ 130,72, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa cobrada pela loja é de 2% ao mês, qual o preço à vista da geladeira.

Page 89: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLO

As Lojas Brasileiras esta vendendo um aparelho de ar condicionado à vista por R$ 1.799,00 ou em 15 prestações fixas, sendo a primeira no ato da compra. Qual o valor das prestações se a taxa cobrada pela loja é de 1,3% ao mês.

Page 90: Slides Mba Matematica Financeira

Valor Presente de uma Renda DiferidaEXPRESSÃO

cn

ii

iPMTVP

)1(

)1(1

OU:

Page 91: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLO

Um empréstimo de R$ 8.000,00 deve ser pago com juros de 4,5% a.m., em seis parcelas mensais iguais, vencendo a primeira a 90 dias do empréstimo. De quanto serão as parcelas?

Page 92: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLO Uma financeira emprestou a quantia de R$ 720,00, pelo prazo de um ano, para recebimento em 8 prestações mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira deverá vencer no final do quinto mês e que a taxa cobrada é de 6,5% ao mês, determine o valor das prestações?

Page 93: Slides Mba Matematica Financeira

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

Como o valor futuro de uma renda é a soma dos valores futuros de cada um dos seus termos, temos a seguinte representação.

Representação gráfica do modelo:

Page 94: Slides Mba Matematica Financeira

VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA

FÓRMULA DO VALOR FUTURO DE ANUIDADE POSTECIPADAS

Page 95: Slides Mba Matematica Financeira

Valor Futuro ou Valor Futuro do Modelo Básico

Para calcular o n quando são dados VF, PMT e i, não é neces-

sário aplicar uma fórmula própria. Pode-se deduzir uma fórmu-

la que deriva facilmente:

)1ln(

)1/*ln(

i

PMTiVFn

Page 96: Slides Mba Matematica Financeira

Valor Futuro de uma Anuidade Antecipada

Page 97: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLO

Comprei uma geladeira de última geração nas Lojas Enairam em 18 pagamentos de R$ 130,72, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa cobrada pela loja é de 2% ao mês, qual o preço à vista da geladeira.

Page 98: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Page 99: Slides Mba Matematica Financeira

INTRODUÇÃO

• A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de formas que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas.

• As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização.

• Existem muitas maneiras de se pagar esses dívidas, entre as mais conhecidas se destacam:

SISTEMA DO MONTANTE SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS

SISTEMA AMERICANO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS

Page 100: Slides Mba Matematica Financeira

Sistemas utilizados no mercado e respectiva característica preponderante

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DO MONTANTE: Os juros e o capital são quitados no final da operação.

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DE JUROS ANTECIPADOS: O tomador do empréstimo paga os juros decorrentes da operação, na hora do empréstimo, devendo quitar somente o capital no final da operação.

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO - SAA: Os juros são pagos periodicamente e o principal é quitado no final da operação. Ex.: Títulos da dívida pública, debêntures, etc.

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) - SAF: A dívida é quitada através de prestações iguais, periódicas e sucessivas. Ex.: Amplamente utilizado no Brasil: CDC (crédito direto ao consumidor).

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC: Amortizações periódicas, sucessivas e decrescentes em P.A. de uma dívida, onde a prestação incorpora principal mais encargos. Ex.: Sistema Financeiro de Habitação.

• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM: Por esse sistema, os pagamentos são média aritmética dos pagamentos dos sistemas Price e SAC.

Page 101: Slides Mba Matematica Financeira

DEFINIÇÃO BÁSICA

Os Sistemas de Amortização tratam, primordialmente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos (pagos) pelo devedor (mutuário) ao credor do capital (mutuante).

• CARACTERÍSTICAS:a) Basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e

financiamentos de longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do principal e encargos financeiros (juros da operação);

b) Utiliza exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior;

c) Cada sistema de amortização obedece a uma certa padronização, tanto nos desembolsos, quanto nos reembolsos;

d) Podem ter ou não carência, sendo que, no período de carência, normalmente são pagos os juros;

Page 102: Slides Mba Matematica Financeira

TERMINOLOGIAS

• Encargos Financeiros – juros da operação que podem ser pré-fixados ou pós-fixados, constituindo-se custo para o devedor e retorno para o credor;

• Amortização – pagamento do capital emprestado, realizado através das prestações periódicas, mensais, bimestrais, trimestrais, etc.;

• Saldo Devedor – Representa o valor do principal da dívida, em um determinado momento, após a dedução das amortizações já efetuadas pelo mutuário;

• Prestação – Amortização mais encargos financeiros devidos em determinado período de tempo.

• Carência - é o período que vai da data da concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação.

Page 103: Slides Mba Matematica Financeira

DEMONSTRATIVOS• São quadros ou tabelas que permitem o devedor (ou o credor)

conhecer, a cada período, o ESTADO da DÍVIDA (total pago e o saldo devedor).

