Teste de HipótesesParamétricos

Fundamentos de um teste de hipóteses Como construir testes de hipóteses para uma média.Como construir testes de hipóteses para uma

proporção.Como construir testes de hipóteses para uma

variância ou um desvio padrão.

Motivação

Um fabricante alega a vida média das pilhas AA é de 300 minutos. Se você suspeita-se que essa alegação não é válida, como poderia mostrar que ela é falsa?Mesmo que estivesse seguro de que a vida média de uma pilha não é 300, a vida média real pode ser muito próximo desse valor e a diferença não é importante.

Fundamentos de testes de hipóteses

Um teste de hipótese é um procedimento da estatística amostral para testar uma alegação sobre um valor de um parâmetro populacional.Uma alegação sobre um parâmetro populacional é chamada de hipótese estatística.Um par de hipóteses deve ser estabelecido:

Uma hipótese nula H0 que contém uma afirmativa de igualdade, tal como ≤ = ≥.Uma hipótese alternativa Há que é o complemento da hipótese nula.

Estabelecendo as hipóteses

1. Uma universidade alega que a proporção de seus alunos formados em quatro anos éde 82%

H0: p=82%Há: p≠ 82%

2. Um fabricante de torneiras alega que a taxa de fluxo médio de um determinado tipo é inferior ou igual a 2,5 galões por minuto

H0: μ ≤ 2,5Há: μ > 2,5

Estabelecendo hipóteses

3. Em um estudo para avaliar um novo motor instalado em automóveis, um grupo de pesquisa está buscando evidências para concluir que o novo motor aumenta a média de quilômetros por litro

H0: μ≤ 24 Há: μ > 24 Neste caso, a hipótese aternativa é a hipótese de pesquisa. Em tal caso as hipóteses nula e alternativa devem ser formuladas de modo que a rejeição de H0 suporte a conclusão e ação que estão sendo procuradas.

Tipos de errosSuponha que alguém afirma que determinada moeda não é viciada. Então, você joga a moeda 100 vezes e obtém 49 caras e 51 coroas. Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação.Qual seria a sua conclusão se o resultado fosse 21 caras e 79 coroas?É possível que a moeda não é viciada e você tenha extraído uma amostra incomum.Uma maneira de ter certeza é testar toda a população.Uma vez que o resultado é baseado em uma amostra, deve-se aceitar o fato que sua decisão pode estar incorreta.

Tipos de erros

Em todo teste de hipótese é assumido que a condição de igualdade na hipótese nula é verdadeira. Então deve-se tomar duas decisões:

Rejeitar a hipótese nulaNão rejeitar a hipótese nula

decisão H0 é verdadeira H0 é falsa

não rejeitar H0

erro tipo Ierro tipo IIDecisão Correta

Decisão Correta

rejeitar H0

Tipos de erros

Um erro tipo I ocorre se a hipótese nula for rejeitada quando ela for realmente verdadeira.Um erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for rejeitada quando ela for realmente falsa.Considere um sistema judicial. É escrita uma acusação.

H0: o réu é inocenteHá: o réu é culpado

decisão O réu é inocente H0 é falsa

não rejeitar H0

erro tipo Ierro tipo II

Justiça

Justiça

rejeitar H0

Tipos de erros

Na prática é especificado a probabilidade máxima permissível de se cometer o erro tipo I, chamado nível de significância. Ele é denotado por α.Escolhas comuns para o nível de significância são: 0,05 (5%) e 0,01 (1%)Assim, se a probabilidade de se cometer um erro Tipo I é controlada por selecionar um pequeno valor para o nível de significância, temos um alto grau de confiança que a conclusão para rejeitar H0 está correta.Como na prática não se atenta para a probabilidade de se cometer o erro tipo II, se decidimos aceitar H0 não podemos determinar quão confiantes podemos estarcom aquela decisão.Assim recomenda-se que seja usado a declaração “não rejeitar H0” em vez de aceitar H0.

Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido

SuposiçõesAmostra aleatóriaPelo menos uma das condições é satisfeita: a população é normal ou n>30

