teste de hipóteses para a média

Prof. Dr. Jhames SampaioUniversidade de Brasília

‣ variância desconhecida‣ região crítica‣ teste rápido‣ p-valor

‣ quando não conhecemos a variância e queremos realizar um TH, a exemplo do que fizemos para os IC, basta utilizarmos a variância amostral no lugar da variância populacional na estatística de teste

variância desconhecida

X̄ − μσ n

Variância conhecida

X̄ − μS n

Variância desconhecida

S2 =n

∑i=1

(Xi − X̄)2

n − 1Aproximadamente N(0,1)

Aproximadamente

Tn−1t-Student com n-1 graus de

liberdade

‣ desse fato, podemos repetir de modo sistemático todo o raciocínio utilizado nos casos 1, 2 e 3 estudados nos testes para a média com variância conhecida, bastando apenas que no lugar da distribuição normal padrão utilizemos a distribuição t-Student com n-1 graus de liberdade

variância desconhecida

‣ ao fixarmos a probabilidade de erro tipo 1, iremos procurar quantis da distribuição t-Student para tomar decisões acerca do teste

‣ poderemos fazer isso encontrando a região crítica, calculando o valor crítico ou determinando o p-valor

‣ lembrem-se que a proporção é uma média de 0’s e 1’s

X̄ − μ0

σ n

Estatística de TesteSob H0

Sob H0

X̄ − μσ n

Variância conhecida

X̄ − μS n

Variância desconhecida

X̄ − μ0

S n

Estatística de Teste

variância desconhecida

tabela resumo

Hipóteses Rejeição de H0 p-valor

= vs ≠ |et | ≥ valor crítico 2P (Tn−1 ≥ |et |)

= vs >≤ vs >

= vs <≥ vs <

et ≥ valor crítico

et ≤ valor crítico

P (Tn−1 ≥ et)

P (Tn−1 ≤ et)

2P(X̄ ≥ |observado | )

P(X̄ ≥ observado)

P(X̄ ≤ observado)

x̄ − μ0s n

et =

1) defina as hipóteses:

2) calcule a estimativa pontual e a variância amostral: e

3) determine a distribuição da amostra, calcule a estatística de teste, encontre o p-valor,

4) tome uma decisão e interprete-a no contexto da pergunta de pesquisa:‣ se p-valor < α, rejeita H0: os dados fornecem evidências convincentes para Ha.‣ se p-valor > α, não rejeita H0: os dados não fornecem evidências convincentes para Ha.

H0: μ = μ0Ha: μ < ≠ μ0ou > ou

x̄

teste para a média (passos)

s2

prat

ican

doUm oficial de saúde publicou que o consumo diário médio de água por residência em um determinado município é de 1591 litros por dia. Para verificar a afirmação, 20 residências foram selecionadas aleatoriamente e o consumo foi registrado. Com base nos dados, apresentados abaixo, teste a afirmação do oficial ao nível de 5%.

1546 1564 1646 1705 1618 1755 1609 1655 1509 1828 1546 1614 1646 1464 1691 1473 1446 1637 1537 1682

μ = 1591 μ ≠ 1591H0: Ha:vs

p-valor =�2P(X�>�1608,55�|�H0�verdadeira)

=�2P(T19�>�0,79)1608,55�-�1591

20=�0,79

Estatística de teste

αn�=�20=�0,05

=�1608,55=�99,34

x̄s

99,34

GL (V)p

0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 0,975 0,980 0,990 0,995 0,9975 0,9990

1 1,0000 1,3764 1,9626 3,0777 6,3138 12,7062 15,8945 31,8205 63,6567 127,3213 318,3088

2 0,8165 1,0607 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 4,8487 6,9646 9,9248 14,0890 22,3271

3 0,7649 0,9785 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 3,4819 4,5407 5,8409 7,4533 1,0215

4 0,7407 0,9410 1,1896 1,5332 2,1318 2,7764 2,9985 3,7469 4,6041 5,5976 7,1732

5 0,7267 0,9195 1,1558 1,4759 2,0150 2,5706 2,7565 3,3649 4,0321 4,7733 5,8934

6 0,7176 0,9057 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 2,6122 3,1427 3,7074 4,3168 5,2076

7 0,7111 0,8960 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,5168 2,9980 3,4995 4,0293 4,7853

8 0,7064 0,8889 1,1081 1,3968 1,8595 2,3060 2,4490 2,8965 3,3554 3,8325 4,5008

9 0,7027 0,8834 1,0997 1,3830 1,8331 2,2622 2,3984 2,8214 3,2498 3,6897 4,2968

10 0,6998 0,8791 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,3593 2,7638 3,1693 3,5814 4,1437

11 0,6974 0,8755 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,3281 2,7181 3,1058 3,4966 4,0247

12 0,6955 0,8726 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,3027 2,6810 3,0545 3,4284 3,9296