• Em todos os demonstrativos devem constar:

Page 104: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA DO MONTANTE

• Por esse sistema, o devedor paga no final do prazo, o montante da divida, ou seja, o valor emprestado mais os juros decorrentes do período;

• Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros compostos;

• Para se calcular o valor desse pagamento final, basta calcular o montante correspondente conforme o caso. O valor da dívida será o valor presente PV e o pagamento final será o valor futuro FV, calculado sobre a taxa i contratada por n períodos.

• Se o contrato prevê juros simples, tem-se: FV = PV (1 + i.n).

• Se o contrato prevê juros compostos, tem-se: FV = PV (1 + i)n

Page 105: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLO

Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros de 4,2% ao mês. Calcule o pagamento final

Page 106: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS• O devedor paga no ato da liberação do empréstimo o total dos juros decorrentes da operação, pagando no final do período apenas o valor solicitado do empréstimo.

• Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros compostos.

• Se os juros são pagos antecipadamente, o valor liberado não coincide com o valor solicitado pelo devedor, portanto cabe ao tomador do empréstimo solicitar um valor maior.

• É interessante neste caso calcular o valor efetivamente liberado. Chamando de VL o valor efetivamente liberado e de PV o pagamento final e supondo que o empréstimo foi feito à taxa i pelo prazo de n períodos, o valor liberado será:

Page 107: Slides Mba Matematica Financeira

EXEMPLOUm empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros de 4,2% ao mês. Calcule:

a) O valor liberado no sistema de juros simples;

b) O valor liberado no sistema de juros composto;

Page 108: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA AMERICANO

• Paga-se os JUROS periodicamente e o valor emprestado é pago no final do prazo estipulado;

• No final do prazo é pago, além dos juros do período, o valor emprestado.

• Por esse sistema não há diferença entre os regimes de juros simples ou juros compostos, pois como os juros são pagos periodicamente o saldo devedor é sempre o mesmo.

EXEMPLO

Considere um empréstimo de $ 100.000 feito à taxa de 10% a.m. pelo prazo de 3 meses. Qual será o desembolso mensal do devedor se o empréstimo for feito pelo sistema americano com os juros pagos mensalmente.

Page 109: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA AMERICANO

• FÓRMULA:

J = PV x i x nONDE:

J = Juros;

PV = valor emprestado;

i = taxa de juros;

n = nº períodos

Page 110: Slides Mba Matematica Financeira

SOLUÇÃO

N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

0

1

2

3

4

100.000,00

100.000,00

zero100.000,00

---------------

---------------

10.000,00

10.000,00

10.000,0010.000,00

10.0000,00

110.000,00

--------------- --------------- --------------- 100.000,00

Page 111: Slides Mba Matematica Financeira

• O devedor obriga-se a devolver o principal acrescido de juros em prestações iguais e consecutivas (as prestações são CONSTANTES e incorporam os juros e a amortização);

• O valor da prestação é CONSTANTE, sendo que cada prestação é composta de uma parcela de juros e uma parcela de amortização.

• O valor dos juros decresce com o tempo e o valor da amortização aumenta, logo juros e amortização nesses sistemas são inversamente proporcionais

EXEMPLOS: - Crédito Direto ao Consumidor

- Financiamento de automóveis

Sistemas de Amortização Francês ou Price - SAFSistemas de Amortização Francês ou Price - SAF

Page 112: Slides Mba Matematica Financeira

• FÓRMULA:

PMT = PV/ 1- (1+i)-n /i

ONDE:

PV = empréstimo;

i = taxa de juros;

n = número de prestações;

PMT = prestações.

Sistemas de Amortização Francês ou Price - SAFSistemas de Amortização Francês ou Price - SAF

Page 113: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 1

Elaborar a planilha pelo sistema francês de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. .

Page 114: Slides Mba Matematica Financeira

SOLUÇÃO

Page 115: Slides Mba Matematica Financeira

SOLUÇÃO

OBS: No final do período o saldo devedor deve ser zero ou muito próximo de zero.

Page 116: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 2

Considerando um empréstimo de R$ 100.0000,00, feito à taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago no Sistema PRICE, determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.

Page 117: Slides Mba Matematica Financeira

SOLUÇÃO

N PRESTAÇÃOPV

JUROS10% x S.D.

AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

0

1

2

3

4

78.452,92

54.751,13

28.679,16

zero28.679,16

26.071,97

23.701,79

21.547,08

2.867,92

5.475,11

7.845,29

10.000,0031.547,08

31.547,08

31.547,08

31.547,08

--------------- --------------- --------------- 100.000,00

Page 118: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES - SAC

• Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem em cada uma delas, uma amortização constante + juros sobre o saldo devedor.