Testes UnilateraisH0: μ ≥ μ0 H0: μ ≤ μ0

Ha: μ < μ0 Ha: μ > μ0

Testes BilateralH0: μ = μ0

Ha: μ ≠ μ0

Exemplo: seja:H0: μ ≥ 3Ha: μ< 3

)n

,(NX2d σ

μ=

3

nσ

nσ

Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido

Unilateral a esquerda

3

(1- α) = 0,95

α = 0,05

Rejeitar H0 Não rejeitar H0n

σ64,1−

Região Crítica

nxz/

)3(σ

−=

0

(1- α) = 0,95

α = 0,05P(Z≤z)=0,05

-1,64

Rejeitar H0 Não rejeitar H0

Rejeitar H0 se 64,1/

)3(−≤

−=

nxz

σ

Convertendo para normal padrãoX Estatísticado teste

Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido

Unilateral a esquerda

Exemplo: seja:H0: μ ≤ 3Ha: μ> 3

Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido

Unilateral a direita

3

(1- α) = 0,95

Rejeitar H0Não rejeitar H0

nσ64,1

α = 005

P(Z≤z)=0,05

Rejeitar H0 se 64,1/

)3(≥

−=

nxz

σ

Convertendo para normal padrãoX

0

(1- α) = 0,95

RejeitarH0

Não rejeitar H0

64,1

α = 0,05 nxz/

)3(σ

−=

Estatísticado teste

Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido

Unilateral a direita

Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido

Bilateral

Exemplo: seja:H0: μ = 3Ha: μ ≠ 3

α /2 = 0,025 α/2 = 0,0,25

0,452

3

1- α = 0,95

n96,1 σ

nσ96,1−

RejeitarH0

Não rejeitar H0RejeitarH0

nxz/

)3(σ

−=

96,1/

)3(−≤

−n

xσ

Convertendo para normal padrãoX

α /2 = 0,025 α /2 = 0,0,25

0,452

0

1-α = 0,95

96,196,1−

RejeitarH0

Não rejeitar H0RejeitarH0

Rejeitar H0 se ou

Estatísticado teste

96,1/

)3(≥

−n

xσ

Teste de hipóteses para uma média σ é conhecido

Bilateral

1. Identifique o parâmetro de interesse no problema. Neste caso é μ.2. Formule a hipótese nula (H0)3. Formule uma hipótese alternativa apropriada (Ha)4. Defina o nível de significância5. Estabeleça a estatística usada usando a distribuição normal6. Estabeleça a região de rejeição usando o nível de significância7. Coletar os dados amostrais e calcular a estatística do teste8. Decida se H0 deve ou não ser rejeitada e transponha esta conclusão para

o contexto do problema

Procedimentos

Teste de hipóteses para uma média σ é desconhecidoUsar a distribuição t com n-1 graus de liberdade.Suposições:

Amostra aleatóriaValor do desvio padrão desconhecidoPelo menos uma das condições seguintes satisfeitas: população normal ou n>30.

Testes UnilateraisH0: μ ≥ μ0 H0: μ ≤ μ0

Ha: μ < μ0 Ha: μ > μ0

Testes BilateralH0: μ = μ0

Ha: μ ≠ μ0

Teste de hipóteses para uma média σ é desconhecido

Estatística do teste

Exemplo:Um vendedor de carros de carros usados afirma que o preço médio de carro Ford F-150 (1999) é de pelo menos US$ 16500. Você suspeita da alegação e determina que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem preço médio de US$15700 e desvio padrão amostral de US$ 1250. Existe evidência suficiente para rejeitar a alegação do vendedor a um nível de significância de 0,05?

ns

xt 0μ−=

x Média amostral

0μ Valor da média populacional usada no hipótese nula

Solução

H0: μ ≥ 16500

Ha: μ <16500

39,214/1250

16500157000 −≅−

=−

=

ns

xt μ

Valor crítico t0 na tabela da t com 13 graus de liberdade é t0=-1,771. A região de rejeição é t < -1,771.O Assim temos t = -2,39 < -1,771 e existe uma evidência para rejeitar H0 ao nível de significância de 5%.

Teste de hipóteses para uma proporçãoUsar a distribuição normal.Suposições:

Amostra aleatóriaCondições satisfeitas para distribuição binomialCondições satisfeitas para usar aproximação normal.

Testes UnilateraisH0: p ≥ p0 H0: p ≤ p0

Ha: p < p0 Ha: p > p0

Testes BilateralH0: p = p0

Ha: p ≠p0

Teste de hipóteses para uma proporção

Estatística do teste

Exemplo: Uma pesquisa alega que 23% dos norte-americanos são favoráveis à proibição do cigarro. Você decide testar essa alegação e extrai uma amostra aleatória de 200 pessoas nos Estados Unidos. Das 200 pessoas, 27% são favoráveis. A um nível de significância de 0,05, há evidência suficiente para rejeitar a alegação?

npq

ppz −=

ˆ

p̂ proporção amostralp proporção populacional usada na hipótese

nula

Solução

H0: p = 0,23

Ha: p ≠ 0,23

34,1

20077,023,023,027,0ˆ

00

0 ≅×−

=−

=

nqpppz

Os valores críticos na tabela da normal são z0=-1,96 e z0=-1,96. A região de rejeição é t < -1,96 e t > 1,96 Como t = 1,34 está fora da região de rejeição, existe evidência para não rejeitar H0 ao nível de significância de 5%.

Teste de hipóteses para uma variância ou desvio padrão

Usar a distribuição qui-quadrado χ2 com n-1 graus de liberdadeSuposições:

Amostra aleatóriaPopulação normal

Testes UnilateraisH0: σ2 ≥ σ2

0 H0: σ2 ≤ σ20

Ha: σ2 < σ20 Ha: σ2 > σ2

0

Testes BilateralH0: σ2 = σ2

0Ha: σ2 ≠ σ2

0

Teste de hipóteses para uma variância ou desvio padrão

Estatística do teste

Exemplo: Um laticínio alega que a variância na quantidade de gordura no total do leite processado pela companhia não é mais do que 0,25. Você desconfia dessa alegação e descobre que uma amostra de 41 recipientes com leite tem uma variância de 0,27. Sendo α=0,05, há evidência suficiente para rejeitar a alegação da companhia?.

20

22 )1(

σχ sn −

=2s variância amostral20σ variância populacional usada na hipótese

nula

Solução

H0: σ2 ≤ 0,25

Ha: σ2 > 0,25

O valor crítico χ20 na tabela da qui-quadrado com 40 graus de liberdade é

χ20= 55,758. A região de rejeição é χ2 > 55,758. Assim temos

χ2 = 43,2 < 55,758 e existe uma evidência para não rejeitar H0ao nível de significância de 5%.

2,4325,0

27,0)141(2 =−

=χ