13 0,6938 0,8702 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,2816 2,6503 3,0123 3,3725 3,8520

14 0,6924 0,8681 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,2638 2,6245 2,9768 3,3257 3,7874

15 0,6912 0,8662 1,0735 1,3406 1,7531 2,1314 2,2485 2,6025 2,9467 3,2860 3,7328

16 0,6901 0,8647 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,2354 2,5835 2,9208 3,2520 3,6862

17 0,6892 0,8633 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,2238 2,5669 2,8982 3,2224 3,6458

18 0,6884 0,8620 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,2137 2,5524 2,8784 3,1966 3,6105

19 0,6876 0,8610 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,2047 2,5395 2,8609 3,1737 3,5794

20 0,6870 0,8600 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,1967 2,5280 2,8453 3,1534 3,5518

21 0,6864 0,8591 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,1894 2,5176 2,8314 3,1352 3,5272

22 0,6858 0,8583 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,1829 2,5083 2,8188 3,1188 3,5050

23 0,6853 0,8575 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,1770 2,4999 2,8073 3,1040 3,4850

24 0,6848 0,8569 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,1715 2,4922 2,7969 3,0905 3,4668

25 0,6844 0,8562 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,1666 2,4851 2,7874 3,0782 3,4502

26 0,6840 0,8557 1,0575 1,3150 1,7056 2,0555 2,1620 2,4786 2,7787 3,0669 3,4350

27 0,6837 0,8551 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,1578 2,4727 2,7707 3,0565 3,4210

28 0,6834 0,8546 1,0560 1,3125 1,7011 2,0484 2,1539 2,4671 2,7633 3,0469 3,4082

29 0,6830 0,8542 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,1503 2,4620 2,7564 3,0380 3,3962

30 0,6828 0,8538 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,1470 2,4573 2,7500 3,0298 3,3852

31 0,6825 0,8534 1,0541 1,3095 1,6955 2,0395 2,1438 2,4528 2,7440 3,0221 3,3749

32 0,6822 0,8530 1,0535 1,3086 1,6939 2,0369 2,1409 2,4487 2,7385 3,0149 3,3653

33 0,6820 0,8526 1,0530 1,3077 1,6924 2,0345 2,1382 2,4448 2,7333 3,0082 3,3563

34 0,6818 0,8523 1,0525 1,3070 1,6909 2,0322 2,1356 2,4411 2,7284 3,0020 3,3479

35 0,6816 0,8520 1,0520 1,3062 1,6896 2,0301 2,1332 2,4377 2,7238 2,9960 3,3400

36 0,6814 0,8517 1,0516 1,3055 1,6883 2,0281 2,1309 2,4345 2,7195 2,9905 3,3326

37 0,6812 0,8514 1,0512 1,3049 1,6871 2,0262 2,1287 2,4314 2,7154 2,9852 3,3256

38 0,6810 0,8512 1,0508 1,3042 1,6860 2,0244 2,1267 2,4286 2,7116 2,9803 3,3190

39 0,6808 0,8509 1,0504 1,3036 1,6849 2,0227 2,1247 2,4258 2,7079 2,9756 3,3128

40 0,6807 0,8507 1,0500 1,3031 1,6839 2,0211 2,1229 2,4233 2,7045 2,9712 3,3069

50 0,6794 0,8489 1,0473 1,2987 1,6759 2,0086 2,1087 2,4033 2,6778 2,9370 3,2614

60 0,6786 0,8477 1,0455 1,2958 1,6706 2,0003 2,0994 2,3901 2,6603 2,9146 3,2317

75 0,6778 0,8464 1,0436 1,2929 1,6654 1,9921 2,0901 2,3771 2,6430 2,8924 3,2025

100 0,6770 0,8452 1,0418 1,2901 1,6602 1,9840 2,0809 2,3642 2,6259 2,8707 3,1737

∞ 0,6745 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449 1,9600 2,0538 2,3264 2,5759 2,8071 3,0903

Tabela da Distribuição t-Student

P (Tv t) = p

prat

ican

doUm oficial de saúde publicou que o consumo diário médio de água por residência em um determinado município é de 1591 litros por dia. Para verificar a afirmação, 20 residências foram selecionadas aleatoriamente e o consumo foi registrado. Com base nos dados, apresentados abaixo, teste a afirmação do oficial ao nível de 5%.

1546 1564 1646 1705 1618 1755 1609 1655 1509 1828 1546 1614 1646 1464 1691 1473 1446 1637 1537 1682

μ = 1591 μ ≠ 1591H0: Ha:vs

p-valor =�2P(X�>�1608,55�|�H0�verdadeira)

=�2P(T19�>�0,79)

=

1608,55�-�1591

20=�0,79

Estatística de teste

αn�=�20=�0,05

=�1608,55=�99,34

x̄s

99,34 entre�40%�e�50%> 2*(1-pt(0.79,19))

[1] 0.4392768

R

Fortes evidências em favor da hipótese nula