• Enquanto no sistema Francês as prestações são constantes, por esse sistema as amortizações é que são iguais.

• As amortizações são calculadas por:

A = n

VP

Page 119: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES - SAC

Page 120: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 3

Elaborar a planilha pelo sistema SAC de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m.

Page 121: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 3

Page 122: Slides Mba Matematica Financeira

EXERCÍCIO 4

Considerando mais uma vez o empréstimo de $ 100.000,00, feito à taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago pelo sistema SAC, fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.

Page 123: Slides Mba Matematica Financeira

Solução

000.254

000.100

n

VPA

Page 124: Slides Mba Matematica Financeira

SOLUÇÃO

N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

0

1

2

3

4

75.000,00

50.000,00

25.000,00

zero25.000,00

25.000,00

25.000,00

25.000,00

2.500,00

5.000,00

7.500,00

10.000,0035.000,00

32.500,00

30.000,00

27.500,00

--------------- --------------- --------------- 100.000,00

Page 125: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

• Criado pelo extinto BNH (Banco Nacional de Habitação) em maio de 1979;

• Constitui-se num misto entre o SFA (Price) e o SAC;

• O SAM é um plano de pagamentos compostos por pagamentos cujos valores são resultantes da média aritmética das prestações no SFA e na SAC.

• Os valores de amortização e juros resultam da mesma regra.

Page 126: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

P SAM = PSAF + PSAC

2

A SAM = ASAF + ASAC

2

J SAM = JSAF + JSAC

2

FÓRMULAS

Prestação

Amortização

Juros

Page 127: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

P SAM = PSAF + PSAC

2

A SAM = ASAF + ASAC

2

J SAM = JSAF + JSA

2

FÓRMULAS

Prestação

Amortização

Juros

SFA SAC Soma (SAC+SFA)/2

1 83.222,92 96.000,00 179.222,92 89.611,46 2 83.222,92 88.800,00 172.022,92 86.011,46 3 83.222,92 81.600,00 164.822,92 82.411,46 4 83.222,92 74.400,00 157.622,92 78.811,46 5 83.222,92 67.200,00 150.422,92 75.211,46

ParcelaNo.

SFA SAC Soma (SAC+SFA)/21 47.222,92 60.000,00 107.222,92 53.611,46 2 52.889,68 60.000,00 112.889,68 56.444,84 3 59.236,42 60.000,00 119.236,42 59.618,21 4 66.344,80 60.000,00 126.344,80 63.172,40 5 74.306,18 60.000,00 134.306,18 67.153,09

AmortizaçãoNo.

SFA SAC Soma (SAC+SFA)/21 36.000,00 36.000,00 72.000,00 36.000,00 2 30.333,24 28.800,00 59.133,24 29.566,62 3 23.986,50 21.600,00 45.586,50 22.793,25 4 16.878,12 14.400,00 31.278,12 15.639,06 5 8.916,74 7.200,00 16.116,74 8.058,37

No.Juros

Page 128: Slides Mba Matematica Financeira

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

RESUMINDO

Prestação Juros Amortização Saldo300.000,00

1 89.611,46 36.000,00 53.611,46 246.388,54 2 86.011,46 29.566,62 56.444,84 189.943,70 3 82.411,46 22.793,25 59.618,21 130.325,49 4 78.811,46 15.639,06 63.172,40 67.153,09 5 75.211,46 8.058,37 67.153,09 -

112.057,30 300.000,00 TOTAL

No.SAM (Sistema Amortização Mista)

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL

• Neste sistema, a devolução do principal é realizada em parcelas desiguais. As amortização são pré-fixadas e os juros calculados sobre o saldo devedor.

• Um banco emprestou $ 300.000 que serão amortizados da seguinte forma:

• 1o amortização = $ 30.000,00• 2o amortização = $ 50.000,00• 3o amortização = $ 70.000,00• 4o amortização = $ 65.000,00• 5o amortização = $ 85.000,00

Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL

• Um banco emprestou $ 300.000 que serão amortizados da seguinte forma:• 1o amortização = $ 30.000,00• 2o amortização = $ 50.000,00• 3o amortização = $ 70.000,00• 4o amortização = $ 65.000,00• 5o amortização = $ 85.000,00

Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

Prestação Juros Amortização Saldo0 300.000,00 1 36.000,00 36.000,00 300.000,00 2 36.000,00 36.000,00 300.000,00 3 66.000,00 36.000,00 30.000,00 270.000,00 4 82.400,00 32.400,00 50.000,00 220.000,00 5 96.400,00 26.400,00 70.000,00 150.000,00 6 83.000,00 18.000,00 65.000,00 85.000,00 7 95.200,00 10.200,00 85.000,00 -

195.000,00 300.000,00

No.SAV (Sistema Amortização Variável)

TOTAL